მოდით, საჭირო გახდეს x-ის რიცხვითი მნიშვნელობების პოვნა, რომლებშიც რამდენიმე რაციონალური უტოლობა ერთდროულად გადაიქცევა ნამდვილ რიცხვობრივ უტოლობად. ასეთ შემთხვევებში ჩვენ ვამბობთ, რომ რაციონალური უტოლობების სისტემა უნდა ამოხსნათ ერთი უცნობი x-ით.

რაციონალური უტოლობების სისტემის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იპოვოთ ყველა გამოსავალი სისტემაში არსებული თითოეული უტოლობისთვის. მაშინ ყველა ნაპოვნი გადაწყვეტის საერთო ნაწილი იქნება სისტემის გადაწყვეტა.

მაგალითი:ამოხსენით უტოლობათა სისტემა

(x -1)(x - 5)(x - 7)< 0,

ჯერ ვხსნით უტოლობას

(x - 1)(x - 5)(x - 7)< 0.

ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით (ნახ. 1) აღმოვაჩენთ, რომ უტოლობის (2) ამონახსნების სიმრავლე შედგება ორი ინტერვალისაგან: (-, 1) და (5, 7).

სურათი 1

ახლა მოვაგვაროთ უტოლობა

ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით (ნახ. 2) აღმოვაჩენთ, რომ უტოლობის ყველა ამონახსნის სიმრავლე (3) ასევე შედგება ორი ინტერვალისაგან: (2, 3) და (4, +).

ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ (2) და (3) უტოლობების ამოხსნის საერთო ნაწილი. დავხატოთ კოორდინატთა ღერძი x და მოვნიშნოთ მასზე ნაპოვნი ამონახსნები. ახლა ცხადია, რომ (2) და (3) უტოლობების ამოხსნის საერთო ნაწილი არის ინტერვალი (5, 7) (ნახ. 3).

შესაბამისად, უტოლობების სისტემის ყველა ამონახსნის სიმრავლე (1) არის ინტერვალი (5, 7).

მაგალითი: ამოხსენით უტოლობათა სისტემა

x2 - 6x + 10< 0,

ჯერ გადავჭრათ უტოლობა

x 2 - 6x + 10< 0.

სრული კვადრატის მეთოდის გამოყენებით, შეგვიძლია დავწეროთ

x 2 - 6x + 10 \u003d x 2 - 2x3 + 3 2 - 3 2 + 10 \u003d (x - 3) 2 +1.

ამრიგად, უტოლობა (2) შეიძლება დაიწეროს როგორც

(x - 3) 2 + 1< 0,

რაც აჩვენებს, რომ მას არ აქვს გამოსავალი.

ახლა თქვენ ვერ გადაჭრით უთანასწორობას

რადგან პასუხი უკვე ნათელია: სისტემას (1) არ აქვს გამოსავალი.

მაგალითი:ამოხსენით უტოლობათა სისტემა

განვიხილოთ ჯერ პირველი უტოლობა; ჩვენ გვაქვს

1 < 0, < 0.

ნიშნების მრუდის გამოყენებით ვპოულობთ ამონახსნებს ამ უტოლობაზე: x< -2; 0 < x < 2.

ახლა ამოვხსნათ მოცემული სისტემის მეორე უტოლობა. გვაქვს x 2 - 64< 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.

პირველი და მეორე უტოლობების ნაპოვნი ამონახსნები საერთო რეალურ წრფეზე (ნახ. 6) რომ მოვნიშნეთ, ჩვენ ვპოულობთ ისეთ ინტერვალებს, სადაც ეს ამონახსნები ემთხვევა (ამოხსნის ჩახშობა): -8< x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.

მაგალითი:ამოხსენით უტოლობათა სისტემა

ჩვენ გარდაქმნით სისტემის პირველ უტოლობას:

x 3 (x - 10) (x + 10) 0, ან x (x - 10) (x + 10) 0

(რადგან კენტი სიმძლავრეების ფაქტორები შეიძლება შეიცვალოს პირველი ხარისხის შესაბამისი ფაქტორებით); ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით ვპოულობთ ამონახსნებს ბოლო უტოლობაზე: -10 x 0, x 10.

განვიხილოთ სისტემის მეორე უტოლობა; ჩვენ გვაქვს

ვპოულობთ (სურ. 8) x -9; 3< x < 15.

ნაპოვნი ამონახსნები გავაერთიანოთ, მივიღებთ (ნახ. 9) x 0; x > 3.

მაგალითი:იპოვნეთ უტოლობათა სისტემის მთელი რიცხვი ამონახსნები:

x + y< 2,5,

გამოსავალი: მოდით მივიყვანოთ სისტემა ფორმაში

პირველი და მეორე უტოლობების მიმატებით, გვაქვს y< 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим

საიდანაც -1< x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.

ინტერვალის მეთოდი- ეს არის უნივერსალური გზა თითქმის ნებისმიერი უტოლობის გადასაჭრელად, რომელიც ხდება სკოლის ალგებრის კურსში. იგი დაფუძნებულია ფუნქციების შემდეგ თვისებებზე:

1. უწყვეტ ფუნქციას g(x) შეუძლია შეცვალოს ნიშანი მხოლოდ იმ წერტილში, სადაც ის 0-ის ტოლია. გრაფიკულად, ეს ნიშნავს, რომ უწყვეტი ფუნქციის გრაფიკი შეიძლება გადავიდეს ერთი ნახევარსიბრტყიდან მეორეზე მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის გადაკვეთს x-ს. ღერძი (გვახსოვს, რომ OX ღერძზე მდებარე ნებისმიერი წერტილის ორდინატი (აბსცისის ღერძი) ნულის ტოლია, ანუ ფუნქციის მნიშვნელობა ამ წერტილში არის 0):

ვხედავთ, რომ გრაფიკზე ნაჩვენები y=g(x) ფუნქცია კვეთს OX ღერძს x= -8, x=-2, x=4, x=8 წერტილებში. ამ წერტილებს ფუნქციის ნულები ეწოდება. და იმავე წერტილებში ფუნქცია g(x) ცვლის ნიშანს.

2. ფუნქციას ასევე შეუძლია შეცვალოს ნიშანი მნიშვნელის ნულებზე - ცნობილი ფუნქციის უმარტივესი მაგალითი:

ჩვენ ვხედავთ, რომ ფუნქცია ცვლის ნიშანს მნიშვნელის ძირში, წერტილში, მაგრამ არ ქრება არცერთ წერტილში. ამრიგად, თუ ფუნქცია შეიცავს წილადს, მას შეუძლია შეცვალოს ნიშანი მნიშვნელის ფესვებში.

2. თუმცა ფუნქცია ყოველთვის არ ცვლის ნიშანს მრიცხველის ძირში ან მნიშვნელის ძირში. მაგალითად, ფუნქცია y=x 2 არ ცვლის ნიშანს x=0 წერტილში:

იმიტომ რომ განტოლებას x 2 \u003d 0 აქვს ორი ტოლი ფესვი x \u003d 0, x \u003d 0 წერტილში, ფუნქცია, როგორც იქნა, ორჯერ ბრუნდება 0-ზე. ასეთ ფესვს მეორე სიმრავლის ფესვი ეწოდება.

ფუნქცია ცვლის ნიშანს მრიცხველის ნულზე, მაგრამ არ ცვლის ნიშანს მნიშვნელის ნულზე: , რადგან ფესვი არის მეორე სიმრავლის, ანუ ლუწი სიმრავლის ფესვი:

Მნიშვნელოვანი! თანაბარი სიმრავლის ფესვებში ფუნქცია არ იცვლის ნიშანს.

Შენიშვნა! ნებისმიერი არაწრფივიალგებრის სასკოლო კურსის უთანასწორობა, როგორც წესი, წყდება ინტერვალების მეთოდით.

მე გთავაზობთ დეტალურს, რომლის შემდეგაც შეგიძლიათ თავიდან აიცილოთ შეცდომები, როდესაც არაწრფივი უტოლობების ამოხსნა.

1. ჯერ უტოლობა ფორმაში უნდა მიიყვანოთ

P(x)V0,

სადაც V არის უტოლობის ნიშანი:<,>,≤ ან ≥. ამისთვის გჭირდებათ:

ა) გადაიტანეთ ყველა წევრი უტოლობის მარცხენა მხარეს,

ბ) იპოვნეთ მიღებული გამონათქვამის ფესვები,

გ) უტოლობის მარცხენა მხარის ფაქტორიზირება

დ) დაწერეთ იგივე ფაქტორები, როგორც ხარისხი.

ყურადღება!ბოლო მოქმედება უნდა გაკეთდეს იმისათვის, რომ არ დაუშვას შეცდომა ფესვების სიმრავლეში - თუ შედეგი არის ლუწი ხარისხით, მაშინ შესაბამის ფესვს აქვს ლუწი სიმრავლე.

2. აღმოჩენილი ფესვები დადეთ რიცხვთა წრფეზე.

3. თუ უტოლობა მკაცრია, მაშინ რიცხვით ღერძზე ფესვების აღმნიშვნელი წრეები რჩება „ცარიელი“, თუ უტოლობა მკაცრი არ არის, მაშინ წრეები ზემოდან მოხატულია.

4. ვირჩევთ ლუწი სიმრავლის ფესვებს - მათში P(x)ნიშანი არ იცვლება.

5. განსაზღვრეთ ნიშანი P(x)უფსკრულის მარჯვენა მხარეს. ამისათვის აიღეთ თვითნებური მნიშვნელობა x 0, რომელიც აღემატება უდიდეს ფესვს და ჩაანაცვლეთ P(x).

თუ P(x 0)>0 (ან ≥0), მაშინ ყველაზე მარჯვენა ინტერვალში ვსვამთ "+" ნიშანს.

თუ P(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

ლუწი სიმრავლის ფესვის აღმნიშვნელი წერტილის გავლისას ნიშანი არ იცვლება.

7. კიდევ ერთხელ ვუყურებთ თავდაპირველი უტოლობის ნიშანს და ვირჩევთ ჩვენთვის საჭირო ნიშნის ინტერვალებს.

8. ყურადღება! თუ ჩვენი უტოლობა არ არის მკაცრი, მაშინ ჩვენ ცალ-ცალკე ვამოწმებთ ტოლობის პირობას ნულამდე.

9. ჩაწერეთ პასუხი.

თუ ორიგინალი უტოლობა შეიცავს უცნობს მნიშვნელში, შემდეგ ყველა ტერმინსაც გადავიტანთ მარცხნივ და უტოლობის მარცხენა მხარეს ვამცირებთ ფორმამდე

(სადაც V არის უტოლობის ნიშანი:< или >)

ასეთი მკაცრი უთანასწორობა უთანასწორობის ტოლფასია

არა მკაცრიფორმის უთანასწორობა

უდრის სისტემა:

პრაქტიკაში, თუ ფუნქციას აქვს ფორმა, მაშინ ვაგრძელებთ შემდეგნაირად:

1. იპოვეთ მრიცხველის და მნიშვნელის ფესვები.
2. ჩვენ მათ ღერძზე ვაყენებთ. ყველა წრე ცარიელია. შემდეგ, თუ უტოლობა მკაცრი არ არის, მაშინ მრიცხველის ფესვებს ვხატავთ და მნიშვნელის ფესვებს ყოველთვის ცარიელი ვტოვებთ.
3. შემდეგი, ჩვენ მივყვებით ზოგად ალგორითმს:
4. ვირჩევთ ლუწი სიმრავლის ფესვებს (თუ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ერთსა და იმავე ფესვებს, მაშინ ვითვლით რამდენჯერ ჩნდება ერთი და იგივე ფესვები). ლუწი სიმრავლის ფესვებში ნიშნის ცვლილება არ არის.
5. ჩვენ ვიგებთ ნიშანს ყველაზე მარჯვენა ინტერვალზე.
6. ჩვენ დავაყენეთ ნიშნები.
7. არამკაცრი უტოლობის შემთხვევაში ცალ-ცალკე მოწმდება ტოლობის პირობა, ტოლობის პირობა ნულამდე.
8. ვირჩევთ საჭირო ინტერვალებს და ცალ-ცალკე მდგარ ფესვებს.
9. ჩვენ ვწერთ პასუხს.

უკეთ რომ გავიგოთ უტოლობების ამოხსნის ალგორითმი ინტერვალის მეთოდით, ნახეთ ვიდეო გაკვეთილი, რომელშიც დეტალურად არის გაანალიზებული მაგალითი უტოლობის ამოხსნა ინტერვალების მეთოდით.

ჩვენ ვაგრძელებთ უტოლობების ამოხსნის გზების ანალიზს, რომლებსაც აქვთ ერთი ცვლადი მათ შემადგენლობაში. ჩვენ უკვე შევისწავლეთ წრფივი და კვადრატული უტოლობები, რომლებიც რაციონალური უტოლობების განსაკუთრებული შემთხვევებია. ამ სტატიაში განვმარტავთ, თუ რა ტიპის უტოლობებია რაციონალური, გეტყვით რა ტიპებად იყოფა ისინი (მთლიანი და წილადი). ამის შემდეგ ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა გადავჭრათ ისინი სწორად, მივცეთ საჭირო ალგორითმები და გავაანალიზოთ კონკრეტული პრობლემები.

Yandex.RTB R-A-339285-1

რაციონალური თანასწორობის ცნება

როცა სკოლაში სწავლობენ უტოლობების ამოხსნის თემას, მაშინვე იღებენ რაციონალურ უტოლობას. ისინი იძენენ და ახდენენ ამ ტიპის გამომეტყველებით მუშაობის უნარ-ჩვევებს. მოდით ჩამოვაყალიბოთ ამ კონცეფციის განმარტება:

განმარტება 1

რაციონალური უტოლობა არის უტოლობა ცვლადებთან, რომელიც შეიცავს რაციონალურ გამონათქვამებს ორივე ნაწილში.

გაითვალისწინეთ, რომ განმარტება არანაირად არ მოქმედებს ცვლადების რაოდენობაზე, რაც ნიშნავს, რომ შეიძლება იყოს მათი თვითნებურად დიდი რაოდენობა. აქედან გამომდინარე, შესაძლებელია რაციონალური უტოლობა 1, 2, 3 ან მეტი ცვლადით. ყველაზე ხშირად, ადამიანს უწევს მხოლოდ ერთი ცვლადის შემცველი გამონათქვამები, ნაკლებად ხშირად ორი, და უტოლობები ცვლადების დიდი რაოდენობით, როგორც წესი, საერთოდ არ განიხილება სკოლის კურსის ფარგლებში.

ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია ვისწავლოთ რაციონალური უტოლობა მისი აღნიშვნის დათვალიერებით. როგორც მარჯვნივ, ასევე მარცხენა მხარეს უნდა ჰქონდეს რაციონალური გამონათქვამები. Აი ზოგიერთი მაგალითი:

x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2

და აი, ფორმის უტოლობა 5 + x + 1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

ყველა რაციონალური უტოლობა იყოფა მთელ რიცხვებად და წილადებად.

განმარტება 2

მთელი რაციონალური თანასწორობა შედგება მთელი რაციონალური გამონათქვამებისგან (ორივე ნაწილში).

განმარტება 3

ფრაქციულად რაციონალური თანასწორობა- ეს არის ტოლობა, რომელიც შეიცავს წილადის გამოხატულებას მის ერთ ან ორივე ნაწილში.

მაგალითად, 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 და 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 ფორმის უტოლობები. წილადი რაციონალური და 0 .5 x ≤ 3 (2 − 5 წ.)და 1: x + 3 > 0- მთლიანი.

ჩვენ გავაანალიზეთ რა არის რაციონალური უტოლობები და გამოვავლინეთ მათი ძირითადი ტიპები. ჩვენ შეგვიძლია გადავიდეთ მიმოხილვაზე, თუ როგორ გადავჭრათ ისინი.

დავუშვათ, რომ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ გადაწყვეტილებები მთელი რაციონალური უტოლობისთვის r(x)< s (x) , რომელიც მოიცავს მხოლოდ ერთ x ცვლადს. სადაც r(x)და s(x)არის ნებისმიერი მთელი რაციონალური რიცხვი ან გამონათქვამი და უტოლობის ნიშანი შეიძლება განსხვავებული იყოს. ამ ამოცანის ამოსახსნელად საჭიროა მისი გარდაქმნა და ექვივალენტური ტოლობის მიღება.

დავიწყოთ გამოხატვის მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ გადაადგილებით. ჩვენ ვიღებთ შემდეგს:

ფორმის r (x) − s (x)< 0 (≤ , > , ≥)

ჩვენ ეს ვიცით r(x) - s(x)იქნება მთელი რიცხვი და ნებისმიერი მთელი რიცხვი შეიძლება გარდაიქმნას მრავალწევრად. მოდით გარდავქმნათ r(x) - s(x) h(x)-ში. ეს გამოხატულება იქნება იდენტური თანაბარი მრავალწევრი. იმის გათვალისწინებით, რომ r (x) − s (x) და h (x) აქვთ x-ის შესაძლო მნიშვნელობების ერთნაირი დიაპაზონი, შეგვიძლია გადავიდეთ h (x) უტოლობებზე.< 0 (≤ , >, ≥), რომელიც იქნება ორიგინალის ექვივალენტი.

ხშირად ასეთი მარტივი ტრანსფორმაცია საკმარისი იქნება უტოლობის გადასაჭრელად, რადგან შედეგი შეიძლება იყოს წრფივი ან კვადრატული უტოლობა, რომლის მნიშვნელობის გამოთვლა რთული არ არის. მოდით შევხედოთ ამ საკითხებს.

მაგალითი 1

მდგომარეობა:ამოხსენით მთელი რაციონალური უტოლობა x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.

გადაწყვეტილება

დავიწყოთ გამოხატვის მარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს საპირისპირო ნიშნით გადატანით.

x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0

ახლა, როდესაც ჩვენ დავასრულეთ ყველა ოპერაცია მარცხნივ მრავალწევრებით, შეგვიძლია გადავიდეთ წრფივ უტოლობაზე 3 x − 2 ≤ 0, რაც ექვივალენტური იყო მოცემულ მდგომარეობაში. მისი გადაჭრა მარტივია:

3 x ≤ 2 x ≤ 2 3

პასუხი: x ≤ 2 3 .

მაგალითი 2

მდგომარეობა:იპოვნეთ გამოსავალი უთანასწორობისთვის (x 2 + 1) 2 - 3 x 2 > (x 2 - x) (x 2 + x).

გადაწყვეტილება

გამონათქვამს გადავიტანთ მარცხენა მხრიდან მარჯვენა მხარეს და ვასრულებთ შემდგომ გარდაქმნებს გამრავლების შემოკლებული ფორმულების გამოყენებით.

(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0

ჩვენი გარდაქმნების შედეგად მივიღეთ უტოლობა, რომელიც ჭეშმარიტი იქნება x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, შესაბამისად, ნებისმიერი რეალური რიცხვი შეიძლება იყოს საწყისი უტოლობის ამოხსნა.

პასუხი:ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

მაგალითი 3

მდგომარეობა:უტოლობის ამოხსნა x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.

გადაწყვეტილება

მარჯვენა მხრიდან არაფერს გადავიტანთ, რადგან არის 0 . დავიწყოთ მაშინვე მარცხენა მხარის პოლინომად გადაქცევით:

x + 6 + 2 x 3 − 2 x 3 − 2 x 2 + 10 x > 0 − 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .

ჩვენ გამოვიყვანეთ თავდაპირველის ექვივალენტური კვადრატული უტოლობა, რომელიც მარტივად შეიძლება ამოხსნას რამდენიმე მეთოდით. გამოვიყენოთ გრაფიკული მეთოდი.

დავიწყოთ კვადრატული ტრინომის ფესვების გამოთვლით − 2 x 2 + 11 x + 6:

D \u003d 11 2 - 4 (- 2) 6 \u003d 169 x 1 \u003d - 11 + 169 2 - 2, x 2 \u003d - 11 - 169 2 - 2 x 1 \u003d - 0, 5, x u003d 6

ახლა დიაგრამაზე ჩვენ აღვნიშნავთ ყველა საჭირო ნულს. ვინაიდან წამყვანი კოეფიციენტი ნულზე ნაკლებია, პარაბოლის ტოტები გრაფიკზე გამოიყურება ქვემოთ.

ჩვენ დაგვჭირდება პარაბოლის არე, რომელიც მდებარეობს აბსცისის ღერძის ზემოთ, რადგან უტოლობაში გვაქვს > ნიშანი. სასურველი ინტერვალი არის (− 0 , 5 , 6) მაშასადამე, მნიშვნელობების ეს დიაპაზონი იქნება ჩვენთვის საჭირო გამოსავალი.

პასუხი: (− 0 , 5 , 6) .

ასევე არის უფრო რთული შემთხვევები, როდესაც მარცხნივ მიიღება მესამე ან უფრო მაღალი ხარისხის მრავალწევრი. ასეთი უტოლობის გადასაჭრელად რეკომენდებულია ინტერვალის მეთოდის გამოყენება. ჯერ ვიანგარიშებთ მრავალწევრის ყველა ფესვს h(x), რაც ყველაზე ხშირად კეთდება მრავალწევრის ფაქტორინგით.

მაგალითი 4

მდგომარეობა:გამოთვლა (x 2 + 2) (x + 4)< 14 − 9 · x .

გადაწყვეტილება

დავიწყოთ, როგორც ყოველთვის, გამოხატვის მარცხენა მხარეს გადატანით, რის შემდეგაც საჭირო იქნება ფრჩხილების გახსნა და მსგავსი ტერმინების შემცირება.

(x 2 + 2) (x + 4) − 14 + 9 x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

გარდაქმნების შედეგად მივიღეთ თავდაპირველის ექვივალენტური ტოლობა, რომლის მარცხნივ არის მესამე ხარისხის მრავალწევრი. მის ამოსახსნელად ვიყენებთ ინტერვალის მეთოდს.

ჯერ ვიანგარიშებთ მრავალწევრის ფესვებს, რისთვისაც კუბური განტოლება უნდა ამოხსნათ x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. აქვს მას რაციონალური ფესვები? ისინი შეიძლება იყვნენ მხოლოდ თავისუფალი ტერმინის გამყოფთა შორის, ე.ი. რიცხვებს შორის ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 . ჩვენ რიგრიგობით ვცვლით მათ თავდაპირველ განტოლებაში და აღმოვაჩენთ, რომ რიცხვები 1, 2 და 3 იქნება მისი ფესვები.

ასე რომ, მრავალწევრი x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6შეიძლება შეფასდეს როგორც პროდუქტი (x − 1) (x − 2) (x − 3)და უთანასწორობა x 3 + 4 x 2 + 11 x − 6< 0 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც (x − 1) (x − 2) (x − 3)< 0 . ამ ტიპის უთანასწორობით, ჩვენთვის უფრო ადვილი იქნება ინტერვალებზე ნიშნების დადგენა.

შემდეგ ვასრულებთ ინტერვალის მეთოდის დარჩენილ საფეხურებს: დავხატოთ რიცხვითი წრფე და მიუთითეთ მასზე 1, 2, 3 კოორდინატებით. ისინი სწორ ხაზს ყოფენ 4 ინტერვალით, რომლებშიც აუცილებელია ნიშნების დადგენა. ჩვენ ვჩრდილავთ ხარვეზებს მინუსით, რადგან თავდაპირველ უთანასწორობას აქვს ნიშანი < .

ჩვენ მხოლოდ უნდა ჩავწეროთ მზა პასუხი: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) ​​.

პასუხი: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

ზოგიერთ შემთხვევაში შეასრულეთ გადასვლა უტოლობიდან r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) სთ-მდე (x)< 0 (≤ , >, ≥), სადაც h(x)- 2-ზე მაღალი მრავალწევრი შეუსაბამოა. ეს ვრცელდება იმ შემთხვევებზე, როდესაც უფრო ადვილია r(x) − s(x) წარმოდგენა წრფივი ორომალიებისა და კვადრატული ტრინომების ნამრავლად, ვიდრე h(x) ფაქტორი ცალკეულ ფაქტორებად. მოდით შევხედოთ ამ პრობლემას.

მაგალითი 5

მდგომარეობა:იპოვნეთ გამოსავალი უთანასწორობისთვის (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) ≥ 2 x (x 2 − 2 x − 1).

გადაწყვეტილება

ეს უტოლობა ეხება მთელ რიცხვებს. თუ გამოსახულებას გადავიტანთ მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ, გავხსნით ფრჩხილებს და ვასრულებთ ტერმინების შემცირებას, მივიღებთ x 4 − 4 x 3 − 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .

ასეთი უტოლობის ამოხსნა ადვილი არ არის, რადგან თქვენ უნდა მოძებნოთ მეოთხე ხარისხის მრავალწევრის ფესვები. მას არ აქვს რაციონალური ფესვი (მაგალითად, 1, − 1, 19 ან − 19 არ ჯდება) და ძნელია სხვა ფესვების ძებნა. ამიტომ ამ მეთოდს ვერ გამოვიყენებთ.

მაგრამ არსებობს სხვა გადაწყვეტილებებიც. თუ გამოსახულებებს გადავიტანთ საწყისი უტოლობის მარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს, მაშინ შეგვიძლია შევასრულოთ საერთო ფაქტორის ბრეკეტინგი. x 2 − 2 x − 1:

(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .

ჩვენ მივიღეთ თავდაპირველის ტოლფასი უტოლობა და მისი ამოხსნა მოგვცემს საჭირო პასუხს. იპოვეთ მარცხენა მხარეს გამოსახულების ნულები, რისთვისაც ვხსნით კვადრატულ განტოლებებს x 2 − 2 x − 1 = 0და x 2 − 2 x − 19 = 0. მათი ფესვებია 1 ± 2 , 1 ± 2 5 . მივმართავთ ტოლობას x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0 , რომელიც შეიძლება ამოხსნას ინტერვალის მეთოდით:

სურათის მიხედვით პასუხია - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

პასუხი: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

ვამატებთ, რომ ზოგჯერ მრავალწევრის ყველა ფესვის პოვნა შეუძლებელია h(x)მაშასადამე, ჩვენ არ შეგვიძლია მისი წარმოდგენა წრფივი ბინომებისა და კვადრატული ტრინომების ნამრავლად. შემდეგ ამოხსენით h (x) ფორმის უტოლობა< 0 (≤ , >, ≥) ჩვენ არ შეგვიძლია, შესაბამისად, ასევე შეუძლებელია თავდაპირველი რაციონალური უტოლობის ამოხსნა.

დავუშვათ, ჩვენ გვჭირდება წილადის რაციონალური უტოლობების ამოხსნა r (x)< s (x) (≤ , >, ≥) , სადაც r (x) და s(x)რაციონალური გამონათქვამებია, x არის ცვლადი. მითითებული გამონათქვამებიდან ერთი მაინც იქნება წილადი. ამ შემთხვევაში გადაწყვეტის ალგორითმი იქნება შემდეგი:

1. ჩვენ განვსაზღვრავთ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონს x ცვლადისთვის.
2. ჩვენ გადავიტანთ გამოხატულებას უტოლობის მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ და შედეგად გამოსახულებას r(x) - s(x)წარმოდგენილია წილადის სახით. ამასობაში სად p(x)და q(x)იქნება მთელი რიცხვითი გამონათქვამები, რომლებიც წარმოადგენენ წრფივი ორომალიების, განუყოფელი კვადრატული ტრინომების, ასევე ბუნებრივი მაჩვენებლის მქონე ხარისხებს.
3. შემდეგი, ჩვენ ვხსნით მიღებულ უტოლობას ინტერვალის მეთოდით.
4. ბოლო ნაბიჯი არის ამოხსნის დროს მიღებული ქულების გამორიცხვა x ცვლადის მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონიდან, რომელიც ჩვენ განვსაზღვრეთ დასაწყისში.

ეს არის წილადი რაციონალური უტოლობის ამოხსნის ალგორითმი. უმეტესობა ნათელია, მცირე ახსნა-განმარტებები საჭიროა მხოლოდ მე-2 პუნქტისთვის. ჩვენ გადავიტანეთ გამოხატულება მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ და მივიღეთ r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) და შემდეგ როგორ მივიყვანოთ ის ფორმამდე p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?

პირველ რიგში, ჩვენ განვსაზღვრავთ, შესაძლებელია თუ არა მოცემული ტრანსფორმაციის შესრულება. თეორიულად, ასეთი შესაძლებლობა ყოველთვის არსებობს, ვინაიდან ნებისმიერი რაციონალური გამოთქმა შეიძლება გადაიზარდოს რაციონალურ წილადად. აქ გვაქვს წილადი მრავალწევრებით მრიცხველში და მნიშვნელში. გაიხსენეთ ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა და ბეზუტის თეორემა და დაადგინეთ, რომ n-ე ხარისხის ნებისმიერი პოლინომი, რომელიც შეიცავს ერთ ცვლადს, შეიძლება გარდაიქმნას წრფივი ბინომების ნამრავლად. ამიტომ, თეორიულად, ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია ამგვარად გარდაქმნას გამოხატულება.

პრაქტიკაში, მრავალწევრების ფაქტორინგი ხშირად საკმაოდ რთული ამოცანაა, განსაკუთრებით თუ ხარისხი 4-ზე მაღალია. თუ გაფართოებას ვერ შევასრულებთ, მაშინ ვერ მოვაგვარებთ ამ უთანასწორობას, მაგრამ ასეთი პრობლემები, როგორც წესი, სასკოლო კურსის ფარგლებში არ ისწავლება.

შემდეგი, ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ, არის თუ არა მიღებული უტოლობა p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) ექვივალენტი r (x) − s (x) მიმართ< 0 (≤ , >, ≥) და ორიგინალზე. არსებობს შესაძლებლობა, რომ ის არათანაბარი აღმოჩნდეს.

უთანასწორობის ეკვივალენტობა უზრუნველყოფილი იქნება მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონში p(x)q(x)შეესაბამება გამოხატვის დიაპაზონს r(x) - s(x). მაშინ წილადი რაციონალური უტოლობების ამოხსნის ინსტრუქციის ბოლო აბზაცის დაცვა არ არის საჭირო.

მაგრამ დიაპაზონი ამისთვის p(x)q(x)შეიძლება იყოს უფრო ფართო ვიდრე r(x) - s(x)მაგალითად, წილადების შემცირებით. მაგალითი იქნება x x - 1 3 x - 1 2 x + 3 x x - 1 x + 3-მდე გადასვლა. ან ეს შეიძლება მოხდეს მსგავსი ტერმინების დამატებისას, მაგალითად, აქ:

x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3-დან 1 x + 3-მდე

ასეთ შემთხვევებში ემატება ალგორითმის ბოლო ნაბიჯი. მისი შესრულებით, თქვენ თავიდან აიცილებთ ცვლადის ზედმეტ მნიშვნელობებს, რომლებიც წარმოიქმნება მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონის გაფართოების გამო. ავიღოთ რამდენიმე მაგალითი, რათა უფრო ნათელი გახდეს რაზე ვსაუბრობთ.

მაგალითი 6

მდგომარეობა:იპოვეთ ამონახსნები რაციონალური ტოლობის x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x x - 3 2 x + 1 .

გადაწყვეტილება

ჩვენ ვმოქმედებთ ზემოთ მითითებული ალგორითმის მიხედვით. პირველ რიგში, ჩვენ განვსაზღვრავთ მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონს. ამ შემთხვევაში იგი განისაზღვრება x + 1 x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 (x + 1) ≠ 0 უტოლობების სისტემით, რომლის ამონახსნი არის სიმრავლე (− ∞ , −). 1) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) .

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0

ამის შემდეგ ჩვენ გვჭირდება მისი ტრანსფორმაცია ისე, რომ მოსახერხებელი იყოს ინტერვალის მეთოდის გამოყენება. უპირველეს ყოვლისა, ალგებრულ წილადებს მივყავართ ყველაზე დაბალ საერთო მნიშვნელამდე (x − 3) 2 (x + 1):

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)

ჩვენ ვანგრევთ გამოსახულებას მრიცხველში ჯამის კვადრატის ფორმულის გამოყენებით:

x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1

მიღებული გამოხატვის სწორი მნიშვნელობების დიაპაზონი არის (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) . ჩვენ ვხედავთ, რომ ის მსგავსია, რაც განისაზღვრა თავდაპირველი თანასწორობისთვის. დავასკვნით, რომ უტოლობა x + 2 2 x - 3 2 x + 1 ≥ 0 უტოლდება თავდაპირველს, რაც ნიშნავს, რომ არ გვჭირდება ალგორითმის ბოლო ნაბიჯი.

ჩვენ ვიყენებთ ინტერვალის მეთოდს:

ჩვენ ვხედავთ ამონახსს ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) , რომელიც იქნება ამონახსნი საწყისი რაციონალური უტოლობის x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .

პასუხი: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

მაგალითი 7

მდგომარეობა:გამოთვალეთ ამონახსნი x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1.

გადაწყვეტილება

ჩვენ განვსაზღვრავთ დასაშვები მნიშვნელობების არეალს. ამ უტოლობის შემთხვევაში, ის ტოლი იქნება ყველა რეალური რიცხვის გარდა − 2 , − 1 , 0 და 1 .

გამონათქვამებს გადავიტანთ მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

შედეგიდან გამომდინარე, ჩვენ ვწერთ:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1

გამოხატვისთვის - 1 x - 1, მოქმედი მნიშვნელობების დიაპაზონი იქნება ყველა რეალური რიცხვის ნაკრები, გარდა ერთისა. ჩვენ ვხედავთ, რომ მნიშვნელობების დიაპაზონი გაფართოვდა: − 2 , − 1 და 0 . ასე რომ, ჩვენ უნდა შევასრულოთ ალგორითმის ბოლო ნაბიჯი.

რადგან მივედით უტოლობამდე - 1 x - 1 > 0 , შეგვიძლია დავწეროთ მისი ეკვივალენტი 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

ჩვენ გამოვრიცხავთ პუნქტებს, რომლებიც არ შედის ორიგინალური თანასწორობის მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონში. ჩვენ უნდა გამოვრიცხოთ (− ∞ , 1) რიცხვები − 2 , − 1 და 0 . ამრიგად, რაციონალური უტოლობის ამონახსნი x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 იქნება მნიშვნელობები (− ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

პასუხი: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

დასასრულს, ჩვენ ვაძლევთ პრობლემის კიდევ ერთ მაგალითს, რომელშიც საბოლოო პასუხი დამოკიდებულია დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონზე.

მაგალითი 8

მდგომარეობა:იპოვეთ 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 უტოლობის ამონახსნი.

გადაწყვეტილება

პირობითში მითითებული უტოლობის დასაშვები მნიშვნელობების ფართობი განისაზღვრება სისტემით x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0.

ამ სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები, რადგან

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

ეს ნიშნავს, რომ თავდაპირველ ტოლობას 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 არ აქვს ამონახსნები, რადგან არ არსებობს ცვლადის ისეთი მნიშვნელობები, რისთვისაც ის იქნებოდა აზრი.

პასუხი:არ არის გადაწყვეტილებები.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

>> მათემატიკა: რაციონალური უტოლობები

რაციონალური უტოლობა ერთ x ცვლადთან არის ფორმა - რაციონალური გამონათქვამების უტოლობა, ე.ი. რიცხვებისა და x ცვლადისაგან შედგენილი ალგებრული გამონათქვამები შეკრების, გამოკლების, გამრავლების, გაყოფისა და ბუნებრივ ხარისხზე აწევის ოპერაციების გამოყენებით. რა თქმა უნდა, ცვლადი შეიძლება აღინიშნოს ნებისმიერი სხვა ასოთი, მაგრამ მათემატიკაში ყველაზე ხშირად ასო x ენიჭება უპირატესობას.

რაციონალური უტოლობების ამოხსნისას გამოიყენება სამი წესი, რომლებიც ჩამოყალიბდა ზემოთ § 1-ში. ამ წესების დახმარებით მოცემული რაციონალური უტოლობა ჩვეულებრივ გარდაიქმნება ფორმაში / (x) > 0, სადაც / (x) არის ალგებრული. წილადი (ან მრავალწევრი). შემდეგ, დაშალეთ f (x) წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი x - a ფორმის ფაქტორებად (თუ, რა თქმა უნდა, ეს შესაძლებელია) და გამოიყენეთ ინტერვალის მეთოდი, რომელიც ზემოთ უკვე აღვნიშნეთ (იხილეთ მაგალითი 3 წინაში. აბზაცი).

მაგალითი 1ამოხსენით უტოლობა (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.

გადაწყვეტილება.განვიხილოთ გამონათქვამი f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

1,-1,2 წერტილებში ის 0-ზე უბრუნდება; მონიშნეთ ეს წერტილები რიცხვით ხაზზე. რიცხვითი წრფე მითითებული წერტილებით იყოფა ოთხ ინტერვალად (სურ. 6), რომელთაგან თითოეულზე გამოსახულება f (x) ინარჩუნებს მუდმივ ნიშანს. ამის გადასამოწმებლად ჩვენ განვახორციელებთ ოთხ არგუმენტს (თითოეული ამ ინტერვალისთვის ცალკე).

აიღეთ ნებისმიერი x წერტილი ინტერვალიდან (2, ეს წერტილი მდებარეობს რიცხვით წრფეზე -1 წერტილიდან მარჯვნივ, 1 წერტილიდან მარჯვნივ და 2 წერტილიდან მარჯვნივ. ეს ნიშნავს, რომ x> -1, x> 1, x> 2 (ნახ. 7) მაგრამ შემდეგ x-1>0, x+1>0, x - 2> 0 და აქედან გამომდინარე f (x)> 0 (როგორც რაციონალური უტოლობის ნამრავლი სამი დადებითის რიცხვები). ასე რომ, უტოლობა f (x ) > 0.

აიღეთ ნებისმიერი x წერტილი ინტერვალიდან (1,2). ეს წერტილი მდებარეობს რიცხვითი წრფეზე 1 წერტილიდან მარჯვნივ, 1 წერტილიდან მარჯვნივ, მაგრამ 2 წერტილიდან მარცხნივ. აქედან გამომდინარე, x\u003e -1, x\u003e 1, მაგრამ x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

აიღეთ ნებისმიერი x წერტილი ინტერვალიდან (-1,1). ეს წერტილი მდებარეობს რიცხვით წრფეზე -1 წერტილიდან მარჯვნივ, 1 წერტილიდან მარცხნივ და 2 წერტილიდან მარცხნივ. ასე რომ x > -1, მაგრამ x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (როგორც ორი უარყოფითი და ერთი დადებითი რიცხვის ნამრავლი). ასე რომ, (-1,1) ინტერვალზე მოქმედებს უტოლობა f (x)> 0.

და ბოლოს, აიღეთ ნებისმიერი x წერტილი ღია სხივიდან (-oo, -1). ეს წერტილი მდებარეობს რიცხვით წრფეზე -1 წერტილიდან მარცხნივ, 1 წერტილიდან მარცხნივ და 2 წერტილიდან მარცხნივ. ეს ნიშნავს, რომ x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

შევაჯამოთ. გამონათქვამის f (x) ნიშნები შერჩეულ ინტერვალებში ნაჩვენებია ნახ. 11. ჩვენ გვაინტერესებს ისინი, რომლებზეც დაკმაყოფილებულია უტოლობა f (x) > 0. ნახ. 11, ჩვენ ვადგენთ, რომ უტოლობა f (x) > 0 დაკმაყოფილებულია ინტერვალზე (-1, 1) ან ღია სხივზე
პასუხი: -1 < х < 1; х > 2.

მაგალითი 2ამოხსენით უტოლობა
გადაწყვეტილება.როგორც წინა მაგალითში, ჩვენ გამოვიყვანთ საჭირო ინფორმაციას ნახ. 11, მაგრამ ორი ცვლილებით მაგალით 1-თან შედარებით. პირველი, რადგან ჩვენ გვაინტერესებს x-ის რომელი მნიშვნელობები აკმაყოფილებს უტოლობას f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки მეორეც, ჩვენ ასევე კმაყოფილი ვართ იმ წერტილებით, რომლებზეც დაკმაყოფილებულია ტოლობა f (x) = 0. ეს არის წერტილები -1, 1, 2, მათ ფიგურაში მოვნიშნავთ მუქი წრეებით და ჩავრთავთ პასუხში. ნახ. 12 გვიჩვენებს პასუხის გეომეტრიულ მოდელს, საიდანაც არ არის რთული ანალიტიკურ ჩანაწერზე გადასვლა.
პასუხი:
მაგალითი 3.ამოხსენით უტოლობა
გადაწყვეტილება. მოდით ფაქტორზე გავხადოთ უტოლობის მარცხენა მხარეს შემავალი ალგებრული წილადის fx მრიცხველი და მნიშვნელი. მრიცხველში გვაქვს x 2 - x \u003d x (x - 1).

წილადის მნიშვნელში შემავალი x 2 - bx ~ 6 კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაციისთვის, ვიპოვით მის ფესვებს. განტოლებიდან x 2 - 5x - 6 \u003d 0 ვპოულობთ x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6. აქედან გამომდინარე, (გამოვიყენეთ ფორმულა კვადრატული ტრინომის ფაქტორინგისთვის: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2)).
ამგვარად, მოცემული უტოლობა ფორმად გადავაქციეთ

განვიხილოთ გამოთქმა:

ამ წილადის მრიცხველი 0-ზე და 1-ელ წერტილებზე უბრუნდება 0-ს, ხოლო -1 და 6 წერტილებში - 0-ს. მოდი, ეს წერტილები აღვნიშნოთ რიცხვით წრფეზე (სურ. 13). რიცხვითი წრფე მითითებული წერტილებით იყოფა ხუთ ინტერვალად და თითოეულ ინტერვალზე გამოთქმა fx) ინარჩუნებს მუდმივ ნიშანს. კამათით ისევე, როგორც მაგალით 1-ში, მივდივართ დასკვნამდე, რომ გამოთქმის fx) ნიშნები შერჩეულ ინტერვალებში ისეთია, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 13. ჩვენ გვაინტერესებს სად არის უტოლობა f (x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 პასუხი: -1

მაგალითი 4ამოხსენით უტოლობა

გადაწყვეტილება.რაციონალური უტოლობების ამოხსნისას, როგორც წესი, ურჩევნიათ დატოვონ მხოლოდ რიცხვი 0 უტოლობის მარჯვენა მხარეს, ამიტომ უტოლობას ვაქცევთ ფორმაში.

Უფრო:

როგორც გამოცდილება გვიჩვენებს, თუ უტოლობის მარჯვენა მხარე შეიცავს მხოლოდ რიცხვს 0, უფრო მოსახერხებელია მსჯელობა, როდესაც მის მარცხენა მხარეს მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც აქვს დადებითი წამყვანი კოეფიციენტი და რა გვაქვს? ჩვენ გვაქვს ყველაფერი წილადის მნიშვნელი ამ თვალსაზრისით თანმიმდევრობით (წამყვანი კოეფიციენტი, ანუ კოეფიციენტი x 2-ზე არის 6 - დადებითი რიცხვი), მაგრამ მრიცხველში ყველაფერი რიგზე არ არის - უფროსი კოეფიციენტი (კოეფიციენტი x-ზე) არის - 4 (უარყოფითი რიცხვი) უტოლობის ორივე მხარის გამრავლებით -1-ზე და უტოლობის ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლით, მივიღებთ ეკვივალენტურ უტოლობას.

ალგებრული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლოთ. მრიცხველში ყველაფერი მარტივია:
წილადის მნიშვნელში შემავალი კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზირება

(ჩვენ კვლავ გამოვიყენეთ კვადრატული ტრინომის ფაქტორინგის ფორმულა).
ამგვარად, მოცემული უტოლობა ფორმამდე შევამცირეთ

განიხილეთ გამოხატულება

ამ წილადის მრიცხველი წერტილში უხვევს 0-ს, ხოლო მნიშვნელს - წერტილებში, ამ წერტილებს აღვნიშნავთ რიცხვით წრფეზე (სურ. 14), რომელიც მითითებული წერტილებით იყოფა ოთხ ინტერვალად და თითოეულ ინტერვალზე გამოსახულებას. f (x) ინარჩუნებს მუდმივ ნიშანს (ეს ნიშნები მითითებულია სურ. 14-ზე). ჩვენ გვაინტერესებს ის ინტერვალები, რომლებზეც არის უტოლობა fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

ყველა განხილულ მაგალითში ჩვენ გადავაქციეთ მოცემული უტოლობა ფორმის ეკვივალენტურ უტოლობად f (x) > 0 ან f (x)<0,где
ამ შემთხვევაში, წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელში ფაქტორების რაოდენობა შეიძლება იყოს ნებისმიერი. შემდეგ რიცხვით წრფეზე აღინიშნა a, b, c, e წერტილები. და დაადგინა გამონათქვამის f (x) ნიშნები შერჩეულ ინტერვალებზე. ჩვენ შევამჩნიეთ, რომ შერჩეული ინტერვალების მარჯვნივ, უტოლობა f (x) > 0 დაკმაყოფილებულია, შემდეგ კი გამოხატვის f (x) ნიშნები ერთმანეთს ენაცვლება ინტერვალების გასწვრივ (იხ. სურ. 16a). ეს მონაცვლეობა მოხერხებულად არის ილუსტრირებული ტალღოვანი მრუდის დახმარებით, რომელიც დახატულია მარჯვნიდან მარცხნივ და ზემოდან ქვევით (სურ. 166). იმ ინტერვალებზე, სადაც ეს მრუდი (მას ზოგჯერ ნიშანთა მრუდსაც უწოდებენ) მდებარეობს x-ღერძის ზემოთ, დაკმაყოფილებულია უტოლობა f (x) > 0; სადაც ეს მრუდი მდებარეობს x ღერძის ქვემოთ, უტოლობა f (x)< 0.

მაგალითი 5ამოხსენით უტოლობა

გადაწყვეტილება.Ჩვენ გვაქვს

(წინა უტოლობის ორივე ნაწილი გამრავლდა 6-ზე).
ინტერვალის მეთოდის გამოსაყენებლად, მონიშნეთ წერტილები რიცხვთა წრფეზე (ამ წერტილებში ქრება უტოლობის მარცხენა მხარეს არსებული წილადის მრიცხველი) და ქულები (ამ წერტილებში ქრება მითითებული წილადის მნიშვნელი). ჩვეულებრივ, წერტილები სქემატურად არის მონიშნული, იმის გათვალისწინებით, თუ რა თანმიმდევრობით მიჰყვებიან ისინი (რომელიც მარჯვნივ არის, რომელიც მარცხნივ) და განსაკუთრებით არ აქცევენ ყურადღებას მასშტაბს. გასაგებია რომ ციფრებთან სიტუაცია უფრო რთულია, პირველი შეფასებით ჩანს, რომ ორივე რიცხვი ოდნავ აღემატება 2,6-ს, საიდანაც შეუძლებელია დავასკვნათ, რომელია მითითებულ რიცხვებში მეტი და რომელი ნაკლები. დავუშვათ (შემთხვევით) რომ მაშინ
აღმოჩნდა სწორი უტოლობა, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენი ვარაუდი დადასტურდა: ფაქტობრივად
Ისე,

მითითებულ 5 წერტილს მითითებული თანმიმდევრობით ვნიშნავთ რიცხვით ხაზზე (სურ. 17ა). დაალაგეთ გამოხატვის ნიშნები
მიღებულ ინტერვალებზე: მარჯვნივ - ნიშანი +, შემდეგ კი ნიშნები მონაცვლეობით (სურ. 176). დავხატოთ ნიშნების მრუდი და ავირჩიოთ (დაჩრდილვით) ის ინტერვალები, რომლებზეც ჩვენთვის საინტერესო უტოლობა f (x) > 0 დაკმაყოფილებულია (სურ. 17c). დაბოლოს, მხედველობაში გვაქვს, რომ საუბარია არამკაცრ უტოლობაზე f (x) > 0, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ ასევე გვაინტერესებს ის წერტილები, რომლებშიც გამოსახულება f (x) ქრება. ეს არის f (x) წილადის მრიცხველის ფესვები, ე.ი. ქულები ჩვენ აღვნიშნავთ მათ ნახ. 17 მუქ წრეებში (და, რა თქმა უნდა, შეიტანეთ პასუხში). ახლა აქ არის სურათი. 17c იძლევა სრულ გეომეტრიულ მოდელს მოცემული უტოლობის ამოხსნისთვის.

გაკვეთილის თემა "რაციონალური უტოლობების სისტემების ამოხსნა"

კლასი 10

გაკვეთილის ტიპი: ძიება

მიზანი: მოდულით უტოლობების ამოხსნის გზების მოძიება, ახალ სიტუაციაში ინტერვალის მეთოდის გამოყენება.

გაკვეთილის მიზნები:

რაციონალური უტოლობებისა და მათი სისტემების ამოხსნის უნარების შემოწმება; - აჩვენოს მოსწავლეებს ინტერვალის მეთოდის გამოყენების შესაძლებლობები უტოლობების მოდულით ამოხსნისას;

ასწავლეთ ლოგიკურად აზროვნება;

განავითარეთ თქვენი სამუშაოს თვითშეფასების უნარი;

ისწავლეთ თქვენი აზრების გამოხატვა

ისწავლეთ თქვენი თვალსაზრისის გონივრულად დაცვა;

ჩამოაყალიბოს მოსწავლეებში სწავლის პოზიტიური მოტივი;

განავითარეთ მოსწავლეთა დამოუკიდებლობა.

გაკვეთილების დროს

ᲛᲔ. ორგანიზების დრო(1 წუთი)

გამარჯობა, დღეს გავაგრძელებთ თემის „რაციონალური უთანასწორობების სისტემა“ შესწავლას, გამოვიყენებთ ჩვენს ცოდნას და უნარებს ახალ სიტუაციაში.

ჩამოწერეთ გაკვეთილის თარიღი და თემა „რაციონალური უტოლობების სისტემების ამოხსნა“. დღეს გეპატიჟებით მათემატიკის გზებზე მოგზაურობაზე, სადაც გელით ტესტები, ძალების გამოცდა. თქვენს მაგიდებზე გაქვთ საგზაო რუქები დავალებებით, თვითშეფასების ბილეთი, რომელსაც გადმომცემთ მე (დისპეჩერს) მოგზაურობის ბოლოს.

მოგზაურობის დევიზი იქნება აფორიზმი "გზას აითვისებს ის, ვინც მოსიარულე, ხოლო ვინც ფიქრობს მათემატიკაზე". თან წაიღეთ ცოდნის ბარგი. ჩართეთ აზროვნების პროცესი და წადით. გზაზე დაგვაყოლებს საგზაო რადიო.ჟღერს მუსიკის ფრაგმენტი (1 წთ). შემდეგ მკვეთრი სიგნალი.

II. ცოდნის შემოწმების ეტაპი. Ჯგუფური სამუშაო."ბარგის შემოწმება"

აქ არის პირველი ტესტი "ბარგის შემოწმება", რომელიც ამოწმებს თქვენს ცოდნას თემაზე

ახლა თქვენ დაიყოფით 3 ან 4 კაციან ჯგუფებად. ყველას აქვს სამუშაო ფურცელი თავის მაგიდაზე. გადაანაწილეთ ეს ამოცანები ერთმანეთში, მოაგვარეთ ისინი, ჩაწერეთ მზა პასუხები საერთო ფურცელზე. 3 კაციანი ჯგუფი ირჩევს ნებისმიერ 3 ამოცანას. ვინც ყველა დავალებას შეასრულებს, ამის შესახებ მასწავლებელს აცნობებს. მე ან ჩემი თანაშემწეები შევამოწმებთ პასუხებს და თუ ერთი პასუხი მაინც არასწორია, ფურცელი უბრუნდება ჯგუფს ხელახლა შესამოწმებლად. (ბავშვები პასუხებს ვერ ხედავენ, მხოლოდ ეუბნებიან, რომელ დავალებაზეა პასუხი არასწორი).პირველი ჯგუფი, ვინც შეცდომის გარეშე შეასრულებს ყველა დავალებას, გაიმარჯვებს. წინ გამარჯვებისთვის.

მუსიკა ძალიან მშვიდია.

თუ ორი ან სამი ჯგუფი ერთდროულად დაასრულებს მუშაობას, მაშინ მეორე ჯგუფის ერთი ბიჭი დაეხმარება მასწავლებელს შემოწმებაში. პასუხები ფურცელზე მასწავლებელთან ერთად (4 ასლი).

მუშაობა ჩერდება, როდესაც გამარჯვებული ჯგუფი გამოჩნდება.

არ დაგავიწყდეთ შეავსოთ თვითშეფასების სიის შევსება. და ჩვენ უფრო შორს მივდივართ.

ფურცელი დავალებით "ბარგის სკრინინგისთვის"

1) 3)

2) 4)

III. ცოდნის განახლებისა და ახალი ცოდნის აღმოჩენის ეტაპი. "ევრიკა"

შემოწმებამ აჩვენა, რომ თქვენ გაქვთ მდიდარი ცოდნა.

მაგრამ გზაზე ყველანაირი სიტუაციაა, ხანდახან საჭიროა გამომგონებლობა და თუ დაგავიწყდათ მისი წაღება, მოდით შევამოწმოთ.

თქვენ ისწავლეთ რაციონალური უტოლობების სისტემების ამოხსნა ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით. დღეს განვიხილავთ, თუ რომელი პრობლემების გადაჭრაა მიზანშეწონილი ამ მეთოდის გამოყენება. მაგრამ ჯერ გავიხსენოთ რა არის მოდული.

1. განაგრძეთ წინადადებები "რიცხვის მოდული უდრის თავად რიცხვს, თუ ..."(ზეპირად)

"რიცხვის მოდული უდრის საპირისპირო რიცხვს, თუ..."

2. A(X) იყოს მრავალწევრი x-ში

განაგრძეთ ჩაწერა:

პასუხი:

დაწერეთ A (x) გამოხატვის საპირისპირო გამონათქვამი.

A(x) = 5 - 4x; A(x) = 6x 2 - 4x + 2

A(x)= -A(x)=

მოსწავლე წერს დაფაზე, ბიჭები წერენ რვეულებში.

3. ახლა ვცადოთ მოდულით კვადრატული უტოლობის ამოხსნის ხერხი.

რა წინადადებები გაქვთ ამ უთანასწორობის გადასაჭრელად?

მოუსმინეთ ბიჭების წინადადებებს.

თუ წინადადებები არ არის, მაშინ დაუსვით კითხვა: "შესაძლებელია თუ არა ამ უთანასწორობის გადაჭრა უთანასწორობის სისტემების გამოყენებით?"

მოსწავლე გამოდის და წყვეტს.

IV. ახალი ცოდნის პირველადი კონსოლიდაციის ეტაპი, ამოხსნის ალგორითმის შედგენა. ბარგის შევსება.

(4 კაციან ჯგუფებში მუშაობა).

ახლა მე გირჩევთ შეავსოთ თქვენი ბარგი. იმუშავებთ ჯგუფებში.თითოეულ ჯგუფს ეძლევა 2 დავალების ბარათი.

პირველ ბარათზე თქვენ უნდა დაწეროთ დაფაზე წარმოდგენილი უტოლობების ამოხსნის სისტემები და შეიმუშავოთ ასეთი უტოლობების ამოხსნის ალგორითმი, თქვენ არ გჭირდებათ მისი ამოხსნა.

ჯგუფების პირველი ბარათი განსხვავებულია, მეორე - იგივე

Რა მოხდა?

დაფაზე თითოეული განტოლების ქვეშ, თქვენ უნდა დაწეროთ სისტემების ნაკრები.

გამოდის 4 მოსწავლე და წერს სისტემებს. ამ დროს კლასთან ერთად განვიხილავთ ალგორითმს.

ვ. ცოდნის კონსოლიდაციის ეტაპი."Სახლის გზა".

ბარგი შევსებულია, ახლა დაბრუნების დროა. ახლა დამოუკიდებლად ამოხსენით ნებისმიერი შემოთავაზებული უტოლობა მოდულით შედგენილი ალგორითმის შესაბამისად.

თქვენთან ერთად გზაზე ისევ იქნება საგზაო რადიო.

ჩართეთ მშვიდი ფონური მუსიკა. მასწავლებელი ამოწმებს დიზაინს და საჭიროების შემთხვევაში ურჩევს.

დავალებები დაფაზე.

სამუშაო დასრულებულია. შეამოწმეთ პასუხები (ისინი დაფის უკანა მხარესაა), შეავსეთ თვითშეფასების ბილეთი.

საშინაო დავალების დაყენება.

ჩაწერეთ საშინაო დავალება (ჩაწერეთ რვეულში ის უტოლობები, რომლებიც არ გაგიკეთებიათ ან შეცდომით გააკეთეთ, დამატებით No 84 (ა) სახელმძღვანელოს 373-ე გვერდზე თუ გსურთ)

VI. რელაქსაციის ეტაპი.

რამდენად სასარგებლო იყო თქვენთვის ეს მოგზაურობა?

რა ისწავლე?

შეაჯამეთ. გამოთვალეთ რამდენი ქულა დააგროვეთ თითოეულმა თქვენგანმა.(ბავშვები ასახელებენ საბოლოო ქულას).თვითშეფასების ფურცლები ჩააბარეთ დისპეჩერს, ანუ მე.

გაკვეთილი მინდა დავასრულო იგავით.

„მიდიოდა ბრძენი კაცი და სამი ადამიანი ხვდებოდა, რომლებსაც მცხუნვარე მზის ქვეშ ქვებით ურმები მიჰქონდათ. ბრძენი გაჩერდა და თითოეულს კითხვა დაუსვა. პირველს ჰკითხა: „რას აკეთებდი მთელი დღე?“, მან კი ღიმილით უპასუხა, რომ მთელი დღე დაწყევლილი ქვები ატარებდა. ბრძენმა ჰკითხა მეორეს: „რას აკეთებდი მთელი დღე?“ და მან უპასუხა: „ჩემი საქმე კეთილსინდისიერად გავაკეთე“, მესამეს კი გაეღიმა, სახე სიხარულითა და სიამოვნებით აენთო: „და მე მივიღე მონაწილეობა მშენებლობაში. ტაძრის შესახებ! ”

გაკვეთილი დასრულდა.

თვითშეფასების ფურცელი

გვარი, სახელი, კლასი		ქულების რაოდენობა
ჯგუფში მუშაობა უტოლობების ან უტოლობების სისტემების ამოსახსნელად.	2 ქულა, თუ სწორად შესრულებულია გარე დახმარების გარეშე; 1 ქულა, თუ სწორად შესრულებულია გარე დახმარებით; 0 ქულა, თუ დავალება არ შეასრულეთ 1 დამატებითი ქულა ჯგუფის მოგებისთვის