ការរើសអើង ក៏ដូចជាសមីការបួនជ្រុង ចាប់ផ្តើមត្រូវបានសិក្សានៅក្នុងវគ្គសិក្សាពិជគណិតនៅថ្នាក់ទី 8 ។ អ្នក​អាច​ដោះស្រាយ​សមីការ​ការ៉េ​តាម​រយៈ​ការ​រើសអើង និង​ប្រើ​ទ្រឹស្តីបទ Vieta។ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់សិក្សាសមីការបួនជ្រុង ក៏ដូចជារូបមន្តនៃការរើសអើង គឺត្រូវបានបញ្ជូលដោយមិនបានជោគជ័យនៅក្នុងសិស្សសាលា ដូចជាការអប់រំពិតៗ។ ដូច្នេះឆ្នាំសិក្សាបានកន្លងផុតទៅ ការអប់រំនៅថ្នាក់ទី 9-11 ជំនួស "ឧត្តមសិក្សា" ហើយគ្រប់គ្នាកំពុងស្វែងរកម្តងទៀត - "តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង?", "តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកឫសនៃសមីការ?", "តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកអ្នករើសអើង?" និង...

រូបមន្ត​រើសអើង

ការរើសអើង D នៃសមីការការ៉េ a*x^2+bx+c=0 គឺ D=b^2–4*a*c។
ឫស (ដំណោះស្រាយ) នៃសមីការបួនជ្រុងអាស្រ័យលើសញ្ញានៃការរើសអើង (D)៖
D>0 - សមីការមានឫសពិត 2 ផ្សេងគ្នា។
D=0 - សមីការមាន 1 ឫស (2 ឫសស្របគ្នា)៖
ឃ<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
រូបមន្តសម្រាប់គណនាអ្នករើសអើងគឺសាមញ្ញណាស់ ដូច្នេះគេហទំព័រជាច្រើនផ្តល់ជូននូវម៉ាស៊ីនគណនាការរើសអើងតាមអ៊ីនធឺណិត។ យើងមិនទាន់រកឃើញអក្សរប្រភេទនេះនៅឡើយទេ ដូច្នេះអ្នកណាដឹងពីរបៀបអនុវត្តនេះ សូមសរសេរមកកាន់សំបុត្រ អាសយដ្ឋាន​អ៊ីមែល​នេះ​ត្រូវ​បាន​ការពារ​ពី​សំបុត្រ​ឥត​ប្រយោជន៍។ អ្នកត្រូវតែបើក JavaScript ដើម្បីមើល។ .

រូបមន្តទូទៅសម្រាប់ការស្វែងរកឫសនៃសមីការការ៉េ:

ឫសគល់នៃសមីការត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត
ប្រសិនបើមេគុណនៃអថេរក្នុងការ៉េត្រូវបានផ្គូផ្គង នោះវាត្រូវបានណែនាំឱ្យគណនាមិនមែនជាការរើសអើងទេ ប៉ុន្តែផ្នែកទីបួនរបស់វា
ក្នុងករណីបែបនេះឫសនៃសមីការត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត

វិធីទីពីរដើម្បីស្វែងរកឫសគឺទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបង្កើតឡើងមិនត្រឹមតែសម្រាប់សមីការការ៉េប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងសម្រាប់ពហុនាមផងដែរ។ អ្នកអាចអានវានៅលើវិគីភីឌា ឬធនធានអេឡិចត្រូនិកផ្សេងទៀត។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីសម្រួល សូមពិចារណាផ្នែកនោះដែលទាក់ទងនឹងសមីការបួនជ្រុងដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយ នោះគឺជាសមីការនៃទម្រង់ (a=1)
ខ្លឹមសារនៃរូបមន្ត Vieta គឺថាផលបូកនៃឫសនៃសមីការគឺស្មើនឹងមេគុណនៃអថេរដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ។ ផលគុណនៃឫសនៃសមីការគឺស្មើនឹងពាក្យសេរី។ រូបមន្តនៃទ្រឹស្តីបទ Vieta មានសញ្ញាណមួយ។
ប្រភពដើមនៃរូបមន្ត Vieta គឺសាមញ្ញណាស់។ ចូរយើងសរសេរសមីការ quadratic នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកត្តាបឋម
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលប៉ិនប្រសប់គឺសាមញ្ញក្នុងពេលតែមួយ។ វាមានប្រសិទ្ធភាពក្នុងការប្រើរូបមន្ត Vieta នៅពេលដែលភាពខុសគ្នានៃម៉ូឌុលនៃឫស ឬភាពខុសគ្នានៃម៉ូឌុលនៃឫសគឺ 1, 2 ។ ឧទាហរណ៍ សមីការខាងក្រោមយោងតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta មានឫស




ការវិភាគសមីការរហូតដល់ 4 គួរតែមើលទៅដូចនេះ។ ផលិតផលនៃឫសសមីការគឺ 6 ដូច្នេះឫសអាចជាតម្លៃ (1, 6) និង (2, 3) ឬគូជាមួយសញ្ញាផ្ទុយ។ ផលបូកនៃឫសគឺ 7 (មេគុណនៃអថេរដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ) ។ ពីទីនេះយើងសន្និដ្ឋានថាដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េគឺស្មើនឹង x=2; x=3.
វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការជ្រើសរើសឫសនៃសមីការក្នុងចំណោមផ្នែកបែងចែកនៃពាក្យសេរី ដោយកែសញ្ញារបស់ពួកគេដើម្បីបំពេញរូបមន្ត Vieta ។ នៅដើមដំបូង វាហាក់ដូចជាពិបាកធ្វើ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងការអនុវត្តលើសមីការការ៉េមួយចំនួន បច្ចេកទេសនេះនឹងមានប្រសិទ្ធភាពជាងការគណនាការរើសអើង និងការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការការ៉េតាមវិធីបុរាណ។
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញទ្រឹស្តីសាលានៃការសិក្សាការរើសអើងនិងវិធីដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការគឺគ្មានអត្ថន័យជាក់ស្តែង - "ហេតុអ្វីបានជាសិស្សសាលាត្រូវការសមីការ quadratic?", "តើអ្វីទៅជាអត្ថន័យរាងកាយរបស់អ្នករើសអើង?"។

ចូរយើងព្យាយាមស្វែងយល់ តើការរើសអើងពណ៌នាអំពីអ្វី?

ក្នុងវគ្គពិជគណិត ពួកគេសិក្សាមុខងារ គ្រោងការណ៍សម្រាប់សិក្សាមុខងារ និងមុខងារគូសប្លង់។ នៃមុខងារទាំងអស់ កន្លែងសំខាន់មួយត្រូវបានកាន់កាប់ដោយប៉ារ៉ាបូឡា សមីការដែលអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់
ដូច្នេះ​អត្ថន័យ​រូបវន្ត​នៃ​សមីការ​ការ៉េ​គឺ​សូន្យ​នៃ​ប៉ារ៉ាបូឡា ដែល​ជា​ចំណុច​ប្រសព្វ​នៃ​ក្រាហ្វ​នៃ​អនុគមន៍​ជាមួយ​អ័ក្ស abscissa Ox
ខ្ញុំសុំឱ្យអ្នកចងចាំលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ប៉ារ៉ាបូឡាដែលត្រូវបានពិពណ៌នាខាងក្រោម។ ដល់ពេលប្រលង តេស្ត ឬការប្រលងចូល ហើយអ្នកនឹងដឹងគុណចំពោះឯកសារយោង។ សញ្ញានៃអថេរក្នុងការ៉េត្រូវគ្នានឹងថាតើសាខារបស់ប៉ារ៉ាបូឡានៅលើក្រាហ្វនឹងឡើង (a>0)

ឬប៉ារ៉ាបូឡាដែលមានមែកចុះក្រោម (ក<0) .

ចំនុចកំពូលនៃប៉ារ៉ាបូឡាស្ថិតនៅកណ្តាលរវាងឫស

អត្ថន័យរូបវន្តនៃអ្នករើសអើង៖

ប្រសិនបើការរើសអើងធំជាងសូន្យ (D>0) ប៉ារ៉ាបូឡាមានចំនុចប្រសព្វពីរជាមួយអ័ក្សអុក។
ប្រសិនបើការរើសអើងស្មើនឹងសូន្យ (D=0) នោះប៉ារ៉ាបូឡានៅផ្នែកខាងលើប៉ះអ័ក្ស x ។
ហើយករណីចុងក្រោយ នៅពេលដែលអ្នករើសអើងមានតិចជាងសូន្យ (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

សមីការការ៉េមិនពេញលេញ

សមីការ​ការ៉េ។ រើសអើង។ ដំណោះស្រាយ, ឧទាហរណ៍។

យកចិត្តទុកដាក់!
មានបន្ថែម
សម្ភារៈនៅក្នុងផ្នែកពិសេស 555 ។
សម្រាប់អ្នកដែលខ្លាំង "មិនខ្លាំងណាស់ ... "
ហើយសម្រាប់អ្នកដែល "ខ្លាំងណាស់ ... ")

ប្រភេទនៃសមីការការ៉េ

តើសមីការការ៉េជាអ្វី? តើវាមើលទៅដូចអ្វី? នៅក្នុងរយៈពេល សមីការ​ការ៉េពាក្យគន្លឹះគឺ "ការ៉េ"។វាមានន័យថានៅក្នុងសមីការ ចាំបាច់ត្រូវតែមាន x ការ៉េ។ បន្ថែមពីលើវា សមីការអាចមាន (ឬប្រហែលជាមិនមែន!) គ្រាន់តែ x (ដល់ដឺក្រេទីមួយ) និងគ្រាន់តែជាលេខប៉ុណ្ណោះ។ (សមាជិកឥតគិតថ្លៃ)។ហើយមិនគួរមាន x ក្នុងដឺក្រេធំជាងពីរទេ។

នៅក្នុងពាក្យគណិតវិទ្យា សមីការបួនជ្រុង គឺជាសមីការនៃទម្រង់៖

នៅទីនេះ a, b និង c- លេខមួយចំនួន។ ខ និង គ- ពិតណាមួយ ប៉ុន្តែ ក- អ្វីទាំងអស់លើកលែងតែសូន្យ។ ឧទាហរណ៍:

នៅទីនេះ ក =1; ខ = 3; គ = -4

នៅទីនេះ ក =2; ខ = -0,5; គ = 2,2

នៅទីនេះ ក =-3; ខ = 6; គ = -18

ជាការប្រសើរណាស់, អ្នកទទួលបានគំនិត ...

នៅក្នុងសមីការ quadratic ទាំងនេះ នៅខាងឆ្វេងមាន សំណុំ​ពេញ​លេញសមាជិក។ x ការ៉េជាមួយមេគុណ ក, x ទៅថាមពលដំបូងជាមួយមេគុណ ខនិង សមាជិកឥតគិតថ្លៃនៃ

សមីការបួនជ្រុងបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា ពេញលេញ។

ហើយ​ប្រសិន​បើ ខ= 0 តើយើងនឹងទទួលបានអ្វី? យើង​មាន X នឹងបាត់នៅកម្រិតទីមួយ។វាកើតឡើងពីការគុណនឹងសូន្យ។) វាប្រែចេញឧទាហរណ៍៖

5x 2 −25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

ល។ ហើយប្រសិនបើមេគុណទាំងពីរ ខនិង គស្មើនឹងសូន្យ នោះវាកាន់តែសាមញ្ញ៖

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

សមីការ​បែប​នេះ​ដែល​បាត់​អ្វី​មួយ​ត្រូវ​បាន​ហៅ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ។ដែលពិតជាឡូជីខល។) សូមចំណាំថា x ការ៉េមាននៅក្នុងសមីការទាំងអស់។

ដោយវិធីហេតុអ្វី កមិនអាចសូន្យបានទេ? ហើយអ្នកជំនួសវិញ។ កសូន្យ។) X ក្នុងការ៉េនឹងរលាយបាត់! សមីការនឹងក្លាយទៅជាលីនេអ៊ែរ។ ហើយវាត្រូវបានធ្វើខុសគ្នា ...

នោះហើយជាប្រភេទសំខាន់ៗនៃសមីការការ៉េ។ ពេញលេញនិងមិនពេញលេញ។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េ។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េពេញលេញ។

សមីការ quadratic ងាយស្រួលដោះស្រាយ។ យោងតាមរូបមន្តនិងច្បាប់សាមញ្ញច្បាស់លាស់។ នៅដំណាក់កាលដំបូង វាចាំបាច់ក្នុងការនាំយកសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ i.e. ដល់ទិដ្ឋភាព៖

ប្រសិនបើសមីការត្រូវបានផ្តល់ឱ្យអ្នកក្នុងទម្រង់នេះរួចហើយ អ្នកមិនចាំបាច់ធ្វើដំណាក់កាលទីមួយទេ។) រឿងសំខាន់គឺត្រូវកំណត់មេគុណទាំងអស់ឱ្យបានត្រឹមត្រូវ។ ក, ខនិង គ.

រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកឫសនៃសមីការការ៉េមើលទៅដូចនេះ៖

កន្សោមនៅក្រោមសញ្ញាឫសត្រូវបានគេហៅថា រើសអើង. ប៉ុន្តែបន្ថែមទៀតអំពីគាត់ខាងក្រោម។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញដើម្បីស្វែងរក x យើងប្រើ មានតែ a, b និង c. ទាំងនោះ។ មេគុណពីសមីការការ៉េ។ គ្រាន់តែជំនួសតម្លៃដោយប្រុងប្រយ័ត្ន a, b និង cចូលទៅក្នុងរូបមន្តនេះហើយរាប់។ ជំនួស ជាមួយនឹងសញ្ញារបស់អ្នក! ឧទាហរណ៍ក្នុងសមីការ៖

ក =1; ខ = 3; គ= -៤. នៅទីនេះយើងសរសេរ៖

ឧទាហរណ៍ស្ទើរតែត្រូវបានដោះស្រាយ៖

នេះគឺជាចម្លើយ។

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញណាស់។ ហើយ​គិត​យ៉ាង​ណា​ក៏​មិន​អាច​ទៅ​ខុស? មែនហើយ របៀប...

កំហុសទូទៅបំផុតគឺការភាន់ច្រលំជាមួយនឹងសញ្ញានៃតម្លៃ a, b និង c. ឬផ្ទុយទៅវិញមិនមែនជាមួយនឹងសញ្ញារបស់ពួកគេទេ (កន្លែងដែលត្រូវច្រឡំ?) ប៉ុន្តែជាមួយនឹងការជំនួសតម្លៃអវិជ្ជមានទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ការគណនាឫស។ នៅទីនេះ កំណត់ត្រាលម្អិតនៃរូបមន្តដែលមានលេខជាក់លាក់រក្សាទុក។ ប្រសិនបើមានបញ្ហាជាមួយការគណនា, ដូច្នេះ​ធ្វើ​វា!

ឧបមាថាយើងត្រូវដោះស្រាយឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖

នៅទីនេះ ក = -6; ខ = -5; គ = -1

ចូរនិយាយថាអ្នកដឹងថាអ្នកកម្រទទួលបានចម្លើយជាលើកដំបូង។

អញ្ចឹងកុំខ្ជិល។ វានឹងចំណាយពេល 30 វិនាទីដើម្បីសរសេរបន្ទាត់បន្ថែម។ និងចំនួននៃកំហុស នឹងធ្លាក់ចុះយ៉ាងខ្លាំង. ដូច្នេះ​យើង​សរសេរ​លម្អិត ដោយ​មាន​តង្កៀប និង​សញ្ញា​ទាំងអស់៖

វាហាក់ដូចជាពិបាកមិនគួរឱ្យជឿក្នុងការគូរដោយប្រុងប្រយ័ត្ន។ ប៉ុន្តែវាហាក់ដូចជា។ សាកល្បង​វា។ ជាការប្រសើរណាស់ឬជ្រើសរើស។ តើមួយណាល្អជាង លឿន ឬត្រូវ? លើសពីនេះទៀតខ្ញុំនឹងធ្វើឱ្យអ្នកសប្បាយចិត្ត។ មួយសន្ទុះក្រោយមក វានឹងមិនចាំបាច់លាបពណ៌អ្វីទាំងអស់ដោយប្រុងប្រយ័ត្ននោះទេ។ វានឹងប្រែជាត្រឹមត្រូវ។ ជាពិសេសប្រសិនបើអ្នកអនុវត្តបច្ចេកទេសជាក់ស្តែង ដែលត្រូវបានពិពណ៌នាខាងក្រោម។ ឧទាហរណ៍ដ៏អាក្រក់នេះជាមួយនឹង bunch នៃ minuses នឹងត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងងាយស្រួលនិងដោយគ្មានកំហុស!

ប៉ុន្តែជាញឹកញាប់ សមីការបួនជ្រុងមើលទៅខុសគ្នាបន្តិច។ ឧទាហរណ៍ដូចនេះ៖

តើអ្នកដឹងទេ?) បាទ! នេះ​គឺជា សមីការការ៉េមិនពេញលេញ.

ដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។

ពួកគេក៏អាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយរូបមន្តទូទៅផងដែរ។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវការស្វែងយល់ឱ្យបានត្រឹមត្រូវនូវអ្វីដែលស្មើនៅទីនេះ a, b និង c.

យល់? នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដំបូង a = 1; b = -4;ក គ? វាមិនមានទាល់តែសោះ! បាទ នោះហើយជាសិទ្ធិ។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យានេះមានន័យថា c = 0 ! អស់ហើយ។ ជំនួសលេខសូន្យទៅក្នុងរូបមន្តជំនួសវិញ។ គ,ហើយអ្វីៗនឹងដំណើរការសម្រាប់យើង។ ដូចគ្នានេះដែរជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ទីពីរ។ មានតែសូន្យទេដែលយើងមិនមាននៅទីនេះ ជាមួយ, ក ខ !

ប៉ុន្តែសមីការ quadratic មិនពេញលេញអាចដោះស្រាយបានកាន់តែងាយស្រួល។ ដោយគ្មានរូបមន្ត។ ពិចារណាសមីការមិនពេញលេញដំបូង។ តើផ្នែកខាងឆ្វេងអាចធ្វើអ្វីបាន? អ្នកអាចយក X ចេញពីតង្កៀប! តោះយកវាចេញ។

ហើយ​អ្វី​មក​ពី​នេះ? ហើយការពិតដែលថាផលិតផលគឺស្មើនឹងសូន្យប្រសិនបើហើយលុះត្រាតែកត្តាណាមួយគឺស្មើនឹងសូន្យ! មិនជឿ? អញ្ចឹង​មក​ជាមួយ​នឹង​លេខ​មិន​សូន្យ​ពីរ​ដែល​ពេល​គុណ​នឹង​ឱ្យ​សូន្យ!
មិន​ដំណើរការ? អ្វីមួយ...
ដូច្នេះយើងអាចសរសេរដោយទំនុកចិត្ត៖ x 1 = 0, x 2 = 4.

អ្វីគ្រប់យ៉ាង។ ទាំងនេះនឹងជាឫសគល់នៃសមីការរបស់យើង។ សមទាំងពីរ។ នៅពេលជំនួសពួកវាណាមួយទៅក្នុងសមីការដើម យើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណត្រឹមត្រូវ 0 = 0។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ ដំណោះស្រាយគឺសាមញ្ញជាងរូបមន្តទូទៅ។ ខ្ញុំកត់សម្គាល់ដោយវិធីដែល X នឹងក្លាយជាទីមួយហើយទីពីរ - វាពិតជាព្រងើយកណ្តើយ។ ងាយស្រួលសរសេរតាមលំដាប់លំដោយ x ១- មួយណាតិចជាង x ២- មួយណាច្រើនជាង។

សមីការទីពីរក៏អាចត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងងាយស្រួលផងដែរ។ យើងផ្លាស់ទី 9 ទៅខាងស្តាំ។ យើង​ទទួល​បាន:

វានៅសល់ដើម្បីទាញយកឫសពី 9 ហើយនោះជាវា។ ទទួលបាន៖

ឫសពីរផងដែរ។ . x 1 = −3, x 2 = 3.

នេះជារបៀបដែលសមីការការ៉េមិនពេញលេញទាំងអស់ត្រូវបានដោះស្រាយ។ ទាំងដោយយក X ចេញពីតង្កៀប ឬដោយគ្រាន់តែផ្ទេរលេខទៅខាងស្តាំ បន្តដោយការស្រង់ឫស។
វាជាការលំបាកខ្លាំងណាស់ក្នុងការច្រឡំវិធីសាស្រ្តទាំងនេះ។ ដោយសារតែក្នុងករណីដំបូងអ្នកនឹងត្រូវដកឫសពី X ដែលជាការមិនអាចយល់បានហើយក្នុងករណីទី 2 គ្មានអ្វីដែលត្រូវដកចេញពីតង្កៀបទេ ...

រើសអើង។ រូបមន្តរើសអើង។

ពាក្យវេទមន្ត រើសអើង ! សិស្សវិទ្យាល័យដ៏កម្រម្នាក់ មិនដែលលឺពាក្យនេះទេ! ឃ្លា "សម្រេចចិត្តតាមរយៈអ្នករើសអើង" គឺជាការធានា និងធានាឡើងវិញ។ ព្រោះ​មិន​ចាំ​បាច់​ចាំ​ល្បិច​ពី​អ្នក​រើស​អើង! វាសាមញ្ញ និងគ្មានបញ្ហាក្នុងការប្រើប្រាស់។) ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកអំពីរូបមន្តទូទៅបំផុតសម្រាប់ការដោះស្រាយ ណាមួយ។សមីការ​ការ៉េ៖

កន្សោម​ក្រោម​សញ្ញា​ឫសគល់​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​រើសអើង។ ការរើសអើងជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ ឃ. រូបមន្ត​រើសអើង៖

D = b 2 − 4ac

ហើយអ្វីដែលពិសេសចំពោះការបញ្ចេញមតិនេះ? ហេតុអ្វីបានជាវាសមនឹងទទួលបានឈ្មោះពិសេស? អ្វី អត្ថន័យនៃអ្នករើសអើង?បន្ទាប់ពីទាំងអស់។ - ខ,ឬ 2 កក្នុង​រូបមន្ត​នេះ គេ​មិន​ដាក់​ឈ្មោះ​ជាក់លាក់ ... អក្សរ និង​អក្សរ។

ចំណុចគឺនេះ។ នៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្តនេះ វាអាចទៅរួច មានតែបីករណីប៉ុណ្ណោះ។

1. អ្នករើសអើងគឺវិជ្ជមាន។នេះមានន័យថាអ្នកអាចទាញយកឫសពីវា។ ថាតើឫសត្រូវបានស្រង់ចេញបានល្អឬអាក្រក់គឺជាសំណួរមួយទៀត។ វាមានសារៈសំខាន់ណាស់អ្វីដែលត្រូវបានស្រង់ចេញជាគោលការណ៍។ បន្ទាប់មកសមីការការ៉េរបស់អ្នកមានឫសពីរ។ ដំណោះស្រាយពីរផ្សេងគ្នា។

2. អ្នករើសអើងគឺសូន្យ។បន្ទាប់មកអ្នកមានដំណោះស្រាយមួយ។ ចាប់តាំងពីការបូក-ដកនៃសូន្យក្នុងភាគយកមិនផ្លាស់ប្តូរអ្វីទាំងអស់។ និយាយយ៉ាងតឹងរឹងនេះមិនមែនជាឫសតែមួយទេប៉ុន្តែ ពីរដូចគ្នាបេះបិទ. ប៉ុន្តែនៅក្នុងកំណែសាមញ្ញ វាជាទម្លាប់ក្នុងការនិយាយអំពី ដំណោះស្រាយមួយ។

3. អ្នករើសអើងគឺអវិជ្ជមាន។លេខអវិជ្ជមានមិនយកឫសការ៉េទេ។ មិនអីទេ។ នេះមានន័យថាមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

និយាយឱ្យត្រង់ទៅ ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយសាមញ្ញនៃសមីការបួនជ្រុង គំនិតនៃអ្នករើសអើងគឺពិតជាមិនត្រូវបានទាមទារទេ។ យើងជំនួសតម្លៃនៃមេគុណនៅក្នុងរូបមន្តហើយយើងពិចារណា។ នៅទីនោះអ្វីៗទាំងអស់ប្រែចេញដោយខ្លួនវាផ្ទាល់ ហើយឫសពីរ និងមួយ មិនមែនតែមួយទេ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាកាន់តែស្មុគស្មាញដោយគ្មានចំណេះដឹង អត្ថន័យ និងរូបមន្តនៃការរើសអើងមិន​គ្រប់គ្រាន់។ ជាពិសេស - នៅក្នុងសមីការជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ សមីការបែបនេះគឺជា aerobatics សម្រាប់ GIA និងការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម!)

ដូច្នេះ របៀបដោះស្រាយសមីការការ៉េតាមរយៈអ្នករើសអើងដែលអ្នកបានចងចាំ។ ឬ​រៀន​ក៏​មិន​អន់​ដែរ) ចេះ​កំណត់​អត្តសញ្ញាណ​ឱ្យ​បាន​ត្រឹម​ត្រូវ a, b និង c. តើអ្នកដឹងពីរបៀប ដោយយកចិត្តទុកដាក់ជំនួសពួកវាទៅក្នុងរូបមន្ត root និង ដោយយកចិត្តទុកដាក់រាប់លទ្ធផល។ តើអ្នកយល់ទេថាពាក្យសំខាន់នៅទីនេះគឺ - ដោយយកចិត្តទុកដាក់?

ឥឡូវនេះសូមកត់សម្គាល់ពីបច្ចេកទេសជាក់ស្តែងដែលកាត់បន្ថយចំនួនកំហុសឆ្គងយ៉ាងខ្លាំង។ របស់​ដែល​កើត​ឡើង​ដោយ​ការ​មិន​ប្រមាទ... ដែល​កាល​នោះ​ឈឺ​ចាប់​ហើយ​ជេរ​ប្រមាថ...

ទទួលភ្ញៀវដំបូង . កុំខ្ជិលមុនពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េ ដើម្បីនាំវាទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ។ តើ​នេះ​មានន័យថា​ម៉េច​?
ឧបមាថាបន្ទាប់ពីការបំលែងណាមួយ អ្នកទទួលបានសមីការដូចខាងក្រោម៖

កុំប្រញាប់សរសេររូបមន្តឫស! អ្នកស្ទើរតែនឹងលាយឡំនឹងហាងឆេង a, b និង c ។បង្កើតឧទាហរណ៍ឱ្យបានត្រឹមត្រូវ។ ដំបូង x ការ៉េ បន្ទាប់មកដោយគ្មានការ៉េ បន្ទាប់មកសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។ ដូចនេះ៖

ហើយម្តងទៀតកុំប្រញាប់! ដក​មុន x ការ៉េ​អាច​រំខាន​អ្នក​ជា​ខ្លាំង។ បំភ្លេចវាងាយស្រួល... កម្ចាត់ដក។ យ៉ាងម៉េច? បាទ ដូចបានបង្រៀនក្នុងប្រធានបទមុន! យើងត្រូវគុណសមីការទាំងមូលដោយ -1 ។ យើង​ទទួល​បាន:

ហើយឥឡូវនេះអ្នកអាចសរសេររូបមន្តសម្រាប់ឫសដោយសុវត្ថិភាព គណនាការរើសអើង និងបំពេញឧទាហរណ៍។ សម្រេចចិត្តដោយខ្លួនឯង។ អ្នកគួរតែបញ្ចប់ដោយឫស 2 និង -1 ។

ការទទួលភ្ញៀវទីពីរ។ ពិនិត្យឫសរបស់អ្នក! នេះ​បើ​តាម​ទ្រឹស្ដី​របស់ Vieta។ កុំបារម្ភ ខ្ញុំនឹងពន្យល់គ្រប់យ៉ាង! កំពុងពិនិត្យ រឿងចុងក្រោយសមីការ។ ទាំងនោះ។ មួយដែលយើងសរសេររូបមន្តឫស។ ប្រសិនបើ (ដូចក្នុងឧទាហរណ៍នេះ) មេគុណ a = 1ពិនិត្យឫសយ៉ាងងាយស្រួល។ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការគុណពួកគេ។ អ្នកគួរតែទទួលបានពាក្យឥតគិតថ្លៃ ពោលគឺឧ។ ក្នុងករណីរបស់យើង -2 ។ យកចិត្តទុកដាក់មិនមែន 2 ប៉ុន្តែ -2! សមាជិកឥតគិតថ្លៃ ជាមួយនឹងសញ្ញារបស់អ្នក។ . ប្រសិនបើវាមិនដំណើរការទេ វាមានន័យថាពួកគេបានរញ៉េរញ៉ៃនៅកន្លែងណាមួយហើយ។ រកមើលកំហុស។

ប្រសិនបើវាដំណើរការអ្នកត្រូវបត់ឫស។ ការពិនិត្យចុងក្រោយនិងចុងក្រោយ។ គួរតែជាសមាមាត្រ ខជាមួយ ទល់មុខ សញ្ញា។ ក្នុងករណីរបស់យើង -1 + 2 = +1 ។ មេគុណមួយ។ ខដែលមុន x ស្មើនឹង -1 ។ ដូច្នេះ, អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺត្រឹមត្រូវ!
វាជាការអាណិតដែលវាសាមញ្ញណាស់សម្រាប់តែឧទាហរណ៍ដែល x ការ៉េគឺសុទ្ធជាមួយនឹងមេគុណ a = 1 ។ប៉ុន្តែយ៉ាងហោចណាស់ពិនិត្យមើលសមីការបែបនេះ! វានឹងមានកំហុសតិចជាងមុន។

ទទួលភ្ញៀវទីបី . ប្រសិនបើសមីការរបស់អ្នកមានមេគុណប្រភាគ ចូរកម្ចាត់ប្រភាគចេញ! គុណសមីការដោយភាគបែងរួម ដូចដែលបានពិពណ៌នានៅក្នុងមេរៀន "របៀបដោះស្រាយសមីការ? ការបំប្លែងអត្តសញ្ញាណ" ។ នៅពេលធ្វើការជាមួយប្រភាគ, កំហុស, សម្រាប់ហេតុផលមួយចំនួន, ឡើង ...

និយាយអីញ្ចឹង ខ្ញុំបានសន្យាជាឧទាហរណ៍ដ៏អាក្រក់មួយជាមួយនឹង bunch នៃ minuses ដើម្បីងាយស្រួល។ មិន​អី​ទេ! នៅទីនោះគាត់។

ដើម្បីកុំឱ្យមានការភ័ន្តច្រឡំក្នុង minuses យើងគុណសមីការដោយ -1 ។ យើង​ទទួល​បាន:

អស់ហើយ! ការសម្រេចចិត្តគឺសប្បាយ!

ដូច្នេះសូមសង្ខេបប្រធានបទ។

គន្លឹះជាក់ស្តែង៖

1. មុននឹងដោះស្រាយ យើងនាំយកសមីការការ៉េទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ បង្កើតវា។ ត្រឹមត្រូវ។.

2. ប្រសិនបើមានមេគុណអវិជ្ជមាននៅពីមុខ x ក្នុងការ៉េ យើងលុបបំបាត់វាដោយគុណសមីការទាំងមូលដោយ -1 ។

3. ប្រសិនបើមេគុណជាប្រភាគ យើងលុបបំបាត់ប្រភាគដោយគុណសមីការទាំងមូលដោយកត្តាដែលត្រូវគ្នា។

4. ប្រសិនបើ x ការ៉េគឺសុទ្ធ មេគុណសម្រាប់វាគឺស្មើនឹងមួយ ដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានពិនិត្យយ៉ាងងាយស្រួលដោយទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។ ធ្វើ​វា!

ឥឡូវនេះអ្នកអាចសម្រេចចិត្ត។ )

ដោះស្រាយសមីការ៖

8x 2 − 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 − 4x + 4 = 0

(x+1) 2+x+1 = (x+1)(x+2)

ចំលើយ (មិនសមហេតុផល)៖

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0.5

x - លេខណាមួយ។

x 1 = −3
x 2 = 3

គ្មានដំណោះស្រាយ

x 1 = 0.25
x 2 \u003d 0.5

តើអ្វីៗទាំងអស់សមទេ? មិនអីទេ! សមីការ quadratic មិនឈឺក្បាលរបស់អ្នកទេ។ បី​នាក់​ដំបូង​ចេញ​មក ប៉ុន្តែ​សល់​អត់? បន្ទាប់មកបញ្ហាគឺមិនមែននៅក្នុងសមីការការ៉េទេ។ បញ្ហាគឺនៅក្នុងការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាបេះបិទនៃសមីការ។ សូមក្រឡេកមើលតំណភ្ជាប់នេះ វាមានប្រយោជន៍។

មិនដំណើរការទេ? ឬវាមិនដំណើរការទាល់តែសោះ? បន្ទាប់មក ផ្នែកទី 555 នឹងជួយអ្នក នៅទីនោះ ឧទាហរណ៍ទាំងអស់នេះត្រូវបានតម្រៀបតាមឆ្អឹង។ ការបង្ហាញ មេកំហុសក្នុងដំណោះស្រាយ។ ជាការពិតណាស់ ការអនុវត្តនៃការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាបេះបិទក្នុងការដោះស្រាយសមីការផ្សេងៗក៏ត្រូវបានពិពណ៌នាផងដែរ។ ជួយបានច្រើន!

ប្រសិនបើអ្នកចូលចិត្តគេហទំព័រនេះ...

និយាយអីញ្ចឹង ខ្ញុំមានគេហទំព័រគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរបីទៀតសម្រាប់អ្នក។ )

អ្នកអាចអនុវត្តការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងស្វែងរកកម្រិតរបស់អ្នក។ ការធ្វើតេស្តជាមួយការផ្ទៀងផ្ទាត់ភ្លាមៗ។ សិក្សាដោយចំណាប់អារម្មណ៍!)

អ្នកអាចស្គាល់មុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុ។

ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ត្រីភាគី \(3x^2+2x-7\) ការរើសអើងនឹងជា \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\) ។ ហើយសម្រាប់ trinomial \(x^2-5x+11\) វានឹងស្មើនឹង \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\)។

ការរើសអើងត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ \(D\) ហើយជារឿយៗត្រូវបានប្រើនៅពេលដោះស្រាយ។ ដូចគ្នានេះផងដែរដោយតម្លៃនៃអ្នករើសអើងអ្នកអាចយល់ពីអ្វីដែលក្រាហ្វមើលទៅដូច (សូមមើលខាងក្រោម) ។

ការរើសអើង និងឫសគល់នៃសមីការការ៉េ

តម្លៃនៃការរើសអើងបង្ហាញពីចំនួនសមីការការ៉េ៖
- ប្រសិនបើ \(D\) វិជ្ជមាន សមីការនឹងមានឫសពីរ។
- ប្រសិនបើ \(D\) ស្មើនឹងសូន្យ - មានតែឫសមួយប៉ុណ្ណោះ។
- ប្រសិនបើ \(D\) អវិជ្ជមាន នោះគ្មានឫសទេ។

នេះមិនចាំបាច់បង្រៀនទេ វាងាយស្រួលក្នុងការសន្និដ្ឋានបែបនេះ ដោយគ្រាន់តែដឹងថា ពីអ្នករើសអើង (នោះគឺ \(\sqrt(D)\) ត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងរូបមន្តសម្រាប់គណនាឫសនៃសមីការការ៉េ។ ៖ \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) និង \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) ))(2a)\) តោះមើលករណីនីមួយៗបន្ថែមទៀត។

ប្រសិនបើអ្នករើសអើងគឺវិជ្ជមាន

ក្នុងករណីនេះ ឫសរបស់វាគឺជាចំនួនវិជ្ជមានមួយចំនួន ដែលមានន័យថា \(x_(1)\) និង \(x_(2)\) នឹងមានតម្លៃខុសគ្នា ពីព្រោះនៅក្នុងរូបមន្តទីមួយ \(\ sqrt(D)) \\) ត្រូវបានបន្ថែម ហើយនៅក្នុងទីពីរ - ត្រូវបានដក។ ហើយយើងមានឫសពីរផ្សេងគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ៖ ស្វែងរកឫសនៃសមីការ \(x^2+2x-3=0\)
ការសម្រេចចិត្ត :

ចម្លើយ : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

បើអ្នករើសអើងគឺសូន្យ

ហើយ​តើ​មាន​ឫសគល់​ប៉ុន្មាន​ដែរ បើ​អ្នក​រើសអើង​គឺ​សូន្យ? ចូរយើងវែកញែក។

រូបមន្តឫសមើលទៅដូចនេះ៖ \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) និង \(x_(2)=\)\(\frac(- b-\sqrt(D))(2a)\) ។ ហើយ​បើ​អ្នក​រើសអើង​គឺ​សូន្យ នោះ​ឫស​របស់​វា​ក៏​សូន្យ​ដែរ។ បន្ទាប់មកវាប្រែថា:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

នោះគឺតម្លៃនៃឫសនៃសមីការនឹងផ្គូផ្គងព្រោះការបូកឬដកសូន្យមិនផ្លាស់ប្តូរអ្វីទាំងអស់។

ឧទាហរណ៍ ៖ ស្វែងរកឫសនៃសមីការ \(x^2-4x+4=0\)
ការសម្រេចចិត្ត :

\\(x^2-4x+4=0\)		យើងសរសេរមេគុណ៖
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		គណនាការរើសអើងដោយប្រើរូបមន្ត \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		ការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		យើងទទួលបានឫសដូចគ្នាពីរ ដូច្នេះវាគ្មានន័យទេក្នុងការសរសេរពួកវាដោយឡែកពីគ្នា - យើងសរសេរពួកវាចុះជាតែមួយ។

ចម្លើយ : \(x=2\)

ចូរយើងពិចារណាបញ្ហា។ មូលដ្ឋាននៃចតុកោណមានប្រវែងវែងជាងកម្ពស់ 10 សង់ទីម៉ែត្រ ហើយផ្ទៃដីរបស់វាគឺ 24 សង់ទីម៉ែត្រការ៉េ។ ស្វែងរកកម្ពស់នៃចតុកោណកែង។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន Xសង់ទីម៉ែត្រគឺជាកម្ពស់នៃចតុកោណកែង បន្ទាប់មកមូលដ្ឋានរបស់វាគឺ ( X+10) សង់ទីម៉ែត្រ ផ្ទៃនៃចតុកោណកែងនេះគឺ X(X+ 10) សង់ទីម៉ែត្រ។ តាមភារកិច្ច X(X+ 10) = 24. ការពង្រីកតង្កៀប និងផ្ទេរលេខ 24 ដែលមានសញ្ញាផ្ទុយទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ យើងទទួលបាន៖ X² + 10 X-24 = 0. នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហានេះ សមីការមួយត្រូវបានទទួល ដែលត្រូវបានគេហៅថាសមីការការ៉េ។

សមីការការ៉េគឺជាសមីការនៃទម្រង់

ពូថៅ ²+ bx+c= 0

កន្លែងណា ក, ខ, គត្រូវបានផ្តល់លេខ និង ក≠ 0 និង X- មិនស្គាល់។

ហាងឆេង ក, ខ, គសមីការ quadratic ជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាដូចនេះ៖ ក- មេគុណទីមួយ ឬខ្ពស់បំផុត ខ- មេគុណទីពីរ គ- សមាជិកឥតគិតថ្លៃ។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងបញ្ហារបស់យើង មេគុណជាន់ខ្ពស់គឺ 1 មេគុណទីពីរគឺ 10 រយៈពេលឥតគិតថ្លៃគឺ -24 ។ ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាច្រើននៃគណិតវិទ្យា និងរូបវិទ្យា ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េ។

ការដោះស្រាយសមីការការ៉េ

បញ្ចប់សមីការការ៉េ។ ជំហានដំបូងគឺត្រូវនាំយកសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ ពូថៅ²+ bx+ c= 0. ចូរយើងត្រលប់ទៅបញ្ហារបស់យើងវិញ ដែលក្នុងនោះសមីការអាចត្រូវបានសរសេរជា X(X+ 10) = 24 ចូរនាំវាទៅទម្រង់ស្តង់ដារ បើកតង្កៀប X² + 10 X- 24 = 0 យើងដោះស្រាយសមីការនេះដោយប្រើរូបមន្តនៃឫសនៃសមីការការ៉េទូទៅ។

កន្សោម​ក្រោម​សញ្ញា​ឫស​ក្នុង​រូបមន្ត​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ការ​រើសអើង D = ខ² - ៤ អេក

ប្រសិនបើ D>0 នោះសមីការការ៉េមានឫសពីរផ្សេងគ្នា ដែលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្តនៃឫសនៃសមីការការ៉េ។

ប្រសិនបើ D=0 នោះសមីការការ៉េមានឫសតែមួយ។

ប្រសិនបើ D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

ជំនួសតម្លៃនៅក្នុងរូបមន្តរបស់យើង។ ក= 1, ខ= 10, គ= -24.

យើងទទួលបាន D>0 ដូច្នេះយើងទទួលបានឫសពីរ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍ដែល D=0 នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនេះ ឫសមួយគួរតែទទួលបាន។

25x² - 30 x+ 9 = 0

ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយដែល D<0, при этом условии решения не должно быть.

2x² + 3 x+ 4 = 0

លេខនៅក្រោមសញ្ញាឫស (អ្នករើសអើង) គឺអវិជ្ជមាន យើងសរសេរចម្លើយដូចខាងក្រោម៖ សមីការមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ។

ការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ

សមីការ​ការ៉េ ពូថៅ² + bx+ គ= 0 ត្រូវបានគេហៅថាមិនពេញលេញ ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មេគុណមួយក្នុងចំណោមមេគុណ ខឬ គស្មើសូន្យ។ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ គឺជាសមីការនៃប្រភេទមួយដូចខាងក្រោម៖

ពូថៅ² = 0,

ពូថៅ² + គ= 0, គ≠ 0,

ពូថៅ² + bx= 0, ខ≠ 0.

ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយចំនួន ដោះស្រាយសមីការ

ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ 5 យើងទទួលបានសមីការ X² = 0 ចម្លើយនឹងមានឫសមួយ។ X= 0.

ពិចារណាសមីការនៃទម្រង់

3X² − 27 = 0

បែងចែកភាគីទាំងពីរដោយ 3 យើងទទួលបានសមីការ X² - 9 = 0 ឬអាចសរសេរបាន។ X² = 9 ចម្លើយនឹងមានឫសពីរ X= 3 និង X= -3.

ពិចារណាសមីការនៃទម្រង់

2X² + 7 = 0

បែងចែកភាគីទាំងពីរដោយ 2 យើងទទួលបានសមីការ X² = −7/2 ។ សមីការនេះមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ ពីព្រោះ X² ≥ 0 សម្រាប់ចំនួនពិតណាមួយ។ X.

ពិចារណាសមីការនៃទម្រង់

3X² + 5 X= 0

កត្តាផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ យើងទទួលបាន X(3X+ 5) = 0 ចម្លើយនឹងមានឫសពីរ X= 0, X=-5/3.

អ្វីដែលសំខាន់បំផុតនៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េគឺត្រូវនាំយកសមីការការ៉េទៅជាទម្រង់ស្ដង់ដារ ទន្ទេញរូបមន្តសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េទូទៅ ហើយមិនត្រូវច្រឡំក្នុងសញ្ញានោះទេ។

នៅក្នុងការបន្តនៃប្រធានបទ "សមីការដោះស្រាយ" សម្ភារៈនៅក្នុងអត្ថបទនេះនឹងណែនាំអ្នកអំពីសមីការបួនជ្រុង។

ចូរយើងពិចារណាគ្រប់យ៉ាងដោយលម្អិត៖ ខ្លឹមសារ និងសញ្ញាណនៃសមីការបួនជ្រុង កំណត់ពាក្យដែលភ្ជាប់មកជាមួយ វិភាគគ្រោងការណ៍សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការមិនពេញលេញ និងពេញលេញ ស្គាល់រូបមន្តនៃឫស និងការរើសអើង បង្កើតទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណ និងនៃ វគ្គសិក្សាយើងនឹងផ្តល់នូវដំណោះស្រាយដែលមើលឃើញនៃឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង។

Yandex.RTB R-A-339285-1

សមីការបួនជ្រុង, ប្រភេទរបស់វា។

និយមន័យ ១

សមីការ​ការ៉េគឺជាសមីការដែលសរសេរជា a x 2 + b x + c = 0កន្លែងណា x- អថេរ a, b និង គគឺជាលេខមួយចំនួនខណៈពេលដែល កមិនមែនសូន្យទេ។

ជាញឹកញាប់ សមីការការ៉េត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃដឺក្រេទីពីរផងដែរ ចាប់តាំងពីតាមការពិត សមីការការ៉េគឺជាសមីការពិជគណិតនៃដឺក្រេទីពីរ។

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយដើម្បីបង្ហាញពីនិយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖ 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 ។ល។ គឺជាសមីការការ៉េ។

និយមន័យ ២

លេខ a, b និង គគឺជាមេគុណនៃសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0ខណៈពេលដែលមេគុណ កត្រូវបានគេហៅថាមេគុណទីមួយ ឬជាន់ខ្ពស់ ឬមេគុណនៅ x 2 ខ - មេគុណទីពីរ ឬមេគុណនៅ x, ក គហៅថាសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។

ឧទាហរណ៍នៅក្នុងសមីការ quadratic 6 x 2 − 2 x − 11 = 0មេគុណខ្ពស់បំផុតគឺ 6 មេគុណទីពីរគឺ − 2 ហើយពាក្យសេរីគឺស្មើនឹង − 11 . ចូរយើងយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតដែលថានៅពេលដែលមេគុណ ខនិង/ឬ c គឺអវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកទម្រង់ខ្លីៗត្រូវបានប្រើ 6 x 2 − 2 x − 11 = 0ប៉ុន្តែមិនមែនទេ។ 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

ចូរយើងបញ្ជាក់អំពីទិដ្ឋភាពនេះផងដែរ៖ ប្រសិនបើមេគុណ កនិង/ឬ ខស្មើ 1 ឬ − 1 បន្ទាប់មក ពួកគេអាចនឹងមិនចូលរួមយ៉ាងច្បាស់លាស់ក្នុងការសរសេរសមីការការ៉េ ដែលត្រូវបានពន្យល់ដោយលក្ខណៈពិសេសនៃការសរសេរមេគុណលេខដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងសមីការ quadratic y 2 − y + 7 = 0មេគុណជាន់ខ្ពស់គឺ 1 ហើយមេគុណទីពីរគឺ − 1 .

សមីការ​ការ៉េ​ដែល​កាត់​បន្ថយ និង​មិន​កាត់​បន្ថយ

យោងតាមតម្លៃនៃមេគុណទីមួយ សមីការ quadratic ត្រូវបានបែងចែកទៅជាកាត់បន្ថយ និងមិនកាត់បន្ថយ។

និយមន័យ ៣

កាត់បន្ថយសមីការការ៉េគឺជាសមីការការ៉េដែលមេគុណនាំមុខគឺ 1 ។ សម្រាប់តម្លៃផ្សេងទៀតនៃមេគុណឈានមុខគេ សមីការ quadratic មិនត្រូវបានកាត់បន្ថយទេ។

នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួន៖ សមីការការ៉េ x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 ត្រូវបានកាត់បន្ថយ ដែលមេគុណនាំមុខគឺ 1 ។

9 x 2 − x − 2 = 0- សមីការ​ការ៉េ​មិន​បាន​កាត់​បន្ថយ ដែល​មេគុណ​ទីមួយ​ខុស​ពី 1 .

សមីការការ៉េដែលមិនបានកាត់បន្ថយណាមួយអាចត្រូវបានបំប្លែងទៅជាសមីការកាត់បន្ថយដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីររបស់វាដោយមេគុណទីមួយ (បំប្លែងសមមូល)។ សមីការដែលបានបំលែងនឹងមានឫសដូចគ្នាទៅនឹងសមីការដែលមិនកាត់បន្ថយដែលបានផ្តល់ឱ្យ ឬក៏នឹងមិនមានឫសអ្វីទាំងអស់។

ការពិចារណាលើឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ពីការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការការ៉េដែលមិនកាត់បន្ថយទៅជាសមីការដែលកាត់បន្ថយ។

ឧទាហរណ៍ ១

ផ្តល់សមីការ 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . វាចាំបាច់ក្នុងការបំប្លែងសមីការដើមទៅជាទម្រង់កាត់បន្ថយ។

ការសម្រេចចិត្ត

យោងតាមគ្រោងការណ៍ខាងលើ យើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដើមដោយមេគុណនាំមុខ 6 ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖ (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3ហើយនេះគឺដូចគ្នាទៅនឹង៖ (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0និងបន្ថែមទៀត៖ (6:6) x 2 + (18:6) x − 7:6 = 0 ។ពី​ទីនេះ: x 2 + 3 x − 1 1 6 = 0 ។ ដូច្នេះ សមីការ​ដែល​ស្មើ​នឹង​មួយ​ដែល​បាន​ផ្ដល់​គឺ​ត្រូវ​បាន​ទទួល។

ចម្លើយ៖ x 2 + 3 x − 1 1 6 = 0 ។

សមីការ​ក្រឡា​ចត្រង្គ​ពេញលេញ និង​មិន​ពេញលេញ

ចូរយើងងាកទៅរកនិយមន័យនៃសមីការការ៉េ។ នៅក្នុងនោះ យើងបញ្ជាក់ a ≠ 0. លក្ខខណ្ឌស្រដៀងគ្នាគឺចាំបាច់សម្រាប់សមីការ a x 2 + b x + c = 0គឺពិតជាការ៉េចាប់តាំងពី a = 0វាបំប្លែងជាសមីការលីនេអ៊ែរ b x + c = 0.

ក្នុងករណីដែលមេគុណ ខនិង គគឺស្មើនឹងសូន្យ (ដែលអាចធ្វើទៅបានទាំងបុគ្គល និងរួមគ្នា) សមីការការ៉េត្រូវបានគេហៅថាមិនពេញលេញ។

និយមន័យ ៤

សមីការការ៉េមិនពេញលេញគឺជាសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c \u003d 0,ដែលយ៉ាងហោចណាស់មេគុណមួយ។ ខនិង គ(ឬទាំងពីរ) គឺសូន្យ។

បញ្ចប់សមីការការ៉េគឺជាសមីការការ៉េដែលមេគុណលេខទាំងអស់មិនស្មើនឹងសូន្យ។

ចូរពិភាក្សាអំពីមូលហេតុដែលប្រភេទនៃសមីការការ៉េត្រូវបានផ្តល់ឈ្មោះយ៉ាងជាក់លាក់។

សម្រាប់ b = 0 សមីការ​ការ៉េ​យក​ទម្រង់ a x 2 + 0 x + c = 0ដែលដូចគ្នានឹង a x 2 + c = 0. នៅ c = 0សមីការ​ការ៉េ​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ជា a x 2 + b x + 0 = 0ដែលស្មើនឹង a x 2 + b x = 0. នៅ b = 0និង c = 0សមីការនឹងយកទម្រង់ a x 2 = 0. សមីការ​ដែល​យើង​បាន​ទទួល​ខុស​ពី​សមីការ​រាង​បួន​ជ្រុង​ពេញ​ដែល​នៅ​ខាង​ឆ្វេង​របស់​វា​មិន​មាន​ទាំង​ពាក្យ​ដែល​មាន​អថេរ x ឬ​ពាក្យ​ទំនេរ ឬ​ទាំង​ពីរ​ក្នុង​ពេល​តែ​មួយ។ តាមពិតការពិតនេះបានផ្តល់ឈ្មោះដល់ប្រភេទនៃសមីការនេះ - មិនពេញលេញ។

ឧទាហរណ៍ x 2 + 3 x + 4 = 0 និង − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 គឺជាសមីការការ៉េពេញលេញ។ x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 គឺជាសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។

ការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ

និយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើធ្វើឱ្យវាអាចបែងចែកប្រភេទនៃសមីការការ៉េមិនពេញលេញដូចខាងក្រោម:

• a x 2 = 0, មេគុណត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការបែបនេះ b = 0និង c = 0 ;
• a x 2 + c \u003d 0 សម្រាប់ b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 សម្រាប់ c = 0 ។

ពិចារណាជាបន្តបន្ទាប់នូវដំណោះស្រាយនៃប្រភេទនីមួយៗនៃសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការ a x 2 \u003d 0

ដូចដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ សមីការបែបនេះត្រូវគ្នានឹងមេគុណ ខនិង គស្មើសូន្យ។ សមីការ a x 2 = 0អាចបំប្លែងទៅជាសមីការសមមូល x2 = 0ដែលយើងទទួលបានដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដើមដោយចំនួន ក, មិនស្មើនឹងសូន្យ។ ការពិតជាក់ស្តែងគឺថាឫសគល់នៃសមីការ x2 = 0គឺសូន្យដោយសារតែ 0 2 = 0 . សមីការនេះមិនមានឫសគល់ផ្សេងទៀតទេ ដែលត្រូវបានពន្យល់ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេ៖ សម្រាប់លេខណាមួយ។ ទំ ,មិនស្មើសូន្យ វិសមភាពគឺពិត p2 > 0ដែលវាធ្វើតាមថានៅពេលណា p ≠ 0សមភាព p2 = 0នឹងមិនដែលទៅដល់ឡើយ។

និយមន័យ ៥

ដូច្នេះសម្រាប់សមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 = 0 មានឫសតែមួយ x=0.

ឧទាហរណ៍ ២

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញ − 3 x 2 = 0. វាស្មើនឹងសមីការ x2 = 0ឫសតែមួយគត់របស់វាគឺ x=0បន្ទាប់មកសមីការដើមមានឫសតែមួយ - សូន្យ។

ដំណោះស្រាយត្រូវបានសង្ខេបដូចខាងក្រោមៈ

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0 ។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការ a x 2 + c \u003d 0

បន្ទាប់នៅក្នុងបន្ទាត់គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េមិនពេញលេញ ដែល b \u003d 0, c ≠ 0 នោះគឺជាសមីការនៃទម្រង់ a x 2 + c = 0. ចូរបំប្លែងសមីការនេះដោយផ្ទេរពាក្យពីផ្នែកម្ខាងនៃសមីការទៅម្ខាងទៀត ប្តូរសញ្ញាទៅផ្ទុយ ហើយបែងចែកសមីការទាំងសងខាងដោយលេខដែលមិនស្មើនឹងសូន្យ៖

• ស៊ូទ្រាំ គទៅផ្នែកខាងស្តាំ ដែលផ្តល់សមីការ a x 2 = − គ;
• ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ កយើងទទួលបានលទ្ធផល x = - c a ។

ការបំប្លែងរបស់យើងគឺសមមូលរៀងៗខ្លួន សមីការលទ្ធផលក៏សមមូលទៅនឹងសមីការដើមដែរ ហើយការពិតនេះធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពីឫសគល់នៃសមីការ។ ពីអ្វីដែលជាតម្លៃ កនិង គអាស្រ័យលើតម្លៃនៃកន្សោម - c a: វាអាចមានសញ្ញាដក (ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ a = 1និង គ = ២បន្ទាប់មក - c a = - 2 1 = − 2) ឬសញ្ញាបូក (ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើ a = -2និង c=6, បន្ទាប់មក - c a = - 6 − 2 = 3); វាមិនស្មើនឹងសូន្យទេពីព្រោះ គ ≠ ០. អនុញ្ញាតឱ្យយើងរស់នៅក្នុងលម្អិតបន្ថែមទៀតអំពីស្ថានភាពនៅពេលដែល - គ< 0 и - c a > 0 .

ក្នុងករណីនៅពេលដែល - គ< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа ទំសមភាព p 2 = - c a មិនអាចជាការពិតទេ។

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺខុសគ្នានៅពេលដែល - c a > 0: ចងចាំឫសការ៉េហើយវានឹងច្បាស់ថាឫសនៃសមីការ x 2 \u003d - c a នឹងជាលេខ - c a ចាប់តាំងពី - c a 2 \u003d - c a ។ ងាយយល់ថា លេខ - - c a - ក៏ជាឫសគល់នៃសមីការ x 2 = − c a: ពិតហើយ - - c a 2 = - c a ។

សមីការនឹងមិនមានឫសផ្សេងទៀតទេ។ យើងអាចបង្ហាញវាដោយប្រើវិធីផ្ទុយ។ ជាដំបូង ចូរកំណត់សញ្ញាណនៃឫសដែលរកឃើញខាងលើជា x ១និង − x ១. ចូរសន្មតថាសមីការ x 2 = − c a ក៏មានឫសដែរ។ x2ដែលខុសពីឫស x ១និង − x ១. យើងដឹងថាដោយការជំនួសសមីការជំនួសឱ្យ xឫសរបស់វា យើងបំប្លែងសមីការទៅជាសមភាពលេខដ៏យុត្តិធម៌។

សម្រាប់ x ១និង − x ១សរសេរ៖ x 1 2 = - c a និងសម្រាប់ x2- x 2 2 \u003d - គ។ ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសមភាពជាលេខ យើងដកសមភាពពិតមួយចេញពីពាក្យមួយទៀតដោយពាក្យ ដែលនឹងផ្តល់ឱ្យយើងនូវ៖ x 1 2 − x 2 2 = 0. ប្រើលក្ខណសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការលេខ ដើម្បីសរសេរឡើងវិញនូវសមភាពចុងក្រោយជា (x 1 − x 2) (x 1 + x 2) = 0. វាត្រូវបានគេដឹងថាផលគុណនៃលេខពីរគឺសូន្យប្រសិនបើ ហើយលុះត្រាតែយ៉ាងហោចណាស់លេខមួយគឺសូន្យ។ ពីអ្វីដែលបាននិយាយវាធ្វើតាមនោះ។ x1 − x2 = 0និង/ឬ x1 + x2 = 0ដែលដូចគ្នា។ x2 = x1និង/ឬ x 2 = − x 1. ភាពផ្ទុយគ្នាជាក់ស្តែងមួយបានកើតឡើង ពីព្រោះដំបូងគេបានយល់ស្របថាឫសគល់នៃសមីការ x2ខុសគ្នាពី x ១និង − x ១. ដូច្នេះ យើង​បាន​បង្ហាញ​ថា​សមីការ​គ្មាន​ឫស​អ្វី​ផ្សេង​ទៀត​ក្រៅ​ពី x = - c a និង x = - - c a ។

យើងសង្ខេបអំណះអំណាងទាំងអស់ខាងលើ។

និយមន័យ ៦

សមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 + c = 0គឺស្មើនឹងសមីការ x 2 = - c a ដែល៖

• នឹងមិនមានឫសនៅ - គ< 0 ;
• នឹងមានឫសពីរ x = - c a និង x = - - c a ពេល - c a > 0 ។

ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការ a x 2 + c = 0.

ឧទាហរណ៍ ៣

ផ្តល់សមីការការ៉េ 9 x 2 + 7 = 0 ។វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយរបស់វា។

ការសម្រេចចិត្ត

យើងផ្ទេរពាក្យឥតគិតថ្លៃទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ បន្ទាប់មកសមីការនឹងយកទម្រង់ 9 x 2 \u003d - 7 ។
យើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការលទ្ធផលដោយ 9 យើងមក x 2 = − 7 9 ។ នៅជ្រុងខាងស្តាំយើងឃើញលេខដែលមានសញ្ញាដក ដែលមានន័យថា៖ សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យមិនមានឫសគល់ទេ។ បន្ទាប់មកសមីការការ៉េមិនពេញលេញដើម 9 x 2 + 7 = 0នឹងមិនមានឫសទេ។

ចម្លើយ៖សមីការ 9 x 2 + 7 = 0មិនមានឫសទេ។

ឧទាហរណ៍ 4

វាចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការ − x2 + 36 = 0.

ការសម្រេចចិត្ត

តោះផ្លាស់ទី 36 ទៅខាងស្តាំ៖ − x 2 = − 36.
ចូរបែងចែកផ្នែកទាំងពីរទៅជា − 1 , យើង​ទទួល​បាន x2 = 36. នៅផ្នែកខាងស្តាំគឺជាលេខវិជ្ជមាន ដែលយើងអាចសន្និដ្ឋានបាន។ x = 36 ឬ x = − ៣៦ .
យើងស្រង់ឫស និងសរសេរលទ្ធផលចុងក្រោយ៖ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ − x2 + 36 = 0មានឫសពីរ x=6ឬ x = −6.

ចម្លើយ៖ x=6ឬ x = −6.

ដំណោះស្រាយនៃសមីការ a x 2 + b x = 0

ចូរយើងវិភាគប្រភេទទី 3 នៃសមីការ quadratic មិនពេញលេញ ពេលណា c = 0. ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 + b x = 0យើងប្រើវិធីបំបែកកត្តា។ ចូរយើងធ្វើកត្តាពហុនាម ដែលស្ថិតនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ដោយយកកត្តារួមចេញពីតង្កៀប x. ជំហាននេះនឹងធ្វើឱ្យវាអាចបំប្លែងសមីការការ៉េមិនពេញលេញដើមទៅជាសមមូលរបស់វា x (a x + b) = 0. ហើយសមីការនេះ, នៅក្នុងវេន, គឺស្មើនឹងសំណុំនៃសមីការ x=0និង a x + b = 0. សមីការ a x + b = 0លីនេអ៊ែរ និងឫសរបស់វា៖ x = − b ក.

និយមន័យ ៧

ដូច្នេះសមីការការ៉េមិនពេញលេញ a x 2 + b x = 0នឹងមានឫសពីរ x=0និង x = − b ក.

ចូរយើងបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈជាមួយឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍ ៥

ចាំបាច់ត្រូវរកដំណោះស្រាយនៃសមីការ 2 3 · x 2 − 2 2 7 · x = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរយើងយកចេញ xនៅខាងក្រៅតង្កៀប ហើយទទួលបានសមីការ x · 2 3 · x − 2 2 7 = 0 ។ សមីការនេះគឺស្មើនឹងសមីការ x=0និង 2 3 x − 2 2 7 = 0 ។ ឥឡូវអ្នកគួរដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរលទ្ធផល៖ 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 ។

ដោយសង្ខេប យើងសរសេរដំណោះស្រាយនៃសមីការដូចខាងក្រោម៖

2 3 x 2 − 2 2 7 x = 0 x 2 3 x − 2 2 7 = 0

x = 0 ឬ 2 3 x − 2 2 7 = 0

x = 0 ឬ x = 3 3 ៧

ចម្លើយ៖ x = 0 , x = 3 3 7 ។

ការរើសអើង, រូបមន្តនៃឫសនៃសមីការការ៉េ

ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ quadratic មានរូបមន្តឫស៖

និយមន័យ ៨

x = - b ± D 2 a, កន្លែងណា D = b 2 − 4 a គគឺ​ជា​អ្វី​ដែល​គេ​ហៅ​ថា​រើស​អើង​នៃ​សមីការ​ការ៉េ។

ការសរសេរ x \u003d - b ± D 2 a សំខាន់មានន័យថា x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 ក។

វានឹងមានប្រយោជន៍ក្នុងការស្វែងយល់ពីរបៀបដែលរូបមន្តដែលបានចង្អុលបង្ហាញត្រូវបានយកមក និងរបៀបអនុវត្តវា។

ដេរីវេនៃរូបមន្តឫសនៃសមីការការ៉េ

ឧបមាថាយើងប្រឈមមុខនឹងភារកិច្ចនៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0. ចូរអនុវត្តការបំប្លែងសមមូលមួយចំនួន៖

• ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយចំនួន កខុសពីសូន្យ យើងទទួលបានសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយ៖ x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• ជ្រើសរើសការ៉េពេញនៅជ្រុងខាងឆ្វេងនៃសមីការលទ្ធផល៖
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 − b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 − b 2 a 2 + c a
  បន្ទាប់ពីនេះ សមីការនឹងយកទម្រង់៖ x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• ឥឡូវនេះវាអាចផ្ទេរពាក្យពីរចុងក្រោយទៅផ្នែកខាងស្តាំ ដោយប្តូរសញ្ញាទៅផ្ទុយ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• ទីបំផុត យើងបំប្លែងកន្សោមដែលសរសេរនៅខាងស្តាំនៃសមភាពចុងក្រោយ៖
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 ។

ដូចនេះ យើងបានមកដល់សមីការ x + b 2 a 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 ដែលស្មើនឹងសមីការដើម a x 2 + b x + c = 0.

យើងបានពិភាក្សាអំពីដំណោះស្រាយនៃសមីការបែបនេះនៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន (ដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េមិនពេញលេញ)។ បទពិសោធន៍ដែលទទួលបានរួចហើយ ធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពីឫសគល់នៃសមីការ x + b 2 a 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2:

• សម្រាប់ b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• សម្រាប់ b 2 − 4 · a · c 4 · a 2 = 0 សមីការមានទម្រង់ x + b 2 · a 2 = 0 បន្ទាប់មក x + b 2 · a = 0 ។

ពីទីនេះ ឫសតែមួយគត់ x = - b 2 · a គឺជាក់ស្តែង;

• សម្រាប់ b 2 − 4 a c 4 a 2 > 0 ត្រឹមត្រូវគឺ៖ x + b 2 a = b 2 − 4 a c 4 a 2 ឬ x = b 2 a − b 2 – 4 a c 4 a 2 ដែលជា ដូចគ្នានឹង x + − b 2 a = b 2 − 4 a c 4 a 2 ឬ x = − b 2 a − b 2 − 4 a c 4 a 2 , i.e. សមីការមានឫសពីរ។

គេអាចសន្និដ្ឋានបានថា វត្តមាន ឬអវត្តមាននៃឫសនៃសមីការ x + b 2 a 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 (ហេតុដូច្នេះហើយសមីការដើម) អាស្រ័យលើសញ្ញានៃកន្សោម b 2 - 4 a c 4 · a 2 សរសេរនៅខាងស្តាំ។ ហើយសញ្ញានៃកន្សោមនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសញ្ញានៃភាគយក, (ភាគបែង ៤ ក ២នឹងតែងតែវិជ្ជមាន) នោះគឺជាសញ្ញានៃការបញ្ចេញមតិ b 2 − 4 ក. ការបញ្ចេញមតិនេះ។ b 2 − 4 កឈ្មោះមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ - ការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ និងអក្សរ D ត្រូវបានកំណត់ថាជាការកំណត់របស់វា។ នៅទីនេះអ្នកអាចសរសេរខ្លឹមសារនៃអ្នករើសអើង - ដោយតម្លៃ និងសញ្ញារបស់វា ពួកគេសន្និដ្ឋានថាតើសមីការបួនជ្រុងនឹងមានឫសពិតប្រាកដ ហើយប្រសិនបើដូច្នេះ តើមានឫសប៉ុន្មាន - មួយឬពីរ។

ចូរយើងត្រលប់ទៅសមីការ x + b 2 a 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 ។ ចូរយើងសរសេរវាឡើងវិញដោយប្រើសញ្ញាសម្គាល់ៈ x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 ។

ចូរយើងសង្ខេបការសន្និដ្ឋាន៖

និយមន័យ ៩

• នៅ ឃ< 0 សមីការមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដ។
• នៅ ឃ=0សមីការមានឫសតែមួយ x = − b 2 · a ;
• នៅ ឃ > 0សមីការមានឫសពីរ៖ x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 ឬ x \u003d - b 2 a - D 4 a 2 ។ ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃរ៉ាឌីកាល់ ឫសទាំងនេះអាចត្រូវបានសរសេរជា៖ x \u003d - b 2 a + D 2 a ឬ - b 2 a - D 2 a ។ ហើយនៅពេលដែលយើងបើកម៉ូឌុល និងកាត់បន្ថយប្រភាគទៅជាភាគបែងធម្មតា យើងទទួលបាន៖ x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a ។

ដូច្នេះ លទ្ធផល​នៃ​ការ​វែកញែក​របស់​យើង​គឺ​ជា​ប្រភព​នៃ​រូបមន្ត​សម្រាប់​ឫសគល់​នៃ​សមីការ​ការ៉េ៖

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , រើសអើង ឃគណនាដោយរូបមន្ត D = b 2 − 4 a គ.

រូបមន្តទាំងនេះធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបាន នៅពេលដែលការរើសអើងគឺធំជាងសូន្យ ដើម្បីកំណត់ឫសពិតទាំងពីរ។ នៅពេលដែលការរើសអើងគឺសូន្យ ការអនុវត្តរូបមន្តទាំងពីរនឹងផ្តល់ឫសដូចគ្នាជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះសមីការការ៉េ។ ក្នុងករណីដែលអ្នករើសអើងគឺអវិជ្ជមាន ដោយព្យាយាមប្រើរូបមន្តឫសការ៉េ យើងនឹងប្រឈមមុខនឹងតម្រូវការក្នុងការស្រង់ឫសការ៉េនៃចំនួនអវិជ្ជមាន ដែលនឹងនាំយើងលើសពីចំនួនពិត។ ជាមួយនឹងការរើសអើងអវិជ្ជមាន សមីការបួនជ្រុងនឹងមិនមានឫសពិតទេ ប៉ុន្តែឫសផ្សំស្មុគស្មាញមួយគូគឺអាចធ្វើទៅបាន ដែលកំណត់ដោយរូបមន្តឫសដូចគ្នាដែលយើងទទួលបាន។

ក្បួនដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដោយប្រើរូបមន្តឫស

វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីដោះស្រាយសមីការ quadratic មួយភ្លាមៗដោយប្រើរូបមន្តឫស ប៉ុន្តែជាមូលដ្ឋាន វាត្រូវបានធ្វើនៅពេលដែលវាចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកឫសស្មុគស្មាញ។

ក្នុងករណីភាគច្រើន ការស្វែងរកជាធម្មតាមិនមានន័យសម្រាប់ភាពស្មុគស្មាញនោះទេ ប៉ុន្តែសម្រាប់ឫសគល់ពិតប្រាកដនៃសមីការការ៉េ។ បន្ទាប់មកវាជាការប្រសើរបំផុត មុននឹងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ ជាដំបូងដើម្បីកំណត់អ្នករើសអើង ហើយត្រូវប្រាកដថាវាមិនអវិជ្ជមាន (បើមិនដូច្នេះទេ យើងនឹងសន្និដ្ឋានថាសមីការមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដ) ហើយបន្ទាប់មកបន្តគណនា តម្លៃនៃឫស។

ហេតុផលខាងលើធ្វើឱ្យវាអាចបង្កើតក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ។

និយមន័យ ១០

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េ a x 2 + b x + c = 0ចាំបាច់៖

• យោងតាមរូបមន្ត D = b 2 − 4 a គស្វែងរកតម្លៃនៃអ្នករើសអើង;
• នៅ D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• សម្រាប់ D = 0 រកឫសតែមួយគត់នៃសមីការដោយរូបមន្ត x = − b 2 · a ;
• សម្រាប់ D > 0 កំណត់ឫសពិតពីរនៃសមីការការ៉េដោយរូបមន្ត x = - b ± D 2 · a ។

ចំណាំថានៅពេលដែលការរើសអើងគឺសូន្យ អ្នកអាចប្រើរូបមន្ត x = - b ± D 2 · a វានឹងផ្តល់លទ្ធផលដូចគ្នានឹងរូបមន្ត x = - b 2 · a ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េ

យើងបង្ហាញដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍សម្រាប់តម្លៃផ្សេងៗនៃអ្នករើសអើង។

ឧទាហរណ៍ ៦

វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ x 2 + 2 x − 6 = 0.

ការសម្រេចចិត្ត

យើងសរសេរមេគុណលេខនៃសមីការការ៉េ៖ a \u003d 1, b \u003d 2 និង គ = − ៦. បន្ទាប់យើងធ្វើសកម្មភាពយោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយ i.e. ចូរចាប់ផ្តើមគណនាការរើសអើង ដែលយើងជំនួសមេគុណ a , b និង គទៅក្នុងរូបមន្តនៃការរើសអើង៖ D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 ។

ដូច្នេះ យើងទទួលបាន D> 0 ដែលមានន័យថាសមីការដើមនឹងមានឫសពិតពីរ។
ដើម្បីស្វែងរកពួកវា យើងប្រើរូបមន្តឫស x \u003d - b ± D 2 · a ហើយជំនួសតម្លៃសមស្រប យើងទទួលបាន៖ x \u003d - 2 ± 28 2 · 1 ។ យើងសម្រួលការបញ្ចេញមតិលទ្ធផលដោយយកកត្តាចេញពីសញ្ញានៃឫស បន្ទាប់មកកាត់បន្ថយប្រភាគ៖

x = − 2 ± 2 7 ២

x = − 2 + 2 7 2 ឬ x = − 2 − 2 7 2

x = − 1 + 7 ឬ x = − 1 − 7

ចម្លើយ៖ x = − 1 + 7 , x = − 1 − 7 ។

ឧទាហរណ៍ ៧

វាចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការការ៉េ − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរកំណត់អ្នករើសអើង៖ ឃ = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. ជាមួយនឹងតម្លៃនៃការរើសអើងនេះ សមីការដើមនឹងមានឫសតែមួយ កំណត់ដោយរូបមន្ត x = − b 2 · a ។

x = − 28 2 (− 4) x = 3, 5

ចម្លើយ៖ x = 3, 5.

ឧទាហរណ៍ ៨

វាចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការ 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

ការសម្រេចចិត្ត

មេគុណលេខនៃសមីការនេះនឹងមានៈ a = 5 , b = 6 និង c = 2 ។ យើងប្រើតម្លៃទាំងនេះដើម្បីស្វែងរកការរើសអើង៖ D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 ។ ការរើសអើងដែលបានគណនាគឺអវិជ្ជមាន ដូច្នេះសមីការការ៉េដើមមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ។

ក្នុង​ករណី​ដែល​ភារកិច្ច​គឺ​ដើម្បី​ចង្អុល​បង្ហាញ​ឫស​ស្មុគ្រស្មាញ យើង​អនុវត្ត​រូបមន្ត​ឫស ដោយ​ធ្វើ​ប្រតិបត្តិការ​ជាមួយ​លេខ​កុំផ្លិច៖

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 ឬ x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = − 3 5 + 1 5 i ឬ x = − 3 5 − 1 5 i .

ចម្លើយ៖មិនមានឫសពិតប្រាកដ; ឫសស្មុគ្រស្មាញគឺ៖ - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i ។

នៅក្នុងកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា ជាស្ដង់ដារមិនតម្រូវឱ្យរកមើលឫសស្មុគ្រស្មាញទេ ដូច្នេះហើយ ប្រសិនបើការរើសអើងត្រូវបានកំណត់ថាជាអវិជ្ជមានកំឡុងពេលធ្វើការសម្រេចចិត្ត ចម្លើយត្រូវបានកត់ត្រាភ្លាមៗថាមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដនោះទេ។

រូបមន្តឫសសម្រាប់មេគុណទីពីរ

រូបមន្តឫស x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) ធ្វើឱ្យវាអាចទទួលបានរូបមន្តមួយផ្សេងទៀត បង្រួមជាងមុន ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការការ៉េជាមួយនឹងមេគុណ x (ឬជាមួយមេគុណ នៃទម្រង់ 2 a n ឧទាហរណ៍ 2 3 ឬ 14 ln 5 = 2 7 ln 5) ។ ចូរយើងបង្ហាញពីរបៀបដែលរូបមន្តនេះចេញមក។

ឧបមាថាយើងប្រឈមមុខនឹងភារកិច្ចក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េ a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 ។ យើងធ្វើសកម្មភាពយោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយ៖ យើងកំណត់ការរើសអើង D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) ហើយបន្ទាប់មកប្រើរូបមន្តឫស៖

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · គ។

អនុញ្ញាតឱ្យកន្សោម n 2 − a c ត្រូវបានតំណាងថាជា D 1 (ជួនកាលវាតំណាងឱ្យ D ") បន្ទាប់មករូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េដែលបានពិចារណាជាមួយមេគុណទីពីរ 2 n នឹងយកទម្រង់៖

x \u003d - n ± D 1 a, ដែល D 1 \u003d n 2 - a គ។

វាងាយស្រួលមើលថា D = 4 · D 1 ឬ D 1 = D 4 ។ និយាយម្យ៉ាងទៀត D 1 គឺមួយភាគបួននៃអ្នករើសអើង។ ជាក់ស្តែង សញ្ញា D 1 គឺដូចគ្នានឹងសញ្ញា D ដែលមានន័យថា សញ្ញា D 1 ក៏អាចដើរតួជាសូចនាករនៃវត្តមាន ឬអវត្តមាននៃឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។

និយមន័យ ១១

ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការការ៉េដែលមានមេគុណទីពីរនៃ 2 n វាគឺចាំបាច់៖

• រក D 1 = n 2 − a c ;
• នៅ D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• សម្រាប់ D 1 = 0 កំណត់ឫសតែមួយគត់នៃសមីការដោយរូបមន្ត x = - n a ;
• សម្រាប់ D 1 > 0 កំណត់ឫសពិតពីរដោយប្រើរូបមន្ត x = - n ± D 1 a ។

ឧទាហរណ៍ ៩

វាចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការការ៉េ 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត

មេគុណទីពីរនៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យអាចត្រូវបានតំណាងជា 2 · (− 3) ។ បន្ទាប់មកយើងសរសេរសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យឡើងវិញជា 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 ដែល a = 5 , n = − 3 និង c = − 32 ។

ចូរគណនាផ្នែកទីបួននៃអ្នករើសអើង៖ D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 ។ តម្លៃលទ្ធផលគឺវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថាសមីការមានឫសពិតពីរ។ យើងកំណត់ពួកវាដោយរូបមន្តដែលត្រូវគ្នានៃឫស៖

x = - n ± D 1 a , x = - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 ឬ x = 3 − 13 5

x = 3 1 5 ឬ x = − 2

វាអាចអនុវត្តការគណនាដោយប្រើរូបមន្តធម្មតាសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះដំណោះស្រាយនឹងកាន់តែស្មុគស្មាញ។

ចម្លើយ៖ x = 3 1 5 ឬ x = − 2 ។

ភាពសាមញ្ញនៃទម្រង់សមីការការ៉េ

ជួនកាលវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបង្កើនប្រសិទ្ធភាពទម្រង់នៃសមីការដើមដែលនឹងធ្វើឱ្យដំណើរការនៃការគណនាឫសកាន់តែងាយស្រួល។

ឧទាហរណ៍ សមីការការ៉េ 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 គឺច្បាស់ជាងាយស្រួលសម្រាប់ដោះស្រាយជាង 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0 ។

កាន់តែញឹកញាប់ ភាពសាមញ្ញនៃទម្រង់សមីការការ៉េត្រូវបានអនុវត្តដោយការគុណ ឬចែកផ្នែកទាំងពីររបស់វាដោយចំនួនជាក់លាក់មួយ។ ឧទាហរណ៍ខាងលើ យើងបានបង្ហាញពីការតំណាងសាមញ្ញនៃសមីការ 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 ដែលទទួលបានដោយបែងចែកផ្នែកទាំងពីររបស់វាដោយ 100 ។

ការបំប្លែងបែបនេះគឺអាចធ្វើទៅបាននៅពេលដែលមេគុណនៃសមីការការ៉េមិនមែនជាចំនួនបឋមដែលទាក់ទង។ បន្ទាប់មក ជាធម្មតា ផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការត្រូវបានបែងចែកដោយការបែងចែកទូទៅធំបំផុតនៃតម្លៃដាច់ខាតនៃមេគុណរបស់វា។

ជាឧទាហរណ៍ យើងប្រើសមីការការ៉េ 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 ។ ចូរកំណត់ gcd នៃតម្លៃដាច់ខាតនៃមេគុណរបស់វា៖ gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 ។ ចូរបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការការ៉េដើមដោយ 6 ហើយទទួលបានសមីការការ៉េសមមូល 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 ។

ដោយការគុណទាំងសងខាងនៃសមីការការ៉េ មេគុណប្រភាគជាធម្មតាត្រូវបានលុបចោល។ ក្នុងករណីនេះ គុណនឹងផលគុណធម្មតាតិចបំផុតនៃភាគបែងនៃមេគុណរបស់វា។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើផ្នែកនីមួយៗនៃសមីការការ៉េ 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 ត្រូវបានគុណនឹង LCM (6, 3, 1) \u003d 6 នោះវានឹងត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់សាមញ្ញជាង x 2 + 4 x − 18 = 0 ។

ជាចុងក្រោយ យើងកត់សំគាល់ថា ស្ទើរតែតែងតែកម្ចាត់ដកនៅមេគុណទីមួយនៃសមីការការ៉េ ដោយផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃពាក្យនីមួយៗនៃសមីការ ដែលត្រូវបានសម្រេចដោយការគុណ (ឬចែក) ផ្នែកទាំងពីរដោយ − 1 ។ ឧទាហរណ៍ ពីសមីការការ៉េ - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0 អ្នកអាចទៅកាន់កំណែសាមញ្ញរបស់វា 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0 ។

ទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណ

រូបមន្តដែលគេស្គាល់រួចហើយសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ x = - b ± D 2 · a បង្ហាញពីឫសនៃសមីការក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមេគុណលេខរបស់វា។ ដោយផ្អែកលើរូបមន្តនេះ យើងមានឱកាសកំណត់ភាពអាស្រ័យផ្សេងទៀតរវាងឫស និងមេគុណ។

រូបមន្តនៃទ្រឹស្តីបទ Vieta ដ៏ល្បីល្បាញបំផុត និងអាចអនុវត្តបាន៖

x 1 + x 2 \u003d - b a និង x 2 \u003d c a ។

ជាពិសេសសម្រាប់សមីការបួនជ្រុងដែលបានផ្តល់ឱ្យ ផលបូកនៃឫសគឺជាមេគុណទីពីរដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យសេរី។ ឧទាហរណ៍ តាមទម្រង់នៃសមីការការ៉េ 3 · x 2 − 7 · x + 22 = 0 វាអាចកំណត់ភ្លាមៗថាផលបូកនៃឫសរបស់វាគឺ 7 3 ហើយផលនៃឫសគឺ 22 3 ។

អ្នកក៏អាចរកឃើញទំនាក់ទំនងមួយចំនួនផ្សេងទៀតរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការការ៉េ។ ឧទាហរណ៍ ផលបូកនៃការ៉េនៃឫសនៃសមីការ quadratic អាចត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមេគុណ៖

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 − 2 x 1 x 2 = − b a 2 − 2 c a = b 2 a 2 − 2 c a = b 2 − 2 a c a 2 .

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter