ជួរនៃលំដាប់ទីពីរ។
អេលីប និងសមីការ Canonical របស់វា។ រង្វង់

បន្ទាប់ពីការសិក្សាហ្មត់ចត់ បន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះយើងបន្តសិក្សាធរណីមាត្រនៃពិភពលោកពីរវិមាត្រ។ ប្រាក់ភ្នាល់ត្រូវបានកើនឡើងទ្វេដង ហើយខ្ញុំសូមអញ្ជើញអ្នកឱ្យទៅមើលវិចិត្រសាលរូបភាពនៃរាងពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា ប៉ារ៉ាបូឡា ដែលជាតំណាងធម្មតានៃ ជួរលំដាប់ទីពីរ. ដំណើរកម្សាន្តបានចាប់ផ្តើមរួចហើយ ហើយជាដំបូង ព័ត៌មានសង្ខេបអំពីការតាំងពិព័រណ៍ទាំងមូលនៅជាន់ផ្សេងៗគ្នានៃសារមន្ទីរ៖

គំនិតនៃបន្ទាត់ពិជគណិត និងលំដាប់របស់វា។

បន្ទាត់នៅលើយន្តហោះត្រូវបានគេហៅថា ពិជគណិត, ប្រសិនបើនៅក្នុង ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល affineសមីការ​របស់​វា​មាន​ទម្រង់ ជា​ពហុធា​ដែល​មាន​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​ទម្រង់ (ជា​ចំនួន​ពិត ជា​ចំនួន​គត់​មិន​អវិជ្ជមាន)។

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ សមីការនៃបន្ទាត់ពិជគណិតមិនមានស៊ីនុស កូស៊ីនុស លោការីត និងមុខងារ beau monde ផ្សេងទៀតទេ។ មានតែ "x" និង "y" នៅក្នុង ចំនួនគត់មិនអវិជ្ជមានដឺក្រេ។

លំដាប់ជួរគឺស្មើនឹងតម្លៃអតិបរមានៃលក្ខខណ្ឌដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងវា។

យោងតាមទ្រឹស្តីបទដែលត្រូវគ្នា គំនិតនៃបន្ទាត់ពិជគណិត ក៏ដូចជាលំដាប់របស់វា មិនអាស្រ័យលើជម្រើសនោះទេ។ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល affineដូច្នេះ ដើម្បីភាពងាយស្រួល យើងពិចារណាថា ការគណនាជាបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់កើតឡើងនៅក្នុង កូអរដោណេ Cartesian.

សមីការទូទៅបន្ទាត់លំដាប់ទីពីរមានទម្រង់ កន្លែងណា គឺជាចំនួនពិតដែលបំពាន (វាជាទម្លាប់ក្នុងការសរសេរជាមួយមេគុណ - "ពីរ")ហើយមេគុណមិនស្របគ្នានឹងសូន្យទេ។

ប្រសិនបើ នោះសមីការធ្វើឱ្យសាមញ្ញទៅ ហើយប្រសិនបើមេគុណមិនស្របគ្នានឹងសូន្យទេនោះ នេះគឺពិតប្រាកដ សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ "រាបស្មើ"ដែលតំណាងឱ្យ ជួរលំដាប់ទីមួយ.

មនុស្សជាច្រើនបានយល់ពីអត្ថន័យនៃពាក្យថ្មីនេះ ប៉ុន្តែទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីបញ្ចូលសម្ភារៈ 100% យើងដាក់ម្រាមដៃរបស់យើងទៅក្នុងរន្ធ។ ដើម្បីកំណត់លំដាប់ជួរ សូមធ្វើម្តងទៀត លក្ខខណ្ឌទាំងអស់។សមីការរបស់វា និងសម្រាប់ពួកគេម្នាក់ៗរកឃើញ ផលបូកនៃអំណាចអថេរចូល។

ឧទាហរណ៍:

ពាក្យមាន "x" ដល់សញ្ញាប័ត្រទី 1;
ពាក្យមាន "Y" ទៅអំណាចទី 1;
មិនមានអថេរនៅក្នុងពាក្យទេ ដូច្នេះផលបូកនៃអំណាចរបស់ពួកគេគឺសូន្យ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងយល់ថាហេតុអ្វីបានជាសមីការកំណត់បន្ទាត់ ទីពីរបញ្ជាទិញ៖

ពាក្យមាន "x" នៅក្នុងសញ្ញាបត្រទី 2;
ពាក្យមានផលបូកនៃដឺក្រេនៃអថេរ: 1 + 1 = 2;
ពាក្យមាន "y" នៅក្នុងសញ្ញាបត្រទី 2;
លក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀតទាំងអស់ - តិចសញ្ញាបត្រ។

តម្លៃអតិបរមា៖ ២

ប្រសិនបើយើងបន្ថែមទៅលើសមីការរបស់យើង និយាយថា នោះវានឹងកំណត់រួចហើយ លំដាប់ទីបី. វាច្បាស់ណាស់ថាទម្រង់ទូទៅនៃសមីការបន្ទាត់លំដាប់ទី 3 មាន "សំណុំពេញលេញ" នៃពាក្យដែលជាផលបូកនៃដឺក្រេនៃអថេរដែលស្មើនឹងបី:
ដែលមេគុណមិនស្របគ្នានឹងសូន្យ។

ក្នុងករណីដែលលក្ខខណ្ឌសមស្របមួយ ឬច្រើនត្រូវបានបន្ថែមដែលមាន បន្ទាប់មកយើងនឹងនិយាយអំពី លំដាប់ទី ៤ល។

យើងនឹងត្រូវដោះស្រាយជាមួយជួរពិជគណិតនៃលំដាប់ទី 3 ទី 4 និងលំដាប់ខ្ពស់ជាងនេះច្រើនជាងម្តង ជាពិសេសនៅពេលស្គាល់។ ប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូល។.

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អនុញ្ញាតឱ្យយើងត្រឡប់ទៅសមីការទូទៅ ហើយរំលឹកឡើងវិញនូវការប្រែប្រួលសាលាដ៏សាមញ្ញបំផុតរបស់វា។ ឧទាហរណ៍គឺប៉ារ៉ាបូឡា ដែលសមីការរបស់វាអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយយ៉ាងងាយស្រួលទៅជាទម្រង់ទូទៅ ហើយអ៊ីពែបូឡាដែលមានសមីការសមមូល។ ទោះ​យ៉ាង​ណា​មិន​មែន​គ្រប់​យ៉ាង​រលូន​នោះ​ទេ…។

គុណវិបត្តិដ៏សំខាន់នៃសមីការទូទៅគឺថា វាស្ទើរតែមិនច្បាស់ថាបន្ទាត់ណាដែលវាកំណត់។ សូម្បីតែនៅក្នុងករណីដ៏សាមញ្ញបំផុតក៏ដោយ អ្នកនឹងមិនអាចដឹងភ្លាមៗថានេះគឺជាអ្វីដែលលើស។ ប្លង់បែបនេះគឺល្អតែនៅក្លែងបន្លំប៉ុណ្ណោះ ដូច្នេះហើយក្នុងដំណើរនៃធរណីមាត្រវិភាគ បញ្ហាធម្មតាត្រូវបានចាត់ទុកថា ការកាត់បន្ថយសមីការបន្ទាត់លំដាប់ទី 2 ទៅជាទម្រង់ Canonical.

តើអ្វីជាទម្រង់នៃសមីការ Canonical?

នេះគឺជាទម្រង់ស្ដង់ដារដែលទទួលយកជាទូទៅនៃសមីការ នៅពេលដែលក្នុងរយៈពេលប៉ុន្មានវិនាទី វាច្បាស់ថាវត្ថុធរណីមាត្រដែលវាកំណត់។ លើសពីនេះទៀតទម្រង់ Canonical គឺងាយស្រួលណាស់សម្រាប់ការដោះស្រាយកិច្ចការជាក់ស្តែងជាច្រើន។ ដូច្នេះឧទាហរណ៍យោងទៅតាមសមីការ Canonical "ផ្ទះល្វែង" ត្រង់ទីមួយ វាច្បាស់ភ្លាមៗថានេះគឺជាបន្ទាត់ត្រង់ ហើយទីពីរ ចំនុចដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់វា និងវ៉ិចទ័រទិសដៅគឺអាចមើលឃើញយ៉ាងសាមញ្ញ។

ជាក់ស្តែង ជួរលំដាប់ទី 1តំណាងឱ្យបន្ទាត់ត្រង់។ នៅជាន់ទី 2 លែងមានអ្នកមើលការខុសត្រូវរង់ចាំយើងទៀតហើយ ប៉ុន្តែមានរូបសំណាកចំនួន 9 ដ៏សម្បូរបែបជាងនេះទៅទៀត។

ចំណាត់ថ្នាក់នៃលំដាប់ទីពីរ

ដោយមានជំនួយពីសំណុំសកម្មភាពពិសេស សមីការបន្ទាត់លំដាប់ទីពីរត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រភេទមួយដូចខាងក្រោម៖

(និងជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន)

1) គឺជាសមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ;

2) គឺជាសមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡា;

3) គឺជាសមីការ canonical នៃ parabola នេះ;

4) – ការស្រមើស្រមៃពងក្រពើ;

5) - គូនៃបន្ទាត់ប្រសព្វមួយ;

6) - ប្តីប្រពន្ធ ការស្រមើស្រមៃបន្ទាត់ប្រសព្វ (ជាមួយចំណុចប្រសព្វពិតប្រាកដតែមួយគត់នៅដើម);

7) - គូនៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលមួយ;

8) - ប្តីប្រពន្ធ ការស្រមើស្រមៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល;

9) គឺជាគូនៃបន្ទាត់ស្របគ្នា។

អ្នកអានខ្លះអាចទទួលបានចំណាប់អារម្មណ៍ថាបញ្ជីមិនពេញលេញ។ ជាឧទាហរណ៍ ក្នុងកថាខណ្ឌលេខ 7 សមីការកំណត់គូ ផ្ទាល់, ស្របទៅនឹងអ័ក្ស ហើយសំណួរកើតឡើង៖ តើសមីការដែលកំណត់បន្ទាត់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស y នៅឯណា? ចម្លើយ៖ វា។ មិនត្រូវបានចាត់ទុកថាជា Canon. បន្ទាត់ត្រង់តំណាងឱ្យករណីស្តង់ដារដូចគ្នាដែលបង្វិលដោយ 90 ដឺក្រេ ហើយធាតុបន្ថែមក្នុងការចាត់ថ្នាក់គឺមិនអាចខ្វះបាន ព្រោះវាមិនមានអ្វីថ្មីជាមូលដ្ឋានទេ។

ដូច្នេះមាន 9 និង 9 ប្រភេទផ្សេងគ្នានៃបន្ទាត់លំដាប់ទី 2 ប៉ុន្តែនៅក្នុងការអនុវត្តទូទៅបំផុតគឺ ពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា និងប៉ារ៉ាបូឡា.

សូមក្រឡេកមើលពងក្រពើជាមុនសិន។ ដូចធម្មតា ខ្ញុំផ្តោតលើចំណុចទាំងនោះដែលមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហា ហើយប្រសិនបើអ្នកត្រូវការប្រភពលម្អិតនៃរូបមន្ត ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ សូមយោងឧទាហរណ៍ទៅកាន់សៀវភៅសិក្សាដោយ Bazylev / Atanasyan ឬ Aleksandrov ។

អេលីប និងសមីការ Canonical របស់វា។

អក្ខរាវិរុទ្ធ ... សូមកុំនិយាយឡើងវិញនូវកំហុសរបស់អ្នកប្រើ Yandex មួយចំនួនដែលចាប់អារម្មណ៍លើ "របៀបបង្កើតពងក្រពើ" "ភាពខុសគ្នារវាងរាងពងក្រពើនិងរាងពងក្រពើ" និង "elebs eccentricity" ។

សមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើមានទម្រង់ជាចំនួនពិតវិជ្ជមាន និង . ខ្ញុំនឹងបង្កើតនិយមន័យនៃរាងពងក្រពើនៅពេលក្រោយ ប៉ុន្តែសម្រាប់ពេលនេះ វាដល់ពេលដែលត្រូវសម្រាកពីការនិយាយ និងដោះស្រាយបញ្ហាទូទៅមួយ៖

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកសាងរាងពងក្រពើ?

បាទ យក​វា​ហើយ​គ្រាន់​តែ​គូរ។ កិច្ចការគឺជារឿងធម្មតា ហើយផ្នែកសំខាន់នៃសិស្សមិនមានជំនាញច្បាស់លាស់ជាមួយគំនូរទេ៖

ឧទាហរណ៍ ១

បង្កើតពងក្រពើដែលផ្តល់ដោយសមីការ

ការសម្រេចចិត្ត: ដំបូងយើងនាំយកសមីការទៅជាទម្រង់ Canonical:

ហេតុអ្វីបានជានាំយក? គុណសម្បត្តិមួយនៃសមីការ Canonical គឺថាវាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់ភ្លាមៗ រាងពងក្រពើដែលស្ថិតនៅចំណុច។ វា​ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​ការ​មើល​ឃើញ​ថា​កូអរដោនេ​នៃ​ចំណុច​នីមួយៗ​នេះ​បំពេញ​សមីការ។

ក្នុងករណី​នេះ :


ផ្នែកបន្ទាត់បានហៅ អ័ក្សសំខាន់ពងក្រពើ;
ផ្នែកបន្ទាត់ – អ័ក្សតូច;
ចំនួន បានហៅ អ័ក្សពាក់កណ្តាលសំខាន់ពងក្រពើ;
ចំនួន – អ័ក្សពាក់កណ្តាលអនីតិជន.
ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង៖ .

ដើម្បី​ស្រមៃ​យ៉ាង​ឆាប់​រហ័ស​ថា​តើ​រាង​ពង​ក្រពើ​នេះ​មាន​រូបរាង​យ៉ាង​ណា គ្រាន់​តែ​មើល​ទៅ​តម្លៃ "a" និង "be" នៃ​សមីការ Canonical របស់វា។

អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺល្អ ស្អាត និងល្អ ប៉ុន្តែមានចំនុចមួយគឺខ្ញុំបានបញ្ចប់ការគូរដោយប្រើកម្មវិធី។ ហើយអ្នកអាចគូរជាមួយកម្មវិធីណាមួយ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងការពិតដ៏អាក្រក់ ក្រដាសមួយសន្លឹកនៅលើតុ ហើយសត្វកណ្ដុររាំជុំវិញដៃរបស់យើង។ ពិតណាស់ មនុស្សដែលមានទេពកោសល្យសិល្បៈអាចប្រកែកបាន ប៉ុន្តែអ្នកក៏មានសត្វកណ្តុរដែរ (ទោះបីជាតូចជាងក៏ដោយ)។ វាមិនមែនជាការឥតប្រយោជន៍ទេដែលមនុស្សជាតិបានបង្កើតអ្នកគ្រប់គ្រង ត្រីវិស័យ ប្រដាប់ការពារ និងឧបករណ៍សាមញ្ញផ្សេងទៀតសម្រាប់គូរ។

សម្រាប់ហេតុផលនេះ យើងទំនងជាមិនអាចគូរពងក្រពើបានត្រឹមត្រូវទេ ដោយគ្រាន់តែដឹងតែចំនុចកំពូលប៉ុណ្ណោះ។ នៅតែត្រឹមត្រូវ ប្រសិនបើពងក្រពើតូច ឧទាហរណ៍ជាមួយ semiaxes ។ ម៉្យាងទៀតអ្នកអាចកាត់បន្ថយមាត្រដ្ឋាន ហើយតាមនោះ វិមាត្រនៃគំនូរ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងករណីទូទៅវាជាការចង់យ៉ាងខ្លាំងក្នុងការស្វែងរកចំណុចបន្ថែម។

មានវិធីសាស្រ្តពីរក្នុងការសាងសង់រាងពងក្រពើ - ធរណីមាត្រ និងពិជគណិត។ ខ្ញុំ​មិន​ចូល​ចិត្ត​ការ​សាង​សង់​ដោយ​ត្រីវិស័យ​និង​បន្ទាត់​ដោយ​សារ​តែ​ក្បួន​ដោះស្រាយ​ខ្លី​និង​ការ​ពង្រាយ​សំខាន់​នៃ​គំនូរ។ ក្នុង​ករណី​មាន​អាសន្ន សូម​យោង​ទៅ​សៀវភៅ​សិក្សា ប៉ុន្តែ​តាម​ពិត វា​មាន​ហេតុផល​ច្រើន​ជាង​ក្នុង​ការ​ប្រើ​ឧបករណ៍​នៃ​ពិជគណិត។ ពីសមីការពងក្រពើនៅលើសេចក្តីព្រាង យើងបង្ហាញយ៉ាងរហ័ស៖

បន្ទាប់មកសមីការត្រូវបានបែងចែកជាពីរមុខងារ៖
- កំណត់អ័ក្សខាងលើនៃរាងពងក្រពើ;
- កំណត់ធ្នូខាងក្រោមនៃរាងពងក្រពើ។

ពងក្រពើដែលផ្តល់ដោយសមីការ Canonical គឺស៊ីមេទ្រីដោយគោរពតាមអ័ក្សកូអរដោនេ ក៏ដូចជាទាក់ទងនឹងប្រភពដើម។ ហើយនោះជាការល្អណាស់ - ស៊ីមេទ្រីគឺស្ទើរតែតែងតែជា harbinger នៃ freebie មួយ។ ជាក់ស្តែង វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដោះស្រាយជាមួយនឹងត្រីមាសទី 1 កូអរដោណេ ដូច្នេះយើងត្រូវការមុខងារមួយ។ . វាស្នើឱ្យស្វែងរកចំណុចបន្ថែមជាមួយ abscissas . យើងវាយសារ SMS ចំនួនបីនៅលើម៉ាស៊ីនគិតលេខ៖

ជាការពិតណាស់វាក៏រីករាយផងដែរដែលថាប្រសិនបើមានកំហុសធ្ងន់ធ្ងរត្រូវបានធ្វើឡើងនៅក្នុងការគណនានោះវានឹងក្លាយទៅជាច្បាស់លាស់ភ្លាមៗក្នុងអំឡុងពេលសាងសង់។

សម្គាល់ចំណុចនៅលើគំនូរ (ពណ៌ក្រហម) ចំណុចស៊ីមេទ្រីនៅលើធ្នូផ្សេងទៀត (ពណ៌ខៀវ) ហើយភ្ជាប់ក្រុមហ៊ុនទាំងមូលដោយប្រុងប្រយ័ត្នជាមួយបន្ទាត់មួយ៖


វាជាការល្អប្រសើរជាងមុនក្នុងការគូរគំនូរព្រាងដំបូងដោយស្តើង និងស្តើង ហើយមានតែបន្ទាប់មកដាក់សម្ពាធលើខ្មៅដៃប៉ុណ្ណោះ។ លទ្ធផលគួរតែជារាងពងក្រពើសមរម្យ។ និយាយ​អញ្ចឹង​ចង់​ដឹង​ថា​ខ្សែ​កោង​នេះ​ជា​អ្វី?

និយមន័យនៃរាងពងក្រពើ។ foci រាង​អេលីប និង​ភាព​រាង​អេលីប

ពងក្រពើគឺជាករណីពិសេសនៃរាងពងក្រពើ។ ពាក្យ "រាងពងក្រពើ" មិនគួរត្រូវបានយល់ក្នុងន័យ philistine ទេ ("កុមារគូររាងពងក្រពើ" ។ល។)។ នេះគឺជាពាក្យគណិតវិទ្យាដែលមានរូបមន្តលម្អិត។ គោលបំណងនៃមេរៀននេះគឺមិនមែនដើម្បីពិចារណាទ្រឹស្ដីនៃរាងពងក្រពើ និងប្រភេទផ្សេងៗរបស់ពួកគេ ដែលជាក់ស្តែងមិនត្រូវបានផ្តល់ការយកចិត្តទុកដាក់នៅក្នុងវគ្គសិក្សាស្តង់ដារនៃធរណីមាត្រវិភាគនោះទេ។ ហើយដោយអនុលោមតាមតម្រូវការបច្ចុប្បន្នបន្ថែមទៀត យើងចូលទៅកាន់និយមន័យដ៏តឹងរឹងនៃពងក្រពើ៖

ពងក្រពើ- នេះគឺជាសំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៃយន្តហោះ ផលបូកនៃចម្ងាយទៅនីមួយៗ ដែលពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរ ហៅថា ល្បិចរាងពងក្រពើ គឺជាតម្លៃថេរ ជាលេខស្មើនឹងប្រវែងនៃអ័ក្សសំខាន់នៃរាងពងក្រពើនេះ៖ .
ក្នុងករណីនេះចម្ងាយរវាង foci គឺតិចជាងតម្លៃនេះ៖ .

ឥឡូវនេះវានឹងកាន់តែច្បាស់៖

ស្រមៃថាចំណុចពណ៌ខៀវ "ជិះ" នៅលើរាងពងក្រពើ។ ដូច្នេះ មិនថាចំនុចណានៃពងក្រពើដែលយើងយកនោះទេ ផលបូកនៃប្រវែងនៃចម្រៀកនឹងតែងតែដូចគ្នា៖

ចូរប្រាកដថាក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង តម្លៃនៃផលបូកគឺពិតជាស្មើនឹងប្រាំបី។ ដាក់ចំណុច "em" ផ្លូវចិត្តនៅក្នុងចំនុចកំពូលខាងស្តាំនៃរាងពងក្រពើ បន្ទាប់មក៖ ដែលត្រូវបានទាមទារដើម្បីត្រួតពិនិត្យ។

វិធីមួយទៀតដើម្បីគូរពងក្រពើគឺផ្អែកលើនិយមន័យនៃរាងពងក្រពើ។ ជួនកាលគណិតវិទ្យាកាន់តែខ្ពស់គឺជាមូលហេតុនៃភាពតានតឹង និងភាពតានតឹង ដូច្នេះវាដល់ពេលដែលត្រូវមានវគ្គមួយទៀតនៃការមិនផ្ទុក។ សូម​យក​ក្រដាស​មួយ​សន្លឹក ឬ​ក្រដាស​កាតុង​ធំ​មួយ ហើយ​ខ្ទាស់​វា​នឹង​ក្រចក​ពីរ។ ទាំងនេះនឹងជាល្បិច។ ចង​ខ្សែ​ពណ៌​បៃតង​ទៅនឹង​ក្បាល​ក្រចក​ដែល​លេចចេញ ហើយ​ទាញ​វា​គ្រប់​ផ្លូវ​ដោយ​ខ្មៅដៃ។ ករបស់ខ្មៅដៃនឹងមាននៅចំណុចខ្លះដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ពងក្រពើ។ ឥឡូវនេះចាប់ផ្តើមណែនាំខ្មៅដៃឆ្លងកាត់សន្លឹកក្រដាសដោយរក្សាខ្សែស្រឡាយពណ៌បៃតងតឹង។ បន្តដំណើរការរហូតដល់អ្នកត្រលប់ទៅចំណុចចាប់ផ្តើមវិញ ... ល្អណាស់ ... គំនូរអាចត្រូវបានបញ្ជូនសម្រាប់ការផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយវេជ្ជបណ្ឌិតទៅគ្រូ =)

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកការផ្តោតអារម្មណ៍នៃរាងពងក្រពើ?

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ ខ្ញុំបានពណ៌នាចំណុចផ្តោតអារម្មណ៍ "រួចរាល់" ហើយឥឡូវនេះ យើងនឹងរៀនពីរបៀបដើម្បីស្រង់ពួកវាចេញពីជម្រៅនៃធរណីមាត្រ។

ប្រសិនបើពងក្រពើត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ Canonical នោះ foci របស់វាមានកូអរដោនេ , វា​នៅឯណា ចម្ងាយពី foci នីមួយៗទៅកណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រីនៃពងក្រពើ.

ការគណនាគឺងាយស្រួលជាង turnips ចំហុយ៖

! ជាមួយនឹងអត្ថន័យ "ce" វាមិនអាចទៅរួចទេដើម្បីកំណត់កូអរដោនេជាក់លាក់នៃល្បិច!ខ្ញុំនិយាយម្តងទៀត នេះគឺ ចម្ងាយពីចំណុចផ្តោតនីមួយៗទៅកណ្តាល(ដែលក្នុងករណីទូទៅមិនត្រូវមានទីតាំងពិតប្រាកដនៅដើមឡើយ)។
ដូច្នេះហើយ ចម្ងាយរវាង foci មិនអាចចងភ្ជាប់ទៅនឹងទីតាំង Canonical នៃរាងពងក្រពើបានទេ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ពងក្រពើអាចត្រូវបានផ្លាស់ទីទៅកន្លែងផ្សេងទៀត ហើយតម្លៃនឹងនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ ខណៈពេលដែល foci នឹងផ្លាស់ប្តូរកូអរដោនេរបស់វា។ សូមចងចាំរឿងនេះនៅក្នុងចិត្តនៅពេលអ្នកស្វែងយល់បន្ថែមអំពីប្រធានបទ។

ភាពប្លែកនៃរាងពងក្រពើ និងអត្ថន័យធរណីមាត្ររបស់វា។

ភាពប្លែកនៃរាងពងក្រពើគឺជាសមាមាត្រដែលអាចយកតម្លៃនៅក្នុង .

ក្នុងករណីរបស់យើង៖

ចូរយើងស្វែងយល់ពីរបៀបដែលរូបរាងនៃពងក្រពើអាស្រ័យលើភាពប្លែករបស់វា។ សម្រាប់​ការ​នេះ ជួសជុលបញ្ឈរខាងឆ្វេងនិងស្តាំនៃ​រាង​អេលីប​ដែល​កំពុង​ពិចារណា នោះ​គឺ​តម្លៃ​នៃ​អ័ក្ស​ពាក់កណ្តាល​សំខាន់​នឹង​នៅ​ថេរ។ បន្ទាប់មករូបមន្ត eccentricity នឹងយកទម្រង់៖ .

ចូរចាប់ផ្តើមដើម្បីប៉ាន់ប្រមាណតម្លៃនៃ eccentricity ដើម្បីឯកភាព។ នេះអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែ . តើ​វា​មានន័យ​យ៉ាង​ដូចម្តេច? ...ចងចាំល្បិច . នេះមានន័យថា foci នៃរាងពងក្រពើនឹង "បែកខ្ញែក" តាមអ័ក្ស abscissa ទៅផ្នែកខាងលើចំហៀង។ ហើយ​ដោយ​សារ​តែ "ផ្នែក​បៃតង​មិន​មែន​ជា​កៅស៊ូ" នោះ​រាង​ពង​ក្រពើ​នឹង​ចាប់​ផ្តើម​សំប៉ែត​ដោយ​ជៀស​មិន​រួច ដោយ​ប្រែ​ក្លាយ​ទៅ​ជា​សាច់ក្រក​ស្តើង​ជាង និង​ស្តើង​ដែល​ជាប់​នៅ​លើ​អ័ក្ស។

ដូច្នេះ ភាពកាន់តែជិតនៃរាងពងក្រពើគឺទៅមួយ ពងក្រពើកាន់តែវែង.

ឥឡូវនេះ ចូរយើងក្លែងធ្វើដំណើរការផ្ទុយគ្នា៖ foci នៃរាងពងក្រពើ ដើរ​ទៅ​រក​គ្នា​ទៅ​ជិត​កណ្តាល។ នេះមានន័យថាតម្លៃនៃ "ce" កាន់តែតូចទៅៗ ហើយយោងទៅតាម eccentricity មាននិន្នាការទៅសូន្យ៖ .
ក្នុងករណីនេះ "ផ្នែកពណ៌បៃតង" ផ្ទុយទៅវិញ "ក្លាយជាមនុស្សច្រើន" ហើយពួកគេនឹងចាប់ផ្តើម "រុញ" បន្ទាត់រាងពងក្រពើឡើងលើនិងចុះក្រោម។

ដូច្នេះ តម្លៃ eccentricity កាន់តែជិតដល់សូន្យ ពងក្រពើកាន់តែមើលទៅ... ក្រឡេកមើលករណីកំណត់នៅពេលដែល foci ត្រូវបានបង្រួបបង្រួមដោយជោគជ័យនៅប្រភពដើម៖

រង្វង់គឺជាករណីពិសេសនៃរាងពងក្រពើ

ជាការពិតណាស់នៅក្នុងករណីនៃសមភាពនៃ semiaxes សមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើយកទម្រង់ដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីការផ្លាស់ប្តូរទៅជាសមីការរង្វង់ល្បីពីសាលាជាមួយនឹងចំណុចកណ្តាលនៅប្រភពដើមនៃកាំ "a" ។

នៅក្នុងការអនុវត្ត ការសម្គាល់ដែលមានអក្សរ "និយាយ" "er" ត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់ជាង:. កាំត្រូវបានគេហៅថាប្រវែងនៃផ្នែកខណៈពេលដែលចំនុចនីមួយៗនៃរង្វង់ត្រូវបានដកចេញពីកណ្តាលដោយចម្ងាយនៃកាំ។

ចំណាំថានិយមន័យនៃពងក្រពើនៅតែត្រឹមត្រូវទាំងស្រុង៖ foci ត្រូវគ្នា ហើយផលបូកនៃប្រវែងនៃផ្នែកដែលត្រូវគ្នាសម្រាប់ចំណុចនីមួយៗនៅលើរង្វង់គឺជាតម្លៃថេរ។ ចាប់តាំងពីចម្ងាយរវាង foci គឺ ភាពប្លែកនៃរង្វង់ណាមួយគឺសូន្យ.

រង្វង់មួយត្រូវបានសាងសង់យ៉ាងងាយស្រួល និងឆាប់រហ័ស វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការបំពាក់ខ្លួនអ្នកជាមួយនឹងត្រីវិស័យ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ពេលខ្លះវាចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំណុចមួយចំនួនរបស់វា ក្នុងករណីនេះយើងទៅតាមរបៀបដែលធ្លាប់ស្គាល់ - យើងនាំយកសមីការទៅជាទម្រង់ Matan ដ៏រីករាយ៖

គឺជាមុខងារនៃពាក់កណ្តាលរង្វង់ខាងលើ;
គឺជាមុខងារនៃពាក់កណ្តាលរង្វង់ទាប។

បន្ទាប់មកយើងរកឃើញតម្លៃដែលចង់បាន ខុសគ្នា, រួមបញ្ចូលនិងធ្វើអំពើល្អផ្សេងទៀត។

ជាការពិតណាស់ អត្ថបទនេះគឺសម្រាប់ជាឯកសារយោងតែប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែតើមនុស្សអាចរស់នៅដោយគ្មានស្នេហាក្នុងលោកដោយរបៀបណា? ភារកិច្ចច្នៃប្រឌិតសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ

ឧទាហរណ៍ ២

បង្កើតសមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ ប្រសិនបើ foci មួយរបស់វា និងអ័ក្សពាក់កណ្តាលអនីតិជនត្រូវបានគេស្គាល់ (ចំណុចកណ្តាលគឺនៅដើម)។ ស្វែងរកចំនុចកំពូល ចំនុចបន្ថែម ហើយគូសបន្ទាត់លើគំនូរ។ គណនាភាពខុសប្រក្រតី។

ដំណោះស្រាយ និងគូរនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន

តោះបន្ថែមសកម្មភាព៖

បង្វិល និងបកប្រែពងក្រពើ

ចូរយើងត្រលប់ទៅសមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ ពោលគឺ ទៅកាន់លក្ខខណ្ឌ riddle ដែលត្រូវបានធ្វើទុក្ខទោសដល់ចិត្តដែលចង់ដឹងចង់ឃើញ ចាប់តាំងពីការលើកឡើងដំបូងនៃខ្សែកោងនេះ។ នៅទីនេះយើងបានចាត់ទុកពងក្រពើ ប៉ុន្តែនៅក្នុងការអនុវត្តមិនអាចសមីការបានទេ។ ? យ៉ាងណាមិញ នៅទីនេះ វាហាក់ដូចជាពងក្រពើផងដែរ!

សមីការ​បែប​នេះ​គឺ​កម្រ​ណាស់ ប៉ុន្តែ​វា​កើត​ឡើង។ ហើយវាកំណត់ពងក្រពើ។ តោះកំចាត់អាថ៍កំបាំង៖

ជាលទ្ធផលនៃការសាងសង់ ពងក្រពើដើមរបស់យើងត្រូវបានទទួល បង្វិលដោយ 90 ដឺក្រេ។ I.e, - នេះ។ ធាតុដែលមិនមែនជា Canonicalពងក្រពើ . កត់ត្រា!- សមីការ មិន​បញ្ជាក់​ពង​ក្រពើ​ផ្សេង​ទៀត​ទេ ព្រោះ​មិន​មាន​ចំណុច (foci) នៅ​លើ​អ័ក្ស​ដែល​អាច​បំពេញ​និយមន័យ​នៃ​រាង​ពង​ក្រពើ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតប្រព័ន្ធកូអរដោនេរាងចតុកោណនៅលើយន្តហោះ ហើយពិចារណាសមីការទូទៅនៃដឺក្រេទីពីរ

ត្រង់ណា
.

សំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៅក្នុងយន្តហោះដែលសំរបសំរួលបំពេញសមីការ (8.4.1) ត្រូវបានគេហៅថា កោង (បន្ទាត់) លំដាប់ទីពីរ.

សម្រាប់ខ្សែកោងណាមួយនៃលំដាប់ទីពីរ មានប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ ហៅថា Canonical ដែលសមីការនៃខ្សែកោងនេះមានទម្រង់មួយក្នុងចំណោមទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

1)
(ពងក្រពើ);

2)
(ពងក្រពើស្រមើលស្រមៃ);

3)
(គូនៃបន្ទាត់ប្រសព្វស្រមៃ);

4)
(hyperbola);

5)
(គូនៃបន្ទាត់ប្រសព្វ);

6)
(ប៉ារ៉ាបូឡា);

7)
(គូនៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល);

8)
(គូនៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលស្រមៃ);

9)
(គូនៃបន្ទាត់ស្របគ្នា) ។

សមីការ 1)–9) ត្រូវបានគេហៅថា សមីការ Canonical នៃខ្សែកោងនៃលំដាប់ទីពីរ។

ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហានៃការកាត់បន្ថយសមីការនៃខ្សែកោងនៃលំដាប់ទីពីរទៅជាទម្រង់ Canonical រួមមានការស្វែងរកសមីការ Canonical នៃខ្សែកោង និងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Canonical ។ ការកាត់បន្ថយទម្រង់ Canonical អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃខ្សែកោងនិងកំណត់ទីតាំងរបស់វាទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដើម។ ការផ្លាស់ប្តូរពីប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណដើម
ទៅ Canonical
ត្រូវបានអនុវត្តដោយការបង្វិលអ័ក្សនៃប្រព័ន្ធសំរបសំរួលដើមជុំវិញចំនុច អូទៅមុំជាក់លាក់មួយ  និងការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែលជាបន្តបន្ទាប់នៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ។

បំរែបំរួលកោងនៃលំដាប់ទីពីរ(8.4.1) ត្រូវបានគេហៅថាមុខងារបែបនេះនៃមេគុណនៃសមីការរបស់វា ដែលតម្លៃមិនផ្លាស់ប្តូរនៅពេលផ្លាស់ទីពីប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណមួយទៅប្រព័ន្ធមួយទៀតនៃប្រព័ន្ធដូចគ្នា។

សម្រាប់ខ្សែកោងនៃលំដាប់ទីពីរ (8.4.1) ផលបូកនៃមេគុណនៅកូអរដោណេការ៉េ

,

កត្តាកំណត់ដែលផ្សំឡើងដោយមេគុណនៃលក្ខខណ្ឌនាំមុខ

និងកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបី

គឺជាអថេរ។

តម្លៃនៃ invariants s, ,  អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីកំណត់ប្រភេទ និងសរសេរសមីការ Canonical នៃខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរ (តារាង 8.1) ។

តារាង 8.1

ការចាត់ថ្នាក់នៃខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរដោយផ្អែកលើ invariants

សូមក្រឡេកមើលពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា និងប៉ារ៉ាបូឡា។

ពងក្រពើ(រូបភាព 8.1) ត្រូវបានគេហៅថាទីតាំងនៃចំណុចនៃយន្តហោះ ដែលផលបូកនៃចម្ងាយទៅចំណុចថេរពីរ
យន្តហោះនេះត្រូវបានគេហៅថា ល្បិចពងក្រពើ, គឺជាតម្លៃថេរ (ធំជាងចម្ងាយរវាង foci) ។ នេះមិនរាប់បញ្ចូលភាពចៃដន្យនៃ foci នៃរាងពងក្រពើនោះទេ។ ប្រសិនបើ foci គឺដូចគ្នានោះពងក្រពើគឺជារង្វង់។

ផលបូកពាក់កណ្តាលនៃចម្ងាយពីចំណុចនៃពងក្រពើមួយទៅ foci របស់វាត្រូវបានតំណាងដោយ កចម្ងាយពាក់កណ្តាលរវាង foci - ជាមួយ. ប្រសិនបើប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណកែងនៅលើយន្តហោះត្រូវបានជ្រើសរើសដូច្នេះពងក្រពើផ្តោតលើអ័ក្ស អូxស៊ីមេទ្រីអំពីប្រភពដើម បន្ទាប់មកនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេនេះ ពងក្រពើត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ

, (8.4.2)

បានហៅ សមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើកន្លែងណា
.

អង្ករ។ ៨.១

ជាមួយនឹងជម្រើសដែលបានបញ្ជាក់នៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ ពងក្រពើគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សកូអរដោនេ និងប្រភពដើម។ អ័ក្សស៊ីមេទ្រីនៃពងក្រពើហៅវា។ អ័ក្សហើយចំណុចកណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រីគឺ កណ្តាលនៃរាងពងក្រពើ. ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះលេខ 2 ជារឿយៗត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សនៃរាងពងក្រពើ។ កនិង ២ ខនិងលេខ កនិង ខ – ធំនិង អ័ក្សពាក់កណ្តាលអនីតិជនរៀងគ្នា។

ចំនុចប្រសព្វនៃពងក្រពើដែលមានអ័ក្សរបស់វាត្រូវបានគេហៅថា ចំនុចកំពូលនៃរាងពងក្រពើ. ចំនុចកំពូលនៃពងក្រពើមានកូអរដោនេ ( ក, 0), (–ក, 0), (0, ខ), (0, –ខ).

ភាពប្លែកនៃរាងពងក្រពើបានហៅលេខមួយ។

. (8.4.3)

ព្រោះ 0  គ < ក, ពងក្រពើ 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

នេះបង្ហាញថា eccentricity កំណត់រូបរាងរាងពងក្រពើ៖ កាន់តែជិត  ទៅសូន្យ ពងក្រពើកាន់តែមើលទៅដូចជារង្វង់។ នៅពេលដែល  កើនឡើង ពងក្រពើកាន់តែវែង។

អនុញ្ញាតឱ្យមាន
គឺជាចំណុចបំពាននៃរាងពងក្រពើ
និង
- ចម្ងាយពីចំណុច មមុនពេលល្បិច ច 1 និង ច 2 រៀងគ្នា។ លេខ r 1 និង r 2 ត្រូវបានគេហៅថា កាំ​ប្រសព្វ​ចំណុច ម ពងក្រពើហើយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

នាយកសាលាផ្សេងពីរង្វង់ ពងក្រពើជាមួយនឹងសមីការ Canonical (8.4.2) បន្ទាត់ពីរត្រូវបានគេហៅថា

.

directrixes នៃ ellipse មានទីតាំងនៅខាងក្រៅពងក្រពើ (រូបភាព 8.1) ។

សមាមាត្រកាំប្រសព្វ ពិន្ទុមរាងពងក្រពើទៅចម្ងាយ  នៃរាងពងក្រពើនេះ (ការផ្តោតអារម្មណ៍ និង directrix ត្រូវបានចាត់ទុកថាត្រូវគ្នា ប្រសិនបើពួកវាស្ថិតនៅលើផ្នែកដូចគ្នានៃចំណុចកណ្តាលនៃរាងពងក្រពើ)។

អ៊ីពែបូល។(រូបភាព 8.2) ត្រូវបានគេហៅថាទីតាំងនៃចំណុចនៃយន្តហោះ ដែលម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយទៅចំណុចថេរពីរ និង យន្តហោះនេះត្រូវបានគេហៅថា foci នៃ hyperbole, គឺជាតម្លៃថេរ (មិនស្មើនឹងសូន្យ និងតិចជាងចម្ងាយរវាង foci) ។

សូមឱ្យចម្ងាយរវាង foci មាន 2 ជាមួយហើយម៉ូឌុលដែលបានបញ្ជាក់នៃភាពខុសគ្នាចម្ងាយគឺ 2 ក. យើងជ្រើសរើសប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណតាមរបៀបដូចគ្នានឹងពងក្រពើ។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេនេះ អ៊ីពែបូឡាត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ

, (8.4.4)

បានហៅ សមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡាកន្លែងណា
.

អង្ករ។ ៨.២

ជាមួយនឹងជម្រើសនៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេរាងចតុកោណ អ័ក្សកូអរដោនេគឺជាអ័ក្សនៃស៊ីមេទ្រីនៃអ៊ីពែបូឡា ហើយប្រភពដើមនៃកូអរដោនេគឺជាចំណុចកណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រីរបស់វា។ អ័ក្សនៃស៊ីមេទ្រីនៃអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានគេហៅថា អ័ក្សហើយចំណុចកណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រីគឺ ចំណុចកណ្តាលនៃអ៊ីពែបូឡា. ចតុកោណជាមួយ 2 ជ្រុង កនិង ២ ខដែលមានទីតាំងនៅដូចបង្ហាញក្នុងរូប។ 8.2, ហៅ ចតុកោណកែងសំខាន់នៃអ៊ីពែបូឡា. លេខ 2 កនិង ២ ខគឺជាអ័ក្សនៃអ៊ីពែបូឡា និងលេខ កនិង ខ- នាង អ័ក្សអ័ក្ស. បន្ទាត់ត្រង់ដែលជាការបន្តនៃអង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណកែងសំខាន់ រោគសញ្ញាអ៊ីពែបូឡា

.

ចំណុចប្រសព្វនៃអ៊ីពែបូឡាជាមួយអ័ក្ស គោបានហៅ ចំណុចកំពូលនៃអ៊ីពែបូឡា. ចំនុចកំពូលនៃអ៊ីពែបូឡាមានកូអរដោនេ ( ក, 0), (–ក, 0).

ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡាបានហៅលេខមួយ។

. (8.4.5)

ដរាបណា ជាមួយ > កភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡា  > 1. ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវសមភាព (8.4.5) ជា

.

នេះបង្ហាញថា eccentricity កំណត់រូបរាងនៃចតុកោណកែងចម្បង ហើយជាលទ្ធផល រូបរាងរបស់អ៊ីពែបូឡាខ្លួនវា៖ តូចជាង  ចតុកោណកែងធំកាន់តែច្រើនត្រូវបានពង្រីក ហើយបន្ទាប់ពីវាអ៊ីពែបូឡាខ្លួនវាតាមអ័ក្ស គោ.

អនុញ្ញាតឱ្យមាន
គឺជាចំណុចបំពាននៃអ៊ីពែបូឡា
និង
- ចម្ងាយពីចំណុច មមុនពេលល្បិច ច 1 និង ច 2 រៀងគ្នា។ លេខ r 1 និង r 2 ត្រូវបានគេហៅថា កាំ​ប្រសព្វ​ចំណុច ម អ៊ីពែបូលហើយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

នាយកសាលា អ៊ីពែបូលជាមួយនឹងសមីការ Canonical (8.4.4) បន្ទាត់ពីរត្រូវបានគេហៅថា

.

directrixes នៃ hyperbola កាត់កែងចតុកោណកែងសំខាន់ ហើយឆ្លងកាត់រវាងចំនុចកណ្តាល និង vertex ដែលត្រូវគ្នានៃ hyperbola (រូបភាព 8.2) ។

អូ សមាមាត្រកាំប្រសព្វ ពិន្ទុម អ៊ីពែបូឡា ទៅចម្ងាយ ពីចំណុចនេះទៅការផ្តោតអារម្មណ៍ដែលត្រូវគ្នា។ directrix ស្មើនឹង eccentricity អ៊ីពែបូឡានេះ (ការផ្តោតអារម្មណ៍ និង directrix ត្រូវបានចាត់ទុកថាត្រូវគ្នា ប្រសិនបើពួកវាស្ថិតនៅលើផ្នែកដូចគ្នានៃកណ្តាលអ៊ីពែបូឡា) ។

ប៉ារ៉ាបូឡា(រូបភាព 8.3) ត្រូវបានគេហៅថាទីតាំងនៃចំណុចនៅក្នុងយន្តហោះ ដែលចម្ងាយទៅចំណុចថេរមួយចំនួន ច (ការផ្តោតអារម្មណ៍នៃប៉ារ៉ាបូឡា) នៃយន្តហោះនេះគឺស្មើនឹងចម្ងាយទៅបន្ទាត់ថេរមួយចំនួន ( ប៉ារ៉ាបូឡា directrixes) ដែលមានទីតាំងនៅក្នុងយន្តហោះដែលបានពិចារណាផងដែរ។

ចូរយើងជ្រើសរើសការចាប់ផ្តើម អូប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណនៅកណ្តាលផ្នែក [ FD] ដែលជាការកាត់កែងធ្លាក់ចុះពីការផ្តោតអារម្មណ៍ ចទៅ directrix (វាត្រូវបានសន្មត់ថាការផ្តោតអារម្មណ៍មិនមែនជារបស់ directrix) និងអ័ក្ស គោនិង អូដោយផ្ទាល់ដូចបង្ហាញក្នុងរូប។ ៨.៣. សូមឱ្យប្រវែងនៃផ្នែក [ FD] ស្មើនឹង ទំ. បន្ទាប់មកនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានជ្រើសរើស
និង សមីការ canonical parabolaមានទម្រង់

. (8.4.6)

តម្លៃ ទំបានហៅ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រប៉ារ៉ាបូល។.

ប៉ារ៉ាបូឡាមានអ័ក្សស៊ីមេទ្រីដែលហៅថា អ័ក្សប៉ារ៉ាបូឡា. ចំណុចប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡាដែលមានអ័ក្សរបស់វាត្រូវបានគេហៅថា កំពូលនៃប៉ារ៉ាបូឡា. ប្រសិនបើប៉ារ៉ាបូឡាត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ Canonical របស់វា (8.4.6) នោះអ័ក្សរបស់ប៉ារ៉ាបូឡាគឺជាអ័ក្ស គោ. ជាក់ស្តែង ចំនុចកំពូលនៃប៉ារ៉ាបូឡាគឺជាប្រភពដើម។

ឧទាហរណ៍ ១ចំណុច ប៉ុន្តែ= (2, –1) ជា​របស់​ពង​ក្រពើ​ចំណុច ច= (1, 0) គឺជាការផ្តោតអារម្មណ៍របស់វា ដែលត្រូវគ្នានឹង ច directrix ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ
. សរសេរសមីការសម្រាប់ពងក្រពើនេះ។

ការសម្រេចចិត្ត។យើងនឹងសន្មត់ថាប្រព័ន្ធកូអរដោណេមានរាងចតុកោណ។ បន្ទាប់មកចម្ងាយ ពីចំណុច ប៉ុន្តែទៅកាន់នាយកសាលា
ស្របតាមទំនាក់ទំនង (8.1.8) ដែលក្នុងនោះ


, ស្មើ

.

ចម្ងាយ ពីចំណុច ប៉ុន្តែដើម្បីផ្តោតអារម្មណ៍ ចស្មើ

,

ដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់ eccentricity នៃរាងពងក្រពើ

.

អនុញ្ញាតឱ្យមាន ម = (x, y) គឺជាចំណុចបំពាននៃរាងពងក្រពើ។ បន្ទាប់មកចម្ងាយ
ពីចំណុច មទៅកាន់នាយកសាលា
យោងតាមរូបមន្ត (8.1.8) គឺស្មើនឹង

និងចម្ងាយ ពីចំណុច មដើម្បីផ្តោតអារម្មណ៍ ចស្មើ

.

ចាប់តាំងពីសម្រាប់ចំណុចណាមួយនៃពងក្រពើទំនាក់ទំនង គឺជាតម្លៃថេរដែលស្មើនឹង eccentricity នៃរាងពងក្រពើ ដូច្នេះយើងមាន

,

ឧទាហរណ៍ ២ខ្សែកោងត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ

នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ។ ស្វែងរកប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Canonical និងសមីការ Canonical នៃខ្សែកោងនេះ។ កំណត់ប្រភេទខ្សែកោង។

ការសម្រេចចិត្ត។ទម្រង់បួនជ្រុង
មានម៉ាទ្រីស

.

ពហុនាមលក្ខណៈរបស់វា។

មានឫស  1 = 4 និង  2 = 9 ។ ដូច្នេះនៅក្នុងមូលដ្ឋាន orthonormal នៃ eigenvectors នៃម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែទម្រង់បួនជ្រុងដែលត្រូវបានពិចារណាមានទម្រង់ Canonical

.

ចូរយើងបន្តទៅការសាងសង់ម៉ាទ្រីសនៃការបំប្លែងអថេរ orthogonal ដែលកាត់បន្ថយទម្រង់ quadratic ដែលបានពិចារណាទៅជាទម្រង់ Canonical ដែលបានបញ្ជាក់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងនឹងសាងសង់ប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការ
និងធ្វើឱ្យពួកវាមានលក្ខណៈធម្មតា។

នៅ
ប្រព័ន្ធនេះមើលទៅដូចជា

ដំណោះស្រាយទូទៅរបស់វាគឺ
. មានអថេរឥតគិតថ្លៃមួយនៅទីនេះ។ ដូច្នេះប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយមានវ៉ិចទ័រមួយឧទាហរណ៍វ៉ិចទ័រ
. ធ្វើ​ឱ្យ​វា​ធម្មតា យើង​ទទួល​បាន​វ៉ិចទ័រ

.

នៅ
យើងក៏នឹងបង្កើតវ៉ិចទ័រផងដែរ។

.

វ៉ិចទ័រ និង គឺ​ជា​អ័រតូហ្គោន​រួច​ទៅ​ហើយ ចាប់​តាំង​ពី​ពួក​គេ​សំដៅ​ទៅ​លើ eigenvalues ​​ផ្សេង​គ្នា​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ស៊ីមេទ្រី ប៉ុន្តែ. ពួកវាបង្កើតបានជាមូលដ្ឋានរាងចតុកោណកែងនៃទម្រង់បួនជ្រុងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ពីជួរឈរនៃកូអរដោនេរបស់ពួកគេ ម៉ាទ្រីស orthogonal ដែលចង់បាន (ម៉ាទ្រីសបង្វិល) ត្រូវបានបង្កើតឡើង

.

ពិនិត្យភាពត្រឹមត្រូវនៃការស្វែងរកម៉ាទ្រីស រយោងតាមរូបមន្ត
កន្លែងណា
គឺជាម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់បួនជ្រុងក្នុងមូលដ្ឋាន
:

ម៉ាទ្រីស របានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។

ចូរយើងអនុវត្តការបំប្លែងអថេរ

ហើយសរសេរសមីការនៃខ្សែកោងនេះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណកែងថ្មីជាមួយនឹងវ៉ិចទ័រកណ្តាលចាស់ និងទិស
:

កន្លែងណា
.

យើងទទួលបានសមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ

.

ដោយសារតែការពិតដែលថាការផ្លាស់ប្តូរលទ្ធផលនៃកូអរដោនេចតុកោណត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

,

,

ប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Canonical
មានការចាប់ផ្តើម
និងវ៉ិចទ័រទិសដៅ
.

ឧទាហរណ៍ ៣ដោយប្រើទ្រឹស្តីមិនប្រែប្រួល កំណត់ប្រភេទ និងសរសេរសមីការ Canonical នៃខ្សែកោង

ការសម្រេចចិត្ត។ដរាបណា

,

ស្របតាមតារាង។ 8.1 យើងសន្និដ្ឋានថានេះគឺជាអ៊ីពែបូល។

ចាប់តាំងពី s = 0 ពហុនាមលក្ខណៈនៃម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់ការ៉េ

ឫសរបស់វា។
និង
អនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរសមីការ Canonical នៃខ្សែកោង

កន្លែងណា ជាមួយត្រូវបានរកឃើញពីស្ថានភាព

,

.

សមីការ Canonical ដែលចង់បាននៃខ្សែកោង

.

នៅក្នុងបញ្ហានៃផ្នែកនេះកូអរដោនេx, yសន្មតថាជាចតុកោណ។

8.4.1. សម្រាប់ពងក្រពើ
និង
ស្វែងរក៖

ក) ពាក់កណ្តាលអ័ក្ស;

ខ) ល្បិច;

គ) ភាពចម្លែក;

ឃ) សមីការ directrix ។

8.4.2. សរសេរសមីការនៃពងក្រពើដោយដឹងពីការផ្តោតអារម្មណ៍របស់វា។
ដែលត្រូវគ្នានឹង directrix x= 8 និង eccentricity . ស្វែងរកការផ្តោតអារម្មណ៍ទីពីរ និង directrix ទីពីរនៃរាងពងក្រពើ។

8.4.3. សរសេរសមីការសម្រាប់ពងក្រពើដែល foci គឺ (1, 0) និង (0, 1) ហើយអ័ក្សសំខាន់របស់វាគឺពីរ។

8.4.4. ដាណា អស្ចារ្យ
. ស្វែងរក៖

ក) អ័ក្ស កនិង ខ;

ខ) ល្បិច;

គ) ភាពចម្លែក;

ឃ) សមីការ asymptote;

e) សមីការ directrix ។

8.4.5. ដាណា អស្ចារ្យ
. ស្វែងរក៖

ក) អ័ក្ស កនិង ខ;

ខ) ល្បិច;

គ) ភាពចម្លែក;

ឃ) សមីការ asymptote;

e) សមីការ directrix ។

8.4.6. ចំណុច
ជាកម្មសិទ្ធិរបស់អ៊ីពែបូឡាដែលផ្តោតសំខាន់
ហើយ directrix ដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ
. សរសេរសមីការសម្រាប់អ៊ីពែបូឡានេះ។

8.4.7. សរសេរសមីការសម្រាប់ប៉ារ៉ាបូឡាដែលផ្តោតលើវា។
និងនាយកសាលា
.

8.4.8. បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ចំណុច​កំពូល​នៃ parabola មួយ​
និងសមីការ directrix
. សរសេរសមីការសម្រាប់ប៉ារ៉ាបូឡានេះ។

8.4.9. សរសេរសមីការសម្រាប់ប៉ារ៉ាបូឡាដែលការផ្តោតអារម្មណ៍គឺនៅចំណុចមួយ។

ហើយ directrix ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ
.

8.4.10. សរសេរសមីការសម្រាប់ខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរដោយដឹងពីភាពប្លែករបស់វា។
, ផ្តោត
និងនាយកដែលត្រូវគ្នា។
.

8.4.11. កំណត់ប្រភេទនៃខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរ សរសេរសមីការ Canonical របស់វា និងស្វែងរកប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Canonical៖

ឆ)
;

8.4.12.

គឺជាពងក្រពើ។ ស្វែងរកប្រវែងនៃអ័ក្សពាក់កណ្តាល និង eccentricity នៃរាងពងក្រពើនេះ កូអរដោនេនៃចំនុចកណ្តាល និង foci សរសេរសមីការនៃអ័ក្ស និង directrixes ។

8.4.13. បង្ហាញថាខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរដែលផ្តល់ដោយសមីការ

គឺ​ជា hyperbole ។ ស្វែងរកប្រវែងនៃអ័ក្សពាក់កណ្តាល និង eccentricity នៃអ៊ីពែបូឡានេះ កូអរដោនេនៃកណ្តាល និង foci សរសេរសមីការសម្រាប់អ័ក្ស directrixes និង asymptotes ។

8.4.14. បង្ហាញថាខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរដែលផ្តល់ដោយសមីការ

,

គឺជាប៉ារ៉ាបូឡា។ ស្វែងរកប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃប៉ារ៉ាបូឡានេះ កូអរដោនេនៃចំនុចកំពូល និងការផ្តោតអារម្មណ៍ សរសេរសមីការសម្រាប់អ័ក្ស និង directrix ។

8.4.15. នាំយកសមីការខាងក្រោមនីមួយៗទៅជាទម្រង់ Canonical ។ គូរក្នុងគំនូរខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរដែលត្រូវគ្នាដោយគោរពតាមប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណកែងដើម៖

8.4.16. ដោយប្រើទ្រឹស្តីមិនប្រែប្រួល កំណត់ប្រភេទ និងសរសេរសមីការ Canonical នៃខ្សែកោង។

១១.១. គំនិតជាមូលដ្ឋាន

ពិចារណាបន្ទាត់ដែលបានកំណត់ដោយសមីការនៃដឺក្រេទីពីរទាក់ទងទៅនឹងកូអរដោនេបច្ចុប្បន្ន

មេគុណនៃសមីការគឺជាចំនួនពិត ប៉ុន្តែយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមលេខ A, B, ឬ C គឺមិនមែនសូន្យទេ។ បន្ទាត់បែបនេះត្រូវបានគេហៅថាបន្ទាត់ (ខ្សែកោង) នៃលំដាប់ទីពីរ។ វានឹងត្រូវបានបង្កើតឡើងខាងក្រោមសមីការ (11.1) កំណត់រង្វង់ រាងពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា ឬប៉ារ៉ាបូឡានៅក្នុងយន្តហោះ។ មុននឹងបន្តការអះអាងនេះ ចូរយើងសិក្សាពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃខ្សែកោងដែលបានរាប់បញ្ចូល។

១១.២. រង្វង់

ខ្សែកោងសាមញ្ញបំផុតនៃលំដាប់ទីពីរគឺរង្វង់។ សូមចាំថារង្វង់នៃកាំ R ដែលដាក់ចំកណ្តាលចំនុចមួយគឺជាសំណុំនៃចំនុចទាំងអស់Μនៃយន្តហោះដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ។ អនុញ្ញាតឱ្យចំណុចមួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណមានកូអរដោនេ x 0, y 0 a - ចំណុចបំពាននៃរង្វង់ (សូមមើលរូបភាពទី 48) ។

បន្ទាប់មកពីលក្ខខណ្ឌយើងទទួលបានសមីការ

(11.2)

សមីការ (11.2) ពេញចិត្តដោយកូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយនៅលើរង្វង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យហើយមិនពេញចិត្តដោយកូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយដែលមិនស្ថិតនៅលើរង្វង់។

សមីការ (១១.២) ត្រូវបានគេហៅថា សមីការ Canonical នៃរង្វង់

ជាពិសេស ការសន្មត់ និង , យើងទទួលបានសមីការនៃរង្វង់ដែលផ្តោតលើប្រភពដើម .

សមីការរង្វង់ (11.2) បន្ទាប់ពីការបំលែងសាមញ្ញនឹងយកទម្រង់។ នៅពេលប្រៀបធៀបសមីការនេះជាមួយនឹងសមីការទូទៅ (11.1) នៃខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរ វាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថាលក្ខខណ្ឌពីរគឺពេញចិត្តសម្រាប់សមីការនៃរង្វង់មួយ៖

1) មេគុណនៅ x 2 និង y 2 គឺស្មើគ្នា។

2) មិនមានសមាជិកដែលមានផលិតផល xy នៃកូអរដោនេបច្ចុប្បន្នទេ។

ចូរយើងពិចារណាបញ្ហាបញ្ច្រាស។ ដាក់ក្នុងសមីការ (១១.១) តម្លៃ ហើយយើងទទួលបាន

ចូរយើងបំប្លែងសមីការនេះ៖

(11.4)

វាធ្វើតាមសមីការ (11.3) កំណត់រង្វង់ក្រោមលក្ខខណ្ឌ . ចំណុចកណ្តាលរបស់វាស្ថិតនៅត្រង់ចំណុច និងកាំ

.

ប្រសិនបើ បន្ទាប់មកសមីការ (១១.៣) មានទម្រង់

.

វាត្រូវបានពេញចិត្តដោយកូអរដោនេនៃចំណុចតែមួយ . ក្នុងករណីនេះពួកគេនិយាយថា "រង្វង់បានប្រែទៅជាចំណុចមួយ" (មានកាំសូន្យ) ។

ប្រសិនបើ ក បន្ទាប់មកសមីការ (១១.៤) ហើយដូច្នេះសមីការសមមូល (១១.៣) នឹងមិនកំណត់បន្ទាត់ណាមួយឡើយ ដោយសារផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ (១១.៤) គឺអវិជ្ជមាន ហើយផ្នែកខាងឆ្វេងមិនអវិជ្ជមាន (និយាយថា៖ “រង្វង់ស្រមើលស្រមៃ”)។

១១.៣. ពងក្រពើ

សមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ

ពងក្រពើ គឺជាសំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៃយន្តហោះ ផលបូកនៃចម្ងាយពីពួកវានីមួយៗទៅចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃយន្តហោះនេះ ហៅថា ល្បិច , គឺជាតម្លៃថេរដែលធំជាងចម្ងាយរវាង foci ។

សម្គាល់ foci ដោយ F1និង F2, ចម្ងាយរវាងពួកវាក្នុង 2 គនិងផលបូកនៃចម្ងាយពីចំណុចបំពាននៃពងក្រពើទៅ foci - ដល់ 2 ក(សូមមើលរូប 49)។ តាមនិយមន័យ ២ ក > 2គ, i.e. ក > គ.

ដើម្បីទទួលបានសមីការនៃពងក្រពើ យើងជ្រើសរើសប្រព័ន្ធកូអរដោណេ ដើម្បីឱ្យ foci F1និង F2ស្ថិតនៅលើអ័ក្ស ហើយប្រភពដើមស្របគ្នានឹងចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក F 1 F ២. បន្ទាប់មក foci នឹងមានកូអរដោនេដូចខាងក្រោម: និង .

ទុកជាចំណុចបំពាននៃរាងពងក្រពើ។ បន្ទាប់មកយោងទៅតាមនិយមន័យនៃរាងពងក្រពើ i.e.

តាមពិតនេះគឺជាសមីការនៃពងក្រពើ។

យើងបំប្លែងសមីការ (១១.៥) ទៅជាទម្រង់សាមញ្ញដូចខាងក្រោម៖

ជា ក>ជាមួយបន្ទាប់មក។ តោះដាក់

(11.6)

បន្ទាប់មកសមីការចុងក្រោយយកទម្រង់ ឬ

(11.7)

វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាសមីការ (11.7) គឺស្មើនឹងសមីការដើម។ វាត្រូវបានគេហៅថា សមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ .

រាងពងក្រពើគឺជាខ្សែកោងនៃលំដាប់ទីពីរ។

សិក្សាពីរាងពងក្រពើតាមសមីការរបស់វា។

ចូរយើងបង្កើតរាងពងក្រពើដោយប្រើសមីការ Canonical របស់វា។

1. សមីការ (11.7) មាន x និង y តែនៅក្នុងអំណាចគូ ដូច្នេះប្រសិនបើចំនុចមួយជារបស់ពងក្រពើ នោះចំនុច ,, ក៏ជាកម្មសិទ្ធិរបស់វាផងដែរ។ វាធ្វើតាមថាពងក្រពើគឺស៊ីមេទ្រីដោយគោរពតាមអ័ក្ស និង ក៏ដូចជាទាក់ទងនឹងចំណុច ដែលត្រូវបានគេហៅថាកណ្តាលនៃពងក្រពើ។

2. រកចំនុចប្រសព្វនៃពងក្រពើជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ។ ការដាក់ យើងរកឃើញចំណុចពីរ ហើយដែលអ័ក្សកាត់កែងពងក្រពើ (សូមមើលរូប 50)។ ការដាក់សមីការ (១១.៧) យើងរកឃើញចំនុចប្រសព្វនៃពងក្រពើជាមួយអ័ក្ស៖ និង . ពិន្ទុ ក 1 , ក២ , ខ១, ខ២បានហៅ ចំនុចកំពូលនៃរាងពងក្រពើ. ចម្រៀក ក 1 ក២និង B1 B2ក៏ដូចជាប្រវែងរបស់ពួកគេ ២ កនិង ២ ខត្រូវបានគេហៅថារៀងៗខ្លួន អ័ក្សធំនិងតូចពងក្រពើ។ លេខ កនិង ខត្រូវបានគេហៅថាធំនិងតូចរៀងគ្នា។ អ័ក្សអ័ក្សពងក្រពើ។

3. វាធ្វើតាមសមីការ (11.7) ដែលពាក្យនីមួយៗនៅខាងឆ្វេងដៃមិនលើសពីមួយ ពោលគឺឧ។ មានវិសមភាព និង ឬ និង។ ដូច្នេះចំនុចទាំងអស់នៃពងក្រពើស្ថិតនៅខាងក្នុងចតុកោណកែងដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់។

4. នៅក្នុងសមីការ (11.7) ផលបូកនៃពាក្យមិនអវិជ្ជមាន និងស្មើនឹងមួយ។ អាស្រ័យហេតុនេះ នៅពេលដែលពាក្យមួយកើនឡើង មួយទៀតនឹងថយចុះ ពោលគឺប្រសិនបើវាកើនឡើង នោះវានឹងថយចុះ ហើយផ្ទុយមកវិញ។

ពីអ្វីដែលបាននិយាយវាដូចខាងក្រោមថាពងក្រពើមានរាងដូចបង្ហាញក្នុងរូបភព។ 50 (ខ្សែកោងបិទរាងពងក្រពើ) ។

បន្ថែមទៀតអំពីពងក្រពើ

រូបរាងនៃពងក្រពើអាស្រ័យលើសមាមាត្រ។ នៅពេលដែលពងក្រពើប្រែទៅជារង្វង់ សមីការពងក្រពើ (11.7) ទទួលបានទម្រង់។ ជាលក្ខណៈនៃរាងពងក្រពើ សមាមាត្រត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់ជាង។ សមាមាត្រនៃចម្ងាយពាក់កណ្តាលរវាង foci ទៅអ័ក្សពាក់កណ្តាលសំខាន់នៃរាងពងក្រពើត្រូវបានគេហៅថា eccentricity នៃរាងពងក្រពើ ហើយ o6o ត្រូវបានបង្ហាញដោយអក្សរ ε ("epsilon"):

ជាមួយ 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

នេះបង្ហាញថាភាពច្របូកច្របល់នៃរាងពងក្រពើកាន់តែតូច រាងពងក្រពើនឹងកាន់តែតូច។ ប្រសិនបើយើងដាក់ ε = 0 នោះពងក្រពើប្រែទៅជារង្វង់។

អនុញ្ញាតឱ្យ M(x; y) ជាចំណុចបំពាននៃរាងពងក្រពើជាមួយ foci F 1 និង F 2 (សូមមើលរូបភាព 51) ។ ប្រវែងនៃផ្នែក F 1 M = r 1 និង F 2 M = r 2 ត្រូវបានគេហៅថាកាំប្រសព្វនៃចំនុច M ។ ជាក់ស្តែង

មានរូបមន្ត

បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានគេហៅថា

ទ្រឹស្តីបទ ១១.១.ប្រសិនបើចម្ងាយពីចំណុចបំពាននៃពងក្រពើទៅការផ្តោតអារម្មណ៍មួយចំនួន d គឺជាចម្ងាយពីចំណុចដូចគ្នាទៅ directrix ដែលត្រូវគ្នានឹងការផ្តោតអារម្មណ៍នេះ នោះសមាមាត្រគឺជាតម្លៃថេរស្មើនឹង eccentricity នៃរាងពងក្រពើ៖

វាធ្វើតាមសមភាព (11.6) នោះ។ ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មកសមីការ (11.7) កំណត់ពងក្រពើ អ័ក្សធំដែលស្ថិតនៅលើអ័ក្ស Oy ហើយអ័ក្សតូចស្ថិតនៅលើអ័ក្ស Ox (សូមមើលរូបភាព 52)។ foci នៃរាងពងក្រពើបែបនេះគឺនៅចំណុចនិង , កន្លែងណា .

១១.៤. អ៊ីពែបូឡា

សមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡា

អ៊ីពែបូល។ សំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៃយន្តហោះត្រូវបានគេហៅថា ម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយពីចំណុចនីមួយៗទៅចំណុចពីរនៃយន្តហោះនេះ ហៅថា ល្បិច ជាតម្លៃថេរ តូចជាងចម្ងាយរវាង foci ។

សម្គាល់ foci ដោយ F1និង F2ចម្ងាយរវាងពួកគេឆ្លងកាត់ 2 វិនិងម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយពីចំណុចនីមួយៗនៃអ៊ីពែបូឡាទៅ foci តាមរយៈ 2 ក. A-priory 2 ក < 2 វិ, i.e. ក < គ.

ដើម្បីទាញយកសមីការអ៊ីពែបូឡា យើងជ្រើសរើសប្រព័ន្ធកូអរដោណេ ដើម្បីឱ្យ foci F1និង F2ស្ថិតនៅលើអ័ក្ស ហើយប្រភពដើមស្របគ្នានឹងចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក F 1 F ២(សូមមើលរូប 53)។ បន្ទាប់មក foci នឹងមានកូអរដោនេនិង

ទុកជាចំណុចបំពាននៃអ៊ីពែបូឡា។ បន្ទាប់មកយោងទៅតាមនិយមន័យនៃអ៊ីពែបូឡា ឬ ឧ. បន្ទាប់ពីការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ ដូចដែលបានធ្វើនៅពេលដែលទទួលបានសមីការពងក្រពើ យើងទទួលបាន សមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡា

(11.9)

(11.10)

អ៊ីពែបូឡាគឺជាជួរនៃលំដាប់ទីពីរ។

ការស៊ើបអង្កេតលើទម្រង់នៃអ៊ីពែបូឡា យោងទៅតាមសមីការរបស់វា។

ចូរយើងបង្កើតរូបរាងរបស់អ៊ីពែបូឡា ដោយប្រើសមីការ caconic របស់វា។

1. សមីការ (11.9) មាន x និង y ក្នុងអំណាចគូប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះអ៊ីពែបូឡាគឺស៊ីមេទ្រីដោយគោរពតាមអ័ក្ស និង ក៏ដូចជាទាក់ទងនឹងចំណុច ដែលត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចកណ្តាលនៃអ៊ីពែបូឡា។

2. ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃអ៊ីពែបូឡាដែលមានអ័ក្សកូអរដោនេ។ ការដាក់សមីការ (11.9) យើងរកឃើញចំនុចប្រសព្វនៃអ៊ីពែបូឡាពីរជាមួយនឹងអ័ក្ស : និង . ការដាក់ (11.9) យើងទទួលបាន ដែលមិនអាចជា។ ដូច្នេះអ៊ីពែបូឡាមិនប្រសព្វអ័ក្ស y ទេ។

ចំណុចនិងត្រូវបានគេហៅថា កំពូល អ៊ីពែបូឡាស និងផ្នែក

អ័ក្សពិត , ផ្នែក​បន្ទាត់ - semiaxis ពិតប្រាកដ អ៊ីពែបូល

ផ្នែកបន្ទាត់តភ្ជាប់ចំណុចត្រូវបានគេហៅថា អ័ក្សស្រមៃ , លេខ ខ - អ័ក្សស្រមៃ . ចតុកោណជាមួយភាគី 2 កនិង 2 ខបានហៅ ចតុកោណកែងសំខាន់នៃអ៊ីពែបូឡា .

3. វាធ្វើតាមសមីការ (11.9) ដែល minuend មិនតិចជាងមួយ ពោលគឺ ថា ឬ . នេះមានន័យថាចំនុចនៃអ៊ីពែបូឡាមានទីតាំងនៅខាងស្តាំបន្ទាត់ (សាខាខាងស្តាំនៃអ៊ីពែបូឡា) និងនៅខាងឆ្វេងនៃបន្ទាត់ (សាខាខាងឆ្វេងនៃអ៊ីពែបូឡា)។

4. ពីសមីការ (11.9) នៃអ៊ីពែបូឡា គេអាចមើលឃើញថានៅពេលដែលវាកើនឡើង នោះវាក៏កើនឡើងផងដែរ។ នេះកើតឡើងពីការពិតដែលថាភាពខុសគ្នារក្សាតម្លៃថេរស្មើនឹងមួយ។

វាធ្វើតាមអ្វីដែលត្រូវបានគេនិយាយថាអ៊ីពែបូឡាមានរាងដូចបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 54 (ខ្សែកោងដែលមានមែកធាងពីរដែលមិនមានព្រំដែន)។

រោគសញ្ញានៃអ៊ីពែបូឡា

បន្ទាត់ L ត្រូវបានគេហៅថា asymptote នៃខ្សែកោងគ្មានដែនកំណត់ K ប្រសិនបើចម្ងាយ d ពីចំណុច M នៃខ្សែកោង K ទៅបន្ទាត់នេះមានទំនោរទៅសូន្យ ដោយសារចំនុច M ផ្លាស់ទីតាមខ្សែកោង K ដោយមិនកំណត់ពីប្រភពដើម។ រូបភាពទី 55 បង្ហាញពីគំនិតនៃ asymptote មួយ: បន្ទាត់ L គឺជា asymptote សម្រាប់ខ្សែកោង K ។

ចូរយើងបង្ហាញថាអ៊ីពែបូឡាមាន asymtotes ពីរ៖

(11.11)

ដោយសារបន្ទាត់ (11.11) និងអ៊ីពែបូឡា (11.9) គឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពិចារណាតែចំណុចទាំងនោះនៃបន្ទាត់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញដែលមានទីតាំងនៅបួនជ្រុងទីមួយ។

យកបន្ទាត់ត្រង់ចំនុច N ដែលមាន abscissa x ដូចគ្នាជាចំនុចនៅលើអ៊ីពែបូឡា (សូមមើលរូប 56) ហើយស្វែងរកភាពខុសគ្នា ΜN រវាងការចាត់តាំងនៃបន្ទាត់ត្រង់ និងសាខានៃអ៊ីពែបូឡា៖

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញនៅពេលដែល x កើនឡើង ភាគបែងនៃប្រភាគកើនឡើង។ លេខភាគគឺជាតម្លៃថេរ។ ដូច្នេះប្រវែងនៃផ្នែក ΜN ទំនោរទៅសូន្យ។ ដោយសារ ΜN ធំជាងចំងាយ d ពីចំនុចΜ ទៅបន្ទាត់ នោះ d កាន់តែមានទំនោរទៅសូន្យ។ ដូច្នេះ បន្ទាត់គឺជាសញ្ញានៃអ៊ីពែបូឡា (១១.៩)។

នៅពេលសាងសង់អ៊ីពែបូឡា (11.9) ជាដំបូងគួរតែសាងសង់ចតុកោណកែងសំខាន់នៃអ៊ីពែបូឡា (សូមមើលរូបទី 57) គូរបន្ទាត់កាត់តាមចំនុចកំពូលផ្ទុយនៃចតុកោណកែងនេះ - សញ្ញានៃអ៊ីពែបូឡា ហើយសម្គាល់ចំនុចកំពូល និង អ៊ីពែបូឡា .

សមីការនៃអ៊ីពែបូឡាសមមូល។

asymtotes ដែល​ជា​អ័ក្ស​កូអរដោណេ

អ៊ីពែបូឡា (11.9) ត្រូវបានគេហៅថាសមភាព ប្រសិនបើ semiaxes របស់វាស្មើគ្នា ()។ សមីការ Canonical របស់វា។

(11.12)

asymtotes នៃអ៊ីពែបូឡាសមមូលមានសមីការ ហើយដូច្នេះគឺជាផ្នែកនៃមុំកូអរដោនេ។

ពិចារណាសមីការនៃអ៊ីពែបូឡានេះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេថ្មី (សូមមើលរូប 58) ដែលទទួលបានពីចំណុចចាស់ដោយការបង្វិលអ័ក្សកូអរដោនេដោយមុំមួយ។ យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ការបង្វិលអ័ក្សកូអរដោនេ៖

យើងជំនួសតម្លៃនៃ x និង y ក្នុងសមីការ (11.12)៖

សមីការនៃអ៊ីពែបូឡាសមមូល ដែលអ័ក្ស Ox និង Oy ជា asymtotes នឹងមានទម្រង់ .

បន្ថែមទៀតអំពី hyperbole

ភាពចម្លែក អ៊ីពែបូឡា (១១.៩) គឺជាសមាមាត្រនៃចម្ងាយរវាង foci ទៅនឹងតម្លៃនៃអ័ក្សពិតនៃអ៊ីពែបូឡា ដែលតំណាងដោយε៖

ដោយសារអ៊ីពែបូឡា ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡាគឺធំជាងមួយ៖ . Eccentricity កំណត់រូបរាងរបស់អ៊ីពែបូឡា។ ពិតប្រាកដណាស់ វាធ្វើតាមសមភាព (11.10) ពោលគឺឧ។ និង .

នេះបង្ហាញថា ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡាកាន់តែតូច សមាមាត្រនៃអ័ក្សពាក់កណ្តាលរបស់វាកាន់តែតូច ដែលមានន័យថា ចតុកោណកែងធំរបស់វាកាន់តែពង្រីក។

ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡាសមមូលគឺ . ពិតជា

កាំប្រសព្វ និង សម្រាប់ចំនុចនៃសាខាខាងស្តាំនៃអ៊ីពែបូឡាមានទម្រង់ និង និងសម្រាប់ខាងឆ្វេង - និង .

បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានគេហៅថា directrixes នៃអ៊ីពែបូឡា។ ចាប់តាំងពីសម្រាប់អ៊ីពែបូឡា ε > 1 បន្ទាប់មក . នេះមានន័យថា directrix ខាងស្តាំស្ថិតនៅចន្លោះកណ្តាល និង vertex ខាងស្តាំនៃ hyperbola នោះ directrix ខាងឆ្វេងស្ថិតនៅចន្លោះកណ្តាល និង vertex ខាងឆ្វេង។

directrixes នៃ hyperbola មានទ្រព្យសម្បត្តិដូចគ្នាទៅនឹង directrixes នៃ ellipse មួយ។

ខ្សែកោងដែលកំណត់ដោយសមីការក៏ជាអ៊ីពែបូឡាដែរ អ័ក្សពិត 2b ដែលស្ថិតនៅលើអ័ក្សអូយ និងអ័ក្សស្រមើស្រមៃ 2 ក- នៅលើអ័ក្សអុក។ នៅក្នុងរូបភាពទី 59 វាត្រូវបានបង្ហាញជាបន្ទាត់ចំនុច។

ជាក់ស្តែង អ៊ីពែបូឡាស ហើយមានរោគសញ្ញាទូទៅ។ អ៊ីពែបូឡាសបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា conjugate ។

១១.៥. ប៉ារ៉ាបូឡា

សមីការប៉ារ៉ាបូឡា Canonical

ប៉ារ៉ាបូឡាគឺជាសំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៅក្នុងយន្តហោះ ដែលនីមួយៗស្ថិតនៅចម្ងាយស្មើគ្នាពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហៅថាការផ្តោតអារម្មណ៍ និងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យហៅថា directrix ។ ចម្ងាយពីការផ្តោតអារម្មណ៍ F ទៅ directrix ត្រូវបានគេហៅថាប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃ parabola ហើយត្រូវបានតាងដោយ p (p> 0) ។

ដើម្បីទទួលបានសមីការប៉ារ៉ាបូឡា យើងជ្រើសរើសប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Oxy ដើម្បីឱ្យអ័ក្ស Oxy ឆ្លងកាត់ការផ្តោត F កាត់កែងទៅ directrix ក្នុងទិសដៅពី directrix ទៅ F ហើយប្រភពដើម O ស្ថិតនៅចំកណ្តាលរវាងចំនុចផ្តោត និង directrix (សូមមើលរូប 60)។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធដែលបានជ្រើសរើស ការផ្តោតអារម្មណ៍ F មានកូអរដោនេ ហើយសមីការ directrix មានទម្រង់ ឬ .

1. នៅក្នុងសមីការ (11.13) អថេរ y ត្រូវបានរួមបញ្ចូលក្នុងដឺក្រេគូ ដែលមានន័យថា ប៉ារ៉ាបូឡាគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សអុក។ អ័ក្ស x គឺជាអ័ក្សស៊ីមេទ្រីនៃប៉ារ៉ាបូឡា។

2. ចាប់តាំងពី ρ > 0 វាធ្វើតាមពី (11.13) នោះ។ ដូច្នេះប៉ារ៉ាបូឡាមានទីតាំងនៅខាងស្តាំអ័ក្ស y ។

3. នៅពេលដែលយើងមាន y \u003d 0. ដូច្នេះ ប៉ារ៉ាបូឡាឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។

4. ជាមួយនឹងការកើនឡើងគ្មានដែនកំណត់ក្នុង x ម៉ូឌុល y ក៏កើនឡើងដោយគ្មានកំណត់។ ប៉ារ៉ាបូឡាមានទម្រង់ (រាង) ដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី ៦១។ ចំនុច O (0; 0) ត្រូវបានគេហៅថា vertex នៃ parabola, ផ្នែក FM \u003d r ត្រូវបានគេហៅថា កាំប្រសព្វនៃចំនុច M.

សមីការ , , ( p>0) ក៏កំណត់ប៉ារ៉ាបូឡាផងដែរ ពួកវាត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភាព 62

វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថាក្រាហ្វនៃត្រីកោណការ៉េដែល , B និង C គឺជាចំនួនពិតណាមួយ គឺជាប៉ារ៉ាបូឡាក្នុងន័យនិយមន័យរបស់វាខាងលើ។

១១.៦. សមីការទូទៅនៃលំដាប់ទីពីរ

សមីការនៃខ្សែកោងនៃលំដាប់ទីពីរដែលមានអ័ក្សស៊ីមេទ្រីស្របទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ

ទីមួយ ចូរយើងស្វែងរកសមីការនៃពងក្រពើដែលដាក់កណ្តាលនៅចំណុចដែលអ័ក្សស៊ីមេទ្រីគឺស្របទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ Ox និង Oy និង semiaxes រៀងគ្នាស្មើនឹង កនិង ខ. ចូរយើងដាក់នៅចំកណ្តាលនៃពងក្រពើ O 1 ដែលជាប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេថ្មី ដែលអ័ក្ស និងពាក់កណ្តាលអ័ក្ស កនិង ខ(សូមមើលរូប ៦៤)៖

ហើយចុងក្រោយ ប៉ារ៉ាបូឡាដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 65 មានសមីការដែលត្រូវគ្នា។

សមីការ

សមីការនៃរាងពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា ប៉ារ៉ាបូឡា និងសមីការនៃរង្វង់មួយបន្ទាប់ពីការបំលែង (តង្កៀបបើក ផ្លាស់ទីលក្ខខណ្ឌទាំងអស់នៃសមីការក្នុងទិសដៅមួយ នាំមកនូវពាក្យដូច ណែនាំសញ្ញាណថ្មីសម្រាប់មេគុណ) អាចត្រូវបានសរសេរដោយប្រើសមីការតែមួយនៃ ទំរង់

ដែលមេគុណ A និង C មិនស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយ។

សំណួរកើតឡើង៖ តើសមីការនៃទម្រង់ (11.14) កំណត់ខ្សែកោងណាមួយ (រង្វង់ រាងពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា ប៉ារ៉ាបូឡា) នៃលំដាប់ទីពីរទេ? ចម្លើយត្រូវបានផ្តល់ដោយទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ ១១.២. សមីការ (១១.១៤) តែងតែកំណត់៖ រង្វង់មួយ (សម្រាប់ A = C) ឬរាងពងក្រពើ (សម្រាប់ A C> 0) ឬអ៊ីពែបូឡា (សម្រាប់ A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

សមីការទូទៅនៃលំដាប់ទីពីរ

ឥឡូវនេះ សូមពិចារណាសមីការទូទៅនៃសញ្ញាប័ត្រទីពីរដែលមានពីរមិនស្គាល់៖

វាខុសគ្នាពីសមីការ (11.14) ដោយវត្តមាននៃពាក្យជាមួយនឹងផលិតផលនៃកូអរដោនេ (B¹ 0) ។ វាអាចទៅរួចដោយការបង្វិលអ័ក្សកូអរដោណេដោយមុំ a ដើម្បីបំប្លែងសមីការនេះ ដូច្នេះពាក្យដែលមានផលិតផលនៃកូអរដោណេគឺអវត្តមាននៅក្នុងវា។

ការប្រើរូបមន្តសម្រាប់បង្វិលអ័ក្ស

ចូរបង្ហាញពីកូអរដោណេចាស់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃថ្មី:

យើងជ្រើសរើសមុំ a ដើម្បីឱ្យមេគុណនៅ x "y" បាត់ ពោលគឺ ដូច្នេះសមភាព

ដូច្នេះនៅពេលដែលអ័ក្សត្រូវបានបង្វិលតាមមុំមួយ ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ (11.17) សមីការ (11.15) កាត់បន្ថយទៅជាសមីការ (11.14)។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ សមីការទូទៅនៃលំដាប់ទីពីរ (11.15) កំណត់នៅលើយន្តហោះ (លើកលែងតែករណីនៃការ degeneration និង decay) ខ្សែកោងខាងក្រោម៖ រង្វង់ ពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា ប៉ារ៉ាបូឡា។

ចំណាំ៖ ប្រសិនបើ A = C នោះសមីការ (11.17) បាត់បង់អត្ថន័យរបស់វា។ ក្នុងករណីនេះ cos2α = 0 (សូមមើល (11.16)) បន្ទាប់មក 2α = 90° ពោលគឺ α = 45°។ ដូច្នេះនៅ A = C ប្រព័ន្ធកូអរដោនេគួរតែត្រូវបានបង្វិលដោយ 45 °។

1. បន្ទាត់នៃលំដាប់ទីពីរនៅលើយន្តហោះ Euclidean ។

2. បំរែបំរួលនៃសមីការនៃបន្ទាត់នៃលំដាប់ទីពីរ។

3. ការកំណត់ប្រភេទនៃបន្ទាត់លំដាប់ទីពីរពី invariants នៃសមីការរបស់វា។

4. បន្ទាត់នៃលំដាប់ទីពីរនៅលើយន្តហោះ affine ។ ទ្រឹស្តីបទភាពប្លែក។

5. កណ្តាលនៃបន្ទាត់នៃលំដាប់ទីពីរ។

6. Asymtotes និងអង្កត់ផ្ចិតនៃបន្ទាត់លំដាប់ទីពីរ។

7. ការកាត់បន្ថយសមីការនៃបន្ទាត់នៃលំដាប់ទីពីរទៅសាមញ្ញបំផុត។

8. ទិសដៅសំខាន់និងអង្កត់ផ្ចិតនៃបន្ទាត់នៃលំដាប់ទីពីរ។

គម្ពីរប៊ីប

1. បន្ទាត់នៃលំដាប់ទីពីរនៅក្នុងយន្តហោះ Euclidean ។

និយមន័យ៖

យន្តហោះ Euclideanគឺជាចន្លោះនៃវិមាត្រ 2,

(លំហពិតពីរវិមាត្រ)។

បន្ទាត់នៃលំដាប់ទីពីរគឺជាបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វនៃកោណរាងជារង្វង់ដែលមានយន្តហោះដែលមិនឆ្លងកាត់ផ្នែកខាងលើរបស់វា។

បន្ទាត់ទាំងនេះត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុងសំណួរផ្សេងៗនៃវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ។ ជាឧទាហរណ៍ ចលនានៃចំណុចសម្ភារៈដែលស្ថិតនៅក្រោមឥទ្ធិពលនៃវាលទំនាញកណ្តាលកើតឡើងនៅតាមបណ្តោយបន្ទាត់មួយក្នុងចំណោមបន្ទាត់ទាំងនេះ។

ប្រសិនបើយន្តហោះកាត់កាត់ម៉ាស៊ីនភ្លើង rectilinear ទាំងអស់នៃបែហោងធ្មែញមួយនៃកោណ នោះបន្ទាត់មួយនឹងត្រូវបានទទួលនៅក្នុងផ្នែកដែលហៅថា ពងក្រពើ(រូបភាព 1.1, ក) ។ ប្រសិនបើយន្តហោះកាត់កាត់ម៉ាស៊ីនភ្លើងនៃបែហោងធ្មែញទាំងពីរនៃកោណ នោះនៅក្នុងផ្នែកមួយនឹងត្រូវបានទទួល ដែលហៅថា អ៊ីពែបូល(រូបភាព 1.1.6) ។ ហើយចុងក្រោយ ប្រសិនបើយន្តហោះ secant គឺស្របទៅនឹងម៉ាស៊ីនភ្លើងមួយនៃកោណ (ដោយ 1.1, ក្នុង- នេះគឺជាម៉ាស៊ីនភ្លើង AB),បន្ទាប់មកនៅក្នុងផ្នែកអ្នកទទួលបានបន្ទាត់ហៅថា ប៉ារ៉ាបូឡា។អង្ករ។ 1.1 ផ្តល់នូវការតំណាងដែលមើលឃើញនៃរូបរាងនៃបន្ទាត់ដែលកំពុងពិចារណា។

រូបភាព 1.1

សមីការទូទៅនៃជួរលំដាប់ទីពីរមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

(1)

(1*)

ពងក្រពើ គឺជាសំណុំនៃចំនុចនៅក្នុងយន្តហោះដែលផលបូកនៃចម្ងាយទៅពីរ ពិន្ទុថេរ ច 1 និង ច 2 យន្តហោះនេះហៅថា foci គឺជាតម្លៃថេរ។

នេះមិនរាប់បញ្ចូលភាពចៃដន្យនៃ foci នៃរាងពងក្រពើនោះទេ។ ជាក់ស្តែង ប្រសិនបើ foci គឺដូចគ្នា នោះពងក្រពើគឺជារង្វង់។

ដើម្បីទទួលបានសមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ យើងជ្រើសរើសប្រភពដើម O នៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian នៅកណ្តាលផ្នែក ច 1 ច 2 , អ័ក្ស អូនិង អូដោយផ្ទាល់ដូចបង្ហាញក្នុងរូប។ 1.2 (ប្រសិនបើល្បិច ច 1 និង ច 2 ស្របគ្នា បន្ទាប់មក O ស្របពេលជាមួយ ច 1 និង ច 2 និងសម្រាប់អ័ក្ស អូមនុស្សម្នាក់អាចយកអ័ក្សណាមួយឆ្លងកាត់ អូ)

អនុញ្ញាតឱ្យប្រវែងនៃផ្នែក ច 1 ច 2 ច 1 និង ច 2 រៀងគ្នាមានកូអរដោនេ (-c, 0) និង (c, 0) ។ បញ្ជាក់ដោយ 2 កថេរដែលសំដៅទៅលើនិយមន័យនៃរាងពងក្រពើ។ ជាក់ស្តែង 2a > 2c, i.e. a > c (ប្រសិនបើ ក ម- ចំណុចនៃពងក្រពើ (សូមមើលរូប 1.2) បន្ទាប់មក | អេហ្វ ] |+ | អេហ្វ 2 | = 2 ក , ហើយចាប់តាំងពីផលបូកនៃភាគីទាំងពីរ អេហ្វ 1 និង អេហ្វ 2 ត្រីកោណ អេហ្វ 1 ច 2 ច្រើនជាងភាគីទីបី ច 1 ច 2 = 2c បន្ទាប់មក 2a > 2c ។ វាជាធម្មជាតិក្នុងការដកករណី 2a = 2c ចាប់តាំងពីពេលនោះមក មដែលមានទីតាំងនៅផ្នែក ច 1 ច 2 ហើយ​រាង​អេលីប​ធ្លាក់​ទៅ​ជា​ផ្នែក។ ).

អនុញ្ញាតឱ្យមាន ម- ចំណុចនៃយន្តហោះដែលមានកូអរដោណេ (x, y)(រូបភាព 1.2) ។ សម្គាល់ដោយ r 1 និង r 2 ចម្ងាយពីចំណុច មដល់ចំណុច ច 1 និង ច 2 រៀងគ្នា។ យោងតាមនិយមន័យនៃរាងពងក្រពើ សមភាព

r 1 + r 2 = 2 ក (1.1)

គឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ទីតាំងនៃចំណុច M(x,y) នៅលើពងក្រពើដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ចម្ងាយរវាងចំណុចពីរយើងទទួលបាន

(1.2)

ពី (1.1) និង (1.2) វាធ្វើតាមនោះ។ សមាមាត្រ

(1.3)

តំណាងឱ្យលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ទីតាំងនៃចំណុច M ដែលមានកូអរដោនេ x និង y នៅលើពងក្រពើដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ដូច្នេះទំនាក់ទំនង (1.3) អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជា សមីការពងក្រពើ។ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តស្តង់ដារនៃ "ការបំផ្លាញរ៉ាឌីកាល់" សមីការនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់

(1.4) (1.5)

ចាប់តាំងពីសមីការ (1.4) គឺ លទ្ធផលពិជគណិតសមីការពងក្រពើ (1.3) បន្ទាប់មក កូអរដោណេ x និង yចំណុចណាមួយ។ មពងក្រពើក៏នឹងបំពេញសមីការ (1.4) ។ ចាប់តាំងពី "ឫសបន្ថែម" អាចលេចឡើងក្នុងអំឡុងពេលការផ្លាស់ប្តូរពិជគណិតដែលទាក់ទងនឹងការកម្ចាត់រ៉ាឌីកាល់ យើងត្រូវប្រាកដថាចំណុចណាមួយ មសំរបសំរួលដែលបំពេញសមីការ (1.4) មានទីតាំងនៅលើរាងពងក្រពើដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ចំពោះបញ្ហានេះវាច្បាស់ណាស់ថាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់ថាបរិមាណ r 1 និង r 2 សម្រាប់ចំណុចនីមួយៗបំពេញទំនាក់ទំនង (1.1) ។ ដូច្នេះសូមឱ្យកូអរដោនេ Xនិង នៅពិន្ទុ មបំពេញសមីការ (1.4) ។ តម្លៃជំនួស នៅ 2ពី (1.4) ទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃកន្សោម (1.2) សម្រាប់ r 1 បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរសាមញ្ញ យើងរកឃើញថា

បន្ទាប់មក។

នៅក្នុងវិធីដូចគ្នានេះ, យើងរកឃើញនោះ។

. ដូច្នេះសម្រាប់ចំណុចដែលបានពិចារណា ម , (1.6)

i.e. r 1 + r 2 = 2a,ដូច្នេះចំនុច M ស្ថិតនៅលើរាងពងក្រពើ។ សមីការ (1.4) ត្រូវបានគេហៅថា សមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ។បរិមាណ កនិង ខត្រូវបានគេហៅថារៀងៗខ្លួន semiaxes ធំ និងតូចនៃរាងពងក្រពើ(ឈ្មោះ "ធំ" និង "តូច" ត្រូវបានពន្យល់ដោយការពិត ក > ខ)។

មតិយោបល់. ប្រសិនបើ semiaxes នៃរាងពងក្រពើ កនិង ខគឺស្មើគ្នា បន្ទាប់មកពងក្រពើគឺជារង្វង់ដែលកាំស្មើនឹង រ = ក = ខហើយមជ្ឈមណ្ឌលស្របគ្នានឹងប្រភពដើម។

អ៊ីពែបូល។ គឺជាសំណុំនៃចំណុចនៅក្នុងយន្តហោះ ដែលតម្លៃដាច់ខាតនៃភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយទៅចំណុចថេរពីរ ច 1 និង ច 2 យន្តហោះនេះហៅថា foci គឺជាតម្លៃថេរ (ការផ្តោតអារម្មណ៍ ច 1 និង ច 2 វាជារឿងធម្មតាក្នុងការពិចារណាលើអ៊ីពែបូឡាខុសពីគ្នា ពីព្រោះប្រសិនបើថេរដែលបង្ហាញក្នុងនិយមន័យនៃអ៊ីពែបូឡាមិនស្មើនឹងសូន្យ នោះវាមិនមានចំណុចតែមួយនៃយន្តហោះទេនៅពេល ច 1 និង ច 2 , ដែលនឹងបំពេញតម្រូវការនៃនិយមន័យនៃអ៊ីពែបូឡា។ ប្រសិនបើថេរនេះគឺសូន្យនិង ច 1 ស្របពេលជាមួយ ច 2 , បន្ទាប់មកចំណុចណាមួយនៃយន្តហោះបំពេញតម្រូវការនៃនិយមន័យនៃអ៊ីពែបូឡា។ ).

ដើម្បីទាញយកសមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡា យើងជ្រើសរើសប្រភពដើមនៃកូអរដោនេនៅកណ្តាលផ្នែក ច 1 ច 2 , អ័ក្ស អូនិង អូដោយផ្ទាល់ដូចបង្ហាញក្នុងរូប។ ១.២. សូមឱ្យប្រវែងនៃផ្នែក ច 1 ច 2 គឺស្មើនឹង 2s ។ បន្ទាប់មកនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានជ្រើសរើសចំណុច ច 1 និង ច 2 រៀងគ្នាមានកូអរដោនេ (-с, 0) និង (с, 0) បញ្ជាក់ដោយ 2 កថេរដែលសំដៅទៅលើនិយមន័យនៃអ៊ីពែបូឡា។ ជាក់ស្តែង ២ ក< 2с, т. е. ក < с. យើងត្រូវប្រាកដថាសមីការ (1.9) ដែលទទួលបានដោយការបំប្លែងពិជគណិតនៃសមីការ (1.8) មិនទាន់ទទួលបានឫសថ្មីទេ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់ថាសម្រាប់ចំណុចនីមួយៗ មកូអរដោនេ Xនិង នៅដែលបំពេញសមីការ (1.9) បរិមាណ r 1 និង r 2 បំពេញទំនាក់ទំនង (1.7) ។ ការអនុវត្តអាគុយម៉ង់ស្រដៀងទៅនឹងអ្វីដែលត្រូវបានធ្វើឡើងនៅពេលទាញយករូបមន្ត (1.6) យើងរកឃើញកន្សោមខាងក្រោមសម្រាប់បរិមាណ r 1 និង r 2 ដែលចាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើង៖

(1.11)

ដូច្នេះសម្រាប់ចំណុចដែលបានពិចារណា មយើង​មាន

, ដូច្នេះហើយ វាមានទីតាំងនៅលើអ៊ីពែបូឡា។

សមីការ (1.9) ត្រូវបានគេហៅថា សមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡា។បរិមាណ កនិង ខត្រូវបានគេហៅថាពិត និងស្រមើស្រមៃរៀងៗខ្លួន។ semiaxes នៃអ៊ីពែបូឡា។

ប៉ារ៉ាបូឡា គឺ​ជា​សំណុំ​នៃ​ចំណុច​ក្នុង​យន្តហោះ​ដែល​មាន​ចម្ងាយ​ទៅ​ចំណុច​ថេរ​មួយ​ចំនួន ច យន្តហោះនេះគឺស្មើនឹងចម្ងាយទៅកាន់បន្ទាត់ត្រង់ថេរមួយចំនួន ដែលមានទីតាំងនៅក្នុងយន្តហោះដែលបានពិចារណាផងដែរ។

សមីការខ្សែកោងមានច្រើនក្រៃលែងនៅពេលអានអក្សរសិល្ប៍សេដ្ឋកិច្ច ចូរយើងចង្អុលបង្ហាញខ្សែកោងទាំងនេះមួយចំនួន។

ខ្សែកោងព្រងើយកណ្តើយ - ខ្សែកោងដែលបង្ហាញពីការផ្សំផ្សេងៗគ្នានៃផលិតផលពីរដែលមានតម្លៃអ្នកប្រើប្រាស់ដូចគ្នា ឬឧបករណ៍ប្រើប្រាស់សម្រាប់អ្នកប្រើប្រាស់។

ខ្សែកោងថវិកាអ្នកប្រើប្រាស់ គឺជាខ្សែកោងដែលបង្ហាញពីការរួមផ្សំគ្នានៃបរិមាណនៃទំនិញពីរដែលអ្នកប្រើប្រាស់អាចទិញបានក្នុងកម្រិតដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃប្រាក់ចំណូលប្រាក់របស់គាត់។

ខ្សែកោងលទ្ធភាពផលិតកម្ម - ខ្សែកោងដែលបង្ហាញពីការរួមផ្សំគ្នានៃទំនិញ ឬសេវាកម្មពីរដែលអាចផលិតបានក្រោមលក្ខខណ្ឌនៃការងារពេញលេញ និងផលិតកម្មពេញលេញនៅក្នុងសេដ្ឋកិច្ចដែលមានស្តុកទុកឥតឈប់ឈរនៃធនធាន និងបច្ចេកវិទ្យាមិនផ្លាស់ប្តូរ។

ខ្សែកោងតម្រូវការវិនិយោគ - ខ្សែកោងបង្ហាញពីសក្ដានុពលនៃអត្រាការប្រាក់ និងបរិមាណនៃការវិនិយោគក្នុងអត្រាការប្រាក់ផ្សេងៗគ្នា។

ខ្សែកោង Phillips- ខ្សែកោងបង្ហាញពីអត្ថិភាពនៃទំនាក់ទំនងស្ថិរភាពរវាងអត្រាគ្មានការងារធ្វើ និងអត្រាអតិផរណា។

ខ្សែកោង Laffer- ខ្សែកោងបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងរវាងអត្រាពន្ធ និងចំណូលពន្ធ បង្ហាញពីអត្រាពន្ធបែបនេះ ដែលចំណូលពន្ធឈានដល់អតិបរមា។

រួចហើយ ការរាប់លេខសាមញ្ញនៃពាក្យបង្ហាញថាតើវាមានសារៈសំខាន់យ៉ាងណាសម្រាប់អ្នកសេដ្ឋកិច្ចដើម្បីអាចបង្កើតក្រាហ្វ និងវិភាគសមីការនៃខ្សែកោង ដែលជាបន្ទាត់ត្រង់ និងខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរ - រង្វង់ រាងពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា ប៉ារ៉ាបូឡា។ លើសពីនេះ នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាថ្នាក់ធំ វាត្រូវបានតម្រូវឱ្យជ្រើសរើសតំបន់មួយនៅលើយន្តហោះដែលចងភ្ជាប់ដោយខ្សែកោងមួយចំនួនដែលសមីការត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ភាគច្រើនបញ្ហាទាំងនេះត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោម៖ ស្វែងរកផែនការផលិតកម្មល្អបំផុតសម្រាប់ធនធានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ការចាត់តាំងធនធានជាធម្មតាយកទម្រង់នៃវិសមភាព សមីការដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ដូច្នេះ គេត្រូវរកមើលតម្លៃធំបំផុត ឬតូចបំផុតដែលយកដោយមុខងារមួយចំនួននៅក្នុងតំបន់ដែលបានបញ្ជាក់ដោយសមីការនៃប្រព័ន្ធវិសមភាព។

នៅក្នុងធរណីមាត្រវិភាគ បន្ទាត់នៅលើយន្តហោះត្រូវបានកំណត់ជាសំណុំនៃចំណុចដែលកូអរដោនេបំពេញសមីការ F(x,y)=0។ ក្នុងករណីនេះ ការរឹតបន្តឹងត្រូវតែដាក់លើមុខងារ F ដូច្នេះ ម្យ៉ាងវិញទៀត សមីការនេះមានដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ ហើយម្យ៉ាងវិញទៀត ដំណោះស្រាយនេះមិនបំពេញ "បំណែកនៃយន្តហោះ" ។ ”។ ថ្នាក់សំខាន់នៃបន្ទាត់គឺជាប្រភេទដែលអនុគមន៍ F(x,y) គឺជាពហុធាក្នុងអថេរពីរ ក្នុងករណីនេះបន្ទាត់ដែលកំណត់ដោយសមីការ F(x,y)=0 ត្រូវបានគេហៅថា ពិជគណិត. បន្ទាត់ពិជគណិតដែលផ្តល់ដោយសមីការនៃដឺក្រេទីមួយគឺជាបន្ទាត់ត្រង់។ សមីការនៃសញ្ញាបត្រទីពីរ ដែលមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ កំណត់ពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា ប៉ារ៉ាបូឡា ឬបន្ទាត់ដែលបំបែកជាពីរបន្ទាត់ត្រង់។

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian រាងចតុកោណត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ។ បន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះអាចត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការមួយ៖

ដប់។ សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់

អ័ក្ស + ដោយ + C = 0. (2.1)

វ៉ិចទ័រ ន(А,В) កាត់កែងទៅបន្ទាត់ត្រង់ លេខ A និង B មិនស្មើសូន្យក្នុងពេលតែមួយទេ។

២០. សមីការបន្ទាត់ជាមួយជម្រាល

y − y o = k (x − x o), (2.2)

ដែល k ជាចំណោទនៃបន្ទាត់ត្រង់ i.e. k = tg a ដែលជាកន្លែងដែល a - តម្លៃនៃមុំដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយអ័ក្ស Оx, M (x o, y o) - ចំណុចមួយចំនួនដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ត្រង់។

សមីការ (2.2) យកទម្រង់ y = kx + b ប្រសិនបើ M (0, b) ជាចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ជាមួយអ័ក្ស Oy ។

សាមសិប សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក

x/a + y/b = 1, (2.3)

ដែល a និង b ជា​តម្លៃ​នៃ​ផ្នែក​ដែល​កាត់​ចេញ​ដោយ​បន្ទាត់​ត្រង់​លើ​អ័ក្ស​កូអរដោណេ។

៤០. សមីការ​នៃ​បន្ទាត់​ត្រង់​ឆ្លង​កាត់​ចំណុច​ពីរ​ដែល​បាន​ផ្ដល់​គឺ  A(x 1, y 1) និង B(x 2, y 2)៖

. (2.4)

ហាសិប។ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច A(x 1, y 1) ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ ក(m, n)

. (2.5)

៦០. សមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់

rn o - p = 0, (2.6)

កន្លែងណា rគឺជាកាំនៃចំណុចបំពាន M(x,y) នៃបន្ទាត់នេះ ន o គឺ​ជា​វ៉ិចទ័រ​រាង​ជ្រុង​ទៅ​បន្ទាត់​នេះ ហើយ​ដឹកនាំ​ពី​ដើម​ទៅ​បន្ទាត់ p គឺជាចម្ងាយពីប្រភពដើមទៅបន្ទាត់ត្រង់។

ធម្មតាក្នុងទម្រង់កូអរដោណេមានទម្រង់៖

x cos a + y sin a - p \u003d 0,

កន្លែងណា a - តម្លៃនៃមុំដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយអ័ក្ស x ។

សមីការនៃខ្មៅដៃនៃបន្ទាត់ដែលស្ថិតនៅកណ្តាលចំនុច A (x 1, y 1) មានទម្រង់៖

y-y 1 = l (x-x 1),

ដែលជាកន្លែងដែល l គឺជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃធ្នឹម។ ប្រសិនបើធ្នឹមត្រូវបានផ្តល់ដោយបន្ទាត់ប្រសព្វពីរ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 នោះសមីការរបស់វាមានទម្រង់៖

l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2)=0,

ដែលជាកន្លែងដែល l និង m គឺជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃធ្នឹមដែលមិនប្រែទៅជា 0 ក្នុងពេលតែមួយ។

មុំរវាងបន្ទាត់ y \u003d kx + b និង y \u003d k 1 x + b 1 ត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត៖

tg j = ។

សមភាព 1 + k 1 k = 0 គឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់បន្ទាត់កាត់កែង។

ដើម្បីបង្កើតសមីការពីរ

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2.7)

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2.8)

កំណត់បន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលមេគុណរបស់ពួកគេគឺសមាមាត្រ៖

A 1 / A 2 = B 1 / B 2 = C 1 / C 2 ។

សមីការ (2.7), (2.8) កំណត់បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលពីរផ្សេងគ្នា ប្រសិនបើ A 1/A 2 = B 1/B 2 និង B 1/B 2¹ C 1/C 2; បន្ទាត់ប្រសព្វប្រសិនបើ A 1 / A 2¹B1/B2។

ចម្ងាយ d ពីចំណុច M o (x o, y o) ទៅបន្ទាត់ត្រង់ គឺជាប្រវែងនៃកាត់កែងដែលដកចេញពីចំណុច M o ទៅបន្ទាត់ត្រង់។ ប្រសិនបើបន្ទាត់ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការធម្មតា បន្ទាប់មក d =ê rអំពី ន o - r ê កន្លែងណា r o គឺជាវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុច M o ឬក្នុងទម្រង់កូអរដោណេ d =ê x o cos a + y o sin a - rê .

សមីការទូទៅនៃខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរមានទម្រង់

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y + a = 0 ។

វាត្រូវបានសន្មត់ថាក្នុងចំណោមមេគុណនៃសមីការ a 11 , a 12 , a 22 មានផ្សេងទៀតក្រៅពីសូន្យ។

សមីការ​នៃ​រង្វង់​ដែល​នៅ​កណ្តាល​ចំណុច C(a,b) និង​មាន​កាំ​ស្មើ​នឹង R:

(x − a) 2 + (y − ខ) 2 = R 2 ។ (2.9)

ពងក្រពើទីតាំងនៃចំណុចត្រូវបានគេហៅថា ផលបូកនៃចម្ងាយដែលពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរ F 1 និង F 2 (foci) គឺជាតម្លៃថេរស្មើនឹង 2a ។

សមីការ Canonical (សាមញ្ញបំផុត) នៃរាងពងក្រពើ

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)

ពងក្រពើដែលផ្តល់ដោយសមីការ (2.10) គឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ។ ជម្រើស កនិង ខបានហៅ អ័ក្សអ័ក្សពងក្រពើ។

អនុញ្ញាតឱ្យ a>b បន្ទាប់មក foci F 1 និង F 2 ស្ថិតនៅលើអ័ក្ស Ox នៅចម្ងាយ
c= ពីប្រភពដើម។ សមាមាត្រ c/a =អ៊ី < 1 называется ភាពចម្លែកពងក្រពើ។ ចម្ងាយពីចំណុច M (x, y) នៃពងក្រពើទៅ foci របស់វា (វ៉ិចទ័រកាំប្រសព្វ) ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

r 1 \u003d a - e x, r 2 \u003d a + e x ។

ប្រសិនបើ ក< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b,
r 1 \u003d b + e x, r 2 \u003d b - e x ។

ប្រសិនបើ a = b នោះពងក្រពើគឺជារង្វង់ដែលស្ថិតនៅចំកណ្តាលដើមនៃកាំ ក.

អ៊ីពែបូល។ទីតាំងនៃចំណុចត្រូវបានគេហៅថា ភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយដែលពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ F 1 និង F 2 (foci) គឺស្មើនឹងតម្លៃដាច់ខាតទៅលេខ 2a ។

សមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡា

x 2 /a 2 − y 2 /b 2 = 1. (2.11)

អ៊ីពែបូឡាដែលផ្តល់ដោយសមីការ (2.11) គឺស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ។ វាប្រសព្វអ័ក្សអុកនៅចំណុច A (a,0) និង A (-a,0) - ចំនុចកំពូលនៃអ៊ីពែបូឡា ហើយមិនប្រសព្វអ័ក្សអូយទេ។ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ កបានហៅ semiaxis ពិតប្រាកដ, ខ -អ័ក្សស្រមៃ. ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ c = គឺជាចម្ងាយពីការផ្តោតអារម្មណ៍ទៅប្រភពដើម។ សមាមាត្រ c/a =អ៊ី > 1 ត្រូវបានគេហៅថា ភាពចម្លែកអ៊ីពែបូល បន្ទាត់ត្រង់ដែលសមីការ y =± b/a x ត្រូវបានគេហៅថា asymtotesអ៊ីពែបូល ចម្ងាយពីចំណុច M(x,y) នៃអ៊ីពែបូឡាទៅ foci របស់វា (វ៉ិចទ័រកាំប្រសព្វ) ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

r 1 = ê e x - a ê , r 2 = ê e x + a ê .

អ៊ីពែបូឡាដែលមាន a = b ត្រូវបានគេហៅថា ស្មើភាពគ្នា។សមីការរបស់វា x 2 - y 2 \u003d a 2 និងសមីការនៃ asymtotes y \u003d± x. អ៊ីពែបូឡា x 2 /a 2 − y 2 / b 2 = 1 និង
y 2 / b 2 − x 2 /a 2 = 1 ត្រូវបានហៅ ភ្ជាប់គ្នា។.

ប៉ារ៉ាបូឡាគឺជាទីតាំងនៃចំនុចដែលស្មើគ្នាពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ការផ្តោតអារម្មណ៍) និងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ (directrix) ។

សមីការ Canonical នៃ parabola មានពីរទម្រង់៖

1) y 2 \u003d 2px - ប៉ារ៉ាបូឡាគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សអុក។

2) x 2 \u003d 2py - ប៉ារ៉ាបូឡាគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស Oy ។

ក្នុងករណីទាំងពីរ p>0 និង vertex នៃ parabola នោះគឺជាចំនុចដែលស្ថិតនៅលើអ័ក្សស៊ីមេទ្រី មានទីតាំងនៅដើម។

ប៉ារ៉ាបូឡាដែលសមីការ y 2 = 2рx មានផ្តោត F(р/2,0) និង directrix x = - р/2 វ៉ិចទ័រកាំប្រសព្វនៃចំណុច M(x, y) នៅលើវា r = x+ р/2 ។

ប៉ារ៉ាបូឡាដែលសមីការ x 2 = 2py មានផ្តោត F(0, p/2) និង directrix y = - p/2; វ៉ិចទ័រកាំប្រសព្វនៃចំណុច M (x, y) នៃប៉ារ៉ាបូឡាគឺ r = y + p/2 ។

សមីការ F(x, y) = 0 កំណត់បន្ទាត់ដែលបែងចែកយន្តហោះជាពីរផ្នែក ឬច្រើន។ នៅក្នុងផ្នែកមួយទាំងនេះ វិសមភាព F(x, y)<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀតបន្ទាត់
F(x,y)=0 បំបែកផ្នែកនៃយន្តហោះ ដែល F(x, y)>0 ពីផ្នែកនៃយន្តហោះ ដែល F(x, y)<0.

បន្ទាត់ត្រង់ដែលសមីការគឺ Ax+By+C=0 បែងចែកយន្តហោះជាពីរយន្តហោះពាក់កណ្តាល។ នៅក្នុងការអនុវត្ត ដើម្បីដឹងថា តើយន្តហោះពាក់កណ្តាលមួយណា យើងមាន Ax + By + C<0, а в какой Ax+By+C>0, អនុវត្តវិធីបំបែក។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយកចំណុចបញ្ជាមួយ (ជាការពិតណាស់មិនមែននិយាយកុហកនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ទេសមីការដែលជា Ax + By + C = 0) ហើយពិនិត្យមើលថាតើសញ្ញាអ្វី Ax + By + C មាននៅចំណុចនេះ។ សញ្ញាដូចគ្នាមានកន្សោមដែលបានចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងពាក់កណ្តាលយន្តហោះទាំងមូលដែលចំណុចបញ្ជាស្ថិតនៅ។ នៅក្នុងពាក់កណ្តាលយន្តហោះទីពីរ Ax+By+C មានសញ្ញាផ្ទុយ។

វិសមភាពមិនមែនលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមិនស្គាល់ពីរត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបដូចគ្នា។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងដោះស្រាយវិសមភាព x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0។ វាអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0។

សមីការ (x-2) 2 + (y + 3) 2 - 25 = 0 កំណត់រង្វង់ដែលមានចំណុចកណ្តាលនៅចំណុច C(2,-3) និងកាំ 5 ។ រង្វង់បែងចែកប្លង់ជាពីរផ្នែក - ខាងក្នុង និងខាងក្រៅ។ ដើម្បីស្វែងយល់ថាតើវិសមភាពមួយណាក្នុងចំណោមពួកគេ ដែលវិសមភាពនេះកើតឡើង យើងយកចំណុចគ្រប់គ្រងមួយនៅក្នុងតំបន់ខាងក្នុង ឧទាហរណ៍ ចំណុចកណ្តាល C(2,-3) នៃរង្វង់របស់យើង។ ការជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុច C ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃវិសមភាពយើងទទួលបានលេខអវិជ្ជមាន -25 ។ អាស្រ័យហេតុនេះ គ្រប់ចំណុចទាំងអស់ដែលស្ថិតនៅក្នុងរង្វង់ ភាពមិនស្មើគ្នា
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

ឧទាហរណ៍ 1.5 ។បង្កើតសមីការនៃបន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច A(3,1) ហើយទំនោរទៅបន្ទាត់ 2x+3y-1 = 0 នៅមុំ 45 o ។

ការសម្រេចចិត្ត។យើងនឹងស្វែងរកក្នុងទម្រង់ y=kx+b។ ចាប់តាំងពីបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុច A កូអរដោនេរបស់វាបំពេញសមីការនៃបន្ទាត់ i.e. 1=3k+b,Þ b=1-3k។ មុំរវាងបន្ទាត់
y = k 1 x + b 1 និង y = kx + b ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត tg j = . ដោយសារជម្រាល k 1 នៃបន្ទាត់ដើម 2x+3y-1=0 គឺ - 2/3 និងមុំ j = 45 o បន្ទាប់មកយើងមានសមីការសម្រាប់កំណត់ k:

(2/3 + k)/(1 − 2/3k) = 1 ឬ (2/3 + k)/(1 − 2/3k) = -1 ។

យើងមានតម្លៃពីរគឺ k: k 1 = 1/5, k 2 = −5 ។ ការស្វែងរកតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃ b ដោយរូបមន្ត b=1-3k យើងទទួលបានបន្ទាត់ដែលចង់បានពីរ សមីការដែលមាន៖ x − 5y + 2 = 0 និង
5x + y − 16 = 0 ។

ឧទាហរណ៍ 1.6. នៅតម្លៃអ្វីនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ tបន្ទាត់ដែលសមីការ 3tx-8y+1=0 និង (1+t)x-2ty=0 ស្របគ្នា?

ការសម្រេចចិត្ត។បន្ទាត់ត្រង់ដែលផ្តល់ដោយសមីការទូទៅគឺស្របគ្នាប្រសិនបើមេគុណនៅ xនិង yសមាមាត្រ, i.e. 3t/(1+t) = -8/(-2t)។ ការដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលយើងរកឃើញ t៖ t 1 \u003d 2, t 2 \u003d -2/3 ។

ឧទាហរណ៍ 1.7. រកសមីការនៃអង្កត់ធ្នូធម្មតានៃរង្វង់ពីរ៖
x 2 + y 2 = 10 និង x 2 + y 2 −10x-10y + 30 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត។ស្វែងរកចំនុចប្រសព្វនៃរង្វង់ សម្រាប់ការនេះ យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖

ការដោះស្រាយសមីការទីមួយ យើងរកឃើញតម្លៃ x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 1. ពីសមីការទីពីរ - តម្លៃដែលត្រូវគ្នា y: y 1 \u003d 1, y 2 \u003d 3. ឥឡូវនេះយើងទទួលបានសមីការនៃអង្កត់ធ្នូធម្មតា ដោយដឹងពីចំនុចពីរ A (3,1) និង B (1,3) ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់នេះ៖ (y-1) / (3-1) \u003d (x-3)/(1-3) ឬ y+ x - 4 = 0 ។

ឧទាហរណ៍ 1.8. តើចំនុចដែលស្ថិតនៅលើយន្តហោះយ៉ាងដូចម្តេច កូអរដោណេដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ (x-3) 2 + (y-3) 2< 8, x >y?

ការសម្រេចចិត្ត។វិសមភាពទីមួយនៃប្រព័ន្ធកំណត់ផ្នែកខាងក្នុងនៃរង្វង់ដោយមិនរាប់បញ្ចូលព្រំដែន i.e. រង្វង់ដោយកណ្តាលនៅចំណុច (3,3) និងកាំ។ វិសមភាពទីពីរកំណត់ប្លង់ពាក់កណ្តាលដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់ត្រង់ដែលសមីការគឺ x = y ហើយដោយសារវិសមភាពមានភាពតឹងរ៉ឹង ចំនុចនៃបន្ទាត់ត្រង់ខ្លួនឯងមិនមែនជារបស់ពាក់កណ្តាលយន្តហោះទេ ហើយចំនុចទាំងអស់នៅខាងក្រោមត្រង់នេះ បន្ទាត់ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះពាក់កណ្តាល។ ដោយសារយើងកំពុងស្វែងរកចំណុចដែលបំពេញវិសមភាពទាំងពីរនោះ តំបន់ដែលចង់បានគឺផ្នែកខាងក្នុងនៃរង្វង់ពាក់កណ្តាល។

ឧទាហរណ៍ 1.9 ។គណនា​ប្រវែង​ជ្រុង​នៃ​ការេ​ដែល​ចារឹក​ក្នុង​រាង​អេលីប​ដែល​សមីការ​គឺ x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 1 ។

ការសម្រេចចិត្ត។អនុញ្ញាតឱ្យមាន M(s, s)- ចំនុចកំពូលនៃការ៉េដែលដេកនៅត្រីមាសទីមួយ។ បន្ទាប់មកផ្នែកម្ខាងនៃការ៉េនឹងមាន 2 ជាមួយ. ដោយសារតែ ចំណុច មជាកម្មសិទ្ធិរបស់ពងក្រពើ កូអរដោនេរបស់វាបំពេញសមីការនៃពងក្រពើ c 2 /a 2 + c 2 / b 2 = 1 មកពីណា
c = ab/ ; ដូច្នេះផ្នែកម្ខាងនៃការ៉េគឺ 2ab/ ។

ឧទាហរណ៍ 1.10 ។ការដឹងពីសមីការនៃ asymtotes នៃ hyperbola y =± 0.5 x និងចំនុចមួយរបស់វា M (12, 3) គូរសមីការនៃអ៊ីពែបូឡា។

ការសម្រេចចិត្ត។យើងសរសេរសមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡា៖ x 2 /a 2 - y 2 / b 2 = 1. asymptotes នៃអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ y =± 0.5 x ដូច្នេះ b/a = 1/2 ដូច្នេះ a=2b ។ ដរាបណា ម- ចំណុចនៃអ៊ីពែបូឡា បន្ទាប់មកកូអរដោនេរបស់វាបំពេញសមីការនៃអ៊ីពែបូឡា ពោលគឺឧ។ 144/a 2 − 27/b 2 = 1. ដោយឃើញថា a = 2b យើងរកឃើញ b: b 2 = 9Þ b=3 និង a=6 ។ បន្ទាប់មកសមីការនៃអ៊ីពែបូឡាគឺ x 2/36 - y 2/9 = 1 ។

ឧទាហរណ៍ 1.11 ។គណនា​ប្រវែង​ចំហៀង​នៃ​ត្រីកោណ​ធម្មតា ABC ដែល​ចារឹក​ក្នុង​ប៉ារ៉ាបូឡា​ជាមួយ​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ រដោយសន្មត់ថាចំនុច A ស្របគ្នានឹងចំនុចកំពូលនៃប៉ារ៉ាបូឡា។

ការសម្រេចចិត្ត។សមីការ Canonical នៃ parabola ជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយ។ រមានទម្រង់ y 2 = 2рx ចំនុចកំពូលរបស់វាស្របគ្នានឹងប្រភពដើម ហើយប៉ារ៉ាបូឡាគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស x ។ ចាប់តាំងពីបន្ទាត់ AB បង្កើតមុំ 30 o ជាមួយអ័ក្ស Ox សមីការនៃបន្ទាត់គឺ: y = x ។ តារាងជាច្រើន។

ដូច្នេះយើងអាចស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំណុច B ដោយដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ y 2 = 2px, y = x, whence x = 6p, y = 2p ។ ដូច្នេះ ចម្ងាយរវាងចំនុច A(0,0) និង B(6p,2p) គឺ 4p។