ប្រសិនបើយើងធ្វើតាមនិយមន័យនោះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ គឺជាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រកើនឡើងនៃអនុគមន៍Δ yដល់ការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ Δ x:

អ្វីគ្រប់យ៉ាងហាក់ដូចជាច្បាស់។ ប៉ុន្តែ​ព្យាយាម​គណនា​តាម​រូបមន្ត​នេះ និយាយ​ថា ដេរីវេនៃ​អនុគមន៍ f(x) = x 2 + (2x+ 3) · អ៊ី xអំពើបាប x. ប្រសិនបើអ្នកធ្វើអ្វីគ្រប់យ៉ាងតាមនិយមន័យ បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីការគណនាពីរបីទំព័រ អ្នកនឹងងងុយគេង។ ដូច្នេះមានវិធីសាមញ្ញ និងមានប្រសិទ្ធភាពជាង។

ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ យើងកត់សំគាល់ថា អ្វីដែលគេហៅថា អនុគមន៍បឋម អាចត្រូវបានសម្គាល់ពីភាពខុសគ្នានៃមុខងារទាំងមូល។ ទាំងនេះគឺជាកន្សោមសាមញ្ញៗ ដែលជានិស្សន្ទវត្ថុដែលត្រូវបានគណនា និងបញ្ចូលក្នុងតារាងជាយូរមកហើយ។ មុខងារបែបនេះមានភាពងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ រួមជាមួយនឹងនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វា។

ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម

អនុគមន៍​បឋម​គឺ​ជា​អ្វី​គ្រប់​យ៉ាង​ដែល​បាន​រាយ​ខាង​ក្រោម។ ដេរីវេនៃមុខងារទាំងនេះត្រូវតែដឹងដោយបេះដូង។ លើសពីនេះទៅទៀតវាមិនពិបាកក្នុងការទន្ទេញចាំពួកគេទេ - នោះហើយជាមូលហេតុដែលពួកគេជាបឋម។

ដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម៖

ឈ្មោះ	មុខងារ	ដេរីវេ
ថេរ	f(x) = គ, គ ∈ រ	0 (បាទ/ចាស៎ សូន្យ!)
សញ្ញាប័ត្រជាមួយនិទស្សន្តសមហេតុផល	f(x) = x ន	ន · x ន − 1
ស៊ីនុស	f(x) = បាប x	cos x
កូស៊ីនុស	f(x) = ខូស x	- បាប x(ដកស៊ីនុស)
តង់សង់	f(x) = tg x	1/cos 2 x
កូតង់សង់	f(x) = ctg x	- ១/ បាប ២ x
លោការីតធម្មជាតិ	f(x) = កំណត់ហេតុ x	1/x
លោការីតតាមអំពើចិត្ត	f(x) = កំណត់ហេតុ ក x	1/(x ln ក)
អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល	f(x) = អ៊ី x	អ៊ី x(គ្មានអ្វីផ្លាស់ប្តូរ)

ប្រសិនបើអនុគមន៍បឋមត្រូវបានគុណដោយអថេរដែលបំពាន នោះដេរីវេនៃអនុគមន៍ថ្មីក៏ត្រូវបានគណនាយ៉ាងងាយស្រួលផងដែរ៖

(គ · f)’ = គ · f ’.

ជាទូទៅ ថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ។ ឧទាហរណ៍:

(2x 3)' = 2 ( x៣)' = ២ ៣ x 2 = 6x 2 .

ជាក់ស្តែង មុខងារបឋមអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅគ្នាទៅវិញទៅមក គុណ បែងចែក និងច្រើនទៀត។ នេះជារបៀបដែលមុខងារថ្មីនឹងលេចឡើង លែងជាបឋម ប៉ុន្តែក៏អាចខុសគ្នាដែរដោយយោងទៅតាមច្បាប់ជាក់លាក់។ ច្បាប់ទាំងនេះត្រូវបានពិភាក្សាដូចខាងក្រោម។

ដេរីវេនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នា

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ f(x) និង g(x) ដែលនិស្សន្ទវត្ថុត្រូវបានគេស្គាល់ចំពោះយើង។ ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចយកមុខងារបឋមដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។ បន្ទាប់មកអ្នកអាចរកឃើញដេរីវេនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃមុខងារទាំងនេះ៖

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

ដូច្នេះ ដេរីវេនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ អាចមានលក្ខខណ្ឌច្រើនទៀត។ ឧទាហរណ៍, ( f + g + ម៉ោង)’ = f ’ + g ’ + ម៉ោង ’.

និយាយយ៉ាងតឹងរឹងមិនមានគំនិតនៃ "ដក" នៅក្នុងពិជគណិតទេ។ មានគំនិតនៃ "ធាតុអវិជ្ជមាន" ។ ដូច្នេះភាពខុសគ្នា f − gអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាផលបូក f+ (−1) gហើយបន្ទាប់មកមានតែរូបមន្តមួយប៉ុណ្ណោះដែលនៅសល់ - ដេរីវេនៃផលបូក។

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

មុខងារ f(x) គឺជាផលបូកនៃអនុគមន៍បឋមពីរ ដូច្នេះ៖

f ’(x) = (x 2+ អំពើបាប x)’ = (x២)' + (បាប x)’ = 2x+ cosx;

យើងប្រកែកដូចគ្នាចំពោះមុខងារ g(x) មានតែពាក្យបីរួចទៅហើយ (តាមទស្សនៈនៃពិជគណិត)៖

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

ចម្លើយ៖
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

ដេរីវេនៃផលិតផល

គណិតវិទ្យាគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រឡូជីខល ដូច្នេះមនុស្សជាច្រើនជឿថាប្រសិនបើដេរីវេនៃផលបូកស្មើនឹងផលបូកនៃដេរីវេទីវ័រ នោះដេរីវេនៃផល។ កូដកម្ម"\u003e ស្មើ​នឹង​ផល​នៃ​និស្សន្ទវត្ថុ។ ប៉ុន្តែ​ឧទុម្ពរ​ចំពោះ​អ្នក! ដេរីវេនៃ​ផលិតផល​ត្រូវ​បាន​គណនា​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត​ខុស​គ្នា​ទាំង​ស្រុង។ ពោល​គឺ៖

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

រូបមន្តគឺសាមញ្ញ ប៉ុន្តែជារឿយៗត្រូវបានបំភ្លេចចោល។ ហើយមិនត្រឹមតែសិស្សសាលាប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងសិស្សទៀតផង។ លទ្ធផលគឺដោះស្រាយបញ្ហាមិនត្រឹមត្រូវ។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖ f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− ៧) · អ៊ី x .

មុខងារ f(x) គឺជាផលិតផលនៃមុខងារបឋមពីរ ដូច្នេះអ្វីៗគឺសាមញ្ញ៖

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) ខូស x + x៣ (កូស x)’ = 3x 2 សហ x + x៣ (-បាប x) = x 2 (3 កូស x − xអំពើបាប x)

មុខងារ g(x) មេគុណទីមួយមានភាពស្មុគស្មាញបន្តិច ប៉ុន្តែគ្រោងការណ៍ទូទៅមិនផ្លាស់ប្តូរពីនេះទេ។ ជាក់ស្តែងមេគុណទីមួយនៃអនុគមន៍ g(x) គឺជាពហុនាម ហើយដេរីវេរបស់វាគឺជាដេរីវេនៃផលបូក។ យើង​មាន:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− ៧) · អ៊ី x)’ = (x 2 + 7x− ៧)' · អ៊ី x + (x 2 + 7x− ៧) ( អ៊ី x)’ = (2x+ 7) · អ៊ី x + (x 2 + 7x− ៧) · អ៊ី x = អ៊ី x(២ x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · អ៊ី x = x(x+ 9) · អ៊ី x .

ចម្លើយ៖
f ’(x) = x 2 (3 កូស x − xអំពើបាប x);
g ’(x) = x(x+ 9) · អ៊ី x .

ចំណាំថានៅក្នុងជំហានចុងក្រោយ ដេរីវេត្រូវបានបែងចែកជាកត្តា។ ជាផ្លូវការ នេះមិនចាំបាច់ទេ ប៉ុន្តែនិស្សន្ទវត្ថុភាគច្រើនមិនត្រូវបានគណនាដោយខ្លួនឯងទេ ប៉ុន្តែដើម្បីស្វែងយល់ពីមុខងារ។ នេះមានន័យថា និស្សន្ទវត្ថុនឹងស្មើនឹងសូន្យ សញ្ញារបស់វានឹងត្រូវបានរកឃើញ ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ចំពោះ​ករណី​បែប​នេះ វា​ជា​ការ​ប្រសើរ​ក្នុង​ការ​បញ្ចេញ​មតិ​ដែល​ត្រូវ​បាន​បំបែក​ជា​កត្តា។

ប្រសិនបើមានមុខងារពីរ f(x) និង g(x) និង g(x) ≠ 0 លើសំណុំចំណាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើង យើងអាចកំណត់មុខងារថ្មីមួយ ម៉ោង(x) = f(x)/g(x) សម្រាប់មុខងារបែបនេះ អ្នកក៏អាចរកឃើញដេរីវេ៖

មិនទន់ខ្សោយមែនទេ? តើដកបានមកពីណា? ហេតុអ្វី? g 2? តែបែបនេះ! នេះគឺជារូបមន្តដ៏ស្មុគស្មាញបំផុតមួយ - អ្នកមិនអាចដោះស្រាយវាដោយគ្មានដបបានទេ។ ដូច្នេះ វាជាការប្រសើរក្នុងការសិក្សាវាជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

មានអនុគមន៍បឋមនៅក្នុងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគនីមួយៗ ដូច្នេះអ្វីដែលយើងត្រូវការគឺរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃកូតានិក៖

តាមទំនៀមទម្លាប់ យើងដាក់លេខភាគទៅជាកត្តា - នេះនឹងធ្វើឱ្យចំលើយកាន់តែងាយស្រួល៖

មុខងារស្មុគ្រស្មាញមិនចាំបាច់ជារូបមន្តប្រវែងកន្លះគីឡូម៉ែត្រទេ។ ឧទាហរណ៍វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីទទួលយកមុខងារ f(x) = បាប xនិងជំនួសអថេរ xនិយាយថានៅលើ x 2+ ln x. វាប្រែចេញ f(x) = បាប ( x 2+ ln x) គឺជាមុខងារស្មុគស្មាញ។ នាងក៏មានដេរីវេផងដែរ ប៉ុន្តែវានឹងមិនដំណើរការទេក្នុងការស្វែងរកវាយោងទៅតាមច្បាប់ដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីឱ្យមាន? ក្នុងករណីបែបនេះ ការជំនួសអថេរ និងរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញជួយ៖

f ’(x) = f ’(t) · t', ប្រសិនបើ xត្រូវបានជំនួសដោយ t(x).

តាមក្បួនមួយស្ថានភាពជាមួយនឹងការយល់ដឹងនៃរូបមន្តនេះគឺកាន់តែសោកសៅជាងជាមួយនឹងដេរីវេនៃកូតា។ ដូច្នេះវាជាការប្រសើរផងដែរក្នុងការពន្យល់វាជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាក់លាក់ជាមួយនឹងការពិពណ៌នាលម្អិតនៃជំហាននីមួយៗ។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖ f(x) = អ៊ី 2x + 3 ; g(x) = បាប ( x 2+ ln x)

ចំណាំថាប្រសិនបើនៅក្នុងមុខងារ f(x) ជំនួសឱ្យការបញ្ចេញមតិ 2 x+ 3 នឹងមានភាពងាយស្រួល xបន្ទាប់មកយើងទទួលបានមុខងារបឋម f(x) = អ៊ី x. ដូច្នេះ​យើង​ធ្វើ​ការ​ជំនួស៖ អនុញ្ញាត ២ x + 3 = t, f(x) = f(t) = អ៊ី t. យើងកំពុងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញដោយរូបមន្ត៖

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (អ៊ី t)’ · t ’ = អ៊ី t · t ’

ហើយឥឡូវនេះ - យកចិត្តទុកដាក់! អនុវត្តការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = 2x+ ៣.យើងទទួលបាន៖

f ’(x) = អ៊ី t · t ’ = អ៊ី 2x+ ៣ (២ x + 3)’ = អ៊ី 2x+ 3 2 = 2 អ៊ី 2x + 3

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលមុខងារ g(x) ជាក់ស្តែងត្រូវការជំនួស។ x 2+ ln x = t. យើង​មាន:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (អំពើបាប t)’ · t' = ខូស t · t ’

ការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = x 2+ ln x. បន្ទាប់មក៖

g ’(x) = cos( x 2+ ln x) · ( x 2+ ln x)' = cos ( x 2+ ln x) · (២ x + 1/x).

អស់ហើយ! ដូចដែលអាចមើលឃើញពីកន្សោមចុងក្រោយបញ្ហាទាំងមូលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការគណនាដេរីវេនៃផលបូក។

ចម្លើយ៖
f ’(x) = ២ អ៊ី 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2+ ln x).

ជាញឹកញាប់ណាស់នៅក្នុងមេរៀនរបស់ខ្ញុំជំនួសឱ្យពាក្យ "ដេរីវេ" ខ្ញុំប្រើពាក្យ "ដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល" ។ ជាឧទាហរណ៍ ផលបូកនៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល។ ច្បាស់ជាងនេះទេ? ជាការប្រសើរណាស់។

ដូច្នេះការគណនានៃដេរីវេបានចុះមកដើម្បីកម្ចាត់ជំងឺដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលយ៉ាងខ្លាំងទាំងនេះយោងទៅតាមច្បាប់ដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។ ជាឧទាហរណ៍ចុងក្រោយ ចូរយើងត្រលប់ទៅអំណាចដេរីវេជាមួយនឹងនិទស្សន្តនិទស្សន្ត៖

(x ន)’ = ន · x ន − 1

មានមនុស្សតិចណាស់ដែលដឹងថានៅក្នុងតួនាទីនេះ។ នប្រហែលជាលេខប្រភាគ។ ឧទាហរណ៍ឫសគឺ x 0.5 ប៉ុន្ដែចុះយ៉ាងណាបើមានអ្វីពិបាកនៅក្រោមឫស? ជាថ្មីម្តងទៀតមុខងារស្មុគ្រស្មាញនឹងប្រែជា - ពួកគេចូលចិត្តផ្តល់សំណង់បែបនេះនៅក្នុងការធ្វើតេស្តនិងការប្រឡង។

កិច្ចការ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

ជាដំបូង ចូរយើងសរសេរឫសឡើងវិញជាថាមពលដែលមាននិទស្សន្តសមហេតុផល៖

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

ឥឡូវនេះយើងធ្វើការជំនួស៖ អនុញ្ញាតឱ្យ x 2 + 8x − 7 = t. យើងរកឃើញដេរីវេដោយរូបមន្ត៖

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)' t' = 0.5 t−០.៥ t ’.

យើងធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស៖ t = x 2 + 8x 7. យើងមាន៖

f ’(x) = 0.5 ( x 2 + 8x− ៧) −០.៥ ( x 2 + 8x− ៧)' = ០.៥ (២ x+ ៨) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

ទីបំផុតត្រលប់ទៅឫស៖

មុខងារស្មុគស្មាញមិនតែងតែសមនឹងនិយមន័យនៃមុខងារស្មុគស្មាញនោះទេ។ ប្រសិនបើមានមុខងារនៃទម្រង់ y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 នោះវាមិនអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មុគស្មាញទេមិនដូច y \u003d sin 2 x ។

អត្ថបទនេះនឹងបង្ហាញពីគំនិតនៃមុខងារស្មុគស្មាញ និងការកំណត់អត្តសញ្ញាណរបស់វា។ ចូរយើងធ្វើការជាមួយរូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេជាមួយនឹងឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយនៅក្នុងការសន្និដ្ឋាន។ ការប្រើប្រាស់តារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាយ៉ាងសំខាន់កាត់បន្ថយពេលវេលាក្នុងការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ។

និយមន័យមូលដ្ឋាន

និយមន័យ ១

អនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺជាអនុគមន៍ដែលអាគុយម៉ង់ក៏ជាមុខងារផងដែរ។

វាត្រូវបានតាងតាមវិធីនេះ៖ f (g (x)) ។ យើងមានថាអនុគមន៍ g (x) ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអាគុយម៉ង់ f (g (x)) ។

និយមន័យ ២

ប្រសិនបើមានអនុគមន៍ f និងជាអនុគមន៍កូតង់សង់ នោះ g(x) = ln x គឺជាអនុគមន៍លោការីតធម្មជាតិ។ យើងទទួលបានថាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ f (g (x)) នឹងត្រូវបានសរសេរជា arctg (lnx) ។ ឬអនុគមន៍ f ដែលជាអនុគមន៍ដែលលើកទៅថាមពលទី 4 ដែល g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអនុគមន៍សនិទានទាំងមូល យើងទទួលបាន f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x − 3) ៤.

ជាក់ស្តែង g(x) អាចជាល្បិច។ ពីឧទាហរណ៍ y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាតម្លៃនៃ g មានឫសគូបជាមួយប្រភាគ។ កន្សោមនេះអាចត្រូវបានតំណាងថាជា y = f (f 1 (f 2 (x))) ។ តើនៅពេលណាដែលយើងមាន f គឺជាអនុគមន៍ស៊ីនុស ហើយ f 1 គឺជាអនុគមន៍ដែលមានទីតាំងនៅក្រោមឫសការ៉េ f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 គឺជាអនុគមន៍ប្រភាគប្រភាគ។

និយមន័យ ៣

កម្រិតនៃការដាក់សំបុកត្រូវបានកំណត់ដោយលេខធម្មជាតិណាមួយ ហើយត្រូវបានសរសេរជា y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))))) ។

និយមន័យ ៤

គោលគំនិតនៃសមាសភាពមុខងារ សំដៅលើចំនួននៃអនុគមន៍ដែលបានដាក់ដោយយោងទៅលើសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហា។ សម្រាប់ដំណោះស្រាយ រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញនៃទម្រង់

(f(g(x)))"=f"(g(x)) g"(x)

ឧទាហរណ៍

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃទម្រង់ y = (2 x + 1) 2 ។

ការសម្រេចចិត្ត

តាមអនុសញ្ញា f គឺជាអនុគមន៍ការ៉េ ហើយ g(x) = 2 x + 1 ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ។

យើងអនុវត្តរូបមន្តដេរីវេសម្រាប់មុខងារស្មុគស្មាញ ហើយសរសេរ៖

f "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2(g (x)) 2 − 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកដេរីវេដែលមានទម្រង់សាមញ្ញនៃមុខងារដំបូង។ យើង​ទទួល​បាន:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

ដូច្នេះ​ហើយ​យើង​មាន​នោះ។

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 − 1 = 8 x + 4

លទ្ធផលត្រូវគ្នា។

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហានៃប្រភេទនេះ វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលត្រូវយល់ពីកន្លែងដែលមុខងារនៃទម្រង់ f និង g (x) នឹងស្ថិតនៅ។

ឧទាហរណ៍ ២

អ្នកគួរតែស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញនៃទម្រង់ y \u003d sin 2 x និង y \u003d sin x 2 ។

ការសម្រេចចិត្ត

ធាតុទីមួយនៃអនុគមន៍និយាយថា f គឺជាអនុគមន៍ការ៉េ ហើយ g(x) គឺជាអនុគមន៍ស៊ីនុស។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវា។

y "= (sin 2 x)" = 2 sin 2 − 1 x (sin x)" = 2 sin x cos x

ធាតុទីពីរបង្ហាញថា f គឺជាអនុគមន៍ស៊ីនុស ហើយ g (x) = x 2 បង្ហាញពីអនុគមន៍ថាមពល។ វាដូចខាងក្រោមដែលផលិតផលនៃមុខងារស្មុគស្មាញអាចត្រូវបានសរសេរជា

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

រូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេ y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))))) នឹងត្រូវបានសរសេរជា y "= f" (f 1 (f 2 (f 3) ។ (... ( f n (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) f 2 "(f 3 (... ))))។ . . f n "(x)

ឧទាហរណ៍ ៣

រកដេរីវេនៃអនុគមន៍ y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) ។

ការសម្រេចចិត្ត

ឧទាហរណ៍នេះបង្ហាញពីភាពស្មុគស្មាញនៃការសរសេរ និងកំណត់ទីតាំងនៃមុខងារ។ បន្ទាប់មក y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) បញ្ជាក់ ដែល f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) គឺជាអនុគមន៍ស៊ីនុស មុខងារ នៃការកើនឡើងដល់ 3 ដឺក្រេ អនុគមន៍ដែលមានលោការីត និងអ៊ីមូលដ្ឋាន មុខងារនៃតង់ហ្សង់ធ្នូ និងលីនេអ៊ែរមួយ។

ពីរូបមន្តសម្រាប់និយមន័យនៃមុខងារស្មុគស្មាញ យើងមាននោះ។

y "= f"(f 1(f 2(f 3(f 4(x))))))f 1"(f 2(f 3(f 4(x)))))f 2"(f 3(f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

ទទួលបានអ្វីដែលត្រូវស្វែងរក

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) ជាដេរីវេនៃស៊ីនុសនៅក្នុងតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ បន្ទាប់មក f"(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x) ។ )))))) = cos (ln 3 a r c t g (2 x))) ។
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ជាដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពល បន្ទាប់មក f 1"(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) ។
3. f 2"(f 3(f 4(x)))) ជាដេរីវេលោការីត បន្ទាប់មក f 2"(f 3(f 4(x)))) = 1 a r c t g (2 x) ។
4. f 3”(f 4 (x)) ជាដេរីវេនៃតង់សង់ធ្នូ បន្ទាប់មក f 3”(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2 ។
5. នៅពេលរកឃើញដេរីវេ f 4 (x) \u003d 2 x យក 2 ចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ថាមពលដែលមាននិទស្សន្តគឺ 1 បន្ទាប់មក f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 ។

យើងបញ្ចូលគ្នានូវលទ្ធផលកម្រិតមធ្យម ហើយទទួលបាននោះ។

y "= f"(f 1(f 2(f 3(f 4(x))))))f 1"(f 2(f 3(f 4(x)))))f 2"(f 3(f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

ការវិភាគនៃមុខងារបែបនេះប្រហាក់ប្រហែលនឹងតុក្កតាសំបុក។ ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាមិនអាចតែងតែត្រូវបានអនុវត្តយ៉ាងច្បាស់លាស់ដោយប្រើតារាងដេរីវេទេ។ ជាញឹកញាប់អ្នកត្រូវអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។

មានភាពខុសគ្នាខ្លះរវាងទិដ្ឋភាពស្មុគស្មាញ និងមុខងារស្មុគស្មាញ។ ជាមួយនឹងសមត្ថភាពច្បាស់លាស់ក្នុងការបែងចែកនេះ ការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុនឹងមានភាពងាយស្រួលជាពិសេស។

ឧទាហរណ៍ 4

វាចាំបាច់ក្នុងការពិចារណាលើការនាំយកឧទាហរណ៍បែបនេះ។ ប្រសិនបើមានមុខងារនៃទម្រង់ y = t g 2 x + 3 t g x + 1 នោះវាអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាមុខងារស្មុគស្មាញនៃទម្រង់ g (x) = t g x , f (g) = g 2 + 3 g + 1 ។ . ជាក់ស្តែង ចាំបាច់ត្រូវអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុស្មុគស្មាញ៖

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 t g x + ៣; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g" (x) = (2 t g x + 3) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

អនុគមន៍នៃទម្រង់ y = t g x 2 + 3 t g x + 1 មិនត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មុគស្មាញទេ ព្រោះវាមានផលបូក t g x 2 3 t g x និង 1 ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ t g x 2 ត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាមុខងារស្មុគស្មាញ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានអនុគមន៍ថាមពលនៃទម្រង់ g (x) \u003d x 2 និង f ដែលជាមុខងារនៃតង់សង់។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះអ្នកត្រូវបែងចែកដោយបរិមាណ។ យើងទទួលបាននោះ។

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2)" + 3 cos 2 x

ចូរបន្តទៅការស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (t g (g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

យើងទទួលបាន y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2)" + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

មុខងារស្មុគ្រស្មាញអាចត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងមុខងារស្មុគស្មាញ ហើយមុខងារស្មុគ្រស្មាញខ្លួនឯងអាចជាមុខងារស្មុគស្មាញនៃទម្រង់ស្មុគស្មាញ។

ឧទាហរណ៍ ៥

ឧទាហរណ៍ ពិចារណាមុខងារស្មុគស្មាញនៃទម្រង់ y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

អនុគមន៍នេះអាចត្រូវបានតំណាងជា y = f (g (x)) ដែលតម្លៃនៃ f គឺជាមុខងារនៃលោការីតគោល 3 ហើយ g (x) ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរនៃទម្រង់ h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 និង k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) ។ ជាក់ស្តែង y = f (h (x) + k (x)) ។

ពិចារណាមុខងារ h(x) ។ នេះគឺជាសមាមាត្រនៃ l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ទៅ m (x) = e x 2 + 3 3

យើងមានថា l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) គឺជាផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរ n (x) = x 2 + 7 និង p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1) ដែល p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x)))) គឺជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញដែលមានមេគុណលេខ 3 ហើយ p 1 គឺ a cube function, p 2 cosine function, p 3 (x) = 2 x + 1 - អនុគមន៍លីនេអ៊ែរ។

យើងបានរកឃើញថា m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) គឺជាផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរ q (x) = e x 2 និង r (x) = 3 3 ដែល q (x) = q 1 ( q 2 (x)) ជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ q 1 ជាអនុគមន៍ដែលមាននិទស្សន្តមួយ q 2 (x) = x 2 ជាអនុគមន៍ថាមពល។

នេះបង្ហាញថា h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) ។ (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

នៅពេលឆ្លងទៅកន្សោមនៃទម្រង់ k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x) វាច្បាស់ណាស់ថាមុខងារត្រូវបានតំណាងជាស្មុគស្មាញ s (x) \ u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) ជាមួយចំនួនគត់ t (x) = x 2 + 1 ដែល s 1 ជាអនុគមន៍ការេ ហើយ s 2 (x) = ln x គឺជាលោការីតជាមួយនឹងគោល e .

វាដូចខាងក្រោមថាកន្សោមនឹងយកទម្រង់ k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) ។

បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវា។

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

យោងតាមរចនាសម្ព័ន្ធនៃមុខងារ វាបានក្លាយទៅជាច្បាស់អំពីរបៀប និងរូបមន្តអ្វីខ្លះដែលត្រូវអនុវត្ត ដើម្បីសម្រួលការបញ្ចេញមតិនៅពេលដែលវាខុសគ្នា។ ដើម្បីស្គាល់ខ្លួនឯងជាមួយនឹងបញ្ហាបែបនេះ និងដើម្បីយល់ពីដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ វាចាំបាច់ក្នុងការសំដៅទៅលើចំណុចនៃការបែងចែកមុខងារមួយ ពោលគឺការស្វែងរកដេរីវេរបស់វា។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

ហើយទ្រឹស្តីបទស្តីពីដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញមួយ ទម្រង់បែបបទមានដូចខាងក្រោម៖

អនុញ្ញាតឱ្យ 1) អនុគមន៍ $u=\varphi (x)$ មានដេរីវេ $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ នៅចំណុចខ្លះ $x_0$, 2) អនុគមន៍ $y=f(u)$ មាននៅចំណុចដែលត្រូវគ្នា $u_0=\varphi (x_0)$ ដេរីវេ $y_(u)"=f"(u)$ ។ បន្ទាប់មកអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ $y=f\left(\varphi(x)\right)$ នៅចំណុចដែលបានរៀបរាប់ក៏នឹងមានដេរីវេស្មើនឹងផលគុណនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ $f(u)$ និង $\varphi ( x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

ឬក្នុងន័យខ្លីជាងនេះ៖ $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$ ។

នៅក្នុងឧទាហរណ៍នៃផ្នែកនេះ មុខងារទាំងអស់មានទម្រង់ $y=f(x)$ (ឧ. យើងពិចារណាតែមុខងារនៃអថេរមួយ $x$)។ ដូច្នោះហើយ ក្នុងឧទាហរណ៍ទាំងអស់ ដេរីវេ $y"$ ត្រូវបានគេយកដោយគោរពតាមអថេរ $x$។ ដើម្បីបញ្ជាក់ថា និស្សន្ទវត្ថុត្រូវបានយកដោយគោរពទៅអថេរ $x$ ជារឿយៗគេសរសេរ $y"_x$ ជំនួសឱ្យ $ y"$។

ឧទាហរណ៍ #1, #2, និង #3 ផ្តល់នូវដំណើរការលម្អិតសម្រាប់ការស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ។ ឧទាហរណ៍លេខ 4 គឺមានបំណងសម្រាប់ការយល់ដឹងពេញលេញបន្ថែមទៀតអំពីតារាងនិស្សន្ទវត្ថុ ហើយវាសមហេតុផលក្នុងការស្គាល់ខ្លួនអ្នកជាមួយវា។

បន្ទាប់ពីសិក្សាសម្ភារៈក្នុងឧទាហរណ៍លេខ 1-3 គួរតែបន្តទៅការដោះស្រាយដោយឯករាជ្យនូវឧទាហរណ៍លេខ 5 លេខ 6 និងលេខ 7 ។ ឧទាហរណ៍ #5, #6 និង #7 មានដំណោះស្រាយខ្លីមួយដើម្បីឱ្យអ្នកអានអាចពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃលទ្ធផលរបស់គាត់។

ឧទាហរណ៍ #1

ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ $y=e^(\cos x)$ ។

យើងត្រូវស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញ $y"$។ ចាប់តាំងពី $y=e^(\cos x)$ បន្ទាប់មក $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$ ។ ស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ $\left(e^(\cos x)\right)"$ ប្រើរូបមន្ត #6 ពីតារាងដេរីវេ។ ដើម្បីប្រើរូបមន្តលេខ 6 អ្នកត្រូវពិចារណាថាក្នុងករណីរបស់យើង $u = \ cos x$ ។ ដំណោះស្រាយបន្ថែមមាននៅក្នុងការជំនួស banal នៃកន្សោម $\cos x$ ជំនួសឱ្យ $u$ ទៅក្នុងរូបមន្តលេខ 6៖

$$ y"=\left(e^(\cos x)\right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

ឥឡូវនេះយើងត្រូវស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម $(\cos x)"$។ ម្តងទៀត យើងងាកទៅតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ ដោយជ្រើសរើសរូបមន្តលេខ 10 ពីវា។ ការជំនួស $u=x$ ទៅជារូបមន្តលេខ 10 យើងមាន : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ ។ ឥឡូវនេះ យើងបន្តសមភាព (1.1) ដោយបន្ថែមវាជាមួយនឹងលទ្ធផលដែលបានរកឃើញ៖

$$ y"=\left(e^(\cos x)\right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

ចាប់តាំងពី $x"=1$ យើងបន្តសមភាព (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x)\right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

ដូច្នេះ ពីសមភាព (1.3) យើងមាន៖ $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$។ តាមធម្មជាតិ ការពន្យល់ និងសមភាពមធ្យមជាធម្មតាត្រូវបានរំលង ដោយសរសេរនិស្សន្ទវត្ថុក្នុងបន្ទាត់មួយ ដូចនៅក្នុងសមភាព (១.៣) ដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញត្រូវបានរកឃើញ វានៅសល់តែសរសេរចម្លើយប៉ុណ្ណោះ។

ចម្លើយ៖ $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$ ។

ឧទាហរណ៍ #2

ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ ។

យើងត្រូវគណនាដេរីវេ $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ ។ ដើម្បីចាប់ផ្តើម យើងកត់សំគាល់ថា ថេរ (ឧ. លេខ ៩) អាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ៖

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

ឥឡូវ​យើង​បង្វែរ​ទៅ​កន្សោម $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$។ ដើម្បី​ឱ្យ​វា​កាន់​តែ​ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​ការ​ជ្រើស​រើស​រូបមន្ត​ដែល​ចង់​បាន​ពី​តារាង​និស្សន្ទវត្ថុ ខ្ញុំ​នឹង​បង្ហាញ​កន្សោម នៅក្នុងសំណួរក្នុងទម្រង់នេះ៖ $\left(\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$ ។ ឥឡូវនេះវាច្បាស់ណាស់ថាវាចាំបាច់ក្នុងការប្រើរូបមន្តលេខ 2, i.e. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$ ។ ជំនួស $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ និង $\alpha=12$ ទៅក្នុងរូបមន្តនេះ៖

ការបំពេញសមភាព (2.1) ជាមួយនឹងលទ្ធផលដែលទទួលបាន យើងមាន៖

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

ក្នុង​ស្ថានភាព​នេះ កំហុស​ច្រើន​តែ​កើត​ឡើង​នៅ​ពេល​អ្នក​ដោះស្រាយ​នៅ​ជំហាន​ដំបូង​ជ្រើសរើស​រូបមន្ត $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ ជំនួស​ឱ្យ​រូបមន្ត $\left(u^\alpha\right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$ ។ ចំនុចនោះគឺថាដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រៅត្រូវតែរកឃើញជាមុនសិន។ ដើម្បីយល់ពីមុខងារណាមួយនឹងនៅខាងក្រៅកន្សោម $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ស្រមៃថាអ្នកកំពុងរាប់តម្លៃនៃកន្សោម $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ សម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃ $x$ ។ ដំបូងអ្នកគណនាតម្លៃ $5^x$ បន្ទាប់មកគុណលទ្ធផលនឹង 4 ដើម្បីទទួលបាន $4\cdot 5^x$។ ឥឡូវនេះយើងយក arctangent ពីលទ្ធផលនេះ ដោយទទួលបាន $\arctg(4\cdot 5^x)$ ។ បន្ទាប់មកយើងលើកលេខលទ្ធផលទៅថាមពលទីដប់ពីរ ដោយទទួលបាន $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ។ សកម្មភាពចុងក្រោយ, i.e. ការកើនឡើងដល់ថាមពល 12 - ហើយនឹងជាមុខងារខាងក្រៅ។ ហើយវាគឺមកពីវាដែលមនុស្សម្នាក់គួរតែចាប់ផ្តើមស្វែងរកដេរីវេដែលត្រូវបានធ្វើឡើងដោយសមភាព (2.2) ។

ឥឡូវនេះយើងត្រូវស្វែងរក $(\arctg(4\cdot \ln x))"$។ យើងប្រើរូបមន្តលេខ 19 នៃតារាងដេរីវេ ដោយជំនួស $u=4\cdot \ln x$ ទៅក្នុងវា៖

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

ចូរសម្រួលកន្សោមលទ្ធផលបន្តិច ដោយគិតទៅ $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$ ។

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

សមភាព (2.2) ឥឡូវនេះនឹងក្លាយជា៖

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x)\right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរក $(4\cdot \ln x)"$ ។ យើងយកថេរ (ឧ. 4) ចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ៖ $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x )"$។ ដើម្បីស្វែងរក $(\ln x)"$ យើងប្រើរូបមន្តលេខ 8 ដោយជំនួស $u=x$ ទៅក្នុងវា៖ $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$ ។ ចាប់តាំងពី $x"=1$ បន្ទាប់មក $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ ជំនួសលទ្ធផលដែលទទួលបានទៅជារូបមន្ត (2.3) យើងទទួលបាន៖

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x)\right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)))$ $

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺច្រើនតែនៅក្នុងបន្ទាត់មួយ ដូចដែលបានសរសេរនៅក្នុងសមភាពចុងក្រោយ។ ដូច្នេះនៅពេលធ្វើការគណនាស្តង់ដារ ឬការធ្វើតេស្ត វាមិនចាំបាច់ក្នុងការពណ៌នាអំពីដំណោះស្រាយឱ្យលម្អិតដូចគ្នានោះទេ។

ចម្លើយ៖ $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$ ។

ឧទាហរណ៍ #3

ស្វែងរក $y"$ នៃអនុគមន៍ $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ ។

ដំបូង​យើង​បំប្លែង​អនុគមន៍ $y$ បន្តិច​ដោយ​បង្ហាញ​រ៉ាឌីកាល់ (root) ជា​ថាមពល៖ $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$។ ឥឡូវនេះសូមចាប់ផ្តើមស្វែងរកដេរីវេ។ ចាប់តាំងពី $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$ បន្ទាប់មក៖

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

យើងប្រើរូបមន្តលេខ 2 ពីតារាងដេរីវេដោយជំនួស $u=\sin(5\cdot 9^x)$ និង $\alpha=\frac(3)(7)$ ទៅក្នុងវា៖

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))(\sin(5\cdot 9^x))" $$

យើងបន្តសមភាព (3.1) ដោយប្រើលទ្ធផលដែលទទួលបាន៖

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))(\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

ឥឡូវនេះ យើងត្រូវស្វែងរក $(\sin(5\cdot 9^x))"$។ ចំពោះបញ្ហានេះ យើងប្រើរូបមន្តលេខ 9 ពីតារាងដេរីវេ ដោយជំនួស $u=5\cdot 9^x$ ទៅក្នុងវា៖

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

ការបំពេញសមភាព (៣.២) ជាមួយនឹងលទ្ធផលដែលទទួលបាន យើងមាន៖

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))(\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot ឆ្វេង(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \tag (3.3) $$

វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរក $(5\cdot 9^x)"$ ជាដំបូង យើងយកថេរ (លេខ $5$) ចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ ពោលគឺ $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$ ។ ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេទី $(9^x)"$ យើងអនុវត្តរូបមន្តលេខ 5 នៃតារាងនិស្សន្ទវត្ថុ ដោយជំនួស $a=9$ និង $u=x$ ទៅក្នុងវា៖ $ (9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"$ ។ ចាប់តាំងពី $x"=1$ បន្ទាប់មក $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$ ។ ឥឡូវនេះយើងអាចបន្តសមភាព (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))(\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot ឆ្វេង(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot ឆ្វេង(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x ។ $$

អ្នកអាចត្រឡប់ពីអំណាចទៅជារ៉ាឌីកាល់ (ឧ. ឫស) ម្តងទៀតដោយសរសេរ $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ as $\frac(1 )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^) x)))$ ។ បន្ទាប់មក និស្សន្ទវត្ថុនឹងត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x=\frac(15\cdot\ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))). $$

ចម្លើយ៖ $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$ ។

ឧទាហរណ៍ #4

បង្ហាញថារូបមន្តលេខ 3 និងលេខ 4 នៃតារាងដេរីវេគឺជាករណីពិសេសនៃរូបមន្តលេខ 2 នៃតារាងនេះ។

នៅក្នុងរូបមន្តលេខ 2 នៃតារាងដេរីវេទីវ័រ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ $u^\alpha$ ត្រូវបានសរសេរ។ ការជំនួស $\alpha=-1$ ទៅក្នុងរូបមន្ត #2 យើងទទួលបាន៖

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

ចាប់តាំងពី $u^(-1)=\frac(1)(u)$ និង $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, សមភាព (4.1) អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម: $ \left(\frac(1)(u)\right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$ ។ នេះគឺជារូបមន្តលេខ 3 នៃតារាងដេរីវេ។

ចូរយើងបង្វែរម្តងទៀតទៅរូបមន្តលេខ 2 នៃតារាងដេរីវេ។ ជំនួស $\alpha=\frac(1)(2)$ ទៅក្នុងវា៖

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

ចាប់តាំងពី $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ និង $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac(1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$ បន្ទាប់មកសមភាព (4.2) អាចសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u)) )\cdot u" $$

សមភាពលទ្ធផល $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ គឺជារូបមន្តលេខ 4 នៃតារាងដេរីវេ។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ រូបមន្តលេខ 3 និងលេខ 4 នៃតារាងដេរីវេទទួលបានពីរូបមន្តលេខ 2 ដោយជំនួសតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃ $\alpha$ ។

ឧទាហរណ៍នៃការគណនានិស្សន្ទវត្ថុដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

មាតិកា

សូម​មើល​ផង​ដែរ: ភស្តុតាងនៃរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ។

រូបមន្តមូលដ្ឋាន

នៅទីនេះយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃការគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ដូចខាងក្រោមៈ
; ; ; ; .

ប្រសិនបើអនុគមន៍មួយអាចត្រូវបានតំណាងថាជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
,
បន្ទាប់មកដេរីវេរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖
.
ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម យើងនឹងសរសេររូបមន្តនេះក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
.
កន្លែងណា។
នៅទីនេះ subscripts ឬ , ដែលមានទីតាំងនៅក្រោមសញ្ញានៃ derivative បង្ហាញពីអថេរដែលទាក់ទងនឹងភាពខុសគ្នាត្រូវបានអនុវត្ត។

ជាធម្មតានៅក្នុងតារាងនៃដេរីវេ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ពីអថេរ x ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ x គឺជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រផ្លូវការ។ អថេរ x អាចត្រូវបានជំនួសដោយអថេរផ្សេងទៀត។ ដូច្នេះហើយ នៅពេលបែងចែកមុខងារមួយពីអថេរ យើងគ្រាន់តែផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងតារាងនៃដេរីវេរ Variable x ទៅអថេរ u ។

ឧទាហរណ៍សាមញ្ញ

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ
.

យើងសរសេរមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់សមមូល៖
.
នៅក្នុងតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងរកឃើញ៖
;
.

យោងតាមរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយ យើងមាន៖
.
នៅទីនេះ

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដេរីវេ
.

យើងដកលេខថេរ 5 លើសពីសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងពីតារាងនិស្សន្ទវត្ថុដែលយើងរកឃើញ៖
.

.
នៅទីនេះ

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកដេរីវេ
.

យើងដកអថេរចេញ -1 សម្រាប់សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងពីតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ យើងរកឃើញ៖
;
ពីតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុយើងរកឃើញ៖
.

យើងអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖
.
នៅទីនេះ

ឧទាហរណ៍ស្មុគស្មាញជាង

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដ៏ស្មុគ្រស្មាញជាងនេះ យើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារសមាសធាតុជាច្រើនដង។ ក្នុងការធ្វើដូច្នេះយើងគណនាដេរីវេពីចុង។ នោះគឺយើងបំបែកមុខងារទៅជាផ្នែកសមាសធាតុរបស់វា ហើយស្វែងរកដេរីវេនៃផ្នែកសាមញ្ញបំផុតដោយប្រើ តារាងដេរីវេ. យើងក៏អនុវត្តផងដែរ។ ច្បាប់នៃការបែងចែកផលបូកផលិតផល និងប្រភាគ។ បន្ទាប់មកយើងធ្វើការជំនួស ហើយអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយ។

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកដេរីវេ
.

យើងជ្រើសរើសផ្នែកសាមញ្ញបំផុតនៃរូបមន្ត ហើយស្វែងរកដេរីវេរបស់វា។ .

.
នៅទីនេះយើងបានប្រើសញ្ញាណ
.

យើងរកឃើញដេរីវេនៃផ្នែកបន្ទាប់នៃអនុគមន៍ដើម ដោយអនុវត្តលទ្ធផលដែលទទួលបាន។ យើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលបូក៖
.

ជាថ្មីម្តងទៀត យើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ។

.
នៅទីនេះ

ឧទាហរណ៍ ៥

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ
.

យើងជ្រើសរើសផ្នែកសាមញ្ញបំផុតនៃរូបមន្ត ហើយស្វែងរកដេរីវេរបស់វាពីតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ។ .

យើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ។
.
នៅទីនេះ
.

យើងបែងចែកផ្នែកបន្ទាប់ដោយអនុវត្តលទ្ធផលដែលទទួលបាន។
.
នៅទីនេះ
.

ចូរយើងបែងចែកផ្នែកបន្ទាប់។

.
នៅទីនេះ
.

ឥឡូវនេះយើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារដែលចង់បាន។

.
នៅទីនេះ
.

សូម​មើល​ផង​ដែរ:

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងរៀនពីរបៀបស្វែងរក ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ. មេរៀនគឺជាការបន្តនៃមេរៀន តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេ?ដែលយើងបានធ្វើការវិភាគលើនិស្សន្ទវត្ថុសាមញ្ញបំផុត ហើយក៏បានស្គាល់ពីច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា និងវិធីសាស្រ្តបច្ចេកទេសមួយចំនួនសម្រាប់ការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុផងដែរ។ ដូចនេះ ប្រសិនបើអ្នកមិនសូវពូកែជាមួយដេរីវេនៃមុខងារ ឬចំណុចខ្លះនៃអត្ថបទនេះមិនច្បាស់ទាំងស្រុងនោះ សូមអានមេរៀនខាងលើជាមុនសិន។ សូមស្តាប់តាមអារម្មណ៍ដ៏ធ្ងន់ធ្ងរ - សម្ភារៈមិនងាយស្រួលទេ ប៉ុន្តែខ្ញុំនឹងនៅតែព្យាយាមបង្ហាញវាដោយសាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់។

នៅក្នុងការអនុវត្ត អ្នកត្រូវតែដោះស្រាយជាមួយនឹងដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញជាញឹកញាប់ ខ្ញុំថែមទាំងអាចនិយាយបានថា នៅពេលដែលអ្នកត្រូវបានផ្តល់ភារកិច្ចដើម្បីស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ។

យើងមើលក្នុងតារាងនៅច្បាប់ (លេខ ៥) សម្រាប់ការបែងចែកមុខងារស្មុគស្មាញ៖

យើង​យល់។ ជាបឋម សូមក្រឡេកមើលសញ្ញាណ។ នៅ​ទីនេះ​យើង​មាន​មុខងារ​ពីរ - និង , ហើយ​មុខងារ​ដែល​និយាយ​ជា​ន័យ​ធៀប​គឺ​ត្រូវ​បាន​ដាក់​ក្នុង​មុខងារ។ មុខងារនៃប្រភេទនេះ (នៅពេលដែលមុខងារមួយត្រូវបានដាក់នៅក្នុងមួយផ្សេងទៀត) ត្រូវបានគេហៅថាមុខងារស្មុគស្មាញ។

ខ្ញុំនឹងហៅមុខងារ មុខងារខាងក្រៅនិងមុខងារ - មុខងារខាងក្នុង (ឬសំបុក).

! និយមន័យទាំងនេះមិនមែនជាទ្រឹស្តីទេ ហើយមិនគួរបង្ហាញនៅក្នុងការរចនាចុងក្រោយនៃកិច្ចការនោះទេ។ ខ្ញុំប្រើកន្សោមក្រៅផ្លូវការ "មុខងារខាងក្រៅ" មុខងារ "ខាងក្នុង" តែប៉ុណ្ណោះដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់អ្នកក្នុងការយល់អំពីសម្ភារៈ។

ដើម្បីបញ្ជាក់ស្ថានភាព សូមពិចារណា៖

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នៅក្រោមស៊ីនុស យើងមិនត្រឹមតែមានអក្សរ "x" ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែជាកន្សោមទាំងមូល ដូច្នេះការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុភ្លាមៗពីតារាងនឹងមិនដំណើរការទេ។ យើងក៏កត់សម្គាល់ផងដែរថាវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការអនុវត្តច្បាប់ទាំងបួនដំបូងនៅទីនេះ វាហាក់ដូចជាមានភាពខុសប្លែកគ្នា ប៉ុន្តែការពិតគឺថាវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការ "បំបែក" ស៊ីនុសនេះ៖

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ ពីការពន្យល់របស់ខ្ញុំរួចហើយ វាច្បាស់ណាស់ថា អនុគមន៍ គឺជាមុខងារស្មុគស្មាញ ហើយពហុនាមគឺជាមុខងារខាងក្នុង (បង្កប់) និងមុខងារខាងក្រៅ។

ជំហាន​ដំបូងដែលត្រូវតែអនុវត្តនៅពេលស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញគឺដើម្បី យល់ថាមុខងារមួយណាជាខាងក្នុង និងមួយណាជាមុខងារខាងក្រៅ.

ក្នុង​ករណី​ឧទាហរណ៍​សាមញ្ញ វា​ហាក់​ដូច​ជា​ច្បាស់​ណាស់​ថា​ពហុធា​ត្រូវ​បាន​ដាក់​នៅ​ក្រោម​ស៊ីនុស។ ប៉ុន្តែចុះយ៉ាងណាបើវាមិនច្បាស់? តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់ឱ្យច្បាស់ថាមួយណាជាមុខងារខាងក្រៅ និងមួយណាជាផ្ទៃក្នុង? ដើម្បីធ្វើដូចនេះខ្ញុំស្នើឱ្យប្រើបច្ចេកទេសខាងក្រោមដែលអាចត្រូវបានអនុវត្តផ្លូវចិត្តឬលើសេចក្តីព្រាង។

ចូរស្រមៃថាយើងត្រូវការគណនាតម្លៃនៃកន្សោមដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ (ជំនួសឱ្យលេខមួយអាចមានលេខណាមួយ) ។

តើយើងគណនាអ្វីមុនគេ? ជាបឋមអ្នកនឹងត្រូវអនុវត្តសកម្មភាពខាងក្រោម៖ ដូច្នេះពហុធានឹងជាមុខងារខាងក្នុង៖

ទីពីរអ្នកនឹងត្រូវស្វែងរក ដូច្នេះស៊ីនុស - នឹងក្លាយជាមុខងារខាងក្រៅ៖

បន្ទាប់ពីយើង យល់ជាមួយនឹងមុខងារខាងក្នុង និងខាងក្រៅ វាជាពេលវេលាដើម្បីអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារបរិវេណ។

យើងចាប់ផ្តើមសម្រេចចិត្ត។ ពីមេរៀន តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេ?យើងចងចាំថាការរចនានៃដំណោះស្រាយនៃដេរីវេណាមួយតែងតែចាប់ផ្តើមដូចនេះ - យើងភ្ជាប់កន្សោមនៅក្នុងតង្កៀបហើយដាក់សញ្ញាដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាលនៅខាងស្តាំខាងលើ:

ដំបូងយើងរកឃើញដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅ (ស៊ីនុស) មើលតារាងនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម ហើយសម្គាល់ថា . រូបមន្តតារាងទាំងអស់អាចអនុវត្តបាន ទោះបីជា "x" ត្រូវបានជំនួសដោយកន្សោមស្មុគស្មាញក៏ដោយ។, ក្នុងករណី​នេះ:

ចំណាំថាមុខងារខាងក្នុង មិន​បាន​ផ្លាស់​ប្តូ​រ​, យើង​មិន​ប៉ះ​វា​.

មែនហើយ វាច្បាស់ណាស់ថា

លទ្ធផលចុងក្រោយនៃការអនុវត្តរូបមន្តមើលទៅដូចនេះ៖

កត្តាថេរជាធម្មតាត្រូវបានដាក់នៅដើមកន្សោម៖

ប្រសិនបើមានការយល់ខុស សូមសរសេរសេចក្តីសម្រេចលើក្រដាស ហើយអានការពន្យល់ម្តងទៀត។

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ដូចរាល់ដង យើងសរសេរ៖

យើងស្វែងយល់ថាតើយើងមានមុខងារខាងក្រៅនៅឯណា ហើយផ្នែកខាងក្នុងនៅឯណា។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងព្យាយាម (ផ្លូវចិត្តឬលើសេចក្តីព្រាង) ដើម្បីគណនាតម្លៃនៃកន្សោមសម្រាប់ . អ្វីដែលត្រូវធ្វើមុនគេ? ដំបូងអ្នកត្រូវគណនាអ្វីដែលមូលដ្ឋានស្មើនឹង៖ ដែលមានន័យថាពហុធាគឺជាមុខងារខាងក្នុង៖

ហើយមានតែនៅពេលនោះនិទស្សន្តត្រូវបានអនុវត្ត ដូច្នេះមុខងារថាមពលគឺជាមុខងារខាងក្រៅ៖

យោងតាមរូបមន្តដំបូងអ្នកត្រូវស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រៅក្នុងករណីនេះដឺក្រេ។ យើងកំពុងស្វែងរករូបមន្តដែលចង់បាននៅក្នុងតារាង៖ ។ យើងនិយាយម្តងទៀត៖ រូបមន្តតារាងណាមួយមានសុពលភាពមិនត្រឹមតែសម្រាប់ "x" ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែសម្រាប់កន្សោមស្មុគស្មាញផងដែរ។. ដូច្នេះលទ្ធផលនៃការអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយមានដូចខាងក្រោម៖

ខ្ញុំបញ្ជាក់ម្តងទៀតថា នៅពេលយើងយកដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅ មុខងារខាងក្នុងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ៖

ឥឡូវនេះវានៅសល់ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេសាមញ្ញបំផុតនៃមុខងារខាងក្នុងនិង "សិតសក់" លទ្ធផលបន្តិច:

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង (ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន)។

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមការយល់ដឹងអំពីដេរីវេនៃមុខងារស្មុគ្រស្មាញ ខ្ញុំនឹងលើកឧទាហរណ៍មួយដោយគ្មានយោបល់ ព្យាយាមស្វែងយល់ដោយខ្លួនឯង ហេតុផល ខាងក្រៅនៅឯណា និងមុខងារខាងក្នុងនៅឯណា ហេតុអ្វីកិច្ចការត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបនោះ?

ឧទាហរណ៍ ៥

ក) ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

ខ) ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍

ឧទាហរណ៍ ៦

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នៅទីនេះយើងមានឫសមួយ ហើយដើម្បីសម្គាល់ឫសគល់ខុសគ្នា វាត្រូវតែតំណាងជាសញ្ញាប័ត្រ។ ដូច្នេះដំបូងយើងនាំយកមុខងារទៅជាទម្រង់ត្រឹមត្រូវសម្រាប់ភាពខុសគ្នា៖

ការវិភាគអនុគមន៍ យើងមកសន្និដ្ឋានថាផលបូកនៃពាក្យទាំងបីគឺជាមុខងារខាងក្នុង ហើយនិទស្សន្តគឺជាអនុគមន៍ខាងក្រៅ។ យើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

សញ្ញាប័ត្រត្រូវបានតំណាងម្តងទៀតជារ៉ាឌីកាល់ (ឫស) ហើយសម្រាប់ដេរីវេនៃមុខងារខាងក្នុង យើងអនុវត្តច្បាប់សាមញ្ញមួយសម្រាប់ការបែងចែកផលបូក៖

រួចរាល់។ អ្នកក៏អាចនាំយកកន្សោមទៅជាភាគបែងធម្មតាក្នុងតង្កៀប ហើយសរសេរអ្វីគ្រប់យ៉ាងជាប្រភាគមួយ។ វា​ពិតជា​ស្រស់ស្អាត ប៉ុន្តែ​នៅពេលដែល​ទទួលបាន​និស្សន្ទវត្ថុ​ដ៏​វែង​ឆ្ងាយ នោះ​ជាការ​ប្រសើរ​កុំ​ធ្វើ​វា (វា​ងាយ​ច្រឡំ ធ្វើ​ខុស​ដែល​មិនចាំបាច់ ហើយ​វា​នឹង​មិន​ស្រួល​សម្រាប់​គ្រូ​ក្នុង​ការ​ពិនិត្យ​) ។

ឧទាហរណ៍ ៧

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង (ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន)។

វាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការកត់សម្គាល់ថាជួនកាលជំនួសឱ្យច្បាប់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគ្រស្មាញ មនុស្សម្នាក់អាចប្រើច្បាប់សម្រាប់ភាពខុសគ្នានៃកូតា ប៉ុន្តែដំណោះស្រាយបែបនេះនឹងមើលទៅហាក់ដូចជាគួរឱ្យអស់សំណើច។ នេះជាឧទាហរណ៍ធម្មតា៖

ឧទាហរណ៍ ៨

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នៅទីនេះអ្នកអាចប្រើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃ quotient ប៉ុន្តែ វាមានផលចំណេញច្រើនក្នុងការស្វែងរកដេរីវេតាមរយៈច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញ៖

យើងរៀបចំមុខងារសម្រាប់ភាពខុសគ្នា - យើងដកសញ្ញាដកនៃដេរីវេ ហើយលើកកូស៊ីនុសទៅភាគយក៖

កូស៊ីនុស គឺជាមុខងារខាងក្នុង និទស្សន្តគឺជាមុខងារខាងក្រៅ។
តោះប្រើច្បាប់របស់យើង៖

យើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារខាងក្នុង កំណត់កូស៊ីនុសឡើងវិញចុះក្រោម៖

រួចរាល់។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណាវាជាការសំខាន់ណាស់ដែលមិនត្រូវច្រឡំនៅក្នុងសញ្ញា។ ដោយវិធីនេះព្យាយាមដោះស្រាយវាជាមួយនឹងច្បាប់ , ចម្លើយត្រូវតែផ្គូផ្គង។

ឧទាហរណ៍ ៩

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង (ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន)។

រហូតមកដល់ពេលនេះ យើងបានពិចារណាករណីដែលយើងមានសំបុកតែមួយនៅក្នុងមុខងារស្មុគស្មាញមួយ។ នៅក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែង ជាញឹកញាប់អ្នកអាចរកឃើញនិស្សន្ទវត្ថុ ដែលដូចជាសំបុកតុក្កតា មួយនៅខាងក្នុងផ្សេងទៀត មុខងារ 3 ឬសូម្បីតែ 4-5 ត្រូវបានដាក់សំបុកក្នុងពេលតែមួយ។

ឧទាហរណ៍ 10

ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ

យើងយល់ពីឯកសារភ្ជាប់នៃមុខងារនេះ។ យើងព្យាយាមវាយតម្លៃកន្សោមដោយប្រើតម្លៃពិសោធន៍។ តើយើងនឹងពឹងផ្អែកលើម៉ាស៊ីនគិតលេខដោយរបៀបណា?

ដំបូងអ្នកត្រូវស្វែងរក ដែលមានន័យថា អាកស៊ីន គឺជាសំបុកជ្រៅបំផុត៖

Arcsine នៃការរួបរួមនេះគួរតែជាការ៉េ៖

ហើយទីបំផុតយើងលើកទាំងប្រាំពីរទៅជាអំណាច៖

នោះគឺនៅក្នុងឧទាហរណ៍នេះ យើងមានមុខងារបីផ្សេងគ្នា និងសំបុកពីរ ខណៈពេលដែលមុខងារខាងក្នុងបំផុតគឺ arcsine ហើយមុខងារខាងក្រៅបំផុតគឺជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។

យើងចាប់ផ្តើមសម្រេចចិត្ត

តាមក្បួនដំបូងអ្នកត្រូវយកដេរីវេនៃមុខងារខាងក្រៅ។ យើងមើលតារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល៖ ភាពខុសគ្នាតែមួយគត់គឺថាជំនួសឱ្យ "x" យើងមានកន្សោមស្មុគស្មាញដែលមិនបដិសេធសុពលភាពនៃរូបមន្តនេះទេ។ ដូច្នេះ លទ្ធផល​នៃ​ការ​អនុវត្ត​ច្បាប់​នៃ​ភាព​ខុស​គ្នា​នៃ​មុខងារ​ស្មុគស្មាញ​មួយ​មាន​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

នៅក្រោមសញ្ញា យើងមានមុខងារល្បិចទៀតហើយ! ប៉ុន្តែ​វា​ជា​ការ​ងាយ​ស្រួល​រួច​ទៅ​ហើយ។ វាងាយមើលឃើញថាមុខងារខាងក្នុងគឺជាអាកស៊ីន ហើយមុខងារខាងក្រៅគឺជាដឺក្រេ។ យោងទៅតាមច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគ្រស្មាញដំបូងអ្នកត្រូវយកដេរីវេនៃដឺក្រេ។