ខ្ញុំនឹងសង្ខេប។ មុំរវាងបន្ទាត់ពីរគឺស្មើនឹងមុំរវាងវ៉ិចទ័រទិសដៅរបស់ពួកគេ។ ដូច្នេះប្រសិនបើអ្នកគ្រប់គ្រងដើម្បីស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅ a \u003d (x 1; y 1; z 1) និង b \u003d (x 2; y 2; z 2) អ្នកអាចរកឃើញមុំ។ កាន់តែច្បាស់ កូស៊ីនុសនៃមុំយោងតាមរូបមន្ត៖

តោះមើលពីរបៀបដែលរូបមន្តនេះដំណើរការលើឧទាហរណ៍ជាក់លាក់៖

កិច្ចការ។ ចំនុច E និង F ត្រូវបានសម្គាល់ក្នុងគូប ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ចំនុចកណ្តាលនៃគែម A 1 B 1 និង B 1 C 1 រៀងគ្នា។ រកមុំរវាងបន្ទាត់ AE និង BF ។

ដោយសារគែមរបស់គូបមិនត្រូវបានបញ្ជាក់ យើងកំណត់ AB = 1។ យើងណែនាំប្រព័ន្ធសំរបសំរួលស្តង់ដារ៖ ប្រភពដើមគឺនៅចំណុច A ហើយអ័ក្ស x, y, z ត្រូវបានដឹកនាំតាម AB, AD, និង AA 1 រៀងគ្នា។ . ផ្នែកឯកតាគឺស្មើនឹង AB = 1. ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅសម្រាប់បន្ទាត់របស់យើង។

ស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ AE ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រូវការពិន្ទុ A = (0; 0; 0) និង E = (0.5; 0; 1) ។ ដោយសារចំនុច E គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក A 1 B 1 កូអរដោនេរបស់វាស្មើនឹងមធ្យមនព្វន្ធនៃកូអរដោនេនៃចុង។ ចំណាំថាប្រភពដើមនៃវ៉ិចទ័រ AE ស្របគ្នានឹងប្រភពដើម ដូច្នេះ AE = (0.5; 0; 1) ។

ឥឡូវនេះសូមដោះស្រាយជាមួយវ៉ិចទ័រ BF ។ ដូចគ្នាដែរ យើងវិភាគចំណុច B = (1; 0; 0) និង F = (1; 0.5; 1) ព្រោះ F - ពាក់កណ្តាលនៃផ្នែក B 1 C 1 ។ យើង​មាន:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1) ។

ដូច្នេះវ៉ិចទ័រទិសដៅគឺរួចរាល់។ កូស៊ីនុសនៃមុំរវាងបន្ទាត់គឺជាកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រទិសដៅ ដូច្នេះយើងមាន៖

កិច្ចការ។ នៅក្នុង prism trihedral ធម្មតា ABCA 1 B 1 C 1 គែមទាំងអស់ដែលស្មើនឹង 1 ចំនុច D និង E ត្រូវបានសម្គាល់ - ចំនុចកណ្តាលនៃគែម A 1 B 1 និង B 1 C 1 រៀងគ្នា។ រកមុំរវាងបន្ទាត់ AD និង BE ។

យើងណែនាំប្រព័ន្ធសំរបសំរួលស្តង់ដារ៖ ប្រភពដើមគឺនៅចំណុច A អ័ក្ស x ត្រូវបានដឹកនាំតាម AB, z - តាមបណ្តោយ AA 1 ។ យើងដឹកនាំអ័ក្ស y ដើម្បីឱ្យយន្តហោះ OXY ស្របគ្នានឹងយន្តហោះ ABC ។ ផ្នែកឯកតាគឺស្មើនឹង AB = 1. ស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅសម្រាប់បន្ទាត់ដែលចង់បាន។

ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ AD ។ ពិចារណាចំណុច៖ A = (0; 0; 0) និង D = (0.5; 0; 1) ព្រោះ ឃ - ផ្នែកកណ្តាលនៃផ្នែក A 1 B 1 ។ ចាប់តាំងពីការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រ AD ស្របគ្នានឹងប្រភពដើម យើងទទួលបាន AD = (0.5; 0; 1) ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ BE ។ ចំណុច B = (1; 0; 0) ងាយស្រួលគណនា។ ជាមួយនឹងចំណុច E - ពាក់កណ្តាលនៃផ្នែក C 1 B 1 - ស្មុគស្មាញបន្តិច។ យើង​មាន:

វានៅសល់ដើម្បីរកកូស៊ីនុសនៃមុំ៖

កិច្ចការ។ នៅក្នុងព្រីសរាងប្រាំជ្រុងធម្មតា ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 គែមទាំងអស់ដែលស្មើនឹង 1 ចំនុច K និង L ត្រូវបានសម្គាល់ - ចំនុចកណ្តាលនៃគែម A 1 B 1 និង B 1 C 1, រៀងគ្នា។ រកមុំរវាងបន្ទាត់ AK និង BL ។

យើងណែនាំប្រព័ន្ធសំរបសំរួលស្តង់ដារសម្រាប់ព្រីស៖ យើងដាក់ប្រភពដើមនៃកូអរដោនេនៅកណ្តាលនៃមូលដ្ឋានទាប ដឹកនាំអ័ក្ស x តាម FC អ័ក្ស y តាមរយៈចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក AB និង DE និងអ័ក្ស z បញ្ឈរឡើងលើ។ ផ្នែកឯកតាគឺម្តងទៀតស្មើនឹង AB = 1 ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរកូអរដោនេនៃចំណុចចាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើង:

ចំណុច K និង L គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក A 1 B 1 និង B 1 C 1 រៀងគ្នា ដូច្នេះកូអរដោនេរបស់ពួកគេត្រូវបានរកឃើញតាមរយៈមធ្យមនព្វន្ធ។ ដោយដឹងពីចំនុច យើងរកឃើញកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅ AK និង BL៖

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកកូស៊ីនុសនៃមុំ៖

កិច្ចការ។ នៅក្នុងសាជីជ្រុងរាងបួនជ្រុងធម្មតា SABCD គែមទាំងអស់ដែលស្មើនឹង 1 ចំណុច E និង F ត្រូវបានសម្គាល់ - ចំណុចកណ្តាលនៃភាគី SB និង SC រៀងគ្នា។ រកមុំរវាងបន្ទាត់ AE និង BF ។

យើងណែនាំប្រព័ន្ធសំរបសំរួលស្តង់ដារ៖ ប្រភពដើមគឺនៅចំណុច A អ័ក្ស x និង y ត្រូវបានដឹកនាំតាម AB និង AD រៀងគ្នា ហើយអ័ក្ស z ត្រូវបានដឹកនាំបញ្ឈរឡើងលើ។ ផ្នែកឯកតាគឺស្មើនឹង AB = 1 ។

ចំណុច E និង F គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក SB និង SC រៀងគ្នា ដូច្នេះកូអរដោនេរបស់ពួកគេត្រូវបានរកឃើញជាមធ្យមនព្វន្ធនៃចុងបញ្ចប់។ យើងសរសេរកូអរដោណេនៃចំណុចចាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើង៖
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

ដោយដឹងពីចំនុច យើងរកឃើញកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅ AE និង BF៖

កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ AE ស្របគ្នានឹងកូអរដោណេនៃចំនុច E ព្រោះចំនុច A គឺជាប្រភពដើម។ វានៅសល់ដើម្បីរកកូស៊ីនុសនៃមុំ៖

ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រកូអរដោនេនៅពេលគណនាមុំ

រវាងយន្តហោះ

វិធីសាស្រ្តទូទៅបំផុតសម្រាប់ការស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះ - វិធីសាស្រ្តនៃកូអរដោនេ (ជួនកាល - ដោយមានការចូលរួមពីវ៉ិចទ័រ) ។ វាអាចត្រូវបានប្រើនៅពេលដែលផ្សេងទៀតទាំងអស់ត្រូវបានសាកល្បង។ ប៉ុន្តែមានស្ថានភាពដែលវាសមហេតុផលក្នុងការអនុវត្តវិធីសាស្ត្រកូអរដោណេភ្លាមៗ ពោលគឺនៅពេលដែលប្រព័ន្ធកូអរដោណេទាក់ទងធម្មជាតិទៅនឹងពហុកោណដែលបានបញ្ជាក់នៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហា ឧ។ បន្ទាត់កាត់កែងបីគូអាចមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់ ដែលអ័ក្សកូអរដោនេអាចត្រូវបានកំណត់។ polyhedra បែបនេះគឺជារាងចតុកោណ parallelepiped និងពីរ៉ាមីតរាងបួនជ្រុងធម្មតា។ ក្នុងករណីដំបូង ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលអាចត្រូវបានកំណត់ដោយគែមដែលផុសចេញពីចំនុចកំពូលមួយ (រូបភាពទី 1) នៅក្នុងទីពីរ - ដោយកម្ពស់ និងអង្កត់ទ្រូងនៃមូលដ្ឋាន (រូបភាព 2)

ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តសំរបសំរួលមានដូចខាងក្រោម។

ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណត្រូវបានណែនាំនៅក្នុងលំហ។ វាជាការចង់ណែនាំវាតាមវិធី "ធម្មជាតិ" - "ភ្ជាប់" វាទៅនឹងបន្ទាត់កាត់កែងចំនួនបីដែលមានចំណុចរួម។

សម្រាប់ប្លង់នីមួយៗ មុំរវាងដែលត្រូវបានស្វែងរក សមីការមួយត្រូវបានគូរឡើង។ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតក្នុងការសរសេរសមីការបែបនេះគឺត្រូវដឹងពីកូអរដោនេនៃចំណុចបីនៅក្នុងយន្តហោះដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

សមីការយន្តហោះក្នុងទម្រង់ទូទៅមានទម្រង់អ័ក្ស + ដោយ + Cz + D = 0 ។

មេគុណ A, B, C ក្នុងសមីការនេះគឺជាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ (វ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ)។ បន្ទាប់មកយើងកំណត់ប្រវែង និងផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅនឹងយន្តហោះ មុំរវាងអ្វីដែលត្រូវស្វែងរក។ ប្រសិនបើកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ(A 1, B 1; C 1) និង (A 2; B 2; C 2 ) បន្ទាប់មកមុំដែលចង់បានគណនាដោយរូបមន្ត

មតិយោបល់។ វាត្រូវតែចងចាំថាមុំរវាងវ៉ិចទ័រ (ផ្ទុយទៅនឹងមុំរវាងយន្តហោះ) អាចជា obtuse ហើយដើម្បីជៀសវាងភាពមិនច្បាស់លាស់ដែលអាចកើតមាន ម៉ូឌុលគឺស្ថិតនៅក្នុងភាគយកនៃផ្នែកខាងស្តាំនៃរូបមន្ត។

ដោះស្រាយបញ្ហាខាងក្រោមដោយប្រើវិធីសាស្ត្រកូអរដោណេ។

បញ្ហា 1. គូប ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ចំណុច K គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃគែម AD ចំណុច L គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃគែមស៊ីឌី។ តើមុំរវាងយន្តហោះ A 1 KL និង A 1 AD?

ការសម្រេចចិត្ត . សូមឱ្យប្រភពដើមនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេគឺនៅចំណុចប៉ុន្តែ ហើយអ័ក្សកូអរដោនេដើរតាមកាំរស្មី AD, AB, AA ១ (រូបទី 3) ។ យើងយកគែមនៃគូបស្មើនឹង 2 (វាងាយស្រួលក្នុងការបែងចែកជាពាក់កណ្តាល) ។ បន្ទាប់មកកូអរដោនេនៃចំណុច A 1 , K , L គឺ៖ A 1 (0; 0; 2), K(1; 0; 0), L(2; 1; 0)។

អង្ករ។ ៣

យើងសរសេរសមីការនៃយន្តហោះ A 1 K អិល ជាទូទៅ។ បន្ទាប់មកយើងជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុចដែលបានជ្រើសរើសនៃយន្តហោះនេះទៅក្នុងវា។ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការចំនួនបីដែលមិនស្គាល់ចំនួនបួន៖

យើងបង្ហាញពីមេគុណ A, B, C ដល់ D ហើយមកដល់សមីការ

បែងចែកផ្នែកទាំងពីរទៅជាឃ (ហេតុអ្វី D = 0?) ហើយបន្ទាប់មកគុណនឹង -2 យើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះ A 1 KL : 2x − 2 y + z − 2 = 0. បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅកាន់យន្តហោះនេះមានកូអរដោនេ (2: -2; 1) ។ សមីការយន្តហោះ A 1 AD គឺ៖ y=0, និងកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅវាឧទាហរណ៍ (0; 2: 0) ។ យោងតាមរូបមន្តខាងលើសម្រាប់កូស៊ីនុសនៃមុំរវាងប្លង់ យើងទទួលបាន៖

អត្ថបទនេះគឺអំពីមុំរវាងយន្តហោះ និងរបៀបស្វែងរកវា។ ទីមួយ និយមន័យនៃមុំរវាងយន្តហោះទាំងពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយរូបភាពក្រាហ្វិកត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់ពីនោះ គោលការណ៍នៃការស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរដោយវិធីសាស្ត្រកូអរដោណេត្រូវបានវិភាគ រូបមន្តមួយត្រូវបានទទួលដែលអនុញ្ញាតឱ្យគណនាមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាដោយប្រើកូអរដោនេដែលគេស្គាល់នៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះទាំងនេះ។ សរុបមក ដំណោះស្រាយលម្អិតនៃបញ្ហាធម្មតាត្រូវបានបង្ហាញ។

ការរុករកទំព័រ។

មុំរវាងយន្តហោះ - និយមន័យ។

ចូរយើងផ្តល់អំណះអំណាងដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងចូលទៅជិតបន្តិចម្តងៗនូវនិយមន័យនៃមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលបានយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ និង . ប្លង់ទាំងនេះប្រសព្វគ្នាជាបន្ទាត់ត្រង់មួយ ដែលយើងសម្គាល់ដោយអក្សរ គ។ ចូរ​សង់​យន្តហោះ​កាត់​តាម​ចំណុច M នៃ​បន្ទាត់ c ហើយ​កាត់​កែង​ទៅ​បន្ទាត់ c ។ ក្នុងករណីនេះ យន្តហោះនឹងប្រសព្វគ្នារវាងយន្តហោះ និង . សម្គាល់​បន្ទាត់​ដែល​យន្តហោះ​ប្រសព្វ និង​ជា a និង​បន្ទាត់​ដែល​យន្តហោះ​ប្រសព្វ​គ្នា និង​ដូច ខ។ ជាក់ស្តែង បន្ទាត់ a និង b ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុច M ។

វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថាមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វ a និង b មិនអាស្រ័យលើទីតាំងនៃចំណុច M នៅលើបន្ទាត់ c ដែលយន្តហោះឆ្លងកាត់នោះទេ។

ចូរ​យើង​សង់​យន្តហោះ​កាត់​កែង​ទៅ​នឹង​បន្ទាត់ c ហើយ​ខុស​ពី​យន្តហោះ។ យន្តហោះត្រូវបានប្រសព្វគ្នាដោយយន្តហោះ និងតាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់ ដែលយើងសម្គាល់ដោយ 1 និង b 1 រៀងគ្នា។

ពីវិធីសាស្រ្តនៃការសាងសង់យន្តហោះហើយវាធ្វើតាមថាបន្ទាត់ a និង b កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ c ហើយបន្ទាត់ a 1 និង b 1 គឺកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ c ។ ដោយសារបន្ទាត់ a និង 1 ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ ហើយកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ c ពួកវាគឺស្របគ្នា។ ដូចគ្នានេះដែរ បន្ទាត់ b និង b 1 ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ ហើយកាត់កែងទៅបន្ទាត់ c ដូច្នេះពួកវាគឺស្របគ្នា។ ដូច្នេះវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីអនុវត្តការផ្ទេរប៉ារ៉ាឡែលនៃយន្តហោះទៅយន្តហោះដែលបន្ទាត់ a 1 ស្របគ្នាជាមួយបន្ទាត់ a និងបន្ទាត់ b ជាមួយបន្ទាត់ b 1 ។ ដូច្នេះមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា a 1 និង b 1 គឺស្មើនឹងមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វ a និង b ។

នេះបង្ហាញថាមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វ a និង b ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះប្រសព្វគ្នា ហើយមិនអាស្រ័យលើជម្រើសនៃចំណុច M ដែលយន្តហោះឆ្លងកាត់នោះទេ។ ដូច្នេះ វាសមហេតុផលក្នុងការយកមុំនេះជាមុំរវាងប្លង់ប្រសព្វគ្នាពីរ។

ឥឡូវនេះ អ្នកអាចបញ្ចេញនិយមន័យនៃមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ និង .

និយមន័យ។

មុំរវាងយន្តហោះពីរប្រសព្វគ្នាក្នុងបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងគឺ​ជា​មុំ​រវាង​បន្ទាត់​ប្រសព្វ​គ្នា​ពីរ a និង b ដែល​តាម​បណ្តោយ​ប្លង់ និង​ប្រសព្វ​ជាមួយ​ប្លង់​កាត់​កែង​ទៅ​នឹង​បន្ទាត់ c ។

និយមន័យនៃមុំរវាងយន្តហោះពីរអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខុសគ្នាបន្តិចបន្តួច។ ប្រសិនបើនៅលើបន្ទាត់ c ដែលនៅតាមបណ្តោយយន្តហោះប្រសព្វគ្នា សម្គាល់ចំណុច M ហើយគូរបន្ទាត់កាត់វា a និង b កាត់កែងទៅបន្ទាត់ c និងដេកក្នុងយន្តហោះ ហើយរៀងគ្នា មុំរវាងបន្ទាត់ a និង b គឺជា មុំរវាងយន្តហោះនិង។ ជាធម្មតានៅក្នុងការអនុវត្តការសាងសង់បែបនេះត្រូវបានអនុវត្តដើម្បីទទួលបានមុំរវាងយន្តហោះ។

ដោយសារមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាមិនលើសពី វាធ្វើតាមនិយមន័យដែលបានបញ្ចេញថា រង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំរវាងប្លង់ប្រសព្វគ្នាពីរត្រូវបានបង្ហាញដោយចំនួនពិតពីចន្លោះពេល។ ក្នុងករណីនេះយន្តហោះប្រសព្វត្រូវបានគេហៅថា កាត់កែងប្រសិនបើមុំរវាងពួកវាគឺកៅសិបដឺក្រេ។ មុំរវាងយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែលមិនត្រូវបានកំណត់ទាល់តែសោះ ឬវាត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើសូន្យ។

ការស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ។

ជាធម្មតា នៅពេលស្វែងរកមុំរវាងប្លង់ប្រសព្វគ្នាដំបូង អ្នកត្រូវតែធ្វើការសាងសង់បន្ថែម ដើម្បីមើលបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា មុំរវាងដែលស្មើនឹងមុំដែលចង់បាន ហើយបន្ទាប់មកភ្ជាប់មុំនេះជាមួយនឹងទិន្នន័យដើមដោយប្រើសញ្ញាស្មើគ្នា។ សញ្ញាស្រដៀងគ្នា ទ្រឹស្តីបទកូស៊ីនុស ឬនិយមន័យនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស និងតង់សង់នៃមុំ។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សាធរណីមាត្រនៃវិទ្យាល័យមានបញ្ហាស្រដៀងគ្នា។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងផ្តល់ដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហា C2 ពីការប្រឡង Unified State ក្នុងគណិតវិទ្យាសម្រាប់ឆ្នាំ 2012 (លក្ខខណ្ឌត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដោយចេតនា ប៉ុន្តែវាមិនប៉ះពាល់ដល់គោលការណ៍នៃដំណោះស្រាយទេ)។ នៅក្នុងវា វាគ្រាន់តែជាការចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ។

ឧទាហរណ៍។

ការសម្រេចចិត្ត។

ដំបូងយើងធ្វើគំនូរ។

ចូរយើងអនុវត្តការសាងសង់បន្ថែមដើម្បី "មើល" មុំរវាងយន្តហោះ។

ដំបូង យើងកំណត់បន្ទាត់ត្រង់ដែលយន្តហោះ ABC និង BED 1 ប្រសព្វគ្នា។ ចំណុច B គឺជាចំណុចរួមមួយរបស់ពួកគេ។ ស្វែងរកចំណុចរួមទីពីរនៃយន្តហោះទាំងនេះ។ បន្ទាត់ DA និង D 1 E ស្ថិតនៅលើយន្តហោះដូចគ្នា ADD 1 ហើយពួកវាមិនស្របគ្នាទេ ដូច្នេះហើយប្រសព្វគ្នា។ ម្យ៉ាងវិញទៀត បន្ទាត់ DA ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ ABC ហើយបន្ទាត់ D 1 E ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ BED 1 ដូច្នេះចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ DA និង D 1 E នឹងក្លាយជាចំណុចរួមនៃយន្តហោះ ABC និង គ្រែ ១. ដូច្នេះ យើងបន្តបន្ទាត់ DA និង D 1 E រហូតដល់ពួកគេប្រសព្វគ្នា យើងសម្គាល់ចំណុចប្រសព្វរបស់ពួកគេជាមួយនឹងអក្សរ F ។ បន្ទាប់មក BF គឺជាបន្ទាត់ត្រង់ដែលយន្តហោះ ABC និង BED 1 ប្រសព្វគ្នា។

វានៅសល់ដើម្បីសាងសង់បន្ទាត់ពីរដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ ABC និង BED 1 រៀងគ្នាឆ្លងកាត់ចំណុចមួយនៅលើបន្ទាត់ BF និងកាត់កែងទៅបន្ទាត់ BF - មុំរវាងបន្ទាត់ទាំងនេះតាមនិយមន័យនឹងស្មើនឹងមុំដែលចង់បានរវាង យន្តហោះ ABC និង BED 1 ។ តោះ​ធ្វើ​វា។

ចំណុច A គឺជាការព្យាករនៃចំនុច E ទៅលើយន្តហោះ ABC ។ គូរបន្ទាត់ដែលប្រសព្វនៅមុំខាងស្តាំ បន្ទាត់ BF នៅចំណុច M ។ បន្ទាប់មកបន្ទាត់ AM គឺជាការព្យាករនៃបន្ទាត់ EM ទៅលើយន្តហោះ ABC ហើយដោយទ្រឹស្តីបទកាត់កែងទាំងបី។

ដូច្នេះមុំដែលចង់បានរវាងយន្តហោះ ABC និង BED 1 គឺ .

យើង​អាច​កំណត់​ស៊ីនុស កូស៊ីនុស ឬ​តង់សង់​នៃ​មុំ​នេះ (ហេតុ​ដូច្នេះ​ហើយ​មុំ​ខ្លួន​វា) ពី​ត្រីកោណ​កែង AEMif យើង​ដឹង​ពី​ប្រវែង​នៃ​ជ្រុង​ទាំង​ពីរ​របស់​វា។ តាមលក្ខខណ្ឌវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកប្រវែង AE: ចាប់តាំងពីចំនុច E បែងចែកចំហៀង AA 1 ទាក់ទងនឹង 4 ទៅ 3 ដោយរាប់ពីចំណុច A ហើយប្រវែងនៃចំហៀង AA 1 គឺ 7 បន្ទាប់មក AE \u003d 4 ។ ចូរយើងស្វែងរកប្រវែង AM ។

ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សូមពិចារណាត្រីកោណកែង ABF ដែលមានមុំខាងស្តាំ A ដែល AM ជាកំពស់។ តាមលក្ខខណ្ឌ AB=2។ យើងអាចរកឃើញប្រវែងនៃចំហៀង AF ពីភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណកែង DD 1 F និង AEF:

តាមទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ ពីត្រីកោណ ABF យើងរកឃើញ។ យើងរកឃើញប្រវែង AM តាមរយៈផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABF: នៅម្ខាងតំបន់នៃត្រីកោណ ABF គឺស្មើនឹង , នៅ​ម្ខាងទៀត កន្លែងណា .

ដូច្នេះពីត្រីកោណកែង AEM យើងមាន .

បន្ទាប់មកមុំដែលចង់បានរវាងយន្តហោះ ABC និង BED 1 គឺ (ចំណាំ ).

ចម្លើយ៖

ក្នុងករណីខ្លះ ដើម្បីស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ វាងាយស្រួលក្នុងការបញ្ជាក់ Oxyz ហើយប្រើវិធីសាស្ត្រកូអរដោនេ។ តោះឈប់ទៅ។

ចូរកំណត់ភារកិច្ច៖ ដើម្បីរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ និង . ចូរកំណត់មុំដែលចង់បានជា .

យើងសន្មត់ថានៅក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណ Oxyz យើងដឹងពីកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះប្រសព្វគ្នា ហើយឬអាចស្វែងរកពួកវាបាន។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ និង គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ។ ចូរយើងបង្ហាញពីរបៀបស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វគ្នា និងតាមរយៈកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះទាំងនេះ។

ចូរយើងសម្គាល់បន្ទាត់ដែលយន្តហោះប្រសព្វគ្នា និងជា គ។ តាមរយៈចំនុច M នៅលើបន្ទាត់ c យើងគូរប្លង់កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ c ។ យន្តហោះប្រសព្វគ្នារវាងយន្តហោះ និងតាមបណ្តោយបន្ទាត់ a និង b រៀងគ្នា បន្ទាត់ a និង b ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច M ។ តាមនិយមន័យ មុំរវាងប្លង់ប្រសព្វ និងស្មើនឹងមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វ a និង ខ។

ចូរយើងញែកចេញពីចំនុច M ក្នុងយន្តហោះនូវវ៉ិចទ័រធម្មតា និងនៃយន្តហោះ និង . ក្នុងករណីនេះ វ៉ិចទ័រស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលកាត់កែងទៅបន្ទាត់ a ហើយវ៉ិចទ័រស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលកាត់កែងទៅបន្ទាត់ b ។ ដូច្នេះក្នុងយន្តហោះ វ៉ិចទ័រគឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ a គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ ខ។

នៅក្នុងអត្ថបទ ការស្វែងរកមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា យើងទទួលបានរូបមន្តដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វដោយប្រើកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា។ ដូច្នេះកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងបន្ទាត់ a និង b ហើយជាលទ្ធផល និង កូស៊ីនុសនៃមុំរវាងយន្តហោះប្រសព្វហើយត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត កន្លែងណា និង គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ និងរៀងៗខ្លួន។ បន្ទាប់មកវាត្រូវបានគណនាជា .

តោះដោះស្រាយឧទាហរណ៍មុនដោយប្រើវិធីសាស្ត្រកូអរដោណេ។

ឧទាហរណ៍។

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ចតុកោណកែងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែលក្នុងនោះ AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 និងចំណុច E បែងចែកផ្នែកខាង AA 1 ក្នុងសមាមាត្រនៃ 4 ទៅ 3 ដោយរាប់ពីចំណុច A . រកមុំរវាងយន្តហោះ ABC និង BED 1 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ដោយសារជ្រុងនៃរាងចតុកោណកែងប៉ារ៉ាឡែលដែលដាក់នៅចំនុចកំពូលមួយត្រូវកាត់កែងគ្នា វាជាការងាយស្រួលក្នុងការណែនាំប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ Oxyz ដូចខាងក្រោម៖ ការចាប់ផ្តើមត្រូវបានតម្រឹមជាមួយចំនុចកំពូល C ហើយអ័ក្សកូអរដោនេ Ox, Oy និង Oz ត្រូវបានតម្រង់តាមចំហៀង។ ស៊ីឌី CB និង CC 1 រៀងគ្នា។

មុំរវាងយន្តហោះ ABC និង BED 1 អាចត្រូវបានរកឃើញតាមរយៈកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះទាំងនេះដោយប្រើរូបមន្ត ដែលនិងជាវ៉ិចទ័រធម្មតារបស់យន្តហោះ ABC និង BED 1 រៀងគ្នា។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា។

បញ្ហា 1. មូលដ្ឋាននៃព្រីសរាងបួនជ្រុងត្រង់ ABCDА 1 В 1 С 1 D 1 គឺជាចតុកោណកែង ABCD ដែលក្នុងនោះ AB \u003d 5, AD \u003d 11. ស្វែងរកតង់សង់នៃមុំរវាងប្លង់នៃមូលដ្ឋាននៃព្រីស ហើយយន្តហោះឆ្លងកាត់ពាក់កណ្តាលគែម AD កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ BD 1 ប្រសិនបើចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ត្រង់ AC និង B 1 D 1 គឺ 12 ។ ដំណោះស្រាយ។ យើងណែនាំប្រព័ន្ធកូអរដោណេ។ В(0;0;0), А(5;0;0), С(0;11;0), D 1(5;11;12) សំរបសំរួលនៃធម្មតាទៅប្លង់ផ្នែក៖ កូអរដោនេនៃធម្មតាទៅ ប្លង់គោល៖ – មុំស្រួច បន្ទាប់មក D A B C D1D1 A1A1 B1B1 C1C1 x y z N មុំរវាងយន្តហោះ ចម្លើយ៖ 0.5 ។ Nenasheva N.G. គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា GBOU អនុវិទ្យាល័យ ៩៨៥

បញ្ហាទី 2. នៅមូលដ្ឋាននៃសាជីជ្រុងត្រីកោណ SABC ស្ថិតនៅត្រីកោណ ABC ។ មុំ A គឺត្រង់។ AC \u003d 8, BC \u003d 219. កម្ពស់នៃពីរ៉ាមីត SA គឺ 6. ចំណុច M ត្រូវបានយកនៅលើគែម AC ដូច្នេះ AM \u003d 2. យន្តហោះមួយ α ត្រូវបានគូរតាមចំនុច M ចំនុចកំពូល B និង ចំណុច N - ពាក់កណ្តាលគែម SC ។ ស្វែងរកមុំ dihedral ដែលបង្កើតឡើងដោយយន្តហោះ α និងយន្តហោះនៃមូលដ្ឋាននៃពីរ៉ាមីត។ A S x B C M N y z ដំណោះស្រាយ។ យើងណែនាំប្រព័ន្ធកូអរដោណេ។ បន្ទាប់មក A (0;0;0), C (0;8;0), M (0;2;0), N (0;4;3), S (0;0;6), ធម្មតាទៅយន្តហោះ (ABC) vector Normal to plane (BMN) មុំរវាងយន្តហោះ ចំលើយ៖ 60°។ សមីការនៃយន្តហោះ (ВМN): N.G. Nenasheva គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា GBOU អនុវិទ្យាល័យ ៩៨៥

បញ្ហា 3. មូលដ្ឋាននៃសាជីជ្រុងរាងបួនជ្រុង PABCD គឺជាការ៉េដែលមានជ្រុងម្ខាងស្មើ 6 គែមចំហៀង PD កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះនៃមូលដ្ឋាន និងស្មើ 6. រកមុំរវាងយន្តហោះ (BDP) និង (BCP) ។ ការសម្រេចចិត្ត។ 1. គូរ DF មធ្យមនៃត្រីកោណ isosceles CDP (BC = PD = 6) ដូច្នេះ DF PC ។ ហើយពីការពិតដែល BC (CDP) វាធ្វើតាមថា DF BC មានន័យថា DF (PCB) A D C B P F 2. ចាប់តាំងពី AC DB និង AC DP បន្ទាប់មក AC (BDP) 3. ដូច្នេះមុំរវាងយន្តហោះ (BDP) និង (BCP) ) ត្រូវបានរកឃើញពីលក្ខខណ្ឌ៖ មុំរវាងយន្តហោះ Nenasheva N.G. គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា GBOU អនុវិទ្យាល័យ ៩៨៥

បញ្ហា 3. មូលដ្ឋាននៃសាជីជ្រុងរាងបួនជ្រុង PABCD គឺជាការ៉េដែលមានជ្រុងម្ខាងស្មើ 6 គែមចំហៀង PD កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះនៃមូលដ្ឋាន និងស្មើ 6. រកមុំរវាងយន្តហោះ (BDP) និង (BCP) ។ ដំណោះស្រាយ.៤. តោះជ្រើសរើសប្រព័ន្ធកូអរដោណេ។ កូអរដោណេនៃចំនុច៖ 5. បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រនឹងមានកូអរដោណេដូចតទៅ៖ 6. ការគណនាតម្លៃ យើងរកឃើញ៖ បន្ទាប់មក A D C B P F z x y មុំរវាងយន្តហោះ ចម្លើយ៖ Nenasheva N.G. គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា GBOU អនុវិទ្យាល័យ ៩៨៥

កិច្ចការទី 4. ក្នុងឯកតាគូប ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 រកមុំរវាងប្លង់ (AD 1 E) និង (D 1 FC) ដែលចំនុច E និង F ជាចំនុចកណ្តាលនៃគែម A 1 B 1 និង B 1 C 1 រៀងគ្នា។ ដំណោះស្រាយ៖ 1. បញ្ចូលប្រព័ន្ធកូអរដោនេរាងចតុកោណ និងកំណត់កូអរដោណេនៃចំនុច៖ 2. ផ្សំសមីការនៃយន្តហោះ (AD 1 E): 3. បង្កើតសមីការនៃយន្តហោះ (D 1 FC): - វ៉ិចទ័រធម្មតានៃ យន្តហោះ (AD 1 E) ។ - វ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ (D 1 FС) ។ មុំរវាងយន្តហោះ x y z Nenasheva N.G. គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា GBOU អនុវិទ្យាល័យ ៩៨៥

កិច្ចការទី 4. ក្នុងឯកតាគូប ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 រកមុំរវាងប្លង់ (AD 1 E) និង (D 1 FC) ដែលចំនុច E និង F ជាចំនុចកណ្តាលនៃគែម A 1 B 1 និង B 1 C 1 រៀងគ្នា។ ដំណោះស្រាយ៖ 4. រកកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងយន្តហោះដោយប្រើរូបមន្ត ចម្លើយ៖ មុំរវាងប្លង់ x y z Nenasheva N.G. គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា GBOU អនុវិទ្យាល័យ ៩៨៥

បញ្ហា 5. ផ្នែកតភ្ជាប់កណ្តាលនៃមូលដ្ឋាននៃសាជីជ្រុងរាងត្រីកោណធម្មតាជាមួយនឹងពាក់កណ្តាលនៃគែមចំហៀងគឺស្មើនឹងផ្នែកម្ខាងនៃមូលដ្ឋាន។ រកមុំរវាងមុខចំហៀងនៃពីរ៉ាមីត។ ដំណោះស្រាយ៖ x y z 1. សូមណែនាំប្រព័ន្ធកូអរដោណេរាងចតុកោណ និងកំណត់កូអរដោណេនៃចំនុច A, B, C: K សូមអោយផ្នែកម្ខាងនៃគោលមាន 1. សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ សូមពិចារណាមុខ SAC និង SBC 2. ស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំនុច S: E មុំរវាងយន្តហោះ Nenasheva N.G. គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា GBOU អនុវិទ្យាល័យ ៩៨៥

បញ្ហា 5. ផ្នែកតភ្ជាប់កណ្តាលនៃមូលដ្ឋាននៃសាជីជ្រុងរាងត្រីកោណធម្មតាជាមួយនឹងពាក់កណ្តាលនៃគែមចំហៀងគឺស្មើនឹងផ្នែកម្ខាងនៃមូលដ្ឋាន។ រកមុំរវាងមុខចំហៀងនៃពីរ៉ាមីត។ ដំណោះស្រាយ: x y z K E SO យើងរកឃើញពី OSB: មុំរវាងយន្តហោះ Nenasheva N.G. គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា GBOU អនុវិទ្យាល័យ ៩៨៥

បញ្ហា 5. ផ្នែកតភ្ជាប់កណ្តាលនៃមូលដ្ឋាននៃសាជីជ្រុងរាងត្រីកោណធម្មតាជាមួយនឹងពាក់កណ្តាលនៃគែមចំហៀងគឺស្មើនឹងផ្នែកម្ខាងនៃមូលដ្ឋាន។ រកមុំរវាងមុខចំហៀងនៃពីរ៉ាមីត។ ដំណោះស្រាយ: x y z K E 3. សមីការនៃយន្តហោះ (SAC): - វ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ (SAC) ។ 4. សមីការនៃយន្តហោះ (SBC): - វ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ (SBC) ។ មុំរវាងយន្តហោះ Nenasheva N.G. គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា GBOU អនុវិទ្យាល័យ ៩៨៥

បញ្ហា 5. ផ្នែកតភ្ជាប់កណ្តាលនៃមូលដ្ឋាននៃសាជីជ្រុងរាងត្រីកោណធម្មតាជាមួយនឹងពាក់កណ្តាលនៃគែមចំហៀងគឺស្មើនឹងផ្នែកម្ខាងនៃមូលដ្ឋាន។ រកមុំរវាងមុខចំហៀងនៃពីរ៉ាមីត។ ដំណោះស្រាយ៖ x y z K E 5. រកកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងប្លង់តាមរូបមន្ត ចម្លើយ៖ មុំរវាងយន្តហោះ Nenasheva N.G. គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា GBOU អនុវិទ្យាល័យ ៩៨៥