គណិតវិទ្យាជាវិទ្យាសាស្ត្រមួយបានកើតឡើងទាក់ទងនឹងតម្រូវការក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែង៖ ការវាស់វែងលើដី ការរុករកជាដើម។ ជាលទ្ធផល គណិតវិទ្យាគឺជាគណិតវិទ្យាលេខ ហើយគោលដៅរបស់វាគឺដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់នៃលេខ។ ដំណោះស្រាយជាលេខនៃបញ្ហាដែលបានអនុវត្តតែងតែមានអ្នកគណិតវិទ្យាចាប់អារម្មណ៍។ អ្នកតំណាងដ៏ធំបំផុតនៃអតីតកាលរួមបញ្ចូលគ្នានៅក្នុងការសិក្សារបស់ពួកគេ ការសិក្សាអំពីបាតុភូតធម្មជាតិ ទទួលបានការពិពណ៌នាគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ i.e. គំរូគណិតវិទ្យា និងការស្រាវជ្រាវរបស់គាត់។ ការវិភាគនៃគំរូស្មុគស្មាញតម្រូវឱ្យមានការបង្កើតពិសេស ជាធម្មតាវិធីសាស្រ្តលេខសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហា។ ឈ្មោះនៃវិធីសាស្រ្តទាំងនេះមួយចំនួនបង្ហាញថាពួកគេត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រធំបំផុតនៃពេលវេលារបស់ពួកគេ។ ទាំងនេះគឺជាវិធីសាស្រ្តរបស់ Newton, Euler, Lobachevsky, Gauss, Chebyshev, Hermite ។

ពេលបច្ចុប្បន្នត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយការពង្រីកយ៉ាងមុតស្រួចនៃកម្មវិធីគណិតវិទ្យា ដែលភាគច្រើនត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការបង្កើត និងការអភិវឌ្ឍន៍បច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រ។ ជាលទ្ធផលនៃការលេចឡើងនៃកុំព្យូទ័រក្នុងរយៈពេលតិចជាង 40 ឆ្នាំល្បឿននៃប្រតិបត្តិការបានកើនឡើងពី 0.1 ប្រតិបត្តិការក្នុងមួយវិនាទីជាមួយនឹងការរាប់ដោយដៃដល់ 10 ប្រតិបត្តិការក្នុងមួយវិនាទីនៅលើកុំព្យូទ័រទំនើប។

ការយល់ឃើញយ៉ាងទូលំទូលាយអំពីភាពគ្រប់ជ្រុងជ្រោយនៃកុំព្យូទ័រទំនើប ធ្វើឱ្យមានការចាប់អារម្មណ៍ថា គណិតវិទូបានកម្ចាត់បញ្ហាទាំងអស់ដែលទាក់ទងនឹងដំណោះស្រាយជាលេខនៃបញ្ហា ហើយការអភិវឌ្ឍន៍វិធីសាស្រ្តថ្មីសម្រាប់ដោះស្រាយវាលែងសំខាន់ទៀតហើយ។ នៅក្នុងការពិត ស្ថានភាពគឺខុសគ្នា ចាប់តាំងពីតម្រូវការនៃការវិវត្តន៍ ជាក្បួនកំណត់មុនពេលកិច្ចការវិទ្យាសាស្ត្រដែលជិតដល់សមត្ថភាពរបស់វា។ ការពង្រីកនៃការអនុវត្តគណិតវិទ្យាបាននាំទៅដល់ការកែទម្រង់គណិតវិទ្យានៃផ្នែកផ្សេងៗនៃវិទ្យាសាស្ត្រ៖ គីមីវិទ្យា សេដ្ឋកិច្ច ជីវវិទ្យា ភូមិសាស្ត្រ ចិត្តវិទ្យា វេជ្ជសាស្ត្រ បច្ចេកវិទ្យា។ល។

មាន​កាលៈទេសៈ​ពីរ​ដែល​ដំបូង​នាំ​ឱ្យ​មាន​ការ​ប្រាថ្នា​ចង់​បាន​គណិតវិទ្យា​នៃ​វិទ្យា​សា​ស្រ្ត​:

ដំបូងឡើយ មានតែការប្រើប្រាស់វិធីសាស្ត្រគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះ ដែលធ្វើឱ្យវាអាចផ្តល់លក្ខណៈបរិមាណដល់ការសិក្សាអំពីបាតុភូតមួយ ឬមួយផ្សេងទៀតនៃពិភពសម្ភារៈ។

ទីពីរ ហើយនេះគឺជារឿងសំខាន់ មានតែវិធីគណិតវិទ្យានៃការគិតប៉ុណ្ណោះដែលបង្កើតវត្ថុមួយ។ វិធីសាស្រ្តនៃការស្រាវជ្រាវនេះត្រូវបានគេហៅថាការពិសោធន៍គណនា - ការសិក្សាគឺមានគោលបំណងពេញលេញ។

ថ្មីៗនេះ កត្តាមួយទៀតបានលេចចេញជារូបរាង ដែលមានឥទ្ធិពលខ្លាំងលើដំណើរការនៃចំណេះដឹងគណិតវិទ្យា។ នេះគឺជាការអភិវឌ្ឍន៍យ៉ាងលឿននៃបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រ។ ការប្រើប្រាស់កុំព្យូទ័រសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាវិទ្យាសាស្ត្រ វិស្វកម្ម និងការអនុវត្តជាទូទៅគឺផ្អែកទាំងស្រុងលើការគណនាគណិតវិទ្យារបស់ពួកគេ។

គំរូគណិតវិទ្យា។

បច្ចេកវិទ្យាទំនើបសម្រាប់ការសិក្សាអំពីបញ្ហាស្មុគ្រស្មាញគឺផ្អែកលើការសាងសង់ និងការវិភាគ ជាធម្មតាដោយមានជំនួយពីកុំព្យូទ័រ នៃគំរូគណិតវិទ្យានៃបញ្ហាដែលកំពុងសិក្សា។ ជាធម្មតា ការពិសោធន៍គណនាដូចដែលយើងបានឃើញរួចមកហើយ មានដំណាក់កាលជាច្រើន៖ ការកំណត់បញ្ហា បង្កើតគំរូគណិតវិទ្យា (រូបមន្តគណិតវិទ្យានៃបញ្ហា) ការបង្កើតវិធីសាស្ត្រលេខ បង្កើតក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់អនុវត្តវិធីសាស្ត្រលេខ ការអភិវឌ្ឍន៍ កម្មវិធី បំបាត់កំហុសកម្មវិធី អនុវត្តការគណនា ការវិភាគលទ្ធផល។

ដូច្នេះ ការប្រើប្រាស់កុំព្យូទ័រសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាវិទ្យាសាស្ត្រ ឬវិស្វកម្ម ជៀសមិនរួចត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរពីដំណើរការពិត ឬបាតុភូតទៅជាគំរូគណិតវិទ្យារបស់វា។ ដូច្នេះ ការអនុវត្តគំរូក្នុងការស្រាវជ្រាវវិទ្យាសាស្ត្រ និងការអនុវត្តវិស្វកម្ម គឺជាសិល្បៈនៃគំរូគណិតវិទ្យា។

គំរូមួយជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាជាប្រព័ន្ធតំណាង ឬជាក់ស្តែងដែលបង្កើតឡើងវិញនូវលក្ខណៈសំខាន់ៗសំខាន់ៗនៃបាតុភូតដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

តម្រូវការចម្បងសម្រាប់គំរូគណិតវិទ្យាគឺភាពគ្រប់គ្រាន់នៃបាតុភូតដែលកំពុងពិចារណា, i.e. វាគួរតែឆ្លុះបញ្ចាំងឱ្យបានគ្រប់គ្រាន់នូវលក្ខណៈលក្ខណៈនៃបាតុភូត។ ទន្ទឹមនឹងនេះ វាគួរតែមានភាពសាមញ្ញប្រៀបធៀប និងភាពងាយស្រួលនៃការស្រាវជ្រាវ។

គំរូគណិតវិទ្យាឆ្លុះបញ្ចាំងពីការពឹងផ្អែករវាងលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការកើតឡើងនៃបាតុភូតដែលកំពុងសិក្សា និងលទ្ធផលរបស់វានៅក្នុងសំណង់គណិតវិទ្យាមួយចំនួន។ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ គោលគំនិតគណិតវិទ្យាខាងក្រោមត្រូវបានប្រើជាសំណង់ដូចជា៖ មុខងារ មុខងារ ប្រតិបត្តិករ សមីការលេខ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក។

គំរូគណិតវិទ្យាអាចត្រូវបានចាត់ថ្នាក់តាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យផ្សេងៗគ្នា៖ ឋិតិវន្ត និងថាមវន្ត ប្រមូលផ្តុំ និងចែកចាយ; កំណត់និងប្រូបាប៊ីលីតេ។

ពិចារណាពីបញ្ហានៃការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរ

ឫសគល់នៃសមីការ (1) គឺជាតម្លៃនៃ x ដែលនៅពេលជំនួស បង្វែរវាទៅជាអត្តសញ្ញាណ។ មានតែសម្រាប់សមីការសាមញ្ញបំផុតដែលវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់នៃរូបមន្ត, i.e. ទម្រង់​វិភាគ។ ជារឿយៗវាចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការដោយវិធីសាស្រ្តប្រហាក់ប្រហែល ការរីករាលដាលបំផុតក្នុងចំណោមនោះ ទាក់ទងនឹងការមកដល់នៃកុំព្យូទ័រគឺជាវិធីសាស្ត្រលេខ។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកឫសដោយវិធីសាស្រ្តប្រហាក់ប្រហែលអាចបែងចែកជាពីរដំណាក់កាល។ នៅដំណាក់កាលដំបូងទីតាំងនៃឫសត្រូវបានសិក្សាហើយការបំបែករបស់ពួកគេត្រូវបានអនុវត្ត។ មាន​ផ្ទៃ​ដែល​មាន​ឫស​នៃ​សមីការ​ឬ​ការ​ប្រហាក់ប្រហែល​ដំបូង​ទៅ​នឹង​ឫស x 0 ។ វិធីសាមញ្ញបំផុតដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះគឺសិក្សាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f(x)។ ក្នុងករណីទូទៅដើម្បីដោះស្រាយវាចាំបាច់ដើម្បីរួមបញ្ចូលគ្រប់មធ្យោបាយនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។

អត្ថិភាព​នៅ​លើ​ចន្លោះ​ពេល​ដែល​បាន​រក​ឃើញ​នៃ​យ៉ាង​ហោច​ណាស់​ឫស​មួយ​នៃ​សមីការ (1) តាម​ពី​លក្ខខណ្ឌ Bolzano៖

f(a)*f(b)<0 (2)

វាក៏ត្រូវបានគេសន្មត់ថាអនុគមន៍ f(x) គឺបន្តនៅលើចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ លក្ខខណ្ឌនេះមិនឆ្លើយសំណួរអំពីចំនួនឫសនៃសមីការនៅលើចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះទេ។ ប្រសិនបើតម្រូវការនៃការបន្តនៃមុខងារត្រូវបានបំពេញបន្ថែមជាមួយនឹងតម្រូវការនៃ monotonicity របស់វា ហើយនេះធ្វើតាមពីសញ្ញា-ថេរនៃដេរីវេទី 1 នោះយើងអាចអះអាងពីអត្ថិភាពនៃឫសតែមួយគត់នៅលើផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

នៅពេលធ្វើមូលដ្ឋានីយកម្មឫស វាក៏សំខាន់ផងដែរដើម្បីដឹងពីលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃសមីការប្រភេទនេះ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមរំលឹកឡើងវិញនូវលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃសមីការពិជគណិត៖

តើមេគុណពិតនៅឯណា។

• ក) សមីការនៃដឺក្រេ n មានឫស n ដែលក្នុងនោះអាចមានទាំងពិត និងស្មុគស្មាញ។ ឫសស្មុគ្រស្មាញបង្កើតជាគូផ្សំស្មុគ្រស្មាញ ហើយដូច្នេះសមីការមានចំនួនគូនៃឫសបែបនេះ។ សម្រាប់តម្លៃសេសនៃ n យ៉ាងហោចណាស់មានឫសពិតមួយ។
• ខ) ចំនួនឫសពិតវិជ្ជមានគឺតិចជាង ឬស្មើនឹងចំនួនសញ្ញាអថេរក្នុងលំដាប់នៃមេគុណ។ ការជំនួស x ជាមួយ -x ក្នុងសមីការ (3) អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកប៉ាន់ស្មានចំនួនឫសអវិជ្ជមានតាមរបៀបដូចគ្នា។

នៅដំណាក់កាលទីពីរនៃការដោះស្រាយសមីការ (1) ដោយប្រើការប៉ាន់ប្រមាណដំបូងដែលទទួលបាន ដំណើរការដដែលៗត្រូវបានសាងសង់ ដែលធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីកែលម្អតម្លៃនៃឫសជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានកំណត់ទុកជាមុនមួយចំនួន។ ដំណើរការម្តងហើយម្តងទៀតមាននៅក្នុងការចម្រាញ់ជាបន្តបន្ទាប់នៃការប៉ាន់ស្មានដំបូង។ ជំហានបែបនេះនីមួយៗត្រូវបានគេហៅថា ការធ្វើម្តងទៀត។ ជាលទ្ធផលនៃដំណើរការបង្កើតឡើងវិញ លំដាប់នៃតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសនៃសមីការត្រូវបានរកឃើញ។ ប្រសិនបើលំដាប់នេះខិតទៅជិតតម្លៃពិតនៃ root x នៅពេល n លូតលាស់ នោះដំណើរការដដែលៗនឹងបញ្ចូលគ្នា។ ដំណើរការដដែលៗត្រូវបានគេនិយាយថានឹងបង្រួបបង្រួមយ៉ាងហោចណាស់លំដាប់ m ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានពេញចិត្ត៖

ដែល С> 0 គឺថេរខ្លះ។ ប្រសិនបើ m = 1 នោះគេនិយាយអំពីការបញ្ចូលគ្នានៃលំដាប់ទីមួយ។ m = 2 - អំពី quadratic, m = 3 - អំពី convergence គូប។

វដ្តម្តងហើយម្តងទៀតនឹងបញ្ចប់ ប្រសិនបើសម្រាប់កំហុសដែលអាចអនុញ្ញាតបាន លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់គម្លាតដាច់ខាត ឬទាក់ទងត្រូវបានបំពេញ៖

ឬទំហំតូចនៃសំណល់៖

ការងារនេះត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ការសិក្សាអំពីក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្ររបស់ញូតុន។

មានវិធីសាស្រ្តផ្សេងគ្នាជាច្រើនសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការ nonlinear ដែលមួយចំនួននៃពួកគេត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម:

• 1)វិធីសាស្រ្តធ្វើម្តងទៀត. នៅពេលដោះស្រាយសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរដោយការធ្វើឡើងវិញ យើងប្រើសមីការក្នុងទម្រង់ x=f(x)។ តម្លៃដំបូងនៃអាគុយម៉ង់ x 0 និងភាពត្រឹមត្រូវ e ត្រូវបានកំណត់។ ការប៉ាន់ស្មានដំបូងនៃដំណោះស្រាយ x 1 ត្រូវបានរកឃើញពីកន្សោម x 1 \u003d f (x 0) ទីពីរ - x 2 \u003d f (x 1) ល។ ក្នុងករណីទូទៅ ការប៉ាន់ស្មាន i+1 ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត xi+1 =f(xi)។ យើងធ្វើបែបបទនេះម្តងទៀតរហូតដល់ |f(xi)|>e. លក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការបង្រួបបង្រួមនៃវិធីធ្វើម្តងទៀត |f"(x)|
• 2)វិធីសាស្រ្តរបស់ញូតុន. នៅពេលដោះស្រាយសមីការមិនលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រញូតុន តម្លៃដំបូងនៃអាគុយម៉ង់ x 0 និងភាពត្រឹមត្រូវ e ត្រូវបានកំណត់។ បន្ទាប់មកនៅចំណុច (x 0, F (x 0)) យើងគូរតង់សង់ទៅក្រាហ្វ F (x ) និងកំណត់ចំណុចប្រសព្វនៃតង់សង់ជាមួយអ័ក្ស abscissa x 1 ។ នៅចំណុច (x 1, F (x 1)) យើងបង្កើតតង់សង់ម្តងទៀត ស្វែងរកការប៉ាន់ស្មានបន្ទាប់នៃដំណោះស្រាយដែលចង់បាន x 2 ។ល។ យើងធ្វើបែបបទនេះម្តងទៀតរហូតដល់ |F(xi)| > e. ដើម្បីកំណត់ចំណុចប្រសព្វ (i + 1) នៃតង់សង់ជាមួយអ័ក្ស abscissa យើងប្រើរូបមន្តខាងក្រោម

x i+1 \u003d x i -F (x i) F "(x i) ។

លក្ខខណ្ឌ​បំប្លែង​សម្រាប់​វិធីតង់ហ្សង់ F(x 0) F""(x)>0 ។ល។

3). វិធីសាស្រ្ត dichotomy ។បច្ចេកទេសនៃដំណោះស្រាយត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការបែងចែកបន្តិចម្តង ៗ នៃចន្លោះពេលមិនច្បាស់លាស់ដំបូងក្នុងពាក់កណ្តាលយោងតាមរូបមន្ត

C ទៅ \u003d a ទៅ + ក្នុង / 2 ។

ដើម្បីជ្រើសរើសផ្នែកដែលចាំបាច់ពីផ្នែកលទ្ធផលទាំងពីរ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកលទ្ធផល ហើយពិចារណាលើផ្នែកដែលមុខងារនឹងផ្លាស់ប្តូរសញ្ញារបស់វា នោះគឺជាលក្ខខណ្ឌ f ( a k) * f (គិតជា k)<0.

ដំណើរការនៃការបែងចែកផ្នែកត្រូវបានអនុវត្តរហូតដល់ប្រវែងនៃចន្លោះពេលមិនច្បាស់លាស់បច្ចុប្បន្នគឺតិចជាងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានបញ្ជាក់ ពោលគឺនៅក្នុង k - a k< E. Тогда в качестве приближенного решения уравнения будет точка, соответствующая середине интервала неопределённости.

4). វិធីសាស្រ្តអង្កត់ធ្នូ. គំនិតនៃវិធីសាស្រ្តគឺថាអង្កត់ធ្នូមួយត្រូវបានសាងសង់នៅលើផ្នែកដែលចុះកិច្ចសន្យាចុងបញ្ចប់នៃធ្នូនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = f (x) និងចំនុច c ចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ធ្នូជាមួយអ័ក្ស abscissa ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫស

c = a - (f(a) x (a-b)) / (f(a) - f(b)),

c \u003d ខ - (f (b) × (a-b)) / (f (a) - f (b)) ។

ការប៉ាន់ស្មានបន្ទាប់ត្រូវបានស្វែងរកនៅលើចន្លោះពេល ឬអាស្រ័យលើសញ្ញានៃតម្លៃមុខងារនៅចំណុច a,b,c

x* O ប្រសិនបើ f(c) H f(a) > 0 ;

x* O ប្រសិនបើ f(c) x f(b)< 0 .

ប្រសិនបើ f "(x) មិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាទៅ នោះតំណាងឱ្យ c \u003d x 1 ហើយពិចារណា a ឬ b ជាការប៉ាន់ស្មានដំបូង យើងទទួលបានរូបមន្តដដែលៗនៃវិធីសាស្ត្រអង្កត់ធ្នូជាមួយនឹងចំណុចខាងស្តាំ ឬខាងឆ្វេងថេរ។

x 0 \u003d a, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (b-x i) / (f (b) -f (x i), ជាមួយ f "(x) H f "(x)\u003e 0;

x 0 \u003d b, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (x i -a) / (f (x i) -f (a), ជាមួយ f "(x) H f "(x)< 0 .

ការបញ្ចូលគ្នានៃវិធីសាស្រ្តអង្កត់ធ្នូគឺលីនេអ៊ែរ

សមីការពិជគណិត និងវិសាលភាព។ វិធីសាស្រ្តធ្វើមូលដ្ឋានីយកម្មឫស។

ទម្រង់ទូទៅនៃសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរ៖

f(x)=0 (2.1)

តើមុខងារនៅឯណា f(x)ត្រូវបានកំណត់ និងបន្តនៅលើចន្លោះពេលកំណត់ ឬគ្មានកំណត់ [a, b] ។

និយមន័យ 2.1 ។ លេខណាមួយដែលបញ្ច្រាសមុខងារ f(x)ទៅសូន្យត្រូវបានគេហៅថាឫសនៃសមីការ (2.1) ។

និយមន័យ 2.2 ។ លេខ​មួយ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ឫស​នៃ​ពហុគុណ k ប្រសិនបើ​រួម​ជាមួយ​អនុគមន៍ f(x)និស្សន្ទវត្ថុរបស់វារហូតដល់ (k-1)-th order inclusive គឺស្មើនឹងសូន្យ៖

និយមន័យ 2.3 ។ ឫសតែមួយត្រូវបានគេហៅថាឫសសាមញ្ញ។

សមីការមិនលីនេអ៊ែរដែលមានអថេរមួយត្រូវបានបែងចែកទៅជាពិជគណិត និង វិសាលភាព។

និយមន័យ 2.4 . សមីការ (2.1) ត្រូវបានគេហៅថាពិជគណិត ប្រសិនបើអនុគមន៍ F(x) ជាពិជគណិត។

តាមរយៈការផ្លាស់ប្តូរពិជគណិត ពីសមីការពិជគណិតណាមួយ មនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានសមីការក្នុងទម្រង់ Canonical៖

តើមេគុណពិតនៃសមីការនៅឯណា x គឺមិនស្គាល់។

វាត្រូវបានគេស្គាល់ពីពិជគណិតថារាល់សមីការពិជគណិតមានយ៉ាងហោចណាស់ឫសផ្សំពិតមួយ ឬពីរស្មុគស្មាញ។

និយមន័យ 2.5 ។ សមីការ (2.1) ត្រូវបានគេហៅថា វិសាលភាព ប្រសិនបើអនុគមន៍ F(x) មិនមែនជាពិជគណិត។

ការដោះស្រាយសមីការ (២.១) មានន័យថា៖

• 1. កំណត់ថាតើសមីការមានឫសឬស។
• 2. កំណត់ចំនួនឫសនៃសមីការ។
• 3. ស្វែងរកតម្លៃនៃឫសនៃសមីការជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

សមីការដែលបានជួបប្រទះក្នុងការអនុវត្តជាញឹកញាប់មិនអាចដោះស្រាយបានដោយវិធីសាស្ត្រវិភាគ។ វិធីសាស្រ្តលេខត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយសមីការបែបនេះ។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកឫសនៃសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រលេខមានពីរដំណាក់កាល៖

• 1) នាយកដ្ឋានឬ ការធ្វើមូលដ្ឋានីយកម្មជា root, i.e. កំណត់ចន្លោះពេលដែលមានឫសតែមួយ៖
• 2) ការបញ្ជាក់តម្លៃ root ដោយវិធីសាស្រ្តនៃការប៉ាន់ប្រមាណជាបន្តបន្ទាប់។

វិធីសាស្រ្តធ្វើមូលដ្ឋានីយកម្មឫស។ មូលដ្ឋានទ្រឹស្តីនៃក្បួនដោះស្រាយការបំបែកជា root គឺទ្រឹស្តីបទ Cauchy លើតម្លៃមធ្យមនៃមុខងារបន្តមួយ។

ទ្រឹស្តីបទ ២.១. ប្រសិនបើមុខងារ y \u003d f (x) បន្តនៅលើផ្នែក [a, b] និង f (a) \u003d A, f (b) \u003d B នោះសម្រាប់ចំណុច C ដែលស្ថិតនៅចន្លោះ A និង B មាន ចំណុចមួយដែល

ផលវិបាក។ ប្រសិនបើមុខងារ y \u003d f (x) បន្តនៅលើផ្នែក [a, b] ហើយទទួលយកតម្លៃនៃសញ្ញាផ្សេងគ្នានៅចុងរបស់វា នោះនៅលើផ្នែកនេះមានយ៉ាងហោចណាស់ឫសមួយនៃសមីការ f (x) \u003d ០.

អនុញ្ញាតឱ្យដែននៃនិយមន័យ និងការបន្តនៃមុខងារជាផ្នែកកំណត់ [a,b]. ចែកផ្នែកទៅជា នផ្នែក៖ ,

ការគណនាតាមលំដាប់នៃតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុច យើងរកឃើញផ្នែកបែបនេះដែលលក្ខខណ្ឌពេញចិត្ត៖

ទាំងនោះ។ ឬ . ផ្នែកទាំងនេះមានឫសយ៉ាងតិចមួយ។

ទ្រឹស្តីបទ ២.២. ប្រសិនបើមុខងារ y \u003d f (x) បន្តនៅលើផ្នែក [a; b), f (a) f (b)<0 и f`(х) на интервале (а;b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а;b] существует единственный корень уравнения f(х) = 0.

ដើម្បីបំបែកឫស អ្នកក៏អាចប្រើក្រាហ្វនៃមុខងារផងដែរ។ នៅ= f (X).ឫសគល់នៃសមីការ (២.១) គឺជាតម្លៃទាំងនោះ X,ដែលក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=f(x) កាត់អ័ក្ស x ។ ការស្ថាបនាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មួយ ទោះបីជាមានភាពត្រឹមត្រូវទាបក៏ដោយ ជាធម្មតាផ្តល់នូវគំនិតអំពីទីតាំងនៃឫសនៃសមីការ (2.1) ។ ប្រសិនបើការគូសវាសមុខងារ y \u003d f (x) បណ្តាលឱ្យមានការលំបាក នោះសមីការដើម (2.1) គួរតែត្រូវបានបំប្លែងទៅជាទម្រង់ c1(x)= c2(x)ដូច្នេះក្រាហ្វនៃមុខងារ នៅ= c1(x)និង នៅ= c2(x)គឺសាមញ្ញណាស់។ abscissas នៃចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វទាំងនេះនឹងជាឫសគល់នៃសមីការ (2.1)។

ឧទាហរណ៍ ១ញែកឫសនៃសមីការ x 2 −2cosx=0 ។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងពិចារណាវិធីពីរយ៉ាងក្នុងការបំបែកឫស។

• ក) វិធីក្រាហ្វិក។ ចូរយើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ x 2 = 2cosx ហើយបង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=x 2 និង y=2cosx ក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេដូចគ្នា (រូបភាពទី 5)។ ដោយសារក្រាហ្វទាំងនេះប្រសព្វគ្នានៅចំនុចពីរ សមីការមានឫសពីរដែលមានទីតាំងនៅស៊ីមេទ្រីអំពីប្រភពដើមនៅលើចន្លោះពេល (-/2; 0) និង (0; /2) ។
• ខ) វិធីសាស្រ្តវិភាគ។ អនុញ្ញាតឱ្យ f(x)= x 2 -2cosx ។ ដោយសារតែ f(x)គឺជាអនុគមន៍គូ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពិចារណាតែតម្លៃមិនអវិជ្ជមាននៃ x ។ ដោយសារវិសមភាព 2cosx2

ដេរីវេ f"(x)=2(x+sinx)។ នៅចន្លោះពេល (0; /2) f"(x)>0 ដូច្នេះ f(x)នៅទីនេះ monotonically កើនឡើង ហើយក្រាហ្វរបស់វាអាចឆ្លងកាត់អ័ក្ស Xមិនលើសពីមួយចំណុច។ បាន​កត់​សម្គាល់​ឃើញ​ថា f(0)=- 2<0, аf(/2)=(/2) ២>០។ នេះមានន័យថាសមីការមានឫសវិជ្ជមានមួយស្ថិតនៅលើចន្លោះពេល (0; /2)។ ដោយសារអនុគមន៍គឺស្មើគ្នា សមីការក៏មានឫសអវិជ្ជមានមួយដែរ ដែលស៊ីមេទ្រីទៅវិជ្ជមាន។ ឥឡូវនេះសូមបន្តទៅការចម្រាញ់នៃឫស។ ដើម្បីអនុវត្តវិធីសាស្រ្តចម្រាញ់ឫសរួមបញ្ចូលគ្នា អ្នកត្រូវប្រាកដថាវា។ f ""(x) on (0; /2) រក្សាសញ្ញា ហើយជ្រើសរើសការប៉ាន់ស្មានដំបូងនៃឫសសម្រាប់អនុវត្តវិធីតង់ហ្សង់។ វាត្រូវតែបំពេញលក្ខខណ្ឌ៖ f(x)f ""(x)> 0 ។ ដោយសារតែ f ""(x)=2(1+cosx) គឺវិជ្ជមាននៅលើ បន្ទាប់មក /2 អាចត្រូវបានគេយកជាការប៉ាន់ស្មានដំបូងនៃឫសនៅក្នុងវិធីតង់ហ្សង់។ ដូច្នេះមនុស្សម្នាក់អាចដាក់ x=/21,570796, x 1 =0 (សូមមើលដ្យាក្រាមក្បួនដោះស្រាយ)។ ក្នុងករណីរបស់យើងវិធីសាស្ត្រអង្កត់ធ្នូនឹងផ្តល់តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសជាមួយនឹងគុណវិបត្តិមួយហើយវិធីសាស្ត្រតង់ហ្សង់ - ជាមួយនឹងការលើស។

ពិចារណាជំហានម្តងហើយម្តងទៀតនៃការចម្រាញ់ឫស។ គណនាតម្លៃ f(0), f(/2), f"(/2). តម្លៃថ្មី។ x 1 និង xស្វែងរករៀងគ្នាដោយរូបមន្ត៖

|x-x 1 |=0.387680.4>10 −4 = ។

ភាពត្រឹមត្រូវដែលបានបញ្ជាក់មិនត្រូវបានសម្រេចទេ ហើយការគណនាត្រូវតែបន្ត។

លេខ​ដដែលៗ	x 1		f(x 1 )			|x- x 1 |

ដូច្នេះតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការត្រូវបានរកឃើញជាលទ្ធផលនៃការធ្វើម្តងទៀតចំនួនបីហើយគឺប្រហែលស្មើនឹង 1.0217 ។

ដោយសារតែស៊ីមេទ្រីនៃក្រាហ្វនៃមុខងារ f(x)តម្លៃនៃឫសទីពីរគឺប្រហែលស្មើនឹង -1.0217 ។

ការបំភ្លឺឫស។

ការបង្កើតបញ្ហា . ចូរយើងសន្មត់ថាឫសនៃសមីការដែលចង់បាន (2.1) ត្រូវបានបំបែក ពោលគឺឧ។ ផ្នែក [a; b] ដែលមានឫសតែមួយ និងតែមួយនៃសមីការ។ ចំណុចណាមួយនៃផ្នែកនេះអាចត្រូវបានគេយកជាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫស។ កំហុសនៃការប៉ាន់ស្មាននេះមិនលើសពីប្រវែងទេ។ [ក; ខ]។អាស្រ័យហេតុនេះ បញ្ហានៃការស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការស្វែងរកផ្នែក [a; b] (ខ - ក<), содержащего только один корень уравнения (2.1). Эту задачу обычно называют задачей ការកែលម្អឫស។

ការពិពណ៌នាអំពីវិធីសាស្រ្តលេខ។ វិធីសាស្រ្តលេខធ្វើឱ្យវាអាចស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាមួយចំនួនដោយដឹងជាមុនថាលទ្ធផលដែលទទួលបាននឹងត្រូវបានគណនាដោយមានកំហុសជាក់លាក់មួយដូច្នេះសម្រាប់វិធីសាស្រ្តលេខជាច្រើនវាចាំបាច់ត្រូវដឹងជាមុននូវ "កម្រិតនៃភាពត្រឹមត្រូវ" ដែលលទ្ធផល។ ដំណោះស្រាយនឹងឆ្លើយតប។

ក្នុងន័យនេះ បញ្ហានៃការស្វែងរកឫសនៃពហុនាមនៃទម្រង់ (៣.១)

មានការចាប់អារម្មណ៍ជាពិសេសដោយសារតែ រូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកឫសនៃសមីការគូបគឺស្មុគស្មាញជាង។ ប្រសិនបើវាចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកឫសនៃពហុនាមដែលមានកម្រិតជាឧទាហរណ៍ 5 នោះគេមិនអាចធ្វើដោយគ្មានជំនួយពីវិធីសាស្ត្រលេខនោះទេ ជាពិសេសចាប់តាំងពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃពហុនាមមានធម្មជាតិ (ឬចំនួនគត់ ឬឫសពិតប្រាកដជាមួយ a ផ្នែកប្រភាគ "ខ្លី") គឺតូចណាស់ ហើយមិនមានរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកឫសនៃសមីការដឺក្រេធំជាង 4 ទេ។ តាមការពិត ប្រតិបត្តិការបន្ថែមទៀតទាំងអស់នឹងត្រូវកាត់បន្ថយមកត្រឹម ការបញ្ជាក់អំពីឫសចន្លោះពេលដែលត្រូវដឹងជាមុន។ មធ្យោបាយងាយស្រួលបំផុតដើម្បីស្វែងរកឫស "ប្រហាក់ប្រហែល" ទាំងនេះគឺត្រូវប្រើវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិក។

ដើម្បីស្វែងរកឫសគល់នៃពហុនាម មានវិធីសាស្រ្តលេខជាច្រើន៖ វិធីសាស្ត្រដដែលៗ វិធីសាស្ត្រនៃអង្កត់ធ្នូ និងតង់សង់ វិធីសាស្ត្របែងចែកពាក់កណ្តាល វិធីសាស្ត្រសេកុង។

វិធីសាស្រ្ត Bisection(ត្រូវបានគេស្គាល់ថាជា "វិធីសាស្រ្តនៃការបែងចែកផ្នែកជាពាក់កណ្តាល") ក៏កើតឡើងវិញដែរ ពោលគឺឧ។ ផ្តល់នូវពាក្យដដែលៗ ដោយគិតគូរពីលទ្ធផលដែលទទួលបាន។

ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តនៃការបែងចែកពាក់កណ្តាលមានដូចខាងក្រោម៖

• - មុខងារ F(x) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ;
• - កំហុសដែលអាចអនុញ្ញាតបាន Q ត្រូវបានកំណត់;
• - ចន្លោះពេលខ្លះ [ a , b ] ត្រូវបានកំណត់ ដែលពិតជាមានដំណោះស្រាយនៃសមីការ។

1) យើងគណនាតម្លៃនៃកូអរដោនេ E ដោយយកពាក់កណ្តាលនៃចម្រៀក i.e.

អ៊ី \u003d (a + b) / 2 (3.2)

• 2) គណនាតម្លៃ F(a), F(b), F(E) ហើយអនុវត្តការត្រួតពិនិត្យខាងក្រោម៖ ប្រសិនបើ F(E)>Q នោះឫសត្រូវបានរកឃើញជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានបញ្ជាក់។ ប្រសិនបើ F(E)
• 3) ទៅកាន់ចំណុច 1 ។

វិធីសាស្រ្តនៃការធ្វើម្តងទៀតសាមញ្ញ (វិធីសាស្រ្តនៃការប៉ាន់ស្មានជាបន្តបន្ទាប់) ។ យើងជំនួសសមីការ (2.1) ជាមួយនឹងសមីការសមមូល

x=(x) (3.3)

អាចត្រូវបានធ្វើនៅក្នុងវិធីផ្សេងគ្នា, ឧទាហរណ៍

x=x+cf(x), c0. (3.4)

ចូរយើងសន្មត់ថាការប៉ាន់ស្មានដំបូងមួយចំនួននៃឫសនៃសមីការ (3.3) ត្រូវបានជ្រើសរើស។ យើងកំណត់លំដាប់លេខដោយរូបមន្ត

X n+1 =(x ន ), n=0,1,2,… (3.5)

លំដាប់​បែប​នេះ​គេ​ហៅ​ថា​ធ្វើ​ដដែលៗ។

ប្រសិនបើនៅលើផ្នែកដែលមាន x 0 និងការប៉ាន់ស្មានជាបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់ x n , nN មុខងារ (x) មានដេរីវេបន្ត "(x) និង |"(x)|q<1, то итерационная последовательность (3.5) сходится к единственному на корню уравнения (3.3). Скорость сходимости определяется неравенством

ពីវិសមភាពនេះ ជាពិសេស វាកើតឡើងថា អត្រានៃការបង្រួបបង្រួមនៃវិធីសាស្រ្តនៃការធ្វើឡើងវិញសាមញ្ញគឺអាស្រ័យលើតម្លៃនៃ q: q តូចជាង ការបញ្ចូលគ្នាកាន់តែលឿន។

ដូច្នេះក្នុងការអនុវត្តជាក់ស្តែង នៅពេលស្វែងរកឫសដោយវិធីសាស្ត្រនៃការធ្វើឡើងវិញសាមញ្ញ វាគឺជាការចង់តំណាងសមីការ (2.1) ក្នុងទម្រង់ (3.3) តាមរបៀបដែលដេរីវេ "(x) នៅក្នុងសង្កាត់នៃឫសគឺអាចធ្វើទៅបាន។ តូច​ជាង​ក្នុង​តម្លៃ​ដាច់ខាត​សម្រាប់​នេះ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ c ពី​រូបមន្ត​ត្រូវ​បាន​ប្រើ​ពេល​ខ្លះ (3.4)។

វិធីសាស្ត្រញូតុន (វិធីសាស្ត្រតង់សង់)។ ប្រសិនបើការប៉ាន់ប្រមាណដំបូងដែលល្អគ្រប់គ្រាន់ត្រូវបានគេស្គាល់ថា វិសមភាពខាងក្រោមមាន៖

បន្ទាប់មកអ្នកអាចគណនាឫសតែមួយគត់នៃសមីការដោយប្រើរូបមន្តរបស់ញូតុន

ជាការប៉ាន់ស្មានដំបូង អ្នកអាចប្រើព្រំដែននៃចន្លោះពេល និង៖

ប្រសិនបើនៅលើ។

នៅពេលធ្វើម្តងទៀតនៃវិធីសាស្រ្តនេះ បរិមាណនៃការគណនាគឺធំជាងវិធីសាស្រ្តនៃ bisections និង iterations ព្រោះវាចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកមិនត្រឹមតែតម្លៃនៃអនុគមន៍ប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងដេរីវេរបស់វាផងដែរ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អត្រានៃការបង្រួបបង្រួមនៃវិធីសាស្ត្ររបស់ញូតុនគឺខ្ពស់ជាងច្រើន។

ទ្រឹស្តីបទ។ សូមឱ្យជាឫសគល់នៃសមីការ, i.e. និងបន្ត។ បន្ទាប់មកមានសង្កាត់នៃឫសបែបនេះថា ប្រសិនបើការប៉ាន់ស្មានដំបូងជាកម្មសិទ្ធិរបស់សង្កាត់នេះ នោះសម្រាប់វិធីសាស្ត្ររបស់ញូតុន លំដាប់នៃតម្លៃនឹងទៅនៅ។ កំហុសនៃការប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសអាចត្រូវបានប៉ាន់ស្មានដោយរូបមន្ត៖

ដែលជាកន្លែងដែលតម្លៃធំបំផុតនៃម៉ូឌុលនៃដេរីវេទី 2 នៅលើផ្នែកគឺជាតម្លៃតូចបំផុតនៃម៉ូឌុលនៃដេរីវេទី 1 នៅលើផ្នែក។

ច្បាប់បញ្ឈប់៖

វិធីសាស្រ្តនៃអង្កត់ធ្នូនិងតង់សង់ (រួមបញ្ចូលគ្នា) ។ វិធីសាស្រ្តនេះគឺផ្អែកលើការស្ថាបនាក្រាហ្វិចនៃអនុគមន៍ កំណត់ចន្លោះពេលនៃចំនុចប្រសព្វរបស់វាជាមួយអ័ក្ស abscissa ហើយបន្ទាប់មក "បង្ហាប់" ចន្លោះពេលនេះដោយប្រើអង្កត់ធ្នូដែលបានសាងសង់ និងតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នេះ។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាក៏មានវិធីសាស្រ្តនៃអង្កត់ធ្នូដាច់ដោយឡែកផងដែរ (ផ្តល់តម្លៃនៃឫសជាមួយនឹងកង្វះ) និងវិធីសាស្រ្តនៃតង់សង់ (ជាមួយនឹងការលើស) ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អត្ថប្រយោជន៍នៃវិធីសាស្ត្ររួមបញ្ចូលគ្នាគឺស្ថិតនៅក្នុង "ការបង្ហាប់ពីរចំហៀង" នៃផ្នែកដែលបានពិចារណា។

ពិចារណាករណីខាងក្រោម៖

• - មុខងារ F(x) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយក្រាហ្វរបស់វាត្រូវបានបង្កើតឡើង។
• - កំហុសដែលអាចអនុញ្ញាតបាន Q ត្រូវបានកំណត់
• - នៅលើមូលដ្ឋាននៃក្រាហ្វ ចម្រៀកមួយត្រូវបានកំណត់ដែលក្រាហ្វនៃអនុគមន៍កាត់អ័ក្ស abscissa ដូច្នេះនៅលើផ្នែកនេះមានឫសនៃពហុនាមដែលកំពុងពិចារណា (យើងកំណត់វាដោយ A)

ក្បួនដោះស្រាយបន្ថែមត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសកម្មភាពដូចខាងក្រោមៈ

• 1) យើងបង្កើតតង់សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅចំណុច F(b)
• 2) យើងគណនា x-coordinate នៃចំនុចប្រសព្វនៃតង់សង់ជាមួយអ័ក្ស abscissa តាមរូបមន្ត (3.9) ហើយកំណត់វាដោយ b"
• 3) យើងបង្កើតអង្កត់ធ្នូទៅនឹងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ឆ្លងកាត់ចំនុច F(a) និង F(b) ។
• 4) យើងគណនាចំណុចប្រសព្វនៃអង្កត់ធ្នូជាមួយអ័ក្ស abscissa យោងតាមរូបមន្ត (2) ហើយកំណត់វាដោយ "" ។

ដូច្នេះ យើងទទួលបានផ្នែកថ្មីមួយ ដែល (យោងទៅតាមនិយមន័យនៃអង្កត់ធ្នូ និងតង់សង់) នៅតែមានដំណោះស្រាយនៃសមីការ A ។

ឥឡូវនេះយើងយកផ្នែកជាផ្នែកថ្មី ហើយធ្វើជំហានទី 1-4 ម្តងទៀតរហូតដល់ភាពខុសគ្នា F(b)-F(a) តិចជាងកំហុសដែលបានបង្កប់ដំបូង Q. យើងក៏កត់សម្គាល់ផងដែរថាបន្ទាប់ពីនេះវាត្រូវបានណែនាំឱ្យយកមធ្យមនព្វន្ធ F ជាដំណោះស្រាយដែលចង់បាន (a) និង F(b) ។

ដូច្នេះប្រសិនបើអង្កត់ធ្នូ (តង់សង់) ផ្តល់តម្លៃនៃឫសជាមួយនឹងការលើស នោះឫសនេះត្រូវបានយកជាព្រំដែនខាងស្តាំថ្មី ហើយប្រសិនបើមានកង្វះ នោះផ្នែកខាងឆ្វេង។ ក្នុងករណីទាំងពីរ ឫសពិតប្រាកដស្ថិតនៅចន្លោះចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ធ្នូ និងតង់សង់ជាមួយអ័ក្ស abscissa ។

ការកត់សម្គាល់អំពីវិធីសាស្រ្តនៃអង្កត់ធ្នូនិងតង់សង់។ដោយសារដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាតម្រូវឱ្យស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ F(x) វិធីសាស្ត្រនៃអង្កត់ធ្នូ និងតង់សង់គឺពិបាកអនុវត្តនៅកម្រិតកម្មវិធី ពីព្រោះ ច្បាប់សម្រាប់ការគណនានិស្សន្ទវត្ថុក្នុងទម្រង់ទូទៅគឺពិបាកសម្រាប់ "ការយល់ដឹង" នៃកុំព្យូទ័រ។ នៅពេលបញ្ជាក់ដោយផ្ទាល់នូវដេរីវេសម្រាប់ដឺក្រេនីមួយៗនៃពហុនាម អង្គចងចាំកុំព្យូទ័រត្រូវបានផ្ទុកយ៉ាងធ្ងន់ធ្ងរ ដែលធ្វើអោយការងារថយចុះយ៉ាងខ្លាំង ហើយការកំណត់មុខងារ ហើយអាស្រ័យហេតុនេះ ដេរីវេរបស់វាដោយផ្ទាល់នៅក្នុងកូដកម្មវិធីគឺមិនអាចទទួលយកបានទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនេះ ការបញ្ចូលគ្នានៃចន្លោះពេលទៅឫសកើតឡើងយ៉ាងលឿនបំផុត ជាពិសេសប្រសិនបើវិធីសាស្ត្រនៃអង្កត់ធ្នូ និងតង់សង់ត្រូវបានផ្សំជាមួយវិធីសាស្ត្រ bisection ពីព្រោះ ពាក់កណ្តាលនៃផ្នែកថ្មីជាញឹកញាប់ផ្តល់នូវដំណោះស្រាយដែលពេញចិត្តទាំងស្រុង។

វិធីសាស្រ្ដ។ វិធីសាស្រ្ត secant អាចទទួលបានពីវិធីសាស្ត្ររបស់ Newton ដោយជំនួសដេរីវេដោយកន្សោមប្រហាក់ប្រហែល - រូបមន្តខុសគ្នា៖

រូបមន្ត (3.8) ប្រើការប៉ាន់ស្មានមុនពីរ u ។ ដូច្នេះ សម្រាប់តម្លៃដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាប្រហាក់ប្រហែលបន្ទាប់ ឧទាហរណ៍ដោយវិធីសាស្ត្រញូតុន ជាមួយនឹងការជំនួសប្រហាក់ប្រហែលនៃដេរីវេដោយរូបមន្ត

ក្បួនដោះស្រាយនៃវិធីសាស្ត្រ secant៖

1) តម្លៃដំបូងនិងកំហុសត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ គណនា

2) សម្រាប់ ន= 1,2,….. ខណៈពេលដែលលក្ខខណ្ឌពេញចិត្ត យើងគណនាតាមរូបមន្ត (3.8)។

ការបង្កើតបញ្ហា

ការបំបែកឫស

ការចម្រាញ់ឫស

១.២.៣.២. វិធីសាស្រ្តធ្វើម្តងទៀត

១.២.៣.៤. វិធីសាស្រ្តអង្កត់ធ្នូ

ការបង្កើតបញ្ហា

សមីការពិជគណិត

( 1.2.1-1)

សមីការ​ឆ្លង

(1.2.1-2)

ការកែលម្អឡើងវិញនៃឫស។

នៅដំណាក់កាលនៃការបំបែកឫស បញ្ហានៃការស្វែងរកផ្នែកតូចចង្អៀតបំផុតដែលអាចធ្វើបានដែលមានឫសតែមួយ និងតែមួយនៃសមីការត្រូវបានដោះស្រាយ។

ជំហានកែលម្អឫសមានគោលបំណងគណនាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងករណីនេះ វិធីសាស្ត្រដដែលៗសម្រាប់ការគណនាការប៉ាន់ស្មានបន្តបន្ទាប់គ្នាទៅនឹងឫសត្រូវបានប្រើ៖ x 0 , x 1 , ... , x n , ... ដែលក្នុងនោះការប៉ាន់ស្មានជាបន្តបន្ទាប់នីមួយៗ x n + 1 ត្រូវបានគណនាដោយផ្អែកលើ x n ពីមុន។ ជំហាននីមួយៗត្រូវបានគេហៅថាការធ្វើម្តងទៀត។ ប្រសិនបើលំដាប់ x 0 , x 1 , ... , x n , … ដូចជា n ® ¥ មានដែនកំណត់ស្មើនឹងតម្លៃនៃឫស នោះដំណើរការដដែលៗត្រូវបានគេនិយាយថានឹងបញ្ចូលគ្នា។

មានវិធីផ្សេងគ្នាដើម្បីបំបែកនិងកែលម្អឫសដែលយើងនឹងពិភាក្សាខាងក្រោម។

ការបំបែកឫស

ឫសនៃសមីការ f(x)=0 ត្រូវបានគេចាត់ទុកថាបំបែក (ធ្វើមូលដ្ឋានីយកម្ម) នៅលើផ្នែក ប្រសិនបើសមីការនេះមិនមានឫសផ្សេងទៀតនៅលើផ្នែកនេះ។ ដើម្បីបំបែកឫសនៃសមីការ វាចាំបាច់ក្នុងការបែងចែកជួរនៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃអនុគមន៍ f(x) ទៅជាផ្នែកតូចចង្អៀតដោយយុត្តិធម៌ ដែលនីមួយៗមានឫសតែមួយប៉ុណ្ណោះ។ មាន ក្រាហ្វិកនិង វិភាគវិធីសាស្រ្តបំបែកឫស។

ការចម្រាញ់ឫស

ភារកិច្ចនៃការចម្រាញ់ឫសនៃសមីការជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលបំបែកដោយផ្នែកគឺដើម្បីស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសដែលវិសមភាព។ . ប្រសិនបើសមីការមិនមានមួយ ប៉ុន្តែមានឫសច្រើន នោះដំណាក់កាលចម្រាញ់ត្រូវបានអនុវត្តសម្រាប់ឫសដែលបំបែកនីមួយៗ។

វិធីសាស្រ្តនៃការបែងចែកពាក់កណ្តាល

អនុញ្ញាតឱ្យឫសនៃសមីការ f(x)=0 ត្រូវបានបំបែកនៅលើផ្នែក នោះគឺមានឫសតែមួយនៅលើផ្នែកនេះ ហើយមុខងារនៅលើផ្នែកនេះគឺបន្ត។

វិធីសាស្ត្រ bisection អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានលំដាប់នៃ nested segments , , ...,,... , ដូចជា f(a i).f(b i)< 0 ដែល i=1,2,…,n និងប្រវែងនៃផ្នែកបន្តបន្ទាប់នីមួយៗគឺពាក់កណ្តាលប្រវែងនៃផ្នែកមុន៖

ការរួមតូចជាបន្តបន្ទាប់នៃផ្នែកជុំវិញតម្លៃមិនស្គាល់របស់ root ធានាការប្រតិបត្តិនៅជំហានមួយចំនួន នវិសមភាព|b n - a n|< e. Поскольку при этом для любого хÎ будет выполняться неравенство | - х| <, то с точностью любое

អាចត្រូវបានយកជាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសឧទាហរណ៍ចំណុចកណ្តាលរបស់វា។

នៅក្នុងវិធីសាស្រ្ត bisection ពី iteration ទៅ iteration ប្រវែងនៃផ្នែកដំបូងត្រូវបានកាត់បន្ថយជាប់លាប់ដោយពាក់កណ្តាល (រូបភាព 1.2.3-1) ។ ដូច្នេះនៅជំហានទី 9 ការប៉ាន់ស្មានដូចខាងក្រោមនៃកំហុសនៃលទ្ធផលគឺត្រឹមត្រូវ:

( 1.2.3-1)

តើតម្លៃពិតប្រាកដនៃឫស x n н គឺជាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសនៅជំហានទី n ។

ដោយប្រៀបធៀបការប៉ាន់ប្រមាណលទ្ធផលនៃកំហុសជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងអាចប៉ាន់ស្មានចំនួនជំហានដែលត្រូវការ៖

(1.2.3-2)

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីរូបមន្តដែលការថយចុះនៃតម្លៃ អ៊ី(ការបង្កើនភាពត្រឹមត្រូវ) នាំឱ្យមានការកើនឡើងគួរឱ្យកត់សម្គាល់នៃបរិមាណនៃការគណនា ដូច្នេះក្នុងការអនុវត្ត វិធីសាស្ត្របែងចែកពាក់កណ្តាលត្រូវបានប្រើសម្រាប់ការស្វែងរកឫសរដុប ហើយការចម្រាញ់បន្ថែមរបស់វាត្រូវបានអនុវត្តដោយប្រើវិធីសាស្ត្រផ្សេងទៀតដែលមានប្រសិទ្ធភាពជាង។ .

អង្ករ។ ១.២.៣-២. គ្រោងការណ៍នៃក្បួនដោះស្រាយវិធីសាស្រ្ត bisection

គ្រោងការណ៍នៃក្បួនដោះស្រាយ bisection ត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។ ១.២.៣-២. ក្បួនដោះស្រាយខាងលើសន្មតថាផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ f(x) ត្រូវបានរចនាឡើងជាម៉ូឌុលកម្មវិធី។

ឧទាហរណ៍ 1.2.3-1 ។ បញ្ជាក់ឫសគល់នៃសមីការ x 3 +x-1=0 ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃ =0.1 ដែលត្រូវបានធ្វើមូលដ្ឋានីយកម្មនៅលើផ្នែក .

លទ្ធផលត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើតារាង 1.2.3-3 ។

តារាង 1.2.3-3

k	ក	ខ	f(a)	f(b)	(a+b)/2	f((a+b)/2)	ក	b k
			-1		0.5	-0.375	0.5
	0.5		-0.375		0.75	0.172	0.5	0.75
	0.5	0.75	-0.375	0.172	0.625	-0.131	0.625	0.75
	0.625	0.75	-0.131	0.172	0.688	0.0136	0.625	0.688

បនា្ទាប់ពីការធ្វើឡើងវិញទីបួន ប្រវែងនៃចម្រៀក |b 4 -a 4 | = |0.688-0.625| = 0.063 បានក្លាយទៅជាតិចជាងតម្លៃ អ៊ីដូច្នេះសម្រាប់តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫស អ្នកអាចយកតម្លៃនៃពាក់កណ្តាលនៃផ្នែកនេះ៖ x \u003d (a 4 + b 4) / 2 \u003d 0.656 .

តម្លៃនៃអនុគមន៍ f(x) នៅចំណុច x = 0.656 គឺ f(0.656) = -0.062 .

វិធីសាស្រ្តធ្វើម្តងទៀត

វិធីសាស្រ្តធ្វើឡើងវិញពាក់ព័ន្ធនឹងការជំនួសសមីការ f(x)=0 ជាមួយនឹងសមីការសមមូល x=j(x)។ ប្រសិនបើឫសនៃសមីការត្រូវបានបំបែកនៅលើផ្នែក នោះផ្អែកលើការប៉ាន់ស្មានដំបូង x 0 н,អ្នកអាចទទួលបានលំដាប់នៃការប្រហាក់ប្រហែលទៅនឹងឫស

x 1 \u003d j (x 0), x 2 \u003d j (x 1), ... , , ( 1.2.3-3)

ដែលមុខងារ j(x) ត្រូវបានគេហៅថា អនុគមន៍ ធ្វើឡើងវិញ។

លក្ខខណ្ឌ​រួម​សម្រាប់​វិធីសាស្ត្រ​ធ្វើ​ឡើងវិញ​សាមញ្ញ​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ដោយ​ទ្រឹស្តីបទ​ខាងក្រោម។

ទុកឱ្យឫស X* សមីការ x=j(x) បំបែកនៅលើផ្នែកមួយ។និង​បាន​បង្កើត​លំដាប់​នៃ​ការ​ប៉ាន់​ប្រមាណ​តាម​ក្បួន x n \u003d j (x n -1) . បន្ទាប់មកប្រសិនបើសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់ x n = j(x n −1) н ហើយមានបែបនេះ q(0 នោះសម្រាប់អ្នករាល់គ្នា x អូ បានអនុវត្ត|j'(x)| = q<1បន្ទាប់មក​លំដាប់​នេះ​ជា​ការ​បញ្ចូលគ្នា ហើយ​ដែនកំណត់​នៃ​លំដាប់​គឺជា​តម្លៃ​នៃ​ឫស x* , i.e. ដំណើរ​ការ​បង្កើត​ឡើងវិញ​ទៅ​ជា​ឫស​នៃ​សមីការ​ដោយ​មិន​គិត​ពី​ការ​ប្រហាក់ប្រហែល​ដំបូង​ឡើយ។

ដូច្នេះប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនៃការបង្រួបបង្រួមនៃវិធីធ្វើម្តងទៀតគឺពេញចិត្ត នោះលំដាប់ x 0 , x 1 , x 2 , … , x n ,… , ទទួលបានដោយប្រើរូបមន្ត x n +1 = j(x n ), បំប្លែងទៅតម្លៃពិតប្រាកដនៃឫស៖

លក្ខខណ្ឌ j(x)н សម្រាប់ xн មានន័យថា ប្រមាណទាំងអស់ x 1 , x 2 , …, x n ,… ដែលទទួលបានដោយរូបមន្តដដែលៗ ត្រូវតែជារបស់ផ្នែកដែលឫសត្រូវបានបំបែក។

ដើម្បីប៉ាន់ប្រមាណកំហុសនៃវិធីធ្វើម្តងទៀតលក្ខខណ្ឌ

ក្នុងមួយលេខ qអាចយកតម្លៃធំបំផុត |j"(x)| , ហើយដំណើរការនៃការធ្វើឡើងវិញគួរតែត្រូវបានបន្តរហូតដល់វិសមភាព

(1.2.3-5)

នៅក្នុងការអនុវត្ត រូបមន្តប៉ាន់ស្មានកំហុសសាមញ្ញត្រូវបានប្រើជាញឹកញាប់។ ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើ 0

|x n -1 - x n | £

ការប្រើរូបមន្តដដែលៗ x n +1 = j(x n) អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានតម្លៃនៃឫសនៃសមីការ f(x)=0 ជាមួយនឹងកម្រិតនៃភាពត្រឹមត្រូវណាមួយ។ .

រូបភាពធរណីមាត្រនៃវិធីសាស្រ្តធ្វើម្តងទៀត. នៅលើយន្តហោះ X0Y យើងគូរក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=x និង y=j(x ). ឫសនៃសមីការ x=j(x) គឺជា abscissa នៃចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=j(x)។ ) និងដោយផ្ទាល់ y = x ។ ចូរយើងយកចំនួនប្រហាក់ប្រហែលដំបូង x 0 н ។ នៅលើខ្សែកោង y \u003d j (x) វាត្រូវគ្នាទៅនឹងចំនុច A 0 \u003d j (x 0) ។ ដើម្បីស្វែងរកការប៉ាន់ស្មានបន្ទាប់ សូមគូសបន្ទាត់ផ្តេកត្រង់តាមចំនុច A 0 ទៅកាន់ចំនុចប្រសព្វជាមួយបន្ទាត់ត្រង់ y \u003d x (ចំណុច B 1) ហើយបន្ថយកាត់កែងទៅចំនុចប្រសព្វជាមួយខ្សែកោង (ចំណុច A 1) ពោលគឺ x 1 \u003d j (x 0) . ការបន្តការសាងសង់តាមរបៀបស្រដៀងគ្នា យើងមានបន្ទាត់ខូច A 0, B 1, A 1, B 2, A 2 ... ដែល abscissas ទូទៅនៃចំនុចតំណាងឱ្យការប៉ាន់ស្មានជាបន្តបន្ទាប់ x 1, x 2, ។ .., x n ("ជណ្ដើរ") ទៅឫស X* ។ ពីរូបភព។ 1.2.3-3a វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាដំណើរការនេះប្រែទៅជាឫសនៃសមីការ។

ឥឡូវនេះ សូមពិចារណាទម្រង់មួយទៀតនៃខ្សែកោង y = j(x) (រូបភាព 1.2.6b)។ ក្នុងករណីនេះខ្សែ A 0 , B 1 , A 1 , B 2 , A 2 ... មានទម្រង់ជា "វង់" ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយក្នុងករណីនេះការបញ្ចូលគ្នាក៏ត្រូវបានគេសង្កេតឃើញផងដែរ។

វាងាយមើលឃើញថាក្នុងករណីដំបូង ដេរីវេ បំពេញលក្ខខណ្ឌ 0< j’(x)< 1, а во втором случае производная j’(x)<0иj’(x)>- មួយ។ ដូច្នេះវាច្បាស់ណាស់ថាប្រសិនបើ |j'(x)|<1, то процесс итераций сходится к корню.

ឥឡូវពិចារណាករណីដែល |j'(x) |> 1. នៅក្នុងរូបភព។ 1.2.3-4a បង្ហាញករណីនៅពេលដែល j'(x)>1 និងក្នុងរូបភព។ 1.2.3-4b - ពេល j'(x)< -1. В обоих случаях процесс итерации расходится, то есть, полученное на очередной итерации значение х все дальше удаляется от истинного значения корня.

មធ្យោបាយដើម្បីកែលម្អការបញ្ចូលគ្នានៃដំណើរការឡើងវិញ. ពិចារណាជម្រើសពីរសម្រាប់តំណាងឱ្យមុខងារ j(x) ក្នុងការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការ f(x) ទៅ x=j(x)។

1. អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ j(x) មានភាពខុសប្លែកគ្នា និងឯកតានៅក្នុងសង្កាត់នៃឫស ហើយអនុញ្ញាតឱ្យមានលេខ k £ |j'(x)| ដែល k ³ 1 (ឧ. ដំណើរការខុសគ្នា)។ ចូរយើងជំនួសសមីការ x=j(x) ជាមួយនឹងសមីការសមមូលរបស់វា x=Y(x) ) កន្លែងណា Y(x) = 1/j(x)(សូមបន្តទៅមុខងារបញ្ច្រាស)។ បន្ទាប់មក

ដែលមានន័យថា q=1/k< 1 и процесс будет сходиться.

2. យើងតំណាងឱ្យអនុគមន៍ j(x) ជា j(x) = x - lf(x) ដែល l ជាមេគុណ , មិនស្មើគ្នា

សូន្យ ដើម្បីឱ្យដំណើរការបង្រួបបង្រួមវាចាំបាច់
0<|j¢(x)| = |1 - lf¢(x)| < 1. Возьмем l= 2/(m 1 +M 1 ), ដែល m 1 និង M 1 ជាតម្លៃអប្បបរមា និងអតិបរមានៃ f'(x) (m 1 = min|f'(x)|, M 1 = max|f'(x)|) សម្រាប់ хн, i.e. 0£m 1£f¢(x)£M 1£1. បន្ទាប់មក

ហើយដំណើរការនឹងបញ្ចូលគ្នា រូបមន្តដដែលៗមានទម្រង់

ប្រសិនបើ f¢(x)< 0, то в рекуррентной формуле f(x) следует умножить на -1 .

ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ λ ក៏អាចត្រូវបានកំណត់ដោយច្បាប់៖

ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មក , និងប្រសិនបើ , បន្ទាប់មក , កន្លែងណា .

គ្រោងការណ៍នៃក្បួនដោះស្រាយនៃវិធីធ្វើម្តងទៀតត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។ ១.២.៣-៥.

សមីការដើម f(x)=0 ត្រូវបានបំប្លែងទៅជាទម្រង់ដែលងាយស្រួលសម្រាប់ការធ្វើម្តងទៀត៖ ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការដើម f(x) និងអនុគមន៍ fi(x) នៅក្នុងក្បួនដោះស្រាយត្រូវបានរចនាឡើងជាម៉ូឌុលកម្មវិធីដាច់ដោយឡែក។

អង្ករ។ ១.២.៣-៥. ដ្យាក្រាមក្បួនដោះស្រាយវិធីធ្វើឡើងវិញ

ឧទាហរណ៍ 1.2.3-2 ។ កែលម្អឫសគល់នៃសមីការ 5x – 8∙ln(x) – 8 = 0 ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃ 0.1 ដែលត្រូវបានធ្វើមូលដ្ឋានីយកម្មនៅលើផ្នែក។

យើងនាំយកសមីការទៅជាទម្រង់មួយដែលងាយស្រួលសម្រាប់ការធ្វើម្តងទៀត៖

ដូច្នេះសម្រាប់តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសនៃសមីការ យើងយកតម្លៃ x 3 = 3.6892 ដែលផ្តល់នូវភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនាដែលត្រូវការ។ នៅចំណុចនេះ f (x 3) = 0.0027 ។

វិធីសាស្រ្តអង្កត់ធ្នូ

ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃវិធីសាស្ត្រអង្កត់ធ្នូគឺដូចខាងក្រោម
(រូប ១.២.៣-៨)។

ចូរយើងគូរផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់កាត់តាមចំនុច A និង B។ ការប៉ាន់ស្មានបន្ទាប់ x 1 គឺជា abscissa នៃចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ធ្នូដែលមានអ័ក្ស 0x ។ ចូរយើងបង្កើតសមីការនៃផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់៖

យើងដាក់ y = 0 ហើយរកតម្លៃ x = x 1 (ប្រហាក់ប្រហែលផ្សេងទៀត)៖

យើងធ្វើការគណនាម្តងទៀតដើម្បីទទួលបានការប្រហាក់ប្រហែលបន្ទាប់ទៅនឹងឫស - x 2 :

ក្នុងករណីរបស់យើង (រូបភាព 1.2.11) និងរូបមន្តគណនានៃវិធីសាស្រ្តអង្កត់ធ្នូនឹងមើលទៅដូច

រូបមន្តនេះមានសុពលភាពនៅពេលដែលចំណុច b ត្រូវបានគេយកជាចំណុចថេរ ហើយចង្អុល a ដើរតួជាការប៉ាន់ស្មានដំបូង។

ពិចារណាករណីមួយទៀត (រូបភាព 1.2.3-9) នៅពេលដែល .

សមីការបន្ទាត់ត្រង់សម្រាប់ករណីនេះមានទម្រង់

ការប៉ាន់ស្មានបន្ទាប់ x 1 នៅ y = 0

បន្ទាប់មករូបមន្ត recursive សម្រាប់វិធីសាស្រ្តនៃអង្កត់ធ្នូសម្រាប់ករណីនេះមានទម្រង់

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាសម្រាប់ចំណុចថេរនៅក្នុងវិធីសាស្រ្តនៃអង្កត់ធ្នូចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកត្រូវបានជ្រើសរើសដែលលក្ខខណ្ឌ f (x) ∙ f¢¢ (x)> 0 ត្រូវបានពេញចិត្ត។

ដូច្នេះប្រសិនបើចំណុច a ត្រូវបានគេយកជាចំណុចថេរ , បន្ទាប់មក x 0 = b ដើរតួជាការប៉ាន់ស្មានដំបូង និងច្រាសមកវិញ។

លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់ដែលធានាការគណនាឫសនៃសមីការ f(x)=0 ដោយប្រើរូបមន្តនៃអង្កត់ធ្នូនឹងដូចគ្នាទៅនឹងវិធីសាស្ត្រតង់ហ្សង់ (វិធីសាស្ត្ររបស់ញូតុន) ប៉ុន្តែជំនួសឱ្យការប៉ាន់ស្មានដំបូង ចំណុចថេរមួយត្រូវបានជ្រើសរើស។ វិធីសាស្រ្តអង្កត់ធ្នូគឺជាការកែប្រែវិធីសាស្រ្តរបស់ញូតុន។ ភាពខុសគ្នានោះគឺថាការប៉ាន់ស្មានបន្ទាប់ក្នុងវិធីសាស្ត្រញូតុនគឺជាចំណុចប្រសព្វនៃតង់សង់ជាមួយអ័ក្ស 0X ហើយនៅក្នុងវិធីសាស្រ្តនៃអង្កត់ធ្នូ - ចំណុចប្រសព្វនៃអង្កត់ធ្នូជាមួយអ័ក្ស 0X - ការប៉ាន់ស្មានបានទៅឫសពី ភាគីផ្សេងគ្នា។

ការប៉ាន់ប្រមាណនៃកំហុសនៃវិធីសាស្រ្តអង្កត់ធ្នូត្រូវបានកំណត់ដោយកន្សោម

(1.2.3-15)

លក្ខខណ្ឌ​បញ្ចប់​នៃ​ដំណើរ​ការ​ដដែលៗ​ដោយ​វិធីសាស្ត្រ​នៃ​អង្កត់ធ្នូ

(1.2.3-16)

ប្រសិនបើ M 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n - x n -1 | £ អ៊ី

ឧទាហរណ៍ 1.2.3-4 ។ បញ្ជាក់ឫសគល់នៃសមីការ e x − 3x = 0 បំបែកនៅលើផ្នែកដែលមានភាពត្រឹមត្រូវ 10 -4 ។

តោះពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌនៃការបញ្ចូលគ្នា៖

ដូច្នេះ a=0 គួរតែត្រូវបានជ្រើសរើសជាចំណុចថេរ ហើយ x 0 \u003d 1 គួរតែត្រូវបានយកជាការប៉ាន់ស្មានដំបូង ចាប់តាំងពី f (0) \u003d 1> 0 និង f (0) * f "(0)> 0 .

ការគណនាលទ្ធផលដែលទទួលបានដោយប្រើរូបមន្ត
1.2.3-14 ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងតារាង 1.2.3-4 ។

តារាង 1.2.3-4

អង្ករ។ ១.២.៣-១០។ គ្រោងការណ៍នៃក្បួនដោះស្រាយវិធីសាស្រ្តអង្កត់ធ្នូ

សមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរគឺ

1) សមីការ ពិជគណិត ឬ វិសាលភាព

2) សមីការពិជគណិត

3) សមីការត្រីកោណមាត្រ

4) សមីការ​ឆ្លង

ប្រធានបទ 1.2 ។ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរ

ការបង្កើតបញ្ហា

ការបំបែកឫស

១.២.២.១. ការបំបែកក្រាហ្វិកនៃឫស

១.២.២.២. សាខាវិភាគនៃឫស

ការចម្រាញ់ឫស

១.២.៣.១. វិធីសាស្រ្តនៃការបែងចែកពាក់កណ្តាល

១.២.៣.២. វិធីសាស្រ្តធ្វើម្តងទៀត

១.២.៣.៣. វិធីសាស្ត្រញូតុន (វិធីសាស្ត្រតង់សង់)

១.២.៣.៤. វិធីសាស្រ្តអង្កត់ធ្នូ

១.២.៣.៥. ការប្រៀបធៀបវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរ

១.២.៤. សាកល្បងកិច្ចការលើប្រធានបទ "វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរ"

ការបង្កើតបញ្ហា

បញ្ហាមួយក្នុងចំណោមបញ្ហាសំខាន់ៗ និងទូទៅបំផុតនៃការវិភាគគណិតវិទ្យាគឺបញ្ហានៃការកំណត់ឫសនៃសមីការដោយមិនស្គាល់មួយ ដែលអាចត្រូវបានតំណាងជាទម្រង់ទូទៅជា f(x) = 0។ អាស្រ័យលើទម្រង់នៃអនុគមន៍ f( x) សមីការពិជគណិត និងវិសាលភាពត្រូវបានសម្គាល់។ សមីការពិជគណិតត្រូវបានគេហៅថាសមីការដែលតម្លៃនៃអនុគមន៍ f(x) គឺជាពហុនាមនៃដឺក្រេទី n:

f (x) \u003d P (x) \u003d a n x n + a 2 x 2 + ... + a 1 x + a 0 \u003d 0 ។ ( 1.2.1-1)

សមីការដែលមិនមែនជាពិជគណិតត្រូវបានហៅ សមីការ​ឆ្លង. អនុគមន៍ f(x) ក្នុងសមីការបែបនេះគឺយ៉ាងហោចណាស់មានមុខងារមួយដូចខាងក្រោម៖ អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល លោការីត ត្រីកោណមាត្រ ឬត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការ f (x) \u003d 0 គឺជាសំណុំឫសគល់ ពោលគឺតម្លៃបែបនេះនៃអថេរឯករាជ្យ ដែលសមីការប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយតម្លៃពិតប្រាកដនៃឫសអាចត្រូវបានរកឃើញតែការវិភាគសម្រាប់ប្រភេទសមីការមួយចំនួនប៉ុណ្ណោះ។ ជាពិសេស រូបមន្តដែលបង្ហាញពីដំណោះស្រាយនៃសមីការពិជគណិតអាចទទួលបានសម្រាប់សមីការមិនខ្ពស់ជាងដឺក្រេទីបួនប៉ុណ្ណោះ។ មានឱកាសតិចជាងមុនសម្រាប់ការទទួលបានដំណោះស្រាយពិតប្រាកដនៃសមីការឆ្លងដែន។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាបញ្ហានៃការស្វែងរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃឫសគឺមិនតែងតែត្រឹមត្រូវទេ។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើមេគុណនៃសមីការគឺជាចំនួនប្រហាក់ប្រហែល ភាពត្រឹមត្រូវនៃតម្លៃដែលបានគណនារបស់ឫសពិតជាមិនអាចលើសពីភាពត្រឹមត្រូវនៃទិន្នន័យដើមនោះទេ។ កាលៈទេសៈទាំងនេះបង្ខំយើងឱ្យពិចារណាពីលទ្ធភាពនៃការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវមានកម្រិត (ឬសប្រហាក់ប្រហែល)។

បញ្ហានៃការស្វែងរកឫសនៃសមីការដែលមានភាពត្រឹមត្រូវដែលបានផ្តល់ឱ្យ (> 0) ត្រូវបានចាត់ទុកថាត្រូវបានដោះស្រាយប្រសិនបើតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលត្រូវបានគណនា ដែលខុសពីតម្លៃពិតប្រាកដនៃឫសដោយមិនលើសពីតម្លៃ e

(1.2.1-2)

ដំណើរការនៃការស្វែងរកឫសប្រហាក់ប្រហែលនៃសមីការមានពីរដំណាក់កាល៖

1) ការបំបែកឫស (ការធ្វើមូលដ្ឋានីយកម្មនៃឫស);

សមីការ​ដែល​មាន​អនុគមន៍​មិន​ស្គាល់​ដែល​ត្រូវ​បាន​លើក​ឡើង​ទៅ​ជា​ថាមពល​ធំ​ជាង​មួយ​ត្រូវ​បាន​ហៅ​ថា​មិនមែន​លីនេអ៊ែរ។
ឧទាហរណ៍ y=ax+b គឺជាសមីការលីនេអ៊ែរ x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5 = 0 គឺមិនមែនលីនេអ៊ែរ (ជាទូទៅសរសេរជា F(x)=0)។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរ គឺជាដំណោះស្រាយដំណាលគ្នានៃសមីការមិនលីនេអ៊ែរជាច្រើនដែលមានអថេរមួយ ឬច្រើន។

មានវិធីសាស្រ្តជាច្រើន។ ការដោះស្រាយសមីការមិនលីនេអ៊ែរនិងប្រព័ន្ធនៃសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរ ដែលជាធម្មតាត្រូវបានចាត់ថ្នាក់ជា 3 ក្រុម៖ លេខ ក្រាហ្វិក និងការវិភាគ។ វិធីសាស្រ្តវិភាគធ្វើឱ្យវាអាចកំណត់តម្លៃពិតប្រាកដនៃដំណោះស្រាយនៃសមីការ។ វិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិកគឺត្រឹមត្រូវតិចបំផុត ប៉ុន្តែអនុញ្ញាតឱ្យនៅក្នុងសមីការស្មុគស្មាញដើម្បីកំណត់តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលបំផុត ដែលនៅពេលអនាគតអ្នកអាចចាប់ផ្តើមស្វែងរកដំណោះស្រាយត្រឹមត្រូវបន្ថែមទៀតចំពោះសមីការ។ ដំណោះស្រាយជាលេខនៃសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរពាក់ព័ន្ធនឹងការឆ្លងកាត់ពីរដំណាក់កាល៖ ការបំបែកឫស និងការចម្រាញ់របស់វាទៅនឹងភាពត្រឹមត្រូវជាក់លាក់ជាក់លាក់មួយ។
ការបំបែកឫសត្រូវបានអនុវត្តតាមវិធីផ្សេងៗគ្នា៖ ក្រាហ្វិក ការប្រើប្រាស់កម្មវិធីកុំព្យូទ័រឯកទេសផ្សេងៗ។ល។

ចូរយើងពិចារណាវិធីសាស្រ្តជាច្រើនសម្រាប់ការចម្រាញ់ឫសជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវជាក់លាក់មួយ។

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដំណោះស្រាយជាលេខនៃសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរ

វិធីសាស្រ្តនៃការបែងចែកពាក់កណ្តាល។

ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្របែងចែកពាក់កណ្តាលគឺត្រូវបែងចែកចន្លោះពេលពាក់កណ្តាល (с=(a+b)/2) ហើយបោះបង់ផ្នែកនៃចន្លោះពេលដែលគ្មានឫស ពោលគឺឧ។ លក្ខខណ្ឌ F(a)xF(b)

រូប ១. ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបែងចែកពាក់កណ្តាលក្នុងការដោះស្រាយសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ។

ចូរបែងចែកផ្នែកជា 2 ផ្នែក៖ (a-b)/2 = (-1+0)/2=-0.5 ។
ប្រសិនបើផលិតផល F(a)*F(x)>0 នោះការចាប់ផ្តើមនៃផ្នែក a ត្រូវបានផ្ទេរទៅ x (a=x) បើមិនដូច្នេះទេ ចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក b ត្រូវបានផ្ទេរទៅចំនុច x (b=x)។ ) យើងបែងចែកផ្នែកលទ្ធផលជាពាក់កណ្តាលម្តងទៀត។ល។ ការគណនាទាំងអស់ត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងតារាងខាងក្រោម។

រូប ២. តារាងលទ្ធផលគណនា

ជាលទ្ធផលនៃការគណនាយើងទទួលបានតម្លៃដោយគិតគូរពីភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការ ស្មើនឹង x=-0.946 ។

វិធីសាស្រ្តអង្កត់ធ្នូ។

នៅពេលប្រើវិធីសាស្ត្រអង្កត់ធ្នូ ចម្រៀកមួយត្រូវបានបញ្ជាក់ ដែលក្នុងនោះមានឫសតែមួយជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានបញ្ជាក់ e. បន្ទាត់ (អង្កត់ធ្នូ) ត្រូវបានគូរតាមចំនុចក្នុងផ្នែក a និង b ដែលមានកូអរដោណេ (x(F(a); y(F(b))))) បន្ទាប់មកចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់នេះជាមួយនឹងអ័ក្ស abscissa (ចំណុច z) ត្រូវបានកំណត់។
ប្រសិនបើ F(a)xF(z)

រូប ៣. ការប្រើប្រាស់វិធីសាស្រ្តនៃអង្កត់ធ្នូក្នុងការដោះស្រាយសមីការ nonlinear ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ។វាចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការ x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5 = 0 ក្នុង e

ជាទូទៅសមីការមើលទៅដូចនេះ៖ F(x)= x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5

ស្វែងរកតម្លៃ F(x) នៅខាងចុងនៃផ្នែក៖

F(-1) = - 0.2>0;

ចូរកំណត់ដេរីវេទី 2 F''(x) = 6x-0.4 ។

F''(-1)=-6.4
F''(0)=-0.4

នៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក លក្ខខណ្ឌ F(-1)F''(-1)>0 ត្រូវបានអង្កេត ដូច្នេះដើម្បីកំណត់ឫសនៃសមីការ យើងប្រើរូបមន្ត៖

ការគណនាទាំងអស់ត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងតារាងខាងក្រោម។

រូប ៤. តារាងលទ្ធផលគណនា

ជាលទ្ធផលនៃការគណនាយើងទទួលបានតម្លៃដោយគិតគូរពីភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការ ស្មើនឹង x=-0.946 ។

វិធីសាស្ត្រតង់សង់ (ញូតុន)

វិធីសាស្រ្តនេះគឺផ្អែកលើការស្ថាបនាតង់សង់ទៅក្រាហ្វ ដែលត្រូវបានគូរនៅចុងម្ខាងនៃចន្លោះពេល។ នៅចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស X (z1) តង់សង់ថ្មីត្រូវបានសាងសង់។ នីតិវិធីនេះបន្តរហូតដល់តម្លៃដែលទទួលបានគឺអាចប្រៀបធៀបជាមួយនឹងប៉ារ៉ាម៉ែត្រភាពត្រឹមត្រូវដែលចង់បាន e (F(zi))

រូប ៥. ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រតង់ហ្សង់ (ញូតុន) ក្នុងការដោះស្រាយសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ។វាចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការ x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5 = 0 ក្នុង e

ជាទូទៅសមីការមើលទៅដូចនេះ៖ F(x)= x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5

ចូរកំណត់និស្សន្ទវត្ថុទីមួយ និងទីពីរ៖ F'(x)=3x^2-0.4x+0.5, F''(x)=6x-0.4;

F''(-1)=-6-0.4=-6.4
F''(0)=-0.4
លក្ខខណ្ឌ F(-1)F''(-1)>0 ត្រូវបានបំពេញ ដូច្នេះការគណនាត្រូវបានធ្វើឡើងតាមរូបមន្ត៖

ដែល x0=b, F(a)=F(-1)=-0.2

ការគណនាទាំងអស់ត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងតារាងខាងក្រោម។

រូប ៦. តារាងលទ្ធផលគណនា

ជាលទ្ធផលនៃការគណនាយើងទទួលបានតម្លៃដោយគិតគូរពីភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការ ស្មើនឹង x=-0.946 ។

ពិចារណាពីបញ្ហានៃការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរ

ឫសគល់នៃសមីការ (1) គឺជាតម្លៃនៃ x ដែលនៅពេលជំនួស បង្វែរវាទៅជាអត្តសញ្ញាណ។ មានតែសម្រាប់សមីការសាមញ្ញបំផុតដែលវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់នៃរូបមន្ត, i.e. ទម្រង់​វិភាគ។ ជារឿយៗវាចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការដោយវិធីសាស្រ្តប្រហាក់ប្រហែល ការរីករាលដាលបំផុតក្នុងចំណោមនោះ ទាក់ទងនឹងការមកដល់នៃកុំព្យូទ័រគឺជាវិធីសាស្ត្រលេខ។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកឫសដោយវិធីសាស្រ្តប្រហាក់ប្រហែលអាចបែងចែកជាពីរដំណាក់កាល។ នៅដំណាក់កាលដំបូងទីតាំងនៃឫសត្រូវបានសិក្សាហើយការបំបែករបស់ពួកគេត្រូវបានអនុវត្ត។ មាន​ផ្ទៃ​ដែល​មាន​ឫស​នៃ​សមីការ​ឬ​ការ​ប្រហាក់ប្រហែល​ដំបូង​ទៅ​នឹង​ឫស x 0 ។ វិធីសាមញ្ញបំផុតដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះគឺសិក្សាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f(x)។ ក្នុងករណីទូទៅដើម្បីដោះស្រាយវាចាំបាច់ដើម្បីរួមបញ្ចូលគ្រប់មធ្យោបាយនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។

អត្ថិភាព​នៅ​លើ​ចន្លោះ​ពេល​ដែល​បាន​រក​ឃើញ​នៃ​យ៉ាង​ហោច​ណាស់​ឫស​មួយ​នៃ​សមីការ (1) តាម​ពី​លក្ខខណ្ឌ Bolzano៖

f(a)*f(b)<0 (2)

វាក៏ត្រូវបានគេសន្មត់ថាអនុគមន៍ f(x) គឺបន្តនៅលើចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ លក្ខខណ្ឌនេះមិនឆ្លើយសំណួរអំពីចំនួនឫសនៃសមីការនៅលើចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះទេ។ ប្រសិនបើតម្រូវការនៃការបន្តនៃមុខងារត្រូវបានបំពេញបន្ថែមជាមួយនឹងតម្រូវការនៃ monotonicity របស់វា ហើយនេះធ្វើតាមពីសញ្ញា-ថេរនៃដេរីវេទី 1 នោះយើងអាចអះអាងពីអត្ថិភាពនៃឫសតែមួយគត់នៅលើផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

នៅពេលធ្វើមូលដ្ឋានីយកម្មឫស វាក៏សំខាន់ផងដែរដើម្បីដឹងពីលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃសមីការប្រភេទនេះ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមរំលឹកឡើងវិញនូវលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃសមីការពិជគណិត៖

តើមេគុណពិតនៅឯណា។

• ក) សមីការនៃដឺក្រេ n មានឫស n ដែលក្នុងនោះអាចមានទាំងពិត និងស្មុគស្មាញ។ ឫសស្មុគ្រស្មាញបង្កើតជាគូផ្សំស្មុគ្រស្មាញ ហើយដូច្នេះសមីការមានចំនួនគូនៃឫសបែបនេះ។ សម្រាប់តម្លៃសេសនៃ n យ៉ាងហោចណាស់មានឫសពិតមួយ។
• ខ) ចំនួនឫសពិតវិជ្ជមានគឺតិចជាង ឬស្មើនឹងចំនួនសញ្ញាអថេរក្នុងលំដាប់នៃមេគុណ។ ការជំនួស x ជាមួយ -x ក្នុងសមីការ (3) អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកប៉ាន់ស្មានចំនួនឫសអវិជ្ជមានតាមរបៀបដូចគ្នា។ ញូតុន dichotomy មិនមែនលីនេអ៊ែរ

នៅដំណាក់កាលទីពីរនៃការដោះស្រាយសមីការ (1) ដោយប្រើការប៉ាន់ប្រមាណដំបូងដែលទទួលបាន ដំណើរការដដែលៗត្រូវបានសាងសង់ ដែលធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីកែលម្អតម្លៃនៃឫសជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានកំណត់ទុកជាមុនមួយចំនួន។ ដំណើរការម្តងហើយម្តងទៀតមាននៅក្នុងការចម្រាញ់ជាបន្តបន្ទាប់នៃការប៉ាន់ស្មានដំបូង។ ជំហានបែបនេះនីមួយៗត្រូវបានគេហៅថា ការធ្វើម្តងទៀត។ ជាលទ្ធផលនៃដំណើរការបង្កើតឡើងវិញ លំដាប់នៃតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសនៃសមីការត្រូវបានរកឃើញ។ ប្រសិនបើលំដាប់នេះខិតទៅជិតតម្លៃពិតនៃ root x នៅពេល n លូតលាស់ នោះដំណើរការដដែលៗនឹងបញ្ចូលគ្នា។ ដំណើរការដដែលៗត្រូវបានគេនិយាយថានឹងបង្រួបបង្រួមយ៉ាងហោចណាស់លំដាប់ m ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានពេញចិត្ត៖

ដែល С> 0 គឺថេរខ្លះ។ ប្រសិនបើ m = 1 នោះគេនិយាយអំពីការបញ្ចូលគ្នានៃលំដាប់ទីមួយ។ m = 2 - អំពី quadratic, m = 3 - អំពី convergence គូប។

វដ្តម្តងហើយម្តងទៀតនឹងបញ្ចប់ ប្រសិនបើសម្រាប់កំហុសដែលអាចអនុញ្ញាតបាន លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់គម្លាតដាច់ខាត ឬទាក់ទងត្រូវបានបំពេញ៖

ឬទំហំតូចនៃសំណល់៖

ការងារនេះត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ការសិក្សាអំពីក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្ររបស់ញូតុន។

នាយកដ្ឋាន៖ ASOIiU

ការងារមន្ទីរពិសោធន៍

លើប្រធានបទ៖ ការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការក្រៅបណ្តាញ។ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការក្រៅបណ្តាញ

ទីក្រុងមូស្គូ ឆ្នាំ២០០៨

ការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការក្រៅបណ្តាញ

1. សេចក្តីថ្លែងការណ៍អំពីបញ្ហា

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍មួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដែលបន្តរួមជាមួយនឹងនិស្សន្ទវត្ថុមួយចំនួនរបស់វា។ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកឫសពិតទាំងអស់ ឬមួយចំនួននៃសមីការ

ភារកិច្ចនេះត្រូវបានបែងចែកទៅជាកិច្ចការរងជាច្រើន។ ជាដំបូង ចាំបាច់ត្រូវកំណត់ចំនួនឫស ដើម្បីស៊ើបអង្កេតពីធម្មជាតិ និងទីតាំងរបស់វា។ ទីពីរស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫស។ ទីបី ជ្រើសរើសឫសនៃការចាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើងពីពួកគេ ហើយគណនាពួកវាជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការ e. កិច្ចការទីមួយ និងទីពីរត្រូវបានដោះស្រាយ ជាក្បួនដោយវិធីសាស្ត្រវិភាគ ឬក្រាហ្វិក។ ក្នុងករណីដែលមានតែឫសពិតនៃសមីការ (1) ត្រូវបានស្វែងរក វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការចងក្រងតារាងតម្លៃមុខងារ។ ប្រសិនបើមុខងារមានសញ្ញាផ្សេងគ្នានៅក្នុងថ្នាំងជិតខាងពីរនៃតារាង នោះរវាងថ្នាំងទាំងនេះមានចំនួនសេសនៃឫសនៃសមីការ (យ៉ាងហោចណាស់មួយ)។ ប្រសិនបើថ្នាំងទាំងនេះនៅជិត នោះទំនងជាមានឫសតែមួយរវាងពួកវា។

តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលដែលបានរកឃើញនៃឫសអាចត្រូវបានកែលម្អដោយប្រើវិធីសាស្រ្តដដែលៗជាច្រើន។ ចូរយើងពិចារណាវិធីសាស្រ្តបី: 1) វិធីសាស្រ្តនៃ dichotomy (ឬការបែងចែកផ្នែកជាពាក់កណ្តាល); 2) វិធីសាស្រ្តធ្វើឡើងវិញសាមញ្ញ និង 3) វិធីសាស្ត្ររបស់ញូតុន។

2. វិធីសាស្រ្តក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា

2.1 វិធីសាស្រ្តនៃការបែងចែកផ្នែកជាពាក់កណ្តាល

វិធីសាស្រ្តសាមញ្ញបំផុតសម្រាប់ការស្វែងរកឫសនៃសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរ (1) គឺជាវិធីសាស្ត្របែងចែកពាក់កណ្តាល។

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍បន្តត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើផ្នែក។ ប្រសិនបើតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចុងផ្នែកមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា ឧ។ បន្ទាប់មកនេះមានន័យថានៅខាងក្នុងផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យមានចំនួនសេសនៃឫស។ អនុញ្ញាតឱ្យមានឫសគល់តែមួយ។ ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តគឺកាត់ពាក់កណ្តាលប្រវែងនៃផ្នែកនៅពេលធ្វើម្តងទៀតនីមួយៗ។ យើងរកឃើញផ្នែកកណ្តាលនៃផ្នែក (សូមមើលរូបភាពទី 1) គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ ហើយជ្រើសរើសផ្នែកដែលមុខងារផ្លាស់ប្តូរសញ្ញារបស់វា។ ចែកផ្នែកថ្មីជាពាក់កណ្តាលម្តងទៀត។ ហើយយើងបន្តដំណើរការនេះរហូតដល់ប្រវែងនៃចម្រៀកគឺស្មើនឹងកំហុសដែលបានកំណត់ទុកជាមុនក្នុងការគណនាឫស e ។ ការសាងសង់នៃការប៉ាន់ស្មានជាបន្តបន្ទាប់ជាច្រើនតាមរូបមន្ត (3) ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 1 ។

ដូច្នេះក្បួនដោះស្រាយនៃវិធីសាស្រ្ត dichotomy:

1. កំណត់ចម្ងាយ និងកំហុស e.

2. ប្រសិនបើ f(a) និង f(b) មានសញ្ញាដូចគ្នា សូមចេញសារអំពីភាពមិនអាចទៅរួចនៃការស្វែងរកឬស ហើយបញ្ឈប់។

រូប ១. វិធីសាស្រ្តនៃការបែងចែកផ្នែកជាពាក់កណ្តាលសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការនៃទម្រង់ f(x)=0 ។

3. បើមិនដូច្នេះទេគណនា c=(a+b)/2

4. ប្រសិនបើ f(a) និង f(c) មានសញ្ញាផ្សេងគ្នា ដាក់ b=c បើមិនដូច្នេះទេ a=c ។

5. ប្រសិនបើប្រវែងនៃផ្នែកថ្មីគឺ បន្ទាប់មកគណនាតម្លៃនៃ root c=(a+b)/2 ហើយឈប់ បើមិនដូច្នេះទេ សូមចូលទៅកាន់ជំហានទី 3។

ដោយសារប្រវែងនៃផ្នែកត្រូវបានកាត់បន្ថយ 2 N ដងក្នុងជំហាន N កំហុសដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងការស្វែងរកឫស e នឹងត្រូវបានឈានដល់ក្នុងការធ្វើម្តងទៀត។

ដូចដែលអាចមើលឃើញ អត្រានៃការបង្រួបបង្រួមមានកម្រិតទាប ប៉ុន្តែគុណសម្បត្តិនៃវិធីសាស្ត្ររួមមានភាពសាមញ្ញ និងការបង្រួបបង្រួមដោយគ្មានលក្ខខណ្ឌនៃដំណើរការដដែលៗ។ ប្រសិនបើផ្នែកមានឫសច្រើនជាងមួយ (ប៉ុន្តែមានលេខសេស) នោះវានឹងត្រូវបានរកឃើញជានិច្ច។

មតិយោបល់។ ដើម្បីកំណត់ចន្លោះពេលដែលឫសស្ថិតនៅ ការវិភាគបន្ថែមនៃមុខងារគឺត្រូវបានទាមទារ ដោយផ្អែកលើការប៉ាន់ប្រមាណវិភាគ ឬការប្រើប្រាស់វិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយក្រាហ្វិក។ វាក៏អាចធ្វើទៅបានដើម្បីរៀបចំការស្វែងរកតម្លៃមុខងារនៅចំណុចផ្សេងៗគ្នារហូតដល់លក្ខខណ្ឌផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាមុខងារត្រូវបានបំពេញ។

2.2 វិធីសាស្រ្ដសាមញ្ញ

នៅពេលប្រើវិធីនេះ សមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរដើម (1) ត្រូវតែសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់

ចូរកំណត់ឫសគល់នៃសមីការនេះជា C* ។ អនុញ្ញាតឱ្យការប៉ាន់ស្មានដំបូងនៃឫសត្រូវបានដឹង។ ការជំនួសតម្លៃនេះទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ (2) យើងទទួលបានតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលថ្មី។

ល។ សម្រាប់ជំហាន (n+1) យើងទទួលបានចំនួនប្រហាក់ប្រហែលខាងក្រោម

(3)

ដូច្នេះយោងទៅតាមរូបមន្ត (3) យើងទទួលបានលំដាប់ С 0 , С 1 ,… , С n +1 ដែលមាននិន្នាការទៅឫស С * នៅ n®¥ ។ ដំណើរការដដែលៗឈប់ ប្រសិនបើលទ្ធផលនៃការធ្វើម្តងទៀតពីរជាប់គ្នា ពោលគឺលក្ខខណ្ឌ

(4)

ចូរយើងសិក្សាពីលក្ខខណ្ឌ និងអត្រានៃការបញ្ចូលគ្នានៃលំដាប់លេខ (C n) សម្រាប់n®¥។ រំលឹកនិយមន័យនៃអត្រានៃការបញ្ចូលគ្នា។ លំដាប់មួយ (C n ) បម្លែងទៅដែនកំណត់ С * មានអត្រានៃការបញ្ចូលគ្នានៃលំដាប់ a ប្រសិនបើ សម្រាប់ n®¥ លក្ខខណ្ឌ

ចូរ​យើង​សន្មត់​ថា​វា​មាន​និស្សន្ទវត្ថុ​បន្តបន្ទាប់​មក​កំហុស​នៅ​ជំហាន​ទី (n+1)-th iteration e n +1 =C n +1 -C * =g(C n)-g(C*) អាច​ត្រូវ​បាន​តំណាង ជាស៊េរី

e n+1 » C n+1 – C * = g¢(C *) (C n -C *) +¼@ g¢(C *) e n +¼

ដូច្នេះ យើងទទួលបានវានៅក្រោមលក្ខខណ្ឌ

çg¢(C*) ç<1(6)

លំដាប់ (3) នឹង​ទៅ​ជា root ដោយ​មាន​ល្បឿន​លីនេអ៊ែរ a=1។ លក្ខខណ្ឌ (៦) គឺជាលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការបង្រួបបង្រួមនៃវិធីសាស្រ្ដសាមញ្ញ។ ជាក់ស្តែង ភាពជោគជ័យនៃវិធីសាស្ត្រគឺអាស្រ័យទៅលើថាតើមុខងារនោះត្រូវបានជ្រើសរើសបានល្អប៉ុណ្ណា។

ឧទាហរណ៍ ដើម្បីស្រង់ឫសការេ ឧ. ដោះស្រាយសមីការនៃទម្រង់ x \u003d a 2 អ្នកអាចដាក់

x \u003d g 1 (x) \u003d a / x (7a)

x=g 2 (x)=(x+a/x)/2.(7b)

វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញវា។

½g 1" (C) ½=1,

½ក្រាម 2" (C) ½<1.

ដូច្នេះ ដំណើរការទីមួយ (7a) មិនបញ្ចូលគ្នាទាល់តែសោះ ខណៈពេលដែលទីពីរ (7b) បញ្ចូលគ្នាសម្រាប់ការប្រហាក់ប្រហែលដំបូងណាមួយ C 0>0។

អង្ករ។ 2. ការបកស្រាយក្រាហ្វិចនៃវិធីសាស្រ្តនៃការធ្វើម្តងទៀតសាមញ្ញសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការនៃទម្រង់ x=g(x)។

ការ​សាង​សង់​ប្រមាណ​ជា​បន្ត​បន្ទាប់​គ្នា​ជា​ច្រើន​តាម​រូបមន្ត (3)

С 0 , С 1 , … , С n = C *

បង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 2 ។

2.3 វិធីសាស្រ្តរបស់ញូតុន

នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍ វិធីសាស្ត្រនេះច្រើនតែហៅថា វិធីសាស្ត្រតង់សង់ ក៏ដូចជាវិធីសាស្ត្រលីនេអ៊ែរ។ យើងជ្រើសរើសការប៉ាន់ស្មានដំបូង С 0 ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្មត់ថាគម្លាត С 0 ពីតម្លៃពិតនៃឫស С * គឺតូចបន្ទាប់មកពង្រីក f (C *) ទៅជាស៊េរី Taylor នៅចំណុច С 0 យើងទទួលបាន

f(C *) = f(C 0) + f¢(C 0) (C * -C 0) +¼(8)

ប្រសិនបើ f¢(C 0) ¹ 0 នោះនៅក្នុង (8) យើងអាចដាក់កម្រិតខ្លួនយើងទៅនឹងលក្ខខណ្ឌលីនេអ៊ែរក្នុង DC = C-C 0 ។ ដោយពិចារណាថា f (C *) = 0 ពី (9) យើងអាចរកឃើញការប្រហាក់ប្រហែលខាងក្រោមសម្រាប់ឫស

C 1 \u003d C 0 - f (C 0) / f¢ (C 0)

ឬសម្រាប់ការប៉ាន់ស្មាន (n+1)th

C n+1 = C n – f (C n) / f ¢ (C n) (9)

ដើម្បីបញ្ចប់ដំណើរការដដែលៗ លក្ខខណ្ឌមួយក្នុងចំណោមលក្ខខណ្ឌពីរអាចត្រូវបានប្រើ

çC n +1 – C n ç

çf(C n +1) ç

ការសិក្សាអំពីការបង្រួបបង្រួមនៃវិធីសាស្រ្តរបស់ញូតុនត្រូវបានអនុវត្តស្រដៀងគ្នាទៅនឹងករណីមុន។ ទទួលបានដោយឯករាជ្យនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌ

½f""(C)/2f"(C)½<1.

វិធីសាស្ត្ររបស់ញូតុនមានអត្រាបំប្លែងរាងបួនជ្រុង ()។

អង្ករ។ 3. ការបកស្រាយក្រាហ្វិកនៃវិធីសាស្ត្ររបស់ញូតុនសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការនៃទម្រង់ f(x)=0 ។

ការ​សាង​សង់​ប្រមាណ​ជា​បន្ត​បន្ទាប់​គ្នា​ជា​ច្រើន​តាម​រូបមន្ត (9)

С 0 , С 1 , … , С n = C *

បង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 3 ។

1. សម្រាប់អនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ f(x)

កំណត់ចំនួនឫសពិតនៃសមីការ f(x)=0 ទីតាំង និងតម្លៃប្រហាក់ប្រហែល (បង្កើតក្រាហ្វ ឬបោះពុម្ពតារាងតម្លៃ)។

· គណនាឫសដែលរកឃើញ (ណាមួយ) ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃ e=0.5*10 -3 ។

សម្រាប់ការគណនា ប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបែងចែកផ្នែកជាពាក់កណ្តាល (កំណត់ចំនួននៃការធ្វើម្តងទៀត) ហើយបន្ទាប់មកស្វែងរកឫសដូចគ្នាដោយប្រើវិធីសាស្ត្ររបស់ញូតុន (ក៏កំណត់ចំនួននៃជំហានធ្វើម្តងទៀតផងដែរ)។

ប្រៀបធៀបលទ្ធផលរបស់អ្នក។

ជម្រើសភារកិច្ច

1.x3–3x 2 +6x–5 = 0 2.x3 +sinx –12x–1=0

3. x 3 – 3x 2 – 14x – 8 = 0 4. 3x + cos x + 1 = 0

5. x 2 +4sin x −1 = 0 6. 4x −ln x = 5

7. x 6 –3x 2 +x – 1 = 0 8. x 3 – 0.1x 2 +0.3x –0.6 = 0

9.10. (x −1) 3 + 0.5e x = 0

11.12.x5 −3x2 + 1 = 0

13. x 3 −4x 2 −10x −10 = 0 14 .

15. 16.

19. 20.

23. 24. x 4 − 2.9x 3 +0.1x 2 + 5.8x − 4.2=0

25.x4 +2.83x3 − 4.5x2 −64x−20=0 26.

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការក្រៅបណ្តាញ

1. ការបង្កើតបញ្ហា

អនុញ្ញាតឱ្យវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការ nonlinear:

(1)

មិនមានវិធីសាស្រ្តផ្ទាល់សម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធ (1) ។ មានតែក្នុងករណីខ្លះប្រព័ន្ធនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយផ្ទាល់។ ឧទាហរណ៍ ចំពោះករណីនៃសមីការពីរ ពេលខ្លះវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបង្ហាញអថេរមិនស្គាល់មួយនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមួយផ្សេងទៀត ហើយដូច្នេះកាត់បន្ថយបញ្ហាដើម្បីដោះស្រាយសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរដោយគោរពទៅនឹងមិនស្គាល់មួយ។

ប្រព័ន្ធសមីការ (១) អាចត្រូវបានសរសេរដោយសង្ខេបជាទម្រង់វ៉ិចទ័រ៖

. (2)

សមីការ (2) អាចមានឫសមួយឬច្រើននៅក្នុងដែន D. វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីបង្កើតអត្ថិភាពនៃឫសនៃសមីការ និងស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃឫសទាំងនេះ។ ដើម្បីស្វែងរកឫស វិធីសាស្ត្រដដែលៗជាធម្មតាត្រូវបានប្រើ ដែលជម្រើសនៃការប៉ាន់ស្មានដំបូងមានសារៈសំខាន់ជាមូលដ្ឋាន។ ការប៉ាន់ស្មានដំបូង ជួនកាលត្រូវបានគេស្គាល់ពីការពិចារណាលើរូបរាងកាយ។ ក្នុងករណីដែលមិនស្គាល់ចំនួនពីរ ការប៉ាន់ស្មានដំបូងអាចត្រូវបានរកឃើញជាក្រាហ្វិក៖ គ្រោងខ្សែកោង f 1 (x 1 , x 2) = 0 និង f 2 (x 1 , x 2) = 0 នៅលើយន្តហោះ ( x 1 , x 2 ។ ) ហើយស្វែងរកចំណុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ។ សម្រាប់អថេរបី ឬច្រើន (ក៏ដូចជាសម្រាប់ឫសស្មុគ្រស្មាញ) មិនមានវិធីដែលពេញចិត្តក្នុងការជ្រើសរើសការប៉ាន់ស្មានដំបូងឡើយ។

ចូរយើងពិចារណាវិធីសាស្រ្តធ្វើផ្ទួនសំខាន់ៗចំនួនពីរសម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ (1), (2) - វិធីសាស្ត្រធ្វើឡើងវិញសាមញ្ញ និងវិធីសាស្ត្ររបស់ញូតុន។

2. វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរ

2.1 វិធីសាស្រ្ដសាមញ្ញ

ចូរយើងតំណាងឱ្យប្រព័ន្ធ (1) ក្នុងទម្រង់

(3)

ឬក្នុងទម្រង់វ៉ិចទ័រ៖

(4)

ក្បួនដោះស្រាយនៃវិធីសាស្រ្តធ្វើម្តងទៀតសាមញ្ញមានដូចខាងក្រោម។ យើងជ្រើសរើសការប៉ាន់ស្មានសូន្យមួយចំនួន

ការប៉ាន់ស្មានបន្ទាប់ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

ឬព័ត៌មានលម្អិតបន្ថែម៖

(5)

ដំណើរការដដែលៗ (5) បន្តរហូតដល់ការផ្លាស់ប្តូរនៃមិនស្គាល់ទាំងអស់នៅក្នុងការបន្តបន្ទាប់គ្នាពីរក្លាយជាតូច ពោលគឺឧ។

នៅក្នុងការអនុវត្ត វិសមភាពត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ជំនួសឱ្យលក្ខខណ្ឌចុងក្រោយ៖

(6)

ឯណាជាបទដ្ឋាន rms នៃវ៉ិចទ័រ n-dimensional , i.e.

នៅពេលប្រើវិធីសាស្រ្តនេះ ភាពជោគជ័យត្រូវបានកំណត់យ៉ាងទូលំទូលាយដោយជម្រើសដ៏ល្អនៃការប៉ាន់ស្មានដំបូង: វាគួរតែមានភាពជិតស្និទ្ធគ្រប់គ្រាន់ទៅនឹងដំណោះស្រាយពិត។ បើមិនដូច្នេះទេ ដំណើរការដដែលៗប្រហែលជាមិនបញ្ចូលគ្នាទេ។ ប្រសិនបើដំណើរការបង្រួបបង្រួម នោះអត្រានៃការបញ្ចូលគ្នារបស់វាគឺលីនេអ៊ែរ។

២.២. វិធីសាស្រ្តរបស់ញូតុន

នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍ដែលបានបកប្រែ អ្នកអាចរកឃើញឈ្មោះ វិធីសាស្ត្រ ញូតុន-រ៉ាហ្វសុន។ វិធីសាស្រ្តនេះបង្រួបបង្រួមលឿនជាងវិធីសាស្ត្រធម្មតា

សូម​ឱ្យ​ការ​ប្រហាក់​ប្រហែល​ខ្លះ​ដល់​ឫស​ត្រូវ​បាន​គេ​ដឹង​ដូច្នេះ

បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធដើម (2) អាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:

ការពង្រីកសមីការ (7) នៅក្នុងស៊េរី Taylor នៅតំបន់ជុំវិញចំណុច ហើយដាក់កម្រិតខ្លួនយើងទៅនឹងពាក្យលីនេអ៊ែរក្នុងគម្លាត យើងទទួលបាន៖

ឬក្នុងទម្រង់សម្របសម្រួល៖

(8)

ប្រព័ន្ធ (8) អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចជា:

(9)

ប្រព័ន្ធលទ្ធផល (9) គឺជាប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរទាក់ទងនឹងការបង្កើន

តម្លៃនៃអនុគមន៍ F 1 , F 2 , … , F n និងដេរីវេនៃពួកវាក្នុង (9) ត្រូវបានគណនានៅ

.

កត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធ (9) គឺ Jacobian J:

(10)

សម្រាប់អត្ថិភាពនៃដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ (9) វាត្រូវតែខុសពីសូន្យ។ ដោយបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធ (9) ឧទាហរណ៍ដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss យើងរកឃើញការប៉ាន់ស្មានថ្មី៖

.

យើងពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌ (6) ។ ប្រសិនបើវាមិនពេញចិត្ត យើងក៏រកឃើញ Jacobian (10) ជាមួយនឹងការប្រហាក់ប្រហែលថ្មី ហើយម្តងទៀតដោះស្រាយ (9) ដូច្នេះយើងរកឃើញការប៉ាន់ប្រមាណទី 2 ហើយដូច្នេះនៅលើ។

ការធ្វើម្តងទៀតបញ្ឈប់ភ្លាមៗនៅពេលដែលលក្ខខណ្ឌ (6) ពេញចិត្ត។

ដោយប្រើវិធីសាស្ត្ររបស់ញូតុន ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការមិនមែនលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ពិនិត្យមើលការបញ្ចូលគ្នានៃដំណើរការដដែលៗ។

ជម្រើសភារកិច្ច

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

13 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.