ដោយអនុលោមតាមនិយមន័យនៃការបែងចែកចំនួនពិត និយមន័យខាងក្រោមត្រូវបានបង្កើតឡើង។

និយមន័យ។ ដើម្បីចែកចំនួនកុំផ្លិច a + bi ដោយចំនួនកុំផ្លិច a "+b" i មានន័យថារកលេខបែបនេះ x + yi ដែលនៅពេលគុណនឹងចែកនឹងផ្តល់ភាគលាភ។

យើងទទួលបានច្បាប់បែងចែកជាក់លាក់មួយដោយការសរសេរកូតាជាប្រភាគ ហើយគុណភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគនេះដោយលេខដែលភ្ជាប់ទៅភាគបែង៖ (a + bi): (c + di)=

ឧទាហរណ៍ 1. រកកូតា (7 - 4i): (3 + 2i) ។

ដោយបានសរសេរប្រភាគ (7 - 4i) / (3 + 2i) យើងពង្រីកវាដោយលេខ 3 - 2i ភ្ជាប់ទៅ 3 + 2i ។ យើង​ទទួល​បាន:

((7 − 4i)(3 − 2i))/((3 + 2i)(3 − 2i)) = (13 − 26i)/13 = 1 − 2i ។

ឧទាហរណ៍ទី 1 នៃកថាខណ្ឌមុនផ្តល់ការត្រួតពិនិត្យ។

ឧទាហរណ៍ 2. (−2 +5i)/(-3 -4i) = ((-2 + 5i)(-3 - 4i))/((-3 - 4i)(-3 + 4i)) = (-14 -23i)/25 = -0.56 - 0.92i ។

ដើម្បីបញ្ជាក់ថាផ្នែកខាងស្តាំគឺពិតជាកូតាមែន វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការគុណវាដោយ "+ b" ។ យើងទទួលបាន a + bi ។

ការដោះស្រាយសមីការជាមួយអថេរស្មុគស្មាញ

អថេរបន្ថែមចំនួនកុំផ្លិច

ដំបូងពិចារណាសមីការការ៉េសាមញ្ញបំផុត z2 = a ដែល a ជាលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ z គឺជាលេខមិនស្គាល់។ នៅលើសំណុំនៃចំនួនពិត សមីការនេះគឺ៖

• 1) មានឫសមួយ z = 0 ប្រសិនបើ a = 0;
• 2) មានឫសពិតពីរ z1,2 = ប្រសិនបើ a> 0;
• ៣) គ្មានឫសគល់ពិតប្រាកដ ប្រសិនបើ ក

នៅលើសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិច សមីការនេះតែងតែមានឫសគល់។

កិច្ចការ 1. ស្វែងរកឫសស្មុគស្មាញនៃសមីការ z2 = a ប្រសិនបើ៖

• 1) a = -1; 2) a = -25; 3) a = −3 ។
• 1) z2 = −1 ។ ចាប់តាំងពី i2 = -1 សមីការនេះអាចសរសេរជា z2 = i2 ឬ z2 − i2 = 0។ ដូច្នេះហើយ កត្តាខាងឆ្វេង យើងទទួលបាន (z-i)(z+i) = 0, z1 = i, z2 = - ខ្ញុំ​ឆ្លើយ។ z1,2 = ខ្ញុំ។
• 2) z2 = −25 ។ ដោយសារ i2 = -1 យើងបំប្លែងសមីការនេះ៖

z2 = i2 52, z2 − 52 i2= 0, (z-5i)(z+5i) = 0, whence z1 = 5i, z2 = −5i ។ចម្លើយ៖

3) z2 = -3, z2 = i2()2, z2 - ()2i2 = 0, (z - i)(z + i) = 0

ចម្លើយ៖ z1,2 = i ។

ជាទូទៅសមីការ z2 = a ដែល a< 0 имеет два комплексных корня: Z1,2= i.

ដោយប្រើសមភាព i2 \u003d -1 វាជាទម្លាប់ក្នុងការសរសេរឫសការ៉េនៃលេខអវិជ្ជមានដូចខាងក្រោម៖ \u003d i, \u003d 2i, \u003d i ។

ដូច្នេះវាត្រូវបានកំណត់សម្រាប់ចំនួនពិតណាមួយ (វិជ្ជមាន អវិជ្ជមាន និងសូន្យ)។ ដូច្នេះសមីការការ៉េណាមួយ az2 + bz + c = 0 ដែល a, b, c គឺជាចំនួនពិត ហើយ 0 មានឫស។ ឫសទាំងនេះត្រូវបានរកឃើញតាមរូបមន្តល្បី៖

កិច្ចការទី 2. ដោះស្រាយសមីការ z2-4z+13=0 ។ យោងតាមរូបមន្តដែលយើងរកឃើញ: z1,2 = = = 2 3i ។

ចំណាំថាឫសគល់ដែលរកឃើញក្នុងបញ្ហានេះគឺភ្ជាប់គ្នា៖ z1=2+3i និង z2=2-3i ។ ចូរយើងស្វែងរកផលបូក និងផលនៃឫសទាំងនេះ៖ z1+z2=(2+3i)+(2-3i)=4, z1z2=(2+3i)(2-3i)=13។

លេខ 4 គឺជាមេគុណទី 2 នៃសមីការ z2-4z+13=0 ដែលយកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយលេខ 13 គឺជាពាក្យសេរី ពោលគឺក្នុងករណីនេះ ទ្រឹស្តីបទ Vieta មានសុពលភាព។ វាមានសុពលភាពសម្រាប់សមីការការ៉េណាមួយ៖ ប្រសិនបើ z1 និង z2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ az2+bz+c = 0, z1+z2 = , z1z2 = ។

កិច្ចការទី 3. បង្កើតសមីការបួនជ្រុងដែលកាត់បន្ថយជាមួយនឹងមេគុណពិតដែលមានឫស z1=-1-2i ។

ឫសទីពីរ z2 នៃសមីការគឺជាការភ្ជាប់នៃឫស z1 ដែលបានផ្តល់ឱ្យ នោះគឺ z2=-1+2i ។ តាមទ្រឹស្តីបទ Vieta យើងរកឃើញ

P=-(z1+z2)=2, q=z1z2=5 ។ ចម្លើយគឺ z2-2z+5=0។

និយមន័យ៖

ចំនួនកុំផ្លិច = x – យីត្រូវបានគេហៅថាលេខភ្ជាប់ដោយគោរព វ = x + យី.

ឧទាហរណ៍នៃចំនួនកុំផ្លិចរួម៖

–1 + 5ខ្ញុំនិង -1 - 5 ខ្ញុំ, 2 – 3ខ្ញុំ និង 2 + 3 ខ្ញុំ.

ដើម្បីបែងចែកចំនួនកុំផ្លិចពីរក្នុងទម្រង់ពិជគណិត ជាក្បួនវាងាយស្រួលក្នុងការគុណភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគដោយបន្សំនៃភាគបែង។

ឧទាហរណ៍ 4អនុវត្តការបែងចែក៖ = [គុណភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគដោយ conjugate នៃភាគបែង] =

សម្គាល់​ឃើញ​ថា
គឺជាកន្សោម មិនមែនលេខទេ ដូច្នេះវាមិនអាចចាត់ទុកថាជាចម្លើយបានទេ។

ឧទាហរណ៍ ៥ដំណើរការសកម្មភាព៖
=

=


=
.

ឧទាហរណ៍ ៦ដំណើរការសកម្មភាព៖
= [គុណភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគដោយលេខភ្ជាប់ទៅលេខទាំងពីរនៃភាគបែង] =

1. ការស្រង់ចេញឫសការ៉េនៃចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ពិជគណិត

និយមន័យ។ លេខស្មុគស្មាញ
ត្រូវបានគេហៅថាឫសការ៉េនៃចំនួនកុំផ្លិច z, ប្រសិនបើ
.

ឧទាហរណ៍ ៧គណនា
.

ការសម្រេចចិត្ត។អនុញ្ញាតឱ្យមាន
= x + យីបន្ទាប់មក

យើងដោះស្រាយសមីការ biquadratic ដោយឡែកពីគ្នា៖

ចម្លើយ៖ (-៣+៤ ខ្ញុំ; 3 ‑ 4ខ្ញុំ}.

ដំណោះស្រាយមួយទៀតគឺអាចធ្វើទៅបានបន្ទាប់ពីការណែនាំនៃទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច (សូមមើលទំព័រ 14) ។

1. ការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណសម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិច

នៅក្នុងវាលនៃចំនួនកុំផ្លិច រូបមន្តដូចគ្នាសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណគឺជាការពិតដូចនៅក្នុងវាលនៃចំនួនពិត។

ឧទាហរណ៍ ៨ដោះស្រាយសមីការ៖ (-២ - ខ្ញុំ)z = 3 +ខ្ញុំ.

ឧទាហរណ៍ ៩ដោះស្រាយសមីការ៖
.

ការសម្រេចចិត្ត។ចូរប្រើរូបមន្តដើម្បីរកឫសនៃសមីការការ៉េ៖

ចម្លើយ៖ (-២ + ខ្ញុំ; ‑2 –ខ្ញុំ} .

ឧទាហរណ៍ 10ដោះស្រាយសមីការ៖
.

ការសម្រេចចិត្ត៖

ចម្លើយ៖ (១​-​២ ខ្ញុំ; 1 –ខ្ញុំ} .

ឧទាហរណ៍ 11ដោះស្រាយសមីការ៖
.

ការសម្រេចចិត្ត៖

គណនា
:

យើងបង្កើតប្រព័ន្ធដោយសមភាពផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃនៃផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមភាព៖

ចម្លើយ៖ (២; ខ្ញុំ} .

ឧទាហរណ៍ 12ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖

ការសម្រេចចិត្ត។យើងបង្ហាញអថេរពីសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធ xតាមរយៈអថេរ y:

យើងគុណភាគយកនិងភាគបែងនៃប្រភាគដោយ conjugate នៃភាគបែង៖

នៅក្នុងផ្នែកភាគនៃប្រភាគ សូមបើកតង្កៀប ហើយផ្តល់ពាក្យដូចជា៖

យើងជំនួសតម្លៃដែលទទួលបាននៃអថេរ x នៅក្នុងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ៖

;

ចម្លើយ៖ (១ + ខ្ញុំ; ខ្ញុំ}.

1. សញ្ញាណត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច

   1. តំណាងធរណីមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច

នៅពេលសិក្សាលក្ខណៈសម្បត្តិនៃចំនួនកុំផ្លិច ការបកស្រាយធរណីមាត្ររបស់ពួកគេគឺងាយស្រួលណាស់។ ដោយសារចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានកំណត់ជាគូនៃចំនួនពិត ដូច្នេះរាល់ចំនួនកុំផ្លិច z = ក + ប៊ីតំណាងដោយចំណុចនៅលើយន្តហោះ ( x, y) ជាមួយកូអរដោនេ x = ក និង y = ខ. យន្តហោះបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា យន្តហោះស្មុគស្មាញអ័ក្ស abscissa គឺពិត (Re z) ហើយ​អ័ក្ស​តម្រៀប​គឺ​ជា​អ័ក្ស​ស្រមើស្រមៃ (Im z).

ឧទាហរណ៍ 13គូរលើយន្តហោះនូវចំនុចដែលត្រូវនឹងលេខ៖

រ ដំណោះស្រាយ. ចំនួន z 1 ផ្នែកពិតគឺ -2 ហើយផ្នែកស្រមៃគឺ 0 ដូច្នេះរូបភាពនៃចំនួន z 1 គឺជាចំនុច (-2, 0) (រូបភាព 1.1) ។

ចំនួន z 2 ផ្នែកពិតគឺ 0 ហើយផ្នែកស្រមៃគឺ 3 ដូច្នេះរូបភាពនៃចំនួន z 2 គឺជាចំណុច (0, 3) ។ ចំនួន z 3 ផ្នែកពិតគឺ 1 ហើយការស្រមើលស្រមៃគឺ -4 ។ ដូច្នេះរូបភាពនៃលេខ z 3 គឺជាចំនុច (1, -4)។

ចំនួន z 4 ផ្នែកពិតគឺ 1 និងការស្រមើលស្រមៃ 1. ដូច្នេះរូបភាពនៃលេខ z 4 គឺជាចំណុច (1, 1) ។

ចំនួន z 5 ផ្នែកពិតគឺ -3 ហើយការស្រមើលស្រមៃគឺ -2 ។ ដូច្នេះរូបភាពនៃលេខ z 5 គឺជាចំនុចមួយ (-3, -2)។

លេខ​រួម​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ដោយ​ចំណុច​នៅ​លើ​ប្លង់​ស្មុគស្មាញ ដែល​ស៊ីមេទ្រី​អំពី​អ័ក្ស​ពិត Re z.