ប្រសិនបើប្រយោគ A(n) ដែលអាស្រ័យលើចំនួនធម្មជាតិ n គឺពិតសម្រាប់ n=1 ហើយពីការពិតដែលថាវាពិតសម្រាប់ n=k (ដែល k ជាលេខធម្មជាតិណាមួយ) វាធ្វើតាមវាផងដែរ។ ពិតសម្រាប់លេខបន្ទាប់ n=k +1 បន្ទាប់មកសន្មត់ A(n) គឺពិតសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិ n ។
ក្នុងករណីមួយចំនួន វាអាចចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់សុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាក់លាក់មួយ មិនមែនសម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់នោះទេ ប៉ុន្តែសម្រាប់តែ n>p ដែល p គឺជាលេខធម្មជាតិថេរ។ ក្នុងករណីនេះ គោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានបង្កើតឡើងដូចខាងក្រោម។
ប្រសិនបើសំណើ A(n) គឺពិតសម្រាប់ n=p ហើយប្រសិនបើ A(k) X A(k+1) សម្រាប់ k>p ណាមួយ នោះសំណើ A(n) គឺពិតសម្រាប់ n>p ណាមួយ។
ភស្តុតាងដោយវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានអនុវត្តដូចខាងក្រោម។ ជាដំបូង ការអះអាងដែលត្រូវបង្ហាញគឺត្រូវបានពិនិត្យសម្រាប់ n=1, i.e., ការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ A(1) ត្រូវបានបង្កើតឡើង។ ផ្នែកនៃភស្តុតាងនេះត្រូវបានគេហៅថាមូលដ្ឋានការចាប់ផ្តើម។ នេះត្រូវបានបន្តដោយផ្នែកនៃភស្តុតាងដែលហៅថា ជំហានចាប់ផ្តើម។ នៅក្នុងផ្នែកនេះ សុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ n=k+1 ត្រូវបានបង្ហាញក្រោមការសន្មត់ថា សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n=k (ការសន្មត់បញ្ចូល) i.e. បញ្ជាក់ A(k) ~ A(k+1)
បង្ហាញថា 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 ។
- 1) យើងមាន n=1=1 2 ។ ដូច្នេះសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n=1, i.e. A(1) ពិត
- 2) ចូរយើងបង្ហាញថា A(k) ~ A(k+1)
អនុញ្ញាតឱ្យ k ជាលេខធម្មជាតិណាមួយ ហើយទុកឱ្យសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិតសម្រាប់ n=k, i.e.
1+3+5+…+(2k-1)=k 2
ចូរយើងបញ្ជាក់ថា បន្ទាប់មកការអះអាងក៏ជាការពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិបន្ទាប់ n=k+1, i.e. អ្វី
- 1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)2 ពិតហើយ
- 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2
ដូច្នេះ A(k) X A(k+1)។ ដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា យើងសន្និដ្ឋានថា ការសន្មត់ A(n) គឺពិតសម្រាប់ n О N ណាមួយ។
បញ្ជាក់
1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n \u003d (x n + 1 -1) / (x-1) ដែល x លេខ 1
- 1) សម្រាប់ n=1 យើងទទួលបាន
- 1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1
ដូច្នេះសម្រាប់ n=1 រូបមន្តគឺពិត; A(1) ពិត
- 2) ទុក k ជាលេខធម្មជាតិណាមួយ ហើយទុករូបមន្តពិតសម្រាប់ n=k,
- 1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)
ចូរយើងបញ្ជាក់ថា បន្ទាប់មកសមភាព
- 1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1) ពិតហើយ
- 1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =
=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)
ដូច្នេះ A(k) ⋅ A(k+1)។ ដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃ induction គណិតវិទ្យា យើងសន្និដ្ឋានថារូបមន្តគឺពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ n
បង្ហាញថាចំនួនអង្កត់ទ្រូងនៃប៉ោង n-gon គឺ n(n-3)/2
ដំណោះស្រាយ៖ 1) សម្រាប់ n=3 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត ពីព្រោះនៅក្នុងត្រីកោណ
A 3 \u003d 3 (3-3) / 2 \u003d 0 អង្កត់ទ្រូង; A 2 A(3) ពិត
2) ឧបមាថានៅក្នុង k-gon ប៉ោងណាមួយមាន A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 អង្កត់ទ្រូង។ A k ចូរយើងបញ្ជាក់ថា បន្ទាប់មកនៅក្នុងប៉ោង A k+1 (k+1)-gon ចំនួនអង្កត់ទ្រូង A k+1 =(k+1)(k-2)/2 ។
អនុញ្ញាតឱ្យ А 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -convex (k+1)-gon ។ តោះគូរអង្កត់ទ្រូង A 1 A k នៅក្នុងវា។ ដើម្បីគណនាចំនួនសរុបនៃអង្កត់ទ្រូងនេះ (k + 1)-gon អ្នកត្រូវរាប់ចំនួនអង្កត់ទ្រូងក្នុង k-gon A 1 A 2 ...A k បន្ថែម k-2 ទៅលេខលទ្ធផល i.e. ចំនួនអង្កត់ទ្រូងនៃ a (k+1)-gon ចេញពីចំនុចកំពូល А k+1 ហើយលើសពីនេះ គួរតែគិតគូរពីអង្កត់ទ្រូង А 1 А k
ដូច្នេះ
G k+1 =G k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2
ដូច្នេះ A(k) ⋅ A(k+1)។ ដោយសារគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ប៉ោងណាមួយ n-gon ។
បង្ហាញថាសម្រាប់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ណាមួយគឺពិត៖
1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6
ដំណោះស្រាយ៖ 1) អនុញ្ញាតឱ្យ n=1 បន្ទាប់មក
X 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1
២) សន្មត់ថា n=k
X k \u003d k 2 \u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6
3) ពិចារណាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះសម្រាប់ n=k+1
Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6
X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2
=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2)/6=(k+1)(k(2k+1)+
6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+)
2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
យើងបានបង្ហាញសុពលភាពនៃសមភាពសម្រាប់ n = k + 1 ដូច្នេះដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ។
បង្ហាញថាសមភាពធម្មជាតិណាមួយគឺពិត៖
1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2/4
ដំណោះស្រាយ៖ 1) អនុញ្ញាតឱ្យ n=1
បន្ទាប់មក X 1 = 1 3 = 1 2 (1 + 1) 2 / 4 = 1 ។ យើងឃើញថាសម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត។
2) សន្មតថាសមភាពគឺពិតសម្រាប់ n = k
X k \u003d k 2 (k + 1) 2 / 4
3) ចូរយើងបង្ហាញការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះសម្រាប់ n=k+1, i.e.
X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2/4 ។ X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2/4
វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីភស្តុតាងខាងលើដែលថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n = k + 1 ដូច្នេះសមភាពគឺពិតសម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ។
បញ្ជាក់
((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ ((3 3 +1)/(3 3 -1)) ґ … ґ ((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1) ដែល n> 2
ដំណោះស្រាយ៖ ១) សម្រាប់ n=2 អត្តសញ្ញាណមើលទៅដូច៖
- (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3 ґ 2 ґ 3)/2(2 2 +2+1), i.e. វាជាការពិត
- 2) សន្មតថាកន្សោមគឺពិតសម្រាប់ n = k
- (2 3 +1) / (2 3 -1) ґ ... ґ (k 3 +1) / (k 3 -1) \u003d 3k (k + 1) / 2 (k 2 + k + 1)
- 3) យើងនឹងបញ្ជាក់ភាពត្រឹមត្រូវនៃកន្សោមសម្រាប់ n=k+1
- (((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ … ґ ((k 3 +1)/(k 3 -1))) ґ (((k+1) 3 +
1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1))) ґ ((k+2)((k+
1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2 ґ
ґ ((k+1) 2 +(k+1)+1)
យើងបានបង្ហាញពីសុពលភាពនៃសមភាពសម្រាប់ n=k+1 ដូច្នេះដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n>2 ណាមួយ។
បញ្ជាក់
1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) សម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ
ដំណោះស្រាយ៖ 1) អនុញ្ញាតឱ្យ n=1 បន្ទាប់មក
- 1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
- 2) សន្មតថា n = k បន្ទាប់មក
- 1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3)
- 3) យើងនឹងបញ្ជាក់ការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះសម្រាប់ n=k+1
- (1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1)3 -(2k+2)3 =-k 2 (4k+3)+
+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)
សុពលភាពនៃសមភាពសម្រាប់ n=k+1 ក៏ត្រូវបានបង្ហាញផងដែរ ដូច្នេះសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ។
បញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃអត្តសញ្ញាណ
(1 2/1 ґ 3)+(2 2/3 ґ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ґ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ n
- 1) សម្រាប់ n=1 អត្តសញ្ញាណគឺពិត 1 2/1 ґ 3=1(1+1)/2(2+1)
- 2) សន្មតថាសម្រាប់ n = k
- (1 2/1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1) ґ (2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)
- 3) យើងបង្ហាញថាអត្តសញ្ញាណគឺពិតសម្រាប់ n=k+1
- (1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1)2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+1) )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)))=((k+1)/(2k+1)) ґ ((k/2) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2) ґ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1) (k+2)/2(2(k+1)+1)
វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីភស្តុតាងខាងលើដែលថាការអះអាងគឺជាការពិតសម្រាប់ចំនួនគត់វិជ្ជមានណាមួយ n ។
បង្ហាញថា (11 n+2 +12 2n+1) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 133 ដោយមិននៅសល់
ដំណោះស្រាយ៖ 1) អនុញ្ញាតឱ្យ n=1 បន្ទាប់មក
11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133
ប៉ុន្តែ (23 ґ 133) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 133 ដោយគ្មានសល់ ដូច្នេះសម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត។ A(1) គឺពិត។
- 2) សន្មត់ថា (11 k+2 +12 2k+1) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 133 ដោយគ្មានសល់
- 3) អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាក្នុងករណីនេះ (11 k + 3 +12 2k + 3) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 133 ដោយគ្មានសល់។ ជាការពិត
- 11 k+3 +12 2k+3 =11 ґ 11 k+2 +12 2 ґ 12 2k+1 =11 ґ 11 k+2 +
+(11+133) ґ 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133 ґ 12 2k+1
ផលបូកលទ្ធផលត្រូវបានបែងចែកដោយ 133 ដោយមិននៅសល់ ចាប់តាំងពីពាក្យទីមួយរបស់វាត្រូវបានបែងចែកដោយ 133 ដោយគ្មានសល់ដោយការសន្មត់ ហើយនៅក្នុងកត្តាទីពីរគឺ 133។ ដូច្នេះ A (k) Yu A (k + 1) ។ ដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាការអះអាងត្រូវបានបង្ហាញ
បង្ហាញថាសម្រាប់ n 7 n -1 ណាមួយត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់
- 1) អនុញ្ញាតឱ្យ n=1 បន្ទាប់មក X 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់។ ដូច្នេះសម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត
- 2) ឧបមាថាសម្រាប់ n \u003d k 7 k -1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់
- 3) ចូរយើងបង្ហាញថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n=k+1
X k+1 \u003d 7 k + 1 -1 \u003d 7 ґ 7 k -7 + 6 \u003d 7 (7 k -1) + 6
ពាក្យទីមួយត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ព្រោះថា 7 k -1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយការសន្មត់ ហើយពាក្យទីពីរគឺ 6 ។ ដូច្នេះ 7 n -1 គឺជាពហុគុណនៃ 6 សម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ។ ដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាការអះអាងត្រូវបានបង្ហាញ។
បង្ហាញថា 3 3n-1 +2 4n-3 សម្រាប់ចំនួនគត់វិជ្ជមានតាមអំពើចិត្ត n ត្រូវបានបែងចែកដោយ 11។
1) អនុញ្ញាតឱ្យ n = 1 បន្ទាប់មក
X 1 \u003d 3 3-1 +2 4-3 \u003d 3 2 +2 1 \u003d 11 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 11 ដោយគ្មានសល់។
ដូច្នេះសម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត
- 2) ឧបមាថាសម្រាប់ n = k X k = 3 3k-1 +2 4k-3 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 11 ដោយគ្មានសល់
- 3) យើងបញ្ជាក់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n=k+1
X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 3 3k-1 +2 4 2 4k-3 =
27 3 3k-1 +16 2 4k-3 =(16+11) 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16 3 3k-1 +
11 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11 3 3k-1
ពាក្យទីមួយបែងចែកដោយ 11 ដោយគ្មានសល់ ព្រោះថា 3 3k-1 +2 4k-3 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 11 ដោយការសន្មត់ ទីពីរគឺបែងចែកដោយ 11 ព្រោះកត្តាមួយក្នុងចំណោមកត្តារបស់វាគឺលេខ 11 ដូច្នេះហើយផលបូកគឺ ក៏បែងចែកដោយ 11 ដោយគ្មានសល់សម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ។ ដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាការអះអាងត្រូវបានបង្ហាញ។
បង្ហាញថា 11 2n -1 សម្រាប់ចំនួនគត់វិជ្ជមានតាមអំពើចិត្ត n ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់
- 1) អនុញ្ញាតឱ្យ n=1 បន្ទាប់មក 11 2 -1=120 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់។ ដូច្នេះសម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត
- 2) ឧបមាថាសម្រាប់ n = k 1 2k -1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់
- 11 2(k+1) -1=121 ґ 11 2k -1=120 ґ 11 2k +(11 2k -1)
ពាក្យទាំងពីរត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់: ទីមួយមានពហុគុណនៃ 6 លេខ 120 ហើយទីពីរត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់ដោយការសន្មត់។ ដូច្នេះផលបូកត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 ដោយគ្មានសល់។ ដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាការអះអាងត្រូវបានបង្ហាញ។
បង្ហាញថា 3 3n + 3 -26n-27 សម្រាប់ចំនួនគត់វិជ្ជមានតាមអំពើចិត្ត n ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 2 (676) ដោយគ្មានសល់
ចូរយើងបញ្ជាក់ជាមុនថា 3 3n + 3 -1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 ដោយគ្មានសល់
- 1. នៅពេលដែល n=0
- 3 3 -1 = 26 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26
- 2. ឧបមាថាសម្រាប់ n=k
- 3 3k + 3 -1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26
- 3. ចូរយើងបញ្ជាក់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n=k+1
- 3 3k+6 -1=27 ґ 3 3k+3 -1=26 ґ 3 3k+3 +(3 3k+3 -1) - ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26
ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្ហាញការអះអាងដែលបានបង្កើតនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា
- 1) វាច្បាស់ណាស់ថាសម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត
- 3 3+3 -26-27=676
- 2) ឧបមាថាសម្រាប់ n=k កន្សោម 3 3k + 3 -26k-27 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 2 ដោយគ្មានសល់
- 3) ចូរយើងបញ្ជាក់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n=k+1
- 3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27)
ពាក្យទាំងពីរត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 2 ; ទីមួយត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 2 ពីព្រោះយើងបានបង្ហាញថាកន្សោមនៅក្នុងតង្កៀបត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 ហើយទីពីរត្រូវបានបែងចែកដោយសម្មតិកម្មអាំងឌុចទ័។ ដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាការអះអាងត្រូវបានបង្ហាញ
បង្ហាញថាប្រសិនបើ n>2 និង х>0 នោះវិសមភាព (1+х) n>1+n ґ х
- 1) សម្រាប់ n=2 វិសមភាពគឺពិតចាប់តាំងពី
- (1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x
ដូច្នេះ A(2) គឺពិត
- 2) ចូរយើងបង្ហាញថា A(k) ⋅ A(k+1) ប្រសិនបើ k> 2. សន្មត់ថា A(k) គឺពិត មានន័យថា វិសមភាព
- (1+х) k >1+k ґ x ។ (3)
ចូរយើងបង្ហាញថា A(k+1) ក៏ជាការពិតដែរ ពោលគឺ វិសមភាព
(1+x) k+1 >1+(k+1) x
ជាការពិតណាស់ ការគុណភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាព (3) ដោយចំនួនវិជ្ជមាន 1+x យើងទទួលបាន
(1+x) k+1 >(1+k ґ x)(1+x)
ពិចារណាផ្នែកខាងស្តាំនៃវិសមភាពចុងក្រោយ; យើងមាន
(1+k ґ x)(1+x)=1+(k+1) ґ x+k ґ x 2 >1+(k+1) ґ x
ជាលទ្ធផល យើងទទួលបាន (1+х) k+1 >1+(k+1) ґ x
ដូច្នេះ A(k) ⋅ A(k+1)។ ដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃ induction គណិតវិទ្យា វាអាចត្រូវបានអះអាងថា វិសមភាព Bernoulli មានសុពលភាពសម្រាប់ n> 2 ណាមួយ។
បង្ហាញថាវិសមភាព (1+a+a 2) m> 1+m ґ a+(m(m+1)/2) ґ a 2 គឺពិតសម្រាប់ a> 0
ដំណោះស្រាយ៖ ១) សម្រាប់ m=1
- (1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2) ґ a 2 ផ្នែកទាំងពីរគឺស្មើគ្នា
- 2) សន្មតថាសម្រាប់ m = k
- (1+a+a 2) k >1+k ґ a+(k(k+1)/2) ґ a 2
- 3) ចូរយើងបង្ហាញថាសម្រាប់ m=k+1 ភាពមិនស្មើគ្នាគឺជាការពិត
- (1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k ґ a+
+(k(k+1)/2) ґ a 2)=1+(k+1) ґ a+((k(k+1)/2)+k+1) ґ a 2 +
+((k(k+1)/2)+k) ґ a 3 +(k(k+1)/2) ґ a 4 > 1+(k+1) ґ a+
+((k+1)(k+2)/2) ґ a ២
យើងបានបង្ហាញសុពលភាពនៃវិសមភាពសម្រាប់ m=k+1 ដូច្នេះហើយ ដោយសារវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា វិសមភាពមានសុពលភាពសម្រាប់ m ធម្មជាតិណាមួយ។
បង្ហាញថាសម្រាប់ n>6 វិសមភាព 3 n>n ґ 2 n+1
ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវវិសមភាពក្នុងទម្រង់ (3/2) n >2n
- 1. សម្រាប់ n=7 យើងមាន 3 7/2 7 =2187/128>14=2 ґ 7 វិសមភាពគឺពិត
- ឧបមាថាសម្រាប់ n = k (3/2) k > 2k
- 3) ចូរយើងបញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃវិសមភាពសម្រាប់ n=k+1
- 3k+1 /2k+1 =(3k/2k) ґ (3/2)>2k ґ (3/2)=3k>2(k+1)
ចាប់តាំងពី k>7 វិសមភាពចុងក្រោយគឺជាក់ស្តែង។
ដោយសារតែវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា វិសមភាពមានសុពលភាពសម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ។
បង្ហាញថាសម្រាប់ n> 2 វិសមភាព
1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n)
- 1) សម្រាប់ n=3 វិសមភាពគឺពិត
- 1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
- 2. ឧបមាថាសម្រាប់ n=k
- 1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k)
- 3) ចូរយើងបញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃវិសមភាពសម្រាប់ n=k+1
- (1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1)2)
ចូរយើងបញ្ជាក់ថា 1,7-(1/k)+(1/(k+1)2)<1,7-(1/k+1) Ы
S (1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы
s k(k+2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k ក្រោយមកទៀតគឺជាក់ស្តែងហើយដូច្នេះ 1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1)2)<1,7-(1/k+1) ដោយគុណធម៌នៃវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា វិសមភាពត្រូវបានបង្ហាញ។ MBOU Lyceum "បច្ចេកទេស និងសេដ្ឋកិច្ច"
វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំគណិតវិទ្យា
វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំគណិតវិទ្យា។
កំណត់ចំណាំពន្យល់
ការអភិវឌ្ឍន៍វិធីសាស្រ្ត "វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា" ត្រូវបានចងក្រងសម្រាប់សិស្សថ្នាក់ទី 10 នៃទម្រង់គណិតវិទ្យា។ គោលបំណងបឋម៖ ដើម្បីស្គាល់សិស្សអំពីវិធីសាស្រ្តនៃការបង្កើតគណិតវិទ្យា និងបង្រៀនពីរបៀបអនុវត្តវាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗ។ នៅក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍វិធីសាស្រ្ត សំណួរនៃគណិតវិទ្យាបឋមត្រូវបានពិចារណា៖ បញ្ហាបែងចែក ភស្តុតាងនៃអត្តសញ្ញាណ ភស្តុតាងនៃវិសមភាព បញ្ហានៃកម្រិតខុសគ្នានៃភាពស្មុគស្មាញត្រូវបានស្នើឡើង រួមទាំងបញ្ហាដែលផ្តល់ជូននៅអូឡាំពិក។ តួនាទីនៃការសន្និដ្ឋានក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រពិសោធន៍គឺអស្ចារ្យណាស់។ ពួកគេផ្តល់បទប្បញ្ញត្តិទាំងនោះ ដែលការសន្និដ្ឋានបន្ថែមទៀតត្រូវបានធ្វើឡើងដោយការកាត់ចេញ។ ឈ្មោះ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាបោកបញ្ឆោត - តាមពិត វិធីសាស្រ្តនេះគឺកាត់ចេញ និងផ្តល់ភស្តុតាងយ៉ាងម៉ឺងម៉ាត់នៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលទាយដោយការណែនាំ។ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យារួមចំណែកដល់ការកំណត់អត្តសញ្ញាណនៃការតភ្ជាប់រវាងផ្នែកផ្សេងៗនៃគណិតវិទ្យា ជួយអភិវឌ្ឍវប្បធម៌គណិតវិទ្យារបស់សិស្ស។ និយមន័យនៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ ការបញ្ចូលពេញលេញនិងមិនពេញលេញ។ ភស្តុតាងនៃវិសមភាព។ ភស្តុតាងនៃអត្តសញ្ញាណ។ ការដោះស្រាយបញ្ហាបែងចែក។ ការដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗលើប្រធានបទ "វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា" ។ អក្សរសាស្ត្រសម្រាប់គ្រូ
1. M.L. Galitsky ។ ការសិក្សាស៊ីជម្រៅលើវគ្គសិក្សាពិជគណិត និងការវិភាគគណិតវិទ្យា។ - M. Enlightenment ឆ្នាំ ១៩៨៦។ 2. L.I. Zvavich ។ ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ។ សម្ភារៈ Didactic ។ M. Drofa ឆ្នាំ ២០០១។ 3. N.Ya. Vilenkin ។ ពិជគណិត និងការវិភាគគណិតវិទ្យា។ M Enlightenment ឆ្នាំ ១៩៩៥។ 4. Yu.V. Mikheev ។ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ NGU.1995 ។ អក្សរសាស្ត្រសម្រាប់និស្សិត
1. N.Ya. Vilenkin ។ ពិជគណិត និងការវិភាគគណិតវិទ្យា។ M Enlightenment ឆ្នាំ ១៩៩៥។ 2. Yu.V. Mikheev ។ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ NGU.1995 ។ ពាក្យគន្លឹះ
Induction, axiom, គោលការណ៍នៃ induction គណិតវិទ្យា, induction ពេញលេញ, induction មិនពេញលេញ, assertion, អត្តសញ្ញាណ, វិសមភាព, ការបែងចែក។ DIDACTIC ឧបសម្ព័ន្ធទៅនឹងប្រធានបទ
"វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំគណិតវិទ្យា" ។
មេរៀនទី 1
និយមន័យនៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។
វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាគឺជាវិធីសាស្រ្តមួយដែលមានប្រសិទ្ធភាពខ្ពស់ក្នុងការស្វែងរកលទ្ធផលថ្មី និងបង្ហាញពីការពិតនៃការសន្មត់ដែលបានដាក់ចេញ។ ថ្វីត្បិតតែវិធីសាស្រ្តនេះមិនមែនជាគណិតវិទ្យាថ្មីក៏ដោយ ប៉ុន្តែការចាប់អារម្មណ៍លើវាមិនធ្លាក់ចុះទេ។ ជាលើកដំបូងក្នុងការធ្វើបទបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ វិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានអនុវត្តនៅសតវត្សទី 17 ដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្របារាំងដ៏ឆ្នើម Blaise Pascal ក្នុងការបញ្ជាក់អំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃត្រីកោណលេខ ដែលចាប់តាំងពីពេលនោះមកត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាមគាត់។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ គំនិតនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេស្គាល់ចំពោះជនជាតិក្រិចបុរាណ។ វិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យាគឺផ្អែកលើគោលការណ៍នៃ induction គណិតវិទ្យា ដែលត្រូវបានទទួលយកជា axiom ។ យើងនឹងពិចារណាអំពីគំនិតនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាជាមួយនឹងឧទាហរណ៍។ ឧទាហរណ៍ #1 ។
ការ៉េត្រូវបានបែងចែកដោយផ្នែកមួយជាពីរផ្នែកបន្ទាប់មកផ្នែកមួយនៃលទ្ធផលត្រូវបានបែងចែកជាពីរផ្នែកហើយដូច្នេះនៅលើ។ កំណត់ចំនួនផ្នែកដែលការ៉េត្រូវបានបែងចែកទៅជា ទំជំហាន? ការសម្រេចចិត្ត។ បន្ទាប់ពីជំហានដំបូងយើងតាមលក្ខខណ្ឌទទួលបាន 2 ផ្នែក។ នៅជំហានទីពីរយើងទុកមួយផ្នែកមិនផ្លាស់ប្តូរហើយបែងចែកទីពីរជា 2 ផ្នែកហើយទទួលបាន 3 ផ្នែក។ នៅជំហានទីបីយើងទុក 2 ផ្នែកមិនផ្លាស់ប្តូរហើយបែងចែកទីបីជាពីរផ្នែកហើយទទួលបាន 4 ផ្នែក។ នៅជំហានទី 4 យើងទុក 3 ផ្នែកមិនផ្លាស់ប្តូរហើយបែងចែកផ្នែកចុងក្រោយជាពីរផ្នែកហើយទទួលបាន 5 ផ្នែក។ នៅជំហានទីប្រាំយើងនឹងទទួលបាន 6 ផ្នែក។ ការផ្តល់យោបល់ត្រូវបានធ្វើឡើងតាមរយៈ ទំជំហានដែលយើងទទួលបាន (n+1)ផ្នែក។ ប៉ុន្តែសំណើនេះត្រូវតែបញ្ជាក់។ ចូរសន្មតថាតាមរយៈ ទៅជំហានការ៉េត្រូវបានបែងចែកទៅជា (k+1)ផ្នែក។ បន្ទាប់មកនៅលើ (k+1)ជំហានយើង ទៅផ្នែកនឹងត្រូវបានទុកចោលមិនផ្លាស់ប្តូរ និង (k+1)ចែកផ្នែកជាពីរផ្នែកហើយទទួលបាន (k+2)ផ្នែក។ អ្នកសម្គាល់ឃើញថា អ្នកអាចជជែកតវ៉ាបែបនេះបាន ដរាបណាអ្នកចូលចិត្ត ការផ្សាយពាណិជ្ជកម្មគ្មានដែនកំណត់។ នោះគឺការសន្មត់របស់យើងគឺថា ទំជំហានការ៉េនឹងបែងចែកជា (n+1)ផ្នែក, ក្លាយជាភស្តុតាង។ ឧទាហរណ៍ #2 ។
ជីដូនរបស់ខ្ញុំមានចៅស្រីម្នាក់ដែលចូលចិត្តយៈសាពូនមីជាពិសេសគឺមួយពាងមួយលីត្រ។ ប៉ុន្តែជីដូនមិនអនុញ្ញាតឱ្យគាត់ប៉ះ។ ហើយចៅស្រីសម្រេចចិត្តបញ្ឆោតជីដូន។ គាត់បានសម្រេចចិត្តញ៉ាំរៀងរាល់ថ្ងៃ ១/១០ លីត្រពីពាងនេះ ហើយចាក់ទឹកចូលដោយលាយឲ្យសព្វ។ តើប៉ុន្មានថ្ងៃទៀត លោកយាយនឹងរកឃើញការបោកប្រាស់ ប្រសិនបើយៈសាពូនមីនៅតែមានរូបរាងដដែល នៅពេលពនឺដោយទឹកពាក់កណ្តាល? ការសម្រេចចិត្ត។ រកមើលថាតើយៈសាពូនមីសុទ្ធនឹងនៅសល់ប៉ុន្មាននៅក្នុងពាងបន្ទាប់ពី ទំថ្ងៃ បន្ទាប់ពីថ្ងៃដំបូងល្បាយនឹងនៅតែមាននៅក្នុងពាងដែលមាន 9/10 យៈសាពូនមីនិង 1/10 ទឹក។ បន្ទាប់ពីពីរថ្ងៃ 1/10 នៃល្បាយទឹកនិងយៈសាពូនមីនឹងបាត់ពីពាងហើយនៅសល់ (1 លីត្រនៃល្បាយមានយៈសាពូនមី 9/10 លីត្រ 1/10 លីត្រនៃល្បាយមានយៈសាពូនមី 9/100 លីត្រ) 9/10 - 9/100=81/100=(9/10) យៈសាពូនមី 2 លីត្រ។ នៅថ្ងៃទីបី 1/10 លីត្រនៃល្បាយដែលមាន 81/100 យៈសាពូនមីនិងទឹក 19/100 នឹងបាត់ពីពាង។ ក្នុង 1 លីត្រនៃល្បាយមានយៈសាពូនមី 81/100 លីត្រក្នុង 1/10 លីត្រនៃល្បាយ 81/1000 លីត្រនៃយៈសាពូនមី។ 81/100 – 81/1000= 729/1000=(9/10) យៈសាពូនមី 3 លីត្រនឹងត្រូវទុកចោលបន្ទាប់ពី 3 ថ្ងៃហើយនៅសល់នឹងត្រូវយកទឹក។ លំនាំមួយលេចឡើង។ តាមរយៈ ទំថ្ងៃដែលនៅសល់នៅក្នុងធនាគារ (9/10) ទំលីត្រ យៈសាពូនមី។ ប៉ុន្តែម្តងទៀត នេះគ្រាន់តែជាការស្មានរបស់យើងប៉ុណ្ណោះ។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន ទៅគឺជាលេខធម្មជាតិដែលបំពាន។ ចូរសន្មតថាតាមរយៈ ទៅថ្ងៃនៅក្នុងធនាគារនឹងនៅតែមាន (9/10) ដល់លីត្រ។ តោះមើលអ្វីដែលនឹងមាននៅក្នុងធនាគារនៅថ្ងៃមួយផ្សេងទៀត នោះគឺនៅក្នុង (k+1)ថ្ងៃ នឹងបាត់ពីធនាគារ 1/10 លីត្រល្បាយនៃ (9/10)
ទៅ លីត្រយៈសាពូនមីនិងទឹក។ អេ 1 លីត្រល្បាយគឺ (9/10)
ទៅ លីត្រយៈសាពូនមី, ក្នុង 1/10 លីត្រល្បាយ (9/10)
k+1 លីត្រយៈសាពូនមី ឥឡូវនេះយើងអាចនិយាយដោយសុវត្ថិភាពថាតាមរយៈ ទំថ្ងៃដែលនៅសល់នៅក្នុងធនាគារ (9/10)
ទំ លីត្រយៈសាពូនមី ក្នុងរយៈពេល 6 ថ្ងៃធនាគារនឹងមាន 531444/1000000lការកកស្ទះបន្ទាប់ពី 7 ថ្ងៃ - 4782969/10000000lយៈសាពូនមី, នោះគឺតិចជាងពាក់កណ្តាល។ ចម្លើយ៖បន្ទាប់ពី 7 ថ្ងៃជីដូននឹងរកឃើញការបោកប្រាស់។ ចូរយើងព្យាយាមបំបែកចេញពីមូលដ្ឋានបំផុតនៅក្នុងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាដែលបានពិចារណា។ យើងបានចាប់ផ្តើមដោះស្រាយពួកគេម្នាក់ៗដោយពិចារណាដាច់ដោយឡែកឬដូចដែលពួកគេនិយាយករណីពិសេស។ បន្ទាប់មក ដោយផ្អែកលើការសង្កេតរបស់យើង យើងបានធ្វើការសន្មត់មួយចំនួន P(n)អាស្រ័យលើធម្មជាតិ ទំ.
ការអះអាងត្រូវបានពិនិត្យ នោះគឺត្រូវបានបញ្ជាក់ P(1), P(2), P(3);
បានស្នើថា P(n)មានសុពលភាពសម្រាប់ n=kហើយសន្មតថាបន្ទាប់មកវានឹងមានសុពលភាពសម្រាប់បន្ទាប់ n, n=k+1 ។
ហើយបន្ទាប់មកពួកគេប្រកែកគ្នាដូចនេះ៖ P(1)ត្រូវហើយ P(2)ត្រូវហើយ P(3)ត្រូវហើយ P(4)ត្រូវហើយ... ត្រឹមត្រូវ។ P(n)
គោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។
សេចក្តីថ្លែងការណ៍ P(n)អាស្រ័យលើធម្មជាតិ ទំមានសុពលភាពសម្រាប់ធម្មជាតិទាំងអស់។ ទំ, ប្រសិនបើ 1) សុពលភាពនៃការអះអាងសម្រាប់ n=1;
2) ពីការសន្មតនៃសុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ P(n)នៅ n=kគួរ យុត្តិធម៌ P(n)នៅ n=k+1 ។
នៅក្នុងគណិតវិទ្យា គោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានជ្រើសរើស ជាក្បួនមួយក្នុងចំនោម axioms ដែលកំណត់ស៊េរីធម្មជាតិនៃលេខ ហើយដូច្នេះវាត្រូវបានទទួលយកដោយគ្មានភស្តុតាង។ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ជាក់ដោយគោលការណ៍នៃ induction គណិតវិទ្យា ជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថា method of mathematical induction ។ ចំណាំថាវិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ អត្តសញ្ញាណ វិសមភាពក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាបែងចែក និងបញ្ហាជាច្រើនទៀត។ មេរៀនទី ២
ការបញ្ចូលពេញលេញនិងមិនពេញលេញ។
ក្នុងករណីនៅពេលដែលសេចក្តីថ្លែងការណ៍គណិតវិទ្យាទាក់ទងនឹងចំនួនវត្ថុកំណត់ វាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយពិនិត្យមើលវត្ថុនីមួយៗ ឧទាហរណ៍ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ "រាល់លេខគូពីរខ្ទង់គឺជាផលបូកនៃចំនួនបឋមពីរ"។ វិធីសាស្រ្តនៃភស្តុតាងដែលយើងសាកល្បងសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយសម្រាប់ចំនួនកំណត់នៃករណីត្រូវបានគេហៅថា ការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាពេញលេញ។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានគេប្រើកម្រណាស់ ដោយសារសេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រូវបានពិចារណាជាញឹកញាប់បំផុតលើសំណុំគ្មានកំណត់។ ជាឧទាហរណ៍ ទ្រឹស្តីបទ "លេខគូណាមួយស្មើនឹងផលបូកនៃចំនួនបឋមពីរ" មិនទាន់ត្រូវបានបញ្ជាក់ ឬបដិសេធមកទល់ពេលនេះទេ។ ទោះបីជាយើងបានសាកល្បងទ្រឹស្តីបទនេះសម្រាប់ពាន់លានដំបូងក៏ដោយ ក៏វាមិននាំឱ្យយើងខិតទៅជិតមួយជំហានដើម្បីបញ្ជាក់វាដែរ។ នៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ អាំងឌុចស្យុងមិនពេញលេញត្រូវបានប្រើ សាកល្បងការពិសោធន៍ជាច្រើនដង ផ្ទេរលទ្ធផលទៅគ្រប់ករណីទាំងអស់។ ឧទាហរណ៍ #3
ស្មានដោយប្រើរូបមន្តមិនពេញលេញសម្រាប់ផលបូកគូបនៃលេខធម្មជាតិ។ ការសម្រេចចិត្ត។ 1 3 =1; 1 3 +2 3 =(1+2) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 =(1+2+3) 2 ; 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 =(1+2+3+4) 2 ;
1 3 +2 3 +3 3 +4 3 +5 3 =(1+2+3+4+5) 2 ; … ; 1 3 +2 3 +…+n 3 =(1+2+…+n) 2 . ភស្តុតាង។ សូមឱ្យវាជាការពិតសម្រាប់ n=k.
សូមបញ្ជាក់ថាវាជាការពិតសម្រាប់ n=k+1 ។
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ រូបមន្តសម្រាប់ផលបូកគូបនៃលេខធម្មជាតិគឺពិតសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ទំ.
ឧទាហរណ៍ #4
ពិចារណាអំពីសមភាព ហើយទាយថាតើច្បាប់ទូទៅអ្វីដែលឧទាហរណ៍ទាំងនេះនាំទៅរក។ ការសម្រេចចិត្ត។ 1=0+1
2+3+4=1+8
5+6+7+8+9=8+27
10+11+12+13+14+15+16=27+64
17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125
……………………………………………………………..
ឧទាហរណ៍ #5
សរសេរកន្សោមខាងក្រោមជាផលបូក៖ 1) ឧទាហរណ៍ #6 ។
សរសេរផលបូកខាងក្រោមដោយប្រើសញ្ញា 2) ឧទាហរណ៍ #7 ។
សរសេរកន្សោមខាងក្រោមជាផលិតផល៖ 1) 3) ឧទាហរណ៍ #8 ។
សរសេរការងារខាងក្រោមដោយប្រើសញ្ញា (អក្សរធំក្រិក "pi") 1) ឧទាហរណ៍ #9 ។
ការគណនាតម្លៃនៃពហុធា តើការសន្មត់នេះត្រឹមត្រូវទេ? ការសម្រេចចិត្ត។ ប្រសិនបើ summand នីមួយៗត្រូវបានបែងចែកដោយលេខ នោះផលបូកត្រូវបានបែងចែកដោយលេខនោះ ការវិភាគលើចំនួនកំណត់នៃករណីមានតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងគណិតវិទ្យា៖ ដោយមិនផ្តល់ភស្តុតាងនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍មួយ ឬសេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្សេងទៀត វាអាចជួយទាយរូបមន្តត្រឹមត្រូវនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ ប្រសិនបើមិនទាន់ដឹងនៅឡើយ។ នេះជារបៀបដែល Goldbach សមាជិកនៃបណ្ឌិត្យសភាវិទ្យាសាស្ត្រសាំងពេទឺប៊ឺគបានសន្និដ្ឋានថាចំនួនធម្មជាតិណាមួយដែលចាប់ផ្តើមពីពីរគឺជាផលបូកនៃចំនួនបឋមច្រើនបំផុតបី។ មេរៀនទី៣
វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាអនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់អត្តសញ្ញាណផ្សេងៗ។ ឧទាហរណ៍ #10 ។អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញវាសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា ទំអត្តសញ្ញាណ ការសម្រេចចិត្ត។ តោះដាក់ យើងត្រូវតែបញ្ជាក់ ចូរយើងបញ្ជាក់ថា បន្ទាប់មកពីការពិតនៃអត្តសញ្ញាណ តាមគោលការណ៍គណិតវិទ្យា សេចក្តីពិតនៃអត្តសញ្ញាណសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា ទំ.
ឧទាហរណ៍ #11 ។
សូមបញ្ជាក់អត្តសញ្ញាណ ភស្តុតាង។ សមភាពតាមកាលកំណត់។ មេរៀនទី៤។
ភស្តុតាងនៃអត្តសញ្ញាណដោយការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។
ឧទាហរណ៍ #12 ។
សូមបញ្ជាក់អត្តសញ្ញាណ ភស្តុតាង។ ការអនុវត្តគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា យើងបានបង្ហាញថាសមភាពគឺជាការពិតសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា ទំ.
ឧទាហរណ៍ #13 ។
សូមបញ្ជាក់អត្តសញ្ញាណ ភស្តុតាង។ ការអនុវត្តគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា យើងបានបង្ហាញថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ទំ.
ឧទាហរណ៍ #14 ។
សូមបញ្ជាក់អត្តសញ្ញាណ ភស្តុតាង។ ឧទាហរណ៍ #15 ។
សូមបញ្ជាក់អត្តសញ្ញាណ 1)
n=1;
2) សម្រាប់ n=k
សមភាព 3) បង្ហាញថាសមភាពមានសម្រាប់ n=k+1៖
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ អត្តសញ្ញាណមានសុពលភាពសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ទំ.
ឧទាហរណ៍ #16 ។សូមបញ្ជាក់អត្តសញ្ញាណ ភស្តុតាង។ ប្រសិនបើ ក n=1
បន្ទាប់មក ទុកឱ្យអត្តសញ្ញាណរក្សាទុក n=k.
ចូរយើងបញ្ជាក់ថាអត្តសញ្ញាណមានសម្រាប់ n=k+1 ។
បន្ទាប់មកអត្តសញ្ញាណមានសុពលភាពសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ទំ.
មេរៀនទី៥។
ភស្តុតាងនៃអត្តសញ្ញាណដោយការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។
ឧទាហរណ៍ #17 ។សូមបញ្ជាក់អត្តសញ្ញាណ ភស្តុតាង។ ប្រសិនបើ ក n=2
បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមភាពត្រឹមត្រូវ៖ សូមឱ្យសមភាពជាការពិតសម្រាប់n=k៖
អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃការអះអាងសម្រាប់ n=k+1 ។
យោងតាមគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា អត្តសញ្ញាណត្រូវបានបង្ហាញ។ ឧទាហរណ៍ #18 ។
សូមបញ្ជាក់អត្តសញ្ញាណ នៅ n=2
អត្តសញ្ញាណនេះអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់សាមញ្ញបំផុត។ ហើយជាក់ស្តែង។ អនុញ្ញាតឱ្យនៅ n=kពិតជា អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃការអះអាងសម្រាប់n=k+1,
នោះគឺសមភាពគឺពេញចិត្ត : . ដូច្នេះ យើងបានបញ្ជាក់ថា អត្តសញ្ញាណគឺពិតសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ n≥2.
ឧទាហរណ៍ #19 ។
សូមបញ្ជាក់អត្តសញ្ញាណ នៅ n=1
យើងទទួលបានសមភាពត្រឹមត្រូវ៖ ចូរសន្មតថានៅ n=kយើងក៏ទទួលបានសមភាពត្រឹមត្រូវផងដែរ៖ ចូរយើងបញ្ជាក់ថា សុពលភាពនៃសមភាពត្រូវបានអង្កេតសម្រាប់ n=k+1៖
បន្ទាប់មកអត្តសញ្ញាណមានសុពលភាពសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ទំ.
មេរៀនទី៦។
ការដោះស្រាយបញ្ហាបែងចែក។
ឧទាហរណ៍ #20 ។បង្ហាញដោយការបញ្ចូលគណិតវិទ្យានោះ។ ភស្តុតាង។ នៅ n=1
មានការបែងចែកទៅជា6
ដោយគ្មានដាន, អនុញ្ញាតឱ្យនៅ n=k
កន្សោម អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថានៅពេលណា n=k+1
កន្សោម ពាក្យនីមួយៗគឺពហុគុណ 6
ដូច្នេះផលបូកគឺជាពហុគុណ 6
.
ឧទាហរណ៍លេខ ២១ ។
ភស្តុតាង។ នៅ n=1
កន្សោមគឺអាចបែងចែកបាន។ អនុញ្ញាតឱ្យនៅ n=k
កន្សោម នៅ n=k+1ចែកដោយ 5
.
ឧទាហរណ៍ #22 ។
បង្ហាញពីភាពមិនស្មើគ្នានៃការបញ្ចេញមតិ ភស្តុតាង។ នៅ n=1ច្រើន 16
.
អនុញ្ញាតឱ្យនៅ n=k
នៅ n=k+1
លក្ខខណ្ឌទាំងអស់ត្រូវបានបែងចែកដោយ 16:
ទីមួយគឺជាក់ស្តែង ទីពីរដោយការសន្មត់ ហើយទីបីមានលេខគូនៅក្នុងតង្កៀប។ ឧទាហរណ៍ #23 ។
បញ្ជាក់ភាពបែងចែក ភស្តុតាង។ ចូរយើងបញ្ជាក់ជាមុនសិន នៅ n=0
អនុញ្ញាតឱ្យនៅ n=k
បន្ទាប់មកនៅ n=k+1ចែកដោយ 26
.
ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្ហាញការអះអាងដែលបានបង្កើតនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។ នៅ n=1ចែកដោយ 676.
នៅ n=k
វាជាការពិត នៅ n=k+1
.
ពាក្យទាំងពីរត្រូវបានបែងចែកដោយ 676
; ទីមួយគឺដោយសារតែយើងបានបង្ហាញការបែងចែកដោយ 26
កន្សោមនៅក្នុងតង្កៀប ហើយទីពីរគឺអាចបែងចែកបានដោយសម្មតិកម្មអាំងឌុចទិត។ មេរៀនទី ៧ ។
ការដោះស្រាយបញ្ហាបែងចែក។
ឧទាហរណ៍លេខ 24 ។
បញ្ជាក់ ភស្តុតាង។ នៅ n=1
នៅ n=k
នៅ n=k+1
ពាក្យនីមួយៗត្រូវបានបែងចែកដោយ5
ដោយគ្មានដាន។ ឧទាហរណ៍ #25 ។
បញ្ជាក់ ភស្តុតាង។ នៅ n=1
អនុញ្ញាតឱ្យនៅ n=k
នៅ n=k+1ចែកដោយ 6
គ្មាននៅសល់ទេ ព្រោះពាក្យនីមួយៗត្រូវបានបែងចែកដោយ6
ដោយគ្មានសល់៖ ពាក្យទីមួយគឺដោយការសន្មត់ ធាតុទីពីរគឺជាក់ស្តែង ទីបីគឺដោយសារតែ ឧទាហរណ៍ #26 ។
បញ្ជាក់ ភស្តុតាង។ ចូរយើងបញ្ជាក់ នៅ n=1 នៅ n=k+1ចែកដោយ 9
.
ឧទាហរណ៍លេខ ២៧ ។
បង្ហាញថាអាចបែងចែកដោយ15
ដោយគ្មានដាន។ ភស្តុតាង។ នៅ n=1ចែកដោយ 15
.
អនុញ្ញាតឱ្យនៅ n=kចែកដោយ 15
ដោយគ្មានដាន។ នៅ n=k+1
ពាក្យទីមួយគឺពហុគុណ15
ដោយសម្មតិកម្មនៃការបញ្ចូលពាក្យទីពីរគឺជាពហុគុណនៃ15
- ជាក់ស្តែងពាក្យទីបីគឺជាពហុគុណ15
, ជា មេរៀនទី ៨-៩ ។
ភស្តុតាងនៃវិសមភាពដោយ induction គណិតវិទ្យា
ឧទាហរណ៍ #28 ។ នៅ n=1យើងមាន អនុញ្ញាតឱ្យនៅ n=k នៅ n=k+1 បន្ទាប់មកវិសមភាពមានសុពលភាពសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ទំ. ឧទាហរណ៍ #29 ។បង្ហាញថាវិសមភាពគឺជាការពិត នៅ n=1យើងទទួលបានវិសមភាពត្រឹមត្រូវ។ 4 >1.
អនុញ្ញាតឱ្យនៅ n=kវិសមភាព អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថានៅពេលណា n=k+1វិសមភាព សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ទៅវិសមភាពត្រូវបានអង្កេត។ ប្រសិនបើ ក ឧទាហរណ៍ #30 ។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន n=1 ចូរយើងសន្មត់ថាវិសមភាពមានសម្រាប់ n=k: នៅ n=k+1 ឧទាហរណ៍លេខ ៣១ ។បញ្ជាក់សុពលភាពនៃវិសមភាព ចូរយើងបញ្ជាក់ជាមុនថាសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ tវិសមភាព នៅ n=1វិសមភាពដើមគឺជាការពិត ទុកឱ្យវិសមភាពនៅជាប់ n=k៖ នៅ n=k+1 មេរៀនទី១០។
ការដោះស្រាយបញ្ហាលើប្រធានបទ
វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។
ឧទាហរណ៍ #32 ។បញ្ជាក់ភាពមិនស្មើគ្នារបស់ Bernoulli ។ ប្រសិនបើ ក ភស្តុតាង។ នៅ n=1
វិសមភាពដែលត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់ ចាប់តាំងពីយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌ ជា ដូច្នេះវិសមភាពគឺជាការពិតសម្រាប់ n=1និងពីការពិតរបស់វានៅ n=kវាធ្វើតាមថាវាជាការពិតនិង n=k+1 ។អាស្រ័យហេតុនេះ ដោយការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា វារក្សាទុកសម្រាប់ធម្មជាតិទាំងអស់។ ទំ.
ឧទាហរណ៍, ឧទាហរណ៍លេខ 33 ។
ស្វែងរកតម្លៃធម្មជាតិទាំងអស់។ទំ
ដែលវិសមភាព ការសម្រេចចិត្ត។ នៅ n=1វិសមភាពគឺត្រឹមត្រូវ។ នៅ n=2វិសមភាពក៏ជាការពិតដែរ។ នៅ n=3វិសមភាពលែងពេញចិត្តទៀតហើយ។ លុះត្រាតែ n=6វិសមភាពនេះរក្សាបាន ដូច្នេះសម្រាប់មូលដ្ឋាននៃការចាប់ផ្តើមដែលយើងអាចទទួលយកបាន។ n=6.
សន្មតថាវិសមភាពគឺជាការពិតសម្រាប់ធម្មជាតិមួយចំនួន ទៅ៖
វិសមភាពចុងក្រោយគឺប្រសិនបើ វិធីសាស្រ្តភស្តុតាងផ្អែកលើ axiom 4 របស់ Peano ត្រូវបានប្រើដើម្បីបញ្ជាក់លក្ខណៈសម្បត្តិគណិតវិទ្យាជាច្រើន និងសេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្សេងៗ។ មូលដ្ឋានសម្រាប់នេះគឺជាទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។ ទ្រឹស្តីបទ. ប្រសិនបើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ ប៉ុន្តែ(ន)ជាមួយនឹងការប្រែប្រួលធម្មជាតិ នពិតសម្រាប់ n= 1 និងពីការពិតដែលថាវាជាការពិតសម្រាប់ n=kវាដូចខាងក្រោមដែលវាជាការពិតសម្រាប់លេខបន្ទាប់ n=k,បន្ទាប់មកសេចក្តីថ្លែងការណ៍ ប៉ុន្តែ(ន) ន. ភស្តុតាង. បញ្ជាក់ដោយ មសំណុំនៃចំនួនទាំងនោះ ហើយមានតែលេខធម្មជាតិដែលសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះប៉ុណ្ណោះ។ ប៉ុន្តែ(ន)ពិត។ បន្ទាប់មកតាមលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ យើងមាន៖ ១) ១ ម; 2) k Mkម. ដូច្នេះដោយផ្អែកលើ Axiom 4 យើងសន្និដ្ឋាន ម =ន, i.e. សេចក្តីថ្លែងការណ៍ ប៉ុន្តែ(ន)ពិតសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ន. វិធីសាស្រ្តនៃភស្តុតាងផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានគេហៅថា វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា,ហើយ axiom គឺជា axiom នៃ induction ។ ភស្តុតាងនេះមានពីរផ្នែក៖ 1) បញ្ជាក់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ ប៉ុន្តែ(ន)ពិតសម្រាប់ n= ក(១); 2) សន្មតថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ ប៉ុន្តែ(ន)ពិតសម្រាប់ n=kនិង, ចាប់ផ្តើមពីការសន្មត់នេះ, បង្ហាញថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ។ A(n)ពិតសម្រាប់ n=k+ 1, i.e. ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះជាការពិត ក(k) ក(k+ 1).
ប្រសិនបើ ក ប៉ុន្តែ( 1) ប៉ុន្តែ(k) A(k + 1)
គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត បន្ទាប់មកពួកគេសន្និដ្ឋានថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នោះ។ A(n)ពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ។ ន. ភស្តុតាងដោយការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាអាចចាប់ផ្តើមមិនត្រឹមតែជាមួយនឹងការបញ្ជាក់ការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ n= 1, ប៉ុន្តែក៏មកពីលេខធម្មជាតិណាមួយ។ ម. ក្នុងករណីនេះសេចក្តីថ្លែងការណ៍ ប៉ុន្តែ(ន)នឹងត្រូវបានបញ្ជាក់សម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់។ nm. បញ្ហា ចូរយើងបញ្ជាក់ថា សម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ សមភាព 1 + 3 + 5 ... + (2 ន- 1) =
ន. ការសម្រេចចិត្ត។សមភាព ១ + ៣ + ៥ ... + (២ n- 1) =
នគឺជារូបមន្តដែលអាចប្រើដើម្បីរកផលបូកនៃលេខសេសធម្មជាតិជាប់គ្នាដំបូង។ ឧទាហរណ៍ 1 + 3 + 5 + 7 = 4= 16 (ផលបូកមាន 4 លក្ខខណ្ឌ) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6= 36 (ផលបូកមាន 6 លក្ខខណ្ឌ); ប្រសិនបើផលបូកនេះមាន 20 លក្ខខណ្ឌនៃប្រភេទដែលបានចង្អុលបង្ហាញ នោះវាស្មើនឹង 20 = 400 ។ល។ ដោយបានបង្ហាញពីការពិតនៃសមភាពនេះ យើងនឹងអាចស្វែងរកផលបូកនៃចំនួនពាក្យណាមួយនៃប្រភេទដែលបានបញ្ជាក់ដោយប្រើរូបមន្ត។ 1) ផ្ទៀងផ្ទាត់ការពិតនៃសមភាពនេះសម្រាប់ n= 1. ពេលណា n= 1 ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាពមានពាក្យមួយស្មើនឹង 1 ផ្នែកខាងស្តាំស្មើនឹង 1=1។ ចាប់តាំងពី 1=1 បន្ទាប់មកសម្រាប់ n= 1 សមភាពនេះជាការពិត។ 2) សន្មតថាសមភាពនេះគឺជាការពិតសម្រាប់ n=k, i.e. នោះ ១ + ៣ + ៥ + … + (២ k- 1) =
kដោយផ្អែកលើការសន្មត់នេះ យើងបង្ហាញថាវាជាការពិតសម្រាប់ n=k+ 1, i.e. ១ + ៣ + ៥ + ... + (២ k- 1) + (2(k + 1) - 1) =
(k + 1). ពិចារណាផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាពចុងក្រោយ។ តាមការសន្មតផលបូកនៃទីមួយ kលក្ខខណ្ឌគឺ kដូច្នេះ 1 + 3 + 5 + ... + (2 k- 1) + (2(k + 1) - 1) =
1 + 3 + 5 + … + (2k- 1) + (2k+ 1)= = k+(2k + 1) =
k+ 2k + 1.
កន្សោម
k+ 2k + 1 គឺដូចគ្នាបេះបិទទៅនឹងកន្សោម ( k + 1).
ដូច្នេះការពិតនៃសមភាពនេះសម្រាប់ n=k+ 1 ត្រូវបានបញ្ជាក់។ ដូច្នេះសមភាពនេះគឺជាការពិតសម្រាប់ n= 1 និងពីការពិតរបស់វាសម្រាប់ n=kធ្វើតាមការពិតសម្រាប់ n=k+ 1. នេះបង្ហាញថាសមភាពនេះជាការពិតសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ។ ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា មនុស្សម្នាក់អាចបញ្ជាក់ការពិតនៃការមិនត្រឹមតែសមភាពប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែក៏មានវិសមភាពផងដែរ។ កិច្ចការ។ បញ្ជាក់ថានៅកន្លែងណា ន. ការសម្រេចចិត្ត។ចូរយើងពិនិត្យមើលការពិតនៃវិសមភាពសម្រាប់ n= 1. យើងមាន - វិសមភាពពិត។ ចូរយើងសន្មត់ថាវិសមភាពគឺជាការពិតសម្រាប់ n=k,ទាំងនោះ។ - វិសមភាពពិត។ ចូរយើងបញ្ជាក់ដោយផ្អែកលើការសន្មត់ថាវាជាការពិតសម្រាប់
n=k+ 1, i.e. យើងបំប្លែងផ្នែកខាងឆ្វេងនៃវិសមភាព (*) ដោយគិតគូរថា : . ប៉ុន្តែមានន័យថា ដូច្នេះ វិសមភាពនេះគឺជាការពិតសម្រាប់ n= 1, និង, ពីការពិតដែលថាវិសមភាពគឺជាការពិតសម្រាប់មួយចំនួន n= kយើងបានរកឃើញថាវាជាការពិតសម្រាប់ n= k + 1. ដូច្នេះដោយប្រើ Axiom 4 យើងបានបង្ហាញថាវិសមភាពនេះគឺពិតសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិណាមួយ។ ការអះអាងផ្សេងទៀតក៏អាចបញ្ជាក់បានដោយវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាផងដែរ។ កិច្ចការ។ បង្ហាញថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ។ ការសម្រេចចិត្ត. ចូរយើងពិនិត្យមើលការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ n=១- សេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត។ ចូរយើងសន្មត់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺពិតសម្រាប់ n=k:. អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញ ការប្រើប្រាស់នេះ ការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ n=k+ 1: ចូរបំប្លែងកន្សោម៖ . ចូរយើងស្វែងរកភាពខុសគ្នា kនិង k+ 1 សមាជិក។ ប្រសិនបើវាបង្ហាញថាភាពខុសគ្នាលទ្ធផលគឺជាពហុគុណនៃ 7 ហើយដោយការសន្មត់ថាផ្នែករងត្រូវបានបែងចែកដោយ 7 នោះ minuend ក៏ជាពហុគុណនៃ 7៖ ផលិតផលគឺជាពហុគុណនៃ 7 ដូច្នេះ និង . ដូច្នេះសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺពិតសម្រាប់ n= 1 និងពីការពិតរបស់វាសម្រាប់ n=kធ្វើតាមការពិតសម្រាប់ n=k+ 1. នេះបង្ហាញថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ។ កិច្ចការ។ បញ្ជាក់ថាសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ។ ន 2 សេចក្តីថ្លែងការណ៍ (7-1)24 គឺពិត។ ការសម្រេចចិត្ត។ 1) ពិនិត្យមើលការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ ន= 2: - សេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត។ Savelyeva Ekaterina ក្រដាសនេះពិចារណាលើការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាបែងចែក ដល់ការបូកសរុបនៃស៊េរី។ ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាទៅនឹងភស្តុតាងនៃវិសមភាពនិងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាធរណីមាត្រត្រូវបានពិចារណា។ ការងារត្រូវបានបង្ហាញជាមួយបទបង្ហាញ។ ក្រសួងវិទ្យាសាស្ត្រនិងអប់រំនៃសហព័ន្ធរុស្ស៊ី ស្ថាប័នអប់រំរបស់រដ្ឋ អនុវិទ្យាល័យ លេខ ៦១៨ វគ្គសិក្សា៖ ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ ប្រធានបទការងារគម្រោង "វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា និងការអនុវត្តន៍របស់វាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា" ការងារបានបញ្ចប់: Savelyeva E, ថ្នាក់ 11B អ្នកគ្រប់គ្រង : Makarova T.P. គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា អនុវិទ្យាល័យលេខ៦១៨ 1 ។ សេចក្ដីណែនាំ។ 2.Method of mathematical induction in solving problems division. 3. ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាទៅនឹងការបូកសរុបនៃស៊េរី។ 4. ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាទៅនឹងភស្តុតាងនៃវិសមភាព។ 5. ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាទៅនឹងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាធរណីមាត្រ។ 6. បញ្ជីអក្សរសិល្ប៍ដែលបានប្រើ។ សេចក្តីផ្តើម វិធីសាស្រ្តដកយក និងអាំងឌុចស្យុង គឺជាមូលដ្ឋាននៃការស្រាវជ្រាវគណិតវិទ្យាណាមួយ។ វិធីសាស្រ្តកាត់កងនៃហេតុផលគឺការវែកញែកពីទូទៅទៅពិសេស, i.e. ការវែកញែក ចំណុចចាប់ផ្តើម ដែលជាលទ្ធផលទូទៅ ហើយចំណុចចុងក្រោយ គឺជាលទ្ធផលជាក់លាក់។ អាំងឌុចស្យុងត្រូវបានអនុវត្តនៅពេលឆ្លងពីលទ្ធផលជាក់លាក់ទៅលទ្ធផលទូទៅ i.e. គឺផ្ទុយពីវិធីសាស្ត្រដក។ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាអាចប្រៀបធៀបជាមួយនឹងវឌ្ឍនភាព។ យើងចាប់ផ្តើមពីកម្រិតទាបបំផុត ដែលជាលទ្ធផលនៃការគិតឡូជីខល យើងមកខ្ពស់បំផុត។ មនុស្សតែងតែខិតខំដើម្បីភាពរីកចម្រើន សម្រាប់សមត្ថភាពក្នុងការអភិវឌ្ឍការគិតរបស់គាត់ប្រកបដោយតក្កវិជ្ជា ដែលមានន័យថាធម្មជាតិបានកំណត់គាត់ឱ្យគិតដោយប្រយោល។ ថ្វីត្បិតតែផ្នែកនៃការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃអាំងឌុចស្យុងគណិតវិទ្យាមានការរីកចម្រើនក៏ដោយ ពេលវេលាតិចតួចត្រូវបានឧទ្ទិសដល់វានៅក្នុងកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា។ ប៉ុន្តែវាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការអាចគិតដោយអាំងឌុចទ័ណ្ឌ។ ការអនុវត្តគោលការណ៍នេះក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា និងទ្រឹស្តីបទបង្ហាញគឺស្មើរនឹងការពិចារណាក្នុងការអនុវត្តសាលានៃគោលការណ៍គណិតវិទ្យាផ្សេងទៀត៖ មជ្ឈិមដែលបានដកចេញ ការរាប់បញ្ចូល-មិនរាប់បញ្ចូល ឌីរីចឡេត ជាដើម។ អត្ថបទនេះមានបញ្ហាមកពីសាខាផ្សេងៗគ្នានៃគណិតវិទ្យា ដែលក្នុងនោះ ឧបករណ៍សំខាន់គឺវិធីសាស្រ្តប្រើប្រាស់នៃ induction គណិតវិទ្យា។ និយាយអំពីសារៈសំខាន់នៃវិធីសាស្រ្តនេះ A.N. Kolmogorov បានកត់សម្គាល់ថា "ការយល់ដឹងនិងសមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាគឺជាលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យដ៏ល្អសម្រាប់ភាពចាស់ទុំដែលចាំបាច់បំផុតសម្រាប់គណិតវិទូ" ។ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលក្នុងន័យទូលំទូលាយបំផុតរបស់វាមាននៅក្នុងការផ្លាស់ប្តូរពីការសង្កេតឯកជនទៅជាសកល គំរូទូទៅ ឬការបង្កើតទូទៅ។ នៅក្នុងការបកស្រាយនេះ វិធីសាស្រ្តគឺជាការពិតណាស់ បច្ចេកទេសសំខាន់សម្រាប់ធ្វើការស្រាវជ្រាវនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិពិសោធន៍ណាមួយ។ សកម្មភាពរបស់មនុស្ស។ វិធីសាស្រ្ត (គោលការណ៍) នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក្នុងទម្រង់សាមញ្ញបំផុតរបស់វាត្រូវបានប្រើនៅពេលដែលវាចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់។ បញ្ហា 1. នៅក្នុងអត្ថបទរបស់គាត់ "តើខ្ញុំក្លាយជាអ្នកគណិតវិទ្យា" A.N. Kolmogorov សរសេរថា: "ខ្ញុំបានរៀនពីសេចក្តីអំណរនៃ "ការរកឃើញ" គណិតវិទ្យានៅដើមឆ្នាំដោយបានកត់សម្គាល់នៅអាយុប្រាំឬប្រាំមួយឆ្នាំគំរូ។ 1 =1
2
,
1 + 3 = 2
2
,
1 + 3 + 5 \u003d W 2, 1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 ហើយដូច្នេះនៅលើ។ សាលាបានបោះពុម្ពទស្សនាវដ្តី "ស្វានិទាឃរដូវ" ។ នៅក្នុងនោះ ការរកឃើញរបស់ខ្ញុំត្រូវបានបោះពុម្ព…” យើងមិនដឹងថាតើភស្តុតាងបែបណាដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងទិនានុប្បវត្តិនេះ ប៉ុន្តែវាទាំងអស់បានចាប់ផ្តើមដោយការសង្កេតឯកជន។ សម្មតិកម្មខ្លួនឯងដែលប្រហែលជាកើតឡើងបន្ទាប់ពីការរកឃើញនៃសមភាពផ្នែកទាំងនេះគឺរូបមន្ត 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n 2 ពិតសម្រាប់លេខណាមួយ។ n = 1, 2, 3, ... ដើម្បីបញ្ជាក់ការសន្និដ្ឋាននេះ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបង្កើតការពិតពីរ។ ទីមួយសម្រាប់ n = 1 (និងសូម្បីតែសម្រាប់ n = ២, ៣, ៤) សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលចង់បានគឺពិត។ ទីពីរ ឧបមាថា សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះជាការពិតសម្រាប់ n = k, ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់ថាវាជាការពិតសម្រាប់ n = k + 1: 1 + 3 + 5+…+ (2k − 1) + (2k + 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1)) + (2k + 1) = k 2 + (2k + ១) = (k + I) ២. ដូច្នេះ ការអះអាងដែលត្រូវបានបង្ហាញគឺពិតសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់។ n: សម្រាប់ n = 1 វាជាការពិត (នេះត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់) និងដោយសារការពិតទីពីរសម្រាប់ n = 2, wherece សម្រាប់ n = 3 (ដោយសារការពិតទីពីរដូចគ្នា) ។ល។ បញ្ហា 2. ពិចារណាប្រភាគធម្មតាដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ជាមួយភាគយក 1 និងណាមួយ (ចំនួនគត់វិជ្ជមាន) ភាគបែង៖ បញ្ជាក់ថាសម្រាប់អ្វីមួយ។ n> 3 អាចត្រូវបានតំណាងជាផលបូកទំ ប្រភាគផ្សេងៗគ្នានៃប្រភេទនេះ។ ការសម្រេចចិត្ត, ចូរយើងពិនិត្យមើលការអះអាងនេះជាមុនសិន n = 3; យើងមាន: ដូច្នេះការអះអាងជាមូលដ្ឋានគឺពេញចិត្ត ឧបមាថាឥឡូវនេះសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃការចាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើងគឺជាការពិតសម្រាប់ចំនួនមួយចំនួនទៅ, ហើយបញ្ជាក់ថាវាក៏ពិតសម្រាប់លេខដែលតាមពីក្រោយវាដែរ។ទៅ + 1. ម្យ៉ាងទៀត ឧបមាថាមានតំណាង ដែល k ពាក្យ និងភាគបែងទាំងអស់គឺខុសគ្នា។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាបន្ទាប់មកវាអាចទៅរួចដើម្បីទទួលបានតំណាងនៃអង្គភាពក្នុងទម្រង់នៃផលបូកពីទៅ + 1 ប្រភាគនៃប្រភេទដែលចង់បាន។ យើងនឹងសន្មត់ថាប្រភាគមានការថយចុះ ពោលគឺភាគបែង (ក្នុងតំណាងនៃឯកតាដោយផលបូកទៅ ពាក្យ) កើនឡើងពីឆ្វេងទៅស្តាំដូច្នេះ t គឺជាភាគបែងធំបំផុត។ យើងនឹងទទួលបានតំណាងដែលយើងត្រូវការក្នុងទម្រង់ជាផលបូក(ទៅ + 1) ប្រភាគ ប្រសិនបើយើងបំបែកប្រភាគមួយ ឧទាហរណ៍ ប្រភាគចុងក្រោយជាពីរ។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយសារតែ ហើយដូច្នេះ លើសពីនេះទៀតប្រភាគទាំងអស់នៅតែមានភាពខុសគ្នាចាប់តាំងពី t គឺជាភាគបែងដ៏ធំបំផុត និង t + 1 > t និង m (t + 1) > m ។ ដូច្នេះយើងបានបង្កើត៖ នៅលើមូលដ្ឋាននេះ យើងអាចអះអាងបានថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលកំពុងពិចារណាគឺជាការពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់ ដោយចាប់ផ្តើមពីលេខបី។ លើសពីនេះទៀត ភស្តុតាងខាងលើក៏បង្កប់ន័យអំពីក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកភាគដែលចង់បាននៃការរួបរួម។ (តើនេះជាក្បួនដោះស្រាយអ្វី? ស្រមៃមើលលេខ 1 ជាផលបូកនៃ 4, 5, 7 ដោយខ្លួនឯង)។ ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាមុនពីរជំហានត្រូវបានធ្វើ។ ជំហានដំបូងត្រូវបានគេហៅថាមូលដ្ឋាន induction, ទីពីរការផ្លាស់ប្តូរ inductiveឬជំហាននៃការចាប់ផ្តើម។ ជំហានទីពីរគឺសំខាន់បំផុត ហើយវាពាក់ព័ន្ធនឹងការសន្មត់មួយ (សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n = k) និងការសន្និដ្ឋាន (សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n = k + 1) ។ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ p ខ្លួនវាត្រូវបានគេហៅថា ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ induction ។គ្រោងការណ៍ឡូជីខលនេះ (ឧបករណ៍) ដែលធ្វើឱ្យវាអាចសន្និដ្ឋានថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលកំពុងពិចារណាគឺពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់ (ឬសម្រាប់ទាំងអស់ដោយចាប់ផ្តើមពីមួយចំនួន) ចាប់តាំងពីទាំងមូលដ្ឋាននិងការផ្លាស់ប្តូរមានសុពលភាពត្រូវបានគេហៅថាគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា,នៅលើមួយណា និង វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាគឺផ្អែកលើ។ពាក្យ "induction" ខ្លួនវាមកពីពាក្យឡាតាំងអាំងឌុចស្យុង (ការណែនាំ) ដែលមានន័យថាការផ្លាស់ប្តូរពីចំណេះដឹងតែមួយអំពីវត្ថុបុគ្គលនៃថ្នាក់ដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាការសន្និដ្ឋានទូទៅអំពីវត្ថុទាំងអស់នៃថ្នាក់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលជាវិធីសាស្រ្តសំខាន់មួយនៃចំណេះដឹង។ គោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក្នុងទម្រង់ធម្មតានៃជំហានពីរ បានបង្ហាញខ្លួនជាលើកដំបូងនៅក្នុងឆ្នាំ 1654 នៅក្នុងសន្ធិសញ្ញារបស់ Blaise Pascal ស្តីពីត្រីកោណនព្វន្ធ ដែលវិធីសាមញ្ញមួយក្នុងការគណនាចំនួនបន្សំ (មេគុណ binomial) ត្រូវបានបង្ហាញដោយការបញ្ចូល។ D. Poya ដកស្រង់ B. Pascal នៅក្នុងសៀវភៅជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរបន្តិចបន្តួចដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងតង្កៀបការ៉េ: “ទោះបីជាការពិតដែលថាសំណើដែលកំពុងពិចារណា [រូបមន្តច្បាស់លាស់សម្រាប់មេគុណទ្វេគុណ] មានចំនួនករណីពិសេសគ្មានកំណត់ ខ្ញុំនឹងផ្តល់ភស្តុតាងខ្លីៗសម្រាប់វា ដោយផ្អែកលើចំនួនពីរ។ លេម៉ាទី 1 ចែងថាការសន្និដ្ឋានគឺជាការពិតសម្រាប់មូលដ្ឋាន - នេះគឺជាក់ស្តែង។ [នៅទំ = 1 រូបមន្តច្បាស់លាស់គឺត្រឹមត្រូវ...] លេម៉ាទី 2 ចែងដូចខាងក្រោមៈ ប្រសិនបើការសន្មត់របស់យើងជាការពិតសម្រាប់មូលដ្ឋានបំពាន [សម្រាប់ r arbitrary] នោះវានឹងជាការពិតសម្រាប់មូលដ្ឋានខាងក្រោម [សម្រាប់ n + 1] ។ លក្ខខណ្ឌទាំងពីរនេះ ចាំបាច់បញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃសំណើសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់។ទំ. ពិតមែនដោយធម៌ទេសនាទី១ វាមានសុពលភាពទំ = 1; អាស្រ័យហេតុនេះ ដោយគុណធម៌ទីពីរ វាមានសុពលភាពទំ = 2; ដូច្នេះ ម្តងទៀត ដោយគុណធម៌នៃលេម៉ាទី ទីពីរ វាមានសុពលភាពសម្រាប់ n = 3 ហើយដូច្នេះនៅលើការផ្សាយពាណិជ្ជកម្មគ្មានកំណត់។ បញ្ហាទី 3. ប៉មនៃល្បែងផ្គុំរូបហាណូយមានកំណាត់បី។ នៅលើកំណាត់មួយមានពីរ៉ាមីតមួយ (រូបភាពទី 1) ដែលមានចិញ្ចៀនជាច្រើនដែលមានអង្កត់ផ្ចិតខុសៗគ្នា បន្ថយពីបាតទៅកំពូល។ រូប ១ ពីរ៉ាមីតនេះត្រូវតែផ្ទេរទៅខ្សែម្ខាងទៀត ដោយផ្ទេរចិញ្ចៀនតែមួយដងប៉ុណ្ណោះ និងមិនដាក់ចិញ្ចៀនធំនៅលើចិញ្ចៀនតូចជាង។ តើវាអាចធ្វើបានទេ? ការសម្រេចចិត្ត។ ដូច្នេះយើងត្រូវឆ្លើយសំណួរ៖ តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការផ្លាស់ទីពីរ៉ាមីតដែលមានទំ ចិញ្ចៀនដែលមានអង្កត់ផ្ចិតខុសៗគ្នា ពីដំបងមួយទៅដំបងមួយទៀត អនុវត្តតាមច្បាប់នៃហ្គេម? ឥឡូវនេះបញ្ហាគឺដូចដែលពួកគេនិយាយ កំណត់ដោយយើង (ចំនួនធម្មជាតិភី) ហើយវាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ ពីរ៉ាមីតពីទៅ ចិញ្ចៀនដែលដេកនៅលើធំបំផុត(ទៅ + 1)-th ring, យើងអាច, នេះបើយោងតាមការសន្មត់, ផ្លាស់ទីទៅ pivot ផ្សេងទៀត។ តោះធ្វើវា។ គ្មានចលនា(ទៅ + 1) ចិញ្ចៀនទីនឹងមិនជ្រៀតជ្រែកជាមួយយើងដើម្បីអនុវត្តក្បួនដោះស្រាយការផ្លាស់ទីលំនៅទេព្រោះវាធំជាងគេ។ បន្ទាប់ពីផ្លាស់ទីទៅ ចិញ្ចៀន, ផ្លាស់ទីធំបំផុតនេះ។(ទៅ + 1) ចិញ្ចៀននៅលើដំបងដែលនៅសល់។ ហើយបន្ទាប់មកទៀតយើងអនុវត្តក្បួនដោះស្រាយផ្លាស់ទីដែលស្គាល់យើងដោយការសន្មត់បញ្ចូលទៅ ចិញ្ចៀនហើយផ្លាស់ទីពួកវាទៅដំបង(ទៅ + 1) ចិញ្ចៀន។ ដូច្នេះប្រសិនបើយើងអាចផ្លាស់ទីពីរ៉ាមីតជាមួយទៅ ចិញ្ចៀនបន្ទាប់មកយើងអាចផ្លាស់ទីពីរ៉ាមីតនិងទៅ +ចិញ្ចៀន១វង់។ ដូច្នេះយោងទៅតាមគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា វាតែងតែអាចផ្លាស់ទីពីរ៉ាមីត ដែលរួមមាន n ចិញ្ចៀនដែល n > 1 ។ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាបែងចែក។ ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា គេអាចបញ្ជាក់ពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍ផ្សេងៗទាក់ទងនឹងការបែងចែកលេខធម្មជាតិ។ កិច្ចការទី 4 . ប្រសិនបើ n ជាលេខធម្មជាតិ នោះលេខគឺស្មើ។ សម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់យើងគឺពិត៖ - លេខគូ។ ចូរសន្មតថាវាជាលេខគូ។ ដោយសារ 2k គឺជាលេខគូ ដូច្នេះវាក៏ដូចគ្នាដែរ។ ដូច្នេះ parity គឺត្រូវបានបង្ហាញឱ្យឃើញសម្រាប់ n=1, parity ត្រូវបានកាត់ចេញពី parity ដូច្នេះ, សូម្បីតែសម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិទាំងអស់នៃ n ។ កិច្ចការទី 3. បង្ហាញថាលេខ Z 3
+
3
- 26n - 27 ជាមួយនឹងធម្មជាតិបំពាន n ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 2 ដោយគ្មានសល់។ ការសម្រេចចិត្ត។ ចូរយើងបញ្ជាក់ជាបឋមដោយការបញ្ចូលការអះអាងជំនួយថា ៣ 3n+3 1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 ដោយមិននៅសល់ n > 0 ។ ជំហាននៃការបញ្ចូល។ ឧបមាថា ៣ 3n + 3 - 1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 នៅពេល n = k, និង អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាក្នុងករណីនេះការអះអាងនឹងជាការពិតសម្រាប់ n = k + 1. ចាប់តាំងពី 3 បន្ទាប់មកពីការសន្មត់ inductive យើងសន្និដ្ឋានថាលេខ 3 3k + 6 - 1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 ។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្ហាញការអះអាងដែលបានបង្កើតនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។ ហើយម្តងទៀតដោយការបញ្ចូល។ ចែកដោយ 26 2 ដោយគ្មានដាន។ នៅក្នុងផលបូកចុងក្រោយ ពាក្យទាំងពីរត្រូវបានបែងចែកដោយគ្មានសល់ដោយ 26 2
. ទីមួយគឺដោយសារតែយើងបានបង្ហាញថាកន្សោមនៅក្នុងតង្កៀបត្រូវបានបែងចែកដោយ 26; ទីពីរដោយសម្មតិកម្មអាំងឌុចទ័។ ដោយគុណធម៌នៃគោលការណ៍ induction គណិតវិទ្យា សេចក្តីថ្លែងការណ៍ចាំបាច់ត្រូវបានបង្ហាញទាំងស្រុង។ ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាទៅនឹងការបូកសរុបនៃស៊េរី។ កិច្ចការទី 5 ។ បញ្ជាក់រូបមន្ត N គឺជាលេខធម្មជាតិ។ ការសម្រេចចិត្ត។ សម្រាប់ n=1 ផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពប្រែទៅជាមួយ ហើយដូច្នេះលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាគឺពេញចិត្ត។ សន្មតថារូបមន្តគឺពិតសម្រាប់ n=k, i.e. ចូរយើងបន្ថែមលើភាគីទាំងពីរនៃសមភាពនេះ ហើយផ្លាស់ប្តូរផ្នែកខាងស្តាំ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន ដូច្នេះពីការពិតដែលថារូបមន្តគឺពិតសម្រាប់ n = k វាធ្វើតាមថាវាជាការពិតសម្រាប់ n = k + 1 ផងដែរ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺពិតសម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិណាមួយនៃ k ។ ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌទីពីរនៃគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក៏ត្រូវបានពេញចិត្តផងដែរ។ រូបមន្តត្រូវបានបញ្ជាក់។ កិច្ចការ 6. លេខពីរត្រូវបានសរសេរនៅលើក្តារ: 1.1 ។ ការបញ្ចូលផលបូករបស់ពួកគេរវាងលេខ យើងទទួលបានលេខ 1, 2, 1។ ធ្វើប្រតិបត្តិការនេះម្តងទៀត យើងទទួលបានលេខ 1, 3, 2, 3, 1។ បន្ទាប់ពីប្រតិបត្តិការចំនួនបី លេខនឹងជា 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1. តើអ្វីនឹងជាផលបូកនៃលេខទាំងអស់នៅលើក្តារបន្ទាប់ពី 100 ប្រតិបត្តិការ? ការសម្រេចចិត្ត។ ធ្វើទាំងអស់ 100 ប្រតិបត្តិការនឹងចំណាយពេលច្រើន និងចំណាយពេលច្រើន។ ដូច្នេះយើងត្រូវព្យាយាមរករូបមន្តទូទៅមួយចំនួនសម្រាប់ផលបូក Sលេខបន្ទាប់ពី n ប្រតិបត្តិការ។ តោះមើលតារាង៖ តើអ្នកបានកត់សម្គាល់ឃើញគំរូណាមួយនៅទីនេះទេ? ប្រសិនបើមិនមានទេ អ្នកអាចចាត់វិធានការមួយជំហានទៀត៖ បន្ទាប់ពីប្រតិបត្តិការចំនួនបួន នឹងមានលេខ 1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1,
ដែលផលបូក S 4 គឺ 82 ។ តាមពិតអ្នកមិនអាចសរសេរលេខបានទេ ប៉ុន្តែភ្លាមៗត្រូវនិយាយពីរបៀបដែលផលបូកនឹងផ្លាស់ប្តូរបន្ទាប់ពីបន្ថែមលេខថ្មី។ ចូរឱ្យផលបូកស្មើនឹង 5។ តើវានឹងក្លាយទៅជាអ្វីនៅពេលបន្ថែមលេខថ្មី? ចូរបំបែកលេខថ្មីនីមួយៗទៅជាផលបូកនៃលេខចាស់ពីរ។ ឧទាហរណ៍ពី 1, 3, 2, 3, 1 យើងទៅ 1, 1 + 3, 3, 3 + 2, 2, 2 + 3, 3, 3 + 1, 1.
នោះគឺលេខចាស់នីមួយៗ (លើកលែងតែលេខខ្លាំងទាំងពីរ) ឥឡូវនេះបញ្ចូលផលបូកបីដង ដូច្នេះផលបូកថ្មីគឺ 3S - 2 (ដក 2 ដើម្បីយកទៅក្នុងគណនីដែលបាត់)។ ដូច្នេះ ស 5 = 3S 4 - 2 = 244 ហើយជាទូទៅ តើអ្វីជារូបមន្តទូទៅ? ប្រសិនបើវាមិនមែនសម្រាប់ការដកនៃពីរឯកតាទេនោះរាល់ពេលដែលផលបូកនឹងកើនឡើងបីដងដូចនៅក្នុងអំណាចនៃបីដង (1, 3, 9, 27, 81, 243, ... ) ។ ហើយលេខរបស់យើងដូចដែលអ្នកអាចឃើញឥឡូវនេះគឺមួយទៀត។ ដូច្នេះវាអាចត្រូវបានសន្មត់ថា ឥឡូវនេះ ចូរយើងព្យាយាមបញ្ជាក់វាដោយការណែនាំ។ មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល។ សូមមើលតារាង (សម្រាប់ n = 0, 1, 2, 3) ។ ជំហាននៃការបញ្ចូល។ ចូរយើងធ្វើពុតនោះ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់នៅពេលនោះ។ S ទៅ + 1 \u003d Z ទៅ + 1 + 1 ។ ពិតជា ដូច្នេះរូបមន្តរបស់យើងត្រូវបានបញ្ជាក់។ វាបង្ហាញថាបន្ទាប់ពីប្រតិបត្តិការមួយរយផលបូកនៃលេខទាំងអស់នៅលើក្តារនឹងស្មើនឹង 3 100
+ 1.
សូមពិចារណាឧទាហរណ៍ដ៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់មួយនៃការអនុវត្តគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា ដែលដំបូងអ្នកត្រូវណែនាំប៉ារ៉ាម៉ែត្រធម្មជាតិពីរ ហើយបន្ទាប់មកអនុវត្តការបញ្ចូលលើផលបូករបស់វា។ កិច្ចការ 7. បញ្ជាក់ថាប្រសិនបើ= 2, x 2 = 3 និងសម្រាប់ធម្មជាតិនីមួយៗ n> ៣ x n \u003d Zx n - 1 - 2x n - 2, បន្ទាប់មក 2 n − 1 + 1, n = 1, 2, 3, ... ការសម្រេចចិត្ត។ ចំណាំថានៅក្នុងបញ្ហានេះ លំដាប់ដំបូងនៃលេខ(x n) ត្រូវបានកំណត់ដោយអាំងឌុចស្យុង ចាប់តាំងពីលក្ខខណ្ឌនៃលំដាប់របស់យើង លើកលែងតែពីរដំបូងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយអាំងឌុចទ័ ពោលគឺតាមរយៈពាក្យមុនៗ។ លំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថាកើតឡើងវិញ, ហើយក្នុងករណីរបស់យើង លំដាប់នេះត្រូវបានកំណត់ (ដោយបញ្ជាក់ពាក្យពីរដំបូងរបស់វា) តាមរបៀបតែមួយគត់។ មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល។ វាមានការត្រួតពិនិត្យការអះអាងពីរ៖ n=1 និង n=2.B ក្នុងករណីទាំងពីរ ការអះអាងគឺពិតតាមការសន្មត។ ជំហាននៃការបញ្ចូល។ ចូរសន្មតថាសម្រាប់ n = k − 1 និង n = k ការអះអាងត្រូវបានធ្វើឡើង, នោះគឺ បន្ទាប់មកអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញការអះអាងសម្រាប់ n = k + 1. យើងមាន៖ x 1 = 3(2 + 1) - 2(2 + 1) = 2 + 1 ដែលត្រូវបង្ហាញ។ កិច្ចការ ៨. បង្ហាញថាចំនួនធម្មជាតិណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃសមាជិកផ្សេងគ្នាជាច្រើននៃលំដាប់ដែលកើតឡើងដដែលៗនៃលេខ Fibonacci៖ សម្រាប់ k > 2 ។ ការសម្រេចចិត្ត។ អនុញ្ញាតឱ្យទំ - លេខធម្មជាតិ។ យើងនឹងអនុវត្តការណែនាំនៅលើទំ. មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល។ សម្រាប់ n = សេចក្តីថ្លែងការណ៍ 1 គឺពិត ដោយសារឯកតាគឺជាលេខ Fibonacci ។ ជំហាននៃការបញ្ចូល។ សន្មតថាលេខធម្មជាតិទាំងអស់តិចជាងលេខមួយចំនួន P អាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌផ្សេងគ្នាជាច្រើននៃលំដាប់ Fibonacci ។ ស្វែងរកលេខ Fibonacci ធំបំផុត F t , មិនលើសទំ; ដូច្នេះ F t n និង F t +1 > n ។ ដរាបណា តាមសម្មតិកម្មនៃសេចក្តីផ្តើម លេខ p- F t អាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃសមាជិក 5 ផ្សេងគ្នានៃលំដាប់ Fibonacci ហើយពីវិសមភាពចុងក្រោយវាកើតឡើងថាសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់ Fibonacci ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងផលបូកនៃ 8 គឺតិចជាង F t ។ ដូច្នេះការពង្រីកចំនួន n = 8 + F t បំពេញលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។ ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាទៅនឹងភស្តុតាងនៃវិសមភាព។ កិច្ចការ ៩. (វិសមភាពរបស់ Bernoulli ។ )បញ្ជាក់ថាពេលណា x > -1, x 0 និងសម្រាប់ចំនួនគត់ n > ២ វិសមភាព (1 + x) n > 1 + xn ។ ការសម្រេចចិត្ត។ យើងនឹងអនុវត្តភស្តុតាងម្តងទៀតដោយការណែនាំ។ 1. មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្ទៀងផ្ទាត់សុពលភាពនៃវិសមភាពសម្រាប់ n = 2. ជាការពិត (1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 > 1 + 2x ។ 2. ជំហាននៃការបញ្ចូល។ ចូរសន្មតថាសម្រាប់លេខ n = ក សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺជាការពិត (1 + x) k > 1 + xk, ដែល k > 2. យើងបញ្ជាក់វាសម្រាប់ n = k + 1 ។ យើងមាន: (1 + x) k + 1 = (1 + x) k (1 + x) > (1 + kx) (1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx 2 > 1 + (k + 1)x ។ ដូច្នេះ ដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា វាអាចត្រូវបានអះអាងថា វិសមភាពរបស់ Bernoulli មានសុពលភាពសម្រាប់ណាមួយ។ n > ២. មិនតែងតែនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា ច្បាប់ទូទៅដែលត្រូវតែបញ្ជាក់ត្រូវបានបង្កើតយ៉ាងច្បាស់។ ជួនកាលវាចាំបាច់ ដោយការសង្កេតលើករណីជាក់លាក់ ដើម្បីស្វែងយល់ជាមុនសិន (ទាយ) ថាតើច្បាប់ទូទៅអ្វីដែលពួកគេនាំទៅរក ហើយមានតែបន្ទាប់មកបង្ហាញសម្មតិកម្មដែលបានចែងដោយការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ លើសពីនេះទៀតអថេរ induction អាចត្រូវបានបិទបាំងហើយមុននឹងដោះស្រាយបញ្ហាវាចាំបាច់ត្រូវកំណត់ថាតើប៉ារ៉ាម៉ែត្រណាដែលអាំងឌុចស្យុងនឹងត្រូវបានអនុវត្ត។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាកិច្ចការខាងក្រោម។ បញ្ហា 10. បញ្ជាក់ សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ n > 1 ។ ការសម្រេចចិត្ត, ចូរយើងព្យាយាមបង្ហាញវិសមភាពនេះដោយ induction គណិតវិទ្យា។ មូលដ្ឋាននៃការចាប់ផ្តើមត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់យ៉ាងងាយស្រួល: 1+ ដោយសម្មតិកម្មអាំងឌុចស្យុង ហើយវានៅសល់សម្រាប់យើងដើម្បីបញ្ជាក់ ដោយប្រើសម្មតិកម្មអាំងឌុចទ័ យើងនឹងអះអាងនោះ។ ទោះបីជាសមភាពនេះជាការពិតក៏ដោយ វាមិនផ្តល់ឱ្យយើងនូវដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហានោះទេ។ ចូរយើងព្យាយាមបង្ហាញការអះអាងខ្លាំងជាងការទាមទារនៅក្នុងបញ្ហាដើម។ មានន័យថា យើងនឹងបញ្ជាក់ វាអាចហាក់បីដូចជាការបញ្ជាក់ពីការអះអាងនេះដោយការបញ្ចូលគឺគ្មានសង្ឃឹម។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅទំ = 1 យើងមាន: សេចក្តីថ្លែងការគឺពិត។ ដើម្បីបង្ហាញពីភាពត្រឹមត្រូវនៃជំហាន inductive ឧបមាថានោះ។ ហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងបញ្ជាក់ ពិតជា ដូច្នេះ យើងបានបង្ហាញការអះអាងកាន់តែខ្លាំងឡើង ដែលការអះអាងដែលមានក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាបន្ទាប់មកភ្លាមៗ។ រឿងដែលណែនាំនៅទីនេះគឺថា ទោះបីជាយើងត្រូវបញ្ជាក់ការអះអាងខ្លាំងជាងតម្រូវការក្នុងបញ្ហាក៏ដោយ យើងក៏អាចប្រើការសន្មត់ខ្លាំងជាងនៅក្នុងជំហានណែនាំផងដែរ។ នេះពន្យល់ថាការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃគោលការណ៍ induction គណិតវិទ្យាមិនតែងតែនាំទៅរកគោលដៅនោះទេ។ ស្ថានភាពដែលកើតឡើងក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាត្រូវបានគេហៅថាភាពផ្ទុយគ្នារបស់អ្នកបង្កើត។ភាពផ្ទុយស្រឡះខ្លួនវាគឺថា ផែនការស្មុគ្រស្មាញអាចត្រូវបានអនុវត្តដោយជោគជ័យកាន់តែច្រើន ប្រសិនបើពួកគេផ្អែកលើការយល់ដឹងកាន់តែស៊ីជម្រៅអំពីខ្លឹមសារនៃបញ្ហានោះ។ បញ្ហា 11. បញ្ជាក់ 2m + n − 2m សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ប្រភេទ។ ការសម្រេចចិត្ត។ នៅទីនេះយើងមានជម្រើសពីរ។ ដូច្នេះអ្នកអាចព្យាយាមអនុវត្តអ្វីដែលគេហៅថាអាំងតង់ស៊ីតេទ្វេ(ការបញ្ចូលក្នុងអាំងឌុចស្យុង) ។ យើងនឹងអនុវត្តការវែកញែកដោយប្រយោលលើទំ. 1.
មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូលយោងទៅតាមទំ។សម្រាប់ n = 1 ត្រូវតែពិនិត្យមើលវា។ 2 t ~ 1 > t ។ ដើម្បីបញ្ជាក់ពីវិសមភាពនេះ យើងប្រើការបញ្ចូលនៅលើ t. ក) មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូលដោយ vol ។សម្រាប់ t = 1 កំពុងដំណើរការ ខ) ជំហាននៃការបញ្ចូលយោងទៅតាម t ។ចូរសន្មតថានៅ t = k សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺជាការពិត 2 k ~ 1 > k ។ បន្ទាប់មកឡើង នៅធម្មជាតិ k ។ ដូច្នេះ វិសមភាព 2
អនុវត្តសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ t. 2. ជំហាននៃអាំងឌុចស្យុងយោងទៅតាមធាតុជ្រើសរើស និងជួសជុលលេខធម្មជាតិមួយចំនួន t. ចូរសន្មតថានៅ n = ខ្ញុំ សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត (សម្រាប់ថេរ t) ឧ. 2 t +1 ~ 2 > t1, ហើយបញ្ជាក់ថា ការអះអាងនឹងក្លាយជាការពិត n = l + 1 ។ សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ប្រភេទ។ ដូច្នេះដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃ induction គណិតវិទ្យា (យោងទៅតាមទំ) សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃបញ្ហាគឺពិតសម្រាប់ណាមួយ។ទំ និងសម្រាប់ថេរណាមួយ។ t. ដូច្នេះ វិសមភាពនេះមានសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ប្រភេទ។ បញ្ហា 12. អនុញ្ញាតឱ្យ m, n និង k គឺជាលេខធម្មជាតិ និង t > ទំ តើលេខទាំងពីរមួយណាធំជាង៖ នៅក្នុងរាល់ការបញ្ចេញមតិទៅ សញ្ញាឫសការ៉េ, t និង n ឆ្លាស់គ្នា។ ការសម្រេចចិត្ត។ ចូរយើងបង្ហាញការអះអាងជំនួយជាមុនសិន។ លេម៉ា។ សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ t និង n (t > n) និងមិនអវិជ្ជមាន (មិនចាំបាច់ជាចំនួនគត់) X វិសមភាព ភស្តុតាង។ ពិចារណាពីវិសមភាព វិសមភាពនេះគឺជាការពិត ព្រោះកត្តាទាំងពីរនៅខាងឆ្វេងគឺវិជ្ជមាន។ ការពង្រីកតង្កៀប និងការបំប្លែង យើងទទួលបាន៖ ដោយយកឫសការ៉េនៃផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាពចុងក្រោយ យើងទទួលបានការអះអាងនៃលេម៉ា។ ដូច្នេះលេម៉ាត្រូវបានបញ្ជាក់។ ឥឡូវនេះសូមបន្តទៅការដោះស្រាយបញ្ហា។ ចូរសម្គាល់លេខដំបូងនៃលេខទាំងនេះដោយក, និងទីពីរឆ្លងកាត់ b ទៅ។ ចូរយើងបញ្ជាក់ថា ក សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ទៅ។ ភ័ស្តុតាងនឹងត្រូវបានអនុវត្តដោយវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាដាច់ដោយឡែកសម្រាប់គូ និងសេសទៅ។ មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល។ សម្រាប់ k = 1 យើងមានវិសមភាព y [t > y/n ដែលមានសុពលភាពដោយសារការពិត m > ន. = 2, លទ្ធផលដែលចង់បានគឺទទួលបានពី lemma ដែលបានបង្ហាញដោយការជំនួស x = 0 ។ ជំហាននៃការបញ្ចូល។ ឧបមាថាសម្រាប់អ្នកខ្លះទៅវិសមភាព a > b ទៅ យុត្តិធម៌។ ចូរយើងបញ្ជាក់ ពីការសន្មត់នៃ induction និង monotonicity នៃឫសការ៉េ យើងមាន: ម៉្យាងវិញទៀត វាធ្វើតាមពីលេម៉ាម៉ាដែលបានបញ្ជាក់នោះ។ ការរួមបញ្ចូលគ្នារវាងវិសមភាពពីរចុងក្រោយ យើងទទួលបាន៖ យោងតាមគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា ការអះអាងត្រូវបានបង្ហាញ។ កិច្ចការ ១៣. (វិសមភាពរបស់ Cauchy ។ )បញ្ជាក់ថាសម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយ...,មួយទំ វិសមភាព ការសម្រេចចិត្ត។ សម្រាប់ n = 2 វិសមភាព មធ្យមនព្វន្ធ និងមធ្យមធរណីមាត្រ (សម្រាប់លេខពីរ) នឹងត្រូវបានចាត់ទុកថាស្គាល់។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន n=2, ក = 1, 2, 3, ... ហើយដំបូងអនុវត្តការបញ្ចូលនៅលើទៅ។ មូលដ្ឋាននៃការចាប់ផ្តើមនេះមាន។ សន្មត់ថាឥឡូវនេះវិសមភាពដែលចង់បានត្រូវបានបង្កើតឡើងរួចហើយសម្រាប់ n = 2, យើងនឹងបង្ហាញវាសម្រាប់ទំ = ២. យើងមាន (ប្រើវិសមភាពសម្រាប់លេខពីរ)៖ ដូច្នេះដោយសម្មតិកម្មនៃការបញ្ចូល ដូច្នេះ តាមរយៈការបញ្ចូល k យើងបានបង្ហាញពីវិសមភាពសម្រាប់ទាំងអស់គ្នាទំ ៩ ដែលជាអំណាចពីរ។ ដើម្បីបញ្ជាក់ពីវិសមភាពសម្រាប់តម្លៃផ្សេងទៀត។ទំ យើងនឹងប្រើពាក្យ "induction down" នោះគឺយើងនឹងបង្ហាញថាប្រសិនបើវិសមភាពត្រូវបានពេញចិត្តចំពោះការមិនអវិជ្ជមានតាមអំពើចិត្ត។ទំ លេខ, វាក៏មានសុពលភាពសម្រាប់(ទំ - ១) លេខ។ ដើម្បីផ្ទៀងផ្ទាត់នេះយើងកត់សំគាល់ថាយោងទៅតាមការសន្មត់ដែលបានធ្វើឡើងសម្រាប់ទំ លេខ, វិសមភាព នោះគឺ a r + a 2 + ... + a n _ x > (n − 1) ក។ បែងចែកផ្នែកទាំងពីរទៅជាទំ - 1 យើងទទួលបានវិសមភាពដែលត្រូវការ។ ដូច្នេះ ជាដំបូង យើងបានកំណត់ថា វិសមភាពមានសម្រាប់ចំនួនគ្មានកំណត់នៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបាន P ហើយបន្ទាប់មកបង្ហាញថា វិសមភាពនេះ រក្សាទំ លេខ, វាក៏មានសុពលភាពសម្រាប់(ទំ - ១) លេខ។ ពីនេះឥឡូវនេះយើងសន្និដ្ឋានថាវិសមភាពរបស់ Coty ទទួលបានសម្រាប់សំណុំមួយ។ទំ លេខដែលមិនអវិជ្ជមានសម្រាប់ណាមួយ។ n = 2, 3, 4, ... បញ្ហា 14. (D. Uspensky ។ ) សម្រាប់ត្រីកោណ ABC ដែលមានមុំ = CAB, = CBA មានភាពសមហេតុផល មានវិសមភាព ការសម្រេចចិត្ត។ មុំ និងអាចទទួលយកបាន ដែលមានន័យថា (តាមនិយមន័យ) ដែលមុំទាំងនេះមានរង្វាស់ទូទៅដែល = p, = (p, q គឺជាលេខធម្មជាតិ coprime) ។ ចូរយើងប្រើវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា ហើយគូរវាពីលើផលបូក n = ទំ + q លេខចម្លងធម្មជាតិ.. មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល។ សម្រាប់ p + q = 2 យើងមាន៖ p = 1 និង q = 1។ បន្ទាប់មក ត្រីកោណ ABC គឺជា isosceles ហើយវិសមភាពចាំបាច់គឺជាក់ស្តែង៖ ពួកគេធ្វើតាមពីវិសមភាពត្រីកោណ ជំហាននៃការបញ្ចូល។ ឧបមាថាឥឡូវនេះវិសមភាពដែលចង់បានត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់ p + q = 2, 3, ... , k − 1 ែដល k > 2. ចូរយើងបង្ហាញថាវិសមភាពក៏មានសុពលភាពផងដែរ។ p + q = k ។ អនុញ្ញាតឱ្យ ABC គឺជាត្រីកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យ> 2. បន្ទាប់មកភាគី AC និង BC មិនអាចស្មើគ្នា៖ អនុញ្ញាតឱ្យ AC > BC ។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងសាងសង់ដូចក្នុងរូបភាពទី 2 ត្រីកោណ isosceles ABC; យើងមាន: AC \u003d DC និង AD \u003d AB + BD ដូច្នេះ 2AC > AB + BD (1) ឥឡូវពិចារណាត្រីកោណវីឌីស៊ី មុំរបស់វាក៏អាចប្រៀបធៀបបានដែរ៖ DCB = (q - p), BDC = ទំ។ អង្ករ។ ២ ត្រីកោណនេះបំពេញសម្មតិកម្មអាំងឌុចទ័រ ហើយដូច្នេះ (2)
បន្ថែម (1) និង (2) យើងមាន: 2AC+BD> ហើយដូច្នេះ ពីត្រីកោណដូចគ្នា។ WBS តាមរយៈសម្មតិកម្មនៃសេចក្តីផ្តើម យើងសន្និដ្ឋានថា ដោយពិចារណាលើវិសមភាពពីមុន យើងសន្និដ្ឋាន ដូច្នេះ ការផ្លាស់ប្តូរ inductive ត្រូវបានទទួល ហើយសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃបញ្ហាកើតឡើងពីគោលការណ៍នៃ induction គណិតវិទ្យា។ មតិយោបល់។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃបញ្ហានៅតែមានសុពលភាព ទោះបីជាមុំ a និង p មិនសមហេតុផលក៏ដោយ។ នៅក្នុងមូលដ្ឋាននៃការពិចារណានៅក្នុងករណីទូទៅ យើងត្រូវអនុវត្តគោលការណ៍គណិតវិទ្យាដ៏សំខាន់មួយទៀតរួចហើយ - គោលការណ៍នៃការបន្ត។ បញ្ហា 15. បន្ទាត់ត្រង់ជាច្រើនបែងចែកយន្តហោះទៅជាផ្នែក។ បញ្ជាក់ថាវាអាចធ្វើឱ្យផ្នែកទាំងនេះមានពណ៌ស និងពណ៌ខ្មៅ ដូច្នេះផ្នែកនៅជាប់គ្នាដែលមានផ្នែកព្រំដែនរួមមានពណ៌ខុសគ្នា (ដូចក្នុងរូបភាពទី 3 ពេល n = 4) ។ រូបភាពទី 3 ការសម្រេចចិត្ត។ យើងប្រើ induction លើចំនួនបន្ទាត់។ ដូច្នេះអនុញ្ញាតឱ្យទំ - ចំនួនបន្ទាត់ដែលបែងចែកយន្តហោះរបស់យើងជាផ្នែកៗ n > 1 ។ មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល។ ប្រសិនបើមានតែមួយត្រង់(ទំ = 1) បន្ទាប់មកវាបែងចែកយន្តហោះជាពីរពាក់កណ្តាលយន្តហោះ ដែលមួយអាចមានពណ៌ស និងមួយទៀតខ្មៅ ហើយសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃបញ្ហាគឺជាការពិត។ ជំហាននៃការបញ្ចូល។ ដើម្បីធ្វើឱ្យភស្តុតាងនៃជំហាន inductive កាន់តែច្បាស់ សូមពិចារណាដំណើរការនៃការបន្ថែមបន្ទាត់ថ្មីមួយ។ ប្រសិនបើយើងគូរបន្ទាត់ទីពីរ(ទំ= 2) បន្ទាប់មកយើងទទួលបានបួនផ្នែកដែលអាចត្រូវបានពណ៌តាមរបៀបដែលចង់បានដោយគូរជ្រុងផ្ទុយគ្នាក្នុងពណ៌ដូចគ្នា។ សូមមើលថាតើមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើយើងគូសបន្ទាត់ត្រង់ទីបី។ វានឹងបែងចែកផ្នែកខ្លះនៃ "ចាស់" ខណៈពេលដែលផ្នែកថ្មីនៃព្រំដែននឹងលេចឡើងនៅផ្នែកទាំងពីរដែលមានពណ៌ដូចគ្នា (រូបភាព 4) ។ អង្ករ។ ៤ តោះបន្តដូចខាងក្រោម៖ម្ខាងពីបន្ទាត់ត្រង់ថ្មីយើងនឹងផ្លាស់ប្តូរពណ៌ - យើងនឹងធ្វើឱ្យសខ្មៅនិងច្រាសមកវិញ; ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ផ្នែកទាំងនោះដែលស្ថិតនៅផ្នែកម្ខាងទៀតនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះ មិនត្រូវបានលាបពណ៌ឡើងវិញទេ (រូបភាពទី 5)។ បន្ទាប់មកពណ៌ថ្មីនេះនឹងបំពេញតម្រូវការចាំបាច់: នៅផ្នែកម្ខាងនៃបន្ទាត់ត្រង់វាត្រូវបានឆ្លាស់គ្នារួចហើយ (ប៉ុន្តែមានពណ៌ផ្សេងគ្នា) ហើយនៅម្ខាងទៀតវាចាំបាច់។ ដើម្បីឱ្យផ្នែកដែលមានព្រំប្រទល់រួមដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ដែលបានគូរត្រូវបានលាបពណ៌ខុសៗគ្នានោះ យើងបានលាបពណ៌ផ្នែកទាំងនោះតែនៅផ្នែកម្ខាងនៃបន្ទាត់ដែលបានគូរនេះ។ រូប ៥ ឥឡូវនេះសូមឱ្យយើងបង្ហាញពីជំហានបញ្ចូល។ ឧបមាថាសម្រាប់អ្នកខ្លះn = កសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃបញ្ហាគឺត្រឹមត្រូវ ពោលគឺគ្រប់ផ្នែកនៃយន្តហោះដែលវាត្រូវបានបែងចែកដោយទាំងនេះទៅត្រង់ អ្នកអាចលាបពណ៌ស និងខ្មៅ ដើម្បីឱ្យផ្នែកជិតខាងមានពណ៌ផ្សេងគ្នា។ ចូរយើងបង្ហាញថាបន្ទាប់មកមានពណ៌បែបនេះសម្រាប់ទំ=
ទៅ+ 1 ត្រង់។ ចូរយើងបន្តស្រដៀងគ្នាទៅនឹងករណីនៃការផ្លាស់ប្តូរពីបន្ទាត់ត្រង់ពីរទៅបី។ តោះចំណាយលើយន្តហោះទៅផ្ទាល់។ បន្ទាប់មកដោយការសន្មត់បញ្ចូល "ផែនទី" លទ្ធផលអាចត្រូវបានពណ៌តាមរបៀបដែលចង់បាន។ តោះចំណាយឥឡូវនេះ(ទៅ+ 1)-th បន្ទាត់ត្រង់ ហើយនៅផ្នែកម្ខាងរបស់វា យើងប្តូរពណ៌ទៅផ្ទុយ។ ដូច្នេះឥឡូវនេះ(ទៅបន្ទាត់ត្រង់ + 1)-th នៅគ្រប់ទីកន្លែងបំបែកផ្នែកនៃពណ៌ផ្សេងគ្នាខណៈពេលដែលផ្នែក "ចាស់" ដូចដែលយើងបានឃើញរួចហើយនៅតែមានពណ៌ត្រឹមត្រូវ។ យោងតាមគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាបញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។ កិច្ចការ16. នៅលើគែមនៃវាលខ្សាច់មានការផ្គត់ផ្គង់ប្រេងសាំងដ៏ច្រើន និងរថយន្តដែលជាមួយនឹងស្ថានីយ៍ប្រេងឥន្ធនៈពេញលេញអាចធ្វើដំណើរបាន 50 គីឡូម៉ែត្រ។ ក្នុងបរិមាណគ្មានដែនកំណត់ មានកំប៉ុងដែលអ្នកអាចបង្ហូរប្រេងសាំងចេញពីធុងហ្គាសរបស់រថយន្ត ហើយទុកវាទុកសម្រាប់ទុកនៅគ្រប់ទីកន្លែងក្នុងវាលខ្សាច់។ បញ្ជាក់ថារថយន្តអាចធ្វើដំណើរបានចម្ងាយចំនួនច្រើនជាង 50 គីឡូម៉ែត្រ។ វាមិនត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យយកកំប៉ុងប្រេងសាំងទេ កំប៉ុងទទេអាចផ្ទុកបានក្នុងបរិមាណណាមួយ។ ការសម្រេចចិត្ត។ចូរយើងព្យាយាមបង្ហាញវាដោយការណែនាំនៅលើPដែលរថយន្តអាចបើកបរបាន។ទំគីឡូម៉ែត្រពីគែមវាលខ្សាច់។ នៅទំ= 50 ត្រូវបានគេស្គាល់។ វានៅសល់ដើម្បីអនុវត្តជំហាននៃការបញ្ចូល និងពន្យល់ពីរបៀបដើម្បីទៅដល់ទីនោះn = ក+ 1 គីឡូម៉ែត្រ បើដឹងn = កគីឡូម៉ែត្រអាចបើកបរបាន។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅទីនេះយើងជួបប្រទះការលំបាកមួយ: បន្ទាប់ពីយើងបានឆ្លងកាត់ទៅគីឡូម៉ែត្រ សាំងប្រហែលជាមិនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការធ្វើដំណើរត្រឡប់មកវិញទេ (មិននិយាយពីការផ្ទុក)។ ហើយក្នុងករណីនេះ ផ្លូវចេញគឺដើម្បីពង្រឹងការអះអាងដែលត្រូវបានបង្ហាញ (ការប្រៀបធៀបរបស់អ្នកបង្កើត)។ យើងនឹងបញ្ជាក់ថា វាមិនត្រឹមតែអាចបើកបរប៉ុណ្ណោះទេទំគីឡូម៉ែត្រ ប៉ុន្តែក៏ត្រូវធ្វើការផ្គត់ផ្គង់សាំងច្រើនតាមអំពើចិត្តនៅចំណុចមួយពីចម្ងាយទំគីឡូម៉ែត្រពីគែមនៃវាលខ្សាច់ដែលស្ថិតនៅចំណុចនេះបន្ទាប់ពីការបញ្ចប់នៃការដឹកជញ្ជូន។ មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល។ទុកមួយឯកតានៃសាំងជាបរិមាណសាំងដែលតម្រូវឱ្យធ្វើដំណើរមួយគីឡូម៉ែត្រ។ បន្ទាប់មកការធ្វើដំណើរ 1 គីឡូម៉ែត្រ និងត្រឡប់មកវិញ ត្រូវការសាំង 2 យូនីត ដូច្នេះយើងអាចទុកសាំង 48 យូនីតទុកក្នុង 1 គីឡូម៉ែត្រពីគែម ហើយត្រលប់មកវិញបន្ថែមទៀត។ ដូច្នេះហើយ សម្រាប់ការធ្វើដំណើរជាច្រើនដងទៅកាន់កន្លែងផ្ទុក យើងអាចបង្កើតស្តុកទំហំមួយដែលយើងត្រូវការ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះដើម្បីបង្កើតស្តុកចំនួន 48 យើងចំណាយប្រេងសាំងចំនួន 50 គ្រឿង។ ជំហាននៃការបញ្ចូល។ចូរសន្មតថានៅចម្ងាយទំ=
ទៅពីគែមនៃវាលខ្សាច់ អ្នកអាចទុកបរិមាណសាំងណាមួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាបន្ទាប់មកវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបង្កើតឃ្លាំងនៅចម្ងាយn = ក+ 1 គីឡូម៉ែត្រជាមួយនឹងការផ្គត់ផ្គង់ប្រេងសាំងដែលបានកំណត់ទុកជាមុន ហើយនៅស្តុកទុកនេះនៅចុងបញ្ចប់នៃការដឹកជញ្ជូន។ ដោយសារតែនៅចំណុចទំ=
ទៅមានការផ្គត់ផ្គង់ប្រេងសាំងគ្មានដែនកំណត់ បន្ទាប់មក (យោងទៅតាមមូលដ្ឋានអាំងឌុចស្យុង) យើងអាចធ្វើបានក្នុងការធ្វើដំណើរជាច្រើនទៅកាន់ចំណុចn = ក+ 1 ដើម្បីបង្កើតចំណុចមួយ។ទំ=
ទៅ4- 1 ស្តុកគ្រប់ទំហំតាមតម្រូវការ។ ការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទូទៅជាងនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាឥឡូវនេះកើតឡើងពីគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន ជាពិសេស ដោយបានសិក្សាពីវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា ខ្ញុំបានបង្កើនចំណេះដឹងរបស់ខ្ញុំក្នុងផ្នែកគណិតវិទ្យានេះ ហើយក៏បានរៀនពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាដែលពីមុនហួសពីអំណាចរបស់ខ្ញុំផងដែរ។ ជាទូទៅ ទាំងនេះគឺជាការងារឡូជីខល និងកម្សាន្ត ពោលគឺឧ។ គ្រាន់តែអ្នកដែលបង្កើនចំណាប់អារម្មណ៍លើគណិតវិទ្យាខ្លួនឯងជាវិទ្យាសាស្ត្រ។ ការដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះក្លាយជាសកម្មភាពកម្សាន្តមួយ ហើយអាចទាក់ទាញមនុស្សដែលមានការចង់ដឹងចង់ឃើញកាន់តែច្រើនឡើងទៅកាន់ labyrinths គណិតវិទ្យា។ តាមគំនិតរបស់ខ្ញុំ នេះគឺជាមូលដ្ឋាននៃវិទ្យាសាស្ត្រណាមួយ។ បន្តសិក្សាវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា ខ្ញុំនឹងព្យាយាមរៀនពីរបៀបអនុវត្តវាមិនត្រឹមតែក្នុងគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងដោះស្រាយបញ្ហាក្នុងរូបវិទ្យា គីមីវិទ្យា និងជីវិតខ្លួនឯងផងដែរ។ អក្សរសិល្ប៍ 1.Vulenkin ការណែនាំ។ បន្សំ។ សៀវភៅណែនាំសម្រាប់គ្រូ។ M. , ការត្រាស់ដឹង, ១៩៧៦.-៤៨ ទំ។ 2. Golovina L.I., Yaglom I.M. ការបញ្ចូលក្នុងធរណីមាត្រ។ - M. : Gosud ។ អ្នកបោះពុម្ពផ្សាយ ភ្លឺ។ - ឆ្នាំ 1956 - S.I00 ។ សៀវភៅណែនាំអំពីគណិតវិទ្យាសម្រាប់អ្នកដាក់ពាក្យទៅសាកលវិទ្យាល័យ / Ed ។ Yakovleva G.N. វិទ្យាសាស្ត្រ។ -១៩៨១។ - P.47-51 ។ 3. Golovina L.I., Yaglom IM. ការបញ្ចូលក្នុងធរណីមាត្រ។ — 4. I.T. Demidov, A.N. Kolmogorov, S.I. Shvartsburg, O.S. Ivashev-Musatov, B.E. Veits ។ សៀវភៅសិក្សា / "ការត្រាស់ដឹង" ឆ្នាំ 1975 ។ ៥.រ. Courant, G Robbins "តើគណិតវិទ្យាជាអ្វី?" ជំពូកទី 1 § 2 6. Popa D. គណិតវិទ្យា និងហេតុផលដែលអាចទុកចិត្តបាន។ - M: Nauka, ឆ្នាំ 1975 ។ 7. Popa D. ការរកឃើញគណិតវិទ្យា។ - អិមៈ ណៅកា ឆ្នាំ ១៩៧៦។ 8. Rubanov I.S. How to teach the method of mathematical induction / សាលាគណិតវិទ្យា. - ន. - 1996. - S.14-20 ។ 9. Sominsky I.S., Golovina L.I., Yaglom I.M. លើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ - M.: Nauka, 1977. - (ការបង្រៀនដ៏ពេញនិយមលើគណិតវិទ្យា។) 10. Solominsky I.S. វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ - M. : វិទ្យាសាស្ត្រ។ ៦៣ ស. 11. Solominsky I.S., Golovina L.I., Yaglom I.M. ស្តីពីការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ - M. : វិទ្យាសាស្ត្រ។ - ឆ្នាំ 1967. - S.7-59 ។ ១២.http://w.wikiredia.org/wiki 13.htt12:/ /www.refeshtcollestiop.ru/40 124.html នៅក្នុងផ្នែកជាច្រើននៃគណិតវិទ្យា មនុស្សម្នាក់ត្រូវតែបញ្ជាក់ការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលអាស្រ័យលើ , i.e. ការពិតនៃសំណើ p(n)សម្រាប់ " នнN (សម្រាប់ណាមួយ។ នបើក p(n)ត្រូវ)។ នេះច្រើនតែអាចបញ្ជាក់បាន។ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ វិធីសាស្រ្តនេះគឺផ្អែកលើគោលការណ៍នៃ induction គណិតវិទ្យា។ ជាធម្មតាវាត្រូវបានជ្រើសរើសជា axioms នៃនព្វន្ធ ហើយហេតុដូច្នេះហើយបានទទួលយកដោយគ្មានភស្តុតាង។ យោងតាមគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា ការកាត់ទោស p(n)ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាការពិតសម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិទាំងអស់នៃអថេរ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌពីរត្រូវបានបំពេញ៖ 1. ការផ្តល់ជូន p(n)ពិតសម្រាប់ ន= 1. 2. ពីប្រយោគថា p(n)ពិតសម្រាប់ ន =k (k -លេខធម្មជាតិតាមអំពើចិត្ត) វាធ្វើតាមថាវាជាការពិតសម្រាប់ ន =k+ 1. វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេយល់ថាជាវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ជាក់ដូចខាងក្រោម 1. ពិនិត្យការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ ន= 1 គឺជាមូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល។ 2. សន្មត់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n = k -ការសន្មត់ inductive ។ 3. បញ្ជាក់ថាបន្ទាប់មកវាក៏ជាការពិតសម្រាប់ ន =k+ 1 ការផ្លាស់ប្តូរអាំងឌុចស្យុង។ ពេលខ្លះមានការណែនាំ p(n)វាប្រែថាជាការពិតមិនមែនសម្រាប់ធម្មជាតិទាំងអស់។ ននិងចាប់ផ្តើមពីខ្លះសម្រាប់ n = ន 0. ក្នុងករណីនេះ ការពិតត្រូវបានពិនិត្យនៅក្នុងមូលដ្ឋាន induction p(n)នៅ n = ន 0. ឧទាហរណ៍ ១អនុញ្ញាតឱ្យមាន។ បញ្ជាក់ 1. មូលដ្ឋាន Induction: ពេលណា ន= 1 តាមនិយមន័យ ស 1 = 1 ហើយតាមរូបមន្តយើងទទួលបានលទ្ធផលមួយ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺត្រឹមត្រូវ។ n=kនិង . n=k+ 1. ចូរយើងបញ្ជាក់។ ពិតមែនដោយការសន្មត់ដោយការសន្មត ចូរយើងផ្លាស់ប្តូរកន្សោមនេះ។ ការផ្លាស់ប្តូរ inductive ត្រូវបានបង្ហាញ។ មតិយោបល់។វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការសរសេរនូវអ្វីដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ (ការសន្មត់ដោយបញ្ចូល) និងអ្វីដែលត្រូវបញ្ជាក់! ឧទាហរណ៍ ២បញ្ជាក់ 1. មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល។ នៅ ន= 1, ការអះអាងគឺជាការពិត។ 2. ការសន្មត់ដោយប្រឌិត។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន n=kនិង 3. ការផ្លាស់ប្តូរអាំងឌុចស្យុង។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន n=k+ 1. ចូរយើងបញ្ជាក់៖ ជាការពិត ចូរយើងបង្វែរជ្រុងខាងស្តាំជាផលបូកនៃចំនួនពីរ៖ ដោយប្រើការសន្មត់ inductive និងរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ៖ យើងទទួលបាន ឧទាហរណ៍ ៣បញ្ជាក់ភាពមិនស្មើគ្នា 1. មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូលក្នុងករណីនេះគឺការផ្ទៀងផ្ទាត់ការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ , i.e. វិសមភាពត្រូវតែត្រួតពិនិត្យ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការវាស់វែងវិសមភាព៖ ឬ ៦៣< 64 – неравенство верно. 2. សូមឱ្យវិសមភាពជាការពិតសម្រាប់ , i.e. 3. សូមបញ្ជាក់៖ យើងប្រើសម្មតិកម្មនៃការបញ្ចូល ដោយដឹងថាផ្នែកខាងស្តាំគួរតែមើលទៅដូចអ្វីនៅក្នុងវិសមភាពដែលកំពុងត្រូវបានបង្ហាញ យើងជ្រើសរើសផ្នែកនេះ។ វានៅសល់ដើម្បីបញ្ជាក់ថាកត្តាបន្ថែមមិនលើសពីការរួបរួមទេ។ ពិតជា ឧទាហរណ៍ 4បង្ហាញថាសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយបញ្ចប់ដោយខ្ទង់។ 1. ចំនួនធម្មជាតិតូចបំផុតដែលសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិតគឺស្មើនឹង . . 2. ទុកលេខសម្រាប់បញ្ចប់ដោយ . នេះមានន័យថា លេខនេះអាចសរសេរជាលេខធម្មជាតិខ្លះ។ បន្ទាប់មក។ 3. អនុញ្ញាតឱ្យ។ សូមបញ្ជាក់ថាវាបញ្ចប់នៅក្នុង។ ដោយប្រើតំណាងលទ្ធផលយើងទទួលបាន លេខចុងក្រោយមានលេខពិតប្រាកដ។ ឧបសម្ព័ន្ធ ១.៤. វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថា សេចក្តីថ្លែងការណ៍គណិតវិទ្យា (ទ្រឹស្តីបទ) ត្រូវតែបង្ហាញឱ្យឃើញ។ ឥឡូវនេះយើងនឹងស្គាល់វិធីសាស្រ្តមួយនៃភស្តុតាង - វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ ក្នុងន័យទូលំទូលាយ ការណែនាំគឺជាវិធីនៃការវែកញែកដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកផ្លាស់ទីពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាក់លាក់ទៅពាក្យទូទៅ។ ការផ្លាស់ប្តូរបញ្ច្រាស ពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទូទៅទៅសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាក់លាក់ត្រូវបានគេហៅថាការកាត់។ ការកាត់ចេញតែងតែនាំទៅរកការសន្និដ្ឋានត្រឹមត្រូវ។ ជាឧទាហរណ៍ យើងដឹងពីលទ្ធផលទូទៅ៖ ចំនួនគត់ដែលបញ្ចប់ដោយសូន្យត្រូវបានបែងចែកដោយ 5។ ជាការពិត យើងអាចសន្និដ្ឋានបានថាចំនួនជាក់លាក់ណាមួយដែលបញ្ចប់ដោយ 0 ដូចជា 180 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 5 ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ការបញ្ចូលអាចនាំទៅរកការសន្និដ្ឋានមិនត្រឹមត្រូវ។ ជាឧទាហរណ៍ ការកត់សំគាល់ថាលេខ 60 ត្រូវបានបែងចែកដោយលេខ 1, 2, 3, 4, 5, 6 យើងមិនមានសិទ្ធិសន្និដ្ឋានថា 60 ត្រូវបានបែងចែកដោយលេខណាមួយទាល់តែសោះ។ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបាននៅក្នុងករណីជាច្រើនដើម្បីបញ្ជាក់យ៉ាងតឹងរឹងនូវសុពលភាពនៃការអះអាងទូទៅ P(n) ការបង្កើតដែលរួមបញ្ចូលលេខធម្មជាតិ n ។ ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តរួមមាន 3 ដំណាក់កាល។ 1) មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល៖ យើងពិនិត្យមើលសុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ P(n) សម្រាប់ n = 1 (ឬសម្រាប់តម្លៃឯកជនផ្សេងទៀតនៃ n ដែលចាប់ផ្តើមពីសុពលភាពនៃ P(n) ត្រូវបានសន្មត់)។ 2) ការសន្មត់នៃការបញ្ចូល៖ យើងសន្មត់ថា P(n) គឺពិតសម្រាប់ n = k ។ 3) ជំហាននៃការបញ្ចូល៖ ដោយប្រើការសន្មត់ យើងបង្ហាញថា P(n) គឺពិតសម្រាប់ n=k+1។ ជាលទ្ធផល យើងអាចសន្និដ្ឋានបានថា P(n) មានសុពលភាពសម្រាប់ n ∈ N. ពិតប្រាកដណាស់ សម្រាប់ n = 1 ការអះអាងគឺពិត (មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល)។ ដូច្នេះហើយ វាក៏ជាការពិតសម្រាប់ n = 2 ចាប់តាំងពីការផ្លាស់ប្តូរពី n = 1 ទៅ n = 2 គឺត្រឹមត្រូវ (ជំហានចាប់ផ្តើម) ។ អនុវត្តជំហាននៃការបញ្ចូលម្តងហើយម្តងទៀត យើងទទួលបានសុពលភាពនៃ P(n) សម្រាប់ n = 3, 4, 5, ។ . ., i.e. សុពលភាពនៃ P(n) សម្រាប់ n ។ ឧទាហរណ៍ 14. ផលបូកនៃលេខធម្មជាតិដំបូង n សេសគឺ n2: 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2 ។ ភ័ស្តុតាងនឹងត្រូវបានអនុវត្តដោយវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ ១) មូលដ្ឋាន៖ សម្រាប់ n=1 មានពាក្យមួយនៅខាងឆ្វេង យើងទទួលបាន៖ 1=1។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺត្រឹមត្រូវ។ ២) ការសន្មត់៖ យើងសន្មត់ថាសម្រាប់ k ខ្លះ សមភាពគឺពិត៖ 1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) = k2 ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទូទៅនៃបញ្ហាមានដូចខាងក្រោម៖ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយចំគោលដៅដោយការបាញ់មួយគឺស្មើនឹង $p$។ ការបាញ់ប្រហារ $n$ ត្រូវបានបាញ់។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលគោលដៅនឹងត្រូវបានវាយប្រហារយ៉ាងពិតប្រាកដ $k$ ដង (វានឹងមាន $k$ hits) ។ យើងអនុវត្តរូបមន្ត Bernoulli ហើយទទួលបាន៖ $$ P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^(n-k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k) ។ នៅទីនេះ $C_n^k$ គឺជាចំនួនបន្សំពី $n$ ទៅ $k$។ ប្រសិនបើបញ្ហាទាក់ទងនឹងព្រួញជាច្រើនជាមួយ ប្រូបាប៊ីលីតេខុសៗគ្នាការវាយលុកគោលដៅ ទ្រឹស្តី ដំណោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងម៉ាស៊ីនគិតលេខដែលអ្នកអាចរកបាននៅទីនេះ។ មើលវីដេអូរបស់យើងស្តីពីការដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយ Bernoulli shots រៀនពីរបៀបប្រើ Excel ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាទូទៅ។
ឯកសារគណនា Excel ពីវីដេអូអាចទាញយកដោយឥតគិតថ្លៃ និងប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហារបស់អ្នក។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ធម្មតាមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍ ១បាញ់ ៧ គ្រាប់។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបាញ់មួយគ្រាប់គឺ 0.705 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលនឹងមាន 5 ដងពិតប្រាកដ។ យើងយល់ថាបញ្ហាទាក់ទងនឹងការធ្វើតេស្តឯករាជ្យម្តងហើយម្តងទៀត (ការបាញ់ចំគោលដៅ) ការបាញ់ $n=7$ ត្រូវបានបាញ់សរុប ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយជាមួយនឹង $p=0.705$ នីមួយៗ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការបាត់ $q=1-p =1-0.705=0.295$ ។ យើងត្រូវរកឱ្យឃើញថានឹងមានការចុច $k=5$ ។ យើងជំនួសអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងទៅជារូបមន្ត (1) ហើយទទួលបាន៖ $$ P_7(5)=C_(7)^5 \cdot 0.705^5 \cdot 0.295^2 = 21\cdot 0.705^5 \cdot 0.295^2= 0.318 ។ $$ ឧទាហរណ៍ ២ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយចំគោលដៅដោយការបាញ់មួយគឺ 0.4 ។ ការបាញ់ប្រហារឯករាជ្យចំនួនបួនត្រូវបានបាញ់ចំគោលដៅ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលថានឹងមានការវាយប្រហារយ៉ាងហោចណាស់មួយនៅលើគោលដៅ។ យើងសិក្សាពីបញ្ហា ហើយសរសេរប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖ $n=4$ (shot), $p=0.4$ ( hit probability), $k \ge 1$ (នឹងមានយ៉ាងហោចណាស់មួយ hit)។ យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ (មិនមានការប៉ះទង្គិចទេ)៖ $$ P_4(k \ge 1) = 1-P_4(k \lt 1) = 1-P_4(0)= $$$$ =1-C_(4)^0 \cdot 0.4^0 \cdot 0 ,6 ^4 =1- 0.6^4=1- 0.13=0.87 ។ $$ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយយ៉ាងហោចណាស់ម្តងក្នុងចំណោមបួនគឺ 0.87 ឬ 87% ។ ឧទាហរណ៍ ៣ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយលុកគោលដៅដោយអ្នកបាញ់គឺ 0.3 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលថាជាមួយនឹងការបាញ់ 6 ដងគោលដៅនឹងត្រូវបានវាយប្រហារ 3 ទៅ 6 ដង។ មិនដូចបញ្ហាមុនទេ នៅទីនេះអ្នកត្រូវស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលចំនួននៃការចូលមើលនឹងមានចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយ (ហើយមិនពិតប្រាកដស្មើនឹងចំនួនមួយចំនួន)។ ប៉ុន្តែរូបមន្តគឺដូចគ្នា។ ចូរយើងស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេដែលគោលដៅនឹងត្រូវវាយពី 3 ទៅ 6 ដង នោះគឺវានឹងមាន 3 ឬ 4 ឬ 5 ឬ 6 ។ ប្រូបាប៊ីលីតេទាំងនេះត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត (1)៖ $$ P_6(3)=C_(6)^3 \cdot 0.3^3\cdot 0.7^3 = 0.185 ។ $$ $$ P_6(4)=C_(6)^4 \cdot 0.3^4\cdot 0.7^2 = 0.06 ។ $$ $$ P_6(5)=C_(6)^5 \cdot 0.3^5\cdot 0.7^1 = 0.01 ។ $$ $$ P_6(6)=C_(6)^6 \cdot 0.3^6\cdot 0.7^0 = 0.001 ។ ដោយសារព្រឹត្តិការណ៍មិនត្រូវគ្នា ប្រូបាប៊ីលីតេដែលចង់បានអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្តបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេ៖ $$ P_6(3 \le k \le 6)=P_6(3)+P_6(4)+P_6(5)+P_6(6) =$$$$=0.185+0.06+0.01+0.001=0.256.$$ ឧទាហរណ៍ 4ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយយ៉ាងហោចណាស់មួយទៅលើគោលដៅជាមួយនឹងការបាញ់ចំនួនបួនគឺ 0.9984 ។ ស្វែងរកប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយចំគោលដៅដោយការបាញ់មួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយចំគោលដៅដោយការបាញ់មួយ។ តោះចូលព្រឹត្តិការណ៍មួយ៖ ចូរយើងសរសេររូបមន្តសម្រាប់ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ $A$ ។ ចូរសរសេរតម្លៃដែលគេស្គាល់៖ $n=4$, $P(A)=0.9984$ ។ ជំនួសក្នុងរូបមន្ត (១) ហើយទទួលបាន៖ $$ P(A)=1-P(\overline(A))=1-P_4(0)=1-C_(4)^0 \\cdot p^0 \\cdot (1-p)^4=1- (1-p)^4=0.9984។ យើងដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល៖ $$ 1-(1-p)^4=0.9984,\\ (1-p)^4=0.0016,\\ 1-p=0.2,\\ p=0.8។ $$ ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយចំគោលដៅដោយការបាញ់មួយគឺ 0.8 ។ អរគុណសម្រាប់ការអាន និងចែករំលែកដល់អ្នកដទៃ ស្វែងរកកិច្ចការដែលត្រៀមរួចជាស្រេចក្នុងដំណោះស្រាយ៖ ការគណនាតាមអ៊ីនធឺណិតដោយប្រើរូបមន្ត Bernoulli វិសមភាពក្នុងគណិតវិទ្យាអនុវត្តចំពោះសមីការទាំងអស់ដែល "=" ត្រូវបានជំនួសដោយតួអក្សរណាមួយខាងក្រោម៖ \ [> \] \ [\ geq \] \ [ * លីនេអ៊ែរ; * ការ៉េ; * ប្រភាគ; * សូចនាករ; * ត្រីកោណមាត្រ; * លោការីត។ អាស្រ័យលើនេះ វិសមភាពត្រូវបានគេហៅថា លីនេអ៊ែរ ផ្នែកខ្លះ។ល។ អ្នកគួរតែដឹងពីសញ្ញាទាំងនេះ៖ * វិសមភាពជាមួយធំជាង (>) ឬតិចជាង ( * វិសមភាពដែលមានរូបតំណាងធំជាង ឬស្មើនឹង \[\geq\] តិចជាង ឬស្មើ [\leq\] ត្រូវបានគេហៅថាគ្មានវិជ្ជាជីវៈ។ * រូបតំណាងមិនដូចគ្នាទេ \[\ne\] តែឯង ប៉ុន្តែករណីដែលមានរូបតំណាងនេះចាំបាច់ត្រូវដោះស្រាយគ្រប់ពេលវេលា។ វិសមភាពបែបនេះត្រូវបានដោះស្រាយដោយការផ្លាស់ប្តូរអត្តសញ្ញាណ។ សូមអានអត្ថបទរបស់យើងផងដែរ "ដំណោះស្រាយពេញលេញសម្រាប់សមីការអនឡាញ" ចូរយើងសន្មត់ថាវិសមភាពខាងក្រោមមាន៖ យើងដោះស្រាយវាតាមរបៀបដូចគ្នាទៅនឹងសមីការលីនេអ៊ែរ ប៉ុន្តែយើងគួរតាមដានដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវសញ្ញានៃវិសមភាព។ ដំបូងយើងផ្លាស់ទីពាក្យពីមិនស្គាល់ទៅខាងឆ្វេង ពីដែលគេស្គាល់ទៅខាងស្តាំ បញ្ច្រាសនិមិត្តសញ្ញា៖ បន្ទាប់មកយើងបែងចែកភាគីទាំងពីរដោយ -4 ហើយបញ្ច្រាសសញ្ញាវិសមភាព៖ នេះគឺជាចម្លើយចំពោះសមីការនេះ។ អ្នកអាចដោះស្រាយសមីការនៅលើគេហទំព័ររបស់យើង pocketteacher.ru ។ ក្នុងរយៈពេលប៉ុន្មានវិនាទី ដំណោះស្រាយសង្គ្រោះតាមអ៊ីនធឺណិតឥតគិតថ្លៃនឹងដោះស្រាយសមីការអនឡាញនៃភាពស្មុគស្មាញណាមួយ។ អ្វីដែលអ្នកត្រូវធ្វើគឺបញ្ចូលព័ត៌មានលម្អិតរបស់អ្នកចូលទៅក្នុងការសង្គ្រោះ។ អ្នកក៏អាចមើលការណែនាំជាវីដេអូ និងរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការនៅលើគេហទំព័ររបស់យើង។ ហើយប្រសិនបើអ្នកមានសំណួរ អ្នកអាចសួរពួកគេនៅក្នុងក្រុម Vkontakte របស់យើង៖ pocketteacher ។ ចូលរួមជាមួយក្រុមរបស់យើង យើងនឹងរីករាយក្នុងការជួយអ្នក។ ការដោះស្រាយសមីការ / សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល © RU test - ម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិត សមីការ៖ ជាមួយនឹងម៉ាស៊ីនគិតលេខ អ្នកអាចដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃភាពស្មុគស្មាញផ្សេងៗគ្នា។
2) 
3)
; 4) 
.
អក្សរក្រិក "sigma" ។
:
4) 
2)
f
(
ន
)=
ន
2
+
ន
+11
, នៅ n=1,2,3,4.5,6,7
វាអាចត្រូវបានសន្មត់ថាសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ទំចំនួន f
(
ន
)
សាមញ្ញ។
មិនមែនជាលេខសំខាន់សម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយឡើយ។ទំ.
ការពិតនៃអត្តសញ្ញាណកើតឡើង 
; 
. ដូច្នេះអត្តសញ្ញាណនេះគឺពិតសម្រាប់ទាំងអស់គ្នាទំ
.
សម្រាប់ n≥2 ។
.
ចែកដោយ 6
ដោយគ្មានដាន។
.
ច្រើន6.
ច្រើន6
.
នៅលើ5
ដោយគ្មានដាន។
.
ក៏បែងចែកទៅជា5
ដោយគ្មានដាន។
នៅលើ16.
ច្រើន16.
នៅលើ676.
ចែកដោយ 
.
.
ចែកដោយ26
.
ចែកដោយ26
2
.
ចែកដោយ5
ដោយគ្មានដាន។
ចែកដោយ5.
ចែកដោយ5
ដោយគ្មានដាន។
ចែកដោយ6
ដោយគ្មានដាន។
ចែកដោយ6
ដោយគ្មានដាន។
ចែកដោយ6
ដោយគ្មានដាន។
ចំនួនគូ។
នៅពេលបែងចែកដោយ9
ផ្តល់ឱ្យនៅសល់ 1
.
ចែកដោយ9
.
ចែកដោយ 9
. អនុញ្ញាតឱ្យនៅ n=k
ចែកដោយ9
.
ច្រើន5
(បញ្ជាក់ក្នុងឧទាហរណ៍លេខ ២១) ពាក្យទី៤ និងទី៥ ក៏ជាគុណដែរ។5
ដែលជាក់ស្តែង ផលបូកគឺជាពហុគុណ15
.
.
- ត្រូវហើយ។
គឺជាវិសមភាពពិត។
សម្រាប់ណាមួយ។ ទំ.
.
នៅ 
បន្ទាប់មក
សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ទំនិងណាមួយ។ 
ត្រឹមត្រូវ។
.
សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ទំ.
គុណភាគីទាំងពីរនៃវិសមភាពដោយ 
. យើងទទួលបានវិសមភាពសមមូល ឬ 
; 
; - វិសមភាពនេះរក្សាសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ t.
; 
; 
.
.
បន្ទាប់មកសម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិទាំងអស់។ទំ
វិសមភាព
ហើយច្បាស់ជាត្រឹមត្រូវ។ ចូរសន្មតថាវាជាការពិតសម្រាប់n=k
នោះគឺជាអ្វី 
.
បន្ទាប់មក 
ដូច្នេះហើយ វិសមភាពមិនផ្លាស់ប្តូរអត្ថន័យរបស់វា នៅពេលដែលផ្នែកទាំងពីររបស់វាត្រូវបានគុណនឹង 
:
បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវា។
.
ពិចារណាពីវិសមភាព
ការងារសាកល្បងលើប្រធានបទ n=1 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យម្តងហើយម្តងទៀត: n≥5 , កន្លែងណា ទំ- លេខធម្មជាតិ។
(*).
.
.ទាញយក៖
មើលជាមុន៖
បន្ទាប់មកវាក៏ជាការពិតសម្រាប់ទៅ + 1 ។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាបន្ទាប់មកយើងក៏អាចផ្លាស់ទីពីរ៉ាមីតពីកណ្តាល n = k + 1 ។
កន្សោម 3 3k + 3 - 26k - 27 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 2
ដោយគ្មានសល់ ហើយបញ្ជាក់ថាការអះអាងនេះជាការពិត n = k + 1,
ពោលគឺលេខនោះ។
សមភាពដែលអាចទទួលយកបាន។
ចូរយើងនិយាយថាការអះអាងនេះជាការពិតបើទោះបីជា m = k + 1 ។
យើងមាន:
យើងមាន:
M.: Nauka, 1961. - (ការបង្រៀនដ៏ពេញនិយមអំពីគណិតវិទ្យា។)ការដោះស្រាយបញ្ហាអំពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃការវាយក្នុងពេលបាញ់
វីដេអូបង្រៀន និងគំរូ Excel
ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាលើការវាយចំគោលដៅនៅក្នុងការបាញ់ជាបន្តបន្ទាប់
$A = $ (ក្នុងចំណោមការបាញ់ចំនួនបួន យ៉ាងហោចណាស់មួយនឹងបាញ់ដល់គោលដៅ)
ក៏ដូចជាព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយរបស់វា ដែលអាចសរសេរជា៖
$\overline(A) = $ (ការបាញ់ទាំង 4 នឹងខកខានគោលដៅ គ្មានការវាយបក)។តំណភ្ជាប់ដែលមានប្រយោជន៍
ដោះស្រាយវិសមភាពជាមួយម៉ាស៊ីនគិតលេខ
តើខ្ញុំអាចដោះស្រាយវិសមភាពនៅលើអ៊ីនធឺណិតនៅឯណា?
ការគណនាវិសមភាព Bernoulli
វិធីសាស្រ្ត induction គណិតវិទ្យាពេញលេញ
ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល
បញ្ចូលភាពខុសគ្នា។
ឧទាហរណ៍នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានដោះស្រាយ
