នៅក្នុងសង្គមទំនើប សមត្ថភាពប្រតិបត្តិការជាមួយសមីការដែលមានអថេរការ៉េអាចមានប្រយោជន៍ក្នុងផ្នែកជាច្រើននៃសកម្មភាព ហើយត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការអនុវត្តក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍វិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកទេស។ នេះអាចបញ្ជាក់បានដោយការរចនានាវាសមុទ្រ និងទន្លេ យន្តហោះ និងកាំជ្រួច។ ដោយមានជំនួយពីការគណនាបែបនេះគន្លងនៃចលនានៃសាកសពផ្សេងៗរួមទាំងវត្ថុអវកាសត្រូវបានកំណត់។ ឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការ quadratic ត្រូវបានប្រើមិនត្រឹមតែក្នុងការព្យាករណ៍សេដ្ឋកិច្ចក្នុងការរចនា និងការសាងសង់អគារប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មាននៅក្នុងកាលៈទេសៈប្រចាំថ្ងៃធម្មតាបំផុតផងដែរ។ ពួកគេប្រហែលជាត្រូវការសម្រាប់ការធ្វើដំណើរបោះជំរុំ ព្រឹត្តិការណ៍កីឡា នៅក្នុងហាងនៅពេលទិញទំនិញ និងក្នុងស្ថានភាពទូទៅផ្សេងទៀត។

ចូរបំបែកកន្សោមទៅជាកត្តាសមាសធាតុ

កម្រិតនៃសមីការត្រូវបានកំណត់ដោយតម្លៃអតិបរមានៃកម្រិតនៃអថេរដែលកន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យមាន។ ប្រសិនបើវាស្មើនឹង 2 នោះសមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាសមីការការ៉េ។

ប្រសិនបើយើងនិយាយជាភាសានៃរូបមន្ត នោះកន្សោមទាំងនេះមិនថាវាមើលទៅបែបណានោះទេ តែងតែអាចនាំមកទម្រង់នៅពេលដែលផ្នែកខាងឆ្វេងនៃកន្សោមមានបីពាក្យ។ ក្នុងចំនោមពួកគេ៖ ពូថៅ 2 (នោះគឺជាអថេរការ៉េដែលមានមេគុណរបស់វា) bx (មិនស្គាល់ដោយគ្មានការ៉េដែលមានមេគុណរបស់វា) និង c (សមាសភាគឥតគិតថ្លៃ នោះគឺជាលេខធម្មតា)។ ទាំងអស់នេះនៅខាងស្តាំគឺស្មើនឹង 0។ ក្នុងករណីដែលពហុនាមបែបនេះមិនមានធាតុផ្សំណាមួយរបស់វា លើកលែងតែអ័ក្ស 2 វាត្រូវបានគេហៅថាសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។ ឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាបែបនេះ ដែលក្នុងនោះតម្លៃនៃអថេរមិនពិបាកស្វែងរក គួរតែត្រូវបានពិចារណាជាមុនសិន។

ប្រសិនបើកន្សោមមើលទៅដូចជាវាមានពាក្យពីរនៅជ្រុងខាងស្តាំនៃកន្សោម អ័ក្ស 2 និង bx ច្បាស់ជាងនេះ វាជាការងាយស្រួលបំផុតក្នុងការស្វែងរក x ដោយតង្កៀបអថេរ។ ឥឡូវនេះសមីការរបស់យើងនឹងមើលទៅដូចនេះ៖ x(ax+b)។ លើសពីនេះ វាកាន់តែច្បាស់ថា x=0 ឬបញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅការស្វែងរកអថេរពីកន្សោមខាងក្រោម៖ ax+b=0។ នេះត្រូវបានកំណត់ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិមួយនៃគុណ។ ច្បាប់ចែងថាផលនៃកត្តាពីរផ្តល់លទ្ធផលជា 0 លុះត្រាណាមួយក្នុងចំណោមពួកវាគឺសូន្យ។

ឧទាហរណ៍

x=0 ឬ 8x − 3 = 0

ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានឫសពីរនៃសមីការ៖ 0 និង 0.375។

សមីការនៃប្រភេទនេះអាចពិពណ៌នាអំពីចលនានៃសាកសពក្រោមសកម្មភាពនៃទំនាញផែនដី ដែលបានចាប់ផ្តើមផ្លាស់ទីពីចំណុចជាក់លាក់មួយ ដែលយកជាប្រភពដើម។ នៅទីនេះសញ្ញាណគណិតវិទ្យាមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ y = v 0 t + gt 2/2 ។ ដោយការជំនួសតម្លៃចាំបាច់ ស្មើផ្នែកខាងស្តាំទៅ 0 និងស្វែងរកការមិនស្គាល់ដែលអាចកើតមាន អ្នកអាចរកឃើញពេលវេលាដែលបានកន្លងផុតពីពេលដែលរាងកាយកើនឡើងដល់ពេលដែលវាធ្លាក់ចុះ ក៏ដូចជាបរិមាណផ្សេងទៀតជាច្រើន។ ប៉ុន្តែយើងនឹងនិយាយអំពីរឿងនេះនៅពេលក្រោយ។

កត្តាកន្សោមមួយ។

ច្បាប់ដែលបានពិពណ៌នាខាងលើធ្វើឱ្យវាអាចដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះនៅក្នុងករណីស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត។ ពិចារណាឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េនៃប្រភេទនេះ។

X2 − 33x + 200 = 0

ត្រីកោណការ៉េនេះត្រូវបានបញ្ចប់។ ដំបូង​យើង​បំប្លែង​កន្សោម ហើយ​បំបែក​វា​ទៅ​ជា​កត្តា។ មានពីរក្នុងចំនោមពួកគេ៖ (x-8) និង (x-25) = 0. ជាលទ្ធផលយើងមានឫសពីរ 8 និង 25 ។

ឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការ quadratic ថ្នាក់ទី 9 អនុញ្ញាតឱ្យវិធីសាស្រ្តនេះដើម្បីស្វែងរកអថេរនៅក្នុងកន្សោមមិនត្រឹមតែនៃទីពីរប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងនៃលំដាប់ទីបីនិងទីបួន។

ឧទាហរណ៍៖ 2x 3 + 2x 2 − 18x − 18 = 0. ពេល​យក​ផ្នែក​ខាង​ស្តាំ​ទៅ​ជា​កត្តា​ជាមួយ​អថេរ​ មាន​បី​ក្នុង​ចំណោម​នោះ​គឺ (x + 1), (x − 3) និង (x + ៣).

ជាលទ្ធផលវាច្បាស់ថាសមីការនេះមានឫសបី: -3; - មួយ; ៣.

ការស្រង់ចេញឫសការ៉េ

ករណីមួយទៀតនៃសមីការលំដាប់ទីពីរមិនពេញលេញគឺជាកន្សោមដែលសរសេរជាភាសាអក្សរតាមរបៀបដែលផ្នែកខាងស្តាំត្រូវបានបង្កើតឡើងពីសមាសធាតុ ax 2 និង c ។ នៅទីនេះ ដើម្បីទទួលបានតម្លៃនៃអថេរ ពាក្យឥតគិតថ្លៃត្រូវបានផ្ទេរទៅផ្នែកខាងស្តាំ ហើយបន្ទាប់ពីនោះ ឫសការ៉េត្រូវបានស្រង់ចេញពីភាគីទាំងពីរនៃសមភាព។ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាក្នុងករណីនេះជាធម្មតាមានឫសពីរនៃសមីការ។ ករណីលើកលែងតែមួយគត់គឺសមភាពដែលមិនមានពាក្យ c ទាល់តែសោះ ដែលអថេរស្មើនឹងសូន្យ ក៏ដូចជាបំរែបំរួលនៃកន្សោម នៅពេលដែលផ្នែកខាងស្តាំប្រែទៅជាអវិជ្ជមាន។ ក្នុងករណីចុងក្រោយនេះ មិនមានដំណោះស្រាយអ្វីទាំងអស់ ព្រោះសកម្មភាពខាងលើមិនអាចអនុវត្តដោយឫសគល់បានទេ។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការការ៉េនៃប្រភេទនេះគួរតែត្រូវបានពិចារណា។

ក្នុងករណីនេះឫសនៃសមីការនឹងជាលេខ -4 និង 4 ។

ការគណនាផ្ទៃដី

តម្រូវការសម្រាប់ការគណនាប្រភេទនេះបានលេចចេញនៅសម័យបុរាណ ពីព្រោះការអភិវឌ្ឍន៍គណិតវិទ្យាក្នុងគ្រាឆ្ងាយទាំងនោះ ភាគច្រើនដោយសារតែតម្រូវការកំណត់តំបន់ និងបរិវេណនៃដីឡូតិ៍ប្រកបដោយភាពត្រឹមត្រូវបំផុត។

យើងក៏គួរពិចារណាឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការបួនជ្រុងដែលត្រូវបានចងក្រងដោយផ្អែកលើបញ្ហានៃប្រភេទនេះ។

អញ្ចឹង​ឧបមាថា​មាន​ដី​រាង​ចតុកោណ​ប្រវែង​១៦​ម៉ែត្រ​ជាង​ទទឹង។ អ្នកគួរតែស្វែងរកប្រវែង ទទឹង និងបរិវេណនៃទីតាំង ប្រសិនបើគេដឹងថាផ្ទៃដីរបស់វាគឺ ៦១២ ម ២។

ការចុះទៅអាជីវកម្មដំបូងយើងនឹងបង្កើតសមីការចាំបាច់។ ចូរកំណត់ទទឹងនៃផ្នែកជា x បន្ទាប់មកប្រវែងរបស់វានឹងមាន (x + 16) ។ វាធ្វើតាមអ្វីដែលបានសរសេរថាផ្ទៃត្រូវបានកំណត់ដោយកន្សោម x (x + 16) ដែលយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហារបស់យើងគឺ 612 ។ នេះមានន័យថា x (x + 16) \u003d 612 ។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការ quadratic ពេញលេញ ហើយកន្សោមនេះគឺគ្រាន់តែថា មិនអាចធ្វើតាមរបៀបដូចគ្នាបានទេ។ ហេតុអ្វី? ទោះបីជាផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វានៅតែមានកត្តាពីរក៏ដោយ ផលិតផលរបស់វាមិនស្មើនឹង 0 ទាល់តែសោះ ដូច្នេះវិធីសាស្ត្រផ្សេងទៀតត្រូវបានប្រើប្រាស់នៅទីនេះ។

រើសអើង

ជាដំបូង យើងនឹងធ្វើការបំប្លែងជាចាំបាច់ បន្ទាប់មករូបរាងនៃកន្សោមនេះនឹងមើលទៅដូចនេះ៖ x 2 + 16x - 612 = 0. នេះមានន័យថាយើងបានទទួលកន្សោមក្នុងទម្រង់ដែលត្រូវនឹងស្តង់ដារដែលបានបញ្ជាក់ពីមុន ដែលជាកន្លែងដែល a=1, b=16, c= −612 ។

នេះអាចជាឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងតាមរយៈអ្នករើសអើង។ នៅទីនេះការគណនាចាំបាច់ត្រូវបានធ្វើឡើងតាមគ្រោងការណ៍: D = b 2 - 4ac ។ តម្លៃជំនួយនេះមិនត្រឹមតែធ្វើឱ្យវាអាចស្វែងរកតម្លៃដែលចង់បាននៅក្នុងសមីការលំដាប់ទីពីរប៉ុណ្ណោះទេ វាកំណត់ចំនួនជម្រើសដែលអាចធ្វើបាន។ ក្នុងករណី D> 0 មានពីរក្នុងចំណោមពួកគេ; សម្រាប់ D=0 មានឫសមួយ។ ក្នុងករណី D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

អំពីឫសនិងរូបមន្តរបស់វា។

ក្នុងករណីរបស់យើង ការរើសអើងគឺ៖ 256 - 4(-612) = 2704។ នេះបង្ហាញថាបញ្ហារបស់យើងមានចម្លើយ។ ប្រសិនបើអ្នកដឹង ដំណោះស្រាយនៃសមីការ quadratic ត្រូវតែបន្តដោយប្រើរូបមន្តខាងក្រោម។ វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាឫស។

នេះមានន័យថាក្នុងករណីដែលបានបង្ហាញ៖ x 1 = 18, x 2 = −34 ។ ជម្រើសទីពីរនៅក្នុងបញ្ហានេះ មិនអាចជាដំណោះស្រាយបានទេ ព្រោះទំហំដីមិនអាចវាស់ជាតម្លៃអវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថា x (ទទឹងដី) គឺ 18 ម៉ែត្រ។ ពីទីនេះយើងគណនាប្រវែង៖ 18+16=34 និងបរិវេណ 2(34+18) = 104 (ម 2)។

ឧទាហរណ៍និងភារកិច្ច

យើងបន្តការសិក្សាអំពីសមីការការ៉េ។ ឧទាហរណ៍ និងដំណោះស្រាយលម្អិតនៃពួកវាមួយចំនួននឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យខាងក្រោម។

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

ចូរយើងផ្ទេរអ្វីគ្រប់យ៉ាងទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាព ធ្វើការបំប្លែង នោះគឺយើងទទួលបានទម្រង់នៃសមីការ ដែលជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថាស្តង់ដារមួយ ហើយយកវាទៅសូន្យ។

15x 2 + 20x + 5 − 12x 2 – 27x – 1 = 0

ដោយបានបន្ថែមភាពស្រដៀងគ្នា យើងកំណត់ការរើសអើង៖ D \u003d 49 - 48 \u003d 1. ដូច្នេះសមីការរបស់យើងនឹងមានឫសពីរ។ យើងគណនាពួកវាតាមរូបមន្តខាងលើ ដែលមានន័យថា ទីមួយនៃពួកវានឹងស្មើនឹង 4/3 ហើយទីពីរ 1 ។

2) ឥឡូវនេះយើងនឹងបង្ហាញ riddles នៃប្រភេទផ្សេងគ្នា។

ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើមានឫស x 2 − 4x + 5 = 1 នៅទីនេះទាំងអស់ឬ? ដើម្បីទទួលបានចម្លើយពេញលេញ យើងនាំយកពហុនាមទៅជាទម្រង់ដែលធ្លាប់ស្គាល់ដែលត្រូវគ្នា ហើយគណនាអ្នករើសអើង។ ក្នុង​ឧទាហរណ៍​នេះ វា​មិន​ចាំបាច់​ដើម្បី​ដោះស្រាយ​សមីការ​បួន​ជ្រុង​ទេ ព្រោះ​ខ្លឹមសារ​នៃ​បញ្ហា​គឺ​មិន​មាន​អ្វី​ទាំងអស់​នៅ​ក្នុង​នេះ។ ក្នុងករណីនេះ D \u003d 16 - 20 \u003d -4 ដែលមានន័យថាពិតជាគ្មានឫសទេ។

ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា

វាជាការងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយសមីការការ៉េតាមរយៈរូបមន្តខាងលើ និងការរើសអើង នៅពេលដែលឫសការ៉េត្រូវបានស្រង់ចេញពីតម្លៃនៃក្រោយ។ ប៉ុន្តែនេះមិនតែងតែកើតឡើងទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយមានវិធីជាច្រើនដើម្បីទទួលបានតម្លៃនៃអថេរក្នុងករណីនេះ។ ឧទាហរណ៍៖ ការដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta ។ វាត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះតាមបុរសម្នាក់ដែលរស់នៅក្នុងប្រទេសបារាំងសតវត្សទី 16 ហើយមានអាជីពដ៏អស្ចារ្យដោយសារទេពកោសល្យគណិតវិទ្យា និងការភ្ជាប់ទំនាក់ទំនងរបស់គាត់នៅតុលាការ។ រូបភាពរបស់គាត់អាចមើលឃើញនៅក្នុងអត្ថបទ។

គំរូ​ដែល​ជនជាតិ​បារាំង​ដ៏​ល្បី​ម្នាក់​បាន​កត់​សម្គាល់​មាន​ដូច​ខាង​ក្រោម។ គាត់បានបង្ហាញថាផលបូកនៃឫសនៃសមីការគឺស្មើនឹង -p=b/a ហើយផលិតផលរបស់ពួកគេត្រូវគ្នាទៅនឹង q=c/a។

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលកិច្ចការជាក់លាក់។

3x2 + 21x − 54 = 0

ដើម្បីភាពសាមញ្ញ ចូរយើងបំប្លែងកន្សោម៖

x 2 + 7x − 18 = 0

ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta នេះនឹងផ្តល់ឱ្យយើងនូវចំណុចដូចខាងក្រោម: ផលបូកនៃឫសគឺ -7 ហើយផលិតផលរបស់ពួកគេគឺ -18 ។ ពីទីនេះយើងទទួលបានថាឫសនៃសមីការគឺជាលេខ -9 និង 2 ។ ដោយបានធ្វើការត្រួតពិនិត្យ យើងនឹងធ្វើឱ្យប្រាកដថាតម្លៃនៃអថេរទាំងនេះពិតជាសមនឹងកន្សោម។

ក្រាហ្វ និងសមីការនៃប៉ារ៉ាបូឡា

គោលគំនិតនៃអនុគមន៍ quadratic និងសមីការ quadratic មានទំនាក់ទំនងយ៉ាងជិតស្និទ្ធ។ ឧទាហរណ៍នៃរឿងនេះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យពីមុនរួចហើយ។ ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលល្បែងផ្គុំរូបគណិតវិទ្យាមួយចំនួនដោយលំអិតបន្តិច។ សមីការណាមួយនៃប្រភេទដែលបានពិពណ៌នាអាចត្រូវបានតំណាងដោយមើលឃើញ។ ការពឹងផ្អែកបែបនេះដែលត្រូវបានគូរក្នុងទម្រង់នៃក្រាហ្វត្រូវបានគេហៅថាប៉ារ៉ាបូឡា។ ប្រភេទផ្សេងៗរបស់វាត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបខាងក្រោម។

ប៉ារ៉ាបូឡាណាមួយមានចំនុចកំពូល នោះគឺជាចំណុចដែលសាខារបស់វាចេញមក។ ប្រសិនបើ a> 0 ពួកវាឡើងខ្ពស់ដល់អគ្មានកំណត់ ហើយនៅពេលដែល a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

ការតំណាងដែលមើលឃើញនៃអនុគមន៍ជួយដោះស្រាយសមីការណាមួយ រួមទាំង ចតុកោណ។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានគេហៅថាក្រាហ្វិក។ ហើយតម្លៃនៃអថេរ x គឺជាកូអរដោណេ abscissa នៅចំនុចដែលបន្ទាត់ក្រាហ្វប្រសព្វជាមួយ 0x ។ កូអរដោនេនៃចំនុចកំពូលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្តដែលទើបតែផ្តល់ x 0 = -b / 2a ។ ហើយការជំនួសតម្លៃលទ្ធផលទៅក្នុងសមីការដើមនៃអនុគមន៍ អ្នកអាចរកឃើញ y 0 នោះគឺជាកូអរដោនេទីពីរនៃចំនុចកំពូលប៉ារ៉ាបូឡាដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់អ័ក្ស y ។

ចំនុចប្រសព្វនៃសាខានៃប៉ារ៉ាបូឡាជាមួយនឹងអ័ក្ស abscissa

មានឧទាហរណ៍ជាច្រើនជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការ quadratic ប៉ុន្តែក៏មានគំរូទូទៅផងដែរ។ ចូរយើងពិចារណាពួកគេ។ វាច្បាស់ណាស់ថាចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វដែលមានអ័ក្ស 0x សម្រាប់ a> 0 គឺអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែ y 0 យកតម្លៃអវិជ្ជមាន។ ហើយសម្រាប់ ក<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. បើមិនដូច្នេះទេ ឃ<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

ពីក្រាហ្វនៃប៉ារ៉ាបូឡា អ្នកក៏អាចកំណត់ឫសផងដែរ។ ការបញ្ច្រាសក៏ជាការពិតដែរ។ នោះ​គឺ​ប្រសិន​បើ​វា​មិន​ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​ការ​ទទួល​បាន​ការ​តំណាង​ដែល​មើល​ឃើញ​នៃ​អនុគមន៍​រាង​បួន​ជ្រុង​ទេ អ្នក​អាច​ស្មើ​ផ្នែក​ខាង​ស្ដាំ​នៃ​កន្សោម​ទៅ 0 និង​ដោះស្រាយ​សមីការ​លទ្ធផល។ ហើយការដឹងពីចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស 0x វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការគូសវាស។

ពីប្រវត្តិសាស្ត្រ

ដោយមានជំនួយពីសមីការដែលមានអថេរការ៉េ នៅថ្ងៃចាស់ មិនត្រឹមតែធ្វើការគណនាគណិតវិទ្យា និងកំណត់ផ្ទៃនៃរាងធរណីមាត្រប៉ុណ្ណោះទេ។ មនុស្សបុរាណត្រូវការការគណនាបែបនេះសម្រាប់ការរកឃើញដ៏អស្ចារ្យនៅក្នុងវិស័យរូបវិទ្យា និងតារាសាស្ត្រ ក៏ដូចជាសម្រាប់ការព្យាករណ៍ហោរាសាស្រ្តផងដែរ។

ដូចដែលអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រសម័យទំនើបណែនាំ ប្រជាជននៅបាប៊ីឡូនគឺជាអ្នកដំបូងគេដែលដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង។ វាបានកើតឡើងបួនសតវត្សមុនការមកដល់នៃសម័យរបស់យើង។ ជាការពិតណាស់ ការគណនារបស់ពួកគេមានភាពខុសប្លែកគ្នាជាមូលដ្ឋានពីអ្វីដែលបានទទួលយកនាពេលបច្ចុប្បន្ន ហើយបានប្រែទៅជាមានលក្ខណៈបឋមជាង។ ជាឧទាហរណ៍ គណិតវិទូមេសូប៉ូតាមៀ មិនមានគំនិតអំពីអត្ថិភាពនៃលេខអវិជ្ជមានទេ។ ពួកគេក៏មិនស៊ាំជាមួយ subtleties ផ្សេងទៀតនៃអ្នកដែលស្គាល់ដោយសិស្សណាមួយនៅសម័យរបស់យើង។

ប្រហែលជាមុនជាងអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រនៃបាប៊ីឡូន ដែលជាអ្នកប្រាជ្ញមកពីប្រទេសឥណ្ឌា Baudhayama បានយកដំណោះស្រាយនៃសមីការបួនជ្រុង។ រឿងនេះបានកើតឡើងប្រហែលប្រាំបីសតវត្សមុនការមកដល់នៃយុគសម័យរបស់ព្រះគ្រីស្ទ។ ពិត​មែន សមីការ​លំដាប់​ទីពីរ វិធីសាស្ត្រ​សម្រាប់​ការ​ដោះស្រាយ​ដែល​លោក​បាន​ផ្តល់​ឲ្យ​គឺ​សាមញ្ញ​បំផុត។ ក្រៅ​ពី​គាត់ អ្នក​គណិត​វិទូ​ចិន​ក៏​ចាប់​អារម្មណ៍​នឹង​សំណួរ​ស្រដៀង​គ្នា​នេះ​ក្នុង​សម័យ​បុរាណ​ដែរ។ នៅទ្វីបអឺរ៉ុប សមីការបួនជ្រុងចាប់ផ្តើមត្រូវបានដោះស្រាយតែនៅដើមសតវត្សទី 13 ប៉ុណ្ណោះ ប៉ុន្តែក្រោយមកពួកគេត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងការងាររបស់ពួកគេដោយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដ៏អស្ចារ្យដូចជា Newton, Descartes និងអ្នកផ្សេងទៀតជាច្រើន។

ការប្រើប្រាស់សមីការគឺរីករាលដាលនៅក្នុងជីវិតរបស់យើង។ ពួកវាត្រូវបានប្រើក្នុងការគណនាជាច្រើនការសាងសង់រចនាសម្ព័ន្ធនិងសូម្បីតែកីឡា។ សមីការ​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើ​ដោយ​មនុស្ស​តាំង​ពី​សម័យ​បុរាណ ហើយ​ចាប់​តាំង​ពី​ពេល​នោះ​មក​ការ​ប្រើ​ប្រាស់​របស់​ពួក​គេ​មាន​តែ​កើន​ឡើង។ ការរើសអើងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយសមីការ quadratic ណាមួយដោយប្រើរូបមន្តទូទៅ ដែលមានទម្រង់ដូចខាងក្រោម៖

រូបមន្តរើសអើងអាស្រ័យលើកម្រិតនៃពហុធា។ រូបមន្តខាងលើគឺសមរម្យសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងនៃទម្រង់ខាងក្រោម៖

អ្នករើសអើងមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមដែលអ្នកត្រូវដឹង៖

* "D" គឺ 0 នៅពេលដែលពហុធាមានឫសច្រើន (ឫសស្មើគ្នា);

* "D" គឺជាពហុនាមស៊ីមេទ្រីដែលទាក់ទងទៅនឹងឫសនៃពហុនាម ដូច្នេះហើយជាពហុនាមនៅក្នុងមេគុណរបស់វា; លើសពីនេះទៅទៀត មេគុណនៃពហុនាមនេះគឺជាចំនួនគត់ ដោយមិនគិតពីផ្នែកបន្ថែមដែលឫសត្រូវបានយក។

ឧបមាថាយើងត្រូវបានផ្តល់សមីការការ៉េនៃទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

1 សមីការ

យោងតាមរូបមន្តយើងមាន៖

ចាប់តាំងពី \, បន្ទាប់មកសមីការមាន 2 ឫស។ ចូរកំណត់ពួកវា៖

តើខ្ញុំអាចដោះស្រាយសមីការតាមរយៈអ្នកដោះស្រាយតាមអ៊ីនធឺណិតដែលរើសអើងនៅឯណា?

អ្នកអាចដោះស្រាយសមីការនៅលើគេហទំព័ររបស់យើង https:// site. កម្មវិធីដោះស្រាយតាមអ៊ីនធឺណិតឥតគិតថ្លៃនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយសមីការអនឡាញនៃភាពស្មុគស្មាញណាមួយក្នុងរយៈពេលប៉ុន្មានវិនាទី។ អ្វីដែលអ្នកត្រូវធ្វើគឺគ្រាន់តែបញ្ចូលទិន្នន័យរបស់អ្នកទៅក្នុងកម្មវិធីដោះស្រាយ។ អ្នកក៏អាចមើលការណែនាំជាវីដេអូ និងរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការនៅលើគេហទំព័ររបស់យើង។ ហើយប្រសិនបើអ្នកមានសំណួរណាមួយ អ្នកអាចសួរពួកគេនៅក្នុងក្រុម Vkontakte របស់យើង http://vk.com/pocketteacher ។ ចូលរួមជាមួយក្រុមរបស់យើង យើងតែងតែរីករាយក្នុងការជួយអ្នក។

ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ត្រីភាគី \(3x^2+2x-7\) ការរើសអើងនឹងជា \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\) ។ ហើយសម្រាប់ trinomial \(x^2-5x+11\) វានឹងស្មើនឹង \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\)។

ការរើសអើងត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ \(D\) ហើយជារឿយៗត្រូវបានប្រើនៅពេលដោះស្រាយ។ ដូចគ្នានេះផងដែរដោយតម្លៃនៃអ្នករើសអើងអ្នកអាចយល់ពីអ្វីដែលក្រាហ្វមើលទៅដូច (សូមមើលខាងក្រោម) ។

ឫសគល់នៃការរើសអើង និងសមីការ

តម្លៃនៃការរើសអើងបង្ហាញពីចំនួនសមីការការ៉េ៖
- ប្រសិនបើ \(D\) វិជ្ជមាន សមីការនឹងមានឫសពីរ។
- ប្រសិនបើ \(D\) ស្មើនឹងសូន្យ - មានតែឫសមួយប៉ុណ្ណោះ។
- ប្រសិនបើ \(D\) អវិជ្ជមាន នោះគ្មានឫសទេ។

វាមិនចាំបាច់ក្នុងការរៀនរឿងនេះទេវាងាយស្រួលក្នុងការសន្និដ្ឋានបែបនេះដោយគ្រាន់តែដឹងថាពីអ្នករើសអើង (នោះគឺ \(\ sqrt (D)\) ត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងរូបមន្តសម្រាប់គណនាឫសនៃសមីការ៖ \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) និង \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D)) )(2a)\) សូមក្រឡេកមើលករណីនីមួយៗឱ្យកាន់តែលម្អិត។

ប្រសិនបើអ្នករើសអើងគឺវិជ្ជមាន

ក្នុងករណីនេះ ឫសរបស់វាគឺជាចំនួនវិជ្ជមានមួយចំនួន ដែលមានន័យថា \(x_(1)\) និង \(x_(2)\) នឹងមានតម្លៃខុសគ្នា ព្រោះក្នុងរូបមន្តទីមួយ \(\sqrt(D)) \\) ត្រូវបានបន្ថែម ហើយនៅក្នុងទីពីរ - ត្រូវបានដក។ ហើយយើងមានឫសពីរផ្សេងគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ៖ ស្វែងរកឫសនៃសមីការ \(x^2+2x-3=0\)
ការសម្រេចចិត្ត :

ចម្លើយ : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

បើអ្នករើសអើងគឺសូន្យ

ហើយ​តើ​មាន​ឫសគល់​ប៉ុន្មាន​ដែរ បើ​អ្នក​រើសអើង​គឺ​សូន្យ? ចូរយើងវែកញែក។

រូបមន្តឫសមើលទៅដូចនេះ៖ \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) និង \(x_(2)=\)\(\frac(- b-\sqrt(D))(2a)\) ។ ហើយ​បើ​អ្នក​រើសអើង​គឺ​សូន្យ នោះ​ឫស​របស់​វា​ក៏​សូន្យ​ដែរ។ បន្ទាប់មកវាប្រែថា:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

នោះគឺតម្លៃនៃឫសនៃសមីការនឹងដូចគ្នា ព្រោះការបូកឬដកសូន្យមិនផ្លាស់ប្តូរអ្វីទាំងអស់។

ឧទាហរណ៍ ៖ ស្វែងរកឫសនៃសមីការ \(x^2-4x+4=0\)
ការសម្រេចចិត្ត :

\\(x^2-4x+4=0\)		យើងសរសេរមេគុណ៖
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		គណនាការរើសអើងដោយប្រើរូបមន្ត \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		ការស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		យើងទទួលបានឫសដូចគ្នាពីរ ដូច្នេះវាគ្មានន័យទេក្នុងការសរសេរពួកវាដោយឡែកពីគ្នា - យើងសរសេរពួកវាចុះជាតែមួយ។

ចម្លើយ : \(x=2\)

ជាមួយនឹងកម្មវិធីគណិតវិទ្យានេះ អ្នកអាចធ្វើបាន ដោះស្រាយសមីការការ៉េ.

កម្មវិធីនេះមិនត្រឹមតែផ្តល់ចម្លើយចំពោះបញ្ហាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងបង្ហាញដំណើរការដំណោះស្រាយតាមពីរវិធី៖
- ប្រើអ្នករើសអើង
- ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta (ប្រសិនបើអាចធ្វើទៅបាន) ។

ជាងនេះទៅទៀត ចម្លើយត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងពិតប្រាកដ មិនមែនប្រហាក់ប្រហែល
ឧទាហរណ៍ សម្រាប់សមីការ \(81x^2-16x-1=0\) ចម្លើយត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់នេះ៖

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ ជំនួសឱ្យវា៖ \(x_1 = 0.247; \ quad x_2 = -0.05 \\)

កម្មវិធីនេះអាចមានប្រយោជន៍សម្រាប់សិស្សវិទ្យាល័យក្នុងការរៀបចំសម្រាប់ការធ្វើតេស្ត និងការប្រឡង នៅពេលធ្វើតេស្តចំណេះដឹងមុនការប្រឡង Unified State សម្រាប់ឪពុកម្តាយដើម្បីគ្រប់គ្រងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាច្រើននៅក្នុងគណិតវិទ្យា និងពិជគណិត។ ឬប្រហែលជាវាថ្លៃពេកសម្រាប់អ្នកដើម្បីជួលគ្រូ ឬទិញសៀវភៅសិក្សាថ្មី? ឬអ្នកគ្រាន់តែចង់ធ្វើលំហាត់គណិតវិទ្យា ឬពិជគណិតរបស់អ្នកឱ្យបានលឿនតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន? ក្នុងករណីនេះ អ្នកក៏អាចប្រើកម្មវិធីរបស់យើងជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិតផងដែរ។

តាមរបៀបនេះ អ្នកអាចធ្វើការបណ្តុះបណ្តាលដោយខ្លួនឯង និង/ឬការបណ្តុះបណ្តាលរបស់បងប្អូនប្រុសស្រីរបស់អ្នក ខណៈពេលដែលកម្រិតនៃការអប់រំក្នុងវិស័យការងារដែលត្រូវដោះស្រាយត្រូវបានកើនឡើង។

ប្រសិនបើអ្នកមិនស៊ាំនឹងច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលពហុនាមការ៉េទេ យើងសូមណែនាំឱ្យអ្នកស្គាល់ខ្លួនអ្នកជាមួយពួកវា។

ច្បាប់សម្រាប់បញ្ចូលពហុនាមការ៉េ

អក្សរឡាតាំងណាមួយអាចដើរតួជាអថេរ។
ឧទាហរណ៍៖ \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \\) ។ល។

លេខអាចត្រូវបានបញ្ចូលជាចំនួនគត់ ឬប្រភាគ។
ជាងនេះទៅទៀត លេខប្រភាគអាចត្រូវបានបញ្ចូលមិនត្រឹមតែក្នុងទម្រង់ទសភាគប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានទម្រង់ជាប្រភាគធម្មតាផងដែរ។

ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលប្រភាគទសភាគ។
នៅក្នុងប្រភាគទសភាគ ផ្នែកប្រភាគពីចំនួនគត់អាចត្រូវបានបំបែកដោយចំនុច ឬសញ្ញាក្បៀស។
ឧទាហរណ៍ អ្នកអាចបញ្ចូលទសភាគដូចនេះ៖ 2.5x - 3.5x^2

ច្បាប់សម្រាប់ការបញ្ចូលប្រភាគធម្មតា។
មានតែចំនួនទាំងមូលប៉ុណ្ណោះដែលអាចដើរតួជាភាគបែង ភាគបែង និងចំនួនគត់នៃប្រភាគ។

ភាគបែងមិនអាចអវិជ្ជមានបានទេ។

នៅពេលបញ្ចូលប្រភាគលេខ ភាគយកត្រូវបានបំបែកចេញពីភាគបែងដោយសញ្ញាចែក៖ /
ផ្នែកចំនួនគត់ត្រូវបានបំបែកចេញពីប្រភាគដោយ ampersand៖ &
បញ្ចូល៖ 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
លទ្ធផល៖ \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5)z + \frac(1)(7)z^2 \)

នៅពេលបញ្ចូលកន្សោម អ្នកអាចប្រើតង្កៀប. ក្នុងករណីនេះ នៅពេលដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង កន្សោមដែលបានណែនាំត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញជាលើកដំបូង។
ឧទាហរណ៍៖ 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

សម្រេចចិត្ត

វាត្រូវបានគេរកឃើញថាស្គ្រីបមួយចំនួនដែលត្រូវការដើម្បីដោះស្រាយកិច្ចការនេះមិនដំណើរការទេ ហើយកម្មវិធីប្រហែលជាមិនដំណើរការទេ។
អ្នកប្រហែលជាបានបើក AdBlock ។
ក្នុងករណីនេះ សូមបិទវា ហើយធ្វើឱ្យទំព័រឡើងវិញ។

អ្នកបានបិទ JavaScript នៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។
JavaScript ត្រូវតែបើកដំណើរការដើម្បីឱ្យដំណោះស្រាយលេចឡើង។
នេះគឺជាការណែនាំអំពីរបៀបបើក JavaScript នៅក្នុងកម្មវិធីរុករករបស់អ្នក។

ដោយសារតែ មានមនុស្សជាច្រើនដែលចង់ដោះស្រាយបញ្ហា សំណើរបស់អ្នកត្រូវបានតម្រង់ជួរ។
បន្ទាប់ពីពីរបីវិនាទីដំណោះស្រាយនឹងលេចឡើងខាងក្រោម។
សូម​មេត្តា​រង់ចាំ វិ...

ប្រសិនបើ​អ្នក បានកត់សម្គាល់កំហុសនៅក្នុងដំណោះស្រាយបន្ទាប់មក អ្នកអាចសរសេរអំពីវានៅក្នុងទម្រង់មតិកែលម្អ។
កុំ​ភ្លេច ចង្អុលបង្ហាញកិច្ចការណាមួយ។អ្នកសម្រេចចិត្តអ្វី ចូលទៅក្នុងវាល.

ហ្គេមរបស់យើង ល្បែងផ្គុំរូប ត្រាប់តាម៖

ទ្រឹស្តីបន្តិច។

សមីការបួនជ្រុង និងឫសរបស់វា។ សមីការការ៉េមិនពេញលេញ

សមីការនីមួយៗ
\\(-x^2+6x+1,4=0, \\quad 8x^2-7x=0, \\quad x^2-\frac(4)(9)=0 \\)
មានទម្រង់
\\(ax^2+bx+c=0, \\)
ដែល x ជាអថេរ a, b និង c ជាលេខ។
នៅក្នុងសមីការទីមួយ a = -1, b = 6 និង c = 1.4, នៅក្នុងទីពីរ a = 8, b = −7 និង c = 0, នៅក្នុងទីបី a = 1, b = 0 និង c = 4/9 ។ សមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការ​ការ៉េ.

និយមន័យ។
សមីការ​ការ៉េសមីការនៃទម្រង់ ax 2 +bx+c=0 ត្រូវបានហៅ ដែល x ជាអថេរ a, b និង c គឺជាលេខមួយចំនួន និង \(a \neq 0 \\) ។

លេខ a, b និង c គឺជាមេគុណនៃសមីការការ៉េ។ លេខ a ត្រូវបានគេហៅថាមេគុណទីមួយ លេខ b គឺជាមេគុណទីពីរ ហើយលេខ c ជាស្ទាក់ចាប់។

នៅក្នុងសមីការនីមួយៗនៃទម្រង់ ax 2 +bx+c=0 ដែល \(a \neq 0 \\) ថាមពលធំបំផុតនៃអថេរ x គឺជាការ៉េ។ ដូច្នេះឈ្មោះ៖ សមីការការ៉េ។

ចំណាំថាសមីការការ៉េត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃដឺក្រេទីពីរផងដែរ ចាប់តាំងពីផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វាគឺជាពហុធានៃដឺក្រេទីពីរ។

សមីការការ៉េដែលមេគុណនៅ x 2 គឺ 1 ត្រូវបានហៅ កាត់បន្ថយសមីការការ៉េ. ឧទាហរណ៍ សមីការ​ការ៉េ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​គឺ​ជា​សមីការ
\\(x^2-11x+30=0, \\quad x^2-6x=0, \\quad x^2-8=0 \\)

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការការ៉េ ax 2 +bx+c=0 យ៉ាងហោចណាស់មួយនៃមេគុណ b ឬ c គឺស្មើនឹងសូន្យ នោះសមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការការ៉េមិនពេញលេញ. ដូច្នេះសមីការ -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 គឺជាសមីការការ៉េមិនពេញលេញ។ នៅក្នុងទីមួយនៃពួកគេ b=0 នៅក្នុងទីពីរ c=0 នៅក្នុងទីបី b=0 និង c=0 ។

សមីការការ៉េមិនពេញលេញមានបីប្រភេទ៖
1) ax 2 +c=0 ដែល \\(c \neq 0 \\);
2) ax 2 +bx=0 ដែល \(b \neq 0 \);
3) ax2=0 ។

ពិចារណាដំណោះស្រាយនៃសមីការនៃប្រភេទនីមួយៗទាំងនេះ។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +c=0 សម្រាប់ \(c \neq 0 \) ពាក្យទំនេររបស់វាត្រូវបានផ្ទេរទៅផ្នែកខាងស្តាំ ហើយផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការត្រូវបានបែងចែកដោយ a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt(-\frac(c)(a)) \)

ចាប់តាំងពី \(c \neq 0 \) បន្ទាប់មក \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

ប្រសិនបើ \(-\frac(c)(a)>0 \) នោះសមីការមានឫសពីរ។

ប្រសិនបើ \(-\frac(c)(a) ដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +bx=0 សម្រាប់ \(b \neq 0 \) ធ្វើកត្តាខាងឆ្វេងរបស់វា និងទទួលបានសមីការ
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \\right។ \Rightarrow \left\(\begin (អារេ)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.\)

ដូច្នេះ សមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 +bx=0 សម្រាប់ \(b \neq 0 \) តែងតែមានឫសពីរ។

សមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃទម្រង់ ax 2 \u003d 0 គឺស្មើនឹងសមីការ x 2 \u003d 0 ដូច្នេះហើយមានឫសតែមួយ 0 ។

រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃសមីការការ៉េ

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាពីរបៀបដែលសមីការ quadratic ត្រូវបានដោះស្រាយ ដែលមេគុណទាំងពីរនៃមិនស្គាល់ និងពាក្យឥតគិតថ្លៃគឺមិនសូន្យ។

យើងដោះស្រាយសមីការការ៉េក្នុងទម្រង់ទូទៅ ហើយជាលទ្ធផលយើងទទួលបានរូបមន្តឫស។ បន្ទាប់មករូបមន្តនេះអាចត្រូវបានអនុវត្តដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េណាមួយ។

ដោះស្រាយសមីការការ៉េ ax 2 +bx+c=0

បែងចែកផ្នែកទាំងពីររបស់វាដោយ a យើងទទួលបានសមីការការ៉េដែលកាត់បន្ថយស្មើ
\\(x^2+\frac(b)(a)x+\frac(c)(a)=0 \\)

យើងបំប្លែងសមីការនេះដោយគូសលើការេនៃ binomial៖
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2-\left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2=\left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2=\frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rrightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2)) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac(\pm \sqrt(b^2) -4ac))(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac))(2a) \)

កន្សោមឫសត្រូវបានគេហៅថា ការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ ax 2 +bx+c=0 (“រើសអើង” ជាភាសាឡាតាំង - distinguisher)។ វាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ D, i.e.
\\(D = b^2-4ac\)

ឥឡូវនេះ ដោយប្រើសញ្ញាណនៃអ្នករើសអើង យើងសរសេររូបមន្តឡើងវិញសម្រាប់ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ៖
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D))(2a) \), ដែល \(D=b^2-4ac \)

វាច្បាស់ណាស់ថា:
1) ប្រសិនបើ D>0 នោះសមីការការ៉េមានឫសពីរ។
2) ប្រសិនបើ D=0 នោះសមីការការ៉េមានឫសមួយ \(x=-\frac(b)(2a)\) ។
3) ប្រសិនបើ D ដូច្នេះ អាស្រ័យលើតម្លៃនៃអ្នករើសអើង សមីការការ៉េអាចមានឫសពីរ (សម្រាប់ D> 0) ឫសមួយ (សម្រាប់ D = 0) ឬគ្មានឫស (សម្រាប់ D នៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើរូបមន្តនេះ វាត្រូវបានណែនាំឱ្យធ្វើតាមវិធីដូចខាងក្រោមៈ
1) គណនាអ្នករើសអើង ហើយប្រៀបធៀបវាជាមួយសូន្យ។
២) បើអ្នករើសអើងវិជ្ជមាន ឬស្មើសូន្យ ប្រើរូបមន្តឫស បើអ្នករើសអើងអវិជ្ជមាន សរសេរចុះថាគ្មានឫស។

ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា

សមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ ax 2 -7x+10=0 មានឫស 2 និង 5។ ផលបូកនៃឫសគឺ 7 ហើយផលិតផលគឺ 10។ យើងឃើញថាផលបូកនៃឫសគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរ យកជាមួយ សញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យសេរី។ សមីការ​ការ៉េ​ដែល​កាត់​បន្ថយ​ណា​មួយ​ដែល​មាន​ឫស​មាន​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​នេះ។

ផលបូកនៃឫសនៃសមីការ quadratic ដែលផ្តល់គឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរ យកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើនឹងពាក្យទំនេរ។

ទាំងនោះ។ ទ្រឹស្ដីរបស់ Vieta ចែងថា ឫស x 1 និង x 2 នៃសមីការការ៉េកាត់បន្ថយ x 2 +px+q=0 មានទ្រព្យសម្បត្តិ៖
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right។\)

សមីការ​ការ៉េ - ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​ការ​ដោះស្រាយ​! * បន្ថែមទៀតនៅក្នុងអត្ថបទ "KU" ។មិត្តភ័ក្តិ វាហាក់ដូចជាថានៅក្នុងគណិតវិទ្យាវាអាចមានភាពងាយស្រួលជាងការដោះស្រាយសមីការបែបនេះ។ ប៉ុន្តែមានអ្វីមួយបានប្រាប់ខ្ញុំថាមនុស្សជាច្រើនមានបញ្ហាជាមួយគាត់។ ខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តមើលថាតើ Yandex ផ្តល់ចំណាប់អារម្មណ៍ប៉ុន្មានក្នុងមួយសំណើក្នុងមួយខែ។ នេះជាអ្វីដែលបានកើតឡើង សូមទស្សនាទាំងអស់គ្នា៖

តើ​វា​មានន័យ​យ៉ាង​ដូចម្តេច? នេះមានន័យថាមនុស្សប្រហែល 70,000 នាក់ក្នុងមួយខែកំពុងស្វែងរកព័ត៌មាននេះ ហើយនេះគឺជារដូវក្តៅ ហើយអ្វីដែលនឹងកើតឡើងក្នុងកំឡុងឆ្នាំសិក្សា - វានឹងមានសំណើច្រើនជាងពីរដង។ នេះមិនមែនជារឿងគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលនោះទេ ព្រោះក្មេងប្រុស និងក្មេងស្រីទាំងនោះដែលបានបញ្ចប់ការសិក្សាយូរហើយ និងកំពុងត្រៀមប្រលងកំពុងស្វែងរកព័ត៌មាននេះ ហើយសិស្សសាលាក៏កំពុងព្យាយាមធ្វើឱ្យការចងចាំរបស់ពួកគេឡើងវិញផងដែរ។

ទោះបីជាការពិតដែលថាមានគេហទំព័រជាច្រើនដែលប្រាប់ពីរបៀបដោះស្រាយសមីការនេះក៏ដោយ ក៏ខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តចូលរួមវិភាគទាន និងផ្សព្វផ្សាយសម្ភារៈផងដែរ។ ជាដំបូង ខ្ញុំចង់ឱ្យអ្នកទស្សនាមកកាន់គេហទំព័ររបស់ខ្ញុំតាមសំណើនេះ។ ទីពីរ នៅក្នុងអត្ថបទផ្សេងទៀត នៅពេលដែលសុន្ទរកថា "KU" កើតឡើង ខ្ញុំនឹងផ្តល់តំណភ្ជាប់ទៅកាន់អត្ថបទនេះ។ ទីបី ខ្ញុំ​នឹង​ប្រាប់​អ្នក​បន្តិច​ទៀត​អំពី​ដំណោះ​ស្រាយ​របស់​គាត់ ជា​ជាង​មាន​ចែង​នៅ​លើ​គេហទំព័រ​ផ្សេង​ទៀត។ តោះ​ចាប់ផ្តើម!ខ្លឹមសារនៃអត្ថបទ៖

សមីការការ៉េគឺជាសមីការនៃទម្រង់៖

ដែលជាកន្លែងដែលមេគុណ a,ខនិង​ជា​មួយ​នឹង​លេខ​តាម​ចិត្ត ដោយ​មាន a≠0 ។

នៅក្នុងវគ្គសិក្សារបស់សាលា សម្ភារៈត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោម - ការបែងចែកសមីការជាបីថ្នាក់ត្រូវបានធ្វើតាមលក្ខខណ្ឌ៖

1. មានឫសពីរ។

2. * មានឫសតែមួយ។

3. គ្មានឫស។ វាគួរឱ្យកត់សម្គាល់នៅទីនេះថាពួកគេមិនមានឫសពិតប្រាកដទេ។

តើឫសត្រូវបានគណនាយ៉ាងដូចម្តេច? គ្រាន់តែ!

យើងគណនាអ្នករើសអើង។ នៅក្រោមពាក្យ "ដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាច" នេះគឺជារូបមន្តដ៏សាមញ្ញបំផុត:

រូបមន្តឫសមានដូចខាងក្រោម៖

* រូបមន្តទាំងនេះត្រូវតែដឹងដោយបេះដូង។

អ្នកអាចសរសេរភ្លាមៗ ហើយសម្រេចចិត្ត៖

ឧទាហរណ៍៖

1. ប្រសិនបើ D > 0 នោះសមីការមានឫសពីរ។

2. ប្រសិនបើ D = 0 នោះសមីការមានឫសមួយ។

3. ប្រសិនបើ ឃ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

តោះមើលសមីការ៖

ក្នុង​ឱកាស​នេះ កាល​បើ​អ្នក​រើសអើង​មាន​សូន្យ វគ្គ​សាលា​និយាយ​ថា​បាន​ឫស​មួយ ត្រង់​នេះ​ស្មើ​នឹង ៩។ ត្រឹមត្រូវហើយ ប៉ុន្តែ...

ការបង្ហាញនេះគឺមិនត្រឹមត្រូវខ្លះ។ តាមពិតមានឫសពីរ។ បាទ/ចាស៎ បាទ កុំភ្ញាក់ផ្អើលអី វាប្រែចេញឫសពីរស្មើគ្នា ហើយដើម្បីឱ្យត្រឹមត្រូវតាមគណិតវិទ្យា នោះឫសពីរគួរសរសេរក្នុងចម្លើយ៖

x 1 = 3 x 2 = 3

ប៉ុន្តែនេះគឺដូច្នេះ - ភាពច្របូកច្របល់តូចមួយ។ នៅ​សាលា​អ្នក​អាច​សរសេរ​ចុះ​ហើយ​និយាយ​ថា​មាន​ឫស​តែ​មួយ។

ឥឡូវឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖

ដូចដែលយើងដឹងឫសនៃលេខអវិជ្ជមានមិនត្រូវបានស្រង់ចេញទេដូច្នេះមិនមានដំណោះស្រាយក្នុងករណីនេះទេ។

នោះជាដំណើរការសម្រេចចិត្តទាំងមូល។

មុខងារបួនជ្រុង។

នេះជារបៀបដែលដំណោះស្រាយមើលទៅធរណីមាត្រ។ នេះមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការយល់ (នៅពេលអនាគតនៅក្នុងអត្ថបទមួយ យើងនឹងវិភាគលម្អិតអំពីដំណោះស្រាយនៃវិសមភាពបួនជ្រុង)។

នេះគឺជាមុខងារនៃទម្រង់៖

ដែល x និង y ជាអថេរ

a, b, c ត្រូវបានផ្តល់លេខ ដែល a ≠ 0

ក្រាហ្វគឺជាប៉ារ៉ាបូឡា៖

នោះគឺវាប្រែថាដោយការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងជាមួយ "y" ស្មើនឹងសូន្យ យើងរកឃើញចំណុចប្រសព្វនៃប៉ារ៉ាបូឡាជាមួយនឹងអ័ក្ស x ។ វាអាចមានពីរចំណុចនេះ (អ្នករើសអើងគឺវិជ្ជមាន) មួយ (អ្នករើសអើងគឺសូន្យ) ឬគ្មាន (អ្នករើសអើងគឺអវិជ្ជមាន)។ បន្ថែមទៀតអំពីមុខងារ quadratic អ្នកអាចមើលអត្ថបទដោយ Inna Feldman ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍៖

ឧទាហរណ៍ទី 1: សម្រេចចិត្ត 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= −192

ឃ = ខ 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

ចម្លើយ៖ x 1 = 8 x 2 = −12

* អ្នកអាចបែងចែកផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការដោយ 2 នោះ មានន័យថា ធ្វើឱ្យវាសាមញ្ញ។ ការគណនានឹងកាន់តែងាយស្រួល។

ឧទាហរណ៍ 2៖ សម្រេចចិត្ត x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac = (–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

យើងទទួលបាន x 1 \u003d 11 និង x 2 \u003d 11

ក្នុងចំលើយគឺអនុញ្ញាតអោយសរសេរ x = 11 ។

ចម្លើយ៖ x = ១១

ឧទាហរណ៍ 3៖ សម្រេចចិត្ត x 2 −8x + 72 = 0

a=1 b= −8 c=72

D = b 2 –4ac = (–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

អ្នករើសអើងគឺអវិជ្ជមាន មិនមានដំណោះស្រាយជាចំនួនពិតទេ។

ចម្លើយ៖ គ្មានដំណោះស្រាយទេ។

អ្នករើសអើងគឺអវិជ្ជមាន។ មានដំណោះស្រាយ!

នៅទីនេះយើងនឹងនិយាយអំពីការដោះស្រាយសមីការនៅក្នុងករណីនៅពេលដែលទទួលបានអ្នករើសអើងអវិជ្ជមាន។ តើអ្នកដឹងអ្វីខ្លះអំពីចំនួនកុំផ្លិច? ខ្ញុំនឹងមិននិយាយលម្អិតនៅទីនេះអំពីមូលហេតុ និងកន្លែងដែលពួកគេក្រោកឡើង និងអ្វីដែលតួនាទី និងភាពចាំបាច់ជាក់លាក់របស់ពួកគេនៅក្នុងគណិតវិទ្យានេះគឺជាប្រធានបទសម្រាប់អត្ថបទដាច់ដោយឡែកដ៏ធំមួយ។

គំនិតនៃចំនួនកុំផ្លិច។

ទ្រឹស្តីបន្តិច។

ចំនួនកុំផ្លិច z គឺជាចំនួននៃទម្រង់

z = a + ប៊ី

ដែល a និង b ជាចំនួនពិត ខ្ញុំគឺជាឯកតាស្រមើលស្រមៃ។

a+bi គឺជាលេខតែមួយ មិនមែនជាការបន្ថែមទេ។

ឯកតាស្រមើលស្រមៃគឺស្មើនឹងឫសនៃដកមួយ៖

ឥឡូវពិចារណាសមីការ៖

ទទួលបានឫសផ្សំពីរ។

សមីការការ៉េមិនពេញលេញ។

ពិចារណាករណីពិសេស នេះគឺជាពេលដែលមេគុណ "b" ឬ "c" ស្មើនឹងសូន្យ (ឬទាំងពីរស្មើនឹងសូន្យ)។ ពួកគេត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងងាយស្រួលដោយមិនមានការរើសអើងណាមួយឡើយ។

ករណី 1. មេគុណ b = 0 ។

សមីការមានទម្រង់៖

តោះបំលែង៖

ឧទាហរណ៍៖

4x 2 −16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = −2

ករណីទី 2. មេគុណ c = 0 ។

សមីការមានទម្រង់៖

បំប្លែង, កត្តា៖

*ផលិតផលគឺស្មើនឹងសូន្យ នៅពេលដែលកត្តាយ៉ាងហោចណាស់មួយស្មើនឹងសូន្យ។

ឧទាហរណ៍៖

9x 2–45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ឬ x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

ករណីទី 3. មេគុណ b = 0 និង c = 0 ។

នៅទីនេះវាច្បាស់ណាស់ថាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនឹងតែងតែ x = 0 ។

លក្ខណៈសម្បត្តិដែលមានប្រយោជន៍ និងលំនាំនៃមេគុណ។

មានលក្ខណៈសម្បត្តិដែលអនុញ្ញាតឱ្យដោះស្រាយសមីការដែលមានមេគុណធំ។

កx 2 + bx+ គ=0 សមភាព

ក + ខ+ គ = ០,បន្ទាប់មក

- ប្រសិនបើសម្រាប់មេគុណនៃសមីការ កx 2 + bx+ គ=0 សមភាព

ក+ ជាមួយ =ខ, បន្ទាប់មក

លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះជួយដោះស្រាយសមីការប្រភេទជាក់លាក់មួយ។

ឧទាហរណ៍ 1៖ 5001 x 2 –4995 x – 6=0

ផលបូកនៃមេគុណគឺ 5001+( – 4995)+(– 6) = 0 ដូច្នេះ

ឧទាហរណ៍ 2៖ 2501 x 2 +2507 x+6=0

សមភាព ក+ ជាមួយ =ខ, មធ្យោបាយ

ភាពទៀងទាត់នៃមេគុណ។

1. ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ ax 2 + bx + c \u003d 0 មេគុណ "b" គឺ (a 2 +1) ហើយមេគុណ "c" ជាលេខស្មើនឹងមេគុណ "a" នោះឫសរបស់វាគឺ

អ័ក្ស 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / ក។

ឧទាហរណ៍។ ពិចារណាសមីការ 6x 2 +37x + 6 = 0 ។

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6 ។

2. ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ ax 2 - bx + c \u003d 0 មេគុណ "b" គឺ (a 2 +1) ហើយមេគុណ "c" គឺស្មើនឹងមេគុណ "a" បន្ទាប់មកឫសរបស់វាគឺ

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / ក។

ឧទាហរណ៍។ ពិចារណាសមីការ 15x 2 –226x +15 = 0 ។

x 1 = 15 x 2 = 1/15 ។

3. ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ ax 2 + bx - c = 0 មេគុណ "b" ស្មើ (a 2 - ១) និងមេគុណ “គ” ជាលេខស្មើនឹងមេគុណ "a", បន្ទាប់មកឫសរបស់វាស្មើគ្នា

អ័ក្ស 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / ក។

ឧទាហរណ៍។ ពិចារណាសមីការ 17x 2 + 288x − 17 = 0 ។

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17 ។

4. ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ ax 2 - bx - c \u003d 0 នោះមេគុណ "b" គឺស្មើនឹង (a 2 - 1) ហើយមេគុណ c គឺស្មើនឹងលេខមេគុណ "a" បន្ទាប់មកឫសរបស់វាគឺ

អ័ក្ស 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / ក។

ឧទាហរណ៍។ ពិចារណាសមីការ 10x2 − 99x −10 = 0 ។

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា។

ទ្រឹស្តីបទ Vieta ត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាមគណិតវិទូបារាំងដ៏ល្បីល្បាញ Francois Vieta។ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta មនុស្សម្នាក់អាចបង្ហាញពីផលបូក និងផលនៃឬសនៃ KU ដែលបំពានក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមេគុណរបស់វា។

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

សរុបមក លេខ 14 ផ្តល់តែ 5 និង 9 ។ ទាំងនេះគឺជាឫសគល់។ ជាមួយនឹងជំនាញជាក់លាក់ ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទបង្ហាញ អ្នកអាចដោះស្រាយសមីការការ៉េជាច្រើនភ្លាមៗដោយផ្ទាល់មាត់។

លើសពីនេះទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ។ ងាយស្រួលព្រោះបន្ទាប់ពីដោះស្រាយសមីការការ៉េតាមរបៀបធម្មតា (តាមរយៈអ្នករើសអើង) ឫសលទ្ធផលអាចត្រូវបានពិនិត្យ។ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យធ្វើបែបនេះគ្រប់ពេលវេលា។

វិធីសាស្រ្តផ្ទេរប្រាក់

ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តនេះ មេគុណ "a" ត្រូវបានគុណនឹងពាក្យឥតគិតថ្លៃ ដូចជាប្រសិនបើ "ផ្ទេរ" ទៅវា នោះហើយជាមូលហេតុដែលវាត្រូវបានគេហៅថា វិធីសាស្រ្តផ្ទេរ។វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានប្រើនៅពេលដែលវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកឫសនៃសមីការដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ហើយសំខាន់បំផុតនៅពេលដែលការរើសអើងគឺជាការ៉េពិតប្រាកដ។

ប្រសិនបើ ក ក± b+c≠ 0 បន្ទាប់មកបច្ចេកទេសផ្ទេរត្រូវបានប្រើ ឧទាហរណ៍៖

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

យោងតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta ក្នុងសមីការ (2) វាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់ថា x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

ឫសដែលទទួលបាននៃសមីការត្រូវតែបែងចែកដោយ 2 (ចាប់តាំងពីទាំងពីរត្រូវបាន "បោះ" ពី x 2) យើងទទួលបាន

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5 ។

តើអ្វីជាហេតុផល? មើលអ្វីដែលកំពុងកើតឡើង។

ការរើសអើងនៃសមីការ (១) និង (២) គឺ៖

ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលឫសនៃសមីការ នោះមានតែភាគបែងផ្សេងគ្នាប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានទទួល ហើយលទ្ធផលគឺអាស្រ័យយ៉ាងជាក់លាក់លើមេគុណ x 2៖

ឫសទីពីរ (កែប្រែ) មានទំហំធំជាង 2 ដង។

ដូច្នេះយើងបែងចែកលទ្ធផលដោយ 2 ។

*ប្រសិនបើយើងក្រឡុកបីប្រភេទ នោះយើងចែកលទ្ធផលដោយ 3 ហើយបន្តបន្ទាប់ទៀត។

ចម្លើយ៖ x 1 = 5 x 2 = 0.5

sq ។ ur-ie និងការប្រឡង។

ខ្ញុំនឹងនិយាយយ៉ាងខ្លីអំពីសារៈសំខាន់របស់វា - អ្នកគួរតែអាចសម្រេចចិត្តបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស និងដោយមិនគិតពិចារណា អ្នកត្រូវដឹងពីរូបមន្តនៃឫសគល់ និងអ្នករើសអើងដោយបេះដូង។ កិច្ចការជាច្រើនដែលជាផ្នែកមួយនៃកិច្ចការ USE មកដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង (រួមទាំងធរណីមាត្រ)។

អ្វីដែលគួរកត់សម្គាល់!

1. ទម្រង់នៃសមីការអាច "បង្កប់ន័យ" ។ ឧទាហរណ៍ ធាតុខាងក្រោមគឺអាចធ្វើទៅបាន៖

15+ 9x 2 − 45x = 0 ឬ 15x+42+9x 2 − 45x=0 ឬ 15 −5x+10x 2 = 0។

អ្នកត្រូវនាំវាទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ (ដើម្បីកុំឱ្យមានការភ័ន្តច្រឡំនៅពេលដោះស្រាយ)។

2. ចងចាំថា x គឺជាតម្លៃដែលមិនស្គាល់ ហើយវាអាចត្រូវបានកំណត់ដោយអក្សរផ្សេងទៀតណាមួយ - t, q, p, h និងផ្សេងទៀត។