ជាមួយនឹងសេវាកម្មនេះ អ្នកអាចធ្វើបាន ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារមួយ។អថេរមួយ f(x) ជាមួយនឹងការរចនានៃដំណោះស្រាយនៅក្នុង Word ។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ f(x,y) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដូច្នេះ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃអនុគមន៍នៃអថេរពីរ។ អ្នកក៏អាចរកឃើញចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងការថយចុះនៃមុខងារផងដែរ។

ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារមួយ។

y=

នៅលើផ្នែក [ ;]

រួមបញ្ចូលទ្រឹស្តី

ច្បាប់ចូលមុខងារ:

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់មុខងារខ្លាំងបំផុតនៃអថេរមួយ។

សមីការ f "0 (x *) \u003d 0 គឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ភាពខ្លាំងនៃមុខងារនៃអថេរមួយ ពោលគឺនៅចំណុច x * ដេរីវេដំបូងនៃអនុគមន៍ត្រូវតែបាត់។ វាជ្រើសរើសចំនុចស្ថានី x c ដែលអនុគមន៍ មិនកើនឡើងនិងមិនថយចុះ។

លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់មុខងារខ្លាំងបំផុតនៃអថេរមួយ។

អនុញ្ញាតឱ្យ f 0 (x) ខុសគ្នាពីរដងដោយគោរពទៅនឹង x ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំ D ។ ប្រសិនបើនៅចំណុច x * លក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ៖

F" 0 (x *) = 0
f "" 0 (x *) > 0

បន្ទាប់មកចំនុច x * គឺជាចំនុចនៃមូលដ្ឋាន (សកល) អប្បបរមានៃអនុគមន៍។

ប្រសិនបើនៅចំណុច x * លក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ៖

F" 0 (x *) = 0
f "" 0 (x *)< 0

ចំនុច x * គឺជាអតិបរមាក្នុងស្រុក (សកល) ។

ឧទាហរណ៍ #1 ។ ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារ៖ នៅលើផ្នែក .
ការសម្រេចចិត្ត។

ចំនុចសំខាន់គឺមួយ x 1 = 2 (f'(x)=0) ។ ចំណុចនេះជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក។ (ចំនុច x=0 មិនសំខាន់ទេ ចាប់តាំងពី 0∉)។
យើងគណនាតម្លៃនៃមុខងារនៅចុងផ្នែក និងនៅចំណុចសំខាន់។
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
ចម្លើយ៖ f min = 5/2 សម្រាប់ x=2; f អតិបរមា = 9 នៅ x = 1

ឧទាហរណ៍ #2 ។ ដោយ​ប្រើ​និស្សន្ទវត្ថុ​លំដាប់​ខ្ពស់ រក​ចំណុច​ខ្លាំង​នៃ​អនុគមន៍ y=x-2sin(x) ។
ការសម្រេចចិត្ត។
ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍៖ y'=1-2cos(x) ។ ចូរយើងស្វែងរកចំណុចសំខាន់៖ 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z ។ យើងរកឃើញ y''=2sin(x) គណនា ដូច្នេះ x= π / 3 +2πk, k∈Z គឺជាចំនុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍។ , ដូច្នេះ x=- π / 3 +2πk, k∈Z គឺជាចំណុចអតិបរមានៃអនុគមន៍។

ឧទាហរណ៍ #3 ។ ស៊ើបអង្កេតមុខងារខ្លាំងនៅក្នុងសង្កាត់នៃចំនុច x=0។
ការសម្រេចចិត្ត។ នៅទីនេះវាចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ។ ប្រសិនបើ extremum x=0 បន្ទាប់មកស្វែងរកប្រភេទរបស់វា (អប្បបរមា ឬអតិបរមា)។ ប្រសិនបើក្នុងចំណោមចំនុចដែលបានរកឃើញមិនមាន x = 0 នោះគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ f(x=0)។
វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថានៅពេលដែលដេរីវេនៅផ្នែកម្ខាងៗនៃចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញារបស់វា ស្ថានភាពដែលអាចកើតមានគឺមិនត្រូវបានអស់កម្លាំងសូម្បីតែសម្រាប់មុខងារផ្សេងគ្នា: វាអាចកើតឡើងថាសម្រាប់សង្កាត់តូចមួយតាមអំពើចិត្តនៅផ្នែកម្ខាងនៃចំណុច x 0 ឬ នៅលើភាគីទាំងសងខាង សញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរនិស្សន្ទវត្ថុ។ នៅចំណុចទាំងនេះ គេត្រូវអនុវត្តវិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀត ដើម្បីសិក្សាមុខងារឱ្យខ្លាំងបំផុត។

តាមទស្សនៈជាក់ស្តែង ការចាប់អារម្មណ៍បំផុតគឺការប្រើប្រាស់ដេរីវេដើម្បីស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារមួយ។ តើវាភ្ជាប់ជាមួយអ្វី? ប្រាក់ចំណេញអតិបរមា កាត់បន្ថយការចំណាយ កំណត់ការផ្ទុកដ៏ល្អប្រសើរនៃឧបករណ៍... និយាយម្យ៉ាងទៀត នៅក្នុងវិស័យជាច្រើននៃជីវិត មនុស្សម្នាក់ត្រូវតែដោះស្រាយបញ្ហានៃការបង្កើនប្រសិទ្ធភាពប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយចំនួន។ ហើយនេះគឺជាបញ្ហានៃការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារ។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍មួយត្រូវបានស្វែងរកជាធម្មតានៅលើចន្លោះ X មួយចំនួន ដែលជាដែនទាំងមូលនៃមុខងារ ឬផ្នែកនៃដែន។ ចន្លោះពេល X ខ្លួនវាអាចជាផ្នែកបន្ទាត់ ដែលជាចន្លោះពេលបើកចំហ ចន្លោះពេលគ្មានកំណត់។

នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងនិយាយអំពីការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យយ៉ាងច្បាស់នៃអថេរមួយ y=f(x) ។

ការរុករកទំព័រ។

តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារ - និយមន័យ រូបភាព។

ចូរយើងរស់នៅដោយសង្ខេបលើនិយមន័យសំខាន់ៗ។

តម្លៃធំបំផុតនៃមុខងារ ដែលសម្រាប់ណាមួយ។ វិសមភាពគឺជាការពិត។

តម្លៃតូចបំផុតនៃមុខងារ y = f (x) នៅលើចន្លោះពេល X ត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃបែបនេះ ដែលសម្រាប់ណាមួយ។ វិសមភាពគឺជាការពិត។

និយមន័យទាំងនេះមានលក្ខណៈវិចារណញាណ៖ តម្លៃធំបំផុត (តូចបំផុត) នៃមុខងារគឺជាតម្លៃធំបំផុត (តូចបំផុត) ដែលទទួលយកក្នុងចន្លោះពេលដែលកំពុងពិចារណាជាមួយ abscissa ។

ចំណុចស្ថានីគឺជាតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ដែលដេរីវេនៃមុខងារបាត់។

ហេតុអ្វី​បាន​ជា​យើង​ត្រូវ​ការ​ចំណុច​ស្ថានី​ពេល​រក​តម្លៃ​ធំ​បំផុត និង​តូច​បំផុត? ចម្លើយចំពោះសំណួរនេះត្រូវបានផ្តល់ដោយទ្រឹស្តីបទ Fermat ។ វាធ្វើតាមទ្រឹស្តីបទនេះថា ប្រសិនបើមុខងារដែលអាចបែងចែកបានមានកម្រិតខ្លាំង (អប្បរមាក្នុងស្រុក ឬអតិបរមាក្នុងស្រុក) នៅចំណុចខ្លះ នោះចំណុចនេះគឺនៅស្ថានី។ ដូច្នេះ មុខងារនេះច្រើនតែយកតម្លៃអតិបរមា (តូចបំផុត) របស់វានៅលើចន្លោះ X នៅចំណុចស្ថានីមួយពីចន្លោះពេលនេះ។

ផងដែរ មុខងារមួយជាញឹកញាប់អាចទទួលយកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៅចំណុចដែលដេរីវេទី 1 នៃអនុគមន៍នេះមិនមាន ហើយមុខងារខ្លួនឯងត្រូវបានកំណត់។

ចូរយើងឆ្លើយភ្លាមៗនូវសំណួរទូទៅបំផុតមួយលើប្រធានបទនេះ៖ "តើវាតែងតែអាចកំណត់តម្លៃធំបំផុត (តូចបំផុត) នៃមុខងារ" បានទេ? ទេមិនមែនជានិច្ចទេ។ ជួនកាលព្រំដែននៃចន្លោះពេល X ស្របគ្នានឹងព្រំដែននៃដែននៃអនុគមន៍ ឬចន្លោះពេល X គឺគ្មានកំណត់។ ហើយមុខងារមួយចំនួននៅភាពគ្មានដែនកំណត់ និងនៅលើព្រំដែននៃដែននៃនិយមន័យអាចយកទាំងតម្លៃធំ និងតូចគ្មានកំណត់។ នៅក្នុងករណីទាំងនេះ គ្មានអ្វីអាចនិយាយបានអំពីតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារនោះទេ។

សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ យើងផ្តល់រូបភាពក្រាហ្វិក។ មើលរូបភាព - ហើយច្រើននឹងច្បាស់។

នៅលើផ្នែក

នៅក្នុងតួលេខទីមួយ មុខងារយកតម្លៃធំបំផុត (អតិបរមា y) និងតូចបំផុត (នាទី y) នៅចំណុចស្ថានីក្នុងផ្នែក [-6;6] ។

ពិចារណាករណីដែលបង្ហាញក្នុងរូបទីពីរ។ ផ្លាស់ប្តូរផ្នែកទៅជា . ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ តម្លៃតូចបំផុតនៃមុខងារត្រូវបានសម្រេចនៅចំណុចស្ថានី ហើយធំបំផុត - នៅចំណុចដែលមាន abscissa ដែលត្រូវគ្នានឹងព្រំដែនខាងស្តាំនៃចន្លោះពេល។

នៅក្នុងរូបភាពទី 3 ចំនុចព្រំដែននៃផ្នែក [-3; 2] គឺជា abscissas នៃចំនុចដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍។

នៅក្នុងជួរបើកចំហ

នៅក្នុងរូបទីបួន អនុគមន៍យកតម្លៃធំបំផុត (អតិបរមា y) និងតូចបំផុត (នាទី y) នៅចំណុចស្ថានីក្នុងចន្លោះពេលបើក (-6;6) ។

នៅចន្លោះពេល គ្មានការសន្និដ្ឋានណាមួយអាចត្រូវបានទាញអំពីតម្លៃធំបំផុតនោះទេ។

នៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់

ក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបង្ហាញក្នុងរូបទីប្រាំពីរ អនុគមន៍យកតម្លៃធំបំផុត (អតិបរមា y) នៅចំណុចស្ថានីជាមួយ abscissa x=1 ហើយតម្លៃតូចបំផុត (min y) ត្រូវបានឈានដល់នៅព្រំដែនខាងស្តាំនៃចន្លោះពេល។ នៅ​ដក​គ្មាន​កំណត់ តម្លៃ​នៃ​អនុគមន៍​ទៅ​ជិត y=3។

នៅចន្លោះពេល មុខងារមិនឈានដល់តម្លៃតូចបំផុត ឬតម្លៃធំបំផុតនោះទេ។ ដោយសារ x=2 ទំនោរទៅខាងស្ដាំ តម្លៃអនុគមន៍មានទំនោរទៅជាដកគ្មានដែនកំណត់ (បន្ទាត់ត្រង់ x=2 គឺជា asymptote បញ្ឈរ) ហើយដូចដែល abscissa ទំនោរទៅបូកនឹងភាពគ្មានទីបញ្ចប់ តម្លៃនៃមុខងារគឺចូលទៅជិត y=3 . រូបភាពក្រាហ្វិកនៃឧទាហរណ៍នេះត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 8 ។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារបន្តមួយនៅលើផ្នែក។

យើងសរសេរក្បួនដោះស្រាយដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកមួយ។

1. យើងស្វែងរកដែននៃមុខងារ ហើយពិនិត្យមើលថាតើវាមានផ្នែកទាំងមូលឬអត់។
2. យើងរកឃើញចំណុចទាំងអស់ដែលដេរីវេទី 1 មិនមាន ហើយដែលមាននៅក្នុងផ្នែក (ជាធម្មតាចំណុចបែបនេះកើតឡើងនៅក្នុងមុខងារដែលមានអាគុយម៉ង់នៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល និងនៅក្នុងអនុគមន៍ថាមពលជាមួយនិទស្សន្តប្រភាគ)។ បើ​គ្មាន​ចំណុច​បែប​នេះ​ទេ សូម​ទៅ​ចំណុច​បន្ទាប់។
3. យើងកំណត់ចំណុចស្ថានីទាំងអស់ដែលធ្លាក់ចូលទៅក្នុងផ្នែក។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងយកវាទៅសូន្យ ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល ហើយជ្រើសរើសឫសដែលសមរម្យ។ ប្រសិនបើមិនមានចំណុចស្ថានី ឬគ្មានចំណុចណាមួយធ្លាក់ចូលទៅក្នុងផ្នែកទេនោះ សូមទៅកាន់ជំហានបន្ទាប់។
4. យើងគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំនុចស្ថានីដែលបានជ្រើសរើស (ប្រសិនបើមាន) នៅចំណុចដែលដេរីវេទី 1 មិនមាន (ប្រសិនបើមាន) ហើយក៏នៅ x=a និង x=b ផងដែរ។
5. ពីតម្លៃដែលទទួលបាននៃមុខងារ យើងជ្រើសរើសធំបំផុត និងតូចបំផុត - ពួកគេនឹងក្លាយជាតម្លៃអតិបរមាដែលចង់បាន និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍រៀងគ្នា។

ចូរយើងវិភាគក្បួនដោះស្រាយនៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍សម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកមួយ។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារមួយ។

• នៅលើផ្នែក;
• នៅចន្លោះពេល [-4;-1] ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ដែននៃអនុគមន៍គឺជាសំណុំនៃចំនួនពិតទាំងអស់ លើកលែងតែលេខសូន្យ ពោលគឺ . ផ្នែកទាំងពីរស្ថិតនៅក្នុងដែននៃនិយមន័យ។

យើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារទាក់ទងនឹង៖

ជាក់ស្តែង ដេរីវេនៃអនុគមន៍មាននៅគ្រប់ចំណុចទាំងអស់នៃផ្នែក និង [-4;-1] ។

ចំនុចស្ថានីត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ។ ឫសពិតតែមួយគត់គឺ x=2 ។ ចំណុចស្ថានីនេះធ្លាក់ចូលទៅក្នុងផ្នែកទីមួយ។

សម្រាប់ករណីទីមួយ យើងគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចុងផ្នែក និងនៅចំណុចស្ថានី នោះគឺសម្រាប់ x=1, x=2 និង x=4៖

ដូច្នេះតម្លៃធំបំផុតនៃមុខងារ ត្រូវបានឈានដល់ x = 1 ហើយតម្លៃតូចបំផុត។ - នៅ x = 2 ។

សម្រាប់ករណីទីពីរ យើងគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍តែនៅខាងចុងនៃផ្នែក [-4;-1] (ចាប់តាំងពីវាមិនមានចំនុចស្ថានីតែមួយ)៖

នៅក្នុងការអនុវត្ត វាជារឿងធម្មតាទេក្នុងការប្រើដេរីវេដើម្បីគណនាតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍។ យើងអនុវត្តសកម្មភាពនេះនៅពេលយើងរកវិធីកាត់បន្ថយការចំណាយ បង្កើនប្រាក់ចំណេញ គណនាបន្ទុកដ៏ល្អប្រសើរលើការផលិត។ល។ ពោលគឺនៅក្នុងករណីទាំងនោះនៅពេលដែលវាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់តម្លៃដ៏ល្អប្រសើរនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះបានត្រឹមត្រូវ មនុស្សម្នាក់ត្រូវតែមានការយល់ដឹងឱ្យបានល្អអំពីអ្វីដែលតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារមួយ។

Yandex.RTB R-A-339285-1

ជាធម្មតាយើងកំណត់តម្លៃទាំងនេះក្នុងចន្លោះពេល x មួយចំនួន ដែលនៅក្នុងវេនអាចត្រូវគ្នាទៅនឹងវិសាលភាពទាំងមូលនៃមុខងារ ឬផ្នែករបស់វា។ វាអាចជាផ្នែក [ a ; b ] និងចន្លោះពេលបើក (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b ), ចន្លោះពេលគ្មានកំណត់ ( a ; b ), ( a ; b ] , [ a ; b) ឬ ចន្លោះពេលគ្មានកំណត់ - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞ ) , (- ∞ ; + ∞) ។

នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងរៀបរាប់អំពីរបៀបដែលតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យយ៉ាងច្បាស់ជាមួយនឹងអថេរមួយ y=f(x) y = f (x) ត្រូវបានគណនា។

និយមន័យមូលដ្ឋាន

យើងចាប់ផ្តើមដូចរាល់ដង ជាមួយនឹងការបង្កើតនិយមន័យសំខាន់ៗ។

និយមន័យ ១

តម្លៃធំបំផុតនៃអនុគមន៍ y = f (x) នៅលើចន្លោះពេលខ្លះ x គឺជាតម្លៃ m a x y = f (x 0) x ∈ X ដែលសម្រាប់តម្លៃណាមួយ x x ∈ X , x ≠ x 0 ធ្វើឱ្យវិសមភាព f (x ) ≤ f (x 0) .

និយមន័យ ២

តម្លៃតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ y = f (x) នៅចន្លោះពេលខ្លះ x គឺជាតម្លៃ m i n x ∈ X y = f (x 0) ដែលសម្រាប់តម្លៃណាមួយ x ∈ X , x ≠ x 0 ធ្វើឱ្យវិសមភាព f(X f (x) ≥ f(x0) ។

និយមន័យទាំងនេះគឺជាក់ស្តែង។ វាអាចកាន់តែសាមញ្ញក្នុងការនិយាយនេះ៖ តម្លៃធំបំផុតនៃអនុគមន៍គឺជាតម្លៃដ៏ធំបំផុតរបស់វានៅក្នុងចន្លោះពេលដែលគេស្គាល់នៅ abscissa x 0 ហើយតូចបំផុតគឺជាតម្លៃតូចបំផុតដែលទទួលយកក្នុងចន្លោះពេលដូចគ្នានៅ x 0 ។

និយមន័យ ៣

ចំនុចស្ថានីគឺជាតម្លៃបែបនេះនៃអាគុយម៉ង់មុខងារដែលដេរីវេរបស់វាក្លាយជា 0 ។

ហេតុអ្វី​បាន​ជា​យើង​ត្រូវ​ដឹង​ថា​ចំណុច​ណា​ជា​ស្ថានី? ដើម្បីឆ្លើយសំណួរនេះ យើងត្រូវចងចាំទ្រឹស្តីបទ Fermat ។ វាធ្វើតាមពីវាថា ចំណុចស្ថានី គឺជាចំណុចដែលអតិបរិមានៃមុខងារដែលអាចបែងចែកបាន (ឧ. អប្បបរមា ឬអតិបរមារបស់វា)។ អាស្រ័យហេតុនេះ មុខងារនឹងយកតម្លៃតូចបំផុត ឬធំបំផុតនៅលើចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយយ៉ាងពិតប្រាកដនៅចំណុចស្ថានីមួយ។

មុខងារមួយទៀតអាចយកតម្លៃធំបំផុត ឬតូចបំផុតនៅចំណុចទាំងនោះ ដែលមុខងារខ្លួនវាត្រូវបានកំណត់ ហើយដេរីវេទីមួយរបស់វាមិនមានទេ។

សំណួរដំបូងដែលកើតឡើងនៅពេលសិក្សាប្រធានបទនេះគឺ៖ ក្នុងគ្រប់ករណីទាំងអស់ តើយើងអាចកំណត់តម្លៃអតិបរមា ឬអប្បបរមានៃមុខងារនៅលើចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យបានទេ? ទេ យើងមិនអាចធ្វើដូចនេះបានទេ នៅពេលដែលព្រំដែននៃចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងស្របគ្នាជាមួយនឹងព្រំដែននៃដែននិយមន័យ ឬប្រសិនបើយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយចន្លោះពេលគ្មានកំណត់។ វាក៏កើតឡើងផងដែរដែលថាមុខងារនៅក្នុងចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ ឬនៅភាពគ្មានកំណត់នឹងទទួលយកតម្លៃតូច ឬធំគ្មានកំណត់។ នៅក្នុងករណីទាំងនេះ វាមិនអាចកំណត់តម្លៃធំបំផុត និង/ឬតូចបំផុតបានទេ។

គ្រាទាំងនេះនឹងកាន់តែអាចយល់បានបន្ទាប់ពីរូបភាពនៅលើក្រាហ្វ៖

តួលេខទីមួយបង្ហាញយើងនូវមុខងារមួយដែលយកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុត (m a x y និង m i n y) នៅចំណុចស្ថានីដែលមានទីតាំងនៅចន្លោះពេល [ - 6 ; ៦]។

ចូរយើងពិនិត្យមើលលម្អិតអំពីករណីដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងក្រាហ្វទីពីរ។ ចូរប្តូរតម្លៃនៃផ្នែកទៅជា [ 1 ; 6] ហើយយើងទទួលបានថាតម្លៃធំបំផុតនៃមុខងារនឹងត្រូវបានសម្រេចនៅចំណុចជាមួយ abscissa ក្នុងព្រំដែនខាងស្តាំនៃចន្លោះពេល ហើយតូចបំផុត - នៅចំណុចស្ថានី។

នៅ​ក្នុង​រូប​ទី​បី abscissas នៃ​ពិន្ទុ​តំណាង​ឱ្យ​ចំណុច​ព្រំដែន​នៃ​ផ្នែក [ - 3 ; ២]។ ពួកវាត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលរូបភាពទីបួន។ នៅក្នុងវា អនុគមន៍យក m a x y (តម្លៃធំបំផុត) និង m i n y (តម្លៃតូចបំផុត) នៅចំនុចស្ថានីក្នុងចន្លោះពេលបើក (- 6 ; 6) ។

ប្រសិនបើយើងយកចន្លោះពេល [ 1 ; 6) បន្ទាប់មកយើងអាចនិយាយបានថាតម្លៃតូចបំផុតនៃមុខងារនៅលើវានឹងទៅដល់ចំណុចស្ថានី។ យើងនឹងមិនស្គាល់តម្លៃអតិបរមាទេ។ អនុគមន៍អាចយកតម្លៃធំបំផុតនៅ x ស្មើនឹង 6 ប្រសិនបើ x = 6 ជារបស់ចន្លោះពេល។ វាគឺជាករណីនេះដែលត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 5 ។

នៅលើក្រាហ្វទី 6 មុខងារនេះទទួលបានតម្លៃតូចបំផុតនៅក្នុងស៊ុមខាងស្តាំនៃចន្លោះពេល (- 3 ; 2 ] ហើយយើងមិនអាចធ្វើការសន្និដ្ឋានច្បាស់លាស់អំពីតម្លៃធំបំផុតបានទេ។

នៅក្នុងរូបភាពទី 7 យើងឃើញថាមុខងារនឹងមាន m a x y នៅចំណុចស្ថានី ដែលមាន abscissa ស្មើនឹង 1 ។ មុខងារឈានដល់តម្លៃអប្បបរមារបស់វានៅព្រំដែនចន្លោះពេលនៅខាងស្តាំ។ នៅ​ដក​គ្មាន​កំណត់ តម្លៃ​នៃ​អនុគមន៍​នឹង​ទៅ​ជិត y = 3 asymptotically ។

ប្រសិនបើយើងយកចន្លោះពេល x ∈ 2 ; + ∞ បន្ទាប់មកយើងនឹងឃើញថាមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងមិនទទួលយកវាទាំងតម្លៃតូចបំផុតឬធំបំផុតនោះទេ។ ប្រសិនបើ x មានទំនោរទៅ 2 នោះតម្លៃនៃអនុគមន៍នឹងមានទំនោរទៅជាដកគ្មានដែនកំណត់ ចាប់តាំងពីបន្ទាត់ត្រង់ x = 2 គឺជា asymptote បញ្ឈរ។ ប្រសិនបើ abscissa ទំនោរទៅបូកនឹងភាពគ្មានទីបញ្ចប់ នោះតម្លៃនៃអនុគមន៍នឹងទៅជិត y = 3 asymptotically ។ នេះគឺជាករណីដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 8 ។

នៅក្នុងកថាខណ្ឌនេះ យើងនឹងផ្តល់ជាលំដាប់នៃសកម្មភាពដែលត្រូវតែអនុវត្ត ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត ឬតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយ។

1. ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងរកដែននៃមុខងារ។ ចូរយើងពិនិត្យមើលថាតើផ្នែកដែលបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងវា។
2. ឥឡូវនេះ ចូរយើងគណនាពិន្ទុដែលមាននៅក្នុងផ្នែកនេះ ដែលដេរីវេទី 1 មិនមាន។ ភាគច្រើន ពួកវាអាចត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងអនុគមន៍ដែលអាគុយម៉ង់ត្រូវបានសរសេរនៅក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល ឬនៅក្នុងអនុគមន៍ថាមពល និទស្សន្តដែលជាចំនួនប្រភាគប្រភាគ។
3. បន្ទាប់មកទៀត យើងរកឃើញថា ចំណុចស្ថានីណាដែលធ្លាក់ចូលទៅក្នុងផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ បន្ទាប់មកយកវាទៅ 0 ហើយដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល ហើយបន្ទាប់មកជ្រើសរើសឫសដែលសមរម្យ។ ប្រសិនបើយើងមិនទទួលបានចំណុចស្ថានីតែមួយ ឬពួកគេមិនធ្លាក់ចូលទៅក្នុងផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះ យើងបន្តទៅជំហានបន្ទាប់។
4. អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់តម្លៃអ្វីដែលមុខងារនឹងយកនៅចំណុចស្ថានីដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ប្រសិនបើមាន) ឬនៅចំណុចទាំងនោះដែលដេរីវេទី 1 មិនមាន (ប្រសិនបើមាន) ឬយើងគណនាតម្លៃសម្រាប់ x = a និង x = ខ.
5. 5. យើងមានតម្លៃមុខងារជាបន្តបន្ទាប់ ដែលឥឡូវនេះយើងត្រូវជ្រើសរើសធំបំផុត និងតូចបំផុត។ នេះនឹងជាតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារដែលយើងត្រូវស្វែងរក។

តោះមើលពីរបៀបអនុវត្តក្បួនដោះស្រាយនេះឱ្យបានត្រឹមត្រូវនៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា។

ឧទាហរណ៍ ១

លក្ខខណ្ឌ៖អនុគមន៍ y = x 3 + 4 x 2 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ កំណត់តម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតរបស់វានៅលើផ្នែក [ 1 ; 4 ] និង [ - 4 ; - មួយ] ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

ចូរចាប់ផ្តើមដោយការស្វែងរកដែននៃមុខងារនេះ។ ក្នុងករណីនេះ វានឹងជាសំណុំនៃចំនួនពិតទាំងអស់ លើកលែងតែ 0 ។ ម៉្យាងទៀត D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ ផ្នែកទាំងពីរដែលបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនឹងស្ថិតនៅក្នុងតំបន់និយមន័យ។

ឥឡូវនេះយើងគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍យោងទៅតាមច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃប្រភាគ៖

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 − x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 − (x 3 − 4) 2 x x 4 = x 3 − 8 x ៣

យើងបានរៀនថាដេរីវេនៃអនុគមន៍នឹងមាននៅគ្រប់ចំនុចនៃផ្នែក [ 1 ; 4 ] និង [ - 4 ; - មួយ] ។

ឥឡូវនេះយើងត្រូវកំណត់ចំណុចស្ថានីនៃមុខងារ។ ចូរធ្វើដូចនេះជាមួយនឹងសមីការ x 3 − 8 x 3 = 0 ។ វាមានឫសពិតតែមួយគឺ ២. វានឹងក្លាយជាចំណុចស្ថានីនៃមុខងារ ហើយនឹងធ្លាក់ចូលទៅក្នុងផ្នែកទីមួយ [ 1 ; ៤]។

ចូរ​យើង​គណនា​តម្លៃ​នៃ​អនុគមន៍​នៅ​ខាង​ចុង​ផ្នែក​ទី​មួយ​និង​នៅ​ចំណុច​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឱ្យ i.e. សម្រាប់ x = 1, x = 2 និង x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

យើងបានទទួលថាតម្លៃធំបំផុតនៃអនុគមន៍ m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 នឹងសម្រេចបាននៅ x = 1 ហើយតូចបំផុត m i n y x ∈ [ 1 ; 4] = y (2) = 3 – នៅ x = 2 ។

ផ្នែកទីពីរមិនរួមបញ្ចូលចំណុចស្ថានីណាមួយទេ ដូច្នេះយើងត្រូវគណនាតម្លៃមុខងារតែនៅខាងចុងនៃផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យប៉ុណ្ណោះ៖

y (− 1) = (− 1) 3 + 4 (− 1) 2 = 3

ដូច្នេះ m a x y x ∈ [ − 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ − 4 ; - 1 ] = y (- 4) = − 3 3 4 .

ចម្លើយ៖សម្រាប់ផ្នែក [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 សម្រាប់ផ្នែក [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ − 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ − 4 ; - 1 ] = y (- 4) = − 3 3 4 .

មើលរូបភាព៖

មុននឹងរៀនវិធីសាស្រ្តនេះ យើងណែនាំអ្នកឱ្យពិនិត្យមើលរបៀបគណនាដែនកំណត់ម្ខាង និងដែនកំណត់ក្នុងភាពគ្មានកំណត់ ព្រមទាំងរៀនវិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការស្វែងរកពួកវា។ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និង/ឬតូចបំផុតនៃមុខងារនៅលើចន្លោះពេលបើក ឬគ្មានកំណត់ យើងអនុវត្តជំហានខាងក្រោមជាលំដាប់។

1. ដំបូងអ្នកត្រូវពិនិត្យមើលថាតើចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងក្លាយជាសំណុំរងនៃដែននៃមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
2. អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ចំណុចទាំងអស់ដែលមាននៅក្នុងចន្លោះពេលដែលត្រូវការ និងនៅពេលដែលដេរីវេទី 1 មិនមាន។ ជាធម្មតាពួកវាកើតឡើងនៅក្នុងមុខងារដែលអាគុយម៉ង់ត្រូវបានរុំព័ទ្ធក្នុងសញ្ញាម៉ូឌុល ហើយនៅក្នុងមុខងារថាមពលជាមួយនឹងនិទស្សន្តប្រភាគ។ ប្រសិនបើចំណុចទាំងនេះបាត់ នោះអ្នកអាចបន្តទៅជំហានបន្ទាប់។
3. ឥឡូវនេះយើងកំណត់ថាចំនុចណាដែលស្ថិតនៅជាប់នឹងចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដំបូង​យើង​យក​និស្សន្ទវត្ថុ​ទៅ ០ ដោះស្រាយ​សមីការ និង​រក​ឫស​ដែល​សមរម្យ។ ប្រសិនបើ​យើង​មិន​មាន​ចំណុច​ស្ថានី​តែមួយ ឬ​មិន​ធ្លាក់​ក្នុង​ចន្លោះ​ពេល​កំណត់​ទេ នោះ​យើង​បន្ត​សកម្មភាព​បន្ថែម​ទៀត​ភ្លាមៗ។ ពួកវាត្រូវបានកំណត់ដោយប្រភេទនៃចន្លោះពេល។

• ប្រសិនបើចន្លោះពេលមើលទៅដូចជា [ a ; ខ) បន្ទាប់មកយើងត្រូវគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុច x = a និងដែនកំណត់ម្ខាង lim x → b - 0 f (x) ។
• ប្រសិនបើចន្លោះពេលមានទម្រង់ (a ; b ] នោះយើងត្រូវគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុច x = b និងដែនកំណត់ម្ខាង lim x → a + 0 f (x) ។
• ប្រសិនបើចន្លោះពេលមានទម្រង់ (a ; b) នោះយើងត្រូវគណនាដែនកំណត់ម្ខាង lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x) ។
• ប្រសិនបើចន្លោះពេលមើលទៅដូចជា [ a ; + ∞) បន្ទាប់មក ចាំបាច់ត្រូវគណនាតម្លៃនៅចំនុច x = a និងដែនកំណត់ បូកនឹង infinity lim x → + ∞ f (x) ។
• ប្រសិនបើចន្លោះពេលមើលទៅដូចជា (- ∞ ; b ] យើងគណនាតម្លៃនៅចំណុច x = b និងដែនកំណត់នៅដក infinity lim x → - ∞ f (x) ។
• ប្រសិនបើ - ∞ ; b បន្ទាប់មកយើងពិចារណាដែនកំណត់ម្ខាង lim x → b - 0 f (x) និងដែនកំណត់នៅដក infinity lim x → - ∞ f (x)
• ប្រសិនបើ - ∞ ; + ∞ បន្ទាប់មកយើងពិចារណាដែនកំណត់ដក និងបូកអណ្តែត lim x → + ∞ f (x), lim x → - ∞ f (x) ។

1. នៅចុងបញ្ចប់អ្នកត្រូវទាញការសន្និដ្ឋានដោយផ្អែកលើតម្លៃដែលទទួលបាននៃមុខងារនិងដែនកំណត់។ មានជម្រើសជាច្រើននៅទីនេះ។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើដែនកំណត់ម្ខាងគឺស្មើនឹងដក infinity ឬបូក infinity នោះវាច្បាស់ណាស់ថាគ្មានអ្វីអាចនិយាយបានអំពីតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍នោះទេ។ ខាងក្រោមនេះយើងនឹងពិចារណាឧទាហរណ៍ធម្មតាមួយ។ ការពិពណ៌នាលម្អិតនឹងជួយអ្នកឱ្យយល់ពីអ្វីដែលជាអ្វី។ បើចាំបាច់អ្នកអាចត្រលប់ទៅតួលេខ 4 - 8 នៅក្នុងផ្នែកដំបូងនៃសម្ភារៈ។

ឧទាហរណ៍ ២

លក្ខខណ្ឌ៖ ផ្តល់អនុគមន៍ y = 3 e 1 x 2 + x − 6 − 4 ។ គណនាតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតរបស់វាក្នុងចន្លោះពេល - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2 ) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞)។

ការសម្រេចចិត្ត

ដំបូងយើងរកឃើញដែននៃមុខងារ។ ភាគបែងនៃប្រភាគគឺជាត្រីកោណមាត្រការ៉េ ដែលមិនគួរទៅ 0៖

x 2 + x − 6 = 0 D = 1 2 − 4 1 ( − 6 ) = 25 x 1 = − 1 − 5 2 = − 3 x 2 = − 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (-∞ ; - ៣) ∪ (- ៣ ; ២) ∪ (២ ; + ∞)

យើងបានទទួលវិសាលភាពនៃមុខងារ ដែលចន្លោះពេលទាំងអស់ដែលបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌជាកម្មសិទ្ធិ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបែងចែកមុខងារ និងទទួលបាន៖

y "= 3 e 1 x 2 + x − 6 − 4" = 3 e 1 x 2 + x − 6 " = 3 e 1 x 2 + x − 6 1 x 2 + x − 6 " == 3 e 1 x 2 + x − 6 1 "x 2 + x − 6 − 1 x 2 + x − 6" (x 2 + x − 6) 2 = − 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x − 6 x 2 + x − ៦ ២

អាស្រ័យហេតុនេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍មាននៅលើដែនទាំងមូលនៃនិយមន័យរបស់វា។

ចូរបន្តទៅការស្វែងរកចំណុចស្ថានី។ ដេរីវេនៃអនុគមន៍ក្លាយជា 0 នៅ x = − 1 2 ។ នេះ​គឺ​ជា​ចំណុច​ស្ថានី​ដែល​ស្ថិត​ក្នុង​ចន្លោះ​ពេល (- 3 ; 1 ] និង (- 3 ; 2) ។

ចូរយើងគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅ x = − 4 សម្រាប់ចន្លោះពេល (-∞ ; - 4 ] ក៏ដូចជាដែនកំណត់នៅ minus infinity៖

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 ។ 456 lim x → − ∞ 3 e 1 x 2 + x − 6 = 3 e 0 − 4 = − 1

ចាប់តាំងពី 3 e 1 6 - 4 > - 1 បន្ទាប់មក m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 វាមិនអនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់តម្លៃតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នោះទេ។ យើងគ្រាន់តែអាចសន្និដ្ឋានថាមានដែនកំណត់ខាងក្រោម - 1 ព្រោះវាស្ថិតនៅលើតម្លៃនេះ ដែលមុខងារខិតជិត asymptotically នៅដកគ្មានដែនកំណត់។

លក្ខណៈពិសេសមួយនៃចន្លោះពេលទីពីរគឺថា វាមិនមានចំណុចស្ថានីតែមួយ និងមិនមានព្រំដែនតឹងរឹងតែមួយ។ ដូច្នេះ យើងមិនអាចគណនាតម្លៃធំបំផុត ឬតូចបំផុតនៃអនុគមន៍បានទេ។ ដោយកំណត់ដែនកំណត់នៅដកគ្មានកំណត់ ហើយដូចដែលអាគុយម៉ង់មាននិន្នាការទៅ - 3 នៅផ្នែកខាងឆ្វេង យើងទទួលបានតែជួរនៃតម្លៃប៉ុណ្ណោះ៖

lim x → − 3 − 0 3 e 1 x 2 + x − 6 − 4 = lim x → − 3 − 0 3 e 1 (x + 3) (x − 3) − 4 = 3 e 1 (− 3 − 0 + 3) (− 3 − 0 − 2) − 4 = = 3 e 1 (+ 0) − 4 = 3 e + ∞ − 4 = + ∞ lim x → − ∞ 3 e 1 x 2 + x − 6 − 4 = 3 អ៊ី 0 − 4 = − 1

នេះមានន័យថាតម្លៃមុខងារនឹងមានទីតាំងនៅចន្លោះពេល - 1 ; +∞

ដើម្បី​ស្វែង​រក​តម្លៃ​អតិបរមា​នៃ​អនុគមន៍​ក្នុង​ចន្លោះ​ពេល​ទីបី យើង​កំណត់​តម្លៃ​របស់​វា​នៅ​ចំណុច​ស្ថានី x = − 1 2 ប្រសិនបើ x = 1 ។ យើងក៏ត្រូវដឹងពីដែនកំណត់ម្ខាងសម្រាប់ករណីនៅពេលដែលអាគុយម៉ង់មាននិន្នាការទៅ - 3 នៅខាងស្តាំ៖

y − 1 2 = 3 e 1 − 1 2 2 + − 1 2 − 6 − 4 = 3 e 4 25 − 4 ≈ − 1 . 444 y (1) = 3 អ៊ី 1 1 2 + 1 − 6 − 4 ≈ − 1 . 644 lim x → − 3 + 0 3 e 1 x 2 + x − 6 − 4 = lim x → − 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x − 2) − 4 = 3 e 1 − 3 + 0 + 3 ( − 3 + 0 − 2 ) − 4 = = 3 e 1 ( − 0 ) − 4 = 3 e − ∞ − 4 = 3 0 − 4 = − 4

វាប្រែថាមុខងារនឹងយកតម្លៃធំបំផុតនៅចំណុចស្ថានី m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 ។ ចំពោះតម្លៃតូចបំផុត យើងមិនអាចកំណត់វាបានទេ។ ដឹង គឺជាវត្តមាននៃដែនកំណត់ទាបជាងទៅ - 4 ។

សម្រាប់ចន្លោះពេល (- 3 ; 2) ចូរយើងយកលទ្ធផលនៃការគណនាពីមុន ហើយគណនាម្តងទៀតនូវអ្វីដែលដែនកំណត់ម្ខាងគឺស្មើនឹងពេលទំនោរទៅ 2 ពីផ្នែកខាងឆ្វេង៖

y − 1 2 = 3 e 1 − 1 2 2 + − 1 2 − 6 − 4 = 3 e − 4 25 − 4 ≈ − 1 . 444 lim x → − 3 + 0 3 e 1 x 2 + x − 6 − 4 = − 4 lim x → 2 − 0 3 e 1 x 2 + x − 6 − 4 = lim x → − 3 + 0 3 e 1 (x − 2) − 4 = 3 e 1 (2 − 0 + 3) (2 − 0 − 2) − 4 = = 3 e 1 − 0 − 4 = 3 e − ∞ − 4 = 3 ០ − ៤ = − ៤

ដូច្នេះ m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 ហើយតម្លៃតូចបំផុតមិនអាចកំណត់បាន ហើយតម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រូវបានចងពីខាងក្រោមដោយលេខ - 4 ។

ដោយផ្អែកលើអ្វីដែលយើងបានធ្វើនៅក្នុងការគណនាពីមុនពីរ យើងអាចអះអាងបានថានៅលើចន្លោះពេល [ 1 ; 2) មុខងារនឹងយកតម្លៃធំបំផុតនៅ x = 1 ហើយវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការស្វែងរកតូចបំផុត។

នៅចន្លោះពេល (2 ; + ∞) មុខងារនឹងមិនឈានដល់តម្លៃធំបំផុត ឬតូចបំផុត ពោលគឺឧ។ វានឹងយកតម្លៃពីចន្លោះពេល - 1 ; +∞

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x − 6 − 4 = lim x → − 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x − 2) − 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 − 2) − 4 = = 3 e 1 (+ 0) − 4 = 3 e + ∞ − 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x − 6 − 4 = 3 e ០ − ៤ = − ១

ដោយបានគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នឹងស្មើនឹង x = 4 យើងរកឃើញថា m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 ហើយមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅ បូកគ្មានដែនកំណត់ នឹងចូលទៅជិតបន្ទាត់ y = - 1 asymptotically ។

ចូរយើងប្រៀបធៀបអ្វីដែលយើងទទួលបានក្នុងការគណនានីមួយៗជាមួយនឹងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ នៅក្នុងរូបភាពនេះ asymtotes ត្រូវបានបង្ហាញដោយបន្ទាត់ចំនុច។

នោះហើយជាអ្វីដែលយើងចង់និយាយអំពីការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារមួយ។ លំដាប់នៃសកម្មភាពទាំងនោះដែលយើងបានផ្តល់ឱ្យនឹងជួយអ្នកធ្វើការគណនាចាំបាច់ឱ្យបានលឿន និងសាមញ្ញតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ប៉ុន្តែត្រូវចាំថា ជាញឹកញាប់វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការស្វែងយល់ពីចន្លោះពេលមុខងារនឹងថយចុះ និងចន្លោះពេលណាដែលវានឹងកើនឡើង បន្ទាប់មកការសន្និដ្ឋានបន្ថែមទៀតអាចត្រូវបានទាញ។ ដូច្នេះអ្នកអាចកំណត់បានយ៉ាងត្រឹមត្រូវនូវតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារ និងបង្ហាញអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃលទ្ធផល។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

ជាញឹកញាប់នៅក្នុងរូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យា វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុតនៃអនុគមន៍មួយ។ របៀបធ្វើវាឥឡូវនេះយើងនឹងប្រាប់។

វិធីស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុតនៃមុខងារ៖ ការណែនាំ

1. ដើម្បី​គណនា​តម្លៃ​តូច​បំផុត​នៃ​អនុគមន៍​បន្ត​នៅ​ចន្លោះ​ពេល​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឲ្យ អ្នក​ត្រូវ​ធ្វើ​តាម​ក្បួន​ដោះស្រាយ​នេះ៖
2. ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ។
3. ស្វែងរកនៅលើផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យនូវចំណុចដែលដេរីវេទីវ័រស្មើនឹងសូន្យ ក៏ដូចជាចំណុចសំខាន់ៗទាំងអស់។ បន្ទាប់មកស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចទាំងនេះ ពោលគឺដោះស្រាយសមីការដែល x ស្មើនឹងសូន្យ។ ស្វែងយល់ថាតើតម្លៃមួយណាតូចជាងគេ។
4. ស្វែងយល់ពីតម្លៃដែលមុខងារមាននៅចំណុចបញ្ចប់។ កំណត់តម្លៃតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅចំណុចទាំងនេះ។
5. ប្រៀបធៀបទិន្នន័យដែលទទួលបានជាមួយនឹងតម្លៃតូចបំផុត។ លេខតូចជាងនៃលេខដែលទទួលបាននឹងជាតម្លៃតូចបំផុតនៃអនុគមន៍។

ចំណាំថាក្នុងករណីដែលមុខងារនៅលើផ្នែកមួយមិនមានចំណុចតូចបំផុត នេះមានន័យថាវាកើនឡើង ឬថយចុះនៅលើផ្នែកនេះ។ ដូច្នេះ តម្លៃតូចបំផុតគួរតែត្រូវបានគណនាលើផ្នែកកំណត់នៃអនុគមន៍។

ក្នុងគ្រប់ករណីផ្សេងទៀត តម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រូវបានគណនាតាមក្បួនដោះស្រាយដែលបានបញ្ជាក់។ នៅជំហាននីមួយៗនៃក្បួនដោះស្រាយ អ្នកនឹងត្រូវដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរសាមញ្ញជាមួយនឹងឫសមួយ។ ដោះស្រាយសមីការដោយប្រើគំនូរដើម្បីជៀសវាងកំហុស។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកបើកចំហពាក់កណ្តាល? ក្នុងអំឡុងពេលពាក់កណ្តាលបើក ឬបើកនៃមុខងារ តម្លៃតូចបំផុតគួរតែត្រូវបានរកឃើញដូចខាងក្រោម។ នៅចុងបញ្ចប់នៃតម្លៃអនុគមន៍ គណនាដែនកំណត់ម្ខាងនៃអនុគមន៍។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ដោះស្រាយសមីការដែលចំណុចទាញត្រូវបានផ្តល់ដោយតម្លៃ a+0 និង b+0 ដែល a និង b គឺជាឈ្មោះនៃចំនុចសំខាន់។

ឥឡូវអ្នកដឹងពីរបៀបស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុតនៃមុខងារមួយ។ រឿងចំបងគឺធ្វើការគណនាទាំងអស់បានត្រឹមត្រូវ ត្រឹមត្រូវ និងគ្មានកំហុស។

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ y=f(X)បន្តនៅលើផ្នែក [ ក, ខ] ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ មុខងារបែបនេះនៅលើផ្នែកនេះឈានដល់តម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមា។ អនុគមន៍​អាច​យក​តម្លៃ​ទាំង​នេះ​នៅ​ចំណុច​ខាង​ក្នុង​នៃ​ផ្នែក [ ក, ខ] ឬនៅលើព្រំដែននៃផ្នែក។

ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍មួយនៅលើ segment [ ក, ខ] ចាំបាច់៖

1) ស្វែងរកចំណុចសំខាន់នៃមុខងារក្នុងចន្លោះពេល ( ក, ខ);

2) គណនាតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចសំខាន់ដែលបានរកឃើញ;

3) គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចុងផ្នែក នោះគឺសម្រាប់ x=កនិង x = ខ;

4) ពីតម្លៃដែលបានគណនាទាំងអស់នៃអនុគមន៍ សូមជ្រើសរើសធំបំផុត និងតូចបំផុត។

ឧទាហរណ៍។ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារមួយ។

នៅលើផ្នែក។

ស្វែងរកចំណុចសំខាន់៖

ចំណុចទាំងនេះស្ថិតនៅក្នុងផ្នែក។ y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

នៅចំណុច x= 3 និងនៅចំណុច x= 0.

ការស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់ប៉ោង និងចំណុចបញ្ឆេះ។

មុខងារ y = f (x) បានហៅ ប៉ោងនៅក្នុង​ចន្លោះ (ក, ខ) ប្រសិនបើក្រាហ្វរបស់វាស្ថិតនៅក្រោមតង់ហ្សង់ដែលគូសនៅចំណុចណាមួយនៃចន្លោះពេលនេះ ហើយត្រូវបានគេហៅថា ប៉ោងចុះក្រោម (ប៉ោង)ប្រសិនបើក្រាហ្វរបស់វាស្ថិតនៅពីលើតង់សង់។

ចំណុចនៅការផ្លាស់ប្តូរដែលប៉ោងត្រូវបានជំនួសដោយ concavity ឬផ្ទុយមកវិញត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចឆ្លង.

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់សិក្សាសម្រាប់ចំណុចប៉ោង និងចំណុចបញ្ឆេះ៖

1. រកចំនុចសំខាន់នៃប្រភេទទីពីរ នោះគឺចំនុចដែលដេរីវេទី 2 ស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមាន។

2. ដាក់ចំនុចសំខាន់នៅលើបន្ទាត់លេខ ដោយបំបែកវាជាចន្លោះពេល។ ស្វែងរកសញ្ញានៃដេរីវេទី 2 នៅចន្លោះពេលនីមួយៗ; if នោះអនុគមន៍គឺប៉ោងឡើងលើ ប្រសិនបើ នោះមុខងារគឺប៉ោងចុះក្រោម។

3. ប្រសិនបើនៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុចសំខាន់នៃប្រភេទទីពីរ វាផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា ហើយនៅចំណុចនេះ ដេរីវេទី 2 ស្មើនឹងសូន្យ នោះចំនុចនេះគឺជា abscissa នៃចំនុច inflection ។ ស្វែងរកការចាត់តាំងរបស់វា។

Asymtotes នៃក្រាហ្វនៃមុខងារមួយ។ ការស៊ើបអង្កេតមុខងារទៅជា asymtotes ។

និយមន័យ។ asymptote នៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មួយត្រូវបានគេហៅថា ត្រង់ដែល​មាន​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​ថា​ចម្ងាយ​ពី​ចំណុច​ណា​មួយ​នៃ​ក្រាហ្វ​ទៅ​បន្ទាត់​នេះ​មាន​ទំនោរ​ទៅ​សូន្យ​ដោយ​ការ​ដក​ចេញ​ដោយ​គ្មាន​ដែន​កំណត់​នៃ​ចំណុច​ក្រាហ្វ​ពី​ដើម។

មាន asymtotes បីប្រភេទ៖ បញ្ឈរ ផ្ដេក និងទំនោរ។

និយមន័យ។ហៅផ្ទាល់ asymptote បញ្ឈរក្រាហ្វមុខងារ y = f(x)ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់ដែនកំណត់ម្ខាងនៃអនុគមន៍នៅចំណុចនេះស្មើនឹងភាពគ្មានកំណត់ នោះគឺជា

កន្លែងដែលជាចំណុចមិនបន្តនៃមុខងារ នោះគឺវាមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់ដែននិយមន័យ។

ឧទាហរណ៍។

ឃ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - ចំណុចបំបែក។

និយមន័យ។ត្រង់ y=កបានហៅ asymptote ផ្ដេកក្រាហ្វមុខងារ y = f(x)នៅ, ប្រសិនបើ

ឧទាហរណ៍។

x
y

និយមន័យ។ត្រង់ y=kx +ខ (k≠ 0) ត្រូវបានគេហៅថា oblique asymptoteក្រាហ្វមុខងារ y = f(x)នៅ​កន្លែងណា

គ្រោងការណ៍ទូទៅសម្រាប់ការសិក្សាមុខងារនិងគ្រោង។

ក្បួនដោះស្រាយស្រាវជ្រាវមុខងារy = f(x) :

1. ស្វែងរកដែននៃមុខងារ ឃ (y).

2. ស្វែងរក (ប្រសិនបើអាច) ចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ (ជាមួយ x= 0 និងនៅ y = 0).

3. ស៊ើបអង្កេតសម្រាប់មុខងារគូ និងសេស ( y (‒ x) = y (x) ‒ ភាពស្មើគ្នា; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ សេស)

4. ស្វែងរក asymtotes នៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍។

5. ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃ monotonicity នៃអនុគមន៍។

6. ស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃមុខងារ។

7. ស្វែងរកចន្លោះប្រហោង (concavity) និងចំនុច inflection នៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍។

8. នៅលើមូលដ្ឋាននៃការស្រាវជ្រាវដែលបានធ្វើឡើង បង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារ។

ឧទាហរណ៍។ស៊ើបអង្កេតមុខងារ និងគ្រោងក្រាហ្វរបស់វា។

1) ឃ (y) =

x= 4 - ចំណុចបំបែក។

2) ពេលណា x = 0,

(0; - 5) - ចំណុចប្រសព្វជាមួយ អូយ.

នៅ y = 0,

3) y(‒ x)= មុខងារទូទៅ (សូម្បីតែឬសេស) ។

4) យើងស៊ើបអង្កេតរករោគសញ្ញា។

ក) បញ្ឈរ

ខ) ផ្ដេក

គ) ស្វែងរក asymtotes oblique នៅកន្លែងណា

- សមីការ asymptote oblique

5) នៅក្នុងសមីការនេះ វាមិនត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកចន្លោះពេលនៃ monotonicity នៃអនុគមន៍នោះទេ។

6)

ចំណុចសំខាន់ៗទាំងនេះបែងចែកដែនទាំងមូលនៃមុខងារនៅលើចន្លោះពេល (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) និង (10; +∞) ។ វាងាយស្រួលបង្ហាញលទ្ធផលដែលទទួលបានក្នុងទម្រង់តារាងខាងក្រោម។