សមីការនៃបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ។

ដូចដែលបានដឹងហើយថាចំណុចណាមួយនៅលើយន្តហោះត្រូវបានកំណត់ដោយកូអរដោនេពីរនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេមួយចំនួន។ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលអាចមានភាពខុសគ្នាអាស្រ័យលើជម្រើសនៃមូលដ្ឋាន និងប្រភពដើម។

និយមន័យ។ សមីការបន្ទាត់គឺជាទំនាក់ទំនង y = f(x) រវាងកូអរដោណេនៃចំនុចដែលបង្កើតជាបន្ទាត់នេះ។

ចំណាំថាសមីការបន្ទាត់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់តាមវិធីប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ពោលគឺកូអរដោនេនីមួយៗនៃចំណុចនីមួយៗត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈប៉ារ៉ាម៉ែត្រឯករាជ្យមួយចំនួន។ t.

ឧទាហរណ៍ធម្មតាគឺគន្លងនៃចំណុចផ្លាស់ទី។ ក្នុងករណីនេះពេលវេលាដើរតួនាទីជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ។

និយមន័យ។ បន្ទាត់ណាមួយនៅក្នុងយន្តហោះអាចត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការលំដាប់ទីមួយ

Ah + Wu + C = 0,

លើសពីនេះទៅទៀតថេរ A, B មិនស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយទេពោលគឺឧ។ A 2 + B 2  0. សមីការលំដាប់ទីមួយនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់។

អាស្រ័យលើតម្លៃនៃថេរ A, B និង C ករណីពិសេសខាងក្រោមអាចធ្វើទៅបាន៖

C \u003d 0, A  0, B  0 - បន្ទាត់ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - បន្ទាត់គឺស្របទៅនឹងអ័ក្សអុក

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - បន្ទាត់គឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស Oy

B \u003d C \u003d 0, A  0 - បន្ទាត់ត្រង់ស្របគ្នានឹងអ័ក្ស Oy

A \u003d C \u003d 0, B  0 - បន្ទាត់ត្រង់ស្របគ្នានឹងអ័ក្សអុក

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់ផ្សេងៗគ្នា អាស្រ័យលើលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។

និយមន័យ។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ Cartesian វ៉ិចទ័រដែលមានសមាសធាតុ (A, B) កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការ Ax + By + C = 0 ។

ឧទាហរណ៍។រកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច A(1, 2) កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ (3, -1).

អនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរនៅ A \u003d 3 និង B \u003d -1 សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់: 3x - y + C \u003d 0 ។ ដើម្បីស្វែងរកមេគុណ C យើងជំនួសកូអរដោនេនៃចំនុច A ទៅក្នុងកន្សោមលទ្ធផល។

យើងទទួលបាន៖ 3 - 2 + C \u003d 0 ដូច្នេះ C \u003d -1 ។

សរុប៖ សមីការដែលចង់បាន៖ 3x - y - 1 \u003d 0 ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ពីរចំណុច។

សូម​ឱ្យ​ពិន្ទុ​ពីរ M 1 (x 1, y 1, z 1) និង M 2 (x 2, y 2, z 2) ក្នុង​លំហ បន្ទាប់មក​សមីការ​នៃ​បន្ទាត់​ត្រង់​ឆ្លងកាត់​ចំណុច​ទាំងនេះ៖

ប្រសិនបើភាគបែងណាមួយស្មើនឹងសូន្យនោះ ភាគបែងដែលត្រូវគ្នាគួរតែត្រូវបានកំណត់ឱ្យស្មើសូន្យ។

នៅលើយន្តហោះ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលសរសេរខាងលើត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖

ប្រសិនបើ x 1  x 2 និង x \u003d x 1 ប្រសិនបើ x 1 \u003d x 2 ។

ប្រភាគ
=k ត្រូវបានគេហៅថា កត្តាជម្រាលត្រង់។

ឧទាហរណ៍។រកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុច A(1,2) និង B(3,4)។

អនុវត្តរូបមន្តខាងលើយើងទទួលបាន៖

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយចំណុចមួយ និងជម្រាលមួយ។

ប្រសិនបើសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ Ax + Vy + C = 0 នាំទៅដល់ទម្រង់៖

និងកំណត់
បន្ទាប់មកសមីការលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយជម្រាលមួយ។k.

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់លើចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រដឹកនាំ។

ដោយភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយកថាខណ្ឌដែលពិចារណាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់តាមរយៈវ៉ិចទ័រធម្មតា អ្នកអាចបញ្ចូលការចាត់តាំងនៃបន្ទាត់ត្រង់តាមរយៈចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

និយមន័យ។ រាល់វ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាសូន្យ ( 1 ,  2) សមាសធាតុដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ A 1 + B 2 = 0 ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់

Ah + Wu + C = 0 ។

ឧទាហរណ៍។រកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយវ៉ិចទ័រទិសដៅ (1, -1) និងឆ្លងកាត់ចំណុច A (1, 2) ។

យើងនឹងរកមើលសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលចង់បានក្នុងទម្រង់៖ Ax + By + C = 0. ស្របតាមនិយមន័យ មេគុណត្រូវបំពេញលក្ខខណ្ឌ៖

1A + (-1)B = 0, i.e. ក = ខ។

បន្ទាប់មកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មានទម្រង់៖ Ax + Ay + C = 0 ឬ x + y + C/A = 0 ។

នៅ x = 1, y = 2 យើងទទួលបាន С/A = -3, i.e. សមីការដែលចង់បាន៖

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក។

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ Ah + Wu + C \u003d 0 C 0 បន្ទាប់មកបែងចែកដោយ -C យើងទទួលបាន៖
ឬ

កន្លែងណា

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃមេគុណគឺមេគុណ កគឺជាកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដែលមានអ័ក្ស x និង ខ- កូអរដោណេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយអ័ក្ស Oy ។

ឧទាហរណ៍។ផ្តល់សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ x − y + 1 = 0. រកសមីការនៃបន្ទាត់នេះក្នុងផ្នែក។

គ \u003d 1,
, a = -1, b = 1 ។

សមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់។

ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរនៃសមីការ Ax + Wy + C = 0 ចែកនឹងចំនួន
ដែលត្រូវបានគេហៅថា កត្តាធ្វើឱ្យធម្មតា។បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន

xcos + ysin - p = 0 -

សមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់។

សញ្ញា  នៃកត្តាធម្មតាត្រូវតែជ្រើសរើស ដូច្នេះ С< 0.

p គឺជាប្រវែងនៃកាត់កែងដែលទម្លាក់ពីដើមទៅបន្ទាត់ត្រង់ ហើយ  គឺជាមុំដែលបង្កើតឡើងដោយកាត់កែងនេះជាមួយនឹងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្សអុក។

ឧទាហរណ៍។ដែលបានផ្តល់ឱ្យសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ 12x - 5y - 65 = 0. វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីសរសេរប្រភេទផ្សេងៗនៃសមីការសម្រាប់បន្ទាត់នេះ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះនៅក្នុងផ្នែក៖

សមីការនៃបន្ទាត់នេះជាមួយជម្រាល៖ (ចែកនឹង ៥)

សមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់៖

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5 ។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាមិនមែនគ្រប់បន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានតំណាងដោយសមីការនៅក្នុងផ្នែកទេ ឧទាហរណ៍ បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស ឬឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។

ឧទាហរណ៍។បន្ទាត់ត្រង់កាត់ផ្តាច់ផ្នែកវិជ្ជមានស្មើគ្នានៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ។ សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ប្រសិនបើផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលបង្កើតឡើងដោយផ្នែកទាំងនេះគឺ 8 សង់ទីម៉ែត្រ 2 ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មានទម្រង់៖
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -៤.

a = -4 មិនសមនឹងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។

សរុប៖
ឬ x + y − 4 = 0 ។

ឧទាហរណ៍។សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច A (-2, -3) និងប្រភពដើម។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មានទម្រង់៖
ដែលជាកន្លែងដែល x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3 ។

មុំរវាងបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ។

និយមន័យ។ ប្រសិនបើបន្ទាត់ពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 នោះមុំស្រួចរវាងបន្ទាត់ទាំងនេះនឹងត្រូវបានកំណត់ជា

.

បន្ទាត់ពីរគឺស្របគ្នាប្រសិនបើ k 1 = k 2 ។

បន្ទាត់ពីរគឺកាត់កែងប្រសិនបើ k 1 = -1/k 2 ។

ទ្រឹស្តីបទ។ បន្ទាត់ត្រង់ Ax + Vy + C = 0 និង A 1 x + ខ 1 y + C 1 = 0 គឺស្របគ្នានៅពេលដែលមេគុណ A គឺសមាមាត្រ 1 =  ក, ខ 1 =  B. បើក៏ C 1 =  C បន្ទាប់មកបន្ទាត់ស្របគ្នា។

កូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរត្រូវបានរកឃើញជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការនៃបន្ទាត់ទាំងនេះ។

សមីការនៃបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ

កាត់កែងទៅបន្ទាត់នេះ។

និយមន័យ។ បន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច M 1 (x 1, y 1) និងកាត់កែងទៅបន្ទាត់ y \u003d kx + b ត្រូវបានតំណាងដោយសមីការ៖

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់មួយ។

ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើចំណុច M (x 0 , y 0 ) បន្ទាប់មកចម្ងាយទៅបន្ទាត់ Ax + Vy + C = 0 ត្រូវបានកំណត់ជា

.

ភស្តុតាង។ សូម​ឲ្យ​ចំណុច M 1 (x 1, y 1) ជា​គោល​នៃ​ការ​កាត់​កែង​ទម្លាក់​ពី​ចំណុច M ទៅ​បន្ទាត់​ដែល​បាន​ផ្តល់។ បន្ទាប់មកចម្ងាយរវាងចំណុច M និង M 1:

កូអរដោណេ x 1 និង y 1 អាចត្រូវបានរកឃើញជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ៖

សមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធគឺជាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M 0 កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ប្រសិនបើយើងបំប្លែងសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់៖

A(x − x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + ដោយ 0 + C = 0,

បន្ទាប់មក ដំណោះស្រាយ យើងទទួលបាន៖

ការជំនួសកន្សោមទាំងនេះទៅជាសមីការ (១) យើងរកឃើញ៖

.

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ឧទាហរណ៍។កំណត់មុំរវាងបន្ទាត់: y = −3x + 7; y = 2x + 1 ។

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

ឧទាហរណ៍។បង្ហាញថាបន្ទាត់ 3x − 5y + 7 = 0 និង 10x + 6y − 3 = 0 កាត់កែង។

យើងរកឃើញ៖ k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1 ដូច្នេះ បន្ទាត់កាត់កែង។

ឧទាហរណ៍។ចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណ A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ស្វែងរកសមីការសម្រាប់កម្ពស់ដែលដកចេញពីចំនុចកំពូល C ។

យើងរកឃើញសមីការខាង AB៖
; 4x = 6y − 6;

2x − 3y + 3 = 0;

សមីការកម្ពស់ដែលចង់បានគឺ៖ Ax + By + C = 0 ឬ y = kx + b ។

k = . បន្ទាប់មក y =
. ដោយសារតែ កម្ពស់ឆ្លងកាត់ចំណុច C បន្ទាប់មកកូអរដោនេរបស់វាបំពេញសមីការនេះ៖
wherece b = 17. សរុប៖
.

ចម្លើយ៖ 3x + 2y − 34 = 0 ។

ធរណីមាត្រវិភាគក្នុងលំហ។

សមីការបន្ទាត់ក្នុងលំហ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហដោយចំនុចមួយ និង

វ៉ិចទ័រទិសដៅ។

យកបន្ទាត់បំពាន និងវ៉ិចទ័រ (m, n, p) ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ វ៉ិចទ័រ បានហៅ វ៉ិចទ័រណែនាំត្រង់។

ចូរយកចំណុចបំពានពីរ M 0 (x 0, y 0, z 0) និង M(x, y, z) នៅលើបន្ទាត់ត្រង់។

z

ម១

អនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្គាល់វ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចទាំងនេះជា និង វាច្បាស់ណាស់ថា - =
.

ដោយសារតែ វ៉ិចទ័រ
និង គឺ collinear បន្ទាប់មកទំនាក់ទំនងគឺពិត
= t ដែល t ជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រខ្លះ។

សរុបមក យើងអាចសរសេរបាន៖ = + t.

ដោយសារតែ សមីការនេះត្រូវបានពេញចិត្តដោយកូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយនៅលើបន្ទាត់ បន្ទាប់មកសមីការលទ្ធផលគឺ សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់.

សមីការវ៉ិចទ័រនេះអាចត្រូវបានតំណាងជាទម្រង់កូអរដោណេ៖

ការបំប្លែងប្រព័ន្ធនេះ និងសមីការតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t យើងទទួលបានសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ៖

.

និយមន័យ។ កូស៊ីនុសទិសដោយផ្ទាល់គឺជាកូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រ ដែលអាចត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

;

.

ពីទីនេះយើងទទួលបាន: m: n: p = cos: cos: cos ។

លេខ m, n, p ត្រូវបានគេហៅថា កត្តាជម្រាលត្រង់។ ដោយសារតែ គឺជាវ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាសូន្យ បន្ទាប់មក m, n និង p មិនអាចជាសូន្យក្នុងពេលតែមួយបានទេ ប៉ុន្តែមួយ ឬពីរនៃចំនួនទាំងនេះអាចជាសូន្យ។ ក្នុងករណីនេះ នៅក្នុងសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ លេខដែលត្រូវគ្នាគួរតែស្មើនឹងសូន្យ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងការឆ្លងកាត់លំហ

តាមរយៈពីរចំណុច។

ប្រសិនបើចំណុចបំពានពីរ M 1 (x 1, y 1, z 1) និង M 2 (x 2, y 2, z 2) ត្រូវបានសម្គាល់នៅលើបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ នោះកូអរដោនេនៃចំណុចទាំងនេះត្រូវតែបំពេញសមីការនៃ បន្ទាត់ត្រង់ដែលទទួលបានខាងលើ៖

.

លើសពីនេះទៀតសម្រាប់ចំណុច M 1 យើងអាចសរសេរ:

.

ការដោះស្រាយសមីការទាំងនេះរួមគ្នា យើងទទួលបាន៖

.

នេះគឺជាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុចពីរក្នុងលំហ។

សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាសមីការនៃបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះពីរ។

ដូចដែលបានពិភាក្សាខាងលើ យន្តហោះក្នុងទម្រង់វ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ៖

+ D = 0, កន្លែងណា

- យន្តហោះធម្មតា; - វ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចបំពាននៃយន្តហោះ។

មេរៀនពីស៊េរី "ក្បួនដោះស្រាយធរណីមាត្រ"

ជំរាបសួរអ្នកអានជាទីស្រឡាញ់!

ថ្ងៃនេះយើងនឹងចាប់ផ្តើមរៀនក្បួនដោះស្រាយទាក់ទងនឹងធរណីមាត្រ។ ការពិតគឺថាមានបញ្ហា Olympiad ជាច្រើននៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រទាក់ទងនឹងធរណីមាត្រគណនា ហើយដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាបែបនេះច្រើនតែបង្កការលំបាក។

នៅក្នុងមេរៀនមួយចំនួន យើងនឹងពិចារណាលើបញ្ហារងបឋមមួយចំនួន ដែលដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាភាគច្រើននៃធរណីមាត្រគណនាគឺផ្អែកលើ។

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងសរសេរកម្មវិធីសម្រាប់ ការស្វែងរកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ការផ្តល់ឱ្យ ចំណុចពីរ. ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាធរណីមាត្រ យើងត្រូវការចំណេះដឹងខ្លះៗអំពីធរណីមាត្រគណនា។ យើងនឹងលះបង់ផ្នែកមួយនៃមេរៀន ដើម្បីស្គាល់ពួកគេ។

ព័ត៌មានពីធរណីមាត្រគណនា

ធរណីមាត្រគណនាគឺជាសាខានៃវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រដែលសិក្សាពីក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាធរណីមាត្រ។

ទិន្នន័យដំបូងសម្រាប់បញ្ហាបែបនេះអាចជាសំណុំនៃចំណុចនៅលើយន្តហោះ សំណុំនៃចម្រៀក ពហុកោណ (ឧទាហរណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយបញ្ជីនៃកំពូលរបស់វាតាមទ្រនិចនាឡិកា) ។ល។

លទ្ធផលអាចជាចម្លើយចំពោះសំណួរមួយចំនួន (ដូចជា តើចំណុចមួយជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែកមួយ ធ្វើផ្នែកពីរប្រសព្វគ្នា ... ) ឬវត្ថុធរណីមាត្រមួយចំនួន (ឧទាហរណ៍ ពហុកោណប៉ោងតូចបំផុតដែលភ្ជាប់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ តំបន់នៃ ពហុកោណ។ល។)។

យើងនឹងពិចារណាបញ្ហានៃធរណីមាត្រគណនាតែនៅលើយន្តហោះ និងនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian ប៉ុណ្ណោះ។

វ៉ិចទ័រនិងកូអរដោនេ

ដើម្បីអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃធរណីមាត្រគណនាវាចាំបាច់ដើម្បីបកប្រែរូបភាពធរណីមាត្រទៅជាភាសានៃលេខ។ យើងសន្មត់ថាប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesian ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះដែលទិសដៅនៃការបង្វិលច្រាសទ្រនិចនាឡិកាត្រូវបានគេហៅថាវិជ្ជមាន។

ឥឡូវនេះ វត្ថុធរណីមាត្រទទួលបានកន្សោមវិភាគ។ ដូច្នេះដើម្បីកំណត់ចំណុចមួយ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់កូអរដោនេរបស់វា៖ លេខគូ (x; y) ។ ផ្នែកមួយអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយបញ្ជាក់កូអរដោនេនៃចុងរបស់វា បន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយបញ្ជាក់កូអរដោណេនៃគូនៃចំនុចរបស់វា។

ប៉ុន្តែឧបករណ៍សំខាន់សម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហានឹងជាវ៉ិចទ័រ។ ដូច្នេះ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកអំពីព័ត៌មានមួយចំនួនអំពីពួកគេ។

ផ្នែកបន្ទាត់ ABដែលមានចំណុចមួយ។ ប៉ុន្តែពិចារណាការចាប់ផ្តើម (ចំណុចនៃការអនុវត្ត) និងចំណុច អេ- ចុងបញ្ចប់ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រ ABនិងតំណាងដោយអក្សរតូច ឬអក្សរដិត ជាឧទាហរណ៍ ក .

ដើម្បីសម្គាល់ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ (នោះគឺប្រវែងនៃផ្នែកដែលត្រូវគ្នា) យើងនឹងប្រើនិមិត្តសញ្ញាម៉ូឌុល (ឧទាហរណ៍ )។

វ៉ិចទ័រ​បំពាន​នឹង​មាន​កូអរដោនេ​ស្មើ​នឹង​ភាព​ខុស​គ្នា​រវាង​កូអរដោណេ​ដែល​ត្រូវ​គ្នា​នៃ​ចុង​និង​ដើម​របស់​វា៖

,

ចំណុចនៅទីនេះ កនិង ខ មានកូអរដោនេ រៀងគ្នា។

សម្រាប់ការគណនាយើងនឹងប្រើគំនិត មុំតម្រង់ទិសនោះគឺមុំដែលគិតគូរពីទីតាំងដែលទាក់ទងនៃវ៉ិចទ័រ។

មុំតម្រង់ទិសរវាងវ៉ិចទ័រ ក និង ខ វិជ្ជមានប្រសិនបើការបង្វិលនៅឆ្ងាយពីវ៉ិចទ័រ ក ទៅវ៉ិចទ័រ ខ ត្រូវបានធ្វើក្នុងទិសដៅវិជ្ជមាន (ច្រាសទ្រនិចនាឡិកា) និងអវិជ្ជមាននៅក្នុងករណីផ្សេងទៀត។ សូមមើល fig.1a, fig.1b ។ គេ​និយាយ​ដែរ​ថា វ៉ិចទ័រ​មួយ​គូ ក និង ខ ទិសដៅវិជ្ជមាន (អវិជ្ជមាន) ។

ដូច្នេះ តម្លៃ​នៃ​មុំ​តម្រង់​ទិស​អាស្រ័យ​លើ​លំដាប់​នៃ​ការ​រាប់​វ៉ិចទ័រ ហើយ​អាច​យក​តម្លៃ​ក្នុង​ចន្លោះ​ពេល។

បញ្ហាធរណីមាត្រគណនាជាច្រើនប្រើគំនិតនៃវ៉ិចទ័រ (skew ឬ pseudoscalar) ផលិតផលនៃវ៉ិចទ័រ។

ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ a និង b គឺជាផលិតផលនៃប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ និងស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា៖

.

ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រក្នុងកូអរដោណេ៖

កន្សោមខាងស្តាំគឺជាកត្តាកំណត់លំដាប់ទីពីរ៖

មិនដូចនិយមន័យដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងធរណីមាត្រវិភាគទេ នេះគឺជាមាត្រដ្ឋាន។

សញ្ញានៃផលិតផលឈើឆ្កាងកំណត់ទីតាំងនៃវ៉ិចទ័រដែលទាក់ទងគ្នាទៅវិញទៅមក:

ក និង ខ តម្រង់ទិសវិជ្ជមាន។

ប្រសិនបើតម្លៃគឺ នោះគូនៃវ៉ិចទ័រ ក និង ខ តម្រង់ទិសអវិជ្ជមាន។

ផលិតផលឈើឆ្កាងនៃវ៉ិចទ័រមិនសូន្យគឺសូន្យប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែពួកវាជាគូ ( ) នេះមានន័យថាពួកគេដេកនៅលើបន្ទាត់ដូចគ្នាឬនៅលើបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល។

ចូរយើងពិចារណាកិច្ចការសាមញ្ញមួយចំនួនដែលចាំបាច់សម្រាប់ដោះស្រាយកិច្ចការដែលស្មុគស្មាញជាងនេះ។

ចូរកំណត់សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយកូអរដោនេនៃពីរចំណុច។

សមីការ​នៃ​បន្ទាត់​ត្រង់​កាត់​តាម​ចំណុច​ពីរ​ផ្សេង​គ្នា​ដែល​ផ្តល់​ឱ្យ​ដោយ​កូអរដោនេ​របស់​វា។

សូម​ឱ្យ​ចំណុច​មិន​ស្រប​គ្នា​ពីរ​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​នៅ​លើ​បន្ទាត់៖ ជាមួយ​កូអរដោណេ (x1; y1) និង​ជាមួយ​កូអរដោណេ (x2; y2) ។ ដូច្នោះ​ហើយ វ៉ិចទ័រ​ដែល​មាន​ដើម​ត្រង់​ចំណុច និង​ចុង​ត្រង់​ចំណុច​មាន​កូអរដោណេ (x2-x1, y2-y1)។ ប្រសិនបើ P(x, y) គឺជាចំណុចបំពាននៅលើបន្ទាត់របស់យើង នោះកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រគឺ (x-x1, y - y1) ។

ដោយមានជំនួយពីផលិតផលឈើឆ្កាងលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រហើយអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:

ទាំងនោះ។ (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

យើងសរសេរសមីការចុងក្រោយឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

អ័ក្ស + ដោយ + គ = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

ដូច្នេះបន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការនៃទម្រង់ (1) ។

កិច្ចការ 1. កូអរដោនេនៃចំណុចពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ស្វែងរកតំណាងរបស់វាក្នុងទម្រង់ ax + ដោយ + c = 0 ។

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងបានស្គាល់ព័ត៌មានមួយចំនួនពីធរណីមាត្រគណនា។ យើងបានដោះស្រាយបញ្ហានៃការស្វែងរកសមីការនៃបន្ទាត់ដោយកូអរដោនេនៃចំណុចពីរ។

នៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់ យើងនឹងសរសេរកម្មវិធីមួយដើម្បីស្វែងរកចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរដែលផ្តល់ដោយសមីការរបស់យើង។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងធរណីមាត្រ Euclidean ។

មាន​បន្ទាត់​ជា​ច្រើន​ដែល​មិន​ចេះ​ចប់​ដែល​អាច​គូស​តាម​ចំណុច​ណា​មួយ​បាន។

តាម​រយៈ​ចំណុច​មិន​ស្រប​គ្នា​ពីរ​ណា​មួយ មាន​តែ​បន្ទាត់​ត្រង់​មួយ។

បន្ទាត់មិនស្របគ្នាពីរនៅក្នុងយន្តហោះ ប្រសព្វគ្នានៅចំណុចតែមួយ ឬជា

ប៉ារ៉ាឡែល (ធ្វើតាមពីមួយមុន) ។

នៅក្នុងលំហបីវិមាត្រ មានជម្រើសបីសម្រាប់ទីតាំងដែលទាក់ទងនៃបន្ទាត់ពីរ៖

• បន្ទាត់ប្រសព្វ;

• បន្ទាត់ត្រង់គឺស្របគ្នា;

• បន្ទាត់ត្រង់ប្រសព្វ។

ត្រង់ បន្ទាត់- ខ្សែកោងពិជគណិតនៃលំដាប់ទីមួយ៖ នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian ជាបន្ទាត់ត្រង់

ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះដោយសមីការនៃដឺក្រេទីមួយ (សមីការលីនេអ៊ែរ) ។

សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់។

និយមន័យ. បន្ទាត់ណាមួយនៅក្នុងយន្តហោះអាចត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការលំដាប់ទីមួយ

Ah + Wu + C = 0,

និងថេរ ក, ខមិនស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយ។ សមីការលំដាប់ទីមួយនេះត្រូវបានគេហៅថា ទូទៅ

សមីការបន្ទាត់ត្រង់។អាស្រ័យលើតម្លៃនៃថេរ ក, ខនិង ជាមួយករណីពិសេសខាងក្រោមអាចធ្វើទៅបាន៖

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- បន្ទាត់ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (ដោយ + C = 0)- បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស អូ

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស អូ

. B = C = 0, A ≠ 0- បន្ទាត់ស្របគ្នានឹងអ័ក្ស អូ

. A = C = 0, B ≠ 0- បន្ទាត់ស្របគ្នានឹងអ័ក្ស អូ

សមីការ​នៃ​បន្ទាត់​ត្រង់​អាច​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ក្នុង​ទម្រង់​ផ្សេង​គ្នា​អាស្រ័យ​លើ​ការ​ផ្តល់​ឱ្យ

លក្ខខណ្ឌដំបូង។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។

និយមន័យ. នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ Cartesian វ៉ិចទ័រដែលមានសមាសធាតុ (A, B)

កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ដែលផ្តល់ដោយសមីការ

Ah + Wu + C = 0 ។

ឧទាហរណ៍. ស្វែងរកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ A(1, 2)កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ (3, -1).

ការសម្រេចចិត្ត. ចូរសរសេរនៅ A \u003d 3 និង B \u003d -1 សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់៖ 3x - y + C \u003d 0 ។ ដើម្បីរកមេគុណ C

យើងជំនួសកូអរដោនេនៃចំនុច A ទៅក្នុងកន្សោមលទ្ធផល។ យើងទទួលបាន៖ 3 - 2 + C = 0 ដូច្នេះ

គ = -១. សរុប៖ សមីការដែលចង់បាន៖ 3x - y - 1 \u003d 0 ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ពីរចំណុច។

សូម​ឱ្យ​ពិន្ទុ​ពីរ​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ក្នុង​លំហ M 1 (x 1 , y 1 , z 1)និង M2 (x 2, y 2, z 2),បន្ទាប់មក សមីការបន្ទាត់ត្រង់,

ឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងនេះ៖

ប្រសិនបើភាគបែងណាមួយស្មើនឹងសូន្យនោះ ភាគបែងដែលត្រូវគ្នាគួរតែត្រូវបានកំណត់ឱ្យស្មើសូន្យ។ នៅ​លើ

យន្តហោះ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលសរសេរខាងលើត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖

ប្រសិនបើ x 1 ≠ x 2និង x = x ១, ប្រសិនបើ x 1 = x 2 .

ប្រភាគ = គបានហៅ កត្តាជម្រាល ត្រង់.

ឧទាហរណ៍. រកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុច A(1,2) និង B(3,4)។

ការសម្រេចចិត្ត. អនុវត្តរូបមន្តខាងលើយើងទទួលបាន៖

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយចំណុចមួយ និងជម្រាលមួយ។

ប្រសិនបើសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ Ah + Wu + C = 0នាំយកទៅទម្រង់:

និងកំណត់ បន្ទាប់មកសមីការលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយជម្រាល k ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់លើចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រដឹកនាំ។

ដោយភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយនឹងចំណុចដែលពិចារណាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់តាមរយៈវ៉ិចទ័រធម្មតា អ្នកអាចបញ្ចូលកិច្ចការ

បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

និយមន័យ. រាល់វ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាសូន្យ (α 1 , α 2)សមាសធាតុដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ

Aα 1 + Bα 2 = 0បានហៅ វ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់។

Ah + Wu + C = 0 ។

ឧទាហរណ៍. រកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយវ៉ិចទ័រទិសដៅ (1, -1) ហើយឆ្លងកាត់ចំណុច A(1, 2) ។

ការសម្រេចចិត្ត. យើងនឹងរកមើលសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលចង់បានក្នុងទម្រង់៖ អ័ក្ស + ដោយ + C = 0 ។យោងតាមនិយមន័យ

មេគុណត្រូវតែបំពេញលក្ខខណ្ឌ៖

1 * A + (-1) * B = 0, i.e. ក = ខ។

បន្ទាប់មកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មានទម្រង់៖ អ័ក្ស + Ay + C = 0,ឬ x + y + C / A = 0 ។

នៅ x=1, y=2យើង​ទទួល​បាន គ/ក = -៣, i.e. សមីការដែលចង់បាន៖

x + y − 3 = 0

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក។

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ Ah + Wu + C = 0 C≠0 បន្ទាប់មកបែងចែកដោយ -C យើងទទួលបាន៖

ឬ កន្លែងណា

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃមេគុណគឺ មេគុណ a គឺជាកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វ

ត្រង់ជាមួយអ័ក្ស អូក ខ- កូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ជាមួយអ័ក្ស អូ.

ឧទាហរណ៍. សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ x − y + 1 = 0 ។ស្វែងរកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះនៅក្នុងផ្នែក។

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d ១.

សមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់។

ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរនៃសមីការ Ah + Wu + C = 0ចែកដោយលេខ ដែលត្រូវបានគេហៅថា

កត្តាធ្វើឱ្យធម្មតា។បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន

xcosφ + ysinφ - p = 0 -សមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់.

សញ្ញា ± នៃកត្តាធម្មតាត្រូវតែត្រូវបានជ្រើសរើសដូច្នេះ μ * គ< 0.

រ- ប្រវែងកាត់កាត់ពីដើមទៅបន្ទាត់

ក φ - មុំបង្កើតដោយកាត់កែងនេះជាមួយនឹងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស អូ។

ឧទាហរណ៍. ផ្តល់សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ 12x − 5y − 65 = 0. តម្រូវឱ្យសរសេរសមីការប្រភេទផ្សេងៗ

បន្ទាត់ត្រង់នេះ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះនៅក្នុងផ្នែក:

សមីការនៃបន្ទាត់នេះជាមួយនឹងជម្រាល: (ចែកនឹង 5)

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់:

cos φ = 12/13; sin φ= −5/13; p=5 ។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាមិនមែនគ្រប់បន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានតំណាងដោយសមីការនៅក្នុងផ្នែកទេឧទាហរណ៍បន្ទាត់ត្រង់។

ស្របទៅនឹងអ័ក្ស ឬឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។

មុំរវាងបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ។

និយមន័យ. ប្រសិនបើបន្ទាត់ពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2បន្ទាប់មកមុំស្រួចរវាងបន្ទាត់ទាំងនេះ

នឹងត្រូវបានកំណត់ថាជា

បន្ទាត់ពីរគឺស្របគ្នាប្រសិនបើ k 1 = k 2. បន្ទាត់ពីរគឺកាត់កែង

ប្រសិនបើ k 1 \u003d -1 / k 2 .

ទ្រឹស្តីបទ.

ផ្ទាល់ Ah + Wu + C = 0និង A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0គឺស្របគ្នានៅពេលដែលមេគុណមានសមាមាត្រ

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. ប្រសិនបើផងដែរ។ С 1 \u003d λСបន្ទាប់មកបន្ទាត់ស្របគ្នា។ សំរបសំរួលនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរ

ត្រូវបានរកឃើញជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការនៃបន្ទាត់ទាំងនេះ។

សមីការនៃបន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

និយមន័យ. បន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ M 1 (x 1, y 1)និងកាត់កែងទៅបន្ទាត់ y = kx + b

តំណាងដោយសមីការ៖

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់មួយ។

ទ្រឹស្តីបទ. ប្រសិនបើចំណុចមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ M(x 0, y 0),បន្ទាប់មកចម្ងាយទៅបន្ទាត់ Ah + Wu + C = 0បានកំណត់ថា:

ភស្តុតាង. សូមឱ្យចំណុច M 1 (x 1, y 1)- មូលដ្ឋាននៃកាត់កែងបានធ្លាក់ចុះពីចំណុច មសម្រាប់ការផ្តល់ឱ្យ

ផ្ទាល់។ បន្ទាប់មកចម្ងាយរវាងចំណុច មនិង ម ១:

(1)

កូអរដោនេ x ១និង ១អាចត្រូវបានរកឃើញជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ៖

សមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធគឺជាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M 0 កាត់កែង

បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើយើងបំប្លែងសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់៖

A(x − x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + ដោយ 0 + C = 0,

បន្ទាប់មក ដំណោះស្រាយ យើងទទួលបាន៖

ការជំនួសកន្សោមទាំងនេះទៅជាសមីការ (១) យើងរកឃើញ៖

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

សមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ គឺជាសមីការដែលកំណត់បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យស្របគ្នាទៅនឹងវ៉ិចទ័រទិសដៅមួយ។

សូមអោយចំនុចមួយ និងវ៉ិចទ័រទិសដៅត្រូវបានផ្តល់។ ចំណុចបំពានស្ថិតនៅលើបន្ទាត់មួយ។ លីត្រលុះត្រាតែវ៉ិចទ័រ និងជាគូ ពោលគឺពួកវាបំពេញលក្ខខណ្ឌ៖

.

សមីការខាងលើគឺជាសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់។

លេខ ម , ននិង ទំគឺជាការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅទៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ។ ដោយសារវ៉ិចទ័រមិនមែនជាសូន្យ ដូច្នេះលេខទាំងអស់។ ម , ននិង ទំមិនអាចជាសូន្យក្នុងពេលតែមួយបានទេ។ ប៉ុន្តែមួយឬពីរក្នុងចំណោមពួកគេអាចជាសូន្យ។ ជាឧទាហរណ៍ ក្នុងធរណីមាត្រវិភាគ សញ្ញាណខាងក្រោមត្រូវបានអនុញ្ញាត៖

,

ដែលមានន័យថាការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រនៅលើអ័ក្ស អូនិង អុកគឺស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នេះ ទាំងវ៉ិចទ័រ និងបន្ទាត់ត្រង់ដែលផ្តល់ដោយសមីការ Canonical គឺកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស អូនិង អុកឧ. យន្តហោះ yOz .

ឧទាហរណ៍ ១ផ្សំសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ និងឆ្លងកាត់ចំណុចប្រសព្វនៃយន្តហោះនេះជាមួយនឹងអ័ក្ស អុក .

ការសម្រេចចិត្ត។ រកចំណុចប្រសព្វនៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយអ័ក្ស អុក. ចាប់តាំងពីចំណុចណាមួយនៅលើអ័ក្ស អុក, មានកូអរដោណេ , បន្ទាប់មក សន្មត់ថានៅក្នុងសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃយន្តហោះ x=y= 0 យើងទទួលបាន 4 z- ៨ = ០ ឬ z= ២. ដូច្នេះចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយអ័ក្ស អុកមានកូអរដោនេ (0; 0; 2) ។ ដោយសារបន្ទាត់ដែលចង់បានគឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ វាស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រធម្មតារបស់វា។ ដូច្នេះវ៉ិចទ័រធម្មតាអាចបម្រើជាវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ត្រង់ យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឥឡូវនេះយើងសរសេរសមីការដែលចង់បាននៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច ក= (0; 0; 2) ក្នុងទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ៖

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរ

បន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានកំណត់ដោយចំណុចពីរនៅលើវា។ និង ក្នុង​ករណី​នេះ វ៉ិចទ័រ​នៃ​បន្ទាត់​ត្រង់​អាច​ជា​វ៉ិចទ័រ។ បន្ទាប់មកសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់យកទម្រង់

.

សមីការខាងលើកំណត់បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឧទាហរណ៍ ២សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហដែលឆ្លងកាត់ចំនុច និង .

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងសរសេរសមីការដែលចង់បាននៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងទម្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើក្នុងសេចក្តីយោងទ្រឹស្តី៖

.

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក បន្ទាត់ដែលចង់បានគឺកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស អូ .

ត្រង់ជាបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះ

បន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងលំហអាចត្រូវបានកំណត់ថាជាបន្ទាត់ប្រសព្វនៃប្លង់មិនស្របគ្នាពីរ ហើយឧ. ជាសំណុំនៃចំនុចដែលបំពេញប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរពីរ។

សមីការនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅផងដែរថាសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ។

ឧទាហរណ៍ ៣បង្កើតសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅក្នុងលំហដែលផ្តល់ដោយសមីការទូទៅ

ការសម្រេចចិត្ត។ ដើម្បីសរសេរសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ ឬអ្វីដូចគ្នា សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យ អ្នកត្រូវស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំនុចទាំងពីរនៅលើបន្ទាត់ត្រង់។ ពួកវាអាចជាចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ ដែលមានប្លង់កូអរដោនេពីរ yOzនិង xOz .

ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ជាមួយយន្តហោះ yOzមាន abscissa x= 0 ។ ដូច្នេះការសន្មត់នៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃសមីការនេះ។ x= 0 យើងទទួលបានប្រព័ន្ធដែលមានអថេរពីរ៖

ការសម្រេចចិត្តរបស់នាង y = 2 , z= 6 រួមគ្នាជាមួយ x= 0 កំណត់ចំណុចមួយ។ ក(0; 2; 6) នៃបន្ទាត់ដែលចង់បាន។ សន្មតថាបន្ទាប់មកនៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ y= 0 យើងទទួលបានប្រព័ន្ធ

ការសម្រេចចិត្តរបស់នាង x = -2 , z= 0 រួមគ្នាជាមួយ y= 0 កំណត់ចំណុចមួយ។ ខ(-2; 0; 0) ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដែលមានយន្តហោះ xOz .

ឥឡូវនេះយើងសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុច ក(0; 2; 6) និង ខ (-2; 0; 0) :

,

ឬបន្ទាប់ពីចែកភាគបែងដោយ -2:

,

អត្ថបទនេះបន្តប្រធានបទនៃសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយនៅលើយន្តហោះ៖ យើងនឹងពិចារណាប្រភេទនៃសមីការដូចជាសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ ចូរកំណត់ទ្រឹស្តីបទមួយ ហើយផ្តល់ភស្តុតាងរបស់វា។ ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើសមីការទូទៅមិនពេញលេញនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាអ្វី និងរបៀបធ្វើការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការទូទៅទៅប្រភេទសមីការផ្សេងទៀតនៃបន្ទាត់ត្រង់។ យើងនឹងបង្រួបបង្រួមទ្រឹស្ដីទាំងមូលជាមួយនឹងការបង្ហាញ និងដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែង។

Yandex.RTB R-A-339285-1

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធកូអរដោនេរាងចតុកោណ O x y ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ។

ទ្រឹស្តីបទ ១

សមីការណាមួយនៃសញ្ញាបត្រទីមួយដែលមានទម្រង់ A x + B y + C \u003d 0 ដែល A, B, C គឺជាចំនួនពិតមួយចំនួន (A និង B មិនស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយ) កំណត់បន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុង ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលរាងចតុកោណនៅលើយន្តហោះ។ នៅក្នុងវេនបន្ទាត់ណាមួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណនៅលើយន្តហោះត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការដែលមានទម្រង់ A x + B y + C = 0 សម្រាប់សំណុំជាក់លាក់នៃតម្លៃ A, B, C ។

ភស្តុតាង

ទ្រឹស្តីបទនេះមានពីរចំណុច យើងនឹងបញ្ជាក់អំពីពួកវានីមួយៗ។

1. ចូរយើងបង្ហាញថាសមីការ A x + B y + C = 0 កំណត់បន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ។

សូម​ឲ្យ​មាន​ចំណុច​មួយ​ចំនួន M 0 (x 0 , y 0) ដែល​កូអរដោនេ​ត្រូវ​គ្នា​នឹង​សមីការ A x + B y + C = 0 ។ ដូចនេះ៖ A x 0 + B y 0 + C = 0 ។ ដកពីផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការ A x + B y + C \u003d 0 ផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការ A x 0 + B y 0 + C \u003d 0 យើងទទួលបានសមីការថ្មីដែលមើលទៅដូចជា A (x − x 0) + B (y − y 0) = 0 ។ វាស្មើនឹង A x + B y + C = 0 ។

សមីការលទ្ធផល A (x − x 0) + B (y − y 0) = 0 គឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់កាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រ n → = (A, B) និង M 0 M → = (x − x 0, y - y 0) ។ ដូច្នេះ​សំណុំ​នៃ​ចំណុច M (x, y) កំណត់​ក្នុង​ប្រព័ន្ធ​កូអរដោណេ​ចតុកោណ​ជា​បន្ទាត់​ត្រង់​កាត់​កែង​ទៅ​ទិស​នៃ​វ៉ិចទ័រ n → = (A, B) ។ យើងអាចសន្មត់ថាវាមិនដូច្នោះទេ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រ n → = (A, B) និង M 0 M → = (x − x 0, y − y 0) នឹងមិនកាត់កែងទេ ហើយសមភាព A (x − x 0) + B (y - y 0) = 0 មិនពិតទេ។

ដូច្នេះសមីការ A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 កំណត់បន្ទាត់ជាក់លាក់មួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណនៅលើយន្តហោះ ហើយដូច្នេះសមីការសមមូល A x + B y + C \u003d 0 កំណត់បន្ទាត់ដូចគ្នា។ ដូច្នេះ យើង​បាន​បង្ហាញ​ពី​ផ្នែក​ដំបូង​នៃ​ទ្រឹស្តីបទ។

1. អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាបន្ទាត់ត្រង់ណាមួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណនៅលើយន្តហោះអាចត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការនៃដឺក្រេទីមួយ A x + B y + C = 0 ។

ចូរកំណត់បន្ទាត់ត្រង់ a នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណនៅលើយន្តហោះ។ ចំណុច M 0 (x 0 , y 0) ដែលតាមរយៈបន្ទាត់នេះឆ្លងកាត់ ក៏ដូចជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់នេះ n → = (A , B) ។

អនុញ្ញាតឱ្យមានចំណុចមួយចំនួន M (x , y) - ចំណុចអណ្តែតនៃបន្ទាត់។ ក្នុងករណីនេះ វ៉ិចទ័រ n → = (A , B) និង M 0 M → = (x − x 0 , y - y 0) កាត់កែងទៅគ្នាទៅវិញទៅមក ហើយផលិតផលមាត្រដ្ឋានរបស់វាគឺសូន្យ៖

n → , M 0 M → = A (x − x 0) + B (y − y 0) = 0

ចូរយើងសរសេរសមីការ A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 កំណត់ C: C = - A x 0 - B y 0 ហើយចុងក្រោយទទួលបានសមីការ A x + B y + C = 0 ។

ដូច្នេះ យើង​បាន​ធ្វើ​ការ​បញ្ជាក់​ផ្នែក​ទីពីរ​នៃ​ទ្រឹស្តីបទ ហើយ​យើង​បាន​បង្ហាញ​ទ្រឹស្តីបទ​ទាំងមូល។

និយមន័យ ១

សមីការដែលមើលទៅដូច A x + B y + C = 0 - នេះ។ សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណអូ x y ។

ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទដែលបានបញ្ជាក់ យើងអាចសន្និដ្ឋានបានថា បន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណថេរ និងសមីការទូទៅរបស់វាត្រូវបានភ្ជាប់គ្នាដោយ inextricably ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត បន្ទាត់ដើមត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការទូទៅរបស់វា; សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវគ្នាទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

វាក៏ធ្វើតាមពីភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទដែលថាមេគុណ A និង B សម្រាប់អថេរ x និង y គឺជាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ A x + B y + C = 0 ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍ជាក់លាក់នៃសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

អនុញ្ញាតឱ្យសមីការ 2 x + 3 y - 2 = 0 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ វ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់នេះគឺជាវ៉ិចទ័រ n → = (2 , 3) ​​​​។ គូរបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងគំនូរ។

ខាងក្រោមនេះក៏អាចប្រកែកបានដែរ៖ បន្ទាត់ត្រង់ដែលយើងឃើញក្នុងគំនូរត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការទូទៅ 2 x + 3 y - 2 = 0 ចាប់តាំងពីកូអរដោនេនៃចំណុចទាំងអស់នៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការនេះ។

យើងអាចទទួលបានសមីការ λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 ដោយគុណទាំងសងខាងនៃសមីការបន្ទាត់ត្រង់ទូទៅដោយចំនួនមិនសូន្យ λ ។ សមីការលទ្ធផលគឺស្មើនឹងសមីការទូទៅដើម ដូច្នេះវានឹងពណ៌នាអំពីបន្ទាត់ដូចគ្នានៅក្នុងយន្តហោះ។

និយមន័យ ២

បំពេញសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់- សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ A x + B y + C \u003d 0 ដែលលេខ A, B, C គឺមិនមែនសូន្យ។ បើមិនដូច្នោះទេសមីការគឺ មិនពេញលេញ.

ចូរយើងវិភាគការប្រែប្រួលទាំងអស់នៃសមីការទូទៅមិនពេញលេញនៃបន្ទាត់ត្រង់។

1. នៅពេល A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 សមីការទូទៅក្លាយជា B y + C \u003d 0 ។ សមីការទូទៅមិនពេញលេញបែបនេះកំណត់បន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ O x y ដែលស្របទៅនឹងអ័ក្ស O x ចាប់តាំងពីសម្រាប់តម្លៃពិតនៃ x អថេរ y នឹងយកតម្លៃ - គ. ម្យ៉ាងវិញទៀត សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ A x + B y + C \u003d 0 នៅពេល A \u003d 0, B ≠ 0 កំណត់ទីតាំងនៃចំនុច (x, y) ដែលកូអរដោនេគឺស្មើនឹងលេខដូចគ្នា - គ.
2. ប្រសិនបើ A \u003d 0, B ≠ 0, C \u003d 0 សមីការទូទៅក្លាយជា y \u003d 0 ។ សមីការមិនពេញលេញបែបនេះកំណត់អ័ក្ស x O x ។
3. នៅពេល A ≠ 0, B \u003d 0, C ≠ 0 យើងទទួលបានសមីការទូទៅមិនពេញលេញ A x + C \u003d 0 ដោយកំណត់បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស y ។
4. អនុញ្ញាតឱ្យ A ≠ 0, B \u003d 0, C \u003d 0 បន្ទាប់មកសមីការទូទៅមិនពេញលេញនឹងយកទម្រង់ x \u003d 0 ហើយនេះគឺជាសមីការនៃបន្ទាត់កូអរដោនេ O y ។
5. ទីបំផុតនៅពេលដែល A ≠ 0, B ≠ 0, C \u003d 0 សមីការទូទៅមិនពេញលេញទទួលបានទម្រង់ A x + B y \u003d 0 ។ ហើយសមីការនេះពិពណ៌នាអំពីបន្ទាត់ត្រង់ដែលឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។ ជាការពិតណាស់ លេខគូ (0 , 0) ត្រូវគ្នាទៅនឹងសមភាព A x + B y = 0 ចាប់តាំងពី A · 0 + B · 0 = 0 ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញក្រាហ្វិកប្រភេទខាងលើទាំងអស់នៃសមីការទូទៅមិនពេញលេញនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

ឧទាហរណ៍ ១

វាត្រូវបានគេដឹងថាបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស y ហើយឆ្លងកាត់ចំណុច 2 7 , - 11 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ការសម្រេចចិត្ត

បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស y ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការនៃទម្រង់ A x + C \u003d 0 ដែលក្នុងនោះ A ≠ 0 ។ លក្ខខណ្ឌក៏បញ្ជាក់ពីកូអរដោនេនៃចំណុចដែលបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ ហើយកូអរដោនេនៃចំណុចនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងលក្ខខណ្ឌនៃសមីការទូទៅមិនពេញលេញ A x + C = 0 , i.e. សមភាពគឺត្រឹមត្រូវ៖

A 2 7 + C = 0

វាអាចទៅរួចដើម្បីកំណត់ C ពីវាដោយផ្តល់ឱ្យ A តម្លៃដែលមិនមែនជាសូន្យឧទាហរណ៍ A = 7 ។ ក្នុងករណីនេះយើងទទួលបាន៖ 7 2 7 + C \u003d 0 ⇔ C \u003d - 2 ។ យើងស្គាល់មេគុណ A និង C ជំនួសវាទៅក្នុងសមីការ A x + C = 0 ហើយទទួលបានសមីការដែលត្រូវការនៃបន្ទាត់៖ 7 x − 2 = 0

ចម្លើយ៖ 7 x − 2 = 0

ឧទាហរណ៍ ២

គំនូរបង្ហាញពីបន្ទាត់ត្រង់មួយ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការរបស់វា។

ការសម្រេចចិត្ត

គំនូរដែលបានផ្តល់ឱ្យអនុញ្ញាតឱ្យយើងងាយស្រួលយកទិន្នន័យដំបូងសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហា។ យើង​ឃើញ​ក្នុង​គំនូរ​ថា​បន្ទាត់​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឲ្យ​ស្រប​នឹង​អ័ក្ស​ O x ហើយ​កាត់​តាម​ចំណុច (0 , 3) ​​​។

បន្ទាត់ត្រង់ដែលស្របទៅនឹង abscissa ត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការទូទៅមិនពេញលេញ B y + С = 0 ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃ B និង C ។ កូអរដោនេនៃចំណុច (0, 3) ចាប់តាំងពីបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យឆ្លងកាត់វានឹងបំពេញសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ B y + С = 0 បន្ទាប់មកសមភាពមានសុពលភាព: В · 3 + С = 0 ។ ចូរកំណត់ B ទៅតម្លៃមួយចំនួនក្រៅពីសូន្យ។ ចូរនិយាយថា B \u003d 1 ក្នុងករណីនេះពីសមភាព B · 3 + C \u003d 0 យើងអាចរកឃើញ C: C \u003d - 3 ។ ដោយប្រើតម្លៃដែលស្គាល់នៃ B និង C យើងទទួលបានសមីការដែលត្រូវការនៃបន្ទាត់ត្រង់: y - 3 = 0 ។

ចម្លើយ៖ y − 3 = 0 ។

សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃយន្តហោះ

អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យឆ្លងកាត់ចំណុច M 0 (x 0, y 0) បន្ទាប់មកកូអរដោនេរបស់វាត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ i.e. សមភាពគឺពិត៖ A x 0 + B y 0 + C = 0 ។ ដកផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការនេះចេញពីផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការពេញលេញទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់។ យើងទទួលបាន៖ A (x − x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0 សមីការនេះគឺស្មើនឹងសញ្ញាទូទៅដើម ឆ្លងកាត់ចំនុច M 0 (x 0, y 0) ហើយមាន វ៉ិចទ័រធម្មតា n → \u003d (A, B) ។

លទ្ធផលដែលយើងទទួលបានធ្វើឱ្យវាអាចសរសេរសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់សម្រាប់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់ និងកូអរដោនេនៃចំណុចជាក់លាក់នៃបន្ទាត់ត្រង់នេះ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ផ្តល់ចំណុច M 0 (- 3, 4) ដែលបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ និងវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់នេះ n → = (1 , − 2) ។ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ការសម្រេចចិត្ត

លក្ខខណ្ឌដំបូងអនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលបានទិន្នន័យចាំបាច់សម្រាប់ការចងក្រងសមីការ៖ A \u003d 1, B \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d ៤. បន្ទាប់មក៖

A (x − x 0) + B (y − y 0) = 0 ⇔ 1 (x − (− 3)) - 2 y (y − 4) = 0 ⇔ ⇔ x − 2 y + 22 = 0

បញ្ហាអាចត្រូវបានដោះស្រាយខុសគ្នា។ សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មានទម្រង់ A x + B y + C = 0 ។ វ៉ិចទ័រធម្មតាដែលបានផ្តល់ឱ្យអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានតម្លៃនៃមេគុណ A និង B បន្ទាប់មក៖

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x − 2 y + C = 0 ⇔ x − 2 y + C = 0

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកតម្លៃនៃ C ដោយប្រើចំណុច M 0 (- 3, 4) ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាដែលតាមរយៈបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់។ កូអរដោនេនៃចំណុចនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការ x − 2 · y + C = 0 , i.e. - 3 - 2 4 + C \u003d 0 ។ ដូច្នេះ C = 11 ។ សមីការបន្ទាត់ត្រង់ដែលត្រូវការមានទម្រង់៖ x − 2 · y + 11 = 0 ។

ចម្លើយ៖ x − 2 y + 11 = 0 ។

ឧទាហរណ៍ 4

ដែលបានផ្តល់ឱ្យបន្ទាត់ 2 3 x - y - 1 2 = 0 និងចំណុច M 0 ដេកលើបន្ទាត់នេះ។ មានតែ abscissa នៃចំណុចនេះត្រូវបានគេដឹងហើយវាស្មើនឹង - 3 ។ វាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់ការចាត់តាំងនៃចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរ​កំណត់​ការ​កំណត់​កូអរដោនេ​នៃ​ចំណុច M 0 ជា x 0 និង y 0 ។ ទិន្នន័យដំបូងបង្ហាញថា x 0 \u003d - 3 ។ ដោយសារចំនុចនេះជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់មួយ នោះកូអរដោនេរបស់វាត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់នេះ។ បន្ទាប់មកសមភាពខាងក្រោមនឹងក្លាយជាការពិត៖

2 3 x 0 − y 0 − 1 2 = 0

កំណត់ y 0 : 2 3 ( − 3 ) - y 0 − 1 2 = 0 ⇔ − 5 2 − y 0 = 0 ⇔ y 0 = − 5 2

ចម្លើយ៖ - 5 2

ការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ទៅប្រភេទផ្សេងទៀតនៃសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងច្រាសមកវិញ

ដូចដែលយើងដឹងមានប្រភេទជាច្រើននៃសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នានៅក្នុងយន្តហោះ។ ជម្រើសនៃប្រភេទនៃសមីការអាស្រ័យលើលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា; វាអាចទៅរួចក្នុងការជ្រើសរើសមួយដែលងាយស្រួលជាងសម្រាប់ដំណោះស្រាយរបស់វា។ នេះគឺជាកន្លែងដែលជំនាញនៃការបំប្លែងសមីការនៃប្រភេទមួយទៅជាសមីការនៃប្រភេទមួយផ្សេងទៀតគឺមានប្រយោជន៍ណាស់។

ជាដំបូង សូមពិចារណាពីការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការទូទៅនៃទម្រង់ A x + B y + C = 0 ទៅសមីការ Canonical x − x 1 a x = y − y 1 a y ។

ប្រសិនបើ A ≠ 0 នោះយើងផ្ទេរពាក្យ B y ទៅខាងស្តាំនៃសមីការទូទៅ។ នៅផ្នែកខាងឆ្វេងយើងយក A ចេញពីតង្កៀប។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន៖ A x + C A = − B y ។

សមភាពនេះអាចសរសេរជាសមាមាត្រ៖ x + C A - B = y A ។

ប្រសិនបើ B ≠ 0 យើងទុកតែពាក្យ A x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការទូទៅ យើងផ្ទេរអ្នកផ្សេងទៀតទៅខាងស្តាំ យើងទទួលបាន៖ A x \u003d - B y - C ។ យើងដក - B ចេញពីតង្កៀបបន្ទាប់មក៖ A x \u003d - B y + C B ។

ចូរសរសេរឡើងវិញនូវសមភាពជាសមាមាត្រ៖ x − B = y + C B A ។

ជាការពិតណាស់ មិនចាំបាច់ទន្ទេញរូបមន្តលទ្ធផលនោះទេ។ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងពីក្បួនដោះស្រាយនៃសកម្មភាពកំឡុងពេលផ្លាស់ប្តូរពីសមីការទូទៅទៅ Canonical មួយ។

ឧទាហរណ៍ ៥

សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ 3 y - 4 = 0 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ វាត្រូវតែបំប្លែងទៅជាសមីការ Canonical។

ការសម្រេចចិត្ត

យើងសរសេរសមីការដើមជា 3 y - 4 = 0 ។ បន្ទាប់​មក យើង​ធ្វើ​តាម​ក្បួន​ដោះស្រាយ៖ ពាក្យ 0 x នៅ​ខាង​ឆ្វេង។ ហើយនៅផ្នែកខាងស្តាំយើងយកចេញ - 3 ចេញពីតង្កៀប; យើងទទួលបាន៖ 0 x = − 3 y − 4 3 ។

ចូរសរសេរសមភាពលទ្ធផលជាសមាមាត្រ៖ x − 3 = y − 4 3 0 ។ ដូច្នេះហើយ យើងបានទទួលសមីការនៃទម្រង់ Canonical ។

ចម្លើយ៖ x − 3 = y − 4 3 0.

ដើម្បីបំប្លែងសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ទៅជាប៉ារ៉ាម៉ែត ទីមួយ ការផ្លាស់ប្តូរទៅជាទម្រង់ Canonical ត្រូវបានអនុវត្ត ហើយបន្ទាប់មកការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ទៅជាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

ឧទាហរណ៍ ៦

បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ 2 x − 5 y − 1 = 0 ។ សរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់នេះ។

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរយើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការទូទៅទៅ Canonical មួយ៖

2 x − 5 y − 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

ឥឡូវនេះ ចូរយើងយកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ Canonical លទ្ធផលស្មើនឹង λ បន្ទាប់មក៖

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = − 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

ចម្លើយ៖x = 5 λ y = − 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

សមីការទូទៅអាចបំប្លែងទៅជាសមីការបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានជម្រាល y = k x + b ប៉ុន្តែនៅពេល B ≠ 0 ប៉ុណ្ណោះ។ សម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរនៅខាងឆ្វេងយើងទុកពាក្យ B y នៅសល់ត្រូវបានផ្ទេរទៅខាងស្តាំ។ យើងទទួលបាន៖ B y = - A x - C ។ ចូរបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពលទ្ធផលដោយ B ដែលខុសពីសូន្យ៖ y = - A B x - C B ។

ឧទាហរណ៍ ៧

សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖ 2 x + 7 y = 0 ។ អ្នកត្រូវបំប្លែងសមីការនោះទៅជាសមីការជម្រាល។

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរយើងអនុវត្តសកម្មភាពចាំបាច់យោងទៅតាមក្បួនដោះស្រាយ៖

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y − 2 x ⇔ y = − 2 7 x

ចម្លើយ៖ y = − 2 7 x ។

ពីសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីគ្រាន់តែទទួលបានសមីការនៅក្នុងផ្នែកនៃទម្រង់ x a + y b = 1 ។ ដើម្បីធ្វើការផ្លាស់ប្តូរបែបនេះ យើងផ្ទេរលេខ C ទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពលទ្ធផលដោយ - С ហើយចុងក្រោយផ្ទេរមេគុណសម្រាប់អថេរ x និង y ទៅភាគបែង៖

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

ឧទាហរណ៍ ៨

វាចាំបាច់ក្នុងការបំប្លែងសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ x − 7 y + 1 2 = 0 ទៅជាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាចម្រៀក។

ការសម្រេចចិត្ត

ចូររំកិល 1 2 ទៅខាងស្តាំ៖ x − 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x − 7 y = − 1 2 ។

ចែកដោយ −1/2 ទាំងសងខាងនៃសមីការ៖ x − 7 y = − 1 2 ⇔ 1 − 1 2 x − 7 − 1 2 y = 1 ។

ចម្លើយ៖ x − 1 2 + y 1 14 = 1 ។

ជាទូទៅការផ្លាស់ប្តូរបញ្ច្រាសក៏មានភាពងាយស្រួលផងដែរ: ពីប្រភេទសមីការផ្សេងទៀតទៅទូទៅ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក និងសមីការដែលមានជម្រាលអាចត្រូវបានបម្លែងយ៉ាងងាយស្រួលទៅជាទូទៅមួយដោយគ្រាន់តែប្រមូលពាក្យទាំងអស់នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ៖

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y − 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

សមីការ Canonical ត្រូវ​បាន​បំប្លែង​ទៅ​ជា​ទូទៅ​តាម​គ្រោងការណ៍​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

x − x 1 a x = y − y 1 a y ⇔ a y (x − x 1) = a x (y − y 1) ⇔ ⇔ a y x − a x y − a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

ដើម្បីឆ្លងពីប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ការផ្លាស់ប្តូរទៅជា Canonical ត្រូវបានអនុវត្តដំបូង ហើយបន្ទាប់មកទៅទូទៅមួយ៖

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x − x 1 a x = y − y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

ឧទាហរណ៍ ៩

សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់ x = - 1 + 2 · λ y = 4 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់នេះ។

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរយើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរពីសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រទៅជា Canonical៖

x = − 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = − 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y − 4 0 ⇔ x + 1 2 = y − 4 0

ចូរផ្លាស់ទីពី Canonical ទៅទូទៅ៖

x + 1 2 = y − 4 0 ⇔ 0 (x + 1) = 2 (y − 4) ⇔ y − 4 = 0

ចម្លើយ៖ y − 4 = 0

ឧទាហរណ៍ 10

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក x 3 + y 1 2 = 1 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ វាចាំបាច់ដើម្បីអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរទៅជាទម្រង់ទូទៅនៃសមីការ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

ចូរយើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់ដែលត្រូវការ៖

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y − 1 = 0

ចម្លើយ៖ 1 3 x + 2 y − 1 = 0 ។

គូរសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់

ខាងលើ យើងបាននិយាយថាសមីការទូទៅអាចត្រូវបានសរសេរជាមួយនឹងកូអរដោណេដែលគេស្គាល់នៃវ៉ិចទ័រធម្មតា និងកូអរដោនេនៃចំណុចដែលបន្ទាត់ឆ្លងកាត់។ បន្ទាត់ត្រង់បែបនេះត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ។ នៅកន្លែងដដែលយើងបានវិភាគឧទាហរណ៍ដែលត្រូវគ្នា។

ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ស្មុគ្រស្មាញបន្ថែមទៀតដែលក្នុងនោះដំបូងវាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា។

ឧទាហរណ៍ 11

ផ្តល់បន្ទាត់ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ 2 x − 3 y + 3 3 = 0 ។ គេស្គាល់ផងដែរគឺចំណុច M 0 (4 , 1) ដែលបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យឆ្លងកាត់។ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ការសម្រេចចិត្ត

លក្ខខណ្ឌដំបូងប្រាប់យើងថាបន្ទាត់គឺស្របគ្នា បន្ទាប់មកជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ដែលសមីការត្រូវសរសេរ យើងយកវ៉ិចទ័រផ្ទាល់នៃបន្ទាត់ n → = (2, − 3): 2 x − 3 y + 3 3 = 0 ។ ឥឡូវនេះយើងដឹងពីទិន្នន័យចាំបាច់ទាំងអស់ដើម្បីសរសេរសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ៖

A (x − x 0) + B (y − y 0) = 0 ⇔ 2 (x − 4) − 3 (y − 1) = 0 ⇔ 2 x − 3 y − 5 = 0

ចម្លើយ៖ 2 x − 3 y − 5 = 0 ។

ឧទាហរណ៍ 12

បន្ទាត់​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​កាត់​តាម​ដើម​កាត់​កែង​ទៅ​នឹង​បន្ទាត់ x − 2 3 = y + 4 5 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ការសម្រេចចិត្ត

វ៉ិចទ័រធម្មតានៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងជាវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ x − 2 3 = y + 4 5 ។

បន្ទាប់មក n → = (3, 5) ។ បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម i.e. តាមរយៈចំណុច O (0, 0) ។ ចូរយើងចងក្រងសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ៖

A (x − x 0) + B (y − y 0) = 0 ⇔ 3 (x − 0) + 5 (y − 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

ចម្លើយ៖ 3 x + 5 y = 0 ។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter