ការប្រើប្រាស់សមីការគឺរីករាលដាលនៅក្នុងជីវិតរបស់យើង។ ពួកវាត្រូវបានប្រើក្នុងការគណនាជាច្រើនការសាងសង់រចនាសម្ព័ន្ធនិងសូម្បីតែកីឡា។ សមីការ​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើ​ដោយ​មនុស្ស​តាំង​ពី​សម័យ​បុរាណ ហើយ​ចាប់​តាំង​ពី​ពេល​នោះ​មក​ការ​ប្រើ​ប្រាស់​របស់​វា​មាន​តែ​កើន​ឡើង។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា សមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាងជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់គឺជារឿងធម្មតាណាស់។ ដើម្បីដោះស្រាយសមីការប្រភេទនេះ អ្នកត្រូវការ៖

កំណត់ឫសសនិទាននៃសមីការ;

បែងចែកពហុនាមដែលនៅខាងឆ្វេងនៃសមីការ;

ស្វែងរកឫសគល់នៃសមីការ។

ឧបមាថាយើងត្រូវបានផ្តល់សមីការ ប្រភេទដូចខាងក្រោម:

ចូរយើងស្វែងរកឫសពិតរបស់វា។ គុណផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការដោយ \

តោះផ្លាស់ប្តូរអថេរ \

ដូច្នេះហើយ យើងទទួលបានសមីការកាត់បន្ថយកម្រិតទីបួន ដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយយោងតាមក្បួនដោះស្រាយស្តង់ដារ៖ យើងពិនិត្យមើលផ្នែក អនុវត្តការបែងចែក ហើយជាលទ្ធផល យើងរកឃើញថាសមីការមានឫសពិតពីរ \ និងស្មុគស្មាញពីរ។ ទាំងឡាយ។ យើងទទួលបានចម្លើយដូចខាងក្រោមចំពោះសមីការរបស់យើងនៃសញ្ញាប័ត្រទីបួន៖

តើខ្ញុំអាចដោះស្រាយសមីការនៃអំណាចខ្ពស់លើអ៊ីនធឺណិតជាមួយនឹងអ្នកដោះស្រាយនៅឯណា?

អ្នកអាចដោះស្រាយសមីការនៅលើគេហទំព័ររបស់យើង https:// site. កម្មវិធីដោះស្រាយតាមអ៊ីនធឺណិតឥតគិតថ្លៃនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដោះស្រាយសមីការអនឡាញនៃភាពស្មុគស្មាញណាមួយក្នុងរយៈពេលប៉ុន្មានវិនាទី។ អ្វីដែលអ្នកត្រូវធ្វើគឺគ្រាន់តែបញ្ចូលទិន្នន័យរបស់អ្នកទៅក្នុងកម្មវិធីដោះស្រាយ។ អ្នកក៏អាចមើលការណែនាំជាវីដេអូ និងរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការនៅលើគេហទំព័ររបស់យើង។ ហើយប្រសិនបើអ្នកមានសំណួរណាមួយ អ្នកអាចសួរពួកគេនៅក្នុងក្រុម Vkontakte របស់យើង http://vk.com/pocketteacher ។ ចូលរួមជាមួយក្រុមរបស់យើង យើងតែងតែរីករាយក្នុងការជួយអ្នក។

វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ៖ n n n ការជំនួសសមីការ h(f(x)) = h(g(x)) ដោយសមីការ f(x) = g(x) កត្តាកំណត់។ សេចក្តីផ្តើមនៃអថេរថ្មី។ មុខងារ - វិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិក។ ការជ្រើសរើសឫស។ ការអនុវត្តរូបមន្ត Vieta ។

ការជំនួសសមីការ h(f(x)) = h(g(x)) ដោយសមីការ f(x) = g(x) ។ វិធីសាស្រ្តអាចត្រូវបានអនុវត្តតែនៅពេលដែល y = h(x) គឺជាអនុគមន៍ monotonic ដែលយកតម្លៃនីមួយៗរបស់វាម្តង។ ប្រសិនបើមុខងារគឺ nonmonotone នោះការបាត់បង់ឫសគឺអាចធ្វើទៅបាន។

ដោះស្រាយសមីការ (3 x + 2)²³ = (5 x − 9)²³ y = x ²³ បង្កើនមុខងារ ដូច្នេះពីសមីការ (3 x + 2)²³ = (5 x − 9)²³ អ្នកអាចទៅកាន់សមីការ 3 x + 2 \u003d 5 x - 9 ពីកន្លែងដែលយើងរកឃើញ x \u003d 5.5 ចម្លើយ៖ 5.5 ។

ការបំបែកឯកតា។ សមីការ f(x)g(x)h(x) = 0 អាចត្រូវបានជំនួសដោយសំណុំសមីការ f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = 0. ដោយបានដោះស្រាយសមីការនៃសំណុំនេះ អ្នកត្រូវយកឫសទាំងនោះដែលជាកម្មសិទ្ធិនៃដែននៃនិយមន័យនៃសមីការដើម ហើយបោះបង់ចោលនៅសល់ជា extraneous ។

ដោះស្រាយសមីការ x³ − 7 x + 6 = 0 តំណាងឲ្យពាក្យ 7 x ជា x + 6 x យើងទទួលបានតាមលំដាប់លំដោយ៖ x³ − x − 6 x + 6 = 0 x(x² − 1) - 6(x − 1) = 0 x (x − 1)(x + 1) - 6(x − 1) = 0 (x − 1)(x² + x − 6) = 0 ឥឡូវនេះបញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយដើម្បីដោះស្រាយសំណុំសមីការ x − 1 = 0; x² + x − 6 = 0. ចំលើយ៖ 1, 2, − 3 ។

សេចក្តីផ្តើមនៃអថេរថ្មី។ ប្រសិនបើសមីការ y(x) = 0 អាចបំប្លែងទៅជាទម្រង់ p(g(x))=0 នោះអ្នកត្រូវណែនាំអថេរថ្មី u=g(x) ដោះស្រាយសមីការ p(u)=0, ហើយបន្ទាប់មកដោះស្រាយសំណុំសមីការ g(x) = u 1; g(x) = u2; … ; g(x) = un , ដែល u 1, u 2, … , un គឺជាឫសគល់នៃសមីការ p(u) = 0 ។

ដោះស្រាយសមីការ លក្ខណៈពិសេសមួយនៃសមីការនេះគឺសមភាពនៃមេគុណនៃផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វា ដែលសមមូលពីចុងរបស់វា។ សមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាទៅវិញទៅមក។ ដោយសារ 0 មិនមែនជាឫសគល់នៃសមីការនេះ ចែកដោយ x² ផ្តល់ឱ្យ

សូមណែនាំអថេរថ្មីមួយ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមីការរាងបួនជ្រុង ដូច្នេះឫស y 1 = − 1 អាចត្រូវបានមិនអើពើ។ យើងទទួលបានចម្លើយ៖ ២, ០, ៥ ។

ដោះស្រាយសមីការ 6(x² - 4)² + 5(x² - 4)(x² - 7 x +12) + (x² - 7 x + 12)² = 0 សមីការនេះអាចដោះស្រាយបានដូចគ្នា។ ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ (x² - 7 x +12)² (វាច្បាស់ណាស់ថាតម្លៃ x ដូចនេះ x² - 7 x +12=0 មិនមែនជាដំណោះស្រាយទេ)។ ឥឡូវ​នេះ​សូម​បញ្ជាក់​ថា យើង​មាន​ពី​ទីនេះ ចម្លើយ៖

មុខងារ - វិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិក។ ប្រសិនបើមុខងារមួយ y \u003d f (x), y \u003d g (x) កើនឡើង ហើយមួយទៀតថយចុះ នោះសមីការ f (x) \u003d g (x) គ្មានឫស ឬមានឫសតែមួយ។

ដោះស្រាយសមីការ វាច្បាស់ណាស់ថា x = 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ។ ចូរយើងបញ្ជាក់ថានេះគឺជាឫសគល់តែមួយគត់។ យើងបំប្លែងសមីការទៅជាទម្រង់ យើងកត់សំគាល់ថាមុខងារកំពុងកើនឡើង ហើយមុខងារក៏ថយចុះ។ ដូច្នេះសមីការមានឫសតែមួយ។ ចម្លើយ៖ ២.

ការជ្រើសរើសឫស n n n ទ្រឹស្តីបទ 1: ប្រសិនបើចំនួនគត់ m ជាឫសនៃពហុនាមដែលមានមេគុណចំនួនគត់ នោះពាក្យថេរនៃពហុនាមត្រូវបែងចែកដោយ m ។ ទ្រឹស្តីបទ 2: ពហុធាដែលកាត់បន្ថយជាមួយមេគុណចំនួនគត់មិនមានឫសប្រភាគទេ។ ទ្រឹស្តីបទ 3: – សមីការជាមួយចំនួនគត់ អនុញ្ញាតឱ្យមេគុណ។ ប្រសិនបើចំនួន និងប្រភាគដែល p និង q ជាចំនួនគត់មិនអាចកាត់ថ្លៃបាន គឺជាឫសគល់នៃសមីការ នោះ p គឺជាអ្នកចែកនៃពាក្យសេរី a ហើយ q គឺជាអ្នកចែកមេគុណនៅពាក្យខ្ពស់បំផុត a 0 ។

ទ្រឹស្តីបទ Bezout ។ នៅសល់នៅពេលបែងចែកពហុនាមណាមួយដោយ binomial (x − a) គឺស្មើនឹងតម្លៃនៃពហុនាមដែលអាចបែងចែកបាននៅ x = a ។ ផលវិបាកនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout n n n n n ភាពខុសគ្នានៃអំណាចដូចគ្នាបេះបិទនៃចំនួនពីរគឺអាចបែងចែកបានដោយគ្មានសល់ដោយភាពខុសគ្នានៃចំនួនដូចគ្នា; ភាពខុសគ្នានៃអំណាចដូចគ្នាបេះបិទនៃចំនួនពីរគឺអាចបែងចែកបានដោយគ្មានសល់ទាំងពីរដោយភាពខុសគ្នានៃលេខទាំងនេះ និងដោយផលបូករបស់ពួកគេ; ភាពខុសគ្នានៃអំណាចសេសដូចគ្នាបេះបិទនៃចំនួនពីរគឺមិនអាចបែងចែកដោយផលបូកនៃលេខទាំងនេះទេ។ ផលបូកនៃអំណាចស្មើគ្នានៃចំនួនដែលមិនមែនជាលេខពីរ គឺអាចបែងចែកបានដោយភាពខុសគ្នានៃលេខទាំងនេះ។ ផលបូកនៃអំណាចសេសដូចគ្នាបេះបិទនៃចំនួនពីរគឺអាចបែងចែកដោយគ្មានសល់ដោយផលបូកនៃលេខទាំងនេះ។ ផលបូកនៃអំណាចដូចគ្នាបេះបិទនៃចំនួនពីរគឺមិនអាចបែងចែកបានដោយភាពខុសគ្នានៃលេខទាំងនេះ ឬដោយផលបូករបស់ពួកគេទេ។ ពហុនាម​ត្រូវ​បាន​បែងចែក​ដោយ​ទ្វេ​នាម (x − a) ប្រសិន​បើ​លេខ a ជា​ឫសគល់​នៃ​ពហុនាម​នេះ ចំនួនឫសផ្សេងគ្នានៃពហុធាមិនសូន្យគឺមិនលើសពីកំរិតរបស់វាទេ។

ដោះស្រាយសមីការ x³ − 5 x² − x + 21 = 0 ពហុធា x³ − 5 x² − x + 21 មានមេគុណចំនួនគត់។ តាមទ្រឹស្តីបទ 1 ឫសចំនួនគត់របស់វា បើមាន គឺស្ថិតក្នុងចំណោមការបែងចែកនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃ៖ ± 1, ± 3, ± 7, ± 21។ តាមរយៈការពិនិត្យ យើងត្រូវប្រាកដថាលេខ 3 គឺជាឫស។ តាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout ពហុធាត្រូវបានបែងចែកដោយ (x – 3) ។ ដូច្នេះ x³ - 5 x² - x + 21 \u003d (x - 3) (x² - 2 x - 7) ។ ចម្លើយ៖

ដោះស្រាយសមីការ 2 x³ − 5 x² − x + 1 = 0 យោងតាមទ្រឹស្តីបទ 1 មានតែលេខ ± 1 ប៉ុណ្ណោះដែលអាចជាចំនួនគត់ឫសនៃសមីការ។ ដោយសារសមីការមិនត្រូវបានកាត់បន្ថយ វាអាចមានឫសសនិទានប្រភាគ។ ចូរយើងស្វែងរកពួកគេ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះគុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ 4: 8 x³ − 20 x² − 4 x + 4 = 0 ដោយជំនួស 2 x = t យើងទទួលបាន t³ − 5 t² − 2 t + 4 = 0. ដោយ Terem 2, ឫសសនិទានទាំងអស់នៃសមីការកាត់បន្ថយនេះត្រូវតែទាំងមូល។ ពួកវាអាចត្រូវបានរកឃើញក្នុងចំណោមការបែងចែកនៃពាក្យថេរ៖ ± 1, ± 2, ± 4 ។ ក្នុងករណីនេះ t = − 1 គឺសមរម្យ។ ដូច្នេះពហុធា 2 x³ − 5 x² − x + 1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ (x + 0, 5): 2 x³ - 5 x² - x + 1 \u003d (x + 0, 5) (2 x² - 6 x + 2) ការដោះស្រាយសមីការការ៉េ 2 x² - 6 x + 2 \u003d 0 យើងរកឃើញ ឫសដែលនៅសល់៖ ចម្លើយ៖

ដោះស្រាយសមីការ 6 x³ + x² − 11 x − 6 = 0 យោងតាមទ្រឹស្តីបទ 3 ឫសសនិទាននៃសមីការនេះគួរតែត្រូវបានស្វែងរកក្នុងចំណោមលេខ។ ការជំនួសពួកគេម្តងមួយៗទៅក្នុងសមីការនោះ យើងឃើញថាពួកគេបំពេញសមីការ។ ពួកគេអស់ឫសគល់នៃសមីការ។ ចម្លើយ៖

រកផលបូកនៃការ៉េនៃឫសនៃសមីការ x³ + 3 x² − 7 x +1 = 0 ដោយទ្រឹស្តីបទ Vieta ចំណាំថាមកពីណា

បញ្ជាក់វិធីសាស្រ្តដែលសមីការនីមួយៗអាចដោះស្រាយបាន។ ដោះស្រាយសមីការលេខ 1, 4, 15, 17 ។

ចម្លើយ និងការណែនាំ៖ 1. ការណែនាំអំពីអថេរថ្មីមួយ។ 2. មុខងារ - វិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិក។ 3. ការជំនួសសមីការ h(f(x)) = h(g(x)) ដោយសមីការ f(x) = g(x) ។ 4. កត្តា។ 5. ការជ្រើសរើសឫស។ 6 មុខងារ - វិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិក។ 7. ការអនុវត្តរូបមន្ត Vieta ។ 8. ការជ្រើសរើសឫស។ 9. ការជំនួសសមីការ h(f(x)) = h(g(x)) ដោយសមីការ f(x) = g(x) ។ 10. ការណែនាំអំពីអថេរថ្មីមួយ។ 11. កត្តា។ 12. ការណែនាំអំពីអថេរថ្មីមួយ។ 13. ការជ្រើសរើសឫស។ 14. ការអនុវត្តរូបមន្ត Vieta ។ 15. មុខងារ - វិធីសាស្រ្តក្រាហ្វិក។ 16. កត្តា។ 17. ការណែនាំអំពីអថេរថ្មីមួយ។ 18. កត្តា។

1. ការណែនាំ។ សរសេរសមីការជា 4(x²+17 x+60)(x+16 x+60)=3 x² ចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ x² ។ បញ្ចូលចម្លើយអថេរ៖ x 1 = − 8; x 2 \u003d - 7, 5. 4. ការចង្អុលបង្ហាញ។ បន្ថែម 6 y និង - 6 y ទៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ហើយសរសេរវាជា (y³ - 2 y²) + (- 3 y² + 6 y) + (- 8 y + 16) = (y - 2)(y² - 3 y - ប្រាំបី) ។ ចម្លើយ៖

14. ការណែនាំ។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta ចាប់តាំងពី - ជាចំនួនគត់ ពេលនោះមានតែលេខ - 1, - 2, - 3 ប៉ុណ្ណោះដែលអាចជាឫសគល់នៃសមីការ។ ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ x² ហើយសរសេរជា Enter a variable Answer: 1; ដប់ប្រាំ; ២; ៣.

គន្ថនិទ្ទេស។ n n n Kolmogorov A. N. “ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ, 10–11” (M.: Prosveshchenie, 2003)។ Bashmakov M. I. "ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ, 10 - 11" (M.: Education, 1993) ។ Mordkovich A.G. "ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ, 10 - 11" (M.: Mnemozina, 2003) ។ Alimov Sh.A., Kolyagin Yu. M. et al. “ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ, ១០–១១” (M.: Prosveshchenie, 2000)។ Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. "ការប្រមូលបញ្ហានៅក្នុងពិជគណិត, 8 - 9" (M.: Education, 1997) ។ Karp A.P. "ការប្រមូលបញ្ហានៅក្នុងពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ, 10 - 11" (M.: Education, 1999)។ Sharygin I. F. "វគ្គសិក្សាជម្រើសក្នុងគណិតវិទ្យា ការដោះស្រាយបញ្ហា 10" (M.: Education. 1989)។ Skopets Z. A. “ជំពូកបន្ថែមក្នុងមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យា ១០” (M.: Education, 1974)។ Litinsky G.I. "មេរៀនក្នុងគណិតវិទ្យា" (ម៉ូស្គូ: Aslan, 1994) ។ Muravin G. K. "សមីការ វិសមភាព និងប្រព័ន្ធរបស់ពួកគេ" (គណិតវិទ្យា បន្ថែមលើកាសែត "ដំបូងនៃខែកញ្ញា" លេខ 2, 3, 2003) ។ Kolyagin Yu. M. "ពហុនាម និងសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង" (គណិតវិទ្យា បន្ថែមលើកាសែត "ដំបូងនៃខែកញ្ញា" លេខ 3, 2005) ។

Trifanova Marina Anatolievna
គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា កន្លែងហាត់ប្រាណ លេខ៤៨ (ពហុព័ត៌មាន)

គោលបំណងបីនៃមេរៀន:

ការអប់រំ៖
ការរៀបចំប្រព័ន្ធ និងចំណេះដឹងទូទៅលើការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងនេះ។
អភិវឌ្ឍន៍៖
ដើម្បីលើកកម្ពស់ការអភិវឌ្ឍន៍នៃការគិតឡូជីខល សមត្ថភាពក្នុងការធ្វើការដោយឯករាជ្យ ជំនាញនៃការគ្រប់គ្រងគ្នាទៅវិញទៅមក និងការគ្រប់គ្រងខ្លួនឯង សមត្ថភាពក្នុងការនិយាយ និងស្តាប់។
ការចិញ្ចឹមបីបាច់៖
ការអភិវឌ្ឍនៃទម្លាប់នៃការងារថេរ, ការអប់រំនៃការឆ្លើយតប, ការខិតខំប្រឹងប្រែង, ភាពត្រឹមត្រូវ។

ប្រភេទមេរៀន:

មេរៀនក្នុងការអនុវត្តរួមបញ្ចូលគ្នានៃចំណេះដឹង ជំនាញ និងសមត្ថភាព។

ទម្រង់មេរៀន:

ការផ្សាយ, នាទីរាងកាយ, ទម្រង់ផ្សេងៗនៃការងារ។

ឧបករណ៍៖

កំណត់ចំណាំយោង កាតភារកិច្ច ម៉ាទ្រីសត្រួតពិនិត្យមេរៀន។

ក្នុងអំឡុងពេលថ្នាក់

I. ពេលរៀបចំ

1. ផ្សព្វផ្សាយគោលបំណងនៃមេរៀនដល់សិស្ស។
2. ពិនិត្យកិច្ចការផ្ទះ (ឧបសម្ព័ន្ធទី ១)។ ធ្វើការជាមួយអរូបីជាមូលដ្ឋាន (ឧបសម្ព័ន្ធទី 2) ។

សមីការ និងចម្លើយសម្រាប់នីមួយៗត្រូវបានសរសេរនៅលើក្តារខៀន។ សិស្សពិនិត្យមើលចម្លើយ និងផ្តល់ការវិភាគសង្ខេបអំពីដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនីមួយៗ ឬឆ្លើយសំណួររបស់គ្រូ (ការស្ទង់មតិខាងមុខ)។ ការគ្រប់គ្រងខ្លួនឯង - សិស្សផ្តល់ឱ្យខ្លួនឯងនូវសញ្ញាណនិងប្រគល់សៀវភៅកត់ត្រាសម្រាប់ពិនិត្យមើលទៅគ្រូសម្រាប់ការកែតម្រូវសញ្ញាឬការយល់ព្រមរបស់ពួកគេ។ ថ្នាក់រៀនសរសេរនៅលើក្តារខៀន៖

"5+" - 6 សមីការ;
"5" - 5 សមីការ;
"4" - 4 សមីការ;
"3" - 3 សមីការ។

សំណួររបស់គ្រូសម្រាប់កិច្ចការផ្ទះ៖

1 សមីការ

1. តើអ្វីជាការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរនៅក្នុងសមីការ?
2. តើសមីការអ្វីដែលទទួលបានបន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរអថេរ?

2 សមីការ

1. តើពហុធាណាដែលបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ?
2. តើការជំនួសអថេរត្រូវបានទទួល?

3 សមីការ

1. តើពហុនាមអ្វីខ្លះដែលត្រូវគុណដើម្បីសម្រួលដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះ?

4 សមីការ

1. ដាក់ឈ្មោះមុខងារ f(x) ។
2. តើឫសផ្សេងទៀតត្រូវបានរកឃើញដោយរបៀបណា?

5 សមីការ

1. តើចន្លោះពេលប៉ុន្មានត្រូវបានទទួលដើម្បីដោះស្រាយសមីការ?

៦ សមីការ

1. តើសមីការនេះអាចដោះស្រាយដោយរបៀបណា?
2. តើដំណោះស្រាយមួយណាសមហេតុផលជាង?

II. ការងារជាក្រុមគឺជាផ្នែកសំខាន់នៃមេរៀន។

ថ្នាក់ត្រូវបានបែងចែកជា 4 ក្រុម។ ក្រុមនីមួយៗត្រូវបានផ្តល់កាតមួយដែលមានសំណួរទ្រឹស្តី និងជាក់ស្តែង (ឧបសម្ព័ន្ធទី 3)៖ "ផ្តាច់វិធីសាស្រ្តដែលបានស្នើឡើងសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការ ហើយពន្យល់វាដោយប្រើឧទាហរណ៍នេះ។"

1. ការងារជាក្រុម 15 នាទី។
2. ឧទាហរណ៍​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​នៅ​លើ​ក្ដារខៀន (ក្តារ​ត្រូវ​បាន​បែង​ចែក​ជា ៤ ផ្នែក)។
3. របាយការណ៍ក្រុមចំណាយពេល 2-3 នាទី។
4. គ្រូកែតម្រូវរបាយការណ៍របស់ក្រុម និងជួយក្នុងករណីមានការលំបាក។

ការងារជាក្រុមបន្តនៅលើសន្លឹកបៀលេខ 5 - 8 ។ សម្រាប់សមីការនីមួយៗ 5 នាទីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ការពិភាក្សាក្នុងក្រុម។ បន្ទាប់មកក្តារខៀនមានរបាយការណ៍ស្តីពីសមីការនេះ - ការវិភាគសង្ខេបនៃដំណោះស្រាយ។ សមីការប្រហែលជាមិនត្រូវបានដោះស្រាយទាំងស្រុងនោះទេ - វាត្រូវបានបញ្ចប់នៅផ្ទះ ប៉ុន្តែលំដាប់ទាំងមូលនៃដំណោះស្រាយរបស់វានៅក្នុងថ្នាក់ត្រូវបានពិភាក្សា។

III. ការងារឯករាជ្យ។ឧបសម្ព័ន្ធ ៤.

1. សិស្សម្នាក់ៗទទួលបានកិច្ចការផ្ទាល់ខ្លួន។
2. ការងារចំណាយពេល 20 នាទី។
3. 5 នាទីមុនចប់មេរៀន គ្រូផ្តល់ចំលើយចំហសម្រាប់សមីការនីមួយៗ។
4. សិស្សផ្លាស់ប្តូរសៀវភៅកត់ត្រាក្នុងរង្វង់មួយ ហើយពិនិត្យមើលចម្លើយជាមួយមិត្តភ័ក្តិ។ ការផ្តល់ចំណាត់ថ្នាក់។
5. សៀវភៅកត់ត្រាត្រូវបានប្រគល់ជូនគ្រូដើម្បីពិនិត្យ និងកែកម្រិតថ្នាក់។

IV. សេចក្តីសង្ខេបនៃមេរៀន។

កិច្ចការ​ផ្ទះ។

បំពេញដំណោះស្រាយនៃសមីការមិនពេញលេញ។ រៀបចំសម្រាប់ការកាត់ការត្រួតពិនិត្យ។

ការចាត់ថ្នាក់។

គោលដៅជាមូលដ្ឋាន៖

1. ដើម្បីបង្រួបបង្រួមគំនិតនៃសមីការសមហេតុផលចំនួនគត់នៃសញ្ញាបត្រទី។
2. បង្កើតវិធីសាស្រ្តសំខាន់ៗសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាង (n > 3).
3. ដើម្បីបង្រៀនវិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងនេះ។
4. ដើម្បីបង្រៀនដោយទម្រង់សមីការដើម្បីកំណត់វិធីដែលមានប្រសិទ្ធភាពបំផុតក្នុងការដោះស្រាយវា។

ទម្រង់ វិធីសាស្រ្ត និងបច្ចេកទេសគរុកោសល្យ ដែលគ្រូប្រើក្នុងថ្នាក់រៀន៖

• ប្រព័ន្ធបង្ហាត់បង្រៀន-សិក្ខាសាលា (ការបង្រៀន-ការពន្យល់អំពីសម្ភារៈថ្មីៗ សិក្ខាសាលា-ការដោះស្រាយបញ្ហា)។
• បច្ចេកវិទ្យាព័ត៌មាន និងទំនាក់ទំនង (ការស្ទង់មតិខាងមុខ ការងារផ្ទាល់មាត់ជាមួយថ្នាក់)។
• ការបណ្ដុះបណ្ដាលខុសគ្នា ទម្រង់ក្រុម និងបុគ្គល។
• ការប្រើប្រាស់វិធីសាស្រ្តស្រាវជ្រាវក្នុងការបង្រៀន ក្នុងគោលបំណងអភិវឌ្ឍឧបករណ៍គណិតវិទ្យា និងសមត្ថភាពផ្លូវចិត្តរបស់សិស្សម្នាក់ៗ។
• សម្ភារៈបោះពុម្ព - ​​សេចក្តីសង្ខេបបុគ្គលនៃមេរៀន (គោលគំនិត រូបមន្ត សេចក្តីថ្លែងការណ៍ សម្ភារៈបង្រៀនត្រូវបានបង្ហាប់ជាទម្រង់ដ្យាក្រាម ឬតារាង)។

ផែនការ​មេរៀន:

1. ពេលវេលារៀបចំ។
   គោលបំណងនៃដំណាក់កាល៖ ដើម្បីរួមបញ្ចូលសិស្សក្នុងសកម្មភាពសិក្សា ដើម្បីកំណត់ខ្លឹមសារនៃមេរៀន។
2. ការធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹងរបស់សិស្ស។
   គោលបំណងនៃវគ្គ៖ ដើម្បីធ្វើបច្ចុប្បន្នភាពចំណេះដឹងរបស់សិស្សលើប្រធានបទដែលពាក់ព័ន្ធដែលបានសិក្សាពីមុន
3. រៀនប្រធានបទថ្មី (ការបង្រៀន) ។ គោលបំណងនៃដំណាក់កាល៖ បង្កើតវិធីសាស្រ្តសំខាន់ៗសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាង (n > 3)
4. ការសង្ខេប។
   គោលបំណងនៃដំណាក់កាល៖ ដើម្បីបញ្ជាក់ម្តងទៀតនូវចំណុចសំខាន់ៗនៅក្នុងសម្ភារៈដែលបានសិក្សានៅក្នុងមេរៀន។
5. កិច្ចការ​ផ្ទះ។
   គោលបំណងនៃដំណាក់កាល៖ បង្កើតកិច្ចការផ្ទះសម្រាប់សិស្ស។

សង្ខេបមេរៀន

1. ពេលរៀបចំ។

ពាក្យនៃប្រធានបទនៃមេរៀន៖ "សមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង។ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ” ។

2. ការអនុវត្តចំណេះដឹងរបស់សិស្ស។

ការស្ទង់មតិទ្រឹស្តី - ការសន្ទនា។ ពាក្យដដែលៗនៃព័ត៌មានដែលបានសិក្សាពីមុនខ្លះពីទ្រឹស្តី។ សិស្សបង្កើតនិយមន័យជាមូលដ្ឋាន និងផ្តល់សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រឹស្តីបទចាំបាច់។ ឧទាហរណ៍ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែលបង្ហាញពីកម្រិតនៃចំណេះដឹងដែលទទួលបានពីមុន។

• គំនិតនៃសមីការដែលមានអថេរមួយ។
• គំនិតនៃឫសនៃសមីការ ដំណោះស្រាយនៃសមីការ។
• គោលគំនិតនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយអថេរមួយ គំនិតនៃសមីការការ៉េដែលមានអថេរមួយ។
• គំនិតនៃសមមូលនៃសមីការ, សមីការ - ផលវិបាក (គំនិតនៃឫសខាងក្រៅ) ការផ្លាស់ប្តូរមិនមែនដោយផលវិបាក (ករណីនៃការបាត់បង់ឫស) ។
• គំនិតនៃការបញ្ចេញមតិសមហេតុផលទាំងមូលជាមួយនឹងអថេរមួយ។
• គំនិតនៃសមីការសមហេតុផលទាំងមូល នសញ្ញាបត្រ។ ទម្រង់ស្តង់ដារនៃសមីការសនិទានភាពទាំងមូល។ កាត់បន្ថយសមីការសមហេតុសមផលទាំងមូល។
• ការផ្លាស់ប្តូរទៅជាសំណុំនៃសមីការនៃដឺក្រេទាបដោយកត្តាសមីការដើម។
• គំនិតនៃពហុនាម នសញ្ញាបត្រពី x. ទ្រឹស្តីបទ Bezout ។ ផលវិបាកពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Bezout ។ ទ្រឹស្តីបទឫសគល់ ( Z- ឫស និង សំណួរ-roots) នៃសមីការសមហេតុសមផលទាំងមូលជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់ (កាត់បន្ថយ និងមិនកាត់បន្ថយ រៀងគ្នា)។
• គ្រោងការណ៍របស់ Horner ។

3. រៀនប្រធានបទថ្មី។

យើងនឹងពិចារណាសមីការសមហេតុផលទាំងមូល ន th power នៃទម្រង់ស្តង់ដារជាមួយនឹងអថេរមិនស្គាល់មួយ។ x:Pn(x)= 0 កន្លែងណា P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0- ពហុនាម នសញ្ញាបត្រពី x, ក n ≠ 0 ។ ប្រសិនបើ ក ក n = 1 បន្ទាប់មកសមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាសមីការសមហេតុសមផលទាំងមូល នសញ្ញាបត្រ។ ចូរយើងពិចារណាសមីការបែបនេះសម្រាប់តម្លៃផ្សេងៗគ្នា នហើយរាយបញ្ជីវិធីសាស្រ្តសំខាន់ៗនៃដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេ។

ន= 1 គឺជាសមីការលីនេអ៊ែរ។

ន= 2 គឺជាសមីការការ៉េ។រូបមន្តរើសអើង។ រូបមន្តសម្រាប់គណនាឫស។ ទ្រឹស្តីបទរបស់វីតា។ ការជ្រើសរើសការ៉េពេញ។

ន= 3 គឺជាសមីការគូប។

វិធីសាស្រ្តនៃក្រុម។

ឧទាហរណ៍៖ x 3 – 4x 2 – x+ 4 = 0 (x − 4) ( x 2– 1) = 0 x 1 = 4 , x2 = 1,x 3 = -1.

សមីការគូបទៅវិញទៅមកនៃទម្រង់ ពូថៅ 3 + bx 2 + bx + ក= 0. យើងដោះស្រាយដោយការផ្សំពាក្យជាមួយនឹងមេគុណដូចគ្នា។

ឧទាហរណ៍៖ x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x 1 = -1, x 2 = 3 + 2, x 3 = 3 – 2.

ការជ្រើសរើសឫស Z ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទ។ គ្រោងការណ៍របស់ Horner ។ នៅពេលអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនេះ វាចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់ថាការរាប់បញ្ចូលក្នុងករណីនេះគឺកំណត់ ហើយយើងជ្រើសរើសឫសតាមក្បួនដោះស្រាយជាក់លាក់មួយដោយអនុលោមតាមទ្រឹស្តីបទនៅលើ Z-roots នៃសមីការសនិទានភាពទាំងមូលដែលបានកាត់បន្ថយជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់។

ឧទាហរណ៍៖ x 3 – 9x 2 + 23x– 15 = 0. សមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយ។ យើងសរសេរការបែងចែកនៃពាក្យសេរី ( + 1; + 3; + 5; + ដប់ប្រាំ) ។ តោះអនុវត្តគ្រោងការណ៍របស់ Horner៖

	x 3	x 2	x 1	x 0	ការសន្និដ្ឋាន
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 − 9 = −8	1 x (−8) + 23 = 15	1 x 15 − 15 = 0	1 - ឫស
	x 2	x 1	x 0

យើង​ទទួល​បាន ( x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.

សមីការជាមួយមេគុណចំនួនគត់។ ការជ្រើសរើសឫស Q ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទ។ គ្រោងការណ៍របស់ Horner ។ នៅពេលអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនេះ វាចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់ថាការរាប់បញ្ចូលក្នុងករណីនេះគឺកំណត់ហើយយើងជ្រើសរើសឫសតាមក្បួនដោះស្រាយជាក់លាក់មួយដោយអនុលោមតាមទ្រឹស្តីបទនៅលើ សំណួរ-roots នៃសមីការសនិទានភាពទាំងមូលដែលមិនបានកាត់បន្ថយជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់។

ឧទាហរណ៍៖ ៩ x 3 + 27x 2 – x– 3 = 0. សមីការមិនត្រូវបានកាត់បន្ថយទេ។ យើងសរសេរការបែងចែកនៃពាក្យសេរី ( + 1; + ៣). ចូរយើងសរសេរពីការបែងចែកនៃមេគុណនៅថាមពលខ្ពស់បំផុតនៃមិនស្គាល់។ ( + 1; + 3; + ៩) ដូច្នេះហើយ យើង​នឹង​ស្វែងរក​ឫសគល់​ក្នុង​ចំណោម​តម្លៃ ( + 1; + ; + ; + ៣). តោះអនុវត្តគ្រោងការណ៍របស់ Horner៖

	x 3	x 2	x 1	x 0	ការសន្និដ្ឋាន
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 − 1 = 35	1 x 35 − 3 = 32 ≠ 0	1 មិនមែនជាឫសទេ។
-1	9	−1 x 9 + 27 = 18	−1 x 18 − 1 = −19	−1 x (−19) − 3 = 16 ≠ 0	-1 មិនមែនជាឫសទេ។
	9	x9 + 27 = 30	x 30 − 1 = 9	x 9 − 3 = 0	ឫស
	x 2	x 1	x 0

យើង​ទទួល​បាន ( x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x 1 = , x 2 = - , x 3 = -3.

សម្រាប់ភាពងាយស្រួលនៃការគណនានៅពេលជ្រើសរើស Q - ឫសវាអាចមានភាពងាយស្រួលក្នុងការផ្លាស់ប្តូរអថេរ សូមចូលទៅកាន់សមីការខាងលើ ហើយកែតម្រូវ Z - ឫស.

• ប្រសិនបើស្ទាក់ចាប់គឺ 1

.

• ប្រសិនបើអាចប្រើការជំនួសទម្រង់ y=kx

.

រូបមន្ត Cardano ។ មានវិធីសាស្រ្តសកលសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការគូប - នេះគឺជារូបមន្ត Cardano ។ រូបមន្តនេះត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងឈ្មោះរបស់គណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី Gerolamo Cardano (1501–1576), Nicolo Tartaglia (1500–1557), Scipio del Ferro (1465–1526) ។ រូបមន្តនេះស្ថិតនៅក្រៅវិសាលភាពនៃវគ្គសិក្សារបស់យើង។

ន= 4 គឺជាសមីការនៃដឺក្រេទីបួន។

វិធីសាស្រ្តនៃក្រុម។

ឧទាហរណ៍៖ x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3) + (5x 2 + 10x) – (6x + 12) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x- 6) = 0 (x + 2)(x– 1)(x 2 + x + 6) = 0 x 1 = -2, x 2 = 1.

វិធីសាស្រ្តជំនួសអថេរ។

• សមីការ biquadratic នៃទម្រង់ ពូថៅ 4 + bx 2+ ស = 0 .

ឧទាហរណ៍៖ x 4 + 5x 2 - 36 = 0. ការជំនួស y = x២. ពី​ទីនេះ y 1 = 4, y២ = −៩. ដូច្នេះ x 1,2 = + 2 .

• សមីការទៅវិញទៅមកនៃដឺក្រេទីបួននៃទម្រង់ ពូថៅ 4 + bx 3+ គ x 2 + bx + ក = 0.

យើងដោះស្រាយដោយការផ្សំពាក្យជាមួយមេគុណដូចគ្នាដោយជំនួសទម្រង់

• ពូថៅ 4 + bx 3 + cx 2 – bx + ក = 0.

• សមីការថយក្រោយទូទៅនៃដឺក្រេទីបួននៃទម្រង់ ពូថៅ 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k2 a = 0.

• ការជំនួសទូទៅ។ ការជំនួសស្តង់ដារមួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍ ៣ . ការជំនួសទិដ្ឋភាពទូទៅ(ធ្វើតាមទម្រង់នៃសមីការជាក់លាក់មួយ)។

ន = 3.

សមីការជាមួយមេគុណចំនួនគត់។ ការជ្រើសរើសឫស Q ន = 3.

រូបមន្តទូទៅ។ មានវិធីសាស្រ្តសកលសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការនៃសញ្ញាបត្រទីបួន។ រូបមន្តនេះត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងឈ្មោះរបស់ Ludovico Ferrari (1522-1565) ។ រូបមន្តនេះស្ថិតនៅក្រៅវិសាលភាពនៃវគ្គសិក្សារបស់យើង។

ន > 5 - សមីការនៃដឺក្រេទីប្រាំនិងខ្ពស់ជាងនេះ។

សមីការជាមួយមេគុណចំនួនគត់។ ការជ្រើសរើសឫស Z ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទ។ គ្រោងការណ៍របស់ Horner ។ ក្បួនដោះស្រាយគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងអ្វីដែលបានពិភាក្សាខាងលើសម្រាប់ ន = 3.

សមីការជាមួយមេគុណចំនួនគត់។ ការជ្រើសរើសឫស Qផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទ។ គ្រោងការណ៍របស់ Horner ។ ក្បួនដោះស្រាយគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងអ្វីដែលបានពិភាក្សាខាងលើសម្រាប់ ន = 3.

សមីការស៊ីមេទ្រី។ សមីការគ្នាទៅវិញទៅមកនៃសញ្ញាបត្រសេសមានឫសគល់ x= -1 ហើយ​បន្ទាប់​ពី​បំបែក​វា​ទៅ​ជា​កត្តា យើង​ទទួល​បាន​ថា​កត្តា​មួយ​មាន​ទម្រង់ ( x+ 1) ហើយកត្តាទីពីរគឺសមីការទៅវិញទៅមកនៃដឺក្រេគូ (ដឺក្រេរបស់វាគឺតិចជាងមួយដឺក្រេនៃសមីការដើម)។ សមីការគ្នាទៅវិញទៅមកនៃដឺក្រេគូ រួមជាមួយនឹងឫសនៃទម្រង់ x = φក៏មានឫសនៃទម្រង់ផងដែរ។ ដោយប្រើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទាំងនេះ យើងដោះស្រាយបញ្ហាដោយបន្ថយកម្រិតនៃសមីការដែលកំពុងសិក្សា។

វិធីសាស្រ្តជំនួសអថេរ។ ការប្រើប្រាស់ភាពដូចគ្នា។

មិនមានរូបមន្តទូទៅសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការដឺក្រេទីប្រាំទាំងមូលទេ (នេះត្រូវបានបង្ហាញដោយគណិតវិទូអ៊ីតាលី Paolo Ruffini (1765–1822) និងគណិតវិទូន័រវេស Nils Henrik Abel (1802–1829)) និងអំណាចខ្ពស់ជាង (នេះត្រូវបានបង្ហាញដោយជនជាតិបារាំង គណិតវិទូ Evariste Galois (១៨១១-១៨៣២))។

• សូមរំលឹកម្តងទៀតថានៅក្នុងការអនុវត្តវាអាចទៅរួចក្នុងការប្រើប្រាស់ បន្សំវិធីសាស្រ្តដែលបានរាយខាងលើ។ វាងាយស្រួលក្នុងការឆ្លងទៅសំណុំនៃសមីការនៃដឺក្រេទាបដោយ កត្តានៃសមីការដើម.
• នៅខាងក្រៅវិសាលភាពនៃការពិភាក្សារបស់យើងនាពេលបច្ចុប្បន្ននេះ មានការប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការអនុវត្ត វិធីសាស្រ្តក្រាហ្វិកការដោះស្រាយសមីការ និង វិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយប្រហាក់ប្រហែលសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង។
• មានស្ថានភាពនៅពេលដែលសមីការមិនមាន R-roots ។
បន្ទាប់​មក​ដំណោះ​ស្រាយ​ចុះ​មក​ដើម្បី​បង្ហាញ​ថា​សមីការ​មិន​មាន​ឬស​។ ដើម្បីបញ្ជាក់រឿងនេះ យើងវិភាគឥរិយាបថនៃមុខងារដែលបានពិចារណាលើចន្លោះពេលនៃ monotonicity ។ ឧទាហរណ៍៖ សមីការ x 8 – x 3 + 1 = 0 មិនមានឫសទេ។
• ការប្រើប្រាស់លក្ខណៈ monotonicity នៃមុខងារ
. មានស្ថានភាពនៅពេលដែលការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិផ្សេងៗនៃមុខងារអនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្រួលកិច្ចការ។
ឧទាហរណ៍ 1: សមីការ x 5 + 3x- 4 = 0 មានឫសមួយ។ x= 1. ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិនៃ monotonicity នៃអនុគមន៍ដែលបានវិភាគគឺមិនមានឫសផ្សេងទៀតទេ។
ឧទាហរណ៍ទី 2: សមីការ x 4 + (x– 1) 4 = 97 មានឫស x 1 = -2 និង x 2 = 3. ដោយបានវិភាគឥរិយាបថនៃមុខងារដែលត្រូវគ្នានៅលើចន្លោះពេលនៃ monotonicity យើងសន្និដ្ឋានថាមិនមានឫសផ្សេងទៀតទេ។

4. សង្ខេប។

សេចក្តីសង្ខេប៖ ឥឡូវនេះយើងបានស្ទាត់ជំនាញវិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការផ្សេងៗនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង (សម្រាប់ n > ៣). ភារកិច្ចរបស់យើងគឺរៀនពីរបៀបប្រើក្បួនដោះស្រាយខាងលើឱ្យមានប្រសិទ្ធភាព។ អាស្រ័យលើប្រភេទនៃសមីការ យើងនឹងត្រូវរៀនពីរបៀបដើម្បីកំណត់ថាវិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយមួយណាមានប្រសិទ្ធភាពបំផុតក្នុងករណីនេះ ក៏ដូចជាអនុវត្តឱ្យបានត្រឹមត្រូវនូវវិធីសាស្ត្រដែលបានជ្រើសរើសផងដែរ។

5. កិច្ចការផ្ទះ។

៖ ធាតុទី 7 ទំព័រ 164–174 លេខ 33–36, 39–44, 46,47 ។

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

ប្រធានបទដែលអាចកើតមាននៃរបាយការណ៍ ឬអរូបីលើប្រធានបទនេះ៖

• រូបមន្ត Cardano
• វិធីសាស្រ្តក្រាហ្វិកសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ។
• វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដំណោះស្រាយប្រហាក់ប្រហែលនៃសមីការ។

ការវិភាគលើការរួមផ្សំនៃសម្ភារៈ និងការចាប់អារម្មណ៍របស់សិស្សលើប្រធានបទ៖

បទពិសោធន៍បង្ហាញថាចំណាប់អារម្មណ៍របស់សិស្សនៅក្នុងកន្លែងដំបូងគឺលទ្ធភាពនៃការជ្រើសរើស Z- ឫស និង សំណួរ-roots នៃសមីការដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយសាមញ្ញដោយយុត្តិធម៌ដោយប្រើគ្រោងការណ៍របស់ Horner ។ សិស្សក៏ចាប់អារម្មណ៍លើប្រភេទស្តង់ដារផ្សេងៗនៃការជំនួសអថេរ ដែលអាចជួយសម្រួលដល់ប្រភេទនៃបញ្ហា។ វិធីសាស្រ្តក្រាហ្វិកនៃដំណោះស្រាយជាធម្មតាមានការចាប់អារម្មណ៍ជាពិសេស។ ក្នុងករណីនេះ អ្នកក៏អាចញែកកិច្ចការទៅជាវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិកសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ។ ពិភាក្សាអំពីទិដ្ឋភាពទូទៅនៃក្រាហ្វសម្រាប់ពហុនាមនៃ 3, 4, 5 ដឺក្រេ; វិភាគពីរបៀបដែលចំនួនឫសនៃសមីការនៃ 3, 4, 5 ដឺក្រេទាក់ទងទៅនឹងប្រភេទនៃក្រាហ្វដែលត្រូវគ្នា។ ខាងក្រោមនេះគឺជាបញ្ជីសៀវភៅដែលអ្នកអាចស្វែងរកព័ត៌មានបន្ថែមអំពីប្រធានបទនេះ។

គន្ថនិទ្ទេស៖

1. Vilenkin N.Ya.ល។ “ពិជគណិត។ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់សិស្សថ្នាក់ទី 9 ជាមួយនឹងការសិក្សាស៊ីជម្រៅនៃគណិតវិទ្យា” - M., Education, 2007 - 367 p.
2. Vilenkin N.Ya., Shibasov L.P., Shibasova Z.F.“នៅពីក្រោយទំព័រនៃសៀវភៅសិក្សាគណិតវិទ្យា។ នព្វន្ធ។ ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី 10-11” – M., Enlightenment, 2008 – 192 ទំ។
3. Vygodsky M.Ya."សៀវភៅដៃគណិតវិទ្យា" - M., AST, 2010 - 1055 ទំ។
4. Galitsky M.L."ការប្រមូលបញ្ហានៅក្នុងពិជគណិត។ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ថ្នាក់ទី 8-9 ជាមួយនឹងការសិក្សាស៊ីជម្រៅនៃគណិតវិទ្យា” - M., Education, 2008 - 301 p.
5. Zvavich L.I. et al "ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ។ ៨-១១ កោសិកា សៀវភៅណែនាំសម្រាប់សាលារៀន និងថ្នាក់រៀនដែលមានការសិក្សាស៊ីជម្រៅអំពីគណិតវិទ្យា” - M., Drofa, 1999 - 352 p.
6. Zvavich L.I., Averyanov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N.“កិច្ចការ​ក្នុង​គណិតវិទ្យា​ដើម្បី​ត្រៀម​ប្រឡង​សរសេរ​នៅ​ថ្នាក់​ទី ៩” - M., Education, 2007 - 112 p.
7. Ivanov A.A., Ivanov A.P.“ការ​ធ្វើ​តេស្ត​តាម​ប្រធានបទ​សម្រាប់​ការ​ធ្វើ​ជា​ប្រព័ន្ធ​នៃ​ចំណេះដឹង​ក្នុង​គណិតវិទ្យា” ផ្នែក​ទី 1 - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 p.
8. Ivanov A.A., Ivanov A.P.“ការ​ធ្វើ​តេស្ត​តាម​ប្រធានបទ​សម្រាប់​ការ​ធ្វើ​ប្រព័ន្ធ​នៃ​ចំណេះដឹង​ក្នុង​គណិតវិទ្យា” ផ្នែក​ទី ២ - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 p.
9. Ivanov A.P.“ តេស្តនិងតេស្តក្នុងគណិតវិទ្យា។ មេរៀន "។ - M. , Fizmatkniga, 2008 - 304 ទំ។
10. Leibson K.L."ការប្រមូលកិច្ចការជាក់ស្តែងក្នុងគណិតវិទ្យា។ ផ្នែកទី 2–9 ថ្នាក់” – M., MTsNMO, 2009 – 184 ទំ។
11. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G."ពិជគណិត។ ជំពូកបន្ថែមសម្រាប់សៀវភៅសិក្សាថ្នាក់ទី៩។ សៀវភៅ​សិក្សា​សម្រាប់​សិស្ស​សាលា និង​ថ្នាក់​ដែល​មាន​ការ​សិក្សា​ស៊ីជម្រៅ​លើ​គណិតវិទ្យា»។ - M. , ការអប់រំ, 2006 - 224 ទំ។
12. Mordkovich A.G."ពិជគណិត។ ការសិក្សាស៊ីជម្រៅ។ ថ្នាក់ទី ៨ ។ សៀវភៅសិក្សា” – M., Mnemosyne, 2006 – 296 ទំ។
13. សាវិន A.P.«វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយរបស់គណិតវិទូវ័យក្មេង» - អិម, គរុកោសល្យ ឆ្នាំ ១៩៨៥ - ៣៥២ ទំ។
14. Survillo G.S., Simonov A.S.“សម្ភារសិក្សាលើពិជគណិតសម្រាប់ថ្នាក់ទី 9 ជាមួយនឹងការសិក្សាស៊ីជម្រៅនៃគណិតវិទ្យា” - M., Education, 2006 - 95 p.
15. Chulkov P.V.“សមីការ និងវិសមភាពក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យា។ ការបង្រៀន 1–4” – M., ទីមួយនៃខែកញ្ញា ឆ្នាំ 2006 – 88 ទំ។
16. Chulkov P.V.“សមីការ និងវិសមភាពក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យា។ ការបង្រៀន ៥–៨” – អិម, ទីមួយនៃខែកញ្ញា ឆ្នាំ ២០០៩ – ៨៤ ទំ។

ជាទូទៅ សមីការដែលមានសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាង 4 មិនអាចដោះស្រាយជារ៉ាឌីកាល់បានទេ។ ប៉ុន្តែពេលខ្លះយើងនៅតែអាចរកឃើញឫសនៃពហុនាមនៅខាងឆ្វេងក្នុងសមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់បំផុត ប្រសិនបើយើងតំណាងឱ្យវាជាផលគុណនៃពហុនាមក្នុងដឺក្រេមិនលើសពី 4 ។ ដំណោះស្រាយនៃសមីការបែបនេះគឺផ្អែកលើការរលាយនៃពហុធាទៅជាកត្តា ដូច្នេះយើងណែនាំអ្នកឱ្យពិនិត្យមើលប្រធានបទនេះមុនពេលសិក្សាអត្ថបទនេះ។

ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ មួយត្រូវដោះស្រាយជាមួយនឹងសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាងជាមួយនឹងមេគុណចំនួនគត់។ នៅក្នុងករណីទាំងនេះ យើងអាចព្យាយាមស្វែងរកឫសសនិទាន ហើយធ្វើកត្តាពហុធា ដូច្នេះយើងអាចបំប្លែងវាទៅជាសមីការនៃដឺក្រេទាប ដែលនឹងងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយ។ នៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃសម្ភារៈនេះយើងនឹងពិចារណាគ្រាន់តែជាឧទាហរណ៍បែបនេះ។

Yandex.RTB R-A-339285-1

សមីការដឺក្រេខ្ពស់ជាមួយមេគុណចំនួនគត់

សមីការទាំងអស់នៃទម្រង់ a n x n + a n − 1 x n − 1 + ។ . . + a 1 x + a 0 = 0 យើងអាចកាត់បន្ថយទៅជាសមីការនៃដឺក្រេដូចគ្នាដោយគុណភាគីទាំងពីរដោយ n n − 1 និងផ្លាស់ប្តូរអថេរដូចជា y = a n x:

a n x n + a n − 1 x n − 1 + ។ . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n x n + a n − 1 a n n − 1 x n − 1 + ... + a 1 (a n) n − 1 x + a 0 (a n) n − 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n − 1 y n − 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

មេគុណលទ្ធផលនឹងជាចំនួនគត់។ ដូចនេះ យើងនឹងត្រូវដោះស្រាយសមីការកាត់បន្ថយនៃដឺក្រេទី n ជាមួយមេគុណចំនួនគត់ ដែលមានទម្រង់ x n + a n x n − 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0 ។

យើងគណនាឫសចំនួនគត់នៃសមីការ។ ប្រសិនបើសមីការមានឫសចំនួនគត់ អ្នកត្រូវរកមើលពួកវាក្នុងចំណោមផ្នែកចែកនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃ a 0។ ចូរសរសេរពួកវាចុះ ហើយជំនួសវាទៅក្នុងសមភាពដើមម្តងមួយៗ ដោយពិនិត្យមើលលទ្ធផល។ នៅពេលដែលយើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណមួយ ហើយរកឃើញឫសគល់មួយនៃសមីការនោះ យើងអាចសរសេរវាក្នុងទម្រង់ x − x 1 · P n − 1 (x) = 0 ។ នៅទីនេះ x 1 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ ហើយ P n − 1 (x) គឺជាកូតានៃ x n + a n x n − 1 + ... + a 1 x + a 0 ចែកនឹង x − x 1 ។

ជំនួសផ្នែកដែលនៅសេសសល់ក្នុង P n - 1 (x) = 0 ដោយចាប់ផ្តើមជាមួយ x 1 ចាប់តាំងពីឫសអាចធ្វើម្តងទៀត។ បន្ទាប់ពីទទួលបានអត្តសញ្ញាណ ឫស x 2 ត្រូវបានគេចាត់ទុកថារកឃើញ ហើយសមីការអាចត្រូវបានសរសេរជា (x − x 1) (x - x 2) P n - 2 (x) \u003d 0. នៅទីនេះ P n - 2 (x ) នឹងត្រូវបានដកស្រង់ពីការបែងចែក P n − 1 (x) ដោយ x − x 2 ។

យើងបន្តតម្រៀបតាមការបែងចែក។ ស្វែងរកឫសចំនួនគត់ទាំងអស់ ហើយសម្គាល់លេខរបស់ពួកគេជា m ។ បន្ទាប់ពីនោះសមីការដើមអាចត្រូវបានតំណាងជា x − x 1 x − x 2 · … · x − x m · P n − m (x) = 0 ។ នៅទីនេះ P n - m (x) គឺជាពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រ n - m -th ។ សម្រាប់ការគណនាវាងាយស្រួលប្រើគ្រោងការណ៍របស់ Horner ។

ប្រសិនបើសមីការដើមរបស់យើងមានមេគុណចំនួនគត់ យើងមិនអាចបញ្ចប់ដោយឫសប្រភាគបានទេ។

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានសមីការ P n - m (x) = 0 ដែលជាឫសគល់ដែលអាចត្រូវបានរកឃើញតាមមធ្យោបាយងាយស្រួលណាមួយ។ ពួកគេអាចមិនសមហេតុផល ឬស្មុគស្មាញ។

ចូរយើងបង្ហាញនៅលើឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយអំពីរបៀបដែលគ្រោងការណ៍ដំណោះស្រាយបែបនេះត្រូវបានអនុវត្ត។

ឧទាហរណ៍ ១

លក្ខខណ្ឌ៖រកដំណោះស្រាយនៃសមីការ x 4 + x 3 + 2 x 2 − x − 3 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការស្វែងរកឫសចំនួនគត់។

យើងមានការស្ទាក់ចាប់ស្មើនឹងដកបី។ វាមានការបែងចែកស្មើនឹង 1 , - 1 , 3 និង - 3 ។ ចូរយើងជំនួសពួកវាទៅក្នុងសមីការដើម ហើយមើលថាតើពួកវាមួយណានឹងផ្តល់អត្តសញ្ញាណជាលទ្ធផល។

សម្រាប់ x ស្មើនឹងមួយ យើងទទួលបាន 1 4 + 1 3 + 2 1 2 - 1 - 3 \u003d 0 ដែលមានន័យថាមួយនឹងជាឫសគល់នៃសមីការនេះ។

ឥឡូវ​យើង​បែង​ចែក​ពហុនាម x 4 + x 3 + 2 x 2 − x − 3 ដោយ (x − 1) ជា​ជួរ​ឈរ៖

ដូច្នេះ x 4 + x 3 + 2 x 2 − x − 3 = x − 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 ។

1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 ( − 1 ) 3 + 2 ( − 1 ) 2 + 4 − 1 + 3 = 0

យើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណ ដែលមានន័យថាយើងបានរកឃើញឫសមួយទៀតនៃសមីការ ស្មើនឹង - ១។

យើងបែងចែកពហុនាម x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 ដោយ (x + 1) ក្នុងជួរឈរមួយ៖

យើងទទួលបាននោះ។

x 4 + x 3 + 2 x 2 − x − 3 = (x − 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x − 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

យើងជំនួសផ្នែកបន្ទាប់ទៅក្នុងសមីការ x 2 + x + 3 = 0 ដោយចាប់ផ្តើមពី - 1៖

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

សមភាពលទ្ធផលនឹងមិនត្រឹមត្រូវ ដែលមានន័យថាសមីការលែងមានឫសចំនួនគត់ទៀតហើយ។

ឫសដែលនៅសល់នឹងជាឫសនៃកន្សោម x 2 + x + 3 ។

ឃ \u003d 1 2 - 4 1 3 \u003d - 11< 0

វាកើតឡើងពីនេះថាត្រីកោណការ៉េនេះមិនមានឫសពិតទេ ប៉ុន្តែមានបន្សំស្មុគស្មាញ៖ x = − 1 2 ± i 11 2 ។

សូមឱ្យយើងបញ្ជាក់ឱ្យច្បាស់ថាជំនួសឱ្យការបែងចែកទៅជាជួរឈរ គ្រោងការណ៍របស់ Horner អាចត្រូវបានប្រើ។ នេះត្រូវបានធ្វើដូចនេះ៖ បន្ទាប់ពីយើងកំណត់ឫសដំបូងនៃសមីការ យើងបំពេញតារាង។

នៅក្នុងតារាងនៃមេគុណ យើងអាចឃើញភ្លាមៗនូវមេគុណនៃកូតាពីការបែងចែកពហុធា ដែលមានន័យថា x 4 + x 3 + 2 x 2 − x − 3 = x − 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + ៣.

បន្ទាប់ពីរកឃើញឫសបន្ទាប់ ស្មើនឹង - 1 យើងទទួលបានដូចខាងក្រោម៖

ចម្លើយ៖ x \u003d - 1, x \u003d 1, x \u003d - 1 2 ± i 11 2 ។

ឧទាហរណ៍ ២

លក្ខខណ្ឌ៖ដោះស្រាយសមីការ x 4 − x 3 − 5 x 2 + 12 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត

សមាជិកឥតគិតថ្លៃមានការបែងចែក 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , 4 , - 4 , 6 , - 6 , 12 , - 12 ។

តោះពិនិត្យពួកវាតាមលំដាប់លំដោយ៖

1 4 − 1 3 − 5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 ( − 1 ) 4 − ( − 1 ) 3 − 5 ( − 1 ) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3 − 5 2 2 + 12 = . 0

ដូច្នេះ x = 2 នឹងជាឫសគល់នៃសមីការ។ ចែក x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 ដោយ x − 2 ដោយប្រើគ្រោងការណ៍របស់ Horner៖

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន x − 2 (x 3 + x 2 − 3 x − 6) = 0 ។

2 3 + 2 2 − 3 2 − 6 = 0

ដូច្នេះ 2 នឹងក្លាយជាឫសគល់ម្តងទៀត។ ចែក x 3 + x 2 − 3 x − 6 = 0 ដោយ x − 2៖

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន (x − 2) 2 (x 2 + 3 x + 3) = 0 ។

ការពិនិត្យមើលផ្នែកដែលនៅសេសសល់មិនសមហេតុផលទេ ព្រោះសមភាព x 2 + 3 x + 3 = 0 គឺលឿន និងងាយស្រួលជាងក្នុងការដោះស្រាយដោយប្រើការរើសអើង។

តោះដោះស្រាយសមីការការ៉េ៖

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 − 4 1 3 = − 3< 0

យើងទទួលបានឫសគូស្មុគ្រស្មាញ៖ x = − 3 2 ± i 3 2 ។

ចម្លើយ: x = − 3 2 ± i 3 2 .

ឧទាហរណ៍ ៣

លក្ខខណ្ឌ៖រកឫសពិតសម្រាប់សមីការ x 4 + 1 2 x 3 − 5 2 x − 3 = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត

x 4 + 1 2 x 3 − 5 2 x − 3 = 0 2 x 4 + x 3 − 5 x − 6 = 0

យើងអនុវត្តគុណ 2 3 នៃផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ៖

2 x 4 + x 3 − 5 x − 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 − 20 2 x − 48 = 0

យើងជំនួសអថេរ y = 2 x:

2 4 x 4 + 2 3 x 3 − 20 2 x − 48 = 0 y 4 + y 3 − 20 y − 48 = 0

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានសមីការស្តង់ដារនៃសញ្ញាបត្រទី 4 ដែលអាចដោះស្រាយបានតាមគ្រោងការណ៍ស្តង់ដារ។ ចូរយើងពិនិត្យមើលផ្នែកបែងចែក ហើយនៅទីបញ្ចប់យើងទទួលបានថាវាមានឫសពិត 2 y \u003d - 2, y \u003d 3 និងស្មុគស្មាញពីរ។ យើងនឹងមិនបង្ហាញដំណោះស្រាយទាំងស្រុងនៅទីនេះទេ។ ដោយគុណធម៌នៃការជំនួស ឫសពិតនៃសមីការនេះនឹងមាន x = y 2 = − 2 2 = − 1 និង x = y 2 = 3 2 ។

ចម្លើយ៖ x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 3 2

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter