សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប

ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃទម្រង់គឺជួនកាលជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃមុខងារមួយចំនួន។ ប្រសិនបើមុខងារមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងវិញពីឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបរបស់វា នោះអាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនឹងត្រូវបានរកឃើញ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពណ៌នាអំពីវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការស្ដារមុខងារមួយពីឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបរបស់វា យើងនឹងផ្តល់នូវសម្ភារៈទ្រឹស្តីជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ និងភារកិច្ចជាមួយនឹងការពិពណ៌នាលម្អិតនៃដំណោះស្រាយ។

ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃអនុគមន៍មួយចំនួន U(x,y) = 0 ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌពេញចិត្ត។

ដោយសារឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃអនុគមន៍ U(x, y) = 0 គឺ ដូច្នេះ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌពេញចិត្ត យើងអាចអះអាងបាន។ . អាស្រ័យហេតុនេះ .

ពីសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធដែលយើងមាន . មុខងារអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ៖

វានឹងរកឃើញអនុគមន៍ដែលចង់បាន U(x, y) = 0 ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល .

ការសម្រេចចិត្ត។

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ។ លក្ខខណ្ឌគឺដោយសារតែ

ដូច្នេះ ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដើម គឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃអនុគមន៍មួយចំនួន U(x, y) = 0 ។ ភារកិច្ចរបស់យើងគឺស្វែងរកមុខងារនេះ។

ជា គឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃអនុគមន៍ U(x,y) = 0 បន្ទាប់មក . យើងរួមបញ្ចូលសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធដោយគោរពទៅនឹង x និងភាពខុសគ្នានៃលទ្ធផលដែលទទួលបានដោយគោរពទៅ y . ម៉្យាងទៀតពីសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធដែលយើងមាន។ អាស្រ័យហេតុនេះ

ដែល C ជាថេរដែលបំពាន។

ដូច្នេះ ហើយអាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការដើមគឺ .

មានវិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតសម្រាប់ការស្វែងរកអនុគមន៍ដោយឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបរបស់វា។ វាមាននៅក្នុងការទទួលយក អាំងតេក្រាល curvilinearពីចំណុចថេរ (x 0 , y 0) ទៅចំណុចដែលមានកូអរដោណេអថេរ (x, y): . ក្នុងករណីនេះតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលមិនអាស្រ័យលើផ្លូវនៃការរួមបញ្ចូលទេ។ វាជាការងាយស្រួលក្នុងការយកជាផ្លូវរួមបញ្ចូលគ្នានូវបន្ទាត់ដែលខូចដែលតំណភ្ជាប់របស់វាស្របទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល .

ការសម្រេចចិត្ត។

តោះពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌ៖

ដូច្នេះផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃអនុគមន៍មួយចំនួន U(x, y) = 0 ។ ចូរយើងស្វែងរកអនុគមន៍នេះដោយគណនាអាំងតេក្រាល curvilinear ពីចំណុច (1; 1) ទៅ (x, y) ។ ជាផ្លូវសមាហរណកម្ម យើងយកបន្ទាត់ដែលខូច៖ ផ្នែកទីមួយនៃបន្ទាត់ប៉ូលីនឹងកាត់តាមបន្ទាត់ត្រង់ y = 1 ពីចំណុច (1, 1) ទៅ (x, 1) ផ្នែកទីពីរនៃផ្លូវនឹងយក ផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់ពីចំណុច (x, 1) ទៅ (x, y) ។

នៅក្នុងប្រធានបទនេះ យើងនឹងពិចារណាវិធីសាស្រ្តមួយសម្រាប់ការស្ដារមុខងារពីឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបរបស់វា ផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាជាមួយនឹងការវិភាគពេញលេញនៃដំណោះស្រាយ។

វាកើតឡើងថាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (DE) នៃទម្រង់ P (x, y) d x + Q (x, y) d y \u003d 0 អាចមានឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃមុខងារមួយចំនួននៅក្នុងផ្នែកខាងឆ្វេង។ បន្ទាប់មកយើងអាចរកឃើញអាំងតេក្រាលទូទៅនៃ DE ប្រសិនបើយើងស្ដារមុខងារពីឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបរបស់វា។

ឧទាហរណ៍ ១

ពិចារណាសមីការ P (x , y) d x + Q (x , y) d y = 0 ។ កំណត់ត្រានៃផ្នែកខាងឆ្វេងរបស់វាមានឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារមួយចំនួន U(x,y) = 0. ចំពោះបញ្ហានេះ លក្ខខណ្ឌ ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ត្រូវតែពេញចិត្ត។

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃអនុគមន៍ U (x , y) = 0 មានទម្រង់ d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y ។ ដោយគិតពីលក្ខខណ្ឌ ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x យើងទទួលបាន៖

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

តាមរយៈការបំប្លែងសមីការទីមួយពីប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃសមីការ យើងអាចទទួលបាន៖

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

យើងអាចរកឃើញអនុគមន៍ φ (y) ពីសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធដែលទទួលបានពីមុន៖
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y” (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

ដូច្នេះយើងបានរកឃើញអនុគមន៍ដែលចង់បាន U (x, y) = 0 ។

ឧទាហរណ៍ ២

រក DE (x 2 − y 2) d x − 2 x y d y = 0 ដំណោះ ស្រាយទូទៅ។

ការសម្រេចចិត្ត

P (x, y) \u003d x 2 - y 2, Q (x, y) \u003d - 2 x y

តោះពិនិត្យមើលថាតើលក្ខខណ្ឌ ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ពេញចិត្តឬអត់៖

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 − y 2) ∂ y = − 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (− 2 x y) ∂ x = − 2 y

លក្ខខណ្ឌរបស់យើងត្រូវបានបំពេញ។

ដោយផ្អែកលើការគណនាយើងអាចសន្និដ្ឋានថាផ្នែកខាងឆ្វេងនៃ DE ដើមគឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃអនុគមន៍មួយចំនួន U (x , y) = 0 ។ យើងត្រូវស្វែងរកមុខងារនេះ។

ដោយសារ (x 2 − y 2) d x − 2 x y d y គឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃអនុគមន៍ U (x, y) = 0 បន្ទាប់មក

∂ U ∂ x = x 2 − y 2 ∂ U ∂ y = − 2 x y

យើងរួមបញ្ចូលសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធដោយគោរពទៅនឹង x:

U (x, y) \u003d ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y)

ឥឡូវនេះយើងបែងចែកលទ្ធផលដោយគោរពទៅ y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 − x y 2 + φ (y) ∂ y = − 2 x y + φ y” (y)

បំប្លែងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបាន៖ ∂ U ∂ y = − 2 x y ។ វាមានន័យថា
− 2 x y + φ y "(y) = − 2 x y φ y" (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

ដែល C ជាថេរដែលបំពាន។

យើងទទួលបាន៖ U (x, y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + C ។ អាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការដើមគឺ x 3 3 − x y 2 + C = 0 ។

ចូរយើងវិភាគវិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតសម្រាប់ការស្វែងរកអនុគមន៍ពីឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបដែលគេស្គាល់។ វាពាក់ព័ន្ធនឹងការអនុវត្តអាំងតេក្រាល curvilinear ពីចំណុចថេរ (x 0, y 0) ទៅចំណុចដែលមានកូអរដោនេអថេរ (x, y)៖

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

ក្នុងករណីបែបនេះតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលមិនអាស្រ័យលើមធ្យោបាយណាមួយនៅលើផ្លូវនៃការរួមបញ្ចូលទេ។ យើងអាចយកបន្ទាត់ដែលខូចជាផ្លូវធ្វើសមាហរណកម្ម ដែលតំណដែលស្របនឹងអ័ក្សកូអរដោណេ។

ឧទាហរណ៍ ៣

រកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (y − y 2) d x + (x − 2 x y) d y = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត

អនុញ្ញាតឱ្យយើងពិនិត្យមើលថាតើលក្ខខណ្ឌ ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ពេញចិត្តឬអត់៖

∂ P ∂ y = ∂ (y − y 2) ∂ y = 1 − 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x − 2 x y) ∂ x = 1 − 2 y

វាប្រែថាផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានតំណាងដោយឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃអនុគមន៍មួយចំនួន U (x, y) = 0 ។ ដើម្បីស្វែងរកមុខងារនេះ ចាំបាច់ត្រូវគណនាអាំងតេក្រាល curvilinear ពីចំណុច (1 ; 1) ពីមុន (x, y). ចូរយើងចាត់ទុកជាផ្លូវធ្វើសមាហរណកម្មជាបន្ទាត់ដែលខូចផ្នែកដែលនឹងឆ្លងកាត់តាមបន្ទាត់ត្រង់ y=1ពីចំណុច (1 , 1) ទៅ (x , 1) ហើយបន្ទាប់មកពីចំណុច (x , 1) ទៅ (x , y):

∫ (1 , 1) (x , y) y − y 2 d x + (x − 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y − y 2) d x + (x − 2 x y ) d y + + ∫ (x, 1) (x, y) (y − y 2) d x + (x − 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 − 1 2) d x + ∫ 1 y (x − 2) x y) d y = (x y − x y 2) y 1 = = x y − x y 2 − (x 1 − x 1 2) = x y − x y 2

យើងបានទទួលដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃទម្រង់ x y − x y 2 + C = 0 ។

ឧទាហរណ៍ 4

កំណត់ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 ។

ការសម្រេចចិត្ត

តោះពិនិត្យមើលថាតើលក្ខខណ្ឌ ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ពេញចិត្តឬអត់។

ដោយសារ ∂ (y cos x) ∂ y = cos x , ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x cos x លក្ខខណ្ឌនឹងមិនពេញចិត្តទេ។ នេះមានន័យថាផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនមែនជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃអនុគមន៍ទេ។ នេះគឺជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលអាចបំបែកបាន ហើយដំណោះស្រាយផ្សេងទៀតគឺសមរម្យសម្រាប់ការដោះស្រាយវា។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

និយមន័យ៖ សមីការនៃទម្រង់

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

ដែលផ្នែកខាងឆ្វេងគឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃមុខងារមួយចំនួននៃអថេរពីរ ត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៅក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប។

កំណត់មុខងារនេះនៃអថេរពីរដោយ F(x,y)។ បន្ទាប់មកសមីការ (9) អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា dF(x,y) = 0 ហើយសមីការនេះមានដំណោះស្រាយទូទៅ F(x,y) = C ។

សូមឱ្យសមីការនៃទម្រង់ (9) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ដើម្បីស្វែងយល់ថាតើវាជាសមីការនៅក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប អ្នកត្រូវពិនិត្យមើលថាតើកន្សោមគឺឬអត់

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃមុខងារមួយចំនួននៃអថេរពីរ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាចាំបាច់ក្នុងការត្រួតពិនិត្យការបំពេញសមភាព

ចូរយើងសន្មត់ថាសម្រាប់កន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យ (10) សមភាព (11) គឺពេញចិត្តនៅក្នុងដែនដែលបានតភ្ជាប់សាមញ្ញមួយចំនួន (S) ហើយដូច្នេះ កន្សោម (10) គឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃមុខងារមួយចំនួន F(x,y) នៅក្នុង (S) .

ពិចារណាវិធីខាងក្រោមនៃការស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំងនេះ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកមុខងារ F (x, y) បែបនេះ

ដែលមុខងារ (y) នឹងត្រូវបានកំណត់ខាងក្រោម។ ពីរូបមន្ត (១២) វាធ្វើតាមនោះ។

នៅគ្រប់ចំណុចក្នុងតំបន់ (S) ។ ឥឡូវនេះយើងជ្រើសរើសមុខងារ (y) ដូច្នេះសមភាពកើតឡើង

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងសរសេរឡើងវិញនូវសមភាព (14) ដែលយើងត្រូវការ ដោយជំនួសដោយ F(x, y) កន្សោមរបស់វាតាមរូបមន្ត (12)៖

ចូរបែងចែកភាពខុសគ្នាដោយគោរពទៅ y នៅក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាល (នេះអាចត្រូវបានធ្វើចាប់តាំងពី P (x, y) និងជាមុខងារបន្តនៃអថេរពីរ)៖

ចាប់តាំងពីដោយ (11) បន្ទាប់មកជំនួសដោយសញ្ញាអាំងតេក្រាលនៅក្នុង (16) យើងមាន:

ដោយបានរួមបញ្ចូលលើ y យើងរកឃើញមុខងារ (y) ដោយខ្លួនវាផ្ទាល់ ដែលត្រូវបានសាងសង់តាមរបៀបដែលសមភាព (14) ទទួលបាន។ ដោយប្រើសមភាព (១៣) និង (១៤) យើងឃើញថា

នៅក្នុងតំបន់ (S) ។ (ដប់ប្រាំបី)

ឧទាហរណ៍ 5. ពិនិត្យមើលថាតើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាសមីការនៅក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប ហើយដោះស្រាយវា។

នេះគឺជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៅក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប។ ជាការពិត ការបញ្ជាក់ យើងធ្វើឱ្យប្រាកដថា

ហើយនេះគឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការបញ្ចេញមតិ

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

គឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃអនុគមន៍មួយចំនួន U(x,y)។ លើសពីនេះទៅទៀត មានមុខងារបន្តនៅក្នុង R.

ដូច្នេះ ដើម្បីរួមបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកមុខងារដែលផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប។ អនុញ្ញាតឱ្យ U(x,y) ជាមុខងារបែបនេះ

ការរួមបញ្ចូលផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំលើ x យើងទទួលបាន៖

ដើម្បីស្វែងរក u(y) យើងប្រើការពិតនោះ។

ការជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញនៃ u(y) ទៅជា (*) ទីបំផុតយើងទទួលបានអនុគមន៍ U(x,y)៖

អាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការដើមមានទម្រង់

ប្រភេទសំខាន់ៗនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំដាប់ទីមួយ (ត) ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ

និយមន័យ៖ សមីការលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីមួយគឺជាសមីការនៃទម្រង់

y" + P(x)y = f(x), (21)

ដែល P(x) និង f(x) ជាមុខងារបន្ត។

ឈ្មោះនៃសមីការត្រូវបានពន្យល់ដោយការពិតដែលថាដេរីវេ y "គឺជាមុខងារលីនេអ៊ែរនៃ y នោះគឺប្រសិនបើយើងសរសេរសមីការឡើងវិញ (21) ជា y" = - P (x) + f (x) បន្ទាប់មកខាងស្តាំ ចំហៀងមាន y ដល់កម្រិតទីមួយប៉ុណ្ណោះ។

ប្រសិនបើ f(x) = 0 នោះសមីការ

yґ+ P(x) y = 0 (22)

ត្រូវបានគេហៅថាសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នា។ ជាក់ស្តែង សមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នា គឺជាសមីការដែលមានអថេរដែលអាចបំបែកបាន៖

y" + P(x) y = 0; ,

បើ f(x)? 0 បន្ទាប់មកសមីការ

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

ត្រូវបានគេហៅថាសមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរ។

ជាទូទៅ អថេរក្នុងសមីការ (២១) មិនអាចបំបែកបានទេ។

សមីការ (២១) ត្រូវបានដោះស្រាយដូចខាងក្រោម៖ យើងនឹងស្វែងរកដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់នៃផលិតផលនៃមុខងារពីរ U(x) និង V(x)៖

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេ៖

y" = U"V + UV" (25)

ហើយជំនួសកន្សោមទាំងនេះទៅជាសមីការ (១)៖

U"V + UV" + P(x)UV = f(x)។

ចូរដាក់ក្រុមលក្ខខណ្ឌនៅផ្នែកខាងឆ្វេង៖

U "V + U \u003d f (x)) ។ (26)

ចូរយើងដាក់លក្ខខណ្ឌលើកត្តាមួយ (24) ពោលគឺ ឧបមាថាអនុគមន៍ V(x) គឺវាប្រែក្លាយកន្សោមក្នុងតង្កៀបក្នុង (26) ទៅជាសូន្យដូចគ្នា ពោលគឺឧ។ ថាវាជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

V" + P(x)V = 0. (27)

នេះគឺជាសមីការដែលមានអថេរដែលអាចបំបែកបាន យើងរកឃើញ V (x) ពីវា៖

ឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងស្វែងរកមុខងារ U(x) ដូចនេះសម្រាប់មុខងារដែលបានរកឃើញរួចហើយ V(x) ផលិតផល U V គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះ Eq ។ (26) ។ ចំពោះបញ្ហានេះ U(x) ត្រូវតែជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ

នេះគឺជាសមីការអថេរដែលអាចបំបែកបាន ដូច្នេះ

ការជំនួសអនុគមន៍ដែលបានរកឃើញ (28) និង (30) ទៅជារូបមន្ត (4) យើងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ (21)៖

ដូច្នេះវិធីសាស្រ្តដែលបានពិចារណា (វិធីសាស្ត្រ Bernoulli) កាត់បន្ថយដំណោះស្រាយនៃសមីការលីនេអ៊ែរ (21) ទៅនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការពីរដែលមានអថេរដែលអាចបំបែកបាន។

ឧទាហរណ៍ 6. ស្វែងរកអាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការ។

សមីការនេះមិនមែនជាលីនេអ៊ែរទាក់ទងនឹង y និង y” ប៉ុន្តែវាប្រែជាលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើយើងយក x ជាអនុគមន៍ដែលចង់បាន និង y ជាអាគុយម៉ង់។ ជាការពិត ការឆ្លងកាត់ទៅ យើងទទួលបាន

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល យើងប្រើវិធីជំនួស (Bernoulli)។ យើងនឹងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការក្នុងទម្រង់ x(y)=U(y)V(y) បន្ទាប់មក។ យើងទទួលបានសមីការ៖

យើងជ្រើសរើសមុខងារ V (y) ដូច្នេះ។ បន្ទាប់មក

មានទម្រង់ស្តង់ដារ $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$ ដែលក្នុងនោះផ្នែកខាងឆ្វេងគឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃមុខងារមួយចំនួន $F \left(x,y\right)$ ត្រូវបានគេហៅថាសមីការក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបអាចសរសេរឡើងវិញជា $dF\left(x,y\right)=0$ ដែល $F\left(x,y\right)$ ជាមុខងារដូច $dF\left(x,y \right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$។

យើងរួមបញ្ចូលភាគីទាំងពីរនៃសមីការ $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; អាំងតេក្រាលនៃសូន្យខាងស្តាំដៃគឺស្មើនឹង $C$ ថេរតាមអំពើចិត្ត។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការនេះក្នុងទម្រង់មិនច្បាស់លាស់មានទម្រង់ $F\left(x,y\right)=C$ ។

សម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យជាសមីការក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលលក្ខខណ្ឌ $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ ត្រូវបានពេញចិត្ត។ . ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនេះពេញចិត្ត នោះមានមុខងារ $F\left(x,y\right)$ ដែលយើងអាចសរសេរបាន៖ $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\frac( \partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, ពេលណាយើងទទួលបានទំនាក់ទំនងពីរ៖ $\ frac(\ partial F)(\partial x) = P\left(x,y\right)$ និង $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$។

យើងរួមបញ្ចូលទំនាក់ទំនងដំបូង $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ ជាង $x$ និងទទួលបាន $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ ដែល $U\left(y\right)$ ជាមុខងារបំពាននៃ $y$។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងជ្រើសរើសវាដើម្បីឱ្យទំនាក់ទំនងទីពីរ $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ ពេញចិត្ត។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងបែងចែកទំនាក់ទំនងលទ្ធផលសម្រាប់ $F\left(x,y\right)$ ដោយគោរពទៅ $y$ ហើយយកលទ្ធផលទៅ $Q\left(x,y\right)$។ យើងទទួលបាន៖ $\frac(\partial)(\partial y)\left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx\right)+U"\left(y\right)=Q\left (x,y\right)$ ។

ដំណោះស្រាយបន្ទាប់គឺ៖

ពីសមភាពចុងក្រោយយើងរកឃើញ $U"\left(y\right)$;
បញ្ចូល $U"\left(y\right)$ ហើយស្វែងរក $U\left(y\right)$;
ជំនួស $U\left(y\right)$ ទៅជា $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ និង ទីបំផុតយើងទទួលបានមុខងារ $F\left(x,y\right)$។

យើងរកឃើញភាពខុសគ្នា៖

យើងបញ្ចូល $U"\left(y\right)$ លើ $y$ ហើយស្វែងរក $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$។

ស្វែងរកលទ្ធផល៖ $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$ ។

យើងសរសេរដំណោះស្រាយទូទៅជា $F\left(x,y\right)=C$ ពោលគឺ៖

ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់ $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0),y_(0)\right)$, ដែល $y_(0) =3$, $x_(0) = 2$៖

ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយមានទម្រង់៖ $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$ ។

និយមន័យ 8.4 ។សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃទម្រង់

កន្លែងណា
ត្រូវបានគេហៅថាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប។

ចំណាំថាផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការបែបនេះគឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃមុខងារមួយចំនួន
.

នៅក្នុងករណីទូទៅ សមីការ (8.4) អាចត្រូវបានតំណាងជា

ជំនួសឱ្យសមីការ (8.5) មនុស្សម្នាក់អាចពិចារណាសមីការ

ដំណោះស្រាយដែលជាអាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការ (8.4) ។ ដូច្នេះដើម្បីដោះស្រាយសមីការ (8.4) ចាំបាច់ត្រូវស្វែងរកមុខងារ
. អនុលោមតាមនិយមន័យនៃសមីការ (8.4) យើងមាន

(8.6)

មុខងារ
យើងនឹងស្វែងរក ជាមុខងារដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌមួយក្នុងចំណោមលក្ខខណ្ឌទាំងនេះ (8.6)៖

កន្លែងណា គឺជាមុខងារបំពានដោយឯករាជ្យ .

មុខងារ
ត្រូវបានកំណត់ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌទីពីរនៃការបញ្ចេញមតិ (8.6) ត្រូវបានពេញចិត្ត

(8.7)

ពីកន្សោម (8.7) មុខងារត្រូវបានកំណត់
. ជំនួសវាទៅក្នុងកន្សោមសម្រាប់
និងទទួលបានអាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការដើម។

បញ្ហា 8.3 ។រួមបញ្ចូលសមីការ

នៅទីនេះ
.

ដូច្នេះសមីការនេះជាកម្មសិទ្ធិរបស់ប្រភេទនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប។ មុខងារ
យើងនឹងស្វែងរកក្នុងទម្រង់

នៅម្ខាងទៀត,

ក្នុងករណីខ្លះស្ថានភាព
ប្រហែលជាមិនត្រូវបានអនុវត្ត។

បន្ទាប់មកសមីការបែបនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រភេទដែលកំពុងពិចារណាដោយគុណនឹងអ្វីដែលគេហៅថាកត្តារួមបញ្ចូលគ្នា ដែលក្នុងករណីទូទៅគឺជាមុខងារតែមួយគត់។ ឬ .

ប្រសិនបើសមីការមួយចំនួនមានកត្តារួមបញ្ចូលដែលអាស្រ័យតែលើ បន្ទាប់មកវាត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

តើសមាមាត្រនៅឯណា គួរតែជាមុខងារតែប៉ុណ្ណោះ .

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ កត្តារួមបញ្ចូលអាស្រ័យតែលើ , ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត

តើសមាមាត្រនៅឯណា
គួរតែជាមុខងារតែប៉ុណ្ណោះ .

អវត្ដមាននៅក្នុងសមាមាត្រខាងលើក្នុងករណីទីមួយនៃអថេរ ហើយនៅក្នុងទីពីរ - អថេរមួយ។ គឺជាសញ្ញានៃអត្ថិភាពនៃកត្តារួមបញ្ចូលសម្រាប់សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

បញ្ហា 8.4 ។នាំសមីការនេះទៅជាសមីការក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប។

ពិចារណាទំនាក់ទំនង៖

ប្រធានបទ 8.2 ។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ

និយមន័យ 8.5. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល
ត្រូវបានគេហៅថាលីនេអ៊ែរប្រសិនបើវាជាលីនេអ៊ែរទាក់ទងនឹងមុខងារដែលចង់បាន ដេរីវេរបស់វា។ និងមិនមានផលិតផលនៃមុខងារដែលចង់បាន និងដេរីវេរបស់វា។

ទម្រង់ទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ ត្រូវបានតំណាងដោយទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោម៖

(8.8)

ប្រសិនបើនៅក្នុងទំនាក់ទំនង (8.8) ផ្នែកខាងស្តាំ
បន្ទាប់មកសមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា linear homogeneous ។ ក្នុងករណីដែលផ្នែកខាងស្តាំ
បន្ទាប់មកសមីការបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា linear inhomogeneous ។

ចូរយើងបង្ហាញថាសមីការ (8.8) គឺអាចរួមបញ្ចូលនៅក្នុង quadratures ។

នៅដំណាក់កាលដំបូង យើងពិចារណាសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នា។

សមីការបែបនេះគឺជាសមីការដែលមានអថេរដែលអាចបំបែកបាន។ ពិតជា

;

ទំនាក់ទំនងចុងក្រោយកំណត់ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នា។

ដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការមិនដូចគ្នាលីនេអ៊ែរ វិធីសាស្ត្រនៃបំរែបំរួលនៃដេរីវេនៃថេរត្រូវបានប្រើ។ គំនិតនៃវិធីសាស្រ្តនេះគឺថាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរក្នុងទម្រង់ដូចគ្នានឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការដូចគ្នាដែលត្រូវគ្នាទោះជាយ៉ាងណា ថេរតាមអំពើចិត្ត។ ជំនួសដោយមុខងារមួយចំនួន
ត្រូវបានកំណត់។ ដូច្នេះយើងមាន៖

(8.9)

ការជំនួសទំនាក់ទំនង (8.8) កន្សោមដែលត្រូវគ្នា។
និង
, យើងទទួលបាន

ការជំនួសកន្សោមចុងក្រោយទៅជាទំនាក់ទំនង (8.9) មនុស្សម្នាក់ទទួលបានអាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរ។

ដូច្នេះ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការមិនដូចគ្នាលីនេអ៊ែរត្រូវបានកំណត់ដោយចតុកោណពីរ៖ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នា និងដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការមិនដូចគ្នាលីនេអ៊ែរ។

បញ្ហា 8.5 ។រួមបញ្ចូលសមីការ