ក្នុងការបញ្ជាក់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍មួយ យើងបានធ្វើឱ្យប្រាកដថា គ្មានអ្វីត្រូវបានទាមទារពីសង្កាត់ដែលត្រូវបានវាយលុកនោះទេ ដែលមុខងាររបស់យើងត្រូវបានកំណត់ ហើយដែលបានកើតឡើងនៅក្នុងវគ្គនៃភស្តុតាង លើកលែងតែលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានបញ្ជាក់នៅក្នុងការណែនាំទៅកថាខណ្ឌមុន ២. កាលៈទេសៈនេះប្រើជាយុត្តិកម្មសម្រាប់ការច្រៀងចេញនូវវត្ថុគណិតវិទ្យាខាងក្រោម។

ក. មូលដ្ឋាន; និយមន័យ និងឧទាហរណ៍សំខាន់ៗ

និយមន័យ 11. សំណុំ B នៃសំណុំរងនៃសំណុំ X នឹងត្រូវបានគេហៅថាមូលដ្ឋាននៅក្នុងសំណុំ X ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌពីរត្រូវបានបំពេញ៖

ម្យ៉ាងវិញទៀត ធាតុនៃបណ្តុំ B គឺជាសំណុំមិនទទេ ហើយចំនុចប្រសព្វនៃពួកវាទាំងពីរមានធាតុមួយចំនួនពីការប្រមូលដូចគ្នា។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញពីមូលដ្ឋានមួយចំនួនដែលប្រើជាទូទៅបំផុតនៅក្នុងការវិភាគ។

ប្រសិនបើជំនួសមកវិញ ពួកគេសរសេរហើយនិយាយថា x ទំនោរទៅ a ពីខាងស្តាំ ឬពីចំហៀងនៃតម្លៃធំ (រៀងគ្នាពីខាងឆ្វេង ឬពីចំហៀងនៃតម្លៃតូចជាង)។ នៅពេលដែលកំណត់ត្រាខ្លីត្រូវបានទទួលយកជំនួសឱ្យ

ធាតុនឹងត្រូវបានប្រើជំនួសឱ្យវាមានន័យថា a; ទំនោរលើសំណុំ E ទៅ a នៅសល់ធំជាង (តិចជាង) ជាង a ។

បន្ទាប់មក ជំនួសមកវិញ ពួកគេសរសេរ ហើយនិយាយថា x មានទំនោរទៅបូកនឹងភាពគ្មានទីបញ្ចប់ (រៀងៗខ្លួន ដល់ដកគ្មានកំណត់)។

សញ្ញាណនឹងត្រូវបានប្រើជំនួសវិញ។

នៅពេលដែលជំនួសឱ្យយើង (ប្រសិនបើនេះមិននាំឱ្យមានការយល់ច្រឡំ) យើងនឹងសរសេរដូចទម្លាប់នៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ។

ចំណាំថាមូលដ្ឋានដែលបានរាយបញ្ជីទាំងអស់មានលក្ខណៈពិសេសដែលចំនុចប្រសព្វនៃធាតុទាំងពីរនៃមូលដ្ឋានគឺជាធាតុនៃមូលដ្ឋាននេះ ហើយមិនត្រឹមតែមានធាតុមួយចំនួននៃមូលដ្ឋានប៉ុណ្ណោះទេ។ យើងនឹងជួបជាមួយមូលដ្ឋានផ្សេងទៀតនៅពេលសិក្សាមុខងារដែលមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើអ័ក្សពិត។

យើងក៏កត់សម្គាល់ផងដែរថាពាក្យ "មូលដ្ឋាន" ដែលប្រើនៅទីនេះគឺជាការរចនាខ្លីនៃអ្វីដែលគេហៅថា "មូលដ្ឋានតម្រង" នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ហើយដែនកំណត់មូលដ្ឋានដែលបានណែនាំខាងក្រោមគឺជាផ្នែកចាំបាច់បំផុតសម្រាប់ការវិភាគអំពីគំនិតនៃដែនកំណត់តម្រងដែលបង្កើតឡើងដោយជនជាតិបារាំងសម័យទំនើប។ គណិតវិទូ A. Cartan

ខ. ដែនកំណត់មុខងារមូលដ្ឋាន

និយមន័យ 12. អនុញ្ញាតឱ្យជាអនុគមន៍មួយនៅលើសំណុំ X; B គឺជាមូលដ្ឋាននៅក្នុង X ។ លេខ A ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ទាក់ទងនឹងមូលដ្ឋាន B ប្រសិនបើសម្រាប់សង្កាត់ណាមួយនៃចំណុច A មានធាតុនៃមូលដ្ឋានដែលរូបភាពមាននៅក្នុងសង្កាត់

ប្រសិនបើ A ជាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ក្នុងគោល B នោះយើងសរសេរ

ចូរយើងនិយាយឡើងវិញនូវនិយមន័យនៃដែនកំណត់ដោយមូលដ្ឋាននៅក្នុងនិមិត្តសញ្ញាឡូជីខល៖

ដោយសារឥឡូវនេះយើងកំពុងពិចារណាមុខងារជាមួយនឹងតម្លៃជាលេខ វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការចងចាំទម្រង់ខាងក្រោមនៃនិយមន័យជាមូលដ្ឋាននេះ៖

ក្នុងទម្រង់បែបបទនេះ ជំនួសឱ្យសង្កាត់ដែលបំពាន V(A) យើងយកសង្កាត់ដែលស៊ីមេទ្រី (ដោយគោរពតាមចំនុច A) (e-neighborhood)។ សមមូលនៃនិយមន័យទាំងនេះសម្រាប់មុខងារដែលមានតម្លៃពិតប្រាកដកើតឡើងពីការពិតដែលថា ដូចដែលបានរៀបរាប់រួចមកហើយ សង្កាត់ណាមួយនៃចំណុចមានសង្កាត់ស៊ីមេទ្រីមួយចំនួននៃចំណុចដូចគ្នា (អនុវត្តភស្តុតាងពេញលេញ!)

យើងបានផ្តល់និយមន័យទូទៅនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍មួយទាក់ទងនឹងមូលដ្ឋាន។ ខាងលើត្រូវបានគេចាត់ទុកថាជាឧទាហរណ៍នៃមូលដ្ឋានទូទៅបំផុតនៅក្នុងការវិភាគ។ នៅក្នុងបញ្ហាជាក់លាក់មួយ ដែលមូលដ្ឋានមួយ ឬមួយផ្សេងទៀតនៃមូលដ្ឋានទាំងនេះលេចឡើង វាចាំបាច់ក្នុងការអាចបកស្រាយនិយមន័យទូទៅ និងសរសេរវាសម្រាប់មូលដ្ឋានជាក់លាក់មួយ។

ដោយពិចារណាលើឧទាហរណ៍នៃមូលដ្ឋាន យើងជាពិសេសបានណែនាំគំនិតនៃសង្កាត់នៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ ប្រសិនបើយើងប្រើគំនិតនេះ នោះស្របតាមនិយមន័យទូទៅនៃដែនកំណត់ វាសមហេតុផលក្នុងការអនុម័តអនុសញ្ញាខាងក្រោម៖

ឬដែលដូចគ្នា

ជាធម្មតាដោយតម្លៃតូចមួយ។ នៅក្នុងនិយមន័យខាងលើ នេះជាការពិត មិនមែនជាករណីនោះទេ។ ជាឧទាហរណ៍ ដោយអនុលោមតាមអនុសញ្ញាដែលទទួលយកបាន ជាឧទាហរណ៍ យើងអាចសរសេរបាន។

ដើម្បីត្រូវបានចាត់ទុកថាបង្ហាញឱ្យឃើញនៅក្នុងករណីទូទៅនៃដែនកំណត់លើមូលដ្ឋានបំពាន ទ្រឹស្តីបទទាំងអស់នៅលើដែនកំណត់ដែលយើងបានបង្ហាញនៅក្នុងផ្នែកទី 2 សម្រាប់មូលដ្ឋានពិសេស វាចាំបាច់ក្នុងការផ្តល់និយមន័យសមស្រប៖ ចុងក្រោយ ថេរ ទីបំផុតព្រំដែន និង តូចបំផុតសម្រាប់មូលដ្ឋាននៃមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

និយមន័យ 13. អនុគមន៍មួយត្រូវបានគេហៅថាជាថេរនៅមូលដ្ឋាន B ប្រសិនបើមានចំនួន និងធាតុនៃមូលដ្ឋាន នៅចំណុចណាមួយ

នៅពេលនេះ អត្ថប្រយោជន៍ចម្បងនៃការសង្កេតដែលបានធ្វើឡើង និងគោលគំនិតនៃមូលដ្ឋានដែលបានណែនាំទាក់ទងនឹងវាគឺថាពួកគេបានជួយសង្គ្រោះយើងពីការត្រួតពិនិត្យ និងភស្តុតាងផ្លូវការនៃទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់សម្រាប់ប្រភេទជាក់លាក់នីមួយៗនៃការអនុម័តទៅដែនកំណត់ ឬនៅក្នុងវាក្យស័ព្ទបច្ចុប្បន្នរបស់យើង សម្រាប់មូលដ្ឋានប្រភេទនីមួយៗ

ដើម្បីប្រើប្រាស់ជាចុងក្រោយនូវគោលគំនិតនៃដែនកំណត់លើមូលដ្ឋានបំពាន យើងនឹងបញ្ជាក់អំពីលក្ខណៈសម្បត្តិបន្ថែមទៀតនៃដែនកំណត់នៃមុខងារក្នុងទម្រង់ទូទៅមួយ។

ចំនួនថេរ កបានហៅ ដែនកំណត់ លំដាប់(x n) ប្រសិនបើចំនួនវិជ្ជមានតូចតាមអំពើចិត្តε > 0 មានលេខ N ដែលតម្លៃទាំងអស់។ x នដែល n > N បំពេញវិសមភាព

|x n - a|< ε. (6.1)

សរសេរវាដូចខាងក្រោមៈ ឬ x n →ក.

វិសមភាព (6.1) គឺស្មើនឹងវិសមភាពទ្វេ

a-ε< x n < a + ε, (6.2)

ដែលមានន័យថាចំណុច x នចាប់ផ្តើមពីលេខមួយចំនួន n>N ស្ថិតនៅខាងក្នុងចន្លោះពេល (a-ε, a + ε ), i.e. ធ្លាក់ចូលទៅក្នុងតូចណាមួយ។ε - អ្នកជិតខាងនៃចំណុច ក.

លំដាប់ដែលមានដែនកំណត់ត្រូវបានគេហៅថា ការបញ្ចូលគ្នាបើមិនដូច្នេះទេ - ខុសគ្នា.

គោលគំនិតនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍គឺជាការធ្វើឱ្យទូទៅនៃគំនិតនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ ចាប់តាំងពីដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ x n = f(n) នៃអាគុយម៉ង់ចំនួនគត់។ ន.

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ f(x) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយអនុញ្ញាតឱ្យ ក - ចំណុចកំណត់ដែននៃនិយមន័យនៃមុខងារនេះ D(f), i.e. ចំណុចបែបនេះ សង្កាត់ណាមួយដែលមានចំណុចនៃសំណុំ D(f) ខុសពី ក. ចំណុច កអាចឬមិនមែនជារបស់សំណុំ D(f)។

និយមន័យ ១.លេខថេរ A ត្រូវបានគេហៅថា ដែនកំណត់ មុខងារ f(x) នៅ x →a if សម្រាប់លំដាប់ណាមួយ (x n) នៃតម្លៃអាគុយម៉ង់ដែលមានទំនោរទៅ ក, លំដាប់ដែលត្រូវគ្នា (f(x n)) មានដែនកំណត់ដូចគ្នា A ។

និយមន័យនេះត្រូវបានគេហៅថា កំណត់ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ យោងទៅតាម Heine,ឬ " នៅក្នុងភាសានៃលំដាប់”.

និយមន័យ ២. លេខថេរ A ត្រូវបានគេហៅថា ដែនកំណត់ មុខងារ f(x) នៅ x →a ប្រសិនបើ ផ្តល់ចំនួនវិជ្ជមានតូចតាមអំពើចិត្ត εមនុស្សម្នាក់អាចរកឃើញ δ បែបនេះ>0 (អាស្រ័យលើε) ដែលសម្រាប់ទាំងអស់គ្នា xដេកនៅក្នុងε-សង្កាត់នៃលេខមួយ។ ក, i.e. សម្រាប់ xការបំពេញនូវវិសមភាព
0 < x-a< ε តម្លៃនៃអនុគមន៍ f(x) នឹងស្ថិតនៅε-សង្កាត់នៃលេខ A, i.e.|f(x)-A|< ε.

និយមន័យនេះត្រូវបានគេហៅថា កំណត់ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ យោងទៅតាម Cauchy,ឬ “ ជាភាសា ε - δ “.

និយមន័យ 1 និង 2 គឺសមមូល។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ f(x) ជា x →មាន ដែនកំណត់ស្មើនឹង A វាត្រូវបានសរសេរជា

. (6.3)

ក្នុងករណីដែលលំដាប់ (f(x n)) កើនឡើង (ឬថយចុះ) ដោយមិនកំណត់សម្រាប់វិធីសាស្រ្តនៃការប៉ាន់ស្មានណាមួយ xដល់ដែនកំណត់របស់អ្នក។ កបន្ទាប់មកយើងនឹងនិយាយថាមុខងារ f(x) មាន ដែនកំណត់គ្មានកំណត់,ហើយសរសេរវាជា៖

អថេរ (ឧ. លំដាប់ ឬមុខងារ) ដែលដែនកំណត់គឺសូន្យត្រូវបានគេហៅថា តូចគ្មានកំណត់។

អថេរ​ដែល​កម្រិត​ស្មើ​នឹង​ភាព​គ្មាន​កំណត់​ត្រូវ​បាន​ហៅ ធំគ្មានកំណត់.

ដើម្បីស្វែងរកដែនកំណត់ក្នុងការអនុវត្ត សូមប្រើទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ ១ . ប្រសិនបើមានដែនកំណត់នីមួយៗ

(6.4)

(6.5)

(6.6)

មតិយោបល់. កន្សោមដូចជា 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - គឺមិនប្រាកដប្រជា ជាឧទាហរណ៍ សមាមាត្រនៃបរិមាណមិនកំណត់ចំនួនពីរ ឬបរិមាណច្រើនគ្មានកំណត់ ហើយការស្វែងរកដែនកំណត់នៃប្រភេទនេះត្រូវបានគេហៅថា "ការបង្ហាញភាពមិនប្រាកដប្រជា"។

ទ្រឹស្តីបទ ២. (6.7)

ទាំងនោះ។ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីឆ្លងទៅដែនកំណត់នៅមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេនៅនិទស្សន្តថេរ ជាពិសេស, ;

(6.8)

(6.9)

ទ្រឹស្តីបទ ៣.

(6.10)

(6.11)

កន្លែងណា អ៊ី » 2.7 គឺជាមូលដ្ឋាននៃលោការីតធម្មជាតិ។ រូបមន្ត (6.10) និង (6.11) ត្រូវបានគេហៅថាទីមួយ ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យនិងដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ។

កូរ៉ូឡារីនៃរូបមន្ត (៦.១១) ក៏ត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងការអនុវត្តផងដែរ៖

(6.12)

(6.13)

(6.14)

ជាពិសេសដែនកំណត់

ប្រសិនបើ x → a និងនៅពេលដំណាលគ្នា x > a បន្ទាប់មកសរសេរ x→ a + 0. ប្រសិនបើជាពិសេស a = 0 នោះជំនួសឱ្យនិមិត្តសញ្ញា 0+0 មួយសរសេរ +0 ។ ដូចគ្នានេះដែរប្រសិនបើ x →a និងក្នុងពេលតែមួយ x a-0។ លេខ និងត្រូវបានដាក់ឈ្មោះតាម។ ដែនកំណត់ត្រឹមត្រូវ។និង ដែនកំណត់ខាងឆ្វេង មុខងារ f(x) នៅចំណុច ក. សម្រាប់ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ f(x) មានជា x →a គឺចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ . មុខងារ f(x) ត្រូវបានគេហៅថា បន្ត នៅចំណុច x 0 ប្រសិនបើដែនកំណត់

. (6.15)

លក្ខខណ្ឌ (៦.១៥) អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជា៖

,

នោះគឺការឆ្លងកាត់ទៅដែនកំណត់ក្រោមសញ្ញានៃមុខងារគឺអាចធ្វើទៅបានប្រសិនបើវាបន្តនៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ប្រសិនបើសមភាព (6.15) ត្រូវបានរំលោភ នោះយើងនិយាយអញ្ចឹង នៅ x = xo មុខងារ f(x) វា​មាន គម្លាត។ពិចារណាមុខងារ y = 1/x ។ ដែននៃមុខងារនេះគឺជាសំណុំ រលើកលែងតែ x = 0 ។ ចំនុច x = 0 គឺជាចំណុចកំណត់នៃសំណុំ D(f) ចាប់តាំងពីនៅក្នុងសង្កាត់ណាមួយរបស់វា ឧ. ចន្លោះពេលបើកណាមួយដែលមានចំណុច 0 មានចំណុចពី D(f) ប៉ុន្តែវាមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំនេះទេ។ តម្លៃ f(x o)= f(0) មិនត្រូវបានកំណត់ទេ ដូច្នេះមុខងារមានការដាច់នៅចំណុច x o = 0 ។

មុខងារ f(x) ត្រូវបានគេហៅថា បន្តនៅខាងស្តាំនៅចំណុចមួយ។ x o ប្រសិនបើដែនកំណត់

,

និង បន្តនៅខាងឆ្វេងនៅចំណុចមួយ។ x o ប្រសិនបើដែនកំណត់

.

ការបន្តនៃមុខងារនៅចំណុចមួយ។ x oគឺស្មើនឹងការបន្តរបស់វានៅចំណុចនេះទាំងនៅខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេង។

សម្រាប់មុខងារបន្តនៅចំណុចមួយ។ x oជាឧទាហរណ៍ នៅខាងស្តាំ ទីមួយ វាមានដែនកំណត់កំណត់ ហើយទីពីរ ដែនកំណត់នេះស្មើនឹង f(x o)។ ដូច្នេះប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់លក្ខខណ្ឌមួយក្នុងចំណោមលក្ខខណ្ឌទាំងពីរនេះមិនត្រូវបានបំពេញទេនោះមុខងារនឹងមានគម្លាត។

1. ប្រសិនបើដែនកំណត់មាន ហើយមិនស្មើនឹង f(x o) នោះគេនិយាយថា មុខងារ f(x) នៅចំណុច xo មាន ការបំបែកនៃប្រភេទទីមួយ,ឬ លោត.

2. ប្រសិនបើដែនកំណត់គឺ+∞ ឬ -∞ ឬមិនមានទេ បន្ទាប់មកយើងនិយាយថានៅក្នុង ចំណុច x o មុខងារមានការសម្រាក ប្រភេទទីពីរ.

ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍ y = ctg x នៅ x→ +0 មានដែនកំណត់ស្មើនឹង +∞ដូច្នេះហើយ នៅចំណុច x=0 វាមានការដាច់នៃប្រភេទទីពីរ។ អនុគមន៍ y = E(x) (ផ្នែកចំនួនគត់នៃ x) នៅចំនុចដែលមានចំនួនគត់ abscissas មានការដាច់នៃប្រភេទទីមួយ ឬលោត។

មុខងារដែលបន្តនៅគ្រប់ចំណុចនៃចន្លោះពេលត្រូវបានហៅ បន្តក្នុង។ មុខងារបន្តត្រូវបានតំណាងដោយខ្សែកោងរឹង។

បញ្ហាជាច្រើនដែលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការកើនឡើងជាបន្តបន្ទាប់នៃបរិមាណមួយចំនួននាំឱ្យមានដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ។ ជាឧទាហរណ៍ កិច្ចការទាំងនោះរួមមានៈ ការលូតលាស់នៃវិភាគទានតាមច្បាប់នៃផលប្រយោជន៍រួម កំណើនចំនួនប្រជាជនរបស់ប្រទេស ការពុកផុយនៃសារធាតុវិទ្យុសកម្ម ការកើនឡើងនៃបាក់តេរី។ល។

ពិចារណា ឧទាហរណ៍នៃ Ya. I. Perelmanដែលផ្តល់ការបកស្រាយនៃលេខ អ៊ីនៅក្នុងបញ្ហាផលប្រយោជន៍រួម។ ចំនួន អ៊ីមានដែនកំណត់ . នៅក្នុងធនាគារសន្សំ ប្រាក់ការប្រាក់ត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងដើមទុនថេរជារៀងរាល់ឆ្នាំ។ ប្រសិនបើការតភ្ជាប់ត្រូវបានធ្វើឡើងញឹកញាប់ជាងនេះ នោះដើមទុនកើនឡើងលឿនជាងមុន ដោយសារចំនួនដ៏ច្រើនត្រូវបានចូលរួមនៅក្នុងការបង្កើតការប្រាក់។ ចូរយើងយកទ្រឹស្តីសុទ្ធសាធ និងឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុត។ ឲ្យ​ធនាគារ​ដាក់​១០០​បាត។ ឯកតា ក្នុងអត្រា 100% ក្នុងមួយឆ្នាំ។ ប្រសិនបើប្រាក់ដែលមានការប្រាក់ត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងដើមទុនថេរតែប៉ុណ្ណោះបន្ទាប់ពីមួយឆ្នាំបន្ទាប់មកដោយពេលនេះ 100 den ។ ឯកតា នឹងប្រែទៅជា 200 den ។ ឥឡូវនេះសូមមើលអ្វីដែល 100 den នឹងប្រែទៅជា។ ឯកតា ប្រសិនបើប្រាក់ការប្រាក់ត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងដើមទុនថេររៀងរាល់ប្រាំមួយខែម្តង។ បន្ទាប់ពីពាក់កណ្តាលឆ្នាំ 100 ។ ឯកតា កើនឡើងដល់ 100× 1.5 \u003d 150 ហើយបន្ទាប់ពីប្រាំមួយខែទៀត - នៅ 150× 1.5 \u003d 225 (គ្រឿង) ។ ប្រសិនបើការចូលជាសមាជិកត្រូវបានធ្វើរៀងរាល់ 1/3 នៃឆ្នាំ បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីមួយឆ្នាំ 100 den ។ ឯកតា ប្រែទៅជា 100× (1 +1/3) 3 » ២៣៧ (ឯកតា) ។ យើង​នឹង​បង្កើន​រយៈពេល​បន្ថែម​ប្រាក់​ការ​ប្រាក់​ដល់ 0.1 ឆ្នាំ 0.01 ឆ្នាំ 0.001 ឆ្នាំ​។​ល។ បន្ទាប់មកចេញពី 100 den ។ ឯកតា មួយឆ្នាំក្រោយមក៖

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. units),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. units),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. units).

ជាមួយនឹងការកាត់បន្ថយគ្មានដែនកំណត់ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការចូលរួមការប្រាក់ ដើមទុនបង្គរមិនកើនឡើងឥតកំណត់នោះទេ ប៉ុន្តែឈានដល់កម្រិតជាក់លាក់មួយស្មើនឹងប្រមាណ 271។ ដើមទុនដែលដាក់ក្នុងអត្រា 100% ក្នុងមួយឆ្នាំមិនអាចកើនឡើងលើសពី 2.71 ដងទេ បើទោះបីជាការប្រាក់បង្គរក៏ដោយ។ បន្ថែមទៅរាជធានីជារៀងរាល់វិនាទីដោយសារតែដែនកំណត់

ឧទាហរណ៍ 3.1 ។ដោយប្រើនិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខ បង្ហាញថាលំដាប់ x n =(n-1)/n មានដែនកំណត់ស្មើនឹង 1 ។

ការសម្រេចចិត្ត។យើង​ត្រូវ​តែ​បញ្ជាក់​ថា​អ្វី​ក៏​ដោយε > 0 យើងយក ព្រោះវាមានលេខធម្មជាតិ N ដែលសម្រាប់ទាំងអស់ n N វិសមភាព|xn-1|< ε.

យក e > 0. ចាប់តាំងពី ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n បន្ទាប់មកដើម្បីរក N វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដោះស្រាយវិសមភាព 1/n< អ៊ី ដូច្នេះ n>1/e ដូច្នេះ N អាច​ត្រូវ​បាន​យក​ជា​ផ្នែក​ចំនួន​គត់​នៃ 1/ e , N = E(1/e ) ដូច្នេះ យើង​បាន​បញ្ជាក់​ថា​កម្រិត​កំណត់។

ឧទាហរណ៍ ៣.2 . ស្វែងរកដែនកំណត់នៃលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយពាក្យសាមញ្ញមួយ។ .

ការសម្រេចចិត្ត។អនុវត្តទ្រឹស្តីបទផលបូកដែនកំណត់ និងស្វែងរកដែនកំណត់នៃពាក្យនីមួយៗ។ សម្រាប់ n→ ∞ ភាគយក និងភាគបែងនៃពាក្យនីមួយៗមានទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ហើយយើងមិនអាចអនុវត្តទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់កូតាដោយផ្ទាល់បានទេ។ ដូច្នេះដំបូងយើងផ្លាស់ប្តូរ x នចែកភាគយក និងភាគបែងនៃពាក្យទីមួយដោយ n ២, និងទីពីរ ន. បន្ទាប់​មក​ការ​អនុវត្ត​ទ្រឹស្តីបទ​កម្រិត​កូតានិក និង​ទ្រឹស្តីបទ​កំណត់​ផលបូក យើង​រក​ឃើញ៖

.

ឧទាហរណ៍ 3.3. . ដើម្បីស្វែងរក។

ការសម្រេចចិត្ត។ .

នៅទីនេះយើងបានប្រើទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់ដឺក្រេ៖ ដែនកំណត់នៃដឺក្រេគឺស្មើនឹងកម្រិតនៃដែនកំណត់នៃមូលដ្ឋាន។

ឧទាហរណ៍ ៣.4 . ដើម្បីស្វែងរក ( ).

ការសម្រេចចិត្ត។វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទដែនកំណត់ភាពខុសគ្នា ដោយសារយើងមានភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ ∞-∞ . ចូរយើងបំប្លែងរូបមន្តនៃពាក្យទូទៅ៖

.

ឧទាហរណ៍ ៣.5 . អនុគមន៍ f(x)=2 1/x ។ បង្ហាញថាដែនកំណត់មិនមានទេ។

ការសម្រេចចិត្ត។យើងប្រើនិយមន័យ 1 នៃដែនកំណត់នៃមុខងារក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃលំដាប់មួយ។ យកលំដាប់មួយ ( x n ) បម្លែងទៅជា 0, i.e. ចូរយើងបង្ហាញថាតម្លៃ f(x n)= មានឥរិយាបទខុសគ្នាសម្រាប់លំដាប់ផ្សេងគ្នា។ អនុញ្ញាតឱ្យ x n = 1/n ។ ជាក់ស្តែងបន្ទាប់មកដែនកំណត់ តោះជ្រើសរើសឥឡូវនេះ x នលំដាប់ដែលមានពាក្យសាមញ្ញ x n = -1/n ក៏មានទំនោរទៅសូន្យ។ ដូច្នេះ​វា​គ្មាន​ដែន​កំណត់​ទេ។

ឧទាហរណ៍ ៣.6 . បង្ហាញថាដែនកំណត់មិនមានទេ។

ការសម្រេចចិត្ត។ទុក x 1 , x 2 ,... , x n , ... ជាលំដាប់ដែល
. តើលំដាប់ (f(x n)) = (sin x n) មានឥរិយាបទសម្រាប់ភាពខុសគ្នា x n → ∞

ប្រសិនបើ x n \u003d p n នោះ sin x n \u003d sin p n = 0 សម្រាប់ទាំងអស់គ្នា ននិងកំណត់ប្រសិនបើ
xn=2 p n + p /2 បន្ទាប់មក sin x n = sin(2 p n + p /2) = sin ទំ /2 = 1 សម្រាប់ទាំងអស់គ្នា នដូច្នេះហើយ ដែនកំណត់។ ដូច្នេះមិនមានទេ។

ធាតុក្រាហ្វិកសម្រាប់គណនាដែនកំណត់លើអ៊ីនធឺណិត

នៅក្នុងប្រអប់ខាងលើ ជំនួសឱ្យ sin(x)/x បញ្ចូលមុខងារដែលអ្នកចង់ស្វែងរកដែនកំណត់។ នៅក្នុងប្រអប់ខាងក្រោម បញ្ចូលលេខដែល x ទំនោរទៅ ហើយចុចប៊ូតុង Calcular ទទួលបានដែនកំណត់ដែលចង់បាន។ ហើយប្រសិនបើអ្នកចុចលើ បង្ហាញជំហាននៅជ្រុងខាងស្តាំខាងលើក្នុងបង្អួចលទ្ធផល អ្នកនឹងទទួលបានដំណោះស្រាយលម្អិត។

ច្បាប់នៃការបញ្ចូលមុខងារ៖ sqrt(x) - ឫសការ៉េ, cbrt(x) - ឫសគូប, exp(x) - exponent, ln(x) - លោការីតធម្មជាតិ, sin(x) - sine, cos(x) - cosine, tan (x) - តង់សង់, cot(x) - កូតង់សង់, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent។ សញ្ញា៖ * គុណ/ចែក ^ និទស្សន្ត ជំនួស ភាពគ្មានទីបញ្ចប់ភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ ឧទាហរណ៍៖ មុខងារត្រូវបានបញ្ចូលជា sqrt(tan(x/2))។

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y = ƒ(x) ត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំនុច x o លើកលែងតែ ប្រហែលជាសម្រាប់ចំនុច x o ខ្លួនវាផ្ទាល់។

ចូរយើងបង្កើតនិយមន័យសមមូលពីរនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ។

និយមន័យ 1 (ក្នុង "ភាសានៃលំដាប់" ឬយោងទៅតាម Heine) ។

លេខ A ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃមុខងារ y \u003d ƒ (x) នៅក្នុង furnace x 0 (ឬនៅ x® x o) ប្រសិនបើសម្រាប់លំដាប់នៃតម្លៃដែលអាចទទួលយកបាននៃអាគុយម៉ង់ x n, n є N (x n ¹ x 0) បំប្លែងទៅជា x o លំដាប់នៃតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃអនុគមន៍ ƒ(х n), n є N, បម្លែងទៅជាលេខ A

ក្នុងករណីនេះសរសេរ
ឬ ƒ(x)->A នៅ x → x o ។ អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍៖ មានន័យថាសម្រាប់ចំនុចទាំងអស់ x គ្រប់គ្រាន់នៅជិតចំនុច x o តម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃអនុគមន៍មានភាពខុសគ្នាតិចតួចពីចំនួន A ។

និយមន័យ 2 (នៅក្នុង "ភាសា ε" ឬបន្ទាប់ពី Cauchy) ។

លេខ A ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅចំណុច x o (ឬនៅ x → x o) ប្រសិនបើសម្រាប់វិជ្ជមានណាមួយ ε មានលេខវិជ្ជមាន δ នោះសម្រាប់ x¹ x o ទាំងអស់ដែលបំពេញវិសមភាព |x-x o |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដែនកំណត់មុខងារ៖

ប្រសិនបើសម្រាប់ ε- សង្កាត់ណាមួយនៃចំណុច A មាន δ- សង្កាត់នៃចំនុច x o ដូចនេះសម្រាប់ x¹ ho ទាំងអស់ពី δ- អ្នកជិតខាងនេះ តម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃអនុគមន៍ ƒ(x) ស្ថិតនៅក្នុង ε-neighborhood នៃចំនុច A. ម្យ៉ាងវិញទៀត ចំនុចនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = ƒ(x) ស្ថិតនៅខាងក្នុងឆ្នូតនៃទទឹង 2ε ចងដោយបន្ទាត់ត្រង់ y=A+ ε , y=A-ε (សូមមើលរូប 110) . ជាក់ស្តែងតម្លៃនៃ δ អាស្រ័យលើជម្រើសនៃ ε ដូច្នេះយើងសរសេរ δ = δ (ε) ។

<< Пример 16.1

បញ្ជាក់

ដំណោះស្រាយ៖ យក ε>0 តាមអំពើចិត្ត រក δ=δ(ε)>0 ដែលសម្រាប់ x ទាំងអស់ដែលបំពេញវិសមភាព |х-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.

ដោយយក δ=ε/2 យើងឃើញថាសម្រាប់ x ទាំងអស់បំពេញវិសមភាព |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.

<< Пример 16.2

១៦.២. ដែនកំណត់ម្ខាង

នៅក្នុងនិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ វាត្រូវបានចាត់ទុកថា x មានទំនោរទៅ x 0 តាមមធ្យោបាយណាមួយ៖ នៅសល់តិចជាង x 0 (ទៅខាងឆ្វេងនៃ x 0) ធំជាង x o (នៅខាងស្តាំ x o) ឬប្រែប្រួល។ ជុំវិញចំនុច x 0 ។

មានករណីនៅពេលដែលវិធីសាស្រ្តនៃការខិតជិតអាគុយម៉ង់ x ទៅ xo ប៉ះពាល់យ៉ាងខ្លាំងដល់តម្លៃនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍។ ដូច្នេះ គំនិតនៃដែនកំណត់ម្ខាងត្រូវបានណែនាំ។

លេខ A 1 ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ y \u003d ƒ (x) នៅខាងឆ្វេងនៅចំណុច x o ប្រសិនបើសម្រាប់លេខណាមួយε> 0 មានលេខ δ \u003d δ (ε)> 0 នោះសម្រាប់ x є (x 0 -δ; x o) វិសមភាព |ƒ(x)-A|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>x 0 -0 ឬដោយសង្ខេប៖ ƒ (x o- 0) \u003d A 1 (សញ្ញាសម្គាល់ Dirichlet) (សូមមើលរូបទី 111)។

ដែនកំណត់នៃមុខងារនៅខាងស្តាំត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នា យើងសរសេរវាដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញា៖

ដោយសង្ខេប ដែនកំណត់នៅខាងស្តាំត្រូវបានតាងដោយ ƒ(x o +0) = A ។

ដែនកំណត់នៃមុខងារមួយនៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់ម្ខាង។ ជាក់ស្តែងប្រសិនបើមាន នោះដែនកំណត់ម្ខាងមាន ហើយ A=A 1=A 2 ។

សេចក្តីថ្លែងការសន្ទនាក៏ពិតដែរ៖ ប្រសិនបើដែនកំណត់ទាំងពីរ ƒ(x 0 -0) និង ƒ(x 0 +0) មាន ហើយពួកវាស្មើគ្នា នោះមានដែនកំណត់ និង A \u003d ƒ(x 0 -0) ។

ប្រសិនបើ A 1 ¹ A 2 នោះ ច្រកផ្លូវនេះមិនមានទេ។

១៦.៣. ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅ x ® ∞

សូមឲ្យអនុគមន៍ y=ƒ(x) ត្រូវបានកំណត់ក្នុងចន្លោះពេល (-∞;∞)។ លេខ A ត្រូវបានហៅ ដែនកំណត់មុខងារƒ(x) នៅ x → ∞ ប្រសិនបើសម្រាប់ចំនួនវិជ្ជមានណាមួយ ε មានលេខបែបនេះ М=М()>0 ដែលសម្រាប់ទាំងអស់ х បំពេញវិសមភាព |х|>М វិសមភាព |ƒ(х)-А|<ε. Коротко это определение можно записать так:

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃនិយមន័យនេះមានដូចខាងក្រោម៖ សម្រាប់ "ε>0$ M>0 នោះសម្រាប់ x є(-∞; -M) ឬ x є(M; +∞) តម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃអនុគមន៍ ƒ( x) ធ្លាក់ចូលទៅក្នុងសង្កាត់ε-សង្កាត់នៃចំណុច A ពោលគឺចំនុចនៃក្រាហ្វស្ថិតនៅក្នុងបន្ទះទទឹង 2ε ចងដោយបន្ទាត់ត្រង់ y \u003d A + ε និង y \u003d A-ε (សូមមើលរូប 112 )

១៦.៤. មុខងារធំគ្មានកំណត់ (b.b.f.)

អនុគមន៍ y=ƒ(x) ត្រូវបានគេហៅថាធំមិនកំណត់សម្រាប់ x→x 0 ប្រសិនបើសម្រាប់លេខណាមួយ M>0 មានលេខ δ=δ(M)>0 ដែលសម្រាប់ x ទាំងអស់បំពេញវិសមភាព 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>ម.

ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍ y=1/(x-2) គឺជា b.b.f ។ នៅ x->2 ។

ប្រសិនបើ ƒ(x) ទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ជា x → x o ហើយយកតែតម្លៃវិជ្ជមាន នោះយើងសរសេរ

ប្រសិនបើតម្លៃអវិជ្ជមានតែប៉ុណ្ណោះ

អនុគមន៍ y \u003d ƒ (x) ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូល ហៅថាគ្មានកំណត់សម្រាប់ x →∞ ប្រសិនបើសម្រាប់លេខណាមួយ M>0 មានលេខ N=N(M)>0 នោះសម្រាប់ x ទាំងអស់ដែលពេញចិត្តវិសមភាព |x|>N វិសមភាព |ƒ(x)|>M ពេញចិត្ត . ខ្លី៖

ឧទាហរណ៍ y=2x មាន b.b.f ។ នៅ x →∞។

ចំណាំថា ប្រសិនបើអាគុយម៉ង់ х ទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ យកតែតម្លៃធម្មជាតិ ពោលគឺ хєN បន្ទាប់មក b.b.f ដែលត្រូវគ្នា។ ក្លាយជាលំដាប់ដ៏ធំគ្មានកំណត់។ ឧទាហរណ៍ លំដាប់ v n = n 2 +1, n є N, គឺជាលំដាប់ដ៏ធំគ្មានកំណត់។ ជាក់ស្តែង រាល់ b.b.f. នៅក្នុងសង្កាត់នៃចំនុច x o គឺគ្មានដែនកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់នេះ។ ការសន្ទនាមិនពិត៖ មុខងារគ្មានដែនកំណត់អាចមិនមែនជា b.b.f. (ឧទាហរណ៍ y=xsinx ។ )

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើ limƒ(x)=A សម្រាប់ x→x 0 ដែល A ជាចំនួនកំណត់ នោះអនុគមន៍ ƒ(x) ត្រូវបានចងនៅជុំវិញចំនុច x o ។

ជាការពិតណាស់ ពីនិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ វាធ្វើតាមថាសម្រាប់ x → x 0 លក្ខខណ្ឌ |ƒ(x)-A|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.

ថ្ងៃនេះនៅមេរៀនយើងនឹងវិភាគ លំដាប់លំដោយនិង និយមន័យតឹងរឹងនៃដែនកំណត់នៃមុខងារក៏ដូចជារៀនពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាដែលត្រូវគ្នានៃធម្មជាតិទ្រឹស្តី។ អត្ថបទនេះមានគោលបំណងជាចម្បងសម្រាប់និស្សិតឆ្នាំទី 1 នៃវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ និងឯកទេសវិស្វកម្ម ដែលបានចាប់ផ្តើមសិក្សាទ្រឹស្តីនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា ហើយបានជួបប្រទះការលំបាកក្នុងការយល់ដឹងផ្នែកគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាងនេះ។ លើសពីនេះទៀតសម្ភារៈគឺពិតជាអាចចូលដំណើរការបានសម្រាប់សិស្សវិទ្យាល័យ។

ក្នុងរយៈពេលជាច្រើនឆ្នាំនៃអត្ថិភាពនៃគេហទំព័រនេះ ខ្ញុំបានទទួលសំបុត្រជាច្រើនដែលមានខ្លឹមសារដូចខាងក្រោម៖ "ខ្ញុំមិនយល់ការវិភាគគណិតវិទ្យាបានល្អទេ តើខ្ញុំគួរធ្វើដូចម្តេច?", "ខ្ញុំមិនយល់អំពីម៉ាតានទេ ខ្ញុំ" ខ្ញុំ​គិត​ថា​ឈប់​រៀន»។ល។ ពិតហើយ វាគឺជាម៉ាតាន់ ដែលជារឿយៗធ្វើឲ្យក្រុមសិស្សស្តើងចេញ បន្ទាប់ពីវគ្គដំបូង។ ហេតុអ្វីបានជារឿងបែបនេះ? ព្រោះ​ប្រធានបទ​ស្មុគ​ស្មាញ​មិន​នឹកស្មាន? មិនមែនទាល់តែសោះ! ទ្រឹស្តី​នៃ​ការ​វិភាគ​គណិត​វិទ្យា​មិន​ពិបាក​នោះ​ទេ​ព្រោះ​វា​ប្លែក. ហើយ​អ្នក​ត្រូវ​ទទួល​យក​និង​ស្រឡាញ់​នាង​ថា​នាង​ជា​នរណា =)

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងករណីដ៏លំបាកបំផុត។ ជាដំបូង និងសំខាន់បំផុត កុំបោះបង់ការសិក្សា។ យល់ឱ្យបានត្រឹមត្រូវ ឈប់ វានឹងមានពេលវេលាជានិច្ច ;-) ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើក្នុងមួយឆ្នាំ ឬពីរឆ្នាំពីជំនាញដែលបានជ្រើសរើស វានឹងធ្វើឱ្យអ្នកឈឺ បាទ - អ្នកគួរតែគិតអំពីវា (ហើយកុំក្តៅខ្លួន!)អំពីការផ្លាស់ប្តូរសកម្មភាព។ ប៉ុន្តែសម្រាប់ពេលនេះវាមានតម្លៃបន្ត។ ហើយសូមភ្លេចឃ្លាថា "ខ្ញុំមិនយល់អ្វីទាំងអស់" - វាមិនកើតឡើងទេដែលអ្នកមិនយល់អ្វីទាំងអស់។

អ្វីដែលត្រូវធ្វើប្រសិនបើទ្រឹស្តីមិនល្អ? ដោយវិធីនេះវាមិនត្រឹមតែអនុវត្តចំពោះការវិភាគគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះទេ។ ប្រសិនបើទ្រឹស្តីមិនល្អ នោះដំបូងអ្នកត្រូវអនុវត្តជាក់ស្តែង។ ទន្ទឹមនឹងនេះ កិច្ចការយុទ្ធសាស្ត្រចំនួនពីរត្រូវបានដោះស្រាយក្នុងពេលតែមួយ៖

- ទីមួយ សមាមាត្រដ៏សំខាន់នៃចំណេះដឹងទ្រឹស្តីបានកើតឡើងតាមរយៈការអនុវត្ត។ ហើយ​មនុស្ស​ជា​ច្រើន​បាន​យល់​ពី​ទ្រឹស្ដី​តាម​រយៈ... - ត្រូវ​ហើយ! ទេ ទេ អ្នកមិនបានគិតអំពីរឿងនោះទេ។

- ហើយទីពីរ ជំនាញជាក់ស្តែងទំនងជា "លាតត្រដាង" អ្នកក្នុងការប្រឡង បើទោះបីជា ... ប៉ុន្តែកុំឱ្យដូចនោះ! អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺពិតប្រាកដ ហើយអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺពិតជា "លើក" ក្នុងរយៈពេលដ៏ខ្លី។ ការវិភាគគណិតវិទ្យាគឺជាផ្នែកដែលខ្ញុំចូលចិត្តបំផុតនៃគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ ដូច្នេះហើយខ្ញុំមិនអាចជួយអ្វីបានក្រៅពីផ្តល់ជំនួយដល់អ្នក៖

នៅដើមឆមាសទី 1 ការកំណត់លំដាប់ និងដែនកំណត់មុខងារជាធម្មតាឆ្លងកាត់។ មិន​យល់​ថា​វា​ជា​អ្វី ហើយ​មិន​ដឹង​ថា​ត្រូវ​ដោះ​ស្រាយ​យ៉ាង​ណា? ចាប់ផ្តើមជាមួយអត្ថបទមួយ។ ដែនកំណត់មុខងារដែលក្នុងនោះគំនិតខ្លួនឯងត្រូវបានចាត់ទុកថា "នៅលើម្រាមដៃ" ហើយឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុតត្រូវបានវិភាគ។ បន្ទាប់មកធ្វើការតាមរយៈមេរៀនផ្សេងទៀតលើប្រធានបទ រួមទាំងមេរៀនអំពី នៅក្នុងលំដាប់ដែលខ្ញុំពិតជាបានបង្កើតនិយមន័យយ៉ាងម៉ត់ចត់រួចហើយ។

តើរូបតំណាងអ្វីក្រៅពីសញ្ញាវិសមភាព និងម៉ូឌុល តើអ្នកដឹងទេ?

- ដំបងបញ្ឈរវែងអានដូចនេះ៖ "បែបនោះ", "បែបនោះ", "បែបនោះ" ឬ "បែបនោះ"ក្នុងករណីរបស់យើង ជាក់ស្តែង យើងកំពុងនិយាយអំពីចំនួនមួយ - ដូច្នេះ "បែបនោះ";

- សម្រាប់ទាំងអស់ "en" ធំជាង ;

– សញ្ញាម៉ូឌុលមានន័យថាចម្ងាយ, i.e. ធាតុនេះប្រាប់យើងថាចម្ងាយរវាងតម្លៃគឺតិចជាង epsilon ។

អញ្ចឹងតើវាពិបាកស្លាប់ទេ? =)

បន្ទាប់​ពី​អនុវត្ត​បាន​ស្ទាត់​ជំនាញ​ហើយ ខ្ញុំ​កំពុង​រង់ចាំ​អ្នក​ក្នុង​កថាខណ្ឌ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

ជាការពិត ចូរយើងគិតបន្តិច - របៀបបង្កើតនិយមន័យយ៉ាងម៉ត់ចត់នៃលំដាប់? ... រឿងដំបូងដែលគិតក្នុងពន្លឺ វគ្គជាក់ស្តែង៖ "ដែនកំណត់​នៃ​លំដាប់​មួយ​គឺ​ជា​ចំនួន​ដែល​សមាជិក​នៃ​លំដាប់​ខិត​ជិត​គ្មាន​កំណត់។"

មិនអីទេ តោះសរសេរ បន្តបន្ទាប់ :

វាងាយស្រួលក្នុងការចាប់យកវា។ បន្តបន្ទាប់ ខិតជិតគ្មានកំណត់ទៅ -1 និងពាក្យគូ - ទៅ "ឯកតា" ។

ប្រហែលជាមានដែនកំណត់ពីរ? ប៉ុន្តែ​ហេតុ​អ្វី​បាន​ជា​មិន​អាច​មាន​ចំនួន​ដប់ ឬ​ម្ភៃ​នៃ​វា? វិធីនោះអ្នកអាចទៅឆ្ងាយ។ ក្នុងន័យនេះ វាសមហេតុផលក្នុងការសន្មត់ថា ប្រសិនបើលំដាប់មានដែនកំណត់ នោះវាមានតែមួយ.

ចំណាំ ៖ លំដាប់​នេះ​គ្មាន​ដែន​កំណត់​ទេ ប៉ុន្តែ​បន្ទាប់​បន្សំ​ពីរ​អាច​ត្រូវ​បាន​សម្គាល់​ពី​វា (មើល​ខាង​លើ) ដែល​នីមួយៗ​មាន​ដែន​កំណត់​រៀង​ខ្លួន។

ដូច្នេះនិយមន័យខាងលើប្រែថាមិនអាចទទួលយកបាន។ បាទ វាដំណើរការសម្រាប់ករណីដូចជា (ដែលខ្ញុំមិនបានប្រើត្រឹមត្រូវក្នុងការពន្យល់សាមញ្ញនៃឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង)ប៉ុន្តែឥឡូវនេះ យើងត្រូវស្វែងរកនិយមន័យដ៏តឹងរឹងមួយ។

ព្យាយាមពីរ៖ “ដែនកំណត់នៃលំដាប់គឺជាចំនួនដែលសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់ចូលទៅជិត លើកលែងតែ ប្រហែលជារបស់ពួកគេ ចុងក្រោយបរិមាណ។" នេះគឺកាន់តែខិតទៅជិតការពិត ប៉ុន្តែនៅតែមិនទាន់មានភាពត្រឹមត្រូវទាំងស្រុង។ ដូច្នេះឧទាហរណ៍លំដាប់ ពាក់កណ្តាលនៃពាក្យមិនជិតសូន្យទាល់តែសោះ - ពួកគេគ្រាន់តែស្មើនឹងវា =) ដោយវិធីនេះ "ពន្លឺភ្លឺ" ជាទូទៅយកតម្លៃថេរពីរ។

ការបង្កើតមិនពិបាកបញ្ជាក់ទេ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកសំណួរមួយទៀតកើតឡើង៖ របៀបសរសេរនិយមន័យក្នុងន័យគណិតវិទ្យា? ពិភពវិទ្យាសាស្ត្របានតស៊ូជាមួយបញ្ហានេះអស់រយៈពេលជាយូររហូតដល់ស្ថានភាពត្រូវបានដោះស្រាយ។ គ្រូល្បីដែលតាមខ្លឹមសារ បានធ្វើការវិភាគបែបគណិតវិទ្យាបែបបុរាណជាផ្លូវការក្នុងភាពម៉ត់ចត់ទាំងអស់។ Cauchy ផ្តល់ជូនដើម្បីដំណើរការ ជុំវិញ ដែល​បាន​ជឿនលឿន​ទៅ​លើ​ទ្រឹស្តី​យ៉ាង​ខ្លាំង។

ពិចារណាចំណុចខ្លះនិងរបស់វា។ បំពាន-សង្កាត់៖

តម្លៃនៃ "epsilon" គឺតែងតែវិជ្ជមាន ហើយលើសពីនេះទៅទៀត យើងមានសិទ្ធិជ្រើសរើសវាដោយខ្លួនឯង។. សន្មតថាសង្កាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យមានសំណុំនៃលក្ខខណ្ឌ (មិនចាំបាច់ទាំងអស់)លំដាប់ខ្លះ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរការពិតថាជាឧទាហរណ៍ពាក្យទីដប់បានធ្លាក់ចូលទៅក្នុងសង្កាត់? សូមឱ្យវាស្ថិតនៅខាងស្តាំរបស់វា។ បន្ទាប់មកចម្ងាយរវាងចំនុច និងគួរតែតិចជាង "epsilon": . ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើ "x ភាគដប់" មានទីតាំងនៅខាងឆ្វេងនៃចំណុច "a" នោះភាពខុសគ្នានឹងអវិជ្ជមានហើយដូច្នេះសញ្ញាត្រូវតែបន្ថែមទៅវា។ ម៉ូឌុល: .

និយមន័យ៖ លេខត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃលំដាប់ប្រសិនបើ សម្រាប់ណាមួយ។ជុំវិញរបស់វា។ (បានជ្រើសរើសជាមុន)មានលេខធម្មជាតិ - បែបនេះ ទាំងអស់។សមាជិកនៃលំដាប់ដែលមានលេខខ្ពស់ជាងនឹងស្ថិតនៅក្នុងសង្កាត់៖

ឬខ្លីជាងនេះ៖ ប្រសិនបើ

ម៉្យាងទៀត មិនថាតម្លៃនៃ "epsilon" តូចប៉ុនណាដែលយើងយកនោះទេ មិនយូរមិនឆាប់ "កន្ទុយគ្មានកំណត់" នៃលំដាប់នឹងពេញលេញនៅក្នុងសង្កាត់នេះ។

ដូច្នេះឧទាហរណ៍ "កន្ទុយគ្មានកំណត់" នៃលំដាប់ ពេញលេញចូលទៅក្នុងសង្កាត់តូចមួយតាមអំពើចិត្តនៃចំណុច។ ដូច្នេះតម្លៃនេះគឺជាដែនកំណត់នៃលំដាប់តាមនិយមន័យ។ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា លំដាប់ដែលមានដែនកំណត់គឺសូន្យត្រូវបានគេហៅថា គ្មានដែនកំណត់.

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាសម្រាប់លំដាប់វាមិនអាចនិយាយបានទៀតទេថា "កន្ទុយគ្មានកំណត់ និង​មក"- សមាជិកដែលមានលេខសេស តាមពិតស្មើនឹងសូន្យ ហើយ "មិនទៅណាទេ" =) នោះហើយជាមូលហេតុដែលកិរិយាស័ព្ទ "នឹងបញ្ចប់" ត្រូវបានប្រើក្នុងនិយមន័យ។ ហើយពិតណាស់សមាជិកនៃលំដាប់បែបនេះក៏ "មិនទៅណាទេ" ។ ដោយវិធីនេះ ពិនិត្យមើលថាតើចំនួននឹងជាដែនកំណត់របស់វា។

ឥឡូវ​នេះ ចូរ​យើង​បង្ហាញ​ថា​លំដាប់​នេះ​គ្មាន​ដែន​កំណត់។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាតំបន់ជុំវិញនៃចំណុច។ វាច្បាស់ណាស់ថាមិនមានលេខបែបនេះទេ បន្ទាប់ពីនោះសមាជិកទាំងអស់នឹងស្ថិតនៅក្នុងសង្កាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ - សមាជិកសេសនឹងតែងតែ "លោត" ទៅ "ដកមួយ" ។ សម្រាប់ហេតុផលស្រដៀងគ្នានេះ វាមិនមានដែនកំណត់នៅចំណុចនោះទេ។

ជួសជុលសម្ភារៈជាមួយការអនុវត្ត៖

ឧទាហរណ៍ ១

បង្ហាញថាដែនកំណត់នៃលំដាប់គឺសូន្យ។ ចង្អុលបង្ហាញលេខ បន្ទាប់ពីនោះសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់ត្រូវបានធានាថាស្ថិតនៅក្នុងសង្កាត់តូចតាចណាមួយតាមអំពើចិត្ត។

ចំណាំ ៖ សម្រាប់​លំដាប់​ជា​ច្រើន លេខ​ធម្មជាតិ​ដែល​ចង់​បាន​អាស្រ័យ​លើ​តម្លៃ - ហេតុ​ដូច្នេះ​ហើយ​បាន​កំណត់​ចំណាំ ។

ការសម្រេចចិត្ត៖ ពិចារណា បំពាន តើនឹងមានលេខ - ដូចជាសមាជិកទាំងអស់ដែលមានលេខខ្ពស់ជាងនឹងស្ថិតនៅក្នុងសង្កាត់នេះ៖

ដើម្បីបង្ហាញពីអត្ថិភាពនៃចំនួនដែលត្រូវការ យើងបង្ហាញក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ .

ចាប់តាំងពីសម្រាប់តម្លៃណាមួយ "en" បន្ទាប់មកសញ្ញាម៉ូឌុលអាចត្រូវបានយកចេញ:

យើងប្រើសកម្មភាព "សាលា" ជាមួយនឹងវិសមភាពដែលខ្ញុំបានធ្វើម្តងទៀតនៅក្នុងមេរៀន វិសមភាពលីនេអ៊ែរនិង វិសាលភាពមុខងារ. ក្នុងករណីនេះ កាលៈទេសៈសំខាន់មួយគឺថា "epsilon" និង "en" គឺវិជ្ជមាន:

ដោយសារនៅខាងឆ្វេងយើងកំពុងនិយាយអំពីលេខធម្មជាតិ ហើយផ្នែកខាងស្តាំជាទូទៅជាប្រភាគ វាចាំបាច់ត្រូវតែបង្គត់៖

ចំណាំ ៖ ពេលខ្លះឯកតាត្រូវបានបន្ថែមទៅខាងស្ដាំសម្រាប់ការធានារ៉ាប់រងឡើងវិញ ប៉ុន្តែតាមពិត នេះគឺជាការហួសកម្រិត។ បើនិយាយទាក់ទងគ្នា ប្រសិនបើយើងក៏ធ្វើឱ្យលទ្ធផលចុះខ្សោយដោយការបង្គត់ចុះ នោះលេខដែលនៅជិតបំផុត ("បី") នឹងនៅតែបំពេញនូវវិសមភាពដើម។

ហើយ​ឥឡូវ​នេះ​យើង​មើល​ទៅ​វិសមភាព​ហើយ​ចាំ​ថា​ដំបូង​យើង​បាន​ពិចារណា បំពាន- អ្នកជិតខាង, i.e. "epsilon" អាចស្មើនឹង នរណាម្នាក់លេខវិជ្ជមាន។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន: សម្រាប់ទំហំតូចតាមអំពើចិត្ត -neighborhood នៃចំណុច តម្លៃ . ដូច្នេះ លេខគឺជាដែនកំណត់នៃលំដាប់តាមនិយមន័យ។ Q.E.D.

ដោយវិធីនេះពីលទ្ធផល គំរូធម្មជាតិអាចមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់៖ អ្នកជិតខាងកាន់តែតូច នោះចំនួនកាន់តែច្រើនដែលសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់នឹងស្ថិតនៅក្នុងសង្កាត់នេះ។ ប៉ុន្តែទោះបីជា "epsilon" តូចប៉ុណ្ណាក៏ដោយ វាតែងតែមាន "កន្ទុយគ្មានដែនកំណត់" នៅខាងក្នុង និងខាងក្រៅ ទោះបីជាវាមានទំហំធំយ៉ាងណាក៏ដោយ។ ចុងក្រោយចំនួនសមាជិក។

តើមានចំណាប់អារម្មណ៍យ៉ាងណាដែរ? =) ខ្ញុំយល់ស្របថាវាចម្លែក។ ប៉ុន្តែតឹងរឹង!សូមអានឡើងវិញ ហើយគិតម្តងទៀត។

ពិចារណាឧទាហរណ៍ស្រដៀងគ្នា ហើយស្គាល់បច្ចេកទេសផ្សេងទៀត៖

ឧទាហរណ៍ ២

ការសម្រេចចិត្ត៖ តាម​និយមន័យ​នៃ​លំដាប់​មួយ វា​ចាំបាច់​ដើម្បី​បញ្ជាក់​ថា​ (និយាយខ្លាំងៗ!!!).

ពិចារណា បំពាន- អ្នកជិតខាងនៃចំណុចនិងពិនិត្យ, តើវាមានលេខធម្មជាតិ - ដូចជាសម្រាប់លេខធំទាំងអស់ វិសមភាពខាងក្រោមមាន៖

ដើម្បីបង្ហាញពីអត្ថិភាពនៃបែបនោះ អ្នកត្រូវបង្ហាញ "en" តាមរយៈ "epsilon"។ យើងសម្រួលកន្សោមក្រោមសញ្ញាម៉ូឌុល៖

ម៉ូឌុលបំផ្លាញសញ្ញាដក៖

ភាគបែងគឺវិជ្ជមានសម្រាប់ "en" ណាមួយ ដូច្នេះដំបងអាចត្រូវបានយកចេញ:

សាប់៖

ឥឡូវនេះយើងគួរតែយកឫសការ៉េប៉ុន្តែការចាប់គឺថាសម្រាប់ "epsilons" មួយចំនួនផ្នែកខាងស្តាំនឹងអវិជ្ជមាន។ ដើម្បីជៀសវាងបញ្ហានេះ។ ចូរយើងពង្រឹងម៉ូឌុលវិសមភាព៖

ហេតុអ្វីបានជានេះអាចត្រូវបានធ្វើ? ប្រសិនបើនិយាយដោយទាក់ទងគ្នា វាប្រែថា នោះលក្ខខណ្ឌនឹងពេញចិត្តកាន់តែខ្លាំង។ ម៉ូឌុលអាច គ្រាន់តែកើនឡើងលេខ​ដែល​ចង់​បាន ហើយ​នោះ​ក៏​ស័ក្តិសម​នឹង​យើង​ដែរ! និយាយ​ប្រ​ហែល​បើ​មួយ​រយ​សម​ នោះ​ពីរ​រយ​ធ្វើ​! យោងតាមនិយមន័យអ្នកត្រូវបង្ហាញ អត្ថិភាពនៃលេខ(យ៉ាងហោចណាស់ខ្លះ) បន្ទាប់ពីនោះសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់នឹងស្ថិតនៅក្នុង -neighbourhood ។ និយាយអញ្ចឹង នោះហើយជាមូលហេតុដែលយើងមិនខ្លាចការជុំចុងក្រោយនៃផ្នែកខាងស្តាំឡើង។

ការដកឫស៖

ហើយបង្គត់លទ្ធផល៖

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ដោយសារតែ តម្លៃនៃ "epsilon" ត្រូវបានជ្រើសរើសតាមអំពើចិត្ត បន្ទាប់មកសម្រាប់សង្កាត់តូចតាចណាមួយតាមអំពើចិត្តនៃចំណុចនោះ តម្លៃ ដូចជាវិសមភាព . ដូច្នេះ a-priory ។ Q.E.D.

ខ្ញុំណែនាំ ជាពិសេសយល់ពីការពង្រឹង និងចុះខ្សោយនៃវិសមភាព - ទាំងនេះគឺជាវិធីសាស្រ្តធម្មតា និងសាមញ្ញបំផុតនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ រឿងតែមួយគត់ដែលអ្នកត្រូវការដើម្បីតាមដានភាពត្រឹមត្រូវនៃសកម្មភាពនេះឬនោះ។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ វិសមភាព ដោយ​គ្មាន​មធ្យោបាយ​ណា បន្ធូរដក, និយាយ, មួយ:

ជា​ថ្មី​ម្តង​ទៀត​តាម​លក្ខខណ្ឌ៖ ប្រសិន​បើ​លេខ​សម​នឹង​គ្នា នោះ​លេខ​មុន​ប្រហែល​មិន​សម​ទៀត​ហើយ។

ឧទាហរណ៍ខាងក្រោមគឺសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ៖

ឧទាហរណ៍ ៣

ដោយប្រើនិយមន័យនៃលំដាប់មួយ បញ្ជាក់នោះ។

ដំណោះស្រាយខ្លីៗ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ប្រសិនបើលំដាប់ អស្ចារ្យគ្មានទីបញ្ចប់បន្ទាប់មកនិយមន័យនៃដែនកំណត់ត្រូវបានបង្កើតតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា៖ ចំណុចត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃលំដាប់ប្រសិនបើសម្រាប់ណាមួយ ធំតាមអំពើចិត្តមានលេខមួយចំនួនដែលសម្រាប់លេខធំទាំងអស់ វិសមភាពនឹងពេញចិត្ត។ លេខត្រូវបានគេហៅថា សង្កាត់នៃចំណុច "បូកគ្មានដែនកំណត់":

ម្យ៉ាងវិញទៀត មិនថាយើងយកតម្លៃធំប៉ុនណាក៏ដោយ "កន្ទុយគ្មានកំណត់" នៃលំដាប់នឹងចាំបាច់ចូលទៅក្នុង-សង្កាត់នៃចំណុច ដោយបន្សល់ទុកតែចំនួនកំណត់នៅខាងឆ្វេង។

ឧទាហរណ៍ការងារ៖

និងសញ្ញាណសង្ខេប៖ ប្រសិនបើ

សម្រាប់ករណីនេះ សរសេរនិយមន័យដោយខ្លួនឯង។ កំណែត្រឹមត្រូវគឺនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

បន្ទាប់ពីអ្នកបាន "បំពេញ" ដៃរបស់អ្នកជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង និងស្វែងរកនិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ អ្នកអាចងាកទៅរកអក្សរសិល្ប៍ស្តីពីការវិភាគគណិតវិទ្យា និង/ឬសៀវភៅបង្រៀនរបស់អ្នក។ ខ្ញុំសូមផ្តល់អនុសាសន៍ឱ្យទាញយកភាគទី 1 នៃបូហាន (កាន់តែងាយស្រួល - សម្រាប់សិស្សក្រៅម៉ោង)និង Fikhtenoltz (កាន់តែលម្អិត និងហ្មត់ចត់). ក្នុងចំណោមអ្នកនិពន្ធផ្សេងទៀត ខ្ញុំសូមណែនាំ Piskunov ដែលវគ្គសិក្សាគឺផ្តោតលើសាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកទេស។

ព្យាយាមសិក្សាដោយមនសិការនូវទ្រឹស្ដីដែលទាក់ទងនឹងដែនកំណត់នៃលំដាប់ ភស្តុតាង ផលវិបាក។ ដំបូងទ្រឹស្ដីអាចហាក់ដូចជា "ពពក" ប៉ុន្តែនេះគឺជារឿងធម្មតា - វាគ្រាន់តែត្រូវការខ្លះដើម្បីស៊ាំ។ ហើយមនុស្សជាច្រើននឹងទទួលបានរសជាតិ!

និយមន័យតឹងរឹងនៃដែនកំណត់នៃមុខងារមួយ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយរឿងដូចគ្នា - របៀបបង្កើតគំនិតនេះ? និយមន័យពាក្យសំដីនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍មួយត្រូវបានបង្កើតយ៉ាងសាមញ្ញជាងនេះ៖ "ចំនួនគឺជាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ ប្រសិនបើជាមួយ "x" ទំនោរទៅ (ទាំងឆ្វេង និងស្តាំ), តម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃមុខងារមានទំនោរទៅ » (សូមមើលគំនូរ). អ្វីគ្រប់យ៉ាងហាក់ដូចជាធម្មតា ប៉ុន្តែពាក្យគឺជាពាក្យ អត្ថន័យគឺអត្ថន័យ រូបតំណាងគឺជារូបតំណាង ហើយការសម្គាល់គណិតវិទ្យាដ៏តឹងរឹងគឺមិនគ្រប់គ្រាន់នោះទេ។ ហើយនៅក្នុងកថាខណ្ឌទីពីរ យើងនឹងស្គាល់វិធីសាស្រ្តពីរក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានេះ។

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេលមួយចំនួន លើកលែងតែ ប្រហែលជាសម្រាប់ចំណុច . នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍អប់រំវាត្រូវបានទទួលយកជាទូទៅថាមុខងារនៅទីនោះ ទេ។កំណត់៖

ជម្រើសនេះគូសបញ្ជាក់ ខ្លឹមសារនៃដែនកំណត់មុខងារ: "x" ជិតស្និទ្ធគ្មានកំណត់វិធីសាស្រ្ត និងតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃមុខងារគឺ ជិតស្និទ្ធគ្មានកំណត់ទៅ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត គោលគំនិតនៃដែនកំណត់មិនបង្កប់ន័យថាជា "វិធីសាស្រ្តពិតប្រាកដ" ចំពោះចំណុចនោះទេ។ ការប៉ាន់ស្មានជិតគ្មានទីបញ្ចប់វាមិនមានបញ្ហាថាតើមុខងារត្រូវបានកំណត់នៅចំណុចឬអត់។

និយមន័យដំបូងនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍មួយ មិនគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលនោះទេ ត្រូវបានរៀបចំឡើងដោយប្រើលំដាប់ពីរ។ ទីមួយ គោលគំនិតមានទំនាក់ទំនងគ្នា ហើយទីពីរ ដែនកំណត់នៃមុខងារជាធម្មតាត្រូវបានសិក្សាបន្ទាប់ពីដែនកំណត់នៃលំដាប់។

ពិចារណាពីលំដាប់ ពិន្ទុ (មិននៅលើគំនូរ)ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេលនិង ក្រៅពី, ដែល បញ្ចូលគ្នាទៅ។ បន្ទាប់មកតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃអនុគមន៍ក៏បង្កើតជាលំដាប់លេខផងដែរ សមាជិកដែលស្ថិតនៅលើអ័ក្ស y ។

ដែនកំណត់មុខងារ Heine សម្រាប់ណាមួយ។លំដាប់ពិន្ទុ (ជាកម្មសិទ្ធិនិងខុសគ្នាពី)ដែល​បង្រួប​បង្រួម​ដល់​ចំណុច លំដាប់​នៃ​តម្លៃ​អនុគមន៍​ត្រូវ​គ្នា​ទៅ​នឹង .

Eduard Heine គឺជាគណិតវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់។ ... ហើយ​មិន​ចាំបាច់​គិត​អីចឹង​ទេ មាន​ខ្ទើយ​តែ​មួយ​គត់​នៅ​អឺរ៉ុប - នេះគឺជា Gay-Lussac =)

និយមន័យទីពីរនៃដែនកំណត់ត្រូវបានបង្កើតឡើង ... បាទ បាទ អ្នកនិយាយត្រូវ។ ប៉ុន្តែជាដំបូងសូមក្រឡេកមើលការរចនារបស់វា។ ពិចារណាលើការបំពាន - អ្នកជិតខាងនៃចំណុច (សង្កាត់ "ខ្មៅ"). ផ្អែកលើកថាខណ្ឌមុន សញ្ញាណមានន័យដូចនោះ។ តម្លៃខ្លះមុខងារមានទីតាំងនៅខាងក្នុង "epsilon" - បរិស្ថាន។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរក -neighborhood ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹង -neighborhood ដែលបានផ្តល់ឱ្យ (គូរបន្ទាត់ចំនុចខ្មៅពីឆ្វេងទៅស្តាំ ហើយបន្ទាប់មកពីកំពូលទៅបាត). ចំណាំថាតម្លៃត្រូវបានជ្រើសរើស នៅតាមបណ្តោយប្រវែងនៃផ្នែកតូចជាង ក្នុងករណីនេះ តាមបណ្តោយប្រវែងនៃផ្នែកខាងឆ្វេងខ្លីជាង។ លើសពីនេះទៅទៀត " crimson" -neighborhood នៃចំណុចមួយអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយសូម្បីតែនៅក្នុងនិយមន័យដូចខាងក្រោម ការពិតនៃអត្ថិភាពគឺសំខាន់សង្កាត់នេះ។ ហើយស្រដៀងគ្នានេះដែរ ធាតុចូលមានន័យថាតម្លៃខ្លះស្ថិតនៅក្នុងសង្កាត់ "ដីសណ្ត"។

ដែនកំណត់ Cauchy នៃមុខងារមួយ។៖ លេខត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅចំណុច if សម្រាប់ណាមួយ។ បានជ្រើសរើសជាមុនសង្កាត់ (តូចតាមអំពើចិត្ត), មាន- ទីតាំងជិតខាង, បែបនោះ។នោះ៖ ជាតម្លៃតែប៉ុណ្ណោះ (កម្មសិទ្ធិ)រួមបញ្ចូលនៅក្នុងតំបន់នេះ: (ព្រួញក្រហម)- ដូច្នេះភ្លាមៗតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃមុខងារត្រូវបានធានាថានឹងចូលទៅក្នុង -neighborhood: (ព្រួញពណ៌ខៀវ).

ខ្ញុំត្រូវតែព្រមានអ្នកថាសម្រាប់ជាប្រយោជន៍នៃភាពច្បាស់លាស់ខ្ញុំ improvised បន្តិចដូច្នេះកុំបំពាន =)

ពាក្យខ្លី៖ ប្រសិនបើ

តើអ្វីទៅជាខ្លឹមសារនៃនិយមន័យ? និយាយជាន័យធៀប ដោយការបន្ថយ-neighbourhood ដោយគ្មានកំណត់ យើង "អម" តម្លៃនៃមុខងារដល់ដែនកំណត់របស់វា ដោយទុកឱ្យពួកគេគ្មានជម្រើសក្នុងការចូលទៅជិតកន្លែងផ្សេង។ មិនធម្មតាមែន តែត្រូវម្តងទៀត! ដើម្បីចូលទៅក្នុងគំនិតពិតប្រាកដ សូមអានពាក្យម្តងទៀត។

! ការយកចិត្តទុកដាក់៖ ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការបង្កើតតែប៉ុណ្ណោះ និយមន័យ​នេះ​បើ​តាម Heineឬតែប៉ុណ្ណោះ និយមន័យ Cauchyសូមកុំភ្លេចអំពី សំខាន់យោបល់បឋម៖ msgstr "ពិចារណា​មុខងារ​ដែល​ត្រូវ​បាន​កំណត់​នៅ​លើ​ចន្លោះ​ពេល​ខ្លះ លើក​លែង​តែ​ចំណុច​មួយ". ខ្ញុំ​បាន​និយាយ​នេះ​ម្តង​នៅ​ដើម​ដំបូង ហើយ​មិន​បាន​និយាយ​ម្តង​ទៀត​ទេ។

យោងតាមទ្រឹស្តីបទដែលត្រូវគ្នានៃការវិភាគគណិតវិទ្យា និយមន័យ Heine និង Cauchy គឺសមមូល ប៉ុន្តែបំរែបំរួលទីពីរគឺល្បីល្បាញជាងគេ។ (នៅតែចង់!)ដែលត្រូវបានគេហៅថា "ដែនកំណត់លើអណ្តាត"៖

ឧទាហរណ៍ 4

ដោយប្រើនិយមន័យនៃដែនកំណត់ សូមបញ្ជាក់

ការសម្រេចចិត្ត៖ មុខងារត្រូវបានកំណត់នៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូល លើកលែងតែចំណុច . ដោយប្រើនិយមន័យនៃ យើងបង្ហាញពីអត្ថិភាពនៃដែនកំណត់នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ចំណាំ ៖ ទំហំនៃសង្កាត់ "ដីសណ្ត" អាស្រ័យលើ "epsilon" ដូច្នេះការចាត់តាំង

ពិចារណា បំពាន- អ្នកជិតខាង។ ភារកិច្ចគឺត្រូវប្រើតម្លៃនេះដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើ តើវាមាន- សង្កាត់, បែបនោះ។ដែលមកពីវិសមភាព អនុវត្តតាមវិសមភាព .

សន្មតថាយើងបំលែងវិសមភាពចុងក្រោយ៖
(បំបែកត្រីកោណការ៉េ)

ពិចារណាមុខងារ %%f(x)%% ដែលបានកំណត់យ៉ាងហោចនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួន %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%%% នៃចំនុច %%a \in \overline(\ mathbb(R))%% បន្ទាត់លេខបន្ថែម។

គំនិតនៃដែនកំណត់យោងទៅតាម Cauchy

លេខ %%A \in \mathbb(R)%% ត្រូវបានហៅ ដែនកំណត់មុខងារ%%f(x)%% នៅ %%a \in \mathbb(R)%% (ឬដូច %%x%% ទំនោរទៅ %%a \in \mathbb(R)%%) ប្រសិនបើ អ្វីក៏ដោយ វិជ្ជមាន លេខ %%\varepsilon%% គឺ មានលេខវិជ្ជមាន %%\delta%% ដែលសម្រាប់ចំណុចទាំងអស់នៃសង្កាត់ %%\delta%% នៃចំណុច %%a%% តម្លៃនៃមុខងារ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ %%\varepsilon %%-សង្កាត់នៃចំណុច %%A%%, ឬ

$$ A = \lim\limits_(x \to a)(f(x)) \Leftrightarrow \forall\varepsilon> 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel(\circ)(\text (U))_\delta(a) \Rightarrow f(x) \in \text(U)_\varepsilon (A) \big) $$

និយមន័យនេះត្រូវបានគេហៅថា និយមន័យក្នុងភាសា %%\varepsilon%% និង %%\delta%% ដែលស្នើឡើងដោយគណិតវិទូជនជាតិបារាំង Augustin Cauchy ហើយត្រូវបានប្រើប្រាស់តាំងពីដើមសតវត្សទី 19 រហូតមកដល់បច្ចុប្បន្ន ព្រោះវាមានភាពចាំបាច់។ ភាពតឹងរ៉ឹង និងភាពត្រឹមត្រូវគណិតវិទ្យា។

រួមបញ្ចូលគ្នានូវសង្កាត់ផ្សេងៗគ្នានៃចំនុច %%a%% ដូចជា %%\stackrel(\circ)(\text(U))_\delta(a), \text(U)_\delta (\infty), \text( U) _\delta (-\infty), \text(U)_\delta (+\infty), \text(U)_\delta^+ (a), \text(U)_\delta^- ( ក) %% ជាមួយសង្កាត់ %%\text(U)_\varepsilon (A), \text(U)_\varepsilon (\infty), \text(U)_\varepsilon (+\infty), \\text( U) _\varepsilon (-\infty)%%, យើងទទួលបាន 24 និយមន័យនៃដែនកំណត់ Cauchy ។

អារម្មណ៍ធរណីមាត្រ

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍

ចូរយើងស្វែងរកអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ។ ចូរយើងកំណត់មុខងារ %%y = f(x)%% ហើយសម្គាល់ចំណុច %%x = a%% និង %%y = A%% នៅលើវា។

ដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ %%y = f(x)%% នៅចំណុច %%x \to a%% មាន ហើយស្មើនឹង A ប្រសិនបើសម្រាប់ %%\varepsilon%%% - អ្នកជិតខាងនៃចំណុច %%A% % មួយអាចបញ្ជាក់ដូចជា %%\ delta%% - សង្កាត់នៃចំណុច %%a%%, ដូចជាសម្រាប់ %%x%% ណាមួយនៃ %%\delta%%-neighbourhood តម្លៃ %%f(x )%% នឹងស្ថិតនៅក្នុង %%\varepsilon%%-neighborhood point %%A%%.

ចំណាំថាយោងទៅតាមនិយមន័យ Cauchy នៃដែនកំណត់នៃអនុគមន៍មួយ សម្រាប់អត្ថិភាពនៃដែនកំណត់នៅ %%x \to a%% វាមិនមានបញ្ហាអ្វីដែលតម្លៃនៃអនុគមន៍យកនៅចំណុច %%a%% នោះទេ។ អ្នកអាចផ្តល់ឧទាហរណ៍ដែលមុខងារមិនត្រូវបានកំណត់នៅពេលដែល %%x = a%% ឬយកតម្លៃផ្សេងពី %%A%%. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដែនកំណត់អាចជា %%A%%។

និយមន័យនៃដែនកំណត់ Heine

ធាតុ %%A \in \overline(\mathbb(R))%% ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ %%f(x)%% នៅ %% x \to a, a \in \overline(\mathbb( R))%% ប្រសិនបើសម្រាប់លំដាប់ណាមួយ %%\(x_n\) \ ទៅ a%% ពីដែន លំដាប់នៃតម្លៃដែលត្រូវគ្នា %%\big\(f(x_n)\big\)%% មាននិន្នាការ ទៅ %%A%%.

និយមន័យនៃដែនកំណត់យោងទៅតាម Heine គឺងាយស្រួលប្រើនៅពេលដែលមានការសង្ស័យអំពីអត្ថិភាពនៃដែនកំណត់នៃមុខងារនៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើអាចសាងសង់យ៉ាងហោចណាស់មួយលំដាប់ %%\(x_n\)%% ដោយមានដែនកំណត់នៅចំណុច %%a%% នោះ លំដាប់ %%\big\(f(x_n)\big\)%% មិនមានដែនកំណត់ទេ ដូច្នេះយើងអាចសន្និដ្ឋានថាមុខងារ %%f(x)%% មិនមានដែនកំណត់នៅចំណុចនេះទេ។ ប្រសិនបើសម្រាប់ពីរ ផ្សេងៗលំដាប់ %%\(x"_n\)%% និង %%\(x""_n\)%% មាន ដូចគ្នាកំណត់ %%a%%, លំដាប់ %%\big\(f(x"_n)\big\)%% និង %%\big\(f(x""_n)\big\)%% មាន ផ្សេងៗ limits បន្ទាប់មកក្នុងករណីនេះដែនកំណត់នៃអនុគមន៍ %%f(x)%% ក៏មិនមានដែរ។

ឧទាហរណ៍

អនុញ្ញាតឱ្យ %%f(x) = \sin(1/x)%% ។ សូមពិនិត្យមើលថាតើដែនកំណត់នៃមុខងារនេះមាននៅចំណុច %%a = 0%% ដែរឬទេ។

ដំបូងយើងជ្រើសរើសលំដាប់ $$ \(x_n\) = \left\(\frac((-1)^n)(n\pi)\right\) មកចំណុចនេះ។ $$

វាច្បាស់ណាស់ថា %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb(N)%% និង %%\lim (x_n) = 0%% ។ បន្ទាប់មក %%f(x_n) = \sin(\left((-1)^n n\pi\right)) \equiv 0%% និង %%\lim\big\(f(x_n)\big\) = 0 %%

បន្ទាប់មកយកលំដាប់ $$ x"_n = \left\(\frac(2)((4n + 1)\pi) \right\), $$

ដែល %%\lim(x"_n) = +0%%, %%f(x"_n) = \sin(\big((4n + 1)\pi/2\big)) \equiv 1%% និង %%\lim\big\(f(x"_n)\big\) = 1%%. ) \pi) \right\), $$

ក៏បង្វែរទៅចំណុច %%x = 0%%, %%\lim\big\(f(x""_n)\big\) = -1%%.

លំដាប់ទាំងបីបានផ្តល់លទ្ធផលខុសៗគ្នា ដែលផ្ទុយនឹងលក្ខខណ្ឌនៃនិយមន័យ Heine ពោលគឺឧ។ មុខងារនេះមិនមានដែនកំណត់នៅចំណុច %%x = 0%% ទេ។

ទ្រឹស្តីបទ

និយមន័យនៃដែនកំណត់យោងទៅតាម Cauchy និងយោងទៅតាម Heine គឺសមមូល។