1. ជ្រុងជាប់គ្នា។

ប្រសិនបើយើងបន្តផ្នែកម្ខាងនៃមុំខ្លះហួសពីចំនុចកំពូលរបស់វា យើងទទួលបានមុំពីរ (រូបភាព 72): ∠ABC និង ∠CBD ដែលផ្នែកម្ខាងនៃ BC គឺជារឿងធម្មតា ហើយពីរទៀតគឺ AB និង BD បង្កើតជាបន្ទាត់ត្រង់ .

មុំពីរដែលមានជ្រុងម្ខាងដូចគ្នា ហើយពីរទៀតបង្កើតជាបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានគេហៅថាមុំជាប់គ្នា។

មុំជាប់គ្នាក៏អាចទទួលបានតាមរបៀបនេះផងដែរ៖ ប្រសិនបើយើងគូរកាំរស្មីពីចំណុចណាមួយនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ (មិនដេកលើបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ) នោះយើងទទួលបានមុំនៅជាប់គ្នា។

ឧទាហរណ៍ ∠ADF និង∠FDВ ជាមុំជាប់គ្នា (រូបភាព 73)។

ជ្រុងជាប់គ្នាអាចមានមុខតំណែងច្រើនប្រភេទ (រូបភាព 74)។

មុំជាប់គ្នា បន្ថែមទៅមុំត្រង់ ដូច្នេះ ផលបូកនៃមុំជាប់គ្នាពីរគឺ 180°

ដូច្នេះ មុំខាងស្តាំអាចត្រូវបានកំណត់ថាជាមុំស្មើនឹងមុំជាប់របស់វា។

ដោយដឹងពីតម្លៃនៃមុំមួយនៅជាប់គ្នា យើងអាចរកឃើញតម្លៃនៃមុំដែលនៅជាប់គ្នាផ្សេងទៀត។

ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើមុំមួយនៅជាប់គ្នាគឺ 54° នោះមុំទីពីរនឹងមានៈ

180 ° - 54 ° = l26 °។

2. មុំបញ្ឈរ។

ប្រសិនបើយើងពង្រីកជ្រុងនៃមុំហួសពីចំនុចកំពូលរបស់វា យើងទទួលបានមុំបញ្ឈរ។ នៅក្នុងរូបភាពទី 75 មុំ EOF និង AOC គឺបញ្ឈរ; មុំ AOE និង COF ក៏បញ្ឈរផងដែរ។

មុំពីរត្រូវបានគេហៅថាបញ្ឈរប្រសិនបើជ្រុងនៃមុំមួយគឺជាផ្នែកបន្ថែមនៃជ្រុងនៃមុំផ្សេងទៀត។

អនុញ្ញាតឱ្យ ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° (រូបភាព 76)។ ∠2 នៅជាប់នឹងវានឹងស្មើនឹង 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, i.e. 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°។

ដូចគ្នាដែរ អ្នកអាចគណនាថាតើ ∠3 និង ∠4 ជាអ្វី។

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°=\(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (រូបភាព 77)។

យើងឃើញថា ∠1 = ∠3 និង ∠2 = ∠4 ។

អ្នកអាចដោះស្រាយបញ្ហាដូចគ្នាមួយចំនួនទៀត ហើយរាល់ពេលដែលអ្នកទទួលបានលទ្ធផលដូចគ្នា៖ មុំបញ្ឈរគឺស្មើគ្នា។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីប្រាកដថាមុំបញ្ឈរតែងតែស្មើគ្នា វាមិនគ្រប់គ្រាន់ទេក្នុងការពិចារណាលើឧទាហរណ៍ជាលេខរៀងៗខ្លួន ព្រោះការសន្និដ្ឋានដែលដកចេញពីឧទាហរណ៍ជាក់លាក់អាចជួនកាលខុស។

វាចាំបាច់ក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់សុពលភាពនៃទ្រព្យសម្បត្តិនៃមុំបញ្ឈរដោយភស្តុតាង។

ភស្តុតាងអាចត្រូវបានអនុវត្តដូចខាងក្រោម (រូបភាព 78):

∠ក +∠គ= 180°;

∠b +∠គ= 180°;

(ចាប់តាំងពីផលបូកនៃមុំជាប់គ្នាគឺ 180 °) ។

∠ក +∠គ = ∠b +∠គ

(ដោយសារផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាពនេះគឺ 180° ហើយផ្នែកខាងស្តាំរបស់វាក៏ 180°)។

សមភាពនេះរួមបញ្ចូលមុំដូចគ្នា។ ជាមួយ.

ប្រសិនបើយើងដកស្មើគ្នាពីតម្លៃស្មើគ្នា នោះវានឹងនៅដដែល។ លទ្ធផលនឹងជា៖ ∠ក = ∠ខពោលគឺ មុំបញ្ឈរគឺស្មើគ្នា។

3. ផលបូកនៃមុំដែលមានចំនុចកំពូលរួម។

នៅក្នុងគំនូរ 79, ∠1, ∠2, ∠3 និង ∠4 មានទីតាំងនៅផ្នែកម្ខាងនៃបន្ទាត់ ហើយមានចំនុចកំពូលទូទៅនៅលើបន្ទាត់នេះ។ សរុបមក មុំទាំងនេះបង្កើតបានជាមុំត្រង់ ពោលគឺឧ។

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°។

ក្នុងគំនូរ 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 និង∠5 មានចំនុចកំពូលរួម។ មុំទាំងនេះបន្ថែមរហូតដល់មុំពេញ ពោលគឺ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°។

សម្ភារៈផ្សេងៗ

ធរណីមាត្រគឺជាវិទ្យាសាស្ត្រពហុមុខ។ វាអភិវឌ្ឍតក្កវិជ្ជា ការស្រមើលស្រមៃ និងបញ្ញា។ ជាការពិតណាស់ ដោយសារតែភាពស្មុគស្មាញរបស់វា និងចំនួនទ្រឹស្តីបទ និង axioms ដ៏ច្រើន សិស្សសាលាមិនតែងតែចូលចិត្តវាទេ។ លើសពីនេះទៀត ចាំបាច់ត្រូវបញ្ជាក់ការសន្និដ្ឋានរបស់ពួកគេជានិច្ច ដោយប្រើស្តង់ដារ និងច្បាប់ដែលទទួលយកជាទូទៅ។

មុំជាប់និងបញ្ឈរគឺជាផ្នែកសំខាន់នៃធរណីមាត្រ។ ប្រាកដណាស់ សិស្សសាលាជាច្រើនគ្រាន់តែគោរពពួកគេដោយហេតុផលថាលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេច្បាស់លាស់ និងងាយស្រួលក្នុងការបញ្ជាក់។

ការបង្កើតជ្រុង

មុំណាមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរ ឬដោយការគូរកាំរស្មីពីរពីចំណុចមួយ។ ពួកវាអាចត្រូវបានគេហៅថាអក្សរមួយឬបីដែលកំណត់ជាបន្តបន្ទាប់នូវចំណុចនៃការសាងសង់ជ្រុង។

មុំត្រូវបានវាស់ជាដឺក្រេហើយអាច (អាស្រ័យលើតម្លៃរបស់វា) ត្រូវបានគេហៅថាខុសគ្នា។ ដូច្នេះ មានមុំខាងស្តាំ ស្រួច ស្រួច និងដាក់ពង្រាយ។ ឈ្មោះនីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងរង្វាស់កម្រិតជាក់លាក់ ឬចន្លោះពេលរបស់វា។

មុំស្រួចគឺជាមុំដែលរង្វាស់មិនលើសពី 90 ដឺក្រេ។

មុំ obtuse គឺជាមុំធំជាង 90 ដឺក្រេ។

មុំមួយត្រូវបានគេហៅថាត្រឹមត្រូវនៅពេលដែលរង្វាស់របស់វាគឺ 90 ។

ក្នុងករណីដែលវាត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់បន្តមួយ ហើយរង្វាស់ដឺក្រេរបស់វាគឺ 180 វាត្រូវបានគេហៅថាដាក់ពង្រាយ។

ជ្រុង​ដែល​មាន​ជ្រុង​រួម ចំណែក​ជ្រុង​ទី​ពីរ​ដែល​បន្ត​គ្នា​ទៅ​វិញ​ទៅ​មក ហៅថា​ជ្រុង​ម្ខាង ។ ពួកវាអាចស្រួចឬមិនច្បាស់។ ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់បង្កើតជាមុំជាប់គ្នា។ លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេមានដូចខាងក្រោម៖

1. ផលបូកនៃមុំបែបនេះនឹងស្មើនឹង 180 ដឺក្រេ (មានទ្រឹស្តីបទបញ្ជាក់នេះ)។ ដូច្នេះមួយក្នុងចំណោមពួកគេអាចគណនាបានយ៉ាងងាយស្រួលប្រសិនបើមួយទៀតត្រូវបានគេស្គាល់។
2. វាធ្វើតាមពីចំណុចដំបូងដែលមុំជាប់គ្នាមិនអាចបង្កើតបានដោយមុំស្រួចពីរឬពីរ។

សូមអរគុណចំពោះលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះ មនុស្សម្នាក់តែងតែអាចគណនារង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំដែលផ្តល់តម្លៃនៃមុំមួយផ្សេងទៀត ឬយ៉ាងហោចណាស់សមាមាត្ររវាងពួកវា។

មុំបញ្ឈរ

មុំដែលភាគីជាប់គ្នាត្រូវបានគេហៅថាបញ្ឈរ។ ពូជណាមួយរបស់ពួកគេអាចដើរតួជាគូបែបនេះ។ មុំបញ្ឈរតែងតែស្មើគ្នា។

ពួកវាត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅពេលដែលបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា។ រួមគ្នាជាមួយពួកគេជ្រុងជាប់គ្នាតែងតែមានវត្តមាន។ មុំមួយអាចនៅជាប់គ្នាសម្រាប់មួយ និងបញ្ឈរសម្រាប់មួយទៀត។

នៅពេលឆ្លងកាត់បន្ទាត់បំពាន មុំជាច្រើនប្រភេទទៀតក៏ត្រូវបានពិចារណាផងដែរ។ បន្ទាត់បែបនេះត្រូវបានគេហៅថា secant ហើយវាបង្កើតជាមុំដែលត្រូវគ្នា មួយចំហៀង និងឆ្លងកាត់។ ពួកគេស្មើគ្នា។ ពួកគេអាចត្រូវបានមើលដោយពន្លឺនៃលក្ខណៈសម្បត្តិដែលមុំបញ្ឈរនិងនៅជាប់គ្នា។

ដូច្នេះ ប្រធានបទនៃជ្រុងហាក់ដូចជាសាមញ្ញ និងអាចយល់បាន។ លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់របស់ពួកគេគឺងាយស្រួលក្នុងការចងចាំនិងបញ្ជាក់។ ការដោះស្រាយបញ្ហាមិនពិបាកទេ ដរាបណាមុំត្រូវគ្នានឹងតម្លៃលេខ។ លើសពីនេះទៅទៀត នៅពេលដែលការសិក្សាអំពីអំពើបាប និង cos ចាប់ផ្តើម អ្នកនឹងត្រូវទន្ទេញចាំរូបមន្តស្មុគស្មាញជាច្រើន ការសន្និដ្ឋាន និងផលវិបាករបស់វា។ រហូតមកដល់ពេលនោះ អ្នកគ្រាន់តែអាចរីករាយជាមួយល្បែងផ្គុំរូបងាយៗ ដែលអ្នកត្រូវស្វែងរកជ្រុងដែលនៅជាប់គ្នា។

2) តើ 2 បន្ទាត់អាចមានចំនុចរួមប៉ុន្មាន?
៣) ពន្យល់ថា តើផ្នែកមួយជាអ្វី?
៤) ពន្យល់ថាកាំរស្មីជាអ្វី តើកាំរស្មីត្រូវបានកំណត់យ៉ាងដូចម្តេច?
5) តើតួរលេខអ្វីហៅថាមុំ ពន្យល់ពីចំនុចកំពូល និងជ្រុងនៃមុំ?
6) តើមុំអ្វីត្រូវបានគេហៅថាដាក់ពង្រាយ?
៧) តើ​តួលេខ​អ្វី​ខ្លះ​ហៅ​ថា​ស្មើ?
8) ពន្យល់ពីរបៀបប្រៀបធៀប 2 ផ្នែក
៩) តើចំណុចអ្វីហៅថាចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក?
10) ពន្យល់ពីរបៀបប្រៀបធៀបមុំ 2 ។
១១) តើ​កាំរស្មី​មួយ​ណា​ដែល​គេ​ហៅ​ថា​មុំ​ប៊ីសប័រ?
12) ចំនុច C បែងចែក segment AB ជា 2 segment ធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកប្រវែង segment AB ប្រសិនបើប្រវែងនៃ segment AC និង CB ស្គាល់?
១៣) តើឧបករណ៍អ្វីខ្លះដែលប្រើដើម្បីវាស់ចម្ងាយ?
១៤) តើមុំវាស់កម្រិតណា?
15) Ray OS បែងចែកមុំ AOB ជា 2 មុំ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរករង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំ AOB ប្រសិនបើរង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំ AOC និង COB ត្រូវបានគេស្គាល់?
១៦) តើមុំអ្វីហៅថាស្រួច?
១៧) តើមុំអ្វីហៅថាជាប់គ្នា តើផលបូកនៃមុំជាប់គ្នាជាអ្វី?
18) តើមុំអ្វីហៅថាបញ្ឈរ?តើមុំបញ្ឈរមានទ្រព្យសម្បត្តិអ្វីខ្លះ?
១៩) តើ​បន្ទាត់​អ្វី​ខ្លះ​ដែល​ហៅ​ថា​កាត់​កែង?
20) ពន្យល់ថាហេតុអ្វីបានជា 2 បន្ទាត់កាត់កែងទៅទី 3 មិនប្រសព្វគ្នា?
21) តើ​ឧបករណ៍​អ្វីខ្លះ​ដែល​ត្រូវ​បាន​គេ​ប្រើ​ដើម្បី​បង្កើត​មុំ​ត្រឹមត្រូវ​នៅលើ​ដី​?

តើ​មាន​ប៉ុន្មាន​បន្ទាត់​ដែល​អាច​គូស​តាម​ពីរ​ចំណុច?

តើបន្ទាត់ពីរអាចមានចំណុចរួមប៉ុន្មាន?
3 ពន្យល់ពីអ្វីដែលជាផ្នែក
4 ពន្យល់ថា កាំរស្មីជាអ្វី តើកាំរស្មីត្រូវបានកំណត់យ៉ាងដូចម្តេច?
ដូចម្តេចដែលហៅថា មុំ? ពន្យល់ថាតើចំនុចកំពូល និងជ្រុងនៃមុំជាអ្វី
6 មុំអ្វីត្រូវបានគេហៅថាលាត
7 អ្វីទៅដែលហៅថាស្មើ
8 ពន្យល់ពីរបៀបប្រៀបធៀបពីរផ្នែក
ចំណុចអ្វីហៅថាចំណុចកណ្តាលនៃផ្នែក
10 ពន្យល់ពីរបៀបប្រៀបធៀបមុំពីរ
11 ដែលកាំរស្មីត្រូវបានគេហៅថាមុំ bisector
12point c បែងចែក segment ab ជាពីរ segment របៀបស្វែងរកប្រវែង segment ab ប្រសិនបើប្រវែងនៃ segment ac និង sb ត្រូវបានគេស្គាល់
13 ឧបករណ៍អ្វីដែលត្រូវប្រើដើម្បីវាស់ចម្ងាយ
14 តើអ្វីជារង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំមួយ។
កាំរស្មី os បែងចែកមុំ aob ជាពីរមុំ របៀបរកដឺក្រេរង្វាស់មុំ aob ប្រសិនបើរង្វាស់នៃមុំ aos
តើមុំអ្វីទៅហៅថាស្រួច?, ស្រួច?
១៧ តើមុំអ្វីទៅហៅថាជាប់គ្នា តើផលបូកនៃមុំជាប់គ្នាជាអ្វី?
18 តើមុំប្រភេទណាដែលហៅថាបញ្ឈរ?តើមុំបញ្ឈរមានទ្រព្យសម្បត្តិអ្វីខ្លះ?
19 បន្ទាត់ដែលហៅថាកាត់កែង
20 ពន្យល់ពីមូលហេតុដែលបន្ទាត់ពីរកាត់កែងទៅទីបីមិនប្រសព្វគ្នា។
២១ តើ​ឧបករណ៍​អ្វី​ខ្លះ​ត្រូវ​បាន​ប្រើ​ដើម្បី​បង្កើត​មុំ​ត្រឹមត្រូវ​នៅ​លើ​ដី?

1) តើមុំវាស់កម្រិតណា? 2) អ្វី​ដែល​ជា​តួលេខ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ស្មើ 3) អ្វី​ដែល​មុំ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ជាប់​គ្នា​, អ្វី​ដែល​ជា​ផល​បូក​នៃ​មុំ​ជាប់​គ្នា 4) អ្វី​ដែល​មុំ​ត្រូវ​បាន​ហៅ​ថា

បញ្ឈរ អ្វីដែលទ្រព្យសម្បត្តិធ្វើមុំបញ្ឈរមាន 5)

ជួយផង!! plzz=**

7. បង្ហាញថាប្រសិនបើបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលពីរត្រូវបានប្រសព្វគ្នាដោយបន្ទាត់ទីបី នោះមុំឆ្លងកាត់ផ្នែកខាងក្នុងគឺស្មើគ្នា ហើយផលបូកនៃមុំម្ខាងនៃផ្នែកខាងក្នុងគឺ 180 ដឺក្រេ។

8. បង្ហាញថាបន្ទាត់ពីរកាត់កែងទៅទីបីគឺស្របគ្នា។ ប្រសិនបើ​បន្ទាត់​កាត់​កែង​ទៅ​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​បន្ទាត់​ប៉ារ៉ាឡែល​ពីរ នោះ​វា​ក៏​កាត់​កែង​ទៅ​ម្ខាង​ទៀត​ដែរ។

9. បង្ហាញថាផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណមួយគឺ 180 ដឺក្រេ។

10. បង្ហាញថាត្រីកោណណាមួយមានមុំស្រួចយ៉ាងហោចណាស់ពីរ។

11. តើមុំខាងក្រៅនៃត្រីកោណគឺជាអ្វី?

12. បង្ហាញថាមុំខាងក្រៅនៃត្រីកោណមួយស្មើនឹងផលបូកនៃមុំខាងក្នុងពីរដែលមិននៅជាប់នឹងវា។

13. បង្ហាញថាមុំខាងក្រៅនៃត្រីកោណគឺធំជាងមុំខាងក្នុងណាមួយដែលមិននៅជាប់នឹងវា។

14. តើត្រីកោណមួយណាដែលហៅថា ត្រីកោណកែង?

15. តើអ្វីជាផលបូកនៃមុំស្រួចនៃត្រីកោណកែង?

16. តើជ្រុងមួយណានៃត្រីកោណកែងត្រូវបានគេហៅថាអ៊ីប៉ូតេនុស? តើផ្នែកណាខ្លះហៅថាជើង?

17. បង្កើតសញ្ញានៃភាពស្មើគ្នានៃត្រីកោណកែងតាមបណ្តោយអ៊ីប៉ូតេនុស និងជើង។

18. បង្ហាញថាពីចំណុចណាមួយដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ មនុស្សម្នាក់អាចទម្លាក់កាត់កែងទៅបន្ទាត់នេះ ហើយមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។

19. ដូចម្តេចដែលហៅថាចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់មួយ?

20. ពន្យល់ពីចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល។

តើអ្វីទៅជាមុំជាប់គ្នា។

ការចាក់ថ្នាំ- នេះគឺជារូបធរណីមាត្រ (រូបភាពទី 1) ដែលបង្កើតឡើងដោយកាំរស្មីពីរ OA និង OB (ជ្រុងជ្រុង) ដែលចេញពីចំណុចមួយ O (កំពូលជ្រុង)។

ជ្រុងជាប់គ្នា។គឺជាមុំពីរដែលផលបូកគឺ 180°។ មុំទាំងនេះនីមួយៗបំពេញជ្រុងម្ខាងទៀតទៅជាមុំពេញលេញ។

ជ្រុងជាប់គ្នា។- (អាគិសៈ) អ្នកដែលមានកំពូលរួម និងម្ខាងរួម។ លើសលុប ឈ្មោះនេះសំដៅលើមុំបែបនេះ ដែលភាគីទាំងពីរទៀតស្ថិតនៅទិសផ្ទុយគ្នានៃបន្ទាត់ត្រង់មួយដែលត្រូវបានគូសកាត់។

មុំពីរត្រូវបានគេហៅថានៅជាប់គ្នា ប្រសិនបើពួកគេមានជ្រុងម្ខាងដូចគ្នា ហើយជ្រុងផ្សេងទៀតនៃមុំទាំងនេះគឺជាបន្ទាត់ពាក់កណ្តាលបំពេញបន្ថែម។

អង្ករ។ ២

ក្នុងរូបភាពទី 2 មុំ a1b និង a2b នៅជាប់គ្នា។ ពួកវាមានចំហៀងរួម b ហើយជ្រុង a1, a2 គឺជាពាក់កណ្តាលបន្ទាត់បន្ថែម។

អង្ករ។ ៣

រូបភាពទី 3 បង្ហាញបន្ទាត់ AB ចំនុច C ស្ថិតនៅចន្លោះចំនុច A និង B។ ចំនុច D គឺជាចំនុចដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ AB ។ វាប្រែថាមុំ BCD និង ACD គឺនៅជាប់គ្នា។ ពួកវាមានស៊ីឌីចំហៀងធម្មតា ហើយភាគី CA និង CB គឺជាបន្ទាត់ពាក់កណ្តាលបន្ថែមនៃបន្ទាត់ AB ចាប់តាំងពីចំនុច A, B ត្រូវបានបំបែកដោយចំនុចដំបូង C ។

ទ្រឹស្តីបទមុំជាប់គ្នា។

ទ្រឹស្តីបទ៖ផលបូកនៃមុំជាប់គ្នាគឺ 180°

ភស្តុតាង៖
មុំ a1b និង a2b នៅជាប់គ្នា (មើលរូបភាពទី 2) ធ្នឹម b ឆ្លងកាត់រវាងជ្រុង a1 និង a2 នៃមុំត្រង់មួយ។ ដូច្នេះផលបូកនៃមុំ a1b និង a2b គឺស្មើនឹងមុំត្រង់ ពោលគឺ 180°។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

មុំស្មើ 90° ត្រូវបានគេហៅថាមុំខាងស្តាំ។ ពីទ្រឹស្តីបទលើផលបូកនៃមុំជាប់គ្នា វាដូចខាងក្រោមថាមុំដែលនៅជាប់នឹងមុំខាងស្តាំក៏ជាមុំខាងស្តាំផងដែរ។ មុំតិចជាង 90° ត្រូវបានគេហៅថាស្រួច ហើយមុំធំជាង 90° ត្រូវបានគេហៅថា obtuse ។ ដោយសារផលបូកនៃមុំជាប់គ្នាគឺ 180° ដូច្នេះមុំដែលនៅជាប់នឹងមុំស្រួចគឺជាមុំ obtuse ។ មុំនៅជាប់នឹងមុំស្រួច គឺជាមុំស្រួច។

ជ្រុងជាប់គ្នា។- មុំពីរដែលមានចំនុចកំពូលធម្មតា ជ្រុងម្ខាងគឺជារឿងធម្មតា ហើយជ្រុងដែលនៅសល់ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា (មិនស្របគ្នា)។ ផលបូកនៃមុំជាប់គ្នាគឺ 180°។

និយមន័យ ១.មុំ​គឺ​ជា​ផ្នែក​មួយ​នៃ​យន្តហោះ​ដែល​ជាប់​នឹង​កាំរស្មី​ពីរ​ដែល​មាន​ប្រភព​រួម។

និយមន័យ 1.1 ។មុំគឺជាតួលេខដែលមានចំណុចមួយ - ចំនុចកំពូលនៃមុំ - និងបន្ទាត់ពាក់កណ្តាលផ្សេងគ្នាពីរដែលចេញពីចំណុចនេះ - ជ្រុងនៃមុំ។
ឧទាហរណ៍ មុំ BOS ក្នុងរូបភាពទី 1 ពិចារណាបន្ទាត់ប្រសព្វពីរដំបូង។ នៅពេលដែលពួកគេប្រសព្វគ្នា បន្ទាត់បង្កើតជាមុំ។ មានករណីពិសេស៖

និយមន័យ ២.ប្រសិនបើជ្រុងនៃមុំមួយបំពេញបន្ថែមពាក់កណ្តាលបន្ទាត់នៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ នោះមុំត្រូវបានគេហៅថាមុំត្រង់។

និយមន័យ ៣.មុំខាងស្តាំគឺជាមុំ 90 ដឺក្រេ។

និយមន័យ ៤.មុំតិចជាង 90 ដឺក្រេត្រូវបានគេហៅថាមុំស្រួច។

និយមន័យ ៥.មុំធំជាង 90 ដឺក្រេ និងតិចជាង 180 ដឺក្រេត្រូវបានគេហៅថាមុំ obtuse ។
បន្ទាត់ប្រសព្វ។

និយមន័យ ៦.មុំពីរ ដែលជ្រុងម្ខាងគឺជារឿងធម្មតា ហើយជ្រុងម្ខាងទៀតស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា ត្រូវបានគេហៅថានៅជាប់គ្នា។

និយមន័យ ៧.មុំដែលភាគីលាតសន្ធឹងគ្នាទៅវិញទៅមកត្រូវបានគេហៅថាមុំបញ្ឈរ។
រូបភាព​ទី 1:
នៅជាប់គ្នា: 1 និង 2; 2 និង 3; 3 និង 4; ៤ និង ១
បញ្ឈរ៖ ១ និង ៣; 2 និង 4
ទ្រឹស្តីបទ ១.ផលបូកនៃមុំជាប់គ្នាគឺ 180 ដឺក្រេ។
សម្រាប់ភស្តុតាង សូមពិចារណារូបភព។ 4 ជ្រុងជាប់គ្នា AOB និង BOS ។ ផលបូករបស់ពួកគេគឺមុំអភិវឌ្ឍន៍ AOC ។ ដូច្នេះផលបូកនៃមុំជាប់គ្នានេះគឺ 180 ដឺក្រេ។

អង្ករ។ ៤

ទំនាក់ទំនងរវាងគណិតវិទ្យា និងតន្ត្រី

"ដោយគិតពីសិល្បៈ និងវិទ្យាសាស្រ្ត អំពីទំនាក់ទំនងគ្នាទៅវិញទៅមក និងភាពផ្ទុយគ្នា ខ្ញុំបានសន្និដ្ឋានថា គណិតវិទ្យា និងតន្ត្រីគឺនៅប៉ូលបំផុតនៃស្មារតីរបស់មនុស្ស ដែលអង្គបដិបក្ខទាំងពីរនេះកំណត់ និងកំណត់រាល់សកម្មភាពខាងវិញ្ញាណប្រកបដោយការច្នៃប្រឌិតរបស់មនុស្ស និង ថាអ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានដាក់នៅចន្លោះពួកវា អ្វីដែលមនុស្សជាតិបានបង្កើតនៅក្នុងវិស័យវិទ្យាសាស្ត្រ និងសិល្បៈ។
G. Neuhaus
វាហាក់ដូចជាថាសិល្បៈគឺជាផ្នែកអរូបីពីគណិតវិទ្យា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការផ្សារភ្ជាប់គ្នារវាងគណិតវិទ្យា និងតន្ត្រី គឺមានលក្ខខណ្ឌទាំងប្រវត្តិសាស្រ្ត និងខាងក្នុង ទោះបីជាការពិតដែលថាគណិតវិទ្យាគឺជាអរូបីបំផុតនៃវិទ្យាសាស្ត្រក៏ដោយ ហើយតន្ត្រីគឺជាទម្រង់សិល្បៈអរូបីបំផុត។
ព្យញ្ជនៈ​កំណត់​សំឡេង​ខ្សែ​ដែល​គាប់​ចិត្ត​ត្រចៀក ។
ប្រព័ន្ធតន្ត្រីនេះត្រូវបានផ្អែកលើច្បាប់ចំនួនពីរដែលមានឈ្មោះអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដ៏អស្ចារ្យពីរនាក់ - Pythagoras និង Archytas ។ ទាំងនេះគឺជាច្បាប់៖
1. ខ្សែសំឡេងពីរកំណត់ព្យញ្ជនៈ ប្រសិនបើប្រវែងរបស់វាទាក់ទងគ្នាជាចំនួនគត់បង្កើតជាលេខត្រីកោណ 10=1+2+3+4, i.e. ដូចជា 1:2, 2:3, 3:4។ លើសពីនេះទៅទៀត លេខ n តូចជាងទាក់ទងនឹង n:(n+1) (n=1,2,3) ព្យញ្ជនៈកាន់តែច្រើនចន្លោះលទ្ធផល។
2. ប្រេកង់យោល w នៃខ្សែសំលេងគឺសមាមាត្រច្រាសទៅនឹងប្រវែងរបស់វា l ។
w = a:l,
ដែល a គឺជាមេគុណកំណត់លក្ខណៈរូបវន្តនៃខ្សែអក្សរ។

ខ្ញុំ​ក៏​នឹង​ផ្តល់​ជូន​នូវ​ការ​យក​ចិត្ត​ទុក​ដាក់​របស់​អ្នក​នូវ​រឿង​កំប្លែង​មួយ​អំពី​ជម្លោះ​រវាង​គណិត​វិទូ​ពីរ​រូប =)

ធរណីមាត្រជុំវិញយើង

ធរណីមាត្រដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ក្នុងជីវិតរបស់យើង។ ដោយសារតែការពិតដែលថានៅពេលដែលអ្នកក្រឡេកមើលជុំវិញវានឹងមិនពិបាកក្នុងការកត់សំគាល់ថាយើងត្រូវបានហ៊ុំព័ទ្ធដោយរាងធរណីមាត្រផ្សេងៗ។ យើងជួបប្រទះពួកគេនៅគ្រប់ទីកន្លែង៖ នៅតាមផ្លូវក្នុងថ្នាក់រៀននៅផ្ទះនៅសួនឧទ្យានកន្លែងហាត់ប្រាណនៅក្នុងអាហារដ្ឋានសាលារៀនជាគោលការណ៍មិនថាយើងនៅទីណានោះទេ។ ប៉ុន្តែ​ប្រធានបទ​នៃ​មេរៀន​ថ្ងៃ​នេះ គឺ​នៅ​ជាប់​នឹង​ធ្យូង។ ដូច្នេះសូមក្រឡេកមើលជុំវិញ ហើយព្យាយាមស្វែងរកជ្រុងនានានៅក្នុងបរិយាកាសនេះ។ ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលទៅខាងក្រៅបង្អួចដោយប្រយ័ត្នប្រយែង អ្នកអាចមើលឃើញថាមែកឈើខ្លះបង្កើតជាជ្រុងជាប់គ្នា ហើយអ្នកអាចមើលឃើញជ្រុងបញ្ឈរជាច្រើននៅក្នុងភាគថាសនៅលើច្រកទ្វារ។ ផ្តល់ឧទាហរណ៍របស់អ្នកអំពីមុំជាប់គ្នាដែលអ្នកឃើញនៅក្នុងបរិស្ថាន។

លំហាត់ 1 ។

1. មានសៀវភៅមួយក្បាលនៅលើតុ កន្លែងដាក់សៀវភៅ។ តើវាបង្កើតមុំអ្វី?
2. ប៉ុន្តែសិស្សកំពុងធ្វើការលើកុំព្យូទ័រយួរដៃ។ តើអ្នកឃើញមុំអ្វីនៅទីនេះ?
3. តើមុំនៃស៊ុមរូបថតនៅលើជំហរគឺជាអ្វី?
4. តើ​អ្នក​គិត​ថា​វា​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន​សម្រាប់​មុំ​ជាប់​គ្នា​ពីរ​ស្មើ​គ្នា?

កិច្ចការទី 2 ។

នៅពីមុខអ្នកគឺជារូបធរណីមាត្រ។ តើតួលេខនេះមានឈ្មោះអ្វី? ឥឡូវនេះដាក់ឈ្មោះមុំជាប់គ្នាទាំងអស់ដែលអ្នកអាចមើលឃើញនៅលើតួលេខធរណីមាត្រនេះ។

កិច្ចការទី 3 ។

នេះ​គឺ​ជា​រូបភាព​នៃ​ការ​គូរ​និង​គំនូរ​មួយ​។ មើលពួកវាដោយប្រុងប្រយ័ត្ន ហើយនិយាយថាប្រភេទនៃការចាប់ដែលអ្នកឃើញនៅក្នុងរូបភាព និងមុំអ្វីខ្លះនៅក្នុងរូបភាព។

ដោះស្រាយបញ្ហា

1) មុំពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដែលទាក់ទងគ្នាទៅវិញទៅមកជា 1: 2 និងនៅជាប់នឹងពួកគេ - ដូចជា 7: 5 ។ អ្នកត្រូវស្វែងរកមុំទាំងនេះ។
2) គេដឹងថាមុំមួយនៅជាប់គ្នាគឺធំជាងមុំម្ខាងទៀត 4 ដង។ តើមុំជាប់គ្នាជាអ្វី?
3) វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកមុំនៅជិតគ្នាដោយផ្តល់ថាមួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺ 10 ដឺក្រេធំជាងទីពីរ។

ការសរសេរតាមគណិតវិទ្យាសម្រាប់ពាក្យដដែលៗនៃសម្ភារៈដែលបានរៀនពីមុន

1) គូររូបភាព៖ បន្ទាត់ a I b ប្រសព្វត្រង់ចំនុច A. សម្គាល់ជ្រុងតូចបំផុតនៃជ្រុងដែលបានបង្កើតដោយលេខ 1 និងមុំដែលនៅសល់ - បន្តបន្ទាប់គ្នាជាមួយលេខ 2,3,4; កាំរស្មីបំពេញបន្ថែមនៃបន្ទាត់ a - តាមរយៈ a1 និង a2 និងបន្ទាត់ b - តាមរយៈ b1 និង b2 ។
2) ដោយប្រើគំនូរដែលបានបញ្ចប់ សូមបញ្ចូលតម្លៃ និងការពន្យល់ចាំបាច់ក្នុងចន្លោះប្រហោងក្នុងអត្ថបទ៖
ក) មុំ 1 និងមុំ ... ពាក់ព័ន្ធព្រោះ...
ខ) មុំ ១ និងមុំ ... បញ្ឈរ​ព្រោះ...
គ) ប្រសិនបើមុំ 1 = 60 °បន្ទាប់មកមុំ 2 = ... ពីព្រោះ ...
ឃ) ប្រសិនបើមុំ 1 = 60 °បន្ទាប់មកមុំ 3 = ... ពីព្រោះ ...

ដោះស្រាយ​បញ្ហា:

1. តើផលបូកនៃមុំ 3 អាចបង្កើតនៅចំនុចប្រសព្វនៃ 2 បន្ទាត់ស្មើនឹង 100° បានទេ? 370°?
2. នៅក្នុងរូប ចូររកគូទាំងអស់នៃជ្រុងដែលនៅជាប់គ្នា។ ហើយឥឡូវនេះជ្រុងបញ្ឈរ។ ដាក់ឈ្មោះមុំទាំងនេះ។

3. អ្នកត្រូវរកមុំមួយនៅពេលដែលវាធំជាងបីដងដែលនៅជាប់នឹងវា។
4. បន្ទាត់ពីរប្រសព្វគ្នា។ ជាលទ្ធផលនៃចំនុចប្រសព្វនេះ 4 ជ្រុងត្រូវបានបង្កើតឡើង។ កំណត់តម្លៃនៃពួកវាណាមួយ ដោយផ្តល់ថា:

ក) ផលបូកនៃមុំ 2 ក្នុងចំណោមបួន 84 °;
ខ) ភាពខុសគ្នានៃមុំ 2 នៃពួកវាគឺ 45 °;
គ) មុំមួយគឺ 4 ដងតិចជាងទីពីរ;
ឃ) ផលបូកនៃមុំទាំងបីគឺ 290°។

សង្ខេបមេរៀន

1. ដាក់ឈ្មោះមុំដែលបង្កើតនៅចំនុចប្រសព្វនៃ 2 បន្ទាត់?
2. ដាក់ឈ្មោះគូដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃមុំនៅក្នុងរូប និងកំណត់ប្រភេទរបស់វា។

កិច្ចការ​ផ្ទះ:

1. រកសមាមាត្រនៃរង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំជាប់គ្នានៅពេលដែលមួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺ 54 °ច្រើនជាងទីពីរ។
2. ស្វែងរកមុំដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅពេលដែល 2 បន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា ផ្តល់ថាមុំមួយស្មើនឹងផលបូកនៃមុំ 2 ផ្សេងទៀតដែលនៅជាប់នឹងវា។
3. វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកមុំដែលនៅជាប់គ្នានៅពេលដែល bisector នៃមួយក្នុងចំណោមពួកគេបង្កើតជាមុំជាមួយផ្នែកម្ខាងនៃទីពីរដែលមាន 60 °ធំជាងមុំទីពីរ។
4. ភាពខុសគ្នានៃមុំជាប់គ្នា 2 គឺស្មើនឹងមួយភាគបីនៃផលបូកនៃមុំទាំងពីរនេះ។ កំណត់តម្លៃនៃ 2 មុំជាប់គ្នា។
5. ភាពខុសគ្នានិងផលបូកនៃ 2 មុំជាប់គ្នាគឺទាក់ទងគ្នាជា 1: 5 រៀងគ្នា។ ស្វែងរកជ្រុងដែលនៅជាប់គ្នា។
6. ភាពខុសគ្នារវាងពីរដែលនៅជាប់គ្នាគឺ 25% នៃផលបូករបស់ពួកគេ។ តើ​តម្លៃ​នៃ​មុំ​ជាប់​គ្នា​ពីរ​មាន​ទំនាក់ទំនង​គ្នា​យ៉ាង​ណា? កំណត់តម្លៃនៃ 2 មុំជាប់គ្នា។

សំណួរ៖

1. តើមុំគឺជាអ្វី?
2. តើជ្រុងមានអ្វីខ្លះ?
3. តើអ្វីជាលក្ខណៈពិសេសនៃជ្រុងជាប់គ្នា?

មុខវិជ្ជា > គណិតវិទ្យា > គណិតវិទ្យាថ្នាក់ទី៧

មុំពីរត្រូវបានគេហៅថានៅជាប់គ្នា ប្រសិនបើពួកគេមានជ្រុងម្ខាងដូចគ្នា ហើយជ្រុងផ្សេងទៀតនៃមុំទាំងនេះគឺជាកាំរស្មីបំពេញបន្ថែម។ នៅក្នុងរូបភាពទី 20 មុំ AOB និង BOC គឺនៅជាប់គ្នា។

ផលបូកនៃមុំជាប់គ្នាគឺ 180°

ទ្រឹស្តីបទ 1. ផលបូកនៃមុំជាប់គ្នាគឺ 180°។

ភស្តុតាង។ ធ្នឹម OB (សូមមើលរូបភាពទី 1) ឆ្លងកាត់រវាងជ្រុងនៃមុំដែលបានអភិវឌ្ឍ។ ដូច្នេះ ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.

ពីទ្រឹស្តីបទទី 1 វាដូចខាងក្រោមថាប្រសិនបើមុំពីរស្មើគ្នានោះមុំដែលនៅជាប់នឹងពួកគេស្មើគ្នា។

មុំបញ្ឈរគឺស្មើគ្នា

មុំពីរត្រូវបានគេហៅថាបញ្ឈរ ប្រសិនបើជ្រុងនៃមុំមួយគឺជាកាំរស្មីនៃជ្រុងម្ខាងទៀត។ មុំ AOB និង COD, BOD និង AOC ដែលបង្កើតឡើងនៅចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ពីរគឺបញ្ឈរ (រូបភាព 2) ។

ទ្រឹស្តីបទ 2. មុំបញ្ឈរគឺស្មើគ្នា។

ភស្តុតាង។ ពិចារណាមុំបញ្ឈរ AOB និង COD (សូមមើលរូបទី 2) ។ មុំ BOD នៅជាប់នឹងមុំនីមួយៗ AOB និង COD ។ តាមទ្រឹស្តីបទ 1, ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°។

ដូច្នេះយើងសន្និដ្ឋានថា ∠ AOB = ∠ COD ។

Corollary 1. មុំដែលនៅជាប់នឹងមុំខាងស្តាំគឺជាមុំខាងស្តាំ។

ពិចារណាបន្ទាត់ត្រង់ដែលប្រសព្វគ្នាពីរ AC និង BD (រូបភាពទី 3)។ ពួកវាបង្កើតជាបួនជ្រុង។ ប្រសិនបើមួយក្នុងចំណោមពួកវាត្រូវ (មុំ 1 ក្នុងរូបភាពទី 3) នោះមុំផ្សេងទៀតក៏ត្រូវដែរ (មុំ 1 និង 2, 1 និង 4 គឺនៅជាប់គ្នា មុំ 1 និង 3 គឺបញ្ឈរ) ។ ក្នុងករណីនេះ បន្ទាត់ទាំងនេះត្រូវបានគេនិយាយថាប្រសព្វនៅមុំខាងស្តាំ ហើយត្រូវបានគេហៅថាកាត់កែង (ឬកាត់កែងគ្នាទៅវិញទៅមក)។ ភាពកាត់កែងនៃបន្ទាត់ AC និង BD ត្រូវបានបង្ហាញដូចខាងក្រោម៖ AC ⊥ BD ។

ផ្នែកកាត់កែងនៃផ្នែកមួយគឺជាបន្ទាត់កាត់កែងទៅនឹងផ្នែកនេះ ហើយឆ្លងកាត់ចំណុចកណ្តាលរបស់វា។

AN - កាត់កែងទៅបន្ទាត់

ពិចារណាបន្ទាត់ a និងចំណុច A ដែលមិនស្ថិតនៅលើវា (រូបភាពទី 4) ។ ភ្ជាប់ចំណុច A ជាមួយផ្នែកមួយទៅចំណុច H ជាមួយនឹងបន្ទាត់ត្រង់ a ។ ផ្នែក AH ត្រូវបានគេហៅថាកាត់កែងពីចំណុច A ទៅបន្ទាត់ a ប្រសិនបើបន្ទាត់ AN និង a កាត់កែង។ ចំណុច H ត្រូវបានគេហៅថាមូលដ្ឋានកាត់កែង។

គំនូរការ៉េ

ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមគឺពិត។

ទ្រឹស្តីបទ 3. ពីចំណុចណាមួយដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់មួយ មនុស្សម្នាក់អាចគូរកាត់កែងទៅបន្ទាត់នេះ ហើយលើសពីនេះទៅទៀតមានតែមួយ។

ដើម្បីគូរកាត់កែងពីចំនុចមួយទៅបន្ទាត់ត្រង់មួយក្នុងគំនូរ ការ៉េគំនូរត្រូវបានប្រើ (រូបភាពទី 5)។

មតិយោបល់។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រឹស្តីបទជាធម្មតាមានពីរផ្នែក។ ផ្នែកមួយនិយាយអំពីអ្វីដែលផ្តល់ឱ្យ។ ផ្នែកនេះត្រូវបានគេហៅថាលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ។ ផ្នែកផ្សេងទៀតនិយាយអំពីអ្វីដែលត្រូវបញ្ជាក់។ ផ្នែកនេះត្រូវបានគេហៅថាការសន្និដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីបទ។ ឧទាហរណ៍លក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ 2 គឺមុំបញ្ឈរ; ការសន្និដ្ឋាន - មុំទាំងនេះគឺស្មើគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទណាមួយអាចត្រូវបានបញ្ជាក់យ៉ាងលម្អិតនៅក្នុងពាក្យ ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌរបស់វានឹងចាប់ផ្តើមដោយពាក្យ "ប្រសិនបើ" និងការសន្និដ្ឋានដោយពាក្យ "បន្ទាប់មក" ។ ឧទាហរណ៍ ទ្រឹស្តីបទទី ២ អាចត្រូវបានបញ្ជាក់យ៉ាងលម្អិតដូចខាងក្រោម៖ "ប្រសិនបើមុំពីរគឺបញ្ឈរ នោះពួកវាស្មើគ្នា" ។

ឧទាហរណ៍ ១មុំមួយនៅជាប់គ្នាគឺ 44°។ តើមួយទៀតស្មើនឹងអ្វី?

ការសម្រេចចិត្ត។ សម្គាល់រង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំមួយទៀតដោយ x បន្ទាប់មកយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ 1 ។
44° + x = 180°។
ការដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល យើងរកឃើញថា x \u003d 136 °។ ដូច្នេះមុំផ្សេងទៀតគឺ 136 °។

ឧទាហរណ៍ ២អនុញ្ញាតឱ្យមុំ COD ក្នុងរូបភាពទី 21 គឺ 45 °។ តើមុំ AOB និង AOC ជាអ្វី?

ការសម្រេចចិត្ត។ មុំ COD និង AOB គឺបញ្ឈរ ដូច្នេះដោយទ្រឹស្តីបទ 1.2 ពួកវាស្មើគ្នា ពោលគឺ ∠ AOB = 45°។ មុំ AOC គឺនៅជាប់នឹងមុំ COD ដូច្នេះដោយទ្រឹស្តីបទ 1 ។
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135° ។

ឧទាហរណ៍ ៣ស្វែងរកមុំដែលនៅជាប់គ្នា ប្រសិនបើមួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺ 3 ដងផ្សេងទៀត។

ការសម្រេចចិត្ត។ សម្គាល់រង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំតូចដោយ x ។ បន្ទាប់មករង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំធំជាងនឹងជា Zx ។ ដោយសារផលបូកនៃមុំជាប់គ្នាគឺ 180° (ទ្រឹស្តីបទ 1) បន្ទាប់មក x + 3x = 180° ពេលណា x = 45° ។
ដូច្នេះមុំជាប់គ្នាគឺ 45° និង 135°។

ឧទាហរណ៍ 4ផលបូកនៃមុំបញ្ឈរពីរគឺ 100°។ រកតម្លៃនៃមុំនីមួយៗនៃមុំទាំងបួន។

ការសម្រេចចិត្ត។ សូមអោយរូបភាពទី 2 ទាក់ទងទៅនឹងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។ មុំបញ្ឈរ COD ទៅ AOB គឺស្មើគ្នា (ទ្រឹស្តីបទ 2) ដែលមានន័យថា រង្វាស់ដឺក្រេរបស់ពួកគេក៏ស្មើគ្នាផងដែរ។ ដូច្នេះ ∠ COD = ∠ AOB = 50° (ផលបូករបស់ពួកគេគឺ 100° តាមលក្ខខណ្ឌ)។ មុំ BOD (ក៏មុំ AOC) គឺនៅជាប់នឹងមុំ COD ហើយដូច្នេះដោយទ្រឹស្តីបទ 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130° ។