ដូច្នេះវាធ្វើតាមនោះ។ α ≈ | φ ′ (ξ) | (\displaystyle \alpha \approx |\varphi "(\xi)|). ដូច្នេះ​សម្រាប់​វិធី​បង្រួបបង្រួម​វា​គ្រប់គ្រាន់​ហើយ។ ∀ x ∈ [ a , b ] | φ ′ (x) | ≤ 1. (\displaystyle \forall x\in \quad |\varphi "(x)|\leq 1.)

ក្បួនដោះស្រាយទូទៅនៃការប៉ាន់ស្មានជាបន្តបន្ទាប់[ | ]

ដូចដែលបានអនុវត្តចំពោះករណីទូទៅនៃសមីការប្រតិបត្តិករ វិធីសាស្ត្រនេះត្រូវបានគេហៅថា វិធីសាស្រ្តនៃការប៉ាន់ស្មានជាបន្តបន្ទាប់ឬ វិធីសាស្រ្តធ្វើម្តងទៀតសាមញ្ញ. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សមីការអាចត្រូវបានបំប្លែងទៅជាការគូសផែនទីកន្ត្រាក់ ដែលមានឫសដូចគ្នា ក្នុងវិធីផ្សេងៗគ្នា។ នេះផ្តល់នូវការកើនឡើងនូវវិធីសាស្រ្តជាក់លាក់មួយចំនួនដែលមានទាំងអត្រាការបញ្ចូលគ្នារវាងលីនេអ៊ែរ និងខ្ពស់ជាង។

ដូចដែលបានអនុវត្តចំពោះ SLAU[ | ]

ពិចារណាប្រព័ន្ធ៖

(a 11 x 1 + … + a 1 n x n = b 1 … a n 1 x 1 + … + a n n x n = b n (\displaystyle \left\((\begin(array)(ccc)a_(11)x_(1)+ \ldots +a_(1n)x_(n)&=&b_(1)\\\ldots &&\\a_(n1)x_(1)+\ldots +a_(nn)x_(n)&=&b_(n) \end(array))\right។)

សម្រាប់វា ការគណនាដដែលៗនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

(x 1 x 2 ⋮ x n) i + 1 = (a 11 + 1 a 12 … a 1 n a 21 a 22 + 1 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n + 1) (x 1 x 2 ) ⋮ x n) i − (b 1 b 2 ⋮ b n) (\displaystyle \left((\begin(array)(c)x_(1)\\x_(2)\\\vdots \\x_(n)\ បញ្ចប់ (អារេ))\right)^(i+1)=\left((\begin(array)(cccc)a_(11)+1&a_(12)&\ldots &a_(1n)\\a_(21)&a_ (22)+1&\ldots &a_(2n)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_(n1)&a_(n2)&\ldots &a_(nn)+1\end(array))\ ស្តាំ)\left((\begin(array)(c)x_(1)\\x_(2)\\\vdots \\x_(n)\end(array))\right)^(i)-\left ((\begin(array)(c)b_(1)\\b_(2)\\\vdots \\b_(n)\end(array))\right))

វិធីសាស្រ្តនឹងបង្រួបបង្រួមក្នុងអត្រាលីនេអ៊ែរប្រសិនបើ ‖ a 11 + 1 … a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 … a n n + 1 ‖< 1 {\displaystyle \left\|{\begin{array}{ccc}a_{11}+1&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}+1\end{array}}\right\|<1}

របារបញ្ឈរទ្វេមានន័យថាបទដ្ឋានម៉ាទ្រីសមួយចំនួន។

ដំណោះស្រាយនៃសមីការ f(x)=0 ដោយវិធីសាស្ត្ររបស់ញូតុន ការប៉ាន់ស្មានដំបូង៖ x 1 = ក។

វិធីសាស្ត្រញូតុន (វិធីសាស្ត្រតង់សង់)[ | ]

ករណីមួយវិមាត្រ[ | ]

បង្កើនប្រសិទ្ធភាពការផ្លាស់ប្តូរនៃសមីការដើម f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0)ទៅក្នុងផែនទីបង្រួម x = φ (x) (\ បង្ហាញរចនាប័ទ្ម x = \\ varphi (x))អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានវិធីសាស្រ្តជាមួយនឹងអត្រាបួនជ្រុងនៃ convergence ។

ដើម្បីឱ្យការគូសវាសមានប្រសិទ្ធភាពបំផុត វាចាំបាច់ដែលនៅចំណុចនៃការធ្វើម្តងទៀតបន្ទាប់ x ∗ (\ ទម្រង់បង្ហាញ x^(*))បានអនុវត្ត φ ′ (x ∗) = 0 (\displaystyle \varphi "(x^(*))=0). យើងនឹងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះក្នុងទម្រង់ φ (x) = x + α (x) f (x) (\displaystyle \varphi (x)=x+\alpha (x)f(x))បន្ទាប់មក៖

តោះប្រើអ្វី f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0)ហើយយើងទទួលបានរូបមន្តចុងក្រោយសម្រាប់ α (x) (\ ទម្រង់បង្ហាញ \ អាល់ហ្វា (x)):

ដោយគិតក្នុងចិត្ត មុខងារកន្ត្រាក់នឹងមានទម្រង់៖

បន្ទាប់មកក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកដំណោះស្រាយជាលេខចំពោះសមីការ f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0)កាត់បន្ថយទៅនីតិវិធីគណនាដដែលៗ៖

វិធីសាស្រ្តដដែលៗ

វិធីសាស្រ្តដដែលៗសន្មតថាការអនុវត្តដំណាក់កាលទាំងបីខាងក្រោម៖ ការសាងសង់ដំណើរការផ្ទួនគ្នាទៅនឹងដំណោះស្រាយពិតប្រាកដសម្រាប់ការគណនាការប៉ាន់ប្រមាណបន្តបន្ទាប់គ្នា (ឧទាហរណ៍ ការសាងសង់លំដាប់នៃវ៉ិចទ័រដែលបញ្ចូលគ្នាទៅនឹងដំណោះស្រាយពិតប្រាកដ។ ; ការកំណត់លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបញ្ចូលគ្នានៃដំណើរការនេះ ដែលអនុញ្ញាតឱ្យកំណត់ពេលវេលានៃការសម្រេចបាននូវភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការ។ ការសិក្សាអំពីអត្រានៃការបញ្ចូលគ្នា និងការបង្កើនប្រសិទ្ធភាពនៃដំណើរការដដែលៗ ដើម្បីកាត់បន្ថយចំនួនប្រតិបត្តិការដែលត្រូវការ ដើម្បីសម្រេចបាននូវភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការ។

វិធីសាស្រ្តដដែលៗធ្វើឱ្យវាអាចទទួលបានដំណោះស្រាយជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានកំណត់ទុកជាមុន ប្រសិនបើការបញ្ចូលគ្នានៃវិធីសាស្ត្រត្រូវបានបញ្ជាក់។ វិធីសាស្រ្តដដែលៗមិនផ្តល់ដំណោះស្រាយយ៉ាងតឹងរ៉ឹងទេ ព្រោះវាត្រូវបានសម្រេចជាដែនកំណត់នៃលំដាប់វ៉ិចទ័រ។ វិធីសាស្ត្រផ្ទាល់ ជាទូទៅផ្តល់នូវដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ ប៉ុន្តែដោយសារតែកំហុសជុំដែលកើតឡើងនៅលើកុំព្យូទ័រទាំងអស់ វាមិនអាចទៅដល់បានទេ ហើយ អាទិភាពវាថែមទាំងពិបាកក្នុងការវាយតម្លៃថាតើដំណោះស្រាយនេះខុសគ្នាប៉ុន្មានពីដំណោះស្រាយពិតប្រាកដ។ ពាក់ព័ន្ធនឹងការលើកឡើងខាងលើ វិធីសាស្ត្រដដែលៗ ជួនកាលធ្វើឱ្យវាអាចទទួលបានដំណោះស្រាយដែលមានភាពត្រឹមត្រូវជាងវិធីផ្ទាល់។

ពិចារណាវិធីសាស្រ្តដដែលៗជាច្រើនសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ។

វិធីសាស្រ្ដសាមញ្ញ

នៅក្នុងវិធីសាស្រ្ដសាមញ្ញ ប្រព័ន្ធ (2.1) នៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ax = ខត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រព័ន្ធសមមូលនៃទម្រង់

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ (2.9) ហើយជាលទ្ធផល ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដើម (2.1) ត្រូវបានស្វែងរកជាដែនកំណត់នៃលំដាប់វ៉ិចទ័រសម្រាប់៖

k = 0, 1, 2,…,(2.10)

តើការប៉ាន់ស្មានដំបូងសម្រាប់វ៉ិចទ័រដំណោះស្រាយនៅឯណា។

លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការបង្រួបបង្រួមនៃវិធីធ្វើឡើងវិញសាមញ្ញត្រូវបានកំណត់ដោយទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ 1. ប្រសិនបើបទដ្ឋានណាមួយនៃម៉ាទ្រីសស្របនឹងបទដ្ឋានដែលបានពិចារណានៃវ៉ិចទ័រគឺតិចជាងការរួបរួម () នោះលំដាប់នៅក្នុងវិធីសាស្រ្ដសាមញ្ញនឹងទៅជាដំណោះស្រាយពិតប្រាកដនៃប្រព័ន្ធ (2.9) ក្នុងអត្រាមិនតិចជាងអត្រា នៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រជាមួយភាគបែងសម្រាប់ការប៉ាន់ស្មានដំបូងណាមួយ។

ភស្តុតាង។ ដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ យើងណែនាំពីកំហុស។ ការដកសមភាព (2.10) ពីទំនាក់ទំនង យើងទទួលបាន។ ឆ្លងកាត់បទដ្ឋានយើងមាន

ចំណាំថាវិសមភាព ពីកន្សោមមុនគឺជាលក្ខខណ្ឌនៃភាពស៊ីសង្វាក់គ្នាសម្រាប់បទដ្ឋាននៃម៉ាទ្រីស និងវ៉ិចទ័រ។ ប្រសិនបើ ក បន្ទាប់មកសម្រាប់វ៉ិចទ័រកំហុសដំបូងណាមួយ (ឬបើមិនដូច្នេះទេ សម្រាប់វ៉ិចទ័រដំបូងណាមួយ) អត្រាកំហុសមានទំនោរទៅសូន្យមិនយឺតជាងការវិវឌ្ឍន៍ធរណីមាត្រជាមួយភាគបែងទេ។

ប្រសិនបើយើងជ្រើសរើសបទដ្ឋានជាបទដ្ឋានម៉ាទ្រីស ឬ បន្ទាប់មក ដើម្បីដោះស្រាយសំណួរនៃការបង្រួបបង្រួមនៃវិធីសាស្រ្ដសាមញ្ញ គេអាចប្រើកូរ៉ូឡារីពីទ្រឹស្តីបទទី ១៖ វិធីសាស្ត្របំប្លែងសាមញ្ញនឹងចូលគ្នា ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌមួយក្នុងចំណោមលក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវបានពេញចិត្តសម្រាប់ម៉ាទ្រីស៖

, i = 1,2, …, n,

, j = 1, 2, …, ន.(2.11)

វិធីសាមញ្ញបំផុតនិងសាមញ្ញបំផុតដើម្បីនាំយកប្រព័ន្ធ អ័ក្ស = ខទៅទម្រង់ (2.9) ងាយស្រួលសម្រាប់ការធ្វើម្តងទៀត គឺជាជម្រើសនៃធាតុអង្កត់ទ្រូង ដោយនីមួយៗ i-thសមីការត្រូវបានដោះស្រាយដោយគោរព i-thមិនស្គាល់៖

, i = 1, 2, …, n, (2.12)

ហើយវិធីសាស្រ្តធ្វើម្តងទៀតសាមញ្ញអាចត្រូវបានសរសេរជា

ម៉ាទ្រីសបន្ទាប់មកមានទម្រង់

.

ធាតុនៃម៉ាទ្រីសនេះអាចត្រូវបានសរសេរជា តើនិមិត្តសញ្ញា Kroneker នៅឯណា។ ក្នុងករណីនេះ លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការបង្រួបបង្រួមនៃវិធីសាស្រ្ដសាមញ្ញអាចត្រូវបានបង្កើតជាលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ភាពលេចធ្លោនៃធាតុអង្កត់ទ្រូងនៃម៉ាទ្រីស។ ប៉ុន្តែដែលធ្វើតាមពី (2.11) និងសញ្ញាណនៃម៉ាទ្រីស ពោលគឺឧ។

i = 1, 2, …, ន។

យើងសង្កត់ធ្ងន់ម្តងទៀតថាទម្រង់ដែលបានពិចារណានៃលក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការបង្រួបបង្រួមនៃវិធីសាស្ត្រដដែលៗគឺគ្រប់គ្រាន់ប៉ុណ្ណោះ។ ការប្រតិបត្តិរបស់ពួកគេធានានូវការបង្រួបបង្រួមនៃវិធីសាស្ត្រ ប៉ុន្តែការបរាជ័យរបស់ពួកគេនៅក្នុងករណីទូទៅមិនមានន័យថាវិធីសាស្ត្រធ្វើម្តងទៀតសាមញ្ញខុសគ្នានោះទេ។ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការបង្រួបបង្រួមនៃវិធីសាស្រ្ដសាមញ្ញ គឺជាលក្ខខណ្ឌដែលផ្នែកចំនួនគត់ (ដែលតម្លៃម៉ូឌុលអតិបរមានៃម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែ); លក្ខខណ្ឌនេះកម្រត្រូវបានប្រើក្នុងការអនុវត្តការគណនា។

ចូរយើងងាកទៅរកសំណួរនៃការប៉ាន់ប្រមាណកំហុសនៃដំណោះស្រាយ។ ការចាប់អារម្មណ៍គឺទំនាក់ទំនងពីរសម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណកំហុសនៃដំណោះស្រាយ: ទីមួយទាក់ទងនឹងបទដ្ឋាននៃកំហុសទៅនឹងបទដ្ឋាននៃភាពខុសគ្នានៃការប៉ាន់ប្រមាណបន្តបន្ទាប់គ្នានិងអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីប៉ាន់ប្រមាណកំហុសតែនៅក្នុងដំណើរការនៃការគណនា។ ទីពីរទាក់ទងនឹងបទដ្ឋាននៃកំហុសទៅនឹងបទដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រនៃការប្រហាក់ប្រហែលដំបូងនិងវ៉ិចទ័រនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃនៅក្នុងប្រព័ន្ធ (2.9) ។ ទំនាក់ទំនងចាំបាច់ត្រូវបានផ្តល់ដោយទ្រឹស្តីបទពីរខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ 2. ប្រសិនបើបទដ្ឋានណាមួយនៃម៉ាទ្រីសស្របនឹងបទដ្ឋានដែលបានពិចារណានៃវ៉ិចទ័រ X

. (2.13)

ភស្តុតាង។ ចូរយើងដកសមភាព (២.១០) ចេញពីសមភាព៖

ដកពីផ្នែកទាំងពីរនៃតម្លៃប្រហាក់ប្រហែល យើងបំលែងសមាមាត្រនេះទៅជាទម្រង់

ឆ្លងកាត់បទដ្ឋានយើងទទួលបាន

ចាប់តាំងពីដោយសម្មតិកម្មនៃទ្រឹស្តីបទ។

ដោយប្រើទំនាក់ទំនងដែលវាធ្វើតាមនោះ។ ទីបំផុតយើងទទួលបាន៖

ទ្រឹស្តីបទ 3. ប្រសិនបើបទដ្ឋានណាមួយជាម៉ាទ្រីសស្របនឹងបទដ្ឋានដែលបានពិចារណានៃវ៉ិចទ័រ Xតិចជាងមួយ () បន្ទាប់មកការប៉ាន់ស្មានកំហុសខាងក្រោមកើតឡើង៖

ចូរយើងធ្វើការកត់សម្គាល់ពីរ។ ទីមួយ ទំនាក់ទំនង (2.13) អាចត្រូវបានសរសេរជា

ដែលធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីទទួលបានការប៉ាន់ប្រមាណនៃកំហុសដោយផ្អែកលើលទ្ធផលនៃការធ្វើម្តងទៀតពីរដំបូង។ ទីមួយ នៅពេលប្រើវិធីធ្វើម្តងទៀត ជួនកាលវាត្រូវបានណែនាំអោយប្រើបទដ្ឋាននៃភាពខុសគ្នានៃការប៉ាន់ស្មានបន្តបន្ទាប់គ្នាពីរជាការប៉ាន់ស្មាននៃកំហុសក្នុងការគណនា។ វាកើតឡើងពីការជាប់ទាក់ទងគ្នាសម្រាប់កំហុសដែលនេះមិនមែនជាការពិតនៅក្នុងករណីទូទៅ។ ប្រសិនបើបទដ្ឋានគឺជិតនឹងឯកភាព នោះមេគុណនៅអាចមានទំហំធំណាស់។

កំហុសនៃការបន្តបន្ទាប់គឺទាក់ទងដោយទំនាក់ទំនង

ទាំងនោះ។ កំហុសផ្លាស់ប្តូរលីនេអ៊ែរក្នុងជំហានមួយ។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានគេនិយាយថាមាន ការបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរឬការបញ្ចូលគ្នានៃលំដាប់ទីមួយ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ចំនួននៃការធ្វើម្តងទៀតដែលទាមទារដើម្បីសម្រេចបាននូវភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការគឺអាស្រ័យលើតម្លៃ និងការប៉ាន់ស្មានដំបូងនៃ .

ដូច្នេះ ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តធ្វើម្តងទៀតសាមញ្ញជាឧទាហរណ៍ បីដំណាក់កាលនៃវិធីសាស្រ្តដដែលៗត្រូវបានបង្ហាញ៖ ការស្ថាបនានៃលំដាប់វ៉ិចទ័រដែលបង្កើតដោយរូបមន្ត (1.10); ការ​កំណត់​លក្ខខណ្ឌ​រួម​គ្នា​ដោយ​យោង​តាម​ទ្រឹស្តីបទ ១ និង​ការ​ប៉ាន់​ប្រមាណ​នៃ​អត្រា​នៃ​ការ​បញ្ចូលគ្នា​ដោយ​ប្រើ​ទ្រឹស្តីបទ ២ និង ៣។

វិធីសាស្រ្ត Seidel

វិធីសាស្រ្តធ្វើម្តងទៀតសាមញ្ញមិនប្រើលទ្ធភាពដែលហាក់បីដូចជាជាក់ស្តែងក្នុងការធ្វើឱ្យប្រសើរឡើងនូវការបង្រួបបង្រួមនៃដំណើរការដដែលៗ - ការណែនាំភ្លាមៗនៃសមាសធាតុដែលបានគណនាថ្មីនៃវ៉ិចទ័រទៅក្នុងការគណនា។ លទ្ធភាពនេះត្រូវបានប្រើក្នុងវិធីសាស្ត្រ Seidel ដដែលៗ។ ដំណើរការដដែលៗសម្រាប់ប្រព័ន្ធ (2.9) ត្រូវបានអនុវត្តក្នុងករណីនេះយោងទៅតាមទំនាក់ទំនង

i = 1, 2, …, ន (2.14)

ឬសម្រាប់ប្រព័ន្ធ (1.1)

ដោយមិនបានចូលទៅក្នុងសេចក្តីលម្អិត យើងកត់សំគាល់ថាវិធីសាស្ត្រ Seidel ម្តងហើយម្តងទៀតពិតជានាំទៅរកការបញ្ចូលគ្នាលឿនជាងវិធីសាស្ត្រធ្វើម្តងទៀតសាមញ្ញ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានករណីជាច្រើនដែលវិធីសាស្ត្រ Seidel បញ្ជូលគ្នាយឺតជាងវិធីសាស្ត្រ iteration សាមញ្ញ ហើយសូម្បីតែករណីដែលវិធីសាស្ត្រ iteration សាមញ្ញបញ្ចូលគ្នា ប៉ុន្តែវិធីសាស្ត្រ Seidel iteration ខុសគ្នា។

ចំណាំ​ថា វិធីសាស្រ្ត Seidel បញ្ចូលគ្នាប្រសិនបើម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែនិយមន័យវិជ្ជមាន និងស៊ីមេទ្រី។

ចូរយើងបង្ហាញថា វិធីសាស្ត្រធ្វើឡើងវិញ Seidel គឺស្មើនឹងវិធីសាស្ត្រធ្វើឡើងវិញសាមញ្ញមួយចំនួនជាមួយនឹងម៉ាទ្រីស និងវ៉ិចទ័រដែលបង្កើតជាពិសេសនៅក្នុងទំនាក់ទំនង (2.10)។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងសរសេរប្រព័ន្ធ (2.14) ក្នុងទម្រង់ ម៉ាទ្រីស (អ៊ី-H)គឺ​ជា​ម៉ាទ្រីស​ត្រីកោណ​ទាប​ដែល​មាន​ធាតុ​អង្កត់ទ្រូង​ស្មើ​នឹង​មួយ។ ដូច្នេះ​កត្តា​កំណត់​នៃ​ម៉ាទ្រីស​នេះ​គឺ​មិន​សូន្យ (ស្មើ​នឹង​មួយ) ហើយ​វា​មាន​ម៉ាទ្រីស​បញ្ច្រាស។ បន្ទាប់មក

ការប្រៀបធៀបទំនាក់ទំនងនេះជាមួយនឹងដំណោះស្រាយ (2.10) យើងអាចសន្និដ្ឋានថា វិធីសាស្ត្រធ្វើឡើងវិញ Seidel គឺពិតជាស្មើនឹងវិធីសាស្ត្រធ្វើឡើងវិញសាមញ្ញក្នុងន័យថា ដើម្បីបង្កើតលក្ខខណ្ឌ និងលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបញ្ចូលគ្នាសម្រាប់វិធីសាស្ត្រ Seidel iteration មនុស្សម្នាក់អាចប្រើទ្រឹស្តីបទដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ សម្រាប់​វិធី​សាស្រ្ដ​ធម្មតា ប្រសិនបើ​យើង​កំណត់ ដំណើរការដដែលៗសម្រាប់ប្រព័ន្ធ (2.12) ក៏អាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ទូទៅបន្ថែមទៀត ពោលគឺ

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតជាមួយ n មិនស្គាល់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖

ក្បួនដោះស្រាយវិធីសាស្រ្តធ្វើឡើងវិញសាមញ្ញ៖

ចំណាំថានៅទីនេះ និងនៅក្នុងអ្វីដែលបន្ទាប់ អក្សរកាត់តំណាងឱ្យសមាសធាតុដែលត្រូវគ្នានៃវ៉ិចទ័រនៃមិនស្គាល់ ហើយអក្សរធំតំណាងឱ្យចំនួនការនិយាយឡើងវិញ (ប្រហាក់ប្រហែល) ។

បន្ទាប់មក​ដំណើរការ​គណិត​វិទ្យា​មួយ​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង ដែល​វដ្ត​នីមួយៗ​តំណាង​ឱ្យ​ការ​ធ្វើ​ម្តងទៀត​មួយ។ ជាលទ្ធផលនៃការធ្វើឡើងវិញនីមួយៗ តម្លៃថ្មីនៃវ៉ិចទ័រនៃមិនស្គាល់ត្រូវបានទទួល។ ដើម្បីរៀបចំដំណើរការដដែលៗ យើងសរសេរប្រព័ន្ធ (1) ក្នុងទម្រង់ខាងលើ។ ក្នុងករណីនេះលក្ខខណ្ឌនៅលើអង្កត់ទ្រូងសំខាន់ត្រូវបានធ្វើឱ្យមានលក្ខណៈធម្មតាហើយនៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើគ្នាខណៈពេលដែលនៅសល់ត្រូវបានផ្ទេរទៅផ្នែកខាងស្តាំ។ ប្រព័ន្ធសមីការកាត់បន្ថយមើល​ទៅ​ដូច​ជា:

សម្គាល់​ឃើញ​ថា ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ជាមួយនឹងការធ្វើឡើងវិញជាបន្តបន្ទាប់នីមួយៗ វ៉ិចទ័រនៃការមិនស្គាល់កាន់តែខិតទៅជិត និងខិតទៅជិតដំណោះស្រាយពិតប្រាកដ។

12. រូបមន្តធ្វើផ្ទួនចំបងដែលប្រើក្នុងវិធីធ្វើឡើងវិញសាមញ្ញសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការមិនលីនេអ៊ែរ៖

13. លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ការបញ្ឈប់ដំណើរការដដែលៗក្នុងវិធីសាស្រ្តធ្វើឡើងវិញសាមញ្ញសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការមិនលីនេអ៊ែរ៖

ដំណើរការដដែលៗបញ្ចប់ ប្រសិនបើសម្រាប់សមាសធាតុ i-th នីមួយៗនៃវ៉ិចទ័រមិនស្គាល់លក្ខខណ្ឌសម្រាប់ការសម្រេចបាននូវភាពត្រឹមត្រូវគឺពេញចិត្ត។
សម្គាល់​ឃើញ​ថា ដំណោះ​ស្រាយ​ពិត​ប្រាកដ​នៅ​ក្នុង​វិធី​សា​ស្រ្ត​ដដែល​ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ជាមួយនឹងការធ្វើឡើងវិញជាបន្តបន្ទាប់នីមួយៗ វ៉ិចទ័រនៃមិនស្គាល់គឺកាន់តែខិតទៅជិត និងខិតទៅជិតដំណោះស្រាយពិតប្រាកដ

14. លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យសម្រាប់ការជ្រើសរើសអនុគមន៍ជំនួយ F(x) សម្រាប់ផ្នែកធ្វើឡើងវិញនៃចន្លោះពេល៖

នៅពេលធ្វើតេស្ដគណិតវិទ្យាសម្រាប់ដោះស្រាយវិធីធ្វើឡើងវិញសាមញ្ញ លក្ខខណ្ឌនៃការបញ្ចូលគ្នាត្រូវតែពិនិត្យជាមុនសិន។ សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃវិធីសាស្រ្ត វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលនៅក្នុងម៉ាទ្រីស A តម្លៃដាច់ខាតនៃធាតុអង្កត់ទ្រូងគឺធំជាងផលបូកនៃម៉ូឌុលនៃធាតុផ្សេងទៀតទាំងអស់នៅក្នុងជួរដែលត្រូវគ្នា៖

គុណវិបត្តិនៃវិធីសាស្រ្តដដែលៗនេះគឺជាលក្ខខណ្ឌនៃការបញ្ចូលគ្នាដ៏តឹងរ៉ឹងមួយ ដែលនៅឆ្ងាយពីការពេញចិត្តសម្រាប់ប្រព័ន្ធទាំងអស់នៃសមីការ។

ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនៃការបញ្ចូលគ្នាត្រូវបានពេញចិត្ត នោះនៅដំណាក់កាលបន្ទាប់ ចាំបាច់ត្រូវកំណត់ការប៉ាន់ស្មានដំបូងនៃវ៉ិចទ័រនៃមិនស្គាល់ ដែលជាធម្មតាជាវ៉ិចទ័រសូន្យ៖

15. វិធីសាស្ត្រ Gauss ដែលប្រើដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ផ្តល់សម្រាប់៖

វិធីសាស្រ្តគឺផ្អែកលើការបំប្លែងម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ។ នេះត្រូវបានសម្រេចដោយការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់ពីសមីការនៃប្រព័ន្ធ។

វិធីសាស្រ្តនៃការធ្វើឡើងវិញសាមញ្ញ ហៅផងដែរថាវិធីសាស្រ្តនៃការប្រហាក់ប្រហែលជាបន្តបន្ទាប់ គឺជាក្បួនដោះស្រាយគណិតវិទ្យាសម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃនៃបរិមាណដែលមិនស្គាល់ដោយធ្វើការកែលម្អវាបន្តិចម្តងៗ។ ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តនេះគឺថា ដូចដែលឈ្មោះបង្កប់ន័យ បង្ហាញជាបណ្តើរៗ ជាបន្តបន្ទាប់ពីការប៉ាន់ស្មានដំបូង ពួកគេទទួលបានលទ្ធផលចម្រាញ់កាន់តែច្រើនឡើង។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃអថេរនៅក្នុងអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ក៏ដូចជានៅក្នុងប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការទាំងលីនេអ៊ែរ និងមិនមែនលីនេអ៊ែរ។

ចូរយើងពិចារណាពីរបៀបដែលវិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានអនុវត្តនៅពេលដោះស្រាយ SLAE ។ វិធីសាស្រ្តធ្វើម្តងទៀតសាមញ្ញមានក្បួនដោះស្រាយដូចខាងក្រោមៈ

1. ការផ្ទៀងផ្ទាត់លក្ខខណ្ឌនៃការបញ្ចូលគ្នានៅក្នុងម៉ាទ្រីសដើម។ ទ្រឹស្តីបទការបញ្ចូលគ្នា៖ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសដើមនៃប្រព័ន្ធមានភាពត្រួតត្រាតាមអង្កត់ទ្រូង (ឧទាហរណ៍ក្នុងជួរនីមួយៗ ធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងសំខាន់ត្រូវតែធំជាងនៅក្នុងម៉ូឌុលជាងផលបូកនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងចំហៀងក្នុងម៉ូឌុល) បន្ទាប់មកវិធីសាស្ត្រសាមញ្ញ ការ​ធ្វើ​ឡើង​វិញ​គឺ​ជា​ការ​ចូល​រួម។

2. ម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធដើមមិនតែងតែមានការត្រួតត្រាតាមអង្កត់ទ្រូងទេ។ ក្នុងករណីបែបនេះប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានបម្លែង។ សមីការ​ដែល​បំពេញ​លក្ខខណ្ឌ​ការ​បញ្ចូលគ្នា​ត្រូវ​បាន​ទុក​ចោល​ដោយ​មិន​ប៉ះ​ពាល់​ ហើយ​ជាមួយ​នឹង​វត្ថុ​ដែល​មិន​បាន​បង្កើត​ជា​បន្សំ​លីនេអ៊ែរ​ i.e. គុណ ដក បន្ថែមសមីការទៅគ្នាទៅវិញទៅមក រហូតដល់លទ្ធផលដែលចង់បាន។

ប្រសិនបើនៅក្នុងប្រព័ន្ធលទ្ធផលមានមេគុណរអាក់រអួលនៅលើអង្កត់ទ្រូងមេ នោះលក្ខខណ្ឌនៃទម្រង់ c i *x i ត្រូវបានបន្ថែមទៅផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការបែបនេះ សញ្ញាដែលត្រូវតែស្របគ្នាជាមួយនឹងសញ្ញានៃធាតុអង្កត់ទ្រូង។

3. ការផ្លាស់ប្តូរប្រព័ន្ធលទ្ធផលទៅជាទម្រង់ធម្មតា៖

x - = β - + α * x -

នេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមវិធីជាច្រើនឧទាហរណ៍ដូចខាងក្រោម: ពីសមីការទីមួយបង្ហាញ x 1 ក្នុងន័យមិនស្គាល់ផ្សេងទៀតពីទីពីរ - x 2 ពីទីបី - x 3 ។ល។ នៅទីនេះយើងប្រើរូបមន្ត៖

α ij = -(a ij / a ii)

i = b i / a ii
ម្តងទៀតអ្នកត្រូវប្រាកដថាប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃទម្រង់ធម្មតាបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃការបញ្ចូលគ្នា៖

∑ (j=1) |α ij |≤ 1 ខណៈ i = 1,2,...n

4. យើងចាប់ផ្តើមអនុវត្តតាមការពិត វិធីសាស្រ្តនៃការប៉ាន់ស្មានជាបន្តបន្ទាប់ដោយខ្លួនវាផ្ទាល់។

x (0) - ការប៉ាន់ស្មានដំបូងយើងបង្ហាញតាមរយៈវា x (1) បន្ទាប់មកតាមរយៈ x (1) យើងបង្ហាញ x (2) ។ រូបមន្តទូទៅក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីសមើលទៅដូចនេះ៖

x (n) = β - +α*x (n-1)

យើងគណនារហូតដល់យើងឈានដល់ភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការ៖

អតិបរមា |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε

ដូច្នេះសូមក្រឡេកមើលវិធីសាស្ត្រធ្វើម្តងទៀតសាមញ្ញក្នុងការអនុវត្ត។ ឧទាហរណ៍៖
ដោះស្រាយ SLAE:

4.5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវ ε=10 -3

សូមមើលថាតើធាតុអង្កត់ទ្រូងនាំមុខម៉ូឌុល។

យើងឃើញថាមានតែសមីការទី 3 ប៉ុណ្ណោះដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃការបញ្ចូលគ្នា។ យើងបំប្លែងសមីការទីមួយ និងទីពីរ បន្ថែមទីពីរទៅសមីការទីមួយ៖

៧.៦x១+០.៦x២+២.៤x៣=៣

ដកទីមួយចេញពីទីបី៖

2.7x1+4.2x2+1.2x3=2

យើង​បាន​បំប្លែង​ប្រព័ន្ធ​ដើម​ទៅ​ជា​ប្រព័ន្ធ​សមមូល​មួយ៖

៧.៦x១+០.៦x២+២.៤x៣=៣
−2.7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4

ឥឡូវ​យើង​នាំ​ប្រព័ន្ធ​ត្រឡប់​មក​ធម្មតា​វិញ៖

x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3= 0.8511-0.383x1-0.5319x2

យើងពិនិត្យមើលការបញ្ចូលគ្នានៃដំណើរការដដែលៗ៖

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319= 0.9149 ≤ 1 , i.e. លក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ។

0,3947
ការទាយដំបូង x(0) = 0.4762
0,8511

ការជំនួសតម្លៃទាំងនេះទៅក្នុងសមីការទម្រង់ធម្មតា យើងទទួលបានតម្លៃដូចខាងក្រោម៖

0,08835
x(1) = 0.486793
0,446639

ការជំនួសតម្លៃថ្មី យើងទទួលបាន៖

0,215243
x(2) = 0.405396
0,558336

យើងបន្តការគណនារហូតដល់យើងខិតទៅជិតតម្លៃដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

x(7) = 0.441091

តោះពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃលទ្ធផលដែលទទួលបាន៖

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0.1880+2.3*0.441-1.1x*0.544=0.9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

លទ្ធផលដែលទទួលបានដោយការជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការដើម បំពេញយ៉ាងពេញលេញនូវលក្ខខណ្ឌនៃសមីការ។

ដូចដែលយើងអាចឃើញ វិធីសាស្ត្រធ្វើម្តងទៀតសាមញ្ញផ្តល់លទ្ធផលត្រឹមត្រូវ ប៉ុន្តែដើម្បីដោះស្រាយសមីការនេះ យើងត្រូវចំណាយពេលច្រើន និងធ្វើការគណនាដ៏ស្មុគស្មាញ។