វាពិតជាលំបាកណាស់ក្នុងការស្វែងរកតម្លៃបែបនេះ ជាមួយនៅឯណា (b-a)f(c)នឹងពិតជាស្មើនឹង . ដើម្បីទទួលបានតម្លៃដែលត្រឹមត្រូវជាងនេះ តំបន់នៃ trapezoid curvilinear ត្រូវបានបែងចែកទៅជា នចតុកោណកែងដែលកម្ពស់ស្មើគ្នា y 0 , y 1 , y 2 , …, y n −1និងគ្រឹះ។

ប្រសិនបើយើងសង្ខេបតំបន់នៃចតុកោណកែងដែលគ្របដណ្ដប់លើផ្ទៃនៃ curvilinear trapezoid ជាមួយនឹងគុណវិបត្តិ មុខងារគឺមិនថយចុះទេ បន្ទាប់មកជំនួសឱ្យរូបមន្ត រូបមន្តត្រូវបានប្រើ

ប្រសិនបើលើស

តម្លៃត្រូវបានរកឃើញពីសមភាព។ រូបមន្តទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្តចតុកោណនិងផ្តល់លទ្ធផលប្រហាក់ប្រហែល។ ជាមួយនឹងការកើនឡើង នលទ្ធផលកាន់តែត្រឹមត្រូវ។

ឧទាហរណ៍ ១ . គណនាពីរូបមន្តនៃចតុកោណកែង

យើងបែងចែកចន្លោះពេលនៃការរួមបញ្ចូលជា 5 ផ្នែក។ បន្ទាប់មក។ ដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ ឬតារាង យើងរកឃើញតម្លៃនៃអាំងតេក្រាល (ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃខ្ទង់ទសភាគ 4)៖

យោងតាមរូបមន្តនៃចតុកោណកែង (មានគុណវិបត្តិ)

ម្យ៉ាងវិញទៀត យោងតាមរូបមន្ត Newton-Leibniz

ចូរយើងស្វែងរកកំហុសក្នុងការគណនាដែលទាក់ទងដោយប្រើរូបមន្តនៃចតុកោណកែង៖

ការគណនាអាំងតេក្រាលដោយរូបមន្ត trapezoid ។ ការប៉ាន់ស្មានកំហុស៖

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃវិធីសាស្រ្តខាងក្រោមសម្រាប់ការគណនាប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលគឺថាការស្វែងរកផ្ទៃនៃ trapezoid "rectilinear" ទំហំប្រហាក់ប្រហែល។

អនុញ្ញាតឱ្យវាចាំបាច់ដើម្បីគណនាតំបន់ A 1 AmBB ១ curvilinear trapezoid បង្ហាញដោយរូបមន្ត។

ចូរជំនួសធ្នូ អេមប៊ីអង្កត់ធ្នូ ABនិងជំនួសឱ្យតំបន់នៃ curvilinear trapezoid មួយ។ A 1 AmBB ១គណនាផ្ទៃនៃ trapezoid នេះ។ A 1 ABB ១: កន្លែងណា អេអេ ១និង ប៊ីប៊ី 1 - មូលដ្ឋាននៃ trapezoid និង ក ១ វ 1 គឺជាកម្ពស់របស់វា។

បញ្ជាក់ f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B ។កម្ពស់ trapezoid A 1 B 1 \u003d b-a,ការ៉េ . អាស្រ័យហេតុនេះ ឬ

នេះហៅថា រូបមន្ត trapezoid តូច.

Yekaterinburg

ការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់

សេចក្តីផ្តើម

ភារកិច្ចនៃការរួមបញ្ចូលលេខនៃអនុគមន៍គឺដើម្បីគណនាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មួយ៖

ផ្អែកលើស៊េរីនៃតម្លៃនៃអាំងតេក្រាល។( f(x) |x=x k = f(x k) = y k)។

រូបមន្តសម្រាប់ការគណនាលេខនៃអាំងតេក្រាលតែមួយត្រូវបានគេហៅថារូបមន្ត quadrature ទ្វេ និងច្រើន - cubature ។

បច្ចេកទេសធម្មតាសម្រាប់បង្កើតរូបមន្តរាងបួនជ្រុងគឺដើម្បីជំនួសអាំងតេក្រាល f(x) នៅលើផ្នែកមួយជាមួយនឹងអនុគមន៍អន្តរប៉ូល ឬប្រហាក់ប្រហែល g(x) នៃទម្រង់សាមញ្ញមួយ ឧទាហរណ៍ ពហុធា អមដោយការរួមបញ្ចូលការវិភាគ។ នេះនាំឱ្យមានបទបង្ហាញ

ការមិនអើពើនឹងពាក្យដែលនៅសល់ R[f] យើងទទួលបានរូបមន្តប្រហាក់ប្រហែល

កំណត់ដោយ y i = f (x i) តម្លៃនៃអាំងតេក្រាលនៅចំណុចផ្សេងៗ

ក្នុងនាមជាអនុគមន៍ប្រហាក់ប្រហែល g(x) យើងពិចារណាពហុនាមអន្តរប៉ូឡាតនៅលើ

រូបមន្ត (1) ផ្តល់ឱ្យ

នៅក្នុងរូបមន្ត (2) បរិមាណ (

សង្ខេប។

2. នៅក្នុងរូបមន្ត quadrature នៃប្រភេទ interpolation ពាក្យដែលនៅសល់ R n [f] អាចត្រូវបានតំណាងថាជាតម្លៃនៃប្រតិបត្តិករឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាក់លាក់មួយនៅលើអនុគមន៍ f(x)។ សម្រាប់

3. សម្រាប់ពហុនាមរហូតដល់លំដាប់ n រួមបញ្ចូល រូបមន្ត quadrature (2) គឺពិតប្រាកដ i.e.

ពិចារណាករណីពិសេសនៃរូបមន្ត (2) និង (3): វិធីសាស្រ្តនៃចតុកោណកែង, រាងពងក្រពើ, ប៉ារ៉ាបូឡា (វិធីសាស្ត្ររបស់ស៊ីមសុន) ។ ឈ្មោះនៃវិធីសាស្រ្តទាំងនេះគឺដោយសារតែការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃរូបមន្តដែលត្រូវគ្នា។

វិធីសាស្ត្រចតុកោណ

អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៃអនុគមន៍ f(x)៖

វិធីសាស្ត្រដែលតំណាងដោយរូបមន្ត (៤) ត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្ត្រប្រអប់ខាងឆ្វេង ហើយវិធីសាស្ត្រដែលតំណាងដោយរូបមន្ត (៥) ត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្ត្រប្រអប់ខាងស្តាំ៖

ដើម្បីស្វែងរកអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រនៃចតុកោណកែង ផ្ទៃដែលចងដោយបន្ទាត់ a និង b ត្រូវបានបែងចែកទៅជា n ចតុកោណកែងដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា h កម្ពស់នៃចតុកោណនឹងជាចំនុចប្រសព្វនៃអនុគមន៍ f(x) ជាមួយ ចំណុចកណ្តាលនៃចតុកោណកែង (h/2) ។ អាំងតេក្រាលនឹងជាលេខស្មើនឹងផលបូកនៃផ្ទៃនៃចតុកោណកែង n (រូបភាពទី 3) ។

n គឺជាចំនួនភាគថាសនៃផ្នែក។

វិធីសាស្រ្ត Trapezoidal

ដើម្បីស្វែងរកអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ trapezoid តំបន់នៃ trapezoid curvilinear ក៏ត្រូវបានបែងចែកទៅជា n រាងចតុកោណកែងដែលមានកម្ពស់ h និងគោល y 1, y 2, y 3,..y n ដែល n ជាចំនួននៃ ចតុកោណកែង។ អាំងតេក្រាលនឹងជាលេខស្មើនឹងផលបូកនៃតំបន់នៃចតុកោណកែង (រូបភាពទី 4) ។

n គឺជាចំនួនភាគថាស

កំហុសនៃរូបមន្ត trapezoid ត្រូវបានប៉ាន់ប្រមាណដោយលេខ

កំហុសនៃរូបមន្ត trapezoid ជាមួយនឹងការលូតលាស់

រូបមន្ត Simpson

ប្រសិនបើសម្រាប់គូនីមួយៗនៃផ្នែក

ថ្ងៃនេះយើងនឹងស្គាល់វិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតនៃការរួមបញ្ចូលលេខ វិធីសាស្ត្រ trapezoidal ។ ដោយមានជំនួយរបស់វា យើងនឹងគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ជាមួយនឹងកម្រិតភាពត្រឹមត្រូវដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ នៅក្នុងអត្ថបទយើងនឹងពណ៌នាអំពីខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រ trapezoid វិភាគពីរបៀបដែលរូបមន្តត្រូវបានយកមកប្រៀបធៀបវិធី trapezoid ជាមួយវិធីសាស្ត្រចតុកោណ ហើយសរសេរការប៉ាន់ប្រមាណនៃកំហុសដាច់ខាតនៃវិធីសាស្រ្ត។ យើងនឹងបង្ហាញផ្នែកនីមួយៗជាមួយនឹងឧទាហរណ៍សម្រាប់ការយល់ដឹងកាន់តែស៊ីជម្រៅអំពីសម្ភារៈ។

Yandex.RTB R-A-339285-1

ឧបមាថាយើងត្រូវគណនាចំនួនអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ∫ a b f (x) d x ដែលអាំងតេក្រាល y = f (x) បន្តនៅលើផ្នែក [ a ; ខ]។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបែងចែកផ្នែក [ a ; b ] ចូលទៅក្នុងចន្លោះពេលស្មើគ្នាជាច្រើននៃប្រវែង h ជាមួយចំនុច a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

ចូរយើងស្វែងរកជំហាននៃភាគថាស៖ h = b - a n ។ យើងកំណត់ថ្នាំងពីសមភាព x i = a + i h , i = 0 , 1 , ។ . . , ន.

នៅចន្លោះពេលបឋម សូមពិចារណាអាំងតេក្រាល x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , ។ . , ន.

ជាមួយនឹងការកើនឡើងគ្មានកំណត់នៅក្នុង n យើងកាត់បន្ថយករណីទាំងអស់ទៅជាជម្រើសសាមញ្ញបំផុតចំនួនបួន៖

ជ្រើសរើសផ្នែក x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , ។ . . , ន. ចូរជំនួសអនុគមន៍ y = f (x) នៅលើក្រាហ្វនីមួយៗដោយផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់ដែលឆ្លងកាត់ចំនុចដែលមានកូអរដោណេ x i - 1 ; f x i - 1 និង x i ; f x ខ្ញុំ។ យើងសម្គាល់ពួកវានៅក្នុងតួលេខពណ៌ខៀវ។

ចូរយកកន្សោម f (x i − 1) + f (x i) 2 h ជាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាល ∫ x i − 1 x ប្រសិនបើ (x) d x ។ ទាំងនោះ។ យក ∫ x i − 1 x i f (x) d x ≈ f (x i − 1) + f (x i) 2 h ។

សូមមើលថាហេតុអ្វីបានជាវិធីសាស្ត្ររួមបញ្ចូលលេខដែលយើងកំពុងសិក្សាត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្ត្រ trapezoidal ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រូវស្វែងយល់ថាតើសមភាពប្រហាក់ប្រហែលដែលបានសរសេរមានន័យយ៉ាងណាពីទស្សនៈនៃធរណីមាត្រ។

ដើម្បីគណនាផ្ទៃនៃ trapezoid មួយ គុណផលបូកពាក់កណ្តាលនៃមូលដ្ឋានរបស់វាដោយកម្ពស់។ ក្នុង​ករណី​ទី​មួយ តំបន់​នៃ​រាង​ចតុកោណកែង​គឺ​ប្រហែល​ស្មើ​នឹង​ចតុកោណ​ដែល​មាន​មូលដ្ឋាន f (x i - 1) , f (x i) កម្ពស់ h ។ នៅក្នុងករណីទី 4 នៃករណីដែលយើងកំពុងពិចារណា អាំងតេក្រាលដែលបានផ្តល់ឱ្យ ∫ x i - 1 x f (x) d x គឺប្រហែលស្មើនឹងផ្ទៃដីនៃ trapezoid ដែលមានមូលដ្ឋាន - f (x i - 1), - f (x i) និងកម្ពស់។ h ដែលត្រូវតែយកដោយសញ្ញា "-" ។ ដើម្បីគណនាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ក្នុងទីពីរ និងទីបីនៃករណីដែលបានពិចារណា យើងត្រូវស្វែងរកភាពខុសគ្នារវាងតំបន់នៃតំបន់ក្រហម និងខៀវ ដែលយើងសម្គាល់ដោយ ការញាស់នៅក្នុងរូបភាពខាងក្រោម។

ចូរយើងសង្ខេប។ ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រ trapezoidal មានដូចខាងក្រោម៖ យើងអាចតំណាងឱ្យអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ∫ a b f (x) d x ជាផលបូកនៃអាំងតេក្រាលនៃទម្រង់ ∫ x i - 1 x i f (x) d x នៅលើផ្នែកបឋមនីមួយៗ និងក្នុងការផ្លាស់ប្តូរប្រហាក់ប្រហែលជាបន្តបន្ទាប់ ∫ x i − 1 x i f (x) d x ≈ f (x i − 1) + f (x i) 2 h ។

រូបមន្ត Trapezoidal

រំលឹកគុណលក្ខណៈទីប្រាំនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់៖ ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i − 1 x i f (x) d x ។ ដើម្បីទទួលបានរូបមន្តនៃវិធីសាស្ត្រ trapezoidal ជំនួសឱ្យអាំងតេក្រាល ∫ x i − 1 x i f (x) d x ជំនួសតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលរបស់ពួកគេ៖ ∫ x i − 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i − 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i − 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + ... + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n − 1 f (x i) + f (x n) ⇒ ∫ x i − 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n − 1 f ( x i ) + f ( x n )

និយមន័យ ១

រូបមន្ត Trapezoidal៖∫ x i − 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n − 1 f ( x i ) + f ( x n )

ការប៉ាន់ប្រមាណនៃកំហុសដាច់ខាតនៃវិធីសាស្រ្ត trapezoidal

អនុញ្ញាតឱ្យយើងប៉ាន់ស្មានកំហុសដាច់ខាតនៃវិធីសាស្ត្រ trapezoidal ដូចខាងក្រោម:

និយមន័យ ២

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b − a 3 12 n ២

រូបភាពក្រាហ្វិកនៃវិធីសាស្ត្រ trapezoidal ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភាព៖

ឧទាហរណ៍នៃការគណនា

ចូរយើងវិភាគឧទាហរណ៍នៃការប្រើវិធី trapezoid សម្រាប់ការគណនាប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ យើងនឹងយកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេសចំពោះការងារពីរប្រភេទ៖

• ការគណនានៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយវិធីសាស្ត្រ trapezoid សម្រាប់ចំនួនភាគថាសដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃ segment n;
• ការស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មួយដែលមានភាពត្រឹមត្រូវជាក់លាក់។

សម្រាប់ n ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ការគណនាកម្រិតមធ្យមទាំងអស់ត្រូវតែត្រូវបានអនុវត្តជាមួយនឹងកម្រិតខ្ពស់គ្រប់គ្រាន់នៃភាពត្រឹមត្រូវ។ ភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនាគួរតែខ្ពស់ជាងនេះ n ធំជាង។

ប្រសិនបើយើងផ្តល់ភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ នោះការគណនាកម្រិតមធ្យមទាំងអស់ត្រូវតែអនុវត្តលំដាប់ពីរ ឬច្រើននៃរ៉ិចទ័រកាន់តែត្រឹមត្រូវ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើភាពត្រឹមត្រូវត្រូវបានកំណត់ទៅ 0 . 01 នោះយើងធ្វើការគណនាកម្រិតមធ្យមជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃ 0 . 0001 ឬ 0 . 00001 . សម្រាប់ n ធំ ការគណនាកម្រិតមធ្យមត្រូវតែត្រូវបានអនុវត្តជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវខ្ពស់ជាងនេះ។

ចូរយើងយកច្បាប់ខាងលើធ្វើជាឧទាហរណ៍។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្រៀបធៀបតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់មួយដែលត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត Newton-Leibniz និងទទួលបានដោយវិធីសាស្ត្រ trapezoid ។

ដូច្នេះ ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9 , 613805 ។

ឧទាហរណ៍ ១

ដោយប្រើវិធីសាស្រ្ត trapezoidal យើងគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x សម្រាប់ n ស្មើនឹង 10 ។

ការសម្រេចចិត្ត

រូបមន្តសម្រាប់វិធីសាស្រ្ត trapezoidal គឺ ∫ x i − 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f ( x 0) + 2 ∑ i = 1 n − 1 f ( x i ) + f ( x n )

ដើម្បីអនុវត្តរូបមន្ត យើងត្រូវគណនាជំហាន h ដោយប្រើរូបមន្ត h = b - a n កំណត់ nodes x i = a + i h , i = 0 , 1 , ។ . . , n គណនាតម្លៃនៃអាំងតេក្រាល f (x) = 7 x 2 + 1 ។

ជំហានភាគថាសត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោម: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 ។ ៥. ដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលនៅថ្នាំង x i = a + i · h , i = 0 , 1 , ។ . . , n យើងនឹងយកខ្ទង់ទសភាគបួន៖

ខ្ញុំ \u003d 0: x 0 \u003d 0 + 0 0 ។ 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0 ។ 5 = 0 ។ 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 7 0 . 5 2 + 1 = 5 . 6 . . . i = 10: x 10 = 0 + 10 0 ។ 5 = 5 ⇒ f(x 10) = f(5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0 , 2692

តោះបញ្ចូលលទ្ធផលនៃការគណនាក្នុងតារាង៖

ជំនួសតម្លៃដែលទទួលបានទៅក្នុងរូបមន្តនៃវិធីសាស្ត្រ trapezoidal៖ ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n − 1 f (x i) + f (x n) = = 0 , 5 2 7 + 2 5 , 6 + 3 , 5 + 2 , 1538 + 1 , 4 + 0 , 9655 + 0 , 7 + 0 , 5283 + 0 , 4117 + 0 , 3294 + 0 , 965 = 0 , 3294 + 0 , 917 ,

ចូរយើងប្រៀបធៀបលទ្ធផលរបស់យើងជាមួយនឹងលទ្ធផលដែលគណនាដោយរូបមន្ត Newton-Leibniz។ តម្លៃដែលទទួលបានស្របគ្នារហូតដល់រាប់រយ។

ចម្លើយ៖∫ 0 5 7 ឃ x x 2 + 1 = 9 , 6117

ឧទាហរណ៍ ២

ដោយប្រើវិធី trapezoid យើងគណនាតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x − 1 60 d x ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃ 0 , 01 ។

ការសម្រេចចិត្ត

យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា a = 1 ; b = 2 , f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x − 1 60 ; δn ≤ 0 , 01 .

រក n ដែលស្មើនឹងចំនួនចំនុចបំបែកនៃផ្នែកសមាហរណកម្ម ដោយប្រើវិសមភាពសម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណកំហុសដាច់ខាត δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 . យើង​នឹង​ធ្វើ​វា​តាម​វិធី​ខាង​ក្រោម៖ យើង​នឹង​រក​ឃើញ​តម្លៃ n ដែល​វិសមភាព m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b − a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 . ដែលបានផ្តល់ឱ្យ n រូបមន្ត trapezoid នឹងផ្តល់ឱ្យយើងនូវតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មួយជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ដំបូង ចូរយើងស្វែងរកតម្លៃធំបំផុតនៃម៉ូឌុលនៃដេរីវេទី 2 នៃអនុគមន៍នៅលើចន្លោះពេល [ 1 ; ២]។

f "(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x − 1 60" = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3" = x 2

អនុគមន៍ដេរីវេទី 2 គឺប៉ារ៉ាបូឡារាងបួនជ្រុង f "" (x) = x 2 ។ យើងដឹងពីលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វាថាវាមានភាពវិជ្ជមាន និងកើនឡើងនៅលើផ្នែក [ 1 ; ២]។ ក្នុងន័យនេះ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 ។

ក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដំណើរការនៃការស្វែងរក m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) ប្រែទៅជាសាមញ្ញជាង។ ក្នុងករណីស្មុគស្មាញសម្រាប់ការគណនាអ្នកអាចយោងទៅលើតម្លៃធំបំផុតនិងតូចបំផុតនៃមុខងារ។ បន្ទាប់ពីពិចារណាឧទាហរណ៍នេះ យើងបង្ហាញវិធីសាស្រ្តជំនួសសម្រាប់ការស្វែងរក m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) ។

ចូរយើងជំនួសតម្លៃដែលទទួលបានទៅក្នុងវិសមភាព m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b − a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01

4 (2 − 1) 3 12 n 2 ≤ 0 . 01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5 . 7735

ចំនួននៃចន្លោះបឋមសិក្សាដែលផ្នែករួមបញ្ចូលត្រូវបានបែងចែក n គឺជាចំនួនធម្មជាតិ។ សម្រាប់ឥរិយាបថគណនា ចូរយក n ស្មើនឹងប្រាំមួយ។ តម្លៃ n បែបនេះនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្រេចបាននូវភាពត្រឹមត្រូវដែលបានបញ្ជាក់នៃវិធីសាស្ត្រ trapezoid ជាមួយនឹងការគណនាអប្បបរមា។

ចូរគណនាជំហាន៖ h = b − a n = 2 − 1 6 = 1 6 ។

រកថ្នាំង x i = a + i h , i = 1 , 0 , ។ . . , n , យើងកំណត់តម្លៃនៃអាំងតេក្រាលនៅថ្នាំងទាំងនេះ៖

i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 − 1 60 = 0 , 4 i = 1: x 1 \u003d 1 + 1 1 6 \u003d 7 6 ⇒ f (x 1) \u003d f 7 6 \u003d 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0, 5266 ។ . . i \u003d 6: x 10 \u003d 1 + 6 1 6 \u003d 2 ⇒ f (x 6) \u003d f (2) \u003d 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1 , 9833

យើងសរសេរលទ្ធផលគណនាជាទម្រង់តារាង៖

យើងជំនួសលទ្ធផលដែលទទួលបានទៅក្នុងរូបមន្ត trapezoid៖

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x − 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n − 1 f (x i) + f ( x n) = = 1 12 0 , 4 + 2 0, 5266+0, 6911+0, 9052+1, 1819+1, 5359+1, 9833 ≈ 1, 0054

ដើម្បីប្រៀបធៀប យើងគណនាអាំងតេក្រាលដើមដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz៖

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x − 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 − x 60 1 2 = 1

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញយើងសម្រេចបាននូវភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនា។

ចម្លើយ៖ ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x − 1 60 d x ≈ 1, 0054

សម្រាប់អាំងតេក្រាលស្មុគ្រស្មាញ ការស្វែងរកលេខ n ពីវិសមភាពសម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណកំហុសដាច់ខាតគឺមិនតែងតែងាយស្រួលនោះទេ។ ក្នុងករណីនេះវិធីសាស្ត្រខាងក្រោមនឹងសមស្រប។

ចូរយើងកំណត់តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ដែលត្រូវបានទទួលដោយវិធីសាស្ត្រ trapezoid សម្រាប់ n nodes ដូច I n ។ ចូរយើងជ្រើសរើសលេខដែលបំពាន n ។ ដោយប្រើរូបមន្តនៃវិធីសាស្ត្រ trapezoid យើងគណនាអាំងតេក្រាលដំបូងជាមួយនឹងចំនួនថ្នាំងតែមួយ (n = 10) និងទ្វេដង (n = 20) ហើយស្វែងរកតម្លៃដាច់ខាតនៃភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលដែលទទួលបាន I 20 - ខ្ញុំ ១០.

ប្រសិនបើតម្លៃដាច់ខាតនៃភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលដែលទទួលបានគឺតិចជាងភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការ I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

ប្រសិនបើតម្លៃដាច់ខាតនៃភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលដែលទទួលបានទាំងពីរគឺធំជាងភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការ នោះចាំបាច់ត្រូវធ្វើជំហានម្តងទៀតជាមួយនឹងចំនួនថ្នាំងពីរដង (n=40)។

វិធីសាស្ត្រ​នេះ​ទាមទារ​ការ​គណនា​ច្រើន ដូច្នេះ​គួរ​ប្រើ​បច្ចេកវិទ្យា​កុំព្យូទ័រ​ដើម្បី​ចំណេញ​ពេលវេលា។

តោះដោះស្រាយបញ្ហាដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយខាងលើ។ ដើម្បីសន្សំសំចៃពេលវេលា យើងលុបចោលការគណនាកម្រិតមធ្យមដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ trapezoid ។

ឧទាហរណ៍ ៣

វាចាំបាច់ក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ∫ 0 2 x e x d x ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ trapezoid ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃ 0 , 001 ។

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរយើងយក n ស្មើនឹង 10 និង 20 ។ យោងតាមរូបមន្ត trapezoid យើងទទួលបាន I 10 \u003d 8, 4595380, I 20 \u003d 8, 4066906 ។

I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001 ដែលទាមទារការគណនាបន្ថែម។

ចូរយក n ស្មើនឹង 40: I 40 = 8, 3934656 ។

I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001 ដែលទាមទារការគណនាបន្ថែមផងដែរ។

ចូរយក n ស្មើនឹង 80: I 80 = 8 , 3901585 ។

I 80 - I 40 = 8.3901585 - 8.3934656 = 0.0033071 > 0.001 ដែលទាមទារការកើនឡើងទ្វេដងនៃចំនួនថ្នាំង។

ចូរយក n ស្មើនឹង 160: I 160 = 8, 3893317 ។

I 160 - I 80 = 8, 3893317 - 8, 3901585 = 0, 0008268< 0 , 001

អ្នកអាចទទួលបានតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលដើមដោយបង្គត់ I 160 = 8 , 3893317 ដល់ពាន់: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389 ។

សម្រាប់ការប្រៀបធៀប យើងគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដើមដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz៖ ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x − 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8 , 3890561 ។ ភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការត្រូវបានសម្រេច។

ចម្លើយ៖ ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389

កំហុស

ការគណនាកម្រិតមធ្យមដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ត្រូវបានអនុវត្ត សម្រាប់ផ្នែកភាគច្រើនគឺប្រហែល។ នេះមានន័យថានៅពេលដែល n កើនឡើង កំហុសក្នុងការគណនាចាប់ផ្តើមកកកុញ។

ចូរយើងប្រៀបធៀបការប៉ាន់ស្មាននៃកំហុសដាច់ខាតនៃវិធីសាស្ត្រ trapezoidal និងវិធីសាស្ត្រនៃចតុកោណកែងមធ្យម៖

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b − a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 24 n 2 .

វិធីសាស្រ្តនៃចតុកោណកែងសម្រាប់ n ដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងចំនួនដូចគ្នានៃការងារគណនាផ្តល់ឱ្យពាក់កណ្តាលនៃកំហុស។ នេះធ្វើឱ្យវិធីសាស្រ្តកាន់តែចូលចិត្តនៅក្នុងករណីដែលតម្លៃនៃមុខងារត្រូវបានគេស្គាល់នៅក្នុងផ្នែកកណ្តាលនៃផ្នែកបឋម។

ក្នុងករណីទាំងនោះនៅពេលដែលអនុគមន៍រួមបញ្ចូលគ្នាមិនត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយការវិភាគ ប៉ុន្តែជាសំណុំនៃតម្លៃនៅថ្នាំង យើងអាចប្រើវិធីសាស្ត្រ trapezoidal ។

ប្រសិនបើយើងប្រៀបធៀបភាពត្រឹមត្រូវនៃវិធីសាស្ត្រ trapezoid និងវិធីសាស្រ្តនៃចតុកោណកែងខាងស្តាំនិងខាងឆ្វេងនោះវិធីសាស្ត្រទីមួយលើសពីទីពីរក្នុងភាពត្រឹមត្រូវនៃលទ្ធផល។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

វិធីសាស្រ្ត Trapezoidalគឺជាវិធីសាស្រ្តរួមបញ្ចូលលេខមួយ។ វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ជាមួយនឹងកម្រិតភាពត្រឹមត្រូវដែលបានកំណត់ទុកជាមុន។

ដំបូងយើងពិពណ៌នាអំពីខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រ trapezoid ហើយទាញយករូបមន្ត trapezoid ។ បន្ទាប់យើងសរសេរការប៉ាន់ប្រមាណនៃកំហុសដាច់ខាតនៃវិធីសាស្រ្ត និងវិភាគលម្អិតអំពីដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ធម្មតា។ សរុបសេចក្តី ចូរយើងប្រៀបធៀបវិធីសាស្រ្តនៃ trapezoids ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តនៃចតុកោណ។

ការរុករកទំព័រ។

ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រ trapezoid ។

ចូរកំណត់ខ្លួនយើងនូវកិច្ចការខាងក្រោម៖ អនុញ្ញាតឱ្យយើងគណនាចំនួនអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ដែលអាំងតេក្រាល y=f(x) បន្តនៅចន្លោះពេល។

ចូរបែងចែកផ្នែកទៅជា n ចន្លោះពេលស្មើគ្នានៃប្រវែង h ជាមួយចំនុច។ ក្នុង​ករណី​នេះ ជំហាន​ចែក​ត្រូវ​បាន​រក​ឃើញ​ខណៈ​ដែល​ថ្នាំង​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ពី​សមភាព។

ពិចារណាអំពីអាំងតេក្រាលនៅលើចន្លោះបឋមសិក្សា .

ករណីចំនួនបួនគឺអាចធ្វើទៅបាន (តួលេខបង្ហាញពីភាពសាមញ្ញបំផុតក្នុងចំណោមពួកគេដែលអ្វីៗទាំងអស់កាត់បន្ថយនៅពេលដែល n កើនឡើងឥតកំណត់):

នៅគ្រប់ផ្នែក ចូរជំនួសមុខងារ y=f(x) ជាមួយនឹងផ្នែកបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំនុចដែលមានកូអរដោណេ និង . យើងពណ៌នាពួកវាក្នុងរូបដោយបន្ទាត់ពណ៌ខៀវ៖

ជាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាល យើងយកកន្សោម នោះគឺ ចូរយើងយក .

ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើសមភាពប្រហាក់ប្រហែលដែលបានសរសេរមានន័យដូចម្តេចក្នុងន័យធរណីមាត្រ។ នេះនឹងធ្វើឱ្យវាអាចយល់បានថាហេតុអ្វីបានជាវិធីសាស្រ្តដែលបានពិចារណានៃការរួមបញ្ចូលលេខត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្ត្រ trapezoidal ។

យើងដឹងថាតំបន់នៃ trapezoid ត្រូវបានរកឃើញជាផលិតផលនៃពាក់កណ្តាលនៃផលបូកនៃមូលដ្ឋានគុណនឹងកម្ពស់។ ដូច្នេះ នៅក្នុងករណីដំបូង តំបន់នៃ trapezoid curvilinear គឺប្រហែលស្មើនឹងតំបន់នៃ trapezoid មួយដែលមានមូលដ្ឋាន និងកម្ពស់ h នៅក្នុងករណីចុងក្រោយ អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់គឺប្រហែលស្មើនឹងផ្ទៃនៃ trapezoid ជាមួយនឹងមូលដ្ឋាន និងកម្ពស់ h យកដោយសញ្ញាដក។ នៅក្នុងករណីទីពីរ និងទីបី តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់គឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងតំបន់នៃតំបន់ក្រហម និងខៀវដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាពខាងក្រោម។

ដូច្នេះ​ហើយ យើង​បាន​មក​ដល់ ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រ trapezoidដែលមាននៅក្នុងការតំណាងឱ្យអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ជាផលបូកនៃអាំងតេក្រាលនៃទម្រង់នៅលើចន្លោះបឋមនីមួយៗ និងនៅក្នុងការជំនួសប្រហាក់ប្រហែលជាបន្តបន្ទាប់។ .

រូបមន្ត Trapezoidal ។

ដោយគុណធម៌ទីប្រាំនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ .

ប្រសិនបើយើងជំនួសតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលរបស់ពួកគេ ជំនួសឱ្យអាំងតេក្រាល យើងទទួលបាន៖

ការប៉ាន់ប្រមាណនៃកំហុសដាច់ខាតនៃវិធីសាស្រ្ត trapezoidal ។

កំហុសដាច់ខាតនៃវិធីសាស្ត្រ trapezoidalវាយតម្លៃជា
.

រូបភាពក្រាហ្វិកនៃវិធីសាស្ត្រ trapezoidal ។

ចូរនាំមក រូបភាពក្រាហ្វិកនៃវិធីសាស្ត្រ trapezoidal:

ឧទាហរណ៍នៃការគណនាប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយវិធីសាស្ត្រ trapezoidal ។

ចូរយើងប្រើឧទាហរណ៍ដើម្បីវិភាគការអនុវត្តវិធីសាស្ត្រ trapezoid ក្នុងការគណនាប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលជាក់លាក់។

ជាទូទៅមានការងារពីរប្រភេទ៖

• ឬគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយវិធីសាស្ត្រ trapezoid សម្រាប់ចំនួនភាគថាសដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃ segment n,
• ឬស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការ។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាសម្រាប់ n ដែលបានផ្តល់ឱ្យការគណនាកម្រិតមធ្យមគួរតែត្រូវបានអនុវត្តជាមួយនឹងកម្រិតភាពត្រឹមត្រូវគ្រប់គ្រាន់ហើយ n ធំជាងភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនាគួរតែខ្ពស់។

ប្រសិនបើវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានផ្តល់ឱ្យឧទាហរណ៍រហូតដល់ 0.01 នោះយើងសូមណែនាំថាការគណនាកម្រិតមធ្យមត្រូវបានអនុវត្តពីរឬបីលំដាប់នៃរ៉ិចទ័រកាន់តែត្រឹមត្រូវ ពោលគឺរហូតដល់ 0.0001 - 0.00001 ។ ប្រសិនបើភាពត្រឹមត្រូវដែលបានបញ្ជាក់ត្រូវបានសម្រេចនៅទំហំធំ n នោះការគណនាកម្រិតមធ្យមគួរតែត្រូវបានអនុវត្តជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវខ្ពស់ជាងនេះ។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មួយ តម្លៃដែលយើងអាចគណនាដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz ដូច្នេះយើងអាចប្រៀបធៀបលទ្ធផលនេះជាមួយនឹងតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលដែលទទួលបានដោយប្រើវិធី trapezoid ។

ដូច្នេះ .

ឧទាហរណ៍។

គណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយប្រើវិធី trapezoidal សម្រាប់ n = 10 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

រូបមន្តសម្រាប់វិធីសាស្រ្ត trapezoid គឺ . នោះគឺដើម្បីអនុវត្តវា វាគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់យើងក្នុងការគណនាជំហាន h ដោយប្រើរូបមន្ត កំណត់ថ្នាំង និងគណនាតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃអាំងតេក្រាល ។

ចូរយើងគណនាជំហាននៃការបែងចែក៖ .

យើងកំណត់ថ្នាំង និងគណនាតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលនៅក្នុងពួកវា (យើងនឹងយកខ្ទង់ទសភាគបួន)៖

ដើម្បីភាពងាយស្រួល លទ្ធផលគណនាត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់តារាង៖

យើងជំនួសពួកវាទៅក្នុងរូបមន្តនៃវិធីសាស្ត្រ trapezoid៖

តម្លៃដែលទទួលបានស្របគ្នារហូតដល់រាប់រយជាមួយនឹងតម្លៃគណនាដោយរូបមន្ត Newton-Leibniz ។

ឧទាហរណ៍។

គណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ វិធីសាស្រ្ត trapezoidal ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃ 0.01 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

តើយើងទទួលបានអ្វីខ្លះពីលក្ខខណ្ឌ: a = 1; b=2; .

ក្នុងករណីនេះ ជាដំបូងយើងរកឃើញចំនួនចំនុចបំបែកនៃផ្នែកសមាហរណកម្ម ពោលគឺ n ។ យើងអាចធ្វើដូចនេះបានដោយប្រើវិសមភាពដើម្បីប៉ាន់ស្មានកំហុសដាច់ខាត . ដូច្នេះប្រសិនបើយើងរកឃើញ n ដែលវិសមភាពនឹងកាន់ បន្ទាប់មករូបមន្ត trapezoid សម្រាប់ n នឹងផ្តល់ឱ្យយើងនូវតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការ។

ចូរយើងស្វែងរកតម្លៃធំបំផុតនៃម៉ូឌុលនៃដេរីវេទីពីរនៃអនុគមន៍នៅលើចន្លោះពេល។

ដេរីវេទី 2 នៃអនុគមន៍គឺប៉ារ៉ាបូឡារាងបួនជ្រុង យើងដឹងពីលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វាថាវាមានភាពវិជ្ជមាន និងកើនឡើងនៅលើផ្នែក ដូច្នេះ . ដូចដែលអ្នកអាចឃើញនៅក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើងដំណើរការនៃការស្វែងរកគឺសាមញ្ញណាស់។ សម្រាប់ករណីស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត សូមមើលផ្នែក។ ប្រសិនបើវាពិបាករកណាស់ នោះបន្ទាប់ពីឧទាហរណ៍នេះ យើងនឹងផ្តល់វិធីសាស្ត្រជំនួសនៃសកម្មភាព។

ចូរយើងត្រលប់ទៅវិសមភាពរបស់យើង។ ហើយជំនួសតម្លៃលទ្ធផលទៅក្នុងវា៖

ជា n គឺជាចំនួនធម្មជាតិ (n គឺជាចំនួននៃចន្លោះបឋមសិក្សាដែលផ្នែកសមាហរណកម្មត្រូវបានបែងចែក) បន្ទាប់មកយើងអាចយក n = 6, 7, 8, ... ចូរយើងយក n = 6 ។ នេះនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្រេចបាននូវភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការនៃវិធីសាស្ត្រ trapezoidal ជាមួយនឹងការគណនាអប្បបរមា (ទោះបីជាសម្រាប់ករណីរបស់យើងជាមួយ n = 10 វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការធ្វើការគណនាដោយដៃ) ។

ដូច្នេះ n បានរកឃើញ ឥឡូវនេះបន្តដូចក្នុងឧទាហរណ៍មុន។

ការគណនាជំហាន៖ .

ស្វែងរកថ្នាំងក្រឡាចត្រង្គ និងតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលនៅពួកវា៖

ចូរយើងដាក់លទ្ធផលនៃការគណនាក្នុងតារាង៖

យើងជំនួសលទ្ធផលដែលទទួលបានទៅក្នុងរូបមន្ត trapezoid៖

យើងគណនាអាំងតេក្រាលដើមដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz ដើម្បីប្រៀបធៀបតម្លៃ៖

ដូច្នេះភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការត្រូវបានសម្រេច។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាការស្វែងរកលេខ n ពីវិសមភាពសម្រាប់ការប៉ាន់ប្រមាណកំហុសដាច់ខាតមិនមែនជានីតិវិធីសាមញ្ញទេជាពិសេសសម្រាប់អាំងតេក្រាលស្មុគស្មាញ។ ដូច្នេះ វាសមហេតុផលក្នុងការងាកទៅរកវិធីសាស្ត្រខាងក្រោម។

តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដែលទទួលបានដោយវិធីសាស្ត្រ trapezoid សម្រាប់ថ្នាំង n នឹងត្រូវបានតាងដោយ .

ជ្រើសរើសលេខដែលបំពាន n ឧទាហរណ៍ n = 10 ។ យើងគណនាអាំងតេក្រាលដើមសម្រាប់ n = 10 និងសម្រាប់ពីរដងនៃចំនួនថ្នាំង នោះគឺសម្រាប់ n = 20 ដោយប្រើរូបមន្តនៃវិធីសាស្ត្រ trapezoid ។ យើងរកឃើញតម្លៃដាច់ខាតនៃភាពខុសគ្នារវាងតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលដែលទទួលបានទាំងពីរ។ ប្រសិនបើវាតិចជាងភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការ បន្ទាប់មកយើងបញ្ឈប់ការគណនា ហើយយកតម្លៃជាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មួយ ដោយបានបង្គត់វាពីមុនតាមលំដាប់នៃភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការ។ បើមិនដូច្នោះទេយើងបង្កើនចំនួនថ្នាំងទ្វេដង (យើងយក n = 40) ហើយធ្វើជំហានម្តងទៀត។

ការងារបង្រៀន និងអប់រំ៖

• គោលបំណង didactic ។ ដើម្បីណែនាំសិស្សអំពីវិធីសាស្រ្តនៃការគណនាប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។
• គោលដៅអប់រំ។ ប្រធានបទ​នៃ​មេរៀន​នេះ​គឺ​មាន​តម្លៃ​ជាក់ស្តែង និង​អប់រំ​ដ៏​អស្ចារ្យ។ វិធីសាស្រ្តសាមញ្ញបំផុតចំពោះគំនិតនៃការរួមបញ្ចូលលេខគឺផ្អែកលើនិយមន័យនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដែលជាដែនកំណត់នៃផលបូកអាំងតេក្រាល។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើយើងយកផ្នែកតូចៗគ្រប់គ្រាន់នៃផ្នែក [ ក; ខ] ហើយបង្កើតផលបូកអាំងតេក្រាលសម្រាប់វា បន្ទាប់មកតម្លៃរបស់វាអាចត្រូវបានគេប៉ាន់ស្មានថាជាតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលដែលត្រូវគ្នា។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ វាមានសារៈសំខាន់ណាស់ក្នុងការអនុវត្តការគណនាបានលឿន និងត្រឹមត្រូវដោយប្រើបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រ។

ចំណេះដឹង និងជំនាញជាមូលដ្ឋាន។ មានការយល់ដឹងអំពីវិធីសាស្រ្តប្រហាក់ប្រហែលសម្រាប់ការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយប្រើរូបមន្តនៃចតុកោណកែង និងចតុកោណកែង។

ធានាមេរៀន

• ខិត្តប័ណ្ណ។ កាតភារកិច្ចសម្រាប់ការងារឯករាជ្យ។
• TSO Multiprojector, កុំព្យូទ័រ, កុំព្យូទ័រយួរដៃ។
• ឧបករណ៍ TCO ។ បទបង្ហាញ៖ "អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃដេរីវេ", "វិធីសាស្រ្តនៃចតុកោណ", "វិធីសាស្រ្តនៃ trapezoids" ។ (បទបង្ហាញអាចខ្ចីពីអ្នកនិពន្ធ)។
• ឧបករណ៍កុំព្យូទ័រ៖ កុំព្យូទ័រ មីក្រូគណនា។
• សេចក្តីណែនាំ

ប្រភេទថ្នាក់។ រួមបញ្ចូលការអនុវត្តជាក់ស្តែង។

ការលើកទឹកចិត្តនៃសកម្មភាពយល់ដឹងរបស់សិស្ស។ ជារឿយៗ គេត្រូវគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ដែលវាមិនអាចរកឃើញ antiderivative បានទេ។ ក្នុងករណីនេះវិធីសាស្រ្តប្រហាក់ប្រហែលសម្រាប់ការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ត្រូវបានប្រើ។ ជួនកាលវិធីសាស្ត្រប្រហាក់ប្រហែលក៏ត្រូវបានប្រើសម្រាប់អាំងតេក្រាល "ទទួលយក" ប្រសិនបើការគណនាដោយរូបមន្ត Newton-Leibniz មិនសមហេតុផល។ គំនិតនៃការគណនាប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលគឺថាខ្សែកោងត្រូវបានជំនួសដោយខ្សែកោងថ្មីដែលមាន "ជិត" គ្រប់គ្រាន់។ អាស្រ័យលើជម្រើសនៃខ្សែកោងថ្មី រូបមន្តរួមបញ្ចូលប្រហាក់ប្រហែលមួយ ឬមួយផ្សេងទៀតអាចត្រូវបានប្រើ។

លំដាប់នៃមេរៀន។

1. រូបមន្តចតុកោណ។
2. រូបមន្ត Trapezoidal ។
3. ដំណោះស្រាយលំហាត់។

ផែនការ​មេរៀន

1. ពាក្យដដែលៗនៃចំណេះដឹងមូលដ្ឋានរបស់សិស្ស។

ធ្វើម្តងទៀតជាមួយសិស្ស៖ រូបមន្តមូលដ្ឋាននៃការធ្វើសមាហរណកម្ម ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តដែលបានសិក្សានៃការរួមបញ្ចូល អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

1. ការអនុវត្តការងារជាក់ស្តែង។

ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាបច្ចេកទេសជាច្រើនត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅនឹងការគណនានៃអាំងតេក្រាលជាក់លាក់ ការបញ្ចេញមតិពិតប្រាកដដែលពិបាក ទាមទារការគណនាវែង ហើយមិនតែងតែមានភាពយុត្តិធម៌ក្នុងការអនុវត្តនោះទេ។ នៅទីនេះតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលរបស់ពួកគេគឺគ្រប់គ្រាន់ណាស់។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរឱ្យវាចាំបាច់ដើម្បីគណនាតំបន់ដែលចងដោយបន្ទាត់ដែលសមីការមិនស្គាល់។ ក្នុងករណីនេះ អ្នកអាចជំនួសបន្ទាត់នេះដោយសាមញ្ញជាង សមីការដែលគេស្គាល់។ តំបន់នៃ curvilinear trapezoid ដូច្នេះទទួលបានត្រូវបានយកជាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលដែលចង់បាន។

វិធីសាស្ត្រប្រហាក់ប្រហែលសាមញ្ញបំផុតគឺវិធីសាស្ត្រនៃចតុកោណកែង។ តាមធរណីមាត្រ គំនិតនៅពីក្រោយវិធីដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយប្រើរូបមន្តនៃចតុកោណកែងគឺថាផ្ទៃនៃ curvilinear trapezoid ABCDត្រូវ​បាន​ជំនួស​ដោយ​ផលបូក​នៃ​ផ្ទៃ​នៃ​ចតុកោណកែង ដែល​មួយ​ចំហៀង​គឺ និង​ម្ខាង​ទៀត​គឺ .

ប្រសិនបើយើងសង្ខេបតំបន់នៃចតុកោណកែងដែលបង្ហាញពីតំបន់នៃ curvilinear trapezoid ជាមួយនឹងគុណវិបត្តិ [រូបភាពទី 1] នោះយើងទទួលបានរូបមន្ត៖

[រូបភាពទី 1]

បន្ទាប់មកយើងទទួលបានរូបមន្ត៖

ប្រសិនបើនៅក្នុងបរិបូរណ៍

[រូបភាពទី ២],

បន្ទាប់មក

តម្លៃ y 0 , y 1 , ... , y nរកឃើញពីសមភាព , k = 0, 1... , ន.រូបមន្តទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្តចតុកោណនិងផ្តល់លទ្ធផលប្រហាក់ប្រហែល។ ជាមួយនឹងការកើនឡើង នលទ្ធផលកាន់តែត្រឹមត្រូវ។

ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាល អ្នកត្រូវការ៖

ដើម្បីស្វែងរកកំហុសក្នុងការគណនា អ្នកត្រូវប្រើរូបមន្ត៖

ឧទាហរណ៍ ១ គណនាដោយរូបមន្តនៃចតុកោណកែង។ ស្វែងរកកំហុសដាច់ខាត និងទាក់ទងនៃការគណនា។

ចូរបំបែកផ្នែក [ ក, ខ] ចូលទៅក្នុងផ្នែកជាច្រើន (ឧទាហរណ៍ 6) ស្មើគ្នា។ បន្ទាប់មក ក = 0, ខ = 3 ,

x k = a + k x
X 0 = 2 + 0 = 2
X 1 = 2 + 1 = 2,5
X 2 = 2 + 2 =3
X 3 = 2 + 3 = 3
X 4 = 2 + 4 = 4
X 5 = 2 + 5 = 4,5

f(x 0) = 2 2 = 4
f (x 1) = 2 ,5 2 = 6,25
f (x 2) = 3 2 = 9
f (x 3) = 3,5 2 = 12,25
f (x 4) = 4 2 = 16
f (x 5) = 4,5 2 = 20,25.

យោងតាមរូបមន្ត (១)៖

ដើម្បីគណនាកំហុសដែលទាក់ទងនៃការគណនា ចាំបាច់ត្រូវស្វែងរកតម្លៃពិតប្រាកដនៃអាំងតេក្រាល៖

ការគណនាចំណាយពេលយូរ ហើយយើងទទួលបានរង្វង់មូល។ ដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលនេះជាមួយនឹងការប៉ាន់ស្មានតូចជាងអ្នកអាចប្រើសមត្ថភាពបច្ចេកទេសរបស់កុំព្យូទ័រ។

ដើម្បីស្វែងរកអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយវិធីសាស្ត្រនៃចតុកោណ វាចាំបាច់ក្នុងការបញ្ចូលតម្លៃនៃអាំងតេក្រាល f(x)ទៅសន្លឹកកិច្ចការ Excel នៅក្នុងជួរ Xជាមួយនឹងជំហានដែលបានផ្តល់ឱ្យ X= 0,1.

1. ការចងក្រងតារាងទិន្នន័យ (Xនិង f(x))។ X f(x) អាគុយម៉ង់ហើយនៅក្នុងក្រឡា B1 - ពាក្យ មុខងារ2 2,1 ) បន្ទាប់មក ដោយបានជ្រើសរើសប្លុកនៃក្រឡា A2:A3 យើងទទួលបានតម្លៃទាំងអស់នៃអាគុយម៉ង់ដោយការបំពេញដោយស្វ័យប្រវត្តិ (យើងលាតសន្ធឹងហួសពីជ្រុងខាងស្តាំនៃប្លុកទៅក្រឡា A32 ទៅតម្លៃ x=5).
2. បន្ទាប់យើងណែនាំតម្លៃនៃអាំងតេក្រាល។ នៅក្នុងក្រឡា B2 អ្នកត្រូវសរសេរសមីការរបស់វា។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះដាក់ទស្សន៍ទ្រនិចតារាងក្នុងក្រឡា B2 ហើយបញ្ចូលរូបមន្តពីក្តារចុច =A2^2(សម្រាប់ប្លង់ក្តារចុចភាសាអង់គ្លេស)។ ចុចគ្រាប់ចុច ចូល. នៅក្នុងក្រឡា B2 លេចឡើង 4 . ឥឡូវអ្នកត្រូវចម្លងមុខងារពីក្រឡា B2 ។ ការបំពេញដោយស្វ័យប្រវត្តិចម្លងរូបមន្តនេះទៅជួរ B2:B32 ។
   ជាលទ្ធផល តារាងទិន្នន័យគួរតែទទួលបានសម្រាប់ការស្វែងរកអាំងតេក្រាល។
3. ឥឡូវនេះនៅក្នុងក្រឡា B33 តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលអាចត្រូវបានរកឃើញ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះក្នុងក្រឡា B33 សូមបញ្ចូលរូបមន្ត = 0,1*, បន្ទាប់មកហៅទៅអ្នកជំនួយមុខងារ (ដោយចុចប៊ូតុង បញ្ចូលមុខងារ នៅលើរបារឧបករណ៍ (f(x)). នៅក្នុងប្រអប់ Function Wizard-Step 1 of 2 dialog box ដែលបង្ហាញ នៅខាងឆ្វេង ក្នុងប្រអប់ Category ជ្រើសរើស Math។ នៅខាងស្តាំក្នុងវាល អនុគមន៍ - អនុគមន៍ផលបូក។ យើងចុចប៊ូតុង យល់ព្រម។ប្រអប់បូកនឹងលេចចេញមក។ បញ្ចូលជួរបូក B2:B31 ទៅក្នុងវាលការងារដោយប្រើកណ្ដុរ។ យើងចុចប៊ូតុង យល់ព្រម។នៅក្នុងក្រឡា B33 តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលដែលចង់បានលេចឡើងជាមួយនឹងគុណវិបត្តិ ( 37,955 ) .

ការប្រៀបធៀបតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលដែលទទួលបានជាមួយនឹងតម្លៃពិតនៃអាំងតេក្រាល ( 39 ) វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថា កំហុសប្រហាក់ប្រហែលនៃវិធីសាស្រ្តនៃចតុកោណកែងក្នុងករណីនេះគឺស្មើនឹង

= |39 - 37 , 955| = 1 ,045

ឧទាហរណ៍ ២ ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃចតុកោណ, គណនាជាមួយជំហានដែលបានផ្តល់ឱ្យ X = 0,05.

ការប្រៀបធៀបតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលដែលទទួលបានជាមួយនឹងតម្លៃពិតនៃអាំងតេក្រាល។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាកំហុសប្រហាក់ប្រហែលនៃវិធីសាស្រ្តនៃចតុកោណក្នុងករណីនេះគឺស្មើនឹង

វិធីសាស្ត្រ trapezoid ជាធម្មតាផ្តល់តម្លៃអាំងតេក្រាលត្រឹមត្រូវជាងវិធីសាស្ត្រចតុកោណ។ curvilinear trapezoid ត្រូវបានជំនួសដោយផលបូកនៃ trapezoids ជាច្រើន ហើយតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ត្រូវបានរកឃើញជាផលបូកនៃតំបន់នៃ trapezoids

[រូបភាពទី 3]

ឧទាហរណ៍ ៣ Trapezoidal ស្វែងរកមួយជំហានម្តង ៗ X = 0,1.

1. បើកសន្លឹកកិច្ចការទទេ។
2. ការចងក្រងតារាងទិន្នន័យ (Xនិង f(x))។សូមឱ្យជួរទីមួយជាតម្លៃ Xនិងសូចនាករដែលត្រូវគ្នាទីពីរ f(x)ដើម្បីធ្វើដូចនេះក្នុងក្រឡា A1 បញ្ចូលពាក្យ អាគុយម៉ង់ហើយនៅក្នុងក្រឡា B1 - ពាក្យ មុខងារ. នៅក្នុងក្រឡា A2 តម្លៃដំបូងនៃអាគុយម៉ង់ត្រូវបានបញ្ចូល - ស៊ុមខាងឆ្វេងនៃជួរ ( 0 ) នៅក្នុងក្រឡា A3 តម្លៃទីពីរនៃអាគុយម៉ង់ត្រូវបានបញ្ចូល - ស៊ុមខាងឆ្វេងនៃជួរបូកនឹងជំហានសាងសង់ ( 0,1 ) បន្ទាប់មក ដោយបានជ្រើសរើសប្លុកនៃក្រឡា A2:A3 យើងទទួលបានតម្លៃទាំងអស់នៃអាគុយម៉ង់ដោយការបំពេញដោយស្វ័យប្រវត្តិ (យើងលាតសន្ធឹងហួសពីជ្រុងខាងស្តាំនៃប្លុកទៅក្រឡា A33 ទៅតម្លៃ x=3.1).
3. បន្ទាប់យើងណែនាំតម្លៃនៃអាំងតេក្រាល។ នៅក្នុងក្រឡា B2 អ្នកត្រូវតែសរសេរសមីការរបស់វា (ក្នុងឧទាហរណ៍នៃស៊ីនុស)។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ទស្សន៍ទ្រនិចតារាងត្រូវតែដាក់ក្នុងក្រឡា B2 ។ វាគួរតែមានតម្លៃស៊ីនុសដែលត្រូវគ្នានឹងតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ក្នុងក្រឡា A2។ ដើម្បីទទួលបានតម្លៃស៊ីនុស យើងនឹងប្រើមុខងារពិសេសមួយ៖ ចុចប៊ូតុងមុខងារ បញ្ចូលនៅលើរបារឧបករណ៍ f(x). នៅក្នុងប្រអប់ Function Wizard-Step 1 of 2 dialog box ដែលបង្ហាញ នៅខាងឆ្វេង ក្នុងប្រអប់ Category ជ្រើសរើស Math។ នៅខាងស្តាំក្នុងវាល អនុគមន៍ - មុខងារមួយ។ ស៊ីន. យើងចុចប៊ូតុង យល់ព្រម។ប្រអប់មួយលេចឡើង ស៊ីន. ដាក់ទ្រនិចកណ្ដុរលើវាលពណ៌ប្រផេះនៃបង្អួច ដោយចុចប៊ូតុងខាងឆ្វេង ផ្លាស់ទីវាលទៅខាងស្តាំ ដើម្បីបើកជួរឈរទិន្នន័យ ( ប៉ុន្តែ) បញ្ជាក់តម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ស៊ីនុសដោយចុចលើក្រឡា A2 ។ យើងចុចប៊ូតុង យល់ព្រម។ 0 លេចឡើងក្នុងក្រឡា B2។ ឥឡូវអ្នកត្រូវចម្លងមុខងារពីក្រឡា B2។ ការបំពេញដោយស្វ័យប្រវត្តិចម្លងរូបមន្តនេះទៅជួរ B2:B33 ។ ជាលទ្ធផល តារាងទិន្នន័យគួរតែទទួលបានសម្រាប់ការស្វែងរកអាំងតេក្រាល។
4. ឥឡូវនេះនៅក្នុងក្រឡា B34 តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ trapezoid ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះក្នុងក្រឡា B34 សូមបញ្ចូលរូបមន្ត \u003d 0.1 * ((B2 + B33) / 2+,បន្ទាប់មកហៅទៅអ្នកជំនួយមុខងារ (ដោយចុចប៊ូតុង បញ្ចូលមុខងារ នៅលើរបារឧបករណ៍ (f(x)). នៅក្នុងប្រអប់ Function Wizard-Step 1 of 2 dialog box ដែលបង្ហាញ នៅខាងឆ្វេង ក្នុងប្រអប់ Category ជ្រើសរើស Math។ នៅខាងស្តាំក្នុងវាល អនុគមន៍ - អនុគមន៍ផលបូក។ យើងចុចប៊ូតុង យល់ព្រម។ប្រអប់បូកនឹងលេចចេញមក។ បញ្ចូលជួរបូក B3:B32 ទៅក្នុងវាលការងារដោយប្រើកណ្ដុរ។ យើងចុចប៊ូតុង យល់ព្រមជា​ថ្មី​ម្តង​ទៀត យល់ព្រម។នៅក្នុងក្រឡា B34 តម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលដែលស្វែងរកលេចឡើងជាមួយនឹងគុណវិបត្តិ ( 1,997 ) .

ការប្រៀបធៀបតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលដែលទទួលបានជាមួយនឹងតម្លៃពិតនៃអាំងតេក្រាល គេអាចមើលឃើញថា កំហុសប្រហាក់ប្រហែលនៃវិធីសាស្រ្តនៃចតុកោណកែងក្នុងករណីនេះគឺពិតជាអាចទទួលយកបានសម្រាប់ការអនុវត្ត។

1. ដំណោះស្រាយលំហាត់។