និយមន័យមូលដ្ឋាន។ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័របង្កើតជាមូលដ្ឋានប្រសិនបើ៖

1) វាឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ

2) វ៉ិចទ័រនៃលំហណាមួយតាមរយៈវាត្រូវបានបញ្ចេញជាលីនេអ៊ែរ។

ឧទាហរណ៍ ១មូលដ្ឋានអវកាស៖

2. នៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ វ៉ិចទ័រគឺជាមូលដ្ឋាន: , ដោយសារតែ បង្ហាញជាលីនេអ៊ែរក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រ។

មតិយោបល់។ដើម្បីស្វែងរកមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ អ្នកត្រូវ៖

1) សរសេរកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងម៉ាទ្រីស,

2) ដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ

3) ជួរមិនសូន្យនៃម៉ាទ្រីសនឹងជាមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធ,

4) ចំនួនវ៉ិចទ័រនៅក្នុងមូលដ្ឋានគឺស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស។

ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli

ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli ផ្តល់ចម្លើយយ៉ាងពេញលេញចំពោះសំណួរនៃភាពឆបគ្នានៃប្រព័ន្ធតាមអំពើចិត្តនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយមិនស្គាល់

ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli. ប្រព័ន្ធ​នៃ​សមីការ​ពិជគណិត​លីនេអ៊ែរ​គឺ​ស្រប​ប្រសិនបើ​ចំណាត់ថ្នាក់​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ដែល​បាន​ពង្រីក​របស់​ប្រព័ន្ធ​ស្មើ​នឹង​ចំណាត់ថ្នាក់​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ចម្បង។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធស្របនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ធ្វើតាមពីទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli និងទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ។ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃប្រព័ន្ធស្របគឺស្មើនឹងចំនួនមិនស្គាល់ នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

ទ្រឹស្តីបទ។ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃប្រព័ន្ធស្របគឺតិចជាងចំនួនមិនស្គាល់ នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយមិនកំណត់។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ប្រព័ន្ធបំពាននៃសមីការលីនេអ៊ែរ៖

1. ស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់ៗ និងពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ។ ប្រសិនបើពួកវាមិនស្មើគ្នា () នោះប្រព័ន្ធមិនស្របគ្នា (មិនមានដំណោះស្រាយ) ។ ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់ស្មើគ្នា ( នោះប្រព័ន្ធគឺត្រូវគ្នា។

2. សម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលត្រូវគ្នា យើងរកឃើញអនីតិជនមួយចំនួនដែលលំដាប់កំណត់ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស (អនីតិជនបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាជាមូលដ្ឋាន) ។ យើងបង្កើតប្រព័ន្ធថ្មីនៃសមីការដែលមេគុណនៃមិនស្គាល់ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងអនីតិជនមូលដ្ឋាន (មិនស្គាល់ទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា មិនស្គាល់សំខាន់) យើងបោះបង់សមីការដែលនៅសល់។ យើងទុកការមិនស្គាល់សំខាន់ៗដោយមេគុណនៅខាងឆ្វេង ហើយផ្ទេរមិនស្គាល់ដែលនៅសេសសល់ (ពួកវាត្រូវបានគេហៅថាមិនស្គាល់ឥតគិតថ្លៃ) ទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ។

3. ចូរយើងស្វែងរកកន្សោមរបស់មេដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអ្នកទំនេរ។ យើងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធ។

4. ការផ្តល់តម្លៃតាមអំពើចិត្តដល់ការមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃ យើងទទួលបានតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃចំនួនមិនស្គាល់សំខាន់ៗ។ ដូច្នេះហើយ យើងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់ចំពោះប្រព័ន្ធដើមនៃសមីការ។

កម្មវិធីលីនេអ៊ែរ។ គំនិតជាមូលដ្ឋាន

កម្មវិធីលីនេអ៊ែរគឺជាផ្នែកមួយនៃការសរសេរកម្មវិធីគណិតវិទ្យា ដែលសិក្សាពីវិធីសាស្រ្តក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាខ្លាំងបំផុត ដែលត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយទំនាក់ទំនងលីនេអ៊ែររវាងអថេរ និងលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យលីនេអ៊ែរ។

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់កំណត់បញ្ហាកម្មវិធីលីនេអ៊ែរគឺការរឹតបន្តឹងលើលទ្ធភាពនៃធនធាន បរិមាណនៃតម្រូវការ សមត្ថភាពផលិតរបស់សហគ្រាស និងកត្តាផលិតកម្មផ្សេងទៀត។

ខ្លឹមសារនៃការសរសេរកម្មវិធីលីនេអ៊ែរគឺដើម្បីស្វែងរកចំណុចនៃតម្លៃធំបំផុត ឬតូចបំផុតនៃមុខងារជាក់លាក់មួយ ក្រោមការរឹតបន្តឹងជាក់លាក់ដែលដាក់លើអាគុយម៉ង់ និងម៉ាស៊ីនភ្លើង។ ប្រព័ន្ធនៃការរឹតបន្តឹង ដែលជាធម្មតាមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។ សំណុំនីមួយៗនៃតម្លៃអថេរ (អាគុយម៉ង់មុខងារ ច ) ដែលបំពេញប្រព័ន្ធនៃឧបសគ្គត្រូវបានគេហៅថា ផែនការដែលអាចទទួលយកបាន។ បញ្ហាកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ។ មុខងារ ច ដែលអតិបរមា ឬអប្បបរមាត្រូវបានកំណត់ ត្រូវបានគេហៅថា មុខងារគោលបំណង ភារកិច្ច។ ផែនការដែលអាចទទួលយកបានដែលអតិបរមា ឬអប្បបរមានៃមុខងារត្រូវបានឈានដល់ ច , ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា ផែនការដ៏ល្អប្រសើរ ភារកិច្ច។

ប្រព័ន្ធនៃឧបសគ្គដែលកំណត់សំណុំនៃផែនការត្រូវបានកំណត់ដោយលក្ខខណ្ឌនៃការផលិត។ បញ្ហាកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ ( ZLP ) គឺជាជម្រើសនៃផលចំណេញច្រើនបំផុត (ល្អបំផុត) ពីសំណុំនៃផែនការដែលអាចធ្វើទៅបាន។

ទម្រង់ទូទៅនៃបញ្ហាកម្មវិធីលីនេអ៊ែរមានដូចខាងក្រោម៖

មានអថេរមួយចំនួន x \u003d (x 1, x 2, ... x n) និងមុខងារនៃអថេរទាំងនេះ f (x) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) ដែលមានឈ្មោះ គោលដៅ មុខងារ។ ភារកិច្ចត្រូវបានកំណត់៖ ដើម្បីស្វែងរកអតិបរមា (អតិបរមាឬអប្បបរមា) នៃមុខងារគោលបំណង f(x) បានផ្តល់ថាអថេរ x ជាកម្មសិទ្ធិរបស់តំបន់មួយចំនួន ជី :

អាស្រ័យលើប្រភេទនៃមុខងារ f(x) និងតំបន់ ជី និង​បែងចែក​រវាង​ផ្នែក​នៃ​ការ​សរសេរ​កម្មវិធី​គណិត​វិទ្យា៖ ការ​សរសេរ​កម្មវិធី​រាង​បួន​ជ្រុង ការ​សរសេរ​កម្មវិធី​ប៉ោង ការ​សរសេរ​កម្មវិធី​ចំនួន​គត់ ។ល។ កម្មវិធីលីនេអ៊ែរត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយការពិតដែលថា
ក) មុខងារ f(x) គឺជាមុខងារលីនេអ៊ែរនៃអថេរ x 1, x 2, ... x n
ខ) តំបន់ ជី កំណត់ដោយប្រព័ន្ធ លីនេអ៊ែរ សមភាព ឬវិសមភាព។

ការបង្រៀនអំពីពិជគណិត និងធរណីមាត្រ។ ឆមាសទី១។

ការបង្រៀន 9. មូលដ្ឋាននៃលំហវ៉ិចទ័រ។

សេចក្តីសង្ខេប៖ ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ ការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ មេគុណនៃការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ មូលដ្ឋានលើបន្ទាត់ យន្តហោះ និងក្នុងលំហ វិមាត្រនៃលំហវ៉ិចទ័រនៅលើបន្ទាត់ យន្តហោះ និងក្នុងលំហ ការរលាយនៃ វ៉ិចទ័រក្នុងមូលដ្ឋានមួយ កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដោយគោរពតាមមូលដ្ឋាន ទ្រឹស្តីបទសមភាពវ៉ិចទ័រពីរ ប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរជាមួយវ៉ិចទ័រក្នុងសំណេរសំរបសំរួល វ៉ិចទ័របីដងរាងពងក្រពើ ស្តាំ និងឆ្វេងបីដងនៃវ៉ិចទ័រ មូលដ្ឋានអ័រតូន ទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃពិជគណិតវ៉ិចទ័រ។

ជំពូកទី 9

ធាតុ 1 ។ ផ្អែកលើខ្សែបន្ទាត់ នៅលើយន្តហោះ និងក្នុងលំហ។

និយមន័យ។ សំណុំវ៉ិចទ័រកំណត់ណាមួយត្រូវបានគេហៅថាប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ។

និយមន័យ។ កន្សោមកន្លែងណា
ត្រូវបានគេហៅថាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ
និងលេខ
ត្រូវបានគេហៅថាមេគុណនៃការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនេះ។

អនុញ្ញាតឱ្យ L, Р និង S ជាបន្ទាត់ យន្តហោះ និងចន្លោះនៃចំនុចរៀងគ្នា និង
. បន្ទាប់មក
គឺ​ជា​ចន្លោះ​វ៉ិចទ័រ​នៃ​វ៉ិចទ័រ​ជា​ផ្នែក​ដែល​បាន​ដឹកនាំ​នៅ​លើ​បន្ទាត់ L នៅ​លើ​យន្តហោះ P និង​ក្នុង​ចន្លោះ S រៀងគ្នា។

វ៉ិចទ័រមិនសូន្យណាមួយត្រូវបានហៅ
, i.e. វ៉ិចទ័រដែលមិនសូន្យទៅបន្ទាត់ត្រង់ L៖
និង
.

ការសម្គាល់មូលដ្ឋាន
:
- មូលដ្ឋាន
.

និយមន័យ។ មូលដ្ឋានវ៉ិចទ័រ
គឺជាវ៉ិចទ័រ noncollinear គូដែលបានបញ្ជាទិញនៅក្នុងលំហ
.

, កន្លែងណា
,
- មូលដ្ឋាន
.

និយមន័យ។ មូលដ្ឋានវ៉ិចទ័រ
គឺជាវ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជា coplanar ចំនួនបីដែលបានបញ្ជាទិញ (នោះគឺមិនស្ថិតនៅលើយន្តហោះតែមួយ) នៃលំហ
.

- មូលដ្ឋាន
.

មតិយោបល់។ មូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័រមិនអាចមានវ៉ិចទ័រសូន្យទេ៖ ក្នុងលំហ
តាមនិយមន័យនៅក្នុងលំហ
វ៉ិចទ័រពីរនឹងជាប់គ្នា ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំនោមពួកវាគឺសូន្យ ក្នុងលំហ
វ៉ិចទ័របីនឹងជា coplanar ពោលគឺពួកវានឹងស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់វ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រទាំងបីគឺសូន្យ។

ធាតុ 2 ។ ការរលួយនៃវ៉ិចទ័រក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមូលដ្ឋាន។

និយមន័យ។ អនុញ្ញាតឱ្យ គឺជាវ៉ិចទ័របំពាន
គឺជាប្រព័ន្ធបំពាននៃវ៉ិចទ័រ។ ប្រសិនបើសមភាព

បន្ទាប់មកពួកគេនិយាយថាវ៉ិចទ័រ តំណាងជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ
គឺជាមូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័រ បន្ទាប់មកសមភាព (1) ត្រូវបានគេហៅថា decomposition នៃវ៉ិចទ័រ មូលដ្ឋាន
. មេគុណបន្សំលីនេអ៊ែរ
ក្នុងករណីនេះ កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ ទាក់ទងទៅនឹងមូលដ្ឋាន
.

ទ្រឹស្តីបទ។ (នៅលើការពង្រីកវ៉ិចទ័រក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមូលដ្ឋាន។ )

វ៉ិចទ័រណាមួយនៃទំហំវ៉ិចទ័រអាចត្រូវបាន decomposed នៅក្នុងមូលដ្ឋានរបស់វា ហើយលើសពីនេះទៅទៀត នៅក្នុងវិធីតែមួយគត់។

ភស្តុតាង។ 1) អនុញ្ញាតឱ្យ L ជាបន្ទាត់បំពាន (ឬអ័ក្ស) និង
- មូលដ្ឋាន
. យកវ៉ិចទ័របំពាន
. ចាប់តាំងពីវ៉ិចទ័រទាំងពីរ និង collinear ទៅបន្ទាត់ដូចគ្នា L, បន្ទាប់មក
. ចូរ​យើង​ប្រើ​ទ្រឹស្តីបទ​លើ​ភាព​ជាប់​គ្នា​នៃ​វ៉ិចទ័រ​ពីរ។ ដោយសារតែ
បន្ទាប់មកមាន (មាន) លេខបែបនេះ
, អ្វី
ដូច្នេះហើយ យើងបានទទួលការបំបែកវ៉ិចទ័រ មូលដ្ឋាន
ចន្លោះវ៉ិចទ័រ
.

ឥឡូវនេះយើងបង្ហាញពីភាពប្លែកនៃការរលួយបែបនេះ។ ចូរសន្មតថាផ្ទុយ។ អនុញ្ញាតឱ្យមានការបំបែកពីរនៃវ៉ិចទ័រ មូលដ្ឋាន
ចន្លោះវ៉ិចទ័រ
:

និង
, កន្លែងណា
. បន្ទាប់មក
ហើយដោយប្រើច្បាប់ចែកចាយ យើងទទួលបាន៖

ដោយសារតែ
បន្ទាប់មកវាធ្វើតាមសមភាពចុងក្រោយដែល
ល។

2) ឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យ P ជាយន្តហោះបំពាននិង
- មូលដ្ឋាន
. អនុញ្ញាតឱ្យ
វ៉ិចទ័របំពាននៃយន្តហោះនេះ។ ចូរពន្យារពេលវ៉ិចទ័រទាំងបីពីចំណុចណាមួយនៃយន្តហោះនេះ។ ចូរយើងបង្កើត 4 បន្ទាត់ត្រង់។ តោះគូរបន្ទាត់ត្រង់ ដែលវ៉ិចទ័រស្ថិតនៅ , ផ្ទាល់
ដែលវ៉ិចទ័រស្ថិតនៅ . តាមរយៈចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ គូរបន្ទាត់ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ និងបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ . បន្ទាត់ទាំង 4 នេះកាត់ប៉ារ៉ាឡែលមួយ។ សូមមើលរូបខាងក្រោម។ 3. យោងទៅតាមច្បាប់ប៉ារ៉ាឡែល
, និង
,
,
- មូលដ្ឋាន ,
- មូលដ្ឋាន
.

ឥឡូវនេះ ដោយអ្វីដែលបានបង្ហាញរួចហើយនៅក្នុងផ្នែកដំបូងនៃភស្តុតាងនេះ មានលេខ
, អ្វី

និង
. ពីទីនេះយើងទទួលបាន៖

ហើយលទ្ធភាពនៃការពង្រីកនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមូលដ្ឋានត្រូវបានបង្ហាញ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្ហាញពីភាពពិសេសនៃការពង្រីកនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមូលដ្ឋាន។ ចូរសន្មតថាផ្ទុយ។ អនុញ្ញាតឱ្យមានការបំបែកពីរនៃវ៉ិចទ័រ មូលដ្ឋាន
ចន្លោះវ៉ិចទ័រ
:
និង
. យើងទទួលបានសមភាព

កន្លែងដែលគួរ
. ប្រសិនបើ
, នោះ។
ហើយចាប់តាំងពី
, នោះ។
ហើយមេគុណពង្រីកគឺ៖
,
. អនុញ្ញាតឱ្យឥឡូវនេះ
. បន្ទាប់មក
, កន្លែងណា
. តាមទ្រឹស្តីបទស្តីពីភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រពីរ នេះបង្កប់ន័យថា
. យើងទទួលបានភាពផ្ទុយគ្នាទៅនឹងលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ។ អាស្រ័យហេតុនេះ
និង
ល។

3) អនុញ្ញាតឱ្យ
- មូលដ្ឋាន
តោះ​ទៅ
វ៉ិចទ័របំពាន។ ចូរយើងអនុវត្តការសាងសង់ដូចខាងក្រោម។

ញែកវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋានទាំងបី
និងវ៉ិចទ័រ ពីចំណុចមួយនិងបង្កើតយន្តហោះចំនួន 6: យន្តហោះដែលវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋានកុហក
, យន្តហោះ
និងយន្តហោះ
; បន្ថែមទៀតតាមរយៈចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ គូរប្លង់បីស្របទៅនឹងយន្តហោះទាំងបីដែលទើបតែសាងសង់។ យន្តហោះទាំង ៦ នេះបានកាត់ប្រអប់៖

យោងតាមច្បាប់បន្ថែមវ៉ិចទ័រ យើងទទួលបានសមភាព៖

. (1)

ដោយការសាងសង់
. ដូច្នេះ​តាម​ទ្រឹស្តីបទ​លើ​ភាព​ជាប់​គ្នា​នៃ​វ៉ិចទ័រ​ពីរ វា​តាម​ដាន​ថា​មាន​លេខ
, បែបនោះ។
. ដូចគ្នានេះដែរ
និង
, កន្លែងណា
. ឥឡូវនេះ ការជំនួសសមភាពទាំងនេះទៅជា (1) យើងទទួលបាន៖

ហើយលទ្ធភាពនៃការពង្រីកនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមូលដ្ឋានត្រូវបានបង្ហាញ។

ចូរយើងបង្ហាញពីភាពប្លែកនៃការរលួយបែបនេះ។ ចូរសន្មតថាផ្ទុយ។ អនុញ្ញាតឱ្យមានការបំបែកពីរនៃវ៉ិចទ័រ មូលដ្ឋាន
:

និង។ បន្ទាប់មក

ចំណាំថាតាមការសន្មតវ៉ិចទ័រ
non-coplanar ដូច្នេះពួកវាជាគូដែលមិនមែនជា collinear ។

ករណីពីរអាចធ្វើទៅបាន៖
ឬ
.

ក) អនុញ្ញាតឱ្យ
បន្ទាប់មកពីសមភាព (៣) វាដូចខាងក្រោម៖

. (4)

វាធ្វើតាមពីសមភាព (4) ដែលវ៉ិចទ័រ បានពង្រីកនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមូលដ្ឋាន
, i.e. វ៉ិចទ័រ ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះវ៉ិចទ័រ
ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រ
coplanar ដែលផ្ទុយនឹងលក្ខខណ្ឌ។

ខ) នៅមានសំណុំរឿង
, i.e.
. បន្ទាប់មកពីសមភាព (3) យើងទទួលបានឬ

ដោយសារតែ
គឺជាមូលដ្ឋាននៃលំហនៃវ៉ិចទ័រដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ ហើយយើងបានបង្ហាញរួចហើយនូវភាពប្លែកនៃការពង្រីកនៅក្នុងមូលដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រនៃយន្តហោះ វាកើតឡើងពីសមភាព (5) ដែល
និង
ល។

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ផលវិបាក។

1) មានការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយរវាងសំណុំនៃវ៉ិចទ័រនៃចន្លោះវ៉ិចទ័រ
និងសំណុំនៃចំនួនពិត R ។

2) មានការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយរវាងសំណុំនៃវ៉ិចទ័រនៃចន្លោះវ៉ិចទ័រ
និងការ៉េ cartesian

3) មានការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយរវាងសំណុំនៃវ៉ិចទ័រនៃចន្លោះវ៉ិចទ័រ
និងគូប cartesian
សំណុំនៃចំនួនពិត R.

ភស្តុតាង។ ចូរយើងបង្ហាញការអះអាងទីបី។ ពីរដំបូងត្រូវបានបញ្ជាក់ស្រដៀងគ្នា។

ចូរយើងជ្រើសរើស និងជួសជុលក្នុងលំហ
មូលដ្ឋានមួយចំនួន
និងរៀបចំការបង្ហាញ
យោងតាមច្បាប់ខាងក្រោម៖

ទាំងនោះ។ វ៉ិចទ័រនីមួយៗត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយនឹងសំណុំនៃកូអរដោនេរបស់វា។

ចាប់តាំងពីជាមួយនឹងមូលដ្ឋានថេរ វ៉ិចទ័រនីមួយៗមានសំណុំនៃកូអរដោណេតែមួយ ការឆ្លើយឆ្លងដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយច្បាប់ (6) គឺពិតជាការធ្វើផែនទី។

វាធ្វើតាមពីភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទដែលវ៉ិចទ័រផ្សេងគ្នាមានកូអរដោនេផ្សេងគ្នាដោយគោរពតាមមូលដ្ឋានដូចគ្នា i.e. ការធ្វើផែនទី (6) គឺជាការចាក់។

អនុញ្ញាតឱ្យ
សំណុំ​តាម​អំពើ​ចិត្ត​នៃ​ចំនួន​ពិត។

ពិចារណាវ៉ិចទ័រ
. តាមរយៈការសាងសង់ វ៉ិចទ័រនេះមានកូអរដោនេ
. ដូច្នេះ​ការ​គូស​ផែនទី (៦) គឺ​ជា​ការ​ស្មាន។

ការធ្វើផែនទីដែលមានទាំងការចាក់ និង ទស្សន៍ទាយ គឺជាគោលបំណង ពោលគឺឧ។ មួយ​ទៅ​មួយ ។ល។

លទ្ធផលត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រឹស្តីបទ។ (នៅលើសមភាពនៃវ៉ិចទ័រពីរ។ )

វ៉ិចទ័រពីរគឺស្មើគ្នាប្រសិនបើនិងលុះត្រាតែកូអរដោនេរបស់ពួកគេដោយគោរពតាមមូលដ្ឋានដូចគ្នាគឺស្មើគ្នា។

ភស្ដុតាង​ភ្លាមៗ​បន្ទាប់​ពី​ឯកសារ​រួម​មុនៗ។

ធាតុ 3 ។ វិមាត្រនៃទំហំវ៉ិចទ័រ។

និយមន័យ។ ចំនួនវ៉ិចទ័រនៅក្នុងមូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថាវិមាត្ររបស់វា។

ការកំណត់:
គឺជាវិមាត្រនៃទំហំវ៉ិចទ័រ V ។

ដូច្នេះ ស្របតាមនិយមន័យនេះ និងពីមុន យើងមាន៖

1)
គឺជាទំហំវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រនៃបន្ទាត់ L ។

- មូលដ្ឋាន
,
,
,
- ការបំបែកវ៉ិចទ័រ
មូលដ្ឋាន
,
- កូអរដោនេវ៉ិចទ័រ ទាក់ទងទៅនឹងមូលដ្ឋាន
.

2)
គឺជាទំហំវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រនៃយន្តហោះ Р ។

- មូលដ្ឋាន
,
,
,
- ការបំបែកវ៉ិចទ័រ
មូលដ្ឋាន
,
គឺ​ជា​កូអរដោណេវ៉ិចទ័រ ទាក់ទងទៅនឹងមូលដ្ឋាន
.

3)
គឺជាទំហំវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រក្នុងលំហនៃចំនុច S ។

- មូលដ្ឋាន
,
,
- ការបំបែកវ៉ិចទ័រ
មូលដ្ឋាន
,
គឺ​ជា​កូអរដោណេវ៉ិចទ័រ ទាក់ទងទៅនឹងមូលដ្ឋាន
.

មតិយោបល់។ ប្រសិនបើ
, នោះ។
ហើយអ្នកអាចជ្រើសរើសមូលដ្ឋាន
លំហ
ដូច្នេះ
- មូលដ្ឋាន
និង
- មូលដ្ឋាន
. បន្ទាប់មក
, និង
, .

ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រណាមួយនៃបន្ទាត់ L ប្លង់ P និងលំហ S អាចត្រូវបានពង្រីកតាមមូលដ្ឋាន
:

ការកំណត់។ ដោយគុណធម៌នៃទ្រឹស្តីបទសមភាពវ៉ិចទ័រ យើងអាចកំណត់វ៉ិចទ័រណាមួយដែលមានលំដាប់បីនៃចំនួនពិត ហើយសរសេរ៖

នេះអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែមានមូលដ្ឋាន
ជួសជុលហើយមិនមានគ្រោះថ្នាក់នៃការ tangling ។

និយមន័យ។ កំណត់ត្រានៃវ៉ិចទ័រក្នុងទម្រង់ជាលេខបីតាមលំដាប់នៃចំនួនពិតត្រូវបានគេហៅថាទម្រង់កូអរដោនេនៃកំណត់ត្រាវ៉ិចទ័រ៖
.

ធាតុទី 4 ។ ប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរជាមួយវ៉ិចទ័រក្នុងសំណេរសំរបសំរួល។

អនុញ្ញាតឱ្យ
- មូលដ្ឋានអវកាស
និង
គឺជាវ៉ិចទ័របំពានពីររបស់វា។ អនុញ្ញាតឱ្យ
និង
គឺជាសញ្ញាណនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះក្នុងទម្រង់កូអរដោនេ។ អនុញ្ញាតឱ្យ, បន្ថែមទៀត,
គឺជាចំនួនពិតដែលបំពាន។ នៅក្នុងសញ្ញាណទាំងនេះ ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមមាន។

ទ្រឹស្តីបទ។ (នៅលើប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរជាមួយវ៉ិចទ័រក្នុងទម្រង់កូអរដោនេ។ )

2)
.

ម្យ៉ាងវិញទៀត ដើម្បីបន្ថែមវ៉ិចទ័រពីរ អ្នកត្រូវបន្ថែមកូអរដោណេដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេ ហើយដើម្បីគុណវ៉ិចទ័រដោយលេខមួយ អ្នកត្រូវគុណកូអរដោនេនីមួយៗនៃវ៉ិចទ័រនេះដោយលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ភស្តុតាង។ ដោយសារយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ បន្ទាប់មកដោយប្រើ axioms នៃទំហំវ៉ិចទ័រ ដែលជាកម្មវត្ថុនៃប្រតិបត្តិការនៃការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ និងគុណវ៉ិចទ័រដោយលេខមួយ យើងទទួលបាន៖

នេះបង្កប់ន័យ។

សមភាពទីពីរត្រូវបានបង្ហាញស្រដៀងគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ធាតុ 5 ។ វ៉ិចទ័ររាងពងក្រពើ។ មូលដ្ឋានអ័រគីដេ។

និយមន័យ។ វ៉ិចទ័រពីរត្រូវបានគេហៅថា orthogonal ប្រសិនបើមុំរវាងពួកវាស្មើនឹងមុំខាងស្តាំ i.e.
.

ការកំណត់:
- វ៉ិចទ័រ និង រាងមូល។

និយមន័យ។ វ៉ិចទ័របី
ត្រូវបានគេហៅថា orthogonal ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រទាំងនេះមានលក្ខណៈជាគូ orthogonal ទៅគ្នាទៅវិញទៅមក i.e.
,
.

និយមន័យ។ វ៉ិចទ័របី
ត្រូវបានគេហៅថា orthonormal ប្រសិនបើវាជា orthogonal ហើយប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រទាំងអស់គឺស្មើនឹងមួយ៖
.

មតិយោបល់។ វាធ្វើតាមនិយមន័យដែលថា វ៉ិចទ័រអ័រតូហ្គោន ហើយដូច្នេះ វ៉ិចទ័របីដងអ័រតូន័រ គឺមិនមែនកូបឡារ័រទេ។

និយមន័យ។ បានបញ្ជាទិញវ៉ិចទ័របីដងដែលមិនមែនជា coplanar
ដាក់ចេញពីចំណុចមួយ ហៅថាស្តាំ (តម្រង់ទិសស្តាំ) ប្រសិនបើនៅពេលសង្កេតពីចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រទីបី ទៅយន្តហោះដែលមានវ៉ិចទ័រពីរដំបូង និង , ការបង្វិលខ្លីបំផុតនៃវ៉ិចទ័រទីមួយ ទៅទីពីរ កើតឡើងច្រាសទ្រនិចនាឡិកា។ បើមិនដូច្នេះទេ វ៉ិចទ័របីដងត្រូវបានគេហៅថាខាងឆ្វេង (តម្រង់ទិសឆ្វេង)។

នៅទីនេះ រូបភាពទី 6 បង្ហាញពីវ៉ិចទ័របីដងត្រឹមត្រូវ។
. រូបភាពទី 7 ខាងក្រោមបង្ហាញពីវ៉ិចទ័របីខាងឆ្វេង
:

និយមន័យ។ មូលដ្ឋាន
ចន្លោះវ៉ិចទ័រ
ត្រូវបានគេហៅថា orthonormal ប្រសិនបើ
orthonormal បីនៃវ៉ិចទ័រ។

ការកំណត់។ នៅក្នុងអ្វីដែលបន្ទាប់ យើងនឹងប្រើមូលដ្ឋាន orthonormal ត្រឹមត្រូវ។
សូមមើលរូបខាងក្រោម។

ការបង្ហាញទម្រង់ ហៅ ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃវ៉ិចទ័រលីនេអ៊ែរ A 1 , A 2 , ... ,A nជាមួយមេគុណ λ 1, λ 2,...,λ n.

កំណត់ភាពអាស្រ័យលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ A 1 , A 2 , ... ,A nហៅ អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ, ប្រសិនបើមានសំណុំលេខមិនសូន្យ λ 1, λ 2,...,λ n, ក្រោមការរួមផ្សំលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nស្មើនឹងសូន្យវ៉ិចទ័រនោះ​គឺ​ជា​ប្រព័ន្ធ​នៃ​សមីការ​: មានដំណោះស្រាយមិនសូន្យ។
សំណុំនៃលេខ λ 1, λ 2,...,λ n គឺមិនមែនសូន្យទេ ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់លេខមួយក្នុងចំណោមលេខ λ 1, λ 2,...,λ n ខុសពីសូន្យ។

ការកំណត់ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ A 1 , A 2 , ... ,A nហៅ ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រសិនបើការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nគឺស្មើនឹងវ៉ិចទ័រសូន្យសម្រាប់តែសំណុំលេខសូន្យប៉ុណ្ណោះ។ λ 1, λ 2,...,λ n នោះ​គឺ​ជា​ប្រព័ន្ធ​នៃ​សមីការ​: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n = Θមានដំណោះស្រាយសូន្យតែមួយគត់។

ឧទាហរណ៍ 29.1

ពិនិត្យមើលថាតើប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរឬអត់

ដំណោះស្រាយ:

1. យើងបង្កើតប្រព័ន្ធសមីការ:

2. យើងដោះស្រាយវាដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss. ការបំប្លែងប្រព័ន្ធហ្ស៊កដានីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងតារាង 29.1 ។ នៅពេលគណនា ផ្នែកខាងស្ដាំនៃប្រព័ន្ធមិនត្រូវបានសរសេរចុះទេ ព្រោះវាស្មើនឹងសូន្យ ហើយមិនផ្លាស់ប្តូរនៅក្រោមការបំប្លែងរបស់ហ្ស៊កដានី។

3. ពីបីជួរចុងក្រោយនៃតារាង យើងសរសេរប្រព័ន្ធដែលអនុញ្ញាតស្មើនឹងប្រព័ន្ធដើមប្រព័ន្ធ៖

4. យើងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធ:

5. ដោយបានកំណត់តាមឆន្ទានុសិទ្ធិរបស់អ្នកនូវតម្លៃនៃអថេរឥតគិតថ្លៃ x 3 = 1, យើងទទួលបានដំណោះស្រាយមិនសូន្យជាក់លាក់ X = (-3,2,1) ។

ចំលើយ៖ ដូច្នេះជាមួយនឹងសំណុំលេខមិនមែនសូន្យ (-3,2,1) ការរួមផ្សំលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រស្មើនឹងសូន្យវ៉ិចទ័រ -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ ។ អាស្រ័យហេតុនេះ ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រអាស្រ័យលើលីនេអ៊ែរ.

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

អចលនទ្រព្យ (1)
ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រពឹងផ្អែកជាលីនេអ៊ែរ នោះយ៉ាងហោចណាស់វ៉ិចទ័រមួយត្រូវបានរលួយក្នុងលក្ខខណ្ឌដែលនៅសល់ ហើយផ្ទុយទៅវិញប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់វ៉ិចទ័រមួយនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានរលួយក្នុងលក្ខខណ្ឌដែលនៅសល់ នោះប្រព័ន្ធនៃ វ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

អចលនទ្រព្យ (2)
ប្រសិនបើប្រព័ន្ធរងណាមួយនៃវ៉ិចទ័រពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ នោះប្រព័ន្ធទាំងមូលពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ។

អចលនទ្រព្យ (3)
ប្រសិនបើប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រមានភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ នោះប្រព័ន្ធរងណាមួយរបស់វាគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

អចលនទ្រព្យ (4)
ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រណាមួយដែលមានវ៉ិចទ័រសូន្យគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

អចលនទ្រព្យ (5)
ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ m-dimensional តែងតែពឹងផ្អែកជាលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើចំនួនវ៉ិចទ័រ n ធំជាងវិមាត្ររបស់វា (n>m)

មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

មូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ A 1 , A 2 , ... , A n ដូចជាប្រព័ន្ធរង B 1 , B 2 ,...,B r(វ៉ិចទ័រនីមួយៗ B 1 ,B 2 ,...,B r គឺជាវ៉ិចទ័រមួយ A 1 , A 2 ,... , A n) ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម៖
1. B 1 ,B 2 ,...,B rប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ;
2. វ៉ិចទ័រណាមួយ។ Aj នៃប្រព័ន្ធ A 1 , A 2 , ... , A n ត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រ B 1 , B 2 , ... , B r

rគឺជាចំនួនវ៉ិចទ័រដែលរួមបញ្ចូលក្នុងមូលដ្ឋាន។

ទ្រឹស្តីបទ 29.1 នៅលើមូលដ្ឋានឯកតានៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ។

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ m-dimensional មាន m ឯកតាវ៉ិចទ័រផ្សេងគ្នា E 1 E 2 ,... , E m នោះពួកវាបង្កើតបានជាមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធ។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

ដើម្បីស្វែងរកមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ A 1 , A 2 , ... , A n វាចាំបាច់:

• ចងក្រងប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលត្រូវគ្នានឹងប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n = Θ
• នាំយកប្រព័ន្ធនេះ។