ផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃនៃអនុគមន៍លោការីត។ លោការីតស្មុគស្មាញ

ភស្តុតាងនៃរូបមន្ត .

= =

ដោយសារស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស មិនអាស្រ័យលើការបន្ថែមមុំ ដែលជាពហុគុណនៃ

ហើយសមភាពនេះគឺជាក់ស្តែងរួចទៅហើយ ព្រោះនេះគឺជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច។

ដូច្នេះ លោការីតមានសម្រាប់ចំណុចទាំងអស់ក្នុងយន្តហោះ លើកលែងតែលេខសូន្យ។ សម្រាប់ចំនួនវិជ្ជមានពិតប្រាកដ អាគុយម៉ង់គឺ 0 ដូច្នេះសំណុំពិន្ទុគ្មានកំណត់នេះគឺ នោះគឺជាតម្លៃមួយគឺនៅនឹងធ្លាក់លើអ័ក្សពិត។ ប្រសិនបើយើងគណនាលោការីតនៃចំនួនអវិជ្ជមាន យើងទទួលបាន នោះគឺជាសំណុំនៃចំណុចត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរឡើង ហើយគ្មាននរណាម្នាក់ក្នុងចំណោមពួកគេធ្លាក់លើអ័ក្សពិតនោះទេ។

វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីរូបមន្តដែលមានតែនៅពេលដែលអាគុយម៉ង់នៃលេខដើមគឺសូន្យតម្លៃមួយនៃលោការីតធ្លាក់លើអ័ក្សពិត។ ហើយនេះត្រូវគ្នាទៅនឹង semiaxis ត្រឹមត្រូវ ហើយនោះហើយជាមូលហេតុដែលនៅក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលាមានតែលោការីតនៃចំនួនវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានពិចារណា។ លោការីតនៃលេខអវិជ្ជមាន និងលេខស្រមើលស្រមៃក៏មានដែរ ប៉ុន្តែវាមិនមានតម្លៃតែមួយនៅលើអ័ក្សពិតទេ។

គំនូរខាងក្រោមបង្ហាញពីកន្លែងដែលតម្លៃទាំងអស់នៃលោការីតនៃចំនួនវិជ្ជមានស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ។ មួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺនៅលើអ័ក្សពិត នៅសល់គឺខាងលើ និងខាងក្រោមដោយ , , ហើយដូច្នេះនៅលើ។ សម្រាប់ចំនួនអវិជ្ជមាន ឬចំនួនកុំផ្លិច អាគុយម៉ង់គឺមិនមែនសូន្យទេ ដូច្នេះលំដាប់នៃពិន្ទុនេះត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរបញ្ឈរ ដែលបណ្តាលឱ្យគ្មានពិន្ទុនៅលើអ័ក្សពិត។

ឧទាហរណ៍។គណនា។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរកំណត់ម៉ូឌុលនៃចំនួន (ស្មើនឹង 2) និងអាគុយម៉ង់ 180 0 នោះគឺជា . បន្ទាប់មក = .

ឧបសម្ព័ន្ធ 1. សំណួរសម្រាប់ភស្តុតាង (សម្រាប់សំបុត្រ) ។

មេរៀនទី១

1. បង្ហាញរូបមន្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។

មេរៀនទី ២

1. បង្ហាញថាការផ្លាស់ប្តូរ ដែល r = LCM (r 1 ,...,r k) កាត់បន្ថយអាំងតេក្រាលទៅជាអាំងតេក្រាលនៃប្រភាគសនិទាន។

2. បង្ហាញថាការជំនួសកាត់បន្ថយអាំងតេក្រាលនៃទម្រង់ ទៅអាំងតេក្រាលនៃប្រភាគសមហេតុផល។

3. ទាញយករូបមន្តបំប្លែងសម្រាប់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស

សម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរត្រីកោណមាត្រសកល។

4. បង្ហាញថាក្នុងករណីដែលអនុគមន៍គឺសេសទាក់ទងនឹងកូស៊ីនុស ការជំនួសកាត់បន្ថយអាំងតេក្រាលទៅជាប្រភាគសនិទាន។

5. បញ្ជាក់ថានៅក្នុងករណីនៅពេលដែល

ការជំនួស៖ កាត់បន្ថយអាំងតេក្រាលទៅជាប្រភាគសនិទាន។

6. បង្ហាញថាសម្រាប់អាំងតេក្រាលនៃទម្រង់

7. បញ្ជាក់រូបមន្ត

8. បង្ហាញថាសម្រាប់អាំងតេក្រាលនៃទម្រង់ ការជំនួសមានអាំងតេក្រាលផ្ទាល់របស់វាទៅនឹងប្រភាគសនិទាន។

9. បង្ហាញថាសម្រាប់អាំងតេក្រាលនៃទម្រង់ ការជំនួសកាត់បន្ថយអាំងតេក្រាលទៅជាប្រភាគសមហេតុផល។

មេរៀនទី ៣

1. បង្ហាញថាមុខងារ គឺជាអង់ទីករនៃមុខងារ។

2. បញ្ជាក់រូបមន្ត Newton-Leibniz៖ .

3. បញ្ជាក់រូបមន្តសម្រាប់ប្រវែងនៃខ្សែកោងដែលបានផ្តល់ឱ្យយ៉ាងច្បាស់៖

4. បញ្ជាក់រូបមន្តសម្រាប់ប្រវែងនៃខ្សែកោងដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងកូអរដោណេប៉ូល។

មេរៀនទី៤

បញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ : ប្រសព្វ, ប្រសព្វ។

មេរៀនទី ៥

1. ទាញយក (បញ្ជាក់) រូបមន្តសម្រាប់ផ្ទៃនៃផ្ទៃដែលបានផ្តល់ឱ្យយ៉ាងច្បាស់ .

2. ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅជាប៉ូលកូអរដោណេ។

3. ដេរីវេនៃកត្តាកំណត់ Jacobi នៃកូអរដោណេប៉ូល។

4. ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅជាកូអរដោនេស៊ីឡាំង។

5. ដេរីវេនៃកត្តាកំណត់ Jacobi នៃកូអរដោនេស៊ីឡាំង។

6. ដេរីវេនៃរូបមន្តសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរទៅកូអរដោនេស្វ៊ែរ៖

មេរៀនទី៦

1. បង្ហាញថាការជំនួសកាត់បន្ថយសមីការដូចគ្នាទៅជាសមីការដែលមានអថេរដែលអាចបំបែកបាន។

2. កាត់ទម្រង់ទូទៅនៃដំណោះស្រាយនៃសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នា។

3. ទទួលបានទិដ្ឋភាពទូទៅនៃដំណោះស្រាយនៃសមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Lagrange ។

4. បង្ហាញថាការជំនួសកាត់បន្ថយសមីការ Bernoulli ទៅជាសមីការលីនេអ៊ែរ។

មេរៀនលេខ ៧ ។

1. បង្ហាញថាការជំនួសបន្ថយលំដាប់នៃសមីការដោយ k ។

2. បង្ហាញថាការជំនួសបន្ថយលំដាប់នៃសមីការដោយមួយ។ .

3. បញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ៖ អនុគមន៍គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលីនេអ៊ែរ និងមានឫសលក្ខណៈ។

4. បញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទថាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃដំណោះស្រាយនៃភាពដូចគ្នាលីនេអ៊ែរខុសគ្នា។ សមីការក៏ជាដំណោះស្រាយរបស់វាដែរ។

5. បង្ហាញទ្រឹស្តីបទស្តីពីការដាក់ដំណោះស្រាយ៖ ប្រសិនបើ - ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នាជាមួយផ្នែកខាងស្តាំ និង - ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នា ប៉ុន្តែជាមួយនឹងផ្នែកខាងស្តាំ នោះផលបូកគឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការដែលមានផ្នែកខាងស្តាំ។

មេរៀនលេខ ៨ ។

1. បង្ហាញទ្រឹស្តីបទថាប្រព័ន្ធនៃមុខងារគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ។

2. បញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទថាមាន n ដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរដូចគ្នានៃលំដាប់ n ។

3. បង្ហាញថាប្រសិនបើ 0 គឺជាឫសនៃពហុគុណ នោះប្រព័ន្ធនៃដំណោះស្រាយដែលត្រូវគ្នានឹងឫសនេះមានទម្រង់។

មេរៀនលេខ ៩ ។

1. បញ្ជាក់ដោយប្រើទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលនៅពេលគុណចំនួនកុំផ្លិច ម៉ូឌុលត្រូវបានគុណ ហើយអាគុយម៉ង់ត្រូវបានបន្ថែម។

2. Prove De Moivre's formula for degree n

3. បញ្ជាក់រូបមន្តសម្រាប់ឫសនៃលំដាប់ n នៃចំនួនកុំផ្លិច

4. បញ្ជាក់ និង

ភាពទូទៅនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស i.e. សម្រាប់ចំនួនពិត រូបមន្តទាំងនេះផ្តល់ផលស៊ីនុស (កូស៊ីនុស)។

5. បង្ហាញរូបមន្តសម្រាប់លោការីតនៃចំនួនកុំផ្លិច៖

ឧបសម្ព័ន្ធ 2

សំណួរតូចៗ និងផ្ទាល់មាត់លើចំនេះដឹងនៃទ្រឹស្តី (សម្រាប់កូឡូគី)។

មេរៀនទី១

1. អ្វីជាអង្គបដិប្រាណ និងអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ តើវាខុសគ្នាដូចម្តេច?

2. ពន្យល់ពីមូលហេតុដែលវាក៏ជាថ្នាំប្រឆាំងមេរោគផងដែរ។

3. សរសេររូបមន្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។

4. តើត្រូវការជំនួសអ្វីនៅក្នុងទម្រង់អាំងតេក្រាល ហើយតើវាបំបាត់ឫសដោយរបៀបណា?

5. សរសេរប្រភេទនៃការពង្រីកអាំងតេក្រាលនៃប្រភាគសនិទានទៅជាចំនុចសាមញ្ញបំផុត ក្នុងករណីដែលឫសទាំងអស់ខុសគ្នា និងពិតប្រាកដ។

6. សរសេរប្រភេទនៃការពង្រីកអាំងតេក្រាលនៃប្រភាគសនិទានទៅជាសាមញ្ញ ក្នុងករណីដែលឫសទាំងអស់ពិត ហើយមានឫសតែមួយនៃពហុគុណ k ។

មេរៀនលេខ ២ ។

1. សរសេរអ្វីដែលជាភាគបែងនៃប្រភាគសមហេតុផលទៅជាចំនុចសាមញ្ញបំផុត ក្នុងករណីដែលភាគបែងមានកត្តា 2 ដឺក្រេ ជាមួយនឹងការរើសអើងអវិជ្ជមាន។

2. តើការជំនួសអ្វីដែលកាត់បន្ថយអាំងតេក្រាលទៅជាប្រភាគសមហេតុផល?

3. តើការជំនួសត្រីកោណមាត្រសកលគឺជាអ្វី?

4. តើការជំនួសអ្វីខ្លះដែលត្រូវបានធ្វើឡើងក្នុងករណីដែលមុខងារនៅក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាលគឺសេសទាក់ទងនឹងស៊ីនុស (កូស៊ីនុស)?

5. តើការជំនួសអ្វីដែលត្រូវបានធ្វើឡើងប្រសិនបើអាំងតេក្រាលមានកន្សោម , ឬ .

មេរៀនលេខ ៣ ។

1. និយមន័យនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

2. រាយបញ្ជីលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗមួយចំនួននៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

3. សរសេររូបមន្ត Newton-Leibniz ។

4. សរសេររូបមន្តសម្រាប់បរិមាណនៃតួនៃបដិវត្តន៍។

5. សរសេររូបមន្តសម្រាប់ប្រវែងនៃខ្សែកោងច្បាស់លាស់មួយ។

6. សរសេររូបមន្តសម្រាប់ប្រវែងនៃខ្សែកោងប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

មេរៀនទី៤។

1. និយមន័យនៃអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ (ដោយមានជំនួយពីដែនកំណត់) ។

2. តើអ្វីជាភាពខុសគ្នារវាងអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវនៃប្រភេទទី 1 និងទី 2 ។

3. ផ្តល់ឧទាហរណ៍សាមញ្ញនៃអាំងតេក្រាលបញ្ចូលគ្នានៃប្រភេទទី 1 និងទី 2 ។

4. ដែលអាំងតេក្រាល (T1) បញ្ចូលគ្នា។

5. តើការបង្រួបបង្រួមទាក់ទងនឹងដែនកំណត់កំណត់នៃអង្គបដិប្រាណ (T2)

6. តើអ្វីទៅជាសញ្ញាចាំបាច់នៃការបញ្ចូលគ្នា, ការបង្កើតរបស់វា។

7. សញ្ញានៃការប្រៀបធៀបក្នុងទម្រង់ចុងក្រោយ

8. ការធ្វើតេស្តប្រៀបធៀបក្នុងទម្រង់កំណត់។

9. និយមន័យនៃអាំងតេក្រាលច្រើន។

មេរៀនលេខ ៥ ។

1. ការផ្លាស់ប្តូរលំដាប់នៃការរួមបញ្ចូល សូមបង្ហាញលើឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុត។

2. សរសេររូបមន្តសម្រាប់ផ្ទៃ។

3. អ្វីជាប៉ូលកូអរដោណេ ចូរសរសេររូបមន្តផ្លាស់ប្តូរ។

4. តើ Jacobian នៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេប៉ូលគឺជាអ្វី?

5. តើអ្វីជាកូអរដោណេស៊ីឡាំង និងស្វ៊ែរ តើអ្វីជាភាពខុសគ្នារបស់វា។

6. តើអ្វីជា Jacobian នៃកូអរដោនេស៊ីឡាំង (ស្វ៊ែរ) ។

មេរៀនទី៦។

1. តើអ្វីទៅជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទី 1 (ទិដ្ឋភាពទូទៅ) ។

2. តើអ្វីទៅជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំដាប់ទី 1 ដែលដោះស្រាយដោយគោរពតាមដេរីវេ។ ផ្តល់ឧទាហរណ៍ខ្លះ។

3. តើអ្វីទៅជាសមីការដែលមានអថេរដែលអាចបំបែកបាន។

4. អ្វីជាដំណោះស្រាយទូទៅ ជាពិសេស លក្ខខណ្ឌ Cauchy ។

5. អ្វីជាសមីការដូចគ្នា តើអ្វីជាវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ដោះស្រាយវា។

6. អ្វីជាសមីការលីនេអ៊ែរ អ្វីជាក្បួនដោះស្រាយ អ្វីទៅជាវិធីសាស្ត្រ Lagrange ។

7. តើអ្វីជាសមីការ Bernoulli ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដោះស្រាយវា។

មេរៀនលេខ ៧ ។

1. តើការជំនួសអ្វីដែលចាំបាច់សម្រាប់សមីការនៃទម្រង់។

2. តើការជំនួសអ្វីដែលចាំបាច់សម្រាប់សមីការនៃទម្រង់ .

3. បង្ហាញជាមួយឧទាហរណ៍ពីរបៀបដែលវាអាចត្រូវបានបង្ហាញជា .

4. អ្វីជាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ n.

5. អ្វីជាពហុនាមលក្ខណៈ សមីការលក្ខណៈ។

6. បង្កើតទ្រឹស្តីបទដែលអនុគមន៍ r ជាដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលីនេអ៊ែរ។

7. បង្កើតទ្រឹស្តីបទដែលការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃដំណោះស្រាយនៃសមីការដូចគ្នាលីនេអ៊ែរក៏ជាដំណោះស្រាយរបស់វាផងដែរ។

8. បង្កើតទ្រឹស្តីបទកំណត់ដំណោះស្រាយ និងផ្នែករួមរបស់វា។

9. អ្វីដែលជាប្រព័ន្ធឯករាជ្យអាស្រ័យលីនេអ៊ែរនិងលីនេអ៊ែរនៃមុខងារ សូមផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

10. តើអ្វីជាកត្តាកំណត់ Wronsky នៃប្រព័ន្ធអនុគមន៍ n សូមផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃកត្តាកំណត់ Wronsky សម្រាប់ប្រព័ន្ធ LZS និង LNS ។

មេរៀនលេខ ៨ ។

1. តើកត្តាកំណត់ Wronsky មានទ្រព្យសម្បត្តិអ្វី ប្រសិនបើប្រព័ន្ធជាមុខងារអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ។

2. តើមានដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប៉ុន្មាននៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ n ។

3. និយមន័យនៃ FSR (ប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ) នៃសមីការ homogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ n ។

4. តើមានមុខងារប៉ុន្មាននៅក្នុង SRF?

5. សរសេរទម្រង់នៃប្រព័ន្ធសមីការសម្រាប់ការស្វែងរកដោយវិធីសាស្ត្រ Lagrange សម្រាប់ n=2 ។

6. សរសេរប្រភេទនៃដំណោះស្រាយពិសេសនៅក្នុងករណីនៅពេលដែល

7. តើអ្វីទៅជាប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល សូមសរសេរឧទាហរណ៍ខ្លះ។

8. តើអ្វីទៅជាប្រព័ន្ធស្វយ័តនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

9. អត្ថន័យរូបវិទ្យានៃប្រព័ន្ធសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

10. សរសេរនូវមុខងារអ្វីខ្លះដែល FSR នៃប្រព័ន្ធសមីការមានប្រសិនបើ eigenvalues និង eigenvectors នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធនេះត្រូវបានគេស្គាល់។

មេរៀនលេខ ៩ ។

1. តើអ្វីទៅជាឯកតាស្រមើលស្រមៃ។

2. តើលេខ conjugate ជាអ្វី ហើយនឹងមានអ្វីកើតឡើងនៅពេលដែលវាត្រូវបានគុណនឹងលេខដើម។

3. តើអ្វីជាត្រីកោណមាត្រ ទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនៃចំនួនកុំផ្លិច។

4. សរសេររូបមន្តរបស់អយល័រ។

5. តើអ្វីទៅជាម៉ូឌុល អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច។

6. តើមានអ្វីកើតឡើងចំពោះម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់កំឡុងពេលគុណ (ចែក)។

7. សរសេររូបមន្ត De Moivre សម្រាប់ដឺក្រេ n ។

8. សរសេររូបមន្តសម្រាប់ root នៃលំដាប់ n ។

9. សរសេររូបមន្តទូទៅស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស សម្រាប់អាគុយម៉ង់ស្មុគស្មាញ។

10. សរសេររូបមន្តសម្រាប់លោការីតនៃចំនួនកុំផ្លិច។

ឧបសម្ព័ន្ធទី 3. ភារកិច្ចពីការបង្រៀន។

មេរៀនទី១

ឧទាហរណ៍។ . ឧទាហរណ៍។ .

ឧទាហរណ៍។ ឧទាហរណ៍។ .

ឧទាហរណ៍។ . ឧទាហរណ៍។ .

មេរៀនទី ២

ឧទាហរណ៍។ . ឧទាហរណ៍។ .

ឧទាហរណ៍។ . ឧទាហរណ៍។. កន្លែងណា លេខ។

ឧទាហរណ៍។ចែកជាទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។

ឧទាហរណ៍. ស្វែងរកតាមរូបមន្តរបស់ De Moivre ។

ឧទាហរណ៍. ស្វែងរកតម្លៃ root ទាំងអស់។

លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់នៃលោការីត ក្រាហ្វនៃលោការីត ដែននៃនិយមន័យ សំណុំនៃតម្លៃ រូបមន្តមូលដ្ឋាន ការកើនឡើង និងការថយចុះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ការស្វែងរកដេរីវេនៃលោការីតត្រូវបានពិចារណា។ ក៏ដូចជាអាំងតេក្រាល ការពង្រីកស៊េរីថាមពល និងការតំណាងដោយមធ្យោបាយនៃចំនួនកុំផ្លិច។

មាតិកា

ដែន, សំណុំនៃតម្លៃ, ឡើង, ចុះ

លោការីតគឺជាអនុគមន៍ monotonic ដូច្នេះវាមិនមាន extremums ទេ។ លក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់នៃលោការីតត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងតារាង។


ដែន	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
ជួរនៃតម្លៃ	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
ម៉ូណូតូន	កើនឡើងឯកតា	ថយចុះដោយឯកតា
សូន្យ, y = 0	x= 1	x= 1
ចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស y, x = 0	ទេ	ទេ
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

តម្លៃឯកជន

លោការីតគោល ១០ ត្រូវបានគេហៅថា លោការីតទសភាគហើយត្រូវបានសម្គាល់ដូចនេះ៖

លោការីតគោល អ៊ីហៅ លោការីតធម្មជាតិ:

រូបមន្តលោការីតមូលដ្ឋាន

លក្ខណសម្បត្តិនៃលោការីតខាងក្រោមពីនិយមន័យនៃអនុគមន៍បញ្ច្រាស៖

ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃលោការីត និងផលវិបាករបស់វា។

រូបមន្តជំនួសមូលដ្ឋាន

លោការីតគឺជាប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យានៃការទទួលយកលោការីត។ នៅពេលទទួលយកលោការីត ផលិតផលនៃកត្តាត្រូវបានបំប្លែងទៅជាផលបូកនៃពាក្យ។
សក្តានុភាព គឺជាប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យា បញ្ច្រាស់ទៅលោការីត។ នៅពេលដែល potentiating មូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានលើកឡើងទៅអំណាចនៃកន្សោមដែល potentiation ត្រូវបានអនុវត្ត។ ក្នុងករណីនេះផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំប្លែងទៅជាផលិតផលនៃកត្តា។

ភស្តុតាងនៃរូបមន្តមូលដ្ឋានសម្រាប់លោការីត

រូបមន្តដែលទាក់ទងនឹងលោការីត ធ្វើតាមរូបមន្តសម្រាប់អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងពីនិយមន័យនៃអនុគមន៍ច្រាស។

ពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
.
បន្ទាប់មក
.
អនុវត្តលក្ខណសម្បត្តិនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល
:
.

ចូរយើងបញ្ជាក់ពីរូបមន្តផ្លាស់ប្តូរមូលដ្ឋាន។
;
.
ការកំណត់ c = b យើងមាន៖

មុខងារបញ្ច្រាស

ចំរាស់នៃគោលលោការីតគឺជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលដែលមាននិទស្សន្ត a ។

បើអញ្ចឹង

ដេរីវេនៃលោការីត

ដេរីវេនៃលោការីតម៉ូឌុល x៖
.
ដេរីវេនៃលំដាប់ទី 0:
.
ដេរីវេនៃរូបមន្ត > > >

ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេនៃលោការីត ត្រូវតែកាត់បន្ថយទៅមូលដ្ឋាន អ៊ី.
;
.

អាំងតេក្រាល។

អាំងតេក្រាលនៃលោការីតត្រូវបានគណនាដោយការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក : .
ដូច្នេះ

កន្សោមក្នុងន័យនៃចំនួនកុំផ្លិច

ពិចារណាមុខងារចំនួនកុំផ្លិច z:
.
ចូរបង្ហាញចំនួនកុំផ្លិច zតាមរយៈម៉ូឌុល rនិងអាគុយម៉ង់ φ :
.
បន្ទាប់មកដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិលោការីត យើងមាន៖
.
ឬ

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ អំណះអំណាង φ មិនត្រូវបានកំណត់ច្បាស់លាស់។ ប្រសិនបើយើងដាក់
ដែល n ជាចំនួនគត់
បន្ទាប់មកវានឹងជាលេខដូចគ្នាសម្រាប់ភាពខុសគ្នា ន.

ដូច្នេះ លោការីត ជាមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញ មិនមែនជាអនុគមន៍តម្លៃតែមួយទេ។

ការពង្រីកស៊េរីថាមពល

សម្រាប់ ការពង្រីកកើតឡើង៖

ឯកសារយោង៖
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, សៀវភៅណែនាំគណិតវិទ្យាសម្រាប់វិស្វករ និងនិស្សិតនៃគ្រឹះស្ថានឧត្តមសិក្សា, Lan, 2009 ។

សូមមើលផងដែរ:

លោការីតពិត

លោការីតនៃកំណត់ហេតុចំនួនពិត ក ខធ្វើឱ្យយល់បានជាមួយនឹងរចនាប័ទ្ម = "ទទឹងអតិបរមា៖ 98%; កម្ពស់៖ ស្វ័យប្រវត្តិ; ទទឹង៖ ស្វ័យប្រវត្តិ;" src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">។

ការប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយបំផុតគឺប្រភេទលោការីតដូចខាងក្រោម។

ប្រសិនបើយើងពិចារណាលេខលោការីតជាអថេរ យើងទទួលបាន មុខងារលោការីត, ឧទាហរណ៍: ។ មុខងារនេះត្រូវបានកំណត់នៅជ្រុងខាងស្តាំនៃបន្ទាត់លេខ៖ x> 0 គឺបន្ត និងខុសគ្នានៅទីនោះ (សូមមើលរូបទី 1)។

ទ្រព្យសម្បត្តិ

លោការីតធម្មជាតិ

សម្រាប់, សមភាព

(1)

ជាពិសេស,

ស៊េរីនេះបង្រួបបង្រួមលឿនជាងមុន ហើយលើសពីនេះទៅទៀត ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃរូបមន្តឥឡូវនេះអាចបង្ហាញពីលោការីតនៃចំនួនវិជ្ជមានណាមួយ។

ទំនាក់ទំនងជាមួយលោការីតទសភាគ៖ .

លោការីតទសភាគ

អង្ករ។ 2. មាត្រដ្ឋានកំណត់ហេតុ

លោការីតដល់គោល ១០ (និមិត្តសញ្ញា៖ lg ក) មុនពេលបង្កើតម៉ាស៊ីនគិតលេខ ត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយសម្រាប់ការគណនា។ មាត្រដ្ឋានមិនស្មើគ្នានៃលោការីតទសភាគត្រូវបានអនុវត្តជាទូទៅចំពោះច្បាប់ស្លាយផងដែរ។ មាត្រដ្ឋានស្រដៀងគ្នានេះត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងវិស័យវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងៗ ឧទាហរណ៍៖

គីមីវិទ្យា - សកម្មភាពនៃអ៊ីយ៉ុងអ៊ីដ្រូសែន () ។
ទ្រឹស្ដីតន្ត្រី - មាត្រដ្ឋានតន្ត្រីដែលទាក់ទងនឹងភាពញឹកញាប់នៃសំឡេងតន្ត្រី។

មាត្រដ្ឋានលោការីតក៏ត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយដើម្បីកំណត់និទស្សន្តនៅក្នុងការពឹងផ្អែកអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងមេគុណនៅក្នុងនិទស្សន្ត។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានោះ ក្រាហ្វដែលគូសលើមាត្រដ្ឋានលោការីតតាមអ័ក្សមួយ ឬពីរ បង្កើតជាបន្ទាត់ត្រង់ ដែលងាយស្រួលសិក្សា។

លោការីតស្មុគស្មាញ

មុខងារពហុគុណតម្លៃ

ផ្ទៃ Riemann

អនុគមន៍លោការីតស្មុគស្មាញគឺជាឧទាហរណ៍នៃផ្ទៃ Riemann; ផ្នែកស្រមើលស្រមៃរបស់វា (រូបភាពទី 3) រួមមានចំនួនមិនកំណត់នៃមែកធាងដែលបត់ដូចវង់។ ផ្ទៃនេះត្រូវបានភ្ជាប់យ៉ាងសាមញ្ញ; សូន្យតែមួយគត់របស់វា (នៃលំដាប់ទីមួយ) ត្រូវបានទទួលដោយ z= 1 ចំណុចពិសេស៖ z= 0 និង (ចំណុចសាខានៃលំដាប់គ្មានកំណត់) ។

ផ្ទៃ Riemann នៃលោការីតគឺជាការគ្របដណ្តប់ជាសកលសម្រាប់យន្តហោះស្មុគស្មាញដោយគ្មានចំណុច 0 ។

គ្រោងប្រវត្តិសាស្ត្រ

លោការីតពិត

តម្រូវការសម្រាប់ការគណនាស្មុគ្រស្មាញនៅសតវត្សទី 16 បានកើនឡើងយ៉ាងឆាប់រហ័ស ហើយការលំបាកជាច្រើនត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការគុណ និងការបែងចែកលេខច្រើនខ្ទង់។ នៅចុងសតវត្សន៍ អ្នកគណិតវិទូជាច្រើននាក់ ស្ទើរតែក្នុងពេលដំណាលគ្នា បានបង្កើតគំនិត៖ ដើម្បីជំនួសការគុណដែលប្រើពេលជាមួយការបន្ថែមដ៏សាមញ្ញ ដោយប្រៀបធៀបវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ និងនព្វន្ធដោយប្រើតារាងពិសេស ចំណែកធរណីមាត្រនឹងជាលេខដើម។ បន្ទាប់មកការបែងចែកត្រូវបានជំនួសដោយស្វ័យប្រវត្តិដោយការដកដែលសាមញ្ញ និងគួរឱ្យទុកចិត្តជាងដែលមិនអាចវាស់វែងបាន។ គាត់គឺជាមនុស្សដំបូងគេដែលបោះពុម្ពគំនិតនេះនៅក្នុងសៀវភៅរបស់គាត់។ អាំងតេក្រាលនព្វន្ធ» ម៉ៃឃើល ស្ទីហ្វែល ដែលទោះជាយ៉ាងណា មិនបានប្រឹងប្រែងអនុវត្តគំនិតរបស់គាត់ឡើយ។

នៅទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1620 លោក Edmund Wingate និងលោក William Oughtred បានបង្កើតច្បាប់ស្លាយដំបូង មុនពេលការមកដល់នៃម៉ាស៊ីនគណនាហោប៉ៅ ដែលជាឧបករណ៍ដែលមិនអាចខ្វះបានសម្រាប់វិស្វករ។

ភាពជិតស្និទ្ធទៅនឹងការយល់ដឹងសម័យទំនើបនៃលោការីត - ជាប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសទៅនិទស្សន្ត - បានបង្ហាញខ្លួនជាលើកដំបូងនៅក្នុង Wallis និង Johann Bernoulli ហើយទីបំផុតត្រូវបានធ្វើឱ្យស្របច្បាប់ដោយអយល័រក្នុងសតវត្សទី 18 ។ នៅក្នុងសៀវភៅ "ការណែនាំអំពីការវិភាគនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់" () អយល័របានផ្តល់និយមន័យទំនើបនៃមុខងារអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត ពង្រីកពួកវាទៅជាស៊េរីថាមពល ហើយជាពិសេសបានកត់សម្គាល់ពីតួនាទីនៃលោការីតធម្មជាតិ។

អយល័រក៏មានគុណសម្បត្តិនៃការពង្រីកមុខងារលោការីតទៅដែនស្មុគស្មាញផងដែរ។

លោការីតស្មុគស្មាញ

ការប៉ុនប៉ងដំបូងដើម្បីពង្រីកលោការីតដល់ចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានធ្វើឡើងនៅវេននៃសតវត្សទី 17-18 ដោយ Leibniz និង Johann Bernoulli ប៉ុន្តែពួកគេបានបរាជ័យក្នុងការបង្កើតទ្រឹស្តីរួមមួយ - ជាចម្បងសម្រាប់ហេតុផលដែលគំនិតនៃលោការីតខ្លួនឯងមិនទាន់ត្រូវបានកំណត់ច្បាស់លាស់នៅឡើយ។ ការពិភាក្សាលើបញ្ហានេះជាលើកដំបូងរវាង Leibniz និង Bernoulli ហើយនៅពាក់កណ្តាលសតវត្សទី XVIII - រវាង d'Alembert និង Euler ។ Bernoulli និង d'Alembert ជឿថាវាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់ log(-x) = log(x). ទ្រឹស្ដីពេញលេញនៃលោការីតនៃចំនួនអវិជ្ជមាន និងកុំផ្លិចត្រូវបានបោះពុម្ពដោយ អយល័រ ក្នុងឆ្នាំ 1747-1751 ហើយសំខាន់មិនខុសពីសម័យទំនើបទេ។

ទោះបីជាជម្លោះនៅតែបន្ត (D'Alembert ការពារទស្សនៈរបស់គាត់ ហើយបានប្រកែកវាយ៉ាងលម្អិតនៅក្នុងអត្ថបទមួយនៅក្នុងសព្វវចនាធិប្បាយរបស់គាត់ និងនៅក្នុងស្នាដៃផ្សេងទៀត) ទស្សនៈរបស់អយល័របានទទួលការទទួលស្គាល់ជាសកលយ៉ាងឆាប់រហ័ស។

តារាងលោការីត

វាធ្វើតាមពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីតដែលជំនួសឱ្យការគុណពេលវេលានៃលេខច្រើនខ្ទង់ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការស្វែងរក (យោងទៅតាមតារាង) ហើយបន្ថែមលោការីតរបស់វា ហើយបន្ទាប់មកអនុវត្តសក្តានុពលដោយប្រើតារាងដូចគ្នា ពោលគឺស្វែងរកតម្លៃនៃលទ្ធផលដោយលោការីតរបស់វា។ ការធ្វើការបែងចែកខុសគ្នាតែក្នុងលោការីតប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវដក។ លោក Laplace បាននិយាយថា ការបង្កើតលោការីត "ពន្យារអាយុជីវិតរបស់តារាវិទូ" ដោយបង្កើនល្បឿនដំណើរការគណនាយ៉ាងខ្លាំង។

នៅពេលផ្លាស់ទីចំណុចទសភាគក្នុងលេខទៅ នខ្ទង់ តម្លៃនៃលោការីតទសភាគនៃលេខនេះត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដោយ ន. ឧទាហរណ៍ lg8314.63 = lg8.31463 + 3 ។ វាដូចខាងក្រោមថាវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីធ្វើតារាងនៃលោការីតទសភាគសម្រាប់លេខក្នុងចន្លោះពី 1 ដល់ 10 ។

តារាងទីមួយនៃលោការីតត្រូវបានបោះពុម្ពដោយ John Napier () ហើយពួកវាមានតែលោការីតនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រប៉ុណ្ណោះ ហើយមានកំហុស។ ដោយឯករាជ្យពីគាត់ Jost Burgi ដែលជាមិត្តរបស់ Kepler បានបោះពុម្ពតារាងរបស់គាត់ () ។ នៅឆ្នាំ 1617 សាស្រ្តាចារ្យគណិតសាស្រ្ត Oxford លោក Henry Briggs បានបោះពុម្ពតារាងដែលរួមបញ្ចូលលោការីតទសភាគនៃលេខខ្លួនឯងរួចហើយ ចាប់ពីលេខ 1 ដល់ 1000 ជាមួយនឹងលេខ 8 (ក្រោយ 14) ខ្ទង់។ ប៉ុន្តែក៏មានកំហុសនៅក្នុងតារាង Briggs ផងដែរ។ ការបោះពុម្ពលើកដំបូងដោយគ្មានកំហុសដោយផ្អែកលើតារាង Vega () បានបង្ហាញខ្លួនតែនៅក្នុងឆ្នាំ 1857 នៅទីក្រុងប៊ែកឡាំង (តារាង Bremiver) ។

នៅប្រទេសរុស្ស៊ីតារាងលោការីតដំបូងត្រូវបានបោះពុម្ពនៅឆ្នាំ 1703 ដោយមានការចូលរួមពី L. F. Magnitsky ។ ការប្រមូលជាច្រើននៃតារាងលោការីតត្រូវបានបោះពុម្ពនៅក្នុងសហភាពសូវៀត។

Bradis V.M.តារាងគណិតវិទ្យាបួនខ្ទង់។ ការបោះពុម្ពលើកទី 44, M. , 1973 ។

ផែនការ៖

1 លោការីតពិត
- 1.1 លក្ខណៈសម្បត្តិ
- 1.2 មុខងារលោការីត
- 1.3 លោការីតធម្មជាតិ
- 1.4 លោការីតទសភាគ
2 លោការីតស្មុគស្មាញ
- 2.1 និយមន័យនិងលក្ខណៈសម្បត្តិ
- 2.2 ឧទាហរណ៍
- 2.3 ការបន្តវិភាគ
- 2.4 ផ្ទៃ Riemann
3 គ្រោងប្រវត្តិសាស្ត្រ
- 3.1 លោការីតពិត
- 3.2 លោការីតស្មុគស្មាញ
4 តារាងលោការីត
5 កម្មវិធី

សេចក្តីផ្តើម

អង្ករ។ 1. ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍លោការីត

លោការីតនៃចំនួនមួយ។ ខដោយហេតុផល ក (មកពីភាសាក្រិក។ λόγος - "ពាក្យ", "អាកប្បកិរិយា" និង ἀριθμός - "លេខ") ត្រូវបានកំណត់ជាសូចនាករនៃកម្រិតដែលមូលដ្ឋានត្រូវតែលើកឡើង កដើម្បីទទួលបានលេខ ខ. ការកំណត់: ។ វាធ្វើតាមនិយមន័យដែលធាតុនិងសមមូល។

ឧទាហរណ៍ដោយសារតែ។

1. លោការីតពិត

លោការីតនៃកំណត់ហេតុចំនួនពិត ក ខធ្វើឱ្យយល់នៅពេលដែល។ ដូចដែលអ្នកដឹង អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល y = ក x គឺ monotonic ហើយតម្លៃនីមួយៗចំណាយពេលតែមួយដងប៉ុណ្ណោះ ហើយជួរនៃតម្លៃរបស់វាមានលេខពិតវិជ្ជមានទាំងអស់។ នេះបញ្ជាក់ថាតម្លៃនៃលោការីតពិតនៃចំនួនវិជ្ជមានតែងតែមាន ហើយត្រូវបានកំណត់យ៉ាងពិសេស។

ការប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយបំផុតគឺប្រភេទលោការីតដូចខាងក្រោម។

១.១. ទ្រព្យសម្បត្តិ

ភស្តុតាង

ចូរយើងបញ្ជាក់។

(ដោយសារតែលក្ខខណ្ឌ bc> 0) ។ ■

ភស្តុតាង

ចូរយើងបញ្ជាក់

(ព្រោះតាមលក្ខខណ្ឌ ■

ភស្តុតាង

ចូរយើងប្រើអត្តសញ្ញាណដើម្បីបញ្ជាក់។ យើងលោការីតទាំងសងខាងនៃអត្តសញ្ញាណទៅមូលដ្ឋាន គ។ យើងទទួលបាន:

ភស្តុតាង

ចូរយើងបញ្ជាក់។

(ព្រោះ ខ ទំ> 0 តាមលក្ខខណ្ឌ) ។ ■

ភស្តុតាង

ចូរយើងបញ្ជាក់

ភស្តុតាង

យកលោការីតនៃជ្រុងខាងឆ្វេង និងស្តាំទៅមូលដ្ឋាន គ :

ផ្នែកខាងឆ្វេង៖ ខាងស្តាំ៖

សមភាពនៃការបញ្ចេញមតិគឺជាក់ស្តែង។ ដោយសារលោការីតគឺស្មើគ្នា ដូច្នេះដោយសារតែ monotonicity នៃអនុគមន៍លោការីត កន្សោមខ្លួនឯងគឺស្មើគ្នា។ ■

១.២. មុខងារលោការីត

ប្រសិនបើយើងពិចារណាលេខលោការីតជាអថេរ យើងទទួលបាន មុខងារលោការីត y= កំណត់ហេតុ ក x (សូមមើលរូបទី 1) ។ វាត្រូវបានកំណត់នៅ។ ជួរនៃតម្លៃ: .

មុខងារកំពុងកើនឡើងយ៉ាងតឹងរ៉ឹងសម្រាប់ ក> 1 និងកាត់បន្ថយយ៉ាងតឹងរឹងនៅ 0< ក < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

ត្រង់ x= 0 គឺជា asymptote បញ្ឈរខាងឆ្វេង ពីព្រោះនៅ ក> 1 និងនៅ 0< ក < 1 .

ដេរីវេនៃអនុគមន៍លោការីតគឺ៖

ភស្តុតាង

I. អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់

ចូរយើងសរសេរអត្តសញ្ញាណ អ៊ី ln x = x និងបែងចែកផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំរបស់វា។

យើងទទួលបានវាពីណាមក

II. ចូរយើងបញ្ជាក់

អនុគមន៍លោការីតអនុវត្ត isomorphism រវាងក្រុមគុណនៃចំនួនពិតវិជ្ជមាន និងក្រុមបន្ថែមនៃចំនួនពិតទាំងអស់។

១.៣. លោការីតធម្មជាតិ

ទំនាក់ទំនងជាមួយលោការីតទសភាគ៖ .

ដូចដែលបានបញ្ជាក់ខាងលើ ដេរីវេនៃលោការីតធម្មជាតិមានរូបមន្តសាមញ្ញមួយ៖

សម្រាប់ហេតុផលនេះ លោការីតធម្មជាតិត្រូវបានប្រើប្រាស់ជាចម្បងក្នុងការស្រាវជ្រាវគណិតវិទ្យា។ ពួកវាច្រើនតែលេចឡើងនៅពេលដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល សិក្សាពីភាពអាស្រ័យស្ថិតិ (ឧទាហរណ៍ ការបែងចែកលេខបឋម) ។ល។

អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃលោការីតធម្មជាតិគឺងាយស្រួលស្វែងរកដោយការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក៖

ការពង្រីកស៊េរី Taylor អាចត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោម:
នៅពេលដែលសមភាព

(1)

ជាពិសេស,

១.៤. លោការីតទសភាគ

អង្ករ។ 2 ក. មាត្រដ្ឋានលោការីត

អង្ករ។ 2 ខ. មាត្រដ្ឋានលោការីតជាមួយនិមិត្តសញ្ញា

លោការីតដល់គោល ១០ (និមិត្តសញ្ញា៖ lg ក) មុនពេលបង្កើតម៉ាស៊ីនគិតលេខ ត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយសម្រាប់ការគណនា។ មាត្រដ្ឋានមិនស្មើគ្នានៃលោការីតទសភាគ ជាធម្មតាត្រូវបានអនុវត្តចំពោះច្បាប់ស្លាយផងដែរ។ មាត្រដ្ឋានស្រដៀងគ្នាត្រូវបានប្រើក្នុងវិស័យវិទ្យាសាស្ត្រជាច្រើន ឧទាហរណ៍៖

រូបវិទ្យា - អាំងតង់ស៊ីតេសំឡេង (decibels) ។
តារាសាស្ត្រគឺជាមាត្រដ្ឋានសម្រាប់ពន្លឺនៃផ្កាយ។
គីមីវិទ្យា - សកម្មភាពនៃអ៊ីយ៉ុងអ៊ីដ្រូសែន (pH) ។
រញ្ជួយដី - ខ្នាតរិចទ័រ។
ទ្រឹស្ដីតន្ត្រី - មាត្រដ្ឋានតន្ត្រីដែលទាក់ទងនឹងភាពញឹកញាប់នៃសំឡេងតន្ត្រី។
ប្រវត្តិគឺជាមាត្រដ្ឋានពេលវេលាលោការីត។

2. លោការីតស្មុគស្មាញ

២.១. និយមន័យនិងលក្ខណៈសម្បត្តិ

សម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិច លោការីតត្រូវបានកំណត់ដូចគ្នាទៅនឹងចំនួនពិត។ នៅក្នុងការអនុវត្ត លោការីតស្មុគស្មាញធម្មជាតិត្រូវបានប្រើប្រាស់ស្ទើរតែទាំងស្រុង ដែលយើងកំណត់ និងកំណត់ជាសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិចទាំងអស់។ zបែបនោះ។ អ៊ី z = វ . លោការីតស្មុគ្រស្មាញមានសម្រាប់ណាមួយ ហើយផ្នែកពិតរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយឡែក ខណៈពេលដែលការស្រមើលស្រមៃមានតម្លៃគ្មានកំណត់។ សម្រាប់ហេតុផលនេះវាត្រូវបានគេហៅថាមុខងារពហុគុណ។ ប្រសិនបើស្រមៃ វក្នុងទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល៖

បន្ទាប់មកលោការីតត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

នេះជាលោការីតពិត r = | វ | , kគឺជាចំនួនគត់ដែលបំពាន។ តម្លៃដែលទទួលបាននៅពេល k= 0 ត្រូវបានគេហៅថា សារៈសំខាន់ចម្បងលោការីតធម្មជាតិស្មុគស្មាញ; វាជាទម្លាប់ក្នុងការយកតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ក្នុងចន្លោះពេល (− π,π] ។ សាខាសំខាន់លោការីត និងត្រូវបានតំណាងដោយ . ពេលខ្លះក៏បញ្ជាក់តម្លៃនៃលោការីត ដែលមិនស្ថិតនៅលើសាខាចម្បងនោះទេ។

ពីរូបមន្តដូចខាងក្រោមៈ

ផ្នែកពិតនៃលោការីតត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

លោការីតនៃចំនួនអវិជ្ជមានត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

ដោយសារអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រស្មុគ្រស្មាញទាក់ទងនឹងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល (រូបមន្តអយល័រ) លោការីតស្មុគ្រស្មាញដែលជាអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលបញ្ច្រាសគឺទាក់ទងទៅនឹងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស។ ឧទាហរណ៍នៃការតភ្ជាប់បែបនេះ៖

២.២. ឧទាហរណ៍

នេះគឺជាតម្លៃចម្បងនៃលោការីតសម្រាប់អាគុយម៉ង់មួយចំនួន៖

អ្នកគួរតែប្រយ័ត្នពេលបំប្លែងលោការីតស្មុគស្មាញ ដោយគិតគូរថាវាមានតម្លៃច្រើន ហើយដូច្នេះសមភាពនៃកន្សោមទាំងនេះមិនធ្វើតាមសមភាពនៃលោការីតនៃកន្សោមណាមួយឡើយ។ ឧទាហរណ៍នៃហេតុផលខុស៖

ខ្ញុំπ = ln(− 1) = ln((− ខ្ញុំ) 2) = 2ln(− ខ្ញុំ) = 2(− ខ្ញុំπ / 2) = − ខ្ញុំπ - ភាពមិនសមហេតុផលជាក់ស្តែង។

ចំណាំថាតម្លៃសំខាន់នៃលោការីតគឺនៅខាងឆ្វេង ហើយតម្លៃពីសាខាមូលដ្ឋានគឺនៅខាងស្តាំ ( k=−១)។ ហេតុផលសម្រាប់កំហុសគឺការប្រើប្រាស់អចលនៈទ្រព្យដែលមិនចេះខ្វល់ខ្វាយ ដែលនិយាយជាទូទៅក្នុងករណីស្មុគស្មាញបង្កប់ន័យនូវសំណុំតម្លៃគ្មានកំណត់ទាំងមូលនៃលោការីត ហើយមិនត្រឹមតែតម្លៃដើមប៉ុណ្ណោះទេ។

២.៣. ការបន្តវិភាគ

អង្ករ។ 3. លោការីតស្មុគស្មាញ (ផ្នែកស្រមើលស្រមៃ)

លោការីតនៃចំនួនកុំផ្លិចក៏អាចត្រូវបានកំណត់ថាជាការបន្តវិភាគនៃលោការីតពិតទៅប្លង់ស្មុគស្មាញទាំងមូល។ អនុញ្ញាតឱ្យខ្សែកោងΓចាប់ផ្តើមនៅ 1 កុំឆ្លងកាត់សូន្យ ហើយកុំប្រសព្វផ្នែកអវិជ្ជមាននៃអ័ក្សពិត។ បន្ទាប់មកតម្លៃសំខាន់នៃលោការីតនៅចំណុចចុង វខ្សែកោង Γ អាចត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

ប្រសិនបើ Γ គឺជាខ្សែកោងសាមញ្ញ (ដោយគ្មានចំនុចប្រសព្វដោយខ្លួនឯង) បន្ទាប់មកសម្រាប់លេខដែលស្ថិតនៅលើវា អត្តសញ្ញាណលោការីតអាចត្រូវបានអនុវត្តដោយគ្មានការភ័យខ្លាច ឧទាហរណ៍

ប្រសិនបើខ្សែកោងΓត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យប្រសព្វផ្នែកអវិជ្ជមាននៃអ័ក្សពិត នោះចំនុចប្រសព្វដំបូងផ្ទេរលទ្ធផលពីសាខាតម្លៃសំខាន់ទៅសាខាជិតខាង ហើយចំនុចប្រសព្វជាបន្តបន្ទាប់នីមួយៗបណ្តាលឱ្យមានការផ្លាស់ប្តូរស្រដៀងគ្នានៅតាមបណ្តោយសាខានៃអនុគមន៍លោការីត (សូមមើលរូប)។

វាធ្វើតាមរូបមន្តបន្តវិភាគដែលនៅលើសាខាណាមួយនៃលោការីត

សម្រាប់រង្វង់ណាមួយ។ សការបិទចំណុច 0:

អាំងតេក្រាលត្រូវបានយកក្នុងទិសដៅវិជ្ជមាន (ច្រាសទ្រនិចនាឡិកា) ។ អត្តសញ្ញាណនេះបង្កប់នូវទ្រឹស្តីនៃសំណល់។

មួយក៏អាចកំណត់ការបន្តវិភាគនៃលោការីតស្មុគស្មាញដោយប្រើស៊េរី (1) ខាងលើ ជាទូទៅចំពោះករណីនៃអាគុយម៉ង់ស្មុគស្មាញ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាធ្វើតាមពីប្រភេទនៃការពង្រីកដែលវាស្មើនឹងសូន្យនៅការរួបរួម ពោលគឺស៊េរីសំដៅតែទៅលើសាខាសំខាន់នៃអនុគមន៍គុណតម្លៃនៃលោការីតស្មុគស្មាញប៉ុណ្ណោះ។

២.៤. ផ្ទៃ Riemann

អនុគមន៍លោការីតស្មុគស្មាញគឺជាឧទាហរណ៍នៃផ្ទៃ Riemann; ផ្នែកស្រមើលស្រមៃរបស់វា (រូបភាពទី 3) រួមមានចំនួនមិនកំណត់នៃមែកធាងដែលរមួលក្នុងទម្រង់ជាវង់។ ផ្ទៃនេះត្រូវបានភ្ជាប់យ៉ាងសាមញ្ញ; សូន្យតែមួយគត់របស់វា (នៃលំដាប់ទីមួយ) ត្រូវបានទទួលដោយ z= 1 ចំណុចពិសេស៖ z= 0 និង (ចំណុចសាខានៃលំដាប់គ្មានកំណត់) ។

3. គ្រោងប្រវត្តិសាស្ត្រ

៣.១. លោការីតពិត

តម្រូវការសម្រាប់ការគណនាស្មុគ្រស្មាញនៅសតវត្សទី 16 បានកើនឡើងយ៉ាងឆាប់រហ័ស ហើយការលំបាកជាច្រើនត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការគុណ និងការបែងចែកលេខច្រើនខ្ទង់ ក៏ដូចជាការស្រង់ឫស។ នៅចុងសតវត្សន៍ អ្នកគណិតវិទូជាច្រើននាក់ ស្ទើរតែក្នុងពេលដំណាលគ្នា បានបង្កើតគំនិត៖ ដើម្បីជំនួសការគុណដែលប្រើពេលជាមួយការបន្ថែមដ៏សាមញ្ញ ដោយប្រៀបធៀបវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ និងនព្វន្ធដោយប្រើតារាងពិសេស ចំណែកធរណីមាត្រនឹងជាលេខដើម។ បន្ទាប់មកការបែងចែកត្រូវបានជំនួសដោយស្វ័យប្រវត្តដោយការដកដែលសាមញ្ញ និងគួរឱ្យទុកចិត្តជាងដែលមិនអាចវាស់វែងបាន និងការដកឫសនៃដឺក្រេ នកាត់បន្ថយការបែងចែកលោការីតនៃកន្សោមរ៉ាឌីកាល់ដោយ ន. គាត់គឺជាមនុស្សដំបូងគេដែលបោះពុម្ពគំនិតនេះនៅក្នុងសៀវភៅរបស់គាត់។ អាំងតេក្រាលនព្វន្ធ» ម៉ៃឃើល ស្ទីហ្វែល ដែលទោះជាយ៉ាងនេះក្តី មិនបានខិតខំប្រឹងប្រែងយ៉ាងធ្ងន់ធ្ងរដើម្បីអនុវត្តគំនិតរបស់គាត់ទេ។

នៅឆ្នាំ 1614 គណិតវិទូស្កុតឡេន លោក John Napier បានបោះពុម្ពអត្ថបទជាភាសាឡាតាំងដែលមានចំណងជើងថា " ការពិពណ៌នាអំពីតារាងលោការីតដ៏អស្ចារ្យ"(ឡាតាំង។ ការពិពណ៌នាអំពី Mirifici Logarithmorum Canonis ) វាមានការពិពណ៌នាសង្ខេបអំពីលោការីត និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា ព្រមទាំងតារាង 8 ខ្ទង់នៃលោការីតនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស និងតង់ហ្សង់ ជាមួយនឹងជំហាននៃ 1"។ លោការីតដែលត្រូវបានស្នើឡើងដោយ Napier បានបង្កើតខ្លួនវានៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ។ Napier បានរៀបរាប់អំពីទ្រឹស្តីលោការីតនៅក្នុងសៀវភៅផ្សេងទៀតរបស់គាត់ " ការបង្កើតតារាងលោការីតដ៏អស្ចារ្យ"(ឡាតាំង។ Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ) បោះពុម្ភផ្សាយក្រោយស្លាប់នៅឆ្នាំ ១៦១៩ ដោយកូនប្រុសរបស់គាត់។

គំនិតនៃអនុគមន៍មួយមិនទាន់មាននៅឡើយទេ ហើយ Napier បានកំណត់លោការីត kinematically ដោយប្រៀបធៀបចលនាយឺតលោការីត និងឯកសណ្ឋាន។ ឧទាហរណ៍ គាត់បានកំណត់លោការីតនៃស៊ីនុស ដូចតទៅ៖

លោការីតនៃស៊ីនុសដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាលេខដែលតែងតែកើនឡើងជានព្វន្ធក្នុងអត្រាដូចគ្នានៅពេលដែលស៊ីនុសពេញចាប់ផ្តើមថយចុះតាមធរណីមាត្រ។

នៅក្នុងសញ្ញាណទំនើប គំរូ kinematic របស់ Napier អាចត្រូវបានតំណាងដោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖ dx/x = -dy/Mដែល M គឺជាកត្តាមាត្រដ្ឋានដែលបានណែនាំដើម្បីធ្វើឱ្យតម្លៃជាចំនួនគត់ជាមួយនឹងចំនួនខ្ទង់ដែលត្រូវការ (ទសភាគមិនទាន់ត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅពេលនោះ)។ Napier យក M = 10000000 ។

និយាយយ៉ាងតឹងរ៉ឹង Napier បានកំណត់មុខងារខុសដែលឥឡូវនេះត្រូវបានគេហៅថាលោការីត។ ប្រសិនបើយើងកំណត់មុខងាររបស់វាជា LogNap(x) នោះវាទាក់ទងនឹងលោការីតធម្មជាតិដូចខាងក្រោម៖

ជាក់ស្តែង LogNap (M) = 0 នោះគឺលោការីតនៃ "ស៊ីនុសពេញ" គឺសូន្យ - នេះគឺជាអ្វីដែល Napier បានស្វែងរកជាមួយនឹងនិយមន័យរបស់គាត់។ .

ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃលោការីត Napier៖ ប្រសិនបើបរិមាណបង្កើតជាវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ នោះលោការីតរបស់ពួកគេបង្កើតបានជាដំណើរការនព្វន្ធ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ច្បាប់សម្រាប់លោការីតសម្រាប់អនុគមន៍ដែលមិនមែនជា Pierian ខុសពីច្បាប់សម្រាប់លោការីតទំនើប។

ឧទាហរណ៍, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

ជាអកុសល តម្លៃទាំងអស់នៅក្នុងតារាងរបស់ Napier មានកំហុសក្នុងការគណនាបន្ទាប់ពីខ្ទង់ទីប្រាំមួយ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ នេះមិនបានរារាំងវិធីសាស្ត្រគណនាថ្មីពីការទទួលបានប្រជាប្រិយភាពយ៉ាងទូលំទូលាយទេ ហើយគណិតវិទូអឺរ៉ុបជាច្រើនរួមទាំង Kepler បានយកការចងក្រងតារាងលោការីត។ រួចហើយ 5 ឆ្នាំក្រោយមក នៅឆ្នាំ 1619 គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យានៅទីក្រុងឡុងដ៍ លោក John Spydell ( លោក John Spidell) បានបោះពុម្ពឡើងវិញនូវតារាងរបស់ Napier ដែលត្រូវបានបំប្លែងដូច្នេះថាពួកគេពិតជាក្លាយជាតារាងនៃលោការីតធម្មជាតិ (ទោះបីជា Spydell រក្សាការធ្វើមាត្រដ្ឋានទៅជាចំនួនគត់ក៏ដោយ) ។ ពាក្យ "លោការីតធម្មជាតិ" ត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយគណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី Pietro Mengoli ( Pietro Mengoli)) នៅពាក់កណ្តាលសតវត្សទី XVI ។

ជិតស្និទ្ធទៅនឹងការយល់ដឹងសម័យទំនើបនៃលោការីត - ជាប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសទៅនឹងការបង្កើនអំណាចមួយ - បានបង្ហាញខ្លួនជាលើកដំបូងនៅក្នុង Wallis និង Johann Bernoulli ហើយទីបំផុតត្រូវបានធ្វើឱ្យស្របច្បាប់ដោយអយល័រក្នុងសតវត្សទី 18 ។ នៅក្នុងសៀវភៅ Introduction to the Analysis of Infinites (1748) អយល័របានផ្តល់និយមន័យទំនើបនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងលោការីត ពង្រីកពួកវាទៅជាស៊េរីថាមពល ហើយជាពិសេសបានកត់សម្គាល់ពីតួនាទីនៃលោការីតធម្មជាតិ។

អយល័រក៏មានគុណសម្បត្តិនៃការពង្រីកមុខងារលោការីតទៅដែនស្មុគស្មាញផងដែរ។

៣.២. លោការីតស្មុគស្មាញ

ទោះបីជាជម្លោះនៅតែបន្ត (D'Alembert ការពារទស្សនៈរបស់គាត់ ហើយបានប្រកែកវាយ៉ាងលម្អិតនៅក្នុងអត្ថបទមួយនៅក្នុងសព្វវចនាធិប្បាយរបស់គាត់ និងនៅក្នុងស្នាដៃផ្សេងទៀត) ទស្សនៈរបស់អយល័រទទួលបានការទទួលស្គាល់ជាទូទៅយ៉ាងឆាប់រហ័ស។

4. តារាងលោការីត

តារាងលោការីត

វាធ្វើតាមពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃលោការីតដែលជំនួសឱ្យការគុណពេលវេលានៃលេខពហុគុណវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីស្វែងរក (ពីតារាង) និងបន្ថែមលោការីតរបស់ពួកគេ ហើយបន្ទាប់មកអនុវត្តសក្តានុពលដោយប្រើតារាងដូចគ្នា ពោលគឺស្វែងរកតម្លៃនៃលទ្ធផលដោយលោការីតរបស់វា។ ការធ្វើការបែងចែកខុសគ្នាតែក្នុងលោការីតប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវដក។ លោក Laplace បាននិយាយថា ការបង្កើតលោការីត "ពន្យារអាយុជីវិតរបស់តារាវិទូ" ដោយបង្កើនល្បឿនដំណើរការគណនាយ៉ាងខ្លាំង។

តារាងទីមួយនៃលោការីតត្រូវបានបោះពុម្ពដោយ John Napier (1614) ហើយពួកវាមានតែលោការីតនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រប៉ុណ្ណោះ ហើយមានកំហុស។ ដោយឯករាជ្យពីគាត់ Joost Burgi ដែលជាមិត្តរបស់ Kepler បានបោះពុម្ពតារាងរបស់គាត់ (1620) ។ នៅឆ្នាំ 1617 សាស្រ្តាចារ្យគណិតសាស្រ្ត Oxford លោក Henry Briggs បានបោះពុម្ពតារាងដែលរួមបញ្ចូលលោការីតទសភាគនៃលេខខ្លួនឯងរួចហើយ ចាប់ពីលេខ 1 ដល់ 1000 ជាមួយនឹងលេខ 8 (ក្រោយ 14) ខ្ទង់។ ប៉ុន្តែក៏មានកំហុសនៅក្នុងតារាង Briggs ផងដែរ។ ការបោះពុម្ពលើកដំបូងដែលមិនអាចសម្រេចបានដោយផ្អែកលើតារាង Vega (1783) បានបង្ហាញខ្លួនតែនៅក្នុងឆ្នាំ 1857 នៅទីក្រុងប៊ែកឡាំង (តារាង Bremiver) ។

Bradis V.M.តារាងគណិតវិទ្យាបួនខ្ទង់។ ការបោះពុម្ពលើកទី 44, M. , 1973 ។

តារាង Bradis (1921) ត្រូវបានប្រើនៅក្នុងស្ថាប័នអប់រំ និងក្នុងការគណនាវិស្វកម្ម ដែលមិនត្រូវការភាពត្រឹមត្រូវខ្លាំង។ ពួកវាមាន mantissas នៃលោការីតទសភាគនៃលេខ និងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ លោការីតធម្មជាតិ និងឧបករណ៍គណនាមានប្រយោជន៍មួយចំនួនទៀត។

វេហ្គា ជីតារាងនៃលោការីតប្រាំពីរខ្ទង់, ការបោះពុម្ពលើកទី 4, M., 1971 ។

ការប្រមូលជំនាញសម្រាប់ការគណនាត្រឹមត្រូវ។

តារាងប្រាំខ្ទង់នៃតម្លៃធម្មជាតិនៃបរិមាណត្រីកោណមាត្រ, លោការីត និងលោការីតនៃលេខ, ទី 6 ed., M.: Nauka, 1972 ។
តារាងនៃលោការីតធម្មជាតិ, ការបោះពុម្ពលើកទី 2 នៅក្នុង 2 ភាគ, ទីក្រុងម៉ូស្គូ: ណាកា, ឆ្នាំ 1971 ។

នាពេលបច្ចុប្បន្ននេះជាមួយនឹងការរីករាលដាលនៃម៉ាស៊ីនគិតលេខតម្រូវការក្នុងការប្រើប្រាស់តារាងលោការីតបានបាត់។

M, លក្ខណៈពិសេស (ការវិភាគស្មុគស្មាញ) ។

មុខងារលោការីត

អនុគមន៍លោការីត គឺជាមុខងារនៃទម្រង់ f(x) = logax ដែលកំណត់សម្រាប់

ដែន៖ . ជួរនៃតម្លៃ: . មុខងារកំពុងកើនឡើងយ៉ាងតឹងរឹងសម្រាប់> 1 និងកាត់បន្ថយយ៉ាងតឹងរ៉ឹងសម្រាប់ 0< a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

បន្ទាត់ x = 0 គឺជា asymptote បញ្ឈរខាងឆ្វេង ចាប់តាំងពីសម្រាប់ a > 1 និង សម្រាប់ 0< a < 1.

ដេរីវេនៃអនុគមន៍លោការីតគឺ៖

លោការីតស្មុគស្មាញ

និយមន័យនិងលក្ខណៈសម្បត្តិ

សម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិច លោការីតត្រូវបានកំណត់ដូចគ្នាទៅនឹងចំនួនពិត។ នៅក្នុងការអនុវត្ត លោការីតស្មុគស្មាញធម្មជាតិត្រូវបានប្រើប្រាស់ស្ទើរតែទាំងស្រុង ដែលយើងកំណត់ និងកំណត់ជាសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិច z ដូចជា ez = w ។ លោការីតស្មុគ្រស្មាញមានសម្រាប់នរណាម្នាក់ ហើយផ្នែកពិតរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយឡែក ខណៈពេលដែលការស្រមើលស្រមៃមានតម្លៃគ្មានកំណត់។ សម្រាប់ហេតុផលនេះវាត្រូវបានគេហៅថាមុខងារពហុគុណ។ ប្រសិនបើយើងតំណាង w ក្នុងទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល៖

បន្ទាប់មកលោការីតត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

នៅទីនេះ -- លោការីតពិត, r = | w | , k គឺជាចំនួនគត់ដែលបំពាន។ តម្លៃដែលទទួលបាននៅពេល k = 0 ត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃសំខាន់នៃលោការីតធម្មជាតិស្មុគស្មាញ; វាជាទម្លាប់ក្នុងការយកតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់នៅក្នុងវាក្នុងចន្លោះពេល (?p,p]។ អនុគមន៍ដែលត្រូវគ្នា (តម្លៃតែមួយរួចហើយ) ត្រូវបានគេហៅថាសាខាសំខាន់នៃលោការីត ហើយត្រូវបានតាង។ ពេលខ្លះតម្លៃនៃលោការីតដែលមិនស្ថិតនៅលើសាខាមេក៏ត្រូវបានតំណាងដោយ។

ពីរូបមន្តដូចខាងក្រោមៈ

ផ្នែកពិតនៃលោការីតត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

លោការីតនៃចំនួនអវិជ្ជមានត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត។

វិបផតថលសម្រាប់សិស្ស។ ការបណ្តុះបណ្តាលខ្លួនឯង

ដែន, សំណុំនៃតម្លៃ, ឡើង, ចុះ

តម្លៃឯកជន

រូបមន្តលោការីតមូលដ្ឋាន

ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃលោការីត និងផលវិបាករបស់វា។

រូបមន្តជំនួសមូលដ្ឋាន

ភស្តុតាងនៃរូបមន្តមូលដ្ឋានសម្រាប់លោការីត

មុខងារបញ្ច្រាស

ដេរីវេនៃលោការីត

អាំងតេក្រាល។

កន្សោមក្នុងន័យនៃចំនួនកុំផ្លិច

ការពង្រីកស៊េរីថាមពល

លោការីតពិត

ទ្រព្យសម្បត្តិ

លោការីតធម្មជាតិ

លោការីតទសភាគ

លោការីតស្មុគស្មាញ

មុខងារពហុគុណតម្លៃ

ផ្ទៃ Riemann

គ្រោងប្រវត្តិសាស្ត្រ

លោការីតពិត

លោការីតស្មុគស្មាញ

តារាងលោការីត

ផែនការ៖

សេចក្តីផ្តើម

1. លោការីតពិត

១.១. ទ្រព្យសម្បត្តិ

១.២. មុខងារលោការីត

១.៣. លោការីតធម្មជាតិ

១.៤. លោការីតទសភាគ

2. លោការីតស្មុគស្មាញ

២.១. និយមន័យនិងលក្ខណៈសម្បត្តិ

២.២. ឧទាហរណ៍

២.៣. ការបន្តវិភាគ

២.៤. ផ្ទៃ Riemann

3. គ្រោងប្រវត្តិសាស្ត្រ

៣.១. លោការីតពិត

៣.២. លោការីតស្មុគស្មាញ

4. តារាងលោការីត

មុខងារលោការីត

លោការីតស្មុគស្មាញ

និយមន័យនិងលក្ខណៈសម្បត្តិ

អត្ថបទ​ដែល​ទាក់ទង

អត្ថបទដែលទាក់ទង