កត្តាកំណត់។ ទំនាក់ទំនងសមភាព

អនុញ្ញាតឱ្យ G = (p 0 =e, p 1 , …, p r) ជាក្រុមផ្លាស់ប្តូរមួយចំនួនដែលបានកំណត់នៅលើសំណុំ X = (1, 2, …, n) ជាមួយនឹងអត្តសញ្ញាណ e=p 0 ដោយការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាបេះបិទ។ យើងកំណត់ទំនាក់ទំនង x~y ដោយកំណត់ x~y ដែលស្មើនឹងនិយាយថាមាន p ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ G(p(x)=y)។ ទំនាក់ទំនងដែលបានណែនាំគឺជាទំនាក់ទំនងសមមូល ពោលគឺវាបំពេញនូវ axioms ចំនួនបី៖

1) x~x;
2) x~y→y~x;
3) x~y&y~z →x~z;

ទុក A ជាសំណុំតាមអំពើចិត្ត។
និយមន័យ៖ ទំនាក់ទំនងប្រព័ន្ធគោលពីរ δ=A*A គឺជាទំនាក់ទំនងសមមូល (តំណាងឱ្យ a ~ b) ប្រសិនបើពួកគេបំពេញតាម axioms ខាងក្រោម៖
∀ a, b, c ∈ ក
1) a ~ a - ការឆ្លុះបញ្ចាំង;
2) a ~ b ⇒ b ~ a - commutativity;
3) a ~ b & b ~ c → a ~ c - transitivity

តំណាងដោយ a ~ b, σ(a, b), (a, b) ∈ σ, a σ b

និយមន័យ៖ ភាគថាសនៃសំណុំ A គឺជាគ្រួសារនៃសំណុំរងដែលបំបែកជាគូពី A ដោយរួម (សរុប) ផ្តល់ឱ្យ A ទាំងអស់។
А= ∪А i , А i ∩А j = ∅ , ∀i ≠ j ។

សំណុំរង A i ត្រូវបានគេហៅថា cosets នៃ partition ។

ទ្រឹស្តីបទ៖ ទំនាក់ទំនងសមមូលនីមួយៗដែលកំណត់លើ A ត្រូវគ្នាទៅនឹងភាគថាសខ្លះនៃសំណុំ A ។ រាល់ភាគថាសនៃសំណុំ A ត្រូវគ្នាទៅនឹងទំនាក់ទំនងសមមូលមួយចំនួននៅលើសំណុំ A ។

ដោយសង្ខេប មានការឆ្លើយឆ្លងមួយទល់មួយរវាងថ្នាក់នៃទំនាក់ទំនងសមមូលទាំងអស់ដែលបានកំណត់នៅលើសំណុំ A និងថ្នាក់នៃភាគថាសទាំងអស់នៃសំណុំ A ។

ភស្តុតាង: អនុញ្ញាតឱ្យ σ ជាទំនាក់ទំនងសមមូលលើសំណុំ A. ចូរ a ∈ A ។

ចូរយើងបង្កើតសំណុំ៖ К a =(x ∈ A,: x~a) – ធាតុទាំងអស់ស្មើនឹង a ។ សំណុំ (សញ្ញាណ) ត្រូវបានគេហៅថា ថ្នាក់សមមូល ទាក់ទងនឹងសមមូល σ ។ ចំណាំថាប្រសិនបើ b ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ K a បន្ទាប់មក b ~ a ។ ចូរយើងបង្ហាញថា a~b⇔K a = K b ។ ជាការពិត អនុញ្ញាតឱ្យ a ~ b ។ យកធាតុបំពាន c ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ K a ។ បន្ទាប់មក c~a, a~b, c~b, c ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ K b ដូច្នេះហើយ K b ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ K a ។ ការពិតដែលថា K a ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ K b ត្រូវបានបង្ហាញស្រដៀងគ្នា។ ដូច្នេះ K b = K a ។
ឥលូវនេះ K b = K a ។ បន្ទាប់មក a ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ K a = K b, a ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ K b, a~b ។ ដែលជាអ្វីដែលចាំបាច់ត្រូវបង្ហាញ។

ប្រសិនបើ 2 class K a និង K b មានធាតុរួម c នោះ K a = K b ។ ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើ c ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ K a និង K b នោះ b~c, c~a, b~a => K a = K b ។

ដូច្នេះ ថ្នាក់សមមូលផ្សេងគ្នា មិនប្រសព្វ ឬប្រសព្វគ្នា ហើយបន្ទាប់មកស្របគ្នា។ រាល់ធាតុ c នៃ A ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ថ្នាក់សមមូលតែមួយ K c ។ ដូច្នេះ ប្រព័ន្ធនៃថ្នាក់សមមូលមិនត្រួតស៊ីគ្នានៅចំណុចប្រសព្វផ្តល់ឱ្យសំណុំ A ទាំងមូល ដូច្នេះហើយប្រព័ន្ធនេះគឺជាភាគថាសនៃសំណុំ A ទៅជាថ្នាក់សមមូល។

Converse៖ អនុញ្ញាតឱ្យ A = sum over ឬ A i ជា partition នៃ A. ចូរយើងណែនាំទំនាក់ទំនង a~b លើ A ដូចជា a~b ⇔ a,b ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ partition class ដូចគ្នា។ ទំនាក់ទំនងនេះបំពេញនូវ axioms ខាងក្រោម៖

1) a ~ a (ស្ថិតក្នុងថ្នាក់ដូចគ្នា);
2) a ~ b → b ~ a ;
3) a ~ b & b ~ c → a ~ c, i.e. ទំនាក់ទំនងដែលបានណែនាំ ~ គឺជាទំនាក់ទំនងសមមូល។

មតិយោបល់:
1) ភាគថាសនៃសំណុំ A ទៅជាធាតុរងមួយ និងភាគថាស A ដែលមានតែសំណុំ A ត្រូវបានគេហៅថា ភាគថាសតូច (មិនសមរម្យ) ។

2) ការបែងចែក A ទៅជាធាតុរងមួយត្រូវគ្នាទៅនឹងទំនាក់ទំនងសមមូល ដែលជាសមភាព។

3) ភាគ A ដែលមានថ្នាក់ A ត្រូវគ្នាទៅនឹងទំនាក់ទំនងសមមូលដែលមាន A x A ។

4) a σ b → [a] σ = [b] σ — ទំនាក់ទំនងសមមូលណាមួយដែលបានកំណត់លើសំណុំមួយចំនួនបែងចែកសំណុំនេះទៅជាថ្នាក់ចែកជាគូដែលហៅថា ថ្នាក់សមមូល។

និយមន័យ៖ សំណុំនៃថ្នាក់សមមូលនៃសំណុំ A ត្រូវបានគេហៅថាកត្តាកំណត់ A/σ នៃសំណុំ A ដោយសមមូល σ ។

និយមន័យ: ការធ្វើផែនទី p:A → A/σ ដែល p(A)=[a] σ ត្រូវបានគេហៅថា ផែនទី Canonical (ធម្មជាតិ) ។

ទំនាក់ទំនងសមមូលណាមួយដែលបានកំណត់លើសំណុំ បែងចែកសំណុំនេះទៅជាថ្នាក់ចែកជាគូ ដែលហៅថា ថ្នាក់សមមូល។

អនុញ្ញាតឱ្យ R ជាទំនាក់ទំនងគោលពីរនៅលើសំណុំ X ។ ទំនាក់ទំនង R ត្រូវបានគេហៅថា ឆ្លុះបញ្ចាំង , ប្រសិនបើ (x, x) О R សម្រាប់ x О X; ស៊ីមេទ្រី - ប្រសិនបើ (x, y) О R បង្កប់ន័យ (y, x) О R; លេខអន្តរកាល 23 ត្រូវគ្នាទៅនឹងវ៉ារ្យ៉ង់ 24 ប្រសិនបើ (x, y) Î R និង (y, z) Î R imply (x, z) Î R ។

ឧទាហរណ៍ ១

យើងនឹងនិយាយថា x н X មាននៅក្នុងរឿងធម្មតា។ ជាមួយធាតុ y н X ប្រសិនបើសំណុំ
x З y មិនទទេទេ។ ទំនាក់ទំនងដែលមានលក្ខណៈដូចគ្នានឹងមានលក្ខណៈឆ្លុះបញ្ចាំង និងស៊ីមេទ្រី ប៉ុន្តែមិនឆ្លងកាត់

ទំនាក់ទំនងសមមូលនៅលើ X ត្រូវបានគេហៅថាទំនាក់ទំនងឆ្លុះបញ្ចាំង អន្តរកាល និងស៊ីមេទ្រី។ វាងាយមើលឃើញថា R Н X ´ X នឹងក្លាយជាទំនាក់ទំនងសមមូល ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែការដាក់បញ្ចូលកើតឡើង៖

លេខសម្គាល់ X Í R (ការឆ្លុះបញ្ចាំង),

R -1 Í R (ស៊ីមេទ្រី),

R ° R Í R (អន្តរកាល) ។

តាមពិតទៅ លក្ខខណ្ឌទាំងបីនេះគឺស្មើនឹង៖

លេខសម្គាល់ X Í R, R -1 = R, R ° R = R ។

ការបំបែក set X គឺជាសំណុំ A នៃសំណុំរង disjoint pairwise a н X ដូចជា UA = X ។ ជាមួយនឹងភាគនីមួយៗនៃ A យើងអាចភ្ជាប់ទំនាក់ទំនងសមមូល ~ លើ X ដោយកំណត់ x ~ y ប្រសិនបើ x និង y គឺជាធាតុនៃ a н A មួយចំនួន។ .

ចំពោះទំនាក់ទំនងសមមូលនីមួយៗ ~ នៅលើ X មានភាគថាស A ដែលធាតុរបស់វាជាសំណុំរង ដែលនីមួយៗមាននៅក្នុងទំនាក់ទំនង ~ ។ សំណុំរងទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា ថ្នាក់សមមូល . ភាគថាស A នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​កត្តា​កំណត់​នៃ​សំណុំ X ដោយ​គោរព​ទៅ​នឹង ~ និង​ត្រូវ​បាន​តាង​ថា​: X/~ ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់ទំនាក់ទំនង ~ លើសំណុំ w នៃលេខធម្មជាតិដោយកំណត់ x ~ y ប្រសិនបើនៅសល់បន្ទាប់ពីបែងចែក x និង y ដោយ 3 ស្មើគ្នា។ បន្ទាប់មក w/~ មានថ្នាក់សមមូលចំនួនបីដែលត្រូវគ្នានឹង 0, 1 និង 2 ដែលនៅសល់។

ទំនាក់ទំនងការបញ្ជាទិញ

ទំនាក់ទំនងគោលពីរ R នៅលើសំណុំ X ត្រូវបានហៅ antisymmetric ប្រសិនបើពី x R y និង y R x ដូចខាងក្រោម: x = y ។ ទំនាក់ទំនងគោលពីរ R នៅលើសំណុំ X ត្រូវបានហៅ ទំនាក់ទំនងលំដាប់ ប្រសិនបើវាគឺជាការឆ្លុះបញ្ចាំង, antisymmetric និងអន្តរកាល។ វាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថានេះគឺស្មើនឹងលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម៖

1) លេខសម្គាល់ X Í R (ការឆ្លុះបញ្ចាំង),

2) R Ç R -1 (មិនស៊ីមេទ្រី),

3) R ° R Í R (អន្តរកាល) ។

គូដែលបានបញ្ជាទិញ (X, R) ដែលមានសំណុំ X និងទំនាក់ទំនងលំដាប់ R នៅលើ X ត្រូវបានហៅ សំណុំដែលបានបញ្ជាដោយផ្នែក .

ឧទាហរណ៍ ១

ឱ្យ X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2 ), (1, 3), (2, 2), (3, 3)) ។

ដោយសារ R បំពេញលក្ខខណ្ឌ 1–3 បន្ទាប់មក (X, R) គឺជាសំណុំដែលបានបញ្ជាដោយផ្នែក។ សម្រាប់ធាតុ x = 2, y = 3, ទាំង x R y ឬ y R x មិនពិតទេ។ ធាតុបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា មិនអាចប្រៀបផ្ទឹមបាន។ . ជាធម្មតាទំនាក់ទំនងលំដាប់ត្រូវបានតាងដោយ £ ។ ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ 0 £ 1 និង 2 £ 2 ប៉ុន្តែវាមិនមែនជាការពិតដែលថា 2 £ 3 ។


ឧទាហរណ៍ ២

អនុញ្ញាតឱ្យ< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

ធាតុ x, y О X នៃសំណុំដែលបានបញ្ជាដោយផ្នែក (X, £) ត្រូវបានហៅ ប្រៀបធៀប , ប្រសិនបើ x £ y ឬ y £ x ។

សំណុំដែលបានបញ្ជាដោយផ្នែក (X, £) ត្រូវបានគេហៅថា តាមលំដាប់លំដោយ ឬ ខ្សែសង្វាក់ ប្រសិនបើធាតុទាំងពីររបស់វាអាចប្រៀបធៀបបាន។ សំណុំក្នុងឧទាហរណ៍ទី 2 នឹងត្រូវបានតម្រៀបតាមបន្ទាត់ ប៉ុន្តែសំណុំក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 នឹងមិនមានទេ។

សំណុំរង A Í X នៃសំណុំដែលបានបញ្ជាដោយផ្នែក (X, £) ត្រូវបានហៅ ចងពីខាងលើ ប្រសិនបើមានធាតុ x н X នោះ £ x សម្រាប់ទាំងអស់ a н A. ធាតុ x н X ត្រូវបានគេហៅថា អស្ចារ្យបំផុត។ ក្នុង X ប្រសិនបើ y £ x សម្រាប់ទាំងអស់ y О X ។ ធាតុមួយ x О X ត្រូវបានគេហៅថាអតិបរមា ប្រសិនបើមិនមានធាតុ y О X ខុសពី x ដែល x £ y ។ ក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 ធាតុទី 2 និងទី 3 នឹងជាអតិបរមា ប៉ុន្តែមិនមែនធំបំផុតនោះទេ។ នេះ។ ឧបសគ្គខាងក្រោម សំណុំរង ធាតុតិច និងអប្បបរមា។ ក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 ធាតុ 0 នឹងមានទាំងតិចបំផុត និងអប្បបរមា។ ក្នុងឧទាហរណ៍ 2, 0 ក៏មានលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះដែរ ប៉ុន្តែ (w, t) មិនមានធាតុធំបំផុត ឬអតិបរមានោះទេ។


កំណត់ទ្រឹស្តី។ គំនិតជាមូលដ្ឋាន

ទ្រឹស្តីកំណត់ គឺជានិយមន័យមូលដ្ឋាននៃគណិតវិទ្យាសម័យទំនើប។ វាត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយ Georg Kantor ក្នុងទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1860 ។ គាត់​បាន​សរសេរ​ថា​៖ «​ច្រើន​គឺ​ច្រើន​គិត​តែ​មួយ​»។ គោលគំនិតនៃសំណុំគឺជាគោលគំនិតមួយក្នុងចំណោមគោលគំនិតដែលមិនបានកំណត់នៃគណិតវិទ្យា។ វា​មិន​ចុះ​មក​ដល់​គោល​គំនិត​សាមញ្ញ​ផ្សេង​ទៀត​ទេ។ ដូច្នេះ​វា​មិន​អាច​កំណត់​បាន​ទេ ប៉ុន្តែ​អាច​ពន្យល់​បាន​តែ​ប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះ សំណុំគឺជាការផ្សារភ្ជាប់គ្នាទៅក្នុងវត្ថុតែមួយ ដែលអាចបែងចែកបានយ៉ាងល្អដោយវិចារណញាណ ឬគំនិតរបស់យើង ។ សំណុំនៃវត្ថុមួយចំនួនដែលកំណត់ដោយមុខងារទូទៅមួយ។

ឧទាហរណ៍,

1. អ្នកស្រុកជាច្រើននៃទីក្រុង Voronezh

2. សំណុំនៃចំណុចនៃយន្តហោះ

3. សំណុំនៃលេខធម្មជាតិ ℕ ។ល។

សំណុំជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរធំឡាតាំង ( A, B, Cល។ ) វត្ថុដែលបង្កើតជាសំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថាធាតុរបស់វា។ ធាតុនៃសំណុំត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរឡាតាំងតូច ( ក, ខ, គល។ ) ប្រសិនបើ X- កំណត់បន្ទាប់មកកត់ត្រា x∈Xមានន័យថា Xគឺជាធាតុផ្សំនៃឈុត Xឬអ្វី Xជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំ Xនិងកំណត់ត្រា x∉Xធាតុនោះ។ Xមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំទេ។ X. ឧទាហរណ៍ អនុញ្ញាតឱ្យ ℕ ជាសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ។ បន្ទាប់មក 5 ℕ , ក 0,5∉ℕ .

ប្រសិនបើសំណុំ យមានធាតុផ្សំនៃឈុត Xបន្ទាប់មកពួកគេនិយាយថា យគឺជាសំណុំរងនៃសំណុំ Xនិងសម្គាល់ Y⊂X(ឬ Y⊆X) ឧទាហរណ៍ សំណុំនៃចំនួនគត់ ℤ គឺជាសំណុំរងនៃលេខសនិទាន ℚ .

ប្រសិនបើសម្រាប់ពីរឈុត Xនិង យមានការរួមបញ្ចូលពីរក្នុងពេលតែមួយ X Yនិង Y X, i.e. Xគឺជាសំណុំរងនៃសំណុំ យនិង យគឺជាសំណុំរងនៃសំណុំ Xបន្ទាប់មកឈុត Xនិង យត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយធាតុដូចគ្នា។ ឈុតបែបនេះ Xនិង យត្រូវបានគេហៅថាស្មើគ្នាហើយសរសេរ៖ X=Y.

ពាក្យសំណុំទទេត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ - Ø គឺជាសំណុំដែលមិនមានធាតុណាមួយឡើយ។ វាគឺជាសំណុំរងនៃសំណុំណាមួយ។

វិធីសាស្រ្តខាងក្រោមអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីពិពណ៌នាអំពីសំណុំ។

វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ជាក់សំណុំ

1. ការរាប់បញ្ចូលវត្ថុ។ ប្រើសម្រាប់តែឈុតកំណត់។

ឧទាហរណ៍, X \u003d (x1, x2, x3 ... x n). កត់ត្រា Y ={1, 4, 7, 5} មានន័យថាសំណុំមានបួនលេខ 1, 4, 7, 5 .

2. ការចង្អុលបង្ហាញអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិលក្ខណៈនៃធាតុនៃសំណុំ។

សម្រាប់ការនេះ ទ្រព្យសម្បត្តិមួយចំនួនត្រូវបានកំណត់ រដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកំណត់ថាតើធាតុមួយជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំ។ វិធីសាស្រ្តនេះគឺមានភាពចម្រុះជាង។

X=(x:P(x))

(មួយ​បាច់ Xមានធាតុបែបនេះ Xដែលទ្រព្យសម្បត្តិ R(x)).

សំណុំទទេអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយបញ្ជាក់លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា៖ Ø=(x:x≠x)

អ្នក​អាច​បង្កើត​ឈុត​ថ្មី​ដោយ​មាន​ជំនួយ​ពី​ឧបករណ៍​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឲ្យ​រួច​ហើយ​ដោយ​ប្រើ​ប្រតិបត្តិការ​លើ​សំណុំ។

ប្រតិបត្តិការលើឈុត

1. សហជីព (ផលបូក) គឺជាសំណុំដែលមានធាតុផ្សំទាំងអស់នោះ ដែលនីមួយៗជាកម្មសិទ្ធិរបស់យ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងសំណុំ កឬ IN.

A ∪ B \u003d (x: x A ឬ x B) ។

2. ចំនុចប្រសព្វ (ផលិតផល) គឺជាសំណុំដែលមានធាតុផ្សំទាំងអស់ ដែលនីមួយៗជាកម្មសិទ្ធិក្នុងពេលដំណាលគ្នាជាសំណុំ ក, និងជាច្រើន។ IN.

A∩B = (x: x A និង x B) ។

3. ភាពខុសគ្នានៃសំណុំ កនិង INត្រូវបានគេហៅថាសំណុំដែលមានធាតុទាំងអស់ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំ កហើយមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់ឈុតទេ។ IN.

A \ B \u003d (x: x A និង x B)

4. ប្រសិនបើ កគឺជាសំណុំរងនៃសំណុំ IN. ឈុតនោះ។ ខ/កហៅថាការបំពេញបន្ថែមនៃសំណុំ កទៅជាច្រើន។ INនិងសម្គាល់ ក'.

5. ភាពខុសគ្នាស៊ីមេទ្រីនៃសំណុំពីរគឺសំណុំ A∆B=(A\B) (B\A)

ន- សំណុំនៃលេខធម្មជាតិទាំងអស់;
Z- សំណុំនៃចំនួនគត់;
សំណួរ- សំណុំនៃចំនួនសមហេតុផលទាំងអស់;
រ- សំណុំនៃចំនួនពិតទាំងអស់;
គ- សំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិចទាំងអស់;
Z0គឺជាសំណុំនៃចំនួនគត់មិនអវិជ្ជមានទាំងអស់។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការលើឈុត៖

1. ក B=B ក (សហជីពផ្លាស់ប្តូរ)

2. ក B=B ក (ការផ្លាស់ប្តូរនៃចំនុចប្រសព្វ)

3. A(B គ)=(ក IN) គ (សមាគមសហជីព)

4. ក (អ៊ិន គ)=(ក IN) គ (ទំនាក់ទំនងនៃប្រសព្វ)

5. ក (អ៊ិន គ)=(ក IN) (ក គ) (1 ច្បាប់នៃការចែកចាយ)

6. ក (អ៊ិន គ)=(ក IN) (ក គ) (ច្បាប់ចែកចាយទី ២)

7. ក Ø=ក

8. ក U=U

9. ក Ø= Ø

10. ក U=A

១១. (ក ខ)'=A' B' (ច្បាប់របស់ de Morgan)

12. (ក ខ)'=A' B' (ច្បាប់របស់ de Morgan)

13. ក (ក ខ) \u003d A (ច្បាប់នៃការស្រូបចូល)

14. ក (ក ខ) \u003d A (ច្បាប់នៃការស្រូបចូល)

សូមបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិលេខ ១១។ (ក ខ)'=A' IN'

តាមនិយមន័យនៃសំណុំស្មើគ្នា យើងត្រូវបញ្ជាក់ការរួមបញ្ចូលពីរ 1) (ក ខ)'⊂A' IN';

2) ក' B'⊂(A ចូល)'.

ដើម្បីបញ្ជាក់ការរួមបញ្ចូលដំបូង សូមពិចារណាធាតុដែលបំពាន x∈(A ខ)'=X\(A∪B)។វាមានន័យថា x∈X, x∉ A∪B. ដូច្នេះវាធ្វើតាមនោះ។ x∉Aនិង x∉B, នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល x∈X\Aនិង x∈X\B, ដែលមានន័យថា x∈A'∩B'. ដូច្នេះ (ក ខ) '⊂A' IN'

ផ្ទុយទៅវិញប្រសិនបើ x∈A' IN', នោះ។ Xក្នុងពេលដំណាលគ្នាជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំ ក', ខ', ដែលមានន័យថា x∉Aនិង x∉B. វាធ្វើតាមនោះ។ x∉ ក IN, នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល x∈(A ចូល)'. អាស្រ័យហេតុនេះ ក' B'⊂(A ចូល)'.

ដូច្នេះ (ក ខ)'=A' IN'

សំណុំ​ដែល​មាន​ធាតុ​ពីរ​ដែល​លំដាប់​នៃ​ធាតុ​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ជា​គូ​តាម​លំដាប់។ វង់ក្រចកត្រូវបានប្រើដើម្បីសរសេរវា។ (x 1, x 2)- សំណុំធាតុពីរដែល x 1 ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាធាតុទីមួយ និង x 2 - ទីពីរ។ គូស្នេហ៍ (x 1, x 2)និង (x 2, x 1),កន្លែងណា x 1 ≠ x 2ត្រូវបានចាត់ទុកថាខុសគ្នា។

សំណុំដែលមានធាតុ n ដែលលំដាប់នៃធាតុត្រូវបានកំណត់ត្រូវបានគេហៅថាសំណុំលំដាប់នៃធាតុ n ។

ផលិតផល Cartesian គឺជាសំណុំតាមអំពើចិត្ត X 1 , X 2 ,… , X nសំណុំនៃធាតុ n ដែលបញ្ជាទិញ x ១ X 1 , x 2 X 2 ,… , x n X ន

X ១ X ន

ប្រសិនបើសំណុំ X 1 , X 2 ,… , X nការប្រកួត (X 1 \u003d X 2 \u003d ... \u003d X n)បន្ទាប់មកផលិតផលរបស់ពួកគេត្រូវបានតំណាង Xn.

ឧទាហរណ៍, ℝ 2 គឺ​ជា​សំណុំ​នៃ​លេខ​ពិត​ដែល​បាន​បញ្ជា​ទិញ។

ទំនាក់ទំនងសមភាព។ កត្តាកំណត់

ដែលបានផ្តល់ឱ្យសំណុំមួយ សំណុំថ្មីអាចត្រូវបានសាងសង់ដោយពិចារណាលើសំណុំនៃសំណុំរងមួយចំនួន។ ក្នុង​ករណី​នេះ ជាធម្មតា​គេ​មិន​និយាយ​អំពី​សំណុំ​រង​ទេ ប៉ុន្តែ​ជា​ក្រុម​គ្រួសារ ឬ​ថ្នាក់​នៃ​ក្រុមរង។

នៅក្នុងសំណួរមួយចំនួន ថ្នាក់នៃសំណុំរងបែបនេះនៃសំណុំដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានពិចារណា កដែលមិនប្រសព្វគ្នា ហើយដែលសហជីពត្រូវគ្នាជាមួយ ក. ប្រសិនបើឈុតនេះ។ កអាច​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ជា​ការ​រួបរួម​នៃ​សំណុំ​រង disjoint ជា​គូ​របស់​វា វា​ជា​ទម្លាប់​ក្នុង​ការ​និយាយ​បែប​នោះ។ កបំបែកទៅជាថ្នាក់។ ការចាត់ថ្នាក់ត្រូវបានអនុវត្តនៅលើមូលដ្ឋាននៃលក្ខណៈពិសេសមួយចំនួន។

អនុញ្ញាតឱ្យ Xមិនមែនជាសំណុំទទេទេ បន្ទាប់មកសំណុំរងណាមួយ។ រពីការងារ X Xត្រូវបានគេហៅថាទំនាក់ទំនងគោលពីរនៅលើសំណុំ X. ប្រសិនបើប្តីប្រពន្ធ (x, y)រួមបញ្ចូលនៅក្នុង Rនិយាយថាធាតុ x មានទំនាក់ទំនង រជាមួយ នៅ.

ឧទាហរណ៍ទំនាក់ទំនង x=y, x≥yគឺជាទំនាក់ទំនងគោលពីរនៅលើសំណុំ ℝ.

ទំនាក់ទំនងគោលពីរ រនៅលើសំណុំ Xត្រូវបានគេហៅថា ទំនាក់ទំនងសមមូល ប្រសិនបើ៖

1. (x, x) រ; X X (លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការឆ្លុះបញ្ចាំង)

2. (x, y) R => (y, x) R (ទ្រព្យសម្បត្តិស៊ីមេទ្រី)

3. (x, y) R, (y, z) R បន្ទាប់មក (x,z) R (ទ្រព្យសម្បត្តិឆ្លងកាត់)

ប្រសិនបើប្តីប្រពន្ធ (x, y)បញ្ចូលទៅក្នុងទំនាក់ទំនងសមមូល បន្ទាប់មក x និង y ត្រូវបានគេហៅថាសមមូល (x~y) ។

1. អនុញ្ញាតឱ្យ ℤ គឺជាសំណុំនៃចំនួនគត់ m≥1គឺជាចំនួនគត់។ កំណត់ទំនាក់ទំនងសមមូល រនៅលើ ℤ ដូច្នេះ n~k, ប្រសិនបើ n-kចែក​ដោយ ម. សូមពិនិត្យមើលថាតើលក្ខណៈសម្បត្តិត្រូវបានពេញចិត្តលើទំនាក់ទំនងដែលបានផ្តល់ឱ្យដែរឬទេ។

1. ការឆ្លុះបញ្ចាំង។

សម្រាប់នរណាម្នាក់ n∈ℤ ℤ បែបនោះ។ (ទំ, ទំ)∈R

rr=0. ដោយសារតែ 0∈ ℤ , នោះ។ (ទំ, ទំ)∈ℤ.

2. ស៊ីមេទ្រី។

ពី (n,k) ∈Rវាធ្វើតាមថាមាន р∈ ℤ, អ្វី n-k=mp;

k-n = m(-p), -p∈ ℤដូច្នេះ (k,n) ∈R.

3. អន្តរកាល។

ពីអ្វី (n,k) ∈R, (k, q) ∈Rវាដូចខាងក្រោមថាមាន ទំ ១និង ទំ 2 ∈ ℤ, អ្វី n-k=mp ១និង k-q=mp2. ការបន្ថែមកន្សោមទាំងនេះយើងទទួលបានវា។ n-q=m(p 1 + p 2), p 1 + p 2 =p, p∈ ℤ. នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល (n,q) ∈ ℤ.

2. ពិចារណាសំណុំ Xផ្នែកដែលដឹកនាំទាំងអស់នៃលំហ ឬយន្តហោះ . =(ក, ខ). ចូរយើងណែនាំទំនាក់ទំនងសមមូល រនៅលើ X.

∼ (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ \ ស៊ីម ). បន្ទាប់មកសំណុំនៃថ្នាក់សមមូលទាំងអស់ត្រូវបានគេហៅថា កត្តាកំណត់និងត្រូវបានតំណាង។ ការបែងចែកនៃសំណុំទៅក្នុងថ្នាក់នៃធាតុសមមូលត្រូវបានគេហៅថារបស់វា។ កត្តាកត្តា.

បង្ហាញពី X (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម X)ទៅក្នុងសំណុំនៃថ្នាក់សមមូល X / ∼ (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម X/\!\sim)ហៅ ការធ្វើផែនទីកត្តា. ដោយសារតែលក្ខណៈសម្បត្តិនៃទំនាក់ទំនងសមមូល ភាគថាសទៅជាសំណុំគឺមានតែមួយគត់។ នេះមានន័យថាថ្នាក់ដែលមាន ∀ x , y ∈ X (\ displaystyle \ forall x, \; y \ in X)មិនប្រសព្វ ឬស្របគ្នាទាំងស្រុង។ សម្រាប់ធាតុណាមួយ។ x ∈ X (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម x\in X)ថ្នាក់ខ្លះត្រូវបានកំណត់យ៉ាងពិសេសពី X / ∼ (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម X/\!\sim)ម្យ៉ាងវិញទៀត មានការគូសផែនទីពីវត្ថុ X (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម X)វ X / ∼ (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម X/\!\sim). ថ្នាក់ដែលមាន x (\ រចនាប័ទ្ម x)ពេលខ្លះត្រូវបានតំណាង [ x ] (\ displaystyle [x]).

ប្រសិនបើសំណុំត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនូវរចនាសម្ព័ន្ធមួយបន្ទាប់មកជាញឹកញាប់ការគូសវាស X → X / ∼ (\ ទម្រង់បង្ហាញ X ទៅ X / !\sim )អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីផ្គត់ផ្គង់សំណុំកត្តា X / ∼ (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម X/\!\sim)រចនាសម្ព័ន្ធដូចគ្នាដូចជា topology ។ ក្នុងករណីនេះសំណុំ X / ∼ (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម X/\!\sim)ជាមួយនឹងរចនាសម្ព័ន្ធ induced ត្រូវបានគេហៅថា ចន្លោះ.

សព្វវចនាធិប្បាយ YouTube

    1 / 4

    ✪ 3. ថ្នាក់សមមូល

    ✪ Set Theory Lecture 3 Part 1

    ✪ កំណត់ទ្រឹស្តី មេរៀនទី៣ វគ្គ២

    ✪ កំណត់ទ្រឹស្តី មេរៀនទី៣ វគ្គ៣

    ចំណងជើងរង

កត្តាចន្លោះដោយ subspace

ជាញឹកញាប់ទំនាក់ទំនងសមមូលត្រូវបានណែនាំដូចខាងក្រោម។ អនុញ្ញាតឱ្យ X (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម X)- ចន្លោះលីនេអ៊ែរ និង L (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម L)គឺជាចន្លោះរងលីនេអ៊ែរមួយចំនួន។ បន្ទាប់មកធាតុពីរ x , y ∈ X (\displaystyle x,\;y\in X)បែបនោះ។ x − y ∈ L (\ displaystyle x-y\in L), ត្រូវបានគេហៅថា សមមូល. នេះត្រូវបានបញ្ជាក់ x ∼ L y (\displaystyle x\,(\overset (L)(\sim ))\,y). ចន្លោះដែលទទួលបានជាលទ្ធផលនៃកត្តាកត្តាត្រូវបានគេហៅថា ដកឃ្លាដោយចន្លោះរង L (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម L). ប្រសិនបើ X (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម X)ពង្រីកទៅជាផលបូកផ្ទាល់ X = L ⊕ M (\displaystyle X=L\oplus M)បន្ទាប់មកមាន isomorphism ពី M (\ រចនាប័ទ្ម M)វ X / ∼ L (\displaystyle X/\,(\overset (L)(\sim ))). ប្រសិនបើ X (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម X)គឺ​ជា​លំហ​វិមាត្រ​កំណត់​ បន្ទាប់​មក​លំហ​ដក X / ∼ L (\displaystyle X/\,(\overset (L)(\sim )))ក៏ជាវិមាត្រកំណត់ និង dim ⁡ X / ∼ L = dim ⁡ X − dim ⁡ L (\displaystyle \dim X/\,(\overset (L)(\sim))=\dim X-\dim L).

ឧទាហរណ៍

. យើងអាចពិចារណាកត្តាកំណត់ X / ∼ (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម X/\!\sim). មុខងារ f (\ រចនាប័ទ្មបង្ហាញ f)កំណត់ការឆ្លើយឆ្លងធម្មជាតិមួយទៅមួយរវាង X / ∼ (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម X/\!\sim)និង Y (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម Y).

វាសមហេតុផលក្នុងការប្រើកត្តាកំណត់ ដើម្បីទទួលបានចន្លោះស្តង់ដារពីចន្លោះពាក់កណ្តាលបទដ្ឋាន ចន្លោះជាមួយផលិតផលខាងក្នុងពីចន្លោះជាមួយផលិតផលខាងក្នុងស្ទើរតែ។ ធាតុបំពានរបស់វា និងផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃថ្នាក់ ជាផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃធាតុបំពាននៃថ្នាក់។ នៅក្នុងវេន ទំនាក់ទំនងសមមូលត្រូវបានណែនាំដូចខាងក្រោម (ឧទាហរណ៍ ដើម្បីបង្កើតលំហដែលមានលក្ខណៈស្តង់ដារ)៖ សំណុំរងនៃលំហពាក់កណ្តាលស្តង់ដារដើមត្រូវបានណែនាំ ដែលរួមមានធាតុដែលមានសូន្យពាក់កណ្តាលបទដ្ឋាន (ដោយវិធីនេះវាគឺជាលីនេអ៊ែរ នោះ​គឺ​វា​ជា subspace) ហើយ​វា​ត្រូវ​បាន​គេ​ចាត់​ទុក​ថា​ធាតុ​ពីរ​គឺ​សមមូល​ប្រសិន​បើ​ភាព​ខុស​គ្នា​របស់​វា​ជា​កម្មសិទ្ធិ​របស់ subspace ដូចគ្នា​នេះ។

ប្រសិនបើលំហរជាក់លាក់នៃលំហលីនេអ៊ែរត្រូវបានណែនាំដើម្បីធ្វើការបែងចែកលំហលីនេអ៊ែរ ហើយវាត្រូវបានគេសន្មត់ថាប្រសិនបើភាពខុសគ្នានៃធាតុពីរនៃលំហដើមជាកម្មសិទ្ធិរបស់លំហរងនេះ នោះធាតុទាំងនេះគឺសមមូល នោះសំណុំកត្តាគឺជាលំហលីនេអ៊ែរ និង ត្រូវបានគេហៅថាលំហកត្តា។


កត្តាកំណត់

ឈុត។


ទំនាក់ទំនងលំដាប់មួយផ្នែកនៅលើសំណុំ x គឺជាទំនាក់ទំនងគោលពីរដែលមានភាពមិនស៊ីមេទ្រី ការឆ្លុះបញ្ចាំង និងអន្តរកាល ហើយត្រូវបានតំណាងដោយ
ជាគូ៖


ទំនាក់ទំនង​គោលពីរ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា​ការ​អត់ឱន​ប្រសិន​បើ​វា​ជា​ការ​ឆ្លុះ​បញ្ចាំង​និង​ស៊ីមេទ្រី។


ទំនាក់ទំនងគោលពីរត្រូវបានគេហៅថា quasiorder ប្រសិនបើវាមិនឆ្លុះបញ្ចាំង មិនស៊ីមេទ្រី និងអន្តរកាល (ការបញ្ជាទិញជាមុន)។


ទំនាក់ទំនងគោលពីរត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់តឹងរ៉ឹងប្រសិនបើវាគឺជាការឆ្លុះបញ្ចាំង និងអន្តរកាល។


ប្រតិបត្តិការពិជគណិត enary នៅលើសំណុំ M គឺជាមុខងារមួយ។



គឺជាប្រតិបត្តិការ unary;


គឺជាប្រតិបត្តិការគោលពីរ;


- ប្រតិបត្តិការ triary ។


ប្រតិបត្តិការពិជគណិតគោលពីរ −

គឺ​ជា​ប្រតិបត្តិការ​ដែល​ផ្តល់​ឱ្យ​គូ​ដែល​បាន​បញ្ជា​ទិញ​នីមួយៗ​ពី​សំណុំ M ធាតុ​មួយ​ចំនួន​នៃ​សំណុំ M ។


លក្ខណៈសម្បត្តិ៖


១) ទំនាក់ទំនង៖


២) សមាគម៖


ធាតុអព្យាក្រឹត

កំណត់ M សម្រាប់ប្រតិបត្តិការពិជគណិតគោលពីរ

ធាតុត្រូវបានគេហៅថា:




  • កត្តា សំណុំគឺជាសំណុំនៃថ្នាក់សមមូល សំណុំ. ទំនាក់ទំនងការបញ្ជាទិញដោយផ្នែកនៅលើ ហ្វូង x ត្រូវបានគេហៅថាទំនាក់ទំនងគោលពីរ...


  • សំណួរ​បន្ទាប់។" កត្តា សំណុំ. កត្តា សំណុំ- សរុប។ ទម្រង់ពហុគុណនិងបន្ថែម។


  • កត្តា សំណុំ- សរុប។
    មួយ​បាច់- សំណុំនៃវត្ថុជាក់លាក់ និងផ្សេងគ្នាដែលអាចយល់បានទាំងមូលតែមួយ។


  • អនុគមន៍​ពហុគុណ​គឺ​ជា... ព័ត៌មាន​លម្អិត​បន្ថែម » ។ កត្តា សំណុំ. កត្តា សំណុំគឺជាសំណុំនៃថ្នាក់សមមូល សំណុំ.


  • តាមពិតដំណើរការផលិតកាន់តែស្មុគស្មាញ ហើយផលិតផលរបស់វាគឺជាលទ្ធផលនៃការប្រើប្រាស់។ សំណុំ កត្តា.


  • គុណភាពនៃការសម្រេចចិត្តរបស់អ្នកគ្រប់គ្រងអាស្រ័យលើ សំណុំ កត្តា, សំខាន់បំផុតដែលអាចជា n ។


  • ការបង្កើនប្រសិទ្ធភាពការសម្រេចចិត្តបង្កើនដើមទុនគឺជាដំណើរការស្រាវជ្រាវ សំណុំ កត្តាប៉ះពាល់ដល់លទ្ធផលរំពឹងទុក...

អត្ថបទ​ដែល​ទាក់ទង