លេខស្មុគស្មាញ
ការស្រមើស្រមៃ និង លេខស្មុគស្មាញ។ Abscissa និងតែងតាំង
ចំនួនកុំផ្លិច។ ផ្សំលេខកុំផ្លិច។
ប្រតិបត្តិការជាមួយចំនួនកុំផ្លិច។ ធរណីមាត្រ
តំណាងនៃចំនួនកុំផ្លិច។ យន្តហោះស្មុគស្មាញ។
ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច។ ត្រីកោណមាត្រ
ទម្រង់លេខស្មុគស្មាញ។ ប្រតិបត្តិការជាមួយស្មុគស្មាញ
លេខក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។ រូបមន្ត Moivre ។
ព័ត៌មានមូលដ្ឋានអំពី ការស្រមើស្រមៃ និង លេខស្មុគស្មាញ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងផ្នែក "ការស្រមើលស្រមៃនិងចំនួនកុំផ្លិច" ។ តម្រូវការសម្រាប់លេខទាំងនេះនៃប្រភេទថ្មីបានលេចឡើងនៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េសម្រាប់ករណី
ឃ< 0 (здесь ឃគឺជាការរើសអើងនៃសមីការការ៉េ) ។ អស់រយៈពេលជាយូរមកហើយលេខទាំងនេះមិនបានរកឃើញការប្រើប្រាស់រូបវ័ន្តទេដែលនេះជាមូលហេតុដែលពួកគេត្រូវបានគេហៅថាលេខ "ស្រមើលស្រមៃ" ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយឥឡូវនេះពួកវាត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងវិស័យផ្សេងៗនៃរូបវិទ្យា។និងបច្ចេកវិទ្យា៖ វិស្វកម្មអគ្គិសនី ធារាសាស្ត្រ និងលំហអាកាស ទ្រឹស្ដីនៃការបត់បែន។ល។
លេខស្មុគស្មាញ ត្រូវបានសរសេរជា៖a+bi. នៅទីនេះ កនិង ខ – ចំនួនពិត , ក ខ្ញុំ – ឯកតាស្រមើលស្រមៃ។អ៊ី ខ្ញុំ 2 = –1. ចំនួន កហៅ abscissa, ក ខ - ចាត់តាំងចំនួនកុំផ្លិចក + ខ។លេខស្មុគស្មាញពីរa+biនិង a-bi ហៅ រួមលេខស្មុគស្មាញ។
កិច្ចព្រមព្រៀងសំខាន់ៗ៖
1. ចំនួនពិត
កអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ផងដែរ។ចំនួនកុំផ្លិច៖ក + 0 ខ្ញុំឬ ក - 0 ខ្ញុំ. ឧទាហរណ៍ធាតុ 5 + 0ខ្ញុំនិង 5 - 0 ខ្ញុំមានន័យថាលេខដូចគ្នា។ 5 .2. លេខស្មុគស្មាញ 0 + ប៊ីហៅ ការស្រមើលស្រមៃសុទ្ធសាធ ចំនួន. ការថតប៊ីមានន័យដូចគ្នានឹង 0 + ប៊ី.
3. ចំនួនកុំផ្លិចពីរa+bi និងគ + ឌីត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើគ្នាប្រសិនបើa = គនិង b = ឃ. បើមិនដូច្នេះទេ។ ចំនួនកុំផ្លិចមិនស្មើគ្នា។
ការបន្ថែម។ ផលបូកនៃចំនួនកុំផ្លិចa+biនិង គ + ឌីត្រូវបានគេហៅថាចំនួនកុំផ្លិច (a+c ) + (b+d ) ខ្ញុំដូច្នេះ នៅពេលបន្ថែម ចំនួនកុំផ្លិច, abscissas និង ordinates របស់វាត្រូវបានបន្ថែមដោយឡែកពីគ្នា។
និយមន័យនេះអនុវត្តតាមច្បាប់សម្រាប់ដោះស្រាយជាមួយពហុនាមធម្មតា។
ដក។ ភាពខុសគ្នារវាងចំនួនកុំផ្លិចពីរa+bi(កាត់បន្ថយ) និង គ + ឌី(ដក) ហៅថា ចំនួនកុំផ្លិច (ក-គ ) + (ខ-ឃ ) ខ្ញុំ
ដូច្នេះ នៅពេលដកចំនួនកុំផ្លិចចំនួនពីរ abscissas និង ordinates របស់ពួកគេត្រូវបានដកដោយឡែកពីគ្នា។
គុណ។ ផលិតផលនៃចំនួនកុំផ្លិចa+biនិង គ + ឌី ត្រូវបានគេហៅថាចំនួនកុំផ្លិច។
(ac-bd ) + (ad+bc ) ខ្ញុំនិយមន័យនេះកើតចេញពីតម្រូវការពីរ៖
1) លេខ a+biនិង គ + ឌីគួរតែគុណដូចពិជគណិតទ្វេនាម
2) លេខ ខ្ញុំមានទ្រព្យសម្បត្តិចម្បង៖ខ្ញុំ 2 = – 1.
ឧទាហរណ៍ ( a + ប៊ី )(a-bi) = ក 2 + ខ 2 . អាស្រ័យហេតុនេះ ការងារ
ចំនួនកុំផ្លិចផ្សំពីរគឺស្មើនឹងពិត
លេខវិជ្ជមាន។
ការបែងចែក។ ចែកចំនួនកុំផ្លិចa+bi (បែងចែក) ទៅមួយទៀតគ + ឌី(ចែក) - មានន័យថាស្វែងរកលេខទីបីអ៊ី + ហ្វី(ជជែក) ដែលនៅពេលគុណនឹងចែកគ + ឌីដែលជាលទ្ធផលនៅក្នុងភាគលាភក + ខ។
ប្រសិនបើការបែងចែកមិនមែនសូន្យទេ ការបែងចែកគឺតែងតែអាចធ្វើទៅបាន។
ឧទាហរណ៍ ស្វែងរក (8+ខ្ញុំ ) : (2 – 3 ខ្ញុំ) .
ដំណោះស្រាយ។ ចូរសរសេរសមាមាត្រនេះឡើងវិញជាប្រភាគ៖
គុណភាគយក និងភាគបែងរបស់វាដោយ 2 + 3ខ្ញុំ
និង បន្ទាប់ពីធ្វើការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ យើងទទួលបាន៖
តំណាងធរណីមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច។ លេខពិតត្រូវបានតំណាងដោយចំណុចនៅលើបន្ទាត់លេខ៖
នេះគឺជាចំណុច កមានន័យថាលេខ -៣ ចំណុចខគឺជាលេខ 2 និង អូ- សូន្យ។ ផ្ទុយទៅវិញ ចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានតំណាងដោយចំណុចនៅលើយន្តហោះកូអរដោនេ។ ចំពោះបញ្ហានេះ យើងជ្រើសរើសកូអរដោនេចតុកោណកែង (Cartesian) ដែលមានមាត្រដ្ឋានដូចគ្នានៅលើអ័ក្សទាំងពីរ។ បន្ទាប់មកចំនួនកុំផ្លិចa+bi នឹងត្រូវបានតំណាងដោយចំណុច P ជាមួយ abscissa ក និងចាត់ចែង ខ (សូមមើលរូបភព។ ) ប្រព័ន្ធកូអរដោនេនេះត្រូវបានគេហៅថា យន្តហោះស្មុគស្មាញ .
ម៉ូឌុល ចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានគេហៅថាប្រវែងវ៉ិចទ័រOPដោយពណ៌នាអំពីចំនួនកុំផ្លិចនៅលើកូអរដោណេ ( រួមបញ្ចូលគ្នា) យន្តហោះ។ ម៉ូឌុលចំនួនកុំផ្លិចa+biតំណាងដោយ | a+bi| ឬលិខិត r
ចំនួនកុំផ្លិច គឺជាចំនួននៃទម្រង់ z = x + i * y ដែល x និង y ជាចំនួនពិត លេខហើយ i = ឯកតាស្រមើស្រមៃ (ឧ. លេខដែលការ៉េគឺ -1) ។ ដើម្បីកំណត់ទិដ្ឋភាព អាគុយម៉ង់ទូលំទូលាយ លេខអ្នកត្រូវមើលចំនួនកុំផ្លិចនៅលើយន្តហោះស្មុគស្មាញនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេប៉ូល។
ការណែនាំ
1. យន្តហោះដែលស្មុគស្មាញ លេខត្រូវបានគេហៅថាស្មុគស្មាញ។ នៅលើយន្តហោះនេះអ័ក្សផ្ដេកត្រូវបានកាន់កាប់ដោយពិតប្រាកដ លេខ(x) និងអ័ក្សបញ្ឈរ - ការស្រមើលស្រមៃ លេខ(យ) នៅលើយន្តហោះបែបនេះលេខត្រូវបានផ្តល់ដោយកូអរដោនេពីរ z = (x, y) ។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធប៉ូលកូអរដោណេ កូអរដោនេនៃចំណុចមួយគឺជាម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់។ ម៉ូឌុលគឺចម្ងាយ |z| ពីចំណុចទៅប្រភពដើម។ មុំត្រូវបានគេហៅថាអាគុយម៉ង់? រវាងវ៉ិចទ័រដែលភ្ជាប់ចំណុច និងបុព្វបទកូអរដោនេ និងអ័ក្សផ្តេកនៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ (សូមមើលរូប)។
2. វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីតួលេខដែលម៉ូឌុលនៃស្មុគស្មាញ លេខ z = x + i * y ត្រូវបានរកឃើញដោយទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ៖ |z| = ? (x^2 + y^2) ។ អាគុយម៉ង់បន្ថែមទៀត លេខ z ត្រូវបានរកឃើញជាមុំស្រួចនៃត្រីកោណ - តាមរយៈតម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ sin, cos, tg:sin ? =y/? (x^2 + y^2), cos ? =x/? (x^2 + y^2), tg ? = y/x ។
3. ចូរនិយាយថាអនុញ្ញាតឱ្យលេខ z = 5 * (1 + ?3 * i) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ដំបូងជ្រើសរើសផ្នែកពិតនិងស្រមើលស្រមៃ: z = 5 +5 * ?3 * i ។ វាប្រែថាផ្នែកពិត x = 5 និងផ្នែកស្រមើលស្រមៃ y = 5 * ?3 ។ គណនាម៉ូឌុល លេខ៖ |z| = ?(25 + 75) = ?100 = 10 ។ បន្ទាប់មក រកស៊ីនុសនៃមុំ ? \u003d 5 / 10 \u003d 1 / 2. ពីទីនោះ អាគុយម៉ង់មួយត្រូវបានទទួល លេខ z គឺ 30° ។
4. ឧទាហរណ៍ 2. ឱ្យលេខ z = 5 * i ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីតួលេខថាមុំ = 90°។ ពិនិត្យតម្លៃនេះដោយប្រើរូបមន្តខាងលើ។ សរសេរកូអរដោនេនៃរឿងនេះ លេខនៅលើយន្តហោះស្មុគស្មាញ៖ z = (0, 5) ។ ម៉ូឌុល លេខ|z| = 5. តង់សង់នៃមុំ tg ? = 5 / 5 = 1. ពីនេះទៅខាងអ្វី? = 90°។
5. ឧទាហរណ៍ 3. អនុញ្ញាតឱ្យវាចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកភស្តុតាងនៃផលបូកនៃ 2 ចំនួនកុំផ្លិច z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i ។ យោងទៅតាមច្បាប់នៃការបន្ថែមបន្ថែមស្មុគស្មាញទាំងពីរនេះ។ លេខ: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i ។ លើសពីនេះទៀតយោងទៅតាមគ្រោងការណ៍ខាងលើគណនាអាគុយម៉ង់: tg ? = ៩/៣ = ៣.
ចំណាំ!
ប្រសិនបើលេខ z = 0 នោះតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់សម្រាប់វាមិនត្រូវបានកំណត់ទេ។
ដំបូន្មានមានប្រយោជន៍
តម្លៃនៃអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានកំណត់ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃ 2 * ? * k ដែល k ជាចំនួនគត់។ តម្លៃហេតុផល? បែបនោះ -?
ត្រូវនឹងលេខនេះ៖ .
ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច z ជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយ | z| ឬ r ។
ទុកជាចំនួនពិត ដូចជាចំនួនកុំផ្លិច (សញ្ញាណធម្មតា)។ បន្ទាប់មក
មូលនិធិវិគីមេឌា។ ឆ្នាំ ២០១០។
សូមមើលអ្វីដែល "ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច" មាននៅក្នុងវចនានុក្រមផ្សេងទៀត៖
ម៉ូឌុលចំនួនកុំផ្លិច- kompleksinio skaičiaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl ។ ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច vok ។ Betrag der complexen Zahl, m rus ។ ម៉ូឌុលចំនួនកុំផ្លិច, m pranc ។ module du nombre complexe, m … Fizikos terminų žodynas
- (ម៉ូឌុល) ទំហំនៃចំនួនក្នុងន័យនៃចម្ងាយរបស់វាពី 0 ។ ម៉ូឌុល ឬតម្លៃដាច់ខាតនៃចំនួនពិត x (តំណាងដោយ |x|) គឺជាភាពខុសគ្នារវាង x និង 0 ដោយមិនគិតពីសញ្ញា។ ដូច្នេះប្រសិនបើ x0 បន្ទាប់មក |x|=x ហើយប្រសិនបើ x 0 បន្ទាប់មក |x|=–x... វចនានុក្រមសេដ្ឋកិច្ច
សម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិច សូមមើលតម្លៃដាច់ខាត។ ម៉ូឌុលនៃការផ្លាស់ប្តូរពីប្រព័ន្ធលោការីតនៅមូលដ្ឋាន a ទៅប្រព័ន្ធនៅមូលដ្ឋាន b គឺជាលេខ 1/logab ... វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយធំ
តម្លៃដាច់ខាត ឬម៉ូឌុលនៃចំនួនពិត ឬកុំផ្លិច x គឺជាចម្ងាយពី x ទៅប្រភពដើម។ ច្បាស់ជាងនេះទៅទៀត៖ តម្លៃដាច់ខាតនៃចំនួនពិត x គឺជាចំនួនមិនអវិជ្ជមានដែលតំណាងដោយ |x| និងកំណត់ដូចខាងក្រោម៖ ... ... វិគីភីឌា
ម៉ូឌុលក្នុងគណិតវិទ្យា 1) M. (ឬតម្លៃដាច់ខាត) នៃចំនួនកុំផ្លិច z \u003d x + iy គឺជាលេខ ═ (ឫសត្រូវបានយកដោយសញ្ញាបូក)។ នៅពេលតំណាងឱ្យចំនួនកុំផ្លិច z ក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ z \u003d r (cos j + i sin j) ចំនួនពិត r គឺ ... ...
- (ក្នុងគណិតវិទ្យា) រង្វាស់សម្រាប់ប្រៀបធៀបបរិមាណដូចគ្នា និងសម្រាប់បង្ហាញមួយក្នុងចំណោមពួកវាដោយប្រើផ្សេងទៀត; m ត្រូវបានបង្ហាញជាលេខ។ វចនានុក្រមនៃពាក្យបរទេសរួមបញ្ចូលនៅក្នុងភាសារុស្ស៊ី។ Pavlenkov F., 1907. MODULE (lat ។ ) ។ 1) ចំនួនដែលពួកគេគុណ ...... វចនានុក្រមនៃពាក្យបរទេសនៃភាសារុស្ស៊ី
MODULUS នៃចំនួនកុំផ្លិច សូមមើលតម្លៃដាច់ខាត (សូមមើល ABSOLUTE VALUE)។ ម៉ូឌុលនៃការផ្លាស់ប្តូរពីប្រព័ន្ធលោការីតនៅមូលដ្ឋាន a ទៅប្រព័ន្ធនៅមូលដ្ឋាន b គឺជាលេខ 1/logab ... វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយ
I Module (មកពីការវាស់វែងម៉ូឌុលឡាតាំង) នៅក្នុងស្ថាបត្យកម្ម ដែលជាអង្គភាពធម្មតាដែលត្រូវបានអនុម័តដើម្បីសំរបសំរួលវិមាត្រនៃផ្នែកនៃអគារ ឬស្មុគ្រស្មាញ។ នៅក្នុងស្ថាបត្យកម្មនៃប្រជាជនផ្សេងគ្នាអាស្រ័យលើលក្ខណៈនៃឧបករណ៍សំណង់និងសមាសភាពនៃអគារសម្រាប់ M. ... ... សព្វវចនាធិប្បាយសូវៀតដ៏អស្ចារ្យ
ខ្ញុំ; m. [ពី lat ។ ការវាស់វែងម៉ូឌុល] 1. អ្វី។ អ្នកឯកទេស។ តម្លៃដែលកំណត់លក្ខណៈអ្វីដែល l ។ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃរាងកាយរឹង។ M. ការបង្ហាប់។ M. ការបត់បែន។ 2. គណិតវិទ្យា។ ចំនួនពិត តម្លៃដាច់ខាតនៃចំនួនអវិជ្ជមាន ឬវិជ្ជមាន។ M. ចំនួនកុំផ្លិច។ ម... វចនានុក្រមសព្វវចនាធិប្បាយ
លក្ខណៈលេខនៃគណិតវិទ្យាណាមួយ។ វត្ថុ។ ជាធម្មតាតម្លៃនៃ M. គឺជាចំនួនពិតដែលមិនអវិជ្ជមាន ដែលជាធាតុដែលមានលក្ខណៈជាក់លាក់។ លក្ខណៈសម្បត្តិដោយសារតែលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសំណុំនៃវត្ថុដែលកំពុងពិចារណា។ គោលគំនិតរបស់ M. ... សព្វវចនាធិប្បាយគណិតវិទ្យា
និយមន័យ ៨.៣ (១)។
ប្រវែង |z| វ៉ិចទ័រ z = (x, y) ត្រូវបានគេហៅថាម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច z = x + yi
ដោយសារប្រវែងនៃជ្រុងនីមួយៗនៃត្រីកោណមិនលើសពីផលបូកនៃប្រវែងនៃភាគីទាំងពីរផ្សេងទៀតរបស់វា ហើយតម្លៃដាច់ខាតនៃភាពខុសគ្នានៃប្រវែងនៃជ្រុងទាំងពីរនៃត្រីកោណគឺមិនតិចជាងប្រវែងនៃជ្រុងទីបីនោះទេ។ បន្ទាប់មកសម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិចណាមួយ z 1 និង z 2 វិសមភាពកើតឡើង
និយមន័យ ៨.៣ (២)។
អាគុយម៉ង់ចំនួនកុំផ្លិច។ ប្រសិនបើ φ គឺជាមុំដែលបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រមិនសូន្យ z ជាមួយអ័ក្សពិត នោះមុំណាមួយនៃទម្រង់ (φ + 2πn ដែល n ជាចំនួនគត់ ហើយមានតែមុំបែបនេះ) ក៏នឹងជាមុំដែលបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រផងដែរ។ z ជាមួយអ័ក្សពិត។
សំណុំនៃមុំទាំងអស់ដែលវ៉ិចទ័រមិនសូន្យ z = (x, y) បង្កើតជាមួយអ័ក្សពិតត្រូវបានគេហៅថា អាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិច z = x + yi ហើយត្រូវបានតំណាងថា arg z ។ ធាតុនីមួយៗនៃសំណុំនេះត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់នៃលេខ z (រូបភាព 8.3(1)) ។
អង្ករ។ ៨.៣(១)។
ដោយសារវ៉ិចទ័រយន្តហោះមិនមែនសូន្យត្រូវបានកំណត់ដោយឡែកដោយប្រវែងរបស់វា និងមុំដែលវាបង្កើតជាមួយអ័ក្ស x នោះចំនួនកុំផ្លិចដែលមិនមែនជាសូន្យគឺស្មើគ្នាប្រសិនបើតម្លៃដាច់ខាត និងអាគុយម៉ង់របស់ពួកគេស្មើគ្នា។
ប្រសិនបើឧទាហរណ៍លក្ខខណ្ឌ 0≤φ ត្រូវបានដាក់លើតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់φនៃលេខ z<2π или условие -π<φ≤π, то значение аргумента будет определено однозначно. Такое значение называется главным значением аргумента.
និយមន័យ 8.3.(3)
ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច។ ផ្នែកពិត និងស្រមើលស្រមៃនៃចំនួនកុំផ្លិច z = x + yi ≠ 0 ត្រូវបានបង្ហាញក្នុងន័យនៃម៉ូឌុលរបស់វា r= |z| និងអាគុយម៉ង់φដូចខាងក្រោម (ពីនិយមន័យនៃស៊ីនុសនិងកូស៊ីនុស):
ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពនេះត្រូវបានគេហៅថាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃចំនួនកុំផ្លិច z ។ យើងក៏នឹងប្រើវាសម្រាប់ z = 0; ក្នុងករណីនេះ r = 0 ហើយφអាចយកតម្លៃណាមួយ - អាគុយម៉ង់នៃលេខ 0 មិនត្រូវបានកំណត់ទេ។ ដូច្នេះចំនួនកុំផ្លិចណាមួយអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ។
វាក៏ច្បាស់ដែរថាប្រសិនបើចំនួនកុំផ្លិច z ត្រូវបានសរសេរជា
បន្ទាប់មកលេខ r គឺជាម៉ូឌុលរបស់វាចាប់តាំងពី
ហើយφគឺជាតម្លៃមួយនៃអាគុយម៉ង់របស់វា។
ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃការសរសេរលេខស្មុគ្រស្មាញអាចងាយស្រួលប្រើនៅពេលគុណចំនួនកុំផ្លិច ជាពិសេសវាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកស្វែងយល់ពីអត្ថន័យធរណីមាត្រនៃផលិតផលនៃចំនួនកុំផ្លិច។
ចូរយើងស្វែងរករូបមន្តសម្រាប់គុណ និងចែកចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រនៃសញ្ញាណរបស់វា។ ប្រសិនបើ
បន្ទាប់មកដោយក្បួនគុណនៃចំនួនកុំផ្លិច (ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ស៊ីនុស និងកូស៊ីនុសនៃផលបូក)
ដូច្នេះនៅពេលដែលចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានគុណ តម្លៃដាច់ខាតរបស់វាត្រូវបានគុណ ហើយអាគុយម៉ង់ត្រូវបានបន្ថែម៖
ការអនុវត្តរូបមន្តនេះជាបន្តបន្ទាប់ទៅនឹងចំនួនកុំផ្លិច យើងទទួលបាន
ប្រសិនបើលេខ n ទាំងអស់ស្មើគ្នា យើងទទួលបាន
កន្លែងណាដែរ
បានអនុវត្ត
ដូច្នេះ សម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិច ដែលតម្លៃដាច់ខាតគឺ 1 (ហេតុដូចនេះ វាមានទម្រង់
សមភាពនេះត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្ត De Moivre
ម្យ៉ាងវិញទៀត នៅពេលបែងចែកចំនួនកុំផ្លិច ម៉ូឌុលរបស់ពួកគេត្រូវបានបែងចែក។
ហើយអាគុយម៉ង់ត្រូវបានដក។
ឧទាហរណ៍ ៨.៣(១)។
គូរលើយន្តហោះស្មុគ្រស្មាញ C សំណុំនៃចំណុចដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោមៈ
ដែលតំណាងឱ្យចំនួនកុំផ្លិចដែលបានផ្តល់ឱ្យ $z=a+bi$ ត្រូវបានគេហៅថាម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តខាងក្រោម៖
ឧទាហរណ៍ ១
គណនាម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិចដែលបានផ្តល់ឱ្យ $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$ ។
ម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច $z=a+bi$ ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖ $r=\sqrt(a^(2) +b^(2)) $។
សម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិចដើម $z_(1) =13$ យើងទទួលបាន $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2)) = \sqrt (169) = 13$
សម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិចដើម $\, z_(2) =4i$ យើងទទួលបាន $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \ sqrt(16) = 4$
សម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិចដើម $\, z_(3) =4+3i$ យើងទទួលបាន $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$
និយមន័យ ២
មុំ $\varphi $ បង្កើតឡើងដោយទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្សពិត និងកាំវ៉ិចទ័រ $\overrightarrow(OM) $ ដែលត្រូវនឹងចំនួនកុំផ្លិចដែលបានផ្តល់ឱ្យ $z=a+bi$ ត្រូវបានគេហៅថាអាគុយម៉ង់នៃចំនួននេះ ហើយ ត្រូវបានតាងដោយ $\arg z$ ។
ចំណាំ ១
ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានប្រើយ៉ាងច្បាស់នៅពេលតំណាងឱ្យចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ ឬអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល៖
- $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ;
- $z=r\cdot e^(i\varphi) $ គឺជាទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។
ឧទាហរណ៍ ២
សរសេរចំនួនកុំផ្លិចក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ និងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ដែលផ្តល់ដោយទិន្នន័យខាងក្រោម៖ 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi)(4)$។
1) ជំនួសទិន្នន័យ $r=3;\varphi =\pi $ ទៅក្នុងរូបមន្តដែលត្រូវគ្នា ហើយទទួលបាន៖
$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ
$z=3\cdot e^(i\pi) $ គឺជាទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។
2) ជំនួសទិន្នន័យ $r=13;\varphi =\frac(3\pi)(4)$ ទៅក្នុងរូបមន្តដែលត្រូវគ្នា ហើយទទួលបាន៖
$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi)(4) +i\sin\frac(3\pi)(4))$ - ទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ
$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi)(4)) $ គឺជាទម្រង់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។
ឧទាហរណ៍ ៣
កំណត់ម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖
1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi + i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi)(3) +i\sin \frac(2\pi)(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi)(4)) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi) $។
យើងរកឃើញម៉ូឌុល និងអាគុយម៉ង់ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់សរសេរចំនួនកុំផ្លិចដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់ត្រីកោណមាត្រ និងអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល រៀងគ្នា។
\ \
1) សម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិចដើម $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ យើងទទួលបាន $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .
2) សម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិចដើម $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi)(3) +i\sin \frac(2\pi)(3))$ យើង ទទួលបាន $r=\frac(5)(3);\varphi=\frac(2\pi)(3)$។
3) សម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិចដើម $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi)(4)) $ យើងទទួលបាន $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi ) (4) $ ។
4) សម្រាប់ចំនួនកុំផ្លិចដើម $z=13\cdot e^(i\pi) $ យើងទទួលបាន $r=13;\varphi =\pi $។
អាគុយម៉ង់ $\varphi $ នៃចំនួនកុំផ្លិចដែលបានផ្តល់ឱ្យ $z=a+bi$ អាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តខាងក្រោម៖
\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2))) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2))) .\]
នៅក្នុងការអនុវត្ត ដើម្បីគណនាតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចដែលបានផ្តល់ឱ្យ $z=a+bi$ រូបមន្តខាងក្រោមត្រូវបានប្រើជាធម្មតា៖
$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ ភី, ក
ឬដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ
$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2))))) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2)))) \end(array)\right.$. (**)
ឧទាហរណ៍ 4
គណនាអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖ 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$ ។
ចាប់តាំងពី $z=3$ បន្ទាប់មក $a=3,b=0$។ គណនាអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចដើមដោយប្រើរូបមន្ត (*)៖
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]
ចាប់តាំងពី $z=4i$ បន្ទាប់មក $a=0,b=4$។ គណនាអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចដើមដោយប្រើរូបមន្ត (*)៖
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi)(2) ។\]
ចាប់តាំងពី $z=1+i$ បន្ទាប់មក $a=1,b=1$។ គណនាអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចដើមដោយដោះស្រាយប្រព័ន្ធ (**)៖
\[\left\(\begin(array)(c)(\cos \varphi=\frac(1)(\sqrt(1^(2)+1^(2)))) =\frac(1)(\ sqrt(2)) =\frac(\sqrt(2))(2)) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2))) = \frac(1)(\sqrt(2)) =\frac(\sqrt(2))(2)) \end(array)\right..\]
គេស្គាល់ពីវគ្គសិក្សាត្រីកោណមាត្រថា $\cos \varphi = \sin \varphi =\frac(\sqrt(2))(2)$ សម្រាប់មុំដែលត្រូវគ្នានឹង quadrant កូអរដោណេទីមួយ និងស្មើនឹង $\varphi =\frac (\pi )(4) $។
ចាប់តាំងពី $z=-5$ បន្ទាប់មក $a=-5,b=0$។ គណនាអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចដើមដោយប្រើរូបមន្ត (*)៖
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]
ចាប់តាំងពី $z=-2i$ បន្ទាប់មក $a=0,b=-2$។ គណនាអាគុយម៉ង់នៃចំនួនកុំផ្លិចដើមដោយប្រើរូបមន្ត (*)៖
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi)(2) ។\]
ចំណាំ ២
លេខ $z_(3) $ ត្រូវបានតំណាងដោយចំនុច $(0;1)$ ដូច្នេះប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រកាំដែលត្រូវគ្នាគឺស្មើនឹង 1, i.e. $r=1$ និងអាគុយម៉ង់ $\varphi =\frac(\pi)(2)$ យោងតាមចំណាំ 3 ។
លេខ $z_(4) $ ត្រូវបានតំណាងដោយចំនុច $(0;-1)$ ដូច្នេះប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រកាំដែលត្រូវគ្នាគឺស្មើនឹង 1, i.e. $r=1$ និងអាគុយម៉ង់ $\varphi =\frac(3\pi)(2)$ យោងតាមចំណាំ 3។
លេខ $z_(5) $ ត្រូវបានតំណាងដោយចំនុច $(2;2)$ ដូច្នេះប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រកាំដែលត្រូវគ្នាគឺស្មើនឹង $\sqrt(2^(2) +2^(2)) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, i.e. $r=2\sqrt(2) $, និងអាគុយម៉ង់ $\varphi =\frac(\pi)(4) $ ដោយលក្ខណសម្បត្តិត្រីកោណស្តាំ។
