នៅក្នុងអត្ថបទអំពីវ៉ិចទ័រ n -dimensional យើងបានមកដល់គំនិតនៃលំហលីនេអ៊ែរដែលបង្កើតឡើងដោយសំណុំនៃវ៉ិចទ័រ n -dimensional ។ ឥឡូវនេះ យើងត្រូវពិចារណាអំពីគោលគំនិតសំខាន់ៗ ដូចជាវិមាត្រ និងមូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័រ។ ពួកវាទាក់ទងដោយផ្ទាល់ទៅនឹងគំនិតនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ដូច្នេះវាត្រូវបានណែនាំបន្ថែមក្នុងការរំលឹកខ្លួនអ្នកអំពីមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃប្រធានបទនេះផងដែរ។

ចូរយើងណែនាំនិយមន័យមួយចំនួន។

និយមន័យ ១

វិមាត្រនៃទំហំវ៉ិចទ័រគឺជាចំនួនដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងចំនួនអតិបរមានៃវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរក្នុងចន្លោះនេះ។

និយមន័យ ២

មូលដ្ឋានវ៉ិចទ័រ- សំណុំនៃវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ តាមលំដាប់ និងក្នុងចំនួនរបស់វាស្មើនឹងវិមាត្រនៃលំហ។

ពិចារណាចន្លោះជាក់លាក់នៃ n -vectors ។ វិមាត្ររបស់វារៀងគ្នាស្មើនឹង n ។ ចូរយើងយកប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ n-unit៖

e (1) = (1 , 0 , ... , 0) e (2) = (0 , 1 , ... . . , 0) e (n) = (0 , 0 , .... , 1)

ចូរប្រើវ៉ិចទ័រទាំងនេះជាធាតុផ្សំនៃម៉ាទ្រីស A៖ វានឹងក្លាយជាឯកតាដែលមានវិមាត្រ n ដោយ n ។ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនេះគឺ n ។ ដូច្នេះប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ e (1), e (2), . . . , e (n) ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ក្នុងករណីនេះ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការបន្ថែមវ៉ិចទ័រតែមួយទៅក្នុងប្រព័ន្ធដោយមិនបំពានលើឯករាជ្យភាពលីនេអ៊ែររបស់វា។

ដោយសារចំនួនវ៉ិចទ័រនៅក្នុងប្រព័ន្ធគឺស្មើនឹង n នោះវិមាត្រនៃលំហនៃវ៉ិចទ័រ n វិមាត្រគឺស្មើនឹង n ហើយវ៉ិចទ័រឯកតា e (1), e (2), . . . , e (n) គឺជាមូលដ្ឋាននៃចន្លោះដែលបានបញ្ជាក់។

តាមនិយមន័យដែលទទួលបាន យើងសន្និដ្ឋាន៖ ប្រព័ន្ធណាមួយនៃវ៉ិចទ័រ n-dimensional ដែលចំនួនវ៉ិចទ័រតិចជាង n មិនមែនជាមូលដ្ឋាននៃលំហទេ។

ប្រសិនបើយើងប្តូរវ៉ិចទ័រទីមួយ និងទីពីរ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ e (2), e (1), . . . , អ៊ី (ន) ។ វាក៏នឹងជាមូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័រ n-dimensional ផងដែរ។ ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសមួយ ដោយយកវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធលទ្ធផលជាជួររបស់វា។ ម៉ាទ្រីស​អាច​ទទួល​បាន​ពី​ម៉ាទ្រីស​អត្តសញ្ញាណ​ដោយ​ប្ដូរ​ជួរ​ដេក​ពីរ​ដំបូង ចំណាត់ថ្នាក់​របស់​វា​នឹង​ស្មើ​នឹង n ។ ប្រព័ន្ធ e (2), e (1), . . . , e (n) គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ និងជាមូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័រ n-dimensional ។

ការរៀបចំវ៉ិចទ័រផ្សេងទៀតនៅក្នុងប្រព័ន្ធដើម យើងទទួលបានមូលដ្ឋានមួយទៀត។

យើងអាចយកប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រមិនមែនឯកតា ហើយនេះក៏នឹងតំណាងឱ្យមូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័រ n វិមាត្រផងដែរ។

និយមន័យ ៣

ចន្លោះវ៉ិចទ័រដែលមានវិមាត្រ n មានមូលដ្ឋានច្រើនដូចដែលមានប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រវិមាត្រ n ដែលមានលេខ n ។

យន្តហោះគឺជាលំហពីរវិមាត្រ - មូលដ្ឋានរបស់វានឹងជាវ៉ិចទ័រដែលមិនជាប់គ្នាទាំងពីរ។ វ៉ិចទ័រ​ដែល​មិន​មែន​ជា​កូបឡាណា​ទាំង​បី​នឹង​ធ្វើ​ជា​មូលដ្ឋាន​នៃ​លំហ​បី​វិមាត្រ។

ពិចារណាការអនុវត្តទ្រឹស្តីនេះលើឧទាហរណ៍ជាក់លាក់។

ឧទាហរណ៍ ១

ទិន្នន័យដំបូង៖វ៉ិចទ័រ

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

វាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់ថាតើវ៉ិចទ័រដែលបានបញ្ជាក់គឺជាមូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័របីវិមាត្រ។

ដំណោះស្រាយ

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា យើងសិក្សាប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ។ ចូរ​បង្កើត​ម៉ាទ្រីស ដែល​ជួរ​ដេក​ជា​កូអរដោណេ​នៃ​វ៉ិចទ័រ។ ចូរយើងកំណត់ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស។

ក = 3 2 3 − 2 1 − 1 1 2 − 2 A = 3 − 2 1 2 1 2 3 − 1 − 2 = 3 1 (− 2) + (− 2) 2 3 + 1 2 (− 1) - 1 1 3 − ( − 2 ) 2 ( − 2 ) − 3 2 ( − 1 ) = = − 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

អាស្រ័យហេតុនេះ វ៉ិចទ័រដែលផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ហើយចំនួនរបស់វាស្មើនឹងវិមាត្រនៃទំហំវ៉ិចទ័រ - ពួកគេជាមូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័រ។

ចម្លើយ៖វ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺជាមូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័រ។

ឧទាហរណ៍ ២

ទិន្នន័យដំបូង៖វ៉ិចទ័រ

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់ថាតើប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រដែលបានចង្អុលបង្ហាញអាចជាមូលដ្ឋាននៃលំហបីវិមាត្រ។

ដំណោះស្រាយ

ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រដែលបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ ចាប់តាំងពី ចំនួនអតិបរិមានៃវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរគឺ 3។ ដូច្នេះប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រនេះមិនអាចបម្រើជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ទំហំវ៉ិចទ័របីវិមាត្របានទេ។ ប៉ុន្តែគួរកត់សំគាល់ថាប្រព័ន្ធរងនៃប្រព័ន្ធដើម a = (3 , - 2 , 1) , b = (2 , 1 , 2) , c = (3 , - 1 , - 2) គឺជាមូលដ្ឋាន។

ចម្លើយ៖ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រដែលបានបង្ហាញមិនមែនជាមូលដ្ឋានទេ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ទិន្នន័យដំបូង៖វ៉ិចទ័រ

a = (1 , 2 , 3 , 3) ​​​​b = (2 , 5 , 6 , 8) c = (1 , 3 , 2 , 4) d = (2 , 5 , 4 , 7)

តើពួកគេអាចជាមូលដ្ឋាននៃលំហរបួនវិមាត្របានទេ?

ដំណោះស្រាយ

តែង​ម៉ាទ្រីស​ដោយ​ប្រើ​កូអរដោនេ​នៃ​វ៉ិចទ័រ​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ជា​ជួរ​ដេក

ក = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss យើងកំណត់ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស៖

ក = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

ដូច្នេះប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរហើយចំនួនរបស់ពួកគេគឺស្មើនឹងវិមាត្រនៃទំហំវ៉ិចទ័រ - ពួកគេជាមូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័របួនវិមាត្រ។

ចម្លើយ៖វ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាមូលដ្ឋាននៃលំហរបួនវិមាត្រ។

ឧទាហរណ៍ 4

ទិន្នន័យដំបូង៖វ៉ិចទ័រ

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

តើពួកគេបង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃលំហ 4 វិមាត្រទេ?

ដំណោះស្រាយ

ប្រព័ន្ធដើមនៃវ៉ិចទ័រគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ប៉ុន្តែចំនួនវ៉ិចទ័រនៅក្នុងវាមិនគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីក្លាយជាមូលដ្ឋាននៃលំហបួនវិមាត្រ។

ចម្លើយ៖ទេ ពួកគេមិនមែនទេ។

ការរលួយនៃវ៉ិចទ័រក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមូលដ្ឋាន

យើងទទួលយកវ៉ិចទ័របំពាន e (1), e (2), . . . , e (n) គឺជាមូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័រ n-dimensional ។ ចូរបន្ថែមវ៉ិចទ័រ n-វិមាត្រ x → ទៅពួកវា៖ ប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃវ៉ិចទ័រនឹងក្លាយជាលីនេអ៊ែរអាស្រ័យ។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរ បញ្ជាក់ថាយ៉ាងហោចណាស់វ៉ិចទ័រមួយនៃប្រព័ន្ធបែបនេះអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ជាលីនេអ៊ែរក្នុងលក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀត។ ការធ្វើកំណែទម្រង់សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ យើងអាចនិយាយបានថា យ៉ាងហោចណាស់វ៉ិចទ័រមួយនៃប្រព័ន្ធពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរអាចត្រូវបានពង្រីកក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រផ្សេងទៀត។

ដូចនេះ យើងបានឈានទៅដល់ការបង្កើតទ្រឹស្តីបទសំខាន់បំផុត៖

និយមន័យ ៤

វ៉ិចទ័រណាមួយនៃទំហំវ៉ិចទ័រ n-dimensional ត្រូវបាន decomposed តែមួយគត់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមូលដ្ឋានមួយ។

ភស្តុតាង ១

ចូរយើងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទនេះ៖

កំណត់មូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័រ n-dimensional - e (1), e (2), . . . , អ៊ី (ន) ។ ចូរ​ធ្វើ​ឱ្យ​ប្រព័ន្ធ​អាស្រ័យ​ដោយ​បន្ថែម​វ៉ិចទ័រ n-dimensional x → ទៅ​វា។ វ៉ិចទ័រនេះអាចបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រដើម អ៊ី៖

x = x 1 e (1) + x 2 e (2) + . . . + x n e (n) ដែល x 1 , x 2 , ។ . . , x n - លេខមួយចំនួន។

ឥឡូវនេះយើងបង្ហាញថាការរលួយបែបនេះគឺមានតែមួយគត់។ ឧបមាថានេះមិនមែនជាករណីទេ ហើយមានការពង្រីកស្រដៀងគ្នាមួយទៀត៖

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) ដែល x ~ 1 , x ~ 2 , ។ . . , x ~ n - លេខមួយចំនួន។

ដកពីផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមភាពនេះ រៀងគ្នាផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមភាព x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + ។ . . + x n e (n) ។ យើង​ទទួល​បាន:

0 = (x ~ 1 − x 1) e (1) + (x ~ 2 − x 2) e (2) + . . . (x~n - xn) e(2)

ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន e (1), e (2), . . . , e (n) គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ; តាមនិយមន័យនៃឯករាជភាពលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ សមភាពខាងលើគឺអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែមេគុណទាំងអស់គឺ (x ~ 1 - x 1), (x ~ 2 - x 2), ។ . . , (x ~ n − x n) នឹងស្មើនឹងសូន្យ។ ពីដែលវានឹងមានភាពយុត្តិធម៌៖ x 1 \u003d x ~ 1, x 2 \u003d x ~ 2, ។ . . , x n = x ~ n . ហើយនេះបង្ហាញឱ្យឃើញនូវវិធីតែមួយគត់ដើម្បីពង្រីកវ៉ិចទ័រនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមូលដ្ឋានមួយ។

ក្នុងករណីនេះ មេគុណ x 1 , x 2 , . . . , x n ត្រូវបានគេហៅថាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ x → ក្នុងមូលដ្ឋាន e (1), e (2), . . . , អ៊ី (ន) ។

ទ្រឹស្ដីដែលបង្ហាញឱ្យឃើញធ្វើឱ្យច្បាស់នូវកន្សោម " វ៉ិចទ័រ n-វិមាត្រ x = (x 1 , x 2 , ... , x n) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ": វ៉ិចទ័រ x → n-dimensional វ៉ិចទ័រត្រូវបានពិចារណាហើយកូអរដោនេរបស់វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុង មូលដ្ឋានមួយចំនួន។ វាក៏ច្បាស់ដែរថាវ៉ិចទ័រដូចគ្នានៅក្នុងមូលដ្ឋានផ្សេងគ្នានៃលំហ n-dimensional នឹងមានកូអរដោនេផ្សេងគ្នា។

ពិចារណាឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖ ឧបមាថានៅក្នុងមូលដ្ឋានមួយចំនួននៃទំហំវ៉ិចទ័រ n វិមាត្រ ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

ហើយវ៉ិចទ័រ x = (x 1 , x 2 , ... , x n) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

វ៉ិចទ័រ អ៊ី ១ (១), អ៊ី ២ (២), . . . , e n (n) ក្នុងករណីនេះក៏ជាមូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័រនេះដែរ។

ឧបមាថាវាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ x → ក្នុងមូលដ្ឋាន e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) តំណាងថា x ~ 1 , x ~ 2 , ។ . . , x ~ ន.

វ៉ិចទ័រ x → នឹងត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោមៈ

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

យើងសរសេរកន្សោមនេះជាទម្រង់កូអរដោណេ៖

(x 1 , x 2 , ... , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , ... , e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1 , e (2) 2 , ... , e (2) n) + . . . + + x ~ n (e (n) 1 , e (n) 2 , ... , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . .. + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + ... + x ~ n e 2 (n), ... , x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) + ... + x ~ n e n (n))

សមភាពលទ្ធផលគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធនៃកន្សោមពិជគណិតលីនេអ៊ែរជាមួយ n អថេរលីនេអ៊ែរដែលមិនស្គាល់ x ~ 1 , x ~ 2 , ។ . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + ។ . . + x~n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x~n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

ម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធនេះនឹងមើលទៅដូចនេះ:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

អនុញ្ញាតឱ្យនេះជាម៉ាទ្រីស A ហើយជួរឈររបស់វាគឺជាវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) ។ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺ n ហើយកត្តាកំណត់របស់វាគឺមិនមែនសូន្យ។ នេះបង្ហាញថាប្រព័ន្ធសមីការមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលអាចកំណត់តាមមធ្យោបាយងាយស្រួលណាមួយ៖ ឧទាហរណ៍ដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer ឬដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស។ វិធីនេះយើងអាចកំណត់កូអរដោនេ x ~ 1 , x ~ 2 , ។ . . , x ~ n នៃវ៉ិចទ័រ x → ក្នុងមូលដ្ឋាន e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) ។

ចូរយើងអនុវត្តទ្រឹស្តីដែលបានពិចារណាលើឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងមួយ។

ឧទាហរណ៍ ៦

ទិន្នន័យដំបូង៖វ៉ិចទ័រ​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ក្នុង​មូលដ្ឋាន​នៃ​លំហ​បី​វិមាត្រ

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

វាចាំបាច់ក្នុងការបញ្ជាក់ពីការពិតដែលថាប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ e (1), e (2) , e (3) ក៏បម្រើជាមូលដ្ឋាននៃចន្លោះដែលបានផ្តល់ឱ្យហើយក៏ដើម្បីកំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ x នៅក្នុងមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ .

ដំណោះស្រាយ

ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ e (1), e (2), e (3) នឹងជាមូលដ្ឋាននៃលំហរបីវិមាត្រប្រសិនបើវាជាលីនេអ៊ែរឯករាជ្យ។ ចូរយើងស្វែងយល់ពីលទ្ធភាពនេះដោយកំណត់ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស A ដែលជួររបស់ពួកគេជាវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ e (1), e (2), e (3) ។

យើងប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss៖

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 ។ ដូច្នេះប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ e (1), e (2), e (3) គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនិងជាមូលដ្ឋានមួយ។

សូម​ឱ្យ​វ៉ិចទ័រ x → ក្នុង​មូលដ្ឋាន​មាន​កូអរដោណេ x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ។ ការតភ្ជាប់នៃកូអរដោនេទាំងនេះត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ៖

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

ចូរយើងអនុវត្តតម្លៃទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា៖

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 − x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 − 5 x ~ 2 − 3 x 3 = − 7

យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer៖

∆ = 1 3 2 − 1 2 1 1 − 5 − 3 = − 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 − 7 − 5 − 3 = − 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = − 1 − 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 − 1 2 1 1 − 7 − 3 = − 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = − 1 − 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 − 1 2 2 1 − 5 − 7 = − 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = − 1 − 1 = 1

ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រ x → ក្នុងមូលដ្ឋាន e (1), e (2), e (3) មានកូអរដោនេ x ~ 1 = 1 , x ~ 2 = 1 , x ~ 3 = 1 ។

ចម្លើយ៖ x = (1, 1, 1)

ការតភ្ជាប់រវាងមូលដ្ឋាន

ឧបមាថានៅក្នុងមូលដ្ឋានមួយចំនួននៃទំហំវ៉ិចទ័រ n-វិមាត្រ ប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖

c (1) = (c 1 (1), c 2 (1), ... , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , ... , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n), e 2 (n), ... , c n (n))

e (1) = (e 1 (1), e 2 (1), ... , e n (1)) e (2) = (e 1 (2), e 2 (2), ... , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n), e 2 (n), ... , e n (n))

ប្រព័ន្ធទាំងនេះក៏ជាមូលដ្ឋាននៃទំហំដែលបានផ្តល់ឱ្យផងដែរ។

អនុញ្ញាតឱ្យ c ~ 1 (1), c ~ 2 (1), ។ . . , c ~ n (1) - កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ c (1) នៅក្នុងមូលដ្ឋាន e (1), e (2), . . . e (3) បន្ទាប់មកទំនាក់ទំនងនៃកូអរដោណេនឹងត្រូវបានផ្តល់ដោយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ៖

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . +c~n(1)e 1(n)c 2(1)=c~1(1)e 2(1)+c~2(1)e 2(2)+។ . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

ក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស ប្រព័ន្ធអាចបង្ហាញដូចខាងក្រោម៖

(c 1 (1), c 2 (1), ... , c n (1)) = (c ~ 1 (1), c ~ 2 (1), ... , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

ចូរបង្កើតសញ្ញាណដូចគ្នាសម្រាប់វ៉ិចទ័រ c (2) ដោយភាពស្រដៀងគ្នា៖

(c 1 (2), c 2 (2), ... , c n (2)) = (c ~ 1 (2), c ~ 2 (2), ... , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n), c 2 (n), ... , c n (n)) = (c ~ 1 (n), c ~ 2 (n), ... , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

សមភាពម៉ាទ្រីសត្រូវបានបញ្ចូលគ្នាជាកន្សោមតែមួយ៖

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯c n (n) = c~1(1)c~2(1) ⋯ c~n(1)c~1(2)c~2(2) ⋯ 2 (n) ⋯ c~n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) ។ e 2 (n) ⋯ e n (n)

វានឹងកំណត់ទំនាក់ទំនងនៃវ៉ិចទ័រនៃមូលដ្ឋានពីរផ្សេងគ្នា។

ដោយប្រើគោលការណ៍ដូចគ្នា វាអាចបង្ហាញវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋានទាំងអស់ e (1), e (2), . . . , e (3) តាមរយៈមូលដ្ឋាន c (1), c (2), . . . , គ (n)៖

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) ។ c 2 (n) ⋯ c n (n)

យើងផ្តល់និយមន័យដូចខាងក្រោមៈ

និយមន័យ ៥

ម៉ាទ្រីស c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) គឺជាម៉ាទ្រីសផ្លាស់ប្តូរពីមូលដ្ឋាន e (1), e (2), . . . , អ៊ី(3)

ទៅមូលដ្ឋាន c (1), c (2), . . . , គ (n) ។

និយមន័យ ៦

ម៉ាទ្រីស e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) អ៊ី ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) គឺជាម៉ាទ្រីសផ្លាស់ប្តូរពីមូលដ្ឋាន c(1), c(2), . . . ,c(n)

ទៅមូលដ្ឋាន e (1), e (2), . . . , អ៊ី (3) ។

ពីសមភាពទាំងនេះវាច្បាស់ណាស់។

c~1(1)c~2(1) ⋯ c~n(1)c~1(2)c~2(2) ⋯ 2(n)⋯ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c~1(1)c~2(1) ⋯ c~n(1)c~1(2)c~2(2) ⋯ 2 (n) ⋯ c~n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 .

ទាំងនោះ។ ម៉ាទ្រីសនៃការផ្លាស់ប្តូរគឺបញ្ច្រាសទៅវិញទៅមក។

ចូរយើងពិចារណាទ្រឹស្តីលើឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងមួយ។

ឧទាហរណ៍ ៧

ទិន្នន័យដំបូង៖វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកម៉ាទ្រីសផ្លាស់ប្តូរពីមូលដ្ឋាន

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

អ្នកក៏ត្រូវបញ្ជាក់ទំនាក់ទំនងនៃកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័របំពាន x → នៅក្នុងមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ដំណោះស្រាយ

1. សូមឱ្យ T ជាម៉ាទ្រីសផ្លាស់ប្តូរ នោះសមភាពនឹងជាការពិត៖

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

និងទទួលបាន៖

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 − 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 − 1

2. កំណត់ម៉ាទ្រីសផ្លាស់ប្តូរ៖

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 − 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 − 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 − 6 − 18 5 3 7 − 2 − 1 5 − 1 − 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 ៨

3. កំណត់ទំនាក់ទំនងនៃកូអរដោណេវ៉ិចទ័រ x → :

ឧបមាថានៅក្នុងមូលដ្ឋាន c (1), c (2), . . . , c (n) វ៉ិចទ័រ x → មានកូអរដោនេ x 1 , x 2 , x 3 បន្ទាប់មក៖

x \u003d (x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1,

ហើយនៅក្នុងមូលដ្ឋាន e (1), e (2), . . . , e (3) មានកូអរដោនេ x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 បន្ទាប់មក៖

x = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 1 - 6

ដោយសារតែ ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមភាពទាំងនេះគឺស្មើគ្នា យើងអាចស្មើនឹងផ្នែកខាងស្តាំផងដែរ៖

(x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 − 6

គុណទាំងសងខាងនៅខាងស្តាំដោយ

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

និងទទួលបាន៖

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 − 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 − 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 ៨

នៅ​ម្ខាងទៀត

(x~1,x~2,x~3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

សមភាពចុងក្រោយបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងនៃកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ x → ក្នុងមូលដ្ឋានទាំងពីរ។

ចម្លើយ៖ម៉ាទ្រីសអន្តរកាល

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ x → នៅក្នុងមូលដ្ឋានដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺទាក់ទងដោយទំនាក់ទំនង:

(x 1, x 2, x 3) = (x~1, x~2, x~3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x~1,x~2,x~3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

ស្វែងរកមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ និងវ៉ិចទ័រដែលមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងមូលដ្ឋាន ពង្រីកលើមូលដ្ឋាន៖

ក 1 = {5, 2, -3, 1}, ក 2 = {4, 1, -2, 3}, ក 3 = {1, 1, -1, -2}, ក 4 = {3, 4, -1, 2}, ក 5 = {13, 8, -7, 4}.

ដំណោះស្រាយ. ពិចារណាប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ក 1 X 1 + ក 2 X 2 + ក 3 X 3 + ក 4 X 4 + ក 5 X 5 = 0

ឬពង្រីក។

យើងនឹងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian ដោយមិនប្តូរជួរដេក និងជួរឈរ ហើយលើសពីនេះទៀត ការជ្រើសរើសធាតុសំខាន់មិននៅជ្រុងខាងលើឆ្វេងទេ ប៉ុន្តែពេញជួរទាំងមូល។ ភារកិច្ចគឺដើម្បី ជ្រើសរើសផ្នែកអង្កត់ទ្រូងនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រដែលបានផ្លាស់ប្តូរ.

~ ~

~ ~ ~ .

ប្រព័ន្ធដែលអនុញ្ញាតនៃវ៉ិចទ័រដែលស្មើនឹងទម្រង់ដើមមានទម្រង់

ក 1 1 X 1 + ក 2 1 X 2 + ក 3 1 X 3 + ក 4 1 X 4 + ក 5 1 X 5 = 0 ,

កន្លែងណា ក 1 1 = , ក 2 1 = , ក 3 1 = , ក 4 1 = , ក 5 1 = . (1)

វ៉ិចទ័រ ក 1 1 , ក 3 1 , ក 41 បង្កើតជាប្រព័ន្ធអង្កត់ទ្រូង។ ដូច្នេះវ៉ិចទ័រ ក 1 , ក 3 , ក 4 បង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ ក 1 , ក 2 , ក 3 , ក 4 , ក 5 .

ឥឡូវនេះយើងពង្រីកវ៉ិចទ័រ ក 2 និង ក 5 នៅក្នុងមូលដ្ឋាន ក 1 , ក 3 , ក ៤. ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងយើងពង្រីកវ៉ិចទ័រដែលត្រូវគ្នា។ ក 2 1 និង ក 51 ប្រព័ន្ធអង្កត់ទ្រូង ក 1 1 , ក 3 1 , ក 4 1 ដោយចងចាំថាមេគុណនៃការពង្រីកវ៉ិចទ័រនៅក្នុងប្រព័ន្ធអង្កត់ទ្រូងគឺជាកូអរដោនេរបស់វា x ខ្ញុំ.

ពី (1) យើងមាន:

ក 2 1 = ក 3 1 (-1) + ក 4 10 + ក ១ ១១ ១ ក 2 1 = ក 1 1 – ក 3 1 .

ក 5 1 = ក 3 10 + ក 4 1 1+ ក ១ ១ ២ ក 5 1 = 2ក 1 1 + ក 4 1 .

វ៉ិចទ័រ ក 2 និង ក 5 ពង្រីកមូលដ្ឋាន ក 1 , ក 3 , ក 4 ដែលមានមេគុណដូចគ្នានឹងវ៉ិចទ័រ ក 2 1 និង ក 51 ប្រព័ន្ធអង្កត់ទ្រូង ក 1 1 , ក 3 1 , ក 4 1 (មេគុណទាំងនោះ x ខ្ញុំ) អាស្រ័យហេតុនេះ

ក 2 = ក 1 – ក 3 , ក 5 = 2ក 1 + ក 4 .

ភារកិច្ច។ ១.ស្វែងរកមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ និងវ៉ិចទ័រដែលមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងមូលដ្ឋាន ពង្រីកតាមមូលដ្ឋាន៖

1. ក 1 = { 1, 2, 1 }, ក 2 = { 2, 1, 3 }, ក 3 = { 1, 5, 0 }, ក 4 = { 2, -2, 4 }.

2. ក 1 = { 1, 1, 2 }, ក 2 = { 0, 1, 2 }, ក 3 = { 2, 1, -4 }, ក 4 = { 1, 1, 0 }.

3. ក 1 = { 1, -2, 3 }, ក 2 = { 0, 1, -1 }, ក 3 = { 1, 3, 0 }, ក 4 = { 0, -7, 3 }, ក 5 = { 1, 1, 1 }.

4. ក 1 = { 1, 2, -2 }, ក 2 = { 0, -1, 4 }, ក 3 = { 2, -3, 3 }.

2. ស្វែងរកមូលដ្ឋានទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ៖

1. ក 1 = { 1, 1, 2 }, ក 2 = { 3, 1, 2 }, ក 3 = { 1, 2, 1 }, ក 4 = { 2, 1, 2 }.

2. ក 1 = { 1, 1, 1 }, ក 2 = { -3, -5, 5 }, ក 3 = { 3, 4, -1 }, ក 4 = { 1, -1, 4 }.

ការបង្រៀនអំពីពិជគណិត និងធរណីមាត្រ។ ឆមាសទី១។

ការបង្រៀន 9. មូលដ្ឋាននៃលំហវ៉ិចទ័រ។

សេចក្តីសង្ខេប៖ ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ ការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ មេគុណនៃការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ មូលដ្ឋានលើបន្ទាត់ យន្តហោះ និងក្នុងលំហ វិមាត្រនៃលំហវ៉ិចទ័រនៅលើបន្ទាត់ យន្តហោះ និងក្នុងលំហ ការរលាយនៃ វ៉ិចទ័រក្នុងមូលដ្ឋានមួយ កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដោយគោរពតាមមូលដ្ឋាន ទ្រឹស្តីបទសមភាពវ៉ិចទ័រពីរ ប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរជាមួយវ៉ិចទ័រក្នុងសំណេរសំរបសំរួល វ៉ិចទ័របីដងរាងពងក្រពើ ស្តាំ និងឆ្វេងបីដងនៃវ៉ិចទ័រ មូលដ្ឋានអ័រតូន ទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃពិជគណិតវ៉ិចទ័រ។

ជំពូកទី 9

ធាតុ 1 ។ ផ្អែកលើខ្សែបន្ទាត់ នៅលើយន្តហោះ និងក្នុងលំហ។

និយមន័យ។ សំណុំវ៉ិចទ័រកំណត់ណាមួយត្រូវបានគេហៅថាប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ។

និយមន័យ។ កន្សោមកន្លែងណា
ត្រូវបានគេហៅថាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ
និងលេខ
ត្រូវបានគេហៅថាមេគុណនៃការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនេះ។

អនុញ្ញាតឱ្យ L, Р និង S ជាបន្ទាត់ យន្តហោះ និងចន្លោះនៃចំនុចរៀងគ្នា និង
. បន្ទាប់មក
គឺ​ជា​ចន្លោះ​វ៉ិចទ័រ​នៃ​វ៉ិចទ័រ​ជា​ផ្នែក​ដែល​បាន​ដឹកនាំ​នៅ​លើ​បន្ទាត់ L នៅ​លើ​យន្តហោះ P និង​ក្នុង​ចន្លោះ S រៀងគ្នា។

វ៉ិចទ័រមិនសូន្យណាមួយត្រូវបានហៅ
, i.e. វ៉ិចទ័រដែលមិនសូន្យទៅបន្ទាត់ត្រង់ L៖
និង
.

ការសម្គាល់មូលដ្ឋាន
:
- មូលដ្ឋាន
.

និយមន័យ។ មូលដ្ឋានវ៉ិចទ័រ
គឺជាវ៉ិចទ័រ noncollinear គូដែលបានបញ្ជាទិញនៅក្នុងលំហ
.

, កន្លែងណា
,
- មូលដ្ឋាន
.

និយមន័យ។ មូលដ្ឋានវ៉ិចទ័រ
គឺជាវ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជា coplanar ចំនួនបីដែលបានបញ្ជាទិញ (នោះគឺមិនស្ថិតនៅលើយន្តហោះតែមួយ) នៃលំហ
.

- មូលដ្ឋាន
.

មតិយោបល់។ មូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័រមិនអាចមានវ៉ិចទ័រសូន្យទេ៖ ក្នុងលំហ
តាមនិយមន័យនៅក្នុងលំហ
វ៉ិចទ័រពីរនឹងជាប់គ្នា ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំនោមពួកវាគឺសូន្យ ក្នុងលំហ
វ៉ិចទ័របីនឹងជា coplanar ពោលគឺពួកវានឹងស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់វ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រទាំងបីគឺសូន្យ។

ធាតុ 2 ។ ការរលួយនៃវ៉ិចទ័រក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមូលដ្ឋាន។

និយមន័យ។ អនុញ្ញាតឱ្យ គឺជាវ៉ិចទ័របំពាន
គឺជាប្រព័ន្ធបំពាននៃវ៉ិចទ័រ។ ប្រសិនបើសមភាព

បន្ទាប់មកពួកគេនិយាយថាវ៉ិចទ័រ តំណាងជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ
គឺជាមូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័រ បន្ទាប់មកសមភាព (1) ត្រូវបានគេហៅថា decomposition នៃវ៉ិចទ័រ មូលដ្ឋាន
. មេគុណបន្សំលីនេអ៊ែរ
ក្នុងករណីនេះ កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ ទាក់ទងទៅនឹងមូលដ្ឋាន
.

ទ្រឹស្តីបទ។ (នៅលើការពង្រីកវ៉ិចទ័រក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមូលដ្ឋាន។ )

វ៉ិចទ័រណាមួយនៃទំហំវ៉ិចទ័រអាចត្រូវបាន decomposed នៅក្នុងមូលដ្ឋានរបស់វា ហើយលើសពីនេះទៅទៀត នៅក្នុងវិធីតែមួយគត់។

ភស្តុតាង។ 1) អនុញ្ញាតឱ្យ L ជាបន្ទាត់បំពាន (ឬអ័ក្ស) និង
- មូលដ្ឋាន
. យកវ៉ិចទ័របំពាន
. ចាប់តាំងពីវ៉ិចទ័រទាំងពីរ និង collinear ទៅបន្ទាត់ដូចគ្នា L, បន្ទាប់មក
. ចូរ​យើង​ប្រើ​ទ្រឹស្តីបទ​លើ​ភាព​ជាប់​គ្នា​នៃ​វ៉ិចទ័រ​ពីរ។ ដោយសារតែ
បន្ទាប់មកមាន (មាន) លេខបែបនេះ
, អ្វី
ដូច្នេះហើយ យើងបានទទួលការបំបែកវ៉ិចទ័រ មូលដ្ឋាន
ចន្លោះវ៉ិចទ័រ
.

ឥឡូវនេះយើងបង្ហាញពីភាពប្លែកនៃការរលួយបែបនេះ។ ចូរសន្មតថាផ្ទុយ។ អនុញ្ញាតឱ្យមានការបំបែកពីរនៃវ៉ិចទ័រ មូលដ្ឋាន
ចន្លោះវ៉ិចទ័រ
:

និង
, កន្លែងណា
. បន្ទាប់មក
ហើយដោយប្រើច្បាប់ចែកចាយ យើងទទួលបាន៖

ដោយសារតែ
បន្ទាប់មកវាធ្វើតាមសមភាពចុងក្រោយដែល
ល។

2) ឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យ P ជាយន្តហោះបំពាននិង
- មូលដ្ឋាន
. អនុញ្ញាតឱ្យ
វ៉ិចទ័របំពាននៃយន្តហោះនេះ។ ចូរពន្យារពេលវ៉ិចទ័រទាំងបីពីចំណុចណាមួយនៃយន្តហោះនេះ។ ចូរយើងបង្កើត 4 បន្ទាត់ត្រង់។ តោះគូរបន្ទាត់ត្រង់ ដែលវ៉ិចទ័រស្ថិតនៅ , ផ្ទាល់
ដែលវ៉ិចទ័រស្ថិតនៅ . តាមរយៈចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ គូរបន្ទាត់ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ និងបន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ . បន្ទាត់ទាំង 4 នេះកាត់ប៉ារ៉ាឡែលមួយ។ សូមមើលរូបខាងក្រោម។ 3. យោងទៅតាមច្បាប់ប៉ារ៉ាឡែល
, និង
,
,
- មូលដ្ឋាន ,
- មូលដ្ឋាន
.

ឥឡូវនេះ ដោយអ្វីដែលបានបង្ហាញរួចហើយនៅក្នុងផ្នែកដំបូងនៃភស្តុតាងនេះ មានលេខ
, អ្វី

និង
. ពីទីនេះយើងទទួលបាន៖

ហើយលទ្ធភាពនៃការពង្រីកនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមូលដ្ឋានត្រូវបានបង្ហាញ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្ហាញពីភាពពិសេសនៃការពង្រីកនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមូលដ្ឋាន។ ចូរសន្មតថាផ្ទុយ។ អនុញ្ញាតឱ្យមានការបំបែកពីរនៃវ៉ិចទ័រ មូលដ្ឋាន
ចន្លោះវ៉ិចទ័រ
:
និង
. យើងទទួលបានសមភាព

កន្លែងដែលគួរ
. ប្រសិនបើ
, នោះ។
ហើយចាប់តាំងពី
, នោះ។
ហើយមេគុណពង្រីកគឺ៖
,
. អនុញ្ញាតឱ្យឥឡូវនេះ
. បន្ទាប់មក
, កន្លែងណា
. តាមទ្រឹស្តីបទស្តីពីភាពជាប់គ្នានៃវ៉ិចទ័រពីរ នេះបង្កប់ន័យថា
. យើងទទួលបានភាពផ្ទុយគ្នាទៅនឹងលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ។ អាស្រ័យហេតុនេះ
និង
ល។

3) អនុញ្ញាតឱ្យ
- មូលដ្ឋាន
តោះ​ទៅ
វ៉ិចទ័របំពាន។ ចូរយើងអនុវត្តការសាងសង់ដូចខាងក្រោម។

ញែកវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋានទាំងបី
និងវ៉ិចទ័រ ពីចំណុចមួយនិងបង្កើតយន្តហោះចំនួន 6: យន្តហោះដែលវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋានកុហក
, យន្តហោះ
និងយន្តហោះ
; បន្ថែមទៀតតាមរយៈចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ គូរប្លង់បីស្របទៅនឹងយន្តហោះទាំងបីដែលទើបតែសាងសង់។ យន្តហោះទាំង ៦ នេះបានកាត់ប្រអប់៖

យោងតាមច្បាប់បន្ថែមវ៉ិចទ័រ យើងទទួលបានសមភាព៖

. (1)

ដោយការសាងសង់
. ដូច្នេះ​តាម​ទ្រឹស្តីបទ​លើ​ភាព​ជាប់​គ្នា​នៃ​វ៉ិចទ័រ​ពីរ វា​តាម​ដាន​ថា​មាន​លេខ
, បែបនោះ។
. ដូចគ្នានេះដែរ
និង
, កន្លែងណា
. ឥឡូវនេះ ការជំនួសសមភាពទាំងនេះទៅជា (1) យើងទទួលបាន៖

ហើយលទ្ធភាពនៃការពង្រីកនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមូលដ្ឋានត្រូវបានបង្ហាញ។

ចូរយើងបង្ហាញពីភាពប្លែកនៃការរលួយបែបនេះ។ ចូរសន្មតថាផ្ទុយ។ អនុញ្ញាតឱ្យមានការបំបែកពីរនៃវ៉ិចទ័រ មូលដ្ឋាន
:

និង។ បន្ទាប់មក

ចំណាំថាតាមការសន្មតវ៉ិចទ័រ
non-coplanar ដូច្នេះពួកវាជាគូដែលមិនមែនជា collinear ។

ករណីពីរអាចធ្វើទៅបាន៖
ឬ
.

ក) អនុញ្ញាតឱ្យ
បន្ទាប់មកពីសមភាព (៣) វាដូចខាងក្រោម៖

. (4)

វាធ្វើតាមពីសមភាព (4) ដែលវ៉ិចទ័រ បានពង្រីកនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមូលដ្ឋាន
, i.e. វ៉ិចទ័រ ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះវ៉ិចទ័រ
ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រ
coplanar ដែលផ្ទុយនឹងលក្ខខណ្ឌ។

ខ) នៅមានសំណុំរឿង
, i.e.
. បន្ទាប់មកពីសមភាព (3) យើងទទួលបានឬ

ដោយសារតែ
គឺជាមូលដ្ឋាននៃលំហនៃវ៉ិចទ័រដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ ហើយយើងបានបង្ហាញរួចហើយនូវភាពប្លែកនៃការពង្រីកនៅក្នុងមូលដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រនៃយន្តហោះ វាកើតឡើងពីសមភាព (5) ដែល
និង
ល។

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ផលវិបាក។

1) មានការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយរវាងសំណុំនៃវ៉ិចទ័រនៃចន្លោះវ៉ិចទ័រ
និងសំណុំនៃចំនួនពិត R ។

2) មានការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយរវាងសំណុំនៃវ៉ិចទ័រនៃចន្លោះវ៉ិចទ័រ
និងការ៉េ cartesian

3) មានការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយរវាងសំណុំនៃវ៉ិចទ័រនៃចន្លោះវ៉ិចទ័រ
និងគូប cartesian
សំណុំនៃចំនួនពិត R.

ភស្តុតាង។ ចូរយើងបង្ហាញការអះអាងទីបី។ ពីរដំបូងត្រូវបានបញ្ជាក់ស្រដៀងគ្នា។

ចូរយើងជ្រើសរើស និងជួសជុលក្នុងលំហ
មូលដ្ឋានមួយចំនួន
និងរៀបចំការបង្ហាញ
យោងតាមច្បាប់ខាងក្រោម៖

ទាំងនោះ។ វ៉ិចទ័រនីមួយៗត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយនឹងសំណុំនៃកូអរដោនេរបស់វា។

ចាប់តាំងពីជាមួយនឹងមូលដ្ឋានថេរ វ៉ិចទ័រនីមួយៗមានសំណុំនៃកូអរដោណេតែមួយ ការឆ្លើយឆ្លងដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយច្បាប់ (6) គឺពិតជាការធ្វើផែនទី។

វាធ្វើតាមពីភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទដែលវ៉ិចទ័រផ្សេងគ្នាមានកូអរដោនេផ្សេងគ្នាដោយគោរពតាមមូលដ្ឋានដូចគ្នា i.e. ការធ្វើផែនទី (6) គឺជាការចាក់។

អនុញ្ញាតឱ្យ
សំណុំ​តាម​អំពើ​ចិត្ត​នៃ​ចំនួន​ពិត។

ពិចារណាវ៉ិចទ័រ
. តាមរយៈការសាងសង់ វ៉ិចទ័រនេះមានកូអរដោនេ
. ដូច្នេះ​ការ​គូស​ផែនទី (៦) គឺ​ជា​ការ​ស្មាន។

ការធ្វើផែនទីដែលមានទាំងការចាក់ និង ទស្សន៍ទាយ គឺជាគោលបំណង ពោលគឺឧ។ មួយ​ទៅ​មួយ ។ល។

លទ្ធផលត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រឹស្តីបទ។ (នៅលើសមភាពនៃវ៉ិចទ័រពីរ។ )

វ៉ិចទ័រពីរគឺស្មើគ្នាប្រសិនបើនិងលុះត្រាតែកូអរដោនេរបស់ពួកគេដោយគោរពតាមមូលដ្ឋានដូចគ្នាគឺស្មើគ្នា។

ភស្ដុតាង​ភ្លាមៗ​បន្ទាប់​ពី​ឯកសារ​រួម​មុនៗ។

ធាតុ 3 ។ វិមាត្រនៃទំហំវ៉ិចទ័រ។

និយមន័យ។ ចំនួនវ៉ិចទ័រនៅក្នុងមូលដ្ឋាននៃទំហំវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថាវិមាត្ររបស់វា។

ការកំណត់:
គឺជាវិមាត្រនៃទំហំវ៉ិចទ័រ V ។

ដូច្នេះ ស្របតាមនិយមន័យនេះ និងពីមុន យើងមាន៖

1)
គឺជាទំហំវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រនៃបន្ទាត់ L ។

- មូលដ្ឋាន
,
,
,
- ការបំបែកវ៉ិចទ័រ
មូលដ្ឋាន
,
- កូអរដោនេវ៉ិចទ័រ ទាក់ទងទៅនឹងមូលដ្ឋាន
.

2)
គឺជាទំហំវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រនៃយន្តហោះ Р ។

- មូលដ្ឋាន
,
,
,
- ការបំបែកវ៉ិចទ័រ
មូលដ្ឋាន
,
គឺ​ជា​កូអរដោណេវ៉ិចទ័រ ទាក់ទងទៅនឹងមូលដ្ឋាន
.

3)
គឺជាទំហំវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រក្នុងលំហនៃចំនុច S ។

- មូលដ្ឋាន
,
,
- ការបំបែកវ៉ិចទ័រ
មូលដ្ឋាន
,
គឺ​ជា​កូអរដោណេវ៉ិចទ័រ ទាក់ទងទៅនឹងមូលដ្ឋាន
.

មតិយោបល់។ ប្រសិនបើ
, នោះ។
ហើយអ្នកអាចជ្រើសរើសមូលដ្ឋាន
លំហ
ដូច្នេះ
- មូលដ្ឋាន
និង
- មូលដ្ឋាន
. បន្ទាប់មក
, និង
, .

ដូច្នេះ វ៉ិចទ័រណាមួយនៃបន្ទាត់ L ប្លង់ P និងលំហ S អាចត្រូវបានពង្រីកតាមមូលដ្ឋាន
:

ការកំណត់។ ដោយគុណធម៌នៃទ្រឹស្តីបទសមភាពវ៉ិចទ័រ យើងអាចកំណត់វ៉ិចទ័រណាមួយដែលមានលំដាប់បីនៃចំនួនពិត ហើយសរសេរ៖

នេះអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែមានមូលដ្ឋាន
ជួសជុលហើយមិនមានគ្រោះថ្នាក់នៃការ tangling ។

និយមន័យ។ កំណត់ត្រានៃវ៉ិចទ័រក្នុងទម្រង់ជាលេខបីតាមលំដាប់នៃចំនួនពិតត្រូវបានគេហៅថាទម្រង់កូអរដោនេនៃកំណត់ត្រាវ៉ិចទ័រ៖
.

ធាតុទី 4 ។ ប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរជាមួយវ៉ិចទ័រក្នុងសំណេរសំរបសំរួល។

អនុញ្ញាតឱ្យ
- មូលដ្ឋានអវកាស
និង
គឺជាវ៉ិចទ័របំពានពីររបស់វា។ អនុញ្ញាតឱ្យ
និង
គឺជាសញ្ញាណនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះក្នុងទម្រង់កូអរដោនេ។ អនុញ្ញាតឱ្យ, បន្ថែមទៀត,
គឺជាចំនួនពិតដែលបំពាន។ នៅក្នុងសញ្ញាណទាំងនេះ ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមមាន។

ទ្រឹស្តីបទ។ (នៅលើប្រតិបត្តិការលីនេអ៊ែរជាមួយវ៉ិចទ័រក្នុងទម្រង់កូអរដោនេ។ )

2)
.

ម្យ៉ាងវិញទៀត ដើម្បីបន្ថែមវ៉ិចទ័រពីរ អ្នកត្រូវបន្ថែមកូអរដោណេដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេ ហើយដើម្បីគុណវ៉ិចទ័រដោយលេខមួយ អ្នកត្រូវគុណកូអរដោនេនីមួយៗនៃវ៉ិចទ័រនេះដោយលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ភស្តុតាង។ ដោយសារយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ បន្ទាប់មកដោយប្រើ axioms នៃទំហំវ៉ិចទ័រ ដែលជាកម្មវត្ថុនៃប្រតិបត្តិការនៃការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ និងគុណវ៉ិចទ័រដោយលេខមួយ យើងទទួលបាន៖

នេះបង្កប់ន័យ។

សមភាពទីពីរត្រូវបានបង្ហាញស្រដៀងគ្នា។

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ធាតុ 5 ។ វ៉ិចទ័ររាងពងក្រពើ។ មូលដ្ឋានអ័រគីដេ។

និយមន័យ។ វ៉ិចទ័រពីរត្រូវបានគេហៅថា orthogonal ប្រសិនបើមុំរវាងពួកវាស្មើនឹងមុំខាងស្តាំ i.e.
.

ការកំណត់:
- វ៉ិចទ័រ និង រាងមូល។

និយមន័យ។ វ៉ិចទ័របី
ត្រូវបានគេហៅថា orthogonal ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រទាំងនេះមានលក្ខណៈជាគូ orthogonal ទៅគ្នាទៅវិញទៅមក i.e.
,
.

និយមន័យ។ វ៉ិចទ័របី
ត្រូវបានគេហៅថា orthonormal ប្រសិនបើវាជា orthogonal ហើយប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រទាំងអស់គឺស្មើនឹងមួយ៖
.

មតិយោបល់។ វាធ្វើតាមនិយមន័យដែលថា វ៉ិចទ័រអ័រតូហ្គោន ហើយដូច្នេះ វ៉ិចទ័របីដងអ័រតូន័រ គឺមិនមែនកូបឡារ័រទេ។

និយមន័យ។ បានបញ្ជាទិញវ៉ិចទ័របីដងដែលមិនមែនជា coplanar
ដាក់ចេញពីចំណុចមួយ ហៅថាស្តាំ (តម្រង់ទិសស្តាំ) ប្រសិនបើនៅពេលសង្កេតពីចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រទីបី ទៅយន្តហោះដែលមានវ៉ិចទ័រពីរដំបូង និង , ការបង្វិលខ្លីបំផុតនៃវ៉ិចទ័រទីមួយ ទៅទីពីរ កើតឡើងច្រាសទ្រនិចនាឡិកា។ បើមិនដូច្នេះទេ វ៉ិចទ័របីដងត្រូវបានគេហៅថាខាងឆ្វេង (តម្រង់ទិសឆ្វេង)។

នៅទីនេះ រូបភាពទី 6 បង្ហាញពីវ៉ិចទ័របីដងត្រឹមត្រូវ។
. រូបភាពទី 7 ខាងក្រោមបង្ហាញពីវ៉ិចទ័របីខាងឆ្វេង
:

និយមន័យ។ មូលដ្ឋាន
ចន្លោះវ៉ិចទ័រ
ត្រូវបានគេហៅថា orthonormal ប្រសិនបើ
orthonormal បីនៃវ៉ិចទ័រ។

ការកំណត់។ នៅក្នុងអ្វីដែលបន្ទាប់ យើងនឹងប្រើមូលដ្ឋាន orthonormal ត្រឹមត្រូវ។
សូមមើលរូបខាងក្រោម។

ការបង្ហាញទម្រង់ ហៅ ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃវ៉ិចទ័រលីនេអ៊ែរ A 1 , A 2 , ... ,A nជាមួយមេគុណ λ 1, λ 2,...,λ n.

កំណត់ភាពអាស្រ័យលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ A 1 , A 2 , ... ,A nហៅ អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ, ប្រសិនបើមានសំណុំលេខមិនសូន្យ λ 1, λ 2,...,λ n, ក្រោមការរួមផ្សំលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nស្មើនឹងសូន្យវ៉ិចទ័រនោះ​គឺ​ជា​ប្រព័ន្ធ​នៃ​សមីការ​: មានដំណោះស្រាយមិនសូន្យ។
សំណុំនៃលេខ λ 1, λ 2,...,λ n គឺមិនមែនសូន្យទេ ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់លេខមួយក្នុងចំណោមលេខ λ 1, λ 2,...,λ n ខុសពីសូន្យ។

ការកំណត់ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ A 1 , A 2 , ... ,A nហៅ ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រសិនបើការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nគឺស្មើនឹងវ៉ិចទ័រសូន្យសម្រាប់តែសំណុំលេខសូន្យប៉ុណ្ណោះ។ λ 1, λ 2,...,λ n នោះ​គឺ​ជា​ប្រព័ន្ធ​នៃ​សមីការ​: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n = Θមានដំណោះស្រាយសូន្យតែមួយគត់។

ឧទាហរណ៍ 29.1

ពិនិត្យមើលថាតើប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរឬអត់

ដំណោះស្រាយ:

1. យើងបង្កើតប្រព័ន្ធសមីការ:

2. យើងដោះស្រាយវាដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss. ការបំប្លែងប្រព័ន្ធហ្ស៊កដានីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងតារាង 29.1 ។ នៅពេលគណនា ផ្នែកខាងស្ដាំនៃប្រព័ន្ធមិនត្រូវបានសរសេរចុះទេ ព្រោះវាស្មើនឹងសូន្យ ហើយមិនផ្លាស់ប្តូរនៅក្រោមការបំប្លែងរបស់ហ្ស៊កដានី។

3. ពីបីជួរចុងក្រោយនៃតារាង យើងសរសេរប្រព័ន្ធដែលអនុញ្ញាតស្មើនឹងប្រព័ន្ធដើមប្រព័ន្ធ៖

4. យើងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធ:

5. ដោយបានកំណត់តាមឆន្ទានុសិទ្ធិរបស់អ្នកនូវតម្លៃនៃអថេរឥតគិតថ្លៃ x 3 = 1, យើងទទួលបានដំណោះស្រាយមិនសូន្យជាក់លាក់ X = (-3,2,1) ។

ចំលើយ៖ ដូច្នេះជាមួយនឹងសំណុំលេខមិនមែនសូន្យ (-3,2,1) ការរួមផ្សំលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រស្មើនឹងសូន្យវ៉ិចទ័រ -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ ។ អាស្រ័យហេតុនេះ ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រអាស្រ័យលើលីនេអ៊ែរ.

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

អចលនទ្រព្យ (1)
ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រពឹងផ្អែកជាលីនេអ៊ែរ នោះយ៉ាងហោចណាស់វ៉ិចទ័រមួយត្រូវបានរលួយក្នុងលក្ខខណ្ឌដែលនៅសល់ ហើយផ្ទុយទៅវិញប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់វ៉ិចទ័រមួយនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានរលួយក្នុងលក្ខខណ្ឌដែលនៅសល់ នោះប្រព័ន្ធនៃ វ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

អចលនទ្រព្យ (2)
ប្រសិនបើប្រព័ន្ធរងណាមួយនៃវ៉ិចទ័រពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ នោះប្រព័ន្ធទាំងមូលពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ។

អចលនទ្រព្យ (3)
ប្រសិនបើប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រមានភាពឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ នោះប្រព័ន្ធរងណាមួយរបស់វាគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។

អចលនទ្រព្យ (4)
ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រណាមួយដែលមានវ៉ិចទ័រសូន្យគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

អចលនទ្រព្យ (5)
ប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ m-dimensional តែងតែពឹងផ្អែកជាលីនេអ៊ែរ ប្រសិនបើចំនួនវ៉ិចទ័រ n ធំជាងវិមាត្ររបស់វា (n>m)

មូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

មូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ A 1 , A 2 , ... , A n ដូចជាប្រព័ន្ធរង B 1 , B 2 ,...,B r(វ៉ិចទ័រនីមួយៗ B 1 ,B 2 ,...,B r គឺជាវ៉ិចទ័រមួយ A 1 , A 2 ,... , A n) ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម៖
1. B 1 ,B 2 ,...,B rប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ;
2. វ៉ិចទ័រណាមួយ។ Aj នៃប្រព័ន្ធ A 1 , A 2 , ... , A n ត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រ B 1 , B 2 , ... , B r

rគឺជាចំនួនវ៉ិចទ័រដែលរួមបញ្ចូលក្នុងមូលដ្ឋាន។

ទ្រឹស្តីបទ 29.1 នៅលើមូលដ្ឋានឯកតានៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ។

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ m-dimensional មាន m ឯកតាវ៉ិចទ័រផ្សេងគ្នា E 1 E 2 ,... , E m នោះពួកវាបង្កើតបានជាមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធ។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ

ដើម្បីស្វែងរកមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ A 1 , A 2 , ... , A n វាចាំបាច់:

• ចងក្រងប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលត្រូវគ្នានឹងប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រ A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n = Θ
• នាំយកប្រព័ន្ធនេះ។

និយមន័យមូលដ្ឋាន។ប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័របង្កើតជាមូលដ្ឋានប្រសិនបើ៖

1) វាឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ

2) វ៉ិចទ័រនៃលំហណាមួយតាមរយៈវាត្រូវបានបញ្ចេញជាលីនេអ៊ែរ។

ឧទាហរណ៍ ១មូលដ្ឋានអវកាស៖

2. នៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ វ៉ិចទ័រគឺជាមូលដ្ឋាន: , ដោយសារតែ បង្ហាញជាលីនេអ៊ែរក្នុងន័យនៃវ៉ិចទ័រ។

មតិយោបល់។ដើម្បីស្វែងរកមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ អ្នកត្រូវ៖

1) សរសេរកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រនៅក្នុងម៉ាទ្រីស,

2) ដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ

3) ជួរមិនសូន្យនៃម៉ាទ្រីសនឹងជាមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធ,

4) ចំនួនវ៉ិចទ័រនៅក្នុងមូលដ្ឋានគឺស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស។

ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli

ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli ផ្តល់ចម្លើយយ៉ាងពេញលេញចំពោះសំណួរនៃភាពឆបគ្នានៃប្រព័ន្ធតាមអំពើចិត្តនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយមិនស្គាល់

ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli. ប្រព័ន្ធ​នៃ​សមីការ​ពិជគណិត​លីនេអ៊ែរ​គឺ​ស្រប​ប្រសិនបើ​ចំណាត់ថ្នាក់​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ដែល​បាន​ពង្រីក​របស់​ប្រព័ន្ធ​ស្មើ​នឹង​ចំណាត់ថ្នាក់​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ចម្បង។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធស្របនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ធ្វើតាមពីទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli និងទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទ។ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃប្រព័ន្ធស្របគឺស្មើនឹងចំនួនមិនស្គាល់ នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

ទ្រឹស្តីបទ។ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃប្រព័ន្ធស្របគឺតិចជាងចំនួនមិនស្គាល់ នោះប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយមិនកំណត់។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ប្រព័ន្ធបំពាននៃសមីការលីនេអ៊ែរ៖

1. ស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់ៗ និងពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ។ ប្រសិនបើពួកវាមិនស្មើគ្នា () នោះប្រព័ន្ធមិនស្របគ្នា (មិនមានដំណោះស្រាយ) ។ ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់ស្មើគ្នា ( នោះប្រព័ន្ធគឺត្រូវគ្នា។

2. សម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលត្រូវគ្នា យើងរកឃើញអនីតិជនមួយចំនួនដែលលំដាប់កំណត់ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស (អនីតិជនបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាជាមូលដ្ឋាន) ។ យើងបង្កើតប្រព័ន្ធថ្មីនៃសមីការដែលមេគុណនៃមិនស្គាល់ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងអនីតិជនមូលដ្ឋាន (មិនស្គាល់ទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា មិនស្គាល់សំខាន់) យើងបោះបង់សមីការដែលនៅសល់។ យើងទុកការមិនស្គាល់សំខាន់ៗដោយមេគុណនៅខាងឆ្វេង ហើយផ្ទេរមិនស្គាល់ដែលនៅសេសសល់ (ពួកវាត្រូវបានគេហៅថាមិនស្គាល់ឥតគិតថ្លៃ) ទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ។

3. ចូរយើងស្វែងរកកន្សោមរបស់មេដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអ្នកទំនេរ។ យើងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធ។

4. ការផ្តល់តម្លៃតាមអំពើចិត្តដល់ការមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃ យើងទទួលបានតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃចំនួនមិនស្គាល់សំខាន់ៗ។ ដូច្នេះហើយ យើងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់ចំពោះប្រព័ន្ធដើមនៃសមីការ។

កម្មវិធីលីនេអ៊ែរ។ គំនិតជាមូលដ្ឋាន

កម្មវិធីលីនេអ៊ែរគឺជាផ្នែកមួយនៃការសរសេរកម្មវិធីគណិតវិទ្យា ដែលសិក្សាពីវិធីសាស្រ្តក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាខ្លាំងបំផុត ដែលត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយទំនាក់ទំនងលីនេអ៊ែររវាងអថេរ និងលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យលីនេអ៊ែរ។

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់កំណត់បញ្ហាកម្មវិធីលីនេអ៊ែរគឺការរឹតបន្តឹងលើលទ្ធភាពនៃធនធាន បរិមាណនៃតម្រូវការ សមត្ថភាពផលិតរបស់សហគ្រាស និងកត្តាផលិតកម្មផ្សេងទៀត។

ខ្លឹមសារនៃការសរសេរកម្មវិធីលីនេអ៊ែរគឺដើម្បីស្វែងរកចំណុចនៃតម្លៃធំបំផុត ឬតូចបំផុតនៃមុខងារជាក់លាក់មួយ ក្រោមការរឹតបន្តឹងជាក់លាក់ដែលដាក់លើអាគុយម៉ង់ និងម៉ាស៊ីនភ្លើង។ ប្រព័ន្ធនៃការរឹតបន្តឹង ដែលជាធម្មតាមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។ សំណុំនីមួយៗនៃតម្លៃអថេរ (អាគុយម៉ង់មុខងារ ច ) ដែលបំពេញប្រព័ន្ធនៃឧបសគ្គត្រូវបានគេហៅថា ផែនការដែលអាចទទួលយកបាន។ បញ្ហាកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ។ មុខងារ ច ដែលអតិបរមា ឬអប្បបរមាត្រូវបានកំណត់ ត្រូវបានគេហៅថា មុខងារគោលបំណង ភារកិច្ច។ ផែនការដែលអាចទទួលយកបានដែលអតិបរមា ឬអប្បបរមានៃមុខងារត្រូវបានឈានដល់ ច , ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា ផែនការដ៏ល្អប្រសើរ ភារកិច្ច។

ប្រព័ន្ធនៃឧបសគ្គដែលកំណត់សំណុំនៃផែនការត្រូវបានកំណត់ដោយលក្ខខណ្ឌនៃការផលិត។ បញ្ហាកម្មវិធីលីនេអ៊ែរ ( ZLP ) គឺជាជម្រើសនៃផលចំណេញច្រើនបំផុត (ល្អបំផុត) ពីសំណុំនៃផែនការដែលអាចធ្វើទៅបាន។

ទម្រង់ទូទៅនៃបញ្ហាកម្មវិធីលីនេអ៊ែរមានដូចខាងក្រោម៖

មានអថេរមួយចំនួន x \u003d (x 1, x 2, ... x n) និងមុខងារនៃអថេរទាំងនេះ f (x) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) ដែលមានឈ្មោះ គោលដៅ មុខងារ។ ភារកិច្ចត្រូវបានកំណត់៖ ដើម្បីស្វែងរកអតិបរមា (អតិបរមាឬអប្បបរមា) នៃមុខងារគោលបំណង f(x) បានផ្តល់ថាអថេរ x ជាកម្មសិទ្ធិរបស់តំបន់មួយចំនួន ជី :

អាស្រ័យលើប្រភេទនៃមុខងារ f(x) និងតំបន់ ជី និង​បែងចែក​រវាង​ផ្នែក​នៃ​ការ​សរសេរ​កម្មវិធី​គណិត​វិទ្យា៖ ការ​សរសេរ​កម្មវិធី​រាង​បួន​ជ្រុង ការ​សរសេរ​កម្មវិធី​ប៉ោង ការ​សរសេរ​កម្មវិធី​ចំនួន​គត់ ។ល។ កម្មវិធីលីនេអ៊ែរត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយការពិតដែលថា
ក) មុខងារ f(x) គឺជាមុខងារលីនេអ៊ែរនៃអថេរ x 1, x 2, ... x n
ខ) តំបន់ ជី កំណត់ដោយប្រព័ន្ធ លីនេអ៊ែរ សមភាព ឬវិសមភាព។