ដេរីវេដោយផ្នែកនៃមុខងារនៃអថេរពីរ។
គំនិត និងឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងបន្តការស្គាល់គ្នារបស់យើងជាមួយនឹងមុខងារនៃអថេរពីរ ហើយពិចារណា ប្រហែលជាកិច្ចការប្រធានបទទូទៅបំផុត - ការស្វែងរក ដេរីវេនៃផ្នែកនៃលំដាប់ទីមួយ និងទីពីរ ក៏ដូចជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃអនុគមន៍. ជាក្បួន សិស្សក្រៅម៉ោងត្រូវប្រឈមមុខនឹងនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកក្នុងឆ្នាំទី 1 ក្នុងឆមាសទី 2 ។ លើសពីនេះទៅទៀត យោងទៅតាមការសង្កេតរបស់ខ្ញុំ ភារកិច្ចក្នុងការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកគឺស្ទើរតែតែងតែរកឃើញនៅក្នុងការប្រឡង។

ដើម្បីសិក្សាសម្ភារៈខាងក្រោមប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាព អ្នក ចាំបាច់អាចស្វែងរកដោយទំនុកចិត្តច្រើន ឬតិចនូវដេរីវេ "ធម្មតា" នៃមុខងារនៃអថេរមួយ។ អ្នកអាចរៀនពីរបៀបដោះស្រាយនិស្សន្ទវត្ថុឱ្យបានត្រឹមត្រូវនៅក្នុងមេរៀន តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេ?និង ដេរីវេនៃមុខងារស្មុគស្មាញ. យើងក៏ត្រូវការតារាងនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម និងច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាផងដែរ វាងាយស្រួលបំផុតប្រសិនបើវានៅនឹងដៃក្នុងទម្រង់បោះពុម្ព។ អ្នកអាចស្វែងរកឯកសារយោងនៅលើទំព័រ រូបមន្ត និងតារាងគណិតវិទ្យា.

ចូរយើងនិយាយឡើងវិញនូវគោលគំនិតនៃមុខងារនៃអថេរពីរ ខ្ញុំនឹងព្យាយាមកំណត់ខ្លួនខ្ញុំទៅអប្បបរមាទទេ។ មុខងារនៃអថេរពីរជាធម្មតាត្រូវបានសរសេរជា ដោយអថេរត្រូវបានហៅ អថេរឯករាជ្យឬ អាគុយម៉ង់.

ឧទាហរណ៍៖ - មុខងារនៃអថេរពីរ។

ពេលខ្លះសញ្ញាណត្រូវបានប្រើ។ ក៏មានកិច្ចការដែលអក្សរត្រូវបានប្រើជំនួសឱ្យលិខិតមួយ។

តាមទស្សនៈធរណីមាត្រ មុខងារនៃអថេរពីរគឺភាគច្រើនជាផ្ទៃនៃលំហបីវិមាត្រ (យន្តហោះ ស៊ីឡាំង បាល់ ប៉ារ៉ាបូឡូអ៊ីត អ៊ីពែបូអ៊ីត ។ល។)។ ប៉ុន្តែតាមពិត នេះគឺជាធរណីមាត្រវិភាគច្រើនជាងមុន ហើយយើងមានការវិភាគគណិតវិទ្យានៅលើរបៀបវារៈ ដែលគ្រូសាកលវិទ្យាល័យរបស់ខ្ញុំមិនដែលអនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំសរសេរចេញនោះទេ គឺជា "សេះ" របស់ខ្ញុំ។

យើងងាកទៅរកសំណួរនៃការស្វែងរកដេរីវេដោយផ្នែកនៃការបញ្ជាទិញទីមួយ និងទីពីរ។ ខ្ញុំមានដំណឹងល្អខ្លះសម្រាប់អ្នកដែលធ្លាប់ផឹកកាហ្វេពីរបីពែង ហើយកំពុងស្ថិតក្នុងអារម្មណ៍សម្រាប់សម្ភារៈពិបាកដែលមិនអាចនឹកស្មានដល់៖ ដេរីវេដោយផ្នែកគឺស្ទើរតែដូចគ្នាទៅនឹងដេរីវេ "ធម្មតា" នៃមុខងារនៃអថេរមួយ.

សម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក ច្បាប់ទាំងអស់នៃភាពខុសគ្នា និងតារាងនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋមមានសុពលភាព។ មានភាពខុសគ្នាតិចតួចប៉ុណ្ណោះ ដែលយើងនឹងដឹងនៅពេលនេះ៖

... បាទដោយវិធីនេះសម្រាប់ប្រធានបទនេះខ្ញុំបានបង្កើត សៀវភៅ pdf តូចដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នក "បំពេញដៃរបស់អ្នក" ក្នុងរយៈពេលតែពីរបីម៉ោងប៉ុណ្ណោះ។ ប៉ុន្តែការប្រើគេហទំព័រ អ្នកក៏នឹងទទួលបានលទ្ធផលដែរ - ប្រហែលជាយឺតជាងបន្តិច៖

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកដេរីវេនៃផ្នែកនៃលំដាប់ទីមួយ និងទីពីរនៃអនុគមន៍មួយ។

ដំបូងយើងរកឃើញដេរីវេនៃផ្នែកនៃលំដាប់ទីមួយ។ មានពីរនាក់ក្នុងចំណោមពួកគេ។

កំណត់ចំណាំ:
ឬ - ដេរីវេដោយផ្នែកទាក់ទងនឹង "x"
ឬ - ដេរីវេដោយផ្នែកទាក់ទងនឹង "y"

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយ។ នៅពេលដែលយើងរកឃើញដេរីវេដោយផ្នែកទាក់ទងនឹង "x" បន្ទាប់មកអថេរត្រូវបានចាត់ទុកថាជាចំនួនថេរ (ចំនួនថេរ).

យោបល់លើសកម្មភាពដែលបានធ្វើឡើង៖

(1) រឿងដំបូងដែលយើងធ្វើនៅពេលរកឃើញដេរីវេដោយផ្នែកគឺការសន្និដ្ឋាន ទាំងអស់។មុខងារក្នុងវង់ក្រចកនៅក្រោមសញ្ញា ជាមួយ subscript.

ការយកចិត្តទុកដាក់សំខាន់!ការជាវមិនបាត់បង់ក្នុងវគ្គនៃដំណោះស្រាយ។ ក្នុងករណីនេះ ប្រសិនបើអ្នកគូរ "ដាច់សរសៃឈាមខួរក្បាល" នៅកន្លែងណាមួយដោយគ្មាន នោះគ្រូ យ៉ាងហោចណាស់អាចដាក់វានៅជាប់នឹងកិច្ចការនេះ (ភ្លាមៗខាំផ្នែកមួយនៃពិន្ទុសម្រាប់ការមិនយកចិត្តទុកដាក់)។

(2) ប្រើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នា , . សម្រាប់ឧទាហរណ៍សាមញ្ញដូចជាច្បាប់មួយ ច្បាប់ទាំងពីរអាចត្រូវបានអនុវត្តក្នុងជំហានតែមួយ។ យកចិត្តទុកដាក់លើពាក្យដំបូង: ចាប់តាំងពី ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាថេរ ហើយថេរណាមួយអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេបន្ទាប់មកយើងយកវាចេញពីតង្កៀប។ នោះគឺនៅក្នុងស្ថានភាពនេះវាមិនប្រសើរជាងលេខធម្មតាទេ។ ឥឡូវនេះសូមក្រឡេកមើលពាក្យទីបី៖ នៅទីនេះ ផ្ទុយទៅវិញ គ្មានអ្វីដែលត្រូវដកចេញទេ។ ដោយសារវាជាថេរ វាក៏ជាថេរមួយ ហើយក្នុងន័យនេះ វាមិនប្រសើរជាងពាក្យចុងក្រោយនោះទេ - "ប្រាំពីរ" ។

(3) យើងប្រើដេរីវេទីប និង .

(4) យើងធ្វើឱ្យសាមញ្ញ ឬដូចដែលខ្ញុំចូលចិត្តនិយាយថា "ផ្សំ" ចម្លើយ។

ឥឡូវ​នេះ ។ នៅពេលដែលយើងរកឃើញដេរីវេដោយផ្នែកទាក់ទងនឹង "y" បន្ទាប់មកអថេរចាត់ទុកថាជាចំនួនថេរ (លេខថេរ).

(1) យើងប្រើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នាដូចគ្នា។ , . នៅ​ក្នុង​ពាក្យ​ទី​មួយ យើង​ដក​ថេរ​ចេញ​ហួស​ពី​សញ្ញា​នៃ​និស្សន្ទវត្ថុ ហើយ​នៅ​ពាក្យ​ទី​ពីរ​មិន​អាច​ដក​ចេញ​បាន​ទេ ព្រោះ​វា​ជា​ថេរ​រួច​ទៅ​ហើយ។

(2) យើងប្រើតារាងនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម។ ការផ្លាស់ប្តូរផ្លូវចិត្តនៅក្នុងតារាងទាំងអស់ "X" ទៅ "Y" ។ នោះ​គឺ​តារាង​នេះ​មាន​សុពលភាព​ស្មើ​គ្នា​សម្រាប់ (ហើយ​ពិត​ជា​ស្ទើរ​តែ​អក្សរ​ណា​មួយ)។ ជាពិសេស រូបមន្តដែលយើងប្រើមើលទៅដូចនេះ៖ និង .

តើនិស្សន្ទវត្ថុផ្នែកខ្លះមានន័យដូចម្តេច?

នៅស្នូលរបស់ពួកគេ និស្សន្ទវត្ថុផ្នែកលំដាប់ទី 1 ស្រដៀងនឹង ដេរីវេ "ធម្មតា":

- នេះ។ មុខងារដែលមានលក្ខណៈ អត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារក្នុងទិសដៅនៃអ័ក្ស និងរៀងៗខ្លួន។ ដូច្នេះឧទាហរណ៍មុខងារ កំណត់លក្ខណៈនៃភាពចោតនៃ "ឡើង" និង "ជម្រាល" ផ្ទៃនៅក្នុងទិសដៅនៃអ័ក្ស abscissa ហើយមុខងារប្រាប់យើងអំពី "ការធូរស្បើយ" នៃផ្ទៃដូចគ្នាក្នុងទិសដៅនៃអ័ក្ស ordinate ។

! ចំណាំ ៖ នេះ​សំដៅ​ទៅ​លើ​ទិសដៅ​ដែល​ គឺស្របគ្នា។សំរបសំរួលអ័ក្ស.

សម្រាប់ជាប្រយោជន៍នៃការយល់ដឹងកាន់តែប្រសើរឡើង ចូរយើងពិចារណាចំណុចជាក់លាក់នៃយន្តហោះ ហើយគណនាតម្លៃនៃមុខងារ ("កម្ពស់") នៅក្នុងវា៖
- ហើយឥឡូវនេះស្រមៃថាអ្នកនៅទីនេះ (នៅលើផ្ទៃខ្លាំងណាស់) ។

យើងគណនាដេរីវេដោយផ្នែកទាក់ទងនឹង "x" នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

សញ្ញាអវិជ្ជមាននៃដេរីវេ "X" ប្រាប់យើងអំពី ចុះក្រោមដំណើរការនៅចំណុចមួយក្នុងទិសដៅនៃអ័ក្ស x ។ ម្យ៉ាង​ទៀត​បើ​យើង​ធ្វើ​តូច-តូច (គ្មានកំណត់)បោះជំហានទៅចុងអ័ក្ស (ស្របទៅនឹងអ័ក្សនេះ)បន្ទាប់មកចុះជម្រាលនៃផ្ទៃ។

ឥឡូវនេះយើងរកឃើញលក្ខណៈនៃ "ដី" ក្នុងទិសដៅនៃអ័ក្ស y:

ដេរីវេដែលទាក់ទងនឹង "y" គឺវិជ្ជមាន ដូច្នេះនៅចំណុចមួយតាមអ័ក្ស អនុគមន៍ កើនឡើង. ប្រសិនបើវាសាមញ្ញ នោះយើងកំពុងរង់ចាំការឡើងភ្នំ។

លើសពីនេះទៀត ដេរីវេដោយផ្នែកនៅចំណុចមួយកំណត់លក្ខណៈ អត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារក្នុងទិសដៅពាក់ព័ន្ធ។ តម្លៃលទ្ធផលកាន់តែច្រើន ម៉ូឌុល- ផ្ទៃកាន់តែចោត ហើយផ្ទុយមកវិញ វាកាន់តែជិតដល់សូន្យ ផ្ទៃកាន់តែរលោង។ ដូច្នេះក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង "ជម្រាល" ក្នុងទិសដៅនៃអ័ក្ស abscissa គឺចោតជាង "ភ្នំ" ក្នុងទិសដៅនៃអ័ក្សតម្រឹម។

ប៉ុន្តែ​ផ្លូវ​ទាំង​នោះ​ជា​ផ្លូវ​ឯកជន​ពីរ។ វាច្បាស់ណាស់ថាពីចំណុចដែលយើងមាន។ (ហើយជាទូទៅពីចំណុចណាមួយនៃផ្ទៃដែលបានផ្តល់ឱ្យ)យើងអាចផ្លាស់ទីក្នុងទិសដៅផ្សេងទៀត។ ដូច្នេះ មានចំណាប់អារម្មណ៍ក្នុងការចងក្រង "គំនូសតាងរុករក" ទូទៅដែលនឹងប្រាប់យើងអំពី "ទេសភាព" នៃផ្ទៃ។ បើសិនជា​អាចនៅគ្រប់ចំណុច វិសាលភាពនៃមុខងារនេះ។នៅក្នុងវិធីដែលមានទាំងអស់។ ខ្ញុំនឹងនិយាយអំពីរឿងនេះ និងរឿងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ផ្សេងទៀតនៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់ ប៉ុន្តែសម្រាប់ពេលនេះ ចូរយើងត្រលប់ទៅផ្នែកបច្ចេកទេសនៃបញ្ហានេះវិញ។

យើងរៀបចំជាប្រព័ន្ធនៃច្បាប់អនុវត្តបឋម៖

1) នៅពេលដែលយើងបែងចែកដោយ នោះអថេរត្រូវបានចាត់ទុកថាជាថេរ។

2) នៅពេលដែលភាពខុសគ្នាត្រូវបានអនុវត្តតាមបន្ទាប់មកត្រូវបានចាត់ទុកថាជាថេរ។

3) ច្បាប់ និងតារាងនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋមមានសុពលភាព និងអាចអនុវត្តបានសម្រាប់អថេរណាមួយ (ឬផ្សេងទៀត) ទាក់ទងនឹងភាពខុសគ្នាដែលត្រូវបានអនុវត្ត។

ជំហានទីពីរ។ យើងរកឃើញដេរីវេមួយផ្នែកនៃលំដាប់ទីពីរ។ មានបួននាក់ក្នុងចំណោមពួកគេ។

កំណត់ចំណាំ:
ឬ - ដេរីវេទី ២ ទាក់ទងនឹង "x"
ឬ - ដេរីវេទី 2 ទាក់ទងនឹង "y"
ឬ - លាយដេរីវេ "x ដោយ y"
ឬ - លាយដេរីវេ "Y ជាមួយ X"

មិនមានបញ្ហាជាមួយដេរីវេទី 2 ទេ។ នៅក្នុងពាក្យសាមញ្ញ, ដេរីវេទី 2 គឺជាដេរីវេនៃដេរីវេទី 1.

ដើម្បីភាពងាយស្រួល ខ្ញុំនឹងសរសេរឡើងវិញនូវនិស្សន្ទវត្ថុផ្នែកដែលរកបានមុនគេបង្អស់ដែលបានរកឃើញរួចហើយ៖

ដំបូងយើងរកឃើញនិស្សន្ទវត្ថុចម្រុះ៖

ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញ៖ យើងយកដេរីវេផ្នែកមួយ ហើយបែងចែកវាម្តងទៀត ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះ រួចហើយដោយ "y" ។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ៖

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង អ្នកអាចផ្តោតលើសមភាពដូចខាងក្រោម:

ដូច្នេះ តាមរយៈនិស្សន្ទវត្ថុចម្រុះនៃលំដាប់ទីពីរ វាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការត្រួតពិនិត្យថាតើយើងបានរកឃើញនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែកនៃលំដាប់ទីមួយត្រឹមត្រូវឬអត់។

យើងរកឃើញដេរីវេទី 2 ទាក់ទងនឹង "x" ។
គ្មានការច្នៃប្រឌិតទេយើងយក ហើយបែងចែកវាដោយ "X" ម្តងទៀត៖

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ៖

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថានៅពេលស្វែងរកអ្នកត្រូវបង្ហាញ បង្កើនការយកចិត្តទុកដាក់ចាប់តាំងពីមិនមានសមភាពអព្ភូតហេតុដើម្បីសាកល្បងពួកគេ។

និស្សន្ទវត្ថុទីពីរក៏រកឃើញការអនុវត្តជាក់ស្តែងយ៉ាងទូលំទូលាយផងដែរ ជាពិសេសពួកវាត្រូវបានប្រើក្នុងបញ្ហានៃការស្វែងរក extrema នៃមុខងារនៃអថេរពីរ. ប៉ុន្តែអ្វីៗមានពេលវេលារបស់វា៖

ឧទាហរណ៍ ២

គណនានិស្សន្ទវត្ថុភាគនៃលំដាប់ទីមួយនៃអនុគមន៍នៅចំណុច។ ស្វែងរកដេរីវេនៃលំដាប់ទីពីរ។

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង (ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន)។ ប្រសិនបើអ្នកមានការលំបាកក្នុងការបែងចែកឫសគល់ សូមត្រលប់ទៅមេរៀនវិញ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេ?ជាទូទៅ ឆាប់ៗនេះអ្នកនឹងរៀនពីរបៀបស្វែងរកដេរីវេស្រដៀងគ្នាភ្លាមៗ។

យើងបំពេញដៃរបស់យើងជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ដ៏ស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត៖

ឧទាហរណ៍ ៣

ពិនិត្យមើលនោះ។ សរសេរឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃលំដាប់ទីមួយ។

ដំណោះស្រាយ៖ យើងរកឃើញដេរីវេមួយផ្នែកនៃលំដាប់ទីមួយ៖

យកចិត្តទុកដាក់លើអក្សររត់ខាងក្រោម៖ នៅជាប់អក្សរ "x" វាមិនត្រូវបានហាមឃាត់មិនឱ្យសរសេរក្នុងតង្កៀបថាវាជាថេរទេ។ សញ្ញានេះអាចមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់សម្រាប់អ្នកចាប់ផ្តើមដំបូងដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការរុករកដំណោះស្រាយ។

យោបល់បន្ថែម៖

(1) យើងដកចំនួនថេរទាំងអស់ចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ។ ក្នុងករណីនេះ និង ហើយដូច្នេះ ផលិតផលរបស់ពួកគេត្រូវបានចាត់ទុកថាជាចំនួនថេរ។

(2) កុំភ្លេចពីរបៀបបែងចែកឫសឱ្យបានត្រឹមត្រូវ។

(1) យើងយកថេរទាំងអស់ចេញពីសញ្ញានៃដេរីវេ ក្នុងករណីនេះ ថេរគឺ .

(2) នៅក្រោមបឋម យើងមានផលិតផលនៃមុខងារពីរ ដូច្នេះយើងត្រូវប្រើក្បួនភាពខុសគ្នានៃផលិតផល .

(3) កុំភ្លេចថាជាមុខងារស្មុគស្មាញ (ទោះបីជាសាមញ្ញបំផុតនៃស្មុគស្មាញក៏ដោយ) ។ យើងប្រើច្បាប់ដែលត្រូវគ្នា៖ .

ឥឡូវនេះយើងរកឃើញនិស្សន្ទវត្ថុចម្រុះនៃលំដាប់ទីពីរ៖

នេះមានន័យថាការគណនាទាំងអស់គឺត្រឹមត្រូវ។

ចូរយើងសរសេរឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប។ នៅក្នុងបរិបទនៃកិច្ចការដែលកំពុងពិចារណា វាគ្មានន័យទេក្នុងការប្រាប់ពីអ្វីដែលឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃមុខងារនៃអថេរពីរគឺ។ វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះច្រើនតែត្រូវសរសេរក្នុងបញ្ហាជាក់ស្តែង។

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយសរុបមុខងារនៃអថេរពីរមានទម្រង់៖

ក្នុងករណី​នេះ:

នោះគឺនៅក្នុងរូបមន្តអ្នកគ្រាន់តែត្រូវការឆោតល្ងង់គ្រាន់តែជំនួសដេរីវេភាគដែលបានរកឃើញរួចហើយនៃលំដាប់ទីមួយ។ រូបតំណាងឌីផេរ៉ង់ស្យែល ហើយក្នុងស្ថានភាពនេះ និងស្ថានភាពស្រដៀងគ្នា បើអាចធ្វើបាន វាជាការប្រសើរក្នុងការសរសេរជាលេខ៖

ហើយតាមការស្នើសុំម្តងហើយម្តងទៀតរបស់អ្នកអាន។ ឌីផេរ៉ង់ស្យែលពេញលេញនៃលំដាប់ទីពីរ.

វាមើលទៅដូចនេះ៖

ស្វែងរកដោយប្រយ័ត្នប្រយែងនូវនិស្សន្ទវត្ថុ "អក្សរតែមួយ" នៃលំដាប់ទី 2៖

ហើយសរសេរ "បិសាច" ដោយប្រុងប្រយ័ត្ន "ភ្ជាប់" ការ៉េផលិតផលហើយកុំភ្លេចទ្វេដងនៃដេរីវេចម្រុះ:

វាមិនអីទេ ប្រសិនបើអ្វីមួយហាក់ដូចជាពិបាក អ្នកតែងតែអាចត្រលប់ទៅនិស្សន្ទវត្ថុនៅពេលក្រោយ បន្ទាប់ពីអ្នកជ្រើសរើសបច្ចេកទេសនៃភាពខុសគ្នា៖

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុជាផ្នែកនៃអនុគមន៍មួយ។ . ពិនិត្យមើលនោះ។ សរសេរឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃលំដាប់ទីមួយ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយចំនួនដែលមានមុខងារស្មុគស្មាញ៖

ឧទាហរណ៍ ៥

ស្វែងរកដេរីវេនៃផ្នែកនៃលំដាប់ទីមួយនៃអនុគមន៍។

ការសម្រេចចិត្ត៖

ឧទាហរណ៍ ៦

ស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុជាផ្នែកនៃអនុគមន៍មួយ។ .
សរសេរឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប។

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង (ចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន)។ ខ្ញុំនឹងមិនបង្ហោះដំណោះស្រាយពេញលេញទេព្រោះវាសាមញ្ញណាស់។

ជាញឹកញយ ច្បាប់ខាងលើទាំងអស់ត្រូវបានអនុវត្តរួមគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ៧

ស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុជាផ្នែកនៃអនុគមន៍មួយ។ .

(1) យើងប្រើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលបូក

(2) ពាក្យទីមួយក្នុងករណីនេះត្រូវបានចាត់ទុកថាជាថេរ ព្រោះថាមិនមានអ្វីនៅក្នុងកន្សោមដែលអាស្រ័យលើ "x" - មានតែ "y" ប៉ុណ្ណោះ។ អ្នកដឹងទេ វាតែងតែល្អនៅពេលដែលប្រភាគអាចប្រែទៅជាសូន្យ)។ សម្រាប់ពាក្យទីពីរ យើងអនុវត្តច្បាប់ភាពខុសគ្នានៃផលិតផល។ ដោយវិធីនេះក្នុងន័យនេះគ្មានអ្វីនឹងផ្លាស់ប្តូរទេប្រសិនបើមុខងារមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យជំនួសវិញ - វាសំខាន់នៅទីនេះ ផលិតផលនៃមុខងារពីរ, ដែលនីមួយៗអាស្រ័យលើ "X"ដូច្នេះហើយ អ្នកត្រូវប្រើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃផលិតផល។ សម្រាប់ពាក្យទីបី យើងអនុវត្តច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ។

(1) ពាក្យទីមួយទាំងផ្នែកភាគយក និងភាគបែងមាន "y" ដូច្នេះអ្នកត្រូវប្រើច្បាប់សម្រាប់បែងចែកផលបូក៖ . ពាក្យទីពីរអាស្រ័យតែលើ "x" ដែលមានន័យថាវាត្រូវបានចាត់ទុកថាជាថេរហើយប្រែទៅជាសូន្យ។ សម្រាប់ពាក្យទីបី យើងប្រើច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញមួយ។

សម្រាប់អ្នកអានទាំងនោះដែលធ្វើវាដោយក្លាហានស្ទើរតែដល់ចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន ខ្ញុំនឹងប្រាប់អ្នកនូវរឿងខ្លីមួយរបស់ Mekhmatov សម្រាប់ detente៖

នៅពេលដែលនិស្សន្ទវត្ថុអាក្រក់មួយបានលេចឡើងនៅក្នុងលំហនៃមុខងារ និងរបៀបដែលវាបានទៅធ្វើឱ្យមនុស្សគ្រប់គ្នាខុសគ្នា។ គ្រប់មុខងារ រាយប៉ាយគ្រប់ទិសទី គ្មានអ្នកណាចង់បត់! ហើយ​មុខងារ​តែ​មួយ​មិន​គេច​ទៅ​ណា​ទេ។ និស្សន្ទវត្ថុចូលទៅជិតវា ហើយសួរថា៖

"ម៉េចមិនរត់ពីខ្ញុំ?"

- ហា។ ប៉ុន្តែខ្ញុំមិនខ្វល់ទេ ព្រោះខ្ញុំជា "e to power of x" ហើយអ្នកមិនអាចធ្វើអ្វីដាក់ខ្ញុំបានទេ!

ដែលដេរីវេនៃអំពើអាក្រក់ដោយស្នាមញញឹមដ៏អាក្រក់ឆ្លើយថា:

- នេះជាកន្លែងដែលអ្នកខុស ខ្ញុំនឹងបែងចែកអ្នកដោយអក្សរ "y" ដូច្នេះសូមធ្វើជាសូន្យសម្រាប់អ្នក។

ដែលយល់ពីរឿងកំប្លែង គាត់បានស្ទាត់ជំនាញនិស្សន្ទវត្ថុ យ៉ាងហោចណាស់សម្រាប់ "troika") ។

ឧទាហរណ៍ ៨

ស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុជាផ្នែកនៃអនុគមន៍មួយ។ .

នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​ធ្វើ​ដោយ​ខ្លួន​ឯង។ ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងការរចនាគំរូនៃបញ្ហាគឺនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

មែនហើយ នោះស្ទើរតែទាំងអស់។ ជាចុងក្រោយ ខ្ញុំមិនអាចជួយបានទេ ប៉ុន្តែសូមអ្នកគណិតវិទូនូវឧទាហរណ៍មួយបន្ថែមទៀត។ វាមិនមែនសូម្បីតែអ្នកស្ម័គ្រចិត្តក៏ដោយ មនុស្សគ្រប់រូបមានកម្រិតខុសគ្នានៃការបណ្តុះបណ្តាលគណិតវិទ្យា - មានមនុស្ស (ហើយមិនមែនកម្រនោះទេ) ដែលចូលចិត្តប្រកួតប្រជែងជាមួយកិច្ចការពិបាកជាង។ ទោះបីជាឧទាហរណ៍ចុងក្រោយនៅក្នុងមេរៀននេះមិនមានភាពស្មុគស្មាញច្រើនដូចការពិបាកក្នុងការគណនាក៏ដោយ។

និយមន័យ៖ឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃអនុគមន៍អថេរជាច្រើនត្រូវបានគេហៅថាផលបូកនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកទាំងអស់របស់វា៖

ឧទាហរណ៍ 1៖ .

ការសម្រេចចិត្ត:

ដោយសារដេរីវេភាគនៃអនុគមន៍នេះគឺស្មើគ្នា៖

បន្ទាប់មកយើងអាចសរសេរឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកនៃមុខងារទាំងនេះភ្លាមៗ៖

, ,

បន្ទាប់មកឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃមុខងារនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

.

ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកឌីផេរ៉ង់ស្យែលពេញលេញនៃមុខងារមួយ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

មុខងារនេះគឺស្មុគស្មាញ, i.e. អាចត្រូវបានស្រមៃថាជា

យើងរកឃើញដេរីវេដោយផ្នែក៖

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលពេញលេញ៖

អត្ថន័យវិភាគនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបគឺថាឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបនៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើនគឺជាផ្នែកសំខាន់នៃការកើនឡើងសរុបនៃអនុគមន៍នេះនោះគឺមានសមភាពប្រហាក់ប្រហែល៖ ∆z≈dz។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាត្រូវតែចងចាំថា សមភាពប្រហាក់ប្រហែលទាំងនេះមានសុពលភាពសម្រាប់តែឌីផេរ៉ង់ស្យែលតូច dx និង dy នៃអាគុយម៉ង់នៃអនុគមន៍ z=f(x,y) ប៉ុណ្ណោះ។

ការប្រើប្រាស់ឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបក្នុងការគណនាប្រហាក់ប្រហែលគឺផ្អែកលើការប្រើប្រាស់រូបមន្ត ∆z≈dz ។

ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើនៅក្នុងរូបមន្តនេះ ការកើនឡើង ∆z នៃអនុគមន៍ត្រូវបានតំណាងជា , និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបជា បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖

≈ ,

រូបមន្តលទ្ធផលអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកតម្លៃ "ថ្មី" នៃមុខងារនៃអថេរពីរ ដែលវាត្រូវចំណាយពេលជាមួយនឹងការកើនឡើងតិចតួចគ្រប់គ្រាន់នៃអាគុយម៉ង់ទាំងពីររបស់វា។

ឧទាហរណ៍។ស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអនុគមន៍ ជាមួយនឹងតម្លៃដូចខាងក្រោមនៃអាគុយម៉ង់របស់វា: 1.01, .

ការសម្រេចចិត្ត។

ការជំនួសដេរីវេភាគនៃអនុគមន៍ដែលរកឃើញមុនក្នុងរូបមន្ត យើងទទួលបាន៖

នៅពេលជំនួសតម្លៃ x=1, ∆x=0.01, y=2, ∆y=0.02 យើងទទួលបាន៖

វាលមាត្រដ្ឋាន។

ប្រសិនបើនៅចំណុចនីមួយៗនៃតំបន់មួយចំនួននៃលំហ D អនុគមន៍ U(p)=U(x,y,z) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះវាត្រូវបានគេនិយាយថាវាលមាត្រដ្ឋានត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងតំបន់ D ។

ប្រសិនបើឧទាហរណ៍ U(x, y, z) តំណាងឱ្យសីតុណ្ហភាពនៅចំណុច M(x, y, z) នោះយើងនិយាយថាវាលសីតុណ្ហភាពមាត្រដ្ឋានត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើតំបន់ D ត្រូវបានបំពេញដោយអង្គធាតុរាវ ឬឧស្ម័ន ហើយ U(x,y,z) តំណាងឱ្យសម្ពាធ នោះមានវាលសម្ពាធមាត្រដ្ឋាន។ ប្រសិនបើការរៀបចំនៃការចោទប្រកាន់ ឬសាកសពដ៏ធំត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងលំហ នោះមនុស្សម្នាក់និយាយអំពីវាលសក្តានុពលមួយ។

វាលមាត្រដ្ឋានត្រូវបានគេហៅថា ស្ថានីប្រសិនបើអនុគមន៍ U(x,y,z) មិនផ្លាស់ប្តូរតាមពេលវេលា៖ U(x,y,z) ≠ f(ត)

វាលស្ថានីណាមួយត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយ៖

1) ផ្ទៃកម្រិតនៃវាលមាត្រដ្ឋាន

2) អត្រានៃការផ្លាស់ប្តូរវាលក្នុងទិសដៅដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ផ្ទៃកម្រិតវាលមាត្រដ្ឋានគឺជាទីតាំងនៃចំណុចដែលអនុគមន៍ U(x,y,z) យកតម្លៃថេរ នោះគឺ U(x,y,z) = const ។ ការប្រមូលផ្តុំចំណុចទាំងនេះបង្កើតបានជាផ្ទៃជាក់លាក់មួយ។ ប្រសិនបើយើងយកថេរមួយទៀត យើងទទួលបានផ្ទៃមួយទៀត។

ឧទាហរណ៍៖សូមឱ្យវាលមាត្រដ្ឋានត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ឧទាហរណ៍នៃវាលបែបនេះគឺជាវាលសក្តានុពលអគ្គិសនីនៃបន្ទុកអគ្គីសនីចំណុច (+ q) ។ នៅទីនេះ ផ្ទៃកម្រិតគឺជាផ្ទៃស្មើគ្នា នោះគឺ ស្វ៊ែរនៅចំកណ្តាលដែលមានបន្ទុកដែលបង្កើតវាលមួយ។

ទិសដៅនៃការកើនឡើងដ៏ធំបំផុតនៃអនុគមន៍មាត្រដ្ឋានត្រូវបានផ្តល់ដោយវ៉ិចទ័រដែលហៅថា ជម្រាលហើយត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា (ឬ) ។

ជម្រាល​នៃ​អនុគមន៍​ត្រូវ​បាន​គេ​រក​ឃើញ​នៅ​ក្នុង​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​ដេរីវេ​ផ្នែក​នៃ​អនុគមន៍​នេះ ហើយ​តែងតែ​កាត់​កែង​ទៅ​នឹង​ផ្ទៃ​កម្រិត​នៃ​វាល​មាត្រដ្ឋាន​នៅ​ចំណុច​មួយ​ដែល​បាន​ផ្ដល់​ឱ្យ៖

កន្លែងណា

ឯកតាវ៉ិចទ័រតាមអ័ក្ស OX, OY, OZ

ដេរីវេនៃអនុគមន៍ U(x,y,z) ក្នុងទិសដៅផ្សេងទៀត (λ) ត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

កន្លែងណា

α, β, γ គឺជាមុំរវាងអ័ក្សកូអរដោនេ OX, OY, OZ និងទិសដៅរៀងគ្នា។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ ដើម្បីស្វែងរកឌីផេរ៉ង់ស្យែល អ្នកត្រូវគុណដេរីវេដោយ dx។ នេះអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកសរសេរតារាងដែលត្រូវគ្នាភ្លាមៗសម្រាប់ឌីផេរ៉ង់ស្យែលពីតារាងរូបមន្តសម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុ។

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបសម្រាប់អនុគមន៍នៃអថេរពីរ៖

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបសម្រាប់អនុគមន៍នៃអថេរបីគឺស្មើនឹងផលបូកនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែក៖ d f(x,y,z)=d x f(x,y,z)dx+d y f(x,y,z)dy+d z f(x ,y,z)dz

និយមន័យ។ អនុគមន៍ y=f(x) ត្រូវបានគេហៅថាខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x 0 ប្រសិនបើការកើនឡើងរបស់វានៅចំណុចនេះអាចត្រូវបានតំណាងថាជា ∆y=A∆x + α(∆x)∆x ដែល A ជាថេរ និង α(∆ x) តូចមិនកំណត់ដូចជា ∆x → 0 ។
តម្រូវការដែលអនុគមន៍អាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុចមួយ គឺស្មើនឹងអត្ថិភាពនៃដេរីវេនៅចំណុចនេះ ដោយ A=f'(x 0)។

អនុញ្ញាតឱ្យ f(x) ខុសគ្នាត្រង់ចំនុច x 0 និង f "(x 0)≠0 បន្ទាប់មក ∆y=f'(x 0)∆x + α∆x ដែល α= α(∆x) →0 ជា ∆x → 0. បរិមាណ ∆y និងពាក្យនីមួយៗនៅខាងស្តាំដៃគឺជាតម្លៃគ្មានកំណត់ដូច ∆x →0។ តោះប្រៀបធៀបពួកវា៖ នោះ​គឺ α(∆x)∆x ជា​លំដាប់​ខ្ពស់​ជាង​គ្មាន​កំណត់ f'(x 0)∆x ។
នោះគឺ ∆y~f'(x 0)∆x។ ដូច្នេះ f'(x 0)∆x គឺជាមេ ហើយក្នុងពេលតែមួយលីនេអ៊ែរទាក់ទងនឹង ∆x នៃផ្នែកបន្ថែម ∆y (លីនេអ៊ែរមានន័យថាមាន ∆x ដល់ដឺក្រេទីមួយ)។ ពាក្យនេះត្រូវបានគេហៅថាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ y \u003d f (x) នៅចំណុច x 0 និងតំណាងថា dy (x 0) ឬ df (x 0) ។ ដូច្នេះសម្រាប់ x បំពាន
dy=f′(x)∆x ។ (មួយ)
អនុញ្ញាតឱ្យ dx=∆x បន្ទាប់មក
dy=f′(x)dx ។ (2)

ឧទាហរណ៍។ ស្វែងរកដេរីវេ និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃមុខងារទាំងនេះ។
ក) y=4tg2x
ការសម្រេចចិត្ត៖

ឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖
ខ)
ការសម្រេចចិត្ត៖

ឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖
គ) y=arcsin 2 (lnx)
ការសម្រេចចិត្ត៖

ឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖
ឆ)
ការសម្រេចចិត្ត៖
=
ឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖

ឧទាហរណ៍។ សម្រាប់អនុគមន៍ y=x 3 ស្វែងរកកន្សោមសម្រាប់ ∆y និង dy សម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃ x និង ∆x ។
ការសម្រេចចិត្ត. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x + 3x∆x 2 +∆x 3 dy=3x 2 ∆x (យើងយកផ្នែកលីនេអ៊ែរសំខាន់នៃ ∆y ទាក់ទងនឹង ∆x) ។ ក្នុងករណីនេះ α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3 ។

ទិន្នផល​ប្រមូល​ផល៖

នៅលើលំដាប់ទី 2 ឌីផេរ៉ង់ស្យែល

Lovkov Ivan Yurievich

និស្សិតនៃសាកលវិទ្យាល័យរដ្ឋម៉ូស្គូនៃបច្ចេកវិទ្យាព័ត៌មានវិស្វកម្មវិទ្យុនិងអេឡិចត្រូនិច RF, Serpukhov

អ៊ី- សំបុត្រ: alkasardancer@ អ្នករត់ប្រណាំង. ន

Taperechkina Vera Alekseevna

ស្ករគ្រាប់។ រូបវិទ្យា - គណិតវិទ្យា។ វិទ្យាសាស្រ្ត, សាស្រ្តាចារ្យរង, សាកលវិទ្យាល័យរដ្ឋម៉ូស្គូនៃបច្ចេកវិទ្យាព័ត៌មាន, វិស្វកម្មវិទ្យុនិងអេឡិចត្រូនិច, សហព័ន្ធរុស្ស៊ី, Serpukhov

អំពីឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរ

Lovkov Ivan

និស្សិតនៃសាកលវិទ្យាល័យបច្ចេកវិទ្យាព័ត៌មានរដ្ឋម៉ូស្គូ វិស្វកម្មវិទ្យុ និងអេឡិចត្រូនិក ប្រទេសរុស្ស៊ី Serpukhov

Vera Taperechkina

បេក្ខជននៃវិទ្យាសាស្ត្ររូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យា សាស្ត្រាចារ្យរងនៃសាកលវិទ្យាល័យរដ្ឋម៉ូស្គូនៃបច្ចេកវិទ្យាព័ត៌មាន វិស្វកម្មវិទ្យុ និងអេឡិចត្រូនិក ប្រទេសរុស្ស៊ី Serpukhov

ចំណារពន្យល់

ក្រដាសពិចារណាអំពីវិធីសាស្រ្តក្នុងការស្វែងរកដេរីវេ និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំដាប់ទីមួយ និងទីពីរសម្រាប់មុខងារស្មុគស្មាញនៃអថេរពីរ។

សង្ខេប

វិធីសាស្រ្តគណនានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលទីមួយ និងទីពីរសម្រាប់អនុគមន៍ផ្សំនៃអថេរពីរ។

ពាក្យ​គន្លឹះ៖និស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក; ឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ពាក្យគន្លឹះ: និស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក; ឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

1. សេចក្តីផ្តើម។

ចូរយើងបង្កើតការពិតមួយចំនួនពីទ្រឹស្តីនៃមុខងារនៃអថេរជាច្រើន ដែលយើងនឹងត្រូវការខាងក្រោម។

និយមន័យ៖ អនុគមន៍ z=f(u,v) ត្រូវបានគេហៅថាខុសគ្នាត្រង់ចំនុចមួយ (u,v) ប្រសិនបើការកើនឡើង Δz របស់វាអាចត្រូវបានតំណាងជា៖

ផ្នែកលីនេអ៊ែរនៃការកើនឡើងត្រូវបានគេហៅថាឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុបហើយត្រូវបានតំណាង dz ។

ទ្រឹស្តីបទ (លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពខុសគ្នា) cf ។

ប្រសិនបើនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃ m.(u, v) មាននិស្សន្ទវត្ថុបន្តបន្ទាប់គ្នា ហើយ អនុគមន៍ f(u, v) អាចខុសគ្នាត្រង់ចំណុចនេះ ហើយ

(du=Δu, dv=Δv)។ (មួយ)

និយមន័យ៖ ឌីផេរ៉ង់ស្យែលទីពីរនៃអនុគមន៍ z=f(u,v) នៅចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ (u,v) គឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលដំបូងនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលដំបូងនៃអនុគមន៍ f(u,v), i.e.

ពីនិយមន័យនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលទីពីរ z=f(u,v) ដែល u និង v ជាអថេរឯករាជ្យ វាធ្វើតាម

ដូច្នេះរូបមន្តមានសុពលភាព៖

នៅពេលទាញយករូបមន្ត ទ្រឹស្តីបទ Schwartz ស្តីពីសមភាពនៃនិស្សន្ទវត្ថុចម្រុះត្រូវបានប្រើ។ សមភាពនេះគឺមានសុពលភាពដែលផ្តល់ឱ្យនោះ។ ត្រូវបានកំណត់នៅក្នុងសង្កាត់នៃ m.(u, v) និងបន្តនៅក្នុង m.(u, v) ។ ឃើញ

រូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកឌីផេរ៉ង់ស្យែលទី 2 អាចត្រូវបានសរសេរជានិមិត្តសញ្ញាក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖ - ការេជាផ្លូវការនៃតង្កៀបជាមួយនឹងការគុណជាផ្លូវការជាបន្តបន្ទាប់នៅខាងស្តាំដោយ f (x y) ផ្តល់រូបមន្តដែលទទួលបានពីមុន។ ដូចគ្នានេះដែរ រូបមន្តសម្រាប់ឌីផេរ៉ង់ស្យែលទី 3 មានសុពលភាព៖

ហើយជាទូទៅនិយាយ៖

ដែលជាកន្លែងដែលការបង្កើនជាផ្លូវការទៅអំណាចទី n ត្រូវបានអនុវត្តតាមរូបមន្ត binomial របស់ញូតុន:

;

ចំណាំថាឌីផេរ៉ង់ស្យែលទីមួយនៃអនុគមន៍នៃអថេរពីរមានទម្រង់មិនប្រែប្រួល។ នោះគឺប្រសិនបើ u និង v គឺជាអថេរឯករាជ្យ នោះសម្រាប់អនុគមន៍ z=f(u,v) យោងទៅតាម (1)

សូមអោយឥឡូវនេះ u=u(x y), v=v(x y), បន្ទាប់មក z=f(u(x y), v(x y)), x និង y គឺជាអថេរឯករាជ្យ បន្ទាប់មក

ការប្រើរូបមន្តល្បីសម្រាប់ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញមួយ៖

បន្ទាប់មកពី (3) និង (4) យើងទទួលបាន:

ដូច្នេះ

(5)

កន្លែងណា - ឌីផេរ៉ង់ស្យែលដំបូងនៃមុខងារ u, - ឌីផេរ៉ង់ស្យែលដំបូងនៃមុខងារ v ។

ការប្រៀបធៀប (1) និង (5) យើងឃើញថារូបមន្តផ្លូវការសម្រាប់ dz ត្រូវបានបម្រុងទុក ប៉ុន្តែប្រសិនបើនៅក្នុង (1) du = Δu, dv = Δv គឺជាការកើនឡើងនៃអថេរឯករាជ្យ បន្ទាប់មកនៅក្នុង (5) du និង dv គឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃ មុខងារ u និង v ។

2. ឌីផេរ៉ង់ស្យែលទីពីរនៃអនុគមន៍ផ្សំនៃអថេរពីរ។

ជាដំបូង យើងបង្ហាញថាឌីផេរ៉ង់ស្យែលទីពីរមិនមានទ្រព្យសម្បត្តិទម្រង់មិនប្រែប្រួលទេ។

អនុញ្ញាតឱ្យ z = z(u, v) ក្នុងករណីអថេរឯករាជ្យ u និង v ឌីផេរ៉ង់ស្យែលទីពីរត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត (2)

ឥឡូវសូម u=u(x y), v=v(x y), z=z(u(x y), v(x y)) ដែល x និង y ជាអថេរឯករាជ្យ។ បន្ទាប់មក

.

ដូច្នេះទីបំផុតយើងទទួលបាន៖

រូបមន្ត (2) និង (6) មិនស្របគ្នាក្នុងទម្រង់ទេ ដូច្នេះឌីផេរ៉ង់ស្យែលទីពីរមិនមានទ្រព្យសម្បត្តិបំរែបំរួលទេ។

ពីមុន រូបមន្តដេរីវេដោយផ្នែកនៃលំដាប់ទី 1 ត្រូវបានទាញយកសម្រាប់អនុគមន៍ស្មុគស្មាញ z=f(u, v) ដែល u=u(x y), v=v(x y) ដែល x និង y ជាអថេរឯករាជ្យ សូមមើល។

យើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់គណនាដេរីវេដោយផ្នែក និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរសម្រាប់អនុគមន៍ z=f(u, v), u=u(x y), v=v(x y) ដែល x និង y ជាអថេរឯករាជ្យ។

សម្រាប់អនុគមន៍ u(x y), v(x y) នៃអថេរឯករាជ្យ x, y យើងមានរូបមន្ត៖

ចូរយើងជំនួសរូបមន្ត (8) ទៅជា (6)។

ដូច្នេះហើយ យើងបានទទួលរូបមន្តសម្រាប់ឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃអថេរពីរ។

ការប្រៀបធៀបមេគុណសម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុភាគលំដាប់ទីពីរនៃអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃអថេរពីរក្នុង (2) និង (9) យើងទទួលបានរូបមន្ត៖

ឧទាហរណ៍ 1 សង់ទីម៉ែត្រ

អនុញ្ញាតឱ្យ z=f(u, v), u=xy, v= ។ ស្វែងរកឌីផេរ៉ង់ស្យែលទីពីរ។

ដំណោះស្រាយ៖ គណនានិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក៖

, , , ,

, ,