កំណត់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី d'Alembert ។ ស៊េរីលេខ៖ និយមន័យ លក្ខណៈសម្បត្តិ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យការបញ្ចូលគ្នា ឧទាហរណ៍ ដំណោះស្រាយ

លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបង្រួបបង្រួមរបស់ d'Alembert លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបង្រួបបង្រួមរ៉ាឌីកាល់របស់ Cauchy

សញ្ញាប្រៀបធៀបទូទៅមួយដែលកើតឡើងនៅក្នុងឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងគឺ សញ្ញា d'Alembert ។ សញ្ញារបស់ Cauchy គឺមិនសូវមានទេ ប៉ុន្តែក៏មានប្រជាប្រិយភាពខ្លាំងផងដែរ។ ដូចសព្វមួយដង ខ្ញុំនឹងព្យាយាមបង្ហាញសម្ភារៈតាមរបៀបសាមញ្ញ ងាយយល់ និងអាចយល់បាន។ ប្រធានបទមិនមែនជាការពិបាកបំផុតនោះទេ ហើយរាល់កិច្ចការទាំងអស់គឺមានលក្ខណៈច្បាស់លាស់ក្នុងកម្រិតជាក់លាក់មួយ។

លោក Jean Léron d'Alembert គឺជាគណិតវិទូជនជាតិបារាំងដ៏ល្បីល្បាញនៃសតវត្សទី 18 ។ ជាទូទៅ លោក d'Alembert មានឯកទេសខាងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ហើយផ្អែកលើការស្រាវជ្រាវរបស់គាត់ គាត់បានចូលរួមក្នុងការបាញ់ផ្លោង ដូច្នេះថា គ្រាប់កាំភ្លើងរបស់ព្រះអង្គម្ចាស់នឹងហោះហើរបានប្រសើរជាងមុន។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ខ្ញុំមិនភ្លេចអំពីស៊េរីលេខនោះទេ វាមិនមែនសម្រាប់គ្មានអ្វីសោះដែលជួរកងទ័ពណាប៉ូឡេអុងបានបង្រួបបង្រួម និងបង្វែរគ្នាយ៉ាងច្បាស់។

មុននឹងបង្កើតសញ្ញាដោយខ្លួនឯង ចូរយើងពិចារណាសំណួរសំខាន់មួយ៖
តើគួរប្រើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការបញ្ចូលគ្នារបស់ d'Alembert នៅពេលណា?

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយពាក្យដដែលៗជាមុនសិន។ រំលឹកករណីនៅពេលដែលអ្នកត្រូវប្រើការពេញនិយមបំផុត។ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យប្រៀបធៀបរឹម. លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការប្រៀបធៀបដែនកំណត់ត្រូវបានអនុវត្តនៅពេលដែលនៅក្នុងសមាជិកទូទៅនៃស៊េរីនេះ៖
1) ភាគបែងមានពហុនាម។
២) ពហុនាមមានទាំងភាគយក និងភាគបែង។
3) ពហុនាមមួយ ឬទាំងពីរអាចស្ថិតនៅក្រោមឫស។

តម្រូវការជាមុនសំខាន់ៗសម្រាប់ការអនុវត្តសញ្ញា d'Alembert មានដូចខាងក្រោម៖

1) សមាជិកទូទៅនៃស៊េរី ("ការបំពេញ" នៃស៊េរី) រួមបញ្ចូលចំនួនមួយចំនួននៅក្នុងកម្រិតឧទាហរណ៍ និងដូច្នេះនៅលើ។ ជាងនេះទៅទៀត វាមិនមានបញ្ហាអ្វីទាំងអស់ដែលវត្ថុនេះស្ថិតនៅ ភាគយក ឬក្នុងភាគបែង - វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលវាមានវត្តមាននៅទីនោះ។

2) ពាក្យទូទៅនៃស៊េរីរួមមានហ្វាក់តូរីល។ ជាមួយនឹងរោងចក្រ យើងបានឆ្លងកាត់ដាវនៅក្នុងមេរៀន លំដាប់លេខ និងដែនកំណត់របស់វា។. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាមិនឈឺចាប់ទេក្នុងការពង្រាយកម្រាលតុដែលប្រមូលផ្តុំដោយខ្លួនឯងម្តងទៀត៖

…

…

! នៅពេលប្រើការធ្វើតេស្ត d'Alembert យើងគ្រាន់តែលាបពណ៌ Factorial យ៉ាងលម្អិត។ ដូចនៅក្នុងកថាខណ្ឌមុន ហ្វាក់តូរីលអាចមានទីតាំងនៅផ្នែកខាងលើ ឬខាងក្រោមនៃប្រភាគ។

3) ប្រសិនបើមាន "ខ្សែសង្វាក់នៃកត្តា" នៅក្នុងពាក្យទូទៅនៃស៊េរីឧទាហរណ៍ . ករណីនេះកម្រណាស់ ប៉ុន្តែ! នៅពេលសិក្សាស៊េរីបែបនេះ កំហុសតែងតែកើតឡើង - សូមមើលឧទាហរណ៍ទី 6 ។

រួមជាមួយនឹងអំណាច និង (និង) ហ្វាក់តូរីយ៉ែល ពហុនាមត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុងការបំពេញស៊េរីនេះ វាមិនផ្លាស់ប្តូរអ្វីនោះទេ - អ្នកត្រូវប្រើការធ្វើតេស្ត d'Alembert ។

លើសពីនេះទៀតនៅក្នុងពាក្យទូទៅនៃស៊េរី, ទាំងដឺក្រេនិង factorial អាចកើតឡើងក្នុងពេលតែមួយ; វាអាចមានកត្តាពីរ ពីរដឺក្រេ វាសំខាន់ណាស់ដែលមាន យ៉ាងហោចណាស់ខ្លះពិចារណាចំណុច - ហើយនេះគ្រាន់តែជាតម្រូវការជាមុនសម្រាប់ការប្រើប្រាស់សញ្ញា d'Alembert ប៉ុណ្ណោះ។

សញ្ញារបស់ d'Alembert៖ ពិចារណា ស៊េរីលេខវិជ្ជមាន. ប្រសិនបើមានដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃពាក្យបន្ទាប់ទៅនឹងពាក្យមុន: , បន្ទាប់មក:
ក) នៅជួរមួយ។ បញ្ចូលគ្នា. ជាពិសេស, ស៊េរីនេះបញ្ចូលគ្នាសម្រាប់ .
ខ) នៅជួរមួយ។ ខុសគ្នា. ជាពិសេស, ស៊េរីខុសគ្នានៅ .
គ) ពេលណា សញ្ញាមិនឆ្លើយតប. អ្នកត្រូវប្រើសញ្ញាផ្សេងទៀត។ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ ឯកតាមួយត្រូវបានទទួលនៅពេលដែលពួកគេព្យាយាមអនុវត្តការធ្វើតេស្ត d'Alembert ដែលចាំបាច់ត្រូវប្រើការធ្វើតេស្តប្រៀបធៀបកម្រិតកំណត់។

ប្រសិនបើអ្នកនៅតែមានបញ្ហាជាមួយដែនកំណត់ ឬការយល់ច្រឡំអំពីដែនកំណត់ សូមអានមេរៀន ដែនកំណត់។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ. ប្រសិនបើគ្មានការយល់ដឹងអំពីដែនកំណត់ និងសមត្ថភាពក្នុងការបង្ហាញពីភាពមិនច្បាស់លាស់បន្ថែមទៀត ជាអកុសល មនុស្សម្នាក់មិនអាចឆ្ពោះទៅមុខបានទេ។

ហើយឥឡូវនេះឧទាហរណ៍ដែលរង់ចាំជាយូរមកហើយ។

ឧទាហរណ៍ ១

យើងឃើញថានៅក្នុងពាក្យទូទៅនៃស៊េរីដែលយើងមាន ហើយនេះគឺជាការសន្និដ្ឋានត្រឹមត្រូវដែលយើងត្រូវប្រើការធ្វើតេស្ត d'Alembert ។ ជាដំបូង ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងគំរូរចនា មតិយោបល់ខាងក្រោម។

យើងប្រើតេស្ត d'Alembert៖

បញ្ចូលគ្នា។

(1) ផ្សំសមាមាត្រនៃសមាជិកបន្ទាប់នៃស៊េរីទៅមួយមុន: . តាមលក្ខខណ្ឌ យើងឃើញថាពាក្យទូទៅនៃស៊េរី . ដើម្បីទទួលបានសមាជិកបន្ទាប់នៃស៊េរីវាចាំបាច់ ជំនួសវិញ៖ .
(២) កម្ចាត់ប្រភាគ៤។ ជាមួយនឹងបទពិសោធន៍ខ្លះក្នុងការដោះស្រាយជំហាននេះ អ្នកអាចរំលងវាបាន។
(3) បើកតង្កៀបក្នុងលេខភាគ។ នៅក្នុងភាគបែងយើងយកទាំងបួនចេញពីសញ្ញាប័ត្រ។
(4) កាត់បន្ថយ។ យើងដកចំនួនថេរលើសពីសញ្ញាកំណត់។ នៅក្នុងភាគយក យើងផ្តល់ពាក្យដូចក្នុងវង់ក្រចក។
(5) ភាពមិនច្បាស់លាស់ត្រូវបានលុបចោលតាមវិធីស្តង់ដារ - ដោយបែងចែកភាគយកនិងភាគបែងដោយ "en" ដល់កំរិតខ្ពស់បំផុត។
(6) ចែកភាគយកដោយភាគបែងដោយពាក្យ ហើយចង្អុលបង្ហាញពាក្យដែលមានទំនោរទៅសូន្យ។
(7) យើងសម្រួលចំលើយ និងធ្វើកំណត់ចំណាំថា ជាមួយនឹងការសន្និដ្ឋានថា យោងទៅតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ d'Alembert ស៊េរីដែលកំពុងសិក្សាត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា។

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណា នៅក្នុងពាក្យទូទៅនៃស៊េរី យើងបានជួបប្រទះពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទី 2 ។ ចុះបើមានពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទី 3 ទី 4 ឬខ្ពស់ជាងនេះ? ការពិតគឺថាប្រសិនបើពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនោះការលំបាកនឹងកើតឡើងជាមួយនឹងការបើកតង្កៀប។ ក្នុងករណីនេះអ្នកអាចអនុវត្តវិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយ "turbo" ។

ឧទាហរណ៍ ២

យកស៊េរីស្រដៀងគ្នា ហើយពិនិត្យមើលវាសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

ជាដំបូងដំណោះស្រាយពេញលេញ បន្ទាប់មកបញ្ចេញយោបល់៖

យើងប្រើតេស្ត d'Alembert៖

ដូច្នេះស៊េរីដែលកំពុងសិក្សា បញ្ចូលគ្នា.

(1) ផ្សំសមាមាត្រ។
(២) កម្ចាត់ប្រភាគ៤។
(៣) ពិចារណាកន្សោមក្នុងភាគយក និងកន្សោមក្នុងភាគបែង។ យើងឃើញថានៅក្នុងភាគយក អ្នកត្រូវបើកតង្កៀប ហើយលើកទៅថាមពលទីបួន៖ ដែលអ្នកមិនចង់ធ្វើទាល់តែសោះ។ លើសពីនេះទៀតសម្រាប់អ្នកដែលមិនស៊ាំនឹង binomial របស់ញូវតុន កិច្ចការនេះប្រហែលជាមិនអាចទៅរួចទាល់តែសោះ។ ចូរវិភាគដឺក្រេខ្ពស់បំផុត៖ ប្រសិនបើយើងបើកតង្កៀបនៅខាងលើយើងទទួលបានសញ្ញាបត្រខ្ពស់បំផុត។ ខាងក្រោមយើងមានសញ្ញាបត្រជាន់ខ្ពស់ដូចគ្នា៖ . ដោយការប្រៀបធៀបជាមួយឧទាហរណ៍មុន វាច្បាស់ណាស់ថាជាមួយនឹងការបែងចែកតាមកាលកំណត់នៃភាគយក និងភាគបែងដោយយើងនឹងទទួលបានមួយក្នុងដែនកំណត់។ ឬដូចដែលគណិតវិទូនិយាយ ពហុនាម និង - លំដាប់នៃកំណើនមួយ។. ដូច្នេះ វាពិតជាអាចទៅរួចក្នុងការគូសរង្វង់សមាមាត្រដោយខ្មៅដៃធម្មតា ហើយបង្ហាញភ្លាមៗថារឿងនេះមានទំនោរទៅរកការរួបរួម។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងដោះស្រាយជាមួយគូទីពីរនៃពហុនាម៖ និង ពួកវាផងដែរ។ លំដាប់នៃកំណើនមួយ។ហើយសមាមាត្ររបស់ពួកគេមានទំនោរទៅរកការរួបរួម។

តាមពិត "ការលួចចូល" បែបនេះអាចត្រូវបានធ្វើឡើងក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 ប៉ុន្តែសម្រាប់ពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទី 2 ដំណោះស្រាយបែបនេះនៅតែមើលទៅមិនថ្លៃថ្នូរ។ ដោយផ្ទាល់ខ្ញុំធ្វើដូចនេះ៖ ប្រសិនបើមានពហុនាម (ឬពហុនាម) នៃសញ្ញាប័ត្រទីមួយ ឬទីពីរ ខ្ញុំប្រើវិធី "វែង" ក្នុងការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ 1. ប្រសិនបើពហុនាមនៃសញ្ញាប័ត្រទី 3 ឬខ្ពស់ជាងនេះមក ខ្ញុំបានប្រើ "turbo " វិធីសាស្រ្តស្រដៀងនឹងឧទាហរណ៍ទី 2 ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

បំពេញដំណោះស្រាយ និងគំរូរចនានៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀនស្តីពីលំដាប់លេខ។
(4) កាត់បន្ថយអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលអាចកាត់បន្ថយបាន។
(5) យើងផ្លាស់ទីថេរលើសពីសញ្ញាកំណត់។ បើកវង់ក្រចកក្នុងលេខភាគ។
(6) ភាពមិនច្បាស់លាស់ត្រូវបានលុបចោលតាមវិធីស្តង់ដារមួយ - ដោយបែងចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ "en" ដល់កំរិតខ្ពស់បំផុត។

ឧទាហរណ៍ 5

ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងគំរូរចនានៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន

ឧទាហរណ៍ ៦

ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

ពេលខ្លះមានជួរដែលមាន "ខ្សែសង្វាក់" នៃមេគុណនៅក្នុងការបំពេញរបស់ពួកគេ យើងមិនទាន់បានពិចារណាប្រភេទជួរដេកនេះនៅឡើយទេ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកស៊េរីជាមួយ "ខ្សែសង្វាក់" នៃកត្តា? ប្រើសញ្ញារបស់ d'Alembert ។ ប៉ុន្តែជាដំបូង ដើម្បីយល់ពីអ្វីដែលកំពុងកើតឡើង យើងនឹងសរសេរជាស៊េរីលម្អិត៖

ពីការពង្រីក យើងឃើញថា សម្រាប់សមាជិកបន្ទាប់នីមួយៗនៃស៊េរី កត្តាបន្ថែមមួយត្រូវបានបន្ថែមនៅក្នុងភាគបែង ដូច្នេះប្រសិនបើសមាជិកទូទៅនៃស៊េរីគឺ នោះសមាជិកបន្ទាប់នៃស៊េរី៖
. នៅទីនេះពួកគេតែងតែធ្វើខុសដោយស្វ័យប្រវត្តិ ដោយសរសេរជាផ្លូវការដោយយោងតាមក្បួនដោះស្រាយនោះ។

ឧទាហរណ៍ដំណោះស្រាយអាចមើលទៅដូចនេះ៖

យើងប្រើតេស្ត d'Alembert៖

ដូច្នេះស៊េរីដែលកំពុងសិក្សា បញ្ចូលគ្នា។

សញ្ញានៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី។
សញ្ញារបស់ d'Alembert ។ សញ្ញានៃ Cauchy

ការងារការងារ - និងការយល់ដឹងនឹងមកនៅពេលក្រោយ
J.L. d'Alembert

សូមអបអរសាទរដល់អ្នកទាំងអស់គ្នាក្នុងថ្ងៃចាប់ផ្តើមឆ្នាំសិក្សា! ថ្ងៃនេះគឺជាថ្ងៃទី 1 ខែកញ្ញា ហើយជាកិត្តិយសនៃថ្ងៃឈប់សម្រាក ខ្ញុំបានសម្រេចចិត្តប្រាប់អ្នកអាននូវអ្វីដែលអ្នកទន្ទឹងរង់ចាំ និងចង់ដឹងចង់ឃើញ - សញ្ញានៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីវិជ្ជមានជាលេខ. ថ្ងៃឈប់សម្រាកគឺជាថ្ងៃទី 1 នៃខែកញ្ញា ហើយការអបអរសាទររបស់ខ្ញុំតែងតែពាក់ព័ន្ធ វាមិនអីទេ ប្រសិនបើវាជារដូវក្តៅនៅខាងក្រៅបង្អួច ប៉ុន្តែឥឡូវនេះ អ្នកកំពុងប្រឡងជាលើកទី 3 ប្រសិនបើអ្នកចូលមើលទំព័រនេះ!

សម្រាប់អ្នកដែលទើបនឹងចាប់ផ្តើមសិក្សាស៊េរីនេះ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអ្នកអានអត្ថបទជាមុនសិន ជួរលេខសម្រាប់អត់ចេះសោះ. តាមពិតរទេះនេះគឺជាការបន្តនៃពិធីជប់លៀង។ ដូច្នេះថ្ងៃនេះនៅក្នុងមេរៀន យើងនឹងពិនិត្យមើលឧទាហរណ៍ និងដំណោះស្រាយលើប្រធានបទ៖

d'Alembert ការធ្វើតេស្ត convergence

1) ភាគបែងមានពហុនាម។
២) ពហុនាមមានទាំងភាគយក និងភាគបែង។
3) ពហុនាមមួយ ឬទាំងពីរអាចស្ថិតនៅក្រោមឫស។
4) ជាការពិតណាស់ វាអាចមានពហុនាម និងឫស។

តម្រូវការជាមុនសំខាន់ៗសម្រាប់ការអនុវត្តសញ្ញា d'Alembert មានដូចខាងក្រោម៖

1) សមាជិកទូទៅនៃស៊េរី ("ការបំពេញ" នៃស៊េរី) រួមបញ្ចូលចំនួនមួយចំនួននៅក្នុងកម្រិតឧទាហរណ៍, និងដូច្នេះនៅលើ។ ជាងនេះទៅទៀត វាមិនមានបញ្ហាអ្វីទាំងអស់ដែលវត្ថុនេះស្ថិតនៅ ភាគយក ឬក្នុងភាគបែង - វាជាការសំខាន់ណាស់ដែលវាមានវត្តមាននៅទីនោះ។

2) ពាក្យទូទៅនៃស៊េរីរួមមានហ្វាក់តូរីល។ យើងបានឆ្លងកាត់ដាវជាមួយហ្វាក់តូរីលនៅក្នុងមេរៀន លំដាប់លេខ និងដែនកំណត់របស់វា។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាមិនឈឺចាប់ទេក្នុងការពង្រាយកម្រាលតុដែលប្រមូលផ្តុំដោយខ្លួនឯងម្តងទៀត៖

…

…

3) ប្រសិនបើមាន "ខ្សែសង្វាក់នៃកត្តា" នៅក្នុងពាក្យសាមញ្ញនៃស៊េរីឧទាហរណ៍។ . ករណីនេះកម្រណាស់ ប៉ុន្តែ! នៅពេលសិក្សាស៊េរីបែបនេះ កំហុសតែងតែកើតឡើង - សូមមើលឧទាហរណ៍ទី 6 ។

លើសពីនេះទៀតនៅក្នុងពាក្យទូទៅនៃស៊េរី, ទាំងដឺក្រេនិង factorial អាចកើតឡើងក្នុងពេលតែមួយ; វាអាចមានកត្តាពីរ ពីរដឺក្រេ វាសំខាន់ណាស់ដែលមាន យ៉ាងហោចណាស់អ្វីមួយនៃចំណុចដែលបានពិចារណា - ហើយនេះគ្រាន់តែជាតម្រូវការជាមុនសម្រាប់ការប្រើប្រាស់សញ្ញា d'Alembert ប៉ុណ្ណោះ។

សញ្ញារបស់ d'Alembert៖ ពិចារណា ស៊េរីលេខវិជ្ជមាន. ប្រសិនបើមានដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃពាក្យបន្ទាប់ទៅនឹងពាក្យមុន: , បន្ទាប់មក:
ក) នៅជួរមួយ។ បញ្ចូលគ្នា
ខ) នៅជួរមួយ។ ខុសគ្នា
គ) ពេលណា សញ្ញាមិនឆ្លើយតប. អ្នកត្រូវប្រើសញ្ញាផ្សេងទៀត។ ភាគច្រើនជាញឹកញាប់ ឯកតាមួយត្រូវបានទទួលនៅពេលដែលពួកគេព្យាយាមអនុវត្តការធ្វើតេស្ត d'Alembert ដែលចាំបាច់ត្រូវប្រើការធ្វើតេស្តប្រៀបធៀបកម្រិតកំណត់។

ហើយឥឡូវនេះឧទាហរណ៍ដែលរង់ចាំជាយូរមកហើយ។

ឧទាហរណ៍ ១

យើងប្រើតេស្ត d'Alembert៖

បញ្ចូលគ្នា។
(1) ផ្សំសមាមាត្រនៃសមាជិកបន្ទាប់នៃស៊េរីទៅមួយមុន: . តាមលក្ខខណ្ឌ យើងឃើញថាពាក្យទូទៅនៃស៊េរី . ដើម្បីទទួលបានសមាជិកបន្ទាប់នៃស៊េរី អ្នកត្រូវការ ជំនួស៖ .
(២) កម្ចាត់ប្រភាគ៤។ ជាមួយនឹងបទពិសោធន៍ខ្លះក្នុងការដោះស្រាយជំហាននេះ អ្នកអាចរំលងវាបាន។
(3) បើកតង្កៀបក្នុងលេខភាគ។ នៅក្នុងភាគបែងយើងយកទាំងបួនចេញពីសញ្ញាប័ត្រ។
(4) កាត់បន្ថយ។ យើងដកចំនួនថេរលើសពីសញ្ញាកំណត់។ នៅក្នុងភាគយក យើងផ្តល់ពាក្យដូចក្នុងវង់ក្រចក។
(5) ភាពមិនច្បាស់លាស់ត្រូវបានលុបចោលតាមវិធីស្តង់ដារ - ដោយបែងចែកភាគយកនិងភាគបែងដោយ "en" ដល់កំរិតខ្ពស់បំផុត។
(6) ចែកភាគយកដោយភាគបែងដោយពាក្យ ហើយចង្អុលបង្ហាញពាក្យដែលមានទំនោរទៅសូន្យ។
(7) យើងសម្រួលចំលើយ និងធ្វើកំណត់ចំណាំថា ជាមួយនឹងការសន្និដ្ឋានថា យោងទៅតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យ d'Alembert ស៊េរីដែលកំពុងសិក្សាត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ២

យកស៊េរីស្រដៀងគ្នា ហើយពិនិត្យមើលវាសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

ជាដំបូងដំណោះស្រាយពេញលេញ បន្ទាប់មកបញ្ចេញយោបល់៖

យើងប្រើតេស្ត d'Alembert៖

ដូច្នេះស៊េរីដែលកំពុងសិក្សា បញ្ចូលគ្នា.

(1) ផ្សំសមាមាត្រ។

(៣) ពិចារណាអំពីការបញ្ចេញមតិ នៅក្នុងភាគយក និងកន្សោមក្នុងភាគបែង។ យើងឃើញថានៅក្នុងភាគយក អ្នកត្រូវបើកតង្កៀប ហើយលើកទៅថាមពលទីបួន៖ ដែលអ្នកមិនចង់ធ្វើទាល់តែសោះ។ ហើយសម្រាប់អ្នកដែលមិនស៊ាំនឹង binomial របស់ញូវតុន កិច្ចការនេះនឹងកាន់តែពិបាក។ ចូរវិភាគដឺក្រេខ្ពស់ជាងនេះ៖ ប្រសិនបើយើងបើកតង្កៀបនៅខាងលើ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសញ្ញាបត្រខ្ពស់បំផុត។ ខាងក្រោមយើងមានសញ្ញាបត្រជាន់ខ្ពស់ដូចគ្នា៖ . ដោយការប្រៀបធៀបជាមួយឧទាហរណ៍មុន វាច្បាស់ណាស់ថាជាមួយនឹងការបែងចែកតាមកាលកំណត់នៃភាគយក និងភាគបែងដោយយើងនឹងទទួលបានមួយក្នុងដែនកំណត់។ ឬដូចដែលគណិតវិទូនិយាយ ពហុនាម និង - លំដាប់នៃកំណើនមួយ។. ដូច្នេះវាអាចទៅរួចក្នុងការគូសរង្វង់ទំនាក់ទំនង ដោយប្រើខ្មៅដៃសាមញ្ញ ហើយបង្ហាញភ្លាមៗថារឿងនេះមាននិន្នាការទៅមួយ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងដោះស្រាយជាមួយគូទីពីរនៃពហុនាម៖ និង ពួកវាផងដែរ។ លំដាប់នៃកំណើនមួយ។ហើយសមាមាត្ររបស់ពួកគេមានទំនោរទៅរកការរួបរួម។

តាមពិត "ការលួច" បែបនេះអាចត្រូវបានធ្វើឡើងនៅក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 ប៉ុន្តែសម្រាប់ពហុនាមនៃសញ្ញាបត្រទី 2 ដំណោះស្រាយបែបនេះនៅតែមើលទៅមិនថ្លៃថ្នូរ។ ដោយផ្ទាល់ខ្ញុំធ្វើដូចនេះ៖ ប្រសិនបើមានពហុនាម (ឬពហុនាម) នៃសញ្ញាប័ត្រទីមួយ ឬទីពីរ ខ្ញុំប្រើវិធី "វែង" ក្នុងការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ 1. ប្រសិនបើពហុនាមនៃសញ្ញាប័ត្រទី 3 ឬខ្ពស់ជាងនេះមក ខ្ញុំបានប្រើ "turbo " វិធីសាស្រ្តស្រដៀងនឹងឧទាហរណ៍ទី 2 ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

ពិចារណាឧទាហរណ៍ធម្មតាជាមួយ Factorials៖

ឧទាហរណ៍ 4

ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

ពាក្យទូទៅនៃស៊េរីនេះរួមបញ្ចូលទាំងសញ្ញាប័ត្រ និងកត្តាហ្វាក់តូរីល។ វាច្បាស់ដូចពន្លឺថ្ងៃដែលសញ្ញារបស់ d'Alembert ត្រូវតែប្រើនៅទីនេះ។ យើងសម្រេចចិត្ត។

ដូច្នេះស៊េរីដែលកំពុងសិក្សា ខុសគ្នា.
(1) ផ្សំសមាមាត្រ។ យើងធ្វើម្តងទៀត។ តាមលក្ខខណ្ឌ ពាក្យទូទៅនៃស៊េរី៖ . ដើម្បីទទួលបានសមាជិកបន្ទាប់នៃស៊េរី, គួរតែត្រូវបានជំនួសជំនួសវិញ។ដូច្នេះ៖ .
(២) កម្ចាត់ប្រភាគ៤។
(3) យើងខ្ទាស់អ្នកទាំងប្រាំពីរពីសញ្ញាបត្រ។ Factorials ត្រូវបានពិពណ៌នាលម្អិត. របៀបធ្វើវា - មើលការចាប់ផ្តើមនៃមេរៀនឬអត្ថបទអំពីលំដាប់លេខ។
(4) កាត់បន្ថយអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលអាចកាត់បន្ថយបាន។
(5) យើងផ្លាស់ទីថេរលើសពីសញ្ញាកំណត់។ បើកវង់ក្រចកក្នុងលេខភាគ។
(6) ភាពមិនច្បាស់លាស់ត្រូវបានលុបចោលតាមវិធីស្តង់ដារមួយ - ដោយបែងចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ "en" ដល់កំរិតខ្ពស់បំផុត។

ឧទាហរណ៍ 5

ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងគំរូរចនានៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន

ឧទាហរណ៍ ៦

ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

ពីការពង្រីក យើងឃើញថា សម្រាប់សមាជិកបន្ទាប់នីមួយៗនៃស៊េរី កត្តាបន្ថែមមួយត្រូវបានបន្ថែមនៅក្នុងភាគបែង ដូច្នេះប្រសិនបើសមាជិកទូទៅនៃស៊េរី បន្ទាប់មកពាក្យបន្ទាប់នៃស៊េរី៖
. នៅទីនេះពួកគេតែងតែធ្វើខុសដោយស្វ័យប្រវត្តិ ដោយសរសេរជាផ្លូវការដោយយោងតាមក្បួនដោះស្រាយនោះ។

ឧទាហរណ៍ដំណោះស្រាយអាចមើលទៅដូចនេះ៖

យើងប្រើតេស្ត d'Alembert៖

ដូច្នេះស៊េរីដែលកំពុងសិក្សា បញ្ចូលគ្នា។

សញ្ញារ៉ាឌីកាល់របស់ Cauchy

Augustin Louis Cauchy គឺជាគណិតវិទូបារាំងដ៏ល្បីម្នាក់។ សិស្សនៃជំនាញបច្ចេកទេសណាមួយអាចប្រាប់អ្នកពីជីវប្រវត្តិរបស់ Cauchy ។ នៅក្នុងពណ៌ដ៏ស្រស់ស្អាតបំផុត។ វាមិនមែនជារឿងចៃដន្យទេដែលនាមត្រកូលនេះត្រូវបានឆ្លាក់នៅជាន់ទីមួយនៃប៉ម Eiffel ។

ការធ្វើតេស្ត Cauchy convergence សម្រាប់ស៊េរីលេខវិជ្ជមានគឺស្រដៀងទៅនឹងការធ្វើតេស្ត d'Alembert ដែលទើបតែបានពិចារណា។

សញ្ញារ៉ាឌីកាល់របស់ Cauchy៖ពិចារណា ស៊េរីលេខវិជ្ជមាន. ប្រសិនបើមានដែនកំណត់៖ នោះ៖
ក) នៅជួរមួយ។ បញ្ចូលគ្នា. ជាពិសេស, ស៊េរីនេះបញ្ចូលគ្នាសម្រាប់ .
ខ) នៅជួរមួយ។ ខុសគ្នា. ជាពិសេស, ស៊េរីខុសគ្នានៅ .
គ) ពេលណា សញ្ញាមិនឆ្លើយតប. អ្នកត្រូវប្រើសញ្ញាផ្សេងទៀត។ វាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការកត់សម្គាល់ថាប្រសិនបើការធ្វើតេស្ត Cauchy មិនផ្តល់ឱ្យយើងនូវចម្លើយចំពោះសំណួរនៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីនោះការធ្វើតេស្ត d'Alembert ក៏មិនផ្តល់ចម្លើយផងដែរ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើសញ្ញារបស់ d'Alembert មិនផ្តល់ចម្លើយទេនោះ សញ្ញារបស់ Cauchy អាច "ដំណើរការ" ។ នោះគឺសញ្ញា Cauchy គឺនៅក្នុងន័យនេះជាសញ្ញាខ្លាំងជាង។

តើអ្នកគួរប្រើសញ្ញារ៉ាឌីកាល់ Cauchy នៅពេលណា?សញ្ញារ៉ាឌីកាល់របស់ Cauchy ជាធម្មតាត្រូវបានគេប្រើក្នុងករណីដែលឫស "ល្អ" ត្រូវបានដកស្រង់ចេញពីពាក្យទូទៅនៅក្នុងស៊េរី។ តាមក្បួនមួយម្រេចនេះគឺនៅក្នុងកម្រិត, ដែលអាស្រ័យលើ. វានៅតែមានករណីកម្រនិងអសកម្ម ប៉ុន្តែយើងនឹងមិនញញួរក្បាលរបស់យើងជាមួយពួកគេទេ។

ឧទាហរណ៍ ៧

ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

យើងឃើញថាប្រភាគគឺស្ថិតនៅក្រោមកម្រិតទាំងស្រុងអាស្រ័យលើ "en" ដែលមានន័យថាយើងត្រូវប្រើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យរ៉ាឌីកាល់ Cauchy:

ដូច្នេះស៊េរីដែលកំពុងសិក្សា ខុសគ្នា.

(1) យើងបង្កើតពាក្យសាមញ្ញនៃស៊េរីនៅក្រោមឫស។

(២) យើងសរសេរដដែលៗ តែគ្មានឫស ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិដឺក្រេ។
(3) ក្នុងនិទស្សន្ត យើងចែកភាគយកដោយភាគបែងដោយពាក្យ ដោយបង្ហាញថា
(4) ជាលទ្ធផល យើងមានភាពមិនប្រាកដប្រជា។ នៅទីនេះអ្នកអាចទៅឆ្ងាយ៖ គូប គូប បន្ទាប់មកចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ "en" ក្នុងគូប។ ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះមានដំណោះស្រាយដែលមានប្រសិទ្ធភាពជាង: បច្ចេកទេសនេះអាចត្រូវបានប្រើដោយផ្ទាល់នៅក្រោមកម្រិតថេរ។ ដើម្បីលុបបំបាត់ភាពមិនច្បាស់លាស់ យើងបែងចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ (កម្រិតខ្ពស់បំផុតនៃពហុនាម)។

(5) យើងអនុវត្តការបែងចែកតាមកាលកំណត់ ហើយចង្អុលបង្ហាញលក្ខខណ្ឌដែលមានទំនោរទៅសូន្យ។
(6) យើងនាំយកចម្លើយមកក្នុងចិត្ត សម្គាល់វា ហើយសន្និដ្ឋានថា ស៊េរីខុសគ្នា។

ហើយនេះគឺជាឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញមួយសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ៖

ឧទាហរណ៍ ៨

ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

និងឧទាហរណ៍ធម្មតាពីរបីទៀត។

ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងគំរូរចនានៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន

ឧទាហរណ៍ ៩

ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា
យើងប្រើការធ្វើតេស្តរ៉ាឌីកាល់ Cauchy៖

ដូច្នេះស៊េរីដែលកំពុងសិក្សា បញ្ចូលគ្នា.

(1) ដាក់ពាក្យទូទៅនៃស៊េរីនៅក្រោមឫស។

(2) យើងសរសេរឡើងវិញនូវរឿងដដែល ប៉ុន្តែដោយគ្មានឫស ខណៈបើកតង្កៀបដោយប្រើរូបមន្តគុណអក្សរកាត់៖ .
(3) ក្នុងនិទស្សន្ត យើងចែកភាគយកដោយភាគបែងដោយពាក្យ ហើយបង្ហាញថា .
(4) ភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ត្រូវបានទទួល ហើយនៅទីនេះផងដែរ ការបែងចែកអាចត្រូវបានអនុវត្តដោយផ្ទាល់ក្រោមកម្រិត។ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌមួយ៖មេគុណដែលមានអំណាចខ្ពស់នៃពហុនាមត្រូវតែខុសគ្នា។ យើងមានពួកវាខុសៗគ្នា (5 និង 6) ហើយដូច្នេះវាអាចទៅរួច (និងចាំបាច់) ក្នុងការបែងចែកជាន់ទាំងពីរទៅជា។ ប្រសិនបើមេគុណទាំងនេះ គឺដូចគ្នាឧទាហរណ៍ (1 និង 1): បន្ទាប់មកល្បិចនេះមិនដំណើរការទេ ហើយអ្នកត្រូវប្រើ ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យទីពីរ. ប្រសិនបើអ្នកចាំបាន subtleties ទាំងនេះត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងកថាខណ្ឌចុងក្រោយនៃអត្ថបទ។ កំណត់វិធីដោះស្រាយ.

(5) យើងពិតជាអនុវត្តការបែងចែកតាមកាលកំណត់ និងចង្អុលបង្ហាញថាលក្ខខណ្ឌណាមួយមានទំនោរទៅសូន្យនៅក្នុងករណីរបស់យើង។
(៦) ភាពមិនច្បាស់លាស់ត្រូវបានលុបចោល យើងនៅសល់ដែនកំណត់សាមញ្ញបំផុត៖ . ហេតុអ្វីបានជានៅក្នុង ធំគ្មានកំណត់សញ្ញាបត្រមានទំនោរទៅសូន្យ? ដោយសារតែមូលដ្ឋាននៃសញ្ញាបត្របំពេញនូវវិសមភាព។ ប្រសិនបើអ្នកណាម្នាក់មានការសង្ស័យអំពីសុពលភាពនៃដែនកំណត់ អញ្ចឹងខ្ញុំមិនខ្ជិលពេកទេ ខ្ញុំនឹងយកម៉ាស៊ីនគិតលេខ៖
បើអញ្ចឹង
បើអញ្ចឹង
បើអញ្ចឹង
បើអញ្ចឹង
បើអញ្ចឹង
… ល។ ទៅគ្មានកំណត់ - នោះគឺនៅក្នុងដែនកំណត់៖

គ្រាន់តែដូចគ្នានេះ ការថយចុះឥតឈប់ឈរនៃដំណើរការធរណីមាត្រនៅលើម្រាមដៃ =)
! កុំប្រើបច្ចេកទេសនេះជាភស្តុតាង! បើមានអ្វីច្បាស់លាស់ នោះមិនមានន័យថាត្រឹមត្រូវទេ។

(7) យើងបង្ហាញថា ហើយយើងសន្និដ្ឋានថា ស៊េរីនេះបញ្ចូលគ្នា។

ឧទាហរណ៍ 10

ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

នេះជាឧទាហរណ៍ធ្វើដោយខ្លួនឯង។

ពេលខ្លះឧទាហរណ៍បង្កហេតុត្រូវបានផ្តល់ជូនសម្រាប់ដំណោះស្រាយឧទាហរណ៍៖ ។ នៅទីនេះក្នុងនិទស្សន្ត ទេ "en"មានតែថេរមួយ។ នៅទីនេះអ្នកចាំបាច់ត្រូវការ៉េចំនួនភាគយក និងភាគបែង (ពហុនាមនឹងប្រែចេញ) ហើយបន្ទាប់មកធ្វើតាមក្បួនដោះស្រាយពីអត្ថបទ ជួរសម្រាប់ teapots. ក្នុងឧទាហរណ៍បែបនេះ លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យចាំបាច់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី ឬលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យដែនកំណត់សម្រាប់ការប្រៀបធៀបគួរតែដំណើរការ។

ការធ្វើតេស្តអាំងតេក្រាល Cauchy

ឬគ្រាន់តែជាមុខងារសំខាន់មួយ។ ខ្ញុំនឹងខកចិត្តអ្នកដែលរៀនមិនបានល្អសម្ភារៈនៃវគ្គដំបូង។ ដើម្បីអនុវត្តលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យអាំងតេក្រាល Cauchy ចាំបាច់ត្រូវមានទំនុកចិត្តច្រើន ឬតិចដើម្បីស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ អាំងតេក្រាល ហើយមានជំនាញក្នុងការគណនាផងដែរ។ អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវប្រភេទទីមួយ។

នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាគណនា សញ្ញា Cauchy អាំងតេក្រាល។បានផ្តល់ឱ្យគណិតវិទ្យាយ៉ាងម៉ត់ចត់ ប៉ុន្តែច្របូកច្របល់ពេក ដូច្នេះខ្ញុំនឹងបង្កើតលក្ខណៈពិសេសមិនតឹងរ៉ឹងពេក ប៉ុន្តែច្បាស់៖

ពិចារណា ស៊េរីលេខវិជ្ជមាន. ប្រសិនបើមានអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ នោះស៊េរីនឹងបញ្ចូលគ្នា ឬខុសគ្នាជាមួយអាំងតេក្រាលនេះ។

ហើយនេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួនសម្រាប់ការបំភ្លឺ៖

ឧទាហរណ៍ 11

ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

ស្ទើរតែបុរាណ។ លោការីតធម្មជាតិនិងការកុហកខ្លះ។

តម្រូវការជាមុនចម្បងសម្រាប់ការប្រើប្រាស់ការធ្វើតេស្ត Cauchy អាំងតេក្រាល។គឺជាការពិតដែលថាពាក្យទូទៅនៃស៊េរីមានកត្តាស្រដៀងគ្នាទៅនឹងមុខងារមួយចំនួន និងដេរីវេរបស់វា។ ពីប្រធានបទ

តម្រូវការជាមុនសំខាន់ៗសម្រាប់ការអនុវត្តសញ្ញា d'Alembert មានដូចខាងក្រោម៖

2) ពាក្យទូទៅនៃស៊េរីរួមមានហ្វាក់តូរីល។ អ្វីទៅជា Factorial? គ្មានអ្វីស្មុគស្មាញនោះទេ រោងចក្រគឺគ្រាន់តែជាការកត់ត្រារបស់ផលិតផលប៉ុណ្ណោះ៖

…

…

សម្រាប់អ្នកដែលនៅតែមានបញ្ហាជាមួយដែនកំណត់ ឬមានការយល់ច្រឡំអំពីដែនកំណត់ សូមយោងលើប្រធានបទ ដែនកំណត់។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ. ប្រសិនបើគ្មានការយល់ដឹងអំពីដែនកំណត់ និងសមត្ថភាពក្នុងការបង្ហាញពីភាពមិនច្បាស់លាស់បន្ថែមទៀត ជាអកុសល មនុស្សម្នាក់មិនអាចឆ្ពោះទៅមុខបានទេ។ ហើយឥឡូវនេះឧទាហរណ៍ដែលរង់ចាំជាយូរមកហើយ។

ឧទាហរណ៍ ១
យើងឃើញថានៅក្នុងពាក្យទូទៅនៃស៊េរីដែលយើងមាន ហើយនេះគឺជាការសន្និដ្ឋានត្រឹមត្រូវដែលយើងត្រូវប្រើការធ្វើតេស្ត d'Alembert ។ ជាដំបូង ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងគំរូរចនា មតិយោបល់ខាងក្រោម។

យើងប្រើតេស្ត d'Alembert៖

បញ្ចូលគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ២ យកស៊េរីស្រដៀងគ្នា ហើយពិនិត្យមើលវាសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា
ជាដំបូងដំណោះស្រាយពេញលេញ បន្ទាប់មកបញ្ចេញយោបល់៖

យើងប្រើតេស្ត d'Alembert៖

ដូច្នេះស៊េរីដែលកំពុងសិក្សា បញ្ចូលគ្នា.

ឧទាហរណ៍ ៣ .

ពិចារណាឧទាហរណ៍ធម្មតាជាមួយ Factorials៖

ឧទាហរណ៍ 4 ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

ដូច្នេះស៊េរីដែលកំពុងសិក្សា ខុសគ្នា.

(1) ផ្សំសមាមាត្រ។ យើងធ្វើម្តងទៀត។ តាមលក្ខខណ្ឌ ពាក្យទូទៅនៃស៊េរី៖ . ដើម្បីទទួលបានសមាជិកបន្ទាប់នៃស៊េរី, គួរតែត្រូវបានជំនួសជំនួសវិញ។, ដូច្នេះ: .
(២) កម្ចាត់ប្រភាគ៤។
(3) យើងខ្ទាស់អ្នកទាំងប្រាំពីរពីសញ្ញាបត្រ។ Factorials ត្រូវបានពិពណ៌នាលម្អិត. របៀបធ្វើវា - មើលការចាប់ផ្តើមនៃមេរៀន។
(4) កាត់បន្ថយអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលអាចកាត់បន្ថយបាន។
(5) យើងផ្លាស់ទីថេរលើសពីសញ្ញាកំណត់។ បើកវង់ក្រចកក្នុងលេខភាគ។
(6) ភាពមិនច្បាស់លាស់ត្រូវបានលុបចោលតាមវិធីស្តង់ដារមួយ - ដោយបែងចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ "en" ដល់កំរិតខ្ពស់បំផុត។

ឧទាហរណ៍ 5ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា ដំណោះស្រាយពេញលេញគឺខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ ៦ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

ដំណោះស្រាយឧទាហរណ៍អាចមើលទៅដូចនេះ៖ ការប្រើតេស្ត d'Alembert៖
ដូច្នេះស៊េរីដែលកំពុងសិក្សា បញ្ចូលគ្នា។
សញ្ញារ៉ាឌីកាល់ CAUCHY

សញ្ញារ៉ាឌីកាល់របស់ Cauchy៖ពិចារណា ស៊េរីលេខវិជ្ជមាន. ប្រសិនបើមានដែនកំណត់៖ នោះ៖
ក) នៅជួរមួយ។ បញ្ចូលគ្នា. ជាពិសេស, ស៊េរីនេះបញ្ចូលគ្នាសម្រាប់ .
ខ) នៅជួរមួយ។ ខុសគ្នា. ជាពិសេស, ស៊េរីខុសគ្នានៅ .
គ) ពេលណា សញ្ញាមិនឆ្លើយតប. អ្នកត្រូវប្រើសញ្ញាផ្សេងទៀត។ វាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ក្នុងការកត់សម្គាល់ថាប្រសិនបើការធ្វើតេស្ត Cauchy មិនផ្តល់ឱ្យយើងនូវចម្លើយចំពោះសំណួរនៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីនោះការធ្វើតេស្ត d'Alembert នឹងមិនផ្តល់ឱ្យយើងនូវចម្លើយនោះទេ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើសញ្ញារបស់ d'Alembert មិនផ្តល់ចម្លើយទេនោះ សញ្ញារបស់ Cauchy អាច "ដំណើរការ" ។ នោះគឺសញ្ញា Cauchy គឺនៅក្នុងន័យនេះជាសញ្ញាខ្លាំងជាង។

តើអ្នកគួរប្រើសញ្ញារ៉ាឌីកាល់ Cauchy នៅពេលណា?ការធ្វើតេស្តរ៉ាឌីកាល់ Cauchy ជាធម្មតាត្រូវបានប្រើក្នុងករណីដែលពាក្យទូទៅនៃស៊េរី ពេញលេញគឺនៅក្នុងសញ្ញាបត្រ អាស្រ័យលើ "en". ឬនៅពេលដែលឫស "ល្អ" ត្រូវបានស្រង់ចេញពីសមាជិកទូទៅនៃស៊េរី។ វានៅតែមានករណីកម្រនិងអសកម្ម ប៉ុន្តែយើងនឹងមិនញញួរក្បាលរបស់យើងជាមួយពួកគេទេ។

ឧទាហរណ៍ ៧ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

យើងឃើញថាពាក្យទូទៅនៃស៊េរីគឺស្ថិតនៅក្រោមកម្រិតទាំងស្រុងអាស្រ័យលើ ដែលមានន័យថាយើងត្រូវប្រើការធ្វើតេស្តរ៉ាឌីកាល់ Cauchy៖

ដូច្នេះស៊េរីដែលកំពុងសិក្សា ខុសគ្នា.

(1) យើងបង្កើតពាក្យសាមញ្ញនៃស៊េរីនៅក្រោមឫស។
(២) យើងសរសេរដដែលៗ តែគ្មានឫស ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិដឺក្រេ។
(3) ក្នុងនិទស្សន្ត យើងចែកភាគយកដោយភាគបែងដោយពាក្យ ដោយបង្ហាញថា
(4) ជាលទ្ធផល យើងមានភាពមិនប្រាកដប្រជា។ នៅទីនេះអ្នកអាចទៅឆ្ងាយ៖ គូប គូប បន្ទាប់មកចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ "en" ក្នុងកំរិតខ្ពស់បំផុត។ ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះ មានដំណោះស្រាយដ៏មានប្រសិទ្ធភាពជាងនេះ៖ អ្នកអាចបែងចែកភាគយក និងភាគបែងពីមួយទៅមួយរយៈពេលខាងស្ដាំ ក្រោមសញ្ញាប័ត្រថេរ។ ដើម្បីលុបបំបាត់ភាពមិនច្បាស់លាស់ យើងបែងចែកភាគយក និងភាគបែងដោយ (អំណាចខ្ពស់បំផុត)។
(5) យើងពិតជាអនុវត្តការបែងចែកតាមពាក្យ និងចង្អុលបង្ហាញលក្ខខណ្ឌដែលមានទំនោរទៅសូន្យ។
(6) យើងនាំយកចម្លើយមកក្នុងចិត្ត សម្គាល់វា ហើយសន្និដ្ឋានថា ស៊េរីខុសគ្នា។

ហើយនេះគឺជាឧទាហរណ៍ដ៏សាមញ្ញមួយសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ៖

ឧទាហរណ៍ ៨ ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

និងឧទាហរណ៍ធម្មតាពីរបីទៀត។

ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងការរចនាគំរូគឺនៅខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ ៩ ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា
យើងប្រើការធ្វើតេស្តរ៉ាឌីកាល់ Cauchy៖

ដូច្នេះស៊េរីដែលកំពុងសិក្សា បញ្ចូលគ្នា.

(1) ដាក់ពាក្យទូទៅនៃស៊េរីនៅក្រោមឫស។
(២) យើងសរសេរដដែលៗ ប៉ុន្តែគ្មានឫស ខណៈពេលបើកតង្កៀបដោយប្រើរូបមន្តគុណអក្សរកាត់៖ .
(3) ក្នុងនិទស្សន្ត យើងចែកភាគយកដោយភាគបែងដោយពាក្យ ហើយបង្ហាញថា .
(4) ភាពមិនច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ត្រូវបានទទួល។ នៅទីនេះអ្នកអាចបែងចែកភាគយកដោយភាគបែងដោយ "en" ទៅកម្រិតខ្ពស់បំផុតនៅខាងស្តាំតង្កៀប។ យើងបានជួបប្រទះរឿងស្រដៀងគ្នានេះនៅពេលសិក្សា ដែនកំណត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់ទីពីរ. ប៉ុន្តែនៅទីនេះស្ថានភាពគឺខុសគ្នា។ ប្រសិនបើមេគុណមានអំណាចខ្ពស់ជាង ដូចគ្នាឧទាហរណ៍៖ បន្ទាប់មកល្បិចជាមួយការបែងចែកតាមកាលកំណត់នឹងមិនកន្លងផុតទេ ហើយដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យទីពីរនឹងត្រូវប្រើ។ ប៉ុន្តែយើងមានមេគុណទាំងនេះ ផ្សេងៗ(៥ និង ៦) ដូច្នេះវាអាចទៅរួច (និងចាំបាច់) ក្នុងការបែងចែកពាក្យតាមពាក្យ (ដោយវិធីនេះ ផ្ទុយទៅវិញ - ដែនកំណត់ដ៏អស្ចារ្យទីពីរសម្រាប់ ខុសគ្នាមេគុណនៅថាមពលខ្ពស់មិនដំណើរការទៀតទេ) ។
(5) យើងពិតជាអនុវត្តការបែងចែកតាមកាលកំណត់ និងចង្អុលបង្ហាញថាលក្ខខណ្ឌណាមួយមានទំនោរទៅសូន្យនៅក្នុងករណីរបស់យើង។
(6) ភាពមិនច្បាស់លាស់ត្រូវបានលុបចោល ដែនកំណត់ដ៏សាមញ្ញបំផុតនៅតែមាន: ហេតុអ្វីបានជានៅក្នុង ធំគ្មានកំណត់សញ្ញាបត្រមានទំនោរទៅសូន្យ? ដោយសារតែមូលដ្ឋាននៃសញ្ញាបត្របំពេញនូវវិសមភាព។ ប្រសិនបើអ្នកណាម្នាក់មានការសង្ស័យអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃដែនកំណត់នោះខ្ញុំមិនខ្ជិលទេខ្ញុំនឹងយកម៉ាស៊ីនគិតលេខ៖
បើអញ្ចឹង
បើអញ្ចឹង
បើអញ្ចឹង
បើអញ្ចឹង
បើអញ្ចឹង
… ល។ ទៅគ្មានកំណត់ - នោះគឺនៅក្នុងដែនកំណត់៖
(7) យើងបង្ហាញថា ហើយយើងសន្និដ្ឋានថា ស៊េរីនេះបញ្ចូលគ្នា។

ឧទាហរណ៍ 10 ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

នេះជាឧទាហរណ៍ធ្វើដោយខ្លួនឯង។

ខ្ញុំនឹងខកចិត្តអ្នកដែលរៀនមិនបានល្អសម្ភារៈនៃវគ្គដំបូង។ ដើម្បីអនុវត្តលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យអាំងតេក្រាល Cauchy ចាំបាច់ត្រូវមានទំនុកចិត្តច្រើន ឬតិចដើម្បីស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ អាំងតេក្រាល ហើយមានជំនាញក្នុងការគណនាផងដែរ។ អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវប្រភេទទីមួយ។ នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាស្តីពីការវិភាគគណិតវិទ្យា លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យអាំងតេក្រាល Cauchy ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យយ៉ាងម៉ត់ចត់ក្នុងគណិតវិទ្យា អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យតាមវិធីដើមដំបូង ប៉ុន្តែអាចយល់បាន។ និងឧទាហរណ៍ភ្លាមៗសម្រាប់ការបំភ្លឺ។

តេស្តអាំងតេក្រាល Cauchy៖ពិចារណា ស៊េរីលេខវិជ្ជមាន. ស៊េរីនេះបង្រួបបង្រួម ឬខុសគ្នា

ឧទាហរណ៍ 11 ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

ស្ទើរតែបុរាណ។ លោការីតធម្មជាតិនិងការកុហកខ្លះ។

តម្រូវការជាមុនចម្បងសម្រាប់ការប្រើប្រាស់ការធ្វើតេស្ត Cauchy អាំងតេក្រាល។គឺជាការពិតដែលថាសមាជិកទូទៅនៃស៊េរីមានមុខងារមួយចំនួន និងដេរីវេរបស់វា។ ពីប្រធានបទ ដេរីវេអ្នកប្រហែលជាចងចាំរឿងតារាងសាមញ្ញបំផុត៖ ហើយយើងមានករណីបែប Canonical ប៉ុណ្ណោះ។

តើត្រូវប្រើសញ្ញាអាំងតេក្រាលយ៉ាងដូចម្តេច? ដំបូង យើងយករូបតំណាងអាំងតេក្រាល ហើយសរសេរឡើងវិញនូវដែនកំណត់ខាងលើ និងខាងក្រោមពី "រាប់" នៃជួរដេក៖ . បន្ទាប់មកនៅក្រោមអាំងតេក្រាលយើងសរសេរ "ការបំពេញ" នៃជួរដេកឡើងវិញដោយអក្សរ "គាត់": ។ មានអ្វីមួយបាត់ ... អូ បាទ អ្នកក៏ត្រូវបិទរូបតំណាងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៅក្នុងលេខភាគដែរ៖ .

ឥឡូវនេះយើងត្រូវគណនាអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវ។ ក្នុងករណីនេះករណីពីរអាចធ្វើទៅបាន:

1) ប្រសិនបើវាប្រែថាអាំងតេក្រាលបញ្ចូលគ្នា នោះស៊េរីរបស់យើងក៏នឹងបញ្ចូលគ្នាផងដែរ។

2) ប្រសិនបើវាប្រែថាអាំងតេក្រាលខុសគ្នា នោះស៊េរីរបស់យើងក៏នឹងខុសគ្នាដែរ។

ខ្ញុំនិយាយម្តងទៀតថា ប្រសិនបើសម្ភារៈកំពុងដំណើរការ នោះការអានកថាខណ្ឌនឹងពិបាក ហើយមិនច្បាស់លាស់ ចាប់តាំងពីការអនុវត្តមុខងារសំខាន់មកលើការគណនា អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវប្រភេទទីមួយ។

ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងការរចនានៃឧទាហរណ៍គួរតែមើលទៅដូចនេះ៖

យើងប្រើមុខងារអាំងតេក្រាល៖

ដូច្នេះស៊េរីដែលកំពុងសិក្សា ខុសគ្នារួមជាមួយនឹងអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវដែលត្រូវគ្នា។

ឧទាហរណ៍ 12 ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

ដំណោះស្រាយ និងការរចនាគំរូនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន

ក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណា លោការីតក៏អាចស្ថិតនៅក្រោមឫសដែរ វានឹងមិនផ្លាស់ប្តូរវិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយទេ។

និងឧទាហរណ៍ពីរបន្ថែមទៀតសម្រាប់អាហារសម្រន់

ឧទាហរណ៍ 13 ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

យោងតាម "ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ" ពាក្យទូទៅនៃស៊េរីហាក់ដូចជាសមរម្យសម្រាប់ការប្រើប្រាស់លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យប្រៀបធៀបដែនកំណត់។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវបើកតង្កៀប ហើយប្រគល់ភ្លាមៗទៅបេក្ខជនដើម្បីប្រៀបធៀបស៊េរីនេះជាមួយនឹងស៊េរី convergent តាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ខ្ញុំមានល្បិចតិចតួច តង្កៀបប្រហែលជាមិនត្រូវបានបើកទេ ប៉ុន្តែទាំងអស់ដូចគ្នា ដំណោះស្រាយតាមរយៈលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការប្រៀបធៀបកម្រិតកំណត់នឹងមើលទៅគួរឱ្យក្នាញ់ជាង។

ដូច្នេះ យើងប្រើតេស្ត Cauchy អាំងតេក្រាល៖

អាំងតេក្រាលកំពុងបន្ត

បញ្ចូលគ្នារួមជាមួយនឹងអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវដែលត្រូវគ្នា។

! ចំណាំ៖លេខដែលបានទទួល -មិនមែន ផលបូកនៃស៊េរី!

ឧទាហរណ៍ 14 ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

ដំណោះស្រាយនិងគំរូរចនានៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកដែលមកដល់ទីបញ្ចប់។

សម្រាប់គោលបំណងនៃការបង្រួមចុងក្រោយ និងមិនអាចដកហូតបាននៃប្រធានបទនៃស៊េរីលេខ សូមចូលមើលប្រធានបទ។

ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ 3៖យើងប្រើតេស្ត d'Alembert៖

ដូច្នេះស៊េរីដែលកំពុងសិក្សា ខុសគ្នា.
ចំណាំ៖ អ្នកក៏អាចប្រើវិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយ "turbo"៖ គូសរង្វង់សមាមាត្រភ្លាមៗដោយខ្មៅដៃ បង្ហាញថាវាមានទំនោរទៅរកការរួបរួម ហើយធ្វើកំណត់ចំណាំ៖ "នៃលំដាប់ដូចគ្នានៃកំណើន។"

ឧទាហរណ៍ទី 5៖ ការប្រើតេស្ត d'Alembert៖ ដូច្នេះ ស៊េរីដែលកំពុងសិក្សា បញ្ចូលគ្នា.

ឧទាហរណ៍ ៨៖

ដូច្នេះស៊េរីដែលកំពុងសិក្សា បញ្ចូលគ្នា.

ឧទាហរណ៍ 10៖
យើងប្រើការធ្វើតេស្តរ៉ាឌីកាល់ Cauchy ។

ដូច្នេះស៊េរីដែលកំពុងសិក្សា ខុសគ្នា.
ចំណាំ៖ នេះគឺជាមូលដ្ឋាននៃសញ្ញាបត្រ ដូច្នេះ

ឧទាហរណ៍ 12៖ យើងប្រើមុខងារអាំងតេក្រាល

ចំនួនកំណត់ត្រូវបានទទួល ដែលមានន័យថា ស៊េរីដែលកំពុងសិក្សា បញ្ចូលគ្នា

ឧទាហរណ៍ 14៖ យើងប្រើសញ្ញាអាំងតេក្រាល។
អាំងតេក្រាលកំពុងបន្ត។

ដូច្នេះស៊េរីដែលកំពុងសិក្សា ខុសគ្នារួមជាមួយនឹងអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវដែលត្រូវគ្នា។
ចំណាំ៖ ស៊េរីមួយក៏អាចត្រូវបានរុករកដោយប្រើកំណត់លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យប្រៀបធៀប . ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវបើកតង្កៀបនៅក្រោមឫសហើយប្រៀបធៀបស៊េរីដែលកំពុងសិក្សាជាមួយស៊េរី divergent ។

ជួរដេកជំនួស។ សញ្ញា Leibniz ។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ

ដើម្បីយល់អំពីឧទាហរណ៍នៃមេរៀននេះ ចាំបាច់ត្រូវយល់ឱ្យបានច្បាស់នៅក្នុងស៊េរីលេខវិជ្ជមាន៖ ដើម្បីយល់ពីអ្វីដែលជាស៊េរី ដឹងពីសញ្ញាចាំបាច់នៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី ដើម្បីអាចអនុវត្តសញ្ញាប្រៀបធៀប d' សញ្ញារបស់ Alembert សញ្ញា Cauchy ។ ប្រធានបទអាចត្រូវបានលើកឡើងស្ទើរតែពីដំបូងដោយសិក្សាអត្ថបទជាបន្តបន្ទាប់ ជួរសម្រាប់ teapotsនិង សញ្ញារបស់ d'Alembert ។ សញ្ញានៃ Cauchy. ឡូជីខល មេរៀននេះគឺជាមេរៀនទីបីជាប់ៗគ្នា ហើយវានឹងអនុញ្ញាតឱ្យមិនត្រឹមតែយល់អំពីជួរដេកឆ្លាស់គ្នាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងអាចបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈដែលបានគ្របដណ្តប់រួចហើយ! វានឹងមានភាពថ្មីថ្មោងតិចតួច ហើយវានឹងមិនពិបាកក្នុងការធ្វើជាម្ចាស់លើជួរឆ្លាស់គ្នានោះទេ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនិងមានតម្លៃសមរម្យ។

តើអ្វីជាស៊េរីជំនួស?នេះច្បាស់ឬស្ទើរតែច្បាស់រួចហើយពីឈ្មោះខ្លួនឯង។ ភ្លាមៗជាឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុត។ ពិចារណាស៊េរីហើយសរសេរវាឱ្យលម្អិតបន្ថែមទៀត៖

ឥឡូវនេះសម្រាប់មតិឃាតករ។ សមាជិកនៃសញ្ញាឆ្លាស់គ្នាជាស៊េរី៖ បូក ដក បូក ដក បូក ដក។ល។ ទៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់។
ការជ្រៀតជ្រែកផ្តល់នូវមេគុណ៖ ប្រសិនបើគូ នោះនឹងមានសញ្ញាបូក ប្រសិនបើសេស សញ្ញាដក។ ក្នុងភាសាគណិតវិទ្យា ការច្របូកច្របល់នេះត្រូវបានគេហៅថា flasher ។ ដូច្នេះ ស៊េរីជំនួសត្រូវបាន "កំណត់" ដោយដកមួយទៅថាមពលនៃ "en" ។

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង ការឆ្លាស់គ្នានៃលក្ខខណ្ឌនៃស៊េរីអាចផ្តល់មិនត្រឹមតែកត្តាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានបងប្អូនរបស់វាផងដែរ៖ , , ,…. ឧទាហរណ៍:

រណ្តៅគឺ "ល្បិច":,, ល។ គឺជាមេគុណបែបនេះ មិនផ្តល់ការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា. វាច្បាស់ណាស់ថាសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ : , , . ជួរដែលមានល្បិចត្រូវបានរអិលមិនត្រឹមតែសិស្សដែលមានអំណោយទានប៉ុណ្ណោះទេ ជួនកាលពួកគេលេចឡើង "ដោយខ្លួនឯង" នៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយ។ ជួរមុខងារ.

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីពិនិត្យមើលស៊េរីជំនួសសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា?ប្រើសញ្ញា Leibniz ។ ខ្ញុំមិនចង់និយាយអំពីគំនិតយក្សរបស់អាឡឺម៉ង់ Gottfried Wilhelm Leibniz ទេ ពីព្រោះបន្ថែមលើការងារគណិតវិទ្យា គាត់បានបំបែកភាគជាច្រើនលើទស្សនវិជ្ជា។ គ្រោះថ្នាក់ដល់ខួរក្បាល។

សញ្ញា Leibniz៖ ប្រសិនបើសមាជិកនៃស៊េរីជំនួស ដោយឯកឯងបន្ថយម៉ូឌុល បន្ទាប់មកស៊េរីបញ្ចូលគ្នា។ ឬក្នុងកថាខណ្ឌពីរ៖

2) លក្ខខណ្ឌនៃស៊េរីកាត់បន្ថយម៉ូឌុល៖ . លើសពីនេះទៅទៀតពួកគេបន្ថយឯកតា។

ប្រសិនបើបានបំពេញ ទាំងពីរលក្ខខណ្ឌបន្ទាប់មកស៊េរីត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា.

ព័ត៌មានសង្ខេបអំពីម៉ូឌុលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងសៀវភៅណែនាំHot School រូបមន្តគណិតវិទ្យា ប៉ុន្តែម្តងទៀតសម្រាប់ភាពងាយស្រួល៖

តើ "ម៉ូឌុល" មានន័យដូចម្តេច? ម៉ូឌុល ដូចដែលយើងចងចាំពីសាលារៀន "ញ៉ាំ" សញ្ញាដក។ ចូរយើងត្រលប់ទៅស៊េរី។ លុបសញ្ញាទាំងអស់ដោយប្រើជ័រលុប និង មើលលេខ. យើងនឹងឃើញនោះ។ គ្នាបន្ទាប់សមាជិកជួរ តូចជាងជាងលើកមុន។ ដូច្នេះ ឃ្លាខាងក្រោមមានន័យដូចគ្នា៖

- សមាជិកនៃស៊េរីមួយ។ ដោយគ្មានសញ្ញាថយចុះ។
- សមាជិកនៃស៊េរីកំពុងថយចុះ ម៉ូឌុល.
- សមាជិកនៃស៊េរីកំពុងថយចុះ នៅក្នុងតម្លៃដាច់ខាត.
– ម៉ូឌុលពាក្យទូទៅនៃស៊េរីមានទំនោរទៅសូន្យ៖ ការបញ្ចប់ជំនួយ

ឥឡូវនេះសូមនិយាយបន្តិចអំពី monotony ។ Monotony គឺជាភាពអផ្សុក។

សមាជិកជួរ monotone យ៉ាងតឹងរ៉ឹងបន្ថយម៉ូឌុលប្រសិនបើសមាជិកបន្ទាប់នីមួយៗនៃស៊េរី ម៉ូឌុលតិចជាងមុន៖ . សម្រាប់ស៊េរីនេះ ការថយចុះ monotonicity ដ៏តឹងរឹងត្រូវបានអនុវត្ត វាអាចត្រូវបានសរសេរយ៉ាងលម្អិត៖

ហើយយើងអាចនិយាយយ៉ាងខ្លីថា៖ សមាជិកបន្ទាប់នីមួយៗនៃស៊េរី ម៉ូឌុលតិចជាងមុន៖ .

សមាជិកជួរ មិនតឹងរ៉ឹង monotoneថយចុះនៅក្នុងម៉ូឌុល ប្រសិនបើពាក្យបន្ទាប់នីមួយៗនៃម៉ូឌុលស៊េរីមិនធំជាងពាក្យមុនទេ៖ . ចូរយើងពិចារណាស៊េរីជាមួយកត្តាមួយ៖ នៅទីនេះ ភាពឯកតាដែលមិនតឹងរ៉ឹងកើតឡើង ដោយសារពាក្យទាំងពីរដំបូងនៃស៊េរីមានម៉ូឌុលដូចគ្នា។ នោះគឺសមាជិកបន្ទាប់នីមួយៗនៃស៊េរី ម៉ូឌុលមិនលើសពីមួយមុន៖ .

នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ Leibniz ភាពឯកកោនៃការថយចុះត្រូវតែពេញចិត្ត (វាមិនមានបញ្ហាថាតើវាតឹងរ៉ឹង ឬមិនតឹងរ៉ឹងទេ)។ ក្នុងករណីនេះសមាជិកនៃស៊េរីអាច សូម្បីតែបង្កើនម៉ូឌុលសម្រាប់ពេលខ្លះប៉ុន្តែ "កន្ទុយ" នៃស៊េរីត្រូវតែចាំបាច់ត្រូវបានកាត់បន្ថយដោយឯកតា។ មិនចាំបាច់ខ្លាចអ្វីដែលខ្ញុំបានប្រមូលផ្តុំទេ ឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងនឹងដាក់អ្វីៗទាំងអស់ជំនួស៖

ឧទាហរណ៍ ១ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

ពាក្យទូទៅនៃស៊េរីរួមមានកត្តា ដែលមានន័យថាអ្នកត្រូវប្រើការធ្វើតេស្ត Leibniz

1) ពិនិត្យមើលជួរសម្រាប់ការជំនួស។ ជាធម្មតានៅចំណុចនេះក្នុងការសម្រេចចិត្ត ស៊េរីត្រូវបានពិពណ៌នាលម្អិត ហើយសាលក្រម "ស៊េរីកំពុងឆ្លាស់គ្នាជាសញ្ញា" ត្រូវបានអនុម័ត។

2) តើលក្ខខណ្ឌនៃស៊េរីកាត់បន្ថយម៉ូឌុល? វាចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយដែនកំណត់ដែលជាញឹកញាប់បំផុតគឺសាមញ្ញណាស់។

- លក្ខខណ្ឌនៃស៊េរីមិនបន្ថយម៉ូឌុលទេ។ ដោយវិធីនេះវាមិនចាំបាច់សម្រាប់ហេតុផលអំពី monotonicity នៃការថយចុះនោះទេ។ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ស៊េរីខុសគ្នា។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដឹងថាអ្វីដែលស្មើ? សាមញ្ញណាស់។ ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថាម៉ូឌុលបំផ្លាញ minuses ដូច្នេះដើម្បីបង្កើតវាអ្នកគ្រាន់តែត្រូវការដកអំពូលភ្លើងចេញពីដំបូល។ ក្នុងករណីនេះ ពាក្យទូទៅនៃស៊េរីគឺ . ឆោតល្ងង់លុប "flasher" : ។

ឧទាហរណ៍ ២ ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

យើងប្រើសញ្ញា Leibniz៖

1) ស៊េរីគឺជាសញ្ញាជំនួស។

2) - លក្ខខណ្ឌនៃស៊េរីថយចុះនៅក្នុងតម្លៃដាច់ខាត។ ពាក្យបន្ទាប់នីមួយៗនៃស៊េរីគឺតិចជាងម៉ូឌុលមុន៖ ដូច្នេះការថយចុះគឺឯកតា។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ស៊េរីត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា។

អ្វីគ្រប់យ៉ាងនឹងសាមញ្ញណាស់ - ប៉ុន្តែនេះមិនមែនជាដំណោះស្រាយចុងបញ្ចប់ទេ!

ប្រសិនបើស៊េរីបញ្ចូលគ្នាយោងទៅតាមការធ្វើតេស្ត Leibniz នោះស៊េរីក៏ត្រូវបានគេនិយាយផងដែរ។ បង្រួបបង្រួមតាមលក្ខខណ្ឌ.

ប្រសិនបើស៊េរីដែលផ្សំឡើងនៃម៉ូឌុលក៏បញ្ចូលគ្នាផងដែរ៖ នោះយើងនិយាយថាស៊េរី បញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ.

ដូច្នេះដំណាក់កាលទីពីរនៃការដោះស្រាយកិច្ចការធម្មតាគឺនៅលើរបៀបវារៈ - ការសិក្សានៃស៊េរីជំនួសសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នាដាច់ខាត។

ខ្ញុំមិនមានកំហុសទេ - ទ្រឹស្តីនៃស៊េរីលេខ =)

យើងពិនិត្យមើលស៊េរីរបស់យើងសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នាដាច់ខាត។
ចូរយើងចងក្រងជាស៊េរីនៃម៉ូឌុល - ជាថ្មីម្តងទៀតយើងគ្រាន់តែដកចេញកត្តាដែលធានាការជំនួសនៃសញ្ញា: - diverges (ស៊េរីអាម៉ូនិក) ។

ដូច្នេះស៊េរីរបស់យើង។ មិនមែនជាការបង្រួបបង្រួមជាដាច់ខាត.
ស៊េរីសិក្សា បង្រួបបង្រួមតាមលក្ខខណ្ឌតែប៉ុណ្ណោះ.

ចំណាំថានៅក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 វាមិនចាំបាច់ដើម្បីធ្វើការសិក្សាអំពីការបញ្ចូលគ្នាមិនពេញលេញនោះទេ ចាប់តាំងពីនៅជំហានដំបូងវាត្រូវបានសន្និដ្ឋានថាស៊េរីខុសគ្នា។

យើងប្រមូលធុង ប៉ែល ឡាន ហើយទុកប្រអប់ខ្សាច់ ដើម្បីមើលពិភពលោកដោយភ្នែកធំៗ ពីកាប៊ីនរបស់អេស្កាវ៉ាទ័ររបស់ខ្ញុំ៖

ឧទាហរណ៍ ៣ ស៊ើបអង្កេតស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា យើងប្រើការធ្វើតេស្ត Leibniz៖

1)
ស៊េរីនេះគឺជាសញ្ញាជំនួស។

2) - លក្ខខណ្ឌនៃស៊េរីថយចុះនៅក្នុងតម្លៃដាច់ខាត។ ពាក្យបន្ទាប់នីមួយៗនៃស៊េរីគឺតិចជាងម៉ូឌុលមុន៖ ដែលមានន័យថាការថយចុះគឺឯកតា។ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ស៊េរីត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា។

ការវិភាគការបំពេញស៊េរីយើងឈានដល់ការសន្និដ្ឋានថានៅទីនេះវាចាំបាច់ដើម្បីប្រើសញ្ញាកំណត់នៃការប្រៀបធៀប។ វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការបើកតង្កៀបនៅក្នុងភាគបែង៖

ប្រៀបធៀបស៊េរីនេះជាមួយស៊េរីរួម។ យើងប្រើការធ្វើតេស្តកម្រិតនៃការប្រៀបធៀប។

ចំនួនកំណត់ក្រៅពីសូន្យគឺត្រូវបានទទួល ដែលមានន័យថា ស៊េរីបញ្ចូលគ្នាជាមួយស៊េរី។ ស៊េរីសិក្សា បញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ.

ឧទាហរណ៍ 4 ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

ឧទាហរណ៍ 5 ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

ទាំងនេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃការជួយខ្លួនឯង។ ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងការរចនាគំរូនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញជួរដេកឆ្លាស់គ្នាគឺសាមញ្ញនិងគួរឱ្យធុញ! ប៉ុន្តែកុំប្រញាប់បិទទំព័រនេះឡើយ ដោយគ្រាន់តែអេក្រង់ពីរបីប៉ុណ្ណោះ យើងនឹងពិចារណាលើករណីដែលធ្វើឱ្យមនុស្សជាច្រើនច្របូកច្របល់។ ក្នុងពេលនេះ ឧទហរណ៍មួយចំនួនសម្រាប់ការបណ្តុះបណ្តាល និងពាក្យដដែលៗ។

ឧទាហរណ៍ ៦ ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

យើងប្រើការធ្វើតេស្ត Leibniz ។
1) ស៊េរីគឺជាសញ្ញាជំនួស។
2)
លក្ខខណ្ឌនៃស៊េរីកាត់បន្ថយម៉ូឌុល។ ពាក្យបន្ទាប់នីមួយៗនៃស៊េរីគឺតិចជាងម៉ូឌុលមុន ដែលមានន័យថាការថយចុះគឺឯកតា។ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ស៊េរីត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា។

សូមចំណាំថា ខ្ញុំមិនបានរៀបរាប់លម្អិតអំពីសមាជិកនៃស៊េរីនេះទេ។ វាតែងតែគួរឱ្យចង់លាបពណ៌ពួកគេ ប៉ុន្តែពីភាពខ្ជិលដែលមិនអាចគ្រប់គ្រងបាននៅក្នុងករណី "ធ្ងន់ធ្ងរ" មនុស្សម្នាក់អាចបង្ខាំងខ្លួនអ្នកទៅនឹងឃ្លា "ស៊េរីកំពុងឆ្លាស់គ្នានៅក្នុងសញ្ញា" ។ ដោយវិធីនេះអ្នកមិនចាំបាច់យកចំណុចនេះជាផ្លូវការទេ ពិនិត្យជានិច្ច(យ៉ាងហោចណាស់ផ្លូវចិត្ត) ថាស៊េរីពិតជាផ្លាស់ប្តូរ។ ការក្រឡេកមើល cursory បរាជ័យ ហើយកំហុសត្រូវបានធ្វើឡើង "នៅលើម៉ាស៊ីន" ។ ចងចាំអំពី "ល្បិច" , , , ប្រសិនបើពួកគេមាន នោះអ្នកត្រូវកម្ចាត់ពួកវាដោយទទួលបានស៊េរី "ធម្មតា" ជាមួយសមាជិកវិជ្ជមាន។

ភាពទន់ភ្លន់ទីពីរទាក់ទងនឹងឃ្លាអំពី monotony ដែលខ្ញុំក៏កាត់បន្ថយឱ្យបានច្រើនតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន។ អ្នកអាចធ្វើវាបាន ហើយស្ទើរតែគ្រប់ភារកិច្ចរបស់អ្នកនឹងត្រូវបានបញ្ចូល។ ខ្ញុំនឹងនិយាយរឿងអាក្រក់ណាស់ - ដោយផ្ទាល់ខ្ញុំជារឿយៗរក្សាភាពស្ងៀមស្ងាត់អំពីភាពឯកកោហើយលេខបែបនេះឆ្លងកាត់។ ប៉ុន្តែត្រូវត្រៀមខ្លួនដើម្បីគូរគ្រប់យ៉ាងលម្អិតរហូតដល់ខ្សែសង្វាក់លម្អិតនៃវិសមភាព (សូមមើលឧទាហរណ៍នៅដើមមេរៀន)។ លើសពីនេះទៀត ពេលខ្លះ monotony មិនតឹងរ៉ឹងទេ ហើយនេះក៏ត្រូវត្រួតពិនិត្យផងដែរ ដើម្បីជំនួសពាក្យ "តិច" ជាមួយនឹងពាក្យ "no more" ។

យើងពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នាដាច់ខាត៖

ជាក់ស្តែង អ្នកត្រូវប្រើតេស្តរ៉ាឌីកាល់ Cauchy៖

ដូច្នេះស៊េរីត្រូវបានរួមគ្នា។ ស៊េរីសិក្សា បញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ.

ឧទាហរណ៍ ៧ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ។ ជាញឹកញាប់មានស៊េរីជំនួសដែលបង្កឱ្យមានការលំបាក។

ឧទាហរណ៍ ៨ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

យើងប្រើសញ្ញា Leibniz៖
1) ស៊េរីគឺជាសញ្ញាជំនួស។

ការពិតគឺថាមិនមានល្បិចប្រចាំថ្ងៃស្តង់ដារសម្រាប់ការដោះស្រាយដែនកំណត់បែបនេះទេ។ តើដែនកំណត់នេះទៅណា? ទៅសូន្យ ទៅគ្មានកំណត់? វាមានសារៈសំខាន់នៅទីនេះដែលអ្វីដែលរីកចម្រើនលឿនជាងនៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់- ភាគបែង ឬ ភាគបែង ។

ចំណាំ៖ គោលគំនិតនៃលំដាប់កំណើននៃមុខងារមួយត្រូវបានគ្របដណ្តប់យ៉ាងលម្អិតនៅក្នុងអត្ថបទកំណត់វិធីដោះស្រាយ . យើងមាន ដែនកំណត់លំដាប់ប៉ុន្តែវាមិនផ្លាស់ប្តូរចំណុចនោះទេ។

ប្រសិនបើភាគយកនៅលូតលាស់លឿនជាងហ្វាក់តូរីល នោះ . ប្រសិនបើនៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ហ្វាក់តូរីយ៉ែល លូតលាស់លឿនជាងលេខភាគ នោះ ផ្ទុយទៅវិញ វា "ទាញ" ដែនកំណត់ទៅសូន្យ៖ . ឬប្រហែលជាដែនកំណត់នេះស្មើនឹងចំនួនដែលមិនមែនជាសូន្យ?

តោះព្យាយាមសរសេរពាក្យពីរបីដំបូងនៃស៊េរី៖
អ្នកអាចជំនួសពហុនាមមួយចំនួននៃដឺក្រេមួយពាន់ នេះម្តងទៀតនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរស្ថានភាពទេ - មិនយូរមិនឆាប់ ហ្វាក់តូរីយ៉ែលនឹងនៅតែ "វ៉ា" ពហុនាមដ៏គួរឱ្យភ័យខ្លាចបែបនេះ។ រោងចក្រ លំដាប់ខ្ពស់នៃកំណើនជាងលំដាប់ថាមពលណាមួយ។

- រោងចក្រនេះលូតលាស់លឿនជាង ផលិតផលនៃបរិមាណណាមួយ។លំដាប់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងថាមពល (ករណីរបស់យើង)។

– ណាមួយ។លំដាប់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលលូតលាស់លឿនជាងលំដាប់ថាមពលណាមួយ ឧទាហរណ៍៖ , . លំដាប់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល លំដាប់ខ្ពស់នៃកំណើនជាងលំដាប់ថាមពលណាមួយ។ ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងហ្វាក់តូរីស លំដាប់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល "ទាញ" ផលនៃចំនួននៃលំដាប់ថាមពល ឬពហុនាមណាមួយ៖ .

- តើមានអ្វី "ត្រជាក់" ជាងរោងចក្រ? មាន! លំដាប់អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល ("en" ទៅថាមពលនៃ "en") លូតលាស់លឿនជាងហ្វាក់តូរីយ៉ែល។ នៅក្នុងការអនុវត្ត វាកម្រណាស់ ប៉ុន្តែព័ត៌មាននឹងមិននាំអោយ។ ការបញ្ចប់ជំនួយ

ដូច្នេះចំណុចទីពីរនៃការសិក្សា (តើអ្នកនៅចាំរឿងនេះទេ? =)) អាចសរសេរដូចខាងក្រោម:
2) ដោយសារតែលំដាប់នៃកំណើនខ្ពស់ជាង .
លក្ខខណ្ឌនៃស៊េរីកាត់បន្ថយម៉ូឌុល, ចាប់ផ្តើមពីលេខមួយចំនួនក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ពាក្យបន្ទាប់នីមួយៗនៃស៊េរីគឺតិចជាងតម្លៃដាច់ខាតជាងពាក្យមុន ដូច្នេះការថយចុះគឺឯកតា។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ស៊េរីត្រូវបានបញ្ចូលគ្នា។

នេះគ្រាន់តែជាករណីដែលគួរឱ្យចង់ដឹងប៉ុណ្ណោះ នៅពេលដែលលក្ខខណ្ឌនៃស៊េរីដំបូងកើនឡើងក្នុងតម្លៃដាច់ខាត ដែលជាមូលហេតុដែលយើងមានគំនិតដំបូងខុសអំពីដែនកំណត់។ ប៉ុន្តែ ចាប់ផ្តើមពីលេខមួយចំនួន "en"ហ្វាក់តូរីល ត្រូវបានយកឈ្នះដោយភាគយក ហើយ "កន្ទុយ" នៃស៊េរីបានថយចុះជាឯកតា ដែលមានសារៈសំខាន់ជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការបំពេញលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ Leibniz ។ វាពិតជាលំបាកណាស់ក្នុងការស្វែងរកថាតើ "en" នេះស្មើនឹងអ្វី។

យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទដែលត្រូវគ្នា ការបញ្ចូលគ្នាដាច់ខាតនៃស៊េរីបង្កប់ន័យការបញ្ចូលគ្នាតាមលក្ខខណ្ឌនៃស៊េរី។ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ស៊េរីសិក្សា បញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដ.

ហើយចុងក្រោយឧទាហរណ៍ពីរបីសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ។ ល្ខោនអូប៉េរ៉ាដូចគ្នាមួយ (អានជំនួយឡើងវិញ) ប៉ុន្តែសាមញ្ញជាង។ មួយទៀតសម្រាប់អ្នកហូបចុកគឺដើម្បីជួសជុលសញ្ញាសំខាន់នៃការបញ្ចូលគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ៩ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

ឧទាហរណ៍ 10ពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា

បន្ទាប់ពីការសិក្សាគុណភាពនៃលេខវិជ្ជមាន និងស៊េរីជំនួសដោយមនសិការច្បាស់លាស់ អ្នកអាចចូលទៅកាន់ ជួរមុខងារដែលមិនមែនជាឯកសណ្ឋាននិងឯកសណ្ឋានតិចគឺគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍។

ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ 4៖ យើងប្រើសញ្ញា Leibniz៖

1) ស៊េរីនេះគឺឆ្លាស់គ្នា។
2)
លក្ខខណ្ឌនៃស៊េរីមិនបន្ថយម៉ូឌុលទេ។ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ស៊េរីខុសគ្នា។. ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ពាក្យបន្ទាប់នីមួយៗនៃស៊េរីគឺតិចជាងតម្លៃដាច់ខាតជាងពាក្យមុន ដូច្នេះការថយចុះគឺឯកតា។

ដូច្នេះ ស៊េរីខុសគ្នាជាមួយអាំងតេក្រាលមិនសមរម្យដែលត្រូវគ្នា។ ស៊េរីសិក្សា បង្រួបបង្រួមតាមលក្ខខណ្ឌតែប៉ុណ្ណោះ.

អត្ថបទនេះបានប្រមូល និងរៀបចំរចនាសម្ព័ន្ធព័ត៌មានចាំបាច់ដើម្បីដោះស្រាយស្ទើរតែគ្រប់ឧទាហរណ៍លើប្រធានបទនៃស៊េរីលេខ ចាប់ពីការស្វែងរកផលបូកនៃស៊េរីមួយ រហូតដល់ការពិនិត្យមើលការបញ្ចូលគ្នារបស់វា។

ពិនិត្យអត្ថបទ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងនិយមន័យនៃសញ្ញាវិជ្ជមាន ស៊េរីសញ្ញាឆ្លាស់គ្នា និងគោលគំនិតនៃការបញ្ចូលគ្នា។ បន្ទាប់មក សូមពិចារណាស៊េរីស្តង់ដារ ដូចជាស៊េរីអាម៉ូនិក ស៊េរីអាម៉ូនិកទូទៅ ហើយរំលឹកឡើងវិញនូវរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់។ បន្ទាប់ពីនោះ យើងងាកទៅរកលក្ខណសម្បត្តិនៃស៊េរី convergent រស់នៅលើលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី ហើយកំណត់លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី។ យើងនឹងពន្យឺតទ្រឹស្តីដោយការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ធម្មតាដោយមានការពន្យល់លម្អិត។

ការរុករកទំព័រ។

និយមន័យ និងគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងមានលំដាប់លេខ កន្លែងណា .

នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃលំដាប់លេខ៖ .

ស៊េរីលេខគឺជាផលបូកនៃសមាជិកនៃលំដាប់លេខនៃទម្រង់ .

ជាឧទាហរណ៍នៃស៊េរីលេខ យើងអាចផ្តល់ផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់ជាមួយនឹងភាគបែង q = -0.5៖ .

ត្រូវបានហៅ សមាជិកទូទៅនៃស៊េរីលេខឬសមាជិក kth នៃស៊េរី។

សម្រាប់ឧទាហរណ៍មុន ពាក្យទូទៅនៃស៊េរីលេខគឺ .

ផលបូកផ្នែកនៃស៊េរីលេខគឺជាផលបូកនៃទម្រង់ ដែល n ជាចំនួនធម្មជាតិមួយចំនួន។ ហៅផងដែរថាផលបូកផ្នែក n-th នៃស៊េរីលេខ។

ឧទាហរណ៍ ផលបូកផ្នែកទីបួននៃស៊េរី មាន .

ផលបូកមួយផ្នែក បង្កើតជាលំដាប់គ្មានកំណត់នៃផលបូកផ្នែកនៃស៊េរីលេខ។

សម្រាប់ស៊េរីរបស់យើង ផលបូកផ្នែកទី n ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃវឌ្ឍនភាពធរណីមាត្រ នោះគឺយើងនឹងមានលំដាប់ដូចខាងក្រោមនៃផលបូកមួយផ្នែក៖ .

បន្ទាត់លេខត្រូវបានគេហៅថា ការបញ្ចូលគ្នាប្រសិនបើមានដែនកំណត់កំណត់នៃលំដាប់នៃផលបូកមួយផ្នែក។ ប្រសិនបើដែនកំណត់នៃលំដាប់នៃផលបូកផ្នែកនៃស៊េរីលេខមិនមាន ឬគ្មានកំណត់ នោះស៊េរីត្រូវបានគេហៅថា ខុសគ្នា។

ផលបូកនៃស៊េរីលេខបញ្ចូលគ្នាត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃលំដាប់នៃផលបូកផ្នែករបស់វា ពោលគឺ .

ដូច្នេះក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង ស៊េរី បង្រួបបង្រួម ហើយផលបូករបស់វាស្មើនឹងដប់ប្រាំមួយភាគបី៖ .

ឧទាហរណ៍នៃស៊េរី divergent គឺជាផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលមានភាគបែងធំជាងមួយ៖ . ផលបូកផ្នែកទី 9 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយ ហើយដែនកំណត់នៃផលបូកផ្នែកគឺគ្មានកំណត់៖ .

ឧទាហរណ៍មួយទៀតនៃស៊េរីលេខផ្សេងគ្នាគឺផលបូកនៃទម្រង់ . ក្នុងករណីនេះ ផលបូកផ្នែកទី n អាចត្រូវបានគណនាជា . ដែនកំណត់នៃផលបូកផ្នែកគឺគ្មានកំណត់ .

ទិដ្ឋភាពរួម បានហៅ ស៊េរីលេខអាម៉ូនិក.

ទិដ្ឋភាពរួម ដែលជាកន្លែងដែល s គឺជាចំនួនពិតមួយចំនួនត្រូវបានគេហៅថា ស៊េរីលេខអាម៉ូនិកទូទៅ.

និយមន័យខាងលើគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់នូវសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលប្រើញឹកញាប់បំផុតខាងក្រោម យើងសូមណែនាំឱ្យអ្នកចងចាំពួកវា។

ស៊េរីអាម៉ូនិកគឺខុសគ្នា។

ចូរយើងបង្ហាញពីភាពខុសគ្នានៃស៊េរីអាម៉ូនិក។

ឧបមាថាស៊េរីនេះចូលរួមគ្នា។ បន្ទាប់មកមានដែនកំណត់កំណត់នៃផលបូកផ្នែករបស់វា។ ក្នុងករណីនេះ យើងអាចសរសេរ និង ដែលនាំយើងទៅរកសមភាព .

នៅម្ខាងទៀត,

វិសមភាពខាងក្រោមគឺហួសពីការសង្ស័យ។ ដូច្នេះ, ។ លទ្ធផលវិសមភាពប្រាប់យើងថាសមភាព មិនអាចសម្រេចបានទេ ដែលផ្ទុយនឹងការសន្មត់របស់យើងអំពីការរួមគ្នានៃស៊េរីអាម៉ូនិក។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ស៊េរីអាម៉ូនិកខុសគ្នា។

ការបូកសរុបនៃដំណើរការធរណីមាត្រនៃប្រភេទជាមួយភាគបែង q គឺជាស៊េរីលេខដែលរួមបញ្ចូលគ្នាប្រសិនបើ និងស៊េរីឌីវើហ្សិននៅ .

ចូរយើងបញ្ជាក់។

យើងដឹងថាផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ n ដំបូងនៃដំណើរការធរណីមាត្រត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត .

នៅពេលយុត្តិធម៌

ដែលបង្ហាញពីការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីលេខ។

សម្រាប់ q = 1 យើងមានស៊េរីលេខ . ផលបូកផ្នែករបស់វាត្រូវបានរកឃើញជា ហើយដែនកំណត់នៃផលបូកផ្នែកគឺគ្មានកំណត់ ដែលបង្ហាញពីភាពខុសគ្នានៃស៊េរីក្នុងករណីនេះ។

ប្រសិនបើ q \u003d -1 នោះស៊េរីលេខនឹងយកទម្រង់ . ផលបូកមួយផ្នែកយកតម្លៃសម្រាប់សេស n និងសម្រាប់សូម្បីតែ n ។ ពីនេះយើងអាចសន្និដ្ឋានថាដែនកំណត់នៃផលបូកផ្នែកមិនមានទេហើយស៊េរីខុសគ្នា។

នៅពេលយុត្តិធម៌

ដែលបង្ហាញពីភាពខុសគ្នានៃស៊េរីលេខ។

ស៊េរីអាម៉ូនិកទូទៅរួមបញ្ចូលគ្នាសម្រាប់ s > 1 និងបង្វែរសម្រាប់ .

ភស្តុតាង។

សម្រាប់ s = 1 យើងទទួលបានស៊េរីអាម៉ូនិក ហើយខាងលើយើងបានបង្កើតភាពខុសគ្នារបស់វា។

នៅ s វិសមភាពមានសម្រាប់ k ធម្មជាតិទាំងអស់។ ដោយសារតែការបង្វែរនៃស៊េរីអាម៉ូនិក វាអាចត្រូវបានអះអាងថា លំដាប់នៃផលបូកផ្នែករបស់វាគឺគ្មានដែនកំណត់ (ចាប់តាំងពីវាមិនមានកំណត់)។ បន្ទាប់មកលំដាប់នៃផលបូកផ្នែកនៃស៊េរីលេខគឺគ្មានដែនកំណត់ច្រើនជាង (សមាជិកនីមួយៗនៃស៊េរីនេះគឺធំជាងសមាជិកដែលត្រូវគ្នានៃស៊េរីអាម៉ូនិក) ដូច្នេះ ស៊េរីអាម៉ូនិកទូទៅខុសគ្នានៅ s ។

វានៅសល់ដើម្បីបញ្ជាក់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីសម្រាប់ s > 1 ។

តោះសរសេរភាពខុសគ្នា៖

ជាក់ស្តែង

ចូរសរសេរវិសមភាពលទ្ធផលសម្រាប់ n = 2, 4, 8, 16, …

ដោយប្រើលទ្ធផលទាំងនេះ សកម្មភាពខាងក្រោមអាចត្រូវបានអនុវត្តជាមួយស៊េរីលេខដើម៖

កន្សោម គឺជាផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលភាគបែងគឺ . ដោយសារយើងកំពុងពិចារណាករណីសម្រាប់ s > 1 បន្ទាប់មក . ដូច្នេះ
. ដូច្នេះ លំដាប់នៃផលបូកមួយផ្នែកនៃស៊េរីអាម៉ូនិកទូទៅសម្រាប់ s > 1 កំពុងកើនឡើង ហើយក្នុងពេលតែមួយត្រូវបានចងពីខាងលើដោយតម្លៃ ដូច្នេះវាមានដែនកំណត់ដែលបង្ហាញពីការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី។ ភស្តុតាងគឺពេញលេញ។

បន្ទាត់លេខត្រូវបានគេហៅថា សញ្ញាវិជ្ជមានប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌទាំងអស់របស់វាគឺវិជ្ជមាន នោះមានន័យថា .

បន្ទាត់លេខត្រូវបានគេហៅថា ឆ្លាស់គ្នា។ប្រសិនបើសញ្ញានៃពាក្យជិតខាងរបស់វាខុសគ្នា។ ស៊េរីលេខជំនួសអាចត្រូវបានសរសេរជា ឬ កន្លែងណា .

បន្ទាត់លេខត្រូវបានគេហៅថា ឆ្លាស់គ្នា។ប្រសិនបើវាមានចំនួនគ្មានកំណត់នៃទាំងពាក្យវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។

ស៊េរីលេខជំនួសគឺជាករណីពិសេសនៃស៊េរីជំនួស។

ចំណាត់ថ្នាក់

សញ្ញា-វិជ្ជមាន សញ្ញាឆ្លាស់គ្នា និងសញ្ញាឆ្លាស់គ្នារៀងគ្នា។

សម្រាប់ស៊េរីជម្មើសជំនួស មានគោលគំនិតនៃការបញ្ចូលគ្នាដាច់ខាត និងតាមលក្ខខណ្ឌ។

រួមបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដប្រសិនបើស៊េរីនៃតម្លៃដាច់ខាតនៃសមាជិករបស់វាបញ្ចូលគ្នា នោះគឺជាស៊េរីលេខដែលមានសញ្ញាវិជ្ជមានមកបញ្ចូលគ្នា។

ឧទាហរណ៍បន្ទាត់លេខ និង បង្រួបបង្រួមយ៉ាងពិតប្រាកដ ចាប់តាំងពីស៊េរីបានបញ្ចូលគ្នា ដែលជាផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់។

ស៊េរីជំនួសត្រូវបានគេហៅថា ការបញ្ចូលគ្នាតាមលក្ខខណ្ឌប្រសិនបើស៊េរីខុសគ្នា ហើយស៊េរីបញ្ចូលគ្នា។

ឧទាហរណ៍នៃស៊េរីលេខដែលបំប្លែងតាមលក្ខខណ្ឌគឺជាស៊េរី . ស៊េរីលេខ , ផ្សំឡើងពីតម្លៃដាច់ខាតនៃសមាជិកនៃស៊េរីដើម , divergent, ចាប់តាំងពីវាគឺជាអាម៉ូនិក។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ ស៊េរីដើមគឺ convergent ដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើ . ដូច្នេះ សញ្ញាលេខ - ស៊េរីឆ្លាស់គ្នា។ ការបញ្ចូលគ្នាតាមលក្ខខណ្ឌ។

លក្ខណសម្បត្តិនៃស៊េរីលេខរួម។

ឧទាហរណ៍។

បញ្ជាក់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីលេខ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ចូរយើងសរសេរស៊េរីក្នុងទម្រង់ផ្សេង . ស៊េរីលេខត្រូវបានបង្រួបបង្រួម ដោយសារស៊េរីអាម៉ូនិកទូទៅត្រូវបានបញ្ចូលគ្នាសម្រាប់ s > 1 ហើយដោយសារតែទ្រព្យសម្បត្តិទីពីរនៃស៊េរីលេខបញ្ចូលគ្នា ស៊េរីដែលមានមេគុណលេខនឹងបញ្ចូលគ្នាផងដែរ។

ឧទាហរណ៍។

តើស៊េរីលេខបញ្ចូលគ្នាទេ?

ការសម្រេចចិត្ត។

តោះផ្លាស់ប្តូរស៊េរីដើម៖ . ដូច្នេះ យើងបានទទួលផលបូកនៃស៊េរីលេខពីរ ហើយ ហើយពួកវានីមួយៗចូលគ្នា (មើលឧទាហរណ៍មុន)។ ដូច្នេះហើយ ដោយសារទ្រព្យសម្បត្តិទីបីនៃស៊េរីលេខរួម ស៊េរីដើមក៏បញ្ចូលគ្នាផងដែរ។

ឧទាហរណ៍។

បញ្ជាក់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីលេខ និងគណនាផលបូករបស់វា។

ការសម្រេចចិត្ត។

ស៊េរីលេខនេះអាចត្រូវបានតំណាងថាជាភាពខុសគ្នានៃស៊េរីពីរ៖

ស៊េរីនីមួយៗទាំងនេះគឺជាផលបូកនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់ ហេតុដូច្នេះហើយបានជាបង្រួបបង្រួម។ ទ្រព្យសម្បត្តិទីបីនៃស៊េរី convergent អនុញ្ញាតឱ្យយើងអះអាងថាស៊េរីលេខដើមបានបញ្ចូលគ្នា។ ចូរយើងគណនាផលបូករបស់វា។

ពាក្យដំបូងនៃស៊េរីគឺមួយ ហើយភាគបែងនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលត្រូវគ្នាគឺ 0.5 ដូច្នេះហើយ .

ពាក្យទីមួយនៃស៊េរីគឺ 3 ហើយភាគបែងនៃដំណើរការធរណីមាត្រដែលថយចុះឥតកំណត់គឺ 1/3 ដូច្នេះ .

ចូរប្រើលទ្ធផលដែលទទួលបាន ដើម្បីស្វែងរកផលបូកនៃស៊េរីលេខដើម៖

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីមួយ។

ប្រសិនបើស៊េរីលេខចូលគ្នា នោះដែនកំណត់នៃពាក្យ k-th របស់វាគឺស្មើនឹងសូន្យ៖ .

នៅក្នុងការសិក្សានៃស៊េរីលេខណាមួយសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា ជាដំបូងនៃការទាំងអស់ វាគឺជាការចាំបាច់ដើម្បីពិនិត្យមើលការបំពេញលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ convergence ។ ការខកខានក្នុងការអនុលោមតាមលក្ខខណ្ឌនេះបង្ហាញពីភាពខុសគ្នានៃស៊េរីលេខ ពោលគឺប្រសិនបើ , បន្ទាប់មកស៊េរីខុសគ្នា។

ម៉្យាងទៀតវាត្រូវតែយល់ថាលក្ខខណ្ឌនេះមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ។ នោះគឺការបំពេញសមភាពមិនបង្ហាញពីការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីលេខទេ។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ស៊េរីអាម៉ូនិក លក្ខខណ្ឌនៃការបញ្ចូលគ្នាចាំបាច់ត្រូវបានពេញចិត្ត ហើយស៊េរីខុសគ្នា។

ឧទាហរណ៍។

ពិនិត្យមើលស៊េរីលេខសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា។

ការសម្រេចចិត្ត។

តោះពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីលេខ៖

ដែនកំណត់ សមាជិក n-th នៃស៊េរីលេខមិនស្មើនឹងសូន្យទេ ដូច្នេះ ស៊េរីខុសគ្នា។

លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីសញ្ញាវិជ្ជមាន។

នៅពេលប្រើលក្ខណៈគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីសិក្សាស៊េរីលេខសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា អ្នកត្រូវតែដោះស្រាយជានិច្ច ដូច្នេះយើងសូមណែនាំឱ្យអ្នកមើលផ្នែកនេះក្នុងករណីមានការលំបាក។

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីលេខសញ្ញាវិជ្ជមាន។

សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីលេខសញ្ញាវិជ្ជមាន វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលលំដាប់នៃផលបូកផ្នែករបស់វាត្រូវបានចង។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងលក្ខណៈពិសេសប្រៀបធៀបស៊េរី។ ខ្លឹមសាររបស់ពួកគេស្ថិតនៅក្នុងការប្រៀបធៀបស៊េរីលេខដែលបានសិក្សាជាមួយនឹងស៊េរីដែលការបញ្ចូលគ្នា ឬភាពខុសគ្នាត្រូវបានគេស្គាល់។

សញ្ញាទីមួយ ទីពីរ និងទីបីនៃការប្រៀបធៀប។

សញ្ញាដំបូងនៃការប្រៀបធៀបជួរ។

អនុញ្ញាតឱ្យ និងជាស៊េរីលេខសញ្ញាវិជ្ជមានចំនួនពីរ ហើយវិសមភាពមានសម្រាប់ k = 1, 2, 3, ... ទាំងអស់ បន្ទាប់មកការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីបង្ហាញពីការបញ្ចូលគ្នា ហើយភាពខុសគ្នានៃស៊េរីបង្ហាញពីភាពខុសគ្នា។

លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យនៃការប្រៀបធៀបទីមួយត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់ណាស់ ហើយជាឧបករណ៍ដ៏មានឥទ្ធិពលបំផុតសម្រាប់ពិនិត្យមើលស៊េរីលេខសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា។ បញ្ហាចម្បងគឺការជ្រើសរើសស៊េរីដែលសមរម្យសម្រាប់ការប្រៀបធៀប។ ស៊េរីសម្រាប់ការប្រៀបធៀបជាធម្មតាត្រូវបានជ្រើសរើស (ប៉ុន្តែមិនតែងតែទេ) ដូច្នេះនិទស្សន្តនៃសមាជិក k-th របស់វាស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងនិទស្សន្តនៃភាគយក និងភាគបែងនៃសមាជិក k-th នៃស៊េរីលេខដែលកំពុងសិក្សា។ ឧទាហរណ៍ អនុញ្ញាតឱ្យ ភាពខុសគ្នារវាងនិទស្សន្តនៃភាគយក និងភាគបែងគឺ 2 - 3 = -1 ដូច្នេះសម្រាប់ការប្រៀបធៀប យើងជ្រើសរើសស៊េរីជាមួយសមាជិក kth នោះគឺជាស៊េរីអាម៉ូនិក។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍។

កំណត់ការបញ្ចូលគ្នា ឬភាពខុសគ្នានៃស៊េរី។

ការសម្រេចចិត្ត។

ដោយសារដែនកំណត់នៃពាក្យទូទៅនៃស៊េរីគឺស្មើនឹងសូន្យ នោះលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីគឺពេញចិត្ត។

វាងាយមើលឃើញថាវិសមភាពគឺជាការពិតសម្រាប់ធម្មជាតិ k ទាំងអស់។ យើងដឹងថាស៊េរីអាម៉ូនិកខុសគ្នា ដូច្នេះយោងទៅតាមសញ្ញាដំបូងនៃការប្រៀបធៀប ស៊េរីដើមក៏ខុសគ្នាដែរ។

ឧទាហរណ៍។

ពិនិត្យមើលស៊េរីលេខសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា។

ការសម្រេចចិត្ត។

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីលេខគឺពេញចិត្ត, ចាប់តាំងពី . វាច្បាស់ណាស់ថាវិសមភាព សម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិណាមួយនៃ k ។ ស៊េរីនេះបង្រួបបង្រួមដោយសារស៊េរីអាម៉ូនិកទូទៅបង្រួបបង្រួមសម្រាប់ s > 1។ ដូច្នេះសញ្ញាដំបូងនៃការប្រៀបធៀបស៊េរីអនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ពីការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីលេខដើម។

ឧទាហរណ៍។

កំណត់ការបង្រួបបង្រួម ឬភាពខុសគ្នានៃស៊េរីលេខ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ដូច្នេះ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីលេខគឺពេញចិត្ត។ តើជួរមួយណាដែលត្រូវជ្រើសរើសសម្រាប់ការប្រៀបធៀប? ស៊េរីលេខណែនាំខ្លួនវា ហើយដើម្បីកំណត់ s យើងពិនិត្យដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវលំដាប់លេខ។ លក្ខខណ្ឌនៃលំដាប់លេខកើនឡើងឆ្ពោះទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់។ ដូច្នេះដោយចាប់ផ្តើមពីលេខ N មួយចំនួន (ឧទាហរណ៍ពី N = 1619) លក្ខខណ្ឌនៃលំដាប់នេះនឹងធំជាង 2 ។ ចាប់ផ្តើមពីលេខ N នេះ វិសមភាពមានសុពលភាព។ ស៊េរីលេខបញ្ចូលគ្នាដោយសារតែទ្រព្យសម្បត្តិដំបូងនៃស៊េរី convergent ចាប់តាំងពីវាត្រូវបានទទួលបានពីស៊េរី convergent ដោយបោះបង់លក្ខខណ្ឌ N - 1 ដំបូង។ ដូច្នេះយោងទៅតាមសញ្ញាដំបូងនៃការប្រៀបធៀប ស៊េរីគឺបញ្ចូលគ្នា ហើយដោយសារតែទ្រព្យសម្បត្តិដំបូងនៃស៊េរីលេខបញ្ចូលគ្នា ស៊េរីក៏នឹងបញ្ចូលគ្នាផងដែរ។

សញ្ញាទីពីរនៃការប្រៀបធៀប។

អនុញ្ញាតឱ្យនិងជាស៊េរីលេខសញ្ញាវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើ ការបង្រួបបង្រួមនៃស៊េរីនេះបង្កប់ន័យការបញ្ចូលគ្នានៃ . ប្រសិនបើ នោះភាពខុសគ្នានៃស៊េរីលេខបង្ហាញពីភាពខុសគ្នានៃ .

ផលវិបាក។

ប្រសិនបើ និង នោះការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីមួយបង្កប់ន័យពីការបញ្ចូលគ្នានៃមួយទៀត ហើយការបង្វែរមានន័យថាការបង្វែរ។

យើងពិនិត្យមើលស៊េរីសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នាដោយប្រើលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យប្រៀបធៀបទីពីរ។ ចូរយកស៊េរីរួមជាស៊េរី។ ចូរយើងស្វែងរកដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃសមាជិក k-th នៃស៊េរីលេខ៖

ដូច្នេះយោងទៅតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យទីពីរនៃការប្រៀបធៀប ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីលេខបង្ហាញពីការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីដើម។

ឧទាហរណ៍។

ស៊ើបអង្កេតការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីលេខ។

ការសម្រេចចិត្ត។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងពិនិត្យមើលលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី . លក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ។ ដើម្បីអនុវត្តសញ្ញាទីពីរនៃការប្រៀបធៀប ចូរយើងយកស៊េរីអាម៉ូនិក។ ចូរយើងស្វែងរកដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃពាក្យ k-th៖

អាស្រ័យហេតុនេះ ភាពខុសគ្នានៃស៊េរីដើមកើតឡើងពីភាពខុសគ្នានៃស៊េរីអាម៉ូនិក យោងតាមលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យទីពីរនៃការប្រៀបធៀប។

សម្រាប់ព័ត៌មាន យើងបង្ហាញលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យទីបីសម្រាប់ការប្រៀបធៀបស៊េរី។

សញ្ញាទីបីនៃការប្រៀបធៀប។

អនុញ្ញាតឱ្យនិងជាស៊េរីលេខសញ្ញាវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌត្រូវបានពេញចិត្តពីចំនួនជាក់លាក់ N នោះការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីបង្ហាញពីការបញ្ចូលគ្នា ហើយភាពខុសគ្នានៃស៊េរីបង្ហាញពីភាពខុសគ្នា។

សញ្ញារបស់ d'Alembert ។

មតិយោបល់។

សញ្ញារបស់ d'Alembert មានសុពលភាពប្រសិនបើដែនកំណត់គឺគ្មានកំណត់ នោះគឺប្រសិនបើ នោះស៊េរីនឹងបង្រួបបង្រួមប្រសិនបើ បន្ទាប់មកស៊េរីខុសគ្នា។

ប្រសិនបើ ការធ្វើតេស្ត d'Alembert មិនផ្តល់ព័ត៌មានអំពីការបង្រួបបង្រួម ឬភាពខុសគ្នានៃស៊េរីទេ ហើយការស្រាវជ្រាវបន្ថែមគឺត្រូវបានទាមទារ។

ឧទាហរណ៍។

ពិនិត្យមើលស៊េរីលេខសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៅលើមូលដ្ឋាននៃ d'Alembert ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ចូរយើងពិនិត្យមើលការបំពេញលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីលេខ យើងគណនាដែនកំណត់ដោយ៖

លក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ។

ចូរប្រើសញ្ញារបស់ d'Alembert៖

ដូច្នេះស៊េរីត្រូវបានរួមគ្នា។

សញ្ញារ៉ាឌីកាល់របស់ Cauchy ។

សូមឱ្យជាស៊េរីលេខសញ្ញាវិជ្ជមាន។ ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មកស៊េរីបង្រួបបង្រួម ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មកស៊េរីខុសគ្នា។

មតិយោបល់។

ការធ្វើតេស្តរ៉ាឌីកាល់របស់ Cauchy មានសុពលភាពប្រសិនបើដែនកំណត់គឺគ្មានកំណត់ នោះគឺប្រសិនបើ នោះស៊េរីនឹងបង្រួបបង្រួមប្រសិនបើ បន្ទាប់មកស៊េរីខុសគ្នា។

ប្រសិនបើ ការធ្វើតេស្តរ៉ាឌីកាល់ Cauchy មិនផ្តល់ព័ត៌មានអំពីការបញ្ចូលគ្នា ឬភាពខុសគ្នានៃស៊េរី ហើយការស្រាវជ្រាវបន្ថែមត្រូវបានទាមទារ។

ជាធម្មតាវាងាយស្រួលគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការមើលករណីដែលវាជាការល្អបំផុតក្នុងការប្រើការធ្វើតេស្តរ៉ាឌីកាល់ Cauchy ។ ករណីលក្ខណៈគឺនៅពេលដែលពាក្យទូទៅនៃស៊េរីលេខគឺជាកន្សោមថាមពលអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍។

ស៊ើបអង្កេតស៊េរីលេខសញ្ញាវិជ្ជមានសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នាដោយប្រើការធ្វើតេស្ត Cauchy រ៉ាឌីកាល់។

ការសម្រេចចិត្ត។

. តាមរយៈការធ្វើតេស្តរ៉ាឌីកាល់ Cauchy យើងទទួលបាន .

ដូច្នេះស៊េរីត្រូវចូលរួម។

ឧទាហរណ៍។

តើស៊េរីលេខបញ្ចូលគ្នាទេ? .

ការសម្រេចចិត្ត។

ចូរយើងប្រើការធ្វើតេស្តរ៉ាឌីកាល់ Cauchy ដូច្នេះ ស៊េរីលេខចូលរួមគ្នា។

ការធ្វើតេស្តអាំងតេក្រាល Cauchy ។

សូមឱ្យជាស៊េរីលេខសញ្ញាវិជ្ជមាន។ ចូរយើងបង្កើតអនុគមន៍នៃអាគុយម៉ង់បន្ត y = f(x) ស្រដៀងនឹងអនុគមន៍។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y = f(x) វិជ្ជមាន បន្ត និងបន្ថយនៅចន្លោះពេល ដែលជាកន្លែងដែល ) ។ បន្ទាប់មកនៅក្នុងករណីនៃការបញ្ចូលគ្នា អាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវបង្រួបបង្រួមស៊េរីលេខដែលបានសិក្សា។ ប្រសិនបើអាំងតេក្រាលមិនត្រឹមត្រូវខុសគ្នា នោះស៊េរីដើមក៏ខុសគ្នាដែរ។

នៅពេលពិនិត្យមើលការបំបែកនៃអនុគមន៍ y = f(x) លើចន្លោះពេលមួយ អ្នកអាចរកឃើញទ្រឹស្តីនៅក្នុងផ្នែកមានប្រយោជន៍។

ឧទាហរណ៍។

ពិនិត្យមើលស៊េរីលេខដែលមានលក្ខខណ្ឌវិជ្ជមានសម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា។

ការសម្រេចចិត្ត។

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីគឺពេញចិត្ត, ចាប់តាំងពី . តោះពិចារណាមុខងារមួយ។ វាមានភាពវិជ្ជមាន បន្ត និងថយចុះនៅចន្លោះពេល។ ភាពបន្ត និងភាពវិជ្ជមាននៃមុខងារនេះគឺហួសពីការសង្ស័យ ប៉ុន្តែសូមឱ្យយើងរស់នៅលើការថយចុះនៅក្នុងព័ត៌មានលម្អិតបន្តិចទៀត។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេ៖
. វាអវិជ្ជមាននៅលើចន្លោះពេល ដូច្នេះមុខងារថយចុះនៅចន្លោះពេលនេះ។

មុនពេលចាប់ផ្តើមការងារជាមួយប្រធានបទនេះ ខ្ញុំណែនាំអ្នកឱ្យមើលផ្នែកដែលមានវាក្យស័ព្ទសម្រាប់ស៊េរីលេខ។ ជាពិសេសវាមានតម្លៃក្នុងការយកចិត្តទុកដាក់លើគោលគំនិតនៃពាក្យទូទៅនៃស៊េរីមួយ។ ប្រសិនបើអ្នកមានការសង្ស័យអំពីជម្រើសត្រឹមត្រូវនៃសញ្ញានៃការបញ្ចូលគ្នា ខ្ញុំណែនាំអ្នកឱ្យមើលប្រធានបទ "ការជ្រើសរើសសញ្ញានៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីលេខ" ។

ការធ្វើតេស្ត D'Alembert (ឬការធ្វើតេស្ត d'Alembert) ត្រូវបានប្រើដើម្បីសិក្សាការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីដែលពាក្យទូទៅគឺខ្លាំងជាងសូន្យ ពោលគឺ $u_n > 0$ ។ ស៊េរីបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា វិជ្ជមានយ៉ាងតឹងរឹង. នៅក្នុងឧទាហរណ៍ស្តង់ដារ សញ្ញានៃ D "Alembert ត្រូវបានប្រើក្នុងទម្រង់កំណត់។

សញ្ញានៃ D "Alamber (ក្នុងទម្រង់កំណត់)

ប្រសិនបើស៊េរី $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ គឺវិជ្ជមានយ៉ាងតឹងរឹង ហើយ $$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=L , $ $ បន្ទាប់មកសម្រាប់ $L<1$ ряд сходится, а при $L>1$ (និងសម្រាប់ $L=\infty$) ស៊េរីខុសគ្នា។

ការបង្កើតនេះគឺសាមញ្ញណាស់ ប៉ុន្តែសំណួរខាងក្រោមនៅតែបើកចំហ៖ តើមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើ $L=1$? សញ្ញានៃ D "Alembert មិនអាចឆ្លើយសំណួរនេះបានទេ។ ប្រសិនបើ $L \u003d 1$ នោះស៊េរីអាចទាំងពីរបញ្ចូលគ្នា និងខុសគ្នា។

ជាញឹកញយ ក្នុងឧទាហរណ៍ស្ដង់ដារ សញ្ញានៃ D "Alembert ត្រូវបានប្រើប្រសិនបើកន្សោមពាក្យទូទៅនៃស៊េរីមានពហុនាមជា $n$ (ពហុនាមក៏អាចស្ថិតនៅក្រោមឫស) និងកម្រិតនៃទម្រង់ $a ^n$ ឬ $n!$ ។ ឧទាហរណ៍ $u_n= \frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ (មើលឧទាហរណ៍ #1) ឬ $u_n=\frac( \sqrt(4n+5))((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "визитная карточка" признака Д"Аламбера.!}

តើពាក្យ "n!" តំណាងឱ្យអ្វី? បង្ហាញ/លាក់

ថត "n!" (អាន "en factorial") តំណាងឱ្យផលិតផលនៃលេខធម្មជាតិទាំងអស់ពី 1 ដល់ n, i.e.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n$$

តាមនិយមន័យ វាត្រូវបានសន្មតថា $0!=1!=1$ ។ ឧទាហរណ៍ រក ៥!

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120 ។ $$

លើសពីនេះ ការធ្វើតេស្ត D "Alembert ត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ដើម្បីកំណត់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីដែលពាក្យទូទៅមានផលិតផលនៃរចនាសម្ព័ន្ធដូចខាងក្រោម: $u_n=\frac(3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n +1))(2\cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1))$ ។

ឧទាហរណ៍ #1

ពិនិត្យមើលស៊េរី $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នា។

ដោយសារដែនកំណត់ការបូកទាបគឺ 1 ពាក្យទូទៅនៃស៊េរីត្រូវបានសរសេរនៅក្រោមសញ្ញាបូក៖ $u_n=\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ ។ ចាប់តាំងពី $n≥ 1$ យើងមាន $3n+7 > 0$, $5^n>0$ និង $2n^3-1 > 0$ បន្ទាប់មក $u_n > 0$។ ដូច្នេះស៊េរីរបស់យើងគឺមានភាពវិជ្ជមានយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។

$$ 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac((3n+10)\left(2n^3-1\right))(\left(2(n+1)^3-1\right )(3n+7))=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|= 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac((3n+10)\left (2n^3-1\right))(n^4))(\frac(\left(2(n+1)^3-1\right)(3n+7))(n^4))=5 \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n+10)(n)\cdot\frac(2n^3-1)(n^3))(\frac(\left(2( n+1)^3-1\right))(n^3)\cdot\frac(3n+7)(n))=\\ =5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\ ឆ្វេង(\frac(3n)(n)+\frac(10)(n)\right)\cdot\left(\frac(2n^3)(n^3)-\frac(1)(n^3) \right))(\left(2\left(\frac(n)(n)+\frac(1)(n)\right)^3-\frac(1)(n^3)\right)\cdot \left(\frac(3n)(n)+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\left(3+\frac(10)) (n)\right)\cdot\left(2-\frac(1)(n^3)\right))(\left(2\left(1+\frac(1)(n)\right)^3 -\frac(1)(n^3)\right)\cdot\left(3+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\frac(3\cdot 2)(2\cdot 3 ) = ៥. $$

ចាប់តាំងពី $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=5>1$ បន្ទាប់មកយោងទៅតាមស៊េរីដែលបានផ្តល់ឱ្យខុសគ្នា។

និយាយឱ្យត្រង់ទៅ សញ្ញា D "Alembert មិនមែនជាជម្រើសតែមួយគត់ក្នុងស្ថានភាពនេះទេ។ អ្នកអាចប្រើឧទាហរណ៍ សញ្ញា Cauchy រ៉ាឌីកាល់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ការប្រើប្រាស់សញ្ញារ៉ាឌីកាល់ Cauchy នឹងទាមទារចំណេះដឹង (ឬភស្តុតាង) នៃរូបមន្តបន្ថែម។ ដូច្នេះហើយ ការប្រើសញ្ញា D" Alembert ក្នុងស្ថានភាពនេះគឺងាយស្រួលជាង។

ចម្លើយ៖ ស៊េរីខុសគ្នា។

ឧទាហរណ៍ #2

រុករកស៊េរី $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ на сходимость.!}

ដោយសារដែនកំណត់ការបូកទាបគឺ 1 ពាក្យទូទៅនៃស៊េរីត្រូវបានសរសេរនៅក្រោមសញ្ញាបូក៖ $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

ពាក្យទូទៅនៃស៊េរីមានពហុនាមនៅក្រោមឫស ពោលគឺឧ។ $\sqrt(4n+5)$, និង factorial $(3n-2)!$ ។ វត្តមាននៃរោងចក្រនៅក្នុងឧទាហរណ៍ស្តង់ដារគឺជាការធានាស្ទើរតែមួយរយភាគរយនៃការអនុវត្តសញ្ញា D "Alembert ។

ដើម្បីអនុវត្តមុខងារនេះ យើងត្រូវស្វែងរកដែនកំណត់នៃទំនាក់ទំនង $\frac(u_(n+1))(u_n)$ ។ ដើម្បីសរសេរ $u_(n+1)$ អ្នកត្រូវប្រើរូបមន្ត $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4(n+1)+5))((3(n+1)-2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

ចាប់តាំងពី $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$ រូបមន្តសម្រាប់ $u_(n+1)$ អាចសរសេរបានបើមិនដូច្នេះទេ :

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4n+9))((3n+1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

ធាតុនេះគឺងាយស្រួលសម្រាប់ដំណោះស្រាយបន្ថែមទៀតនៅពេលដែលយើងត្រូវកាត់បន្ថយប្រភាគនៅក្រោមដែនកំណត់។ ប្រសិនបើសមភាពជាមួយហ្វាក់តូរីយ៉ែល ទាមទារឱ្យមានការបំភ្លឺនោះ សូមពង្រីកចំណាំខាងក្រោម។

តើយើងទទួលបាន $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$? បង្ហាញ/លាក់

សញ្ញាណ $(3n+1)!$ មានន័យថាផលគុណនៃលេខធម្មជាតិទាំងអស់ចាប់ពី 1 ដល់ $3n+1$។ ទាំងនោះ។ កន្សោមនេះអាចសរសេរដូចនេះ៖

$$ (3n+1)!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot(3n+1)។ $$

ភ្លាមៗមុនលេខ $3n+1$ មានលេខមួយតិច ពោលគឺឧ។ លេខ $3n+1-1=3n$។ ហើយភ្លាមៗមុនលេខ $3n$ គឺជាលេខ $3n-1$។ អញ្ចឹងមុនលេខ $3n-1$ យើងមានលេខ $3n-1-1=3n-2$។ តោះសរសេររូបមន្ត $(3n+1) ឡើងវិញ!$:

$$ (3n+1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)\cdot(3n-1)\cdot 3n\cdot (3n+1) $$

តើអ្វីជាផលិតផលរបស់ $1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)$? ផលិតផលនេះស្មើនឹង $(3n-2)!$។ ដូច្នេះ កន្សោមសម្រាប់ $(3n+1)!$ អាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់នេះ៖

$$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$$

ធាតុនេះគឺងាយស្រួលសម្រាប់ដំណោះស្រាយបន្ថែមទៀតនៅពេលដែលយើងត្រូវកាត់បន្ថយប្រភាគនៅក្រោមដែនកំណត់។

គណនាតម្លៃនៃ $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)$:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(\sqrt(4n+9)))(( 3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)))(\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

ចាប់តាំងពី $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=0<1$, то согласно

សញ្ញានៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី។ សញ្ញារបស់ d'Alembert ។ សញ្ញានៃ Cauchy

d'Alembert ការធ្វើតេស្ត convergence

សញ្ញារ៉ាឌីកាល់របស់ Cauchy

ការធ្វើតេស្តអាំងតេក្រាល Cauchy

និយមន័យ និងគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន។

លក្ខណសម្បត្តិនៃស៊េរីលេខរួម។

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីមួយ។

លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីសញ្ញាវិជ្ជមាន។

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរីលេខសញ្ញាវិជ្ជមាន។

សញ្ញាទីមួយ ទីពីរ និងទីបីនៃការប្រៀបធៀប។

សញ្ញារបស់ d'Alembert ។

សញ្ញារ៉ាឌីកាល់របស់ Cauchy ។

ការធ្វើតេស្តអាំងតេក្រាល Cauchy ។

អត្ថបទ​ដែល​ទាក់ទង

សញ្ញានៃការបញ្ចូលគ្នានៃស៊េរី។
សញ្ញារបស់ d'Alembert ។ សញ្ញានៃ Cauchy

អត្ថបទដែលទាក់ទង