និយមន័យនៃលំដាប់លេខត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ឧទាហរណ៍នៃការកើនឡើងឥតកំណត់ ការបញ្ចូលគ្នា និងលំដាប់ផ្សេងគ្នាត្រូវបានពិចារណា។ លំដាប់ដែលមានលេខសមហេតុផលទាំងអស់ត្រូវបានពិចារណា។

មាតិកា

សូម​មើល​ផង​ដែរ:

និយមន័យ

លំដាប់លេខ (x n)- នេះគឺជាច្បាប់ (ច្បាប់) យោងតាមដែលសម្រាប់លេខធម្មជាតិនីមួយៗ n = 1, 2, 3, . . . លេខមួយចំនួន x n ត្រូវបានចាត់តាំង។
ធាតុ x n ត្រូវបានគេហៅថាសមាជិក n ឬធាតុនៃលំដាប់។

លំដាប់​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ថា​ជា​សមាជិក​ទី 9 ដែល​បាន​រុំ​ព័ទ្ធ​ក្នុង​តង្កៀប​អង្កាញ់ ៖ . ការ​កំណត់​ខាង​ក្រោម​ក៏​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន៖ . ពួកគេបញ្ជាក់យ៉ាងច្បាស់ថា លិបិក្រម n ជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំនៃលេខធម្មជាតិ ហើយថាលំដាប់ខ្លួនវាមានចំនួនសមាជិកមិនកំណត់។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃលំដាប់៖
, , .

ម្យ៉ាងវិញទៀត លំដាប់លេខគឺជាមុខងារដែលដែនគឺជាសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ។ ចំនួននៃធាតុនៅក្នុងលំដាប់គឺគ្មានកំណត់។ ក្នុង​ចំណោម​ធាតុ​ទាំង​នោះ​ក៏​អាច​មាន​សមាជិក​ដែល​មាន​តម្លៃ​ដូចគ្នា​ដែរ។ ដូចគ្នានេះផងដែរ, លំដាប់អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាសំណុំលេខដែលមានចំនួនសមាជិកគ្មានកំណត់។

យើងនឹងចាប់អារម្មណ៍ជាចម្បងចំពោះសំណួរ - តើលំដាប់លំដោយមានឥរិយាបទយ៉ាងដូចម្តេចនៅពេលដែល n ទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់: . សម្ភារៈនេះត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងដែនកំណត់លំដាប់ - ទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋាន និងផ្នែកលក្ខណៈសម្បត្តិ។ ហើយនៅទីនេះយើងនឹងពិនិត្យមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃលំដាប់។

ឧទាហរណ៍នៃលំដាប់

ឧទាហរណ៍នៃលំដាប់កើនឡើងឥតកំណត់

តោះពិចារណាលំដាប់មួយ។ ពាក្យទូទៅនៃលំដាប់នេះគឺ។ ចូរយើងសរសេរពាក្យពីរបីដំបូង៖
.
វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថានៅពេលដែលចំនួន n កើនឡើង ធាតុកើនឡើងដោយគ្មានកំណត់ឆ្ពោះទៅរកតម្លៃវិជ្ជមាន។ យើងអាចនិយាយបានថា លំដាប់នេះមានទំនោរទៅ : នៅ .

ឥឡូវ​នេះ សូម​ពិចារណា​លំដាប់​មួយ​ជាមួយ​ពាក្យ​ទូទៅ។ នេះគឺជាសមាជិកដំបូងមួយចំនួនរបស់វា៖
.
នៅពេលដែលចំនួន n កើនឡើង ធាតុនៃលំដាប់នេះកើនឡើងនៅក្នុងតម្លៃដាច់ខាតដោយគ្មានកំណត់ ប៉ុន្តែមិនមានសញ្ញាថេរទេ។ នោះគឺលំដាប់នេះមានទំនោរទៅ : នៅ .

ឧទាហរណ៍នៃលំដាប់ដែលបំប្លែងទៅជាចំនួនកំណត់

ចូរយើងពិចារណាលំដាប់មួយ។ សមាជិកទូទៅរបស់វា។ លក្ខខណ្ឌដំបូងមានដូចខាងក្រោម៖
.
វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថានៅពេលដែលចំនួន n កើនឡើងធាតុនៃលំដាប់នេះខិតជិតតម្លៃដែនកំណត់របស់ពួកគេ a = 0 ៖ នៅ . ដូច្នេះពាក្យបន្តបន្ទាប់នីមួយៗគឺនៅជិតសូន្យជាងពាក្យមុន។ ក្នុងន័យមួយ យើងអាចសន្មត់ថាមានតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលសម្រាប់លេខ a = 0 ជាមួយនឹងកំហុសមួយ។ វាច្បាស់ណាស់ថានៅពេលដែល n កើនឡើង កំហុសនេះមានទំនោរទៅសូន្យ ពោលគឺដោយជ្រើសរើស n កំហុសអាចត្រូវបានធ្វើឡើងតាមអំពើចិត្ត។ លើសពីនេះទៅទៀតសម្រាប់កំហុសណាមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យε > 0 វាអាចបញ្ជាក់លេខ N បែបនោះ ដែលសម្រាប់ធាតុទាំងអស់ដែលមានលេខធំជាង N : គម្លាតនៃលេខពីតម្លៃកំណត់ a នឹងមិនលើសពីកំហុសε : .

បន្ទាប់ពិចារណាលំដាប់។ សមាជិកទូទៅរបស់វា។ នេះគឺជាសមាជិកដំបូងមួយចំនួនរបស់វា៖
.
ក្នុង​លំដាប់​នេះ ពាក្យ​លេខ​គូ​គឺ​សូន្យ។ សមាជិកដែលមានលេខសេសគឺ . ដូច្នេះនៅពេលដែល n កើនឡើង តម្លៃរបស់ពួកគេខិតជិតតម្លៃកំណត់ a = 0 . នេះក៏កើតឡើងពីការពិតដែល
.
ដូចក្នុងឧទាហរណ៍មុន យើងអាចបញ្ជាក់កំហុសតូចមួយតាមអំពើចិត្ត ε > 0 ដែលអាចស្វែងរកលេខ N បែបនេះដែលធាតុដែលមានលេខធំជាង N នឹងខុសពីតម្លៃកំណត់ a = 0 ដោយតម្លៃដែលមិនលើសពីកំហុសដែលបានបញ្ជាក់។ ដូច្នេះ​លំដាប់​នេះ​បាន​បម្លែង​ទៅ​ជា​តម្លៃ a = 0 ៖ នៅ .

ឧទាហរណ៍នៃលំដាប់ផ្សេងគ្នា

ពិចារណា​លំដាប់​ដោយ​ពាក្យ​ទូទៅ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

នេះគឺជាសមាជិកដំបូងរបស់វា៖


.
វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាពាក្យដែលមានលេខគូ:
,
បង្រួបបង្រួមតម្លៃ a 1 = 0 . សមាជិកដែលមានលេខសេស៖
,
បង្រួបបង្រួមតម្លៃ a 2 = 2 . លំដាប់​ដោយ​ខ្លួន​វា​ផ្ទាល់​នៅ​ពេល​ដែល n រីក​ចម្រើន មិន​បាន​បម្លែង​ទៅ​ជា​តម្លៃ​ណា​មួយ​ទេ។

លំដាប់​ជាមួយ​ពាក្យ​ដែល​បាន​ចែកចាយ​ក្នុង​ចន្លោះពេល (0;1)

ឥឡូវនេះពិចារណាលំដាប់គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍បន្ថែមទៀត។ យកផ្នែកមួយនៅលើបន្ទាត់លេខ។ ចូរយើងបំបែកវាជាពាក់កណ្តាល។ យើងទទួលបានពីរផ្នែក។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន
.
ផ្នែកនីមួយៗត្រូវបានបែងចែកម្តងទៀតជាពាក់កណ្តាល។ យើងទទួលបានបួនផ្នែក។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន
.
ចែកផ្នែកនីមួយៗជាពាក់កណ្តាលម្តងទៀត។ តោះយក


.
ល។

ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានលំដាប់ដែលធាតុត្រូវបានចែកចាយក្នុងចន្លោះពេលបើកចំហ (0; 1) . ចំណុចណាក៏ដោយដែលយើងយកពីចន្លោះពេលបិទ យើងតែងតែអាចស្វែងរកសមាជិកនៃលំដាប់ដែលនៅជិតចំណុចនេះតាមអំពើចិត្ត ឬស្របគ្នាជាមួយវា។

បន្ទាប់​មក​ពី​លំដាប់​ដើម គេ​អាច​ញែក​ចេញ​ជា​បន្តបន្ទាប់​ដែល​នឹង​ទៅ​ជា​ចំណុច​បំពាន​ពី​ចន្លោះ​ពេល . នោះគឺនៅពេលដែលចំនួន n កើនឡើង សមាជិកនៃបន្តបន្ទាប់នឹងមកកាន់តែជិត និងខិតទៅជិតចំណុចដែលបានជ្រើសរើសជាមុន។

ឧទាហរណ៍សម្រាប់ចំណុច ក = 0 អ្នកអាចជ្រើសរើសបន្ទាប់បន្សំខាងក្រោម៖
.
= 0 .

សម្រាប់ចំណុច ក = 1 ជ្រើសរើសបន្ទាប់បន្សំខាងក្រោម៖
.
សមាជិក​នៃ​ការ​បន្ទាប់​នេះ​បាន​បម្លែង​ទៅ​ជា​តម្លៃ a = 1 .

ដោយសារ​មាន​លេខ​បន្តបន្ទាប់​គ្នា​ទៅ​ជា​តម្លៃ​ផ្សេង​គ្នា លំដាប់​ដើម​ខ្លួន​ឯង​មិន​បម្លែង​ទៅ​ជា​លេខ​ណាមួយ​ទេ។

លំដាប់ដែលមានលេខសមហេតុផលទាំងអស់។

ឥឡូវ​យើង​បង្កើត​លំដាប់​ដែល​មាន​លេខ​សនិទានភាព​ទាំងអស់។ ជាងនេះទៅទៀត លេខសមហេតុសមផលនីមួយៗនឹងត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងលំដាប់បែបនេះចំនួនដងគ្មានកំណត់។

លេខសនិទាន r អាចត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោមៈ
,
តើចំនួនគត់នៅឯណា; - ធម្មជាតិ។
យើងត្រូវកំណត់ទៅលេខធម្មជាតិនីមួយៗ n មួយគូនៃលេខ p និង q ដូច្នេះគូណាមួយនៃ p និង q ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងលំដាប់របស់យើង។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះគូរអ័ក្ស p និង q នៅលើយន្តហោះ។ យើងគូរបន្ទាត់ក្រឡាចត្រង្គតាមរយៈតម្លៃចំនួនគត់ p និង q ។ បន្ទាប់មកថ្នាំងនីមួយៗនៃក្រឡាចត្រង្គនេះជាមួយនឹងត្រូវគ្នាទៅនឹងចំនួនសនិទាន។ សំណុំទាំងមូលនៃលេខសនិទានភាពនឹងត្រូវបានតំណាងដោយសំណុំនៃថ្នាំងមួយ។ យើង​ត្រូវ​រក​វិធី​ដើម្បី​ដាក់​លេខ​គ្រប់​ថ្នាំង​ទាំងអស់ ដើម្បី​កុំ​ឱ្យ​យើង​ខកខាន​ថ្នាំង​មួយ​។ វាងាយស្រួលធ្វើប្រសិនបើយើងដាក់លេខថ្នាំងតាមការ៉េដែលកណ្តាលស្ថិតនៅត្រង់ចំនុច (0; 0) (មើលរូបភាព)។ ក្នុងករណីនេះផ្នែកខាងក្រោមនៃការ៉េដែលមាន q < 1 យើងមិនត្រូវការទេ។ ដូច្នេះពួកគេមិនត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភាពទេ។

ដូច្នេះ សម្រាប់ផ្នែកខាងលើនៃការ៉េទីមួយ យើងមាន៖
.
បន្ទាប់យើងដាក់លេខផ្នែកខាងលើនៃការ៉េបន្ទាប់៖

.
យើងដាក់លេខផ្នែកខាងលើនៃការ៉េបន្ទាប់៖

.
ល។

តាមរបៀបនេះយើងទទួលបានលំដាប់ដែលមានលេខសមហេតុផលទាំងអស់។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថាចំនួនសមហេតុផលណាមួយលេចឡើងនៅក្នុងលំដាប់នេះចំនួនដងគ្មានកំណត់។ ជាការពិតណាស់ រួមជាមួយនឹងថ្នាំង លំដាប់នេះនឹងរួមបញ្ចូលផងដែរនូវថ្នាំង ដែលជាលេខធម្មជាតិ។ ប៉ុន្តែថ្នាំងទាំងអស់នេះត្រូវគ្នាទៅនឹងចំនួនសមហេតុផលដូចគ្នា។

បន្ទាប់មកពីលំដាប់ដែលយើងបានសាងសង់ យើងអាចជ្រើសរើសបន្តបន្ទាប់មួយ (មានចំនួនធាតុគ្មានកំណត់) ធាតុទាំងអស់គឺស្មើនឹងចំនួនសនិទានដែលបានកំណត់ទុកជាមុន។ ដោយ​ហេតុ​ថា​លំដាប់​ដែល​យើង​បាន​បង្កើត​មាន​លេខ​បន្តបន្ទាប់​គ្នា​ទៅ​ជា​លេខ​ខុស​គ្នា លំដាប់​នោះ​មិន​ទៅ​ជា​លេខ​ណា​មួយ​ទេ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

នៅទីនេះយើងបានផ្តល់និយមន័យច្បាស់លាស់នៃលំដាប់លេខ។ យើងក៏បាននិយាយអំពីបញ្ហានៃការបញ្ចូលគ្នារបស់វា ដោយផ្អែកលើគំនិតវិចារណញាណ។ និយមន័យពិតប្រាកដនៃការបញ្ចូលគ្នាត្រូវបានពិភាក្សានៅលើទំព័រកំណត់ដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ។ លក្ខណៈសម្បត្តិ និងទ្រឹស្ដីដែលពាក់ព័ន្ធត្រូវបានគូសបញ្ជាក់នៅលើទំព័រកំណត់លំដាប់ - ទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋាន និងទំព័រលក្ខណៈសម្បត្តិ។

សូម​មើល​ផង​ដែរ:

អនុញ្ញាតឱ្យមាន X (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម X)គឺជាសំណុំនៃចំនួនពិត R (\displaystyle \mathbb (R))ឬសំណុំនៃចំនួនកុំផ្លិច C (\displaystyle \mathbb (C)). បន្ទាប់មកលំដាប់ ( x n ) n = 1 ∞ (\displaystyle \(x_(n)\)_(n=1)^(\infty ))កំណត់ធាតុ X (\បង្ហាញរចនាប័ទ្ម X)បានហៅ លំដាប់លេខ.

ឧទាហរណ៍

ប្រតិបត្តិការតាមលំដាប់លំដោយ

បន្តបន្ទាប់

បន្តបន្ទាប់ លំដាប់ (x n) (\displaystyle (x_(n)))គឺជាលំដាប់ (x n k) (\displaystyle (x_(n_(k)))))កន្លែងណា (n k) (\displaystyle (n_(k)))គឺជាការបង្កើនលំដាប់នៃធាតុនៃសំណុំនៃចំនួនធម្មជាតិ។

ម្យ៉ាងវិញទៀត លំដាប់បន្ទាប់គឺទទួលបានពីលំដាប់មួយដោយដកចេញនូវចំនួនកំណត់ ឬរាប់ដែលអាចរាប់បាន។

ឧទាហរណ៍

• លំដាប់នៃលេខបឋមគឺជាលំដាប់បន្តបន្ទាប់នៃលេខធម្មជាតិ។
• លំដាប់នៃលេខធម្មជាតិដែលគុណនឹងគឺជាលំដាប់បន្តបន្ទាប់នៃលេខធម្មជាតិ។

ទ្រព្យសម្បត្តិ

ចំណុចកំណត់លំដាប់ គឺជាចំណុចមួយនៅក្នុងសង្កាត់ណាមួយដែលមានធាតុផ្សំជាច្រើនគ្មានកំណត់នៃលំដាប់នេះ។ សម្រាប់​លំដាប់​លេខ​រួម ចំណុច​កំណត់​ត្រូវ​គ្នា​នឹង​កម្រិត​កំណត់។

ដែនកំណត់លំដាប់

ដែនកំណត់លំដាប់ គឺជាវត្ថុដែលសមាជិកនៃលំដាប់ទៅជិតនៅពេលដែលចំនួនកើនឡើង។ ដូច្នេះ នៅក្នុងលំហ topological បំពាន ដែនកំណត់នៃលំដាប់គឺជាធាតុមួយនៅក្នុងសង្កាត់ណាមួយដែលសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់កុហក ដោយចាប់ផ្តើមពីអ្វីមួយ។ ជាពិសេស សម្រាប់លំដាប់លេខ ដែនកំណត់គឺជាលេខនៅក្នុងសង្កាត់ណាមួយដែលសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់និយាយកុហក ដោយចាប់ផ្តើមពីលេខមួយ។

លំដាប់មូលដ្ឋាន

លំដាប់មូលដ្ឋាន (លំដាប់នៃការបញ្ចូលគ្នាដោយខ្លួនឯង។ , លំដាប់ Cauchy ) គឺជាលំដាប់នៃធាតុនៃលំហរង្វាស់ម៉ែត្រ ដែលក្នុងនោះសម្រាប់ចម្ងាយដែលបានកំណត់ទុកជាមុនណាមួយ មានធាតុបែបនេះ ចម្ងាយពីធាតុណាមួយដែលតាមពីក្រោយវាមិនលើសពីមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ សម្រាប់​លំដាប់​លេខ គោលគំនិត​នៃ​លំដាប់​មូលដ្ឋាន​និង​ការ​បញ្ចូលគ្នា​គឺ​សមមូល ប៉ុន្តែ​ក្នុង​ករណី​ទូទៅ​នេះ​មិន​ដូច្នោះ​ទេ​។

គណិតវិទ្យាជាវិទ្យាសាស្ត្រដែលបង្កើតពិភពលោក។ ទាំងអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ និងមនុស្សសាមញ្ញ - គ្មាននរណាម្នាក់អាចធ្វើបានដោយគ្មានវាទេ។ ទីមួយ កុមារតូចៗត្រូវបានបង្រៀនឱ្យរាប់ បន្ទាប់មកបូក ដក គុណ និងចែកដោយសាលាមធ្យម ការកំណត់អក្សរចូលមកក្នុងល្បែង ហើយនៅពេលចាស់ពួកគេមិនអាចចែកចាយជាមួយបានទេ។

ប៉ុន្តែថ្ងៃនេះយើងនឹងនិយាយអំពីអ្វីដែលគណិតវិទ្យាដែលគេស្គាល់ទាំងអស់គឺផ្អែកលើ។ អំពីសហគមន៍នៃលេខដែលហៅថា "ដែនកំណត់លំដាប់" ។

តើ​អ្វី​ទៅ​ជា​លំដាប់ ហើយ​តើ​វា​នៅ​ឯណា?

អត្ថន័យនៃពាក្យ "លំដាប់" មិនពិបាកបកស្រាយទេ។ នេះ​គឺ​ជា​ការ​សាង​សង់​របស់​ដែល​មាន​នរណា​ម្នាក់​ឬ​អ្វី​មួយ​ស្ថិត​នៅ​ក្នុង​លំដាប់​ជាក់លាក់​មួយ​ឬ​ជួរ​។ ឧទាហរណ៍ ជួរ​សម្រាប់​សំបុត្រ​ទៅ​សួន​សត្វ​គឺ​ជា​លំដាប់។ ហើយអាចមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ! ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលជួរទៅហាងនេះគឺជាលំដាប់មួយ។ ហើយប្រសិនបើមនុស្សម្នាក់ចាកចេញពីជួរនេះភ្លាមៗ នោះគឺជាជួរផ្សេង លំដាប់ផ្សេង។

ពាក្យ "ដែនកំណត់" ក៏ត្រូវបានបកស្រាយយ៉ាងងាយស្រួលផងដែរ - នេះគឺជាចុងបញ្ចប់នៃអ្វីមួយ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ដែនកំណត់នៃលំដាប់គឺជាតម្លៃទាំងនោះនៅលើបន្ទាត់លេខដែលលំដាប់នៃលេខមាននិន្នាការ។ ហេតុអ្វីខំហើយមិនចប់? វាសាមញ្ញ បន្ទាត់លេខមិនមានទីបញ្ចប់ទេ ហើយលំដាប់ភាគច្រើនដូចជាកាំរស្មី មានតែការចាប់ផ្តើមប៉ុណ្ណោះ ហើយមើលទៅដូចនេះ៖

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

ដូច្នេះនិយមន័យនៃលំដាប់គឺជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ធម្មជាតិ។ នៅក្នុងពាក្យសាមញ្ញវាគឺជាស៊េរីនៃសមាជិកនៃសំណុំមួយចំនួន។

តើ​លំដាប់​លេខ​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង​ដោយ​របៀប​ណា?

ឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុតនៃលំដាប់លេខអាចមើលទៅដូចនេះ៖ 1, 2, 3, 4, …n…

ក្នុងករណីភាគច្រើន សម្រាប់គោលបំណងជាក់ស្តែង លំដាប់ត្រូវបានបង្កើតឡើងពីលេខ ហើយសមាជិកបន្ទាប់នីមួយៗនៃស៊េរី ចូរយើងសម្គាល់វាដោយ X មានឈ្មោះផ្ទាល់ខ្លួនរបស់វា។ ឧទាហរណ៍:

x 1 - សមាជិកដំបូងនៃលំដាប់;

x 2 - សមាជិកទីពីរនៃលំដាប់;

x 3 - សមាជិកទីបី;

x n គឺជាសមាជិកទី 0 ។

នៅក្នុងវិធីសាស្រ្តជាក់ស្តែង លំដាប់ត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្តទូទៅដែលក្នុងនោះមានអថេរមួយចំនួន។ ឧទាហរណ៍:

X n \u003d 3n បន្ទាប់មកស៊េរីលេខខ្លួនវានឹងមើលទៅដូចនេះ៖

វាគឺមានតំលៃចងចាំថានៅក្នុងការសម្គាល់ទូទៅនៃលំដាប់អ្នកអាចប្រើអក្សរឡាតាំងណាមួយហើយមិនត្រឹមតែ X ។ ឧទាហរណ៍ៈ y, z, k ។ល។

ការវិវត្តនព្វន្ធជាផ្នែកនៃលំដាប់

មុននឹងស្វែងរកដែនកំណត់នៃលំដាប់ គួរតែស្វែងយល់ឱ្យកាន់តែស៊ីជម្រៅទៅក្នុងគោលគំនិតនៃស៊េរីលេខបែបនេះ ដែលមនុស្សគ្រប់គ្នាបានជួបប្រទះនៅពេលពួកគេស្ថិតនៅក្នុងវណ្ណៈកណ្តាល។ ការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាស៊េរីនៃលេខដែលភាពខុសគ្នារវាងពាក្យដែលនៅជាប់គ្នាគឺថេរ។

កិច្ចការ៖ "អនុញ្ញាតឱ្យ 1 \u003d 15 និងជំហាននៃការវិវត្តនៃស៊េរីលេខ d \u003d 4 ។ បង្កើតសមាជិក 4 នាក់ដំបូងនៃជួរនេះ"

ដំណោះស្រាយ៖ a 1 = 15 (តាមលក្ខខណ្ឌ) គឺជាសមាជិកដំបូងនៃវឌ្ឍនភាព (ស៊េរីលេខ)។

និង 2 = 15 + 4 = 19 គឺជាសមាជិកទីពីរនៃវឌ្ឍនភាព។

និង 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 គឺជាពាក្យទីបី។

និង 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 គឺជាពាក្យទីបួន។

ទោះ​ជា​យ៉ាង​ណា​ជាមួយ​នឹង​វិធី​សា​ស្រ្ត​នេះ​វា​ជា​ការ​លំបាក​ក្នុង​ការ​ឈាន​ដល់​តម្លៃ​ដ៏​ធំ​ជា​ឧទាហរណ៍​រហូត​ដល់​ទៅ 125 ។ ជាពិសេសសម្រាប់ករណីបែបនេះ រូបមន្តដែលងាយស្រួលសម្រាប់ការអនុវត្តត្រូវបានយកមក៖ a n \u003d a 1 + d (n-1) ។ ក្នុងករណីនេះ 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511 ។

ប្រភេទនៃលំដាប់

ភាគច្រើននៃលំដាប់គឺគ្មានទីបញ្ចប់វាមានតម្លៃចងចាំពេញមួយជីវិត។ មានស៊េរីលេខគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរប្រភេទ។ ទីមួយត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត a n = (-1) n ។ គណិតវិទូ ច្រើនតែសំដៅលើ លំដាប់ flasher នេះ។ ហេតុអ្វី? តោះពិនិត្យមើលលេខរបស់វា។

1, 1, -1, 1, -1, 1 ។ល។ ជាមួយឧទាហរណ៍នេះ វាច្បាស់ណាស់ថាលេខក្នុងលំដាប់អាចធ្វើម្តងទៀតបានយ៉ាងងាយស្រួល។

លំដាប់​រោងចក្រ។ វាងាយស្មានថាមានហ្វាក់តូរីយ៉ូលនៅក្នុងរូបមន្តដែលកំណត់លំដាប់។ ឧទាហរណ៍៖ និង n = (n+1)!

បន្ទាប់មកលំដាប់នឹងមើលទៅដូចនេះ៖

និង 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

និង 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24 ។ល។

លំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានគេហៅថាការថយចុះឥតកំណត់ ប្រសិនបើវិសមភាព -1 ត្រូវបានអង្កេតសម្រាប់សមាជិកទាំងអស់របស់វា។

និង 3 \u003d - 1/8 ។ល។

មានសូម្បីតែលំដាប់ដែលមានលេខដូចគ្នា។ ដូច្នេះហើយ n \u003d 6 មានចំនួនប្រាំមួយដែលគ្មានកំណត់។

ការកំណត់ដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ។

ដែនកំណត់លំដាប់មានជាយូរមកហើយនៅក្នុងគណិតវិទ្យា។ ជាការពិតណាស់ពួកគេសមនឹងការរចនាប្រកបដោយសមត្ថភាពផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ពួកគេ។ ដូច្នេះ, ពេលវេលាដើម្បីរៀននិយមន័យនៃដែនកំណត់លំដាប់។ ជាដំបូង សូមពិចារណាអំពីដែនកំណត់សម្រាប់មុខងារលីនេអ៊ែរលម្អិត៖

1. ដែនកំណត់ទាំងអស់ត្រូវបានអក្សរកាត់ជា lim ។
2. ធាតុ​កំណត់​មាន​អក្សរ​កាត់ lim ដែល​អថេរ​ខ្លះ​មាន​ទំនោរ​ទៅ​ជា​ចំនួន​ជាក់លាក់ សូន្យ ឬ​គ្មាន​កំណត់ ព្រម​ទាំង​មុខងារ​ខ្លួន​ឯង។

វាជាការងាយស្រួលក្នុងការយល់ថានិយមន័យនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយអាចត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោម: វាគឺជាចំនួនជាក់លាក់ដែលសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់ចូលទៅជិត។ ឧទាហរណ៍សាមញ្ញ៖ និង x = 4x + 1 ។ បន្ទាប់មកលំដាប់ខ្លួនវានឹងមើលទៅដូចនេះ។

៥, ៩, ១៣, ១៧, ២១…x…

ដូច្នេះ លំដាប់​នេះ​នឹង​កើន​ឡើង​ដោយ​មិន​កំណត់ ដែល​មាន​ន័យ​ថា​ដែនកំណត់​របស់​វា​ស្មើ​នឹង​ភាព​គ្មាន​កំណត់​ជា x →∞ ហើយ​នេះ​គួរ​សរសេរ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

ប្រសិនបើយើងយកលំដាប់ស្រដៀងគ្នា ប៉ុន្តែ x មាននិន្នាការទៅ 1 យើងទទួលបាន៖

ហើយស៊េរីនៃលេខនឹងមានដូចនេះ៖ 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 ។ល។ រាល់ពេលដែលអ្នកត្រូវជំនួសលេខកាន់តែជិតមួយ (0.1, 0.2, 0.9, 0.986)។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីស៊េរីនេះថាដែនកំណត់នៃមុខងារគឺប្រាំ។

ពីផ្នែកនេះវាគួរអោយចងចាំពីអ្វីដែលដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខគឺនិយមន័យនិងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយកិច្ចការសាមញ្ញ។

ការសម្គាល់ទូទៅសម្រាប់ដែនកំណត់នៃលំដាប់

ដោយបានវិភាគដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខ និយមន័យ និងឧទាហរណ៍របស់វា យើងអាចបន្តទៅប្រធានបទដែលស្មុគស្មាញជាងនេះ។ ដែនកំណត់ទាំងអស់នៃលំដាប់អាចត្រូវបានបង្កើតដោយរូបមន្តមួយ ដែលជាធម្មតាត្រូវបានវិភាគនៅក្នុងឆមាសទីមួយ។

ដូច្នេះ តើអក្សរ ម៉ូឌុល និងសញ្ញាវិសមភាពនេះមានន័យដូចម្តេច?

∀ គឺជាបរិមាណសកល ដោយជំនួសឃ្លា “សម្រាប់ទាំងអស់គ្នា” “សម្រាប់អ្វីៗគ្រប់យ៉ាង” ។ល។

∃ គឺជាបរិមាណអត្ថិភាព ក្នុងករណីនេះវាមានន័យថាមានតម្លៃ N ជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំលេខធម្មជាតិ។

ដំបង​បញ្ឈរ​វែង​តាម​ពី​ក្រោយ N មាន​ន័យ​ថា​សំណុំ N ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​គឺ "បែប​នោះ" ។ នៅក្នុងការអនុវត្តវាអាចមានន័យថា "បែបនោះ" "បែបនោះ" ។ល។

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈ សូមអានរូបមន្តឱ្យឮៗ។

ភាពមិនប្រាកដប្រជានិងភាពប្រាកដនៃដែនកំណត់

វិធីសាស្រ្តនៃការស្វែងរកដែនកំណត់នៃលំដាប់ដែលត្រូវបានពិភាក្សាខាងលើ ទោះបីជាសាមញ្ញក្នុងការប្រើប្រាស់ក៏ដោយ គឺមិនសមហេតុផលក្នុងការអនុវត្តនោះទេ។ ព្យាយាមស្វែងរកដែនកំណត់សម្រាប់មុខងារនេះ៖

ប្រសិនបើយើងជំនួសតម្លៃ x ផ្សេងគ្នា (បង្កើនរាល់ពេល៖ 10, 100, 1000 ។ វាប្រែចេញជាប្រភាគដ៏ចម្លែក៖

ប៉ុន្តែតើវាពិតជាដូច្នេះមែនឬ? ការគណនាដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខក្នុងករណីនេះហាក់ដូចជាងាយស្រួលគ្រប់គ្រាន់។ វាអាចទៅរួចក្នុងការទុកអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងដូចដែលវាគឺ ពីព្រោះចម្លើយគឺរួចរាល់ ហើយវាត្រូវបានទទួលក្នុងលក្ខខណ្ឌសមហេតុផល ប៉ុន្តែមានវិធីមួយផ្សេងទៀតជាពិសេសសម្រាប់ករណីបែបនេះ។

ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងរកដឺក្រេខ្ពស់បំផុតនៅក្នុងភាគយកនៃប្រភាគ - នេះគឺជា 1 ព្រោះ x អាចត្រូវបានតំណាងជា x 1 ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកកម្រិតខ្ពស់បំផុតនៅក្នុងភាគបែង។ ផងដែរ ១.

ចែកទាំងភាគយក និងភាគបែងដោយអថេរដល់កំរិតខ្ពស់បំផុត។ ក្នុងករណីនេះយើងបែងចែកប្រភាគដោយ x 1 ។

បន្ទាប់មក ចូរយើងស្វែងរកតម្លៃដែលពាក្យនីមួយៗដែលមានអថេរមាននិន្នាការទៅ។ ក្នុងករណីនេះប្រភាគត្រូវបានពិចារណា។ ជា x →∞ តម្លៃនៃប្រភាគនីមួយៗមានទំនោរទៅសូន្យ។ នៅពេលបង្កើតក្រដាសជាលាយលក្ខណ៍អក្សរ វាមានតម្លៃធ្វើលេខយោងខាងក្រោម៖

កន្សោមខាងក្រោមត្រូវបានទទួល៖

ជាការពិតណាស់ ប្រភាគដែលមាន x មិនក្លាយជាសូន្យទេ! ប៉ុន្តែ​តម្លៃ​របស់​វា​គឺ​តូច​ណាស់​ដែល​វា​អាច​អនុញ្ញាត​បាន​ដោយ​មិន​យក​វា​ទៅ​ក្នុង​គណនី​ក្នុង​ការ​គណនា។ តាមពិត x នឹងមិនស្មើនឹង 0 ក្នុងករណីនេះទេ ព្រោះអ្នកមិនអាចបែងចែកដោយសូន្យ។

តើសង្កាត់គឺជាអ្វី?

ឧបមាថាសាស្រ្តាចារ្យមានលំដាប់ស្មុគស្មាញមួយនៅក្នុងការចោលរបស់គាត់ ជាក់ស្តែងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយរូបមន្តមិនស្មុគស្មាញតិច។ សាស្ត្រាចារ្យ​បាន​រក​ឃើញ​ចម្លើយ ប៉ុន្តែ​តើ​វា​សម​ទេ? យ៉ាងណាមិញមនុស្សទាំងអស់មានកំហុស។

Auguste Cauchy បានបង្កើតវិធីដ៏ល្អមួយដើម្បីបញ្ជាក់អំពីដែនកំណត់នៃលំដាប់។ វិធីសាស្រ្តរបស់គាត់ត្រូវបានគេហៅថា ប្រតិបត្តិការសង្កាត់។

ឧបមាថាមានចំណុចមួយចំនួន a អ្នកជិតខាងរបស់វាក្នុងទិសដៅទាំងពីរនៅលើបន្ទាត់ពិតគឺស្មើនឹង ε ("epsilon") ។ ដោយសារអថេរចុងក្រោយគឺចម្ងាយ តម្លៃរបស់វាតែងតែវិជ្ជមាន។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងកំណត់លំដាប់ x n ហើយឧបមាថាពាក្យទីដប់នៃលំដាប់ (x 10) ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសង្កាត់នៃ a ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរការពិតនេះនៅក្នុងភាសាគណិតវិទ្យា?

ឧបមាថា x 10 ស្ថិតនៅខាងស្តាំចំនុច a បន្ទាប់មកចំងាយ x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

ឥឡូវនេះវាជាពេលវេលាដើម្បីពន្យល់នៅក្នុងការអនុវត្តរូបមន្តដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ។ វាជាការត្រឹមត្រូវក្នុងការហៅលេខមួយចំនួនជាចំណុចបញ្ចប់នៃលំដាប់ ប្រសិនបើវិសមភាពε>0 រក្សាដែនកំណត់ណាមួយរបស់វា ហើយសង្កាត់ទាំងមូលមានលេខធម្មជាតិផ្ទាល់ខ្លួន N ដែលសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់ដែលមានលេខខ្ពស់ជាងនឹងត្រូវបាន នៅខាងក្នុងលំដាប់ |x n - a|< ε.

ជាមួយនឹងចំណេះដឹងបែបនេះ វាងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ ដើម្បីបញ្ជាក់ ឬបដិសេធចម្លើយដែលត្រៀមរួចជាស្រេច។

ទ្រឹស្តីបទ

ទ្រឹស្តីបទស្តីពីដែនកំណត់នៃលំដាប់គឺជាធាតុផ្សំសំខាន់នៃទ្រឹស្តី បើគ្មានការអនុវត្តគឺមិនអាចទៅរួចទេ។ មានតែទ្រឹស្តីសំខាន់ៗចំនួនបួនប៉ុណ្ណោះ ដោយចងចាំថា ដែលអ្នកអាចជួយសម្រួលដល់ដំណើរការនៃការដោះស្រាយ ឬការបញ្ជាក់យ៉ាងសំខាន់៖

1. ភាពប្លែកនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់មួយ។ លំដាប់ណាមួយអាចមានដែនកំណត់តែមួយ ឬមិនមានទាំងស្រុង។ ឧទាហរណ៍ដូចគ្នាជាមួយនឹងជួរដែលអាចមានតែមួយគត់។
2. ប្រសិនបើស៊េរីនៃលេខមានដែនកំណត់ នោះលំដាប់នៃលេខទាំងនេះត្រូវបានកំណត់។
3. ដែនកំណត់នៃផលបូក (ភាពខុសគ្នាផលិតផល) នៃលំដាប់គឺស្មើនឹងផលបូក (ភាពខុសគ្នាផលិតផល) នៃដែនកំណត់របស់វា។
4. ដែនកំណត់កូតានៃលំដាប់ពីរគឺស្មើនឹងកូតានៃដែនកំណត់ ប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែភាគបែងមិនបាត់។

ភស្តុតាងតាមលំដាប់

ពេលខ្លះវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបញ្ច្រាស ដើម្បីបញ្ជាក់ដែនកំណត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃលំដាប់លេខ។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយ។

បង្ហាញថាដែនកំណត់នៃលំដាប់ដែលបានផ្តល់ដោយរូបមន្តគឺស្មើនឹងសូន្យ។

យោងតាមច្បាប់ខាងលើ សម្រាប់លំដាប់ណាមួយ វិសមភាព |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

ចូរបង្ហាញ n នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ "epsilon" ដើម្បីបង្ហាញពីអត្ថិភាពនៃចំនួនជាក់លាក់ និងបញ្ជាក់ពីអត្ថិភាពនៃដែនកំណត់លំដាប់។

នៅដំណាក់កាលនេះ វាជារឿងសំខាន់ដែលត្រូវចាំថា "epsilon" និង "en" គឺជាលេខវិជ្ជមាន ហើយមិនស្មើនឹងសូន្យទេ។ ឥឡូវនេះ អ្នកអាចបន្តការផ្លាស់ប្តូរបន្ថែមទៀតដោយប្រើចំណេះដឹងអំពីវិសមភាពដែលទទួលបាននៅក្នុងវិទ្យាល័យ។

វាប្រែថា n > -3 + 1/ε ។ ចាប់តាំងពីវាមានតម្លៃចងចាំថាយើងកំពុងនិយាយអំពីលេខធម្មជាតិលទ្ធផលអាចត្រូវបានបង្គត់ដោយដាក់វានៅក្នុងតង្កៀបការ៉េ។ ដូច្នេះវាត្រូវបានបង្ហាញថាសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃសង្កាត់ "epsilon" នៃចំណុច a = 0 តម្លៃមួយត្រូវបានរកឃើញដែលថាវិសមភាពដំបូងគឺពេញចិត្ត។ ពីនេះយើងអាចអះអាងដោយសុវត្ថិភាពថាលេខ a គឺជាដែនកំណត់នៃលំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ Q.E.D.

ជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តដ៏ងាយស្រួលបែបនេះ អ្នកអាចបញ្ជាក់ដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខ ទោះបីជាវាមើលទៅហាក់ដូចជាស្មុគស្មាញយ៉ាងណានៅ glance ដំបូងក៏ដោយ។ រឿងចំបងគឺកុំភ័យស្លន់ស្លោនៅពេលមើលឃើញភារកិច្ច។

ឬប្រហែលជាគាត់មិនមាន?

អត្ថិភាពនៃដែនកំណត់លំដាប់គឺមិនចាំបាច់ក្នុងការអនុវត្តទេ។ វាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកស៊េរីលេខបែបនេះដែលពិតជាគ្មានទីបញ្ចប់។ ឧទាហរណ៍ flasher ដូចគ្នា x n = (-1) n ។ វាច្បាស់ណាស់ថា លំដាប់ដែលមានតែពីរខ្ទង់ដែលធ្វើឡើងវិញជារង្វង់មិនអាចមានដែនកំណត់។

រឿងដដែលនេះត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតជាមួយនឹងលំដាប់ដែលមានចំនួនតែមួយ ប្រភាគ ដែលមាននៅក្នុងដំណើរការនៃការគណនា ភាពមិនច្បាស់លាស់នៃលំដាប់ណាមួយ (0/0, ∞/∞, ∞/0 ។ល។)។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយគួរចងចាំថាការគណនាមិនត្រឹមត្រូវក៏កើតឡើងផងដែរ។ ពេលខ្លះការពិនិត្យមើលឡើងវិញនូវដំណោះស្រាយផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក នឹងជួយអ្នករកឃើញដែនកំណត់នៃការបន្ត។

លំដាប់ monotonic

ខាងលើ យើងបានពិចារណាឧទាហរណ៍ជាច្រើននៃលំដាប់ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយពួកវា ហើយឥឡូវនេះ ចូរយើងព្យាយាមលើកករណីជាក់លាក់មួយ ហើយហៅវាថា "លំដាប់ឯកតា"។

និយមន័យ៖ វាជាការត្រឹមត្រូវក្នុងការហៅលំដាប់ណាមួយដែលកើនឡើងជាឯកតា ប្រសិនបើវាបំពេញនូវវិសមភាពដ៏តឹងរឹង x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1 ។

ទន្ទឹមនឹងលក្ខខណ្ឌទាំងពីរនេះ ក៏មានវិសមភាពមិនតឹងរ៉ឹងស្រដៀងគ្នាដែរ។ ដូច្នោះ x n ≤ x n +1 (លំដាប់មិនថយចុះ) និង x n ≥ x n +1 (លំដាប់មិនបង្កើន) ។

ប៉ុន្តែវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការយល់ពីរឿងនេះជាមួយឧទាហរណ៍។

លំដាប់ដែលបានផ្ដល់ឱ្យដោយរូបមន្ត x n \u003d 2 + n បង្កើតជាស៊េរីលេខខាងក្រោម៖ 4, 5, 6 ។ល។ នេះគឺជាលំដាប់ដែលបង្កើនដោយឯកតា។

ហើយប្រសិនបើយើងយក x n \u003d 1 / n នោះយើងទទួលបានស៊េរីមួយ៖ 1/3, ¼, 1/5 ។ល។ នេះគឺជាលំដាប់ដែលកាត់បន្ថយឯកតា។

ដែនកំណត់នៃលំដាប់បង្រួបបង្រួម និងព្រំដែន

លំដាប់ដែលមានព្រំដែនគឺជាលំដាប់ដែលមានដែនកំណត់។ លំដាប់បង្រួបបង្រួមគឺជាស៊េរីនៃលេខដែលមានដែនកំណត់គ្មានកំណត់។

ដូច្នេះ ដែនកំណត់នៃលំដាប់ដែលមានព្រំដែនគឺជាចំនួនពិត ឬចំនួនកុំផ្លិច។ សូមចងចាំថាវាអាចមានដែនកំណត់តែមួយប៉ុណ្ណោះ។

ដែនកំណត់នៃលំដាប់បង្រួបបង្រួមគឺជាបរិមាណគ្មានកំណត់ (ពិត ឬស្មុគស្មាញ)។ ប្រសិនបើអ្នកគូរដ្យាក្រាមតាមលំដាប់ នោះនៅចំណុចជាក់លាក់មួយ វានឹងប្រែក្លាយទៅជាតម្លៃជាក់លាក់។ ដូច្នេះឈ្មោះ - លំដាប់បញ្ចូលគ្នា។

ដែនកំណត់លំដាប់ម៉ូណូតូនិច

លំដាប់បែបនេះអាចមាន ឬគ្មានដែនកំណត់។ ជាដំបូង វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការយល់ដឹងនៅពេលដែលវាគឺ ពីទីនេះអ្នកអាចចាប់ផ្តើមនៅពេលដែលបង្ហាញពីអវត្តមាននៃដែនកំណត់។

ក្នុងចំណោមលំដាប់ monotonic, convergent និង divergent ត្រូវបានសម្គាល់។ Convergent - នេះគឺជាលំដាប់ដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយសំណុំ x និងមានដែនកំណត់ពិតប្រាកដឬស្មុគស្មាញនៅក្នុងសំណុំនេះ។ Divergent - លំដាប់ដែលមិនមានដែនកំណត់នៅក្នុងសំណុំរបស់វា (មិនពិត ឬស្មុគស្មាញ)។

លើស​ពី​នេះ​ទៅ​ទៀត លំដាប់​បង្រួប​បង្រួម​គ្នា ប្រសិន​បើ​ដែន​កំណត់​ខាង​លើ និង​ទាប​របស់​វា​ចូល​រួម​ជា​តំណាង​ធរណីមាត្រ។

ដែនកំណត់នៃលំដាប់បង្រួបបង្រួមអាចនៅក្នុងករណីជាច្រើនស្មើនឹងសូន្យ ចាប់តាំងពីលំដាប់គ្មានកំណត់ណាមួយមានដែនកំណត់ដែលគេស្គាល់ (សូន្យ)។

លំដាប់​ដែល​ជាប់​គ្នា​ណា​មួយ​ដែល​អ្នក​យក​វា​មាន​ព្រំប្រទល់​ទាំងអស់ ប៉ុន្តែ​នៅ​ឆ្ងាយ​ពី​លំដាប់​ដែល​ជាប់​ព្រំដែន​ទាំងអស់​មក​ចូល​រួម។

ផលបូក, ភាពខុសគ្នា, ផលនៃលំដាប់បញ្ចូលគ្នាពីរ ក៏ជាលំដាប់បញ្ចូលគ្នាផងដែរ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ កូតាក៏អាចបញ្ចូលគ្នាបានដែរ ប្រសិនបើវាត្រូវបានកំណត់!

សកម្មភាពផ្សេងៗដែលមានដែនកំណត់

ដែនកំណត់នៃលំដាប់គឺមានសារៈសំខាន់ (ក្នុងករណីភាគច្រើន) ដូចជាលេខ និងលេខ៖ 1, 2, 15, 24, 362 ។ល។ វាបង្ហាញថាប្រតិបត្តិការមួយចំនួនអាចត្រូវបានអនុវត្តដោយមានដែនកំណត់។

ទីមួយ ដូចជាលេខ និងលេខ ដែនកំណត់នៃលំដាប់ណាមួយអាចត្រូវបានបន្ថែម និងដក។ ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទទីបីស្តីពីដែនកំណត់នៃលំដាប់ ភាពស្មើគ្នាខាងក្រោមគឺពិត៖ ដែនកំណត់នៃផលបូកនៃលំដាប់គឺស្មើនឹងផលបូកនៃដែនកំណត់របស់វា។

ទីពីរ ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទទីបួនស្តីពីដែនកំណត់នៃលំដាប់ ភាពស្មើគ្នាខាងក្រោមគឺពិត៖ ដែនកំណត់នៃផលិតផលនៃចំនួនលេខនៃលំដាប់គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដែនកំណត់របស់វា។ ដូចគ្នានេះដែរគឺជាការពិតសម្រាប់ការបែងចែក៖ ដែនកំណត់នៃកូតានៃលំដាប់ពីរគឺស្មើនឹងកូតានៃដែនកំណត់របស់ពួកគេ ផ្តល់ថាដែនកំណត់មិនស្មើនឹងសូន្យ។ យ៉ាងណាមិញប្រសិនបើដែនកំណត់នៃលំដាប់គឺស្មើនឹងសូន្យនោះការបែងចែកដោយសូន្យនឹងប្រែជាដែលមិនអាចទៅរួចទេ។

លក្ខណសម្បត្តិតម្លៃលំដាប់

វាហាក់បីដូចជាដែនកំណត់នៃលំដាប់លេខត្រូវបានវិភាគរួចហើយនៅក្នុងលម្អិតមួយចំនួន ប៉ុន្តែឃ្លាដូចជា "តូចមិនចេះចប់" និង "ធំមិនកំណត់" ត្រូវបានលើកឡើងច្រើនជាងម្តង។ ជាក់ស្តែងប្រសិនបើមានលំដាប់ 1/x ដែល x →∞ នោះប្រភាគបែបនេះគឺតូចគ្មានកំណត់ ហើយប្រសិនបើមានលំដាប់ដូចគ្នា ប៉ុន្តែដែនកំណត់មានទំនោរទៅសូន្យ (x → 0) នោះប្រភាគនឹងក្លាយទៅជាតម្លៃដ៏ធំគ្មានកំណត់។ . ហើយតម្លៃបែបនេះមានលក្ខណៈផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ពួកគេ។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដែនកំណត់នៃលំដាប់ដែលមានតម្លៃតូច ឬធំតាមអំពើចិត្ត មានដូចខាងក្រោម៖

1. ផលបូកនៃចំនួននៃបរិមាណតូចតាមអំពើចិត្តណាមួយក៏នឹងជាបរិមាណតិចតួចផងដែរ។
2. ផលបូកនៃចំនួននៃតម្លៃធំណាមួយនឹងជាតម្លៃដ៏ធំគ្មានកំណត់។
3. ផលិតផលនៃបរិមាណតិចតួចតាមអំពើចិត្តគឺតូចគ្មានកំណត់។
4. ផលិតផលនៃចំនួនច្រើនតាមអំពើចិត្តគឺជាបរិមាណដ៏ច្រើនគ្មានកំណត់។
5. ប្រសិនបើ​លំដាប់​ដើម​មាន​ទំនោរ​ទៅ​ជា​ចំនួន​គ្មាន​កំណត់ នោះ​ផល​តបស្នង​របស់​វា​នឹង​គ្មាន​កំណត់ ហើយ​ទំនោរ​ទៅ​សូន្យ។

ជាការពិត ការគណនាដែនកំណត់នៃលំដាប់មិនមែនជាកិច្ចការពិបាកបែបនេះទេ ប្រសិនបើអ្នកស្គាល់ក្បួនដោះស្រាយសាមញ្ញ។ ប៉ុន្តែដែនកំណត់នៃលំដាប់គឺជាប្រធានបទដែលត្រូវការការយកចិត្តទុកដាក់អតិបរមានិងការតស៊ូ។ ជាការពិតណាស់ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការយល់យ៉ាងសាមញ្ញនូវខ្លឹមសារនៃដំណោះស្រាយនៃការបញ្ចេញមតិបែបនេះ។ ចាប់ផ្តើមពីតូច យូរៗទៅ អ្នកអាចឈានដល់កម្ពស់ធំបាន។

លំដាប់លេខ ត្រូវបានគេហៅថាអនុគមន៍លេខដែលកំណត់លើសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ .

ប្រសិនបើមុខងារត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ
បន្ទាប់មកសំណុំនៃតម្លៃនៃអនុគមន៍នឹងអាចរាប់បាន និងចំនួននីមួយៗ
លេខត្រូវគ្នា។
. ក្នុងករណីនេះយើងនិយាយថាផ្តល់ឱ្យ លំដាប់លេខ. លេខត្រូវបានហៅ ធាតុឬសមាជិកនៃលំដាប់មួយ និងលេខ - ទូទៅ ឬ - សមាជិកនៃលំដាប់។ ធាតុនីមួយៗ មានអ្នកដើរតាម
. នេះពន្យល់ពីការប្រើប្រាស់ពាក្យ "លំដាប់"។

លំដាប់មួយត្រូវបានបញ្ជាក់ជាធម្មតាដោយការរាយបញ្ជីធាតុរបស់វា ឬដោយការបង្ហាញពីច្បាប់ដែលធាតុដែលមានលេខត្រូវបានគណនា , i.e. ចង្អុលបង្ហាញរូបមន្ត សមាជិកទី .

ឧទាហរណ៍។បន្តបន្ទាប់
អាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយរូបមន្ត:
.

ជា​ធម្មតា​លំដាប់​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ដូច​ខាង​ក្រោម​: ល​, ដែល​ជា​កន្លែង​ដែល​រូបមន្ត​របស់​វា​ សមាជិកទី។

ឧទាហរណ៍។បន្តបន្ទាប់
‑នេះគឺជាលំដាប់

សំណុំនៃធាតុទាំងអស់នៃលំដាប់មួយ។
តំណាង
.

អនុញ្ញាតឱ្យមាន
និង
- ពីរលំដាប់។

ជាមួយ អ៊ុំម៉ាលំដាប់
និង
ហៅតាមលំដាប់
កន្លែងណា
, ឧ..

រ aznostiនៃលំដាប់ទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់
កន្លែងណា
, ឧ..

ប្រសិនបើ ក និង ‑ ថេរ បន្ទាប់មកលំដាប់
,
បានហៅ ការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរ លំដាប់
និង
, i.e.

ការងារលំដាប់
និង
ហៅតាមលំដាប់ - សមាជិក
, i.e.
.

ប្រសិនបើ ក
បន្ទាប់មកវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីកំណត់ ឯកជន
.

ផលបូក ភាពខុសគ្នា ផលិតផល និងបរិមាណនៃលំដាប់
និង
ពួកគេត្រូវបានគេហៅថា ពិជគណិតសមាសភាព.

ឧទាហរណ៍។ពិចារណាពីលំដាប់
និង
កន្លែងណា។ បន្ទាប់មក
, i.e. បន្តបន្ទាប់
មានធាតុទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ។

,
, i.e. ធាតុទាំងអស់នៃផលិតផល និងកូតាគឺស្មើគ្នា
.

ប្រសិនបើយើងឆ្លងកាត់ធាតុមួយចំនួននៃលំដាប់
ដូច្នេះ​មាន​ចំនួន​មិន​កំណត់​នៃ​ធាតុ​ដែល​នៅ​សេសសល់ បន្ទាប់​មក​យើង​ទទួល​បាន​លំដាប់​មួយ​ទៀត​ដែល​គេ​ហៅ​ថា បន្តបន្ទាប់លំដាប់
. ប្រសិនបើយើងឆ្លងកាត់ធាតុពីរបីដំបូងនៃលំដាប់
បន្ទាប់មក លំដាប់ថ្មីត្រូវបានគេហៅថា នៅសល់.

បន្តបន្ទាប់
មានកំណត់ខាងលើ(ពី​ខាងក្រោម) ប្រសិនបើសំណុំ
កំណត់ពីខាងលើ (ពីខាងក្រោម) ។ លំដាប់ត្រូវបានគេហៅថា មានកំណត់ប្រសិនបើវាត្រូវបានចងខាងលើនិងខាងក្រោម។ លំដាប់​មួយ​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ប្រសិន​បើ និង​លុះត្រា​តែ​អ្វី​ដែល​នៅ​សេសសល់​របស់​វា​ត្រូវ​បាន​កំណត់។

ការបញ្ចូលគ្នានៃលំដាប់

ពួកគេនិយាយថា បន្តបន្ទាប់
បង្រួបបង្រួមប្រសិនបើមានលេខ បែបនោះសម្រាប់ណាមួយ។
មានបែបនេះ
ដែលសម្រាប់ណាមួយ។
វិសមភាពខាងក្រោមមាន៖
.

ចំនួន បានហៅ ដែនកំណត់លំដាប់
. ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះពួកគេកត់ត្រា
ឬ
.

ឧទាហរណ៍។
.

ចូរយើងបង្ហាញវា។
. កំណត់លេខណាមួយ។
. វិសមភាព
បានអនុវត្តសម្រាប់
បែបនោះ។
ដែលនិយមន័យនៃការបញ្ចូលគ្នាមានសម្រាប់លេខ
. មានន័យថា
.

ក្នុង​ន័យ​ផ្សេងទៀត
មានន័យថាសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់
ជាមួយនឹងលេខធំគ្រប់គ្រាន់ ខុសគ្នាតិចតួចពីចំនួន , i.e. ចាប់ផ្តើមពីលេខមួយចំនួន
(ពេលណា) ធាតុនៃលំដាប់គឺនៅចន្លោះពេល
ដែលត្រូវបានគេហៅថា - អ្នកជិតខាងនៃចំណុច .

បន្តបន្ទាប់
ដែនកំណត់របស់វាស្មើនឹងសូន្យ (
, ឬ
នៅ
) ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅថា គ្មានដែនកំណត់.

ដូចដែលបានអនុវត្តចំពោះ infinitesimals សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមគឺពិត៖

ផលបូកនៃ infinitesimals ពីរគឺ infinitesimal;

ផលិតផលនៃភាពគ្មានដែនកំណត់ដោយតម្លៃកំណត់គឺគ្មានដែនកំណត់។

ទ្រឹស្តីបទ .សម្រាប់លំដាប់
មានដែនកំណត់ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់
កន្លែងណា - ថេរ; - តូចគ្មានកំណត់ .

លក្ខណៈសំខាន់ៗនៃលំដាប់បញ្ចូលគ្នា៖

លក្ខណសម្បត្តិ 3. និង 4. ទូទៅចំពោះករណីនៃចំនួននៃលំដាប់ convergent ណាមួយ។

ចំណាំថានៅពេលគណនាដែនកំណត់នៃប្រភាគដែលភាគបែង និងភាគបែងគឺជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃអំណាច ដែនកំណត់នៃប្រភាគគឺស្មើនឹងដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃលក្ខខណ្ឌខ្ពស់បំផុត (ឧ. ពាក្យដែលមានអំណាចធំបំផុត ភាគបែង និងភាគបែង)។

បន្តបន្ទាប់
ហៅថា៖

លំដាប់បែបនេះទាំងអស់ត្រូវបានគេហៅថា ឯកតា.

ទ្រឹស្តីបទ . ប្រសិនបើលំដាប់
បង្កើន monotonically និងត្រូវបាន bounded ពីខាងលើ, បន្ទាប់មកវា converges និងដែនកំណត់របស់វាគឺស្មើនឹងព្រំដែនខាងលើធំបំផុតរបស់ខ្លួន; ប្រសិន​បើ​លំដាប់​មាន​ការ​ថយ​ចុះ និង​កំណត់​នៅ​ខាង​ក្រោម នោះ​វា​នឹង​ទៅ​ជា​ព្រំដែន​ទាប​បំផុត​របស់​វា។

ប្រសិនបើអនុគមន៍មួយត្រូវបានកំណត់នៅលើសំណុំនៃលេខធម្មជាតិ N នោះមុខងារបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់លេខគ្មានកំណត់។ ជាធម្មតា លំដាប់លេខត្រូវបានតំណាងថាជា (Xn) ដែល n ជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំលេខធម្មជាតិ N ។

លំដាប់លេខអាចត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្តមួយ។ ឧទាហរណ៍ Xn=1/(2*n)។ ដូច្នេះ យើងកំណត់ទៅលេខធម្មជាតិនីមួយៗ n ធាតុជាក់លាក់មួយចំនួននៃលំដាប់ (Xn) ។

ប្រសិនបើឥឡូវនេះយើងបន្តយក n ស្មើនឹង 1,2,3,…. នោះយើងទទួលបានលំដាប់ (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), …

ប្រភេទនៃលំដាប់

លំដាប់អាចមានកម្រិត ឬគ្មានដែនកំណត់ បង្កើន ឬបន្ថយ។

ការហៅតាមលំដាប់ (Xn) មានកំណត់ប្រសិនបើមានពីរលេខ m និង M នោះសម្រាប់ n ណាមួយដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំនៃលេខធម្មជាតិ សមភាព m<=Xn

លំដាប់ (Xn), មិនកំណត់,ត្រូវបានគេហៅថាលំដាប់គ្មានដែនកំណត់។

កើនឡើងប្រសិនបើសម្រាប់ចំនួនគត់វិជ្ជមានទាំងអស់ n សមភាពខាងក្រោមទទួលបាន៖ X(n+1) > Xn ។ ម្យ៉ាង​ទៀត សមាជិក​នីមួយៗ​នៃ​លំដាប់​ដែល​ចាប់​ផ្ដើម​ពី​លេខ​ពីរ ត្រូវ​តែ​ធំ​ជាង​សមាជិក​មុន​។

លំដាប់ (Xn) ត្រូវបានគេហៅថា ស្រក,ប្រសិនបើសម្រាប់ចំនួនគត់វិជ្ជមានទាំងអស់ n សមភាពខាងក្រោមមាន X(n+1)< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

ឧទាហរណ៍នៃលំដាប់

តោះពិនិត្យមើលថាតើលំដាប់ 1/n និង (n-1)/n ថយចុះឬអត់។

ប្រសិនបើលំដាប់ថយចុះ នោះ X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1)/n៖

X(n+1) - Xn =n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. ដូច្នេះ លំដាប់ (n-1)/n គឺ កើនឡើង។