នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងរាយបញ្ជីលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ ភាគច្រើននៃលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះត្រូវបានបង្ហាញដោយផ្អែកលើគោលគំនិតរបស់ Riemann និង Darboux នៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

ការគណនានៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ត្រូវបានអនុវត្តជាញឹកញាប់ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងប្រាំដំបូង ដូច្នេះយើងនឹងយោងទៅលើពួកវានៅពេលចាំបាច់។ លក្ខណៈសម្បត្តិដែលនៅសល់នៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ត្រូវបានប្រើជាចម្បងដើម្បីវាយតម្លៃកន្សោមផ្សេងៗ។

មុនពេលបន្តទៅ លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់យើងយល់ស្របថា a មិនលើសពី b ។

សម្រាប់អនុគមន៍ y = f(x) កំណត់សម្រាប់ x = a សមភាពគឺពិត។

នោះគឺតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដែលមានដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលដូចគ្នាគឺសូន្យ។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះគឺជាផលវិបាកនៃនិយមន័យនៃអាំងតេក្រាល Riemann ចាប់តាំងពីក្នុងករណីនេះ ផលបូកអាំងតេក្រាលនីមួយៗសម្រាប់ភាគថាសនៃចន្លោះពេល និងជម្រើសនៃចំណុចណាមួយគឺស្មើនឹងសូន្យ ដោយសារហេតុដូច្នេះហើយ ដែនកំណត់នៃផលបូកអាំងតេក្រាលគឺសូន្យ។

សម្រាប់មុខងារដែលអាចបញ្ចូលបាននៅលើផ្នែកមួយ យើងមាន .

ម្យ៉ាងវិញទៀត នៅពេលដែលដែនកំណត់ខាងលើ និងខាងក្រោមនៃការរួមបញ្ចូលត្រូវបានបញ្ច្រាស តម្លៃនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ត្រូវបានបញ្ច្រាស។ លក្ខណសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នេះក៏ធ្វើតាមគោលគំនិតនៃអាំងតេក្រាល Riemann ដែរ មានតែលេខរៀងនៃផ្នែកនៃផ្នែកមួយប៉ុណ្ណោះ ដែលគួរតែចាប់ផ្តើមពីចំនុច x = b ។

សម្រាប់អនុគមន៍ y = f(x) និង y = g(x) អាចបញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេលមួយ។

ភស្តុតាង។

យើងសរសេរផលបូកអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ សម្រាប់ភាគថាសដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃផ្នែកនិងជម្រើសដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃចំណុច:

កន្លែងណា និងជាផលបូកអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ y = f(x) និង y = g(x) សម្រាប់ភាគថាសដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃផ្នែករៀងគ្នា។

ឆ្លងកាត់ដែនកំណត់នៅ យើងទទួលបាននោះ តាមនិយមន័យនៃអាំងតេក្រាល Riemann គឺស្មើនឹងការអះអាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិដែលកំពុងត្រូវបានបញ្ជាក់។

កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ នោះ​គឺ​សម្រាប់​អនុគមន៍​ដែល​អាច​បញ្ចូល​គ្នា​បាន​លើ​ផ្នែក y = f(x) និង​ចំនួន​បំពាន k នោះ​សមភាព .

ភ័ស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នេះគឺពិតជាស្រដៀងនឹងវត្ថុមុន៖


អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y = f(x) បញ្ចូលក្នុងចន្លោះ X និង ហើយ​បន្ទាប់​មក .

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះមានសុពលភាពសម្រាប់ទាំងពីរ និងសម្រាប់ ឬ .

ភស្តុតាងអាចត្រូវបានអនុវត្តដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិពីមុននៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

ប្រសិនបើអនុគមន៍មួយអាចបញ្ចូលគ្នាបាននៅលើផ្នែកមួយ នោះវាក៏អាចរួមបញ្ចូលនៅលើផ្នែកខាងក្នុងណាមួយផងដែរ។

ភ័ស្តុតាងគឺផ្អែកលើទ្រព្យសម្បត្តិនៃផលបូក Darboux៖ ប្រសិនបើពិន្ទុថ្មីត្រូវបានបន្ថែមទៅភាគថាសដែលមានស្រាប់នៃផ្នែកនោះ ផលបូក Darboux ខាងក្រោមនឹងមិនថយចុះទេ ហើយផ្នែកខាងលើនឹងមិនកើនឡើងទេ។

ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f(x) មិនអាចរួមបញ្ចូលបាននៅលើចន្លោះពេល និងសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអាគុយម៉ង់ នោះ .

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានបញ្ជាក់តាមរយៈនិយមន័យនៃអាំងតេក្រាល Riemann៖ ផលបូកអាំងតេក្រាលសម្រាប់ជម្រើសណាមួយនៃចំណុចបំបែកនៃផ្នែក និងចំណុចនៅនឹងមិនមែនជាអវិជ្ជមាន (មិនវិជ្ជមាន)។

ផលវិបាក។

សម្រាប់អនុគមន៍ y = f(x) និង y = g(x) បញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេល វិសមភាពខាងក្រោមមាន៖


សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះមានន័យថាការរួមបញ្ចូលវិសមភាពគឺអាចទទួលយកបាន។ យើង​នឹង​ប្រើ​កូរ៉ូឡារី​នេះ​ដើម្បី​បញ្ជាក់​ពី​លក្ខណៈ​សម្បត្តិ​ដូច​ខាង​ក្រោម។

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y = f(x) បញ្ចូលទៅក្នុងផ្នែក បន្ទាប់មកវិសមភាព .

ភស្តុតាង។

វាច្បាស់ណាស់។ . នៅក្នុងទ្រព្យសម្បត្តិមុន យើងបានរកឃើញថាវិសមភាពអាចរួមបញ្ចូលពាក្យតាមពាក្យ ដូច្នេះវាគឺពិត . វិសមភាពទ្វេនេះអាចត្រូវបានសរសេរជា .

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y = f(x) និង y = g(x) បញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេល និងសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអាគុយម៉ង់ បន្ទាប់មក កន្លែងណា និង .

ភស្តុតាងត្រូវបានអនុវត្តតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។ ដោយសារ m និង M គឺជាតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍ y = f(x) នៅលើ segment នោះ . ការគុណវិសមភាពទ្វេដោយអនុគមន៍មិនអវិជ្ជមាន y = g(x) នាំយើងទៅរកវិសមភាពទ្វេខាងក្រោម។ ការរួមបញ្ចូលវានៅលើផ្នែក យើងមកដល់ការអះអាងដើម្បីបញ្ជាក់។

ផលវិបាក។

ប្រសិនបើយើងយក g(x) = 1 នោះវិសមភាពកើតឡើង .

រូបមន្តដំបូងសម្រាប់មធ្យម។

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y = f(x) បញ្ចូលគ្នានៅលើផ្នែក , ហើយបន្ទាប់មកមានលេខបែបនេះ .

ផលវិបាក។

ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f(x) បន្តនៅលើផ្នែក នោះមានលេខដូចនោះ។ .

រូបមន្តទីមួយនៃតម្លៃមធ្យមក្នុងទម្រង់ទូទៅ។

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y = f(x) និង y = g(x) បញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេល , និង g(x) > 0 សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអាគុយម៉ង់។ បន្ទាប់មកមានលេខបែបនេះ .

រូបមន្តទីពីរសម្រាប់មធ្យម។

ប្រសិនបើនៅលើផ្នែកមួយ អនុគមន៍ y = f(x) គឺអាចរួមបញ្ចូលបាន ហើយ y = g(x) គឺជាឯកតា នោះមានលេខដែលសមភាព .

លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះត្រូវបានប្រើដើម្បីអនុវត្តការបំប្លែងនៃអាំងតេក្រាល ដើម្បីនាំវាទៅជាអាំងតេក្រាលបឋមមួយ និងការគណនាបន្ថែមទៀត។

1. ដេរីវេនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់គឺស្មើនឹងអាំងតេក្រាល៖

2. ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់គឺស្មើនឹងអាំងតេក្រាល៖

3. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍មួយចំនួនគឺស្មើនឹងផលបូកនៃអនុគមន៍នេះ និងថេរតាមអំពើចិត្ត៖

4. កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល៖

លើសពីនេះទៅទៀត a ≠ 0

5. អាំងតេក្រាលនៃផលបូក (ភាពខុសគ្នា) ស្មើនឹងផលបូក (ភាពខុសគ្នា) នៃអាំងតេក្រាល៖

៦.ទ្រព្យ​គឺ​ជា​ការ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​នៃ​ទ្រព្យ ៤ និង ៥៖

លើសពីនេះទៅទៀត a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. ទ្រព្យសម្បត្តិបំរែបំរួលនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់៖

បើអញ្ចឹង

8. អចលនទ្រព្យ៖

បើអញ្ចឹង

តាមការពិត លក្ខណសម្បត្តិនេះគឺជាករណីពិសេសនៃការរួមបញ្ចូលដោយប្រើវិធីសាស្ត្រផ្លាស់ប្តូរអថេរ ដែលត្រូវបានពិភាក្សាយ៉ាងលម្អិតនៅក្នុងផ្នែកបន្ទាប់។

ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ៖

ដំបូងយើងអនុវត្តទ្រព្យសម្បត្តិ 5 បន្ទាប់មកទ្រព្យសម្បត្តិ 4 បន្ទាប់មកយើងប្រើតារាង antiderivatives ហើយទទួលបានលទ្ធផល។

ក្បួនដោះស្រាយនៃការគណនាអាំងតេក្រាលលើអ៊ីនធឺណិតរបស់យើងគាំទ្ររាល់លក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានរាយខាងលើ ហើយនឹងងាយស្រួលស្វែងរកដំណោះស្រាយលម្អិតសម្រាប់អាំងតេក្រាលរបស់អ្នក។

នៅក្នុងការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ៖ នៅក្រោមអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ƒ(x) ស្វែងរកដេរីវេរបស់វា។(ឬឌីផេរ៉ង់ស្យែល) ។ ការគណនាអាំងតេក្រាលដោះស្រាយបញ្ហាបញ្ច្រាស៖ ដើម្បីស្វែងរកអនុគមន៍ F (x) ដោយដឹងពីដេរីវេរបស់វា F "(x) \u003d ƒ (x) (ឬឌីផេរ៉ង់ស្យែល) មុខងារដែលចង់បាន F (x) ត្រូវបានគេហៅថា antiderivative នៃអនុគមន៍ ƒ (x) ។

មុខងារ F(x) ត្រូវបានគេហៅថា បុព្វកាលអនុគមន៍ ƒ(x) នៅលើចន្លោះពេល (a; b) ប្រសិនបើសម្រាប់ x є (a; b) សមភាព

F " (x)=ƒ(x) (ឬ dF(x)=ƒ(x)dx) ។

ឧទាហរណ៍អនុគមន៍ប្រឆាំងដេរីវេទី y \u003d x 2, x є R, គឺជាមុខងារមួយ ចាប់តាំងពី

ជាក់ស្តែង antiderivatives ក៏នឹងមានមុខងារណាមួយផងដែរ។

ដែល C ជាថេរ ព្រោះ

ទ្រឹស្តីបទ 29. 1. ប្រសិនបើអនុគមន៍ F(x) គឺជាអង្គបដិប្រាណនៃអនុគមន៍ ƒ(x) នៅលើ (a; b) នោះសំណុំនៃអង្គបដិប្រាណទាំងអស់សម្រាប់ ƒ(x) ត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត F(x)+ C ដែល C ជាចំនួនថេរ។

▲ អនុគមន៍ F(x)+C គឺជាអង់ទីករនៃ ƒ(x)។

ជាការពិត (F(x)+C) "=F" (x)=ƒ(x)។

អនុញ្ញាតឱ្យ F(x) ជាមួយចំនួនផ្សេងទៀត ខុសពី F(x) អង់ទីករនៃអនុគមន៍ ƒ(x), i.e., Ф"(x)=ƒ(x)។ បន្ទាប់មកសម្រាប់ x є (a; b) យើងមាន

ហើយនេះមានន័យថា (សូមមើល កូរ៉ូឡារី ២៥.១) នោះ។

ដែល C គឺជាចំនួនថេរ។ ដូច្នេះ Ф(х)=F(x)+С.▼

សំណុំនៃអនុគមន៍បឋមទាំងអស់ F(x)+C សម្រាប់ ƒ(x) ត្រូវបានហៅ អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍ ƒ(x)ហើយត្រូវបានតាងដោយនិមិត្តសញ្ញា ∫ ƒ(x) dx ។

ដូច្នេះតាមនិយមន័យ

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C ។

នៅទីនេះ ƒ(x) ត្រូវបានគេហៅថា អាំងតេក្រាល។, ƒ(x)dx — អាំងតេក្រាល, X - អថេររួមបញ្ចូល, ∫ -សញ្ញាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់.

ប្រតិបត្តិការនៃការស្វែងរកអាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍ត្រូវបានគេហៅថាការរួមបញ្ចូលនៃអនុគមន៍នេះ។

អាំងតេក្រាលធរណីមាត្រមិនកំណត់គឺជាក្រុមគ្រួសារនៃខ្សែកោង "ប៉ារ៉ាឡែល" y \u003d F (x) + C (តម្លៃលេខនីមួយៗនៃ C ត្រូវគ្នាទៅនឹងខ្សែកោងជាក់លាក់នៃគ្រួសារ) (សូមមើលរូប 166)។ ក្រាហ្វនៃអង្គបដិប្រាណនីមួយៗ (ខ្សែកោង) ត្រូវបានគេហៅថា ខ្សែកោងអាំងតេក្រាល។.

តើគ្រប់មុខងារមានអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ទេ?

មានទ្រឹស្តីបទមួយដែលចែងថា "រាល់មុខងារបន្តលើ (a; b) មាន antiderivative នៅចន្លោះពេលនេះ" ហើយជាលទ្ធផល អាំងតេក្រាលមិនកំណត់។

យើងកត់សំគាល់លក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ដែលធ្វើតាមនិយមន័យរបស់វា។

១.ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់គឺស្មើនឹងអាំងតេក្រាល ហើយដេរីវេនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់គឺស្មើនឹងអាំងតេក្រាល៖

ឃ(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) "=ƒ(x) ។

ពិតហើយ d (∫ ƒ (x) dx) \u003d d (F (x) + C) \u003d dF (x) + d (C) \u003d F "(x) dx \u003d ƒ (x) dx

(∫ ƒ (x) dx) "=(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ(x)។

សូមអរគុណចំពោះទ្រព្យសម្បត្តិនេះ ភាពត្រឹមត្រូវនៃការរួមបញ្ចូលត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយភាពខុសគ្នា។ ឧទាហរណ៍ សមភាព

∫(3x 2 + 4) dx = x h + 4x + C

true, since (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 +4 ។

2. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍មួយចំនួនគឺស្មើនឹងផលបូកនៃអនុគមន៍នេះ និងថេរតាមអំពើចិត្ត៖

∫dF(x)=F(x)+C។

ពិតជា

3. កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល៖

α ≠ 0 គឺជាថេរ។

ពិតជា

(ដាក់ C 1 / a \u003d C ។ )

4. អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃផលបូកពិជគណិតនៃចំនួនកំណត់នៃអនុគមន៍បន្តគឺស្មើនឹងផលបូកពិជគណិតនៃអាំងតេក្រាលនៃលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍៖

អនុញ្ញាតឱ្យ F"(x)=ƒ(x) និង G"(x)=g(x)។ បន្ទាប់មក

ដែលជាកន្លែងដែល C 1 ± C 2 \u003d C ។

5. (Invariance នៃរូបមន្តរួមបញ្ចូល)។

ប្រសិនបើ ក ដែល u=φ(x) គឺជាអនុគមន៍បំពានដែលមាននិស្សន្ទវត្ថុបន្ត។

▲ ទុក x ជាអថេរឯករាជ្យ ƒ(x) អនុគមន៍បន្ត និង F(x) អង់ទីកររបស់វា។ បន្ទាប់មក

ឥឡូវនេះ ចូរយើងកំណត់ u=φ(x) ដែល φ(x) គឺជាមុខងារដែលអាចផ្លាស់ប្តូរបានជាបន្តបន្ទាប់។ ពិចារណាមុខងារស្មុគស្មាញ F(u)=F(φ(x)) ។ ដោយសារតែភាពខុសគ្នានៃទម្រង់នៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលដំបូងនៃមុខងារ (សូមមើលទំព័រ 160) យើងមាន

ពីទីនេះ▼

ដូច្នេះ រូបមន្តសម្រាប់អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៅតែមានសុពលភាព មិនថាអថេររួមបញ្ចូលគឺជាអថេរឯករាជ្យ ឬមុខងារណាមួយរបស់វាដែលមានដេរីវេបន្ត។

ដូច្នេះពីរូបមន្ត ដោយជំនួស x ជាមួយ u (u = φ (x)) យើងទទួលបាន

ជាពិសេស,

ឧទាហរណ៍ 29.1 ។ស្វែងរកអាំងតេក្រាល។

ដែលជាកន្លែងដែល C \u003d C1 + C 2 + C 3 + C 4 ។

ឧទាហរណ៍ 29.2 ។ស្វែងរកដំណោះស្រាយរួម៖

• ២៩.៣. តារាងនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់មូលដ្ឋាន

ទាញយកប្រយោជន៍ពីការពិតដែលថាការរួមបញ្ចូលគឺជាការច្រាសនៃភាពខុសគ្នា មនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានតារាងនៃអាំងតេក្រាលជាមូលដ្ឋានដោយដាក់បញ្ច្រាសរូបមន្តដែលត្រូវគ្នានៃការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល (តារាងឌីផេរ៉ង់ស្យែល) និងប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។

ឧទាហរណ៍, ជា

d(sin u)=cos u . ឌូ

ការទទួលបាននៃរូបមន្តតារាងមួយចំនួននឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅពេលពិចារណាលើវិធីសាស្រ្តសំខាន់ៗនៃការរួមបញ្ចូល។

អាំងតេក្រាលក្នុងតារាងខាងក្រោមត្រូវបានគេហៅថា អាំងតេក្រាលតារាង។ ពួកគេគួរតែដឹងដោយបេះដូង។ នៅក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលមិនមានច្បាប់សាមញ្ញ និងជាសកលសម្រាប់ការស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំងដេរីវេពីអនុគមន៍បឋម ដូចនៅក្នុងការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលនោះទេ។ វិធីសាស្រ្តក្នុងការស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ (នោះគឺការរួមបញ្ចូលមុខងារមួយ) ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការបង្ហាញពីវិធីសាស្រ្តដែលនាំមកនូវអាំងតេក្រាលដែលបានផ្តល់ឱ្យ (ចង់បាន) ទៅជាតារាងមួយ។ ដូច្នេះ ចាំបាច់ត្រូវដឹងពីអាំងតេក្រាលតារាង និងអាចស្គាល់ពួកវាបាន។

ចំណាំថានៅក្នុងតារាងនៃអាំងតេក្រាលមូលដ្ឋាន អថេរសមាហរណកម្ម និងអាចសម្គាល់ទាំងអថេរឯករាជ្យ និងមុខងារនៃអថេរឯករាជ្យមួយ (យោងទៅតាមលក្ខណៈ invariance នៃរូបមន្តរួមបញ្ចូល)។

សុពលភាពនៃរូបមន្តខាងក្រោមអាចត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយយកឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៅជ្រុងខាងស្តាំ ដែលនឹងស្មើនឹងអាំងតេក្រាលនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃរូបមន្ត។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ជាឧទាហរណ៍ សុពលភាពនៃរូបមន្ត 2. អនុគមន៍ 1/u ត្រូវបានកំណត់ និងបន្តសម្រាប់តម្លៃ nonzero ទាំងអស់នៃ u ។

ប្រសិនបើ u > 0 បន្ទាប់មក ln|u|=lnu បន្ទាប់មក ដូច្នេះ

ប្រសិនបើ​អ្នក<0, то ln|u|=ln(-u). Ноមធ្យោបាយ

ដូច្នេះរូបមន្ត 2 គឺត្រឹមត្រូវ។ ដូចគ្នានេះដែរ ចូរយើងពិនិត្យមើលរូបមន្ត 15៖

តារាងនៃអាំងតេក្រាលមូលដ្ឋាន

មិត្ត! យើងសូមអញ្ជើញអ្នកឱ្យពិភាក្សា។ ប្រសិនបើអ្នកមានមតិសូមសរសេរមកយើងនៅក្នុងមតិយោបល់។

អត្ថបទនេះនិយាយលម្អិតអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់នៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ ពួកវាត្រូវបានបង្ហាញដោយប្រើគំនិតនៃអាំងតេក្រាល Riemann និង Darboux ។ ការគណនានៃអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មួយឆ្លងកាត់ដោយអរគុណចំពោះលក្ខណៈសម្បត្តិ 5 ។ នៅសល់នៃពួកវាត្រូវបានប្រើដើម្បីវាយតម្លៃកន្សោមផ្សេងៗ។

មុន​នឹង​ឆ្លង​ទៅ​លក្ខណៈ​សំខាន់​នៃ​អាំងតេក្រាល​ដែល​កំណត់ វា​ចាំបាច់​ត្រូវ​ប្រាកដ​ថា a មិន​លើស b ។

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់

និយមន័យ ១

អនុគមន៍ y \u003d f (x) ដែលកំណត់សម្រាប់ x \u003d a គឺស្រដៀងនឹងសមភាពយុត្តិធម៌ ∫ a f (x) d x \u003d 0 ។

ភស្តុតាង ១

ពីទីនេះយើងឃើញថាតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលដែលមានដែនកំណត់ស្របគ្នាគឺស្មើនឹងសូន្យ។ នេះគឺជាផលវិបាកនៃអាំងតេក្រាល Riemann ពីព្រោះផលបូកអាំងតេក្រាលនីមួយៗ σ សម្រាប់ភាគថាសណាមួយនៅលើចន្លោះពេល [ a ; a ] និងជម្រើសណាមួយនៃពិន្ទុ ζ i ស្មើសូន្យ ពីព្រោះ x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , ។ . . , n , ដូច្នេះយើងទទួលបានថាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍អាំងតេក្រាលគឺសូន្យ។

និយមន័យ ២

សម្រាប់​អនុគមន៍​ដែល​អាច​បញ្ចូល​គ្នា​បាន​នៅ​លើ​ផ្នែក [ a ; b ] លក្ខខណ្ឌ ∫ a b f (x) d x = − ∫ b a f (x) d x ពេញចិត្ត។

ភស្តុតាង ២

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត ប្រសិនបើអ្នកផ្លាស់ប្តូរដែនកំណត់ខាងលើ និងខាងក្រោមនៃការរួមបញ្ចូលនៅក្នុងកន្លែង នោះតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលនឹងផ្លាស់ប្តូរតម្លៃទៅផ្ទុយ។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានដកចេញពីអាំងតេក្រាល Riemann ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ លេខរៀងនៃការបែងចែកផ្នែកចាប់ផ្តើមពីចំនុច x = b ។

និយមន័យ ៣

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x ត្រូវបានប្រើសម្រាប់អនុគមន៍រួមបញ្ចូលគ្នានៃប្រភេទ y = f (x) និង y = g (x) ដែលបានកំណត់នៅលើចន្លោះពេល [ a ; ខ]។

ភស្តុតាង ៣

សរសេរផលបូកអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ y = f (x) ± g (x) សម្រាប់បែងចែកជាចម្រៀកដែលមានជម្រើសនៃចំនុច ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) x i − x i − 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i x i − x i − 1 = σ f ± σ g

ដែល σ f និង σ g គឺជាផលបូកអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ y = f (x) និង y = g (x) សម្រាប់បំបែកផ្នែក។ បន្ទាប់ពីឆ្លងកាត់ដែនកំណត់នៅ λ = m a x i = 1 , 2 , ។ . . , n (x i − x i − 1) → 0 យើងទទួលបាននោះ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g ។

តាមនិយមន័យរបស់ Riemann កន្សោមនេះគឺសមមូល។

និយមន័យ ៤

ការយកកត្តាថេរចេញពីសញ្ញានៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ អនុគមន៍រួមបញ្ចូលពីចន្លោះពេល [ a ; b ] ជាមួយនឹងតម្លៃបំពាននៃ k មានវិសមភាពត្រឹមត្រូវនៃទម្រង់ ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x ។

ភស្តុតាង ៤

ភ័ស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់គឺស្រដៀងនឹងឯកសារមុន៖

σ = ∑ i = 1 n k f ζ i (x i − x i − 1) = = k ∑ i = 1 n f ζ i (x i − x i − 1) = k σ f ⇒ lim → 0 σ = lim λ → 0 (k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k f (x) d x = k ∫ a b f (x) d x

និយមន័យ ៥

ប្រសិនបើអនុគមន៍នៃទម្រង់ y = f (x) អាចបញ្ចូលក្នុងចន្លោះ x ជាមួយ a ∈ x , b ∈ x នោះយើងទទួលបាន ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x ។

ភស្តុតាង ៥

ទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានចាត់ទុកថាមានសុពលភាពសម្រាប់ c ∈ a ; b សម្រាប់ c ≤ a និង c ≥ b ។ ភស្តុតាងត្រូវបានអនុវត្តស្រដៀងគ្នាទៅនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិពីមុន។

និយមន័យ ៦

នៅពេលដែលអនុគមន៍មួយមានសមត្ថភាពអាចរួមបញ្ចូលពីផ្នែក [ a ; b ] បន្ទាប់មក វាអាចទៅរួចសម្រាប់ផ្នែកខាងក្នុងណាមួយ c ; d ∈ a ; ខ.

ភស្តុតាង ៦

ភ័ស្តុតាងគឺផ្អែកលើទ្រព្យសម្បត្តិ Darboux៖ ប្រសិនបើពិន្ទុត្រូវបានបន្ថែមទៅភាគថាសដែលមានស្រាប់នៃផ្នែកមួយ នោះផលបូក Darboux ខាងក្រោមនឹងមិនថយចុះទេ ហើយផ្នែកខាងលើនឹងមិនកើនឡើងទេ។

និយមន័យ ៧

នៅពេលដែលអនុគមន៍មួយត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅលើ [ a ; b ] ពី f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ x ∈ a ; b បន្ទាប់មកយើងទទួលបានថា ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 ។

ទ្រព្យសម្បត្តិអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយប្រើនិយមន័យនៃអាំងតេក្រាល Riemann: ផលបូកអាំងតេក្រាលណាមួយសម្រាប់ជម្រើសណាមួយនៃភាគថាសនៃផ្នែក និងពិន្ទុ ζ i ជាមួយនឹងលក្ខខណ្ឌថា f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 គឺមិនអវិជ្ជមាន។

ភស្តុតាង ៧

ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f (x) និង y = g (x) រួមបញ្ចូលគ្នានៅលើផ្នែក [ a ; b ] បន្ទាប់មកវិសមភាពខាងក្រោមត្រូវបានចាត់ទុកថាមានសុពលភាព៖

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; ខ

សូមអរគុណចំពោះការអះអាងនេះ យើងដឹងថាការរួមបញ្ចូលគឺអាចទទួលយកបាន។ កូរ៉ូឡារីនេះនឹងត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិផ្សេងទៀត។

និយមន័យ ៨

សម្រាប់អនុគមន៍រួមបញ្ចូលគ្នា y = f (x) ពីផ្នែក [ a ; b ] យើងមានវិសមភាពត្រឹមត្រូវនៃទម្រង់ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ។

ភស្តុតាង ៨

េយងមន − f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) ។ ពីទ្រព្យសម្បត្តិពីមុន យើងទទួលបានថាវិសមភាពអាចត្រូវបានរួមបញ្ចូលពាក្យដោយពាក្យ ហើយវាត្រូវគ្នាទៅនឹងវិសមភាពនៃទម្រង់ - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ។ វិសមភាពទ្វេនេះអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់មួយផ្សេងទៀត៖ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ។

និយមន័យ ៩

នៅពេលដែលអនុគមន៍ y = f (x) និង y = g (x) ត្រូវបានរួមបញ្ចូលពីផ្នែក [ a ; b ] សម្រាប់ g (x) ≥ 0 សម្រាប់ x ∈ a ណាមួយ ; b យើងទទួលបានវិសមភាពនៃទម្រង់ m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x ដែល m = m i n x ∈ a ; b f (x) និង M = m a x x ∈ a ; b f (x) ។

ភស្តុតាង ៩

ភ័ស្តុតាងត្រូវបានធ្វើតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។ M និង m ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ y = f (x) ដែលកំណត់ពីផ្នែក [ a ; b ] បន្ទាប់មក m ≤ f (x) ≤ M ។ វាចាំបាច់ក្នុងការគុណវិសមភាពទ្វេដោយអនុគមន៍ y = g (x) ដែលនឹងផ្តល់តម្លៃនៃវិសមភាពទ្វេនៃទម្រង់ m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) ។ វាចាំបាច់ក្នុងការរួមបញ្ចូលវានៅលើផ្នែក [ a ; b ] បន្ទាប់មកយើងទទួលបានការអះអាងដើម្បីបញ្ជាក់។

លទ្ធផល៖ សម្រាប់ g (x) = 1 វិសមភាពក្លាយជា m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b − a) ។

រូបមន្តមធ្យមដំបូង

និយមន័យ ១០

សម្រាប់ y ​​= f (x) បញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេល [ a ; b ] ជាមួយ m = m i n x ∈ a ; b f (x) និង M = m a x x ∈ a ; b f (x) មានលេខ μ ∈ m ; M ដែលសមនឹង ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

លទ្ធផល៖ នៅពេលដែលអនុគមន៍ y = f (x) បន្តពីផ្នែក [ a ; b ] បន្ទាប់មកមានលេខបែបនេះ c ∈ a ; b ដែលបំពេញសមភាព ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a .

រូបមន្តទីមួយនៃតម្លៃមធ្យមក្នុងទម្រង់ទូទៅ

និយមន័យ ១១

នៅពេលដែលអនុគមន៍ y = f (x) និង y = g (x) ត្រូវបានរួមបញ្ចូលពីផ្នែក [ a ; b ] ជាមួយ m = m i n x ∈ a ; b f (x) និង M = m a x x ∈ a ; b f (x) , និង g (x) > 0 សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ x ∈ a ; ខ. ដូច្នេះយើងមានថាមានលេខ μ ∈ m ; M ដែលបំពេញសមភាព ∫ a b f (x) g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x ។

រូបមន្តតម្លៃមធ្យមទីពីរ

និយមន័យ ១២

នៅពេលដែលអនុគមន៍ y = f (x) ត្រូវបានរួមបញ្ចូលពីផ្នែក [ a ; b ] ហើយ y = g (x) គឺជា monotonic បន្ទាប់មកមានលេខដែល c ∈ a ; b ដែលជាកន្លែងដែលយើងទទួលបានសមភាពស្មើភាពនៃទម្រង់ ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

ការដោះស្រាយអាំងតេក្រាលគឺជាកិច្ចការដ៏ងាយស្រួលមួយ ប៉ុន្តែសម្រាប់តែក្រុមអភិជនប៉ុណ្ណោះ។ អត្ថបទនេះគឺសម្រាប់អ្នកដែលចង់រៀនយល់ពីអាំងតេក្រាល ប៉ុន្តែដឹងតិចតួច ឬគ្មានអ្វីអំពីពួកវា។ អាំងតេក្រាល... ហេតុអ្វីចាំបាច់? តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាវា? តើអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ និងគ្មានកំណត់ជាអ្វី?

ប្រសិនបើការប្រើប្រាស់តែមួយនៃអាំងតេក្រាលដែលអ្នកដឹងគឺដើម្បីទទួលបានអ្វីដែលមានប្រយោជន៍ពីកន្លែងដែលពិបាកទៅដល់ជាមួយនឹងទំពក់ក្នុងទម្រង់ជារូបតំណាងអាំងតេក្រាល នោះសូមស្វាគមន៍! រៀនពីរបៀបដោះស្រាយអាំងតេក្រាលសាមញ្ញ និងផ្សេងទៀត និងមូលហេតុដែលអ្នកមិនអាចធ្វើបានដោយគ្មានវានៅក្នុងគណិតវិទ្យា។

យើងសិក្សាគំនិត « អាំងតេក្រាល »

ការរួមបញ្ចូលត្រូវបានគេស្គាល់នៅក្នុងប្រទេសអេហ្ស៊ីបបុរាណ។ ជាការពិតណាស់មិនមែននៅក្នុងទម្រង់ទំនើបទេប៉ុន្តែនៅតែមាន។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមក គណិតវិទូបានសរសេរសៀវភៅជាច្រើនក្បាលអំពីប្រធានបទនេះ។ សម្គាល់ជាពិសេស ញូតុន និង លីបនីស ប៉ុន្តែខ្លឹមសារនៃអ្វីៗមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយល់ពីអាំងតេក្រាលពីទទេ? គ្មានផ្លូវទេ! ដើម្បីយល់ពីប្រធានបទនេះ អ្នកនឹងនៅតែត្រូវការចំណេះដឹងជាមូលដ្ឋានអំពីមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ព័ត៌មានអំពីដែនកំណត់ និងនិស្សន្ទវត្ថុ ដែលចាំបាច់សម្រាប់ការយល់ដឹងអំពីអាំងតេក្រាល មាននៅក្នុងប្លុករបស់យើងរួចហើយ។

អាំងតេក្រាលមិនកំណត់

តោះមានមុខងារខ្លះ f(x) .

អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍ f(x) មុខងារបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា F(x) ដែលដេរីវេគឺស្មើនឹងមុខងារ f(x) .

ម្យ៉ាងវិញទៀត អាំងតេក្រាល គឺជា និស្សន្ទវត្ថុបញ្ច្រាស ឬ ប្រឆាំងដេរីវេ។ ដោយវិធីនេះសូមអានអត្ថបទរបស់យើងអំពីរបៀបគណនានិស្សន្ទវត្ថុ។

Antiderivative មានសម្រាប់មុខងារបន្តទាំងអស់។ ដូចគ្នានេះផងដែរជាញឹកញាប់សញ្ញាថេរមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅ antiderivative ចាប់តាំងពីដេរីវេនៃមុខងារដែលខុសគ្នាដោយការស្របគ្នាថេរ។ ដំណើរការនៃការស្វែងរកអាំងតេក្រាលត្រូវបានគេហៅថាការរួមបញ្ចូល។

ឧទាហរណ៍សាមញ្ញ៖

ដើម្បីកុំឱ្យគណនាអចិន្ត្រៃយ៍នៃអនុគមន៍បឋម វាងាយស្រួលក្នុងការយកវាទៅក្នុងតារាងមួយ ហើយប្រើតម្លៃដែលត្រៀមរួចជាស្រេច។

តារាងពេញលេញនៃអាំងតេក្រាលសម្រាប់សិស្ស

អាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់

នៅពេលនិយាយអំពីគំនិតនៃអាំងតេក្រាលមួយ យើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងបរិមាណគ្មានកំណត់។ អាំងតេក្រាលនឹងជួយគណនាផ្ទៃនៃតួរលេខ ម៉ាសនៃរាងកាយដែលមិនស្មើគ្នា ផ្លូវដែលបានធ្វើដំណើរកំឡុងពេលចលនាមិនស្មើគ្នា និងច្រើនទៀត។ វាគួរតែត្រូវបានចងចាំក្នុងចិត្តថាអាំងតេក្រាលគឺជាផលបូកនៃចំនួនដ៏ច្រើនគ្មានកំណត់នៃពាក្យតូចគ្មានកំណត់។

ជាឧទាហរណ៍ សូមស្រមៃមើលក្រាហ្វនៃមុខងារមួយចំនួន។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកផ្ទៃនៃតួលេខមួយដែលចងដោយក្រាហ្វនៃមុខងារមួយ? ដោយមានជំនួយពីអាំងតេក្រាល! ចូរបំបែកបន្ទាត់រាងចតុកោណកែងដែលចងដោយអ័ក្សកូអរដោណេ និងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ទៅជាផ្នែកគ្មានកំណត់។ ដូច្នេះតួលេខនឹងត្រូវបានបែងចែកទៅជាជួរឈរស្តើង។ ផលបូកនៃតំបន់នៃជួរឈរនឹងជាតំបន់នៃ trapezoid នេះ។ ប៉ុន្តែត្រូវចាំថាការគណនាបែបនេះនឹងផ្តល់លទ្ធផលប្រហាក់ប្រហែល។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ផ្នែកតូចជាង និងតូចចង្អៀត ការគណនានឹងកាន់តែត្រឹមត្រូវ ប្រសិនបើយើងកាត់បន្ថយពួកវាក្នុងកម្រិតមួយដែលប្រវែងមានទំនោរទៅសូន្យ នោះផលបូកនៃផ្នែកនៃផ្នែកនឹងមានទំនោរទៅតំបន់នៃតួរលេខ។ នេះគឺជាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ដែលត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម៖

ចំនុច a និង b ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។

« អាំងតេក្រាល។ »

និយាយ​អញ្ចឹង! សម្រាប់អ្នកអានរបស់យើងឥឡូវនេះមានការបញ្ចុះតម្លៃ 10% នៅលើ ប្រភេទការងារណាមួយ។

ច្បាប់សម្រាប់ការគណនាអាំងតេក្រាលសម្រាប់អត់ចេះសោះ

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយអាំងតេក្រាលមិនកំណត់? នៅទីនេះយើងនឹងពិចារណាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ដែលនឹងមានប្រយោជន៍ក្នុងការដោះស្រាយឧទាហរណ៍។

• ដេរីវេនៃអាំងតេក្រាលគឺស្មើនឹងអាំងតេក្រាល៖

• ថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាល៖

• អាំងតេក្រាលនៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃអាំងតេក្រាល។ ក៏ជាការពិតសម្រាប់ភាពខុសគ្នា៖

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់

• លីនេអ៊ែរ៖

• សញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរអាំងតេក្រាល ប្រសិនបើដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលត្រូវបានបញ្ច្រាស់៖

• នៅ ណាមួយ។ពិន្ទុ ក, ខនិង ជាមួយ:

យើងបានរកឃើញរួចហើយថាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់គឺជាដែនកំណត់នៃផលបូក។ ប៉ុន្តែតើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីទទួលបានតម្លៃជាក់លាក់នៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍? ចំពោះបញ្ហានេះមានរូបមន្ត Newton-Leibniz៖

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយអាំងតេក្រាល។

ខាងក្រោមនេះ យើងពិចារណាអំពីអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ និងឧទាហរណ៍ជាមួយដំណោះស្រាយ។ យើងផ្តល់ជូនអ្នកឱ្យយល់ដោយឯករាជ្យនូវភាពស្មុគ្រស្មាញនៃដំណោះស្រាយ ហើយប្រសិនបើមានអ្វីមួយមិនច្បាស់លាស់ សូមសួរសំណួរនៅក្នុងមតិយោបល់។

ដើម្បីបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈ សូមមើលវីដេអូអំពីរបៀបដែលអាំងតេក្រាលត្រូវបានដោះស្រាយនៅក្នុងការអនុវត្ត។ កុំអស់សង្ឃឹមប្រសិនបើអាំងតេក្រាលមិនត្រូវបានផ្តល់ឱ្យភ្លាមៗ។ ងាកទៅរកសេវាសិស្សដែលមានជំនាញវិជ្ជាជីវៈ ហើយអាំងតេក្រាលបីដង ឬរាងកោងណាមួយលើផ្ទៃបិទជិតនឹងស្ថិតនៅក្នុងអំណាចរបស់អ្នក។