ដើម្បីស្វែងរកអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ trapezoid តំបន់នៃ trapezoid curvilinear ក៏ត្រូវបានបែងចែកទៅជា n រាងចតុកោណកែងដែលមានកម្ពស់ h និងគោល y 1, y 2, y 3,..y n ដែល n ជាចំនួននៃ ចតុកោណកែង។ អាំងតេក្រាលនឹងជាលេខស្មើនឹងផលបូកនៃតំបន់នៃចតុកោណកែង (រូបភាពទី 4) ។

អង្ករ។ ៤

n - ចំនួននៃការបំបែក

កំហុសនៃរូបមន្ត trapezoid ត្រូវបានប៉ាន់ប្រមាណដោយលេខ

កំហុសនៃរូបមន្ត trapezoid ថយចុះលឿនជាមួយនឹងកំណើនជាងកំហុសនៃរូបមន្តចតុកោណ។ ដូច្នេះរូបមន្ត trapezoid អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកទទួលបានភាពត្រឹមត្រូវជាងវិធីសាស្ត្រចតុកោណ។

រូបមន្ត Simpson

ប្រសិនបើសម្រាប់គូនៃផ្នែកនីមួយៗ យើងបង្កើតពហុនាមនៃដឺក្រេទីពីរ បន្ទាប់មកបញ្ចូលវានៅលើផ្នែក ហើយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិបន្ថែមនៃអាំងតេក្រាល នោះយើងទទួលបានរូបមន្ត Simpson ។

នៅក្នុងវិធីសាស្រ្តរបស់ Simpson សម្រាប់ការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ចន្លោះពេលរួមបញ្ចូលទាំងមូលត្រូវបានបែងចែកទៅជា subintervals ដែលមានប្រវែងស្មើគ្នា h=(b-a)/n ។ ចំនួនភាគថាសគឺជាលេខគូ។ បន្ទាប់មកនៅលើគូនៃចន្លោះរងដែលនៅជាប់គ្នា អនុគមន៍អាំងតេក្រាល f(x) ត្រូវបានជំនួសដោយពហុនាម Lagrange នៃដឺក្រេទីពីរ (រូបភាពទី 5) ។

អង្ករ។ ៥ អនុគមន៍ y=f(x) នៅលើផ្នែកត្រូវបានជំនួសដោយពហុនាមលំដាប់ទី 2

ពិចារណាអំពីអាំងតេក្រាលនៅលើចន្លោះពេល។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងជំនួសអាំងតេក្រាលនេះជាមួយនឹងពហុធានភាពអន្តរប៉ូល Lagrange ដឺក្រេទីពីរដែលស្របគ្នាជាមួយ y = នៅចំណុច:

ចូរ​រួម​បញ្ចូល​គ្នា​នៅ​ចន្លោះ​ពេល៖

យើងណែនាំការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរ៖

ដោយផ្អែកលើរូបមន្តជំនួស

បន្ទាប់ពីរួមបញ្ចូល យើងទទួលបានរូបមន្ត Simpson៖

តម្លៃ​ដែល​ទទួល​បាន​សម្រាប់​អាំងតេក្រាល​ស្រប​គ្នា​នឹង​ផ្ទៃ​នៃ​រាង​ជ្រុង​កោង​ដែល​ជាប់​នឹង​អ័ក្ស បន្ទាត់​ត្រង់ និង​ប៉ារ៉ាបូឡា​កាត់​តាម​ចំណុច។​ នៅ​លើ​ផ្នែក​មួយ រូបមន្ត​របស់ Simpson នឹង​មើល​ទៅ​ដូច​ជា៖

ក្នុងរូបមន្តប៉ារ៉ាបូឡា តម្លៃនៃអនុគមន៍ f (x) នៅចំនុចបំបែកសេស x 1, x 3, ..., x 2n-1 មានមេគុណ 4 នៅចំនុចគូ x 2, x 4, ... , x 2n-2 - មេគុណ 2 និងនៅចំណុចព្រំដែនពីរ x 0 =a , x n = b - មេគុណ 1 ។

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃរូបមន្តរបស់ Simpson៖ ផ្ទៃនៃ curvilinear trapezoid នៅក្រោមក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ f(x) នៅលើផ្នែកមួយគឺប្រហែលត្រូវបានជំនួសដោយផលបូកនៃផ្ទៃនៃតួលេខដែលស្ថិតនៅក្រោមប៉ារ៉ាបូឡា។

ប្រសិនបើអនុគមន៍ f(x) មានដេរីវេបន្តនៃលំដាប់ទីបួន នោះតម្លៃដាច់ខាតនៃកំហុសនៃរូបមន្ត Simpson គឺមិនលើសពី

ដែល M គឺជាតម្លៃធំបំផុតនៅលើផ្នែក។ ចាប់តាំងពី n 4 លូតលាស់លឿនជាង n 2 កំហុសនៃរូបមន្តរបស់ Simpson មានការថយចុះជាមួយនឹងការកើនឡើង n លឿនជាងកំហុសនៃរូបមន្ត trapezoid ។

យើងគណនាអាំងតេក្រាល។

អាំងតេក្រាលនេះងាយស្រួលគណនា៖

ចូរយក n ស្មើនឹង 10, h=0.1 គណនាតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលនៅចំនុចចែក ក៏ដូចជាចំនុចពាក់កណ្តាលចំនួនគត់។

យោងតាមរូបមន្តនៃចតុកោណកែងកណ្តាល យើងទទួលបាន I straight = 0.785606 (កំហុសគឺ 0.027%) យោងតាមរូបមន្ត trapezoid I trap = 0.784981 (កំហុសគឺប្រហែល 0.054។ នៅពេលប្រើវិធីសាស្រ្តនៃចតុកោណកែងខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេង នោះ កំហុសគឺច្រើនជាង 3% ។

ដើម្បីប្រៀបធៀបភាពត្រឹមត្រូវនៃរូបមន្តប្រហាក់ប្រហែល យើងគណនាអាំងតេក្រាលម្តងទៀត

ប៉ុន្តែឥឡូវនេះដោយរូបមន្ត Simpson សម្រាប់ n=4 ។ យើងបែងចែកផ្នែកជាបួនផ្នែកស្មើគ្នាដែលមានពិន្ទុ x 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 \u003d 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 ហើយគណនាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែល ​​នៃអនុគមន៍ f (x) \u003d 1 / (1+x) នៅចំណុចទាំងនេះ៖ y 0 = 1.0000, y 1 = 0.8000, y 2 = 0.6667, y 3 = 0.5714, y 4 = 0.5000 ។

តាមរូបមន្តរបស់ Simpson យើងទទួលបាន

ចូរយើងប៉ាន់ស្មានកំហុសនៃលទ្ធផលដែលទទួលបាន។ សម្រាប់អាំងតេក្រាល f(x)=1/(1+x) យើងមាន៖ f (4) (x)=24/(1+x) 5 មកពីណាវាធ្វើតាមនោះនៅលើផ្នែក។ ដូច្នេះយើងអាចយក М=24 ហើយកំហុសលទ្ធផលមិនលើសពី 24/(2880 4 4)=0.0004។ ការប្រៀបធៀបតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលជាមួយនឹងតម្លៃពិតប្រាកដ យើងសន្និដ្ឋានថា កំហុសដាច់ខាតនៃលទ្ធផលដែលទទួលបានដោយរូបមន្ត Simpson គឺតិចជាង 0.00011។ នេះគឺស្របតាមការប៉ាន់ប្រមាណកំហុសដែលបានផ្តល់ឱ្យខាងលើ ហើយលើសពីនេះទៀត បង្ហាញថារូបមន្ត Simpson មានភាពត្រឹមត្រូវជាងរូបមន្ត trapezoid ។ ដូច្នេះរូបមន្ត Simpson សម្រាប់ការគណនាប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់ជាងរូបមន្ត trapezoid ។

បញ្ហាកើតឡើងនៃការគណនាលេខនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយជំនួយនៃរូបមន្តដែលហៅថា quadrature ។

រំលឹកឡើងវិញនូវរូបមន្តសាមញ្ញបំផុតសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលលេខ។

ចូរយើងគណនាតម្លៃលេខប្រហាក់ប្រហែលនៃ . យើងបែងចែកចន្លោះពេលសមាហរណកម្ម [а, b] ទៅជា n ផ្នែកស្មើគ្នាដោយបែងចែកចំណុច
ដែលហៅថា nodes នៃរូបមន្ត quadrature ។ អនុញ្ញាតឱ្យតម្លៃនៅក្នុងថ្នាំងត្រូវបានគេដឹង
:

តម្លៃ

ត្រូវបានគេហៅថា ចន្លោះពេលរួមបញ្ចូលគ្នា ឬជំហាន។ ចំណាំថានៅក្នុងការអនុវត្ត -calculations ចំនួន i ត្រូវបានជ្រើសរើសតូច ជាធម្មតាវាមិនលើសពី 10-20។ នៅចន្លោះពេលមួយផ្នែក។

អាំងតេក្រាល​ត្រូវ​បាន​ជំនួស​ដោយ​ពហុនាម​អន្តរប៉ូល​

ដែលប្រហែលតំណាងឱ្យអនុគមន៍ f(x) នៅលើចន្លោះពេលកំពុងពិចារណា។

ក) ទុកតែពាក្យដំបូងមួយនៅក្នុងពហុនាមអន្តរប៉ូលសិន បន្ទាប់មក

រូបមន្ត​ការ៉េ​លទ្ធផល

ហៅថារូបមន្តចតុកោណ។

ខ) រក្សាពាក្យពីរដំបូងនៅក្នុងពហុធានអន្តរប៉ូលសិន បន្ទាប់មក

(2)

រូបមន្ត (2) ត្រូវបានគេហៅថារូបមន្ត trapezoid ។

គ) ចន្លោះពេលនៃការរួមបញ្ចូល
យើងបែងចែកជាចំនួនគូនៃផ្នែកស្មើគ្នា 2n ខណៈពេលដែលការរួមបញ្ចូលជំហាន h នឹងស្មើនឹង . នៅចន្លោះពេល
នៃប្រវែង 2h យើងជំនួសអាំងតេក្រាលដោយពហុនាមអន្តរប៉ូលនៃដឺក្រេទីពីរ ពោលគឺ យើងរក្សាពាក្យបីដំបូងក្នុងពហុនាម៖

រូបមន្ត quadrature លទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថារូបមន្តរបស់ Simpson

(3)

រូបមន្ត (1), (2) និង (3) មានអត្ថន័យធរណីមាត្រសាមញ្ញ។ នៅក្នុងរូបមន្តនៃចតុកោណ អាំងតេក្រាល f(x) នៅលើចន្លោះពេល
ត្រូវបានជំនួសដោយផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់ y \u003d yk ស្របទៅនឹងអ័ក្ស x និងក្នុងរូបមន្ត trapezoid - ដោយផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់
ហើយផ្ទៃដីនៃចតុកោណកែង និងរាងចតុកោណកែងត្រូវបានគណនារៀងគ្នា ដែលបន្ទាប់មកត្រូវបានសង្ខេប។ នៅក្នុងរូបមន្តរបស់ Simpson អនុគមន៍ f(x) នៅលើចន្លោះពេល
ប្រវែង 2h ត្រូវបានជំនួសដោយត្រីកោណការ៉េ - ប៉ារ៉ាបូឡា
តំបន់នៃ curvilinear parabolic trapezoid ត្រូវបានគណនាបន្ទាប់មកតំបន់ត្រូវបានសង្ខេប។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំចង់កត់សម្គាល់នូវលក្ខណៈពិសេសមួយចំនួននៃការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។ វិធីសាស្រ្តនីមួយៗសម្រាប់ដំណោះស្រាយប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់មានគុណសម្បត្តិ និងគុណវិបត្តិរបស់វា អាស្រ័យលើកិច្ចការដែលមាននៅនឹងដៃ វិធីសាស្ត្រជាក់លាក់គួរតែត្រូវបានប្រើ។

វិធីសាស្រ្តជំនួសអថេរគឺជាវិធីសាស្រ្តសំខាន់មួយសម្រាប់គណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។ សូម្បីតែនៅពេលដែលយើងរួមបញ្ចូលដោយវិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀតមួយចំនួន យើងត្រូវងាកទៅរកការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរនៅក្នុងការគណនាកម្រិតមធ្យម។ ភាពជោគជ័យនៃការធ្វើសមាហរណកម្មអាស្រ័យលើវិសាលភាពធំមួយនៅលើថាតើយើងអាចរកឃើញការផ្លាស់ប្តូរដ៏ល្អនៃអថេរដែលនឹងធ្វើឱ្យអាំងតេក្រាលដែលបានផ្តល់ឱ្យមានភាពសាមញ្ញ។

សរុបមក ការសិក្សាអំពីវិធីធ្វើសមាហរណកម្មចុះមកដើម្បីរកឱ្យឃើញនូវប្រភេទនៃការផ្លាស់ប្តូរអថេរដែលគួរតែត្រូវបានធ្វើឡើងសម្រាប់ទម្រង់មួយ ឬមួយផ្សេងទៀតនៃអាំងតេក្រាលនោះ។

ដូច្នេះ ការរួមបញ្ចូលនៃប្រភាគសមហេតុផលនីមួយៗកាត់បន្ថយការរួមបញ្ចូលពហុនាម និងប្រភាគសាមញ្ញមួយចំនួន។

អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍សនិទានណាមួយអាចត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍បឋមនៅក្នុងទម្រង់ចុងក្រោយគឺ៖

តាមរយៈលោការីត - ក្នុងករណីប្រភាគសាមញ្ញបំផុតនៃប្រភេទទី 1;

តាមរយៈអនុគមន៍សនិទាន - ក្នុងករណីប្រភាគសាមញ្ញនៃប្រភេទទី 2

តាមរយៈលោការីត និងអាកតង់សង់ - ក្នុងករណីប្រភាគសាមញ្ញនៃប្រភេទទី 3

តាមរយៈអនុគមន៍សនិទានភាព និងអាកតង់សង់ - ក្នុងករណីប្រភាគសាមញ្ញបំផុតនៃប្រភេទទី 4 ។ ការជំនួសត្រីកោណមាត្រជាសកលតែងតែផ្តល់សនិទានភាពដល់អាំងតេក្រាល ប៉ុន្តែជារឿយៗវានាំទៅរកប្រភាគសនិទានដ៏ស្មុគស្មាញ ដែលជាពិសេស វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការស្វែងរកឫសគល់នៃភាគបែង។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើអាចធ្វើបាន ការជំនួសដោយផ្នែកត្រូវបានប្រើប្រាស់ ដែលផ្តល់សនិទានភាពនៃអាំងតេក្រាល និងនាំឱ្យមានប្រភាគស្មុគស្មាញតិច។

រូបមន្ត Newton-Leibnizគឺជាវិធីសាស្រ្តទូទៅក្នុងការស្វែងរកអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

ចំពោះវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ពួកវាអនុវត្តមិនខុសគ្នាពីវិធីសាស្រ្ត និងវិធីសាស្រ្តទាំងអស់នោះទេ។

ដូចគ្នានេះដែរអនុវត្ត វិធីសាស្រ្តជំនួស(ការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរ) វិធីសាស្រ្តនៃការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក, វិធីសាស្រ្តដូចគ្នានៃការស្វែងរក antiderivatives សម្រាប់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ, irrational និង transcendental ។ ភាពបារម្ភតែមួយគត់គឺថានៅពេលអនុវត្តបច្ចេកទេសទាំងនេះវាចាំបាច់ដើម្បីពង្រីកការបំប្លែងមិនត្រឹមតែមុខងារអាំងតេក្រាលរងប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងដល់ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូលផងដែរ។ នៅពេលផ្លាស់ប្តូរអថេរសមាហរណកម្ម កុំភ្លេចផ្លាស់ប្តូរដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល។

អញ្ចឹង ពីទ្រឹស្តីបទ លក្ខខណ្ឌបន្តនៃអនុគមន៍គឺជាលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៃមុខងារ។ ប៉ុន្តែនេះមិនមានន័យថាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់មានសម្រាប់តែមុខងារបន្តនោះទេ។ ថ្នាក់នៃអនុគមន៍រួមបញ្ចូលគ្នាគឺធំទូលាយជាង។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ មានអាំងតេក្រាលជាក់លាក់នៃអនុគមន៍ដែលមានចំនួនកំណត់នៃចំណុចដាច់។

ការគណនានៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៃអនុគមន៍បន្តដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការស្វែងរក antiderivative ដែលតែងតែមាន ប៉ុន្តែមិនតែងតែជាអនុគមន៍បឋម ឬមុខងារសម្រាប់តារាងដែលត្រូវបានចងក្រងដែលធ្វើឱ្យវាអាចទទួលបានតម្លៃ នៃអាំងតេក្រាល។ នៅក្នុងកម្មវិធីជាច្រើន មុខងាររួមបញ្ចូលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងតារាងមួយ ហើយរូបមន្ត Newton-Leibniz មិនអាចអនុវត្តដោយផ្ទាល់បានទេ។

ប្រសិនបើអ្នកចង់បានលទ្ធផលត្រឹមត្រូវបំផុត ឧត្តមគតិ វិធីសាស្រ្តរបស់ simpson.

ពីការសិក្សាខាងលើ ការសន្និដ្ឋានខាងក្រោមអាចទាញបានថា អាំងតេក្រាលត្រូវបានប្រើប្រាស់ក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រដូចជា រូបវិទ្យា ធរណីមាត្រ គណិតវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងៗទៀត។ ដោយមានជំនួយពីអាំងតេក្រាលការងាររបស់កម្លាំងត្រូវបានគណនាកូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាលនៃម៉ាស់ផ្លូវដែលធ្វើដំណើរដោយចំណុចសម្ភារៈត្រូវបានរកឃើញ។ នៅក្នុងធរណីមាត្រ វាត្រូវបានគេប្រើដើម្បីគណនាបរិមាណនៃរាងកាយ រកប្រវែងនៃធ្នូនៃខ្សែកោង។ល។

នៅក្នុងវិធីសាស្រ្តនេះ វាត្រូវបានស្នើឡើងដើម្បីប៉ាន់ស្មានអាំងតេក្រាលនៅលើចន្លោះពេលដោយផ្នែកដោយប៉ារ៉ាបូឡាឆ្លងកាត់ចំណុច
(x j , f(x j)) កន្លែងណា j = ខ្ញុំ-1; ខ្ញុំ-0.5; ខ្ញុំនោះគឺយើងប៉ាន់ស្មានអាំងតេក្រាលដោយពហុនាម Lagrange interpolation នៃដឺក្រេទីពីរ៖

(10.14)

បន្ទាប់ពីការរួមបញ្ចូលយើងទទួលបាន:

(10.15)

នោះហើយជាអ្វីដែលវាគឺជា រូបមន្តរបស់ simpson ឬរូបមន្តនៃប៉ារ៉ាបូឡា។ នៅលើផ្នែក
[ក, ខ] រូបមន្តរបស់ Simpson យកទម្រង់

(10.16)

តំណាងក្រាហ្វិកនៃវិធីសាស្ត្ររបស់ Simpson ត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។ ២.៤.

អង្ករ។ ១០.៤.វិធីសាស្រ្តស៊ីមសុន

ចូរកម្ចាត់សន្ទស្សន៍ប្រភាគក្នុងកន្សោម (២.១៦) ដោយប្តូរឈ្មោះអថេរ៖

(10.17)

បន្ទាប់មករូបមន្តរបស់ Simpson យកទម្រង់

(10.18)

កំហុសនៃរូបមន្ត (2.18) ត្រូវបានប៉ាន់ស្មានដោយកន្សោមខាងក្រោម៖

, (10.19)

កន្លែងណា h n = b-a, . ដូច្នេះ កំហុសនៃរូបមន្តរបស់ Simpson គឺសមាមាត្រទៅនឹង អូ(h ៤).

មតិយោបល់។វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថានៅក្នុងរូបមន្ត Simpson ចន្លោះពេលសមាហរណកម្មត្រូវបានបែងចែកចាំបាច់ទៅជា សូម្បីតែចំនួនចន្លោះពេល។

១០.៥. ការគណនាអាំងតេក្រាលជាក់លាក់ដោយវិធីសាស្រ្ត
ម៉ុងតេ ខាឡូ

វិធីសាស្រ្តដែលបានពិភាក្សាពីមុនត្រូវបានគេហៅថា កំណត់ នោះគឺគ្មានធាតុនៃឱកាស។

វិធីសាស្រ្ត Monte Carlo(MMK) គឺជាវិធីសាស្រ្តលេខសម្រាប់ដោះស្រាយបញ្ហាគណិតវិទ្យាដោយយកគំរូតាមអថេរចៃដន្យ។ MCM អនុញ្ញាតឱ្យដោះស្រាយបញ្ហាគណិតវិទ្យាដោយជោគជ័យដែលបណ្តាលមកពីដំណើរការប្រូបាប៊ីលីតេ។ លើសពីនេះទៅទៀត នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាដែលមិនទាក់ទងទៅនឹងប្រូបាប៊ីលីតេណាមួយ មនុស្សម្នាក់អាចបង្កើតគំរូប្រូបាប៊ីលីសដោយសិប្បនិម្មិត (និងសូម្បីតែច្រើនជាងមួយ) ដែលអនុញ្ញាតឱ្យដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះ។ ពិចារណាការគណនានៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់

(10.20)

នៅពេលគណនាអាំងតេក្រាលនេះដោយប្រើរូបមន្តនៃចតុកោណកែង ចន្លោះពេល [ ក, ខ] បំបែកជា នចន្លោះពេលដូចគ្នាបេះបិទ ដែលតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលត្រូវបានគណនា។ តាមរយៈការគណនាតម្លៃមុខងារនៅថ្នាំងចៃដន្យ អ្នកអាចទទួលបានលទ្ធផលត្រឹមត្រូវជាងមុន៖

(10.21)

(10.22)

នៅទីនេះ γ i គឺជាលេខចៃដន្យដែលចែកចាយស្មើៗគ្នាតាមចន្លោះពេល
. កំហុសក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាល MMK ~ ដែលមានទំហំធំជាងវិធីសាស្ត្រកំណត់ដែលបានសិក្សាពីមុន។

នៅលើរូបភព។ 2.5 បង្ហាញពីការអនុវត្តក្រាហ្វិកនៃវិធីសាស្ត្រ Monte Carlo សម្រាប់ការគណនាអាំងតេក្រាលតែមួយជាមួយថ្នាំងចៃដន្យ (2.21) និង (2.22) ។

(2.23)

អង្ករ។ ១០.៦.ការរួមបញ្ចូល Monte Carlo (ករណីទី 2)

ដូចដែលបានឃើញនៅក្នុងរូបភព។ 2.6 ខ្សែកោងអាំងតេក្រាលស្ថិតនៅក្នុងឯកតាការ៉េ ហើយប្រសិនបើយើងអាចទទួលបានគូនៃលេខចៃដន្យដែលចែកចាយស្មើៗគ្នាក្នុងចន្លោះពេលនោះ តម្លៃដែលទទួលបាន (γ 1, γ 2) អាចត្រូវបានបកស្រាយថាជាកូអរដោនេនៃចំណុចនៅក្នុង ឯកតាការ៉េ។ បន្ទាប់មក ប្រសិនបើមានចំនួនគូទាំងនេះគ្រប់គ្រាន់ យើងអាចសន្មត់បានប្រហែល
. នៅទីនេះ សគឺ​ជា​ចំនួន​គូ​នៃ​ចំណុច​ដែល​ស្ថិត​នៅ​ក្រោម​ខ្សែ​កោង និង នគឺជាចំនួនសរុបនៃចំនួនគូ។

ឧទាហរណ៍ 2.1 ។គណនាអាំងតេក្រាលខាងក្រោម៖

បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗ។ លទ្ធផលដែលទទួលបានត្រូវបានសង្ខេបនៅក្នុងតារាង។ ២.១.

តារាង 2.1

មតិយោបល់។ជម្រើសនៃអាំងតេក្រាលតារាងបានអនុញ្ញាតឱ្យយើងប្រៀបធៀបកំហុសនៃវិធីសាស្រ្តនីមួយៗនិងស្វែងយល់ពីឥទ្ធិពលនៃចំនួនភាគថាសលើភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនា។

11 ដំណោះស្រាយប្រហាក់ប្រហែលនៃ NONLINEAR
និងសមភាពអន្តរកាល

ការគណនាអាំងតេក្រាលដោយប្រើប្រាស់រូបមន្តនៃចតុកោណកែង ចតុកោណកែង និងរូបមន្តរបស់ Simpson ។ ការប៉ាន់ស្មាននៃកំហុស។

គោលការណ៍ណែនាំលើប្រធានបទ ៤.១៖

ការគណនាអាំងតេក្រាលដោយរូបមន្តនៃចតុកោណកែង។ ការប៉ាន់ស្មានកំហុស៖

ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាបច្ចេកទេសជាច្រើនត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅនឹងការគណនានៃអាំងតេក្រាលជាក់លាក់ ការបញ្ចេញមតិពិតប្រាកដដែលពិបាក ទាមទារការគណនាវែង ហើយមិនតែងតែមានភាពយុត្តិធម៌ក្នុងការអនុវត្តនោះទេ។ នៅទីនេះតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលរបស់ពួកគេគឺគ្រប់គ្រាន់ណាស់។ ឧទាហរណ៍ អ្នក​ត្រូវ​គណនា​ផ្ទៃ​ដែល​ជាប់​នឹង​បន្ទាត់​ដែល​សមីការ​មិន​ស្គាល់​គឺ​អ័ក្ស Xនិងបទបញ្ជាពីរ។ ក្នុងករណីនេះ អ្នកអាចជំនួសបន្ទាត់នេះដោយសាមញ្ញជាង ដែលសមីការត្រូវបានគេស្គាល់។ តំបន់នៃ curvilinear trapezoid ដូច្នេះទទួលបានត្រូវបានយកជាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលដែលចង់បាន។ តាមធរណីមាត្រ គំនិតនៅពីក្រោយវិធីសាស្រ្តនៃការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយប្រើរូបមន្តនៃចតុកោណកែងគឺថាផ្ទៃនៃ curvilinear trapezoid A 1 ABB ១ត្រូវបានជំនួសដោយផ្ទៃនៃចតុកោណតំបន់ស្មើគ្នា A 1 A 2 B 1 B 2ដែលយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទតម្លៃមធ្យមគឺស្មើនឹង

កន្លែងណា f(c)--- កម្ពស់ចតុកោណកែង A 1 A 2 B 1 B 2 ,ដែលជាតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលនៅចំណុចមធ្យមមួយចំនួន គ(ក< c

វាពិតជាលំបាកណាស់ក្នុងការស្វែងរកតម្លៃបែបនេះ ជាមួយនៅឯណា (b-a)f(c)នឹងពិតជាស្មើនឹង . ដើម្បីទទួលបានតម្លៃដែលត្រឹមត្រូវជាងនេះ តំបន់នៃ trapezoid curvilinear ត្រូវបានបែងចែកទៅជា នចតុកោណកែងដែលកម្ពស់ស្មើគ្នា y 0 , y 1 , y 2 , …, y n −1និងគ្រឹះ។

ប្រសិនបើយើងសង្ខេបតំបន់នៃចតុកោណកែងដែលគ្របដណ្ដប់លើផ្ទៃនៃ curvilinear trapezoid ជាមួយនឹងគុណវិបត្តិ មុខងារគឺមិនថយចុះទេ បន្ទាប់មកជំនួសឱ្យរូបមន្ត រូបមន្តត្រូវបានប្រើ

ប្រសិនបើលើស

តម្លៃត្រូវបានរកឃើញពីសមភាព។ រូបមន្តទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្តចតុកោណនិងផ្តល់លទ្ធផលប្រហាក់ប្រហែល។ ជាមួយនឹងការកើនឡើង នលទ្ធផលកាន់តែត្រឹមត្រូវ។

ឧទាហរណ៍ ១ . គណនាពីរូបមន្តនៃចតុកោណកែង

យើងបែងចែកចន្លោះពេលនៃការរួមបញ្ចូលជា 5 ផ្នែក។ បន្ទាប់មក។ ដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ ឬតារាង យើងរកឃើញតម្លៃនៃអាំងតេក្រាល (ជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវនៃខ្ទង់ទសភាគ 4)៖

យោងតាមរូបមន្តនៃចតុកោណកែង (មានគុណវិបត្តិ)

ម្យ៉ាងវិញទៀត យោងតាមរូបមន្ត Newton-Leibniz

ចូរយើងស្វែងរកកំហុសក្នុងការគណនាដែលទាក់ទងដោយប្រើរូបមន្តនៃចតុកោណកែង៖

ការគណនាអាំងតេក្រាលដោយរូបមន្ត trapezoid ។ ការប៉ាន់ស្មានកំហុស៖

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃវិធីសាស្រ្តខាងក្រោមសម្រាប់ការគណនាប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលគឺថាការស្វែងរកផ្ទៃនៃ trapezoid "rectilinear" ទំហំប្រហាក់ប្រហែល។

អនុញ្ញាតឱ្យវាចាំបាច់ដើម្បីគណនាតំបន់ A 1 AmBB ១ curvilinear trapezoid បង្ហាញដោយរូបមន្ត។

ចូរជំនួសធ្នូ អេមប៊ីអង្កត់ធ្នូ ABនិងជំនួសឱ្យតំបន់នៃ curvilinear trapezoid មួយ។ A 1 AmBB ១គណនាផ្ទៃនៃ trapezoid នេះ។ A 1 ABB ១: កន្លែងណា អេអេ ១និង ប៊ីប៊ី 1 - មូលដ្ឋាននៃ trapezoid និង ក ១ វ 1 គឺជាកម្ពស់របស់វា។

បញ្ជាក់ f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B ។កម្ពស់ trapezoid A 1 B 1 \u003d b-a,ការ៉េ . អាស្រ័យហេតុនេះ ឬ

នេះហៅថា រូបមន្ត trapezoid តូច.

ដើម្បីបង្កើតរូបមន្ត Simpson ដំបូងយើងពិចារណាបញ្ហាដូចខាងក្រោម: គណនាផ្ទៃ S នៃរាងពងក្រពើដែលចងពីខាងលើដោយក្រាហ្វនៃប៉ារ៉ាបូឡា y \u003d Ax 2 + Bx + C ពីខាងឆ្វេងដោយបន្ទាត់ត្រង់ x \u003d - h, ពីខាងស្តាំដោយបន្ទាត់ត្រង់ x \u003d h និងពីខាងក្រោមដោយផ្នែក [-h; h]។ អនុញ្ញាតឱ្យប៉ារ៉ាបូឡាឆ្លងកាត់បីចំណុច (រូបភាពទី 8): D (-h; y 0) E (0; y 1) និង F (h; y 2) និង x 2 − x 1 = x 1 − x 0 = ម៉ោង អាស្រ័យហេតុនេះ

x 1 \u003d x 0 + h \u003d 0; x 2 = x 0 + 2h ។

បន្ទាប់មកផ្ទៃ S គឺស្មើនឹងអាំងតេក្រាល៖

យើងបង្ហាញតំបន់នេះក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ h, y 0, y 1 និង y 2 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងគណនាមេគុណនៃប៉ារ៉ាបូឡា A, B, C. ពីលក្ខខណ្ឌដែលប៉ារ៉ាបូឡាឆ្លងកាត់ចំណុច D, E និង F យើងមាន:

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ យើងទទួលបាន៖ C = y 1 ; ក =

ការជំនួសតម្លៃទាំងនេះ A និង C ទៅជា (3) យើងទទួលបានផ្ទៃដែលចង់បាន

ឥឡូវនេះ ចូរយើងងាកទៅរកប្រភពនៃរូបមន្តរបស់ Simpson សម្រាប់ការគណនាអាំងតេក្រាល។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបែងចែកផ្នែកសមាហរណកម្មទៅជា 2n ផ្នែកស្មើគ្នានៃប្រវែង

នៅចំនុចបែងចែក (រូបភាពទី 4) a \u003d x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n \u003d ខ,

យើងគណនាតម្លៃនៃអាំងតេក្រាល f: y 0 , y 1 , y 2 , ... ,y 2n-2 , y 2n-1 , y 2n , de y i = f(x i), x i = a + ih (i = 0, 1, 2, ...,2n) ។

នៅលើផ្នែក យើងជំនួសអាំងតេក្រាលដោយប៉ារ៉ាបូឡាឆ្លងកាត់ចំនុច (x 0; y 0), (x 1; y 1) និង (x 2; y 2) ហើយដើម្បីគណនាតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលពី x 0 ដល់ x 2 យើងប្រើរូបមន្ត (4) ។ បន្ទាប់មក (តំបន់ដែលមានម្លប់នៅក្នុងរូបភាពទី 4)៖

ដូចគ្នានេះដែរយើងរកឃើញ:

................................................

ការបន្ថែមសមភាពលទ្ធផលយើងមាន៖

រូបមន្ត (៥) ត្រូវបានគេហៅថា រូបមន្ត Simpson ទូទៅឬ រូបមន្តប៉ារ៉ាបូឡាចាប់តាំងពីពេលដែលទាញយកវាមក ក្រាហ្វនៃអាំងតេក្រាលនៅលើផ្នែកមួយផ្នែកនៃប្រវែង 2h ត្រូវបានជំនួសដោយធ្នូប៉ារ៉ាបូឡា។

ការចាត់តាំងការងារ៖

1. ដូចដែលបានណែនាំដោយគ្រូឬស្របតាមជម្រើសមួយពី តុ 4 កិច្ចការ (សូមមើលឧបសម្ព័ន្ធ) ដើម្បីទទួលយកលក្ខខណ្ឌ - អាំងតេក្រាល ដែនកំណត់នៃការធ្វើសមាហរណកម្ម។

2. គូរតារាងលំហូរនៃកម្មវិធី និងកម្មវិធីដែលគួរ៖

ស្នើសុំភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ដែនកំណត់ខាងក្រោម និងខាងលើនៃការរួមបញ្ចូល;

គណនាអាំងតេក្រាលដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយវិធីសាស្រ្ត៖ សម្រាប់ជម្រើស 1,4,7, 10… - ត្រឹមត្រូវ, សម្រាប់ជម្រើស 2,5,8,… - មធ្យម; សម្រាប់ជម្រើស 2,5,8,… - ចតុកោណកែងខាងឆ្វេង។ បញ្ចេញចំនួនភាគថាសនៃជួររួមបញ្ចូលដែលភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនាដែលបានបញ្ជាក់ត្រូវបានសម្រេច។

គណនាអាំងតេក្រាលដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ trapezoid (សម្រាប់ជម្រើសគូ) និងវិធីសាស្ត្ររបស់ Simpson (សម្រាប់ជម្រើសសេស) ។

បញ្ចេញចំនួនភាគថាសនៃជួររួមបញ្ចូលដែលភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនាដែលបានបញ្ជាក់ត្រូវបានសម្រេច។

បញ្ចេញតម្លៃនៃអនុគមន៍វត្ថុបញ្ជាសម្រាប់តម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃអាគុយម៉ង់ ហើយប្រៀបធៀបជាមួយតម្លៃដែលបានគណនានៃអាំងតេក្រាល។ ទាញសេចក្តីសន្និដ្ឋាន។

សំណួរសាកល្បង

1. តើអ្វីជាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់?

2. ហេតុអ្វីបានជារួមជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តវិភាគ វិធីសាស្រ្តលេខសម្រាប់ការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ត្រូវបានប្រើ។

3. តើអ្វីជាខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តលេខសំខាន់ៗសម្រាប់ការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

4. ឥទ្ធិពលនៃចំនួនភាគថាសលើភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ដោយវិធីសាស្រ្តលេខ។

5. តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាអាំងតេក្រាលដោយវិធីសាស្រ្តណាមួយជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលបានផ្តល់ឱ្យ?