§មួយ។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

ប្រព័ន្ធមើល

ហៅថាប្រព័ន្ធ មសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ នមិនស្គាល់។

នៅទីនេះ
- មិនស្គាល់, - មេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់,
- សមាជិកឥតគិតថ្លៃនៃសមីការ។

ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃទាំងអស់នៃសមីការគឺស្មើនឹងសូន្យនោះប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថា ដូចគ្នា.ការសម្រេចចិត្តប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថាសំណុំនៃលេខ
នៅពេលជំនួសពួកវាទៅក្នុងប្រព័ន្ធជំនួសឱ្យមិនស្គាល់ សមីការទាំងអស់ប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណ។ ប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថា រួមប្រសិនបើវាយ៉ាងហោចណាស់មានដំណោះស្រាយមួយ។ ប្រព័ន្ធរួមជាមួយនឹងដំណោះស្រាយតែមួយគត់ត្រូវបានគេហៅថា ជាក់លាក់. ប្រព័ន្ធទាំងពីរត្រូវបានគេហៅថា សមមូលប្រសិនបើសំណុំនៃដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេគឺដូចគ្នា។

ប្រព័ន្ធ (1) អាចត្រូវបានតំណាងជាទម្រង់ម៉ាទ្រីសដោយប្រើសមីការ

(2)

.

§២. ភាពឆបគ្នានៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

យើងហៅម៉ាទ្រីសពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ (1) ម៉ាទ្រីស

Kroneker - ទ្រឹស្តីបទ Capelli. ប្រព័ន្ធ (1) គឺស្របប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធគឺស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក៖

.

§៣. ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធន សមីការលីនេអ៊ែរជាមួយន មិនស្គាល់។

ពិចារណាប្រព័ន្ធមិនស្មើគ្នា នសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ នមិនស្គាល់៖

(3)

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer.ប្រសិនបើកត្តាកំណត់សំខាន់នៃប្រព័ន្ធ (3)
បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

ទាំងនោះ។
,

កន្លែងណា - កត្តាកំណត់ដែលទទួលបានពីកត្តាកំណត់ ការជំនួស th column ទៅជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។

ប្រសិនបើ ក
និងយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោម ≠0 បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ។

ប្រសិនបើ ក
បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់។

ប្រព័ន្ធ (3) អាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើសញ្ញាម៉ាទ្រីសរបស់វា (2) ។ ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែស្មើ ន, i.e.
បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែមានបញ្ច្រាស
. ការគុណសមីការម៉ាទ្រីស
ទៅម៉ាទ្រីស
នៅខាងឆ្វេងយើងទទួលបាន៖

.

សមភាពចុងក្រោយបង្ហាញពីវិធីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។

ឧទាហរណ៍។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។

ការសម្រេចចិត្ត។ ម៉ាទ្រីស
មិន degenerate, ដោយសារតែ
ដូច្នេះមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ចូរយើងគណនាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖
.

,

លំហាត់ប្រាណ. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer ។

§ 4 ។ ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធបំពាននៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធមិនដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ (1) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងសន្មត់ថាប្រព័ន្ធគឺស្រប, i.e. លក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli ត្រូវបានបំពេញ៖
. ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស
(ចំពោះចំនួនមិនស្គាល់) បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ ប្រសិនបើ ក
បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់។ ចូរយើងពន្យល់។

សូមឱ្យចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស r(ក)= r< ន. ដរាបណា
បន្ទាប់មកមានអនីតិជនដែលមិនមែនជាសូន្យនៃលំដាប់ r. ចូរហៅវាថាអនីតិជនមូលដ្ឋាន។ មិនស្គាល់ដែលមេគុណបង្កើតជាអនីតិជនមូលដ្ឋានត្រូវបានគេហៅថា អថេរមូលដ្ឋាន។ មិនស្គាល់ដែលនៅសល់ត្រូវបានគេហៅថាអថេរឥតគិតថ្លៃ។ យើងរៀបចំសមីការឡើងវិញ ហើយប្តូរលេខអថេរ ដូច្នេះអនីតិជននេះមានទីតាំងនៅជ្រុងខាងឆ្វេងខាងលើនៃម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ៖

.

ទីមួយ rជួរគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ នៅសល់ត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈពួកវា។ ដូច្នេះបន្ទាត់ទាំងនេះ (សមីការ) អាចត្រូវបានលុបចោល។ យើង​ទទួល​បាន:

ចូរ​ផ្តល់​តម្លៃ​លេខ​តាម​អំពើ​ចិត្ត​ដល់​អថេរ​ឥតគិតថ្លៃ៖ . យើងទុកតែអថេរមូលដ្ឋាននៅផ្នែកខាងឆ្វេង ហើយផ្លាស់ទីអថេរឥតគិតថ្លៃទៅផ្នែកខាងស្តាំ។

បានទទួលប្រព័ន្ធមួយ។ rសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ rមិនស្គាល់ ដែលកត្តាកំណត់ខុសពី 0។ វាមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

ប្រព័ន្ធនេះត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ (1) ។ បើមិនដូច្នេះទេ៖ កន្សោមនៃអថេរមូលដ្ឋាននៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃឥតគិតថ្លៃត្រូវបានគេហៅថា ដំណោះស្រាយទូទៅប្រព័ន្ធ។ ពីវាអ្នកអាចទទួលបានលេខគ្មានកំណត់ ការសម្រេចចិត្តឯកជនផ្តល់ឱ្យអថេរដោយឥតគិតថ្លៃតម្លៃបំពាន។ ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយដែលទទួលបានពីទូទៅមួយនៅតម្លៃសូន្យនៃអថេរឥតគិតថ្លៃត្រូវបានគេហៅថា ដំណោះស្រាយមូលដ្ឋាន. ចំនួននៃដំណោះស្រាយមូលដ្ឋានផ្សេងៗគ្នាមិនលើសពីទេ។
. ដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋានដែលមានសមាសធាតុមិនអវិជ្ជមានត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចសំខាន់ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធ។

ឧទាហរណ៍.

,r=2.

អថេរ
- មូលដ្ឋាន,
- ឥតគិតថ្លៃ។

ចូរយើងបន្ថែមសមីការ; បង្ហាញ
តាមរយៈ
:

- ការសម្រេចចិត្តទូទៅ។

- ដំណោះស្រាយឯកជន
.

- ដំណោះស្រាយមូលដ្ឋាន, មូលដ្ឋាន។

§ ៥. វិធីសាស្រ្ត Gauss ។

វិធីសាស្ត្រ Gauss គឺជាវិធីសាស្រ្តសកលសម្រាប់សិក្សា និងដោះស្រាយប្រព័ន្ធបំពាននៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ វាមាននៅក្នុងការនាំយកប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់អង្កត់ទ្រូង (ឬត្រីកោណ) ដោយការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់ដោយប្រើការបំប្លែងបឋមដែលមិនបំពានលើសមមូលនៃប្រព័ន្ធ។ អថេរ​មួយ​ត្រូវ​បាន​ចាត់​ទុក​ថា​មិន​បាន​រាប់​បញ្ចូល​ប្រសិន​បើ​វា​មាន​នៅ​ក្នុង​សមីការ​តែ​មួយ​របស់​ប្រព័ន្ធ​ដែល​មាន​មេគុណ 1 ។

ការផ្លាស់ប្តូរបឋមប្រព័ន្ធគឺ៖

គុណសមីការដោយលេខមិនសូន្យ;

ការបន្ថែមសមីការគុណនឹងចំនួនណាមួយជាមួយនឹងសមីការមួយផ្សេងទៀត;

ការរៀបចំឡើងវិញនៃសមីការ;

ទម្លាក់សមីការ 0 = 0 ។

ការបំប្លែងបឋមអាចត្រូវបានអនុវត្តមិនមែនលើសមីការទេ ប៉ុន្តែនៅលើម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធសមមូលលទ្ធផល។

ឧទាហរណ៍.

ការសម្រេចចិត្ត។យើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ៖

.

អនុវត្តការបំប្លែងបឋម យើងនាំយកផ្នែកខាងឆ្វេងនៃម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ឯកតា៖ យើងនឹងបង្កើតឯកតានៅលើអង្កត់ទ្រូងមេ ហើយសូន្យនៅខាងក្រៅវា។

មតិយោបល់. ប្រសិនបើនៅពេលអនុវត្តការបំប្លែងបឋម សមីការនៃទម្រង់ 0 = គ(កន្លែងណា ទៅ0), បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់អាចត្រូវបានធ្វើជាផ្លូវការក្នុងទម្រង់ តុ.

ជួរឈរខាងឆ្វេងនៃតារាងមានព័ត៌មានអំពីអថេរដែលបានដកចេញ (មូលដ្ឋាន) ។ ជួរឈរដែលនៅសល់មានមេគុណនៃចំនួនមិនស្គាល់ និងលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃនៃសមីការ។

ម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានសរសេរទៅក្នុងតារាងប្រភព។ បន្ទាប់មកបន្តទៅការអនុវត្តការបំប្លែង Jordan៖

1. ជ្រើសរើសអថេរ ដែលនឹងក្លាយជាមូលដ្ឋាន។ ជួរឈរដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានគេហៅថាជួរឈរគន្លឹះ។ ជ្រើសរើសសមីការដែលអថេរនេះនឹងនៅតែត្រូវបានដកចេញពីសមីការផ្សេងទៀត។ ជួរតារាងដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានគេហៅថា ជួរគន្លឹះ។ មេគុណ ការឈរនៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរដេកគន្លឹះ និងជួរឈរគន្លឹះត្រូវបានគេហៅថា គ្រាប់ចុច។

2. ធាតុនៃខ្សែអក្សរគន្លឹះត្រូវបានបែងចែកដោយធាតុគន្លឹះ។

3. ជួរឈរគន្លឹះត្រូវបានបំពេញដោយលេខសូន្យ។

4. ធាតុដែលនៅសល់ត្រូវបានគណនាដោយយោងទៅតាមច្បាប់ចតុកោណ។ ពួកវាបង្កើតជាចតុកោណកែង ត្រង់ចំនុចទល់មុខ ដែលជាធាតុសំខាន់ និងធាតុដែលត្រូវគណនាឡើងវិញ។ ពីផលិតផលនៃធាតុនៅលើអង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណជាមួយនឹងធាតុសំខាន់ផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងផ្សេងទៀតត្រូវបានដកភាពខុសគ្នាលទ្ធផលត្រូវបានបែងចែកដោយធាតុសំខាន់។

ឧទាហរណ៍. ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ និងដំណោះស្រាយមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធសមីការ៖

ការសម្រេចចិត្ត។

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធ៖

ដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋាន៖
.

ការបំប្លែងការជំនួសម្តងអនុញ្ញាតឱ្យមួយទៅពីមូលដ្ឋានមួយនៃប្រព័ន្ធទៅមួយផ្សេងទៀត: ជំនួសឱ្យអថេរចម្បងមួយ អថេរឥតគិតថ្លៃមួយត្រូវបានណែនាំទៅក្នុងមូលដ្ឋាន។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន ធាតុសំខាន់មួយត្រូវបានជ្រើសរើសនៅក្នុងជួរឈរអថេរឥតគិតថ្លៃ ហើយការបំប្លែងត្រូវបានអនុវត្តតាមក្បួនដោះស្រាយខាងលើ។

§៦. ស្វែងរកដំណោះស្រាយគាំទ្រ

ដំណោះស្រាយយោងនៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ គឺជាដំណោះស្រាយមូលដ្ឋានដែលមិនមានសមាសធាតុអវិជ្ជមាន។

ដំណោះស្រាយគាំទ្រនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ក្រោមលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម។

1. នៅក្នុងប្រព័ន្ធដើម លក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃទាំងអស់ត្រូវតែមិនអវិជ្ជមាន៖
.

2. ធាតុសំខាន់ត្រូវបានជ្រើសរើសក្នុងចំណោមមេគុណវិជ្ជមាន។

3. ប្រសិនបើអថេរដែលបានណែនាំទៅក្នុងមូលដ្ឋានមានមេគុណវិជ្ជមានជាច្រើន នោះខ្សែអក្សរគន្លឹះគឺជាផ្នែកមួយដែលសមាមាត្រនៃពាក្យឥតគិតថ្លៃទៅនឹងមេគុណវិជ្ជមានគឺតូចបំផុត។

ចំណាំ ១. ប្រសិនបើនៅក្នុងដំណើរការនៃការលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ សមីការមួយលេចឡើងដែលមេគុណទាំងអស់មិនវិជ្ជមាន ហើយពាក្យសេរី
បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយដែលមិនអវិជ្ជមានទេ។

ចំណាំ ២. ប្រសិនបើមិនមានធាតុវិជ្ជមានតែមួយនៅក្នុងជួរឈរនៃមេគុណសម្រាប់អថេរឥតគិតថ្លៃនោះ ការផ្លាស់ប្តូរទៅដំណោះស្រាយយោងមួយផ្សេងទៀតគឺមិនអាចទៅរួចទេ។

ឧទាហរណ៍។

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ (SLAE) គឺពិតជាប្រធានបទសំខាន់បំផុតនៃវគ្គពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ បញ្ហាមួយចំនួនធំពីគ្រប់សាខានៃគណិតវិទ្យាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ កត្តាទាំងនេះពន្យល់ពីមូលហេតុនៃការបង្កើតអត្ថបទនេះ។ សម្ភារៈនៃអត្ថបទត្រូវបានជ្រើសរើស និងរៀបចំរចនាសម្ព័ន្ធ ដូច្នេះដោយមានជំនួយរបស់វាអ្នកអាចធ្វើបាន

• ជ្រើសរើសវិធីសាស្ត្រល្អបំផុតសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែររបស់អ្នក
• សិក្សាទ្រឹស្តីនៃវិធីសាស្រ្តដែលបានជ្រើសរើស,
• ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែររបស់អ្នក ដោយបានពិចារណាលម្អិតអំពីដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ និងបញ្ហាធម្មតា។

ការពិពណ៌នាសង្ខេបនៃសម្ភារៈនៃអត្ថបទ។

ជាដំបូង យើងផ្តល់និយមន័យ គោលគំនិតចាំបាច់ទាំងអស់ និងណែនាំសញ្ញាណមួយចំនួន។

បន្ទាប់មក យើងពិចារណាវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដែលចំនួនសមីការគឺស្មើនឹងចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់ និងមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ ដំបូងយើងផ្តោតលើវិធីសាស្រ្ត Cramer ទីពីរយើងនឹងបង្ហាញវិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីសសម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការបែបនេះហើយទីបីយើងនឹងវិភាគវិធីសាស្ត្រ Gauss (វិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់អថេរដែលមិនស្គាល់ជាបន្តបន្ទាប់) ។ ដើម្បីបង្រួបបង្រួមទ្រឹស្តី យើងពិតជានឹងដោះស្រាយ SLAEs ជាច្រើនតាមវិធីផ្សេងៗ។

បន្ទាប់ពីនោះមក យើងងាកទៅរកការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ទូទៅ ដែលចំនួនសមីការមិនស្របគ្នាជាមួយនឹងចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់ ឬម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធគឺ degenerate ។ យើងបង្កើតទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli ដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតភាពឆបគ្នានៃ SLAEs ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងវិភាគដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ (ក្នុងករណីនៃភាពឆបគ្នារបស់ពួកគេ) ដោយប្រើគំនិតនៃមូលដ្ឋានអនីតិជននៃម៉ាទ្រីសមួយ។ យើងក៏នឹងពិចារណាវិធីសាស្ត្រ Gauss ហើយពិពណ៌នាលម្អិតអំពីដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍។

ត្រូវប្រាកដថារស់នៅលើរចនាសម្ព័ន្ធនៃដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធដូចគ្នានិង inhomogeneous នៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ ចូរយើងផ្តល់គំនិតនៃប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ និងបង្ហាញពីរបៀបដែលដំណោះស្រាយទូទៅនៃ SLAE ត្រូវបានសរសេរដោយប្រើវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ។ ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់ សូមមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

សរុបមក យើងពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាលីនេអ៊ែរ ក៏ដូចជាបញ្ហាផ្សេងៗនៅក្នុងដំណោះស្រាយដែល SLAEs កើតឡើង។

ការរុករកទំព័រ។

និយមន័យ គំនិត និយមន័យ។

យើងនឹងពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរជាមួយ n អថេរមិនស្គាល់ (p អាចស្មើនឹង n) នៃទម្រង់

អថេរមិនស្គាល់ - មេគុណ (ចំនួនពិត ឬចំនួនកុំផ្លិច) - សមាជិកឥតគិតថ្លៃ (ក៏ពិត ឬលេខស្មុគស្មាញ)។

ទម្រង់នៃ SLAE នេះត្រូវបានគេហៅថា សំរបសំរួល.

អេ ទម្រង់ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធសមីការនេះមានទម្រង់
កន្លែងណា - ម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ - ម៉ាទ្រីស - ជួរឈរនៃអថេរដែលមិនស្គាល់ - ម៉ាទ្រីស - ជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។

ប្រសិនបើយើងបន្ថែមទៅម៉ាទ្រីស A ជាជួរឈរ (n + 1)-th ជួរម៉ាទ្រីសនៃលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ នោះយើងទទួលបានអ្វីដែលគេហៅថា ម៉ាទ្រីសពង្រីកប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ជាធម្មតា ម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមត្រូវបានសម្គាល់ដោយអក្សរ T ហើយជួរឈរនៃសមាជិកទំនេរត្រូវបានបំបែកដោយបន្ទាត់បញ្ឈរពីជួរដែលនៅសល់ ពោលគឺ។

ដោយការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរហៅថាសំណុំនៃតម្លៃនៃអថេរមិនស្គាល់ ដែលប្រែសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធទៅជាអត្តសញ្ញាណ។ សមីការម៉ាទ្រីសសម្រាប់តម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃអថេរមិនស្គាល់ក៏ប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណមួយ។

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃសមីការមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ នោះគេហៅថា រួម.

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃសមីការមិនមានដំណោះស្រាយទេនោះវាត្រូវបានគេហៅថា មិនឆបគ្នា។.

ប្រសិនបើ SLAE មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ នោះគេហៅថា ជាក់លាក់; ប្រសិនបើមានដំណោះស្រាយច្រើនជាងមួយ នោះ មិនប្រាកដប្រជា.

ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃនៃសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធគឺស្មើនឹងសូន្យ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថា ដូចគ្នាបើមិនដូច្នេះទេ - ខុសគ្នា.

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធបឋមនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។

ប្រសិនបើចំនួនសមីការប្រព័ន្ធស្មើនឹងចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់ ហើយកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសចម្បងរបស់វាគឺមិនស្មើនឹងសូន្យ នោះយើងនឹងហៅ SLAEs បែបនេះ។ បឋមសិក្សា. ប្រព័ន្ធនៃសមីការបែបនេះមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ ហើយក្នុងករណីប្រព័ន្ធដូចគ្នា អថេរដែលមិនស្គាល់ទាំងអស់គឺស្មើនឹងសូន្យ។

យើងបានចាប់ផ្តើមសិក្សា SLAE បែបនេះនៅវិទ្យាល័យ។ នៅពេលដោះស្រាយពួកវា យើងបានយកសមីការមួយ បង្ហាញអថេរមិនស្គាល់មួយក្នុងលក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀត ហើយជំនួសវាទៅក្នុងសមីការដែលនៅសល់ បន្ទាប់មកយកសមីការបន្ទាប់ បង្ហាញអថេរមិនស្គាល់បន្ទាប់ ហើយជំនួសវាទៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ឬពួកគេបានប្រើវិធីសាស្ត្របន្ថែម ពោលគឺពួកគេបានបន្ថែមសមីការពីរ ឬច្រើន ដើម្បីលុបបំបាត់អថេរដែលមិនស្គាល់មួយចំនួន។ យើងនឹងមិនរស់នៅលើវិធីសាស្រ្តទាំងនេះដោយលំអិតទេព្រោះវាគឺជាការកែប្រែសំខាន់នៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

វិធីសាស្រ្តសំខាន់ៗសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធបឋមនៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺវិធីសាស្ត្រ Cramer វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស និងវិធីសាស្ត្រ Gauss ។ ចូរតម្រៀបពួកវាចេញ។

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ

ដែលក្នុងនោះចំនួនសមីការគឺស្មើនឹងចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់ ហើយកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធគឺខុសពីសូន្យ ពោលគឺ

ទុកជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ និង គឺជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដែលទទួលបានពី A ដោយជំនួស ទី 1, ទី 2, ..., ទីជួរ​ឈរ​រៀង​ទៅ​ជួរ​ឈរ​នៃ​សមាជិក​ដោយ​ឥត​គិត​ថ្លៃ​:

ជាមួយនឹងការកត់សម្គាល់បែបនេះ អថេរដែលមិនស្គាល់ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្តនៃវិធីសាស្ត្រ Cramer ជា . នេះជារបៀបដែលដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer ។

ឧទាហរណ៍។

វិធីសាស្រ្ត Cramer .

ការសម្រេចចិត្ត។

ម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធមានទម្រង់ . គណនាកត្តាកំណត់របស់វា (បើចាំបាច់ សូមមើលអត្ថបទ)៖

ដោយសារកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធគឺខុសពីសូន្យ ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer ។

ចងក្រង និងគណនាកត្តាកំណត់ចាំបាច់ (កត្តាកំណត់ត្រូវបានទទួលដោយការជំនួសជួរឈរទីមួយក្នុងម៉ាទ្រីស A ជាមួយនឹងជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ កត្តាកំណត់ - ដោយជំនួសជួរឈរទីពីរជាមួយនឹងជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ - ដោយជំនួសជួរឈរទីបីនៃម៉ាទ្រីស A ជាមួយនឹងជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។ ):

ស្វែងរកអថេរដែលមិនស្គាល់ដោយប្រើរូបមន្ត :

ចម្លើយ៖

គុណវិបត្តិចម្បងនៃវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer (ប្រសិនបើវាអាចត្រូវបានគេហៅថាគុណវិបត្តិ) គឺភាពស្មុគស្មាញនៃការគណនាកត្តាកំណត់នៅពេលដែលចំនួនសមីការប្រព័ន្ធមានច្រើនជាងបី។

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស (ដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស)។

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរត្រូវបានផ្តល់ជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស ដែលម៉ាទ្រីស A មានវិមាត្រ n ដោយ n ហើយកត្តាកំណត់របស់វាគឺមិនសូន្យ។

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក ម៉ាទ្រីស A គឺដាក់បញ្ច្រាស ពោលគឺមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ប្រសិនបើយើងគុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពដោយខាងឆ្វេង នោះយើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកម៉ាទ្រីសជួរឈរនៃអថេរដែលមិនស្គាល់។ ដូច្នេះយើងទទួលបានដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីស។

ការសម្រេចចិត្ត។

ចូរយើងសរសេរប្រព័ន្ធសមីការក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីសឡើងវិញ៖

ជា

បន្ទាប់មក SLAE អាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស។ ដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនេះអាចត្រូវបានរកឃើញដូច .

ចូរ​បង្កើត​ម៉ាទ្រីស​បញ្ច្រាស​ដោយ​ប្រើ​ម៉ាទ្រីស​នៃ​ការ​បន្ថែម​ពិជគណិត​នៃ​ធាតុ​នៃ​ម៉ាទ្រីស A (បើ​ចាំបាច់​មើល​អត្ថបទ)៖

វានៅសល់ដើម្បីគណនា - ម៉ាទ្រីសនៃអថេរមិនស្គាល់ដោយគុណម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស នៅលើម៉ាទ្រីស-ជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ (បើចាំបាច់ សូមមើលអត្ថបទ)៖

ចម្លើយ៖

ឬក្នុងសញ្ញាណមួយផ្សេងទៀត x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = −1 ។

បញ្ហាចម្បងក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសគឺភាពស្មុគស្មាញនៃការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស ជាពិសេសសម្រាប់ម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាងទីបី។

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ឧបមាថាយើងត្រូវស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ n អថេរដែលមិនស្គាល់
កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់ដែលខុសពីសូន្យ។

ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រ Gaussមាននៅក្នុងការរាប់បញ្ចូលជាបន្តបន្ទាប់នៃអថេរដែលមិនស្គាល់៖ ទីមួយ x 1 ត្រូវបានដកចេញពីសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ ចាប់ផ្តើមពីទីពីរ បន្ទាប់មក x 2 ត្រូវបានដកចេញពីសមីការទាំងអស់ ចាប់ផ្តើមពីទីបី ហើយបន្តរហូតដល់មានតែអថេរមិនស្គាល់ x n នៅសល់ក្នុងសមីការចុងក្រោយ។ ដំណើរការបំប្លែងសមីការនៃប្រព័ន្ធសម្រាប់ការលុបបំបាត់អថេរដែលមិនស្គាល់ជាបន្តបន្ទាប់ត្រូវបានគេហៅថា វិធីសាស្រ្ត Gauss ផ្ទាល់. បន្ទាប់ពីការដំណើរការទៅមុខនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ត្រូវបានបញ្ចប់ x n ត្រូវបានរកឃើញពីសមីការចុងក្រោយ x n-1 ត្រូវបានគណនាពីសមីការ penultimate ដោយប្រើតម្លៃនេះ ហើយដូច្នេះនៅលើ x 1 ត្រូវបានរកឃើញពីសមីការទីមួយ។ ដំណើរការនៃការគណនាអថេរមិនស្គាល់នៅពេលផ្លាស់ទីពីសមីការចុងក្រោយនៃប្រព័ន្ធទៅទីមួយត្រូវបានគេហៅថា វិធីសាស្ត្រ Gauss បញ្ច្រាស.

ចូរយើងពិពណ៌នាដោយសង្ខេបអំពីក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការលុបបំបាត់អថេរដែលមិនស្គាល់។

យើងនឹងសន្មត់ថា ដោយសារយើងតែងតែអាចសម្រេចបានវាដោយការរៀបចំសមីការនៃប្រព័ន្ធឡើងវិញ។ យើងដកអថេរដែលមិនស្គាល់ x 1 ចេញពីសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ ដោយចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមសមីការទីមួយគុណនឹងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ បន្ថែមសមីការទី 1 គុណនឹងសមីការទី 3 ហើយបន្តបន្ទាប់ទៀត បន្ថែមសមីការទី 1 គុណនឹងសមីការទី 1 ។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការបន្ទាប់ពីការបំលែងបែបនេះនឹងមានទម្រង់

កន្លែងណា ក .

យើងនឹងទទួលបានលទ្ធផលដូចគ្នា ប្រសិនបើយើងបង្ហាញ x 1 ក្នុងន័យនៃអថេរដែលមិនស្គាល់ផ្សេងទៀតនៅក្នុងសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធ ហើយជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀតទាំងអស់។ ដូច្នេះ អថេរ x 1 ត្រូវបានដកចេញពីសមីការទាំងអស់ ដោយចាប់ផ្តើមពីទីពីរ។

បន្ទាប់យើងធ្វើសកម្មភាពស្រដៀងគ្នាប៉ុន្តែមានតែផ្នែកនៃប្រព័ន្ធលទ្ធផលប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានសម្គាល់នៅក្នុងរូបភាព

ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមសមីការទីពីរគុណនឹងទៅសមីការទីបីនៃប្រព័ន្ធ បន្ថែមទីពីរគុណនឹងសមីការទីបួន ហើយបន្តបន្ទាប់ទៀត បន្ថែមទីពីរគុណនឹងសមីការ n ។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការបន្ទាប់ពីការបំលែងបែបនេះនឹងមានទម្រង់

កន្លែងណា ក . ដូច្នេះ អថេរ x 2 ត្រូវបានដកចេញពីសមីការទាំងអស់ ដោយចាប់ផ្តើមពីទីបី។

បន្ទាប់មក យើងបន្តទៅការលុបបំបាត់ x 3 ដែលមិនស្គាល់ ខណៈពេលដែលធ្វើសកម្មភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយផ្នែកនៃប្រព័ន្ធដែលបានសម្គាល់ក្នុងរូប។

ដូច្នេះយើងបន្តវគ្គសិក្សាដោយផ្ទាល់នៃវិធីសាស្ត្រ Gauss រហូតដល់ប្រព័ន្ធទទួលបានទម្រង់

ចាប់ពីពេលនេះតទៅ យើងចាប់ផ្តើមដំណើរបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss៖ យើងគណនា x n ពីសមីការចុងក្រោយ ដោយប្រើតម្លៃដែលទទួលបាននៃ x n យើងរកឃើញ x n-1 ពីសមីការ penultimate ហើយបន្តបន្ទាប់ទៀត យើងរកឃើញ x 1 ពី សមីការទីមួយ។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ វិធីសាស្រ្ត Gaussian ។

ការសម្រេចចិត្ត។

ចូរដកអថេរដែលមិនស្គាល់ x 1 ចេញពីសមីការទីពីរ និងទីបីនៃប្រព័ន្ធ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះទៅផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការទីពីរ និងទីបី យើងបន្ថែមផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃសមីការទីមួយ គុណនឹង និងដោយ រៀងគ្នា៖

ឥឡូវនេះ យើងដក x 2 ចេញពីសមីការទីបី ដោយបន្ថែមទៅផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំរបស់វា ផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីពីរ គុណនឹង៖

នៅលើនេះ, វគ្គសិក្សាទៅមុខនៃវិធីសាស្រ្ត Gauss ត្រូវបានបញ្ចប់, យើងចាប់ផ្តើមវគ្គសិក្សាបញ្ច្រាស។

ពីសមីការចុងក្រោយនៃប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃសមីការ យើងរកឃើញ x 3៖

ពីសមីការទីពីរយើងទទួលបាន។

ពីសមីការទីមួយ យើងរកឃើញអថេរដែលមិនស្គាល់ដែលនៅសល់ ហើយនេះបញ្ចប់វគ្គបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ចម្លើយ៖

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1 ។

ប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ទូទៅ។

ក្នុងករណីទូទៅ ចំនួនសមីការនៃប្រព័ន្ធ p មិនស្របគ្នានឹងចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់ n:

SLAEs បែបនេះអាចគ្មានដំណោះស្រាយ មានដំណោះស្រាយតែមួយ ឬមានដំណោះស្រាយច្រើនមិនចេះចប់។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះក៏អនុវត្តផងដែរចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលម៉ាទ្រីសចម្បងគឺការ៉េ និង degenerate ។

ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli ។

មុននឹងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ ចាំបាច់ត្រូវបង្កើតភាពឆបគ្នារបស់វា។ ចម្លើយទៅនឹងសំណួរនៅពេលដែល SLAE ត្រូវគ្នា ហើយនៅពេលដែលវាមិនឆបគ្នានឹងផ្តល់ឱ្យ ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli:
សម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការ p ជាមួយ n មិនស្គាល់ (p អាចស្មើនឹង n ) ដើម្បីឱ្យមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលថាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធគឺស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក នោះគឺ ចំណាត់ថ្នាក់( ក)=ចំណាត់ថ្នាក់(T)។

ចូរយើងពិចារណាពីការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Cappelli សម្រាប់កំណត់ភាពឆបគ្នានៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍។

រកមើលថាតើប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមាន ដំណោះស្រាយ។

ការសម្រេចចិត្ត។

. ចូរយើងប្រើវិធីសាស្រ្តនៃព្រំដែនអនីតិជន។ អនីតិជននៃលំដាប់ទីពីរ ខុសពីសូន្យ។ តោះទៅមើលអនីតិជនលំដាប់ទីបីជុំវិញវា៖

ដោយសារអនីតិជនលំដាប់ទីបីដែលមានព្រំប្រទល់ទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសចម្បងគឺពីរ។

នៅក្នុងវេន ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែម គឺស្មើនឹងបី ចាប់តាំងពីអនីតិជននៃលំដាប់ទីបី

ខុសពីសូន្យ។

ដូច្នេះ Rang(A) ដូច្នេះយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli យើងអាចសន្និដ្ឋានថាប្រព័ន្ធដើមនៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។

ចម្លើយ៖

មិនមានប្រព័ន្ធដំណោះស្រាយទេ។

ដូច្នេះ យើងបានរៀនបង្កើតភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៃប្រព័ន្ធដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli។

ប៉ុន្តែតើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយនៃ SLAE ប្រសិនបើភាពឆបគ្នារបស់វាត្រូវបានបង្កើតឡើង?

ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន យើងត្រូវការគោលគំនិតនៃមូលដ្ឋានអនីតិជននៃម៉ាទ្រីសមួយ និងទ្រឹស្តីបទលើចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសមួយ។

អនីតិជនលំដាប់ខ្ពស់បំផុតនៃម៉ាទ្រីស A ដែលក្រៅពីសូន្យត្រូវបានគេហៅថា មូលដ្ឋាន.

វាធ្វើតាមនិយមន័យនៃអនីតិជនមូលដ្ឋានដែលលំដាប់របស់វាស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស។ សម្រាប់ម៉ាទ្រីស A ដែលមិនមែនជាសូន្យ អាចមានអនីតិជនជាមូលដ្ឋានជាច្រើន វាតែងតែមានអនីតិជនជាមូលដ្ឋានមួយ។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាម៉ាទ្រីស .

អនីតិជនលំដាប់ទីបីទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ ចាប់តាំងពីធាតុនៃជួរទីបីនៃម៉ាទ្រីសនេះគឺជាផលបូកនៃធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីមួយ និងទីពីរ។

អនីតិជនខាងក្រោមនៃលំដាប់ទីពីរគឺជាមូលដ្ឋាន ព្រោះវាមិនមែនជាសូន្យ

អនីតិជន មិនមែនជាមូលដ្ឋានទេ ព្រោះវាស្មើនឹងសូន្យ។

ទ្រឹស្តីបទចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស។

ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ p ដោយ n គឺ r នោះធាតុទាំងអស់នៃជួរដេក (និងជួរឈរ) នៃម៉ាទ្រីសដែលមិនបង្កើតជាមូលដ្ឋានដែលបានជ្រើសរើសត្រូវបានបញ្ជាក់ជាលីនេអ៊ែរនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរដេក (និងជួរឈរ។ ) ដែលបង្កើតជាអនីតិជនមូលដ្ឋាន។

តើទ្រឹស្តីបទចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីសផ្តល់ឱ្យយើងអ្វីខ្លះ?

ប្រសិនបើតាមទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli យើងបានបង្កើតភាពឆបគ្នានៃប្រព័ន្ធ នោះយើងជ្រើសរើសអនីតិជនមូលដ្ឋានណាមួយនៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ (លំដាប់របស់វាគឺស្មើនឹង r) ហើយដកចេញពីប្រព័ន្ធសមីការទាំងអស់ដែលមិនមាន បង្កើតអនីតិជនមូលដ្ឋានដែលបានជ្រើសរើស។ SLAE ដែលទទួលបានតាមវិធីនេះនឹងស្មើនឹងសមីការដើម ដោយសារសមីការដែលបានបោះចោលនៅតែមិនមានដដែល (យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស វាគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃសមីការដែលនៅសល់)។

ជាលទ្ធផលបន្ទាប់ពីបោះបង់សមីការលើសនៃប្រព័ន្ធនេះ ករណីពីរអាចធ្វើទៅបាន។

ប្រសិនបើចំនួនសមីការ r នៅក្នុងប្រព័ន្ធលទ្ធផលគឺស្មើនឹងចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់នោះ វានឹងត្រូវបានកំណត់ ហើយដំណោះស្រាយតែមួយគត់អាចត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស ឬវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ឧទាហរណ៍។

.

ការសម្រេចចិត្ត។

ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ គឺស្មើនឹងពីរ ចាប់តាំងពីអនីតិជននៃលំដាប់ទីពីរ ខុសពីសូន្យ។ ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីសបន្ថែម ក៏ស្មើនឹងពីរដែរ ព្រោះអនីតិជនតែមួយគត់នៃលំដាប់ទីបីគឺស្មើសូន្យ

ហើយអនីតិជននៃលំដាប់ទីពីរដែលបានពិចារណាខាងលើគឺខុសពីសូន្យ។ ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli មនុស្សម្នាក់អាចអះអាងពីភាពឆបគ្នានៃប្រព័ន្ធដើមនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ចាប់តាំងពី Rank(A)=Rank(T)=2 ។

ក្នុងនាមជាអនីតិជនមូលដ្ឋានយើងយក . វាត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយមេគុណនៃសមីការទីមួយ និងទីពីរ៖


សមីការទីបីនៃប្រព័ន្ធមិនចូលរួមក្នុងការបង្កើតអនីតិជនមូលដ្ឋានទេ ដូច្នេះយើងដកវាចេញពីប្រព័ន្ធដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស៖


ដូច្នេះហើយ យើងបានទទួលប្រព័ន្ធបឋមនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ ចូរដោះស្រាយវាដោយវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer៖


ចម្លើយ៖

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d ២.

ប្រសិនបើចំនួនសមីការ r ក្នុង SLAE លទ្ធផលគឺតិចជាងចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់ n នោះយើងទុកពាក្យដែលបង្កើតជាអនីតិជនជាមូលដ្ឋាននៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ហើយផ្ទេរពាក្យដែលនៅសល់ទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ។ ប្រព័ន្ធដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ។

អថេរដែលមិនស្គាល់ (មាន r ក្នុងចំណោមពួកវា) ដែលនៅសេសសល់នៅខាងឆ្វេងដៃនៃសមីការត្រូវបានគេហៅថា មេ.

អថេរដែលមិនស្គាល់ (មាន n - r ក្នុងចំណោមពួកវា) ដែលបញ្ចប់នៅខាងស្តាំត្រូវបានគេហៅថា ឥតគិតថ្លៃ.

ឥឡូវនេះយើងសន្មត់ថាអថេរមិនស្គាល់ឥតគិតថ្លៃអាចយកតម្លៃតាមអំពើចិត្ត ខណៈពេលដែលអថេរដែលមិនស្គាល់សំខាន់ r នឹងត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអថេរមិនស្គាល់ឥតគិតថ្លៃក្នុងវិធីតែមួយគត់។ ការបញ្ចេញមតិរបស់ពួកគេអាចត្រូវបានរកឃើញដោយការដោះស្រាយលទ្ធផល SLAE ដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស ឬវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

សូមលើកឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ .

ការសម្រេចចិត្ត។

ស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ ដោយវិធីសាស្រ្តអនីតិជនព្រំដែន។ ចូរយើងយក 1 1 = 1 ជាអនីតិជនលំដាប់ទីមួយដែលមិនមែនជាសូន្យ។ តោះចាប់ផ្តើមស្វែងរកអនីតិជនលំដាប់ទីពីរដែលមិនសូន្យជុំវិញអនីតិជននេះ៖


ដូច្នេះយើងបានរកឃើញអនីតិជនដែលមិនមែនជាសូន្យនៃលំដាប់ទីពីរ។ តោះចាប់ផ្តើមស្វែងរកអនីតិជនដែលមិនមានព្រំដែននៃលំដាប់ទីបី៖


ដូច្នេះចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់គឺបី។ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមក៏ស្មើនឹងបីដែរ ពោលគឺប្រព័ន្ធគឺស្រប។

អនីតិជន​ដែល​រក​ឃើញ​មិន​សូន្យ​នៃ​លំដាប់​ទី​បី​នឹង​ត្រូវ​បាន​យក​ជា​មូលដ្ឋាន។

ដើម្បីអោយកាន់តែច្បាស់ យើងបង្ហាញពីធាតុផ្សំដែលបង្កើតជាអនីតិជនមូលដ្ឋាន៖


យើងទុកលក្ខខណ្ឌដែលចូលរួមក្នុងអនីតិជនជាមូលដ្ឋាននៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធ ហើយផ្ទេរអ្វីដែលនៅសល់ដោយសញ្ញាផ្ទុយទៅផ្នែកខាងស្តាំ៖


យើងផ្តល់អថេរដែលមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃ x 2 និង x 5 តម្លៃបំពាន នោះគឺយើងយក ដែលជាកន្លែងដែលមានលេខបំពាន។ ក្នុងករណីនេះ SLAE យកទម្រង់


យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធបឋមដែលទទួលបាននៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer៖


ដូច្នេះ, ។

នៅក្នុងចម្លើយ កុំភ្លេចបង្ហាញអថេរមិនស្គាល់ឥតគិតថ្លៃ។

ចម្លើយ៖

តើលេខបំពាននៅឯណា។

សង្ខេប។

ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ទូទៅមួយ ដំបូងយើងស្វែងរកភាពឆបគ្នារបស់វាដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli ។ ប្រសិនបើ​ចំណាត់ថ្នាក់​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ចម្បង​មិន​ស្មើនឹង​ចំណាត់ថ្នាក់​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ដែល​បាន​ពង្រីក នោះ​យើង​សន្និដ្ឋាន​ថា​ប្រព័ន្ធ​នេះ​មិន​ស៊ីសង្វាក់គ្នា​។

ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសចម្បងគឺស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនោះ យើងជ្រើសរើសអនីតិជនមូលដ្ឋាន ហើយបោះបង់សមីការនៃប្រព័ន្ធដែលមិនចូលរួមក្នុងការបង្កើតអនីតិជនមូលដ្ឋានដែលបានជ្រើសរើស។

ប្រសិនបើលំដាប់នៃអនីតិជនមូលដ្ឋានគឺស្មើនឹងចំនួននៃអថេរដែលមិនស្គាល់នោះ SLAE មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្រ្តណាមួយដែលយើងស្គាល់។

ប្រសិនបើលំដាប់នៃអនីតិជនមូលដ្ឋានមានតិចជាងចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់នោះ នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធ យើងទុកលក្ខខណ្ឌជាមួយនឹងអថេរមិនស្គាល់សំខាន់ ផ្ទេរលក្ខខណ្ឌដែលនៅសល់ទៅផ្នែកខាងស្តាំ ហើយកំណត់តម្លៃតាមអំពើចិត្ត។ ទៅអថេរមិនស្គាល់ឥតគិតថ្លៃ។ ពីប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃសមីការលីនេអ៊ែរ យើងរកឃើញអថេរមិនស្គាល់សំខាន់ដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស ឬវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

វិធីសាស្ត្រ Gauss សម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ទូទៅ។

ដោយប្រើវិធីសាស្រ្ត Gauss មនុស្សម្នាក់អាចដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរនៃប្រភេទណាមួយដោយគ្មានការស៊ើបអង្កេតបឋមរបស់ពួកគេសម្រាប់ភាពឆបគ្នា។ ដំណើរការនៃការលុបបំបាត់អថេរដែលមិនស្គាល់ជាបន្តបន្ទាប់ធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពីភាពឆបគ្នា និងភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៃ SLAE ហើយប្រសិនបើមានដំណោះស្រាយនោះ វាធ្វើឱ្យវាអាចស្វែងរកវាបាន។

តាមទស្សនៈនៃការងារគណនា វិធីសាស្ត្រ Gaussian គឺល្អជាង។

សូមមើលការពិពណ៌នាលម្អិត និងឧទាហរណ៍ដែលបានវិភាគរបស់វានៅក្នុងអត្ថបទ វិធីសាស្ត្រ Gauss សម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ទូទៅ។

ការកត់ត្រាដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធពិជគណិតលីនេអ៊ែរដូចគ្នានិងមិនដូចគ្នា ដោយប្រើវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ។

នៅក្នុងផ្នែកនេះ យើងនឹងផ្តោតលើប្រព័ន្ធដូចគ្នា និង inhomogeneous នៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដែលមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយប្រព័ន្ធដូចគ្នាជាមុនសិន។

ប្រព័ន្ធការសម្រេចចិត្តជាមូលដ្ឋានប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរជាមួយ n អថេរមិនស្គាល់គឺជាសំណុំនៃ (n – r) ដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធនេះ ដែល r គឺជាលំដាប់នៃមូលដ្ឋានអនីតិជននៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ។

ប្រសិនបើយើងកំណត់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃ SLAE ដូចគ្នាជា X (1), X (2), …, X (n-r) (X (1), X (2), …, X (n-r) គឺជាជួរឈរម៉ាទ្រីសនៃវិមាត្រ n ដោយ 1) បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធដូចគ្នានេះត្រូវបានតំណាងថាជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយជាមួយនឹងមេគុណថេរតាមអំពើចិត្ត С 1 , С 2 , … , С (n-r) នោះគឺ .

តើ​ពាក្យ​ដំណោះស្រាយ​ទូទៅ​នៃ​ប្រព័ន្ធ​ដូចគ្នា​នៃ​សមីការ​ពិជគណិត​លីនេអ៊ែរ (oroslau) មានន័យ​ដូចម្តេច?

អត្ថន័យគឺសាមញ្ញ៖ រូបមន្តបញ្ជាក់ពីដំណោះស្រាយដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ចំពោះ SLAE ដើម បើនិយាយម្យ៉ាងទៀត យកសំណុំនៃតម្លៃណាមួយនៃថេរបំពាន C 1 , C 2 , ... , C (n-r) យោងទៅតាមរូបមន្តដែលយើង នឹងទទួលបានដំណោះស្រាយមួយនៃ SLAE ដើមដូចគ្នា។

ដូច្នេះ ប្រសិនបើយើងរកឃើញប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ នោះយើងអាចកំណត់ដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃ SLAE ដូចគ្នានេះជា .

ចូរយើងបង្ហាញពីដំណើរការនៃការបង្កើតប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយសម្រាប់ SLAE ដូចគ្នា។

យើងជ្រើសរើសអនីតិជនជាមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធដើមនៃសមីការលីនេអ៊ែរ មិនរាប់បញ្ចូលសមីការផ្សេងទៀតទាំងអស់ពីប្រព័ន្ធ ហើយផ្ទេរទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធដែលមានសញ្ញាផ្ទុយពាក្យទាំងអស់ដែលមានអថេរមិនស្គាល់ឥតគិតថ្លៃ។ ចូរផ្តល់អថេរមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃនូវតម្លៃ 1,0,0,…,0 ហើយគណនាចំនួនមិនស្គាល់សំខាន់ៗដោយដោះស្រាយប្រព័ន្ធបឋមលទ្ធផលនៃសមីការលីនេអ៊ែរតាមមធ្យោបាយណាមួយ ឧទាហរណ៍ដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer ។ ដូច្នេះ X (1) នឹងត្រូវបានទទួល - ដំណោះស្រាយដំបូងនៃប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាន។ ប្រសិនបើយើងផ្តល់តម្លៃមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃនូវតម្លៃ 0,1,0,0,…,0 ហើយគណនាចំនួនមិនស្គាល់សំខាន់ៗ នោះយើងទទួលបាន X (2) ។ ល។ ប្រសិនបើយើងផ្តល់អថេរមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃនូវតម្លៃ 0,0,…,0,1 ហើយគណនាចំនួនមិនស្គាល់សំខាន់ៗ នោះយើងទទួលបាន X (n-r) ។ នេះជារបៀបដែលប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃ SLAE ដូចគ្នានឹងត្រូវបានសាងសង់ ហើយដំណោះស្រាយទូទៅរបស់វាអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់។

សម្រាប់ប្រព័ន្ធ inhomogeneous នៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដំណោះស្រាយទូទៅត្រូវបានតំណាងថាជា

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ និងដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ .

ការសម្រេចចិត្ត។

ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសចម្បងនៃប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺតែងតែស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងរកឃើញចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសចម្បងដោយវិធីសាស្រ្តនៃការ fringing អនីតិជន។ ក្នុងនាមជាអនីតិជនដែលមិនមែនជាសូន្យនៃលំដាប់ទីមួយ យើងយកធាតុ 1 1 = 9 នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ។ ស្វែងរកអនីតិជនដែលមិនមានព្រំដែននៃលំដាប់ទីពីរ៖

អនីតិជននៃលំដាប់ទីពីរ ដែលខុសពីសូន្យត្រូវបានរកឃើញ។ ចូរយើងឆ្លងកាត់អនីតិជនលំដាប់ទីបីដែលជាប់ព្រំដែនវា ដើម្បីស្វែងរកអនីតិជនដែលមិនមែនជាសូន្យ៖

អនីតិជនដែលមានព្រំប្រទល់ទាំងអស់នៃលំដាប់ទីបីគឺស្មើនឹងសូន្យ ដូច្នេះចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសមេ និងពង្រីកគឺពីរ។ ចូរយើងយកអនីតិជនជាមូលដ្ឋាន។ សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ យើងកត់សំគាល់ធាតុនៃប្រព័ន្ធដែលបង្កើតវា៖

សមីការទីបីនៃ SLAE ដើមមិនចូលរួមក្នុងការបង្កើតអនីតិជនមូលដ្ឋានទេ ដូច្នេះវាអាចត្រូវបានដកចេញ៖

យើងទុកលក្ខខណ្ឌដែលមានការមិនស្គាល់សំខាន់ៗនៅខាងស្តាំដៃនៃសមីការ ហើយផ្ទេរលក្ខខណ្ឌដោយមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃទៅផ្នែកខាងស្តាំ៖

ចូរយើងបង្កើតប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធដើមនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃ SLAE នេះមានដំណោះស្រាយពីរ ចាប់តាំងពី SLAE ដើមមានអថេរដែលមិនស្គាល់ចំនួន 4 ហើយលំដាប់នៃអនីតិជនជាមូលដ្ឋានរបស់វាគឺពីរ។ ដើម្បីស្វែងរក X (1) យើងផ្តល់អថេរមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃនូវតម្លៃ x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 បន្ទាប់មកយើងរកឃើញមិនស្គាល់សំខាន់ៗពីប្រព័ន្ធសមីការ
.

សូមឱ្យវិសមភាពពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ f 1(x) > g 1(x) និង f 2(x) > g 2(x). ប្រព័ន្ធវិសមភាព គឺ គឺជាការភ្ជាប់នៃវិសមភាពទាំងនេះ . ប្រព័ន្ធត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖

ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនេះ។ Xដែលប្រែវិសមភាពនីមួយៗទៅជាវិសមភាពលេខពិត។ សំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធវិសមភាព គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃសំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពដែលបង្កើតជាប្រព័ន្ធដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

វិសមភាព | x| < កកន្លែងណា ក> 0 គឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធមួយ ឬវិសមភាពទ្វេ -- ក < x < ក.

សំណុំនៃវិសមភាព f 1(x) > g 1(x) និង f 2(x) > g 2(x) គឺ ខ្លួនឯង ការបំបែកវិសមភាពទាំងនេះ .

ឈុតត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖

ដំណោះស្រាយនៃឈុតនេះ។ គឺជាតម្លៃនៃអថេរណាមួយ។ Xដែលប្រែទៅជាវិសមភាពលេខពិតយ៉ាងហោចណាស់មួយនៃវិសមភាពនៅក្នុងសំណុំ។ សំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះសំណុំគឺជាការរួបរួមនៃសំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពដែលបង្កើតជាសំណុំ។

វិសមភាព | x| > កកន្លែងណា ក> 0 គឺស្មើនឹងសំណុំ

កិច្ចការ។ស្វែងរកសំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធវិសមភាព៖

ការសម្រេចចិត្ត។ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយសម្រាប់វិសមភាពនៃប្រព័ន្ធនីមួយៗ ហើយបន្ទាប់មកស្វែងរកចំនុចប្រសព្វរបស់វា។ ចូរយើងបំប្លែងវិសមភាពនីមួយៗទៅជាទម្រង់ x > កឬ x < ក.

Û Û

Û Û Û

X> -7 គឺជាចន្លោះលេខ (-7; ¥) និងសំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាព X < 7 - промежуток (-¥; 7). Найдем их пересечение: (-7; ¥) Ç (-¥; 7) = (-7; 7). Таким образом, множеством решений данной системы является промежуток (-7; 7).

កិច្ចការ។ដោះស្រាយវិសមភាព | x+ ៣| £4 ។

ការសម្រេចចិត្ត។វិសមភាពនេះគឺស្មើនឹងវិសមភាពទ្វេដង -4 £ x+ 3 £ 4. ដោះស្រាយវាយើងរកឃើញថា -7 £ x£ 1, i.e. Xអូ [-7; មួយ]។

កិច្ចការ។ស្វែងរកសំណុំនៃដំណោះស្រាយប្រជាជន

ការសម្រេចចិត្ត។ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាមុនសិនសម្រាប់វិសមភាពចំនួនប្រជាជននីមួយៗ ហើយបន្ទាប់មកសហជីពរបស់ពួកគេ។

យើងបំប្លែងវិសមភាពចំនួនប្រជាជននីមួយៗ ដោយជំនួសវាដោយសមមូលមួយ៖ Û Û Û

សំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាព X> 2 គឺជាចន្លោះលេខ (2; ¥) និងសំណុំនៃដំណោះស្រាយវិសមភាព X> 1 - ចន្លោះពេល (1; ¥) ។ ចូរយើងស្វែងរកសហជីពរបស់ពួកគេ៖ (2; ¥) È (1; ¥) = (1; ¥) ។ ដូច្នេះ សំណុំនៃដំណោះស្រាយនៃការប្រមូលគឺជាចន្លោះលេខ (1; ¥) ។

កិច្ចការ។ដោះស្រាយវិសមភាព | x+ 3| > 5.

ការសម្រេចចិត្ត។វិសមភាពនេះគឺស្មើនឹងសំណុំវិសមភាព៖

ដូច្នេះដំណោះស្រាយនៃសំណុំលទ្ធផលគឺចន្លោះលេខ (-¥; -8) È (2; ¥) ។

លំហាត់សម្រាប់ការងារឯករាជ្យ

1. ស្វែងរកសំណុំការពិតនៃការភ្ជាប់នៃវិសមភាពខាងក្រោម ហើយគូរវានៅលើបន្ទាត់ពិតប្រាកដមួយ៖

ក) ( X> 3) អ្នក ( X> 5); ឆ) ( X³ -7) អ្នក ( X³ -9);

ខ) ( X < 3) Ù (X < 5); д) (X> 4) អ្នក ( X£ -2);

ក្នុង) ( X³ -4) យូ ( X£ -2); ង) ( X³ -6) យូ ( X < 11).

2. ដោះស្រាយប្រព័ន្ធវិសមភាព៖

ក) ខ)

ក្នុង) ឆ)

3. ស្វែងរកសំណុំនៃដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាព៖

ក) | x - 6| < 13; в) |3x- ៦| £0;

ខ) |៥ - ២ x| £3; ឃ) |៣ x - 8| < - 1.

4. ស្វែងរកសំណុំការពិតនៃការបំបែកនៃវិសមភាពដូចខាងក្រោមៈ

ក) ( X> -9) Ú ( X> 1) Ú ( X> 6); ឆ) ( X < 2) Ú (X > 8);

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការមានន័យថាការស្វែងរកសំណុំនៃដំណោះស្រាយរបស់វា។ ហើយដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរដែលមានអថេរពីរគឺជាតម្លៃគូនៃអថេរដែលប្រែសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធទៅជាសមភាពលេខពិត។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលមានអថេរពីរអាចត្រូវបានដោះស្រាយ a) ក្រាហ្វិក; ខ) វិធីសាស្រ្តជំនួស; គ) វិធីសាស្រ្តបន្ថែម។ ជម្រើសនៃវិធីសាស្រ្តនៃដំណោះស្រាយគឺអាស្រ័យលើសមីការដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងប្រព័ន្ធ។ វិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិកអាចអនុវត្តបានចំពោះដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធណាមួយ ប៉ុន្តែដោយមានជំនួយពីក្រាហ្វនៃសមីការ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយសម្រាប់ប្រព័ន្ធ។ មានតែដំណោះស្រាយមួយចំនួននៃប្រព័ន្ធដែលបានរកឃើញប៉ុណ្ណោះដែលអាចប្រែទៅជាពិតប្រាកដ។ នេះអាចត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយជំនួសកូអរដោនេរបស់ពួកគេទៅក្នុងសមីការនៃប្រព័ន្ធ។ វិធីសាស្រ្តជំនួសគឺ "ល្អ" នៅពេលដោះស្រាយប្រព័ន្ធ នៅពេលដែលសមីការមួយគឺជាសមីការដឺក្រេទីមួយ។ វាជាការប្រសើរក្នុងការប្រើវិធីសាស្រ្តបន្ថែមនៅក្នុងករណីនៅពេលដែលសមីការទាំងពីរនៃប្រព័ន្ធគឺជាសមីការនៃដឺក្រេទីពីរ។

ឧទាហរណ៍ ១. ដោយប្រើក្រាហ្វ យើងនឹងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖ (x − 3) 2 + (y − 4) 2 = 4, ដំណោះស្រាយ។ y - x 2 \u003d 0. នៅក្នុងភាសាធរណីមាត្រ ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការមានន័យថាការស្វែងរកចំណុចទូទៅទាំងអស់នៃក្រាហ្វនៃសមីការដែលរួមបញ្ចូលក្នុងប្រព័ន្ធ។ ដូច្នេះហើយ យើងរកឃើញថាអ្វីជាក្រាហ្វនៃសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធនេះ។ ដូច្នេះក្រាហ្វនៃសមីការ (x − 3) 2 + (y − 4) 2 = 4 គឺជារង្វង់នៃកាំ 2 ដែលដាក់ចំកណ្តាលចំនុចដែលមានកូអរដោណេ (3; 4) ។ ក្រាហ្វនៃសមីការ y - x 2 \u003d 0 គឺជាប៉ារ៉ាបូឡា y \u003d x 2 សាខាដែលតម្រង់ទៅខាងលើ ហើយចំនុចកំពូលមានទីតាំងនៅចំណុចដែលមានកូអរដោនេ (0; 0) ។ ចូរពណ៌នាក្រាហ្វនៃសមីការនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេមួយ ហើយស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វ ទាំងនេះគឺជាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ។ ចម្លើយ៖ x 1 1.7, y 1 2.5; x2 2.4, y2 5.9 ។

ឧទាហរណ៍ ២. ចូរយើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយប្រើវិធីជំនួស៖ 0.5x 2 - y = 2, y - x = 2. ដំណោះស្រាយ។ 1) យើងបង្ហាញពីសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ y ដល់ x យើងទទួលបានសមីការ: y \u003d x) នៅក្នុងសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធ ជំនួសឱ្យ y យើងជំនួសកន្សោម (x + 2) យើងទទួលបាន សមីការ៖ 0.5x 2 - (x + 2) \u003d 2 យើងដោះស្រាយវា។ 0.5x 2 - x - 2 \u003d 2, 0.5x 2 - x \u003d 0, 0.5x 2 - x - 4 \u003d 0. គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ 2 យើងទទួលបានសមីការដែលស្មើនឹងលេខមុន៖ x x - 8 \u003d 0. ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta បញ្ច្រាស យើងរកឃើញឫសនៃសមីការការ៉េ - ពួកគេគឺជាលេខ -2 និង 4. 3) ប្រសិនបើ x = -2 បន្ទាប់មក y = x + 2 = = 0. ប្រសិនបើ x = 4 បន្ទាប់មក y = x + 2 = = 6 ។ចម្លើយ៖ ((-2; 0), (4; 6))

ឧទាហរណ៍ ៣. យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយបន្ថែម៖ x 2 - 2xy - 3 \u003d 0, 2x 2 + 3xy - 27 \u003d 0. ដំណោះស្រាយ។ 1) យើងគុណសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធដោយ 3 និងទីពីរ - គុណនឹង 2 ។ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធដែលស្មើនឹងមួយ: 3x 2 - 6xy - 9 \u003d 0, 4x 2 + 6xy - 54 \u003d 0. 2 ) ដោយបានបន្ថែមសមីការនៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបានសមីការដែលមានអថេរមួយ : 7x 2 - 63 \u003d 0, 7x 2 \u003d 63, x 2 \u003d 63: 7, x \u003d ± 3. 3) រកឃើញជំនួស តម្លៃនៃ x ទៅក្នុងសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធ៖ ប្រសិនបើ x \u003d - 3 បន្ទាប់មក (- 3) 2 - 2 * (- 3) * y - 3 = 0 ដូច្នេះ y = - 1; ប្រសិនបើ x \u003d 3 បន្ទាប់មក 3 2 - 2 * 3 * y - 3 \u003d 0 ដូច្នេះ y \u003d 1. ចម្លើយ៖ ( (- 3; - 1), (3; 1)) ។

ដោះស្រាយក្រាហ្វិកប្រព័ន្ធនៃសមីការ៖ 1) xy + 3 = 0, 2) y =, y = x xy − 8 = 0. ចម្លើយ (ចុច) (- 1; 3) (4; 2)

ប្រព័ន្ធជំនួយ 1). ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធពាក្យ "- 2xy" ត្រូវបានផ្ទេរទៅខាងឆ្វេង នោះយើងទទួលបានការ៉េនៃផលបូក (x + y) 2. នៅក្នុងសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធ យើងបង្ហាញ x តាមរយៈ y ។ និងជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅជាសមីការបំប្លែងទីពីរ; ដោះស្រាយវា យើងរកឃើញតម្លៃនៃ y ។ ដោយបានរកឃើញតម្លៃនៃ y យើងរកឃើញតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃ x ។ ចម្លើយ៖ ((២; - ៥), (៥; - ២)) ។ ប្រព័ន្ធ 2). ប្រសិនបើយើងបើកតង្កៀបនៅក្នុងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ ជំនួសពាក្យ "xy" ជាមួយតម្លៃ "-8" ហើយផ្តល់ពាក្យស្រដៀងគ្នា ហើយបន្ទាប់មកចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ "2" បន្ទាប់មកយើងអាចបង្ហាញ x តាមរយៈ y. ការជំនួសកន្សោមលទ្ធផល x ដល់ y ទៅក្នុងសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធ យើងទទួលបានសមីការបួនជ្រុងសម្រាប់ y ​​។ ដោះស្រាយវា យើងរកឃើញតម្លៃនៃ y ។ ដោយបានរកឃើញតម្លៃនៃ y យើងរកឃើញតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃ x ។ ចម្លើយ៖ ((-២; ៤), (៨; - ១))។ ប្រព័ន្ធ 3). ប្រសិនបើយើងបង្ហាញ x ក្នុងន័យនៃ y ពីសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធ ហើយជំនួសវាទៅក្នុងសមីការទីពីរ នោះយើងទទួលបានសមីការប្រភាគ-សមហេតុផលទាក់ទងនឹង y ។ ដោះស្រាយវា យើងរកឃើញតម្លៃនៃ y ។ ដោយបានរកឃើញតម្លៃនៃ y យើងរកឃើញតម្លៃដែលត្រូវគ្នានៃ x ។ ចម្លើយ៖ ((៣; ១), (-១; - ៣))។ បន្ទាប់​មក​ស្គាល់​វិធីសាស្ត្រ​ក្រាហ្វិក​នៃ​ការ​ដោះស្រាយ​ប្រព័ន្ធ

1. ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយ។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានប៉ារ៉ាម៉ែត្រត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រមូលដ្ឋានដូចគ្នានឹងប្រព័ន្ធសមីការធម្មតាដែរ៖ វិធីសាស្ត្រជំនួស វិធីសាស្ត្របន្ថែមសមីការ និងវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិក។ ការដឹងពីការបកស្រាយក្រាហ្វិកនៃប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរធ្វើឱ្យវាងាយស្រួលក្នុងការឆ្លើយសំណួរអំពីចំនួនឫសនិងអត្ថិភាពរបស់វា។

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់សម្រាប់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a ដែលប្រព័ន្ធសមីការមិនមានដំណោះស្រាយ។

(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

សូមក្រឡេកមើលវិធីជាច្រើនដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ។

1 វិធី។យើងប្រើទ្រព្យសម្បត្តិ៖ ប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ ប្រសិនបើសមាមាត្រនៃមេគុណនៅពីមុខ x គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃមេគុណនៅពីមុខ y ប៉ុន្តែមិនស្មើនឹងសមាមាត្រនៃលក្ខខណ្ឌទំនេរ (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). បន្ទាប់មកយើងមាន៖

1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 ឬប្រព័ន្ធ

(និង 2 - 3 = 1,
(a ≠ 2 ។

ពីសមីការទីមួយ a 2 \u003d 4 ដូច្នេះដោយគិតពីលក្ខខណ្ឌដែល a ≠ 2 យើងទទួលបានចម្លើយ។

ចម្លើយ៖ a = −2 ។

2 វិធី។យើងដោះស្រាយដោយវិធីជំនួស។

(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,

((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 − y ។

បន្ទាប់ពីយកកត្តាទូទៅ y ចេញពីតង្កៀបក្នុងសមីការទីមួយ យើងទទួលបាន៖

((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 − y ។

ប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ ប្រសិនបើសមីការទីមួយមិនមានដំណោះស្រាយ នោះគឺជា

(និង 2 - 4 = 0,
(a - 2 ≠ 0 ។

វាច្បាស់ណាស់ថា a = ± 2 ប៉ុន្តែដោយគិតពីលក្ខខណ្ឌទីពីរ មានតែចម្លើយដែលមានដកមួយប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

ចម្លើយ៖ a = -2 ។

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់សម្រាប់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a ដែលប្រព័ន្ធនៃសមីការមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

(8x + ay = 2,
(អ័ក្ស + 2y = 1 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

តាមទ្រព្យសម្បត្តិ ប្រសិនបើសមាមាត្រនៃមេគុណនៅ x និង y គឺដូចគ្នា ហើយស្មើនឹងសមាមាត្រនៃសមាជិកសេរីនៃប្រព័ន្ធ នោះវាមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ (ឧទាហរណ៍ a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d គ/គ ១)។ ដូច្នេះ 8/a = a/2 = 2/1 ។ ការដោះស្រាយសមីការនីមួយៗដែលទទួលបាន យើងឃើញថា \u003d 4 គឺជាចម្លើយនៅក្នុងឧទាហរណ៍នេះ។

ចម្លើយ៖ a = ៤.

2. ប្រព័ន្ធនៃសមីការសនិទានភាពជាមួយប៉ារ៉ាម៉ែត្រមួយ។

ឧទាហរណ៍ ៣

(3|x|+y=2,
(|x| + 2y = ក។

ការសម្រេចចិត្ត។

គុណសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធដោយ 2៖

(6|x|+2y=4,
(|x| + 2y = ក។

ដកសមីការទីពីរចេញពីទីមួយ យើងទទួលបាន 5|x| = 4 – ក។ សមីការនេះនឹងមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់សម្រាប់ a = 4 ។ ក្នុងករណីផ្សេងទៀត សមីការនេះនឹងមានដំណោះស្រាយពីរ (សម្រាប់ a< 4) или ни одного (при а > 4).

ចម្លើយ៖ ក = ៤។

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a ដែលប្រព័ន្ធសមីការមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

(x + y = ក,
(y - x 2 \u003d ១.

ការសម្រេចចិត្ត។

យើងនឹងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះដោយប្រើវិធីសាស្ត្រក្រាហ្វិក។ ដូច្នេះ ក្រាហ្វនៃសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធគឺជាប៉ារ៉ាបូឡា ដែលលើកឡើងតាមអ័ក្ស Oy ដោយផ្នែកឯកតាមួយ។ សមីការទីមួយកំណត់សំណុំនៃបន្ទាត់ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ y = -x (រូបភាពទី 1). តួលេខបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ថាប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយប្រសិនបើបន្ទាត់ y = -x + a តង់សង់ទៅប៉ារ៉ាបូឡានៅចំណុចដែលមានកូអរដោនេ (-0.5; 1.25) ។ ការជំនួសកូអរដោនេទាំងនេះទៅក្នុងសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជំនួសឱ្យ x និង y យើងរកឃើញតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a:

1.25 = 0.5 + ក;

ចម្លើយ៖ a = 0.75 ។

ឧទាហរណ៍ 5

ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តជំនួស ស្វែងយល់ពីតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

(អ័ក្ស - y \u003d a + 1,
(អ័ក្ស + (a + 2) y = 2 ។

ការសម្រេចចិត្ត។

បង្ហាញ y ពីសមីការទីមួយ ហើយជំនួសវាទៅជាទីពីរ៖

(y \u003d ah - a - 1,
(ax + (a + 2) (ax − a − 1) = 2 ។

យើងនាំយកសមីការទីពីរមកទម្រង់ kx = b ដែលនឹងមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់សម្រាប់ k ≠ 0. យើងមាន៖

ax + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;

a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2 ។

trinomial ការ៉េ a 2 + 3a + 2 អាចត្រូវបានតំណាងជាផលិតផលនៃតង្កៀប

(a + 2) (a + 1) ហើយនៅខាងឆ្វេងយើងយក x ចេញពីតង្កៀប៖

(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1) ។

ជាក់ស្តែង 2+3a មិនត្រូវស្មើនឹងសូន្យទេ ដូច្នេះហើយ

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0 ដែលមានន័យថា a ≠ 0 និង ≠ -3 ។

ចម្លើយ៖ a ≠ 0; ≠ -៣.

ឧទាហរណ៍ ៦

ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយក្រាហ្វិកកំណត់តម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ a ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។

(x 2 + y 2 = 9,
(y - |x| = ក.

ការសម្រេចចិត្ត។

ដោយផ្អែកលើលក្ខខណ្ឌ យើងបង្កើតរង្វង់មួយដែលមានចំណុចកណ្តាលនៅប្រភពដើមនៃកូអរដោណេ និងកាំនៃ 3 ផ្នែកឯកតា វាគឺជារង្វង់នេះដែលកំណត់សមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធ

x 2 + y 2 = 9. សមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ (y = |x| + a) គឺជាបន្ទាត់ដែលខូច។ តាមរយៈ រូបភាពទី 2យើងពិចារណាករណីដែលអាចកើតមានទាំងអស់នៃទីតាំងរបស់វាទាក់ទងទៅនឹងរង្វង់។ វាងាយមើលថា a = 3 ។

ចម្លើយ៖ a = ៣.

តើអ្នកមានសំណួរទេ? មិនដឹងពីរបៀបដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ?
ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូ - ចុះឈ្មោះ។
មេរៀនដំបូងគឺឥតគិតថ្លៃ!

គេហទំព័រ ដោយមានការចម្លងទាំងស្រុង ឬដោយផ្នែកនៃសម្ភារៈ តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពគឺត្រូវបានទាមទារ។