ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាដែលបានអនុវត្តត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅនឹងការគណនានៃអាំងតេក្រាល ប៉ុន្តែវាមិនតែងតែអាចធ្វើបានត្រឹមត្រូវនោះទេ។ ជួនកាលវាចាំបាច់ដើម្បីដឹងពីតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ជាមួយនឹងកម្រិតនៃភាពត្រឹមត្រូវមួយចំនួន ឧទាហរណ៍ ដល់មួយពាន់។

មានភារកិច្ចនៅពេលដែលវាចាំបាច់ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃអាំងតេក្រាលជាក់លាក់មួយជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវដែលត្រូវការ បន្ទាប់មកការរួមបញ្ចូលលេខត្រូវបានប្រើដូចជាវិធីសាស្ត្រ Simposn, trapezoids, ចតុកោណ។ មិនមែនគ្រប់ករណីទាំងអស់អនុញ្ញាតឱ្យយើងគណនាវាជាមួយនឹងភាពត្រឹមត្រូវជាក់លាក់នោះទេ។

អត្ថបទនេះពិចារណាលើការអនុវត្តរូបមន្ត Newton-Leibniz ។ នេះគឺចាំបាច់សម្រាប់ការគណនាជាក់លាក់នៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ ឧទាហរណ៍លម្អិតនឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរនៅក្នុងអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នឹងត្រូវបានពិចារណា ហើយយើងនឹងរកឃើញតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៅពេលរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។

រូបមន្ត Newton-Leibniz

និយមន័យ ១

នៅពេលដែលអនុគមន៍ y = y (x) បន្តពីផ្នែក [ a ; b ] និង F (x) គឺជាផ្នែកមួយក្នុងចំនោមវត្ថុប្រឆាំងនៃមុខងារនៃផ្នែកនេះ បន្ទាប់មក រូបមន្ត Newton-Leibnizចាត់ទុកថាយុត្តិធម៌។ ចូរសរសេរដូចនេះ ∫ a b f (x) d x = F (b) − F (a) ។

រូបមន្តនេះត្រូវបានពិចារណា រូបមន្តមូលដ្ឋាននៃការគណនាអាំងតេក្រាល

ដើម្បីបញ្ជាក់រូបមន្តនេះ ចាំបាច់ត្រូវប្រើគោលគំនិតនៃអាំងតេក្រាលជាមួយនឹងដែនកំណត់ខាងលើអថេរដែលមាន។

នៅពេលដែលអនុគមន៍ y = f (x) បន្តពីផ្នែក [ a ; b ] បន្ទាប់មកតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ x ∈ a ; b ហើយអាំងតេក្រាលមានទម្រង់ ∫ a x f (t) d t ហើយត្រូវបានចាត់ទុកថាជាអនុគមន៍នៃដែនកំណត់ខាងលើ។ វាចាំបាច់ក្នុងការទទួលយកសញ្ញាណនៃអនុគមន៍នឹងយកទម្រង់ ∫ a x f (t) d t = Φ (x) វាបន្ត ហើយវិសមភាពនៃទម្រង់ ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) មានសុពលភាពសម្រាប់វា។

យើងជួសជុលថាការបង្កើនអនុគមន៍ Φ (x) ត្រូវគ្នាទៅនឹងការកើនឡើងនៃអាគុយម៉ង់ ∆ x វាចាំបាច់ត្រូវប្រើទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់ទីប្រាំនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ និងទទួលបាន

Φ (x + ∆ x) − Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t − ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x − x = f(c) ∆x

ដែលតម្លៃ c ∈ x ; x + ∆x ។

យើងជួសជុលសមភាពក្នុងទម្រង់ Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) ។ តាម​និយមន័យ​នៃ​ដេរីវេនៃ​អនុគមន៍​មួយ វា​ចាំបាច់​ត្រូវ​ឆ្លង​ដល់​ដែន​កំណត់​ជា ∆ x → 0 បន្ទាប់មក​យើង​ទទួល​បាន​រូបមន្ត​នៃ​ទម្រង់​ដែល​មាន​ទីតាំង​នៅ​លើ [ a ; b ] បើ​មិន​ដូច្នេះ​ទេ កន្សោម​អាច​ត្រូវ​បាន​សរសេរ

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C ដែលតម្លៃនៃ C គឺថេរ។

ចូរយើងគណនា F (a) ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិទីមួយនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានវា។

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C ដូច្នេះ C = F (a) ។ លទ្ធផលគឺអាចអនុវត្តបាននៅពេលគណនា F (b) ហើយយើងទទួលបាន៖

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a) , ម្យ៉ាងវិញទៀត F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (ក) ។ សមភាពបង្ហាញរូបមន្តញូតុន-លីបនីស ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) ។

ការបង្កើនអនុគមន៍ត្រូវបានគេយកជា F x a b = F (b) - F (a) ។ ដោយមានជំនួយពីសញ្ញាណ រូបមន្ត ញូតុន-លីបនីស ក្លាយជា ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) ។

ដើម្បី​អនុវត្ត​រូបមន្ត​វា​ចាំបាច់​ត្រូវ​ដឹង​ពី​ផ្នែក​មួយ y = F (x) នៃ​អាំងតេក្រាល y = f (x) ពី​ផ្នែក [ a ; b ] គណនាការកើនឡើងនៃសារធាតុប្រឆាំងដេរីវេពីផ្នែកនេះ។ ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃការគណនាដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz ។

ឧទាហរណ៍ ១

គណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ∫ 1 3 x 2 d x ដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz ។

ការសម្រេចចិត្ត

ពិចារណាថាអាំងតេក្រាលនៃទម្រង់ y = x 2 គឺបន្តពីចន្លោះពេល [ 1 ; 3 ] បន្ទាប់មក និងអាចរួមបញ្ចូលបាននៅលើចន្លោះពេលនេះ។ យោងទៅតាមតារាងនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ យើងឃើញថាមុខងារ y \u003d x 2 មានសំណុំនៃ antiderivatives សម្រាប់តម្លៃពិតទាំងអស់ \u200b\u200bof x ដែលមានន័យថា x ∈ 1; 3 នឹងត្រូវបានសរសេរជា F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C ។ វាចាំបាច់ក្នុងការទទួលយកសារធាតុប្រឆាំងជាមួយ C \u003d 0 បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន F (x) \u003d x 3 3 ។

ចូរប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz ហើយទទួលបានថាការគណនានៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នឹងយកទម្រង់ ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 ។

ចម្លើយ៖∫ 1 3 x 2 d x = 26 ៣

ឧទាហរណ៍ ២

គណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ∫ − 1 2 x · e x 2 + 1 d x ដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz ។

ការសម្រេចចិត្ត

មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺបន្តពីផ្នែក [ - 1 ; 2] ដែលមានន័យថាវារួមបញ្ចូលគ្នានៅលើវា។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកតម្លៃនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ ∫ x e x 2 + 1 d x ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបូកនៅក្រោមសញ្ញាឌីផេរ៉ង់ស្យែល បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន ∫ x e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1 ។ ) = 1 2 អ៊ី x 2+1+C ។

ដូច្នេះហើយ យើងមានសំណុំនៃអង្គបដិប្រាណនៃអនុគមន៍ y = x · e x 2 + 1 ដែលមានសុពលភាពសម្រាប់ x , x ∈ - 1 ទាំងអស់ ; ២.

វាចាំបាច់ក្នុងការយកសារធាតុប្រឆាំងអុកស៊ីតកម្មនៅ C = 0 ហើយអនុវត្តរូបមន្ត Newton-Leibniz ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានកន្សោមនៃទម្រង់

∫ − 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 − 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 − 1 2 e ( − 1 ) 2 + 1 = 1 2 e ( − 1 ) 2 + 1 = 1 2 អ៊ី 2 (អ៊ី 3 − 1)

ចម្លើយ៖∫ − 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 − 1)

ឧទាហរណ៍ ៣

គណនាអាំងតេក្រាល ∫ − 4 − 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x និង ∫ − 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

ការសម្រេចចិត្ត

ចម្រៀក - 4; - 1 2 និយាយថាអនុគមន៍នៅក្រោមសញ្ញាអាំងតេក្រាលគឺបន្តដែលមានន័យថាវារួមបញ្ចូល។ ពីទីនេះយើងរកឃើញសំណុំនៃអង្គបដិប្រាណនៃអនុគមន៍ y = 4 x 3 + 2 x 2 ។ យើងទទួលបាននោះ។

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x − 2 d x = 2 x 2 − 2 x + C

វាចាំបាច់ក្នុងការយក antiderivative F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x បន្ទាប់មកអនុវត្តរូបមន្ត Newton-Leibniz យើងទទួលបានអាំងតេក្រាលដែលយើងគណនា៖

∫ − 4 − 1 2 4 x 3 + 2 x 2 ឃ x = 2 x 2 − 2 x − 4 − 1 2 = 2 − 1 2 2 − 2 − 1 2 − 2 − 4 2 − 2 − 4 = 1 2 + 4 − 32 − 1 2 = − 28

យើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរទៅការគណនានៃអាំងតេក្រាលទីពីរ។

ពីផ្នែក [ - 1 ; 1 ] យើងមានថា អាំងតេក្រាលត្រូវបានចាត់ទុកថាគ្មានដែនកំណត់ ពីព្រោះ lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ បន្ទាប់មកវាធ្វើតាមលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់អាំងតេក្រាលពីផ្នែក។ បន្ទាប់មក F (x) = 2 x 2 − 2 x មិនមែនជាអង្គបដិប្រាណសម្រាប់ y ​​= 4 x 3 + 2 x 2 ពីចន្លោះពេល [ − 1 ; 1 ] ចាប់តាំងពីចំនុច O ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក ប៉ុន្តែមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងដែននៃនិយមន័យទេ។ នេះមានន័យថាមានអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៃ Riemann និង Newton-Leibniz សម្រាប់អនុគមន៍ y = 4 x 3 + 2 x 2 ពីផ្នែក [ - 1 ; មួយ] ។

ចម្លើយ៖ ∫ − 4 − 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d − 28,មានអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៃ Riemann និង Newton-Leibniz សម្រាប់អនុគមន៍ y = 4 x 3 + 2 x 2 ពីចន្លោះពេល [ - 1 ; មួយ] ។

មុនពេលប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz អ្នកត្រូវដឹងច្បាស់អំពីអត្ថិភាពនៃអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។

ការផ្លាស់ប្តូរអថេរនៅក្នុងអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់

នៅពេលដែលអនុគមន៍ y = f (x) ត្រូវបានកំណត់ និងបន្តពីផ្នែក [ a ; b ] បន្ទាប់មកសំណុំដែលមានស្រាប់ [ a ; b ] ត្រូវ​បាន​ចាត់​ទុក​ថា​ជា​ជួរ​នៃ​អនុគមន៍ x = g (z) ដែល​បាន​កំណត់​នៅ​លើ​ចន្លោះ​α ; β ជាមួយនឹងដេរីវេបន្តដែលមានស្រាប់ ដែល g (α) = a និង g β = b ដូច្នេះយើងទទួលបានថា ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z ។

រូបមន្តនេះត្រូវបានប្រើនៅពេលដែលចាំបាច់ត្រូវគណនាអាំងតេក្រាល ∫ a b f (x) d x ដែលអាំងតេក្រាលមិនកំណត់មានទម្រង់ ∫ f (x) d x យើងគណនាដោយប្រើវិធីជំនួស។

ឧទាហរណ៍ 4

គណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់នៃទម្រង់ ∫ 9 18 1 x 2 x − 9 d x ។

ការសម្រេចចិត្ត

អាំងតេក្រាល​ត្រូវ​បាន​ចាត់​ទុក​ថា​បន្ត​នៅ​លើ​ចន្លោះ​ពេល​សមាហរណកម្ម ដែល​មាន​ន័យ​ថា​អាំងតេក្រាល​ច្បាស់​លាស់​មាន។ ចូរកំណត់ចំណាំថា 2 x − 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 ។ តម្លៃ x \u003d 9 មានន័យថា z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3 ហើយសម្រាប់ x \u003d 18 យើងទទួលបាននោះ z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 \u003d 3 \u003d α 3 បន្ទាប់មក g u003d g (3) \u003d 9 , g β = g 3 3 = 18 ។ ការជំនួសតម្លៃដែលទទួលបានទៅក្នុងរូបមន្ត ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z យើងទទួលបាននោះ

∫ 9 18 1 x 2 x − 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2″ d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 ឃ z

យោងតាមតារាងនៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ យើងមានថាមួយនៃ antiderivatives នៃអនុគមន៍ 2 z 2 + 9 យកតម្លៃ 2 3 a r c t g z 3 ។ បន្ទាប់មក អនុវត្តរូបមន្ត Newton-Leibniz យើងទទួលបាននោះ។

។

ការរកឃើញអាចធ្វើឡើងដោយមិនប្រើរូបមន្ត ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z ។

ប្រសិនបើវិធីសាស្ត្រជំនួសប្រើអាំងតេក្រាលនៃទម្រង់ ∫ 1 x 2 x − 9 d x នោះយើងអាចទៅដល់លទ្ធផល ∫ 1 x 2 x − 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x − 9 3 + C ។

ពីទីនេះ យើងនឹងធ្វើការគណនាដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz ហើយគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់។ យើងទទួលបាននោះ។

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 − 9 3 − a r c t g 2 9 − 9 π 3 = = 2 3 a r c t g 3 π 3 − a 3 \u003d π 18

លទ្ធផលត្រូវគ្នា។

ចម្លើយ៖ ∫ 9 18 2 x 2 x − 9 d x = π 18

ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែកក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់

ប្រសិនបើនៅលើផ្នែក [ a ; b ] អនុគមន៍ u (x) និង v (x) ត្រូវបានកំណត់ និងបន្ត បន្ទាប់មក និស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ទីមួយរបស់ពួកគេ v " (x) u (x) គឺអាចបញ្ចូលគ្នាបាន ដូច្នេះចាប់ពីចន្លោះពេលនេះសម្រាប់អនុគមន៍រួមបញ្ចូលគ្នា u" (x) v ( x) សមភាព ∫ a b v " (x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b − ∫ a b u " (x) v (x) d x គឺពិត។

រូបមន្តអាចត្រូវបានប្រើនៅពេលនោះ ចាំបាច់ត្រូវគណនាអាំងតេក្រាល ∫ a b f (x) d x និង ∫ f (x) d x វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកវាដោយប្រើការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។

ឧទាហរណ៍ ៥

គណនាអាំងតេក្រាលច្បាស់លាស់ ∫ − π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x ។

ការសម្រេចចិត្ត

អនុគមន៍ x sin x 3 + π 6 គឺអាចបញ្ចូលបាននៅលើផ្នែក - π 2; 3 π 2 ដូច្នេះវាបន្ត។

អនុញ្ញាតឱ្យ u (x) \u003d x បន្ទាប់មក d (v (x)) \u003d v "(x) d x \u003d sin x 3 + π 6 d x, និង d (u (x)) \u003d u "(x) d x \u003d d x, និង v (x) = − 3 cos π 3 + π 6 ។ ពីរូបមន្ត ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b − ∫ a b u " (x) v (x) d x យើងទទួលបាននោះ

∫ − π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = − 3 x cos x 3 + π 6 − π 2 3 π 2 − ∫ − π 2 3 π 2 − 3 cos x 3 + π 6 d x \u003d \u003d - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 − 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

ដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍អាចត្រូវបានធ្វើនៅក្នុងវិធីមួយផ្សេងទៀត។

ស្វែងរកសំណុំនៃអង្គបដិប្រាណនៃអនុគមន៍ x sin x 3 + π 6 ដោយប្រើការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែកដោយប្រើរូបមន្ត Newton-Leibniz៖

∫ x sin x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = − 3 cos x 3 + π 6 = = − 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = − 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ − π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = − 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - − 3 − π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 − 3 π 2 − 0 = 3 π 4 + 9 3 ២

ចម្លើយ៖ ∫ x sin x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

អត្ថបទនៃការងារត្រូវបានដាក់ដោយគ្មានរូបភាពនិងរូបមន្ត។
កំណែពេញលេញនៃការងារមាននៅក្នុងផ្ទាំង "ឯកសារការងារ" ជាទម្រង់ PDF

"ខ្ញុំ​ផង​ដែរ លេខ​ពីរ​របស់​ញូតុន!»

ពី The Master និង Margarita

"ត្រីកោណរបស់ Pascal គឺសាមញ្ញណាស់ដែលសូម្បីតែក្មេងអាយុដប់ឆ្នាំក៏អាចសរសេរវាបានដែរ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ វាលាក់កំណប់ទ្រព្យដែលមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន ហើយភ្ជាប់ជាមួយទិដ្ឋភាពផ្សេងៗនៃគណិតវិទ្យា ដែលនៅ glance ដំបូងមិនមានអ្វីដូចគ្នាជាមួយគ្នាទៅវិញទៅមក។ លក្ខណៈសម្បត្តិមិនធម្មតាបែបនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងពិចារណាត្រីកោណ Pascal មួយនៃគ្រោងការណ៍ឆើតឆាយបំផុតនៅក្នុងគណិតវិទ្យាទាំងអស់។

លោក Martin Gardner ។

គោលបំណង៖ធ្វើ​ឱ្យ​រូបមន្ត​គុណ​អក្សរ​កាត់​បង្ហាញ​ការ​អនុវត្ត​របស់​វា​ក្នុង​ការ​ដោះស្រាយ​បញ្ហា។

ភារកិច្ច:

1) សិក្សានិងរៀបចំព័ត៌មានជាប្រព័ន្ធលើបញ្ហានេះ;

2) វិភាគឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាសម្រាប់ការប្រើប្រាស់ binomial របស់ Newton និងរូបមន្តសម្រាប់ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃដឺក្រេ។

វត្ថុស្រាវជ្រាវ៖លេខពីររបស់ញូតុន រូបមន្តសម្រាប់ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃដឺក្រេ។

វិធីសាស្រ្តស្រាវជ្រាវ៖

ធ្វើការជាមួយអក្សរសិល្ប៍វិទ្យាសាស្ត្រអប់រំ និងពេញនិយម ធនធានអ៊ីនធឺណិត។

ការគណនា ការប្រៀបធៀប ការវិភាគ ការប្រៀបធៀប។

ភាពពាក់ព័ន្ធ។ជារឿយៗមនុស្សម្នាក់ត្រូវដោះស្រាយបញ្ហាដែលចាំបាច់ត្រូវរាប់ចំនួនវិធីដែលអាចធ្វើទៅបានដើម្បីរៀបចំវត្ថុមួយចំនួនឬចំនួននៃវិធីដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ដើម្បីអនុវត្តសកម្មភាពមួយចំនួន។ ផ្លូវ ឬជម្រើសផ្សេងៗដែលបុគ្គលត្រូវជ្រើសរើស បន្ថែមនូវបន្សំផ្សេងៗគ្នា។ ហើយផ្នែកគណិតវិទ្យាទាំងមូល ដែលហៅថា បន្សំ កំពុងតែមមាញឹកក្នុងការស្វែងរកចម្លើយចំពោះសំណួរ៖ តើមានបន្សំប៉ុន្មានក្នុងរឿងនេះ ឬករណីនោះ។

អ្នកតំណាងនៃឯកទេសជាច្រើនត្រូវដោះស្រាយជាមួយនឹងបរិមាណផ្សំគ្នា៖ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ-គីមីវិទូ អ្នកជីវវិទូ អ្នករចនា អ្នកចែកចាយ។

សេចក្តីផ្តើម

នៅពេលពួកគេចង់សង្កត់ធ្ងន់ថាអ្នកសន្ទនានិយាយបំផ្លើសភាពស្មុគស្មាញនៃកិច្ចការដែលគាត់បានប្រឈមមុខ ពួកគេនិយាយថា “ខ្ញុំក៏ត្រូវការលេខពីររបស់ញូតុនដែរ!” និយាយថានេះជា binomial របស់ Newton វាពិបាក ប៉ុន្តែតើអ្នកមានបញ្ហាអ្វីខ្លះ! សូម្បី​តែ​មនុស្ស​ដែល​មាន​ចំណាប់​អារម្មណ៍​មិន​ពាក់ព័ន្ធ​នឹង​គណិតវិទ្យា​ក៏​បាន​ឮ​អំពី​លេខ​ពីរ​របស់​ញូតុន​ដែរ។

ពាក្យ "binomial" មានន័យថា binomial, i.e. ផលបូកនៃពាក្យពីរ។ ពីវគ្គសិក្សារបស់សាលា អ្វីដែលគេហៅថា រូបមន្តគុណសង្ខេប ត្រូវបានគេស្គាល់ថា:

( ក+ ខ) 2 = ក 2 + 2ab + b 2 , (a+b) 3 = ក 3 +3 ក 2 b+3ab 2 + ខ 3 .

រូបមន្តទូទៅនៃរូបមន្តទាំងនេះគឺជារូបមន្តមួយហៅថា រូបមន្តលេខពីររបស់ញូតុន។ រូបមន្តសម្រាប់កត្តាភាពខុសគ្នានៃការ៉េ ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃគូបក៏ត្រូវបានប្រើប្រាស់នៅសាលាផងដែរ។ តើពួកគេមានវិញ្ញាបនបត្រទូទៅសម្រាប់សញ្ញាបត្រផ្សេងទៀតទេ? បាទ មានរូបមន្តបែបនេះ គេច្រើនប្រើក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗ៖ បង្ហាញការបែងចែក កាត់បន្ថយប្រភាគ ការគណនាប្រហាក់ប្រហែល។

ការសិក្សាអំពីរូបមន្តទូទៅបង្កើតការគិតបែបកាត់ផ្តាច់-គណិតវិទ្យា និងសមត្ថភាពផ្លូវចិត្តទូទៅ។

ផ្នែកទី 1. រូបមន្ត BINOMIAL របស់ញូវតុន

បន្សំនិងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។

សូមឱ្យ X ជាសំណុំដែលមានធាតុ n ។ សំណុំរង Y ណាមួយនៃសំណុំ X ដែលមានធាតុ k ត្រូវបានគេហៅថាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃធាតុ k ពី n និង k ≤ n ។

ចំនួនបន្សំផ្សេងគ្នានៃធាតុ k ចេញពី n ត្រូវបានតំណាង C n k ។ រូបមន្តដ៏សំខាន់បំផុតមួយនៃ combinatorics គឺរូបមន្តខាងក្រោមសម្រាប់លេខ C n k:

វាអាចត្រូវបានសរសេរបន្ទាប់ពីអក្សរកាត់ជាក់ស្តែងដូចខាងក្រោម:

ជាពិសេស,

នេះគឺស្របនឹងការពិតដែលថានៅក្នុងសំណុំ X មានសំណុំរងតែមួយនៃធាតុ 0 - សំណុំរងទទេ។

លេខ C n k មានលក្ខណៈសម្បត្តិគួរឱ្យកត់សម្គាល់មួយចំនួន។

រូបមន្ត С n k = С n - k n គឺត្រឹមត្រូវ, (3)

អត្ថន័យនៃរូបមន្ត (3) គឺថាមានការឆ្លើយឆ្លងមួយទល់មួយរវាងសំណុំនៃសំណុំរងសមាជិក k ទាំងអស់ពី X និងសំណុំរងទាំងអស់ (n - k) -member ពី X: ដើម្បីបង្កើតការឆ្លើយឆ្លងនេះ វាគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់សំណុំរងនៃសមាជិក k នីមួយៗនៃ Y ត្រូវគ្នានឹងការបំពេញបន្ថែមរបស់វានៅក្នុងសំណុំ X ។

រូបមន្ត С 0 n + С 1 n + С 2 n + ... + С n n = 2 n មានសុពលភាព (4)

ផលបូកនៅផ្នែកខាងឆ្វេងបង្ហាញពីចំនួននៃសំណុំរងទាំងអស់នៃសំណុំ X (C 0 n គឺជាចំនួននៃសំណុំរងសមាជិក 0 C 1 n គឺជាចំនួននៃសំណុំរងដែលមានសមាជិកតែមួយ។ល។)។

សម្រាប់ k, 1≤ k≤ n, សមភាព

C k n \u003d C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

សមភាពនេះមានភាពងាយស្រួលក្នុងការទទួលបានដោយប្រើរូបមន្ត (1) ។ ជា​ការ​ពិត,

១.២. ដេរីវេនៃរូបមន្ត binomial ញូតុន

ពិចារណាអំពីអំណាចនៃ binomial ក +ខ .

n = 0, (a +ខ ) 0 = 1

n = 1, (a +ខ ) 1 =1a+1ខ

n = ២(ក +ខ ) 2 = 1 ក 2 + 2 កខ +1 ខ 2

n = ៣(ក +ខ ) 3 = 1 ក 3 + 3 ក 2 ខ + 3 កខ 2 +1 ខ 3

n = ៤(ក +ខ ) 4 = 1 ក 4 + 4 ក 3 ខ + 6 ក 2 ខ 2 +4 កខ 3 +1 ខ 4

n=5(ក +ខ ) 5 = 1 ក 5 + 5 ក 4 ខ + 10 ក 3 ខ 2 + 10 ក 2 ខ 3 + 5 កខ 4 + 1 ខ 5

កត់សម្គាល់ភាពទៀងទាត់ដូចខាងក្រោមៈ

ចំនួននៃពាក្យនៃពហុនាមលទ្ធផលគឺមួយធំជាងនិទស្សន្តនៃ binomial;

និទស្សន្តនៃពាក្យទីមួយថយចុះពី n ដល់ 0 និទស្សន្តនៃពាក្យទីពីរកើនឡើងពី 0 ទៅ n;

ដឺក្រេនៃ monomial ទាំងអស់គឺស្មើនឹងដឺក្រេនៃ binomial នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ;

monomial នីមួយៗគឺជាផលិតផលនៃកន្សោមទីមួយនិងទីពីរនៅក្នុងអំណាចផ្សេងៗនិងចំនួនជាក់លាក់ - មេគុណ binomial;

មេគុណ Binomial សមមូលពីដើម និងចុងបញ្ចប់នៃការពង្រីកគឺស្មើគ្នា។

រូបមន្តទូទៅនៃរូបមន្តទាំងនេះគឺជារូបមន្តខាងក្រោម ដែលហៅថារូបមន្តទ្វេណូមីលរបស់ញូតុន៖

(ក + ខ ) ន = គ 0 ន ក ន ខ 0 + គ 1 ន ក ន -1 ខ + គ 2 ន ក ន -2 ខ 2 + ... + គ ន -1 ន ab ន -1 + គ ន ន ក 0 ខ ន . (6)

នៅក្នុងរូបមន្តនេះ។ នអាចជាលេខធម្មជាតិណាមួយ។

យើងទទួលបានរូបមន្ត (6) ។ ជាដំបូងសូមសរសេរ៖

(ក + ខ ) ន = (ក + ខ )(ក + ខ ) ... (ក + ខ ), (7)

កន្លែងដែលចំនួនតង្កៀបត្រូវគុណ ន. ពីច្បាប់ធម្មតាសម្រាប់គុណផលបូកនឹងផលបូក វាធ្វើតាមកន្សោម (7) ស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ ដែលអាចផ្សំដូចខាងក្រោមៈ ពាក្យណាមួយនៅក្នុងផលបូកដំបូង ក + ខគុណនឹងពាក្យណាមួយនៃផលបូកទីពីរ a+bលើពាក្យណាមួយនៃផលបូកទីបី។ល។

ពីអ្វីដែលបាននិយាយវាច្បាស់ណាស់ថាពាក្យនៅក្នុងកន្សោមសម្រាប់ (ក + ខ ) នផ្គូផ្គង (មួយទៅមួយ) ខ្សែនៃប្រវែង n, សមាសភាពនៃអក្សរ ក និង ខ។ក្នុង​ចំណោម​ពាក្យ​នេះ​នឹង​មាន​ពាក្យ​ស្រដៀង​គ្នា; វាច្បាស់ណាស់ថាសមាជិកបែបនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងខ្សែអក្សរដែលមានលេខដូចគ្នានៃអក្សរ ក. ប៉ុន្តែចំនួនបន្ទាត់ដែលមាន k គុណនឹងអក្សរ ក, គឺស្មើនឹង C n k ។ ដូច្នេះផលបូកនៃពាក្យទាំងអស់ដែលមានអក្សរ a ជាមួយនឹងកត្តាពិតប្រាកដ k ដងគឺស្មើនឹង С n k ក ន - k ខ k . ចាប់តាំងពី k អាចយកតម្លៃ 0, 1, 2, ..., n-1, n, រូបមន្ត (6) តាមពីហេតុផលរបស់យើង។ ចំណាំថា (6) អាចត្រូវបានសរសេរខ្លីជាង: (8)

ទោះបីជារូបមន្ត (6) ត្រូវបានគេហៅថាឈ្មោះរបស់ញូតុនក៏ដោយតាមការពិតវាត្រូវបានគេរកឃើញសូម្បីតែមុនពេលញូតុន (ឧទាហរណ៍ Pascal ស្គាល់វា) ។ គុណសម្បត្តិរបស់ញូតុនគឺស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថាគាត់បានរកឃើញការធ្វើឱ្យទូទៅនៃរូបមន្តនេះសម្រាប់ករណីនៃនិទស្សន្តដែលមិនមែនជាចំនួនគត់។ វាគឺ I. Newton ក្នុង 1664-1665 ។ បាន​ចេញ​មក​នូវ​រូបមន្ត​បង្ហាញ​ពី​កម្រិត​នៃ binomial សម្រាប់​និទស្សន្ត​ប្រភាគ និង​និទស្សន្ត​អវិជ្ជមាន។

លេខ C 0 n , C 1 n , ... , C n n រួមបញ្ចូលក្នុងរូបមន្ត (6) ជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថា មេគុណ binomial ដែលត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម៖

ពីរូបមន្ត (6) មនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃមេគុណទាំងនេះ។ ឧទាហរណ៍សន្មត់ ក=1, b = 1, យើងទទួលបាន៖

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n ,

ទាំងនោះ។ រូបមន្ត (4) ។ ប្រសិនបើយើងដាក់ ក= 1, b = −1 បន្ទាប់មកយើងនឹងមាន៖

0 \u003d C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

ឬ С 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... ។

នេះមានន័យថាផលបូកនៃមេគុណនៃលក្ខខណ្ឌគូនៃការពង្រីកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃមេគុណនៃលក្ខខណ្ឌសេសនៃការពង្រីក; ពួកវានីមួយៗស្មើនឹង 2 n -1 ។

មេគុណនៃពាក្យដែលស្មើគ្នាពីចុងបញ្ចប់នៃការពង្រីកគឺស្មើគ្នា។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះធ្វើតាមទំនាក់ទំនង៖ С n k = С n n - k

ករណីពិសេសគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n − k + ... + C n n x 0

ឬខ្លីជាង (x +1) n = ∑C n k x n − k ។

1.3. ទ្រឹស្តីបទពហុនាម

ទ្រឹស្តីបទ។

ភស្តុតាង។

ដើម្បីទទួលបាន monomial បន្ទាប់ពីបើកតង្កៀប អ្នកត្រូវជ្រើសរើសតង្កៀបដែលវាត្រូវបានយក តង្កៀបដែលវាត្រូវបានយក។ល។ និងតង្កៀបដែលវាត្រូវបានយក។ មេគុណនៃ monomial នេះបន្ទាប់ពីកាត់បន្ថយពាក្យស្រដៀងគ្នាគឺស្មើនឹងចំនួននៃវិធីដែលជម្រើសបែបនេះអាចត្រូវបានធ្វើឡើង។ ជំហានដំបូងនៃលំដាប់នៃជម្រើសអាចត្រូវបានធ្វើនៅក្នុងវិធី, ជំហានទីពីរ -, ទីបី - ល, ជំហាន -th - នៅក្នុងវិធី។ មេគុណដែលចង់បានគឺស្មើនឹងផលិតផល

ផ្នែកទី 2. ដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់ជាង។

គំនិតនៃនិស្សន្ទវត្ថុនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់។

អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារអាចខុសគ្នាក្នុងចន្លោះពេលខ្លះ។ បន្ទាប់មក ដេរីវេរបស់វា ជាទូទៅនិយាយគឺអាស្រ័យលើ Xនោះគឺជាមុខងាររបស់ X. ដូច្នេះ ទាក់ទងនឹងវា យើងអាចលើកសំណួរម្តងទៀតអំពីអត្ថិភាពនៃដេរីវេ។

និយមន័យ . ដេរីវេនៃដេរីវេទី 1 ត្រូវបានគេហៅថា ដេរីវេនៃលំដាប់ទីពីរ ឬដេរីវេទី 2 ហើយត្រូវបានតាងដោយនិមិត្តសញ្ញា ឬ i.e.

និយមន័យ . ដេរីវេនៃដេរីវេទី 2 ត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេទី 3 ឬដេរីវេទី 3 ហើយត្រូវបានតំណាងដោយសញ្ញាឬនិមិត្តសញ្ញា។

និយមន័យ . ដេរីវេន លំដាប់មុខងារ ត្រូវបានគេហៅថាដេរីវេទី 1 នៃដេរីវេទី (ន -1) លំដាប់នៃអនុគមន៍នេះ ហើយត្រូវបានតាងដោយនិមិត្តសញ្ញា ឬ៖

និយមន័យ . ដេរីវេនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាងទីមួយត្រូវបានគេហៅថា និស្សន្ទវត្ថុខ្ពស់ជាង។

មតិយោបល់. ដូចគ្នានេះដែរមនុស្សម្នាក់អាចទទួលបានរូបមន្ត ន- ដេរីវេនៃមុខងារ៖

ដេរីវេទី 2 នៃអនុគមន៍ដែលបានកំណត់ដោយប៉ារ៉ាម៉ែត្រ

ប្រសិនបើអនុគមន៍មួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យតាមប៉ារ៉ាម៉ែត្រដោយសមីការ បន្ទាប់មកដើម្បីស្វែងរកដេរីវេទី 2 នោះ ចាំបាច់ត្រូវបែងចែកកន្សោមសម្រាប់ដេរីវេទី 1 របស់វាជាអនុគមន៍ស្មុគស្មាញនៃអថេរឯករាជ្យ។

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក

ហើយពិចារណាថា

យើងទទួលបានវា នោះគឺ។

ដូចគ្នានេះដែរ យើងអាចរកឃើញដេរីវេទី 3។

ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃផលបូក ផលិតផល និងកូតា។

ដោយសារឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានទទួលពីដេរីវេដោយគុណវាដោយឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអថេរឯករាជ្យ ដូច្នេះដោយដឹងពីដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋម ក៏ដូចជាច្បាប់សម្រាប់ការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ នោះគេអាចមករកក្បួនស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ការស្វែងរកឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

1 0 . ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃថេរគឺសូន្យ.

2 0 . ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃផលបូកពិជគណិតនៃចំនួនកំណត់នៃអនុគមន៍ផ្សេងគ្នាគឺស្មើនឹងផលបូកពិជគណិតនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ទាំងនេះ .

3 0 . ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃផលិតផលនៃអនុគមន៍ពីរផ្សេងគ្នាគឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃអនុគមន៍ទីមួយ និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ទីពីរ និង ឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃអនុគមន៍ទីមួយ។ .

ផលវិបាក. កត្តាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

២.៣. មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ parametrically, ភាពខុសគ្នារបស់ពួកគេ។

និយមន័យ . អនុគមន៍​ត្រូវ​បាន​គេ​និយាយ​ថា​ត្រូវ​បាន​កំណត់​តាម​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ​ប្រសិនបើ​អថេរ​ទាំងពីរ X និង y ត្រូវបានកំណត់ដាច់ដោយឡែកពីគ្នាជាមុខងារតម្លៃតែមួយនៃអថេរជំនួយដូចគ្នា - ប៉ារ៉ាម៉ែត្រt :

កន្លែងណាt ការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុង។

មតិយោបល់ . យើងបង្ហាញសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃរង្វង់ និងរាងពងក្រពើ។

ក) រង្វង់ដែលផ្តោតលើប្រភពដើម និងកាំ rមានសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ៖

ខ) ចូរយើងសរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រសម្រាប់ពងក្រពើ៖

ដោយមិនរាប់បញ្ចូលប៉ារ៉ាម៉ែត្រ tពីសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ដែលកំពុងពិចារណា មួយអាចទៅដល់សមីការ Canonical របស់ពួកគេ។

ទ្រឹស្តីបទ . ប្រសិនបើមុខងារ y ពីអាគុយម៉ង់ x ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​តាម​ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ​ដោយ​សមីការ ដែល​ជា​កន្លែង​និង​អាច​ខុស​គ្នា​ដោយ​យោង​ទៅ​តាមt មុខងារហើយបន្ទាប់មក។

២.៤. រូបមន្ត Leibniz

ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេ នលំដាប់ទី 1 នៃផលិតផលនៃមុខងារពីរ រូបមន្ត Leibniz មានសារៈសំខាន់ជាក់ស្តែង។

អនុញ្ញាតឱ្យមាន យូនិង v- មុខងារមួយចំនួនពីអថេរ Xមានដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញណាមួយ និង y = កាំរស្មីយូវី. ប្រេស ន-th derivative តាមរយៈដេរីវេនៃអនុគមន៍ យូនិង v .

យើងមានជាប់លាប់

វាងាយស្រួលក្នុងការកត់សម្គាល់ពីភាពស្រដៀងគ្នារវាងកន្សោមសម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុទីពីរ និងទីបី និងការពង្រីកគុណនាមរបស់ញូតុននៅក្នុងអំណាចទីពីរ និងទីបីរៀងៗខ្លួន ប៉ុន្តែជំនួសឱ្យនិទស្សន្តមានលេខដែលកំណត់លំដាប់នៃនិស្សន្ទវត្ថុ និងមុខងារ។ ខ្លួនគេអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជា "និស្សន្ទវត្ថុលំដាប់សូន្យ"។ ដោយផ្តល់ឱ្យនេះយើងទទួលបានរូបមន្ត Leibniz:

រូបមន្តនេះអាចបញ្ជាក់បានដោយការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។

ផ្នែកទី 3. ការដាក់ពាក្យសុំរូបមន្ត LEIBNIZ ។

ដើម្បីគណនាដេរីវេនៃលំដាប់ណាមួយពីផលិតផលនៃអនុគមន៍ពីរ ដោយរំលងការអនុវត្តបន្តបន្ទាប់គ្នានៃរូបមន្តសម្រាប់ការគណនាដេរីវេនៃផលនៃអនុគមន៍ពីរ យើងប្រើ រូបមន្ត Leibniz.

ដោយប្រើរូបមន្តនេះ សូមពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការគណនាដេរីវេទី n នៃផលិតផលនៃអនុគមន៍ពីរ។

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកដេរីវេទីពីរនៃអនុគមន៍

តាមនិយមន័យ ដេរីវេទី 2 គឺជាដេរីវេទី 1 នៃដេរីវេទី 1 i.e.

ដូច្នេះដំបូងយើងរកឃើញដេរីវេនៃលំដាប់ទីមួយនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យយោងទៅតាម ច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានិងការប្រើប្រាស់ តារាងដេរីវេ:

ឥឡូវនេះយើងរកឃើញដេរីវេនៃ derivative លំដាប់ទីមួយ។ នេះនឹងជាដេរីវេនៃលំដាប់ទីពីរដែលចង់បាន៖

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដេរីវេនៃលំដាប់ទី 1 នៃអនុគមន៍

ការសម្រេចចិត្ត។

យើងនឹងស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុនៃវត្ថុទីមួយ ទីពីរ ទីបី និងបន្តបន្ទាប់គ្នាតាមលំដាប់នៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដើម្បីបង្កើតគំរូដែលអាចត្រូវបានគេទូទៅទៅជាដេរីវេទី -th ។

យើងរកឃើញដេរីវេនៃលំដាប់ទីមួយដូចជា ដេរីវេនៃកូតា:

នៅទីនេះ កន្សោមត្រូវបានគេហៅថា ហ្វាក់តូរីយ៉ូល នៃលេខ។ ហ្វាក់តូរីសនៃចំនួនមួយគឺស្មើនឹងផលគុណនៃលេខពីមួយទៅ ពោលគឺ

ដេរីវេទី 2 គឺជាដេរីវេទី 1 នៃដេរីវេទី 1 នោះគឺ

ដេរីវេនៃលំដាប់ទីបី៖

ដេរីវេទីបួន៖

ចំណាំភាពទៀងទាត់៖ ភាគយកមានហ្វាក់តូរីយ៉ែលនៃចំនួនដែលស្មើនឹងលំដាប់នៃដេរីវេទីវ ហើយភាគបែងមានកន្សោមនៅក្នុងអំណាចដោយមួយធំជាងលំដាប់នៃដេរីវេ នោះគឺជា

ចម្លើយ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកតម្លៃនៃដេរីវេទី 3 នៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយ។

ការសម្រេចចិត្ត។

យោង​ទៅ​តាម តារាងនៃនិស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ខ្ពស់ជាង, យើង​មាន:

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ នោះគឺយើងទទួលបាន

ចំណាំថាលទ្ធផលស្រដៀងគ្នាក៏អាចទទួលបានដោយការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុជាបន្តបន្ទាប់។

នៅចំណុចមួយ ដេរីវេទី ៣ គឺ៖

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកដេរីវេទីពីរនៃអនុគមន៍

ការសម្រេចចិត្ត។ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេទី ១៖

ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេទី 2 យើងបែងចែកកន្សោមសម្រាប់ដេរីវេទី 1 ម្តងទៀត៖

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ ៥

ស្វែងរកប្រសិនបើ

ដោយសារអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាផលិតផលនៃមុខងារពីរ វាគួរតែត្រូវអនុវត្តរូបមន្ត Leibniz ដើម្បីស្វែងរកដេរីវេទីបួន៖

យើងរកឃើញនិស្សន្ទវត្ថុទាំងអស់ ហើយគណនាមេគុណនៃលក្ខខណ្ឌ។

1) គណនាមេគុណសម្រាប់លក្ខខណ្ឌ៖

2) ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

3) ស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

ចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ ៦

អនុគមន៍ y=x 2 cos3x ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃលំដាប់ទីបី។

អនុញ្ញាតឱ្យ u=cos3x, v=x 2 . បន្ទាប់មកយោងតាមរូបមន្ត Leibniz យើងរកឃើញ៖

និស្សន្ទវត្ថុក្នុងកន្សោមនេះគឺ៖

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′=2,

(x2)′′=0.

ដូច្នេះ ដេរីវេទី 3 នៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺ

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x ។

ឧទាហរណ៍ ៧

ស្វែងរកដេរីវេន - មុខងារលំដាប់ y = x 2 cosx ។

យើងប្រើរូបមន្ត Leibniz ការកំណត់u=cosx, v=x 2 . បន្ទាប់មក

លក្ខខណ្ឌដែលនៅសល់នៃស៊េរីគឺស្មើនឹងសូន្យចាប់តាំងពី(x2)(i)=0 សម្រាប់ i>2។

ដេរីវេទីវ n - អនុគមន៍កូស៊ីនុសលំដាប់ទី៖

ដូច្នេះ ដេរីវេនៃមុខងាររបស់យើងគឺ

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

សាលាសិក្សា និងប្រើរូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់៖ ការេ និងគូបនៃផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃកន្សោមពីរ និងរូបមន្តសម្រាប់គណនាភាពខុសគ្នានៃការ៉េ ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃគូបនៃកន្សោមពីរ។ រូបមន្តទូទៅនៃរូបមន្តទាំងនេះគឺជារូបមន្តមួយហៅថា រូបមន្តលេខពីររបស់ញូតុន និងរូបមន្តសម្រាប់គណនាផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃអំណាច។ រូបមន្តទាំងនេះត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗ៖ ការបង្ហាញពីការបែងចែក កាត់បន្ថយប្រភាគ ការគណនាប្រហាក់ប្រហែល។ លក្ខណៈសម្បត្តិគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍នៃត្រីកោណរបស់ Pascal ដែលទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹង binomial របស់ Newton ត្រូវបានពិចារណា។

ក្រដាសរៀបចំប្រព័ន្ធព័ត៌មានលើប្រធានបទនេះ ផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការសម្រាប់ការប្រើប្រាស់ binomial របស់ Newton និងរូបមន្តសម្រាប់ផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃដឺក្រេ។ ការងារអាចប្រើក្នុងការងារនៃរង្វង់គណិតវិទ្យា ក៏ដូចជាសម្រាប់ការសិក្សាឯករាជ្យដោយអ្នកដែលចូលចិត្តគណិតវិទ្យា។

បញ្ជីនៃប្រភពដែលបានប្រើ

1. Vilenkin N. Ya ។ Combinatorics ។ - ed ។ "វិទ្យាសាស្ត្រ" ។ - អិម, ១៩៦៩

2. Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។ ថ្នាក់ទី ១០៖ សៀវភៅសិក្សា។ សម្រាប់ការអប់រំទូទៅ អង្គការកម្រិតមូលដ្ឋាន និងកម្រិតខ្ពស់ - M.: ការអប់រំ, 2014. - 431 ទំ។

3. ការដោះស្រាយបញ្ហាក្នុងស្ថិតិ បន្សំ និងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ 7-9 កោសិកា / អ្នកនិពន្ធ - អ្នកចងក្រង V.N. សាលា Studenetskaya ។ - ed ។ ទី 2 កែតម្រូវ - វ៉ុលហ្គោក្រាដ: គ្រូបង្រៀនឆ្នាំ 2009

4. Savushkina I.A., Khugaev K.D., Tishkin S.B. សមីការពិជគណិតនៃសញ្ញាបត្រឧត្តមសិក្សា / មគ្គុទ្ទេសក៍វិធីសាស្រ្តសម្រាប់និស្សិតនៃនាយកដ្ឋានត្រៀមអន្តរសាកលវិទ្យាល័យ។ - សាំងពេទឺប៊ឺគ ឆ្នាំ ២០០១។

5. Sharygin I.F. វគ្គសិក្សាស្រេចចិត្តក្នុងគណិតវិទ្យា៖ ការដោះស្រាយបញ្ហា។ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់ 10 កោសិកា។ អនុវិទ្យាល័យ។ - អិមៈ ការត្រាស់ដឹង ឆ្នាំ១៩៨៩។

6.វិទ្យាសាស្ត្រ និងជីវិត ត្រីកោណមាត្ររបស់ ញូតុន និង ប៉ាស្កាល់[ធនធានអេឡិចត្រូនិក] ។ - របៀបចូលប្រើ៖ http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

ដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់។

នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងរៀនពីរបៀបស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ខ្ពស់ជាង ក៏ដូចជាសរសេររូបមន្តទូទៅសម្រាប់ដេរីវេទី “n” ផងដែរ។ លើសពីនេះ រូបមន្ត Leibniz សម្រាប់និស្សន្ទវត្ថុបែបនេះនឹងត្រូវបានពិចារណា ហើយដោយតម្រូវការពេញនិយម និស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ខ្ពស់នៃ មុខងារបង្កប់ន័យ. ខ្ញុំស្នើឱ្យអ្នកធ្វើតេស្តខ្នាតតូចភ្លាមៗ៖

នេះជាមុខងារ៖ ហើយនេះគឺជាដេរីវេដំបូងរបស់វា៖

ក្នុងករណីដែលអ្នកមានការលំបាក/ការយល់ច្រឡំអំពីឧទាហរណ៍នេះ សូមចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងអត្ថបទមូលដ្ឋានចំនួនពីរនៃវគ្គសិក្សារបស់ខ្ញុំ៖ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដេរីវេ?និង ដេរីវេនៃមុខងារផ្សំមួយ។. បន្ទាប់ពីស្ទាត់ជំនាញនិស្សន្ទវត្ថុបឋម ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអ្នកអានមេរៀន បញ្ហាសាមញ្ញបំផុតជាមួយដេរីវេដែលយើងបានដោះស្រាយ ជាពិសេសជាមួយ ដេរីវេទី ២.

វាមិនពិបាកសូម្បីតែស្មានថា ដេរីវេទី ២ គឺជាដេរីវេនៃដេរីវេទី ១៖

ជាគោលការណ៍ ដេរីវេទី 2 ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាដេរីវេនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាង។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ៖ ដេរីវេទី ៣ គឺជាដេរីវេនៃដេរីវេទី ២៖

ដេរីវេទី ៤ ជាដេរីវេទី ៣៖

ដេរីវេទីប្រាំ៖ ហើយវាច្បាស់ណាស់ថាដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់ជាងទាំងអស់នឹងស្មើនឹងសូន្យផងដែរ៖

បន្ថែមពីលើលេខរ៉ូម៉ាំង ការរចនាខាងក្រោមត្រូវបានប្រើជាញឹកញាប់ក្នុងការអនុវត្ត៖
ខណៈពេលដែលដេរីវេនៃលំដាប់ "ទី" ត្រូវបានតំណាងដោយ . ក្នុង​ករណី​នេះ លិបិក្រម​អក្សរ​ធំ​ត្រូវ​តែ​ត្រូវ​បាន​ភ្ជាប់​ក្នុង​តង្កៀប។- ដើម្បីបែងចែកដេរីវេពី "y" ក្នុងដឺក្រេ។

ពេលខ្លះមានការបញ្ចូលដូចនេះ៖ - និស្សន្ទវត្ថុទី៣, ទី៤, ទី៥, ..., "ទី" និស្សន្ទវត្ថុរៀងៗខ្លួន។

ទៅមុខដោយគ្មានការភ័យខ្លាច និងការសង្ស័យ៖

ឧទាហរណ៍ ១

បានផ្តល់មុខងារមួយ។ ដើម្បីស្វែងរក។

ការសម្រេចចិត្ត: តើអ្នកអាចនិយាយអ្វីខ្លះ ... - ឆ្ពោះទៅមុខសម្រាប់ដេរីវេទីបួន :)

វាមិនមែនជាទម្លាប់ក្នុងការដាក់ 4 strokes ទៀតទេ ដូច្នេះហើយយើងបន្តទៅសន្ទស្សន៍លេខ៖

ចម្លើយ:

យល់ស្រប ឥឡូវនេះ ចូរយើងគិតអំពីសំណួរនេះ៖ អ្វីដែលត្រូវធ្វើប្រសិនបើយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីរកមិនមែនលេខ 4 ប៉ុន្តែឧទាហរណ៍ ដេរីវេទី 20? ប្រសិនបើសម្រាប់ដេរីវេនៃ 3-4-5th (អតិបរមា ៦-៧)លំដាប់ ដំណោះស្រាយ​ត្រូវ​បាន​គូរ​ឡើង​យ៉ាង​ឆាប់​រហ័ស បន្ទាប់​មក​យើង​នឹង "ទទួល​បាន" ទៅ​នឹង​ការ​ទទួល​បាន​នៃ​ការ​បញ្ជា​ទិញ​ខ្ពស់ អូ មិន​យូរ​មិន​ឆាប់។ កុំសរសេរតាមពិត 20 បន្ទាត់! ក្នុង​ស្ថានភាព​បែប​នេះ អ្នក​ត្រូវ​វិភាគ​និស្សន្ទវត្ថុ​ដែល​បាន​រក​ឃើញ​ជា​ច្រើន​មើល​គំរូ និង​បង្កើត​រូបមន្ត​សម្រាប់​ដេរីវេទីវ “ទី”។ ដូច្នេះ ក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 វាជាការងាយស្រួលក្នុងការយល់ថាជាមួយនឹងភាពខុសគ្នាជាបន្តបន្ទាប់នីមួយៗ "បីដង" បន្ថែមនឹង "លោតចេញ" មុននិទស្សន្ត ហើយនៅជំហានណាមួយកម្រិតនៃ "បីដង" គឺស្មើនឹងចំនួននៃ ដេរីវេ, ដូច្នេះ៖

តើលេខធម្មជាតិតាមអំពើចិត្តនៅឯណា។

ហើយជាការពិតប្រសិនបើ , ពិតប្រាកដ ដេរីវេទី 1 ត្រូវបានទទួល: ប្រសិនបើ - បន្ទាប់មកទី 2: ល។ ដូច្នេះ ដេរីវេទីម្ភៃត្រូវបានកំណត់ភ្លាមៗ៖ - ហើយគ្មាន "សន្លឹកគីឡូម៉ែត្រ" ទេ!

កំដៅឡើងដោយខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកលក្ខណៈពិសេស។ សរសេរ​ការ​ចម្លង​តាម​លំដាប់

ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

បន្ទាប់​ពី​ការ​ឡើង​កម្តៅ​ដ៏​មាន​ភាព​ស្វាហាប់ យើង​នឹង​ពិចារណា​អំពី​ឧទាហរណ៍​ស្មុគស្មាញ​បន្ថែម​ទៀត ដែល​យើង​នឹង​ធ្វើ​ការ​ដោះស្រាយ​ក្បួន​ដោះស្រាយ​ខាង​លើ។ សម្រាប់អ្នកដែលបានអានមេរៀន ដែនកំណត់លំដាប់វានឹងកាន់តែងាយស្រួលបន្តិច៖

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកមុខងារ។

ការសម្រេចចិត្ត៖ ដើម្បី​បញ្ជាក់​ពី​ស្ថានភាព យើង​រក​ឃើញ​និស្សន្ទវត្ថុ​មួយ​ចំនួន៖

យើងមិនប្រញាប់ដើម្បីគុណលេខលទ្ធផលទេ! ;-)


ប្រហែលជាគ្រប់គ្រាន់ហើយ។ ... ខ្ញុំថែមទាំងហួសកម្រិតបន្តិច។

នៅជំហានបន្ទាប់ វាជាការល្អបំផុតក្នុងការសរសេររូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេ "nth" (ដរាបណាលក្ខខណ្ឌមិនតម្រូវឱ្យមាននេះ នោះអ្នកអាចទទួលបានដោយសេចក្តីព្រាង). ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងពិនិត្យមើលលទ្ធផលដែលទទួលបាន និងកំណត់អត្តសញ្ញាណគំរូដែលដេរីវេបន្ទាប់នីមួយៗទទួលបាន។

ដំបូងពួកគេចុះហត្ថលេខា។ Interleaving ផ្តល់ "flasher"ហើយចាប់តាំងពីដេរីវេទី 1 គឺវិជ្ជមាន កត្តាខាងក្រោមនឹងបញ្ចូលរូបមន្តទូទៅ៖ . ជម្រើសសមមូលនឹងធ្វើ ប៉ុន្តែដោយផ្ទាល់ ក្នុងនាមជាអ្នកសុទិដ្ឋិនិយម ខ្ញុំចូលចិត្តសញ្ញាបូក =)

ទីពីរនៅក្នុងលេខភាគ "ខ្យល់" រោងចក្រហើយវា "យឺត" ចំនួននៃដេរីវេដោយឯកតាមួយ:

ហើយទីបី អំណាចនៃ "ពីរ" លូតលាស់នៅក្នុងភាគយក ដែលស្មើនឹងចំនួនដេរីវេ។ ដូចគ្នានេះដែរអាចត្រូវបាននិយាយអំពីកម្រិតនៃភាគបែង។ ទីបំផុត៖

សម្រាប់គោលបំណងផ្ទៀងផ្ទាត់ ចូរជំនួសតម្លៃពីរបី \u200b\u200b"en" ឧទាហរណ៍ និង៖

អស្ចារ្យ​ណាស់ ឥឡូវ​ធ្វើ​ខុស​គឺ​គ្រាន់​តែ​ជា​អំពើ​បាប៖

ចម្លើយ:

មុខងារសាមញ្ញជាងសម្រាប់ដំណោះស្រាយធ្វើវាដោយខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកលក្ខណៈពិសេស។

និងបញ្ហាកាន់តែពិបាក៖

ឧទាហរណ៍ ៥

ស្វែងរកលក្ខណៈពិសេស។

ចូរយើងធ្វើបែបបទម្តងទៀតម្តងទៀត៖

1) ដំបូងយើងរកឃើញដេរីវេមួយចំនួន។ ជាធម្មតាបីឬបួនគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីចាប់លំនាំ។

2) បន្ទាប់មកខ្ញុំសូមផ្តល់អនុសាសន៍យ៉ាងខ្លាំងក្នុងការចងក្រង (យ៉ាងហោចណាស់នៅលើសេចក្តីព្រាង)"nth" ដេរីវេ - វាត្រូវបានធានាដើម្បីការពារប្រឆាំងនឹងកំហុស។ ប៉ុន្តែអ្នកអាចធ្វើបានដោយគ្មាន, i.e. ការប៉ាន់ស្មានផ្លូវចិត្ត ហើយសរសេរភ្លាមៗ ឧទាហរណ៍ ដេរីវេទី 20 ឬទីប្រាំបី។ ជាងនេះទៅទៀត មនុស្សមួយចំនួនជាទូទៅអាចដោះស្រាយបញ្ហាដែលកំពុងពិចារណាដោយផ្ទាល់មាត់។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយគួរចងចាំថាវិធីសាស្ត្រ "រហ័ស" មានភាពច្របូកច្របល់ហើយវាជាការប្រសើរជាងក្នុងការលេងវាឱ្យមានសុវត្ថិភាព។

3) នៅដំណាក់កាលចុងក្រោយ យើងពិនិត្យមើលដេរីវេ "nth" - យើងយកតម្លៃមួយគូ "en" (ប្រសើរជាងតម្លៃដែលនៅជិតខាង) ហើយធ្វើការជំនួស។ ហើយអ្វីដែលគួរឱ្យទុកចិត្តជាងនេះទៅទៀតគឺត្រូវពិនិត្យមើលឧបករណ៍និស្សន្ទវត្ថុទាំងអស់ដែលបានរកឃើញមុន។ បន្ទាប់មកយើងជំនួសតម្លៃដែលចង់បាន ឧទាហរណ៍ ឬ ហើយសិតលទ្ធផលដោយប្រុងប្រយ័ត្ន។

ដំណោះស្រាយសង្ខេបនៃឧទាហរណ៍ទី 4 និងទី 5 នៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ក្នុង​កិច្ចការ​មួយ​ចំនួន ដើម្បី​ជៀសវាង​បញ្ហា អ្នក​ត្រូវ​ធ្វើ​វេទមន្ត​បន្តិច​លើ​មុខងារ៖

ឧទាហរណ៍ ៦

ការសម្រេចចិត្ត៖ ខ្ញុំ​មិន​ចង់​បែងចែក​មុខងារ​ដែល​បាន​ស្នើ​ឡើង​ទាល់​តែ​សោះ ព្រោះ​វា​នឹង​ក្លាយ​ជា​ប្រភាគ "អាក្រក់" ដែល​នឹង​ធ្វើ​ឱ្យ​មាន​ការ​លំបាក​ខ្លាំង​ក្នុង​ការ​ស្វែង​រក​និស្សន្ទវត្ថុ​បន្ទាប់​មក។

ក្នុងន័យនេះ គួរតែធ្វើការផ្លាស់ប្តូរបឋម៖ យើងប្រើ ភាពខុសគ្នានៃរូបមន្តការ៉េនិង ទ្រព្យសម្បត្តិលោការីត :

ខុសគ្នាឆ្ងាយណាស់៖

និងមិត្តចាស់៖

ខ្ញុំគិតថាអ្វីៗត្រូវបានមើល។ ចំណាំថាប្រភាគទី 2 ត្រូវបានចុះហត្ថលេខា ប៉ុន្តែលេខ 1 មិនមែនទេ។ យើងបង្កើតដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញ៖

ការគ្រប់គ្រង៖

ជាការប្រសើរណាស់, ដើម្បីភាពស្រស់ស្អាត, យើងយក factorial ចេញពីតង្កៀប:

ចម្លើយ:

កិច្ចការគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍សម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ៖

ឧទាហរណ៍ ៧

សរសេររូបមន្តដេរីវេនៃលំដាប់សម្រាប់អនុគមន៍

ហើយឥឡូវនេះអំពីការទទួលខុសត្រូវទៅវិញទៅមកដែលមិនអាចរង្គោះរង្គើដែលសូម្បីតែម៉ាហ្វីយ៉ាអ៊ីតាលីនឹងច្រណែន៖

ឧទាហរណ៍ ៨

បានផ្តល់មុខងារមួយ។ ដើម្បីស្វែងរក

ដេរីវេទីដប់ប្រាំបីនៅចំណុច។ គ្រាន់តែ។

ការសម្រេចចិត្ត៖ ជាដំបូង ច្បាស់ណាស់ អ្នកត្រូវស្វែងរក។ ទៅ៖

ពួក​គេ​ចាប់​ផ្តើម​ពី​ស៊ីនុស ហើយ​ពួក​គេ​មក​ដល់​ស៊ីនុស។ វាច្បាស់ណាស់ថាជាមួយនឹងភាពខុសគ្នាបន្ថែមទៀត វដ្ដនេះនឹងបន្តទៅជាភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ហើយសំណួរខាងក្រោមកើតឡើង៖ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បី "ទទួលបាន" ល្អបំផុតទៅដេរីវេទីដប់ប្រាំបី?

វិធីសាស្រ្ត "អ្នកស្ម័គ្រចិត្ត"៖ យើងសរសេរយ៉ាងរហ័សនូវលេខនៃនិស្សន្ទវត្ថុជាបន្តបន្ទាប់នៅខាងស្តាំក្នុងជួរឈរ៖

ដូចនេះ៖

ប៉ុន្តែវាដំណើរការប្រសិនបើលំដាប់នៃដេរីវេមិនធំពេក។ ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការស្វែងរក និយាយថា ដេរីវេទី 100 នោះអ្នកគួរតែប្រើការបែងចែកដោយ 4 ។ មួយរយត្រូវបានបែងចែកដោយ 4 ដោយគ្មានសល់ ហើយវាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថាលេខបែបនេះមានទីតាំងនៅលើបន្ទាត់ខាងក្រោម ដូច្នេះ៖ .

ដោយវិធីនេះ ដេរីវេទី 18 ក៏អាចត្រូវបានកំណត់ដោយការពិចារណាស្រដៀងគ្នាដែរ៖
ជួរទីពីរមានលេខដែលបែងចែកដោយ 4 និងនៅសល់នៃ 2 ។

វិធីសាស្រ្តសិក្សាបន្ថែមទៀតគឺផ្អែកលើ ភាពទៀងទាត់នៃស៊ីនុសនិង រូបមន្តកាត់បន្ថយ. យើងប្រើរូបមន្តដែលត្រៀមរួចជាស្រេច "nth" ដេរីវេនៃស៊ីនុស ដែលក្នុងនោះលេខដែលចង់បានត្រូវបានជំនួសដោយសាមញ្ញ។ ឧទាហរណ៍:
(រូបមន្តកាត់បន្ថយ ) ;
(រូបមន្តកាត់បន្ថយ )

ក្នុងករណីរបស់យើង៖

(1) ដោយសារស៊ីនុសគឺជាមុខងារតាមកាលកំណត់ជាមួយនឹងរយៈពេលមួយ នោះអាគុយម៉ង់អាចត្រូវបាន "unscrewed" 4 ដំណាក់កាលដោយគ្មានការឈឺចាប់ (ឧ។

ដេរីវេនៃលំដាប់នៃផលិតផលនៃមុខងារពីរអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត:

ជាពិសេស:

អ្នកមិនចាំបាច់ចាំអ្វីពិសេសនោះទេ ព្រោះរូបមន្តកាន់តែច្រើន អ្នកយល់កាន់តែតិច។ ដឹងកាន់តែច្បាស់ លេខពីររបស់ញូតុនចាប់តាំងពីរូបមន្តរបស់ Leibniz គឺស្រដៀងនឹងគាត់ណាស់។ ជាការប្រសើរណាស់, អ្នកមានសំណាងទាំងនោះដែលទទួលបានដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញទី 7 ឬខ្ពស់ជាងនេះ។ (ដែលពិតជាមិនទំនង)នឹងត្រូវបង្ខំឱ្យធ្វើដូច្នេះ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅពេលដែលពេលវេលាមកដល់ បន្សំ- អ្នកនៅតែត្រូវ =)

ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេទីបីនៃអនុគមន៍។ យើងប្រើរូបមន្ត Leibniz៖

ក្នុងករណី​នេះ: . ដេរីវេគឺងាយស្រួលចុចពាក្យសំដី៖

ឥឡូវនេះ យើងអនុវត្តការជំនួសដោយប្រយ័ត្នប្រយែង និងដោយប្រុងប្រយ័ត្ន និងធ្វើឱ្យលទ្ធផលសាមញ្ញ៖

ចម្លើយ:

ភារកិច្ចស្រដៀងគ្នាសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ៖

ឧទាហរណ៍ 11

ស្វែងរកលក្ខណៈពិសេស

ប្រសិនបើនៅក្នុងឧទាហរណ៍មុនដំណោះស្រាយ "នៅលើថ្ងាស" នៅតែប្រកួតប្រជែងជាមួយរូបមន្ត Leibniz នោះនៅទីនេះវាពិតជាមិនសប្បាយចិត្តរួចទៅហើយ។ ហើយសូម្បីតែមិនសប្បាយចិត្តជាងនេះ - ក្នុងករណីមានលំដាប់ខ្ពស់នៃដេរីវេ:

ឧទាហរណ៍ 12

ស្វែងរកដេរីវេនៃលំដាប់ដែលបានបញ្ជាក់

ការសម្រេចចិត្ត: ការកត់សម្គាល់ដំបូង និងសំខាន់ - ដើម្បីសម្រេចចិត្តដូចនេះ ប្រហែលជាវាមិនចាំបាច់ទេ =) =)

ចូរសរសេរអនុគមន៍ និងស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វារហូតដល់លំដាប់ទី 5 រួមបញ្ចូល។ ខ្ញុំសន្មត់ថាដេរីវេនៃជួរឈរខាងស្តាំបានក្លាយជាផ្ទាល់មាត់សម្រាប់អ្នក៖

នៅក្នុងជួរឈរខាងឆ្វេង និស្សន្ទវត្ថុ "បន្តផ្ទាល់" "បានបញ្ចប់" យ៉ាងឆាប់រហ័ស ហើយនេះគឺល្អណាស់ - នៅក្នុងរូបមន្ត Leibniz ពាក្យបីនឹងត្រូវបានសូន្យ៖

ខ្ញុំ​នឹង​រស់​នៅ​ជា​ថ្មី​ម្តង​ទៀត​នៅ​ក្នុង​បញ្ហា​ដែល​បាន​បង្ហាញ​នៅ​ក្នុង​អត្ថបទ​នៅ​លើ​ និស្សន្ទវត្ថុស្មុគស្មាញ: ដើម្បីធ្វើឱ្យលទ្ធផលសាមញ្ញ? ជាគោលការណ៍អ្នកអាចទុកវាឱ្យដូចនោះ - វានឹងកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់គ្រូក្នុងការត្រួតពិនិត្យ។ ប៉ុន្តែគាត់ប្រហែលជាតម្រូវឱ្យពិចារណាការសម្រេចចិត្ត។ ម៉្យាងវិញទៀត ភាពសាមញ្ញលើគំនិតផ្តួចផ្តើមផ្ទាល់ខ្លួនរបស់បុគ្គលគឺមានភាពច្របូកច្របល់ជាមួយនឹងកំហុសពិជគណិត។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងមានចំលើយដែលទទួលបានតាមវិធី "បឋម" =) (សូមមើលតំណនៅដើម)ហើយខ្ញុំសង្ឃឹមថាវាត្រឹមត្រូវ៖

អស្ចារ្យ​ណាស់ វា​បាន​ដំណើរការ​ទាំងអស់។

ចម្លើយ:

កិច្ចការដ៏រីករាយសម្រាប់ការដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍ 13

សម្រាប់មុខងារ៖
ក) ស្វែងរកដោយភាពខុសគ្នាដោយផ្ទាល់;
ខ) ស្វែងរកដោយរូបមន្ត Leibniz;
គ) គណនា។

ទេ ខ្ញុំមិនមែនជាអ្នកសោកសៅទាល់តែសោះ - ចំណុច "a" នេះគឺសាមញ្ញណាស់ =)

ប៉ុន្តែធ្ងន់ធ្ងរ ដំណោះស្រាយ "ផ្ទាល់" ដោយភាពខុសគ្នាជាបន្តបន្ទាប់ក៏មាន "សិទ្ធិរស់រានមានជីវិត" - ក្នុងករណីខ្លះភាពស្មុគស្មាញរបស់វាគឺអាចប្រៀបធៀបទៅនឹងភាពស្មុគស្មាញនៃការអនុវត្តរូបមន្ត Leibniz ។ ប្រើ​តាម​ដែល​អ្នក​ឃើញ​ថា​សម - នេះ​ទំនង​ជា​មិន​មែន​ជា​មូលដ្ឋាន​សម្រាប់​ការ​មិន​រាប់​កិច្ចការ​នោះ​ទេ។

ដំណោះស្រាយខ្លីៗ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ដើម្បីលើកកថាខណ្ឌចុងក្រោយ អ្នកត្រូវតែអាច បែងចែកមុខងារមិនច្បាស់លាស់:

ដេរីវេនៃលំដាប់ខ្ពស់នៃអនុគមន៍មិនច្បាស់លាស់

ពួកយើងជាច្រើនបានចំណាយពេលជាច្រើនម៉ោង ថ្ងៃ និងសប្តាហ៍នៃជីវិតរបស់យើងសិក្សា រង្វង់, ប៉ារ៉ាបូឡា, អ៊ីពែបូល- ហើយពេលខ្លះវាហាក់ដូចជាការដាក់ទណ្ឌកម្មពិតប្រាកដ។ ដូច្នេះ​សូម​សងសឹក​ហើយ​បែងចែក​ឱ្យ​បាន​ត្រឹមត្រូវ​!

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយ "សាលា" ប៉ារ៉ាបូឡានៅក្នុងរបស់វា។ ទីតាំង Canonical:

ឧទាហរណ៍ 14

សមីការមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ដើម្បីស្វែងរក។

ការសម្រេចចិត្ត៖ ជំហានដំបូងគឺធ្លាប់ស្គាល់៖

ការដែលអនុគមន៍ និងដេរីវេរបស់វាត្រូវបានបង្ហាញដោយប្រយោល មិនផ្លាស់ប្តូរខ្លឹមសារនៃវត្ថុនោះទេ ដេរីវេទី ២ គឺជាដេរីវេនៃដេរីវេទី ១៖

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មានច្បាប់នៃល្បែង៖ ដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញទី 2 និងខ្ពស់ជាងនេះជាធម្មតាត្រូវបានបង្ហាញ តាមរយៈ "x" និង "y" ប៉ុណ្ណោះ. ដូច្នេះ យើងជំនួសទៅជាដេរីវេទី 2 លទ្ធផល៖

ដេរីវេទី ៣ ជាដេរីវេទី ២៖

ដូចគ្នានេះដែរ ចូរយើងជំនួស៖

ចម្លើយ:

"សាលា" ខ្ពស់នៅក្នុង ទីតាំង Canonical- សម្រាប់ការងារឯករាជ្យ៖

ឧទាហរណ៍ ១៥

សមីការមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ដើម្បីស្វែងរក។

ខ្ញុំនិយាយម្តងទៀតថា ដេរីវេទី 2 និងលទ្ធផលគួរតែត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈ "x" / "y" ប៉ុណ្ណោះ!

ដំណោះស្រាយខ្លីៗ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

បន្ទាប់ពីការលេងសើចរបស់កុមារ សូមក្រឡេកមើលរឿងអាសអាភាសរបស់អាឡឺម៉ង់ @ fia សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍សម្រាប់មនុស្សពេញវ័យបន្ថែមទៀត ដែលយើងរៀនពីដំណោះស្រាយសំខាន់មួយទៀត៖

ឧទាហរណ៍ 16

ពងក្រពើខ្លួនគាត់។

ការសម្រេចចិត្ត៖ ស្វែងរកដេរីវេទី ១៖

ហើយ​ឥឡូវ​នេះ​យើង​ឈប់​វិភាគ​នៅ​ពេល​បន្ទាប់​ទៀត៖ ឥឡូវ​នេះ យើង​ត្រូវ​បែងចែក​ប្រភាគ​ខុស​គ្នា ដែល​មិន​មែន​ជា​ការ​លើក​ទឹក​ចិត្ត​ទាល់​តែ​សោះ។ ក្នុងករណីនេះជាការពិតណាស់វាគឺសាមញ្ញប៉ុន្តែនៅក្នុងបញ្ហាជីវិតពិតមានតែអំណោយបែបនេះពីរបីប៉ុណ្ណោះ។ តើ​មាន​វិធី​ដើម្បី​ជៀសវាង​ការ​រក​ឃើញ​ដេរីវេ​ដែល​ពិបាក​ទេ? មានហើយ! យើងយកសមីការ ហើយប្រើបច្ចេកទេសដូចគ្នានឹងពេលរកឃើញដេរីវេទី 1 - យើង "ព្យួរ" strokes លើផ្នែកទាំងពីរ៖

ដេរីវេទី 2 ត្រូវតែបង្ហាញតែតាមរយៈ និង ដូច្នេះឥឡូវនេះ (ឥឡូវ​នេះ)វាងាយស្រួលក្នុងការកម្ចាត់ដេរីវេទី 1 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងជំនួសសមីការលទ្ធផល៖

ដើម្បីជៀសវាងការលំបាកផ្នែកបច្ចេកទេសដែលមិនចាំបាច់ យើងគុណផ្នែកទាំងពីរដោយ៖

ហើយមានតែនៅដំណាក់កាលចុងក្រោយទេដែលយើងគូរប្រភាគ៖

ឥឡូវនេះយើងក្រឡេកមើលសមីការដើម ហើយកត់សំគាល់ថាលទ្ធផលដែលទទួលបានអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖

ចម្លើយ:

របៀបស្វែងរកតម្លៃនៃដេរីវេទី 2 នៅចំណុចមួយចំនួន (ដែលជាការពិតជាកម្មសិទ្ធិរបស់ពងក្រពើ)ឧទាហរណ៍នៅចំណុច ? ស្រួលណាស់! គំនូរនេះត្រូវបានជួបប្រទះរួចហើយនៅក្នុងមេរៀនអំពី សមីការធម្មតា។៖ នៅក្នុងកន្សោមនៃដេរីវេទី 2 អ្នកត្រូវជំនួស :

ជាការពិតណាស់នៅក្នុងករណីទាំងបី អ្នកអាចទទួលបានមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យយ៉ាងច្បាស់ និងបែងចែកពួកវា ប៉ុន្តែបន្ទាប់មករៀបចំផ្លូវចិត្តដើម្បីធ្វើការជាមួយមុខងារពីរដែលមានឫស។ តាមគំនិតរបស់ខ្ញុំ ដំណោះស្រាយគឺងាយស្រួលជាងក្នុងការអនុវត្ត "ដោយប្រយោល"។

ឧទាហរណ៍ចុងក្រោយសម្រាប់ដំណោះស្រាយខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍ 17

ស្វែងរកមុខងារបង្កប់

រូបមន្ត Leibniz សម្រាប់ការគណនាដេរីវេទី n នៃផលិតផលនៃមុខងារពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ភស្តុតាងរបស់វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យតាមពីរវិធី។ ឧទាហរណ៍នៃការគណនាដេរីវេនៃលំដាប់ទី 1 ត្រូវបានពិចារណា។

មាតិកា

សូម​មើល​ផង​ដែរ: ដេរីវេនៃផលិតផលនៃមុខងារពីរ

រូបមន្ត Leibniz

ដោយប្រើរូបមន្ត Leibniz អ្នកអាចគណនាដេរីវេទី n នៃផលិតផលនៃមុខងារពីរ។ វាមើលទៅដូចនេះ៖
(1) ,
កន្លែងណា
គឺជាមេគុណ binomial ។

មេគុណ binomial គឺជាមេគុណនៃការពង្រីក binomial នៅក្នុងអំណាចនៃ និង:
.
លេខក៏ជាចំនួនបន្សំពី n ដល់ k ។

ភស្តុតាងនៃរូបមន្ត Leibniz

អាចអនុវត្តបាន។ រូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃផលិតផលនៃមុខងារពីរ :
(2) .
ចូរយើងសរសេររូបមន្ត (២) ឡើងវិញក្នុងទម្រង់ខាងក្រោម៖
.
នោះគឺយើងពិចារណាថាមុខងារមួយអាស្រ័យលើអថេរ x និងមួយទៀតអាស្រ័យលើអថេរ y ។ នៅចុងបញ្ចប់នៃការគណនាយើងសន្មត់។ បន្ទាប់មករូបមន្តមុនអាចត្រូវបានសរសេរជា:
(3) .
ដោយសារនិស្សន្ទវត្ថុស្មើនឹងផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌ ហើយពាក្យនីមួយៗគឺជាផលនៃមុខងារពីរ ដូច្នេះដើម្បីគណនានិស្សន្ទវត្ថុនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់ជាង អ្នកអាចអនុវត្តច្បាប់ (3) ជាប់លាប់។

បន្ទាប់​មក​សម្រាប់​ដេរីវេ​លំដាប់​ទី 9 យើង​មាន៖

.
ដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះហើយយើងទទួលបានរូបមន្ត Leibniz:
(1) .

ភស្តុតាងដោយការបញ្ឆេះ

យើងបង្ហាញភស្តុតាងនៃរូបមន្ត Leibniz ដោយវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។

ចូរយើងសរសេររូបមន្ត Leibniz ឡើងវិញ៖
(4) .
សម្រាប់ n = 1 យើងមាន៖
.
នេះគឺជារូបមន្តសម្រាប់ដេរីវេនៃផលិតផលនៃមុខងារពីរ។ នាងគឺយុត្តិធម៌។

ចូរយើងសន្មត់ថារូបមន្ត (4) មានសុពលភាពសម្រាប់ដេរីវេទី 3 ។ ចូរ​យើង​បញ្ជាក់​ថា​វា​មាន​សុពលភាព​សម្រាប់​ដេរីវេ n + 1 - លំដាប់។

ភាពខុសគ្នា (4):
;



.
ដូច្នេះយើងបានរកឃើញ៖
(5) .

ជំនួសក្នុង (5) ហើយពិចារណាថា:

.
នេះបង្ហាញថារូបមន្ត (4) មានទម្រង់ដូចគ្នាសម្រាប់ដេរីវេ n + 1 - លំដាប់។

ដូច្នេះរូបមន្ត (4) មានសុពលភាពសម្រាប់ n = 1 . ពីការសន្មតថាវាជាការពិតសម្រាប់លេខមួយចំនួន n = m វាធ្វើតាមថាវាជាការពិតសម្រាប់ n = m + 1 .
រូបមន្ត Leibniz ត្រូវបានបញ្ជាក់។

ឧទាហរណ៍

គណនាដេរីវេទី n នៃអនុគមន៍
.

យើងអនុវត្តរូបមន្ត Leibniz
(2) .
ក្នុងករណីរបស់យើង។
;
.

ដោយ តារាងដេរីវេយើង​មាន:
.
អនុវត្ត លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ :
.
បន្ទាប់មក
.
នេះបង្ហាញថាភាពខុសគ្នានៃមុខងារស៊ីនុសនាំទៅរកការផ្លាស់ប្តូររបស់វាដោយ . បន្ទាប់មក
.

យើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារ។
;
;
;
, .

ចាប់តាំងពីសម្រាប់ មានតែពាក្យបីដំបូងនៅក្នុងរូបមន្ត Leibniz គឺមិនសូន្យ។ ការស្វែងរកមេគុណ binomial ។
;
.

យោងតាមរូបមន្ត Leibniz យើងមាន:

.

សូម​មើល​ផង​ដែរ: