មុននេះ យើងបាននិយាយរួចមកហើយអំពីថាមពលនៃលេខ។ វាមានលក្ខណៈសម្បត្តិជាក់លាក់ដែលមានប្រយោជន៍ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា៖ វាគឺជាពួកវា និងនិទស្សន្តដែលអាចកើតមានទាំងអស់ដែលយើងនឹងវិភាគនៅក្នុងអត្ថបទនេះ។ យើងក៏នឹងបង្ហាញផងដែរជាមួយនឹងឧទាហរណ៍អំពីរបៀបដែលពួកគេអាចត្រូវបានបង្ហាញ និងអនុវត្តយ៉ាងត្រឹមត្រូវក្នុងការអនុវត្ត។

ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញនូវគោលគំនិតនៃសញ្ញាប័ត្រដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ ដែលយើងបានបង្កើតរួចហើយមុននេះ៖ នេះគឺជាផលគុណនៃកត្តាទី 9 ដែលនីមួយៗស្មើនឹង a ។ យើងក៏ត្រូវចងចាំពីរបៀបគុណចំនួនពិតឱ្យបានត្រឹមត្រូវ។ ទាំងអស់នេះនឹងជួយយើងក្នុងការបង្កើតលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមសម្រាប់កម្រិតជាមួយនឹងសូចនាករធម្មជាតិ:

និយមន័យ ១

1. ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រ: a m a n = a m + n

អាចត្រូវបានទូទៅទៅ៖ a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + ... + n k ។

2. កម្មសិទ្ធបញ្ញាសម្រាប់អំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖ a m: a n = a m − n

3. Product degree property: (a b) n = a n b n

សមភាពអាចត្រូវបានពង្រីកទៅ៖ (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

4. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃសញ្ញាប័ត្រធម្មជាតិ: (a: b) n = a n: b n

5. េយងេធវឲយមនអំណចៈ (a m) n = a m n ,

អាចត្រូវបានទូទៅទៅ៖ (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k

6. ប្រៀបធៀបដឺក្រេជាមួយសូន្យ៖

• ប្រសិនបើ a > 0 បន្ទាប់មកសម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ a n នឹងធំជាងសូន្យ។
• ដោយស្មើ 0, a n ក៏នឹងស្មើសូន្យ;
• សម្រាប់ ក< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• សម្រាប់ ក< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. សមភាព a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. វិសមភាព a m > a n នឹងក្លាយជាការពិតដែលថា m និង n គឺជាលេខធម្មជាតិ m គឺធំជាង n ហើយ a គឺធំជាងសូន្យ និងមិនតិចជាងមួយ។

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានសមភាពជាច្រើន; ប្រសិនបើអ្នកបំពេញលក្ខខណ្ឌទាំងអស់ដែលបានចង្អុលបង្ហាញខាងលើ នោះពួកវានឹងដូចគ្នាបេះបិទ។ សម្រាប់សមភាពនីមួយៗ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ទ្រព្យសំខាន់ អ្នកអាចប្តូរផ្នែកខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងបាន៖ a m · a n = a m + n - ដូចគ្នានឹង a m + n = a m · a n ។ នៅក្នុងទម្រង់នេះ វាត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់នៅពេលធ្វើឱ្យកន្សោមសាមញ្ញ។

1. ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រ៖ សមភាព a m · a n = a m + n នឹងក្លាយជាការពិតសម្រាប់ m និង n ធម្មជាតិ និង a ពិតប្រាកដ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ?

និយមន័យជាមូលដ្ឋាននៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងបំប្លែងសមភាពទៅជាផលិតផលនៃកត្តា។ យើងនឹងទទួលបានធាតុដូចនេះ៖

នេះអាចត្រូវបានខ្លីទៅ (រំលឹកគុណលក្ខណៈមូលដ្ឋាននៃគុណ)។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានកម្រិតនៃលេខ a ជាមួយនឹងនិទស្សន្តធម្មជាតិ m + n ។ ដូច្នេះ m + n ដែលមានន័យថាទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រត្រូវបានបង្ហាញ។

ចូរយើងយកឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងមួយដើម្បីបញ្ជាក់រឿងនេះ។

ឧទាហរណ៍ ១

ដូច្នេះយើងមានអំណាចពីរជាមួយមូលដ្ឋាន 2 ។ សូចនាករធម្មជាតិរបស់ពួកគេគឺ 2 និង 3 រៀងគ្នា។ យើងទទួលបានសមភាព៖ 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 ចូរយើងគណនាតម្លៃដើម្បីពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃសមភាពនេះ។

តោះអនុវត្តប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យាចាំបាច់៖ 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 និង 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

ជាលទ្ធផល យើងទទួលបាន៖ 2 2 2 3 = 2 5 ។ ទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានបញ្ជាក់។

ដោយសារលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគុណ យើងអាចធ្វើលក្ខណៈទូទៅដោយបង្កើតជាអនុភាពបី ឬច្រើន ដែលនិទស្សន្តជាលេខធម្មជាតិ ហើយគោលគឺដូចគ្នា។ ប្រសិនបើយើងសម្គាល់លេខធម្មជាតិ n 1, n 2 ជាដើម ដោយអក្សរ k យើងទទួលបានសមភាពត្រឹមត្រូវ៖

a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k ។

ឧទាហរណ៍ ២

2. បន្ទាប់មក យើងត្រូវបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិខាងក្រោម ដែលហៅថា កម្មសិទ្ធបញ្ញា ហើយមាននៅក្នុងអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖ នេះគឺជាសមភាព a m: a n = a m − n ដែលមានសុពលភាពសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ m និង n (និង m ។ ធំជាង n)) និងពិតប្រាកដដែលមិនមែនជាសូន្យ។

ដើម្បីចាប់ផ្តើមជាមួយ អនុញ្ញាតឱ្យយើងពន្យល់ពីអត្ថន័យនៃលក្ខខណ្ឌដែលត្រូវបានរៀបរាប់នៅក្នុងរូបមន្ត។ ប្រសិនបើយើងយកស្មើនឹងសូន្យ នោះនៅទីបញ្ចប់ យើងនឹងទទួលបានការបែងចែកដោយសូន្យ ដែលមិនអាចធ្វើបាន (បន្ទាប់ពីទាំងអស់ 0 n = 0)។ លក្ខខណ្ឌដែលលេខ m ត្រូវតែធំជាង n គឺចាំបាច់ដើម្បីឱ្យយើងអាចស្ថិតនៅក្នុងនិទស្សន្តធម្មជាតិ៖ ដោយដក n ពី m យើងទទួលបានលេខធម្មជាតិ។ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌមិនត្រូវបានបំពេញនោះយើងនឹងទទួលបានលេខអវិជ្ជមានឬសូន្យហើយម្តងទៀតយើងនឹងទៅហួសពីការសិក្សាដឺក្រេជាមួយនឹងសូចនាករធម្មជាតិ។

ឥឡូវនេះយើងអាចបន្តទៅភស្តុតាង។ ពីការសិក្សាពីមុន យើងរំលឹកលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃប្រភាគ ហើយបង្កើតសមភាពដូចខាងក្រោម៖

a m − n a n = a (m − n) + n = a m

ពីវាយើងអាចសន្និដ្ឋាន: a m − n a n = a m

រំលឹកឡើងវិញនូវទំនាក់ទំនងរវាងការបែងចែក និងគុណ។ វាមកពីវាថា m − n គឺជាកូតានៃអំណាច a m និង a n ។ នេះគឺជាភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិសញ្ញាបត្រទីពីរ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ជំនួសលេខជាក់លាក់សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់នៅក្នុងសូចនាករ និងកំណត់មូលដ្ឋាននៃសញ្ញាបត្រ π: π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. បន្ទាប់​មក យើង​នឹង​ធ្វើ​ការ​វិភាគ​លើ​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​នៃ​កម្រិត​របស់​ផលិតផល៖ (a · b) n = a n · b n សម្រាប់ a និង b និង natural n ។

យោងតាមនិយមន័យជាមូលដ្ឋាននៃសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ យើងអាចកែទម្រង់សមភាពដូចខាងក្រោមៈ

ចងចាំលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគុណយើងសរសេរ៖ . វាមានន័យដូចគ្នានឹង a n · b n ។

ឧទាហរណ៍ 4

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

ប្រសិនបើយើងមានកត្តាបី ឬច្រើន នោះទ្រព្យសម្បត្តិនេះក៏អនុវត្តចំពោះករណីនេះដែរ។ យើងណែនាំសញ្ញាណ k សម្រាប់ចំនួនកត្តា ហើយសរសេរ៖

(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

ឧទាហរណ៍ ៥

ជាមួយនឹងលេខជាក់លាក់ យើងទទួលបានសមភាពត្រឹមត្រូវដូចខាងក្រោមៈ (2 (- 2 , 3) ​​​a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) ​​7 a

4. បន្ទាប់ពីនោះ យើងនឹងព្យាយាមបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិកូតា៖ (a:b) n = a n: b n សម្រាប់ពិតណាមួយ a និង b ប្រសិនបើ b មិនស្មើនឹង 0 ហើយ n គឺជាចំនួនធម្មជាតិ។

សម្រាប់ភ័ស្តុតាង យើងអាចប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិសញ្ញាបត្រមុន។ ប្រសិនបើ (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n , និង (a: b) n b n = a n នោះវាដូចខាងក្រោមថា (a: b) n គឺជាកូតានៃការបែងចែក a n ដោយ b n ។

ឧទាហរណ៍ ៦

ចូររាប់ឧទាហរណ៍៖ 3 1 2: - 0 ។ 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) ៣

ឧទាហរណ៍ ៧

ចូរចាប់ផ្តើមភ្លាមៗជាមួយនឹងឧទាហរណ៍៖ (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

ហើយឥឡូវនេះ យើងបង្កើតខ្សែសង្វាក់នៃសមភាពដែលនឹងបង្ហាញដល់យើងនូវភាពត្រឹមត្រូវនៃសមភាព៖

ប្រសិនបើ​យើង​មាន​កម្រិត​ដឺក្រេ​ក្នុង​ឧទាហរណ៍ នោះ​ទ្រព្យសម្បត្តិ​នេះ​ក៏​ពិត​សម្រាប់​ពួកគេ​ផងដែរ។ ប្រសិនបើយើងមានលេខធម្មជាតិ p, q, r, s នោះវានឹងជាការពិត៖

a p q y s = a p q y s

ឧទាហរណ៍ ៨

ចូរបន្ថែមភាពជាក់លាក់៖ (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. ទ្រព្យសម្បត្តិនៃដឺក្រេមួយទៀតដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិដែលយើងត្រូវបញ្ជាក់គឺទ្រព្យសម្បត្តិប្រៀបធៀប។

ជាដំបូង ចូរយើងប្រៀបធៀបនិទស្សន្តជាមួយសូន្យ។ ហេតុអ្វីបានជា n > 0 ផ្តល់ថា a ធំជាង 0?

ប្រសិនបើយើងគុណលេខវិជ្ជមានមួយនឹងលេខមួយទៀត យើងក៏នឹងទទួលបានលេខវិជ្ជមានផងដែរ។ ដោយដឹងពីការពិតនេះយើងអាចនិយាយបានថានេះមិនអាស្រ័យលើចំនួនកត្តា - លទ្ធផលនៃការគុណលេខណាមួយនៃចំនួនវិជ្ជមានគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន។ ហើយ​កម្រិត​ណា​បើ​មិនមែន​លទ្ធផល​នៃ​ការ​គុណ​លេខ? បន្ទាប់មកសម្រាប់ថាមពលណាមួយ a n ដែលមានមូលដ្ឋានវិជ្ជមាន និងនិទស្សន្តធម្មជាតិ នេះនឹងក្លាយជាការពិត។

ឧទាហរណ៍ ៩

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 និង 34 9 13 51 > 0

វាក៏ច្បាស់ដែរថា ថាមពលដែលមានមូលដ្ឋានស្មើនឹងសូន្យគឺខ្លួនវាសូន្យ។ ចំពោះថាមពលអ្វីក៏ដោយដែលយើងលើកសូន្យ វានឹងនៅតែសូន្យ។

ឧទាហរណ៍ 10

0 3 = 0 និង 0 762 = 0

ប្រសិនបើមូលដ្ឋាននៃសញ្ញាប័ត្រគឺជាចំនួនអវិជ្ជមាន នោះភស្តុតាងមានភាពស្មុគស្មាញបន្តិច ដោយសារគោលគំនិតនៃនិទស្សន្តគូ/សេស ក្លាយជារឿងសំខាន់។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយករណីនៅពេលដែលនិទស្សន្តគឺគូ ហើយបង្ហាញវាដោយ 2 · m ដែល m ជាលេខធម្មជាតិ។

ចូរយើងចងចាំពីរបៀបគុណលេខអវិជ្ជមានឱ្យបានត្រឹមត្រូវ៖ ផលិតផល a · a គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃម៉ូឌុល ហើយដូច្នេះវានឹងជាលេខវិជ្ជមាន។ បន្ទាប់មក ហើយសញ្ញាបត្រ a 2·m ក៏វិជ្ជមានផងដែរ។

ឧទាហរណ៍ 11

ឧទាហរណ៍ (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 និង − 2 9 6 > 0

ចុះបើនិទស្សន្តដែលមានមូលដ្ឋានអវិជ្ជមានជាចំនួនសេស? ចូរសម្គាល់វា 2 · m − 1 ។

បន្ទាប់មក

ផលិតផលទាំងអស់ a · a យោងទៅតាមលក្ខណៈសម្បត្តិនៃគុណគឺវិជ្ជមាន ហើយផលិតផលរបស់ពួកគេក៏ដូចគ្នាដែរ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើយើងគុណវាដោយចំនួនតែមួយគត់ដែលនៅសល់ a នោះលទ្ធផលចុងក្រោយនឹងអវិជ្ជមាន។

បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖ (−៥) ៣< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីបញ្ជាក់វា?

មួយ n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

ឧទាហរណ៍ 12

ឧទហរណ៍ វិសមភាពគឺពិត៖ ៣ ៧< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. វានៅសល់សម្រាប់យើងដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិចុងក្រោយ: ប្រសិនបើយើងមានពីរដឺក្រេ, មូលដ្ឋាននៃដែលដូចគ្នានិងវិជ្ជមាន, និងនិទស្សន្តគឺជាលេខធម្មជាតិ, បន្ទាប់មកមួយនៃពួកគេគឺធំជាង, និទស្សន្តគឺតិចជាង; ហើយនៃពីរដឺក្រេដែលមានសូចនាករធម្មជាតិ និងមូលដ្ឋានដូចគ្នាធំជាងមួយ ដឺក្រេគឺធំជាង សូចនាករដែលធំជាង។

ចូរយើងបង្ហាញការអះអាងទាំងនេះ។

ដំបូងយើងត្រូវធ្វើឱ្យប្រាកដថា m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

យើងយក n ចេញពីតង្កៀប បន្ទាប់មកភាពខុសគ្នារបស់យើងនឹងបង្កើតជា n · (am − n − 1) ។ លទ្ធផលរបស់វានឹងមានអវិជ្ជមាន (ចាប់តាំងពីលទ្ធផលនៃការគុណលេខវិជ្ជមានដោយលេខអវិជ្ជមានគឺអវិជ្ជមាន)។ ជាការពិតណាស់ យោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌដំបូង m − n > 0 បន្ទាប់មក m − n − 1 គឺអវិជ្ជមាន ហើយកត្តាទីមួយគឺវិជ្ជមាន ដូចជាថាមពលធម្មជាតិដែលមានមូលដ្ឋានវិជ្ជមាន។

វាប្រែថា a m - a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

វានៅសល់ដើម្បីបញ្ជាក់ផ្នែកទីពីរនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលបានបង្កើតខាងលើ៖ a m > a គឺពិតសម្រាប់ m > n និង a > 1 ។ យើងចង្អុលបង្ហាញភាពខុសគ្នា ហើយយក n ចេញពីតង្កៀប៖ (a m - n - 1) ថាមពលនៃ n ដែលមានលេខធំជាងមួយនឹងផ្តល់លទ្ធផលវិជ្ជមាន។ ហើយភាពខុសគ្នាខ្លួនវាក៏នឹងប្រែទៅជាវិជ្ជមានផងដែរដោយសារតែលក្ខខណ្ឌដំបូងហើយសម្រាប់> 1 ដឺក្រេនៃ m − n គឺធំជាងមួយ។ វាប្រែថា a m − a n > 0 និង a m > a n ដែលជាអ្វីដែលយើងត្រូវបញ្ជាក់។

ឧទាហរណ៍ 13

ឧទាហរណ៍ជាមួយលេខជាក់លាក់៖ 3 7 > 3 2

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេជាមួយចំនួនគត់និទស្សន្ត

សម្រាប់ដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់វិជ្ជមាន លក្ខណៈសម្បត្តិនឹងស្រដៀងគ្នា ពីព្រោះចំនួនគត់វិជ្ជមានគឺធម្មជាតិ ដែលមានន័យថាសមភាពទាំងអស់ដែលបានបង្ហាញខាងលើក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ពួកវាផងដែរ។ ពួកវាក៏សមរម្យសម្រាប់ករណីដែលនិទស្សន្តគឺអវិជ្ជមាន ឬស្មើនឹងសូន្យ (ផ្តល់ថាមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេខ្លួនឯងគឺមិនសូន្យ)។

ដូច្នេះ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអំណាចគឺដូចគ្នាសម្រាប់មូលដ្ឋានណាមួយ a និង b (ផ្តល់ថាលេខទាំងនេះពិត និងមិនស្មើនឹង 0) និងនិទស្សន្ត m និង n (ផ្តល់ថាវាជាចំនួនគត់)។ យើងសរសេរពួកវាដោយសង្ខេបក្នុងទម្រង់នៃរូបមន្ត៖

និយមន័យ ២

1. a m a n = a m + n

2. a m : a n = a m − n

3. (a b) n = a n b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (ព្រឹក) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b − n ជាមួយនឹងចំនួនគត់វិជ្ជមាន n, វិជ្ជមាន a និង b, a< b

7. ម< a n , при условии целых m и n , m >n និង 0< a < 1 , при a >1 a m > a n .

ប្រសិនបើមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេស្មើនឹងសូន្យ នោះធាតុ a m និង a n មានន័យតែក្នុងករណីធម្មជាតិ និងវិជ្ជមាន m និង n ។ ជាលទ្ធផល យើងឃើញថាទម្រង់បែបបទខាងលើក៏សមរម្យសម្រាប់ករណីដែលមានសញ្ញាបត្រដែលមានមូលដ្ឋានសូន្យ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀតទាំងអស់ត្រូវបានបំពេញ។

ភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិទាំងនេះក្នុងករណីនេះគឺសាមញ្ញ។ យើងនឹងត្រូវចងចាំថាតើកម្រិតណាដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ និងចំនួនគត់ ក៏ដូចជាលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសកម្មភាពជាមួយនឹងចំនួនពិត។

ចូរយើងវិភាគទ្រព្យសម្បត្តិនៃសញ្ញាប័ត្រនៅក្នុងសញ្ញាប័ត្រ ហើយបង្ហាញថាវាជាការពិតសម្រាប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន និងចំនួនគត់មិនវិជ្ជមាន។ យើងចាប់ផ្តើមដោយបញ្ជាក់ភាពស្មើគ្នា (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) និង (a − p) − q = a (− ទំ) (−q)

លក្ខខណ្ឌ: p = 0 ឬលេខធម្មជាតិ; q - ស្រដៀងគ្នា។

ប្រសិនបើតម្លៃ p និង q ធំជាង 0 នោះយើងទទួលបាន (a p) q = a p · q ។ យើង​បាន​បង្ហាញ​សមភាព​ស្រដៀង​គ្នា​នេះ​រួច​ហើយ​ពីមុន​មក។ ប្រសិនបើ p = 0 នោះ៖

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

ដូច្នេះ (a 0) q = a 0 q

សម្រាប់ q = 0 អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នាបេះបិទ៖

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

លទ្ធផល៖ (a p) 0 = a p 0 ។

ប្រសិនបើសូចនាករទាំងពីរគឺសូន្យ នោះ (a 0) 0 = 1 0 = 1 និង a 0 0 = a 0 = 1 បន្ទាប់មក (a 0) 0 = a 0 0 ។

រំលឹកឡើងវិញនូវទ្រព្យសម្បត្តិនៃកូតានៅក្នុងអំណាចដែលបានបង្ហាញខាងលើ ហើយសរសេរ៖

1 a p q = 1 q a p q

ប្រសិនបើ 1 p = 1 1 … 1 = 1 និង p q = a p q នោះ 1 q a p q = 1 a p q

យើង​អាច​បំប្លែង​សញ្ញាណ​នេះ​ដោយ​គុណធម៌​នៃ​ក្បួនគុណ​មូលដ្ឋាន​ទៅជា (− p) · q ។

ផងដែរ៖ a p − q = 1 (a p) q = 1 a p q = a − (p q) = a p (− q) ។

AND (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

លក្ខណៈសម្បត្តិដែលនៅសេសសល់នៃសញ្ញាបត្រអាចបញ្ជាក់បានតាមរបៀបស្រដៀងគ្នាដោយបំប្លែងវិសមភាពដែលមានស្រាប់។ យើង​នឹង​មិន​អាស្រ័យ​លើ​ចំណុច​នេះ​ដោយ​លម្អិត​ទេ យើង​នឹង​បង្ហាញ​តែ​ចំណុច​លំបាក​ប៉ុណ្ណោះ។

ភ័ស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិចុងក្រោយ៖ សូមចាំថា a − n > b − n គឺពិតសម្រាប់តម្លៃចំនួនគត់អវិជ្ជមាននៃ n និងវិជ្ជមានណាមួយ a និង b ផ្តល់ថា a តិចជាង b ។

បន្ទាប់មកវិសមភាពអាចត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរដូចខាងក្រោមៈ

1 a n > 1 b n

យើងសរសេរផ្នែកខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងជាភាពខុសគ្នា ហើយអនុវត្តការបំប្លែងចាំបាច់៖

1 a n − 1 b n = b n − a n a n b n

សូមចាំថានៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ a គឺតិចជាង b បន្ទាប់មកយោងទៅតាមនិយមន័យនៃដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n បញ្ចប់ទៅជាលេខវិជ្ជមាន ដោយសារកត្តារបស់វាវិជ្ជមាន។ ជាលទ្ធផល យើងមានប្រភាគ b n - a n a n · b n ដែលនៅទីបញ្ចប់ក៏ផ្តល់លទ្ធផលវិជ្ជមានផងដែរ។ ដូច្នេះ 1 a n > 1 b n ពីណាមក a − n > b − n ដែលយើងត្រូវបញ្ជាក់។

ទ្រព្យសម្បត្តិចុងក្រោយនៃដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់ត្រូវបានបង្ហាញស្រដៀងគ្នាទៅនឹងទ្រព្យសម្បត្តិនៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តធម្មជាតិ។

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តនិទស្សន្ត

នៅក្នុងអត្ថបទមុន យើងបានពិភាក្សាអំពីអ្វីដែលសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្ត (ប្រភាគ) ជានិទស្សន្ត។ លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេគឺដូចគ្នានឹងដឺក្រេដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់។ តោះសរសេរ៖

និយមន័យ ៣

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 សម្រាប់ a > 0 ហើយប្រសិនបើ m 1 n 1 > 0 និង m 2 n 2 > 0 បន្ទាប់មកសម្រាប់ ≥ 0 (អំណាចនៃទ្រព្យសម្បត្តិផលិតផល ជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា) ។

2. a m 1 n 1 : b m 2 n 2 = a m 1 n 1 − m 2 n 2 ប្រសិនបើ a > 0 ( កម្មសិទ្ធបញ្ញា ) ។

3. a b m n = a m n b m n សម្រាប់ a > 0 និង b > 0 ហើយប្រសិនបើ m 1 n 1 > 0 និង m 2 n 2 > 0 បន្ទាប់មកសម្រាប់ ≥ 0 និង (ឬ) b ≥ 0 (ទ្រព្យសម្បត្តិផលិតផលក្នុងដឺក្រេប្រភាគ)។

4. a: b m n \u003d a m n: b m n សម្រាប់ a > 0 និង b > 0 ហើយប្រសិនបើ m n > 0 បន្ទាប់មកសម្រាប់ a ≥ 0 និង b > 0 (ទ្រព្យសម្បត្តិនៃកូតាទៅដឺក្រេប្រភាគ)។

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 សម្រាប់ a > 0 ហើយប្រសិនបើ m 1 n 1 > 0 និង m 2 n 2 > 0 បន្ទាប់មកសម្រាប់ ≥ 0 (លក្ខណៈសម្បត្តិដឺក្រេនៅក្នុង ដឺក្រេ) ។

6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; ប្រសិនបើទំ< 0 - a p >b p (ទ្រព្យសម្បត្តិនៃការប្រៀបធៀបដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តសមហេតុផលស្មើគ្នា) ។

7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q នៅ 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

ដើម្បីបញ្ជាក់បទប្បញ្ញត្តិទាំងនេះ យើងត្រូវចាំថាតើសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគជាអ្វី តើអ្វីជាលក្ខណៈសម្បត្តិនៃឫសនព្វន្ធនៃសញ្ញាបត្រទី n និងអ្វីជាលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តចំនួនគត់។ តោះមើលអចលនទ្រព្យនីមួយៗ។

យោងតាមសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តប្រភាគគឺយើងទទួលបាន៖

a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 និង a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2 ដូច្នេះ a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2

លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ឫសនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងទទួលបានសមភាព៖

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

ពីនេះយើងទទួលបាន៖ a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

តោះ​កែ​ប្រែ៖

a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

និទស្សន្តអាចត្រូវបានសរសេរជា៖

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

នេះជាភស្តុតាង។ ទ្រព្យសម្បត្តិទីពីរត្រូវបានបញ្ជាក់តាមរបៀបដូចគ្នា។ ចូរយើងសរសេរខ្សែសង្វាក់នៃសមភាព៖

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 − m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 − m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 − m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 − m 2 n 2

ភស្តុតាងនៃសមភាពដែលនៅសល់៖

a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

ទ្រព្យសម្បត្តិបន្ទាប់៖ ចូរបង្ហាញថាសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ a និង b ធំជាង 0 ប្រសិនបើ a តិចជាង b នោះ p នឹងត្រូវបានប្រតិបត្តិ< b p , а для p больше 0 - a p >bp

ចូរតំណាងឱ្យលេខសនិទាន p ជា m n ។ ក្នុងករណីនេះ m គឺជាចំនួនគត់ n គឺជាលេខធម្មជាតិ។ បន្ទាប់មកលក្ខខណ្ឌទំ< 0 и p >0 នឹងត្រូវបានពង្រីកទៅ m< 0 и m >0. សម្រាប់ m> 0 និង a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

យើង​ប្រើ​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​នៃ​ឬស​ហើយ​យក​មក៖ a m n< b m n

ដោយគិតគូរពីភាពវិជ្ជមាននៃតម្លៃ a និង b យើងសរសេរឡើងវិញនូវវិសមភាពជា m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

ដូចគ្នានេះដែរសម្រាប់ ម< 0 имеем a a m >b m យើងទទួលបាន a m n > b m n ដូច្នេះ a m n > b m n និង a p > b p ។

វានៅសល់សម្រាប់យើងដើម្បីបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិចុងក្រោយ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាសម្រាប់លេខសនិទាន p និង q , p > q នៅ 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 នឹងក្លាយជាការពិត a p > a q ។

លេខសនិទាន p និង q អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាភាគបែងធម្មតា ហើយទទួលបានប្រភាគ m 1 n និង m 2 n

នៅទីនេះ m 1 និង m 2 គឺជាចំនួនគត់ ហើយ n គឺជាលេខធម្មជាតិ។ ប្រសិនបើ p > q បន្ទាប់មក m 1 > m 2 (គិតគូរពីច្បាប់សម្រាប់ប្រៀបធៀបប្រភាគ)។ បន្ទាប់មកនៅម៉ោង 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 - វិសមភាព a 1 m > a 2 m ។

ពួកគេអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

មួយ m 1 n< a m 2 n a m 1 n >មួយ m 2 n

បន្ទាប់មកអ្នកអាចធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ និងទទួលបានលទ្ធផល៖

មួយ m 1 n< a m 2 n a m 1 n >មួយ m 2 n

ដើម្បីសង្ខេប៖ សម្រាប់ p > q និង 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q ។

លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេជាមួយនិទស្សន្តមិនសមហេតុផល

លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់ដែលបានពិពណ៌នាខាងលើថាសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តមាននិទស្សន្តមានអាចត្រូវបានពង្រីកដល់កម្រិតបែបនេះ។ វាធ្វើតាមនិយមន័យរបស់វា ដែលយើងបានផ្ដល់ឱ្យក្នុងអត្ថបទមុនមួយ។ ចូរយើងបង្កើតលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះដោយសង្ខេប (លក្ខខណ្ឌ៖ a> 0, b> 0, សូចនាករ p និង q គឺជាលេខមិនសមហេតុផល)៖

និយមន័យ ៤

1. a p a q = a p + q

2. a p : a q = a p − q

3. (a b) p = a p b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p q

6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp

7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0 បន្ទាប់មក a p > a q ។

ដូច្នេះ អំណាចទាំងអស់ដែលនិទស្សន្ត p និង q ជាចំនួនពិត ផ្តល់ថា a > 0 មានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចគ្នា។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

ខ្លឹមសារមេរៀន

តើសញ្ញាបត្រជាអ្វី?

សញ្ញាបត្រហៅថាផលិតផលនៃកត្តាស្រដៀងគ្នាជាច្រើន។ ឧទាហរណ៍:

2 × 2 × 2

តម្លៃនៃកន្សោមនេះគឺ 8

2 x 2 x 2 = 8

ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនេះអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យខ្លីជាង - ដំបូងត្រូវសរសេរកត្តាធ្វើម្តងទៀត ហើយចង្អុលបង្ហាញលើវាថាតើវាធ្វើម្តងទៀតប៉ុន្មានដង។ មេគុណធ្វើម្តងទៀតក្នុងករណីនេះគឺ 2. វាធ្វើម្តងទៀតបីដង។ ដូច្នេះនៅលើ deuce យើងសរសេរបីដង:

2 3 = 8

ឃ្លានេះអានដូចនេះ៖ អំណាចពីរទៅទីបីស្មើនឹងប្រាំបី ឬ " អំណាចទីបីនៃ 2 គឺ 8 ។

ទម្រង់ខ្លីនៃការសរសេរគុណនៃកត្តាដូចគ្នាត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់ជាង។ ដូច្នេះហើយ យើងត្រូវតែចងចាំថា ប្រសិនបើលេខផ្សេងទៀតត្រូវបានចារឹកលើចំនួនមួយចំនួន នោះគឺជាការគុណនៃកត្តាដូចគ្នាជាច្រើន។

ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើកន្សោម 5 3 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ នោះវាគួរតែត្រូវបានដោយសារក្នុងចិត្តថាកន្សោមនេះគឺស្មើនឹងការសរសេរ 5 × 5 × 5 ។

លេខដែលធ្វើម្តងទៀតត្រូវបានគេហៅថា មូលដ្ឋាននៃសញ្ញាបត្រ. នៅក្នុងកន្សោម 5 3 មូលដ្ឋាននៃដឺក្រេគឺជាលេខ 5 ។

ហើយ​លេខ​ដែល​ចារឹក​ខាង​លើ​លេខ​៥ ហៅ​មក និទស្សន្ត. នៅក្នុងកន្សោម 5 3 និទស្សន្តគឺជាលេខ 3 ។ និទស្សន្តបង្ហាញចំនួនដងដែលមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេត្រូវបានធ្វើម្តងទៀត។ ក្នុងករណីរបស់យើង មូលដ្ឋាន 5 ត្រូវបានធ្វើម្តងទៀត 3 ដង។

ប្រតិបត្តិការនៃគុណកត្តាដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថា និទស្សន្ត.

ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការរកផលនៃកត្តាដូចគ្នាចំនួនបួន ដែលនីមួយៗស្មើនឹង 2 នោះគេនិយាយថាលេខ 2 ឡើងដល់អំណាចទីបួន:

យើងឃើញថាលេខ 2 ដល់លេខ 4 គឺលេខ 16 ។

ចំណាំថានៅក្នុងមេរៀននេះយើងកំពុងមើល ដឺក្រេជាមួយនឹងសូចនាករធម្មជាតិ. នេះគឺជាប្រភេទដឺក្រេ និទស្សន្តនៃលេខធម្មជាតិ។ សូមចាំថាលេខធម្មជាតិគឺជាចំនួនគត់ដែលធំជាងសូន្យ។ ឧទាហរណ៍ 1, 2, 3 និងបន្តបន្ទាប់ទៀត។

ជាទូទៅ និយមន័យនៃសញ្ញាបត្រដែលមានសូចនាករធម្មជាតិមានដូចខាងក្រោម៖

សញ្ញាបត្រ កជាមួយនឹងសូចនាករធម្មជាតិ នគឺជាការបង្ហាញនៃទម្រង់ មួយ nដែលស្មើនឹងផលិតផល នមេគុណដែលនីមួយៗស្មើនឹង ក

ឧទាហរណ៍:

ប្រយ័ត្នពេលបង្កើនលេខទៅជាថាមពល។ ជាញឹកញយ តាមរយៈការមិនយកចិត្តទុកដាក់ មនុស្សម្នាក់គុណគោលនៃសញ្ញាប័ត្រដោយនិទស្សន្ត។

ឧទាហរណ៍ លេខ 5 ដល់ថាមពលទីពីរ គឺជាផលនៃកត្តាពីរ ដែលនីមួយៗស្មើនឹង 5 ។ ផលិតផលនេះស្មើនឹង 25

ឥឡូវ​ស្រមៃ​ថា យើង​គុណ​គោល ៥ ដោយ​និទស្សន្ត ២ ដោយ​អចេតនា

មានកំហុសមួយ ពីព្រោះលេខ 5 ទៅថាមពលទីពីរមិនស្មើនឹង 10 ។

លើសពីនេះទៀត វាគួរតែត្រូវបានលើកឡើងថា អំណាចនៃលេខដែលមាននិទស្សន្តនៃ 1 គឺជាលេខខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍លេខ 5 ដល់អំណាចទីមួយគឺលេខ 5 ខ្លួនឯង។

ដូច្នោះហើយ ប្រសិនបើលេខមិនមានសូចនាករទេនោះ យើងត្រូវសន្មត់ថាសូចនាករគឺស្មើនឹងមួយ។

ឧទាហរណ៍ លេខ 1, 2, 3 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយគ្មាននិទស្សន្ត ដូច្នេះនិទស្សន្តរបស់ពួកគេនឹងស្មើនឹងមួយ។ លេខនីមួយៗទាំងនេះអាចត្រូវបានសរសេរដោយនិទស្សន្តនៃ 1

ហើយប្រសិនបើអ្នកបង្កើន 0 ទៅថាមពលណាមួយ អ្នកនឹងទទួលបាន 0។ ជាការពិត ទោះប៉ុន្មានដងក៏ដោយ គ្មានអ្វីត្រូវបានគុណដោយខ្លួនវាទេ គ្មានអ្វីនឹងប្រែជានោះទេ។ ឧទាហរណ៍:

ហើយកន្សោម 0 0 គ្មានន័យទេ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងផ្នែកខ្លះនៃគណិតវិទ្យា ជាពិសេសការវិភាគ និងទ្រឹស្តីកំណត់ កន្សោម 0 0 អាចមានន័យ។

សម្រាប់ការបណ្តុះបណ្តាល យើងនឹងដោះស្រាយឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃការបង្កើនលេខទៅជាថាមពលមួយ។

ឧទាហរណ៍ ១លើកលេខ 3 ទៅថាមពលទីពីរ។

លេខ 3 ដល់អំណាចទីពីរគឺជាផលនៃកត្តាពីរដែលនីមួយៗស្មើនឹង 3

3 2 = 3 × 3 = 9

ឧទាហរណ៍ ២លើកលេខ 2 ដល់អំណាចទី 4 ។

លេខ 2 ដល់អំណាចទី 4 គឺជាផលនៃកត្តា 4 ដែលនីមួយៗស្មើនឹង 2

2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

ឧទាហរណ៍ ៣លើកលេខ 2 ទៅអំណាចទីបី។

លេខ 2 ដល់អំណាចទីបីគឺជាផលនៃកត្តាបីដែលនីមួយៗស្មើនឹង 2

2 3 = 2 × 2 × 2 = 8

និទស្សន្តនៃលេខ ១០

ដើម្បីលើកលេខ 10 ទៅជាថាមពល វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការបន្ថែមលេខសូន្យបន្ទាប់ពីឯកតា ស្មើនឹងនិទស្សន្ត។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងលើកលេខ 10 ទៅកាន់អំណាចទីពីរ។ ដំបូងយើងសរសេរលេខ 10 ដោយខ្លួនឯងហើយចង្អុលបង្ហាញលេខ 2 ជាសូចនាករ

10 2

ឥឡូវយើងដាក់សញ្ញាស្មើ សរសេរមួយចុះ ហើយបន្ទាប់ពីលេខនេះ យើងសរសេរលេខសូន្យពីរ ព្រោះចំនួនសូន្យគួរតែស្មើនឹងនិទស្សន្ត

10 2 = 100

ដូច្នេះ លេខ 10 ដល់ អំណាចទីពីរ គឺ លេខ 100 ។ នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថា លេខ 10 ដល់អំណាចទីពីរ គឺជាផលនៃកត្តាពីរ ដែលនីមួយៗស្មើនឹង 10 ។

10 2 = 10 × 10 = 100

ឧទាហរណ៍ ២. ចូរលើកលេខ 10 ទៅអំណាចទីបី។

ក្នុង​ករណី​នេះ​នឹង​មាន​លេខ​សូន្យ​បី​បន្ទាប់​ពី​លេខ​មួយ៖

10 3 = 1000

ឧទាហរណ៍ ៣. ចូរលើកលេខ 10 ដល់អំណាចទីបួន។

ក្នុងករណីនេះវានឹងមានសូន្យបួនបន្ទាប់ពីលេខមួយ៖

10 4 = 10000

ឧទាហរណ៍ 4. ចូរលើកលេខ 10 ទៅជាថាមពលទីមួយ។

ក្នុងករណីនេះ នឹងមានសូន្យមួយបន្ទាប់ពីលេខមួយ៖

10 1 = 10

តំណាងឱ្យលេខ 10, 100, 1000 ជាថាមពលដែលមានមូលដ្ឋាន 10

ដើម្បីតំណាងឱ្យលេខ 10, 100, 1000 និង 10000 ជាថាមពលដែលមានមូលដ្ឋាន 10 អ្នកត្រូវសរសេរគោល 10 ហើយបញ្ជាក់លេខដែលស្មើនឹងចំនួនសូន្យក្នុងលេខដើមជានិទស្សន្ត។

ចូរតំណាងឱ្យលេខ 10 ជាថាមពលដែលមានមូលដ្ឋាន 10 ។ យើងឃើញថាវាមានសូន្យមួយ។ ដូច្នេះលេខ 10 ជាថាមពលដែលមានមូលដ្ឋាន 10 នឹងត្រូវបានតំណាងថាជា 10 1

10 = 10 1

ឧទាហរណ៍ ២. ចូរយើងតំណាងឱ្យលេខ 100 ជាថាមពលដែលមានមូលដ្ឋាន 10 ។ យើងឃើញថាលេខ 100 មានលេខសូន្យពីរ។ ដូច្នេះលេខ 100 ជាថាមពលដែលមានមូលដ្ឋាន 10 នឹងត្រូវបានតំណាងជា 10 2

100 = 10 2

ឧទាហរណ៍ ៣. ចូរតំណាងឱ្យលេខ 1000 ជាថាមពលដែលមានមូលដ្ឋាន 10 ។

1 000 = 10 3

ឧទាហរណ៍ 4. ចូរតំណាងឱ្យលេខ 10,000 ជាថាមពលដែលមានមូលដ្ឋាន 10 ។

10 000 = 10 4

និទស្សន្តនៃចំនួនអវិជ្ជមាន

នៅពេលបង្កើនចំនួនអវិជ្ជមានទៅជាថាមពល វាត្រូវតែរុំព័ទ្ធក្នុងវង់ក្រចក។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងលើកលេខអវិជ្ជមាន −2 ទៅថាមពលទីពីរ។ លេខ −2 ដល់ថាមពលទីពីរ គឺជាផលនៃកត្តាពីរ ដែលនីមួយៗស្មើនឹង (−2)

(−2) 2 = (−2) × (−2) = ៤

ប្រសិនបើយើងមិនបានធ្វើវង់ក្រចកលេខ -2 នោះវានឹងបង្ហាញថាយើងគណនាកន្សោម -2 2 ដែល មិនស្មើគ្នា៤. កន្សោម -2² នឹងស្មើនឹង -4 ។ ដើម្បី​យល់​ពី​មូល​ហេតុ សូម​យើង​ប៉ះ​លើ​ចំណុច​មួយ​ចំនួន។

នៅពេលយើងដាក់ដកនៅពីមុខលេខវិជ្ជមាន នោះយើងអនុវត្ត ប្រតិបត្តិការនៃការទទួលយកតម្លៃផ្ទុយ.

ចូរនិយាយថាលេខ 2 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យហើយអ្នកត្រូវរកលេខផ្ទុយរបស់វា។ យើងដឹងថាផ្ទុយពី 2 គឺ −2 ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ដើម្បីស្វែងរកលេខផ្ទុយសម្រាប់លេខ 2 វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការដាក់ដកនៅពីមុខលេខនេះ។ ការ​បញ្ចូល​ដក​នៅ​ពី​មុខ​លេខ​ត្រូវ​បាន​ចាត់​ទុក​ជា​ប្រតិបត្តិការ​ពេញ​លេញ​ក្នុង​គណិតវិទ្យា​រួច​ទៅ​ហើយ។ ប្រតិបត្តិការ​នេះ​ដូច​បាន​រៀបរាប់​ខាង​លើ​ហៅ​ថា​ប្រតិបត្តិការ​យក​តម្លៃ​ផ្ទុយ។

ក្នុងករណីនៃកន្សោម -2 2 ប្រតិបត្តិការពីរកើតឡើង: ប្រតិបត្តិការនៃការយកតម្លៃផ្ទុយនិងនិទស្សន្ត។ ការបង្កើនថាមពលគឺជាប្រតិបត្តិការដែលមានអាទិភាពខ្ពស់ជាងការទទួលយកតម្លៃផ្ទុយ។

ដូច្នេះកន្សោម −2 2 ត្រូវបានគណនាជាពីរជំហាន។ ដំបូង ប្រតិបត្តិការនិទស្សន្តត្រូវបានអនុវត្ត។ ក្នុងករណីនេះលេខវិជ្ជមាន 2 ត្រូវបានលើកឡើងទៅថាមពលទីពីរ។

បន្ទាប់មកតម្លៃផ្ទុយត្រូវបានគេយក។ តម្លៃផ្ទុយនេះត្រូវបានរកឃើញសម្រាប់តម្លៃ 4។ ហើយតម្លៃផ្ទុយសម្រាប់ 4 គឺ −4

−2 2 = −4

វង់ក្រចកមានអាទិភាពការប្រតិបត្តិខ្ពស់បំផុត។ ដូច្នេះនៅក្នុងករណីនៃការគណនាកន្សោម (−2) 2 តម្លៃផ្ទុយត្រូវបានយកជាលើកដំបូងហើយបន្ទាប់មកលេខអវិជ្ជមាន −2 ត្រូវបានលើកទៅថាមពលទីពីរ។ លទ្ធផលគឺជាចម្លើយវិជ្ជមាននៃ 4 ចាប់តាំងពីផលគុណនៃលេខអវិជ្ជមានគឺជាលេខវិជ្ជមាន។

ឧទាហរណ៍ ២. លើកលេខ −2 ទៅថាមពលទីបី។

លេខ −2 ដល់អំណាចទីបី គឺជាផលនៃកត្តាបី ដែលនីមួយៗស្មើនឹង (−2)

(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8

ឧទាហរណ៍ ៣. លើកលេខ −2 ដល់ថាមពលទីបួន។

លេខ −2 ដល់ ថាមពលទីបួន គឺជាផលនៃកត្តាបួន ដែលនីមួយៗស្មើនឹង (−2)

(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16

វាងាយមើលឃើញថានៅពេលបង្កើនចំនួនអវិជ្ជមានទៅជាថាមពល ចម្លើយវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមានអាចទទួលបាន។ សញ្ញានៃចម្លើយគឺអាស្រ័យលើនិទស្សន្តនៃសញ្ញាប័ត្រដំបូង។

ប្រសិនបើនិទស្សន្តគឺស្មើ នោះចម្លើយគឺបាទ។ ប្រសិនបើនិទស្សន្តគឺសេស ចម្លើយគឺអវិជ្ជមាន។ ចូរបង្ហាញវានៅលើឧទាហរណ៍នៃលេខ −3

ក្នុងករណីទីមួយនិងទីបីសូចនាករគឺ សេសលេខដូច្នេះចម្លើយបានក្លាយជា អវិជ្ជមាន.

ក្នុងករណីទី 2 និងទី 4 សូចនាករគឺ សូម្បីតែលេខដូច្នេះចម្លើយបានក្លាយជា វិជ្ជមាន.

ឧទាហរណ៍ ៧លើកលេខ -5 ទៅថាមពលទីបី។

លេខ -5 ដល់អំណាចទីបីគឺជាផលនៃកត្តាបីដែលនីមួយៗស្មើនឹង -5 ។ និទស្សន្ត 3 គឺជាចំនួនសេស ដូច្នេះយើងអាចនិយាយជាមុនថា ចម្លើយនឹងអវិជ្ជមាន៖

(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125

ឧទាហរណ៍ ៨លើកលេខ -4 ទៅថាមពលទីបួន។

លេខ -4 ដល់ថាមពលទី 4 គឺជាផលនៃកត្តាបួនដែលនីមួយៗស្មើនឹង -4 ។ ក្នុងករណីនេះ សូចនាករទី 4 គឺស្មើគ្នា ដូច្នេះយើងអាចនិយាយជាមុនថា ចម្លើយនឹងមានភាពវិជ្ជមាន៖

(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256

ការស្វែងរកតម្លៃនៃការបញ្ចេញមតិ

នៅពេលស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោមដែលមិនមានតង្កៀប និទស្សន្តនឹងត្រូវបានអនុវត្តជាមុនសិន បន្ទាប់មកគុណ និងចែកតាមលំដាប់របស់វា ហើយបន្ទាប់មកបូក និងដកតាមលំដាប់របស់វា។

ឧទាហរណ៍ ១. រកតម្លៃនៃកន្សោម 2 + 5 2

ទីមួយ និទស្សន្តត្រូវបានអនុវត្ត។ ក្នុងករណីនេះលេខ 5 ត្រូវបានលើកទៅថាមពលទីពីរ - វាប្រែជា 25 ។ បន្ទាប់មកលទ្ធផលនេះត្រូវបានបន្ថែមទៅលេខ 2 ។

2 + 5 2 = 2 + 25 = 27

ឧទាហរណ៍ 10. រកតម្លៃនៃកន្សោម −6 2 × (−12)

ទីមួយ និទស្សន្តត្រូវបានអនុវត្ត។ ចំណាំថាលេខ −6 មិននៅក្នុងតង្កៀបទេ ដូច្នេះលេខ 6 នឹងត្រូវបានលើកទៅថាមពលទីពីរ បន្ទាប់មកដកនឹងត្រូវបានដាក់នៅពីមុខលទ្ធផល៖

−6 2 × (−12) = −36 × (−12)

យើងបំពេញឧទាហរណ៍ដោយគុណ −36 ដោយ (−12)

−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432

ឧទាហរណ៍ 11. រកតម្លៃនៃកន្សោម −3 × 2 ២

ទីមួយ និទស្សន្តត្រូវបានអនុវត្ត។ បន្ទាប់មកលទ្ធផលត្រូវបានគុណនឹងលេខ −3

−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12

ប្រសិនបើកន្សោមមានតង្កៀប នោះដំបូងអ្នកត្រូវធ្វើប្រតិបត្តិការក្នុងតង្កៀបទាំងនេះ បន្ទាប់មកនិទស្សន្ត បន្ទាប់មកគុណ និងចែក ហើយបន្ទាប់មកបូក និងដក។

ឧទាហរណ៍ 12. រកតម្លៃនៃកន្សោម (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5

ចូរយើងធ្វើវង់ក្រចកជាមុនសិន។ នៅខាងក្នុងតង្កៀបយើងអនុវត្តច្បាប់ដែលបានរៀនពីមុនគឺដំបូងលើកលេខ 3 ដល់អំណាចទីពីរបន្ទាប់មកធ្វើគុណ 1 × 3 បន្ទាប់មកបន្ថែមលទ្ធផលនៃការលើកលេខ 3 ទៅជាថាមពលហើយគុណ 1 × 3 ។ បន្ទាប់មកការដក និងបូកត្រូវបានអនុវត្តតាមលំដាប់លំដោយដែលពួកវាលេចឡើង។ ចូររៀបចំលំដាប់ដូចខាងក្រោមនៃការអនុវត្តសកម្មភាពលើកន្សោមដើម៖

(3 2 + 1 × 3) − 15 + 5 = 12 − 15 + 5 = 2

ឧទាហរណ៍ 13. រកតម្លៃនៃកន្សោម 2 × 5 3 + 5 × 2 3

ដំបូង​យើង​លើក​លេខ​ឡើង​ជា​ថាមពល បន្ទាប់​មក​យើង​ធ្វើ​ការ​គុណ និង​បន្ថែម​លទ្ធផល៖

2 x 5 3 + 5 x 2 3 = 2 x 125 + 5 x 8 = 250 + 40 = 290

ការផ្លាស់ប្តូរអត្តសញ្ញាណនៃអំណាច

ការបំប្លែងដូចគ្នាបេះបិទផ្សេងៗអាចត្រូវបានអនុវត្តនៅលើថាមពល ដោយហេតុនេះធ្វើឱ្យពួកវាមានភាពសាមញ្ញ។

ឧបមាថាវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីគណនាកន្សោម (2 3) 2 . ក្នុង​ឧទាហរណ៍​នេះ អំណាច​ពីរ​ទៅ​ទីបី​ត្រូវ​បាន​លើក​ទៅ​អំណាច​ទីពីរ។ ម្យ៉ាង​ទៀត សញ្ញាបត្រ​មួយ​ត្រូវ​បាន​លើក​ទៅ​កម្រិត​មួយ​ទៀត។

(2 3) 2 គឺជាផលគុណនៃអំណាចពីរ ដែលនីមួយៗស្មើនឹង 2 3

ជាងនេះទៅទៀត អំណាចនីមួយៗគឺជាផលនៃកត្តាបី ដែលកត្តានីមួយៗស្មើនឹង ២

យើងទទួលបានផលិតផល 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ដែលស្មើនឹង 64 ។ ដូច្នេះតម្លៃនៃកន្សោម (2 3) 2 ឬស្មើនឹង 64

ឧទាហរណ៍នេះអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញយ៉ាងខ្លាំង។ ចំពោះបញ្ហានេះសូចនាករនៃកន្សោម (2 3) 2 អាចត្រូវបានគុណហើយផលិតផលនេះអាចត្រូវបានសរសេរនៅលើមូលដ្ឋាន 2 ។

ទទួលបាន 26 ។ ថាមពលពីពីរទៅប្រាំមួយគឺជាផលនៃកត្តាប្រាំមួយដែលនីមួយៗស្មើនឹង 2 ។ ផលិតផលនេះស្មើនឹង 64

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះដំណើរការដោយសារតែ 2 3 គឺជាផលគុណនៃ 2 × 2 × 2 ដែលនៅក្នុងវេនត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតពីរដង។ បន្ទាប់មកវាបង្ហាញថាមូលដ្ឋាន 2 ត្រូវបានធ្វើម្តងទៀត 6 ដង។ ពីនេះយើងអាចសរសេរថា 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 គឺ 2 6 ។

ជាទូទៅសម្រាប់ហេតុផលណាមួយ។ កជាមួយនឹងសូចនាករ មនិង នសមភាពខាងក្រោមទទួលបាន៖

(មួយ n)m = a n × m

ការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នានេះត្រូវបានគេហៅថា និទស្សន្ត. វាអាចត្រូវបានអានដូចនេះ៖ "នៅពេលបង្កើនថាមពលទៅជាថាមពល មូលដ្ឋានត្រូវបានទុកចោល ហើយនិទស្សន្តត្រូវបានគុណ" .

បន្ទាប់ពីគុណសូចនាករ អ្នកទទួលបានសញ្ញាបត្រមួយទៀត តម្លៃដែលអាចត្រូវបានរកឃើញ។

ឧទាហរណ៍ ២. រកតម្លៃនៃកន្សោម (៣ ២) ២

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ មូលដ្ឋានគឺ 3 ហើយលេខ 2 និង 2 គឺជានិទស្សន្ត។ ចូរយើងប្រើច្បាប់នៃនិទស្សន្ត។ យើងទុកមូលដ្ឋានមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយគុណសូចនាករ៖

ទទួលបាន 34 ។ ហើយលេខ 3 ដល់លេខ 4 គឺ 81

សូមក្រឡេកមើលការផ្លាស់ប្តូរដែលនៅសល់។

គុណអំណាច

ដើម្បីគុណដឺក្រេ អ្នកត្រូវគណនាដឺក្រេនីមួយៗដោយឡែកពីគ្នា ហើយគុណលទ្ធផល។

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងគុណ 2 2 គុណនឹង 3 3 ។

2 2 គឺជាលេខ 4 និង 3 3 គឺជាលេខ 27 ។ យើងគុណលេខ 4 និង 27 យើងទទួលបាន 108

2 2 x 3 3 = 4 x 27 = 108

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ មូលដ្ឋាននៃអំណាចគឺខុសគ្នា។ ប្រសិនបើមូលដ្ឋានដូចគ្នា នោះមូលដ្ឋានមួយអាចត្រូវបានសរសេរ ហើយជាសូចនាករ សរសេរផលបូកនៃសូចនាករនៃដឺក្រេដំបូង។

ឧទាហរណ៍ គុណ 2 2 គុណនឹង 2 3

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ និទស្សន្តមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។ ក្នុង​ករណី​នេះ អ្នក​អាច​សរសេរ​គោល​មួយ 2 ហើយ​សរសេរ​ផលបូក​នៃ​និទស្សន្ត 2 2 និង 2 3 ជា​សូចនាករ។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ទុកមូលដ្ឋានមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយបន្ថែមនិទស្សន្តនៃដឺក្រេដើម។ វានឹងមើលទៅដូចនេះ៖

ទទួលបាន 25 ។ អំណាចលេខ 2 ដល់លេខ 5 គឺ 32

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះដំណើរការដោយសារតែ 2 2 ជាផលិតផលនៃ 2 × 2 ហើយ 2 ​​3 គឺជាផលិតផលនៃ 2 × 2 × 2 ។ បន្ទាប់មកផលិតផលនៃកត្តាដូចគ្នាចំនួនប្រាំត្រូវបានទទួល ដែលនីមួយៗស្មើនឹង 2 ។ ផលិតផលនេះអាចត្រូវបានតំណាងថាជា 2 5

ជាទូទៅសម្រាប់ណាមួយ។ កនិងសូចនាករ មនិង នសមភាពខាងក្រោមទទួលបាន៖

ការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នានេះត្រូវបានគេហៅថា ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រ. វាអាចត្រូវបានអានដូចនេះ៖ ទំនៅពេលគុណអំណាចជាមួយមូលដ្ឋានដូចគ្នា មូលដ្ឋានត្រូវបានទុកចោលមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយនិទស្សន្តត្រូវបានបន្ថែម។ .

ចំណាំថាការផ្លាស់ប្តូរនេះអាចត្រូវបានអនុវត្តចំពោះចំនួនដឺក្រេណាមួយ។ រឿងចំបងគឺថាមូលដ្ឋានគឺដូចគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម 2 1 × 2 2 × 2 3 ។ មូលនិធិ ២

នៅក្នុងបញ្ហាមួយចំនួន វាអាចគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការអនុវត្តការបំប្លែងដែលត្រូវគ្នាដោយមិនគណនាសញ្ញាបត្រចុងក្រោយ។ នេះពិតជាងាយស្រួលណាស់ ព្រោះវាមិនងាយស្រួលទេក្នុងការគណនាថាមពលធំៗ។

ឧទាហរណ៍ ១. បញ្ចេញមតិជាថាមពល កន្សោម 5 8 × 25

ក្នុង​បញ្ហា​នេះ អ្នក​ត្រូវ​បង្កើត​វា​ដើម្បី​ជំនួស​ឱ្យ​កន្សោម 5 8 × 25 មួយ​ដឺក្រេ​ត្រូវ​បាន​ទទួល។

លេខ 25 អាចត្រូវបានតំណាងជា 5 2 ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានកន្សោមដូចខាងក្រោមៈ

ក្នុង​កន្សោម​នេះ អ្នក​អាច​អនុវត្ត​លក្ខណៈ​សំខាន់​នៃ​សញ្ញាប័ត្រ - ទុក​គោល ៥ មិន​ផ្លាស់ប្តូរ ហើយ​បន្ថែម​សូចនាករ ៨ និង ២៖

ចូរសរសេរដំណោះស្រាយដោយសង្ខេប៖

ឧទាហរណ៍ ២. បញ្ចេញមតិជាថាមពល កន្សោម 2 9 × 32

លេខ 32 អាចត្រូវបានតំណាងជា 2 5 ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានកន្សោម 2 9 × 2 5 ។ បន្ទាប់មកអ្នកអាចអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាននៃសញ្ញាបត្រ - ទុកមូលដ្ឋាន 2 មិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយបន្ថែមសូចនាករ 9 និង 5 ។ នេះនឹងនាំឱ្យមានដំណោះស្រាយដូចខាងក្រោមៈ

ឧទាហរណ៍ ៣. គណនាផលិតផល 3 × 3 ដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិថាមពលមូលដ្ឋាន។

មនុស្សគ្រប់គ្នាដឹងយ៉ាងច្បាស់ថាបីគុណបីស្មើប្រាំបួនប៉ុន្តែភារកិច្ចតម្រូវឱ្យប្រើទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រក្នុងវគ្គនៃការដោះស្រាយ។ តើត្រូវធ្វើដូចម្តេច?

យើងរំលឹកថា ប្រសិនបើលេខមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយគ្មានសូចនាករ នោះសូចនាករត្រូវតែចាត់ទុកថាស្មើនឹងមួយ។ ដូច្នេះកត្តា 3 និង 3 អាចសរសេរជា 3 1 និង 3 1

៣ ១ × ៣ ១

ឥឡូវនេះយើងប្រើទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រ។ យើងទុកគោល 3 មិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយបន្ថែមសូចនាករទី 1 និងទី 1៖

3 1 × 3 1 = 3 2 = 9

ឧទាហរណ៍ 4. គណនាផលិតផល 2 × 2 × 3 2 × 3 3 ដោយប្រើទ្រព្យសម្បត្តិថាមពលមូលដ្ឋាន។

យើងជំនួសផលិតផល 2 × 2 ដោយ 2 1 × 2 1 បន្ទាប់មកជាមួយ 2 1 + 1 ហើយបន្ទាប់មកជាមួយ 2 2 ។ ផលិតផលនៃ 3 2 × 3 3 ត្រូវបានជំនួសដោយ 3 2 + 3 ហើយបន្ទាប់មកដោយ 3 5

ឧទាហរណ៍ ៥. អនុវត្តគុណ x × x

ទាំងនេះគឺជាកត្តាអក្ខរក្រមដូចគ្នាបេះបិទជាមួយនឹងសូចនាករ 1. ដើម្បីភាពច្បាស់លាស់ យើងសរសេរសូចនាករទាំងនេះ។ មូលដ្ឋានបន្ថែមទៀត xទុកវាឱ្យនៅដដែល ហើយបន្ថែមសូចនាករ៖

ក្នុងនាមជានៅលើក្តារខៀន មិនគួរសរសេរការគុណនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នានៅក្នុងលម្អិតដូចដែលបានធ្វើនៅទីនេះទេ។ ការគណនាបែបនេះត្រូវតែធ្វើនៅក្នុងចិត្ត។ ការបញ្ចូលលម្អិតទំនងជានឹងរំខានគ្រូ ហើយគាត់នឹងបន្ទាបពិន្ទុសម្រាប់រឿងនេះ។ នៅទីនេះ កំណត់ត្រាលម្អិតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដើម្បីឱ្យសម្ភារៈអាចចូលដំណើរការបានតាមដែលអាចធ្វើទៅបានសម្រាប់ការយល់ដឹង។

ដំណោះស្រាយចំពោះឧទាហរណ៍នេះគួរតែសរសេរដូចនេះ៖

ឧទាហរណ៍ ៦. អនុវត្តគុណ x 2 × x

សន្ទស្សន៍នៃកត្តាទីពីរគឺស្មើនឹងមួយ។ ចូរយើងសរសេរវាចុះដើម្បីភាពច្បាស់លាស់។ បន្ទាប់មក យើងទុកមូលដ្ឋានមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយបន្ថែមសូចនាករ៖

ឧទាហរណ៍ ៧. អនុវត្តគុណ y 3 y 2 y

សន្ទស្សន៍នៃកត្តាទីបីគឺស្មើនឹងមួយ។ ចូរយើងសរសេរវាចុះដើម្បីភាពច្បាស់លាស់។ បន្ទាប់មក យើងទុកមូលដ្ឋានមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយបន្ថែមសូចនាករ៖

ឧទាហរណ៍ ៨. អនុវត្តគុណ aa 3 a 2 a 5

សន្ទស្សន៍នៃកត្តាទីមួយគឺស្មើនឹងមួយ។ ចូរយើងសរសេរវាចុះដើម្បីភាពច្បាស់លាស់។ បន្ទាប់មក យើងទុកមូលដ្ឋានមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយបន្ថែមសូចនាករ៖

ឧទាហរណ៍ ៩. បង្ហាញពីអំណាចនៃ 3 8 ជាផលិតផលនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា។

ក្នុង​បញ្ហា​នេះ អ្នក​ត្រូវ​បង្កើត​ផល​នៃ​អំណាច ដែល​គោល​នឹង​ស្មើ​នឹង ៣ ហើយ​ផលបូក​នៃ​និទស្សន្ត​នឹង​ស្មើ ៨។ អ្នកអាចប្រើសូចនាករណាមួយ។ យើងតំណាងឱ្យសញ្ញាប័ត្រ 3 8 ជាផលិតផលនៃអំណាច 3 5 និង 3 3

ក្នុង​ឧទាហរណ៍​នេះ យើង​ពឹង​ផ្អែក​លើ​ទ្រព្យ​សម្បត្តិ​សំខាន់​នៃ​សញ្ញាបត្រ​ម្ដង​ទៀត។ សរុបមក កន្សោម 3 5 × 3 3 អាចសរសេរជា 3 5 + 3 ដែលមកពីណា 3 8 ។

ជាការពិតណាស់ វាអាចតំណាងឱ្យអំណាច 3 8 ជាផលិតផលនៃអំណាចផ្សេងទៀត។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងទម្រង់ 3 7 × 3 1 ដោយសារផលិតផលនេះក៏ជា 3 8 ដែរ។

តំណាងសញ្ញាប័ត្រជាផលិតផលនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាគឺភាគច្រើនជាការងារច្នៃប្រឌិត។ ដូច្នេះកុំខ្លាចក្នុងការពិសោធន៍។

ឧទាហរណ៍ 10. បញ្ជូនសញ្ញាប័ត្រ x 12 ជាផលិតផលផ្សេងៗនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋាន x .

ចូរយើងប្រើលក្ខណៈសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រ។ ស្រមៃ x 12 ជាផលិតផលដែលមានមូលដ្ឋាន xនិងផលបូកនៃនិទស្សន្តដែលស្មើនឹង 12

សំណង់ដែលមានផលបូកនៃសូចនាករត្រូវបានកត់ត្រាសម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់។ ភាគច្រើនពួកគេអាចរំលងបាន។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានដំណោះស្រាយបង្រួម៖

និទស្សន្តនៃផលិតផល

ដើម្បីលើកផលិតផលទៅជាថាមពល អ្នកត្រូវបង្កើនកត្តានីមួយៗនៃផលិតផលនេះទៅថាមពលដែលបានបញ្ជាក់ ហើយគុណលទ្ធផល។

ជាឧទាហរណ៍ សូមលើកផលិតផល 2 × 3 ទៅថាមពលទីពីរ។ យើងយកផលិតផលនេះក្នុងតង្កៀប ហើយចង្អុលបង្ហាញលេខ 2 ជាសូចនាករ

ឥឡូវនេះសូមលើកកត្តានីមួយៗនៃផលិតផល 2 × 3 ទៅជាថាមពលទីពីរ ហើយគុណលទ្ធផល៖

គោលការណ៍នៃប្រតិបត្តិការនៃច្បាប់នេះគឺផ្អែកលើនិយមន័យនៃសញ្ញាបត្រដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅដើមដំបូង។

ការបង្កើនផលិតផលពី 2 × 3 ដល់ថាមពលទីពីរមានន័យថាការធ្វើម្តងទៀតផលិតផលនេះពីរដង។ ហើយប្រសិនបើអ្នកធ្វើវាម្តងទៀតពីរដង អ្នកអាចទទួលបានដូចខាងក្រោម៖

២ × ៣ × ២ × ៣

ពីការផ្លាស់ប្តូរទីកន្លែងនៃកត្តាផលិតផលមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។ វាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកដាក់មេគុណដូចគ្នាជាក្រុម៖

២ × ២ × ៣ × ៣

មេគុណធ្វើម្តងទៀតអាចត្រូវបានជំនួសដោយធាតុខ្លី - មូលដ្ឋានជាមួយនិទស្សន្ត។ ផលិតផល 2 × 2 អាចត្រូវបានជំនួសដោយ 2 2 ហើយផលិតផល 3 × 3 អាចត្រូវបានជំនួសដោយ 3 2 ។ បន្ទាប់មកកន្សោម 2 × 2 × 3 × 3 ប្រែទៅជាកន្សោម 2 2 × 3 2 ។

អនុញ្ញាតឱ្យមាន abការងារដើម។ ដើម្បីលើកកំពស់ផលិតផលនេះឡើង នអ្នកត្រូវលើកកត្តាដោយឡែកពីគ្នា។ កនិង ខដល់កម្រិតដែលបានបញ្ជាក់ ន

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះមានសុពលភាពសម្រាប់កត្តាមួយចំនួន។ កន្សោមខាងក្រោមក៏ត្រឹមត្រូវដែរ៖

ឧទាហរណ៍ ២. រកតម្លៃនៃកន្សោម (2 × 3 × 4) ២

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះអ្នកត្រូវលើកផលិតផល 2 × 3 × 4 ទៅថាមពលទីពីរ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវបង្កើនកត្តានីមួយៗនៃផលិតផលនេះទៅថាមពលទីពីរហើយគុណលទ្ធផល:

ឧទាហរណ៍ ៣. លើកផលិតផលទៅថាមពលទីបី a×b×c

យើងភ្ជាប់ផលិតផលនេះក្នុងតង្កៀប ហើយចង្អុលបង្ហាញលេខ 3 ជាសូចនាករ

ឧទាហរណ៍ 4. លើក​ផលិតផល​ទៅ​អំណាច​ទី​៣ ៣ ឆ្នាំ

យើងភ្ជាប់ផលិតផលនេះក្នុងតង្កៀប ហើយចង្អុលបង្ហាញលេខ 3 ជាសូចនាករ

(3ឆ្នាំ) 3

ចូរលើកកត្តានីមួយៗនៃផលិតផលនេះទៅជាថាមពលទីបី៖

(3ឆ្នាំ) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3

លេខ 3 ដល់អំណាចទីបីគឺស្មើនឹងលេខ 27 ។ យើងទុកនៅសល់មិនផ្លាស់ប្តូរ៖

(3ឆ្នាំ) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3 = 27x 3 y 3 z 3

នៅក្នុងឧទាហរណ៍មួយចំនួន គុណនៃអំណាចដែលមាននិទស្សន្តដូចគ្នាអាចត្រូវបានជំនួសដោយផលគុណនៃគោលដែលមាននិទស្សន្តដូចគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងគណនាតម្លៃនៃកន្សោម 5 2 × 3 2 ។ លើកលេខនីមួយៗទៅថាមពលទីពីរ ហើយគុណលទ្ធផល៖

5 2 x 3 2 = 25 x 9 = 225

ប៉ុន្តែអ្នកមិនអាចគណនាសញ្ញាបត្រនីមួយៗដោយឡែកពីគ្នាបានទេ។ ជំនួសមកវិញ ផលិតផលនៃអំណាចនេះអាចត្រូវបានជំនួសដោយផលិតផលដែលមាននិទស្សន្តមួយ (5 × 3) 2 ។ បន្ទាប់មក គណនាតម្លៃក្នុងតង្កៀប ហើយលើកលទ្ធផលទៅជាថាមពលទីពីរ៖

5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225

ក្នុងករណីនេះច្បាប់នៃនិទស្សន្តនៃផលិតផលត្រូវបានប្រើប្រាស់ម្តងទៀត។ បន្ទាប់ពីទាំងអស់ប្រសិនបើ (ក x ខ)ន = a n × b n បន្ទាប់មក a n × b n = (a × b) n. នោះគឺផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការត្រូវបានបញ្ច្រាស់។

និទស្សន្ត

យើងបានចាត់ទុកការផ្លាស់ប្តូរនេះជាឧទាហរណ៍មួយ នៅពេលដែលយើងព្យាយាមយល់ពីខ្លឹមសារនៃការផ្លាស់ប្តូរដូចគ្នាបេះបិទនៃដឺក្រេ។

នៅពេលបង្កើនថាមពលទៅជាថាមពល មូលដ្ឋានត្រូវបានទុកចោល ហើយនិទស្សន្តត្រូវបានគុណ៖

(មួយ n)m = a n × m

ឧទាហរណ៍ កន្សោម (2 3) 2 កំពុងលើកអំណាចមួយទៅអំណាចមួយ - អំណាចពីរទៅអំណាចទីបីត្រូវបានលើកឡើងទៅអំណាចទីពីរ។ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោមនេះ មូលដ្ឋានអាចត្រូវបានទុកចោលមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយនិទស្សន្តអាចត្រូវបានគុណ៖

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 ៦

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64

ច្បាប់នេះគឺផ្អែកលើច្បាប់មុន៖ និទស្សន្តនៃផលិតផល និងទ្រព្យសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃសញ្ញាបត្រ។

ចូរយើងត្រលប់ទៅកន្សោម (2 3) 2 . កន្សោមក្នុងតង្កៀប 2 3 គឺជាផលិតផលនៃកត្តាបីដូចគ្នា ដែលនីមួយៗស្មើនឹង 2។ បន្ទាប់មកនៅក្នុងកន្សោម (2 3) 2 អំណាចនៅខាងក្នុងតង្កៀបអាចត្រូវបានជំនួសដោយផលិតផល 2 × 2 × 2 ។

(២×២×២) ២

ហើយនេះគឺជានិទស្សន្តនៃផលិតផលដែលយើងបានសិក្សាពីមុន។ សូមចាំថា ដើម្បីលើកផលិតផលមួយទៅជាថាមពល អ្នកត្រូវបង្កើនកត្តានីមួយៗនៃផលិតផលនេះដល់ថាមពលដែលបានបញ្ជាក់ ហើយគុណលទ្ធផល៖

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2

ឥឡូវនេះយើងកំពុងដោះស្រាយជាមួយនឹងទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រ។ យើងទុកមូលដ្ឋានមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយបន្ថែមសូចនាករ៖

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6

ដូចពីមុនយើងទទួលបាន 26 ។ តម្លៃនៃសញ្ញាបត្រនេះគឺ 64

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64

ផលិតផល​ដែល​កត្តា​ជា​ថាមពល​ក៏​អាច​ត្រូវ​បាន​លើក​ឡើង​ទៅ​ជា​ថាមពល​ដែរ។

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម (2 2 × 3 2) 3 ។ នៅទីនេះសូចនាករនៃមេគុណនីមួយៗត្រូវតែគុណនឹងសូចនាករសរុប 3 ។ បន្ទាប់មករកតម្លៃនៃសញ្ញាបត្រនីមួយៗ ហើយគណនាផលិតផល៖

(2 2 x 3 2) 3 = 2 2 x 3 x 3 2 x 3 = 2 6 x 3 6 = 64 x 729 = 46656

ប្រហែលរឿងដូចគ្នានេះកើតឡើងនៅពេលបង្កើនដល់ថាមពលនៃផលិតផល។ យើងបាននិយាយថានៅពេលបង្កើនផលិតផលទៅជាថាមពល កត្តានីមួយៗនៃផលិតផលនេះត្រូវបានលើកឡើងទៅថាមពលដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។

ឧទាហរណ៍ ដើម្បីលើកផលិតផលពី 2 × 4 ទៅថាមពលទីបី អ្នកត្រូវសរសេរកន្សោមខាងក្រោម៖

ប៉ុន្តែពីមុនវាត្រូវបានគេនិយាយថាប្រសិនបើលេខមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយគ្មានសូចនាករនោះសូចនាករគួរតែត្រូវបានចាត់ទុកថាស្មើនឹងមួយ។ វាប្រែថាកត្តានៃផលិតផល 2 × 4 ដំបូងមាននិទស្សន្តស្មើនឹង 1. នេះមានន័យថាកន្សោម 2 1 × 4 ​​1 ត្រូវបានលើកទៅអំណាចទីបី។ ហើយ​នេះ​ជា​ការ​លើក​កម្រិត​មួយ​ទៅ​កាន់​អំណាច។

ចូរយើងសរសេរដំណោះស្រាយឡើងវិញដោយប្រើច្បាប់នៃនិទស្សន្ត។ យើងគួរតែទទួលបានលទ្ធផលដូចគ្នា៖

ឧទាហរណ៍ ២. រកតម្លៃនៃកន្សោម (៣ ៣) ២

យើងទុកមូលដ្ឋានមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយគុណសូចនាករ៖

ទទួលបាន ៣៦ ។ លេខ 3 ដល់លេខ 6 គឺលេខ 729

ឧទាហរណ៍ ៣xy)³

ឧទាហរណ៍ 4. អនុវត្តនិទស្សន្តក្នុងកន្សោម ( abc)⁵

ចូរលើកកត្តានីមួយៗនៃផលិតផលទៅជាថាមពលទីប្រាំ៖

ឧទាហរណ៍ ៥ពូថៅ) 3

ចូរលើកកត្តានីមួយៗនៃផលិតផលទៅជាថាមពលទីបី៖

ចាប់តាំងពីលេខអវិជ្ជមាន −2 ត្រូវបានលើកទៅថាមពលទីបី វាត្រូវបានគេយកទៅតង្កៀប។

ឧទាហរណ៍ ៦. អនុវត្តនិទស្សន្តក្នុងកន្សោម (១០ xy) 2

ឧទាហរណ៍ ៧. អនុវត្តនិទស្សន្តក្នុងកន្សោម (−5 x) 3

ឧទាហរណ៍ ៨. អនុវត្តនិទស្សន្តក្នុងកន្សោម (−3 y) 4

ឧទាហរណ៍ ៩. អនុវត្តនិទស្សន្តក្នុងកន្សោម (−2 abx)⁴

ឧទាហរណ៍ 10. សម្រួលការបញ្ចេញមតិ x 5 × ( x 2) 3

សញ្ញាបត្រ x 5 នឹងនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរសម្រាប់ពេលនេះ ហើយនៅក្នុងកន្សោម ( x 2) 3 អនុវត្តនិទស្សន្តទៅជាថាមពល៖

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2 × 3 = x 5 × x 6

ឥឡូវនេះ ចូរយើងធ្វើគុណ x 5 × x៦. ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្រើទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រ - មូលដ្ឋាន xទុកវាឱ្យនៅដដែល ហើយបន្ថែមសូចនាករ៖

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2 × 3 = x 5 × x 6 = x 5 + 6 = x 11

ឧទាហរណ៍ ៩. រកតម្លៃនៃកន្សោម 4 3 × 2 2 ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេ។

ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រអាចប្រើបាន ប្រសិនបើមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេដំបូងគឺដូចគ្នា។ ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ មូលដ្ឋានគឺខុសគ្នា ដូច្នេះហើយ ដើម្បីចាប់ផ្តើម កន្សោមដើមចាំបាច់ត្រូវកែប្រែបន្តិច ពោលគឺ ដើម្បីធ្វើឱ្យមូលដ្ឋាននៃដឺក្រេក្លាយជាដូចគ្នា។

សូមក្រឡេកមើលអានុភាពនៃ 4 3 ។ គោល​នៃ​សញ្ញាប័ត្រ​នេះ​គឺ​ជា​លេខ 4 ដែល​អាច​ត្រូវ​បាន​តំណាង​ថា​ជា 2 2 ។ បន្ទាប់មកកន្សោមដើមនឹងយកទម្រង់ (2 2) 3 × 2 2 ។ ដោយនិទស្សន្តទៅអំណាចមួយក្នុងកន្សោម (2 2) 3 យើងទទួលបាន 2 6 ។ បន្ទាប់មកកន្សោមដើមនឹងយកទម្រង់ 2 6 × 2 2 ដែលអាចត្រូវបានគណនាដោយប្រើលក្ខណៈសំខាន់នៃដឺក្រេ។

ចូរយើងសរសេរដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍នេះ៖

ការបែងចែកអំណាច

ដើម្បីអនុវត្តការបែងចែកថាមពល អ្នកត្រូវស្វែងរកតម្លៃនៃថាមពលនីមួយៗ បន្ទាប់មកអនុវត្តការបែងចែកលេខធម្មតា។

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងចែក 4 3 ដោយ 2 2 ។

គណនាលេខ 4 3 យើងទទួលបាន 64 ។ យើងគណនា 2 2 យើងទទួលបាន 4 ឥឡូវនេះយើងចែក 64 គុណនឹង 4 យើងទទួលបាន 16

ប្រសិនបើនៅពេលបែងចែកដឺក្រេនៃមូលដ្ឋាន ពួកវាប្រែទៅជាដូចគ្នា នោះមូលដ្ឋានអាចត្រូវបានទុកចោលមិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយនិទស្សន្តនៃការបែងចែកអាចត្រូវបានដកចេញពីនិទស្សន្តនៃភាគលាភ។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម ២ ៣:២ ២

យើងទុកមូលដ្ឋាន 2 មិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយដកនិទស្សន្តនៃផ្នែកចែកចេញពីនិទស្សន្តនៃភាគលាភ៖

ដូច្នេះតម្លៃនៃកន្សោម 2 3: 2 2 គឺ 2 ។

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះគឺផ្អែកលើការគុណនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា ឬដូចដែលយើងធ្លាប់និយាយនៅលើទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រ។

ចូរយើងត្រលប់ទៅឧទាហរណ៍មុន 2 3: 2 2 ។ នៅទីនេះភាគលាភគឺ 2 3 ហើយការបែងចែកគឺ 2 2 ។

ដើម្បីចែកលេខមួយដោយមធ្យោបាយមួយផ្សេងទៀតដើម្បីរកលេខដែលនៅពេលគុណនឹងចែកនឹងផ្តល់ផលចំណេញជាលទ្ធផល។

ក្នុងករណីរបស់យើង ការបែងចែក 2 3 គុណនឹង 2 2 មានន័យថាការស្វែងរកអំណាចដែលនៅពេលគុណនឹងចែក 2 2 នឹងផ្តល់លទ្ធផលជា 2 3 ។ តើថាមពលអ្វីអាចគុណនឹង 2 2 ដើម្បីទទួលបាន 2 3? ជាក់​ស្តែ​ង​គ្រាន់​តែ​សញ្ញាបត្រ 2 1 ។ ពីទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃសញ្ញាបត្រយើងមាន:

អ្នកអាចផ្ទៀងផ្ទាត់ថាតម្លៃនៃកន្សោម 2 3: 2 2 គឺ 2 1 ដោយវាយតម្លៃដោយផ្ទាល់នូវកន្សោម 2 3: 2 2 ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះដំបូងយើងរកតម្លៃនៃដឺក្រេ 2 3 យើងទទួលបាន 8 ។ បន្ទាប់មកយើងរកឃើញតម្លៃនៃដឺក្រេ 2 2 យើងទទួលបាន 4 ។ ចែក 8 ដោយ 4 យើងទទួលបាន 2 ឬ 2 1 ចាប់តាំងពី 2 = 2 1 ។

2 3: 2 2 = 8: 4 = 2

ដូចនេះ នៅពេលបែងចែកអំណាចដោយមូលដ្ឋានដូចគ្នា សមភាពដូចខាងក្រោមទទួលបាន៖

វាក៏អាចកើតឡើងផងដែរដែលមិនត្រឹមតែមូលដ្ឋានប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែក៏សូចនាករអាចដូចគ្នាដែរ។ ក្នុងករណីនេះចម្លើយនឹងមានតែមួយ។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម 2 2: 2 2 ។ ចូរយើងគណនាតម្លៃនៃដឺក្រេនីមួយៗ ហើយអនុវត្តការបែងចែកលេខលទ្ធផល៖

នៅពេលដោះស្រាយឧទាហរណ៍ 2 2: 2 2 អ្នកក៏អាចអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ការបែងចែកដឺក្រេជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា។ លទ្ធផល​គឺ​ជា​លេខ​មួយ​ទៅ​សូន្យ​ដោយ​ហេតុ​ថា​ភាព​ខុស​គ្នា​រវាង​និទស្សន្ត​នៃ 2 2 និង 2 2 គឺ​សូន្យ៖

ហេតុអ្វីបានជាលេខ 2 ទៅសូន្យដឺក្រេស្មើនឹងមួយ យើងបានរកឃើញខាងលើ។ ប្រសិនបើអ្នកគណនា 2 2: 2 2 តាមវិធីធម្មតា ដោយមិនប្រើច្បាប់សម្រាប់បែងចែកដឺក្រេ អ្នកនឹងទទួលបានមួយ។

ឧទាហរណ៍ ២. រកតម្លៃនៃកន្សោម ៤ ១២:៤ ១០

យើងទុក 4 មិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយដកនិទស្សន្តនៃផ្នែកចែកចេញពីនិទស្សន្តនៃភាគលាភ៖

4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16

ឧទាហរណ៍ ៣. ដាក់ស្នើឯកជន x 3: xជាសញ្ញាប័ត្រដែលមានមូលដ្ឋាន x

ចូរយើងប្រើច្បាប់នៃការបែងចែកដឺក្រេ។ មូលដ្ឋាន xទុកវាឱ្យនៅដដែល ហើយដកនិទស្សន្តនៃផ្នែកចែកចេញពីនិទស្សន្តនៃភាគលាភ។ និទស្សន្តចែកចែកស្មើនឹងមួយ។ ដើម្បីអោយកាន់តែច្បាស់ សូមសរសេរវាចុះ៖

ឧទាហរណ៍ 4. ដាក់ស្នើឯកជន x 3: x 2 ជាអំណាចដែលមានមូលដ្ឋាន x

ចូរយើងប្រើច្បាប់នៃការបែងចែកដឺក្រេ។ មូលដ្ឋាន x

ការបែងចែកដឺក្រេអាចត្រូវបានសរសេរជាប្រភាគ។ ដូច្នេះឧទាហរណ៍មុនអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:

ភាគបែង និងភាគបែងនៃប្រភាគអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់ពង្រីក ពោលគឺក្នុងទម្រង់នៃផលិតផលនៃកត្តាដូចគ្នាបេះបិទ។ សញ្ញាបត្រ x 3 អាចត្រូវបានសរសេរជា x × x × x, និងសញ្ញាបត្រ x 2 ដូច x × x. បន្ទាប់មកការសាងសង់ x 3 − 2 អាចរំលងបាន ហើយប្រើការបន្ថយប្រភាគ។ នៅក្នុងភាគយក និងក្នុងភាគបែង វានឹងអាចកាត់បន្ថយកត្តាពីរនីមួយៗ x. លទ្ធផលនឹងជាមេគុណមួយ។ x

ឬខ្លីជាងនេះ៖

ដូចគ្នានេះផងដែរ វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការកាត់បន្ថយប្រភាគដែលមានអំណាចយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ ឧទាហរណ៍ ប្រភាគអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅ x២. ដើម្បីកាត់បន្ថយប្រភាគដោយ x 2 អ្នកត្រូវចែកភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគដោយ x 2

ការបែងចែកដឺក្រេមិនអាចត្រូវបានពិពណ៌នាលម្អិតទេ។ អក្សរកាត់ខាងលើអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យខ្លីជាងនេះ:

ឬខ្លីជាងនេះ៖

ឧទាហរណ៍ ៥. អនុវត្តការបែងចែក x 12 : x 3

ចូរយើងប្រើច្បាប់នៃការបែងចែកដឺក្រេ។ មូលដ្ឋាន xទុកវាឱ្យនៅដដែល ហើយដកនិទស្សន្តនៃផ្នែកចែកចេញពីនិទស្សន្តនៃភាគលាភ៖

យើងសរសេរដំណោះស្រាយដោយប្រើការកាត់បន្ថយប្រភាគ។ ការបែងចែកអំណាច x 12 : x 3 នឹងត្រូវបានសរសេរជា . បន្ទាប់យើងកាត់បន្ថយប្រភាគនេះដោយ x 3 .

ឧទាហរណ៍ ៦. ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោមមួយ។

នៅក្នុងភាគយក យើងអនុវត្តការគុណនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖

ឥឡូវនេះយើងអនុវត្តច្បាប់សម្រាប់ការបែងចែកអំណាចដោយមូលដ្ឋានដូចគ្នា។ យើងទុកគោល ៧ មិនផ្លាស់ប្តូរ ហើយដកនិទស្សន្តនៃផ្នែកចែកចេញពីនិទស្សន្តនៃភាគលាភ៖

យើងបំពេញឧទាហរណ៍ដោយការគណនាថាមពលនៃ 7 2

ឧទាហរណ៍ ៧. ស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោមមួយ។

ចូរយើងអនុវត្តនិទស្សន្តនៅក្នុងភាគយក។ អ្នកត្រូវធ្វើដូចនេះជាមួយកន្សោម (២ ៣) ៤

ឥឡូវនេះ ចូរយើងអនុវត្តការគុណនៃអំណាចជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នានៅក្នុងភាគយក។

គោលគំនិតនៃសញ្ញាប័ត្រក្នុងគណិតវិទ្យាត្រូវបានណែនាំតាំងពីថ្នាក់ទី 7 នៅក្នុងមេរៀនពិជគណិត។ ហើយនៅពេលអនាគត ពេញមួយវគ្គនៃការសិក្សាគណិតវិទ្យា គំនិតនេះត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងសកម្មក្នុងទម្រង់ផ្សេងៗរបស់វា។ សញ្ញាបត្រគឺជាប្រធានបទដ៏លំបាកមួយ ដែលទាមទារឱ្យមានការទន្ទេញចាំតម្លៃ និងសមត្ថភាពក្នុងការរាប់បានត្រឹមត្រូវ និងឆាប់រហ័ស។ សម្រាប់ការងារកាន់តែលឿន និងប្រសើរជាងមុនជាមួយនឹងសញ្ញាបត្រគណិតវិទ្យា ពួកគេបានមកជាមួយលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រ។ ពួកគេជួយកាត់បន្ថយការគណនាធំៗ ដើម្បីបំប្លែងឧទាហរណ៍ដ៏ធំទៅជាលេខតែមួយទៅកម្រិតខ្លះ។ លក្ខណៈសម្បត្តិមិនមានច្រើនទេ ហើយពួកវាទាំងអស់គឺងាយស្រួលចងចាំ និងអនុវត្តក្នុងការអនុវត្ត។ ដូច្នេះ អត្ថបទពិភាក្សាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗនៃសញ្ញាបត្រ ក៏ដូចជាកន្លែងដែលគេអនុវត្ត។

លក្ខណៈសម្បត្តិសញ្ញាបត្រ

យើងនឹងពិចារណាលក្ខណៈសម្បត្តិចំនួន 12 នៃសញ្ញាបត្រ រួមទាំងទ្រព្យសម្បត្តិនៃអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា ហើយយើងនឹងផ្តល់ឧទាហរណ៍សម្រាប់ទ្រព្យសម្បត្តិនីមួយៗ។ លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះនីមួយៗនឹងជួយអ្នកដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយនឹងកម្រិតកាន់តែលឿន ក៏ដូចជាជួយសង្រ្គោះអ្នកពីកំហុសក្នុងការគណនាជាច្រើន។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី 1 ។

មនុស្សជាច្រើនតែងតែភ្លេចអំពីទ្រព្យសម្បត្តិនេះ ធ្វើខុស តំណាងឱ្យលេខមួយទៅសូន្យដឺក្រេជាសូន្យ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ២ ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៣ ។

វាត្រូវតែចងចាំថាទ្រព្យសម្បត្តិនេះអាចប្រើបានតែនៅពេលគុណលេខប៉ុណ្ណោះវាមិនដំណើរការជាមួយផលបូកទេ! ហើយយើងមិនត្រូវភ្លេចថា នេះ និងលក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោមអនុវត្តចំពោះតែអំណាចដែលមានមូលដ្ឋានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៤ ។

ប្រសិនបើលេខនៅក្នុងភាគបែងត្រូវបានលើកឡើងទៅជាថាមពលអវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកនៅពេលដក កម្រិតនៃភាគបែងត្រូវបានយកជាតង្កៀប ដើម្បីជំនួសសញ្ញាឱ្យបានត្រឹមត្រូវក្នុងការគណនាបន្ថែមទៀត។

ទ្រព្យសម្បត្តិដំណើរការតែពេលចែក មិនមែនពេលដកទេ!

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៥ ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៦ ។

លក្ខណសម្បត្តិនេះក៏អាចត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងការបញ្ច្រាសផងដែរ។ ឯកតា​ដែល​ចែក​ដោយ​លេខ​មួយ​ដល់​កម្រិត​មួយ​គឺ​ចំនួន​នោះ​ទៅ​ជា​ថាមពល​អវិជ្ជមាន។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៧ ។

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះមិនអាចអនុវត្តចំពោះផលបូក និងភាពខុសគ្នាទេ! នៅពេលបង្កើនផលបូក ឬភាពខុសគ្នាទៅជាថាមពល រូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់ត្រូវបានប្រើ មិនមែនជាលក្ខណៈសម្បត្តិនៃថាមពលនោះទេ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៨ ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ៩ ។

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះដំណើរការសម្រាប់ដឺក្រេប្រភាគណាមួយដែលមានភាគយកស្មើនឹងមួយ រូបមន្តនឹងដូចគ្នា មានតែកម្រិតនៃឫសនឹងផ្លាស់ប្តូរអាស្រ័យលើភាគបែងនៃសញ្ញាបត្រ។

ដូចគ្នានេះផងដែរ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់នៅក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាស។ ឫសនៃអំណាចនៃចំនួនណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងថាជាលេខនោះទៅអំណាចនៃមួយបែងចែកដោយអំណាចនៃឬស។ ទ្រព្យសម្បត្តិនេះមានប្រយោជន៍ណាស់ក្នុងករណីដែលឫសនៃលេខមិនត្រូវបានស្រង់ចេញ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ១០ ។

ទ្រព្យសម្បត្តិនេះដំណើរការមិនត្រឹមតែជាមួយឫសការ៉េនិងសញ្ញាបត្រទីពីរប៉ុណ្ណោះទេ។ ប្រសិនបើកម្រិតនៃឫស និងកម្រិតដែលឫសនេះត្រូវបានលើកឡើងដូចគ្នា នោះចម្លើយនឹងជាកន្សោមរ៉ាឌីកាល់។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ១១ ។

អ្នកត្រូវអាចមើលឃើញទ្រព្យសម្បត្តិនេះទាន់ពេលនៅពេលដោះស្រាយវា ដើម្បីសង្គ្រោះខ្លួនអ្នកពីការគណនាដ៏ធំ។

ទ្រព្យសម្បត្តិទី ១២ ។

លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះនីមួយៗនឹងជួបអ្នកច្រើនជាងមួយដងក្នុងកិច្ចការ វាអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់ដ៏បរិសុទ្ធរបស់វា ឬវាអាចទាមទារការផ្លាស់ប្តូរមួយចំនួន និងការប្រើប្រាស់រូបមន្តផ្សេងទៀត។ ដូច្នេះសម្រាប់ដំណោះស្រាយត្រឹមត្រូវ វាមិនគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងតែលក្ខណៈសម្បត្តិនោះទេ អ្នកត្រូវអនុវត្ត និងភ្ជាប់ចំណេះដឹងគណិតវិទ្យាដែលនៅសល់។

ការអនុវត្តសញ្ញាបត្រ និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា។

ពួកវាត្រូវបានប្រើយ៉ាងសកម្មក្នុងពិជគណិត និងធរណីមាត្រ។ សញ្ញាបត្រក្នុងគណិតវិទ្យាមានកន្លែងសំខាន់ដាច់ដោយឡែក។ ដោយមានជំនួយរបស់ពួកគេ សមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងវិសមភាពត្រូវបានដោះស្រាយ ក៏ដូចជាអំណាចច្រើនតែធ្វើឱ្យមានភាពស្មុគស្មាញដល់សមីការ និងឧទាហរណ៍ទាក់ទងនឹងផ្នែកផ្សេងទៀតនៃគណិតវិទ្យា។ និទស្សន្តជួយជៀសវាងការគណនាធំ និងវែង វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការកាត់បន្ថយ និងគណនានិទស្សន្ត។ ប៉ុន្តែដើម្បីធ្វើការជាមួយអំណាចធំ ឬជាមួយនឹងអំណាចនៃចំនួនច្រើន អ្នកត្រូវដឹងមិនត្រឹមតែលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងមានសមត្ថភាពធ្វើការជាមួយមូលដ្ឋានផងដែរ អាចបំបែកពួកវាបាន ដើម្បីធ្វើឱ្យកិច្ចការរបស់អ្នកកាន់តែងាយស្រួល។ ដើម្បីភាពងាយស្រួល អ្នកក៏គួរតែដឹងពីអត្ថន័យនៃលេខដែលលើកឡើងទៅជាថាមពល។ នេះនឹងកាត់បន្ថយពេលវេលារបស់អ្នកក្នុងការដោះស្រាយដោយលុបបំបាត់តម្រូវការសម្រាប់ការគណនាយូរ។

គោលគំនិតនៃសញ្ញាប័ត្រដើរតួនាទីពិសេសនៅក្នុងលោការីត។ ដោយហេតុថាលោការីត ជាខ្លឹមសារ គឺជាអំណាចនៃលេខ។

រូបមន្តគុណអក្សរកាត់គឺជាឧទាហរណ៍មួយទៀតនៃការប្រើប្រាស់អំណាច។ ពួកវាមិនអាចប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេបានទេ ពួកគេត្រូវបាន decomposed យោងទៅតាមច្បាប់ពិសេស ប៉ុន្តែនៅក្នុងរូបមន្តគុណដោយអក្សរកាត់នីមួយៗមានដឺក្រេមិនប្រែប្រួល។

សញ្ញាបត្រក៏ត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងសកម្មក្នុងរូបវិទ្យា និងវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រផងដែរ។ ការបកប្រែទាំងអស់ទៅក្នុងប្រព័ន្ធ SI ត្រូវបានធ្វើឡើងដោយប្រើដឺក្រេ ហើយនៅពេលអនាគត នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហា លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រត្រូវបានអនុវត្ត។ នៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រ អំណាចនៃពីរត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងសកម្ម ដើម្បីភាពងាយស្រួលនៃការរាប់ និងសម្រួលដល់ការយល់ឃើញនៃលេខ។ ការគណនាបន្ថែមទៀតសម្រាប់ការបំប្លែងឯកតារង្វាស់ ឬការគណនានៃបញ្ហា ដូចជានៅក្នុងរូបវិទ្យាកើតឡើងដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេ។

ដឺក្រេក៏មានប្រយោជន៍ក្នុងវិស័យតារាសាស្ត្រផងដែរ ដែលអ្នកកម្រអាចរកឃើញការប្រើប្រាស់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃដឺក្រេមួយ ប៉ុន្តែដឺក្រេខ្លួនឯងត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងសកម្មដើម្បីកាត់បន្ថយការកត់ត្រាបរិមាណ និងចម្ងាយផ្សេងៗ។

ដឺក្រេក៏ត្រូវបានគេប្រើនៅក្នុងជីវិតប្រចាំថ្ងៃផងដែរ នៅពេលគណនាតំបន់ បរិមាណ ចម្ងាយ។

ដោយ​មាន​ជំនួយ​ពី​ដឺក្រេ តម្លៃ​ធំ​ណាស់ និង​តូច​បំផុត​មិន​បាន​សរសេរ​ក្នុង​វិស័យ​វិទ្យាសាស្ត្រ​ណា​មួយ​ទេ។

សមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងវិសមភាព

លក្ខណៈសម្បត្តិសញ្ញាបត្រកាន់កាប់កន្លែងពិសេសមួយយ៉ាងជាក់លាក់នៅក្នុងសមីការអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងវិសមភាព។ ភារកិច្ចទាំងនេះគឺជារឿងធម្មតាណាស់ ទាំងនៅក្នុងវគ្គសិក្សា និងនៅក្នុងការប្រឡង។ ពួកគេទាំងអស់ត្រូវបានដោះស្រាយដោយការអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រ។ ភាពមិនស្គាល់គឺតែងតែស្ថិតនៅក្នុងកម្រិតខ្លួនឯង ដូច្នេះហើយការដឹងពីលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នោះ វានឹងមិនពិបាកក្នុងការដោះស្រាយសមីការ ឬវិសមភាពបែបនេះទេ។

នៅក្នុងអត្ថបទមុនយើងបាននិយាយអំពីអ្វីដែល monomials ។ នៅក្នុងសម្ភារៈនេះ យើងនឹងវិភាគពីរបៀបដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងបញ្ហាដែលពួកវាត្រូវបានប្រើ។ នៅទីនេះ យើងនឹងពិចារណាសកម្មភាពដូចជា ដក បូក គុណ ការបែងចែក monomials និងបង្កើនវាទៅជាថាមពលដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ។ យើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបដែលប្រតិបត្តិការបែបនេះត្រូវបានកំណត់ យើងនឹងបង្ហាញពីច្បាប់ជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការអនុវត្តរបស់ពួកគេ និងអ្វីដែលគួរតែជាលទ្ធផល។ រាល់បទប្បញ្ញត្តិទ្រឹស្តីទាំងអស់នឹងត្រូវបានបង្ហាញដោយឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាជាមួយនឹងការពិពណ៌នាអំពីដំណោះស្រាយ។

វាងាយស្រួលបំផុតក្នុងការធ្វើការជាមួយការសម្គាល់ស្តង់ដារនៃ monomials ដូច្នេះយើងបង្ហាញកន្សោមទាំងអស់ដែលនឹងត្រូវបានប្រើនៅក្នុងអត្ថបទក្នុងទម្រង់ស្តង់ដារមួយ។ ប្រសិនបើដំបូងពួកវាត្រូវបានកំណត់ខុសគ្នា វាត្រូវបានផ្ដល់អនុសាសន៍ឱ្យនាំពួកគេទៅកាន់ទម្រង់ដែលទទួលយកជាទូទៅជាមុនសិន។

ច្បាប់សម្រាប់ការបូក និងដក monomial

ប្រតិបត្តិការសាមញ្ញបំផុតដែលអាចត្រូវបានអនុវត្តជាមួយ monomials គឺដកនិងបូក។ ក្នុង​ករណី​ទូទៅ លទ្ធផល​នៃ​សកម្មភាព​ទាំង​នេះ​នឹង​ជា​ពហុធា ( monomial គឺ​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន​ក្នុង​ករណី​ពិសេស​មួយ​ចំនួន)។

នៅពេលដែលយើងបន្ថែម ឬដក monomials ដំបូងយើងសរសេរនូវផលបូកដែលត្រូវគ្នា និងភាពខុសគ្នានៅក្នុងទម្រង់ដែលទទួលយកជាទូទៅ បន្ទាប់មកយើងសម្រួលការបញ្ចេញមតិលទ្ធផល។ ប្រសិនបើមានលក្ខខណ្ឌស្រដៀងគ្នា ពួកគេត្រូវតែផ្តល់ឱ្យ តង្កៀបត្រូវតែបើក។ ចូរយើងពន្យល់ជាមួយឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍ ១

លក្ខខណ្ឌ៖បន្ថែម monomials − 3 · x និង 2 , 72 · x 3 · y 5 · z ។

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរយើងសរសេរនូវផលបូកនៃកន្សោមដើម។ បន្ថែមវង់ក្រចក ហើយដាក់សញ្ញាបូករវាងពួកវា។ យើងនឹងទទួលបានដូចខាងក្រោម៖

(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z)

នៅពេលយើងពង្រីកតង្កៀប យើងទទួលបាន - 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z ។ នេះ​ជា​ពហុនាម​ដែល​សរសេរ​ក្នុង​ទម្រង់​ស្ដង់ដារ​ដែល​នឹង​ជា​លទ្ធផល​នៃ​ការ​បន្ថែម​ម៉ូណូមីល​ទាំងនេះ។

ចម្លើយ៖(− 3 x) + (2 , 72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2 , 72 x 3 y 5 z ។

ប្រសិនបើយើងមានលក្ខខណ្ឌបី បួន ឬច្រើនជាងនេះ យើងអនុវត្តសកម្មភាពនេះតាមរបៀបដូចគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ២

លក្ខខណ្ឌ៖អនុវត្តប្រតិបត្តិការដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយពហុនាមក្នុងលំដាប់ត្រឹមត្រូវ។

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរចាប់ផ្តើមដោយបើកវង់ក្រចក។

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

យើងឃើញថាកន្សោមលទ្ធផលអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញដោយកាត់បន្ថយពាក្យដូចជា៖

3 a 2 + 4 a c + a 2 − 7 a 2 + 4 9 − 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 − 7 a 2) + 4 a c − 2 2 3 a c + 4 9 = = − 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

យើង​មាន​ពហុនាម ដែល​នឹង​ជា​លទ្ធផល​នៃ​សកម្មភាព​នេះ។

ចម្លើយ៖ 3 a 2 − ( − 4 a c ) + a 2 − 7 a 2 + 4 9 − 2 2 3 a c = − 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

ជាគោលការណ៍ យើងអាចអនុវត្តការបូក និងដកនៃ monomial ពីរ ដោយមានការរឹតបន្តឹងមួយចំនួន ដូច្នេះយើងបញ្ចប់ដោយ monomial មួយ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន ចាំបាច់ត្រូវសង្កេតមើលលក្ខខណ្ឌមួយចំនួនទាក់ទងនឹងលក្ខខណ្ឌ និងដក monomials ។ យើងនឹងរៀបរាប់អំពីរបៀបដែលវាត្រូវបានធ្វើនៅក្នុងអត្ថបទដាច់ដោយឡែកមួយ។

ច្បាប់សម្រាប់ការគុណ monomial

សកម្មភាពគុណមិនដាក់កម្រិតលើមេគុណទេ។ monomial ដែលត្រូវគុណមិនត្រូវបំពេញលក្ខខណ្ឌបន្ថែមណាមួយឡើយ ដើម្បីឱ្យលទ្ធផលជា monomial ។

ដើម្បីអនុវត្តការគុណនៃ monomial អ្នកត្រូវអនុវត្តជំហានដូចខាងក្រោមៈ

1. កត់ត្រាបំណែកឱ្យបានត្រឹមត្រូវ។
2. ពង្រីកតង្កៀបនៅក្នុងកន្សោមលទ្ធផល។
3. ក្រុម ប្រសិនបើអាចធ្វើទៅបាន កត្តាដែលមានអថេរដូចគ្នា និងកត្តាលេខដាច់ដោយឡែក។
4. អនុវត្តសកម្មភាពចាំបាច់ជាមួយនឹងលេខ និងអនុវត្តទ្រព្យសម្បត្តិនៃអំណាចគុណដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាទៅនឹងកត្តាដែលនៅសល់។

តោះមើលរបៀបដែលនេះត្រូវបានធ្វើនៅក្នុងការអនុវត្ត។

ឧទាហរណ៍ ៣

លក្ខខណ្ឌ៖គុណ monomials 2 · x 4 · y · z និង - 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 ។

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងសមាសភាពនៃការងារ។

បើកតង្កៀបនៅក្នុងវាហើយយើងទទួលបានដូចខាងក្រោម:

2 x 4 y z − 7 16 t 2 x 2 z 11

2 − 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

អ្វី​ដែល​យើង​ត្រូវ​ធ្វើ​គឺ​គុណ​លេខ​ក្នុង​តង្កៀប​ទីមួយ ហើយ​អនុវត្ត​លក្ខណៈ​ថាមពល​ទៅ​លេខ​ទីពីរ។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានដូចខាងក្រោមៈ

2 − 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = − 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = − 7 8 t 2 x 6 y z 14

ចម្លើយ៖ 2 x 4 y z − 7 16 t 2 x 2 z 11 = − 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

ប្រសិនបើយើងមានពហុនាមបី ឬច្រើននៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ នោះយើងគុណពួកវាដោយប្រើក្បួនដោះស្រាយដូចគ្នា។ យើងនឹងពិចារណាអំពីបញ្ហានៃការគុណនៃ monomials នៅក្នុងលម្អិតបន្ថែមទៀតនៅក្នុងសម្ភារៈដាច់ដោយឡែកមួយ។

ច្បាប់សម្រាប់ការបង្កើន monomial ទៅជាអំណាចមួយ។

យើងដឹងថាផលិតផលនៃកត្តាដូចគ្នាមួយចំនួនត្រូវបានគេហៅថាសញ្ញាបត្រដែលមាននិទស្សន្តធម្មជាតិ។ លេខរបស់ពួកគេត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយលេខនៅក្នុងលិបិក្រម។ យោងតាមនិយមន័យនេះ ការបង្កើន monomial ទៅជាថាមពលគឺស្មើនឹងការគុណចំនួនដែលបានបង្ហាញនៃ monomial ដូចគ្នា។ តោះមើលរបៀបដែលវាត្រូវបានធ្វើ។

ឧទាហរណ៍ 4

លក្ខខណ្ឌ៖បង្កើន monomial − 2 · a · b 4 ដល់អំណាចនៃ 3 ។

ការសម្រេចចិត្ត

យើងអាចជំនួសនិទស្សន្តដោយគុណនៃ 3 monomial − 2 · a · b 4 ។ ចូរសរសេរចុះ ហើយទទួលបានចម្លើយដែលចង់បាន៖

(− 2 a b 4) 3 = (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) (− 2 a b 4) = = ((− 2) (− 2) (− 2)) (a a a) (b 4 ខ 4 b 4) = − 8 a 3 b 12

ចម្លើយ៖(− 2 a b 4) 3 = − 8 a 3 b 12 .

ប៉ុន្តែចុះនៅពេលដែលសញ្ញាបត្រមាននិទស្សន្តធំ? ការកត់ត្រាចំនួនមេគុណច្រើនគឺជាការរអាក់រអួល។ បន្ទាប់មក ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះ យើងត្រូវអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិនៃសញ្ញាប័ត្រ ពោលគឺទ្រព្យសម្បត្តិនៃសញ្ញាប័ត្រនៃផលិតផល និងទ្រព្យសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រនៅក្នុងសញ្ញាបត្រ។

ចូរយើងដោះស្រាយបញ្ហាដែលយើងបានលើកឡើងខាងលើតាមរបៀបដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។

ឧទាហរណ៍ ៥

លក្ខខណ្ឌ៖លើក − 2 · a · b 4 ដល់អំណាចទីបី។

ការសម្រេចចិត្ត

ដោយដឹងពីទ្រព្យសម្បត្តិនៃសញ្ញាបត្រនោះ យើងអាចបន្តទៅការបង្ហាញទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

(− 2 a b 4) 3 = (− 2) 3 a 3 (b 4) 3 .

បន្ទាប់ពីនោះយើងលើកទៅថាមពល - 2 ហើយអនុវត្តទ្រព្យសម្បត្តិនិទស្សន្ត:

(− 2) 3 (a) 3 (b 4) 3 = − 8 a 3 b 4 3 = − 8 a 3 b 12 .

ចម្លើយ៖− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

យើងក៏បានលះបង់អត្ថបទដាច់ដោយឡែកមួយចំពោះការលើកឡើង monomial ទៅជាអំណាចមួយ។

ច្បាប់សម្រាប់ការបែងចែក monomial

សកម្មភាពចុងក្រោយជាមួយ monomial ដែលយើងនឹងវិភាគនៅក្នុងសម្ភារៈនេះគឺការបែងចែក monomial ដោយ monomial មួយ។ ជាលទ្ធផល យើងគួរតែទទួលបានប្រភាគសមហេតុផល (ពិជគណិត) (ក្នុងករណីខ្លះ វាអាចទទួលបាន monomial) ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ភ្លាមៗថាការបែងចែកដោយសូន្យ monomial មិនត្រូវបានកំណត់ទេព្រោះការបែងចែកដោយ 0 មិនត្រូវបានកំណត់។

ដើម្បីអនុវត្តការបែងចែក យើងត្រូវសរសេរ monomials ដែលបានចង្អុលបង្ហាញក្នុងទម្រង់ជាប្រភាគ ហើយកាត់បន្ថយវា ប្រសិនបើអាចធ្វើបាន។

ឧទាហរណ៍ ៦

លក្ខខណ្ឌ៖ចែក monomial − 9 x 4 y 3 z 7 ដោយ − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 ។

ការសម្រេចចិត្ត

ចូរចាប់ផ្តើមដោយការសរសេរ monomials ក្នុងទម្រង់ជាប្រភាគ។

9 x 4 y 3 z 7 − 6 p 3 t 5 x 2 y 2

ប្រភាគនេះអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយ។ បន្ទាប់ពីធ្វើវាយើងទទួលបាន៖

3 x 2 y z 7 2 ទំ 3 t ៥

ចម្លើយ៖- 9 x 4 y 3 z 7 − 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

លក្ខខណ្ឌខាងក្រោមដែលជាលទ្ធផលនៃការបែងចែក monomial យើងទទួលបាន monomial ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងអត្ថបទដាច់ដោយឡែកមួយ។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

នៅក្នុងការបង្រៀនវីដេអូចុងក្រោយ យើងបានរៀនថាកម្រិតនៃមូលដ្ឋានគឺជាកន្សោមដែលជាផលនៃមូលដ្ឋាន និងខ្លួនវាផ្ទាល់ ដែលយកក្នុងបរិមាណស្មើនឹងនិទស្សន្ត។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងសិក្សាអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិ និងប្រតិបត្តិការសំខាន់ៗមួយចំនួននៃអំណាច។

ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងគុណអំណាចពីរផ្សេងគ្នាជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នា៖

តោះ​មើល​ឈុត​នេះ​ទាំង​ស្រុង៖

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

ដោយបានគណនាតម្លៃនៃកន្សោមនេះ យើងនឹងទទួលបានលេខ 32។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ដូចដែលអាចមើលឃើញពីឧទាហរណ៍ដូចគ្នា 32 អាចត្រូវបានតំណាងជាផលិតផលនៃមូលដ្ឋានដូចគ្នា (ពីរ) យក 5 ដង។ ហើយជាការពិតប្រសិនបើអ្នករាប់ នោះ៖

ដូច្នេះវាអាចត្រូវបានសន្និដ្ឋានដោយសុវត្ថិភាពថា:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

ច្បាប់នេះដំណើរការដោយជោគជ័យសម្រាប់សូចនាករ និងហេតុផលណាមួយ។ ទ្រព្យសម្បត្តិនៃការគុណនៃសញ្ញាប័ត្រនេះធ្វើឡើងពីក្បួនរក្សាអត្ថន័យនៃកន្សោមអំឡុងពេលបំប្លែងនៅក្នុងផលិតផល។ សម្រាប់មូលដ្ឋានណាមួយ a ផលិតផលនៃកន្សោមពីរ (a) x និង (a) y គឺស្មើនឹង a (x + y) ។ នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត នៅពេលដែលផលិតកន្សោមណាមួយដែលមានមូលដ្ឋានដូចគ្នា ឯកតាចុងក្រោយមានកម្រិតសរុបដែលបង្កើតឡើងដោយការបន្ថែមកម្រិតនៃកន្សោមទីមួយ និងទីពីរ។

ច្បាប់​ដែល​បាន​បង្ហាញ​ក៏​ដំណើរការ​ល្អ​ដែរ​នៅ​ពេល​គុណ​កន្សោម​ជាច្រើន។ លក្ខខណ្ឌចម្បងគឺថាមូលដ្ឋានសម្រាប់ទាំងអស់គឺដូចគ្នា។ ឧទាហរណ៍:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការបន្ថែមដឺក្រេ ហើយជាការពិតដើម្បីអនុវត្តសកម្មភាពរួមគ្នានៃថាមពលជាមួយនឹងធាតុពីរនៃការបញ្ចេញមតិ ប្រសិនបើមូលដ្ឋានរបស់ពួកគេខុសគ្នា។
ដូចដែលវីដេអូរបស់យើងបង្ហាញ ដោយសារតែភាពស្រដៀងគ្នានៃដំណើរការគុណ និងការបែងចែក ច្បាប់សម្រាប់ការបន្ថែមថាមពលក្នុងអំឡុងពេលផលិតផលមួយត្រូវបានផ្ទេរយ៉ាងល្អឥតខ្ចោះទៅកាន់នីតិវិធីនៃការបែងចែក។ ពិចារណាឧទាហរណ៍នេះ៖

ចូរ​ធ្វើ​ការ​បំប្លែង​ពាក្យ​តាម​រយៈ​នៃ​កន្សោម​ទៅ​ជា​ទម្រង់​ពេញ​លេញ ហើយ​កាត់​បន្ថយ​ធាតុ​ដូច​គ្នា​ក្នុង​ភាគលាភ និង​ផ្នែក​ចែក៖

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

លទ្ធផលចុងក្រោយនៃឧទាហរណ៍នេះគឺមិនគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍នោះទេព្រោះរួចទៅហើយនៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយរបស់វាវាច្បាស់ណាស់ថាតម្លៃនៃកន្សោមគឺស្មើនឹងការេនៃពីរ។ ហើយវាគឺជា deuce ដែលទទួលបានដោយការដកដឺក្រេនៃកន្សោមទីពីរពីដឺក្រេនៃទីមួយ។

ដើម្បី​កំណត់​កម្រិត​នៃ​ភាគលាភ ​វា​ចាំបាច់​ត្រូវ​ដក​កម្រិត​នៃ​ផ្នែក​ចែក​ចេញ​ពី​កម្រិត​នៃ​ភាគលាភ។ ច្បាប់ធ្វើការជាមួយនឹងមូលដ្ឋានដូចគ្នាសម្រាប់តម្លៃរបស់វាទាំងអស់ និងសម្រាប់អំណាចធម្មជាតិទាំងអស់។ ក្នុងទម្រង់អរូបី យើងមាន៖

(a) x / (a) y = (a) x − y

និយមន័យសម្រាប់ដឺក្រេសូន្យ អនុវត្តតាមច្បាប់សម្រាប់ការបែងចែកមូលដ្ឋានដូចគ្នាបេះបិទជាមួយនឹងអំណាច។ ជាក់ស្តែង ការបញ្ចេញមតិខាងក្រោមនេះគឺ៖

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

ម្យ៉ាងវិញទៀត ប្រសិនបើយើងបែងចែកតាមវិធីដែលមើលឃើញកាន់តែច្រើន យើងទទួលបាន៖

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

នៅពេលកាត់បន្ថយធាតុដែលមើលឃើញទាំងអស់នៃប្រភាគ កន្សោម 1/1 តែងតែទទួលបាន ពោលគឺមួយ។ ដូច្នេះ គេទទួលយកជាទូទៅថា មូលដ្ឋានណាមួយដែលបានលើកឡើងទៅសូន្យអំណាចគឺស្មើនឹងមួយ៖

ដោយមិនគិតពីតម្លៃនៃ ក.

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាមិនទំនងទាល់តែសោះ ប្រសិនបើ 0 (ដែលនៅតែផ្តល់ឱ្យ 0 សម្រាប់គុណណាមួយ) គឺស្មើនឹងមួយ ដូច្នេះកន្សោមដូចជា (0) 0 (ពីសូន្យដល់សូន្យដឺក្រេ) មិនសមហេតុផលទេ ហើយរូបមន្ត (a) 0 = 1 បន្ថែមលក្ខខណ្ឌមួយ: "ប្រសិនបើ a មិនស្មើនឹង 0" ។

តោះធ្វើលំហាត់។ ចូរយើងស្វែងរកតម្លៃនៃកន្សោម៖

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

ដោយសារមូលដ្ឋានគឺដូចគ្នានៅគ្រប់ទីកន្លែង និងស្មើ 34 តម្លៃចុងក្រោយនឹងមានមូលដ្ឋានដូចគ្នាជាមួយនឹងដឺក្រេ (យោងទៅតាមច្បាប់ខាងលើ)៖

ក្នុង​ន័យ​ផ្សេងទៀត:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

ចម្លើយ៖ កន្សោមគឺស្មើនឹងមួយ។