វាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់តាមវិធីផ្សេងៗគ្នា (ចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រ ចំណុចពីរ និងវ៉ិចទ័រ បីចំណុច។ល។)។ វាគឺជាមួយនឹងរឿងនេះនៅក្នុងចិត្តថាសមីការនៃយន្តហោះអាចមានទម្រង់ផ្សេងគ្នា។ ដូចគ្នានេះផងដែរ, ស្ថិតនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់, យន្តហោះអាចស្របគ្នា, កាត់កែង, ប្រសព្វ។ល។ យើងនឹងនិយាយអំពីរឿងនេះនៅក្នុងអត្ថបទនេះ។ យើងនឹងរៀនពីរបៀបសរសេរសមីការទូទៅនៃយន្តហោះហើយមិនត្រឹមតែប៉ុណ្ណោះ។

ទម្រង់ធម្មតានៃសមីការ

ឧបមាថាមានចន្លោះ R 3 ដែលមានប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ XYZ ។ ចូរកំណត់វ៉ិចទ័រ α ដែលនឹងត្រូវបានបញ្ចេញចេញពីចំណុចដំបូង O. តាមរយៈចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ α យើងគូរប្លង់ P ដែលនឹងត្រូវកាត់កែងទៅវា។

សម្គាល់ដោយ P ចំណុចបំពាន Q = (x, y, z) ។ យើងនឹងចុះហត្ថលេខាលើវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុច Q ដោយអក្សរ p ។ ប្រវែងវ៉ិចទ័រ α គឺ p=IαI និង Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ)។

នេះគឺជាវ៉ិចទ័រឯកតាដែលចង្អុលទៅចំហៀង ដូចវ៉ិចទ័រ α ដែរ។ α, β និង γ គឺជាមុំដែលបង្កើតរវាងវ៉ិចទ័រ Ʋ និងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្សលំហ x, y, z រៀងគ្នា។ ការព្យាករនៃចំណុចមួយចំនួន QϵП ទៅលើវ៉ិចទ័រ Ʋ គឺជាតម្លៃថេរស្មើនឹង р: (р,Ʋ) = р(р≥0) ។

សមីការនេះមានន័យនៅពេល p=0 ។ រឿងតែមួយគត់គឺថាយន្តហោះ P ក្នុងករណីនេះនឹងកាត់ចំនុច O (α=0) ដែលជាប្រភពដើម ហើយវ៉ិចទ័រឯកតា Ʋ ដែលបញ្ចេញចេញពីចំណុច O នឹងកាត់កែងទៅ P ដោយមិនគិតពីទិសដៅរបស់វាឡើយ។ ដែលមានន័យថាវ៉ិចទ័រ ត្រូវបានកំណត់ពីសញ្ញា - ភាពត្រឹមត្រូវ។ សមីការមុនគឺជាសមីការនៃយន្តហោះ P របស់យើង ដែលបង្ហាញជាទម្រង់វ៉ិចទ័រ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងកូអរដោនេវានឹងមើលទៅដូចនេះ:

P នៅទីនេះធំជាង ឬស្មើ 0។ យើងបានរកឃើញសមីការនៃយន្តហោះក្នុងលំហក្នុងទម្រង់ធម្មតារបស់វា។

សមីការទូទៅ

ប្រសិនបើយើងគុណសមីការក្នុងកូអរដោណេដោយលេខណាមួយដែលមិនស្មើនឹងសូន្យ នោះយើងទទួលបានសមីការដែលស្មើនឹងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដែលកំណត់ប្លង់ដូចគ្នានោះ។ វានឹងមើលទៅដូចនេះ៖

នៅទីនេះ A, B, C គឺជាលេខដែលខុសគ្នាក្នុងពេលដំណាលគ្នាពីសូន្យ។ សមីការនេះត្រូវបានគេហៅថាសមីការយន្តហោះទូទៅ។

សមីការយន្តហោះ។ ករណីពិសេស

សមីការក្នុងទម្រង់ទូទៅអាចត្រូវបានកែប្រែនៅក្នុងវត្តមាននៃលក្ខខណ្ឌបន្ថែម។ ចូរយើងពិចារណាពួកគេខ្លះ។

សន្មតថាមេគុណ A គឺ 0 ។ នេះមានន័យថាយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស Ox ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងករណីនេះ ទម្រង់សមីការនឹងផ្លាស់ប្តូរ៖ Ву+Cz+D=0។

ដូចគ្នានេះដែរ ទម្រង់នៃសមីការនឹងផ្លាស់ប្តូរក្រោមលក្ខខណ្ឌដូចខាងក្រោម៖

• ទីមួយ ប្រសិនបើ B = 0 នោះសមីការនឹងប្តូរទៅជា Ax + Cz + D = 0 ដែលនឹងបង្ហាញពីភាពស្របគ្នាទៅនឹងអ័ក្ស Oy ។
• ទីពីរ ប្រសិនបើ С=0 នោះសមីការត្រូវបានបំលែងទៅជា Ах+Ву+D=0 ដែលនឹងបង្ហាញពីភាពស្របគ្នាទៅនឹងអ័ក្សដែលបានផ្តល់ឱ្យ Oz ។
• ទីបី ប្រសិនបើ D=0 សមីការនឹងមើលទៅដូច Ax+By+Cz=0 ដែលមានន័យថា យន្តហោះប្រសព្វ O (ប្រភពដើម)។
• ទីបួន ប្រសិនបើ A=B=0 នោះសមីការនឹងប្តូរទៅ Cz+D=0 ដែលនឹងបង្ហាញថាស្របទៅនឹង Oxy ។
• ទីប្រាំ ប្រសិនបើ B=C=0 នោះសមីការក្លាយជា Ax+D=0 ដែលមានន័យថា យន្តហោះទៅ Oyz គឺស្របគ្នា។
• ទីប្រាំមួយ ប្រសិនបើ A=C=0 នោះសមីការនឹងយកទម្រង់ Ву+D=0 នោះគឺវានឹងរាយការណ៍ពីភាពស្របទៅ Oxz ។

ប្រភេទនៃសមីការនៅក្នុងផ្នែក

ក្នុងករណីដែលលេខ A, B, C, D មិនមែនជាសូន្យ ទម្រង់សមីការ (0) អាចមានដូចខាងក្រោម៖

x/a + y/b + z/c = 1,

ដែលក្នុងនោះ \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C ។

យើង​ទទួល​បាន​លទ្ធផល​គួរ​ឱ្យ​កត់​សម្គាល់​ថា យន្តហោះ​នេះ​នឹង​កាត់​អ័ក្ស​អុក​នៅ​ចំណុច​មួយ​ជាមួយ​កូអរដោណេ (a,0,0), Oy - (0,b,0) និង Oz - (0,0,c) .

ដោយគិតគូរពីសមីការ x/a + y/b + z/c = 1 វាងាយស្រួលក្នុងការតំណាងឱ្យទីតាំងរបស់យន្តហោះដោយមើលឃើញទាក់ទងទៅនឹងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

កូអរដោណេវ៉ិចទ័រធម្មតា។

វ៉ិចទ័រធម្មតា n ទៅយន្តហោះ P មានកូអរដោណេដែលជាមេគុណនៃសមីការទូទៅនៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ នោះគឺ n (A, B, C)

ដើម្បីកំណត់កូអរដោនេនៃ n ធម្មតា វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងពីសមីការទូទៅនៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

នៅពេលប្រើសមីការក្នុងផ្នែកដែលមានទម្រង់ x/a + y/b + z/c = 1 ក៏ដូចជានៅពេលប្រើសមីការទូទៅ គេអាចសរសេរកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាណាមួយនៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖ (1 /a + 1/b + 1/ ជាមួយ) ។

គួរកត់សម្គាល់ថាវ៉ិចទ័រធម្មតាជួយដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗ។ ទូទៅបំផុតគឺភារកិច្ចដែលមាននៅក្នុងការបញ្ជាក់កាត់កែងឬប៉ារ៉ាឡែលនៃយន្តហោះ បញ្ហាក្នុងការស្វែងរកមុំរវាងយន្តហោះ ឬមុំរវាងយន្តហោះនិងបន្ទាត់។

ទិដ្ឋភាពនៃសមីការនៃយន្តហោះយោងទៅតាមកូអរដោនេនៃចំនុចនិងវ៉ិចទ័រធម្មតា។

វ៉ិចទ័រមិនសូន្យ n កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថា ធម្មតា (ធម្មតា) សម្រាប់យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឧបមាថានៅក្នុងចន្លោះកូអរដោណេ (ប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ) Oxyz ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ៖

• ចំណុច Mₒ ជាមួយកូអរដោនេ (xₒ, yₒ, zₒ);
• វ៉ិចទ័រសូន្យ n=A*i+B*j+C*k។

វាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើតសមីការសម្រាប់យន្តហោះដែលនឹងឆ្លងកាត់ចំណុច Mₒ កាត់កែងទៅនឹង n ធម្មតា។

នៅក្នុងលំហ យើងជ្រើសរើសចំណុចដែលបំពានណាមួយ ហើយកំណត់វាដោយ M (x y, z) ។ ទុកវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុចណាមួយ M (x, y, z) ជា r=x*i+y*j+z*k ហើយវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុច Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k។ ចំនុច M នឹង​ជា​របស់​យន្តហោះ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​ប្រសិនបើ​វ៉ិចទ័រ MₒM កាត់​កែង​ទៅនឹង​វ៉ិចទ័រ n ។ យើងសរសេរលក្ខខណ្ឌ orthogonality ដោយប្រើផលិតផលមាត្រដ្ឋាន៖

[MₒM, n] = 0 ។

ចាប់តាំងពី MₒM \u003d r-rₒ សមីការវ៉ិចទ័រនៃយន្តហោះនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

សមីការនេះអាចមានទម្រង់ផ្សេងទៀត។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋានត្រូវបានប្រើ ហើយផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការត្រូវបានបំលែង។ = - ។ ប្រសិនបើតំណាងថាជា c នោះសមីការខាងក្រោមនឹងត្រូវបានទទួល៖ - c \u003d 0 ឬ \u003d c ដែលបង្ហាញពីភាពជាប់លាប់នៃការព្យាករលើវ៉ិចទ័រធម្មតានៃវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលជារបស់យន្តហោះ។

ឥឡូវនេះអ្នកអាចទទួលបានទម្រង់កូអរដោនេនៃការសរសេរសមីការវ៉ិចទ័រនៃយន្តហោះរបស់យើង = 0។ ចាប់តាំងពី r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, និង n = A*i+B*j+C*k យើងមាន៖

វាប្រែថាយើងមានសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចកាត់កែងទៅនឹង n ធម្មតា៖

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0។

ទិដ្ឋភាព​នៃ​សមីការ​យន្តហោះ​ដោយ​យោង​តាម​កូអរដោណេ​នៃ​ចំណុច​ពីរ​និង​វ៉ិចទ័រ​ដែល​ជាប់​នឹង​យន្តហោះ

យើងកំណត់ចំណុចបំពានពីរ M′ (x′,y′,z′) និង M″ (x″,y″,z″) ក៏ដូចជាវ៉ិចទ័រ a (a′,a″,a‴)។

ឥឡូវនេះយើងអាចសរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលនឹងឆ្លងកាត់ចំណុចដែលមាន M′ និង M″ ក៏ដូចជាចំណុច M ដែលមានកូអរដោណេ (x, y, z) ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ a ។

ក្នុងករណីនេះ វ៉ិចទ័រ M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) និង M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) ត្រូវតែជា coplanar ជាមួយវ៉ិចទ័រ a=(a′,a″,a‴) ដែលមានន័យថា (M′M, M″M, a)=0។

ដូច្នេះ សមីការ​របស់​យើង​នៃ​យន្តហោះ​ក្នុង​លំហ​នឹង​មាន​លក្ខណៈ​ដូច​នេះ៖

ប្រភេទនៃសមីការនៃយន្តហោះប្រសព្វគ្នាបីចំណុច

ឧបមាថាយើងមានបីចំនុច៖ (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) ដែលមិនមែនជារបស់បន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា។ វាចាំបាច់ក្នុងការសរសេរសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចបីដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ទ្រឹស្ដីធរណីមាត្របានអះអាងថា យន្តហោះប្រភេទនេះពិតជាមានមែន មានតែវាតែមួយគត់ និងមិនអាចចម្លងបាន។ ដោយសារយន្តហោះនេះប្រសព្វចំនុច (x′,y′,z′) ទម្រង់សមីការរបស់វានឹងមានដូចខាងក្រោម៖

នៅទីនេះ A, B, C គឺខុសគ្នាពីសូន្យក្នុងពេលតែមួយ។ ដូចគ្នានេះផងដែរ យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យកាត់ចំនុចពីរបន្ថែមទៀត៖ (x″,y″,z″) និង (x‴,y‴,z‴)។ ក្នុងន័យនេះ លក្ខខណ្ឌខាងក្រោមត្រូវតែបំពេញ៖

ឥឡូវនេះយើងអាចសរសេរប្រព័ន្ធដូចគ្នាជាមួយមិនស្គាល់ u, v, w:

ក្នុងករណីរបស់យើង x, y ឬ z គឺជាចំណុចបំពានដែលបំពេញសមីការ (1) ។ ដែលបានផ្តល់ឱ្យសមីការ (1) និងប្រព័ន្ធនៃសមីការ (2) និង (3) ប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភាពខាងលើបំពេញវ៉ិចទ័រ N (A, B, C) ដែលមិនសំខាន់។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលកត្តាកំណត់នៃប្រព័ន្ធនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ។

សមីការ (១) ដែលយើងទទួលបានគឺជាសមីការនៃយន្តហោះ។ វាឆ្លងកាត់យ៉ាងពិតប្រាកដតាមរយៈ 3 ពិន្ទុហើយនេះងាយស្រួលពិនិត្យ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រូវពង្រីកកត្តាកំណត់របស់យើងលើធាតុនៅក្នុងជួរទីមួយ។ វាធ្វើតាមពីលក្ខណៈសម្បត្តិដែលមានស្រាប់នៃកត្តាកំណត់ដែលយន្តហោះរបស់យើងប្រសព្វគ្នាក្នុងពេលដំណាលគ្នាបីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យដំបូង (x′, y′, z′), (x″, y″, z″), (x‴, y‴, z‴) . នោះគឺយើងបានដោះស្រាយភារកិច្ចដែលបានកំណត់នៅចំពោះមុខយើង។

មុំ Dihedral រវាងយន្តហោះ

មុំ dihedral គឺជាតួលេខធរណីមាត្រលំហដែលបង្កើតឡើងដោយយន្តហោះពាក់កណ្តាលពីរដែលចេញពីបន្ទាត់ត្រង់មួយ។ និយាយម្យ៉ាងទៀតនេះគឺជាផ្នែកនៃលំហដែលត្រូវបានកំណត់ដោយពាក់កណ្តាលយន្តហោះទាំងនេះ។

ឧបមាថាយើងមានយន្តហោះពីរដែលមានសមីការដូចខាងក្រោមៈ

យើងដឹងថា វ៉ិចទ័រ N=(A,B,C) និង N¹=(A¹,B¹,C¹) កាត់កែងគ្នាតាមប្លង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងន័យនេះ មុំ φ រវាងវ៉ិចទ័រ N និង N¹ គឺស្មើនឹងមុំ (ឌីអេដ្រាល) ដែលស្ថិតនៅចន្លោះប្លង់ទាំងនេះ។ ផលិតផលមាត្រដ្ឋានមានទម្រង់៖

NN¹=|N||N¹|cos φ,

ច្បាស់ណាស់ដោយសារតែ

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²))។

វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការពិចារណាថា 0≤φ≤π។

តាម​ពិត យន្តហោះ​ពីរ​ដែល​ប្រសព្វ​គ្នា​បង្កើត​ជា​មុំ​ពីរ (dihedral)៖ φ 1 និង φ 2 ។ ផលបូករបស់ពួកគេគឺស្មើនឹង π (φ 1 + φ 2 = π) ។ ចំណែក​កូស៊ីនុស​វិញ តម្លៃ​ដាច់ខាត​របស់​វា​ស្មើគ្នា ប៉ុន្តែ​វា​ខុសគ្នា​តាម​សញ្ញា ពោល​គឺ cos φ 1 =-cos φ 2 ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការ (0) យើងជំនួស A, B និង C ដោយលេខ -A, -B និង -C រៀងគ្នា បន្ទាប់មកសមីការដែលយើងទទួលបាននឹងកំណត់ប្លង់ដូចគ្នា មុំតែមួយគត់φក្នុងសមីការ cos φ= NN 1 /|N||N ១| នឹងត្រូវបានជំនួសដោយ π-φ ។

សមីការ​យន្តហោះ​កាត់​កែង

ប្លង់ត្រូវបានគេហៅថាកាត់កែងប្រសិនបើមុំរវាងពួកវាគឺ 90 ដឺក្រេ។ ដោយប្រើសម្ភារៈដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ យើងអាចរកឃើញសមីការនៃយន្តហោះកាត់កែងទៅមួយទៀត។ ចូរនិយាយថាយើងមានយន្តហោះពីរ៖ Ax+By+Cz+D=0 និង A¹x+B¹y+C¹z+D=0។ យើងអាចបញ្ជាក់ថាពួកវានឹងកាត់កែងប្រសិនបើ cosφ=0 ។ នេះមានន័យថា NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0។

សមីការយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែល

ប៉ារ៉ាឡែលគឺជាប្លង់ពីរដែលមិនមានចំណុចរួម។

លក្ខខណ្ឌ (សមីការរបស់ពួកគេគឺដូចគ្នាទៅនឹងកថាខណ្ឌមុន) គឺថា វ៉ិចទ័រ N និង N¹ ដែលកាត់កែងទៅនឹងពួកវាគឺជាប់គ្នា។ នេះមានន័យថាលក្ខខណ្ឌនៃសមាមាត្រខាងក្រោមត្រូវបានពេញចិត្ត៖

A/A¹=B/B¹=C/C¹។

ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌសមាមាត្រត្រូវបានពង្រីក - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

នេះបង្ហាញថាយន្តហោះទាំងនេះស្របគ្នា។ នេះមានន័យថាសមីការ Ax+By+Cz+D=0 និង A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 ពិពណ៌នាអំពីយន្តហោះមួយ។

ចម្ងាយទៅយន្តហោះពីចំណុច

ចូរនិយាយថាយើងមានយន្តហោះ P ដែលត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ (0) ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកចម្ងាយទៅវាពីចំណុចដោយកូអរដោណេ (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកត្រូវនាំយកសមីការនៃយន្តហោះ P ទៅជាទម្រង់ធម្មតា៖

(ρ,v)=p (p≥0)។

ក្នុងករណីនេះ ρ(x,y,z) គឺជាវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុច Q របស់យើងដែលមានទីតាំងនៅ P, p គឺជាប្រវែងនៃកាត់កែងទៅ P ដែលត្រូវបានបញ្ចេញពីចំនុចសូន្យ, v គឺជាវ៉ិចទ័រឯកតាដែលមានទីតាំងនៅ ទិសដៅមួយ។

ភាពខុសគ្នា ρ-ρº នៃវ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចមួយចំនួន Q \u003d (x, y, z) ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ P ក៏ដូចជាវ៉ិចទ័រកាំនៃចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) គឺបែបនេះ។ វ៉ិចទ័រ តម្លៃដាច់ខាតនៃការព្យាករដែលនៅលើ v គឺស្មើនឹងចម្ងាយ d ដែលត្រូវតែរកឃើញពី Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) ទៅ P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ប៉ុន្តែ

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v)។

ដូច្នេះវាប្រែចេញ

d=|(ρ 0 ,v)-p|។

ដូច្នេះ យើងនឹងរកឃើញតម្លៃដាច់ខាតនៃកន្សោមលទ្ធផល នោះគឺ ឃ ដែលចង់បាន។

ដោយប្រើភាសានៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រយើងទទួលបានជាក់ស្តែង:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²)។

ប្រសិនបើចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ Q 0 គឺនៅផ្នែកម្ខាងទៀតនៃយន្តហោះ P ក៏ដូចជាប្រភពដើម នោះរវាងវ៉ិចទ័រ ρ-ρ 0 និង v គឺដូច្នេះ៖

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p> 0 ។

ក្នុងករណីដែលចំនុច Q 0 រួមជាមួយនឹងប្រភពដើមមានទីតាំងនៅផ្នែកម្ខាងនៃ P បន្ទាប់មកមុំដែលបានបង្កើតគឺស្រួច នោះគឺ៖

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d ទំ - (ρ 0, v)>0 ។

ជាលទ្ធផលវាប្រែថានៅក្នុងករណីដំបូង (ρ 0 ,v)> р, នៅក្នុងករណីទីពីរ (ρ 0 ,v)<р.

យន្តហោះតង់សង់ និងសមីការរបស់វា។

យន្តហោះតង់សង់ទៅផ្ទៃនៅចំណុចតង់សង់ Mº គឺជាយន្តហោះដែលមានតង់ហ្សង់ដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ទៅនឹងខ្សែកោងដែលកាត់តាមចំណុចនេះលើផ្ទៃ។

ជាមួយនឹងទម្រង់នៃសមីការផ្ទៃ F (x, y, z) \u003d 0 សមីការនៃយន្តហោះតង់សង់នៅចំណុចតង់សង់ Mº (xº, yº, zº) នឹងមើលទៅដូចនេះ៖

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0 ។

ប្រសិនបើអ្នកបញ្ជាក់ផ្ទៃក្នុងទម្រង់ច្បាស់លាស់ z=f (x, y) នោះប្លង់តង់សង់នឹងត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការ៖

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº)។

ចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះពីរ

នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ (រាងចតុកោណ) Oxyz មានទីតាំងនៅ យន្តហោះពីរ П′ និង П″ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដែលប្រសព្វគ្នានិងមិនស្របគ្នា។ ដោយសារយន្តហោះណាមួយដែលស្ថិតនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការទូទៅ យើងនឹងសន្មត់ថា P′ និង P″ ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ A′x+B′y+C′z+D′=0 និង A″x +B″y+ С″z+D″=0។ ក្នុងករណីនេះ យើងមាន n′ (A′, B′, C′) ធម្មតានៃយន្តហោះ P′ និង ធម្មតា n″ (A″, B″, C″) នៃយន្តហោះ P″ ។ ដោយសារប្លង់របស់យើងមិនស្របគ្នា ហើយមិនស្របគ្នា វ៉ិចទ័រទាំងនេះមិនជាប់គ្នាទេ។ ដោយប្រើភាសាគណិតវិទ្យា យើងអាចសរសេរលក្ខខណ្ឌនេះដូចខាងក្រោម៖ n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR ។ សូមឱ្យបន្ទាត់ដែលនៅប្រសព្វ P′ និង P″ ត្រូវបានតាងដោយអក្សរ a ក្នុងករណីនេះ a = P′ ∩ P″ ។

a គឺ​ជា​បន្ទាត់​ត្រង់​ដែល​មាន​សំណុំ​នៃ​ចំណុច​ទាំងអស់​នៃ​ប្លង់ (ទូទៅ) П′ និង П″ ។ នេះមានន័យថា កូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ ត្រូវតែបំពេញសមីការ A′x+B′y+C′z+D′=0 និង A″x+B″y+C″z+D″= 0. នេះមានន័យថា កូអរដោនេនៃចំណុចនឹងជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃប្រព័ន្ធសមីការខាងក្រោម៖

ជាលទ្ធផលវាបង្ហាញថាដំណោះស្រាយ (ទូទៅ) នៃប្រព័ន្ធសមីការនេះនឹងកំណត់កូអរដោនេនៃចំនុចនីមួយៗនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលនឹងដើរតួជាចំនុចប្រសព្វនៃ П′ និង П″ ហើយកំណត់ត្រង់។ បន្ទាត់ a នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Oxyz (ចតុកោណ) ក្នុងលំហ។

1. ស្វែងរកសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរ (មិនជាប់ជួរ)

ចំណាំ៖ 1 ផ្លូវ . យកចំណុចបំពាននៃយន្តហោះ M (x, y, z) ។ វ៉ិចទ័រនឹងជា coplanar ព្រោះវាស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះស្របគ្នា។ ដូច្នេះផលិតផលចម្រុះរបស់ពួកគេ។
ការសរសេរលក្ខខណ្ឌនេះក្នុងកូអរដោណេ យើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះដែលចង់បាន៖

វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការគណនាកត្តាកំណត់នេះដោយការពង្រីកនៅជួរទីមួយ។

2 វិធី . វ៉ិចទ័រ
ស្របទៅនឹងយន្តហោះដែលចង់បាន។ ដូច្នេះ​វ៉ិចទ័រ​ស្មើ​នឹង​ផលគុណ​វ៉ិចទ័រ​នៃ​វ៉ិចទ័រ
កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះនេះ។ , i.e.
និង
. វ៉ិចទ័រ គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ . ប្រសិនបើ ក
និង
បន្ទាប់មក វ៉ិចទ័រ ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

សមីការយន្តហោះ ស្វែងរកដោយចំណុច
និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។

2. រកសមីការនៃយន្តហោះដែលឆ្លងកាត់ចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរស្របគ្នានឹងវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ
.(
non-collinear) ។

ចំណាំ៖ 1 វិធី។ អនុញ្ញាតឱ្យ M (x, y, z) ជាចំណុចបំពាននៃយន្តហោះ។ បន្ទាប់មក វ៉ិចទ័រ និង
មានទីតាំងនៅក្នុងយន្តហោះស្របគ្នា ដូច្នេះពួកវាជា coplanar ពោលគឺឧ។ ផលិតផលចម្រុះរបស់ពួកគេ។
ការសរសេរលក្ខខណ្ឌនេះក្នុងកូអរដោណេ យើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះដែលចង់បាន .

2 វិធី . វ៉ិចទ័រធម្មតាទៅយន្តហោះដែលចង់បាននឹងស្មើនឹងផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ
, i.e.
ឬនៅក្នុងកូអរដោនេ៖

សមីការយន្តហោះដែលចង់បាន រកឃើញដោយវ៉ិចទ័រធម្មតា។ និងចំណុច
(ឬចំណុច
) ដោយរូបមន្ត (2.1.1)

(សូមមើលឧទាហរណ៍ ១ ចំណុច ២.២)។

3. រកសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុចមួយ។
ស្រប​នឹង​យន្តហោះ 2x – 6y – 3z +5 = 0 ។

ចំណាំ៖វ៉ិចទ័រធម្មតា។ យើងរកឃើញពីសមីការទូទៅនៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ 2x – 6y – 3z +5 =0 (2.2.1) ។
វ៉ិចទ័រ គឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដូច្នេះ វាកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះណាមួយដែលស្របនឹងវា។ វ៉ិចទ័រ អាចត្រូវបានយកជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះដែលចង់បាន។ ចងក្រងសមីការនៃយន្តហោះដែលចង់បានដោយចំនុច
និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។
(សូមមើលឧទាហរណ៍ ១ ចំណុច ២.២)។

ចម្លើយ៖

4. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុចមួយ។
កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះ 2x + y - 2z + 1 = 0 និង

x + y + z − 5 = 0 ។

ចំណាំ៖ 1 វិធី។ វ៉ិចទ័រដែលកាត់កែងទៅនឹងប្លង់នីមួយៗរបស់ពួកគេ (កូអរដោនេវ៉ិចទ័រត្រូវបានរកឃើញពីសមីការទូទៅនៃយន្តហោះ រូបមន្ត (2.2.1)) កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វរបស់វា ហើយដូច្នេះវាស្របទៅនឹងយន្តហោះដែលចង់បាន។ យន្តហោះដែលចង់បានឆ្លងកាត់ចំណុច
ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រពីរ
(សូមមើលកិច្ចការទី 1 ចំណុច 5) ។

សមីការនៃយន្តហោះដែលចង់បានមានទម្រង់៖

ការពង្រីកកត្តាកំណត់លំដាប់ទីបីនៅក្នុងជួរទីមួយ យើងទទួលបានសមីការដែលចង់បាន។

2 វិធី។ ផ្សំសមីការនៃយន្តហោះដោយចំនុច
និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។ ដោយរូបមន្ត (2.2.1) ។ វ៉ិចទ័រធម្មតា។ គឺស្មើនឹងផលគុណនៃវ៉ិចទ័រ
ទាំងនោះ។
ចាប់តាំងពីវ៉ិចទ័រ
កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះ បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រ ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះ និងកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលចង់បាន។

វ៉ិចទ័រ (មើលរូបមន្ត 2.2.1) បន្ទាប់មក

ផ្សំសមីការនៃយន្តហោះដោយចំនុច
និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។

(សូមមើលឧទាហរណ៍ ១ ចំណុច ២.២)

ចម្លើយ៖

5. រកសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុច
និង
កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ 3x – y + 3z +15 = 0 ។

ចំណាំ៖ 1 វិធី។ ចូរយើងសរសេរពីកូអរដោណេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតានៃ n ដែលបានផ្តល់ឱ្យ ភាពរាបស្មើ

3x − y + 3z +15 = 0៖
ដោយសារ​ប្លង់​កាត់​កែង វ៉ិចទ័រ ស្របទៅនឹងយន្តហោះដែលចង់បាន ផ្សំសមីការនៃយន្តហោះដែលចង់បាន
ដែលស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ ហើយឆ្លងកាត់ចំណុច
(សូមមើលដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា 2 ចំណុច 5; 1 វិធីសាស្រ្ត) ។

ការគណនាកត្តាកំណត់ យើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះដែលចង់បាន

10x + 15y − 5z − 70 = 0
2x + 3y − z − 14 = 0 ។

2 វិធី។ ផ្សំសមីការនៃយន្តហោះដែលចង់បាន ដោយចំណុច
និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។
វ៉ិចទ័រ

យើងបង្កើតសមីការនៃយន្តហោះដែលចង់បាន .

10(x − 2) +15(y − 3) - 5(z + 1) = 0;

10x + 15y − 5z − 70 = 0 (មើលបញ្ហាទី 2 ចំណុច 5; វិធីសាស្រ្តទី 2) ។ ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ 5 ។

2x + 3y − z − 14 = 0 ។

ចម្លើយ៖ 2x + 3y − z − 14 = 0 ។

6. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច

និង

ចំណាំ៖ចូរយើងចងក្រងសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុច (សូមមើលឧទាហរណ៍ 1 ឃ្លា 2.3 រូបមន្ត 2.3.1) ។

ការពង្រីកកត្តាកំណត់ យើងទទួលបាន

ចម្លើយ៖

មតិយោបល់។ដើម្បីពិនិត្យមើលភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនាកត្តាកំណត់ វាត្រូវបានផ្ដល់អនុសាសន៍ឱ្យជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុចទាំងនេះដែលតាមរយៈយន្តហោះឆ្លងកាត់ទៅក្នុងសមីការលទ្ធផល។ ត្រូវតែមានអត្តសញ្ញាណ; បើមិនដូច្នេះទេ កំហុសមួយត្រូវបានធ្វើឡើងនៅក្នុងការគណនា។

7. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។
ស្របទៅនឹងយន្តហោះ x – 4y + 5z + 1 = 0 ។

ចំណាំ៖ពីសមីការទូទៅនៃយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ
x − 4y + 5z + 1 = 0 រកវ៉ិចទ័រធម្មតា។
(រូបមន្ត 2.2.1) ។ វ៉ិចទ័រ កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលចង់បាន
ផ្សំសមីការនៃយន្តហោះដោយចំនុច
និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។
(សូមមើលឧទាហរណ៍ ១; ប្រការ ២.២)៖

x − 4y + 5z + 15 = 0 ។

ចម្លើយ៖ x − 4y + 5z + 15 = 0 ។

8. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។
ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ

ចំណាំ៖សូមមើលដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា 1 ចំណុច 5. យើងដោះស្រាយបញ្ហាតាមវិធីមួយដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។

ចម្លើយ៖ x − y − z − 1 = 0 ។

9. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។
កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វនៃប្លង់ 3x − 2y – z + 1 = 0 និង x – y – z = 0 ។

ចំណាំ៖សូមមើលដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា 4 ចំណុច 5. យើងដោះស្រាយបញ្ហាតាមវិធីមួយដែលបានចង្អុលបង្ហាញ។

ចម្លើយ៖ x + 2y − z − 8 = 0 ។

10. រកសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុច

កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ 3x – y – 4z = 0 ។

ចំណាំ៖សូមមើលដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា 5 ចំណុច 5 ។

ចម្លើយ៖ 9x − y + 7z − 40 = 0 ។

11. រកសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុច

ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ដែលកំណត់ដោយចំណុច A (5; –2; 3) និង B (6; 1; 0) ។

ចំណាំ៖យន្តហោះដែលចង់បានគឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់ AB ដូច្នេះវាស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ
សមីការយន្តហោះដែលចង់បាន យើងរកឃើញដូចនៅក្នុងកិច្ចការទី 2 កថាខណ្ឌទី 5 (វិធីមួយ)។

ចម្លើយ៖ 3x − 4y − 3z +4 = 0 ។

12. ចំណុច P (2; -1; -2) បម្រើជាមូលដ្ឋាននៃកាត់កែងដែលបានទម្លាក់ពីប្រភពដើមទៅយន្តហោះ។ សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះនេះ។

ចំណាំ៖វ៉ិចទ័រធម្មតា។ ទៅយន្តហោះដែលចង់បានគឺវ៉ិចទ័រ
ស្វែងរកកូអរដោនេរបស់វា។ P (2; -1; -2) និង O(0; 0; 0)

ទាំងនោះ។
ចងក្រងសមីការនៃយន្តហោះ ដោយចំណុចនិងវ៉ិចទ័រធម្មតា។
(សូមមើលឧទាហរណ៍ 1 កថាខណ្ឌ 2.2)។

ចម្លើយ៖ 2x − y − 2z − 9 = 0 ។

13. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុចមួយ។
ស្របទៅនឹងយន្តហោះ៖ ក) xoy; ខ) យូស; គ) ហ្សូស។

ចំណាំ៖វ៉ិចទ័រ
- វ៉ិចទ័រឯកតានៃអ័ក្ស oz គឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ xoy ដូច្នេះ វាកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលចង់បាន
យើងចងក្រងសមីការនៃយន្តហោះនៅចំណុច A (0; -1; 2) និង

= (0; 0; 1), ព្រោះ
(សូមមើលដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាទី 3 ចំណុចទី 5) ។
z − 2 = 0 ។

យើងដោះស្រាយបញ្ហា ខ) និង គ) តាមរបៀបស្រដៀងគ្នា។

ខ)
កន្លែងណា
(1; 0; 0).

ក្នុង)
កន្លែងណា (0; 1; 0).

y + 1 = 0 ។

ចម្លើយ៖ a) z − 2 = 0; b) x = 0; គ) y + 1 = 0 ។

14. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុច
និង

B (2; 1; –1) កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ៖ ក) xoy; ខ) xoz ។

ចំណាំ៖វ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ xoy គឺជាវ៉ិចទ័រ

= (0; 0; 1) គឺជាវ៉ិចទ័រឯកតានៃអ័ក្សអោន។ ចងក្រងសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ពីរចំណុច
និង B (2; 1; –1) និងកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះដែលមានវ៉ិចទ័រធម្មតា។
(0; 0; 1) ដោយ​ប្រើ​វិធី​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​វិធី​ដោះស្រាយ​បញ្ហា​ទី 5 នៃ​កថាខណ្ឌ​ទី 5 ។
y − 1 = 0 ។

ដូចគ្នានេះដែរចំពោះបញ្ហា ខ)៖
កន្លែងណា = (0; 1; 0) ។

ចម្លើយ៖ក) y − 1 = 0; b) x + z − 1 = 0 ។

15. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុច
និង

B (2; 3; -1) ស្រប​នឹង​អ័ក្ស​អោន។

ចំណាំ៖នៅលើអ័ក្សអោន អ្នកអាចយកវ៉ិចទ័រឯកតា = (0; 0; 1) ។ ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាគឺស្រដៀងគ្នាទៅនឹងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា 2 ចំណុច 5 (ដោយមធ្យោបាយណាមួយ) ។

ចម្លើយ: x − y + 1 = 0 ។

16. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្សគោ និងចំណុចមួយ។

ចំណាំ៖យន្តហោះ
ឆ្លងកាត់អ័ក្ស x ហើយដូច្នេះក៏ឆ្លងកាត់ចំណុច O (0; 0; 0) ។ នៅលើអ័ក្សគោយើងអាចយកវ៉ិចទ័រឯកតា = (1; 0; 0) ។ យើងចងក្រងសមីការនៃប្លង់ដែលចង់បានដោយប្រើពីរចំណុច A(2; -1; 6) និង O(0; 0; 0) និងវ៉ិចទ័រ ស្របទៅនឹងយន្តហោះ។ (​សូម​មើល​ដំណោះ​ស្រាយ​នៃ​បញ្ហា 2 ចំណុច 5)។

ចម្លើយ៖ 6y + z = 0 ។

17. តើយន្តហោះ Ax + 2y - 7z - 1 \u003d 0 និង 2x - y + 2z \u003d 0 នឹងកាត់កែងនៅតម្លៃអ្វី?

ចំណាំ៖ពីសមីការទូទៅនៃយន្តហោះ

អ័ក្ស + 2y − 7z − 1 = 0 និង
2x – y + 2z = 0 វ៉ិចទ័រធម្មតា។

= (A; 2; −7) និង
= (2; –1; 2) (2.2.1) ។ លក្ខខណ្ឌនៃការកាត់កែងនៃយន្តហោះពីរ (2.6.1).

ចម្លើយ៖ក = ៨.

18. នៅតម្លៃអ្វី A នៃយន្តហោះ 2x + 3y − 6z − 23 = 0 និង

4x + Ay - 12z + 7 = 0 នឹងស្របគ្នា?

ចំណាំ៖
2x + 3y − 6z − 23 = 0 និង
4x + Ay − 12y + 7 = 0

= (2; 3; -6) និង
= (4;A; –12) (2.2.1) ។ ដោយសារតែ
(2.5.1)

ចម្លើយ៖ក = ៦.

19. រកមុំរវាងប្លង់ពីរ 2x + y + z + 7 = 0 និង x − 2y + 3z = 0 ។

ចំណាំ៖
2x + y + z + 7 = 0 និង
x − 2y + 3z = 0

= (2; 1; 1) និង
= (1; –2; 3)

(2.4.1)

ចម្លើយ:

20. ចងក្រងសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុចមួយ។

A (1; 2; -3) ស្រប​នឹង​វ៉ិចទ័រ =(1; –2; 1).

ចំណាំ៖សូមមើលដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍នៃចំណុច 3.1 ។

ចម្លើយ:

21. ផ្សំសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុចមួយ។

A (–2; 3; 1) ស្រប​នឹង​វ៉ិចទ័រ =(3; –1; 2).

ចំណាំ៖សូមមើលដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍នៃចំណុច 3.2 ។

ចម្លើយ:
.

22. ផ្សំសមីការ Canonical និង parametric នៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុច A (1; 0; -2) និង B (1; 2; -4) ។

ចំណាំ៖សូមមើលដំណោះស្រាយឧទាហរណ៍ 1 នៃឃ្លា 3.3 ។

ចម្លើយ៖ក)
ខ)

23. ផ្សំសមីការ Canonical និង parametric នៃបន្ទាត់ត្រង់មួយដែលកំណត់ជាចំនុចប្រសព្វនៃប្លង់ពីរ x − 2y + 3z − 4 = 0 និង 3x + 2y − 5z − 4 = 0 ។

ចំណាំ៖សូមមើលឧទាហរណ៍ 1 ចំណុច 3.4 ។ អនុញ្ញាតឱ្យ z = 0 បន្ទាប់មក x និង y កូអរដោនេនៃចំនុច
ស្វែងរកដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ

ដូច្នេះចំណុច
ដេកលើបន្ទាត់ដែលចង់បានមានកូអរដោណេ

(២; -១; ០) ។ ដើម្បីស្វែងរកវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលចង់បានពីសមីការទូទៅនៃយន្តហោះ
x − 2y + 3z − 4 = 0 និង
3x + 2y − 5z − 4 = 0

ស្វែងរកវ៉ិចទ័រធម្មតា។ =(1; -2; 3) និង
=(3; 2; –5).

សមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រូវបានរកឃើញពីចំណុច
(2; -1; 0) និងវ៉ិចទ័រទិសដៅ

(សូមមើលរូបមន្ត (3.1.1)) ។

សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត (3.2.1) ឬពីសមីការ Canonical:
យើង​មាន:

ចម្លើយ:
;
.

24. តាមរយៈចំណុច
(2; -3; -4) គូរបន្ទាត់ស្របទៅនឹងបន្ទាត់មួយ។

.

ចំណាំ៖សមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ដែលត្រូវការ ស្វែងរកដោយចំណុច
និងវ៉ិចទ័រទិសដៅ ជា
បន្ទាប់មកសម្រាប់វ៉ិចទ័រទិសដៅ ត្រង់ អ្នកអាចយកវ៉ិចទ័រទិសដៅ ត្រង់ L. បន្ថែមទៀត សូមមើលដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា 23 កថាខណ្ឌ 5 ឬឧទាហរណ៍ 1 កថាខណ្ឌ 3.4 ។

ចម្លើយ:

25. ត្រីកោណកែង A (–5; 7; 1), B (2; 4; –1) និង C (–1; 3; 5) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ រកសមីការសម្រាប់មធ្យមភាគនៃត្រីកោណ ABC ដែលទាញចេញពីចំនុច B ។

ចំណាំ៖យើងរកឃើញកូអរដោនេនៃចំណុច M ពីលក្ខខណ្ឌ AM = MC (BM គឺជាមធ្យមនៃត្រីកោណ ABC) ។

ជាមួយ យើងទុកសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ BM នៅចំនុចពីរ B (2; 4; -1) និង
(សូមមើលឧទាហរណ៍ 1 ចំណុច 3.3)។

ចម្លើយ:

26. ផ្សំសមីការ Canonical និង parametric នៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុចមួយ។
(–1; –2; 2) ស្រប​នឹង​អ័ក្ស x ។

ចំណាំ៖វ៉ិចទ័រ
- វ៉ិចទ័រឯកតានៃអ័ក្ស x គឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ដែលត្រូវការ។ ដូច្នេះវាអាចត្រូវបានយកជាវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ត្រង់
= (1; 0; 0) ។ ផ្សំសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយចំនុចមួយ។

(–១; –២:២) និងវ៉ិចទ័រ = (1; 0; 0) (មើលឧទាហរណ៍ចំណុច 3.1 និងឧទាហរណ៍ 1 ចំណុច 3.2)។

ចម្លើយ:
;

27. ផ្សំសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុចមួយ។
(3; −2; 4) កាត់កែងទៅនឹងប្លង់ 5x + 3y – 7z + 1 = 0 ។

ចំណាំ៖ពីសមីការទូទៅនៃយន្តហោះ
5x + 3y – 7z + 1 = 0 រកវ៉ិចទ័រធម្មតា។ = (5; 3; -7) ។ នេះបើយោងតាមលក្ខខណ្ឌ, បន្ទាត់ដែលចង់បាន
ដូច្នេះវ៉ិចទ័រ
ទាំងនោះ។ វ៉ិចទ័រ គឺជាវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ L: = (5; 3; -7) ។ យើងចងក្រងសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយចំនុចមួយ។
(3; -2; 4) និងវ៉ិចទ័រទិសដៅ

= (5; 3; -7) ។ (សូមមើលឧទាហរណ៍ចំណុច 3.1) ។

ចម្លើយ:

28. ចងក្រងសមីការប៉ារ៉ាម៉ែតកាត់កាត់ពីដើមទៅប្លង់ 4x − y + 2z − 3 = 0 ។

ចំណាំ៖ចូរយើងចងក្រងសមីការនៃកាត់កែងដែលចង់បាន i.e. បន្ទាត់ត្រង់កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ
4x – y + 2z – 3 = 0 ហើយឆ្លងកាត់ចំនុច O (0; 0; 0) ។ (សូមមើលដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា 27 ចំណុច 5 និងឧទាហរណ៍ 1 ចំណុច 3.2) ។

ចម្លើយ៖

29. រកចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់មួយ។
និងយន្តហោះ

x − 2y + z − 15 = 0 ។

ចំណាំ៖ដើម្បីរកចំណុច M នៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់

អិល៖
និងយន្តហោះ

x − 2y + z − 15 = 0 វាចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖

;

ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធ យើងបំប្លែងសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ទៅជាសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។ (សូមមើលបញ្ហា 23 ចំណុច 5)។

ចម្លើយ:

30. រកការព្យាករនៃចំនុច M (4; −3; 1) ទៅលើយន្តហោះ x + 2y − z − 3 = 0 ។

ចំណាំ៖ការព្យាករនៃចំណុច M លើយន្តហោះនឹងជាចំណុច P - ចំណុច p ចំនុចប្រសព្វនៃកាត់កែងបានទម្លាក់ពីចំណុច M ទៅយន្តហោះ
និងយន្តហោះ ចូរយើងចងក្រងសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃ MP កាត់កែង។ (សូមមើលដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាទី 28 កថាខណ្ឌទី 5) ។

ចូរយើងរកចំនុច P - ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ MP និងយន្តហោះ (សូមមើលដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា 29 ចំណុច 5) ។

ចម្លើយ៖

31. រកការព្យាករនៃចំនុច A (1; 2; 1) នៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

ចំណាំ៖ការព្យាករណ៍ចំណុច A លើបន្ទាត់ L៖
គឺ t ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ L និងយន្តហោះ
ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច A និងកាត់កែងទៅបន្ទាត់ L ។ ពីសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ L យើងសរសេរចេញវ៉ិចទ័រទិសដៅ =(3; -1; 2) ។ យន្តហោះ កាត់កែងទៅបន្ទាត់ L ដូច្នេះ
ដូច្នេះវ៉ិចទ័រ អាចត្រូវបានយកជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ
= (3; –1; 2) ។ ចងក្រងសមីការនៃយន្តហោះ ចំណុច A(1; 2; 1) និង = (3; –1; 2) (សូមមើលឧទាហរណ៍ 1 ចំណុច 2.2)៖
3(x − 1) - 1(y − 2) + 2(z − 1) = 0

3x − y + 2z − 3 = 0. រកចំណុច B ត្រង់ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ និងប្លង់ (មើលបញ្ហាទី 29 កថាខណ្ឌទី 5)៖

ចម្លើយ:

32. គូរបន្ទាត់កាត់ចំនុច M (3; -1; 0) ស្របទៅនឹងប្លង់ពីរ x − y + z − 3 = 0 និង x + y + 2z − 3 = 0 ។

ចំណាំ៖យន្តហោះ
x − y + z − 3 = 0 និង
x + y + 2z − 3 = 0 មិនស្របគ្នាទេ ព្រោះ លក្ខខណ្ឌ (2.5.1) មិនពេញចិត្ត៖
យន្តហោះ
ប្រសព្វ។ បន្ទាត់ដែលចង់បាន L ស្របទៅនឹងយន្តហោះ
ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះទាំងនេះ។ (​សូម​មើល​ដំណោះ​ស្រាយ​នៃ​បញ្ហា 24 និង 23 ចំណុច 5)។

ចម្លើយ:

33. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ពីរជួរ

ចំណាំ៖1 វិធី។ ផ្សំសមីការនៃយន្តហោះដែលចង់បាន ដោយចំណុច
ដេកលើបន្ទាត់ត្រង់ និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។ . វ៉ិចទ័រ នឹងស្មើនឹងផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់
ដែលយើងរកឃើញពីសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់
(រូបមន្ត ៣.១.១)៖ = (7; 3; 5) និង

= (5; 5; –3)

កូអរដោនេចំណុច
ស្វែងរកពីសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់

យើងបង្កើតសមីការនៃយន្តហោះ ដោយចំណុច
និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។ =(–34; 46; 20) (សូមមើលឧទាហរណ៍ 1 ចំណុច 2.2)
17x − 23y − 10z + 36 = 0 ។

2 វិធី។ ស្វែងរកវ៉ិចទ័រទិសដៅ = (7; 3; 5) និង = (5; 5; –3) ពីសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់
ចំណុច
(0; 2; -1) យើងរកឃើញពីសមីការ

. យកចំណុចបំពានលើយន្តហោះ

M (x; y; z) ។ វ៉ិចទ័រ
ដូច្នេះ coplanar
ពីលក្ខខណ្ឌនេះយើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះ:

ចម្លើយ: 17x − 23y − 10z +36 = 0 ។

34. សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំនុចមួយ។
(2; 0; 1) និងបន្ទាត់ត្រង់

ចំណាំ៖ចូរយើងធ្វើឱ្យប្រាកដថាចំណុចនោះ។
នៅលើបន្ទាត់ត្រង់នេះ។ អ៊ីហ្សីត៖
ចំណុច
និងវ៉ិចទ័រទិសដៅ យើងរកឃើញពីសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់
:
(1; -1; -1) និង

= (1; 2; -1) ។ វ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះដែលចង់បាន
យើងរកឃើញកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាដោយដឹងពីកូអរដោនេ =(1; 2; -1) និង

= (1; 1; 2):

យើងចងក្រងសមីការនៃយន្តហោះដោយចំនុច
(2; 0; 1) និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។ = (–5; 3; 1):

−5(x − 2) + 3(y − 0) + 1(z − 1) = 0 ។

ចម្លើយ: 5x − 3y − z − 9 = 0 ។

ដើម្បីទទួលបានសមីការទូទៅនៃយន្តហោះ យើងវិភាគយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

សូមឱ្យមានអ័ក្សកូអរដោនេចំនួនបីដែលបានស្គាល់យើងរួចហើយនៅក្នុងលំហ - គោ, អូនិង អុក. កាន់សន្លឹកក្រដាសដើម្បីឱ្យវានៅដដែល។ យន្តហោះ​នឹង​ក្លាយ​ជា​សន្លឹក​ខ្លួន​ឯង និង​បន្ត​ដំណើរ​ទៅ​គ្រប់​ទិសទី។

អនុញ្ញាតឱ្យមាន ទំយន្តហោះបំពានក្នុងលំហ។ វ៉ិចទ័រណាមួយកាត់កែងទៅវាត្រូវបានគេហៅថា វ៉ិចទ័រធម្មតា។ ទៅកាន់យន្តហោះនេះ។ តាមធម្មជាតិ យើងកំពុងនិយាយអំពីវ៉ិចទ័រមិនសូន្យ។

ប្រសិនបើចំណុចណាមួយនៃយន្តហោះត្រូវបានគេដឹង ទំនិងវ៉ិចទ័រមួយចំនួននៃធម្មតាទៅវា បន្ទាប់មកដោយលក្ខខណ្ឌទាំងពីរនេះ យន្តហោះនៅក្នុងលំហត្រូវបានកំណត់ទាំងស្រុង(តាម​រយៈ​ចំណុច​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឲ្យ មាន​តែ​ប្លង់​មួយ​កាត់​កែង​ទៅ​នឹង​វ៉ិចទ័រ​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឲ្យ)។ សមីការទូទៅនៃយន្តហោះនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

ដូច្នេះមានលក្ខខណ្ឌកំណត់សមីការនៃយន្តហោះ។ ដើម្បីទទួលបានវាដោយខ្លួនឯង។ សមីការយន្តហោះដែលមានទម្រង់ខាងលើ យើងយកនៅលើយន្តហោះ ទំបំពាន ចំណុច ម ជាមួយនឹងកូអរដោនេអថេរ x, y, z. ចំណុចនេះជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះតែប៉ុណ្ណោះប្រសិនបើ វ៉ិចទ័រ កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ(រូបទី 1) ។ ចំពោះបញ្ហានេះ យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃការកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះស្មើនឹងសូន្យ នោះគឺ

វ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ដោយលក្ខខណ្ឌ។ យើងរកឃើញកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដោយរូបមន្ត :

.

ឥឡូវនេះដោយប្រើរូបមន្តផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ យើងបង្ហាញផលិតផលមាត្រដ្ឋានក្នុងទម្រង់សំរបសំរួល៖

ចាប់តាំងពីចំណុច M(x; y; z)ត្រូវបានជ្រើសរើសដោយបំពាននៅលើយន្តហោះ បន្ទាប់មកសមីការចុងក្រោយត្រូវបានពេញចិត្តដោយកូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយដែលស្ថិតនៅលើយន្តហោះ ទំ. សម្រាប់ចំណុច ន, មិនកុហកនៅលើយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ, , i.e. សមភាព (1) ត្រូវបានរំលោភបំពាន។

ឧទាហរណ៍ ១សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ និងកាត់កែងទៅវ៉ិចទ័រ។

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងប្រើរូបមន្ត (1) មើលវាម្តងទៀត៖

នៅក្នុងរូបមន្តនេះលេខ ក , ខនិង គកូអរដោណេវ៉ិចទ័រ និងលេខ x0 , y0 និង z0 - កូអរដោនេចំណុច។

ការគណនាគឺសាមញ្ញណាស់: យើងជំនួសលេខទាំងនេះទៅក្នុងរូបមន្តហើយទទួលបាន

យើង​គុណ​អ្វី​គ្រប់​យ៉ាង​ដែល​ត្រូវ​គុណ ហើយ​បន្ថែម​តែ​លេខ (ដែល​គ្មាន​អក្សរ)។ លទ្ធផល៖

.

សមីការដែលត្រូវការនៃយន្តហោះក្នុងឧទាហរណ៍នេះបានប្រែក្លាយដោយសមីការទូទៅនៃដឺក្រេទីមួយទាក់ទងនឹងកូអរដោណេអថេរ x, y, zចំណុចបំពាននៃយន្តហោះ។

ដូច្នេះសមីការនៃទម្រង់

ហៅ សមីការទូទៅនៃយន្តហោះ .

ឧទាហរណ៍ ២សាងសង់ក្នុងប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Cartesian រាងចតុកោណ យន្តហោះដែលផ្តល់ដោយសមីការ .

ការសម្រេចចិត្ត។ ដើម្បីបង្កើតយន្តហោះ វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីដឹងពីចំណុចទាំងបីរបស់វា ដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ ឧទាហរណ៍ ចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកចំណុចទាំងនេះ? ដើម្បីរកចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស អុកអ្នកត្រូវជំនួសលេខសូន្យជំនួសឱ្យ x និង y ក្នុងសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហា៖ x = y= 0 ។ ដូច្នេះយើងទទួលបាន z= ៦. ដូច្នេះ យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យកាត់អ័ក្ស អុកនៅចំណុច ក(0; 0; 6) .

តាមរបៀបដូចគ្នាយើងរកឃើញចំណុចប្រសព្វនៃយន្តហោះជាមួយអ័ក្ស អូ. នៅ x = z= 0 យើងទទួលបាន y= −3 នោះគឺជាចំណុចមួយ។ ខ(0; −3; 0) .

ហើយចុងក្រោយយើងរកឃើញចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះរបស់យើងជាមួយនឹងអ័ក្ស គោ. នៅ y = z= 0 យើងទទួលបាន x= 2 នោះគឺជាចំណុចមួយ។ គ(២; ០; ០) ។ នេះបើយោងតាមបីចំណុចដែលទទួលបាននៅក្នុងដំណោះស្រាយរបស់យើង។ ក(0; 0; 6) , ខ(0; −3; 0) និង គ(2; 0; 0) យើងបង្កើតយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

សូមពិចារណាឥឡូវនេះ ករណីពិសេសនៃសមីការទូទៅនៃយន្តហោះ. ទាំងនេះគឺជាករណីនៅពេលដែលមេគុណជាក់លាក់នៃសមីការ (2) បាត់។

1. ពេលណា ឃ= 0 សមីការ កំណត់​យន្តហោះ​ដែល​ឆ្លងកាត់​ប្រភពដើម ចាប់តាំងពី​កូអរដោណេ​នៃ​ចំណុច​មួយ។ 0 (0; 0; 0) បំពេញសមីការនេះ។

2. ពេលណា ក = 0 សមីការ កំណត់​ប្លង់​ស្រប​នឹង​អ័ក្ស គោចាប់តាំងពីវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះនេះគឺកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស គោ(ការព្យាករណ៍របស់វានៅលើអ័ក្ស គោស្មើសូន្យ)។ ដូចគ្នានេះដែរនៅពេលដែល ខ =យន្តហោះ 0 អ័ក្សស្របគ្នា។ អូ, ហើយ​នៅពេល​ដែល គ =យន្តហោះ 0 ស្របទៅនឹងអ័ក្ស អុក.

3. ពេលណា A=D=សមីការ 0 កំណត់​យន្តហោះ​ឆ្លងកាត់​អ័ក្ស គោព្រោះ​វា​ស្រប​នឹង​អ័ក្ស គោ (ក =ឃ= 0). ដូចគ្នានេះដែរយន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្ស អូនិងយន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្ស អុក.

4. ពេលណា A=B=សមីការ 0 កំណត់​ប្លង់​ស្រប​នឹង​យន្តហោះ​កូអរដោណេ xOyព្រោះ​វា​ស្រប​នឹង​អ័ក្ស គោ (ក= 0) និង អូ (ខ= 0). ដូចគ្នាដែរ យន្តហោះគឺស្របទៅនឹងយន្តហោះ yOz, និងយន្តហោះ - យន្តហោះ xOz.

5. ពេលណា A=B=D= 0 សមីការ (ឬ z= 0) កំណត់ប្លង់កូអរដោនេ xOyព្រោះវាស្របទៅនឹងយន្តហោះ xOy (A=B= 0) និងឆ្លងកាត់ប្រភពដើម ( ឃ= 0). ដូចគ្នានេះដែរសមីការ y= 0 ក្នុង​លំហ​កំណត់​យន្តហោះ​កូអរដោណេ xOz, និងសមីការ x= 0 - យន្តហោះសម្របសម្រួល yOz.

ឧទាហរណ៍ ៣ចងក្រងសមីការនៃយន្តហោះ ទំឆ្លងកាត់អ័ក្ស អូនិងចំណុច។

ការសម្រេចចិត្ត។ ដូច្នេះយន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្ស អូ. ដូច្នេះនៅក្នុងសមីការរបស់នាង y= 0 ហើយសមីការនេះមានទម្រង់ . ដើម្បីកំណត់មេគុណ កនិង គយើងប្រើការពិតដែលថាចំណុចជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ ទំ .

ដូច្នេះហើយ ក្នុងចំណោមកូអរដោណេរបស់វា មានចំនុចដែលអាចជំនួសបានក្នុងសមីការនៃយន្តហោះ ដែលយើងបានទទួលរួចហើយ ()។ សូមក្រឡេកមើលកូអរដោនេនៃចំណុចម្តងទៀត៖

ម0 (2; −4; 3) .

ក្នុងចំណោម​ពួកគេ x = 2 , z= ៣. យើងជំនួសពួកវាទៅក្នុងសមីការទូទៅ ហើយទទួលបានសមីការសម្រាប់ករណីពិសេសរបស់យើង៖

2ក + 3គ = 0 .

យើងចាកចេញ ២ កនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ យើងផ្ទេរ 3 គទៅផ្នែកខាងស្តាំហើយទទួលបាន

ក = −1,5គ .

ការជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញ កនៅក្នុងសមីការយើងទទួលបាន

ឬ។

នេះគឺជាសមីការដែលត្រូវការនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយបញ្ហាលើសមីការនៃយន្តហោះដោយខ្លួនឯង ហើយបន្ទាប់មកមើលដំណោះស្រាយ

ឧទាហរណ៍ 4កំណត់យន្តហោះ (ឬយន្តហោះប្រសិនបើមានច្រើនជាងមួយ) ទាក់ទងនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ ឬយន្តហោះសម្របសម្រួល ប្រសិនបើយន្តហោះត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ។

ដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាធម្មតាដែលកើតឡើងក្នុងការធ្វើតេស្ត - នៅក្នុងសៀវភៅណែនាំ "បញ្ហានៅលើយន្តហោះ៖ ភាពស្របគ្នា ការកាត់កែង ការប្រសព្វនៃយន្តហោះបីនៅចំណុចតែមួយ" ។

សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុច

ដូចដែលបានបញ្ជាក់រួចមកហើយ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការសាងសង់យន្តហោះ បន្ថែមពីលើចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រធម្មតា ក៏ជាចំណុចបីដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់តែមួយ។

សូម​ឲ្យ​មាន​ចំណុច​បី​ផ្សេង​គ្នា ហើយ​កុំ​និយាយ​កុហក​លើ​បន្ទាត់​ត្រង់​ដូច​គ្នា។ ដោយសារចំនុចទាំងបីនេះមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់តែមួយទេ វ៉ិចទ័រ និងមិនមែនជាបន្ទាត់ជាប់គ្នា ដូច្នេះហើយចំនុចណាមួយនៃយន្តហោះស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយជាមួយនឹងចំនុច ហើយប្រសិនបើនិងបានតែវ៉ិចទ័រ និង coplanar, i.e. ប្រសិនបើ និងប្រសិនបើ ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះស្មើសូន្យ។

ដោយប្រើកន្សោមផលិតផលចម្រុះក្នុងកូអរដោណេ យើងទទួលបានសមីការយន្តហោះ

(3)

បន្ទាប់ពីពង្រីកកត្តាកំណត់ សមីការនេះក្លាយជាសមីការនៃទម្រង់ (2) i.e. សមីការទូទៅនៃយន្តហោះ។

ឧទាហរណ៍ ៥សរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចបីដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ៖

និងដើម្បីកំណត់ករណីជាក់លាក់មួយនៃសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ ប្រសិនបើមាន។

ការសម្រេចចិត្ត។ យោងតាមរូបមន្ត (៣) យើងមាន៖

សមីការធម្មតានៃយន្តហោះ។ ចម្ងាយពីចំណុចទៅយន្តហោះ

សមីការធម្មតានៃយន្តហោះ គឺជាសមីការរបស់វា ដែលសរសេរជាទម្រង់

ដើម្បីអោយយន្តហោះតែមួយគូរកាត់ចំនុចបីណាមួយក្នុងលំហ នោះវាចាំបាច់ណាស់ដែលចំនុចទាំងនេះមិនត្រូវស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់តែមួយនោះទេ។

ពិចារណាចំណុច M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian ទូទៅ។

ដើម្បីឱ្យចំណុចបំពាន M(x, y, z) ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយជាមួយចំណុច M 1 , M 2 , M 3 វ៉ិចទ័រត្រូវតែជា coplanar ។

(
) = 0

ដូច្នេះ

សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុច៖

សមីការ​នៃ​យន្តហោះ​ដោយ​គោរព​ទៅ​នឹង​ចំណុច​ពីរ និង​បន្ទាត់​វ៉ិចទ័រ​ទៅ​នឹង​យន្តហោះ។

សូម​ឱ្យ​ពិន្ទុ M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) និង​វ៉ិចទ័រ
.

ចូរយើងចងក្រងសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M 1 និង M 2 និងចំណុចបំពាន M (x, y, z) ស្របទៅនឹងវ៉ិចទ័រ .

វ៉ិចទ័រ
និងវ៉ិចទ័រ
ត្រូវតែជា coplanar, i.e.

(
) = 0

សមីការ​យន្តហោះ៖

សមីការ​នៃ​យន្តហោះ​ដែល​ទាក់ទង​នឹង​ចំណុច​មួយ និង​វ៉ិចទ័រ​ពីរ

យន្តហោះ collinear ។

សូមឱ្យវ៉ិចទ័រពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ
និង
, យន្តហោះ collinear ។ បន្ទាប់មកសម្រាប់ចំណុចបំពាន M(x, y, z) ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ វ៉ិចទ័រ
ត្រូវតែជា coplanar ។

សមីការ​យន្តហោះ៖

សមីការប្លង់ដោយចំណុច និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។ .

ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើចំណុច M ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ 0 (X 0 , y 0 , z 0 ) បន្ទាប់មកសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច M 0 កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រធម្មតា។ (ក, ខ, គ) មើល​ទៅ​ដូច​ជា:

ក(x – x 0 ) + ខ(y – y 0 ) + គ(z – z 0 ) = 0.

ភស្តុតាង។ សម្រាប់ចំណុចបំពាន M(x, y, z) ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ យើងសរសេរវ៉ិចទ័រ។ ដោយសារតែ វ៉ិចទ័រ - វ៉ិចទ័រធម្មតា បន្ទាប់មកវាកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ ហើយដូច្នេះកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ
. បន្ទាប់មកផលិតផលធ្វើមាត្រដ្ឋាន

= 0

ដូច្នេះយើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះ

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

សមីការនៃយន្តហោះក្នុងផ្នែក។

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការទូទៅ Ax + Wu + Cz + D \u003d 0 សូមចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ (-D)

,

ការជំនួស
យើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះជាផ្នែកៗ៖

លេខ a, b, c គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះ រៀងគ្នាជាមួយនឹងអ័ក្ស x, y, z ។

សមីការយន្តហោះក្នុងទម្រង់វ៉ិចទ័រ។

កន្លែងណា

- វ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចបច្ចុប្បន្ន M(x, y, z)

វ៉ិចទ័រ​ឯកតា​ដែល​មាន​ទិសដៅ​កាត់​កែង​ធ្លាក់​ទៅ​កាន់​យន្តហោះ​ពី​ដើម។

,  និង  គឺជាមុំដែលបង្កើតឡើងដោយវ៉ិចទ័រនេះជាមួយនឹងអ័ក្ស x, y, z ។

p គឺជាប្រវែងកាត់កែងនេះ។

នៅក្នុងកូអរដោនេ សមីការនេះមានទម្រង់៖

xcos + ycos + zcos − p = 0 ។

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅយន្តហោះ។

ចម្ងាយពីចំណុចបំពាន M 0 (x 0, y 0, z 0) ទៅយន្តហោះ Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 គឺ៖

ឧទាហរណ៍។ស្វែងរកសមីការនៃយន្តហោះដោយដឹងថាចំណុច P (4; -3; 12) គឺជាមូលដ្ឋាននៃកាត់កែងដែលបានទម្លាក់ពីប្រភពដើមទៅយន្តហោះនេះ។

ដូច្នេះ A = 4/13; ខ = -៣/១៣; C = 12/13 ប្រើរូបមន្ត៖

ក (x − x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

ឧទាហរណ៍។រកសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ពីរចំណុច P(2; 0; -1) និង

Q(1; -1; 3) កាត់កែងទៅនឹងប្លង់ 3x + 2y - z + 5 = 0 ។

វ៉ិចទ័រធម្មតាទៅប្លង់ 3x + 2y − z + 5 = 0
ស្របទៅនឹងយន្តហោះដែលចង់បាន។

យើង​ទទួល​បាន:

ឧទាហរណ៍។រកសមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុច A(2, -1,4) និង

В(3, 2, -1) កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ X + នៅ + 2z – 3 = 0.

សមីការយន្តហោះដែលចង់បានមានទម្រង់៖ ក x+ ខ y+ គ z+ D = 0 វ៉ិចទ័រធម្មតាទៅយន្តហោះនេះ។ (A, B, C) ។ វ៉ិចទ័រ
(1, 3, -5) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ។ យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យយើងកាត់កែងទៅនឹងអ្វីដែលចង់បានមានវ៉ិចទ័រធម្មតា។ (១, ១, ២)។ ដោយសារតែ ចំនុច A និង B ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះទាំងពីរ ហើយយន្តហោះគឺកាត់កែងគ្នាទៅវិញទៅមក

ដូច្នេះវ៉ិចទ័រធម្មតា។ (១១, -៧, -២) ។ ដោយសារតែ ចំនុច A ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះដែលចង់បាន បន្ទាប់មកកូអរដោនេរបស់វាត្រូវតែបំពេញសមីការនៃយន្តហោះនេះ i.e. 112 + 71 − 24 + D = 0; D = −21 ។

សរុបមក យើងទទួលបានសមីការនៃយន្តហោះ៖ ១១ x - 7y – 2z – 21 = 0.

ឧទាហរណ៍។ស្វែងរកសមីការនៃយន្តហោះ ដោយដឹងថាចំណុច P(4, -3, 12) គឺជាមូលដ្ឋាននៃកាត់កែងដែលបានទម្លាក់ពីប្រភពដើមទៅយន្តហោះនេះ។

ស្វែងរកកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា។
= (4, -3, 12) ។ សមីការដែលចង់បានរបស់យន្តហោះមានទម្រង់៖ ៤ x – 3y + 12z+ D = 0. ដើម្បីរកមេគុណ D យើងជំនួសកូអរដោនេនៃចំនុច Р ទៅក្នុងសមីការ៖

16 + 9 + 144 + D = 0

សរុបមក យើងទទួលបានសមីការដែលចង់បាន៖ ៤ x – 3y + 12z – 169 = 0

ឧទាហរណ៍។ដោយ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​នូវ​កូអរដោនេ​នៃ​កំពូល​ពីរ៉ាមីត A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

រកប្រវែងគែម A 1 A 2 ។

រកមុំរវាងគែម A 1 A 2 និង A 1 A 4 ។

រកមុំរវាងគែម A 1 A 4 និងមុខ A 1 A 2 A 3 ។

ដំបូងរកវ៉ិចទ័រធម្មតាទៅមុខ A 1 A 2 A 3 ជាផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ
និង
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

រកមុំរវាងវ៉ិចទ័រធម្មតា និងវ៉ិចទ័រ
.

-4 – 4 = -8.

មុំដែលចង់បាន  រវាងវ៉ិចទ័រ និងប្លង់នឹងស្មើនឹង  = 90 0 −  ។

រកផ្ទៃមុខ A 1 A 2 A 3 ។

ស្វែងរកបរិមាណពីរ៉ាមីត។

រកសមីការនៃយន្តហោះ А 1 А 2 А 3 ។

យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់បីចំណុច។

2x + 2y + 2z − 8 = 0

x + y + z − 4 = 0;

នៅពេលប្រើកំណែ PC នៃ " វគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យាខ្ពស់។" អ្នកអាចដំណើរការកម្មវិធីដែលនឹងដោះស្រាយឧទាហរណ៍ខាងលើសម្រាប់កូអរដោនេណាមួយនៃកំពូលពីរ៉ាមីត។

ចុចពីរដងលើរូបតំណាង ដើម្បីចាប់ផ្តើមកម្មវិធី៖

នៅក្នុងបង្អួចកម្មវិធីដែលបើក សូមបញ្ចូលកូអរដោនេនៃកំពូលពីរ៉ាមីត ហើយចុច Enter ។ ដូច្នេះ រាល់ចំណុចសម្រេចចិត្តទាំងអស់អាចទទួលបានម្តងមួយៗ។

ចំណាំ៖ ដើម្បីដំណើរការកម្មវិធី អ្នកត្រូវតែមាន Maple ( Waterloo Maple Inc.) ដែលបានដំឡើងនៅលើកុំព្យូទ័ររបស់អ្នក កំណែណាមួយដែលចាប់ផ្តើមជាមួយ MapleV Release 4 ។

សមីការយន្តហោះ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះ?
ការរៀបចំយន្តហោះទៅវិញទៅមក។ ភារកិច្ច

ធរណីមាត្រលំហមិនមានភាពស្មុគស្មាញជាងធរណីមាត្រ "ផ្ទះល្វែង" ទេ ហើយការហោះហើររបស់យើងក្នុងលំហអាកាសចាប់ផ្តើមជាមួយអត្ថបទនេះ។ ដើម្បីយល់ពីប្រធានបទ មនុស្សម្នាក់ត្រូវតែយល់ឱ្យបានច្បាស់ វ៉ិចទ័រលើសពីនេះទៀត វាជាការចង់ស្គាល់ធរណីមាត្រនៃយន្តហោះ - វានឹងមានភាពស្រដៀងគ្នាជាច្រើន ភាពស្រដៀងគ្នាជាច្រើន ដូច្នេះព័ត៌មាននឹងត្រូវបានរំលាយកាន់តែប្រសើរ។ នៅក្នុងមេរៀនរបស់ខ្ញុំជាបន្តបន្ទាប់ ពិភពលោក 2D បើកជាមួយអត្ថបទមួយ។ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ. ប៉ុន្តែឥឡូវនេះ Batman បានលាឈប់ពីទូរទស្សន៍អេក្រង់រាបស្មើ ហើយកំពុងចាប់ផ្តើមពី Baikonur Cosmodrome ។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយគំនូរនិងនិមិត្តសញ្ញា។ តាមគ្រោងការណ៍ យន្តហោះអាចត្រូវបានគូរជាប៉ារ៉ាឡែល ដែលផ្តល់នូវចំណាប់អារម្មណ៍នៃលំហ៖

យន្តហោះ​គឺ​គ្មាន​ដែន​កំណត់ ប៉ុន្តែ​យើង​មាន​ឱកាស​ពណ៌នា​តែ​មួយ​ដុំ​ប៉ុណ្ណោះ។ នៅក្នុងការអនុវត្ត បន្ថែមពីលើប្រលេឡូក្រាម រាងពងក្រពើ ឬសូម្បីតែពពកក៏ត្រូវបានគូរផងដែរ។ សម្រាប់ហេតុផលបច្ចេកទេស វាកាន់តែងាយស្រួលសម្រាប់ខ្ញុំក្នុងការពណ៌នាយន្តហោះតាមរបៀបនេះ និងក្នុងទីតាំងនេះ។ យន្តហោះពិត ដែលយើងនឹងពិចារណាក្នុងឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង អាចត្រូវបានរៀបចំតាមមធ្យោបាយណាមួយ - យកគំនូរនៅក្នុងដៃរបស់អ្នកដោយបញ្ញាស្មារតី ហើយបង្វិលវាក្នុងលំហ ដោយផ្តល់ឱ្យយន្តហោះនូវជម្រាលណាមួយ មុំណាមួយ។

កំណត់ចំណាំ៖ វា​ជា​ទម្លាប់​ក្នុង​ការ​កំណត់​យន្តហោះ​ជា​អក្សរ​ក្រិច​តូចៗ តាម​ជាក់ស្តែង ដើម្បី​កុំ​ឱ្យ​ច្រឡំ​ជាមួយ ត្រង់នៅលើយន្តហោះឬជាមួយ ត្រង់ក្នុងលំហ. ខ្ញុំធ្លាប់ប្រើអក្សរ។ នៅក្នុងគំនូរវាគឺជាអក្សរ "sigma" ហើយមិនមែនជារន្ធទាល់តែសោះ។ ថ្វីត្បិតតែជាយន្តហោះដ៏ចម្លែកក៏ដោយ វាពិតជាគួរឱ្យអស់សំណើចណាស់។

ក្នុងករណីខ្លះ វាងាយស្រួលប្រើអក្សរក្រិចដូចគ្នាដែលមានអក្សររងដើម្បីកំណត់ប្លង់យន្តហោះ ឧទាហរណ៍ .

វាច្បាស់ណាស់ថាយន្តហោះត្រូវបានកំណត់យ៉ាងពិសេសដោយចំណុចបីផ្សេងគ្នាដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដូចគ្នា។ ដូច្នេះការរចនាបីអក្សរនៃយន្តហោះគឺមានប្រជាប្រិយភាពណាស់ - យោងតាមចំណុចដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ពួកគេឧទាហរណ៍ជាដើម។ ជាញឹកញាប់អក្សរត្រូវបានរុំព័ទ្ធក្នុងវង់ក្រចក៖ ដើម្បីកុំឱ្យច្រឡំយន្តហោះជាមួយតួលេខធរណីមាត្រផ្សេងទៀត។

សម្រាប់អ្នកអានដែលមានបទពិសោធន៍ខ្ញុំនឹងផ្តល់ឱ្យ ម៉ឺនុយផ្លូវកាត់:

• តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះដោយប្រើចំណុចមួយនិងវ៉ិចទ័រពីរ?
• តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះដោយប្រើចំណុចនិងវ៉ិចទ័រធម្មតា?

ហើយ​យើង​នឹង​មិន​នឿយណាយ​ក្នុង​ការ​រង់ចាំ​យូរ​ឡើយ៖

សមីការទូទៅនៃយន្តហោះ

សមីការទូទៅនៃយន្តហោះមានទម្រង់ ដែលមេគុណក្នុងពេលដំណាលគ្នាមិនមែនជាសូន្យ។

ការគណនាទ្រឹស្តី និងបញ្ហាជាក់ស្តែងមួយចំនួនមានសុពលភាពទាំងសម្រាប់មូលដ្ឋានអ័រថុនធម្មតា និងសម្រាប់មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃលំហ (ប្រសិនបើប្រេងជាប្រេង សូមត្រលប់ទៅមេរៀនវិញ។ លីនេអ៊ែរ (មិន) ការពឹងផ្អែកនៃវ៉ិចទ័រ។ មូលដ្ឋានវ៉ិចទ័រ) សម្រាប់ភាពសាមញ្ញ យើងនឹងសន្មត់ថា ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងអស់កើតឡើងនៅក្នុងមូលដ្ឋានអ័រថូនិក និងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian ។

ហើយ​ឥឡូវ​នេះ ចូរ​យើង​ហ្វឹកហាត់​ការ​ស្រមើស្រមៃ​បន្តិច​បន្តួច។ វាមិនអីទេ ប្រសិនបើអ្នកមានវាអាក្រក់ ឥឡូវនេះយើងនឹងអភិវឌ្ឍវាបន្តិច។ សូម្បី​តែ​ការ​លេង​នៅ​លើ​សរសៃប្រសាទ​ក៏​ទាមទារ​ការ​អនុវត្ត​ដែរ។

ក្នុងករណីទូទៅបំផុត នៅពេលដែលលេខមិនស្មើនឹងសូន្យ យន្តហោះកាត់អ័ក្សកូអរដោនេទាំងបី។ ឧទាហរណ៍ដូចនេះ៖

ខ្ញុំនិយាយម្តងទៀតថា យន្តហោះបន្តមិនកំណត់គ្រប់ទិសដៅ ហើយយើងមានឱកាសពណ៌នាតែផ្នែករបស់វាប៉ុណ្ណោះ។

ពិចារណាសមីការសាមញ្ញបំផុតនៃយន្តហោះ៖

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីយល់ពីសមីការនេះ? គិតអំពីវា៖ “Z” ជានិច្ច សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ “X” និង “Y” គឺស្មើនឹងសូន្យ។ នេះគឺជាសមីការនៃយន្តហោះកូអរដោនេ "ដើម" ។ ជាការពិត សមីការអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖ ពីកន្លែងដែលវាអាចមើលឃើញយ៉ាងច្បាស់ថាយើងមិនខ្វល់ តើតម្លៃ "x" និង "y" យកវាសំខាន់ដែល "z" ស្មើនឹងសូន្យ។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ៖
គឺជាសមីការនៃយន្តហោះកូអរដោណេ ;
គឺជាសមីការនៃយន្តហោះកូអរដោណេ។

ចូរធ្វើឱ្យបញ្ហាស្មុគស្មាញបន្តិច ពិចារណាយន្តហោះមួយ (នៅទីនេះ និងបន្ថែមទៀតនៅក្នុងកថាខណ្ឌ យើងសន្មត់ថាមេគុណលេខមិនស្មើនឹងសូន្យ)។ ចូរយើងសរសេរសមីការឡើងវិញក្នុងទម្រង់៖ . យល់យ៉ាងណាដែរ? "X" គឺតែងតែសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ "y" និង "z" គឺស្មើនឹងចំនួនជាក់លាក់មួយ។ យន្តហោះនេះគឺស្របទៅនឹងយន្តហោះកូអរដោណេ។ ឧទាហរណ៍ យន្តហោះមួយស្របទៅនឹងយន្តហោះ ហើយឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ៖
- សមីការនៃយន្តហោះដែលស្របទៅនឹងយន្តហោះកូអរដោនេ;
- សមីការនៃយន្តហោះដែលស្របទៅនឹងយន្តហោះកូអរដោនេ។

បន្ថែមសមាជិក៖ . សមីការអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចនេះ៖ មានន័យថា "Z" អាចជាអ្វីក៏បាន។ តើ​វា​មានន័យ​យ៉ាង​ដូចម្តេច? "X" និង "Y" ត្រូវបានតភ្ជាប់ដោយសមាមាត្រដែលគូរបន្ទាត់ត្រង់ជាក់លាក់មួយនៅក្នុងយន្តហោះ (អ្នកនឹងទទួលស្គាល់ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងយន្តហោះ?) ដោយសារ Z អាចជាអ្វីក៏បាន បន្ទាត់នេះត្រូវបាន "ចម្លង" នៅកម្ពស់ណាមួយ។ ដូច្នេះ សមីការ​កំណត់​ប្លង់​ស្រប​នឹង​អ័ក្ស​កូអរដោណេ

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ៖
- សមីការនៃយន្តហោះដែលស្របទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ;
- សមីការនៃយន្តហោះដែលស្របទៅនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ។

ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃគឺសូន្យ នោះយន្តហោះនឹងឆ្លងកាត់ដោយផ្ទាល់តាមអ័ក្សដែលត្រូវគ្នា។ ឧទាហរណ៍បុរាណ "សមាមាត្រដោយផ្ទាល់": ។ គូរបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងយន្តហោះ ហើយគុណវាឡើងលើចុះក្រោម (ចាប់តាំងពី "z" គឺណាមួយ) ។ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ យន្តហោះដែលផ្តល់ដោយសមីការឆ្លងកាត់អ័ក្សកូអរដោនេ។

យើងបញ្ចប់ការពិនិត្យឡើងវិញ: សមីការនៃយន្តហោះ ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។ ជាការប្រសើរណាស់ នៅទីនេះវាច្បាស់ណាស់ថាចំណុចបំពេញសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ហើយទីបំផុតករណីដែលត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងគំនូរ៖ - យន្តហោះគឺជាមិត្តជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេទាំងអស់ ខណៈពេលដែលវាតែងតែ "កាត់ចេញ" ត្រីកោណដែលអាចមានទីតាំងនៅក្នុង octants ណាមួយក្នុងចំណោមប្រាំបី។

វិសមភាពលីនេអ៊ែរក្នុងលំហ

ដើម្បីស្វែងយល់ពីព័ត៌មាន ចាំបាច់ត្រូវសិក្សាឱ្យបានល្អ។ វិសមភាពលីនេអ៊ែរនៅក្នុងយន្តហោះដោយសារតែរឿងជាច្រើននឹងស្រដៀងគ្នា។ កថាខណ្ឌនេះនឹងមានទិដ្ឋភាពសង្ខេបជាមួយនឹងឧទាហរណ៍មួយចំនួន ដោយសារសម្ភារៈគឺកម្រមានណាស់ក្នុងការអនុវត្ត។

ប្រសិនបើសមីការកំណត់ប្លង់មួយ នោះវិសមភាព
សួរ ចន្លោះពាក់កណ្តាល. ប្រសិនបើវិសមភាពមិនមានភាពតឹងរ៉ឹង (ពីរចុងក្រោយក្នុងបញ្ជី) នោះដំណោះស្រាយនៃវិសមភាពនេះ បន្ថែមពីលើលំហពាក់កណ្តាល រួមមានយន្តហោះខ្លួនឯង។

ឧទាហរណ៍ ៥

ស្វែងរកឯកតាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ .

ការសម្រេចចិត្ត៖ វ៉ិចទ័រឯកតាគឺជាវ៉ិចទ័រដែលមានប្រវែងមួយ។ ចូរសម្គាល់វ៉ិចទ័រនេះដោយ . វាច្បាស់ណាស់ថាវ៉ិចទ័រគឺជាប់គ្នា៖

ដំបូងយើងដកវ៉ិចទ័រធម្មតាចេញពីសមីការនៃយន្តហោះ៖ .

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកវ៉ិចទ័រឯកតា? ដើម្បីស្វែងរកវ៉ិចទ័រឯកតាអ្នកត្រូវការ រាល់កូអរដោណេវ៉ិចទ័របែងចែកដោយប្រវែងវ៉ិចទ័រ.

ចូរយើងសរសេរវ៉ិចទ័រធម្មតាឡើងវិញក្នុងទម្រង់ ហើយស្វែងរកប្រវែងរបស់វា៖

នេះ​បើ​តាម​ការ​បញ្ជាក់​ខាង​លើ៖

ចម្លើយ:

ពិនិត្យ៖ ដែលត្រូវពិនិត្យ។

អ្នកអានដែលបានសិក្សាដោយប្រុងប្រយ័ត្ននូវកថាខណ្ឌចុងក្រោយនៃមេរៀន ប្រហែលជាបានកត់សម្គាល់ឃើញ កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រឯកតាគឺពិតជាកូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រ:

តោះស្វែងយល់ពីបញ្ហាដែលបែកធ្លាយ៖ នៅពេលអ្នកត្រូវបានផ្តល់វ៉ិចទ័រមិនសូន្យតាមអំពើចិត្តហើយតាមលក្ខខណ្ឌ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកកូស៊ីនុសទិសដៅរបស់វា (សូមមើលកិច្ចការចុងក្រោយនៃមេរៀន ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ) តាមការពិត អ្នកក៏ស្វែងរកវ៉ិចទ័រឯកតា collinear ទៅលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ តាមពិត កិច្ចការពីរក្នុងដបតែមួយ។

តម្រូវការក្នុងការស្វែងរកវ៉ិចទ័រធម្មតាមួយឯកតាកើតឡើងនៅក្នុងបញ្ហាមួយចំនួននៃការវិភាគគណិតវិទ្យា។

យើងបានរកឃើញការនេសាទនៃវ៉ិចទ័រធម្មតាឥឡូវនេះយើងនឹងឆ្លើយសំណួរផ្ទុយគ្នា:

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរសមីការសម្រាប់យន្តហោះដោយប្រើចំណុចនិងវ៉ិចទ័រធម្មតា?

សំណង់រឹងនៃវ៉ិចទ័រធម្មតា និងចំណុចមួយត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់ដោយគោលដៅព្រួញ។ សូមលាតដៃរបស់អ្នកទៅមុខ ហើយជ្រើសរើសចំណុចដែលបំពានក្នុងលំហដោយគិតពិចារណា ឧទាហរណ៍ ឆ្មាតូចមួយនៅក្នុងក្តារចំហៀង។ ជាក់ស្តែង តាមរយៈចំណុចនេះ អ្នកអាចគូរប្លង់តែមួយកាត់កែងទៅនឹងដៃរបស់អ្នក។

សមីការនៃយន្តហោះឆ្លងកាត់ចំណុចកាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត៖