ប្រភព Quest៖ សេចក្តីសម្រេច ៥៣៤៦.-១៣. OGE 2016 គណិតវិទ្យា, I.V. យ៉ាសឆេនកូ។ ជម្រើស ៣៦ ។
កិច្ចការ ១១.នៅក្នុង trapezoid ABCD យើងដឹងថា AB = CD មុំ BDA = 54° និងមុំ BDC = 33°។ ស្វែងរកមុំ ABD ។ ផ្តល់ចម្លើយរបស់អ្នកជាដឺក្រេ។
ការសម្រេចចិត្ត។
បានផ្តល់ឱ្យ isosceles trapezoid ដែលមានជ្រុង AB=CD ។ ដោយសារមុំនៅមូលដ្ឋាននៃ trapezoid បែបនេះគឺស្មើគ្នា យើងមានវា និង . ចូរយើងស្វែងរកតម្លៃនៃមុំ A និង D។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីតួលេខថាមុំ D (ហើយដូច្នេះមុំ A) គឺស្មើនឹង៖
ឥឡូវនេះពិចារណាត្រីកោណ ABD ដែលមុំ A និង BDA ត្រូវបានគេស្គាល់ហើយចាប់តាំងពីផលបូកនៃមុំទាំងអស់នៅក្នុងត្រីកោណគឺ 180 ដឺក្រេយើងរកឃើញមុំទីបី ABD:
ចម្លើយ៖ 39.
កិច្ចការ 12 ។ចំណុចបីត្រូវបានសម្គាល់នៅលើក្រដាសគូសធីក 1x1: A, B និង C. រកចម្ងាយពីចំណុច A ដល់បន្ទាត់ BC ។
ការសម្រេចចិត្ត។
ចម្ងាយពីចំណុច A ដល់បន្ទាត់ BC គឺជាការទម្លាក់ធម្មតាពីចំណុច A ទៅចំហៀង BC (បន្ទាត់ក្រហមក្នុងរូប)។ ប្រវែងនៃធម្មតានេះគឺ 3 កោសិកា ពោលគឺ 3 ឯកតា។
ចម្លើយ៖ 3.
កិច្ចការ ១៣.តើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមមួយណាត្រឹមត្រូវ?
1) តំបន់នៃត្រីកោណមួយគឺតិចជាងផលិតផលនៃភាគីទាំងពីររបស់វា។
2) មុំដែលចារឹកក្នុងរង្វង់គឺស្មើនឹងមុំកណ្តាលដែលត្រូវគ្នាដោយផ្អែកលើធ្នូដូចគ្នា។
3) តាមរយៈចំណុចដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ នោះគេអាចគូរបន្ទាត់កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់នេះ។
ការសម្រេចចិត្ត។
1) ពិត។ តំបន់នៃត្រីកោណគឺស្មើនឹងផលគុណនៃកម្ពស់ និងពាក់កណ្តាលនៃមូលដ្ឋាននៃត្រីកោណ ហើយបរិមាណទាំងអស់នេះគឺតិចជាងប្រវែងនៃភាគីទាំងពីររបស់វា។
ទ្រឹស្តីបទ ១ (ទ្រឹស្តីបទថាឡេស) បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលកាត់ផ្នែកសមាមាត្រនៅលើបន្ទាត់ដែលប្រសព្វពួកវា (រូបភាពទី 1) ។
និយមន័យ ១ . ត្រីកោណពីរ (រូបភាពទី 2) ត្រូវបានគេហៅថាស្រដៀងគ្នាប្រសិនបើភាគីដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេគឺសមាមាត្រ។
ទ្រឹស្តីបទ ២ (សញ្ញាដំបូងនៃភាពស្រដៀងគ្នា) ប្រសិនបើមុំនៃត្រីកោណទីមួយស្មើនឹងមុំនៃត្រីកោណទីពីរ ហើយជ្រុងនៃត្រីកោណដែលនៅជាប់នឹងមុំទាំងនេះគឺសមាមាត្រ នោះត្រីកោណបែបនេះគឺស្រដៀងគ្នា (សូមមើលរូបភាពទី 2)។
ទ្រឹស្តីបទ ៣ (សញ្ញាទីពីរនៃភាពស្រដៀងគ្នា) ប្រសិនបើមុំពីរនៃត្រីកោណមួយគឺស្មើគ្នា រៀងគ្នាទៅនឹងមុំពីរនៃត្រីកោណមួយទៀត នោះត្រីកោណបែបនេះគឺស្រដៀងគ្នា (រូបភាពទី 3)។
ទ្រឹស្តីបទ ៤ (ទ្រឹស្តីបទ Menelaus) ប្រសិនបើបន្ទាត់ខ្លះកាត់ជ្រុង AB និង BC នៃត្រីកោណ ABC នៅចំណុច X និង Y រៀងគ្នា ហើយការបន្តនៃចំហៀង AC គឺនៅចំណុច Z (រូបភាព 4) បន្ទាប់មក
ទ្រឹស្តីបទ ៥. អនុញ្ញាតឱ្យកម្ពស់ AA1 និង CC1 ត្រូវបានគូរក្នុងត្រីកោណ ABC ជ្រុងស្រួច (រូបភាព 5) ។ បន្ទាប់មកត្រីកោណ A1 BC1 និង ABC គឺស្រដៀងគ្នា ហើយមេគុណភាពស្រដៀងគ្នាគឺស្មើនឹង cos ∠B ។
លេម៉ា ១. ប្រសិនបើជ្រុង AC និង DF នៃត្រីកោណ ABC និង DEF ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដូចគ្នា ឬនៅលើបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល (រូបភាព 6) បន្ទាប់មក
លេម៉ា ២. ប្រសិនបើត្រីកោណពីរមានភាគីរួម AC (រូបភាពទី 7) បន្ទាប់មក
លេម៉ា ៣. ប្រសិនបើត្រីកោណ ABC និង AB1 C1 មានមុំរួម A បន្ទាប់មក
លេម៉ា ៤. តំបន់នៃត្រីកោណស្រដៀងគ្នាត្រូវបានទាក់ទងជាការ៉េនៃមេគុណភាពស្រដៀងគ្នា។
ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទមួយចំនួន
ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ ៤
. គូរបន្ទាត់កាត់ចំនុច C ស្របនឹងបន្ទាត់ AB រហូតដល់វាប្រសព្វបន្ទាត់ XZ នៅចំណុច K (រូបភាព 9)។ យើងត្រូវតែបញ្ជាក់
ពិចារណាពីរគូនៃត្រីកោណស្រដៀងគ្នា៖
ការគុណពាក្យសមភាពទាំងនេះតាមពាក្យ យើងទទួលបាន៖ 
Q.E.D.
ភស្តុតាងនៃទ្រឹស្តីបទ ៥. អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណ A1 BC1 និង ABC ដោយប្រើការធ្វើតេស្តភាពស្រដៀងគ្នាដំបូង។ ដោយសារត្រីកោណទាំងពីរនេះមានមុំរួម B វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់ថា
ប៉ុន្តែនេះកើតឡើងពីការពិតដែលថាពីត្រីកោណខាងស្តាំ ABA1 ប៉ុន្តែពីត្រីកោណខាងស្តាំ CBC1 ។ នៅតាមផ្លូវផ្នែកទីពីរនៃទ្រឹស្តីបទក៏ត្រូវបានបញ្ជាក់ផងដែរ។
ដោះស្រាយបញ្ហា
កិច្ចការទី 1. ផ្តល់ជារាងចតុកោណ ABCD ហើយគេដឹងថា BC = កនិង AD = ខ។ ស្របទៅនឹងមូលដ្ឋានរបស់វា BC និង AD បន្ទាត់ត្រង់មួយត្រូវបានគូរដែលប្រសព្វចំហៀង AB នៅចំណុច P អង្កត់ទ្រូង AC នៅចំណុច L អង្កត់ទ្រូង BD នៅចំណុច R និងស៊ីឌីចំហៀងនៅចំណុច Q (រូបភាព 10) ។ គេដឹងថា PL = LR ។ ស្វែងរក P.Q.
ការសម្រេចចិត្ត. ចូរយើងបញ្ជាក់ជាមុនថា PL = RQ ។ ពិចារណាពីរគូនៃត្រីកោណស្រដៀងគ្នា៖ 
យោងតាមទ្រឹស្តីបទ Thales យើងមាន៖
ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្ហាញ PL = LR = RQ = x ហើយពិចារណាម្តងទៀតពីរគូនៃត្រីកោណស្រដៀងគ្នា៖ 
យើងមានបន្ទាប់៖
មានន័យថា
ចម្លើយ:
កិច្ចការទី 2. នៅក្នុងត្រីកោណ ABC មុំ A គឺ 45° ហើយមុំ C គឺស្រួច។ ពីចំណុចកណ្តាល N នៃចំហៀង BC កាត់កែង NM ត្រូវបានទម្លាក់ទៅចំហៀង AC (រូបភាព 11) ។ តំបន់នៃត្រីកោណ NMC និង ABC គឺទាក់ទងគ្នាជា 1:8 ។ រកមុំត្រីកោណ ABC ។
ការសម្រេចចិត្ត។អនុញ្ញាតឱ្យ BH ជាកម្ពស់ដែលបានទម្លាក់ពីចំនុចកំពូល B ទៅចំហៀង AC ។
ដោយសារ NM គឺជាបន្ទាត់កណ្តាលនៃត្រីកោណ BHC បន្ទាប់មក S∆BHC = 4S∆NMC ។
ប៉ុន្តែយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា S∆ABC = 8S∆NMC ។
ដូច្នេះ S∆ABC = 2S∆BHC ដូច្នេះ S∆ABH = S∆BHC ។ ដូច្នេះ AH = HC,
wherece ∠CAB = ∠ACB = 45°, ∠ABC = 90°។
ចម្លើយ៖ ∠CAB = ∠ACB = 45°, ∠ABC = 90°។
កិច្ចការទី 3. បានផ្ដល់ឱ្យត្រីកោណ ABC ដែលមុំ B ស្មើនឹង 30° AB = 4 និង BC = 6 ។ ផ្នែកនៃមុំ B កាត់ចំហៀង AC នៅចំណុច D (រូបភាព 12) ។ រកផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABD ។
ការសម្រេចចិត្ត. ចូរយើងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ bisector មុំខាងក្នុងទៅជាត្រីកោណ ABC៖
មានន័យថា
ចម្លើយ:
អត្ថបទនេះត្រូវបានបោះពុម្ពដោយមានការគាំទ្រពីក្រុមហ៊ុន World of Flowers ។ ឃ្លាំងលក់ដុំនិងរាយនៃទំនិញអាពាហ៍ពិពាហ៍និងពិធីសាសនាផ្កាសិប្បនិម្មិតនៅ Krasnodar ។ គ្រឿងអាពាហ៍ពិពាហ៍ - ទៀន ផ្ទាំងរូបភាព វ៉ែនតា បូ លិខិតអញ្ជើញ និងច្រើនទៀត។ ទំនិញធ្វើពិធីសាសនា - ក្រណាត់ សំលៀកបំពាក់ គ្រឿងប្រើប្រាស់។ អ្នកអាចស្វែងយល់បន្ថែមអំពីក្រុមហ៊ុន សូមមើលកាតាឡុកផលិតផល តម្លៃ និងទំនាក់ទំនងនៅលើគេហទំព័រ ដែលមានទីតាំងនៅ៖ flowerworld.su ។
កិច្ចការទី 4. តាមរយៈចំណុចកណ្តាល M នៃចំហៀង BC នៃប៉ារ៉ាឡែល ABCD ដែលតំបន់របស់វាគឺ 1 និងចំនុចកំពូល A បន្ទាត់មួយត្រូវបានគូរដែលកាត់អង្កត់ទ្រូង BD នៅចំណុច O (រូបភាព 13) ។ ស្វែងរកតំបន់នៃ OMCD បួនជ្រុង។
ការសម្រេចចិត្ត. យើងនឹងស្វែងរកតំបន់នៃ OMCD បួនជ្រុងដែលជាភាពខុសគ្នារវាងតំបន់នៃត្រីកោណ BCD និង BOM ។ ផ្ទៃនៃត្រីកោណ BCD គឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលនៃផ្ទៃនៃប៉ារ៉ាឡែល ABCD និងស្មើនឹងការស្វែងរកផ្ទៃនៃត្រីកោណ BOM ។ យើងមាន:
∆ BOM ∼ ∆ AOD ⇒ 
បន្ថែមទៀត៖
មានន័យថា 
ចម្លើយ:
កិច្ចការទី 5. ត្រីកោណមុំខាងស្តាំ MNC ត្រូវបានចារឹកនៅក្នុងត្រីកោណ isosceles មុំខាងស្តាំ ABC ដែលមានមុំខាងស្តាំនៅចំនុច B ដូច្នេះមុំ MNC គឺត្រឹមត្រូវ ចំនុច N ស្ថិតនៅលើ AC ហើយចំនុច M ស្ថិតនៅចំហៀង AB (រូបភាព 14)។ ក្នុងសមាមាត្រអ្វីដែលត្រូវចង្អុល N ចែកអ៊ីប៉ូតេនុស AC ដូច្នេះផ្ទៃត្រីកោណ MNC ស្មើនឹងផ្ទៃត្រីកោណ ABC?
ការសម្រេចចិត្ត. យើងអាចសន្មត់ថា AB = 1. Denote AM = x, 0< x < 1, тогда BM = 1 – x,
យើងមាន: 
ចម្លើយ:
កិច្ចការទី 6. នៅក្នុង trapezoid ABCD អង្កត់ទ្រូង AC កាត់កែងទៅចំហៀង CD ហើយអង្កត់ទ្រូង DB កាត់កែងទៅចំហៀង AB ។ ផ្នែកបន្ថែមនៃជ្រុង AB និង DC ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច K បង្កើតជាត្រីកោណ AKD ដែលមានមុំ 45° នៅកំពូល K (រូបភាព 15) ។ ផ្ទៃនៃ trapezoid ABCD ស្មើនឹង S. រកតំបន់នៃត្រីកោណ AKD ។
ការសម្រេចចិត្ត. យោងតាមទ្រឹស្តីបទ 5 ត្រីកោណ BKC គឺស្រដៀងនឹងត្រីកោណ AKD ដែលមានមេគុណភាពស្រដៀងគ្នា 
ដូច្នេះហើយ តំបន់នៃត្រីកោណទាំងនេះមានសមាមាត្រ 1:2 ដែលមានន័យថាផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABCD គឺស្មើនឹងផ្ទៃនៃត្រីកោណ BKC ។ ដូច្នេះផ្ទៃដីនៃត្រីកោណ AKD គឺ 2S ។
ចម្លើយ: 2 ស.
កិច្ចការទី 7. ក្នុងត្រីកោណ ABC ចំណុច K ត្រូវបានយកនៅខាង AB ដូច្នេះ AK: KB = 1: 2 ហើយចំណុច L ត្រូវបានយកនៅខាង BC ដូច្នេះ CL: LB = 2: 1 ។ ទុក Q ជាចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ AL និង CK (រូបភពដប់ប្រាំមួយ) ។ រកផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ដោយដឹងថាផ្ទៃនៃត្រីកោណ BQC គឺ 1 ។
ការសម្រេចចិត្ត. ឱ្យ AK = x, BL = y ។ បន្ទាប់មក KB = 2x,
LC = 2y ដូច្នេះ AB = 3x និង BC = 3y ។ ចូរយើងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ Menelaus ទៅនឹងត្រីកោណ ABL និង secant KQ៖
កិច្ចការ ៨. ពីចំនុច M ដែលមានទីតាំងនៅខាងក្នុងត្រីកោណកែង ABC កាត់កែងត្រូវបានទម្លាក់ទៅភាគី (រូបភាព 17)។ ប្រវែងនៃជ្រុងនិងកាត់កែងធ្លាក់ចុះលើពួកវារៀងៗខ្លួនគឺស្មើគ្នា កនិង k, b និង m, c និង n ។ គណនាសមាមាត្រផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC ទៅនឹងផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលចំណុចកំពូលជាមូលដ្ឋាននៃកាត់កែង។
ការសម្រេចចិត្ត. យើងណែនាំការសម្គាល់ស្តង់ដារ ពោលគឺយើងកំណត់ប្រវែងនៃជ្រុងនៃត្រីកោណ ABC: BC = ក, CA = b, AB = គ; មុំ៖ ∠BAC = α,
∠ABC = β, ∠ACB = γ ។ មូលដ្ឋានកាត់កែងទម្លាក់ពីចំណុច M ទៅជ្រុង BC, CA, និង AB នឹងត្រូវបានតាងដោយ D, E, និង F រៀងៗខ្លួន បន្ទាប់មកតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា MD = k, ME = m, MF = ន. វាច្បាស់ណាស់ថាមុំ EMF ស្មើនឹង π - α មុំ DMF ស្មើនឹង π - β មុំ DME ស្មើនឹង π - γ ហើយចំនុច M មានទីតាំងនៅខាងក្នុងត្រីកោណ DEF ។ តំបន់នៃត្រីកោណ DEF គឺ៖
ផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABC គឺ៖
ស្វែងរកសមាមាត្រនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណ DEF និង ABC៖
អាស្រ័យហេតុនេះ 
ចម្លើយ: 
កិច្ចការ ៩. ចំនុច P និង Q ស្ថិតនៅខាង BC នៃត្រីកោណ ABC ដូច្នេះ BP: PQ: QC = 1:2:3 ។
ចំណុច R បែងចែកចំហៀង AC នៃត្រីកោណនេះតាមរបៀបដែល AR: RC = 1: 2 (រូបភាព 18) ។ តើអ្វីទៅជាសមាមាត្រនៃផ្ទៃនៃ PQST បួនជ្រុងទៅតំបន់ត្រីកោណ ABC ដែល S និង T ជាចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ BR ជាមួយបន្ទាត់ AQ និង AP រៀងគ្នា?
ការសម្រេចចិត្ត. សម្គាល់ BP = x, AR = y; បន្ទាប់មក
PQ=2x, QC=3x, RC=2y ។ ចូរយើងគណនាថាតើផ្នែកណានៃផ្ទៃនៃរាងបួនជ្រុង PQST គឺជាតំបន់នៃត្រីកោណ APQ ហេតុដូច្នេះហើយបានជាតំបន់នៃត្រីកោណ ABC ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងត្រូវការទំនាក់ទំនងដែលចំនុច S និង T បែងចែកបន្ទាត់ AQ និង AP រៀងគ្នា។ ចូរយើងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ Menelaus ទៅនឹងត្រីកោណ ACQ និង secant SR៖
ដូចគ្នានេះដែរ ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ Menelaus ទៅនឹងត្រីកោណ ACP និង secant TR យើងទទួលបាន៖
បន្ថែមទៀត៖ 
ម្យ៉ាងវិញទៀត ការអនុវត្តតំបន់ lemma ទៅត្រីកោណ APQ និង ABC យើងទទួលបាន
ចម្លើយ:
កិច្ចការ ១០. នៅក្នុងត្រីកោណ ABC ប្រវែងនៃកម្ពស់ BD ស្មើនឹង 6 ប្រវែងមធ្យម CE ស្មើនឹង 5 ចម្ងាយពីចំនុចប្រសព្វនៃ BD ជាមួយ CE ទៅចំហៀង AC គឺស្មើនឹង 1 (រូបភព 19)។ រកប្រវែងចំហៀង AB ។
ការសម្រេចចិត្ត. សូមអោយចំនុច O ជាចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ BD និង CE។ ចម្ងាយពីចំណុច O ទៅចំហៀង AC (ដែលស្មើនឹងមួយ) គឺជាប្រវែងនៃផ្នែក OD ។ ដូច្នេះ OD = 1 និង OB = 5. អនុវត្តទ្រឹស្តីបទ Menelaus ទៅនឹងត្រីកោណ ABD និង secant OE៖
ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ Menelaus ទៅនឹងត្រីកោណ ACE និង OD secant យើងទទួលបានវា
ពេលណា OE = 2CO ហើយយកទៅក្នុងគណនី OE + CO = CE = 5
យើងទទួលបានថា យើងអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ Pythagorean ទៅត្រីកោណស្តាំ CDO៖
មានន័យថា 
ជាចុងក្រោយ សូមពិចារណាត្រីកោណកែង ABD ដែលយើងក៏ប្រើទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរ៖
ចម្លើយ:
កិច្ចការ ១១. ចំនុច C និង D ស្ថិតនៅលើផ្នែក AB ហើយចំនុច C ស្ថិតនៅចន្លោះចំនុច A និង D ។ ចំនុច M ត្រូវបានគេយក ដើម្បីឱ្យបន្ទាត់ AM និង MD កាត់កែង ហើយបន្ទាត់ CM និង MB ក៏កាត់កែង (រូបភាព 20)។ ស្វែងរកផ្ទៃនៃត្រីកោណ AMB ប្រសិនបើមុំ CMD ត្រូវបានគេដឹងថាជា α ហើយតំបន់នៃត្រីកោណ AMD និង CMB គឺ S1 និង S2 រៀងគ្នា។
ការសម្រេចចិត្ត. សម្គាល់តំបន់នៃត្រីកោណ AMB និង CMD រៀងគ្នាដោយ
x និង y (x > y) ។ ចំណាំថា x + y = S1 + S2 ។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងបង្ហាញថា xy = S 1 S 2 sin 2 α ។ ពិតជា 
ដូចគ្នានេះដែរ 
ចាប់តាំងពី ∠AMB = ∠AMC + ∠CMD + ∠DMB =
= 90° – α + α + 90° – α = 180° – α និង sin ∠AMB =
= sinα ។ មធ្យោបាយ៖
ដូច្នេះលេខ x និង y គឺជាឫសគល់នៃសមីការការ៉េ
t2 – (S1 + S2 )t + S1 S2 sin2 α = 0 ។
ឫសធំនៃសមីការនេះគឺ៖
ចម្លើយ: 
ភារកិច្ចសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ
គ-១.ក្នុងត្រីកោណ ABC ដែលមានផ្ទៃជា S, bisector CE និង median BD ត្រូវបានគូរប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុច O. រកផ្ទៃរាងបួនជ្រុង ADOE ដោយដឹងថា BC = ក, AC = ខ។
គ-២. ការេត្រូវបានចារឹកនៅក្នុងត្រីកោណ ABC ដូច្នេះការដាក់បញ្ឈរពីរនៅលើមូលដ្ឋាននៃ BC ហើយពីរទៀតនៅលើជ្រុងនៃត្រីកោណ។ ផ្នែកម្ខាងនៃការ៉េគឺទាក់ទងទៅនឹងកាំនៃរង្វង់ដែលមានចារឹកជាត្រីកោណ ដូចជា
៨:៥ រកជ្រុងនៃត្រីកោណ។
គ-៣. នៅក្នុងប៉ារ៉ាឡែល ABCD ដែលមានជ្រុង AD = 5 និង AB = 4 ផ្នែកបន្ទាត់ EF ត្រូវបានគូរចំណុចតភ្ជាប់ E នៃចំហៀង BC ជាមួយនឹងចំណុច F នៃស៊ីឌីចំហៀង។ ពិន្ទុ E និង F ត្រូវបានជ្រើសរើសដូច្នេះ
BE: EC = 1: 2, CF: FE = 1: 5. គេដឹងថាចំនុចប្រសព្វ M នៃអង្កត់ទ្រូង AC ជាមួយផ្នែក FE បំពេញលក្ខខណ្ឌ MF: ME = 1: 4. រកអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាម។
គ-៤.ផ្ទៃនៃ trapezoid ABCD គឺស្មើនឹង 6. អនុញ្ញាតឱ្យ E ជាចំណុចប្រសព្វនៃផ្នែកបន្ថែមនៃភាគីនៃ trapezoid នេះ។ តាមរយៈចំនុច E និងចំនុចប្រសព្វនៃអង្កត់ទ្រូងនៃ trapezoid បន្ទាត់ត្រង់មួយត្រូវបានគូរដែលប្រសព្វនឹងមូលដ្ឋានតូចជាង BC នៅចំណុច P ដែលជាមូលដ្ឋានធំជាង AD - ត្រង់ចំនុច Q. ចំនុច F ស្ថិតនៅលើផ្នែក EC , និង EF: FC = EP: EQ = 1: 3 ។
ស្វែងរកផ្ទៃនៃត្រីកោណ EPF ។
គ-៥.នៅក្នុងត្រីកោណកែងស្រួច ABC (ដែល AB > BC) កម្ពស់ AM និង CN ត្រូវបានគូរ ចំនុច O គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃរង្វង់ដែលគូសរង្វង់អំពីត្រីកោណ ABC ។ វាត្រូវបានគេដឹងថាទំហំនៃមុំ ABC គឺ β ហើយផ្ទៃនៃ NOMB បួនជ្រុងគឺ S. ស្វែងរកប្រវែងនៃចំហៀង AC ។
គ-៦. នៅក្នុងត្រីកោណ ABC ចំនុច K នៅចំហៀង AB និងចំនុច M នៅផ្នែកខាង AC មានទីតាំងនៅតាមរបៀបដែលទំនាក់ទំនង AK: KB = 3: 2 និង AM: MC = 4: 5 រក្សា។ តើចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់នៅក្នុងសមាមាត្រអ្វី KC និង BM បែងចែកផ្នែក BM?
គ-៧. ចំនុច D ត្រូវបានថតនៅខាងក្នុងត្រីកោណមុំខាងស្តាំ ABC (មុំ B គឺត្រូវ) ដូច្នេះតំបន់នៃត្រីកោណ ABD និង BDC រៀងគ្នាគឺតិចជាងតំបន់ត្រីកោណ ABC បី និងបួនដង។ ប្រវែងនៃផ្នែក AD និង DC គឺស្មើនឹង a និង c រៀងគ្នា។ ស្វែងរកប្រវែងនៃផ្នែក BD ។
ស-៨. នៅក្នុង ABCD រាងបួនជ្រុងនៅផ្នែកខាង CD ចំនុច E ត្រូវបានគេយកដើម្បីឱ្យផ្នែក AE បែងចែក ABCD បួនជ្រុងទៅជា rhombus និងត្រីកោណ isosceles សមាមាត្រនៃតំបន់ដែលស្មើនឹងការស្វែងរកតម្លៃនៃមុំ BAD ។
គ-៩. កម្ពស់នៃរាងចតុកោណ ABCD គឺ 7 ហើយប្រវែងនៃមូលដ្ឋាន AD និង BC គឺ 8 និង 6 រៀងគ្នា។ តាមរយៈចំណុច E ដែលដេកនៅលើស៊ីឌីចំហៀង បន្ទាត់ BE ត្រូវបានគូរដែលបែងចែកអង្កត់ទ្រូង AC នៅចំណុច O ទាក់ទងនឹង AO: OC = 3: 2. រកតំបន់ត្រីកោណ OEC ។
ស-១០. ចំនុច K,L,M បែងចែកជ្រុងនៃរាងបួនជ្រុងប៉ោង ABCD ដោយគោរពតាម AK: BK = CL: BL = CM: DM = 1: 2. គេដឹងថាកាំនៃរង្វង់ដែលគូសអំពីត្រីកោណ KLM គឺ KL = 4, LM = 3 និង KM< KL. Найдите площадь четырехугольника ABCD.
ស-១១. ផ្នែកបន្ថែមនៃជ្រុង AD និង BC នៃប៉ោងរាងបួនជ្រុង ABCD ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច M ហើយផ្នែកបន្ថែមនៃភាគី AB និង CD ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច O. Segment MO គឺកាត់កែងទៅនឹង bisector នៃមុំ AOD ។ រកសមាមាត្រផ្ទៃនៃត្រីកោណ AOD និង BOC ប្រសិនបើ OA = 6, OD = 4, CD = 1 ។
ស-១២. នៅក្នុងត្រីកោណ ABC មុំនៅចំនុចកំពូល A គឺ 30° ហើយកម្ពស់ BD និង CE ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច O។ ស្វែងរកសមាមាត្រនៃកាំនៃរង្វង់ដែលគូសរង្វង់អំពីត្រីកោណ DEO និង ABC ។
ស-១៣. ចម្រៀកដែលភ្ជាប់មូលដ្ឋាននៃរយៈទទឹងនៃត្រីកោណកែងស្រួចគឺ 5, 12 និង 13។ ស្វែងរកកាំនៃរង្វង់ដែលគូសរង្វង់អំពីត្រីកោណ។
ស-១៤. នៅក្នុងត្រីកោណ ABC ជ្រុងស្រួច ចំណុច M ត្រូវបានគេយកនៅកម្ពស់ AD ហើយចំនុច N ត្រូវបានគេយកនៅកម្ពស់ BP ដូច្នេះមុំ BMC និង ANC គឺត្រឹមត្រូវ។ ចំងាយរវាងចំនុច M និង N គឺ ∠MCN = 30°។
ស្វែងរក bisector CL នៃត្រីកោណ CMN ។
ស-១៥. ចំណុច D, E និង F ត្រូវបានគេយកនៅលើជ្រុង AB, BC និង AC នៃត្រីកោណ ABC រៀងគ្នា។ ផ្នែក AE និង DF ឆ្លងកាត់កណ្តាលរង្វង់ដែលមានចារឹកជាត្រីកោណ ABC ហើយបន្ទាត់ DF និង BC គឺស្របគ្នា។ រកប្រវែងនៃចម្រៀក BE និងបរិវេណនៃត្រីកោណ ABC ប្រសិនបើ BC = 15, BD = 6, CF = 4 ។
ស-១៦. នៅក្នុងត្រីកោណ ABC, bisector BB" ប្រសព្វមធ្យម AA" នៅចំណុច O ។
រកសមាមាត្រនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណ BOA" ទៅតំបន់ត្រីកោណ AOB" ប្រសិនបើ AB:AC = 1:4 ។
ស-១៧. នៅក្នុងត្រីកោណ ABC ចំនុច D ស្ថិតនៅលើ AC ហើយ AD = 2DC ។ ចំណុច E ស្ថិតនៅលើ BC ។ ផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABD គឺ 3 តំបន់នៃត្រីកោណ AED គឺ 1. ចម្រៀក AE និង BD ប្រសព្វគ្នានៅចំណុច O. ស្វែងរកសមាមាត្រនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណ ABO និង OED ។
ស-១៨. នៅក្នុងប៉ារ៉ាឡែល ABCD ចំនុច E និង F ស្ថិតនៅលើជ្រុង AB និង BC, M គឺជាចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ AF និង DE ជាមួយនឹង AE = 2BE និង BF = 3CF ។ ស្វែងរកសមាមាត្រ AM: MF ។
ស-១៩. ចតុកោណកែង ABCD នៅសងខាង
AB និង AD ចំនុច E និង F ត្រូវបានជ្រើសរើសរៀងៗខ្លួន ដូច្នេះ AE: EB = 3:1, AF: FD = 1:2. ស្វែងរក EO: OD ដែល O ជាចំនុចប្រសព្វនៃចម្រៀក DE និង CF ។
ស-២០. ចំណុច N ត្រូវបានគេយកនៅផ្នែកខាង PQ នៃត្រីកោណ PQR ហើយចំនុច L ត្រូវបានយកនៅចំហៀង PR និង
NQ=LR។ ចំនុចប្រសព្វនៃចម្រៀក QL និង NR បែងចែកចម្រៀក QL ក្នុងសមាមាត្រ m: n ដោយរាប់ពីចំនុច Q. រកសមាមាត្រ PN: PR ។
ស-២១. ចំនុច A និង B ត្រូវបានថតនៅជ្រុងម្ខាងនៃមុំស្រួចជាមួយចំនុចកំពូល O. ចំនុច M ត្រូវបានថតនៅលើកាំរស្មី OB នៅចម្ងាយ 3OA ពីបន្ទាត់ OA ហើយចំនុច N ត្រូវបានថតនៅលើកាំរស្មី OA នៅចម្ងាយ 3OB ពីបន្ទាត់ OB ។ កាំនៃរង្វង់នៃត្រីកោណ AOB គឺ 3. រក MN ។
ស-២២. ក្នុងប៉ង់តាហ្គោនប៉ោង ABCDE អង្កត់ទ្រូង BE និង CE ជាផ្នែកនៃមុំកំពូល B និង C រៀងគ្នា ∠A = 35°, ∠D = 145°, S∆BCE = 11. រកផ្ទៃនៃប៉ង់តាហ្គោន ABCDE
ស-២៣. នៅលើមូលដ្ឋាន AD និង BC នៃ trapezoid ABCD ការ៉េ ADEF និង BCGH ត្រូវបានសាងសង់ដែលមានទីតាំងនៅខាងក្រៅ trapezoid ។ អង្កត់ទ្រូងនៃអន្ទាក់ប្រសព្វត្រង់ចំនុច O. រកប្រវែងនៃចម្រៀក AD ប្រសិនបើ BC = 2, GO = 7, និង GF = 18 ។
ស-២៤. នៅក្នុងត្រីកោណ ABC យើងដឹងថា AB = BC និងមុំ BAC គឺ 45 °។ បន្ទាត់ MN កាត់ចំហៀង AC នៅចំណុច M និងចំហៀង BC នៅចំណុច N ជាមួយនឹង AM = 2MC និង ∠NMC = 60°។ ស្វែងរកសមាមាត្រនៃផ្ទៃនៃត្រីកោណ MNC ទៅតំបន់នៃ ABNM បួនជ្រុង។
ស-២៥. នៅក្នុងត្រីកោណ ABC ចំនុច N ត្រូវបានគេយកនៅផ្នែកខាង AB ហើយចំនុច M ត្រូវបានយកនៅខាង AC ។ ចម្រៀក CN និង BM ប្រសព្វគ្នាត្រង់ចំណុច O, AN: NB = 2:3,
BO: OM = 5: 2. រក CO: ON ។
Trapeze នៅលើការប្រឡង។ កម្រិតមូលដ្ឋាននៃ។
កិច្ចការពីធនាគារបើកចំហនៃកិច្ចការ FIPI ។
កិច្ចការទី 1 ។នៅក្នុង trapezoid ABCD យើងដឹងថា AB=CD,∠ BDA = 54° និង ∠ BDC = 23°។ ស្វែងរកមុំ ABD ។ ផ្តល់ចម្លើយរបស់អ្នកជាដឺក្រេ។
ការសម្រេចចិត្ត។នៅក្នុងរាងចតុកោណនេះ មុំ Aឌី.ស៊ី នៅមូលដ្ឋានទាបគឺស្មើនឹងផលបូកនៃមុំ A D V និង V DC , គឺស្មើនឹង 54 + 23 = 77 ដឺក្រេ។ ដោយសារ trapezoid គឺជា isosceles មុំនៅមូលដ្ឋានទាបគឺស្មើគ្នានិងមុំ BAឃ 77 ដឺក្រេផងដែរ។ ផលបូកនៃមុំ VA D និង AB D ស្មើ 180 ដឺក្រេ (ម្ខាងជាមួយបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល Aឃ និង BC និង secant AB) ។ ដូច្នេះមុំ ABC គឺស្មើនឹង 180 - 77 \u003d 103 ដឺក្រេ។
បន្ទាប់យើងប្រើសមភាពនៃមុំ A D B និង D BC (ការនិយាយឆ្លងគ្នាជាមួយបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល A D និង BC និង secant B D) ។ ដូច្នេះមុំ AB D ស្មើនឹង 103 - 54 \u003d 49 ដឺក្រេ។
ចម្លើយ 49.
កិច្ចការទី 2 ។មូលដ្ឋាននៃ isosceles trapezoid គឺ 10 និង 24, ចំហៀងគឺ 25. រកកម្ពស់នៃ trapezoid នេះ។
ការសម្រេចចិត្ត។នៅក្នុង trapezoid នេះ មូលដ្ឋានខាងលើ BC គឺ 10, A ខាងក្រោមឃ =24. ពីចំនុចកំពូល B និង C យើងបន្ថយកម្ពស់ទៅមូលដ្ឋានទាប។ នៅក្នុងចតុកោណកែងលទ្ធផល NVSK NK=BC=10។ ត្រីកោណ ABH និង K DC DC ) ដូច្នេះ AH \u003d K D =(24-10):2=7 ។ យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទពីតាហ្គោរៀន ក្នុងត្រីកោណ ABN ការ៉េនៃជើង BH គឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នារវាងការ៉េនៃអ៊ីប៉ូតេនុស AB និងការ៉េនៃជើង AN ។ នោះគឺ VN 2 \u003d 625 - 49 \u003d 576. VN \u003d ២៤.
ចម្លើយ 24.
កិច្ចការទី 3 ។នៅក្នុង isosceles trapezoid ដែលជាមូលដ្ឋានមួយ។
គឺ 3 និងមួយទៀតគឺ 7. កម្ពស់នៃ trapezoid គឺ 4. រកតង់សង់នៃមុំស្រួចនៃ trapezoid នេះ។
ការសម្រេចចិត្ត។នៅក្នុង trapezoid នេះមូលដ្ឋានខាងលើ BC គឺ 3, ខាងក្រោម Aឃ =7. ពីចំនុចកំពូល B និង C យើងបន្ថយកម្ពស់ទៅមូលដ្ឋានទាប។ នៅក្នុងលទ្ធផលចតុកោណកែង NVSK NK=BC=3។ ត្រីកោណ ABH និង Kឌី.ស៊ី គឺស្មើគ្នា (ពួកវាជាចតុកោណ BH = SK, AB = DC ) ដូច្នេះ AH \u003d K D =(7-3):2=2។ តង់សង់នៃមុំស្រួច BAN ក្នុងត្រីកោណខាងស្តាំ ABN គឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃជើងទល់មុខ BH ទៅជើងជាប់ AH ពោលគឺ 4:2=2។
ចម្លើយ 2.
កិច្ចការទី 4 ។មូលដ្ឋាននៃ trapezoid គឺ 8 និង 16, ផ្នែកក្រោយ, ស្មើ 6, បង្កើតមុំនៃ 150 °ជាមួយនឹងមួយនៃមូលដ្ឋាននៃ trapezoid នេះ។ ស្វែងរកតំបន់នៃ trapezoid នេះ។
ការសម្រេចចិត្ត។អនុញ្ញាតឱ្យនៅក្នុង trapezoid នៅក្នុងតួលេខនៃមូលដ្ឋាន BC \u003d 8, AD =16 ចំហៀង AB=6 និងមុំ ABC គឺ 150 ដឺក្រេ។ យើងដឹងថាផ្ទៃនៃ trapezoid គឺស្មើនឹងផលិតផលនៃពាក់កណ្តាលនៃផលបូកនៃមូលដ្ឋាននិងកម្ពស់។ មូលដ្ឋានត្រូវបានគេស្គាល់។ ចូរយើងស្វែងរកកម្ពស់ BH ។ នៅក្នុងត្រីកោណកែង ABH មុំ ABH គឺ 150 - 90 = 60 ដឺក្រេ។ ដូច្នេះមុំ VAN គឺស្មើនឹង 90 - 60 \u003d 30 ដឺក្រេ។ ហើយនៅក្នុងត្រីកោណកែងជើងទល់មុខមុំ 30 ដឺក្រេគឺស្មើនឹងពាក់កណ្តាលអ៊ីប៉ូតេនុស។ ដូច្នេះ VN=3.
វានៅសល់ដើម្បីគណនាតំបន់នៃ trapezoid នេះ។ ផលបូកពាក់កណ្តាលនៃមូលដ្ឋានគឺស្មើនឹង (8+16): 2=12 ។ ទំហំ 12*3=36.
ចម្លើយ 36.
កិច្ចការទី 5 ។នៅក្នុងរាងចតុកោណកែងABCឃជាមួយនឹងមូលដ្ឋាន ព្រះអាទិត្យនិង ប៉ុន្តែឃការចាក់ថ្នាំ អេADត្រង់, AB=3, ព្រះអាទិត្យ=ស៊ីឌី=5. ស្វែងរកបន្ទាត់កណ្តាលនៃ trapezoid ។
ការសម្រេចចិត្ត។បន្ទាត់មធ្យមនៃ trapezoid គឺពាក់កណ្តាលនៃផលបូកនៃមូលដ្ឋាន។ នៅក្នុង trapezoid នេះ មូលដ្ឋានខាងលើ BC គឺ 5, A ទាប។ឃ មិនស្គាល់។ ពីចំនុច C យើងបន្ថយកម្ពស់ទៅមូលដ្ឋានទាប។ នៅក្នុងចតុកោណកែងលទ្ធផល NVSK AH=BC=5, CH=AB=3។ ត្រីកោណ Hឌី.ស៊ី ចតុកោណ។ តាមទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គោរ ការ៉េនៃជើង Hឃ ស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃការ៉េនៃអ៊ីប៉ូតេនុសឌី.ស៊ី និងការ៉េនៃជើង CH ។ នោះគឺ Nឃ 2 \u003d 65 -9 \u003d 16. H D \u003d 4. ដូច្នេះមូលដ្ឋានខាងក្រោម A D = AH + H D =5+4=9។ បន្ទាត់មធ្យមនៃ trapezoid គឺ (5+9): 2=7 ។
ចម្លើយ 7.
កិច្ចការទី 6 ។នៅក្នុងរាងចតុកោណកែង គោលមាន ៤ និង ៧ ហើយមុំមួយគឺ ១៣៥°។ ស្វែងរកផ្នែកតូចជាង។
ការសម្រេចចិត្ត។ចូរយើងប្រើគំនូរសម្រាប់បញ្ហាពីមុន។ នៅក្នុង trapezoid នេះ មូលដ្ឋានខាងលើ BC គឺ 4, ទាបជាង Aឃ=៧. មុំ BC D ស្មើនឹង ១៣៥ ដឺក្រេ។ ពីចំនុច C យើងបន្ថយកម្ពស់ទៅមូលដ្ឋានទាប។ បន្ទាប់មក Hឃ =7-4=3។ នៅក្នុងលទ្ធផលត្រីកោណកែង Hមុំ DC HC D ស្មើនឹង 135-90 = 45 ដឺក្រេ។ ដូច្នេះមុំ Hឌី.ស៊ី 45 ដឺក្រេផងដែរ។ ជើង CH = Hឃ=៣.
ចម្លើយ 3.
ភារកិច្ចសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ។
- ∠ BDA = 40° និង ∠ BDC=30°។ ស្វែងរកមុំ ABD ។ ផ្តល់ចម្លើយរបស់អ្នកជាដឺក្រេ។
- នៅក្នុង trapeze មួយ។ ABCDវាត្រូវបានគេស្គាល់ថា AB=ស៊ីឌី, ∠ BDA=45° និង ∠ bdc=23° ស្វែងរកមុំមួយ។ ABD. ផ្តល់ចម្លើយរបស់អ្នកជាដឺក្រេ។
- នៅក្នុង trapezoid ABCD យើងដឹងថា AB=CD,∠ BDA = 49° និង ∠ BDC=31°។ ស្វែងរកមុំ ABD ។ ផ្តល់ចម្លើយរបស់អ្នកជាដឺក្រេ។
- មូលដ្ឋាននៃ isosceles trapezoid គឺ 7 និង 13, ចំហៀងគឺ 5. រកកម្ពស់នៃ trapezoid នេះ។
- មូលដ្ឋាននៃ isosceles trapezoid គឺ 11 និង 21, ចំហៀងគឺ 13. រកកម្ពស់នៃ trapezoid នេះ។
- មូលដ្ឋាននៃ trapezoid គឺ 10 និង 20, ផ្នែកក្រោយ, ស្មើ 8, បង្កើតជាមុំនៃ 150 °ជាមួយនឹងមួយនៃមូលដ្ឋាននៃ trapezoid នេះ។ ស្វែងរកតំបន់នៃ trapezoid នេះ។
- នៅក្នុង isosceles trapezoid មួយក្នុងចំនោមគោលគឺ 5 និងមួយទៀតគឺ 9. កំពស់នៃ trapezoid គឺ 6. រកតង់សង់នៃមុំស្រួចនៃ trapezoid ។
- នៅក្នុងរាងចតុកោណកែងABCឃជាមួយនឹងមូលដ្ឋាន ព្រះអាទិត្យនិង ប៉ុន្តែឃការចាក់ថ្នាំ អេADត្រង់, AB=8, ព្រះអាទិត្យ=ស៊ីឌី=១០. ស្វែងរកបន្ទាត់កណ្តាលនៃ trapezoid ។
- នៅក្នុងរាងចតុកោណកែងABC ឃ ជាមួយនឹងមូលដ្ឋាន ព្រះអាទិត្យ និង ប៉ុន្តែ ឃ ការចាក់ថ្នាំ អេ AD ត្រង់, AB = 15 , ព្រះអាទិត្យ = ស៊ីឌី = 17 . ស្វែងរកបន្ទាត់កណ្តាលនៃ trapezoid ។
- នៅក្នុងរាងចតុកោណកែង គោលមាន 3 និង 5 ហើយមុំមួយគឺ 135°។ ស្វែងរកផ្នែកតូចជាង។
