ពិចារណាបញ្ហានៃការកំណត់ប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសទៅគុណម៉ាទ្រីស។
ឲ្យ A ជាម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ n. ម៉ាទ្រីស A^(-1) ដែលរួមជាមួយម៉ាទ្រីស A ដែលបានផ្តល់ឱ្យបំពេញសមភាពដូចខាងក្រោម៖
A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,
បានហៅ បញ្ច្រាស. ម៉ាទ្រីស A ត្រូវបានគេហៅថា អាចបញ្ច្រាស់បាន។ប្រសិនបើមានការបញ្ច្រាសសម្រាប់វា បើមិនដូច្នេះទេ - មិនអាចត្រឡប់វិញបាន។.
វាធ្វើតាមនិយមន័យដែលថាប្រសិនបើម៉ាទ្រីសច្រាស A^(-1) មាន នោះវាជាការ៉េនៃលំដាប់ដូចគ្នានឹង A ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ មិនមែនគ្រប់ម៉ាទ្រីសការ៉េសុទ្ធតែមានបញ្ច្រាសទេ។ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A គឺស្មើនឹងសូន្យ (\det(A)=0) នោះគ្មានការបញ្ច្រាសសម្រាប់វាទេ។ ជាការពិត ការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទលើកត្តាកំណត់នៃផលិតផលនៃម៉ាទ្រីសសម្រាប់ម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ E=A^(-1)A យើងទទួលបានភាពផ្ទុយគ្នា
\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0
ដោយសារកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណគឺស្មើនឹង 1. វាប្រែថាភាពខុសគ្នាពីសូន្យនៃកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េគឺជាលក្ខខណ្ឌតែមួយគត់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ សូមចាំថាម៉ាទ្រីសការ៉េដែលមានកត្តាកំណត់ស្មើនឹងសូន្យត្រូវបានគេហៅថា degenerate (ឯកវចនៈ) បើមិនដូច្នេះទេ - មិនឯកវចនៈ (មិនមែនឯកវចនៈ) ។
ទ្រឹស្តីបទ ៤.១ ស្តីពីអត្ថិភាព និងភាពប្លែកនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ម៉ាទ្រីសការ៉េ A=\begin(pmatrix)a_(11)&\cdots&a_(1n)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_(n1)&\cdots&a_(nn) \end(pmatrix)កត្តាកំណត់ដែលមិនមែនជាសូន្យ មានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស ហើយលើសពីនេះទៅទៀត មានតែមួយ៖
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),
ដែល A^(+) គឺជាម៉ាទ្រីសដែលត្រូវបានបំប្លែងសម្រាប់ម៉ាទ្រីសដែលផ្សំឡើងដោយការបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុនៃម៉ាទ្រីស A ។
ម៉ាទ្រីស A^(+) ត្រូវបានគេហៅថា ម៉ាទ្រីសភ្ជាប់ទាក់ទងនឹងម៉ាទ្រីស A ។
ជាការពិតម៉ាទ្រីស \frac(1)(\det(A))\,A^(+)មាននៅក្រោមលក្ខខណ្ឌ \det(A)\ne0 ។ យើងត្រូវបង្ហាញថាវាបញ្ច្រាស់ទៅ A , i.e. បំពេញលក្ខខណ្ឌពីរ៖
\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(aligned)
ចូរយើងបង្ហាញពីសមភាពដំបូង។ យោងតាមធាតុទី 4 នៃចំណាំ 2.3 វាធ្វើតាមពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់នោះ។ AA^(+)=\det(A)\cdot E. ដូច្នេះ
A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=\frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,
ដែលត្រូវបង្ហាញ។ សមភាពទីពីរត្រូវបានបង្ហាញស្រដៀងគ្នា។ ដូច្នេះ នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌ \det(A)\ne0 ម៉ាទ្រីស A មានច្រាស
A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)។
យើងបង្ហាញពីភាពប្លែកនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយភាពផ្ទុយគ្នា។ សូមឱ្យក្រៅពីម៉ាទ្រីស A^(-1) មានម៉ាទ្រីសច្រាសមួយទៀត B\,(B\ne A^(-1)) ដូចនោះ AB=E ។ ការគុណភាគីទាំងពីរនៃសមភាពនេះនៅខាងឆ្វេងដោយម៉ាទ្រីស A^(-1) យើងទទួលបាន \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. ដូច្នេះ B=A^(-1) ដែលផ្ទុយនឹងការសន្មត់ B\ne A^(-1) ។ ដូច្នេះម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺមានតែមួយគត់។
សុន្ទរកថា 4.1
1. វាធ្វើតាមនិយមន័យដែលម៉ាទ្រីស A និង A^(-1) អាចផ្លាស់ប្តូរបាន។
2. ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសទៅអង្កត់ទ្រូងដែលមិនខូចទ្រង់ទ្រាយមួយក៏ជាអង្កត់ទ្រូងដែរ៖
\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\right)\!។
3. ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសទៅម៉ាទ្រីសរាងត្រីកោណខាងក្រោមដែលមិនខូចឈ្មោះជាត្រីកោណខាងក្រោម (ខាងលើ)។
4. Elementary matrices មាន inverses ដែលជាបឋមផងដែរ (សូមមើល item 1 of Remarks 1.11)។
លក្ខណៈសម្បត្តិម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស
ប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសម៉ាទ្រីសមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ
\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ bold(5.)&~~ E^(-1)=E\, ។ \end(តម្រឹម)
ប្រសិនបើប្រតិបត្តិការដែលបានចង្អុលបង្ហាញនៅក្នុងសមភាព 1-4 មានន័យ។
ចូរបង្ហាញទ្រព្យសម្បត្តិ ២៖ ប្រសិនបើផលិតផល AB នៃម៉ាទ្រីសការ៉េដែលមិនមែនជាឯកវចនៈនៃលំដាប់ដូចគ្នាមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនោះ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).
ជាការពិតណាស់ កត្តាកំណត់នៃផលិតផលនៃម៉ាទ្រីស AB គឺមិនស្មើនឹងសូន្យទេ ចាប់តាំងពី
\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B)កន្លែងណា \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0
ដូច្នេះម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស (AB)^(-1) មានហើយមានតែមួយ។ ចូរយើងបង្ហាញតាមនិយមន័យថាម៉ាទ្រីស B^(-1)A^(-1) គឺបញ្ច្រាស់ដោយគោរពតាមម៉ាទ្រីស AB ។ ពិត។
និយមន័យ ១៖ម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេហៅថា degenerate ប្រសិនបើកត្តាកំណត់របស់វាគឺសូន្យ។
និយមន័យ ២៖ម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេហៅថាមិនមែនឯកវចនៈ ប្រសិនបើកត្តាកំណត់របស់វាមិនស្មើនឹងសូន្យ។
ម៉ាទ្រីស "A" ត្រូវបានគេហៅថា ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌ A*A-1 = A-1 * A = E (ម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ) ត្រូវបានពេញចិត្ត។
ម៉ាទ្រីសការ៉េគឺអាចដាក់បញ្ច្រាសបានលុះត្រាតែវាមិនឯកវចនៈ។
គ្រោងការណ៍សម្រាប់គណនាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖
1) គណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស "A" ប្រសិនបើ ∆ A = 0 បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមិនមានទេ។
2) ស្វែងរកការបន្ថែមពិជគណិតទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីស "A" ។
3) តែងម៉ាទ្រីសនៃការបន្ថែមពិជគណិត (Aij)
4) ផ្ទេរម៉ាទ្រីសនៃការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត (Aij)T
5) គុណម៉ាទ្រីសបំប្លែងដោយច្រាសនៃកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនេះ។
6) ដំណើរការការត្រួតពិនិត្យ:
នៅ glance ដំបូងវាហាក់ដូចជាថាវាពិបាកប៉ុន្តែការពិតអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញណាស់។ ដំណោះស្រាយទាំងអស់គឺផ្អែកលើប្រតិបត្តិការនព្វន្ធសាមញ្ញ រឿងសំខាន់នៅពេលដោះស្រាយគឺមិនត្រូវច្រឡំជាមួយសញ្ញា "-" និង "+" ហើយមិនត្រូវបាត់បង់ពួកវាឡើយ។
ហើយឥឡូវនេះ ចូរយើងដោះស្រាយកិច្ចការជាក់ស្តែងរួមគ្នាជាមួយអ្នកដោយគណនាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។
កិច្ចការ៖ ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស "A" ដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាពខាងក្រោម៖
1. រឿងដំបូងដែលត្រូវធ្វើគឺស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស "A"៖
ការពន្យល់៖
យើងបានសម្រួលការកំណត់របស់យើងដោយប្រើមុខងារចម្បងរបស់វា។ ដំបូងយើងបានបន្ថែមធាតុនៃជួរទីមួយទៅជួរទី 2 និងទី 3 ដោយគុណនឹងលេខមួយ។
ទីពីរ យើងបានផ្លាស់ប្តូរសសរទី 2 និងទី 3 នៃកត្តាកំណត់ ហើយយោងទៅតាមលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា យើងបានផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅពីមុខវា។
ទីបី យើងដកកត្តារួម (-1) នៃជួរទីពីរ ដោយហេតុនេះផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាម្តងទៀត ហើយវាបានក្លាយជាវិជ្ជមាន។ យើងក៏បានធ្វើឱ្យសាមញ្ញនូវបន្ទាត់ទី 3 ដូចគ្នានឹងនៅដើមដំបូងនៃឧទាហរណ៍។
យើងមានកត្តាកំណត់រាងត្រីកោណ ដែលធាតុនៅខាងក្រោមអង្កត់ទ្រូងស្មើនឹងសូន្យ ហើយដោយទ្រព្យសម្បត្តិ 7 វាស្មើនឹងផលគុណនៃធាតុអង្កត់ទ្រូង។ ជាលទ្ធផលយើងទទួលបាន ∆ A = 26 ដូច្នេះម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមាន។
A11 = 1 * (3 + 1) = 4
A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11
A13 = 1 * 1 = 1
A21 = -1*(-6) = 6
A22 = 1 * (3-0) = 3
A23 = -1 * (1 + 4) = -5
A31 = 1 * 2 = 2
A32 = -1 * (-1) = -1
A33 = 1+(1+6) = 7
3. ជំហានបន្ទាប់គឺត្រូវចងក្រងម៉ាទ្រីសពីការបន្ថែមលទ្ធផល៖
5. យើងគុណម៉ាទ្រីសនេះដោយចំរាស់នៃកត្តាកំណត់ នោះគឺដោយ 1/26៖
6. ឥឡូវនេះ យើងគ្រាន់តែត្រូវពិនិត្យមើល៖
ក្នុងអំឡុងពេលផ្ទៀងផ្ទាត់ យើងបានទទួលម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ ដូច្នេះការសម្រេចចិត្តត្រូវបានធ្វើឡើងយ៉ាងត្រឹមត្រូវ។
2 វិធីដើម្បីគណនាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។
1. ការផ្លាស់ប្តូរបឋមនៃម៉ាទ្រីស
2. ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសតាមរយៈកម្មវិធីបម្លែងបឋម។
ការបំប្លែងម៉ាទ្រីសបឋមរួមមានៈ
1. គុណលេខមួយដោយលេខមិនសូន្យ។
2. ការបន្ថែមទៅបន្ទាត់ណាមួយនៃបន្ទាត់ផ្សេងទៀត គុណនឹងចំនួនមួយ។
3. ការប្តូរជួរដេកនៃម៉ាទ្រីស។
4. ការអនុវត្តខ្សែសង្វាក់នៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសមួយទៀត។
ប៉ុន្តែ -1 = ?
1. (A|E) ~ (E|A -1 )
2. ក -1*A=E
សូមក្រឡេកមើលរឿងនេះក្នុងឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែងជាមួយចំនួនពិត។
លំហាត់ប្រាណ៖ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។
ការសម្រេចចិត្ត៖
តោះពិនិត្យ៖
ការបញ្ជាក់បន្តិចអំពីដំណោះស្រាយ៖
ដំបូងយើងប្តូរជួរទី 1 និងទី 2 នៃម៉ាទ្រីស បន្ទាប់មកយើងគុណជួរទីមួយដោយ (-1) ។
បន្ទាប់ពីនោះជួរទីមួយត្រូវបានគុណនឹង (-2) ហើយបន្ថែមទៅជួរទីពីរនៃម៉ាទ្រីស។ បន្ទាប់មកយើងគុណជួរទី 2 ដោយ 1/4 ។
ដំណាក់កាលចុងក្រោយនៃការផ្លាស់ប្តូរគឺការគុណជួរទីពីរដោយ 2 និងការបន្ថែមពីទីមួយ។ ជាលទ្ធផលយើងមានម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណនៅខាងឆ្វេង ដូច្នេះម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺជាម៉ាទ្រីសនៅខាងស្តាំ។
បន្ទាប់ពីពិនិត្យរួច យើងជឿជាក់លើភាពត្រឹមត្រូវនៃដំណោះស្រាយ។
ដូចដែលអ្នកអាចឃើញការគណនាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺសាមញ្ញណាស់។
ក្នុងការបញ្ចប់ការបង្រៀននេះ ខ្ញុំក៏ចង់លះបង់ពេលវេលាខ្លះទៅលើលក្ខណៈនៃម៉ាទ្រីសបែបនេះ។
ម៉ាទ្រីស $A^(-1)$ ត្រូវបានគេហៅថា បញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីសការ៉េ $A$ ប្រសិនបើ $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ ដែល $E $ គឺជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ លំដាប់ដែលស្មើនឹងលំដាប់នៃម៉ាទ្រីស $A$ ។
ម៉ាទ្រីសមិនឯកវចនៈ គឺជាម៉ាទ្រីសដែលកត្តាកំណត់មិនស្មើនឹងសូន្យ។ ដូច្នោះហើយ ម៉ាទ្រីស degenerate គឺជាកត្តាកំណត់ដែលស្មើនឹងសូន្យ។
ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស $A^(-1)$ មានប្រសិនបើម៉ាទ្រីស $A$ មិនឯកវចនៈ។ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស $A^(-1)$ មាន នោះវាមានតែមួយគត់។
មានវិធីជាច្រើនដើម្បីស្វែងរកការបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស ហើយយើងនឹងមើលពីរក្នុងចំណោមពួកគេ។ ទំព័រនេះនឹងពិភាក្សាអំពីវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសជាប់គ្នា ដែលត្រូវបានចាត់ទុកថាជាស្តង់ដារនៅក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់បំផុត។ វិធីទីពីរដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស (វិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម) ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងការប្រើប្រាស់វិធីសាស្ត្រ Gauss ឬវិធីសាស្ត្រ Gauss-Jordan ត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងផ្នែកទីពីរ។
វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីសភ្ជាប់ (សហជីព)
អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស $A_(n\times n)$ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស $A^(-1)$ ត្រូវការបីជំហាន៖
- ស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស $A$ ហើយត្រូវប្រាកដថា $\Delta A\neq 0$, i.e. ថាម៉ាទ្រីស A មិនខូចទ្រង់ទ្រាយ។
- តែងបន្ថែមពិជគណិត $A_(ij)$ នៃធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីស $A$ ហើយសរសេរម៉ាទ្រីស $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ ពីការរកឃើញ ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត។
- សរសេរម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយគិតគូរពីរូបមន្ត $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ ។
ម៉ាទ្រីស $(A^(*))^T$ ត្រូវបានគេសំដៅជាញឹកញាប់ថាជាម៉ាទ្រីស adjoint (mutual, allied) នៃ $A$ ។
ប្រសិនបើការសម្រេចចិត្តត្រូវបានធ្វើឡើងដោយដៃ នោះវិធីសាស្ត្រទីមួយគឺល្អសម្រាប់តែម៉ាទ្រីសនៃការបញ្ជាទិញតិចតួចប៉ុណ្ណោះ៖ ទីពីរ (), ទីបី (), ទីបួន () ។ ដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសសម្រាប់ម៉ាទ្រីសលំដាប់ខ្ពស់ជាង វិធីសាស្ត្រផ្សេងទៀតត្រូវបានប្រើ។ ឧទាហរណ៍វិធីសាស្រ្ត Gauss ដែលត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែកទីពីរ។
ឧទាហរណ៍ #1
រកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសទៅម៉ាទ្រីស $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 & 4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$ ។
ដោយសារធាតុទាំងអស់នៃជួរទីបួនស្មើនឹងសូន្យ នោះ $\Delta A=0$ (ឧ. ម៉ាទ្រីស $A$ គឺ degenerate)។ ចាប់តាំងពី $\Delta A=0$ មិនមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសទៅ $A$ ទេ។
ឧទាហរណ៍ #2
រកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសទៅម៉ាទ្រីស $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$ ។
យើងប្រើវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសជាប់គ្នា។ ដំបូង ចូរយើងស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យ $A$៖
$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103។ $$
ចាប់តាំងពី $\Delta A \neq 0$ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមាន ដូច្នេះយើងបន្តដំណោះស្រាយ។ ស្វែងរកការបន្ថែមពិជគណិត
\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(តម្រឹម)
តែងម៉ាទ្រីសនៃការបន្ថែមពិជគណិត៖ $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$។
ផ្ទេរម៉ាទ្រីសលទ្ធផល៖ $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (លទ្ធផល ម៉ាទ្រីសជារឿយៗត្រូវបានគេហៅថា adjoint ឬ union matrix to the matrix $A$) ។ ដោយប្រើរូបមន្ត $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ យើងមាន៖
$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$
ដូច្នេះម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានរកឃើញ៖ $A^(-1)=\left(\begin(array)(cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \ ត្រូវ) $ ។ ដើម្បីពិនិត្យមើលការពិតនៃលទ្ធផល វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពិនិត្យមើលការពិតនៃសមភាពមួយ៖ $A^(-1)\cdot A=E$ ឬ $A\cdot A^(-1)=E$ ។ តោះពិនិត្យមើលសមភាព $A^(-1)\cdot A=E$ ។ ដើម្បីធ្វើការតិចជាមួយប្រភាគ យើងនឹងជំនួសម៉ាទ្រីស $A^(-1)$ មិនមែនក្នុងទម្រង់ $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\ 9/103 & 5/103 \ end(អារេ)\right)$ ប៉ុន្តែជា $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \\ បញ្ចប់(អារេ)\right)$:
ចម្លើយ៖ $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$ ។
ឧទាហរណ៍ #3
ស្វែងរកការបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \\right)$ ។
ចូរចាប់ផ្តើមដោយការគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស $A$ ។ ដូច្នេះ កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស $A$ គឺ៖
$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26 ។ $$
ចាប់តាំងពី $\Delta A\neq 0$ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមាន ដូច្នេះយើងបន្តដំណោះស្រាយ។ យើងរកឃើញការបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖
យើងចងក្រងម៉ាទ្រីសនៃការបន្ថែមពិជគណិត ហើយបកប្រែវា៖
$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \\ right) $$
ដោយប្រើរូបមន្ត $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ យើងទទួលបាន៖
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$
ដូច្នេះ $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - ៦ /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ ។ ដើម្បីពិនិត្យមើលការពិតនៃលទ្ធផល វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពិនិត្យមើលការពិតនៃសមភាពមួយ៖ $A^(-1)\cdot A=E$ ឬ $A\cdot A^(-1)=E$ ។ តោះពិនិត្យមើលសមភាព $A\cdot A^(-1)=E$ ។ ដើម្បីធ្វើការតិចជាមួយប្រភាគ យើងនឹងជំនួសម៉ាទ្រីស $A^(-1)$ មិនមែនក្នុងទម្រង់ $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ ប៉ុន្តែជា $\frac(1)(26)\ cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \\right)$:
ការត្រួតពិនិត្យត្រូវបានឆ្លងកាត់ដោយជោគជ័យ ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស $A^(-1)$ ត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។
ចម្លើយ៖ $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ ។
ឧទាហរណ៍ #4
ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនៃ $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array)\right)$ ។
សម្រាប់ម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ទីបួន ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយប្រើការបន្ថែមពិជគណិតគឺពិបាកបន្តិច។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយឧទាហរណ៍បែបនេះត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងការងារត្រួតពិនិត្យ។
ដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស ជាដំបូងអ្នកត្រូវគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស $A$ ។ មធ្យោបាយដ៏ល្អបំផុតដើម្បីធ្វើដូច្នេះក្នុងស្ថានភាពនេះគឺដើម្បីពង្រីកកត្តាកំណត់ក្នុងជួរដេកមួយ (ជួរឈរ) ។ យើងជ្រើសរើសជួរ ឬជួរឈរណាមួយ ហើយស្វែងរកការបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុនីមួយៗនៃជួរ ឬជួរឈរដែលបានជ្រើសរើស។
ជាធម្មតា ប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាសត្រូវបានប្រើ ដើម្បីសម្រួលកន្សោមពិជគណិតស្មុគ្រស្មាញ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើបញ្ហាមានប្រតិបត្តិការនៃការបែងចែកដោយប្រភាគ អ្នកអាចជំនួសវាដោយប្រតិបត្តិការគុណនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក ដែលជាប្រតិបត្តិការបញ្ច្រាស។ លើសពីនេះទៅទៀត ម៉ាទ្រីសមិនអាចបែងចែកបានទេ ដូច្នេះអ្នកត្រូវគុណនឹងម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ការគណនាបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស 3x3 គឺគួរឱ្យធុញទ្រាន់ណាស់ ប៉ុន្តែអ្នកត្រូវមានលទ្ធភាពធ្វើវាដោយដៃ។ អ្នកក៏អាចរកឃើញចំរាស់ជាមួយនឹងម៉ាស៊ីនគិតលេខក្រាហ្វិចល្អ។
ជំហាន
ដោយប្រើម៉ាទ្រីសភ្ជាប់
ផ្ទេរម៉ាទ្រីសដើម។ Transposition គឺជាការជំនួសជួរដេកជាមួយជួរឈរដែលទាក់ទងនឹងអង្កត់ទ្រូងសំខាន់នៃម៉ាទ្រីស ពោលគឺអ្នកត្រូវប្តូរធាតុ (i, j) និង (j, i)។ ក្នុងករណីនេះធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងសំខាន់ (ចាប់ផ្តើមនៅជ្រុងខាងឆ្វេងខាងលើនិងបញ្ចប់នៅជ្រុងខាងស្តាំខាងក្រោម) មិនផ្លាស់ប្តូរទេ។
- ដើម្បីប្តូរជួរដេកសម្រាប់ជួរឈរ សូមសរសេរធាតុនៃជួរទីមួយក្នុងជួរទីមួយ ធាតុនៃជួរទីពីរនៅក្នុងជួរទីពីរ និងធាតុនៃជួរទីបីនៅក្នុងជួរទីបី។ លំដាប់នៃការផ្លាស់ប្តូរទីតាំងនៃធាតុត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភាពដែលក្នុងនោះធាតុដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានគូសរង្វង់ដោយរង្វង់ពណ៌។
ស្វែងរកនិយមន័យនៃម៉ាទ្រីស 2x2 នីមួយៗ។ធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសណាមួយ រួមទាំងធាតុដែលបានចម្លង ត្រូវបានភ្ជាប់ជាមួយម៉ាទ្រីស 2x2 ដែលត្រូវគ្នា។ ដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីស 2x2 ដែលត្រូវគ្នានឹងធាតុជាក់លាក់មួយ សូមកាត់ជួរដេក និងជួរឈរដែលធាតុនេះស្ថិតនៅ ពោលគឺអ្នកត្រូវកាត់ចេញធាតុប្រាំនៃម៉ាទ្រីស 3x3 ដើម។ ធាតុទាំងបួនដែលជាធាតុនៃម៉ាទ្រីស 2x2 ដែលត្រូវគ្នានឹងនៅតែមិនអាចឆ្លងកាត់បាន។
- ឧទាហរណ៍ ដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីស 2x2 សម្រាប់ធាតុដែលមានទីតាំងនៅចំនុចប្រសព្វនៃជួរទីពីរ និងជួរទីមួយ សូមកាត់ចេញធាតុទាំងប្រាំដែលមាននៅក្នុងជួរទីពីរ និងជួរទីមួយ។ ធាតុទាំងបួនដែលនៅសល់គឺជាធាតុនៃម៉ាទ្រីស 2x2 ដែលត្រូវគ្នា។
- ស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស 2x2 នីមួយៗ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះដកផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងបន្ទាប់បន្សំពីផលិតផលនៃធាតុនៃអង្កត់ទ្រូងសំខាន់ (មើលរូបភាព) ។
- ព័ត៌មានលំអិតអំពីម៉ាទ្រីស 2x2 ដែលត្រូវនឹងធាតុមួយចំនួននៃម៉ាទ្រីស 3x3 អាចរកបាននៅលើអ៊ីនធឺណិត។
បង្កើតម៉ាទ្រីសនៃ cofactors ។កត់ត្រាលទ្ធផលដែលទទួលបានពីមុនជាទម្រង់ម៉ាទ្រីសថ្មីនៃ cofactors ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះសរសេរកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស 2x2 នីមួយៗដែលធាតុដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីស 3x3 ស្ថិតនៅ។ ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស 2x2 ត្រូវបានគេពិចារណាសម្រាប់ធាតុ (1,1) សូមសរសេរកត្តាកំណត់របស់វានៅក្នុងទីតាំង (1,1)។ បន្ទាប់មកផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃធាតុដែលត្រូវគ្នាដោយយោងទៅតាមគំរូជាក់លាក់មួយដែលត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភាព។
- គ្រោងការណ៍នៃការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា: សញ្ញានៃធាតុដំបូងនៃបន្ទាត់ទីមួយមិនផ្លាស់ប្តូរ; សញ្ញានៃធាតុទីពីរនៃបន្ទាត់ទីមួយត្រូវបានបញ្ច្រាស់; សញ្ញានៃធាតុទីបីនៃបន្ទាត់ទីមួយមិនផ្លាស់ប្តូរទេហើយដូច្នេះនៅលើបន្ទាត់ដោយបន្ទាត់។ សូមចំណាំថាសញ្ញា "+" និង "-" ដែលត្រូវបានបង្ហាញក្នុងដ្យាក្រាម (សូមមើលរូប) មិនបង្ហាញថាធាតុដែលត្រូវគ្នានឹងវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមានទេ។ ក្នុងករណីនេះសញ្ញា "+" បង្ហាញថាសញ្ញានៃធាតុមិនផ្លាស់ប្តូរហើយសញ្ញា "-" បង្ហាញថាសញ្ញានៃធាតុបានផ្លាស់ប្តូរ។
- ព័ត៌មានលំអិតអំពី cofactor matrices អាចរកបាននៅលើអ៊ីនធឺណិត។
- នេះជារបៀបដែលអ្នករកឃើញម៉ាទ្រីសដែលពាក់ព័ន្ធនៃម៉ាទ្រីសដើម។ ជួនកាលវាត្រូវបានគេហៅថា ម៉ាទ្រីស conjugate ស្មុគស្មាញ។ ម៉ាទ្រីសបែបនេះត្រូវបានសម្គាល់ថា adj (M) ។
ចែកធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសជាប់គ្នាដោយកត្តាកំណត់។កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស M ត្រូវបានគណនានៅដើមដំបូង ដើម្បីពិនិត្យមើលថាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមាន។ ឥឡូវបែងចែកធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសជាប់គ្នាដោយកត្តាកំណត់នេះ។ កត់ត្រាលទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការផ្នែកនីមួយៗ ដែលធាតុដែលត្រូវគ្នាស្ថិតនៅ។ ដូច្នេះអ្នកនឹងរកឃើញម៉ាទ្រីស, បញ្ច្រាសនៃដើម។
- កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដែលបង្ហាញក្នុងរូបគឺ 1។ ដូច្នេះម៉ាទ្រីសដែលជាប់ទាក់ទងនៅទីនេះគឺជាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស (ព្រោះការបែងចែកលេខណាមួយដោយ 1 មិនផ្លាស់ប្តូរវាទេ)។
- នៅក្នុងប្រភពមួយចំនួន ប្រតិបត្តិការចែកត្រូវបានជំនួសដោយប្រតិបត្តិការគុណដោយ 1/det(M)។ ក្នុងករណីនេះលទ្ធផលចុងក្រោយមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។
សរសេរម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។សរសេរធាតុដែលមានទីតាំងនៅពាក់កណ្តាលខាងស្តាំនៃម៉ាទ្រីសធំជាម៉ាទ្រីសដាច់ដោយឡែកដែលជាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។
បញ្ចូលម៉ាទ្រីសដើមទៅក្នុងអង្គចងចាំរបស់ម៉ាស៊ីនគិតលេខ។ដើម្បីធ្វើដូចនេះចុចប៊ូតុងម៉ាទ្រីសប្រសិនបើមាន។ សម្រាប់ម៉ាស៊ីនគិតលេខ Texas Instruments អ្នកប្រហែលជាត្រូវចុចប៊ូតុង 2nd និង Matrix។
ជ្រើសរើសម៉ឺនុយកែសម្រួល។ធ្វើដូចនេះដោយប្រើប៊ូតុងព្រួញ ឬប៊ូតុងមុខងារដែលត្រូវគ្នាដែលមានទីតាំងនៅផ្នែកខាងលើនៃក្តារចុចរបស់ម៉ាស៊ីនគិតលេខ (ទីតាំងរបស់ប៊ូតុងអាស្រ័យលើម៉ូដែលម៉ាស៊ីនគិតលេខ)។
បញ្ចូលការកំណត់ម៉ាទ្រីស។ម៉ាស៊ីនគិតលេខក្រាហ្វិកភាគច្រើនអាចធ្វើការជាមួយម៉ាទ្រីស 3-10 ដែលអាចត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ A-J ។ តាមក្បួនទូទៅ គ្រាន់តែជ្រើសរើស [A] ដើម្បីសម្គាល់ម៉ាទ្រីសដើម។ បន្ទាប់មកចុចប៊ូតុង Enter ។
បញ្ចូលទំហំម៉ាទ្រីស។អត្ថបទនេះនិយាយអំពីម៉ាទ្រីស 3x3 ។ ប៉ុន្តែម៉ាស៊ីនគិតលេខក្រាហ្វិកអាចធ្វើការជាមួយម៉ាទ្រីសធំ។ បញ្ចូលចំនួនជួរដេក ចុចប៊ូតុង បញ្ចូល បន្ទាប់មកបញ្ចូលចំនួនជួរ ហើយចុចប៊ូតុង បញ្ចូលម្តងទៀត។
បញ្ចូលធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីស។ម៉ាទ្រីសមួយនឹងត្រូវបានបង្ហាញនៅលើអេក្រង់ម៉ាស៊ីនគិតលេខ។ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសមួយត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងម៉ាស៊ីនគិតលេខពីមុន វានឹងបង្ហាញនៅលើអេក្រង់។ ទស្សន៍ទ្រនិចនឹងបន្លិចធាតុទីមួយនៃម៉ាទ្រីស។ បញ្ចូលតម្លៃនៃធាតុទីមួយហើយចុច Enter ។ ទស្សន៍ទ្រនិចនឹងផ្លាស់ទីដោយស្វ័យប្រវត្តិទៅធាតុបន្ទាប់នៃម៉ាទ្រីស។
ម៉ាទ្រីស A -1 ត្រូវបានគេហៅថាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយគោរពតាមម៉ាទ្រីស A ប្រសិនបើ A * A -1 \u003d E ដែល E គឺជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណនៃលំដាប់ទី 9 ។ ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសអាចមានសម្រាប់តែម៉ាទ្រីសការ៉េប៉ុណ្ណោះ។
ការផ្តល់សេវា. ដោយប្រើសេវាកម្មនេះតាមអ៊ីនធឺណិត អ្នកអាចស្វែងរកការបន្ថែមពិជគណិត ម៉ាទ្រីសបំប្លែង A T ម៉ាទ្រីសសហជីព និងម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ដំណោះស្រាយត្រូវបានអនុវត្តដោយផ្ទាល់នៅលើគេហទំព័រ (អនឡាញ) និងឥតគិតថ្លៃ។ លទ្ធផលគណនាត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរបាយការណ៍ជាទម្រង់ Word និងក្នុងទម្រង់ Excel (នោះគឺអាចពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយ)។ សូមមើលឧទាហរណ៍ការរចនា។
ការណែនាំ។ ដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយ អ្នកត្រូវតែបញ្ជាក់វិមាត្រនៃម៉ាទ្រីស។ បន្ទាប់មក នៅក្នុងប្រអប់ថ្មី សូមបំពេញម៉ាទ្រីស A ។
សូមមើលផងដែរ Inverse Matrix ដោយ Jordan-Gauss Method
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស
- ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបំប្លែង A T ។
- និយមន័យនៃការបន្ថែមពិជគណិត។ ជំនួសធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសជាមួយនឹងការបន្ថែមពិជគណិតរបស់វា។
- ការចងក្រងម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសពីការបន្ថែមពិជគណិតៈ ធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផលត្រូវបានបែងចែកដោយកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដើម។ ម៉ាទ្រីសលទ្ធផលគឺជាការបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីសដើម។
- កំណត់ថាតើម៉ាទ្រីសគឺការ៉េ។ ប្រសិនបើមិនមែនទេ នោះមិនមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសសម្រាប់វាទេ។
- ការគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A ។ ប្រសិនបើវាមិនស្មើនឹងសូន្យទេ យើងបន្តដំណោះស្រាយ បើមិនដូច្នេះទេ ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមិនមានទេ។
- និយមន័យនៃការបន្ថែមពិជគណិត។
- ការបំពេញនៅក្នុងសហជីព (ទៅវិញទៅមក, ជាប់គ្នា) ម៉ាទ្រីស C ។
- ការចងក្រងម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសពីការបន្ថែមពិជគណិតៈ ធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសជាប់ C ត្រូវបានបែងចែកដោយកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដើម។ ម៉ាទ្រីសលទ្ធផលគឺជាការបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីសដើម។
- ធ្វើការពិនិត្យ៖ គុណលេខដើម និងលទ្ធផលម៉ាទ្រីស។ លទ្ធផលគួរតែជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ។
ឧទាហរណ៍ #1 ។ យើងសរសេរម៉ាទ្រីសក្នុងទម្រង់៖
ការបន្ថែមពិជគណិត។
| A 1.1 = (-1) 1+1 |
|
∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
|
∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4
| A 1.3 = (-1) 1+3 |
|
∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8
| A 2.1 = (-1) 2+1 |
|
∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7
| A 2.2 = (-1) 2+2 |
|
∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2
| A 2.3 = (-1) 2+3 |
|
∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1
| A 3.1 = (−1) 3+1 |
|
∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1
| A 3.2 = (-1) 3+2 |
|
∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4
| A 3.3 = (-1) 3+3 |
|
∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
បន្ទាប់មក ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសអាចត្រូវបានសរសេរជា:
| ក -1 = 1/10 |
|
| ក -1 = |
|
ក្បួនដោះស្រាយមួយផ្សេងទៀតសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស
យើងបង្ហាញគ្រោងការណ៍មួយផ្សេងទៀតសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។- ស្វែងរកកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យ A ។
- យើងរកឃើញការបន្ថែមពិជគណិតទៅធាតុទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីស A ។
- យើងសរសេរការបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុនៃជួរដេកទៅក្នុងជួរឈរ (ការផ្លាស់ប្តូរ) ។
- យើងបែងចែកធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផលដោយកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A ។
ករណីពិសេសមួយ។៖ បញ្ច្រាសដោយគោរពតាមម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ E គឺជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ E ។
