សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។ ហៅថាសមីការដែលទាក់ទងនឹងអថេរឯករាជ្យ មុខងារមិនស្គាល់នៃអថេរនេះ និងនិស្សន្ទវត្ថុ (ឬឌីផេរ៉ង់ស្យែល) នៃលំដាប់ផ្សេងៗ។

លំដាប់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល គឺជាលំដាប់នៃដេរីវេខ្ពស់បំផុតដែលមាននៅក្នុងវា។

បន្ថែមពីលើធម្មតា សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលផ្នែកក៏ត្រូវបានសិក្សាផងដែរ។ ទាំងនេះគឺជាសមីការដែលទាក់ទងនឹងអថេរឯករាជ្យ ដែលជាមុខងារមិនស្គាល់នៃអថេរទាំងនេះ និងដេរីវេដោយផ្នែករបស់វាទាក់ទងនឹងអថេរដូចគ្នា។ ប៉ុន្តែយើងនឹងពិចារណាតែប៉ុណ្ណោះ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។ ដូច្នេះ​ហើយ យើង​នឹង​លុប​ចោល​ពាក្យ "ធម្មតា" សម្រាប់​ភាព​ខ្លី។

ឧទាហរណ៍នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖

(1) ;

(3) ;

(4) ;

សមីការ (១) ជាលំដាប់ទី៤ សមីការ (២) ជាលំដាប់ទី៣ សមីការ (៣) និង (៤) ជាលំដាប់ទីពីរ សមីការ (៥) ជាលំដាប់ទីមួយ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល នការបញ្ជាទិញមិនចាំបាច់មានមុខងារច្បាស់លាស់ទេ ដេរីវេរបស់វាទាំងអស់ពីដំបូងទៅ នលំដាប់ទី និងអថេរឯករាជ្យ។ វាអាចមិនមានយ៉ាងច្បាស់នូវដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញមួយចំនួន មុខងារមួយ អថេរឯករាជ្យ។

ឧទាហរណ៍ នៅក្នុងសមីការ (1) ច្បាស់ណាស់មិនមានដេរីវេនៃលំដាប់ទីបី និងទីពីរ ក៏ដូចជាមុខងារ។ នៅក្នុងសមីការ (2) - ដេរីវេនៃលំដាប់ទីពីរ និងមុខងារ; នៅក្នុងសមីការ (4) - អថេរឯករាជ្យ; នៅក្នុងសមីការ (5) - មុខងារ។ មានតែសមីការ (3) ជាក់លាក់ដែលមាននិស្សន្ទវត្ថុទាំងអស់ មុខងារ និងអថេរឯករាជ្យ។

ដោយការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល មុខងារណាមួយត្រូវបានគេហៅថា y = f(x)ជំនួសដែលទៅក្នុងសមីការ វាប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណ។

ដំណើរការនៃការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថារបស់វា។ ការរួមបញ្ចូល.

ឧទាហរណ៍ ១ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងសរសេរសមីការនេះក្នុងទម្រង់។ ដំណោះស្រាយគឺស្វែងរកមុខងារដោយដេរីវេរបស់វា។ មុខងារដើម ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ពីការគណនាអាំងតេក្រាល គឺជា antiderivative សម្រាប់ i.e.

នោះហើយជាអ្វីដែលវាគឺជា ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យ . ការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងវា។ គយើងនឹងទទួលបានដំណោះស្រាយផ្សេងៗគ្នា។ យើងបានរកឃើញថាមានដំណោះស្រាយមិនកំណត់ចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ។

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល នលំដាប់ទី គឺជាដំណោះស្រាយរបស់វាត្រូវបានបញ្ជាក់យ៉ាងច្បាស់ទាក់ទងនឹងមុខងារមិនស្គាល់ និងមានផ្ទុក នថេរបំពានឯករាជ្យ, i.e.

ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 គឺទូទៅ។

ដំណោះស្រាយផ្នែកនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដំណោះស្រាយរបស់វាត្រូវបានហៅ ដែលក្នុងនោះតម្លៃលេខជាក់លាក់ត្រូវបានកំណត់ទៅអថេរតាមអំពើចិត្ត។

ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយសម្រាប់ .

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងរួមបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដូចជាចំនួនដងដែលលំដាប់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលស្មើគ្នា។

,

.

ជាលទ្ធផលយើងទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅ -

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីបីដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ឥឡូវនេះចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលបានបញ្ជាក់។ ដើម្បី​ធ្វើ​ដូច្នេះ យើង​ជំនួស​តម្លៃ​របស់​វា​ជា​ជាង​មេគុណ​តាម​អំពើ​ចិត្ត និង​ទទួល​បាន

.

ប្រសិនបើបន្ថែមលើសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល លក្ខខណ្ឌដំបូងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់ នោះបញ្ហាបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា បញ្ហារសើប . តម្លៃ និងត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ ហើយតម្លៃនៃថេរដែលបំពានត្រូវបានរកឃើញ គហើយបន្ទាប់មកដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការសម្រាប់តម្លៃដែលបានរកឃើញ គ. នេះគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហា Cauchy ។

ឧទាហរណ៍ ៣ដោះស្រាយបញ្ហា Cauchy សម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលពីឧទាហរណ៍ទី 1 ក្រោមលក្ខខណ្ឌ។

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងជំនួសនៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅតម្លៃពីលក្ខខណ្ឌដំបូង y = 3, x= 1. យើងទទួលបាន

យើងសរសេរដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា Cauchy សម្រាប់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃលំដាប់ទីមួយ៖

ការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល សូម្បីតែរឿងសាមញ្ញបំផុត ទាមទារជំនាញល្អក្នុងការរួមបញ្ចូល និងទទួលយកនិស្សន្ទវត្ថុ រួមទាំងមុខងារស្មុគស្មាញ។ នេះអាចត្រូវបានគេមើលឃើញនៅក្នុងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ 4ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ការសម្រេចចិត្ត។ សមីការ​ត្រូវ​បាន​សរសេរ​ក្នុង​ទម្រង់​បែប​នេះ​ដែល​ភាគី​ទាំង​សងខាង​អាច​បញ្ចូល​គ្នា​ភ្លាមៗ។

.

យើងអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការរួមបញ្ចូលដោយការផ្លាស់ប្តូរអថេរ (ជំនួស) ។ អញ្ចឹង។

ទាមទារដើម្បីយក dxហើយឥឡូវនេះ - ការយកចិត្តទុកដាក់ - យើងធ្វើវាយោងទៅតាមច្បាប់នៃភាពខុសគ្នានៃមុខងារស្មុគស្មាញចាប់តាំងពី xហើយមានមុខងារស្មុគ្រស្មាញ ("ផ្លែប៉ោម" - ទាញយកឫសការ៉េឬដែលដូចគ្នា - បង្កើនថាមពល "មួយវិនាទី" និង "សាច់ minced" - ការបញ្ចេញមតិដោយខ្លួនឯងនៅក្រោមឫស):

យើងរកឃើញអាំងតេក្រាល៖

ត្រឡប់ទៅអថេរ x, យើង​ទទួល​បាន:

.

នេះគឺជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃដឺក្រេទីមួយ។

មិនត្រឹមតែជំនាញពីផ្នែកមុននៃគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ប៉ុណ្ណោះទេ នឹងត្រូវបានទាមទារក្នុងការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ប៉ុន្តែក៏មានជំនាញពីបឋមសិក្សាផងដែរ ពោលគឺគណិតវិទ្យាសាលា។ ដូចដែលបានបញ្ជាក់រួចមកហើយ នៅក្នុងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំដាប់ណាមួយ ប្រហែលជាមិនមានអថេរឯករាជ្យទេ នោះគឺជាអថេរ x. ចំនេះដឹងអំពីសមាមាត្រដែលមិនត្រូវបានគេបំភ្លេចចោល (ទោះជាយ៉ាងណានរណាម្នាក់មានវាចូលចិត្ត) ពីកៅអីសាលានឹងជួយដោះស្រាយបញ្ហានេះ។ នេះជាឧទាហរណ៍បន្ទាប់។

នៅក្នុងបញ្ហាមួយចំនួននៃរូបវិទ្យា ទំនាក់ទំនងផ្ទាល់រវាងបរិមាណដែលពិពណ៌នាអំពីដំណើរការនេះ មិនអាចបង្កើតឡើងបានទេ។ ប៉ុន្តែមានលទ្ធភាពដើម្បីទទួលបានសមភាពដែលមានដេរីវេនៃមុខងារដែលកំពុងសិក្សា។ នេះជារបៀបដែលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលកើតឡើង និងតម្រូវការដើម្បីដោះស្រាយពួកវាដើម្បីស្វែងរកមុខងារមិនស្គាល់មួយ។

អត្ថបទនេះត្រូវបានបម្រុងទុកសម្រាប់អ្នកដែលប្រឈមមុខនឹងបញ្ហានៃការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលមុខងារមិនស្គាល់គឺជាមុខងារនៃអថេរមួយ។ ទ្រឹស្តីត្រូវបានបង្កើតឡើងតាមរបៀបដែលការយល់ដឹងសូន្យនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល អ្នកអាចធ្វើការងាររបស់អ្នក។

ប្រភេទនីមួយៗនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងវិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយជាមួយនឹងការពន្យល់លម្អិត និងដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ និងបញ្ហាធម្មតា។ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវកំណត់ប្រភេទនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសម្រាប់បញ្ហារបស់អ្នក ស្វែងរកឧទាហរណ៍ដែលបានវិភាគស្រដៀងគ្នា និងអនុវត្តសកម្មភាពស្រដៀងគ្នា។

ដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដោយជោគជ័យ អ្នកក៏នឹងត្រូវការសមត្ថភាពក្នុងការស្វែងរកសំណុំនៃអង្គបដិប្រាណ (អាំងតេក្រាលមិនកំណត់) នៃមុខងារផ្សេងៗ។ បើចាំបាច់ យើងសូមណែនាំឱ្យអ្នកមើលផ្នែក។

ដំបូង យើងពិចារណាអំពីប្រភេទនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតានៃលំដាប់ទីមួយ ដែលអាចដោះស្រាយបានដោយគោរពតាមដេរីវេ បន្ទាប់មកយើងបន្តទៅលំដាប់ទីពីរ ODEs បន្ទាប់មកយើងរស់នៅលើសមីការលំដាប់ខ្ពស់ជាង និងបញ្ចប់ដោយប្រព័ន្ធនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

សូមចាំថាប្រសិនបើ y គឺជាមុខងារនៃអាគុយម៉ង់ x ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសាមញ្ញបំផុតនៃលំដាប់ទីមួយនៃទម្រង់។

ចូរយើងសរសេរឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃ DE បែបនេះ .

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល អាចត្រូវបានដោះស្រាយទាក់ទងនឹងដេរីវេដោយបែងចែកភាគីទាំងពីរនៃសមភាពដោយ f(x) ។ ក្នុងករណីនេះ យើងមកដល់សមីការដែលនឹងស្មើនឹងតម្លៃដើមសម្រាប់ f(x) ≠ 0 ។ ឧទាហរណ៍នៃ ODEs បែបនេះគឺ .

ប្រសិនបើមានតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ x ដែលមុខងារ f(x) និង g(x) រលាយក្នុងពេលដំណាលគ្នានោះ ដំណោះស្រាយបន្ថែមនឹងលេចឡើង។ ដំណោះស្រាយបន្ថែមចំពោះសមីការ x ដែលបានផ្តល់គឺជាអនុគមន៍ណាមួយដែលបានកំណត់សម្រាប់តម្លៃអាគុយម៉ង់ទាំងនោះ។ ឧទាហរណ៍នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលបែបនេះគឺ .

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរ លំដាប់ទីពីរដែលមានមេគុណថេរ។

LODE ជាមួយមេគុណថេរ គឺជាប្រភេទទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេមិនពិបាកជាពិសេសទេ។ ទីមួយ ឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈត្រូវបានរកឃើញ . សម្រាប់ p និង q ផ្សេងគ្នា ករណីបីគឺអាចធ្វើទៅបាន៖ ឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈអាចពិតប្រាកដ និងខុសគ្នា ពិត និងស្របគ្នា។ ឬបន្សំស្មុគស្មាញ។ អាស្រ័យលើតម្លៃនៃឫសនៃសមីការលក្ខណៈ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានសរសេរជា , ឬ ឬរៀងៗខ្លួន។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីពីរដែលមានមេគុណថេរ។ ឫសគល់នៃសមីការលក្ខណៈរបស់គាត់គឺ k 1 = -3 និង k 2 = 0 ។ ឫសគឺពិតប្រាកដ និងខុសគ្នា ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះ LDE ដែលមានមេគុណថេរគឺ


សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរមិនដូចគ្នា លីនេអ៊ែរ ជាមួយមេគុណថេរ។

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃ LIDE លំដាប់ទីពីរដែលមានមេគុណថេរ y ត្រូវបានស្វែងរកជាផលបូកនៃដំណោះស្រាយទូទៅនៃ LODE ដែលត្រូវគ្នា និងដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការ inhomogeneous ដើម នោះគឺ . កថាខណ្ឌមុនត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ការស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាជាមួយនឹងមេគុណថេរ។ ហើយដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយត្រូវបានកំណត់ដោយវិធីសាស្រ្តនៃមេគុណមិនកំណត់សម្រាប់ទម្រង់ជាក់លាក់នៃអនុគមន៍ f (x) ឈរនៅខាងស្តាំនៃសមីការដើម ឬដោយវិធីសាស្ត្រនៃបំរែបំរួលនៃថេរតាមអំពើចិត្ត។

ជាឧទាហរណ៍នៃ LIDE លំដាប់ទីពីរដែលមានមេគុណថេរ យើងធ្វើបទបង្ហាញ


ដើម្បីយល់ពីទ្រឹស្តី និងស្គាល់ដំណោះស្រាយលម្អិតនៃឧទាហរណ៍ យើងផ្តល់ជូនអ្នកនៅលើទំព័រ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលីនេអ៊ែរ (LODEs) និងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមិនដូចគ្នានៃលំដាប់ទីពីរ (LNDEs)។

ករណីពិសេសនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃប្រភេទនេះគឺ LODE និង LODE ដែលមានមេគុណថេរ។

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃ LODE នៅលើចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយត្រូវបានតំណាងដោយការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃដំណោះស្រាយជាក់លាក់ឯករាជ្យពីរ y 1 និង y 2 នៃសមីការនេះ ពោលគឺ .

ការលំបាកចម្បងគឺច្បាស់លាស់ក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយផ្នែកឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលប្រភេទនេះ។ ជាធម្មតា ដំណោះស្រាយពិសេសត្រូវបានជ្រើសរើសពីប្រព័ន្ធខាងក្រោមនៃមុខងារឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ៖


ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដំណោះស្រាយពិសេសមិនតែងតែត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់នេះទេ។

ឧទាហរណ៍នៃ LODU គឺ .

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃ LIDE ត្រូវបានស្វែងរកក្នុងទម្រង់ជាកន្លែងដែលដំណោះស្រាយទូទៅនៃ LODE ដែលត្រូវគ្នា និងជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដើម។ យើងគ្រាន់តែនិយាយអំពីការស្វែងរក ប៉ុន្តែវាអាចត្រូវបានកំណត់ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃបំរែបំរួលនៃអថេរតាមអំពើចិត្ត។

ឧទាហរណ៍នៃ LNDE គឺ .

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ខ្ពស់ជាង។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលទទួលយកការកាត់បន្ថយលំដាប់។

លំដាប់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ដែលមិនមានមុខងារដែលចង់បាន និងដេរីវេរបស់វារហូតដល់លំដាប់ k-1 អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជា n-k ដោយជំនួស .

ក្នុងករណីនេះ ហើយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដើមកាត់បន្ថយទៅជា . បន្ទាប់ពីរកឃើញដំណោះស្រាយរបស់វា p(x) វានៅតែត្រូវត្រលប់ទៅការជំនួសវិញ ហើយកំណត់មុខងារមិនស្គាល់ y ។

ឧទាហរណ៍សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល បន្ទាប់​ពី​ការ​ជំនួស​បាន​ក្លាយ​ជា​សមីការ​អាច​បំបែក​បាន ហើយ​លំដាប់​របស់​វា​ត្រូវ​បាន​កាត់​បន្ថយ​ពី​លេខ​បី​ទៅ​លេខ​ដំបូង។

I. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា។

១.១. និយមន័យ និងគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល គឺជាសមីការដែលទាក់ទងនឹងអថេរឯករាជ្យ x, មុខងារដែលចង់បាន yនិងដេរីវេឬឌីផេរ៉ង់ស្យែលរបស់វា។

ជានិមិត្តរូប សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",..,y(n))=0

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថាធម្មតា ប្រសិនបើមុខងារដែលចង់បានអាស្រ័យលើអថេរឯករាជ្យមួយ។

ដោយការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថាមុខងារដែលប្រែសមីការនេះទៅជាអត្តសញ្ញាណ។

លំដាប់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាលំដាប់នៃដេរីវេទីវ័រខ្ពស់បំផុតនៅក្នុងសមីការនេះ។

ឧទាហរណ៍។

1. ពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ

ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះគឺអនុគមន៍ y = 5 ln x ។ ជាការពិតដោយការជំនួស y"នៅក្នុងសមីការយើងទទួលបាន - អត្តសញ្ញាណមួយ។

ហើយនេះមានន័យថាអនុគមន៍ y = 5 ln x– គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះ។

2. ពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរ y" − 5y" + 6y = 0. មុខងារគឺជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ។

ពិត។

ការជំនួសកន្សោមទាំងនេះទៅក្នុងសមីការ យើងទទួលបាន៖ , - អត្តសញ្ញាណ។

ហើយនេះមានន័យថាមុខងារគឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះ។

ការរួមបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាដំណើរការនៃការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថាមុខងារនៃទម្រង់ ដែលរួមបញ្ចូលអថេរបំពានឯករាជ្យជាច្រើនដូចជាលំដាប់នៃសមីការ។

ដំណោះស្រាយផ្នែកនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយដែលទទួលបានពីដំណោះស្រាយទូទៅសម្រាប់តម្លៃលេខផ្សេងគ្នានៃអថេរបំពាន។ តម្លៃនៃថេរបំពានត្រូវបានរកឃើញនៅតម្លៃដំបូងជាក់លាក់នៃអាគុយម៉ង់ និងមុខងារ។

ក្រាហ្វនៃដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថា ខ្សែកោងអាំងតេក្រាល។.

ឧទាហរណ៍

1. ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ

xdx + ydy = 0, ប្រសិនបើ y= 4 នៅ x = 3.

ការសម្រេចចិត្ត។ ការរួមបញ្ចូលភាគីទាំងពីរនៃសមីការយើងទទួលបាន

មតិយោបល់។ ថេរ C បំពានដែលទទួលបានជាលទ្ធផលនៃការរួមបញ្ចូលអាចត្រូវបានតំណាងនៅក្នុងទម្រង់ណាមួយដែលងាយស្រួលសម្រាប់ការបំប្លែងបន្ថែមទៀត។ ក្នុងករណីនេះដោយគិតគូរពីសមីការ Canonical នៃរង្វង់វាងាយស្រួលក្នុងការតំណាងឱ្យថេរ С នៅក្នុងទម្រង់ .

គឺជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង y = 4 នៅ x = 3 ត្រូវបានរកឃើញពីទូទៅដោយជំនួសលក្ខខណ្ឌដំបូងចូលទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

ការជំនួស C=5 ទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ យើងទទួលបាន x2+y2 = 5 2 .

នេះគឺជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលទទួលបានពីដំណោះស្រាយទូទៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

2. ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះគឺជាមុខងារណាមួយនៃទម្រង់ ដែល C គឺជាថេរតាមអំពើចិត្ត។ ជាការពិត ការជំនួសសមីការ យើងទទួលបាន៖ , .

ដូច្នេះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនេះមានចំនួនមិនកំណត់នៃដំណោះស្រាយ ចាប់តាំងពីសម្រាប់តម្លៃផ្សេងគ្នានៃថេរ C នោះសមភាពកំណត់ដំណោះស្រាយផ្សេងគ្នានៃសមីការ។

ឧទាហរណ៍ ដោយការជំនួសដោយផ្ទាល់ មនុស្សម្នាក់អាចផ្ទៀងផ្ទាត់ថាមុខងារទាំងនោះ គឺជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ។

បញ្ហាដែលវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការ y" = f(x, y)ការបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង y(x0) = y0ត្រូវបានគេហៅថាបញ្ហា Cauchy ។

ដំណោះស្រាយសមីការ y" = f(x, y)បំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង, y(x0) = y0ត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហា Cauchy ។

ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា Cauchy មានអត្ថន័យធរណីមាត្រសាមញ្ញ។ ជាការពិតណាស់យោងទៅតាមនិយមន័យទាំងនេះដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា Cauchy y" = f(x, y)បានផ្តល់ឱ្យនោះ។ y(x0) = y0មានន័យថាស្វែងរកខ្សែកោងអាំងតេក្រាលនៃសមីការ y" = f(x, y)ដែលឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M0 (x0,y ០).

II. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ

២.១. គំនិតជាមូលដ្ឋាន

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ គឺជាសមីការនៃទម្រង់ F(x,y,y") = 0 ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទី 1 រួមបញ្ចូលដេរីវេទី 1 និងមិនរួមបញ្ចូលនិស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ខ្ពស់ជាង។

សមីការ y" = f(x, y)ត្រូវបានគេហៅថាសមីការលំដាប់ទីមួយដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយគោរពទៅនឹងដេរីវេ។

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយគឺជាមុខងារនៃទម្រង់ ដែលផ្ទុកនូវចំនួនថេរតាមអំពើចិត្តមួយ។

ឧទាហរណ៍។ពិចារណាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ។

ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះគឺមុខងារ។

ជាការពិត ការជំនួសនៅក្នុងសមីការនេះជាមួយនឹងតម្លៃរបស់វា យើងទទួលបាន

i.e 3x=3x

ដូច្នេះ អនុគមន៍ គឺជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការសម្រាប់ថេរ C ។

ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការនេះ ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង y(1)=1ការជំនួសលក្ខខណ្ឌដំបូង x=1, y=1នៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ យើងទទួលបានមកពីណា C=0.

ដូច្នេះហើយ យើងទទួលបានដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយពីទូទៅដោយជំនួសសមីការនេះ ដែលជាតម្លៃលទ្ធផល C=0គឺជាការសម្រេចចិត្តឯកជន។

២.២. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបាន។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបាន គឺជាសមីការនៃទម្រង់៖ y"=f(x)g(y)ឬតាមរយៈឌីផេរ៉ង់ស្យែល កន្លែងណា f(x)និង g(y)ត្រូវបានផ្តល់មុខងារ។

សម្រាប់អ្នកទាំងនោះ yសម្រាប់ការដែល សមីការ y"=f(x)g(y)គឺស្មើនឹងសមីការ ដែលក្នុងនោះអថេរ yមានវត្តមានតែនៅផ្នែកខាងឆ្វេងប៉ុណ្ណោះ ហើយអថេរ x គឺមានវត្តមានតែនៅផ្នែកខាងស្តាំប៉ុណ្ណោះ។ ពួកគេនិយាយថា "នៅក្នុងសមីការ y"=f(x)g(yការបំបែកអថេរ។

ប្រភេទសមីការ ត្រូវបានគេហៅថាសមីការអថេរដាច់ដោយឡែក។

បន្ទាប់ពីបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ នៅលើ x, យើង​ទទួល​បាន G(y) = F(x) + Cគឺជាដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ ដែល G(y)និង F(x)គឺជាអង់ទីករមួយចំនួន រៀងគ្នានៃមុខងារ និង f(x), គថេរដោយបំពាន។

ក្បួនដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបាន។

ឧទាហរណ៍ ១

ដោះស្រាយសមីការ y" = xy

ការសម្រេចចិត្ត។ ដេរីវេនៃមុខងារមួយ។ y"ជំនួយ​ដោយ

យើងបែងចែកអថេរ

ចូរយើងបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាព៖

ឧទាហរណ៍ ២

2yy" = 1- 3x 2, ប្រសិនបើ y 0 = 3នៅ x0 = 1

នេះគឺជាសមីការអថេរដាច់ដោយឡែក។ ចូរតំណាងឱ្យវានៅក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងសរសេរសមីការនេះឡើងវិញក្នុងទម្រង់ ពី​ទីនេះ

ការរួមបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពចុងក្រោយយើងរកឃើញ

ការជំនួសតម្លៃដើម x 0 = 1, y 0 = 3ស្វែងរក ជាមួយ 9=1-1+គ, i.e. គ = ៩.

ដូច្នេះអាំងតេក្រាលផ្នែកដែលចង់បាននឹងមាន ឬ

ឧទាហរណ៍ ៣

សរសេរសមីការសម្រាប់ខ្សែកោងឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ M(2;-3)និងមានតង់សង់ជាមួយនឹងជម្រាលមួយ។

ការសម្រេចចិត្ត។ តាម​លក្ខខណ្ឌ

នេះគឺជាសមីការអថេរដែលអាចបំបែកបាន។ ការបែងចែកអថេរយើងទទួលបាន៖

ការរួមបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ យើងទទួលបាន៖

ដោយប្រើលក្ខខណ្ឌដំបូង, x=2និង y=-៣ស្វែងរក គ:

ដូច្នេះសមីការដែលចង់បានមានទម្រង់

២.៣. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីមួយ

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីមួយ គឺជាសមីការនៃទម្រង់ y" = f(x)y + g(x)

កន្លែងណា f(x)និង g(x)- មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យមួយចំនួន។

ប្រសិនបើ ក g(x)=0បន្ទាប់មកសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថា homogeneous ហើយមានទម្រង់៖ y" = f (x) y

ប្រសិនបើបន្ទាប់មកសមីការ y" = f(x)y + g(x)ហៅ​ថា​ខុស​គ្នា

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលីនេអ៊ែរ y" = f (x) yផ្តល់ដោយរូបមន្ត៖ កន្លែងណា ជាមួយគឺ​ជា​ថេរ​ដែល​បំពាន។

ជាពិសេសប្រសិនបើ C \u003d 0,បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយគឺ y=0ប្រសិនបើសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នាមានទម្រង់ y" = kyកន្លែងណា kគឺថេរខ្លះ បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទូទៅរបស់វាមានទម្រង់៖ .

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល inhomogeneous លីនេអ៊ែរ y" = f(x)y + g(x)ផ្តល់ដោយរូបមន្ត ,

ទាំងនោះ។ គឺស្មើនឹងផលបូកនៃដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការលីនេអ៊ែរដូចគ្នា និងដំណោះស្រាយពិសេសនៃសមីការនេះ។

សម្រាប់សមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ y" = kx + b,

កន្លែងណា kនិង ខ- លេខមួយចំនួន និងដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនឹងជាមុខងារថេរ។ ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅមានទម្រង់។

ឧទាហរណ៍. ដោះស្រាយសមីការ y" + 2y +3 = 0

ការសម្រេចចិត្ត។ យើងតំណាងឱ្យសមីការក្នុងទម្រង់ y" = −2y − 3កន្លែងណា k=-2, b=-3ដំណោះស្រាយទូទៅត្រូវបានផ្តល់ដោយរូបមន្ត។

ដូច្នេះ​ហើយ​ដែល C ជា​ថេរ​ដែល​បំពាន។

២.៤. ដំណោះស្រាយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីមួយដោយវិធីសាស្ត្រ Bernoulli

ការស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីមួយ y" = f(x)y + g(x)កាត់បន្ថយការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលពីរជាមួយអថេរដែលបំបែកដោយការប្រើជំនួស y = យូកន្លែងណា យូនិង v- មុខងារមិនស្គាល់ពី x. វិធីសាស្រ្តដំណោះស្រាយនេះត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្ត្រ Bernoulli ។

ក្បួនដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរលំដាប់ទីមួយ

y" = f(x)y + g(x)

1. បញ្ចូលការជំនួស y = យូ.

2. បែងចែកសមភាពនេះ។ y"=u"v + uv"

3. ជំនួស yនិង y"ទៅក្នុងសមីការនេះ៖ u"v + uv" =f(x)uv + g(x)ឬ u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. ដាក់ជាក្រុមលក្ខខណ្ឌនៃសមីការដូច្នេះ យូយកវាចេញពីតង្កៀប៖

5. ពីតង្កៀប ស្មើវាទៅសូន្យ រកមុខងារ

នេះគឺជាសមីការដែលអាចបំបែកបាន៖

ចែកអថេរ និងទទួលបាន៖

កន្លែងណា . .

6. ជំនួសតម្លៃដែលទទួលបាន vចូលទៅក្នុងសមីការ (ពីធាតុទី 4):

ហើយស្វែងរកមុខងារ នេះជាសមីការដែលអាចបំបែកបាន៖

7. សរសេរដំណោះស្រាយទូទៅក្នុងទម្រង់៖ , i.e. .

ឧទាហរណ៍ ១

ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយចំពោះសមីការ y" = -2y +3 = 0ប្រសិនបើ y=1នៅ x=0

ការសម្រេចចិត្ត។ តោះដោះស្រាយវាជាមួយការជំនួស y=uv,.y"=u"v + uv"

ការជំនួស yនិង y"នៅក្នុងសមីការនេះយើងទទួលបាន

ការដាក់ក្រុមពាក្យទីពីរ និងទីបី នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ យើងដកកត្តារួមចេញ យូ ចេញពីតង្កៀប

យើងយកកន្សោមក្នុងតង្កៀបទៅសូន្យ ហើយដោយបានដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល យើងរកឃើញមុខងារ v = v(x)

យើងទទួលបានសមីការជាមួយអថេរដាច់ដោយឡែក។ យើងបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការនេះ៖ ស្វែងរកមុខងារ v:

ជំនួសតម្លៃលទ្ធផល vនៅក្នុងសមីការយើងទទួលបាន៖

នេះគឺជាសមីការអថេរដាច់ដោយឡែក។ យើងរួមបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ៖ ចូរយើងស្វែងរកមុខងារ u = u(x,c) តោះស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ៖ ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង y=1នៅ x=0:

III. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ខ្ពស់ជាង

៣.១. និយមន័យ និងគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរ គឺជាសមីការដែលមាននិស្សន្ទវត្ថុមិនខ្ពស់ជាងលំដាប់ទីពីរ។ ក្នុងករណីទូទៅ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរត្រូវបានសរសេរជា៖ F(x,y,y",y") = 0

ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរគឺជាមុខងារនៃទម្រង់ ដែលរួមមានចំនួនថេរបំពានពីរ គ១និង គ២.

ដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរគឺជាដំណោះស្រាយដែលទទួលបានពីទូទៅសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃចំនួនថេរតាមអំពើចិត្ត។ គ១និង គ២.

៣.២. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរជាមួយ សមាមាត្រថេរ។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរត្រូវបានគេហៅថាសមីការនៃទម្រង់ y" + py" + qy = 0កន្លែងណា ទំនិង qគឺជាតម្លៃថេរ។

ក្បួនដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នាលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរ

1. សរសេរសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលក្នុងទម្រង់៖ y" + py" + qy = 0.

2. ចងក្រងសមីការលក្ខណៈរបស់វា ដោយបញ្ជាក់ y"តាមរយៈ r2, y"តាមរយៈ r, yក្នុង 1: r2 + pr + q = 0

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយ។
សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបាន។

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (DE) ។ ពាក្យ​ទាំងពីរ​នេះ​តែងតែ​ធ្វើ​ឲ្យ​មនុស្ស​ធម្មតា​ភ័យខ្លាច​។ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលហាក់ដូចជាអ្វីដែលហួសចិត្ត និងពិបាកធ្វើជាម្ចាស់សម្រាប់សិស្សជាច្រើន។ Uuuuu... សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល តើខ្ញុំអាចរស់បានទាំងអស់នេះដោយរបៀបណា?!

ការ​យល់​ឃើញ​បែប​នេះ​និង​អាកប្បកិរិយា​បែប​នេះ​គឺ​ខុស​មូលដ្ឋាន​ព្រោះ​តាម​ពិត សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺសាមញ្ញ ហើយថែមទាំងរីករាយទៀតផង។. តើអ្នកត្រូវដឹងអ្វីខ្លះ និងអាចរៀនដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល? ដើម្បីសិក្សាភាពខុសប្លែកគ្នាដោយជោគជ័យ អ្នកត្រូវតែពូកែក្នុងការរួមបញ្ចូល និងបែងចែកភាពខុសគ្នា។ ប្រធានបទត្រូវបានសិក្សាកាន់តែប្រសើរ ដេរីវេនៃមុខងារនៃអថេរមួយ។និង អាំងតេក្រាលមិនកំណត់វាកាន់តែងាយស្រួលយល់សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ខ្ញុំ​នឹង​និយាយ​បន្ថែម​ទៀត ប្រសិន​បើ​អ្នក​មាន​ជំនាញ​សមាហរណកម្ម​សមរម្យ​តិច ឬ​ច្រើន នោះ​ប្រធាន​បទ​ត្រូវ​បាន​ស្ទាត់​ជំនាញ! អាំងតេក្រាលកាន់តែច្រើននៃប្រភេទផ្សេងៗដែលអ្នកអាចដោះស្រាយបាន កាន់តែប្រសើរ។ ហេតុអ្វី? អ្នកត្រូវតែរួមបញ្ចូលច្រើន។ និងបែងចែក។ ផងដែរ។ សូមផ្តល់អនុសាសន៍យ៉ាងខ្លាំងរៀនស្វែងរក។

ក្នុង 95% នៃករណី សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយមាន 3 ប្រភេទនៅក្នុងឯកសារសាកល្បង៖ សមីការដែលអាចបំបែកបាន។ដែលយើងនឹងរៀបរាប់នៅក្នុងមេរៀននេះ; សមីការដូចគ្នា។និង សមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរ. សម្រាប់អ្នកចាប់ផ្តើមដំបូងដើម្បីសិក្សា diffusers ខ្ញុំណែនាំអ្នកឱ្យអានមេរៀននៅក្នុងលំដាប់នេះហើយបន្ទាប់ពីសិក្សាអត្ថបទពីរដំបូងវានឹងមិនឈឺចាប់ទេក្នុងការបង្រួបបង្រួមជំនាញរបស់អ្នកនៅក្នុងសិក្ខាសាលាបន្ថែម - សមីការដែលកាត់បន្ថយទៅជាភាពដូចគ្នា។.

មានប្រភេទសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដ៏កម្រ៖ សមីការនៅក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប សមីការ Bernoulli និងមួយចំនួនផ្សេងទៀត។ ក្នុងចំណោមពីរប្រភេទចុងក្រោយ សំខាន់បំផុតគឺសមីការនៅក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែលសរុប ចាប់តាំងពីបន្ថែមលើ DE នេះ ខ្ញុំកំពុងពិចារណាសម្ភារៈថ្មី - ការរួមបញ្ចូលផ្នែក.

ប្រសិនបើអ្នកនៅសល់មួយថ្ងៃឬពីរថ្ងៃបន្ទាប់មក សម្រាប់ការរៀបចំលឿនបំផុត។មាន វគ្គសិក្សា blitzក្នុងទម្រង់ pdf ។

ដូច្នេះទីតាំងសម្គាល់ត្រូវបានកំណត់ - តោះទៅ៖

ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញនូវសមីការពិជគណិតធម្មតា។ ពួកវាមានអថេរ និងលេខ។ ឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុត៖ ។ តើការដោះស្រាយសមីការធម្មតាមានន័យដូចម្តេច? នេះមានន័យថាស្វែងរក សំណុំនៃលេខដែលបំពេញសមីការនេះ។ វាងាយមើលថាសមីការរបស់កុមារមានឫសតែមួយ៖ . ដើម្បីភាពសប្បាយរីករាយ សូមធ្វើការពិនិត្យ ជំនួសឫសដែលបានរកឃើញទៅក្នុងសមីការរបស់យើង៖

- សមភាពត្រឹមត្រូវត្រូវបានទទួល ដែលមានន័យថាដំណោះស្រាយត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។

ការសាយភាយត្រូវបានរៀបចំតាមរបៀបដូចគ្នា!

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល លំដាប់ដំបូងជាទូទៅ មាន:
1) អថេរឯករាជ្យ;
2) អថេរអាស្រ័យ (មុខងារ);
៣) ដេរីវេទី ១ នៃមុខងារ៖ .

នៅក្នុងសមីការមួយចំនួននៃលំដាប់ទី 1 ប្រហែលជាមិនមាន "x" ឬ (និង) "y" ប៉ុន្តែនេះមិនសំខាន់ទេ - សំខាន់ដូច្នេះនៅក្នុង DU គឺដេរីវេទី 1 និង អត់មានដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញខ្ពស់ជាង - ល។

មានន័យថាម៉េច?ដើម្បីដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលមានន័យថាស្វែងរក សំណុំនៃមុខងារទាំងអស់។ដែលបំពេញសមីការនេះ។ សំណុំនៃមុខងារបែបនេះច្រើនតែមានទម្រង់ (ជាអថេរតាមអំពើចិត្ត) ដែលត្រូវបានគេហៅថា ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល.

ឧទាហរណ៍ ១

ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

គ្រាប់រំសេវ។ កន្លែងដែលត្រូវចាប់ផ្តើម ការសម្រេចចិត្ត?

ជាដំបូង អ្នកត្រូវសរសេរឡើងវិញនូវនិស្សន្ទវត្ថុក្នុងទម្រង់ខុសគ្នាបន្តិច។ យើងរំលឹកឡើងវិញនូវសញ្ញាណដ៏ស្មុគស្មាញ ដែលអ្នកទាំងអស់គ្នាប្រហែលជាគិតថាគួរឱ្យអស់សំណើច និងមិនចាំបាច់។ វាជាច្បាប់នៅក្នុង diffusers!

នៅជំហានទីពីរ សូមមើលថាតើវាអាចទៅរួចដែរឬទេ បំបែកអថេរ?តើវាមានន័យយ៉ាងណាក្នុងការបំបែកអថេរ? និយាយ​ឲ្យ​ចំ នៅផ្នែកខាងឆ្វេងយើងត្រូវចាកចេញ មានតែ "ហ្គេម", ក នៅផ្នែកខាងស្តាំរៀបចំ មានតែ x ប៉ុណ្ណោះ។. ការបំបែកអថេរត្រូវបានអនុវត្តដោយជំនួយនៃឧបាយកល "សាលា"៖ វង់ក្រចក ការផ្ទេរពាក្យពីផ្នែកមួយទៅផ្នែកមួយជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា ការផ្ទេរកត្តាពីផ្នែកមួយទៅផ្នែកមួយដោយយោងទៅតាមច្បាប់នៃសមាមាត្រ។ល។

ឌីផេរ៉ង់ស្យែល និងជាមេគុណពេញលេញ និងអ្នកចូលរួមសកម្មក្នុងអរិភាព។ ក្នុង​ឧទាហរណ៍​នេះ អថេរ​ត្រូវ​បាន​បំបែក​យ៉ាង​ងាយ​ដោយ​កត្តា​ត្រឡប់​ដោយ​យោង​តាម​ក្បួន​សមាមាត្រ៖

អថេរត្រូវបានបំបែក។ នៅផ្នែកខាងឆ្វេង - មានតែ "ហ្គេម" នៅខាងស្តាំ - មានតែ "X" ប៉ុណ្ណោះ។

ដំណាក់កាលបន្ទាប់ - ការរួមបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល. វាសាមញ្ញ យើងព្យួរអាំងតេក្រាលនៅលើផ្នែកទាំងពីរ៖

ជាការពិតណាស់អាំងតេក្រាលត្រូវតែយក។ ក្នុងករណីនេះពួកវាជាតារាង៖

ដូចដែលយើងចាំបានថា ថេរមួយត្រូវបានចាត់ឱ្យទៅ antiderivative ណាមួយ។ មានអាំងតេក្រាលពីរនៅទីនេះ ប៉ុន្តែវាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការសរសេរថេរម្តង (ព្រោះថេរ + ថេរនៅតែស្មើនឹងថេរមួយទៀត). ក្នុងករណីភាគច្រើនវាត្រូវបានដាក់នៅខាងស្តាំ។

និយាយយ៉ាងតឹងរឹងបន្ទាប់ពីអាំងតេក្រាលត្រូវបានគេយកសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានចាត់ទុកថាត្រូវបានដោះស្រាយ។ រឿងតែមួយគត់គឺថា "y" របស់យើងមិនត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈ "x" នោះគឺជាដំណោះស្រាយត្រូវបានបង្ហាញ ក្នុងន័យផ្ទាល់ទម្រង់។ ដំណោះស្រាយមិនច្បាស់លាស់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថា អាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល. នោះគឺ អាំងតេក្រាលទូទៅ។

ចម្លើយក្នុងទម្រង់នេះគឺអាចទទួលយកបាន ប៉ុន្តែតើមានជម្រើសល្អជាងនេះទេ? ចូរយើងព្យាយាមដើម្បីទទួលបាន ការសម្រេចចិត្តទូទៅ.

មិន​អី​ទេ, ចងចាំបច្ចេកទេសដំបូងវាគឺជារឿងធម្មតាណាស់ ហើយជាញឹកញាប់ត្រូវបានគេប្រើនៅក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែង៖ ប្រសិនបើលោការីតលេចឡើងនៅជ្រុងខាងស្តាំបន្ទាប់ពីការធ្វើសមាហរណកម្មបន្ទាប់មកក្នុងករណីជាច្រើន (ប៉ុន្តែមិនមានន័យថាជានិច្ចទេ!) វាត្រូវបានណែនាំឱ្យសរសេរថេរនៅក្រោមលោការីតផងដែរ។.

I.e, ជំនួស​អោយកំណត់ត្រាត្រូវបានសរសេរជាធម្មតា .

ហេតុអ្វីបានជាវាត្រូវការ? ហើយដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការបញ្ចេញ "y" ។ យើងប្រើទ្រព្យសម្បត្តិលោការីត . ក្នុងករណី​នេះ:

ឥឡូវនេះ លោការីត និងម៉ូឌុលអាចត្រូវបានយកចេញ៖

មុខងារត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់។ នេះគឺជាដំណោះស្រាយទូទៅ។

ចម្លើយការសម្រេចចិត្តទូទៅ៖ .

ចម្លើយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាច្រើនគឺមានភាពងាយស្រួលក្នុងការត្រួតពិនិត្យ។ ក្នុងករណីរបស់យើង នេះត្រូវបានធ្វើយ៉ាងសាមញ្ញ យើងយកដំណោះស្រាយដែលបានរកឃើញហើយបែងចែកវា៖

បន្ទាប់មកយើងជំនួសដេរីវេទៅសមីការដើម៖

- សមភាពត្រឹមត្រូវត្រូវបានទទួល ដែលមានន័យថាដំណោះស្រាយទូទៅបំពេញសមីការ ដែលតម្រូវឱ្យពិនិត្យ។

ដោយ​ផ្តល់​តម្លៃ​ខុស​គ្នា​ថេរ អ្នក​អាច​ទទួល​បាន​ចំនួន​គ្មាន​កំណត់ ការសម្រេចចិត្តឯកជនសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ វាច្បាស់ណាស់ថាមុខងារណាមួយ , ល។ បំពេញសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ជួនកាលដំណោះស្រាយទូទៅត្រូវបានគេហៅថា ក្រុមគ្រួសារនៃមុខងារ. ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ ដំណោះស្រាយទូទៅ គឺជាក្រុមគ្រួសារនៃអនុគមន៍លីនេអ៊ែរ ឬជាក្រុមគ្រួសារនៃសមាមាត្រដោយផ្ទាល់។

បន្ទាប់ពីការពិភាក្សាលម្អិតនៃឧទាហរណ៍ទីមួយ វាជាការសមរម្យក្នុងការឆ្លើយសំណួរឆោតល្ងង់មួយចំនួនអំពីសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖

1)ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ យើងអាចបែងចែកអថេរ។ តើវាតែងតែអាចធ្វើបែបនេះបានទេ?ទេមិនមែនជានិច្ចទេ។ ហើយជារឿយៗអថេរមិនអាចបំបែកបានឡើយ។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុង សមីការលំដាប់ទីមួយដូចគ្នាត្រូវតែជំនួសមុន។ ជាឧទាហរណ៍ នៅក្នុងសមីការប្រភេទផ្សេងទៀត ក្នុងសមីការមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីមួយ អ្នកត្រូវប្រើល្បិច និងវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ។ សមីការអថេរដែលអាចបំបែកបាន ដែលយើងពិចារណាក្នុងមេរៀនទីមួយ គឺជាប្រភេទសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលសាមញ្ញបំផុត។

2) តើវាតែងតែអាចបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលបានទេ?ទេមិនមែនជានិច្ចទេ។ វាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការបង្កើតសមីការ "ពុម្ពអក្សរក្បូរក្បាច់" ដែលមិនអាចរួមបញ្ចូលបាន លើសពីនេះទៀតមានអាំងតេក្រាលដែលមិនអាចយកបាន។ ប៉ុន្តែ DEs បែបនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយប្រហែលដោយប្រើវិធីសាស្ត្រពិសេស។ D'Alembert និង Cauchy ធានា ... ... ugh, lurkmore.to ខ្ញុំបានអានច្រើនឥឡូវនេះខ្ញុំស្ទើរតែបន្ថែម "ពីពិភពលោកផ្សេងទៀត" ។

3) ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ យើងបានទទួលដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់ជាអាំងតេក្រាលទូទៅ . តើវាតែងតែអាចស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅពីអាំងតេក្រាលទូទៅ ពោលគឺដើម្បីបង្ហាញ "y" ក្នុងទម្រង់ច្បាស់លាស់មួយ?ទេមិនមែនជានិច្ចទេ។ ឧទាហរណ៍: ។ តើខ្ញុំអាចបង្ហាញ "y" នៅទីនេះដោយរបៀបណា?! ក្នុងករណីបែបនេះ ចម្លើយគួរតែត្រូវបានសរសេរជាអាំងតេក្រាលទូទៅ។ បន្ថែមពីលើនេះ ជួនកាលគេអាចស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅបាន ប៉ុន្តែវាត្រូវបានសរសេរយ៉ាងខ្ជាប់ខ្ជួន និងច្របូកច្របល់ ដូច្នេះវាជាការប្រសើរក្នុងការទុកចម្លើយក្នុងទម្រង់ជាអាំងតេក្រាលទូទៅ។

4) ... ប្រហែលជាគ្រប់គ្រាន់ហើយសម្រាប់ពេលនេះ។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដំបូងយើងបានជួប ចំណុចសំខាន់មួយទៀតប៉ុន្តែដើម្បីកុំឱ្យបិទបាំង "អត់ចេះសោះ" ជាមួយនឹងព័ត៌មានថ្មី ខ្ញុំនឹងទុកវារហូតដល់មេរៀនបន្ទាប់។

តោះកុំប្រញាប់។ ការបញ្ជាពីចម្ងាយដ៏សាមញ្ញមួយផ្សេងទៀត និងដំណោះស្រាយធម្មតាមួយផ្សេងទៀត៖

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង

ការសម្រេចចិត្ត៖ តាមលក្ខខណ្ឌតម្រូវឱ្យស្វែងរក ដំណោះស្រាយឯកជន DE ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ សំណួរបែបនេះក៏ត្រូវបានគេហៅថា បញ្ហារសើប.

ដំបូងយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ។ មិនមានអថេរ "x" នៅក្នុងសមីការនេះទេ ប៉ុន្តែនេះមិនគួរជាការអាម៉ាស់នោះទេ រឿងសំខាន់គឺថាវាមានដេរីវេទី 1 ។

យើងសរសេរសារឡើងវិញតាមទម្រង់ដែលត្រូវការ៖

ជាក់ស្តែង អថេរអាចបែងចែកបាន ក្មេងប្រុសទៅឆ្វេង ក្មេងស្រីទៅស្តាំ៖

យើងរួមបញ្ចូលសមីការ៖

អាំងតេក្រាលទូទៅត្រូវបានទទួល។ នៅទីនេះខ្ញុំបានគូរថេរជាមួយនឹងសញ្ញាសង្កត់សំឡេងមួយ ការពិតគឺថាឆាប់ៗនេះវានឹងប្រែទៅជាថេរមួយផ្សេងទៀត។

ឥឡូវនេះយើងកំពុងព្យាយាមបំប្លែងអាំងតេក្រាលទូទៅទៅជាដំណោះស្រាយទូទៅ (បញ្ជាក់ "y" យ៉ាងជាក់លាក់)។ យើងចងចាំចាស់, ល្អ, សាលា: . ក្នុងករណី​នេះ:

ថេរនៅក្នុងសូចនាករមើលទៅហាក់ដូចជាមិន kosher ដូច្នេះជាធម្មតាវាត្រូវបានបន្ទាបពីស្ថានសួគ៌ទៅផែនដី។ នៅក្នុងលម្អិតវាកើតឡើងដូចនេះ។ ដោយប្រើលក្ខណសម្បត្តិនៃដឺក្រេ យើងសរសេរមុខងារដូចខាងក្រោមៈ

ប្រសិនបើជាថេរ នោះក៏ថេរខ្លះ កំណត់វាឡើងវិញដោយអក្សរ៖

ចងចាំ "ការរុះរើ" នៃថេរមួយ។ បច្ចេកទេសទីពីរដែលជារឿយៗត្រូវបានប្រើក្នុងវគ្គនៃការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅគឺ៖ គ្រួសារដ៏ល្អនៃមុខងារអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល។

នៅ​ដំណាក់​កាល​ចុង​ក្រោយ អ្នក​ត្រូវ​ស្វែង​រក​ដំណោះ​ស្រាយ​ជាក់លាក់​មួយ​ដែល​បំពេញ​លក្ខខណ្ឌ​ដំបូង​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ។ វាសាមញ្ញផងដែរ។

តើ​កិច្ចការ​អ្វី? ត្រូវការរើស ដូចតម្លៃនៃថេរដើម្បីបំពេញលក្ខខណ្ឌ។

អ្នកអាចរៀបចំវាតាមរបៀបផ្សេងៗគ្នា ប៉ុន្តែអ្វីដែលអាចយល់បានបំផុត ប្រហែលជានឹងមានលក្ខណៈដូចនេះ។ នៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅជំនួសឱ្យ "x" យើងជំនួសសូន្យហើយជំនួសឱ្យ "y" ពីរ:



I.e,

កំណែរចនាស្តង់ដារ៖

ឥឡូវនេះយើងជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញនៃថេរទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ៖
- នេះគឺជាដំណោះស្រាយពិសេសដែលយើងត្រូវការ។

ចម្លើយដំណោះស្រាយឯកជន៖

តោះធ្វើការពិនិត្យ។ ការផ្ទៀងផ្ទាត់ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយមានពីរដំណាក់កាល៖

ដំបូង​ត្រូវ​ពិនិត្យ​មើល​ថា​តើ​ដំណោះស្រាយ​ជាក់លាក់​ដែល​រក​ឃើញ​ពិត​ជា​បំពេញ​លក្ខខណ្ឌ​ដំបូង​ឬ​អត់? ជំនួសឱ្យ "x" យើងជំនួសសូន្យ ហើយមើលថាមានអ្វីកើតឡើង៖
- បាទ, ជាការពិត, deuce មួយត្រូវបានទទួលបាន, ដែលមានន័យថាលក្ខខណ្ឌដំបូងគឺពេញចិត្ត។

ដំណាក់កាលទីពីរគឺធ្លាប់ស្គាល់។ យើងយកដំណោះស្រាយលទ្ធផលជាក់លាក់ ហើយស្វែងរកដេរីវេ៖

ជំនួសក្នុងសមីការដើម៖

- សមភាពត្រឹមត្រូវត្រូវបានទទួល។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ដំណោះស្រាយជាក់លាក់ត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។

ចូរបន្តទៅឧទាហរណ៍ដ៏មានអត្ថន័យបន្ថែមទៀត។

ឧទាហរណ៍ ៣

ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

ការសម្រេចចិត្ត៖យើងសរសេរឡើងវិញនូវដេរីវេក្នុងទម្រង់ដែលយើងត្រូវការ៖

ការវាយតម្លៃថាតើអថេរអាចត្រូវបានបំបែក? អាច។ យើងផ្ទេរពាក្យទីពីរទៅផ្នែកខាងស្តាំជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា:

ហើយយើងបង្វែរកត្តាទៅតាមច្បាប់សមាមាត្រ៖

អថេរ​ត្រូវ​បាន​បំបែក​ចេញ សូម​រួម​បញ្ចូល​ផ្នែក​ទាំង​ពីរ៖

ខ្ញុំត្រូវតែព្រមានអ្នក ថ្ងៃជំនុំជំរះនឹងមកដល់។ ប្រសិនបើអ្នករៀនមិនបានល្អ។ អាំងតេក្រាលមិនកំណត់ដោះស្រាយឧទាហរណ៍មួយចំនួន បន្ទាប់មកគ្មានកន្លែងដែលត្រូវទៅទេ - អ្នកត្រូវតែធ្វើជាម្ចាស់វាឥឡូវនេះ។

អាំងតេក្រាលនៃផ្នែកខាងឆ្វេងមានភាពងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរក ដោយអាំងតេក្រាលនៃកូតង់សង់ យើងដោះស្រាយជាមួយនឹងបច្ចេកទេសស្តង់ដារដែលយើងបានពិចារណាក្នុងមេរៀន ការរួមបញ្ចូលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រឆ្នាំមុន:

នៅផ្នែកខាងស្តាំ យើងមានលោការីត ហើយយោងទៅតាមការណែនាំបច្ចេកទេសដំបូងរបស់ខ្ញុំ ថេរក៏គួរត្រូវបានសរសេរនៅក្រោមលោការីតផងដែរ។

ឥឡូវនេះយើងព្យាយាមធ្វើឱ្យសាមញ្ញនៃអាំងតេក្រាលទូទៅ។ ដោយសារយើងមានតែលោការីត វាពិតជាអាចទៅរួច (និងចាំបាច់) ដើម្បីកម្ចាត់ពួកវា។ តាមរយៈ លក្ខណៈសម្បត្តិដែលគេស្គាល់អតិបរមា "ខ្ចប់" លោការីត។ ខ្ញុំនឹងសរសេរយ៉ាងលម្អិត៖

ការវេចខ្ចប់ត្រូវបានបញ្ចប់ដើម្បីរហែកយ៉ាងព្រៃផ្សៃ៖

តើអាចបង្ហាញអក្សរ "y" បានទេ? អាច។ ផ្នែកទាំងពីរត្រូវតែជាការ៉េ។

ប៉ុន្តែអ្នកមិនចាំបាច់ទេ។

គន្លឹះបច្ចេកទេសទីបី៖ប្រសិនបើដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយទូទៅ អ្នកត្រូវបង្កើនអំណាច ឬចាក់ឬស ក្នុង​ករណី​ភាគ​ច្រើនអ្នកគួរតែបដិសេធពីសកម្មភាពទាំងនេះ ហើយទុកចម្លើយក្នុងទម្រង់ជាអាំងតេក្រាលទូទៅ។ ការពិតគឺថាដំណោះស្រាយទូទៅនឹងមើលទៅអាក្រក់ណាស់ - ដោយមានឫសធំ សញ្ញា និងសំរាមផ្សេងទៀត។

ដូច្នេះ យើងសរសេរចម្លើយជាអាំងតេក្រាលទូទៅ។ វាត្រូវបានចាត់ទុកថាជាទម្រង់ដ៏ល្អក្នុងការបង្ហាញវានៅក្នុងទម្រង់ ពោលគឺនៅខាងស្តាំ ប្រសិនបើអាចធ្វើបាន សូមទុកតែថេរមួយ។ មិនចាំបាច់ធ្វើបែបនេះទេ ប៉ុន្តែវាតែងតែមានប្រយោជន៍ក្នុងការផ្គាប់ចិត្តសាស្ត្រាចារ្យ ;-)

ចម្លើយ៖អាំងតេក្រាលទូទៅ៖

! ចំណាំ៖ អាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការណាមួយអាចត្រូវបានសរសេរតាមវិធីច្រើនជាងមួយ។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើលទ្ធផលរបស់អ្នកមិនស្របគ្នានឹងចម្លើយដែលបានដឹងពីមុន នោះមិនមែនមានន័យថាអ្នកបានដោះស្រាយសមីការមិនត្រឹមត្រូវនោះទេ។

អាំងតេក្រាលទូទៅក៏ត្រូវបានពិនិត្យយ៉ាងងាយផងដែរ រឿងសំខាន់គឺអាចស្វែងរកបាន។ ដេរីវេនៃមុខងារដែលបានកំណត់ដោយប្រយោល។. ចូរយើងបែងចែកចម្លើយ៖

យើងគុណពាក្យទាំងពីរដោយ៖

ហើយយើងបែងចែកដោយ៖

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដើមត្រូវបានទទួលយ៉ាងពិតប្រាកដ ដែលមានន័យថា អាំងតេក្រាលទូទៅត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង។ ដំណើរការការត្រួតពិនិត្យ។

នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​ធ្វើ​ដោយ​ខ្លួន​ឯង។

ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា ក្បួនដោះស្រាយមានពីរដំណាក់កាល៖
1) ការស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ;
2) ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់ដែលត្រូវការ។

ការត្រួតពិនិត្យក៏ត្រូវបានអនុវត្តជាពីរជំហានផងដែរ (សូមមើលគំរូក្នុងឧទាហរណ៍ទី 2) អ្នកត្រូវការ៖
1) ត្រូវប្រាកដថាដំណោះស្រាយពិសេសដែលបានរកឃើញបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង;
2) ពិនិត្យមើលថាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយជាទូទៅបំពេញសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ឧទាហរណ៍ ៥

ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល បំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង។ ដំណើរការការត្រួតពិនិត្យ។

ការសម្រេចចិត្ត៖ជាដំបូង ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅមួយ។ សមីការនេះមានឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលត្រៀមរួចជាស្រេចហើយ ដែលមានន័យថាដំណោះស្រាយត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ។ បែងចែកអថេរ៖

យើងរួមបញ្ចូលសមីការ៖

អាំងតេក្រាលនៅខាងឆ្វេងគឺជាតារាង អាំងតេក្រាលនៅខាងស្តាំត្រូវបានយក វិធីសាស្រ្តនៃការបូកសរុបអនុគមន៍នៅក្រោមសញ្ញានៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល:

អាំងតេក្រាលទូទៅត្រូវបានទទួល តើអាចបង្ហាញដំណោះស្រាយទូទៅដោយជោគជ័យបានទេ? អាច។ យើងព្យួរលោការីតទាំងសងខាង។ ដោយសារពួកគេមានភាពវិជ្ជមាន សញ្ញាម៉ូឌុលគឺមិនអាចខ្វះបាន៖

(ខ្ញុំសង្ឃឹមថាអ្នកទាំងអស់គ្នាយល់ពីការផ្លាស់ប្តូរ រឿងបែបនេះគួរតែដឹងរួចហើយ)

ដូច្នេះដំណោះស្រាយទូទៅគឺ៖

ចូរយើងស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយដែលត្រូវនឹងលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
នៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅជំនួសឱ្យ "x" យើងជំនួសសូន្យហើយជំនួសឱ្យ "y" លោការីតនៃពីរ:

ការរចនាដែលស្គាល់កាន់តែច្រើន៖

យើងជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញនៃថេរទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ។

ចម្លើយ៖ដំណោះស្រាយឯកជន៖

ពិនិត្យ៖ ជាដំបូងពិនិត្យមើលថាតើលក្ខខណ្ឌដំបូងត្រូវបានបំពេញ៖
- អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺល្អ។

ឥឡូវនេះ សូមពិនិត្យមើលថាតើដំណោះស្រាយជាក់លាក់ដែលបានរកឃើញបំពេញសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែរឬទេ។ យើងរកឃើញដេរីវេ៖

តោះមើលសមីការដើម៖ - វាត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ មានវិធីពីរយ៉ាងដើម្បីពិនិត្យ។ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបង្ហាញពីឌីផេរ៉ង់ស្យែលពីដេរីវេដែលបានរកឃើញ៖

យើងជំនួសដំណោះស្រាយជាក់លាក់ដែលបានរកឃើញ និងឌីផេរ៉ង់ស្យែលលទ្ធផលទៅក្នុងសមីការដើម :

យើងប្រើអត្តសញ្ញាណលោការីតជាមូលដ្ឋាន៖

សមភាពត្រឹមត្រូវត្រូវបានទទួល ដែលមានន័យថាដំណោះស្រាយជាក់លាក់ត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។

វិធីទីពីរនៃការត្រួតពិនិត្យគឺត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំង និងស៊ាំជាងមុន៖ ពីសមីការ បង្ហាញពីដេរីវេសម្រាប់នេះ យើងបែងចែកបំណែកទាំងអស់ដោយ៖

ហើយនៅក្នុង DE ដែលបានផ្លាស់ប្តូរ យើងជំនួសដំណោះស្រាយជាក់លាក់ដែលទទួលបាន និងដេរីវេដែលបានរកឃើញ។ ជាលទ្ធផលនៃភាពសាមញ្ញ សមភាពត្រឹមត្រូវក៏គួរតែត្រូវបានទទួលបានផងដែរ។

ឧទាហរណ៍ ៦

ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ បង្ហាញចម្លើយជាអាំងតេក្រាលទូទៅ។

នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

តើការលំបាកអ្វីខ្លះកំពុងរង់ចាំក្នុងការដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយនឹងអថេរដែលអាចបំបែកបាន?

1) វាមិនតែងតែច្បាស់ទេ (ជាពិសេសចំពោះតែទឹកតែ) ដែលអថេរអាចបំបែកបាន។ ពិចារណាឧទាហរណ៍តាមលក្ខខណ្ឌ៖ . នៅទីនេះអ្នកត្រូវយកកត្តាចេញពីតង្កៀប៖ និងបំបែកឫស៖ ។ របៀបបន្តគឺច្បាស់ណាស់។

2) ភាពលំបាកក្នុងការធ្វើសមាហរណកម្មខ្លួនឯង។ អាំងតេក្រាលតែងតែកើតឡើងមិនមែនជារឿងសាមញ្ញបំផុតនោះទេ ហើយប្រសិនបើមានគុណវិបត្តិនៅក្នុងជំនាញនៃការស្វែងរក អាំងតេក្រាលមិនកំណត់បន្ទាប់មកវានឹងពិបាកជាមួយ diffusers ជាច្រើន។ លើសពីនេះ តក្កវិជ្ជា "ចាប់តាំងពីសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺសាមញ្ញ ដូច្នេះសូមឱ្យអាំងតេក្រាលកាន់តែស្មុគស្មាញ" គឺមានប្រជាប្រិយភាពក្នុងចំណោមអ្នកចងក្រងនៃបណ្តុំ និងសៀវភៅណែនាំ។

3) ការផ្លាស់ប្តូរដោយថេរ។ ដូចដែលមនុស្សគ្រប់គ្នាបានកត់សម្គាល់ ថេរនៅក្នុងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយសេរី ហើយការបំប្លែងខ្លះមិនតែងតែច្បាស់សម្រាប់អ្នកចាប់ផ្តើមដំបូងឡើយ។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍សម្មតិកម្មមួយទៀត៖ . នៅក្នុងនោះ វាត្រូវបានណែនាំឱ្យគុណពាក្យទាំងអស់ដោយ 2: . ថេរលទ្ធផលគឺជាប្រភេទនៃថេរមួយចំនួន ដែលអាចត្រូវបានកំណត់ដោយ៖ . បាទ/ចាស ហើយ​ដោយ​សារ​មាន​លោការីត​នៅ​ផ្នែក​ខាង​ស្ដាំ នោះ​វា​គួរ​តែ​សរសេរ​តម្លៃ​ថេរ​ជា​ថេរ​មួយ​ទៀត៖ .

បញ្ហា​គឺ​ថា​ពួក​គេ​ជា​ញឹក​ញាប់​មិន​រំខាន​ជាមួយ​សន្ទស្សន៍​និង​ប្រើ​អក្សរ​ដដែល​។ ជាលទ្ធផល កំណត់ហេតុនៃការសម្រេចចិត្តមានទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

ខុសអ្វី? នេះគឺជាកំហុស! និយាយយ៉ាងតឹងរ៉ឹង បាទ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ តាមទស្សនៈជាក់ស្តែង វាមិនមានកំហុសទេ ពីព្រោះជាលទ្ធផលនៃការបំប្លែងនៃថេរអថេរ ថេរអថេរនៅតែទទួលបាន។

ឬឧទាហរណ៍មួយទៀត ឧបមាថាក្នុងដំណើរនៃការដោះស្រាយសមីការ អាំងតេក្រាលទូទៅមួយត្រូវបានទទួល។ ចម្លើយ​នេះ​មើល​ទៅ​អាក្រក់ ដូច្នេះ​គួរ​ប្តូរ​សញ្ញា​នៃ​ពាក្យ​នីមួយៗ៖ . ជាផ្លូវការមានកំហុសម្តងទៀត - នៅខាងស្តាំវាគួរតែត្រូវបានសរសេរ។ ប៉ុន្តែវាត្រូវបានបញ្ជាក់ក្រៅផ្លូវការថា "ដក" នៅតែថេរ ( ដែលដូចគ្នាទៅនឹងតម្លៃណាមួយ!)ដូច្នេះការដាក់ "ដក" មិនសមហេតុផលទេ ហើយអ្នកអាចប្រើអក្សរដូចគ្នាបាន។

ខ្ញុំនឹងព្យាយាមជៀសវាងវិធីសាស្រ្តដែលមិនចេះខ្វល់ខ្វាយ ហើយនៅតែដាក់លិបិក្រមផ្សេងៗសម្រាប់ថេរនៅពេលបំប្លែងពួកវា។

ឧទាហរណ៍ ៧

ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។ ដំណើរការការត្រួតពិនិត្យ។

ការសម្រេចចិត្ត៖សមីការនេះទទួលស្គាល់ការបំបែកអថេរ។ បែងចែកអថេរ៖

យើងរួមបញ្ចូលៈ

វាមិនចាំបាច់ក្នុងការកំណត់ថេរនៅទីនេះនៅក្រោមលោការីតទេ ព្រោះគ្មានអ្វីល្អនឹងកើតឡើងពីវាទេ។

ចម្លើយ៖អាំងតេក្រាលទូទៅ៖

ពិនិត្យ៖ បែងចែកចម្លើយ (មុខងារបង្កប់ន័យ)៖

យើងកម្ចាត់ប្រភាគ សម្រាប់ការនេះ យើងគុណទាំងពីរពាក្យដោយ៖

សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដើមត្រូវបានទទួល ដែលមានន័យថា អាំងតេក្រាលទូទៅត្រូវបានរកឃើញយ៉ាងត្រឹមត្រូវ។

ឧទាហរណ៍ ៨

ស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយរបស់ DE ។
,

នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​ធ្វើ​ដោយ​ខ្លួន​ឯង។ ព័ត៌មានជំនួយតែមួយគត់គឺថានៅទីនេះអ្នកទទួលបានអាំងតេក្រាលទូទៅ ហើយត្រឹមត្រូវជាងនេះទៅទៀត អ្នកត្រូវបង្កើតគំនិតដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ ប៉ុន្តែ អាំងតេក្រាលឯកជន. ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

៦.១. គោលគំនិត និងនិយមន័យជាមូលដ្ឋាន

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗនៃគណិតវិទ្យា និងរូបវិទ្យា ជីវវិទ្យា និងឱសថ ជារឿយៗវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការបង្កើតការពឹងផ្អែកមុខងារភ្លាមៗក្នុងទម្រង់ជារូបមន្តដែលភ្ជាប់អថេរដែលពិពណ៌នាអំពីដំណើរការដែលកំពុងសិក្សា។ ជាធម្មតា គេត្រូវប្រើសមីការដែលមាន បន្ថែមពីលើអថេរឯករាជ្យ និងមុខងារមិនស្គាល់ ដេរីវេរបស់វាផងដែរ។

និយមន័យ។សមីការដែលទាក់ទងនឹងអថេរឯករាជ្យ មុខងារមិនស្គាល់ និងដេរីវេនៃការបញ្ជាទិញផ្សេងៗត្រូវបានគេហៅថា ឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

មុខងារមិនស្គាល់ជាធម្មតាត្រូវបានបង្ហាញ y(x)ឬសាមញ្ញ yនិងនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វាគឺ y", y"ល។

ការសម្គាល់ផ្សេងទៀតក៏អាចធ្វើទៅបានដែរ ឧទាហរណ៍៖ ប្រសិនបើ y= x(t) បន្ទាប់មក x"(t), x""(t)គឺជានិស្សន្ទវត្ថុរបស់វា និង tគឺជាអថេរឯករាជ្យ។

និយមន័យ។ប្រសិនបើអនុគមន៍អាស្រ័យលើអថេរមួយ នោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថាធម្មតា។ ទម្រង់ទូទៅ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា៖

ឬ

មុខងារ ចនិង fប្រហែលជាមិនមានអាគុយម៉ង់មួយចំនួន ប៉ុន្តែដើម្បីឱ្យសមីការមានឌីផេរ៉ង់ស្យែល វត្តមានរបស់ដេរីវេគឺចាំបាច់។

និយមន័យ។លំដាប់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាលំដាប់នៃដេរីវេខ្ពស់បំផុតដែលមាននៅក្នុងវា។

ឧទាហរណ៍, x 2 y"- y= 0, y" + sin x= 0 គឺជាសមីការលំដាប់ទីមួយ និង y"+ 2 y"+ 5 y= xគឺជាសមីការលំដាប់ទីពីរ។

នៅពេលដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល ប្រតិបត្តិការសមាហរណកម្មត្រូវបានប្រើ ដែលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងរូបរាងនៃថេរបំពាន។ ប្រសិនបើសកម្មភាពរួមបញ្ចូលត្រូវបានអនុវត្ត នដង, បន្ទាប់មក, ជាក់ស្តែង, ដំណោះស្រាយនឹងមាន នអថេរបំពាន។

៦.២. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលការបញ្ជាទិញដំបូង

ទម្រង់ទូទៅ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយត្រូវបានកំណត់ដោយកន្សោម

សមីការ​អាច​នឹង​មិន​មាន​យ៉ាង​ច្បាស់ xនិង yប៉ុន្តែចាំបាច់មាន y"។

ប្រសិនបើសមីការអាចត្រូវបានសរសេរជា

បន្ទាប់មកយើងទទួលបានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយគោរពតាមដេរីវេ។

និយមន័យ។ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ (6.3) (ឬ (6.4)) គឺជាសំណុំនៃដំណោះស្រាយ កន្លែងណា ជាមួយគឺ​ជា​ថេរ​ដែល​បំពាន។

ក្រាហ្វសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថា ខ្សែកោងអាំងតេក្រាល។

ការផ្តល់អថេរតាមអំពើចិត្ត ជាមួយតម្លៃខុសគ្នា វាអាចទៅរួចដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយជាក់លាក់។ លើផ្ទៃ xOyដំណោះស្រាយទូទៅគឺជាក្រុមគ្រួសារនៃខ្សែកោងអាំងតេក្រាលដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងដំណោះស្រាយជាក់លាក់នីមួយៗ។

ប្រសិនបើអ្នកកំណត់ចំណុចមួយ។ A(x0, y0),តាមរយៈដែលខ្សែកោងអាំងតេក្រាលត្រូវតែឆ្លងកាត់ បន្ទាប់មកជាក្បួនពីសំណុំមុខងារ មួយអាចត្រូវបានជ្រើសរើសចេញ - ដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ។

និយមន័យ។ការសម្រេចចិត្តឯកជននៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល គឺជាដំណោះស្រាយរបស់វា ដែលមិនមានអថេរតាមអំពើចិត្ត។

ប្រសិនបើ ក គឺជាដំណោះស្រាយទូទៅ បន្ទាប់មកពីលក្ខខណ្ឌ

អ្នកអាចរកឃើញអចិន្ត្រៃយ៍ ជាមួយ។លក្ខខណ្ឌត្រូវបានគេហៅថា លក្ខខណ្ឌដំបូង។

បញ្ហានៃការស្វែងរកដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (6.3) ឬ (6.4) ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង នៅ បានហៅ បញ្ហា Cauchy ។តើបញ្ហានេះតែងតែមានដំណោះស្រាយទេ? ចម្លើយមាននៅក្នុងទ្រឹស្តីបទខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cauchy(ទ្រឹស្តីបទនៃអត្ថិភាព និងភាពប្លែកនៃដំណោះស្រាយ)។ អនុញ្ញាតឱ្យនៅក្នុងសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល y"= f(x, y)មុខងារ f(x, y)និងនាង

ដេរីវេដោយផ្នែក កំណត់និងបន្តនៅក្នុងមួយចំនួន

តំបន់ ឃមានចំណុច បន្ទាប់មកនៅក្នុងតំបន់ ឃមាន

ដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះសមីការដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង នៅ

ទ្រឹស្តីបទរបស់ Cauchy ចែងថានៅក្រោមលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់មួយមានខ្សែកោងអាំងតេក្រាលតែមួយគត់ y= f(x),ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ ចំណុចដែលលក្ខខណ្ឌនៃទ្រឹស្តីបទមិនពេញចិត្ត

ឆ្មាត្រូវបានគេហៅថា ពិសេស។សម្រាកនៅចំណុចទាំងនេះ f(x, y) ឬ។

ខ្សែកោងអាំងតេក្រាលជាច្រើនឆ្លងកាត់ចំណុចឯកវចនៈ ឬគ្មាន។

និយមន័យ។ប្រសិនបើដំណោះស្រាយ (6.3), (6.4) ត្រូវបានរកឃើញក្នុងទម្រង់ f(x, y, គ)= 0 មិនត្រូវបានអនុញ្ញាតទាក់ទងនឹង y បន្ទាប់មកវាត្រូវបានហៅ អាំងតេក្រាលធម្មតា។សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

ទ្រឹស្តីបទ Cauchy ធានាបានតែដំណោះស្រាយមួយប៉ុណ្ណោះ។ ដោយសារមិនមានវិធីសាស្រ្តតែមួយសម្រាប់ការស្វែងរកដំណោះស្រាយទេ យើងនឹងពិចារណាតែប្រភេទមួយចំនួននៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយប៉ុណ្ណោះដែលអាចបញ្ចូលទៅក្នុង ការ៉េ។

និយមន័យ។សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលត្រូវបានគេហៅថា រួមបញ្ចូលគ្នានៅក្នុង quadratures,ប្រសិនបើការស្វែងរកដំណោះស្រាយរបស់វាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការរួមបញ្ចូលមុខងារ។

៦.២.១. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបាន។

និយមន័យ។សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយត្រូវបានគេហៅថាសមីការជាមួយ អថេរដែលអាចបំបែកបាន,

ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ (6.5) គឺជាផលគុណនៃអនុគមន៍ពីរ ដែលនីមួយៗអាស្រ័យទៅលើអថេរតែមួយ។

ឧទាហរណ៍ សមីការ គឺជាសមីការជាមួយនឹងការបំបែក

អថេរឆ្លងកាត់
និងសមីការ

មិនអាចត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់ (6.5) ។

បានផ្តល់ឱ្យនោះ។ យើងសរសេរឡើងវិញ (6.5) ជា

ពីសមីការនេះ យើងទទួលបានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយនឹងអថេរដាច់ដោយឡែក ដែលឌីផេរ៉ង់ស្យែលមានមុខងារដែលអាស្រ័យតែលើអថេរដែលត្រូវគ្នាប៉ុណ្ណោះ៖

ការរួមបញ្ចូលពាក្យតាមពាក្យ យើងមាន

ដែលជាកន្លែងដែល C = C 2 - C 1 គឺជាថេរដែលបំពាន។ កន្សោម (6.6) គឺជាអាំងតេក្រាលទូទៅនៃសមីការ (6.5) ។

បែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ (6.5) ដោយ យើងអាចបាត់បង់ដំណោះស្រាយទាំងនោះដែល ជាការពិតណាស់ប្រសិនបើ នៅ

បន្ទាប់មក ច្បាស់ជាដំណោះស្រាយនៃសមីការ (៦.៥)។

ឧទាហរណ៍ ១ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដែលពេញចិត្ត

លក្ខខណ្ឌ៖ y= 6 នៅ x= 2 (យ(2) = 6).

ការសម្រេចចិត្ត។ចូរជំនួស នៅ"សម្រាប់ពេលនោះ . គុណទាំងសងខាងដោយ

dx,ចាប់តាំងពីការរួមបញ្ចូលបន្ថែមទៀត វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការចាកចេញ dxនៅក្នុងភាគបែង៖

ហើយបន្ទាប់មកបែងចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ យើងទទួលបានសមីការ

ដែលអាចត្រូវបានរួមបញ្ចូល។ យើងរួមបញ្ចូលៈ

បន្ទាប់មក ; សក្តានុពល យើងទទួលបាន y = C ។ (x + 1) - ob-

ដំណោះស្រាយ។

ដោយផ្អែកលើទិន្នន័យដំបូង យើងកំណត់ថេរដោយបំពានដោយជំនួសពួកវាទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ

ទីបំផុតយើងទទួលបាន y= 2(x + 1) គឺជាដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ។ សូមពិចារណាឧទាហរណ៍មួយចំនួនទៀតនៃការដោះស្រាយសមីការជាមួយនឹងអថេរដែលអាចបំបែកបាន។

ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ

ការសម្រេចចិត្ត។បានផ្តល់ឱ្យនោះ។ , យើង​ទទួល​បាន .

ការរួមបញ្ចូលភាគីទាំងពីរនៃសមីការយើងមាន

កន្លែងណា

ឧទាហរណ៍ ៣ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ ការសម្រេចចិត្ត។យើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយកត្តាទាំងនោះដែលអាស្រ័យលើអថេរដែលមិនស្របគ្នានឹងអថេរនៅក្រោមសញ្ញាឌីផេរ៉ង់ស្យែល ពោលគឺដោយ និងរួមបញ្ចូល។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន

ជា​ចុងក្រោយ

ឧទាហរណ៍ 4ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ

ការសម្រេចចិត្ត។ដឹងពីអ្វីដែលយើងនឹងទទួលបាន។ ផ្នែក-

អថេរ lim ។ បន្ទាប់មក

ការរួមបញ្ចូលយើងទទួលបាន

មតិយោបល់។ក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 និងទី 2 មុខងារដែលចង់បាន yបង្ហាញយ៉ាងច្បាស់ (ដំណោះស្រាយទូទៅ) ។ ក្នុងឧទាហរណ៍ទី 3 និងទី 4 - ដោយប្រយោល (អាំងតេក្រាលទូទៅ) ។ នៅពេលអនាគតទម្រង់នៃការសម្រេចចិត្តនឹងមិនត្រូវបានបញ្ជាក់ទេ។

ឧទាហរណ៍ ៥ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ ការសម្រេចចិត្ត។

ឧទាហរណ៍ ៦ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ ពេញចិត្ត

លក្ខខណ្ឌ y(e)= 1.

ការសម្រេចចិត្ត។យើងសរសេរសមីការក្នុងទម្រង់

គុណភាគីទាំងពីរនៃសមីការដោយ dxហើយនៅលើយើងទទួលបាន

ការរួមបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការ (អាំងតេក្រាលនៅខាងស្តាំត្រូវបានយកដោយផ្នែក) យើងទទួលបាន

ប៉ុន្តែតាមលក្ខខណ្ឌ y= 1 នៅ x= អ៊ី. បន្ទាប់មក

ជំនួសតម្លៃដែលបានរកឃើញ ជាមួយចូលទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅ៖

កន្សោមលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល។

៦.២.២. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នានៃលំដាប់ទីមួយ

និយមន័យ។សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយត្រូវបានគេហៅថា ដូចគ្នាប្រសិនបើវាអាចត្រូវបានតំណាងជា

យើងបង្ហាញក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការដូចគ្នា។

1. ជំនួសវិញ។ yណែនាំមុខងារថ្មី បន្ទាប់មក ហេតុ​ដូចនេះ​ហើយ

2. នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃមុខងារ យូសមីការ (6.7) យកទម្រង់

i.e. ការជំនួសកាត់បន្ថយសមីការដូចគ្នាទៅជាសមីការដែលមានអថេរដែលអាចបំបែកបាន។

3. ការដោះស្រាយសមីការ (6.8) ដំបូងយើងរកឃើញ u ហើយបន្ទាប់មក y= យូ

ឧទាហរណ៍ ១ដោះស្រាយសមីការ ការសម្រេចចិត្ត។យើងសរសេរសមីការក្នុងទម្រង់

យើងធ្វើការជំនួស៖
បន្ទាប់មក

ចូរជំនួស

គុណនឹង dx៖ ចែកដោយ xនិងនៅលើ បន្ទាប់មក

ការរួមបញ្ចូលផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយគោរពទៅនឹងអថេរដែលត្រូវគ្នា យើងមាន

ឬត្រឡប់ទៅអថេរចាស់ ទីបំផុតយើងទទួលបាន

ឧទាហរណ៍ ២ដោះស្រាយសមីការ ការសម្រេចចិត្ត។អនុញ្ញាតឱ្យមាន បន្ទាប់មក

ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ x2៖ តោះបើកតង្កៀប ហើយរៀបចំលក្ខខណ្ឌឡើងវិញ៖

បន្តទៅអថេរចាស់ យើងមកដល់លទ្ធផលចុងក្រោយ៖

ឧទាហរណ៍ ៣ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ បានផ្តល់ឱ្យនោះ។

ការសម្រេចចិត្ត។អនុវត្តការជំនួសស្តង់ដារ យើង​ទទួល​បាន

ឬ

ឬ

ដូច្នេះដំណោះស្រាយពិសេសមានទម្រង់ ឧទាហរណ៍ 4ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ

ការសម្រេចចិត្ត។

ឧទាហរណ៍ ៥ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ ការសម្រេចចិត្ត។

ការងារឯករាជ្យ

ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយអថេរដែលអាចបំបែកបាន។ (1-9).

ស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដូចគ្នា។ (9-18).

៦.២.៣. កម្មវិធីមួយចំនួននៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីមួយ

បញ្ហានៃការបំផ្លាញវិទ្យុសកម្ម

អត្រានៃការពុកផុយរបស់រ៉ា (រ៉ាដ្យូម) នៅរាល់ពេលនៃពេលវេលាគឺសមាមាត្រទៅនឹងម៉ាស់ដែលមាន។ ស្វែងរកច្បាប់នៃការបំបែកវិទ្យុសកម្មរបស់ Ra ប្រសិនបើគេដឹងថានៅពេលដំបូងមាន Ra ហើយពាក់កណ្តាលជីវិតរបស់ Ra គឺ 1590 ឆ្នាំ។

ការសម្រេចចិត្ត។ទុក​ពេល​នេះ​ម៉ាស​រ៉ា​ទៅ x= x(t) g, និង បន្ទាប់មកអត្រាពុករលួយរបស់រ៉ាគឺ

តាមភារកិច្ច

កន្លែងណា k

ការបំបែកអថេរនៅក្នុងសមីការចុងក្រោយ និងការរួមបញ្ចូល យើងទទួលបាន

កន្លែងណា

សម្រាប់ការកំណត់ គយើងប្រើលក្ខខណ្ឌដំបូង៖ .

បន្ទាប់មក ហើយ​ដូច្នេះ,

កត្តាសមាមាត្រ kកំណត់ពីលក្ខខណ្ឌបន្ថែម៖

យើង​មាន

ពី​ទីនេះ និងរូបមន្តដែលចង់បាន

បញ្ហានៃអត្រានៃការបន្តពូជរបស់បាក់តេរី

អត្រានៃការបន្តពូជរបស់បាក់តេរីគឺសមាមាត្រទៅនឹងចំនួនរបស់វា។ នៅពេលដំបូងមានបាក់តេរី 100 ។ ក្នុងរយៈពេល 3 ម៉ោងចំនួនរបស់ពួកគេបានកើនឡើងទ្វេដង។ ស្វែងរកការពឹងផ្អែកនៃចំនួនបាក់តេរីទាន់ពេលវេលា។ តើចំនួនបាក់តេរីនឹងកើនឡើងប៉ុន្មានដងក្នុងរយៈពេល 9 ម៉ោង?

ការសម្រេចចិត្ត។អនុញ្ញាតឱ្យមាន x- ចំនួនបាក់តេរីនៅពេលនេះ t.បន្ទាប់​មក​តាម​លក្ខខណ្ឌ​។

កន្លែងណា k- មេគុណសមាមាត្រ។

ពី​ទីនេះ វាត្រូវបានគេស្គាល់ពីលក្ខខណ្ឌថា . មានន័យថា

ពីលក្ខខណ្ឌបន្ថែម . បន្ទាប់មក

មុខងារដែលត្រូវការ៖

ដូច្នេះ នៅ t= 9 x= 800 ពោលគឺក្នុងរយៈពេល 9 ម៉ោង ចំនួនបាក់តេរីកើនឡើង 8 ដង។

ភារកិច្ចបង្កើនបរិមាណអង់ស៊ីម

នៅក្នុងវប្បធម៌នៃដំបែរបស់ស្រាបៀរ អត្រាកំណើននៃអង់ស៊ីមសកម្មគឺសមាមាត្រទៅនឹងបរិមាណដំបូងរបស់វា។ x.បរិមាណអង់ស៊ីមដំបូង កកើនឡើងទ្វេដងក្នុងរយៈពេលមួយម៉ោង។ ស្វែងរកភាពអាស្រ័យ

x(t)

ការសម្រេចចិត្ត។តាមលក្ខខណ្ឌ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃដំណើរការមានទម្រង់

ពី​ទីនេះ

ប៉ុន្តែ . មានន័យថា គ= កហើយ​បន្ទាប់​មក

វាត្រូវបានគេស្គាល់ផងដែរ។

អាស្រ័យហេតុនេះ

៦.៣. សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរ

៦.៣.១. គំនិតជាមូលដ្ឋាន

និយមន័យ។សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរត្រូវបានគេហៅថាទំនាក់ទំនងដែលភ្ជាប់អថេរឯករាជ្យ មុខងារដែលចង់បាន និងដេរីវេទីវ័រទីមួយ និងទីពីររបស់វា។

ក្នុងករណីពិសេស x អាចអវត្តមានក្នុងសមីការ។ នៅឬ y"។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សមីការលំដាប់ទីពីរត្រូវតែមាន y"។ ក្នុងករណីទូទៅ សមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលំដាប់ទីពីរត្រូវបានសរសេរជា៖

ឬប្រសិនបើអាចធ្វើទៅបាន ក្នុងទម្រង់អនុញ្ញាតសម្រាប់ដេរីវេទី 2៖

ដូចនៅក្នុងករណីនៃសមីការលំដាប់ទីមួយ សមីការលំដាប់ទីពីរអាចមានដំណោះស្រាយទូទៅ និងជាក់លាក់មួយ។ ដំណោះស្រាយទូទៅមើលទៅដូចនេះ៖

ស្វែងរកដំណោះស្រាយឯកជន

នៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដំបូង - ផ្តល់ឱ្យ

លេខ) ត្រូវបានហៅ បញ្ហា Cauchy ។តាមធរណីមាត្រ នេះមានន័យថាវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកខ្សែកោងអាំងតេក្រាល។ នៅ= y(x),ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយមានតង់សង់នៅចំណុចនេះ ដែលនិយាយអំពី

សមដែលមានទិសដៅអ័ក្សវិជ្ជមាន គោមុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ អ៊ី (រូបភាព 6.1) ។ បញ្ហា Cauchy មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ (6.10) មិន​មាន​មុន

គឺមិនបន្ត និងមាននិស្សន្ទវត្ថុជាផ្នែកបន្តទាក់ទងនឹង អ្នក, អ្នក"នៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុចចាប់ផ្តើម

ដើម្បីស្វែងរកថេរ រួមបញ្ចូលនៅក្នុងដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយ វាចាំបាច់ក្នុងការអនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធ

អង្ករ។ ៦.១.ខ្សែកោងអាំងតេក្រាល។