Одними из классических определений понятия «функция» считаются определения на базе соответствий. Приведем ряд таких определений.

Определение 1

Зависимость, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, называется функцией .

Определение 2

Пусть даны два непустых множества $X$ и $Y$. Соответствие $f$, которое каждому $x\in X$ сопоставляет один и только один $y\in Y$ Называется функцией ($f:X → Y$).

Определение 3

Пусть $M$ и $N$ - два произвольных числовых множества. Говорят, что на $M$ определена функция $f$, принимающая значения из $N$, если каждому элементу $x\in X$ поставлен в соответствие один и только один элемент из $N$.

Следующее определение дается через понятие переменной величины. Переменной величиной называется величина, которая в данном исследовании принимает различные числовые значения.

Определение 4

Пусть $M$ - множество значений переменной величины $x$. Тогда, сели каждому значению $x\in M$ соответствует одно определенное значение другой переменной величины $y$ есть функция величины $x$, определенной на множестве $M$.

Определение 5

Пусть $X$ и $Y$ - некоторые числовые множества. Функцией называется множество $f$ упорядоченных пар чисел $(x,\ y)$ таких, что $x\in X$, $y\in Y$ и каждое $x$ входит в одну и только одну пару этого множества, а каждое $y$ входит, по крайней мере, в одну пару .

Определение 6

Всякое множество $f=\{\left(x,\ y\right)\}$ упорядоченных пар $\left(x,\ y\right)$ таких, что для любых пар $\left(x",\ y"\right)\in f$ и $\left(x"",\ y""\right)\in f$ из условия $y"≠ y""$ следует, что $x"≠x""$ называется функцией или отображением .

Определение 7

Функция $f:X → Y$ - это множество $f$ упорядоченных пар $\left(x,\ y\right)\in X\times Y$, таких, что для любого элемента $x\in X$ существует единственный элемент $y\in Y$ такой, что $\left(x,\ y\right)\in f$, то есть функция -- кортеж объектов $\left(f,\ X,\ Y\right)$.

В этих определениях

$x$ - независимая переменная.

$y$ - зависимая переменная.

Все возможные значения переменной $x$ называется областью определения функции , а все возможные значения переменной $y$ называется областью значения функции.

Аналитический способ задания функции

Для этого способа нам понадобится понятие аналитического выражения.

Определение 8

Аналитическим выражением называется произведение всех возможных математических операций над какими-либо числами и переменными.

Аналитическим способом задания функции и является её задание с помощью аналитического выражения.

Пример 1

$y=x^2+7x-3$, $y=\frac{x+5}{x+2}$, $y=cos5x$.

Плюсы:

1. С помощью формул мы можем определить значение функции для любого определенного значения переменной $x$;
2. Функции, заданные таким способом можно изучать с помощью аппарата математического анализа.

Минусы:

1. Малая наглядность.
2. Иногда приходится производить очень громоздкие вычисления.

Табличный способ задания функции

Данный способ задания состоит в том, что для нескольких значений независимой переменной выписываются значения зависимой переменной. Все это вносится в таблицу.

Пример 2

Рисунок 1.

Плюс: Для любого значения независимой переменной $x$, которая внесена в таблицу, сразу узнается соответствующее значение функции $y$.

Минусы:

1. Чаще всего, нет полного задания функции;
2. Малая наглядность.

Функции могут быть заданы самыми различными способами. Однако, наиболее часто встречаются следующие три способа задания функций: аналитический, табличный и графический.

Аналитический способ задания функции. При аналитическом способе задания функция определяется с помощью аналитического выражения, т. е. с помощью формулы, указывающей, какие действия надо совершить над значением аргумента, чтобы получить соответствующее значение функции.

В п. 2 и 3 мы уже встречались с функциями, заданными с помощью формул, т. е. аналитически. При этом в п. 2 для функции область определения ) была установлена, исходя из геометрических соображений, а для функции область задания была указана в условии. В п. 3 для функции область определения также задавалась по условию. Однако очень часто функция задается только с помощью аналитического выражения (формулы), без каких-либо дополнительных условий. В таких случаях под областью определения функции мы будем понимать совокупность всех тех значений аргумента, для которых это выражение имеет смысл и приводит к действительным значениям функции.

Пример 1. Найти область определения функции

Решение. Функция задана только формулой, ее область определения не указана и никаких дополнительных условий нет. Поэтому под областью определения этой функции мы должны понимать совокупность всех тех значений аргумента для которых выражение имеет действительные значения. Для этого должно быть . Решая это неравенство, приходим к заключению, что областью определения данной функции является сегмент [-1.1].

Пример 2. Найти область определения функции .

Решение. Область определения, очевидно, состоит из двух бесконечных интервалов , так как выражение не и имеет смысла при а при всех остальных значениях определено.

Читатель теперь сам легко увидит, что для функции областью определения будет вся числовая ось, а для функции - бесконечный интервал

Следует обратить внимание на то, что нельзя отождествлять функцию и формулу, с помощью которой задается эта функция. Посредством одной и той же формулы можно задать различные функции. В самом деле, в п. 2 мы рассматривали функцию с областью определения в п. 3 строился график для функции с областью определения . И, наконец, только что мы рассмотрели функцию, заданную только формулой без каких-либо дополнительных условий. Областью определения этой функции является вся числовая ось. Эти три функции различны между собой, так как они имеют разные области определения. Но задаются они с помощью одной и той же формулы.

Возможен и обратный случай, когда одна функция на различных участках ее области определения задается различными формулами. Например, рассмотрим функцию у, определенную для всех неотрицательных значений следующим образом: при при т. е.

Эта функция определена двумя аналитическими выражениями, действующими на различных участках ее области определения. График данной функции изображен на рис. 18.

Табличный способ задания функции. При табличном задании функции составляется таблица, в которой указывается ряд значений аргумента и соответствующих значений функции. Широко известны логарифмические таблицы, таблицы значений тригонометрических функций и многие другие. Довольно часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных непосредственно из опыта. В нижеследующей таблице приведены полученные из опыта удельные сопротивления меди (в см - сантиметрах) при различных температурах t (в градусах):

Графический способ задания функции. При графическом задании дается график функции, и ее значения, соответствующие тем или иным значениям аргумента, непосредственно находятся из этого графика. Во многих случаях такие графики чертятся с помощью самопишущих приборов.

Приводятся основные способы задания функций: явный аналитический; интервальный; параметрический; неявный; задание функции с помощью ряда; табличный; графический. Примеры применения этих способов

Существуют следующие способы задания функции y = f(x) :

1. Явный аналитический способ по формуле вида y = f(x) .
2. Интервальный.
3. Параметрический: x = x(t) , y = y(t) .
4. Неявный, как решение уравнения F(x, y) = 0 .
5. В виде ряда, составленного из известных функций.
6. Табличный.
7. Графический.

Явный способ задания функции

При явном способе , значение функции определяется по формуле, представляющем собой уравнение y = f(x) . В левой части этого уравнения стоит зависимая переменная y , а в правой - выражение, составленное из независимой переменной x , постоянных, известных функций и операций сложения, вычитания, умножения и деления. Известными функциями являются элементарные функции и специальные функции, значения которых можно вычислить, используя средства вычислительной техники.

Вот несколько примеров явного задания функции с независимой переменной x и зависимой переменной y :
;
;
.

Интервальный способ задания функции

При интервальном способе задания функции , область определения разбивается на несколько интервалов, и функция задается отдельно для каждого интервала.

Вот несколько примеров интервального способа задания функции:

Параметрический способ задания функции

При параметрическом способе , вводится новая переменная, которую называют параметром. Далее задают значения x и y как функции от параметра, используя явный способ задания:
(1)

Вот примеры параметрического способа задания функции, используя параметр t :

Преимущество параметрического способа заключается в том, что одну и ту же функцию можно задать бесконечным числом способов. Например, функцию можно задать так:

А можно и так:

Такая свобода выбора, в некоторых случаях, позволяет применять этот способ для решения уравнений (см. «Дифференциальные уравнения, не содержащие одну из переменных »). Суть применения заключается в том, что мы подставляем в уравнение вместо переменных x и y две функции и . Затем задаем одну из них по собственному усмотрению, чтобы из получившегося уравнения можно было определить другую.

Также этот способ применяется для упрощения расчетов. Например, зависимость координат точек эллипса с полуосями a и b можно представить так:
.
В параметрическом виде этой зависимости можно придать более простую форму:
.

Уравнения (1) - это не единственный способ параметрического задания функции. Можно вводить не один, а несколько параметров, связав их дополнительными уравнениями. Например можно ввести два параметра и . Тогда задание функции будет выглядеть так:

Здесь появляется дополнительное уравнение , связывающее параметры. Если число параметров равно n , то должно быть n - 1 дополнительных уравнений.

Пример применения нескольких параметров изложен на странице «Дифференциальное уравнение Якоби ». Там решение ищется в следующем виде:
(2) .
В результате получается система уравнений. Чтобы ее решить, вводят четвертый параметр t . После решения системы получается три уравнения, связывающие четыре параметра и .

Неявный способ задания функции

При неявном способе , значения функции определяется из решения уравнения .

Например, уравнение эллипса имеет вид:
(3) .
Это простое уравнение. Если мы рассматриваем только верхнюю часть эллипса, , то можно выразить переменную y как функцию от x явным способом:
(4) .
Но даже если можно свести (3) к явному способу задания функции (4), последней формулой не всегда удобно пользоваться. Например, чтобы найти производную , удобно дифференцировать уравнение (3), а не (4):
;
.

Задание функции рядом

Исключительно важным способом задания функции является ее представление в виде ряда , составленного из известных функций. Этот способ позволяет исследовать функцию математическими методами и вычислять ее значения для прикладных задач.

Самым распространенным представлением является задание функции с помощью степенного ряда. При этом используется ряд степенных функций:
.
Также применяется ряд и с отрицательными степенями:
.
Например, функция синус имеет следующее разложение:
(5) .
Подобные разложения широко применяются в вычислительной технике для вычисления значений функций, поскольку они позволяют свести вычисления к арифметическим операциям.

В качестве иллюстрации, вычислим значение синуса от 30°, используя разложение (5).
Переводим градусы в радианы:
.
Подставляем в (5):



.

В математике, на ряду со степенными рядами, широко применяются разложения в тригонометрические ряды по функциям и , а также по другим специальным функциям. С помощью рядов можно производить приближенные вычисления интегралов, уравнений (дифференциальных, интегральных, в частных производных) и исследовать их решения.

Табличный способ задания функции

При табличном способе задания функции мы имеем таблицу, которая содержит значения независимой переменной x и соответствующие им значения зависимой переменной y . Независимая и зависимая переменные могут иметь разные обозначения, но мы здесь используем x и y . Чтобы определить значение функции при заданном значении x , мы по таблице, находим значение x , наиболее близкое к нашему значению. После этого определяем соответствующее значение зависимой переменной y .

Для более точного определения значения функции, мы считаем, что функция между двумя соседними значениями x линейна, то есть имеет следующий вид:
.
Здесь - значения функции, найденные из таблицы, при соответствующих им значениях аргументов .
Рассмотрим пример. Пусть нам нужно найти значение функции при . Из таблицы находим:
.
Тогда

.
Точное значение:
.
Из этого примера видно, что применение линейной аппроксимации привело к повышению точности в определении значения функции.

Табличный способ применяется в прикладных науках. До развития вычислительной техники, он широко применялся в инженерных и других расчетах. Сейчас табличный способ применяется в статистике и экспериментальных науках для сбора и анализа экспериментальных данных.

Графический способ задания функции

При графическом способе , значение функции определяется из графика, по оси абсцисс которого откладываются значения независимой переменной, а по оси ординат - зависимой.

Графический способ дает наглядное представление о поведении функции. Результаты исследования функции часто иллюстрируют ее графиком. Из графика можно определить приближенное значение функции. Это позволяет использовать графический способ в прикладных и инженерных науках.

>>Математика: Способы задания функции

Способы задания функции

Приводя в предыдущем параграфе различные примеры функций, мы несколько обеднили само понятие функции .

Ведь задать функцию - это значит указать правило, которое позволяет по произвольно выбранному значению х из Б(0 вычислить соответствующее значение у. Чаще всего это правило связано с формулой или с несколькими формулами - такой способ задания функции обычно называют аналитическим. Все функции, рассмотренные в § 7, были заданы аналитически. Между тем есть другие способы задания функции, о них и пойдет речь в настоящем параграфе.

Если функция была задана аналитически и нам удалось построить график функции, то мы фактически перешли от аналитического способа задания функции к графическому. Обратный же переход удается осуществить далеко не всегда. Как правило, это довольно трудная, но интересная задача.

Не всякая линия на координатной плоскости может рассматриваться как график некоторой функции. Например, окружность , заданная уравнением х 2 + у 2 - 9 (рис. 51), не является графиком функции, поскольку любая прямая х = а, где | а | <3, пересекает эту линию в д в у х точках (а для задания функции таких точек должно быть не более одной, т.е. прямая х = а должна пересекать линию F только в одной точке либо вообще не должна ее пересекать).

В то же время если эту окружность разрезать на две части - верхнюю полуокружность (рис. 52) и нижнюю полуокружность (рис. 53), - то каждую из полуокружностей можно считать графиком некоторой функции, причем в обоих случаях несложно от графического способа задания функции перейти к аналитическому.

Из уравнения х 2 + у 2 = 9 находим у 2 = 9 - х 2 и далее Графиком функции является верхняя полуокружность окружности х 2 + у 2 =9 (рис. 52), а графиком функции является нижняя полуокружность окружности х 2 + у 2 = 9 (рис. 53).

Этот пример позволяет обратить внимание на одно существенное обстоятельство. Посмотрите на график функции (рис. 52). Сразу ясно, что D(f) = [-3, 3]. А если бы речь шла об отыскании области определения аналитически заданной функции Тогда пришлось бы, как мы это делали в § 7, тратить время и силы на решение неравенства Потому-то обычно и стараются работать одновременно и с аналитическим, и с графическим способами задания функций. Впрочем, за два года изучения курса алгебры в школе вы к этому уже привыкли.

Кроме аналитического и графического, на практике применяют табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, в которой указаны значения функции (иногда точные, иногда приближенные) для конечного множества значений аргумента. Примерами табличного задания функции могут служить таблицы квадратов чисел, кубов чисел, квадратных корней и т.д.

Во многих случаях табличное задание функции является удобным. Оно позволяет найти значение функции для имеющихся в таблице значений аргумента без всяких вычислений.

Аналитический, графический, табличный - наитабличный, более простые, а потому наиболее популярные словесный задания функции, для наших нужд этих способов вполне достаточно. На самом деле в математике имеется довольно много различных способов задания функции, но мы познакомим вас еще только с одним способом, который используется в весьма своеобразных ситуациях. Речь идет о словесном способе, когда правило задания функции описывается словами. Приведем примеры.

Пример 1.

Функция у = f(х) задана на множестве всех неотрицательных чисел с помощью следующего правила: каждому числу х > 0 ставится в соответствие первый знак после запятой в десятичной записи числа х. Если, скажем, х = 2,534, то f(х) = 5 (первый знак после запятой - цифра 5); если х = 13,002, то f(х) = 0; если то, записав в виде бесконечной десятичной дроби 0,6666..., находим f(х) = 6. А чему равно значение f(15)? Оно равно 0, так как 15 = 15,000... , и мы видим, что первый десятичный знак после запятой есть 0 (вообще-то верно и равенство 15 = 14,999... , но математики договорились не рассматривать бесконечные периодические десятичные дроби с периодом 9).

Любое неотрицательное число х можно записать в виде десятичной дроби (конечной или бесконечной), а потому для каждого значения х можно найти определенное значение первого знака после запятой, так что мы можем говорить о функции, хотя и несколько необычной. У этой функции
Пример 2.

Функция у = f(х) задана на множестве всех действительных чисел с помощью следующего правила: каждому числу х ставится в соответствие наибольшее из всех целых чисел, которые не превосходят х. Иными словами, функция у = f(х) определяется следующими условиями:

а) f(х) - целое число;
б) f(х) < х (поскольку f(х) не превосходит х);
в) f(х) + 1 > х (поскольку f(х) - наибольшее целое число, не превосходящее х, значит, f(х) + 1 уже больше, чем г). Если, скажем, х = 2,534, то f(х) = 2, поскольку, во-первых, 2 - целое число, во-вторых, 2 < 2,534 и, в-третьих, следующее целое число 3 уже больше, чем 2,534. Если х = 47, то /(х) = 47, поскольку, во-первых, 47 - целое число, во-вторых, 47< 47 (точнее, 47 = 47) и, в-третьих, следующее за числом 47 целое число 48 уже больше, чем 47. А чему равно значение f(-0,(23))? Оно равно -1. Проверяйте: -1 - наибольшее из всех целых чисел, которые не превосходят числа -0,232323....

У этой функции (множество целых чисел).

Функцию, о которой шла речь в примере 2, называют целой частью числа; для целой части числа х используют обозначение [х]. Например, = 2, = 47, [-0,(23)] = -1. Очень своеобразно выглядит график функции у = [х] (рис. 54).

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Задать функцию означает установить правило (закон) с помощью которого по данным значениям независимой переменной находим соответствующие им значения функции. Рассмотрим различные способы задания функции.

Эта запись определяет температуру Т как функцию от времени t:T=f(t). Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения функции сразу, без дополнительных изменений или вычислений. Недостатки: определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента; не дает наглядного изображения характера изменения функции с изменением аргумента.

2. Графический способ. Графиком функцииy=f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. Это может быть некоторая кривая, в частности прямая, множество точек на плоскости.

Преимущество – наглядность, недостаток – нет возможности точно определить значения аргумента. В технике и физике часто он является единственно доступным способом задания функции, например, при пользовании самопишущими приборами, которые автоматически записывают изменение одной величины относительно другой (барограф, термограф и др.).

3. Аналитический способ. По этому способу функция задается аналитически, с помощью формулы. Такой способ дает возможность по каждому численному значению аргумента х найти соответствующее ему численное значение функции у точно или с некоторой точностью.

При аналитическом способе функция может быть задана и несколькими разными формулами. Например, функция

задана в области определения [-, 15] с помощью трех формул.

Если зависимость между х и у задана формулой, разрешенной относительно у, т.е. имеет вид у = f(x) , то говорят, что функция от х задана в явном виде, например,. Если же значения х и у связаны некоторым уравнением видаF(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно у, то говорят, что функция задана неявно. Например,. Заметим, что не всякую неявную функцию можно представить в виде у =f(x), наоборот, любую явную функцию всегда можно представить в виде неявной:
. Еще одна разновидность аналитического задания функции – параметрическое, когда аргумент х и функция у являются функциями третьей величины – параметраt:
, где
, Т – некоторый промежуток. Такой способ широко применяется в механике, в геометрии.

Аналитический способ является самым распространенным способом задания функции. Компактность, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа, возможность вычисления значений функции при любых значениях аргумента – его основные преимущества.

4. Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами. Например, функция Е(х) – целая часть числа х, функция Дирихле, функция Римана,n!,r(n) – число делителей натурального числаn.

5. Полуграфический способ. Здесь значения функции представляются в виде отрезков, а значения аргумента – в виде чисел, проставленных на концах отрезков, указывающих значения функции. Так, например, в термометре есть шкала с равными делениями, у которых проставлены числа. Эти числа являются значениями аргумента (температуры). Они стоят на том месте, которое определяет графическое удлинение столбца ртути (значения функции) в связи с ее объемным расширением в результате температурных изменений.