Vispārējā linearizācijas metode

Vairumā gadījumu ir iespējams linearizēt nelineārās atkarības, izmantojot nelielu noviržu vai variāciju metodi. Lai apsvērtu ᴇᴦο, pievērsīsimies kādai saitei automātiskās vadības sistēmā (2.2. att.). Ievades un izvades lielumi ir apzīmēti ar X1 un X2, un ārējie traucējumi ir apzīmēti ar F(t).

Pieņemsim, ka saiti apraksta kāds formas nelineārs diferenciālvienādojums

Lai sastādītu šādu vienādojumu, ir jāizmanto atbilstošā tehnisko zinātņu nozare (piemēram, elektrotehnika, mehānika, hidraulika utt.), kas pēta šo konkrēto ierīču veidu.

Linearizācijas pamatā ir pieņēmums, ka visu saišu dinamikas vienādojumā iekļauto mainīgo novirzes ir pietiekami mazas, jo tieši uz pietiekami maza posma līknes raksturlielumu var aizstāt ar taisnas līnijas segmentu. Mainīgo novirzes šajā gadījumā mēra no to vērtībām stabilā procesā vai noteiktā sistēmas līdzsvara stāvoklī. Pieņemsim, piemēram, vienmērīgu procesu raksturo mainīgā X1 nemainīga vērtība, ko mēs apzīmējam kā X10. Regulēšanas procesā (2.3. att.) mainīgajam X1 būs vērtības kur apzīmē mainīgā X 1 novirzi no nemainīgās vērtības X10.

Līdzīgas attiecības tiek ieviestas arī citiem mainīgajiem. Aplūkojamajam gadījumam mums ir ˸ un arī .

Tiek pieņemts, ka visas novirzes ir pietiekami mazas. Šis matemātiskais pieņēmums nav pretrunā ar problēmas fizisko nozīmi, jo pati automātiskās vadības ideja prasa, lai visas kontrolētā mainīgā novirzes kontroles procesa laikā būtu pietiekami mazas.

Saites līdzsvara stāvokli nosaka X10, X20 un F0 vērtības. Tad vienādojums (2.1) jāraksta līdzsvara stāvoklim formā

Izvērsīsim vienādojuma (2.1) kreiso pusi Teilora rindā

kur D ir augstākas kārtas vārdi. Indekss 0 daļējiem atvasinājumiem nozīmē, ka pēc atvasinājuma ņemšanas tā izteiksmē ir jāievieto visu mainīgo nemainīgā vērtība.

Augstākas kārtas termini formulā (2.3) ietver augstākus parciālos atvasinājumus, kas reizināti ar kvadrātiem, kubiem un lielākām noviržu pakāpēm, kā arī noviržu reizinājumus. Tās būs nelielas un augstākas, salīdzinot ar pašām novirzēm, kas ir nelielas no pirmās kārtas.

Vienādojums (2.3) ir saites dinamikas vienādojums, tāpat kā (2.1), bet uzrakstīts citā formā. Atmetīsim augstākās kārtas mazos šajā vienādojumā, pēc tam no vienādojuma (2.3) atņemam līdzsvara stāvokļa vienādojumus (2.2). Rezultātā mēs iegūstam šādu aptuvenu saites dinamikas vienādojumu nelielās novirzēs˸

Šajā vienādojumā visi mainīgie un to atvasinājumi tiek ievadīti lineāri, tas ir, pirmajā pakāpē. Visi daļējie atvasinājumi ir daži nemainīgi koeficienti gadījumā, ja tiek pētīta sistēma ar nemainīgiem parametriem. Ja sistēmai ir mainīgi parametri, tad vienādojumam (2.4) būs mainīgi koeficienti. Apskatīsim tikai konstanto koeficientu gadījumu.

Vispārējā linearizācijas metode - jēdziens un veidi. Kategorijas "Vispārējā linearizācijas metode" klasifikācija un pazīmes 2015, 2017-2018.

Harmoniskās linearizācijas (harmoniskā līdzsvara) metode ļauj noteikt iespējamo pašsvārstību pastāvēšanas nosacījumus un parametrus nelineārās automātiskās vadības sistēmās. Pašsvārstības nosaka robežcikli sistēmu fāzu telpā. Ierobežojumu cikli sadala telpu (parasti - daudzdimensionāls) slāpētu un atšķirīgu procesu jomās. Aprēķinot pašsvārstību parametrus, var secināt, ka tie ir pieļaujami konkrētai sistēmai vai ir nepieciešams mainīt sistēmas parametrus.

Metode ļauj:

Noteikt nelineāras sistēmas stabilitātes nosacījumus;

Atrast sistēmas brīvo svārstību frekvenci un amplitūdu;

Sintezēt koriģējošās shēmas, lai nodrošinātu nepieciešamos pašsvārstību parametrus;

Izpētīt piespiedu svārstības un novērtēt pārejas procesu kvalitāti nelineārās automātiskās vadības sistēmās.

Harmoniskās linearizācijas metodes pielietošanas nosacījumi.

1) Izmantojot metodi, tiek pieņemts, ka lineārs daļa no sistēmas ir stabila vai neitrāla.

2) Signāls nelineārās saites ieejā pēc formas ir tuvu harmoniskajam signālam. Šim noteikumam ir vajadzīgs zināms skaidrojums.

1. attēlā parādītas nelineārās ACS blokshēmas. Ķēde sastāv no virknē savienotām saitēm: nelineāra saite y=F(x) un lineāra

th, ko apraksta ar diferenciālvienādojumu

Ja y = F(g - x) = g - x, mēs iegūstam lineāras sistēmas kustības vienādojumu.

Apsveriet brīvu kustību, t.i. ja g(t) º 0. Pēc tam

Gadījumā, ja sistēmā ir pašsvārstības, sistēmas brīvā kustība ir periodiska. Neperiodiska kustība laika gaitā beidzas ar sistēmas apstāšanos kādā gala pozīcijā (parasti uz speciāli nodrošināta ierobežotāja).

Jebkurā periodiskā signāla formā nelineāra elementa ieejā signāls tā izejā papildus pamata frekvencei saturēs augstākas harmonikas. Pieņēmums, ka signālu sistēmas nelineārās daļas ieejā var uzskatīt par harmonisku, t.i.

x(t)@a×sin(wt),

kur w=1/T, T ir sistēmas brīvo svārstību periods, ir līdzvērtīgs pieņēmumam, ka sistēmas lineārā daļa efektīvi filtri signāla augstākās harmonikas y(t) = F(x (t)).

Vispārīgā gadījumā, kad ieejā darbojas harmoniskā signāla x(t) nelineārs elements, izejas signālu var pārveidot Furjē:

Furjē sērijas koeficienti

Lai vienkāršotu aprēķinus, iestatām C 0 =0, t.i., ka funkcija F(x) ir simetriska attiecībā pret izcelsmi. Šāds ierobežojums nav nepieciešams, un to veic ar analīzi. Koeficientu C k ¹ 0 parādīšanās nozīmē, ka vispārīgā gadījumā signāla nelineāro transformāciju pavada pārveidotā signāla fāzes nobīdes. Jo īpaši tas notiek nelinearitātēs ar neskaidriem raksturlielumiem (ar dažāda veida histerēzes cilpām), gan aizkavēšanos, gan dažos gadījumos fāzes virzība uz priekšu.

Efektīvas filtrēšanas pieņēmums nozīmē, ka augstāko harmoniku amplitūdas sistēmas lineārās daļas izejā ir mazas, tas ir,

Šī nosacījuma izpildi veicina tas, ka daudzos gadījumos harmoniku amplitūdas jau tieši pie nelinearitātes izejas izrādās ievērojami mazākas par pirmās harmonikas amplitūdu. Piemēram, ideāla releja izejā ar harmonisku signālu ieejā

y(t)=F(с×sin(wt))=a×zīme(sin(wt))

nav pat harmonikas, un trešās harmonikas amplitūda ir iekšā trīs reizes mazāka par pirmās harmonikas amplitūdu

Daram apspiešanas pakāpes novērtējums signāla augstākas harmonikas ACS lineārajā daļā. Lai to izdarītu, mēs izdarām vairākus pieņēmumus.

1) ACS brīvo svārstību frekvence aptuveni vienāda ar izslēgšanas frekvenci tās lineārā daļa. Ņemiet vērā, ka nelineāras automātiskās vadības sistēmas brīvo svārstību biežums var būtiski atšķirties no lineāras sistēmas brīvo svārstību frekvences, tāpēc šis pieņēmums ne vienmēr ir pareizs.

2) Ņemam ACS svārstību indeksu, kas vienāds ar M=1,1.

3) LAH robežfrekvences (w s) tuvumā ir -20 dB/dec slīpums. Šīs LAH sadaļas robežas ir saistītas ar svārstību indeksu pēc attiecībām

4) Frekvence w max ir konjugēta ar LPH sekciju tā, ka tad, kad w > w max, LAH slīpums ir vismaz mīnus 40 dB/dec.

5) Nelinearitāte - ideāls relejs ar raksturlielumu y = sgn(x), lai tā nelinearitātes izvadā būtu tikai nepāra harmonikas.

Trešās harmonikas w 3 \u003d 3w c, piektās w 5 \u003d 5w c frekvences,

lgw 3 = 0,48+lgw c ,

lgw 5 = 0,7+lgw c .

Frekvence w max = 1,91 w s, lgw max = 0,28 + lgw s. Stūra frekvence ir 0,28 gadu desmitu attālumā no izslēgšanas frekvences.

Signāla augstāko harmoniku amplitūdu samazināšanās, kad tās iet caur sistēmas lineāro daļu, būs trešajai harmonikai

L 3 \u003d -0,28 × 20-(0,48-0,28) × 40 \u003d -13,6 dB, tas ir, 4,8 reizes,

piektajam - L 5 \u003d -0,28 × 20-(0,7-0,28) × 40 \u003d -22,4 dB, tas ir, 13 reizes.

Līdz ar to signāls lineārās daļas izejā būs tuvu harmoniskam

Tas ir līdzvērtīgs pieņēmumam, ka sistēma ir zemas caurlaidības filtrs.

Attiecībā uz funkciju Z \u003d cp (X, X 2, ..., XJ, nelineārs attiecībā pret savu argumentu sistēmu, problēmas risinājumu iepriekš formulētajā formulējumā parasti var iegūt tikai aptuveni, pamatojoties uz linearizācijas metodi. Linearizācijas metodes būtība ir tāda, ka nelineāra funkcija tiek aizstāta ar kādu lineāru un pēc tam saskaņā ar jau zināmiem noteikumiem tiek atrasti šīs lineārās funkcijas skaitliskie raksturlielumi, uzskatot tos aptuveni par vienādiem ar nelineārās funkcijas skaitliskiem raksturlielumiem. lineārā funkcija.

Apskatīsim šīs metodes būtību, izmantojot viena nejauša argumenta funkcijas piemēru.

Ja nejaušais lielums Z ir dota funkcija

nejaušs arguments X, tad tā iespējamās vērtības z saistīta ar argumenta iespējamām vērtībām X tāda paša veida funkcija, t.i.

(piemēram, ja Z = grēks X, tad z= sinX).

Mēs izvēršam funkciju (3.20) Teilora sērijā punkta tuvumā X= m , aprobežojoties tikai ar pirmajiem diviem paplašināšanas nosacījumiem, un mēs to pieņemsim

Funkcijas (3.20) atvasinājuma vērtība attiecībā pret argumentu X plkst X = t x.

Šis pieņēmums ir līdzvērtīgs dotās funkcijas (3.19.) aizstāšanai ar lineāro funkciju

Pamatojoties uz teorēmām par matemātiskajām prognozēm un dispersijas, iegūstam aprēķinu formulas skaitlisko raksturlielumu noteikšanai mz es formā

Ņemiet vērā, ka aplūkotajā gadījumā standarta novirze a r jāaprēķina pēc formulas

(Šeit tiek ņemts atvasinājuma modulis, jo tas

var būt negatīvs.)

Linearizācijas metodes pielietojums nelineāras funkcijas skaitlisko raksturlielumu atrašanai

patvaļīgs nejaušu argumentu skaits noved pie aprēķinu formulas tā matemātiskās cerības noteikšanai, kurām ir forma

x 2, ..., x n) ar argumentiem X. un X. attiecīgi aprēķināts, ņemot vērā zīmes punktā w x, m^, t Xp, i., aizstājot visus viņu argumentus x v x 2, ..., x n viņu matemātiskās cerības.

Kopā ar formulu (3.26) dispersijas noteikšanai D? varat izmantot veidlapas aprēķina formulu

kur g x x - nejaušu argumentu korelācijas koeficients X.

Piemērojot neatkarīgu (vai vismaz nekorelētu) nejaušu argumentu nelineārai funkcijai, formulām (3.26) un (3.27) ir šāda forma

Formulas, kuru pamatā ir nejaušu argumentu nelineāro funkciju linearizācija, ļauj tikai aptuveni noteikt to skaitliskos raksturlielumus. Aprēķina precizitāte ir mazāka, jo vairāk dotās funkcijas atšķiras no lineārajām un jo lielāka ir argumentu izkliede. Ne vienmēr ir iespējams novērtēt iespējamo kļūdu katrā konkrētajā gadījumā.

Lai precizētu ar šo metodi iegūtos rezultātus, var izmantot paņēmienu, kura pamatā ir nelineāras funkcijas saglabāšana ne tikai lineāras, bet arī dažu turpmāku izplešanās nosacījumu (parasti kvadrātiskā) saglabāšanā.

Turklāt nejaušu argumentu nelineāras funkcijas skaitliskos raksturlielumus var noteikt, pamatojoties uz iepriekšēju tās sadalījuma likuma meklēšanu noteiktam argumentu sistēmas sadalījumam. Tomēr jāpatur prātā, ka šādas problēmas analītiskais risinājums bieži ir pārāk sarežģīts. Tāpēc, lai atrastu izlases argumentu nelineāro funkciju skaitliskos raksturlielumus, plaši tiek izmantota statistiskās modelēšanas metode.

Metodes pamatā ir vairāku testu simulācija, katrā no kurām noteikta noteikta kopa x i, x 2i , ..., xni nejaušas argumentu vērtības x v x 2 ,..., x n no kopas, kas atbilst to kopīgajam sadalījumam. Iegūtās vērtības ar dotās attiecības (3.24) palīdzību tiek pārveidotas atbilstošajās vērtībās z. no pētāmās funkcijas Z. Saskaņā ar rezultātiem z v z 2 , ..., z., ..., zk visi uzŠādiem testiem vēlamos skaitliskos raksturlielumus aprēķina ar matemātiskās statistikas metodēm.

Piemērs 3.2. Pamatojoties uz linearizācijas metodi, nosakiet gadījuma lieluma matemātisko cerību un standartnovirzi

1. Pēc formulas (3.20) iegūstam

2. Izmantojot elementāro funkciju atvasinājumu tabulu, atrodam

un aprēķina šī atvasinājuma vērtību punktā :

3. Pēc formulas (3.23) iegūstam

Piemērs 3.3. Pamatojoties uz linearizācijas metodi, nosakiet gadījuma lieluma matemātisko cerību un standartnovirzi

1. Pēc formulas (3.25) iegūstam

2. Uzrakstīsim formulu (3.27) divu nejaušu argumentu funkcijai

3. Atrodiet funkcijas Z daļējos atvasinājumus attiecībā uz argumentiem X 1 un X 2:

un aprēķiniet to vērtības punktā (m Xi ,t x2):

4. Aizvietojot iegūtos datus Z dispersijas aprēķina formulā, iegūstam Dz= 1. Tāpēc u r = 1.

Diferenciālvienādojumus var linearizēt ar šādām metodēm:

1. Darba zonas nelineārā funkcija ir izvērsta Teilora sērijā.

2. Nelineāras funkcijas, kas dotas grafu veidā, apstrādes plaknē tiek linearizētas ar taisnēm.

3. Tā vietā, lai tieši noteiktu parciālos atvasinājumus, mainīgie tiek ievadīti sākotnējos nelineārajos vienādojumos.

,

. (33)

4. Šīs metodes pamatā ir koeficientu noteikšana ar mazāko kvadrātu metodi.

, (34)

kur - pneimatiskā izpildmehānisma laika konstante;

- pneimatiskā izpildmehānisma pārnesumskaitlis;

- pneimatiskā izpildmehānisma slāpēšanas koeficients.

ACS elementu iekšējo struktūru visvienkāršāk nosaka, izmantojot grafiku blokshēmas. Atšķirībā no labi zināmajām blokshēmām grafikos, mainīgie tiek norādīti laika formā, un loki apzīmē tipisku saišu parametrus vai pārsūtīšanas funkcijas. Starp viņiem ir vienmērīgas attiecības.

mm nelineāri elementi

Pirmajā nodaļā aplūkotās linearizācijas metodes ir piemērojamas, ja LSA objektā ietvertā nelinearitāte ir vismaz vienu reizi diferencējama vai aproksimējama ar pieskares palīdzību ar nelielu kļūdu kādā tuvumā darbības punktam. Ir vesela nelinearitātes klase, kurām abi nosacījumi nav izpildīti. Parasti tās ir nozīmīgas nelinearitātes. Tie ietver: pakāpeniskas, pa daļām lineāras un vairāku vērtību funkcijas ar pirmā veida pārtraukuma punktiem, kā arī jaudas un transtendentālās funkcijas. CCM izmantošana, kas nodrošina loģiski-algebrisko darbību izpildi sistēmās, ir radījusi jaunus linearitātes veidus, kas tiek attēloti ar nepārtrauktiem mainīgajiem, izmantojot īpašu loģiku.

Šādas nelinearitātes matemātiskajam aprakstam tiek izmantotas līdzvērtīgas pārsūtīšanas funkcijas atkarībā no linearizācijas koeficientiem, ko iegūst, minimizējot dotā ieejas signāla reproducēšanas kļūdas vidējo kvadrātu. Ieejas signālu forma, kas nāk uz nelinearitātes ievadi, var būt patvaļīga. Praksē visplašāk tiek izmantoti harmoniskie un nejaušie ieejas signālu veidi un to laika kombinācijas. Attiecīgi linearizācijas metodes sauc par harmoniskām un statiskām.

Vispārīga metode ekvivalentu pārsūtīšanas funkciju aprakstīšanai, ne

Visa būtisko nelinearitātes klase ir sadalīta divās grupās. Pirmajā grupā ietilpst vienvērtības nelinearitātes, kurās savienojums starp ievadi un nedēļas nogalēs vektora signāli ir atkarīgi tikai no nelinearitātes statiskā raksturlieluma formas
.

.

Šajā gadījumā ar noteikta veida ieejas signāliem:

.

Izmantojot linearizācijas matricu
jūs varat atrast aptuveno izejas signālu vērtību:

.

No (42) izriet, ka vienvērtības nelinearitātes linearizācijas koeficientu matrica ir reālie lielumi un to ekvivalentās pārneses funkcijas:

.

Otrajā grupā ietilpst divvērtības (daudzvērtības) nelinearitātes, kurās attiecības starp ieejas un izejas signāliem ir atkarīgas ne tikai no statiskā raksturlieluma formas, bet arī nosaka ieejas signāla vēsture. Šajā gadījumā izteiksme (42) tiks uzrakstīta šādi:

.

Lai ņemtu vērā ievades periodiskā signāla aizvēstures ietekmi, mēs ņemsim vērā ne tikai pašu signālu , bet arī tā izmaiņu ātrumu, diferenciāli .

Ievades signāliem:

ieejas signāla aptuvenā vērtība būs:

kur
un
- divvērtību nelinearitātes harmoniskās linearizācijas koeficienti;

- svārstību periods uz labās harmonikas;

- harmoniskā funkcija.

Līdzvērtīga pārsūtīšanas funkcija:

Pastāv vispārīgākas formas nelinearitātes:

,

,

kur
un
- harmoniskās linearizācijas koeficienti;

ir harmoniskais skaitlis.

Periodiskās linearizācijas koeficientu matricas . Paturot to prātā, divu divu vērtību nelinearitātes pārneses funkciju var attēlot pēc analoģijas ar pārneses funkciju

Izmantojot, mēs definējam vispārinātu formulu vienas vērtības un divu vērtību nelinearitātes pārneses funkcijas aprēķināšanai.

Vienvērtības nelinearitātes gadījumā linearizācijas koeficientu matrica , atkarībā no vektora parametriem
, mēs izvēlamies tā, lai linearizētu precīzās starpības kvadrātā vidējo vērtību un aptuvens
ieejas signāli:

Pēc pārveidojumiem, vienkāršojumiem, trikiem un paaugstinātas modrības mēs iegūstam līdzvērtīgu pārsūtīšanas funkciju matricu sistēmas veidā:
,
.

,

plkst
,
.

.

Noteikt linearizācijas koeficientu vienas vērtības nelinearitātei. Kad sinusoidālā signāla pirmā harmonika nonāk tā ieejā:

kur
.

.

Vienādojums (56) ir pirmais harmoniskās linearizācijas koeficients vienvērtības nelinearitātei, tas definē ekvivalento pārsūtīšanas funkciju
.

Nākotnē vienkāršāko nelinearitātes linearizācijas koeficientu noteikšanas formulas salīdzinājums, kad to ievadei tiek pielietoti periodiski signāli: sinusoidāli, trīsstūrveida, parādīsim iegūto ekvivalento pārsūtīšanas funkciju izmantošanas lietderību.

Tiek noteikts linearizācijas koeficients
,
.

,

.

Piemērs. Nosakiet linearizācijas koeficientu divu vērtību nelinearitātei, kad sinusoidālā signāla pirmā harmonika nonāk tās ieejā un tai ir viena ieeja. No matricu sistēmas (60) iegūstam:

,

.

Šajā piemērā ievades signālu mēs rakstām šādi:

,

.

Ja divu vērtību nelinearitātei vispārējā ekvivalentā funkcija ir:

. .

AT

Rīsi. 2.2. ATS saite

Vairumā gadījumu ir iespējams linearizēt nelineārās atkarības, izmantojot nelielu noviržu vai variāciju metodi. Lai to apsvērtu, pievērsīsimies noteiktai saitei automātiskās vadības sistēmā (2.2. att.). Ievades un izvades lielumi tiek apzīmēti ar X 1 un X 2 , un ārējie traucējumi tiek apzīmēti ar F(t).

Pieņemsim, ka saiti apraksta kāds formas nelineārs diferenciālvienādojums

Lai sastādītu šādu vienādojumu, ir jāizmanto atbilstošā tehnisko zinātņu nozare (piemēram, elektrotehnika, mehānika, hidraulika utt.), kas pēta šo konkrēto ierīču veidu.

Linearizācijas pamatā ir pieņēmums, ka visu saišu dinamikas vienādojumā iekļauto mainīgo novirzes ir pietiekami mazas, jo tieši uz pietiekami maza posma līknes raksturlielumu var aizstāt ar taisnas līnijas segmentu. Mainīgo novirzes šajā gadījumā mēra no to vērtībām stabilā procesā vai noteiktā sistēmas līdzsvara stāvoklī. Pieņemsim, piemēram, vienmērīgu procesu raksturo mainīgā X 1 nemainīga vērtība, ko apzīmējam kā X 10 . Regulēšanas procesā (2.3. att.) mainīgajam X 1 būs vērtības kur
apzīmē mainīgā X 1 novirzi no X 10 vienmērīgās vērtības.

BET

Rīsi. 2.3. Saites regulēšanas process

nodokļu koeficienti tiek ieviesti citiem mainīgajiem lielumiem. Izskatāmajam gadījumam mums ir: un
.

Tālāk varat rakstīt:
;
un
, jo
un

Tiek pieņemts, ka visas novirzes ir pietiekami mazas. Šis matemātiskais pieņēmums nav pretrunā ar problēmas fizisko nozīmi, jo pati automātiskās vadības ideja prasa, lai visas kontrolētā mainīgā novirzes kontroles procesa laikā būtu pietiekami mazas.

Saites līdzsvara stāvokli nosaka X 10, X 20 un F 0 vērtības. Tad vienādojumu (2.1) var uzrakstīt līdzsvara stāvoklim formā

Izvērsīsim vienādojuma (2.1) kreiso pusi Teilora rindā

kur  ir augstākas kārtas vārdi. Indekss 0 daļējiem atvasinājumiem nozīmē, ka pēc atvasinājuma ņemšanas tā izteiksmē ir jāaizvieto visu mainīgo nemainīgā vērtība
.

Augstākas kārtas termini formulā (2.3) ietver augstākus parciālos atvasinājumus, kas reizināti ar kvadrātiem, kubiem un lielākām noviržu pakāpēm, kā arī noviržu reizinājumus. Tās būs nelielas un augstākas, salīdzinot ar pašām novirzēm, kas ir nelielas no pirmās kārtas.

Vienādojums (2.3) ir saites dinamikas vienādojums, tāpat kā (2.1), bet uzrakstīts citā formā. Atmetīsim augstākas kārtas mazos šajā vienādojumā, pēc tam no vienādojuma (2.3) atņemam līdzsvara stāvokļa vienādojumus (2.2). Rezultātā mēs iegūstam šādu aptuvenu saites dinamikas vienādojumu nelielās novirzēs:

Šajā vienādojumā visi mainīgie un to atvasinājumi tiek ievadīti lineāri, tas ir, pirmajā pakāpē. Visi daļējie atvasinājumi ir daži nemainīgi koeficienti gadījumā, ja tiek pētīta sistēma ar nemainīgiem parametriem. Ja sistēmai ir mainīgi parametri, tad vienādojumam (2.4) būs mainīgi koeficienti. Apskatīsim tikai konstanto koeficientu gadījumu.

Linearizācijas mērķis ir iegūt vienādojumu (2.4). Automātiskās vadības teorijā ir pieņemts visu saišu vienādojumus rakstīt tā, lai izvades vērtība būtu vienādojuma kreisajā pusē, bet visi pārējie termini tiktu pārnesti uz labo pusi. Šajā gadījumā visi vienādojuma nosacījumi tiek dalīti ar koeficientu izejas vērtībā. Rezultātā vienādojums (2.4) iegūst formu

kur tiek ieviests šāds apzīmējums

. (2.6)

Turklāt ērtības labad ir ierasts rakstīt visus diferenciālvienādojumus operatora formā ar apzīmējumu

Tad diferenciālvienādojumu (2.5) var ierakstīt formā

Šis ieraksts tiks saukts par saites dinamikas vienādojuma standarta formu.

Koeficientiem T 1 un T 2 ir laika dimensija – sekundes. Tas izriet no fakta, ka visiem (2.8) vienādojuma vārdiem ir jābūt vienādiem izmēriem un, piemēram, izmēriem (vai px 2) atšķiras no izmēra x 2 sekundē līdz mīnus pirmajai jaudai (
). Tāpēc tiek saukti koeficienti T 1 un T 2 laika konstantes .

Koeficientam k 1 ir izejas vērtības dimensija, kas dalīta ar ievades izmēru. To sauc par transmisijas koeficients saite. Saitēm, kuru izejas un ievades vērtībām ir vienādas dimensijas, tiek izmantoti arī šādi termini: pastiprinājums - saitei, kas ir pastiprinātājs vai kuras sastāvā ir pastiprinātājs; pārnesumskaitlis - pārnesumkārbām, sprieguma dalītājiem, mērogošanas ierīcēm utt.

Pārneses koeficients raksturo saites statiskās īpašības, jo līdzsvara stāvoklī
. Tāpēc tas nosaka statiskā raksturlieluma stāvumu pie nelielām novirzēm. Ja mēs attēlojam visu saites reālo statisko raksturlielumu
, tad linearizācija dod
vai
. Transmisijas koeficients k 1 būs slīpuma tangenss tangenss tajā punktā C (sk. 2.3. att.), no kura mēra nelielas novirzes x 1 un x 2.

No attēla redzams, ka iepriekš minētā vienādojuma linearizācija ir derīga vadības procesiem, kas uztver tādu AB raksturlīknes posmu, uz kura pieskares maz atšķiras no pašas līknes.

Turklāt no tā izriet vēl viena, grafiska linearizācijas metode. Ja ir zināms statiskais raksturlielums un punkts C, kas nosaka līdzsvara stāvokli, ap kuru notiek regulēšanas process, tad pārneses koeficientu saites vienādojumā nosaka grafiski no zīmējuma pēc atkarības k 1 = tg ņemot vērā rasējuma mērogu un izmērus x 2. Daudzos gadījumos grafiskā linearizācijas metode izrādās ērtāk un ātrāk ved uz mērķi.

Koeficienta k 2 izmērs ir vienāds ar pastiprinājuma izmēru k 1 reizes laikā. Tāpēc vienādojums (2.8) bieži tiek rakstīts formā

kur
ir laika konstante.

P

Rīsi. 2.4. Neatkarīgs ierosmes motors

laika konstantes T 1 , T 2 un T 3 nosaka saites dinamiskās īpašības. Šis jautājums tiks detalizēti aplūkots turpmāk.

Koeficients k 3 ir pastiprinājums ārējai perturbācijai.

Kā linearizācijas piemēru aplūkosim no ierosmes ķēdes puses vadītu elektromotoru (2.4. att.).

Lai atrastu diferenciālvienādojumu, kas saista ātruma pieaugumu ar sprieguma pieaugumu uz ierosmes tinuma, mēs uzrakstām elektromotora spēku līdzsvara likumu (emf) ierosmes ķēdē, emf līdzsvara likumu armatūras ķēdē un likumu momentu līdzsvars uz motora vārpstas:

;

.

Otrajā vienādojumā vienkāršības labad termins, kas atbilst pašindukcijas emf armatūras ķēdē, ir izlaists.

Šajās formulās R B un R I ir ierosmes ķēdes un armatūras ķēdes pretestības; І В un І Я - strāvas šajās ķēdēs; U V un U I ir šīm ķēdēm pievadītie spriegumi,  V ir ierosmes tinuma apgriezienu skaits; Ф – magnētiskā plūsma; Ω ir motora vārpstas griešanās leņķiskais ātrums; M ir ārējo spēku pretestības moments, J ir dzinēja samazinātais inerces moments; C E un C M - proporcionalitātes koeficienti.

Pieņemsim, ka pirms ierosmes tinumam pielietotā sprieguma pieauguma parādīšanās pastāvēja līdzsvara stāvoklis, kuram vienādojumi (2.10) tiks uzrakstīti šādi:

(2.11)

Ja tagad ierosmes spriegums saņems pieaugumu U B = U B0 + ΔU B, tad visi mainīgie, kas nosaka sistēmas stāvokli, arī saņems pieaugumu. Rezultātā mums būs: І В = І В0 + ΔІ В; Ф = Ф 0 + ΔФ; I I \u003d I I0 + ΔІ I; Ω = Ω0 + ΔΩ.

Mēs aizstājam šīs vērtības ar (2.10), atmetam augstākas kārtas mazās vērtības un iegūstam:

(2.12)

Atņemot vienādojumus (2.11) no vienādojumiem (2.12), iegūstam noviržu vienādojumu sistēmu:

(2.13)

AT

Rīsi. 2.5. Magnetizācijas līkne

šie vienādojumi ieviesa proporcionalitātes koeficientu starp plūsmas pieaugumu un ierosmes strāvas pieaugumu
nosaka pēc elektromotora magnetizācijas līknes (2.5. att.).

Sistēmas (2.13) kopīgais risinājums dod

kur ir pārneses koeficients, ,

; (2.15)

ierosmes ķēdes elektromagnētiskā laika konstante, s,

(2.16)

kur L B = a B ir ierosmes ķēdes pašindukcijas dinamiskais koeficients; dzinēja elektromagnētiskā laika konstante, s,

. (2.17)

No izteiksmēm (2.15) - (2.17) var redzēt, ka aplūkojamā sistēma būtībā ir nelineāra, jo pārneses koeficients un laika "konstante" faktiski nav konstanti. Tos var uzskatīt par nemainīgiem tikai aptuveni noteiktam režīmam, ja visu mainīgo lielumu novirzes no līdzsvara stāvokļa vērtībām ir nelielas.

Interesants ir īpašs gadījums, kad līdzsvara stāvoklī U B0 = 0; I B0 = 0; Ф 0 = 0 un Ω 0 = 0. Tad formula (2.14) iegūst formu

. (2.18)

Šajā gadījumā statiskais raksturlielums būs saistīts ar dzinēja paātrinājuma pieaugumu
un sprieguma pieaugums ierosmes ķēdē.