Matemātika kā zinātne radās saistībā ar nepieciešamību risināt praktiskas problēmas: mērījumus uz zemes, navigāciju utt. Rezultātā matemātika bija skaitliskā matemātika un tās mērķis bija iegūt risinājumu skaitļa formā. Lietišķo uzdevumu skaitliskais risinājums vienmēr ir interesējis matemātiķus. Lielākie pagātnes pārstāvji savos pētījumos apvienoja dabas parādību izpēti, iegūstot to matemātisko aprakstu, t.i. viņa matemātiskais modelis un viņa pētījumi. Sarežģītu modeļu analīzei bija nepieciešams izveidot īpašas, parasti skaitliskas metodes problēmu risināšanai. Dažu šo metožu nosaukumi liecina, ka tās izstrādājuši sava laika lielākie zinātnieki. Tās ir Ņūtona, Eilera, Lobačevska, Gausa, Čebiševa, Hermīta metodes.

Mūsdienu laikmetam ir raksturīga strauja matemātikas pielietojuma paplašināšanās, kas lielā mērā saistīta ar datortehnoloģiju radīšanu un attīstību. Datoru parādīšanās rezultātā nepilnu 40 gadu laikā darbību ātrums ir pieaudzis no 0,1 operācijas sekundē ar manuālu skaitīšanu līdz 10 operācijām sekundē mūsdienu datoros.

Plaši izplatītais viedoklis par mūsdienu datoru visvarenību rada iespaidu, ka matemātiķi ir tikuši vaļā no visām nepatikšanām, kas saistītas ar uzdevumu skaitlisko risinājumu, un jaunu metožu izstrāde to risināšanai vairs nav tik nozīmīga. Patiesībā situācija ir atšķirīga, jo evolūcijas vajadzības parasti tiek izvirzītas pirms zinātnes uzdevumiem, kas atrodas uz tās spēju robežas. Matemātikas pielietojuma paplašināšanās noveda pie dažādu zinātņu nozaru matematizācijas: ķīmijas, ekonomikas, bioloģijas, ģeoloģijas, ģeogrāfijas, psiholoģijas, medicīnas, tehnikas u.c.

Ir divi apstākļi, kas sākotnēji izraisīja vēlmi pēc zinātņu matematizācijas:

pirmkārt, tikai matemātisko metožu izmantošana ļauj vienas vai otras materiālās pasaules parādības izpētei piešķirt kvantitatīvu raksturu;

otrkārt, un tas ir galvenais, tikai matemātiskais domāšanas veids padara objektu. Šo pētījumu metodi sauc par skaitļošanas eksperimentu – pētījums ir pilnībā objektīvs.

Pēdējā laikā ir parādījies vēl viens faktors, kas spēcīgi ietekmē zināšanu matematizācijas procesus. Tā ir straujā datortehnoloģiju attīstība. Datoru izmantošana zinātnisko, inženiertehnisko un lietišķo problēmu risināšanai kopumā ir pilnībā balstīta uz to matematizāciju.

matemātiskie modeļi.

Mūsdienu tehnoloģijas sarežģītu problēmu izpētei balstās uz pētāmās problēmas matemātisko modeļu konstruēšanu un analīzi, parasti ar datora palīdzību. Parasti skaitļošanas eksperiments, kā jau redzējām, sastāv no vairākiem posmiem: problēmas iestatīšana, matemātiskā modeļa izveidošana (problēmas matemātiskā formulēšana), skaitliskās metodes izstrāde, skaitliskās metodes ieviešanas algoritma izstrāde, programma, programmas atkļūdošana, aprēķinu veikšana, rezultātu analīze.

Tātad datoru izmantošana jebkuras zinātniskas vai inženierijas problēmas risināšanai ir neizbēgami saistīta ar pāreju no reāla procesa vai parādības uz tā matemātisko modeli. Tādējādi modeļu pielietošana zinātniskajā pētniecībā un inženiertehniskajā praksē ir matemātiskās modelēšanas māksla.

Par modeli parasti sauc reprezentētu vai materiāli realizētu sistēmu, kas atveido dotās parādības galvenās nozīmīgākās pazīmes.

Galvenās prasības matemātiskajam modelim ir aplūkojamās parādības atbilstība, t.i. tai pietiekami jāatspoguļo parādības raksturīgās iezīmes. Tajā pašā laikā tai vajadzētu būt salīdzinošai vienkāršībai un pētniecības pieejamībai.

Matemātiskais modelis atspoguļo atkarību starp pētāmās parādības rašanās apstākļiem un tās rezultātiem noteiktās matemātiskās konstrukcijās. Visbiežāk kā šādas konstrukcijas tiek izmantoti šādi matemātiskie jēdzieni: funkcija, funkcionāls, operators, skaitliskais vienādojums, parastais diferenciālvienādojums, daļējais diferenciālvienādojums.

Matemātiskos modeļus var klasificēt pēc dažādiem kritērijiem: statiskie un dinamiskie, koncentrētie un sadalītie; deterministisks un varbūtības.

Apsveriet problēmu, kā atrast nelineārā vienādojuma saknes

Vienādojuma (1) saknes ir tās x vērtības, kuras, aizstājot, pārvērš to par identitāti. Tikai vienkāršākajiem vienādojumiem ir iespējams atrast risinājumu formulu veidā, t.i. analītiskā forma. Biežāk vienādojumus nepieciešams atrisināt ar aptuvenām metodēm, no kurām visizplatītākās saistībā ar datoru parādīšanos ir skaitliskās metodes.

Algoritmu sakņu atrašanai ar aptuvenām metodēm var iedalīt divos posmos. Sākumā tiek pētīta sakņu atrašanās vieta un veikta to atdalīšana. Ir apgabals, kurā ir vienādojuma sakne vai saknes x 0 sākotnējais tuvinājums. Vienkāršākais veids, kā atrisināt šo problēmu, ir izpētīt funkcijas f(x) grafiku. Vispārīgā gadījumā, lai to atrisinātu, ir jāiesaista visi matemātiskās analīzes līdzekļi.

Vismaz vienas vienādojuma (1) saknes esamība atrastajā intervālā izriet no Bolcāno nosacījuma:

f(a)*f(b)<0 (2)

Tāpat tiek pieņemts, ka funkcija f(x) ir nepārtraukta dotajā intervālā. Tomēr šis nosacījums neatbild uz jautājumu par vienādojuma sakņu skaitu noteiktā intervālā. Ja funkcijas nepārtrauktības prasību papildina ar tās monotonitātes prasību, un tas izriet no pirmā atvasinājuma zīmes konstantes, tad mēs varam apgalvot, ka konkrētajā segmentā pastāv unikāla sakne.

Lokalizējot saknes, ir svarīgi zināt arī šāda veida vienādojuma pamatīpašības. Piemēram, atcerieties dažas algebrisko vienādojumu īpašības:

kur ir reālie koeficienti.

• a) n pakāpes vienādojumam ir n saknes, starp kurām var būt gan reālas, gan kompleksas. Sarežģītas saknes veido sarežģītus konjugātus pārus, un tāpēc vienādojumā ir pāra skaits šādu sakņu. Nepāra vērtībai n ir vismaz viena reāla sakne.
• b) Pozitīvo reālo sakņu skaits ir mazāks vai vienāds ar mainīgo zīmju skaitu koeficientu secībā. Aizstājot x ar -x vienādojumā (3), varat tādā pašā veidā novērtēt negatīvo sakņu skaitu.

(1) vienādojuma risināšanas otrajā posmā, izmantojot iegūto sākotnējo aproksimāciju, tiek konstruēts iteratīvs process, kas ļauj ar zināmu iepriekš noteiktu precizitāti precizēt saknes vērtību. Iteratīvais process sastāv no sākotnējās aproksimācijas secīgas precizēšanas. Katru šādu soli sauc par iterāciju. Iterācijas procesa rezultātā tiek atrasta vienādojuma sakņu aptuveno vērtību secība. Ja šī secība tuvojas saknes x patiesajai vērtībai, pieaugot n, tad iteratīvais process saplūst. Tiek uzskatīts, ka iteratīvais process saplūst vismaz m secībā, ja ir izpildīts šāds nosacījums:

kur С>0 ir kāda konstante. Ja m=1 , tad runā par pirmās kārtas konverģenci; m=2 - par kvadrātisko, m=3 - par kubisko konverģenci.

Iteratīvie cikli beidzas, ja pie noteiktas pieļaujamās kļūdas ir izpildīti absolūto vai relatīvo noviržu kritēriji:

vai atlikuma mazums:

Šis darbs ir veltīts algoritma izpētei nelineāru vienādojumu risināšanai, izmantojot Ņūtona metodi.

Nelineāru vienādojumu risināšanai ir daudz dažādu metožu, dažas no tām ir parādītas zemāk:

• 1)Iterācijas metode. Atrisinot nelineāru vienādojumu iterācijas ceļā, vienādojumu izmantojam formā x=f(x). Ir iestatīta argumenta sākotnējā vērtība x 0 un precizitāte e. Pirmais risinājuma x 1 tuvinājums tiek atrasts no izteiksmes x 1 \u003d f (x 0), otrais - x 2 \u003d f (x 1) utt. Vispārīgā gadījumā i+1 tuvinājumu atrod pēc formulas xi+1 =f(xi). Šo procedūru atkārtojam līdz |f(xi)|>e. Iterācijas metodes konverģences nosacījums |f"(x)|
• 2)Ņūtona metode. Atrisinot nelineāru vienādojumu ar Ņūtona metodi, tiek uzstādīta argumenta sākotnējā vērtība x 0 un precizitāte e. Pēc tam punktā (x 0, F (x 0)) zīmējam pieskares grafikam F (x). ) un nosaka pieskares krustpunktu ar abscisu asi x 1. Punktā (x 1, F (x 1)) atkal izveidojam pieskares punktu, atrodam nākamo vajadzīgā risinājuma x 2 tuvinājumu utt. Šo procedūru atkārtojam līdz |F(xi)| > e. Lai noteiktu pieskares krustpunktu (i + 1) ar abscisu asi, mēs izmantojam šādu formulu

x i+1 \u003d x i -F (x i) F "(x i).

Konverģences nosacījums tangentes metodei F(x 0) F""(x)>0 utt.

3). dihotomijas metode. Risinājuma paņēmiens tiek samazināts līdz sākotnējās nenoteiktības intervāla pakāpeniskai dalīšanai uz pusēm saskaņā ar formulu

C līdz \u003d a līdz + iekšā / 2.

Lai izvēlētos vajadzīgo no diviem iegūtajiem segmentiem, ir jāatrod funkcijas vērtība iegūto segmentu galos un jāņem vērā tas, uz kura funkcija mainīs savu zīmi, tas ir, nosacījums f ( a k) * f (k)<0.

Segmenta dalīšanas process tiek veikts, līdz pašreizējā nenoteiktības intervāla garums ir mazāks par noteikto precizitāti, tas ir, k - a k< E. Тогда в качестве приближенного решения уравнения будет точка, соответствующая середине интервала неопределённости.

4). akordu metode. Metodes ideja ir tāda, ka uz segmenta, kas savelkas funkcijas y=f(x) grafika loka galus, un punkta c, hordas krustpunktā ar abscisu asi, tiek konstruēta horda. , tiek uzskatīta par aptuvenu saknes vērtību

c = a - (f(a) x (a-b)) / (f(a) - f(b)),

c \u003d b - (f (b) × (a-b)) / (f (a) - f (b)).

Nākamā tuvināšana tiek meklēta intervālā vai atkarībā no funkciju vērtību zīmēm punktos a,b,c

x*O, ja f(c) H f(a) > 0;

x* O, ja f(c) x f(b)< 0 .

Ja f "(x) nemaina zīmi uz , tad, apzīmējot c \u003d x 1 un uzskatot a vai b par sākotnējo tuvinājumu, mēs iegūstam horda metodes iteratīvās formulas ar fiksētu labo vai kreiso punktu.

x 0 \u003d a, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (b-x i) / (f (b) -f (x i), ar f "(x) H f "(x)\u003e 0;

x 0 \u003d b, x i + 1 \u003d x i - f (x i) (x i -a) / (f (x i) -f (a), ar f "(x) H f "(x)< 0 .

Horda metodes konverģence ir lineāra

Algebriskie un transcendentālie vienādojumi. Sakņu lokalizācijas metodes.

Vispārīgākā nelineārā vienādojuma forma:

f(x)=0 (2.1)

kur ir funkcija f(x) ir definēts un nepārtraukts ierobežotā vai bezgalīgā intervālā [a, b].

Definīcija 2.1. Jebkurš skaitlis, kas apgriež funkciju f(x) līdz nullei sauc par (2.1) vienādojuma sakni.

Definīcija 2.2. Skaitli sauc par k-tās reizinājuma sakni, ja kopā ar funkciju f(x) tā atvasinājumi līdz (k-1) kārtai ieskaitot ir vienādi ar nulli:

Definīcija 2.3. Vienu sakni sauc par vienkāršu sakni.

Nelineāri vienādojumi ar vienu mainīgo tiek iedalīti algebriskajos un transcendentālajos vienādojumos.

Definīcija 2.4 . Vienādojumu (2.1) sauc par algebrisko, ja funkcija F(x) ir algebriska.

Ar algebriskām transformācijām no jebkura algebriskā vienādojuma var iegūt vienādojumu kanoniskā formā:

kur ir vienādojuma reālie koeficienti, x ir nezināmais.

No algebras ir zināms, ka katram algebriskajam vienādojumam ir vismaz viena reāla vai divas sarežģītas konjugētas saknes.

Definīcija 2.5. Vienādojumu (2.1) sauc par transcendentālu, ja funkcija F(x) nav algebriska.

(2.1) vienādojuma atrisināšana nozīmē:

• 1. Nosakiet, vai vienādojumam ir saknes.
• 2. Nosakiet vienādojuma sakņu skaitu.
• 3. Atrodiet vienādojuma sakņu vērtības ar noteiktu precizitāti.

Praksē sastopamos vienādojumus bieži vien nevar atrisināt ar analītiskām metodēm. Šādu vienādojumu risināšanai tiek izmantotas skaitliskās metodes.

Algoritms vienādojuma saknes atrašanai, izmantojot skaitlisko metodi, sastāv no diviem posmiem:

• 1) nodaļa vai lokalizācija sakne, t.i. iestatot intervālu, kurā ir viena sakne:
• 2) noskaidrošana saknes vērtības ar secīgu tuvinājumu metodi.

Sakņu lokalizācijas metodes. Sakņu atdalīšanas algoritma teorētiskais pamats ir Košī teorēma par nepārtrauktas funkcijas starpvērtībām.

Teorēma 2.1. Ja funkcija y \u003d f (x) ir nepārtraukta segmentā [a, b] un f (a) \u003d A, f (b) \u003d B, tad jebkuram punktam C, kas atrodas starp A un B, ir punkts, ka.

Sekas. Ja funkcija y \u003d f (x) ir nepārtraukta segmentā [a, b] un tā galos iegūst dažādu zīmju vērtības, tad šajā segmentā ir vismaz viena vienādojuma f (x) sakne. \u003d 0.

Lai funkcijas definīcijas un nepārtrauktības apgabals ir ierobežots segments [a,b]. Sadaliet segmentu n daļas: ,

Secīgi aprēķinot funkcijas vērtības punktos, mēs atrodam šādus segmentus, kuriem nosacījums ir izpildīts:

tie. , vai, . Šajos segmentos ir vismaz viena sakne.

Teorēma 2.2. Ja funkcija y \u003d f (x) ir nepārtraukta segmentā [a; b), f (a) f (b)<0 и f`(х) на интервале (а;b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а;b] существует единственный корень уравнения f(х) = 0.

Lai atdalītu saknes, varat izmantot arī funkcijas grafiku plkst= f (X). Vienādojuma (2.1) saknes ir šīs vērtības X, kurā funkcijas y=f(x) grafiks šķērso x asi. Funkcijas grafika konstruēšana pat ar zemu precizitāti parasti sniedz priekšstatu par vienādojuma (2.1) sakņu atrašanās vietu. Ja funkcijas y \u003d f (x) attēlošana rada grūtības, sākotnējais vienādojums (2.1) ir jāpārvērš formā c1(x)= c2(x) lai funkciju grafiki plkst= c1(x) un plkst= c2(x) bija pavisam vienkārši. Šo grafiku krustošanās punktu abscises būs vienādojuma (2.1) saknes.

1. piemērs Atdaliet vienādojuma saknes x 2 -2cosx=0.

Risinājums. Apsvērsim divus veidus, kā atdalīt saknes.

• a) Grafiskais veids. Pārrakstīsim vienādojumu formā x 2 =2cosx un izveidosim grafiku no funkcijām y=x 2 un y=2cosx vienā koordinātu sistēmā (5. attēls). tā kā šie grafiki krustojas divos punktos, vienādojumam ir divas saknes, kas atrodas simetriski ap sākuma punktu intervālos (-/2; 0) un (0; /2).
• b) Analītiskā metode. Ļaujiet f(x)= x 2 -2cosx. Jo f(x) ir vienmērīga funkcija, pietiek ņemt vērā tikai x nenegatīvās vērtības. Sakarā ar nevienlīdzību 2cosx2

Atvasinājums f"(x)=2(x+sinx). Intervālā (0; /2) f"(x)>0, tāpēc f(x)šeit monotoni palielinās un tā grafiks var šķērsot asi X ne vairāk par vienu punktu. ievērojiet, tas f(0)=- 2<0, аf(/2)=(/2) 2>0. Tas nozīmē, ka vienādojumam ir viena pozitīva sakne, kas atrodas intervālā (0; /2). Tā kā funkcija ir pāra, vienādojumam ir arī viena negatīva sakne, kas ir simetriska pozitīvajai. Tagad pāriesim pie saknes precizēšanas. Lai izmantotu kombinēto sakņu precizēšanas metodi, jums tas ir jāpārliecinās f ""(x) on (0; /2) saglabā zīmi un izvēlas saknes sākotnējo tuvinājumu pieskares metodes pielietošanai. Tam jāatbilst nosacījumam: f(x)f ""(x)>0. Jo f ""(x)=2(1+cosx) ir pozitīvs uz , tad /2 var pieņemt par saknes sākotnējo tuvinājumu tangentes metodē. Tāpēc var likt x=/21,570796, x 1 =0 (sk. algoritma diagrammu). Mūsu gadījumā horda metode dos aptuvenu saknes vērtību ar mīnusu, bet pieskares metode - ar pārpalikumu.

Apsveriet vienu iteratīvu saknes pilnveidošanas soli. Aprēķiniet vērtības f(0), f(/2), f"(/2). Jaunas vērtības x 1 un x atrodiet attiecīgi pēc formulām:

|x-x 1 |=0,387680,4>10 -4 =.

Norādītā precizitāte nav sasniegta, un aprēķini ir jāturpina.

Iterācijas numurs	x 1		f(x 1 )			|x-x 1 |

Tāpēc trīs iterāciju rezultātā tika atrasta aptuvenā saknes vērtība ar nepieciešamo precizitāti un ir aptuveni vienāda ar 1,0217.

Funkcijas grafika simetrijas dēļ f(x) otrās saknes vērtība ir aptuveni vienāda ar -1,0217.

Sakņu noskaidrošana.

Problēmas formulēšana . Pieņemsim, ka (2.1) vienādojuma vēlamā sakne ir atdalīta, t.i. segments [a; b], kam ir viena un tikai viena vienādojuma sakne. Jebkuru šī segmenta punktu var uzskatīt par aptuvenu saknes vērtību. Šīs tuvinājuma kļūda nepārsniedz garumu [a; b]. Līdz ar to problēma atrast aptuveno saknes vērtību ar doto precizitāti tiek reducēta līdz segmenta [a; b] (b - a<), содержащего только один корень уравнения (2.1). Эту задачу обычно называют задачей sakņu precizējumi.

Skaitlisko metožu apraksts. Skaitliskās metodes ļauj atrast risinājumus noteiktām problēmām, jau iepriekš zinot, ka iegūtie rezultāti tiks aprēķināti ar noteiktu kļūdu, tāpēc daudzām skaitliskām metodēm ir iepriekš jāzina “precizitātes līmenis”, kas iegūts. risinājums atbildīs.

Šajā sakarā problēma, kā atrast formas polinoma saknes (3.1.)

ir īpaši interesanta, jo formulas pat kubiskā vienādojuma sakņu atrašanai ir diezgan sarežģītas. Ja ir jāatrod saknes polinomam, kura pakāpe ir, piemēram, 5, tad nevar iztikt bez skaitlisko metožu palīdzības, jo īpaši tāpēc, ka šādam polinomam var būt dabiskas (vai veselas, vai precīzas saknes ar "īsā" daļēja daļa) ir diezgan maza, un nav formulu, lai atrastu saknes vienādojumam, kura pakāpe ir lielāka par 4. De facto visas turpmākās darbības tiks samazinātas līdz sakņu noskaidrošana, kuru intervāli ir aptuveni zināmi iepriekš. Vienkāršākais veids, kā atrast šīs "aptuvenās" saknes, ir izmantot grafiskās metodes.

Lai atrastu polinoma saknes, ir vairākas skaitliskās metodes: iterācijas metode, akordu un tangenšu metode, dalīšanas uz pusi metode, sekanta metode.

Bisekcijas metode(pazīstama arī kā "metode segmenta dalīšanai uz pusēm") ir arī rekursīvs, t.i. paredz atkārtojumu, ņemot vērā iegūtos rezultātus.

Uz pusēm dalīšanas metodes būtība ir šāda:

• - dota funkcija F(x);
• - tiek noteikta pieļaujamā kļūda Q;
• - definēts kāds intervāls [ a , b ], kas precīzi satur vienādojuma atrisinājumu.

1) Aprēķinām koordinātes E vērtību, ņemot segmenta vidu, t.i.

E \u003d (a + b) / 2 (3.2)

• 2) Aprēķiniet F(a), F(b), F(E) vērtības un veiciet šādu pārbaudi: Ja F(E)>Q, tad sakne tiek atrasta ar norādīto precizitāti. Ja F(E)
• 3) Pārejiet uz 1. punktu.

Vienkāršu iterāciju metode (secīgu tuvinājumu metode). Mēs aizstājam vienādojumu (2.1) ar līdzvērtīgu vienādojumu

x=(x) (3.3)

var izdarīt dažādos veidos, piemēram

x=x+cf(x), c0. (3.4)

Pieņemsim, ka ir izvēlēta kāda vienādojuma (3.3) saknes sākotnējā aproksimācija. Mēs definējam skaitlisku secību ar formulām

X n+1 =(x n ), n=0,1,2,… (3.5)

Šādu secību sauc par iteratīvu.

Ja segmentā, kas satur x 0 un visus turpmākos tuvinājumus x n , nN, funkcijai (x) ir nepārtraukts atvasinājums "(x) un |"(x)|q<1, то итерационная последовательность (3.5) сходится к единственному на корню уравнения (3.3). Скорость сходимости определяется неравенством

No šīs nevienlīdzības jo īpaši izriet, ka vienkāršās iterācijas metodes konverģences ātrums ir atkarīgs no q vērtības: jo mazāks q, jo ātrāka konverģence.

Tāpēc praksē, meklējot saknes ar vienkāršas iterācijas metodi, vienādojumu (2.1) vēlams attēlot formā (3.3) tā, lai atvasinājums "(x) saknes tuvumā būtu iespējams mazāka absolūtā vērtībā Šim nolūkam dažreiz tiek izmantots parametrs c no formulas (3.4).

Ņūtona metode (tangences metode). Ja ir zināms pietiekami labs sākotnējais tuvinājums, kuram ir spēkā šāda nevienlīdzība:

tad jūs varat aprēķināt vienīgo vienādojuma sakni, izmantojot Ņūtona formulu

Kā sākotnējo tuvinājumu varat izmantot intervāla robežas un:

Ja ieslēgts.

Katrā šīs metodes atkārtojumā aprēķinu apjoms ir lielāks nekā bisekcijas un iterāciju metodēs, jo ir jāatrod ne tikai funkcijas vērtība, bet arī tās atvasinājums. Tomēr Ņūtona metodes konverģences ātrums ir daudz lielāks.

Teorēma. Ļaut būt vienādojuma saknei, t.i. , un ir nepārtraukts. Tad ir tāda saknes apkārtne, ka, ja sākotnējā aproksimācija pieder šai apkārtnei, tad Ņūtona metodei vērtību secība konverģē uz at. Saknes tuvinājuma kļūdu var novērtēt pēc formulas:

kur ir segmenta otrā atvasinājuma moduļa lielākā vērtība, ir segmenta pirmā atvasinājuma moduļa mazākā vērtība.

Apturēšanas noteikums:

Akordu un tangenšu metode (kombinēta). Šīs metodes pamatā ir funkcijas shematiska grafika izveidošana, tās krustošanās intervālu noteikšana ar abscisu asi un pēc tam šī intervāla “saspiešana”, izmantojot šīs funkcijas grafikam konstruētas akordas un pieskares.

Jāpiebilst, ka atsevišķi ir arī akordu metode (dod saknes vērtību ar deficītu) un pieskares metode (ar pārpalikumu). Tomēr kombinētās metodes priekšrocība ir aplūkotā segmenta “divpusējā saspiešana”.

Apsveriet šādu gadījumu:

• - ir dota funkcija F(x) un izveidots tās grafiks;
• - tiek noteikta pieļaujamā kļūda Q
• - pamatojoties uz grafiku, tiek definēts segments, kurā funkcijas grafiks krustojas ar abscisu asi, tāpēc uz šī segmenta atrodas aplūkojamā polinoma sakne (apzīmējam ar A)

Turpmākais algoritms tiek samazināts līdz šādām darbībām:

• 1) mēs izveidojam pieskari funkcijas grafikam punktā F(b)
• 2) mēs aprēķinām pieskares krustpunkta ar abscisu asi x-koordinātu pēc formulas (3.9) un apzīmējam to ar b "
• 3) konstruējam akordu funkcijas grafikam, kas iet caur punktiem F(a) un F(b).
• 4) Mēs aprēķinām hordas krustošanās punktu ar abscisu asi pēc formulas (2) un apzīmējam to ar a".

Tādējādi iegūstam jaunu segmentu , kurā (saskaņā ar hordas un pieskares definīcijām) joprojām ir A vienādojuma atrisinājums.

Tagad mēs ņemam segmentu kā jaunu segmentu un atkārtojam soļus 1-4, līdz starpība F(b)-F(a) kļūst mazāka par sākotnēji iegulto kļūdu Q. Mēs arī atzīmējam, ka pēc tam ieteicams ņemt vidējo aritmētisko. F kā vēlamais risinājums (a) un F (b).

Tādējādi, ja horda (tangence) dod saknes vērtību ar pārpalikumu, tad šī sakne tiek ņemta par jauno labo robežu, un, ja ar deficītu, tad kreisā. Abos gadījumos precīzā sakne atrodas starp hordas un pieskares krustpunktiem ar abscisu asi.

Piezīmes par akordu un tangenšu metodi. Tā kā uzdevuma risināšanai nepieciešams atrast funkcijas F(x) atvasinājumu, tad akordu un tangenšu metodi programmas līmenī ir diezgan grūti realizēt, jo noteikumi par atvasinājumu aprēķināšanu vispārīgā formā ir diezgan apgrūtinoši datora "izpratnei"; tieši norādot atvasinājumu katrai polinoma pakāpei, datora atmiņa tiek nopietni noslogota, kas ievērojami palēnina darbu, un funkcijas un attiecīgi tās atvasinājuma iestatīšana tieši programmas kodā ir nepieņemama. Taču, izmantojot šo metodi, intervāla konverģence saknei notiek visātrāk, īpaši, ja akordu un tangenšu metodi kombinē ar bisekcijas metodi, jo jaunā segmenta vidus bieži vien sniedz pilnīgi apmierinošu risinājumu.

Sekanta metode. Sekanta metodi var iegūt no Ņūtona metodes, aizstājot atvasinājumu ar aptuvenu izteiksmi - atšķirības formulu:

Formula (3.8) izmanto divus iepriekšējos tuvinājumus u. Tāpēc noteiktai sākotnējai vērtībai ir jāaprēķina nākamā tuvināšana, piemēram, ar Ņūtona metodi ar aptuvenu atvasinājuma aizstāšanu ar formulu

Sekanta metodes algoritms:

1) norādīta sākotnējā vērtība un kļūda. Aprēķināt

2) par n= 1,2, ..... kamēr nosacījums ir izpildīts, mēs aprēķinām pēc formulas (3.8).

Problēmas formulēšana

Sakņu atdalīšana

Sakņu precizēšana

1.2.3.2. Iterācijas metode

1.2.3.4. akordu metode

Problēmas formulēšana

Algebriskie vienādojumi

( 1.2.1-1)

transcendentālais vienādojums

(1.2.1-2)

Atkārtota sakņu precizēšana.

Sakņu atdalīšanas stadijā tiek atrisināta problēma atrast šaurākos iespējamos segmentus, kas satur vienu un tikai vienu vienādojuma sakni.

Saknes precizēšanas soļa mērķis ir aprēķināt saknes aptuveno vērtību ar noteiktu precizitāti. Šajā gadījumā tiek izmantotas iteratīvas metodes, lai aprēķinātu secīgus tuvinājumus saknei: x 0 , x 1 , ..., x n , ..., kurā katrs nākamais tuvinājums x n+1 tiek aprēķināts, pamatojoties uz iepriekšējo x n . Katru soli sauc par iterāciju. Ja secībai x 0 , x 1 , ..., x n , … kā n ® ¥ ir robeža, kas vienāda ar saknes vērtību, tad iteratīvais process saplūst.

Ir dažādi veidi, kā atdalīt un uzlabot saknes, par kurām mēs runāsim tālāk.

Sakņu atdalīšana

Vienādojuma sakne f(x)=0 tiek uzskatīta par atdalītu (lokalizētu) segmentā, ja šim vienādojumam šajā segmentā nav citu sakņu. Lai atdalītu vienādojuma saknes, ir jāsadala funkcijas f(x) pieļaujamo vērtību diapazons diezgan šauros segmentos, no kuriem katrs satur tikai vienu sakni. Pastāv grafisks un analītisks sakņu atdalīšanas metodes.

Sakņu precizēšana

Uzdevums precizēt vienādojuma sakni ar precizitāti, kas atdalīta ar segmentu, ir atrast tādu aptuvenu saknes vērtību, kurai nevienādība . Ja vienādojumam ir nevis viena, bet vairākas saknes, tad precizēšanas posms tiek veikts katrai atdalītajai saknei.

Pusdalīšanas metode

Ļaujiet, lai vienādojuma sakne f(x)=0 būtu atdalīta segmentā , tas ir, šim segmentam ir viena sakne, un funkcija šajā segmentā ir nepārtraukta.

Divdalīšanas metode ļauj iegūt ligzdotu segmentu secību , …,,…, lai f(a i).f(b i)< 0 , kur i=1,2,…,n, un katra nākamā segmenta garums ir puse no iepriekšējā segmenta garuma:

Segmenta sašaurināšanās ap nezināmo saknes vērtību nodrošina izpildi kādā solī n nevienādības |b n - a n |< e. Поскольку при этом для любого хÎ будет выполняться неравенство | - х| <, то с точностью любое

Var pieņemt kā aptuvenu saknes vērtību, piemēram, tās viduspunktu

Bisekcijas metodē no iterācijas līdz iterācijai sākotnējā segmenta garums tiek konsekventi samazināts uz pusi (1.2.3.-1. att.). Tāpēc n-tajā solī ir spēkā šāds rezultāta kļūdas novērtējums:

( 1.2.3-1)

kur ir precīza saknes vērtība, x n н ir aptuvenā saknes vērtība n-tajā solī.

Salīdzinot iegūto kļūdas aprēķinu ar doto precizitāti, mēs varam novērtēt nepieciešamo darbību skaitu:

(1.2.3-2)

No formulas var redzēt, ka vērtības samazināšanās e(precizitātes palielināšanās) rada ievērojamu aprēķinu apjoma pieaugumu, tāpēc praksē salīdzinoši aptuvenai saknes atrašanai tiek izmantota pusdalīšanas metode, un tās tālāka precizēšana tiek veikta, izmantojot citas, efektīvākas metodes. .

Rīsi. 1.2.3-2. Bisekcijas metodes algoritma shēma

Sadalīšanas algoritma shēma parādīta att. 1.2.3-2. Iepriekš minētais algoritms pieņem, ka vienādojuma f(x) kreisā puse ir veidota kā programmatūras modulis.

Piemērs 1.2.3-1. Norādiet vienādojuma sakni x 3 +x-1=0 ar precizitāti =0,1, kas ir lokalizēta segmentā .

Rezultāti ir ērti parādīti, izmantojot 1.2.3-3 tabulu.

Tabula 1.2.3-3

k	a	b	f(a)	f(b)	(a+b)/2	f((a+b)/2)	a k	b k
			-1		0.5	-0.375	0.5
	0.5		-0.375		0.75	0.172	0.5	0.75
	0.5	0.75	-0.375	0.172	0.625	-0.131	0.625	0.75
	0.625	0.75	-0.131	0.172	0.688	0.0136	0.625	0.688

Pēc ceturtās iterācijas segmenta garums |b 4 -a 4 | = |0,688-0,625| = 0,063 ir kļuvis mazāks par vērtību e, tāpēc aptuvenajai saknes vērtībai varat ņemt šī segmenta vidus vērtību: x \u003d (a 4 + b 4) / 2 \u003d 0,656 .

Funkcijas f(x) vērtība punktā x = 0,656 ir f(0,656) = -0,062 .

Iterācijas metode

Iterācijas metode ietver vienādojuma f(x)=0 aizstāšanu ar līdzvērtīgu vienādojumu x=j(x). Ja vienādojuma sakne ir atdalīta segmentā , tad, pamatojoties uz sākotnējo tuvinājumu x 0 н, jūs varat iegūt saknes tuvinājumu secību

x 1 \u003d j (x 0), x 2 \u003d j (x 1), ..., , ( 1.2.3-3)

kur funkciju j(x) sauc par iterācijas funkciju.

Vienkāršās iterācijas metodes konverģences nosacījumu nosaka sekojošā teorēma.

Ļaujiet saknei X* vienādojumi x=j(x) atdalīts uz segmentaun izveidoja tuvinājumu secību saskaņā ar noteikumu x n \u003d j (x n -1) . Tad, ja visi secības dalībnieki x n =j(x n -1) н un tāds ir q(0 ka visiem x О veikta|j'(x)| = q<1, tad šī secība ir konverģenta un secības robeža ir saknes vērtība x* , t.i. iterācijas process konverģē uz vienādojuma sakni neatkarīgi no sākotnējās tuvināšanas.

Tātad, ja ir izpildīts iterācijas metodes konverģences nosacījums, tad secība x 0 , x 1 , x 2 , …, x n ,…, kas iegūta, izmantojot formulu x n +1 = j(x n ), saplūst ar precīzu saknes vērtību:

Nosacījums j(x)н priekš xн nozīmē, ka visiem tuvinājumiem x 1 , x 2 , …, x n ,…, kas iegūti ar iteratīvo formulu, ir jāpieder segmentam, kurā sakne ir atdalīta.

Lai novērtētu iterācijas metodes kļūdu, nosacījums

uz numuru q var iegūt lielāko vērtību |j"(x)| , un iterāciju process jāturpina līdz nevienlīdzībai

(1.2.3-5)

Praksē bieži tiek izmantota vienkāršota kļūdu novērtēšanas formula. Piemēram, ja 0

|x n -1 - x n | £ .

Iteratīvās formulas x n +1 = j(x n) izmantošana ļauj iegūt vienādojuma saknes vērtību f(x)=0 ar jebkuru precizitātes pakāpi. .

Iterācijas metodes ģeometriskā ilustrācija. X0Y plaknē mēs attēlojam funkciju y=x un y=j(x) grafikus ). Vienādojuma x=j(x) sakne ir funkcijas y = j(x) grafiku krustpunkta abscisa ) un tiešais y=x. Ņemsim kādu sākotnējo tuvinājumu x 0 н . Līknē y \u003d j (x) tas atbilst punktam A 0 \u003d j (x 0). Lai atrastu nākamo tuvinājumu, novelciet taisnu horizontālu līniju caur punktu A 0 līdz krustojumam ar taisni y \u003d x (punkts B 1) un nolaidiet perpendikulu krustojumam ar līkni (punkts A 1), tas ir, x 1 \u003d j (x 0) . Turpinot konstrukciju līdzīgā veidā, mums ir lauzta līnija A 0, B 1, A 1, B 2, A 2 ..., kurai punktu kopējās abscises attēlo secīgu tuvinājumu x 1, x 2, . .., x n ("kāpnes") līdz saknei X*. No att. 1.2.3-3a redzams, ka process konverģē uz vienādojuma sakni.

Aplūkosim citu līknes formu y = j(x) (1.2.6.b att.). Šajā gadījumā lauztajai līnijai A 0 , B 1 , A 1 , B 2 , A 2 ... ir “spirāles” forma. Tomēr šajā gadījumā tiek novērota arī konverģence.

Ir viegli redzēt, ka pirmajā gadījumā atvasinājums apmierina nosacījumu 0< j’(x)< 1, а во втором случае производная j’(x)<0иj’(x)>- viens. Tādējādi ir skaidrs, ka, ja |j'(x)|<1, то процесс итераций сходится к корню.

Tagad apsveriet gadījumus, kad |j'(x) |> 1. Attēlā. 1.2.3-4a parāda gadījumu, kad j'(x)>1, un att. 1.2.3-4b — ja j'(x)< -1. В обоих случаях процесс итерации расходится, то есть, полученное на очередной итерации значение х все дальше удаляется от истинного значения корня.

Veidi, kā uzlabot iterācijas procesa konverģenci. Apsveriet divas iespējas funkcijas j(x) attēlošanai pārejā no vienādojuma f(x) uz x=j(x).

1. Lai funkcija j(x) ir diferencējama un monotona saknes apkaimēs, un lai ir skaitlis k £ |j‘(x)|, kur k ³ 1 (t.i., process atšķiras). Aizstāsim vienādojumu x=j(x) ar tā ekvivalento vienādojumu x=Y(x ) , kur Y(x) = 1/j(x)(pāriesim pie apgrieztās funkcijas). Tad

kas nozīmē q=1/k< 1 и процесс будет сходиться.

2. Mēs attēlojam funkciju j(x) kā j(x) = x - lf(x), kur l ir koeficients , nav vienāds

nulle. Lai process saplūstu, tas ir nepieciešams
0<|j¢(x)| = |1 - lf¢(x)| < 1. Возьмем l= 2/(m 1 +M 1 ), kur m 1 un M 1 ir f'(x) (m 1 =min|f'(x)|, M 1 =max|f'(x)|) minimālās un maksimālās vērtības хн, t.i. 0 £ m 1 £ f¢(x) £ M 1 £ 1. Tad

un process saplūst, rekursīvajai formulai ir forma

Ja f¢(x)< 0, то в рекуррентной формуле f(x) следует умножить на -1 .

Parametru λ var noteikt arī ar noteikumu:

Ja , tad , un ja , tad , kur .

Iterācijas metodes algoritma shēma parādīta att. 1.2.3-5.

Sākotnējais vienādojums f(x)=0 ir pārveidots iterācijām ērtā formā: Sākotnējā vienādojuma f(x) kreisā puse un iterācijas funkcija fi(x) algoritmā ir veidotas kā atsevišķi programmatūras moduļi.

Rīsi. 1.2.3-5. Iterācijas metodes algoritma diagramma

Piemērs 1.2.3-2. Precizējiet vienādojuma sakni 5x – 8∙ln(x) – 8 =0 ar precizitāti 0,1, kas ir lokalizēta segmentā .

Mēs izveidojam vienādojumu iterācijām ērtā formā:

Tāpēc aptuvenajai vienādojuma saknes vērtībai ņemam vērtību x 3 =3,6892, kas nodrošina nepieciešamo aprēķinu precizitāti. Šajā punktā f(x 3)=0,0027.

akordu metode

Akordu metodes ģeometriskā interpretācija ir šāds
(1.2.3.-8. att.).

Novelkam taisnes nogriezni caur punktiem A un B. Nākamā aproksimācija x 1 ir hordas krustošanās punkta ar 0x asi abscisa. Izveidosim taisnas līnijas segmenta vienādojumu:

Ieliksim y = 0 un atrodam vērtību x = x 1 (cits tuvinājums):

Mēs atkārtojam aprēķina procesu, lai iegūtu nākamo tuvinājumu saknei - x 2 :

Mūsu gadījumā (1.2.11. att.) un horda metodes aprēķina formula izskatīsies

Šī formula ir derīga, ja punkts b tiek pieņemts kā fiksēts punkts, un punkts a darbojas kā sākotnējais tuvinājums.

Aplūkosim citu gadījumu (1.2.3.-9. att.), kad .

Šajā gadījumā taisnās līnijas vienādojumam ir forma

Nākamā tuvināšana x 1 pie y = 0

Tad akordu metodes rekursīvajai formulai šajā gadījumā ir forma

Jāņem vērā, ka fiksētajam punktam hordu metodē tiek izvēlēts posms, kuram ir izpildīts nosacījums f (x) ∙ f¢¢ (x)>0.

Tādējādi, ja punktu a pieņem par fiksētu punktu , tad x 0 = b darbojas kā sākotnējais tuvinājums un otrādi.

Pietiekami nosacījumi, kas nodrošina vienādojuma saknes f(x)=0 aprēķinu, izmantojot akordu formulu, būs tādi paši kā tangentes metodei (Ņūtona metode), taču sākotnējās aproksimācijas vietā tiek izvēlēts fiksēts punkts. Akordu metode ir Ņūtona metodes modifikācija. Atšķirība ir tāda, ka nākamais tuvinājums Ņūtona metodē ir pieskares krustpunkts ar 0X asi, un hordu metodē - hordas krustošanās punkts ar 0X asi - aproksimācijas konverģē uz sakni no dažādas puses.

Akordu metodes kļūdas novērtējumu nosaka izteiksme

(1.2.3-15)

Iterācijas procesa beigu nosacījums pēc akordu metodes

(1.2.3-16)

Ja M 1<2m 1 , то для оценки погрешности метода может быть использована формула | x n - x n -1 | £ e.

Piemērs 1.2.3-4. Norādiet vienādojuma sakni e x - 3x = 0, kas atdalīta segmentā ar precizitāti 10 -4 .

Pārbaudīsim konverģences nosacījumu:

Tāpēc a=0 ir jāizvēlas kā fiksēts punkts, un x 0 \u003d 1 jāuzskata par sākotnējo tuvinājumu, jo f (0) \u003d 1> 0 un f (0) * f "(0)> 0 .

Aprēķinu rezultāti, kas iegūti, izmantojot formulu
1.2.3-14 ir parādīti 1.2.3-4 tabulā.

Tabula 1.2.3-4

Rīsi. 1.2.3-10. Akordu metodes algoritma shēma

Nelineārais vienādojums ir

1) algebriskais vai transcendentālais vienādojums

2) algebriskais vienādojums

3) trigonometriskais vienādojums

4) transcendentālais vienādojums

Tēma 1.2. Nelineāro vienādojumu risināšanas metodes

Problēmas formulēšana

Sakņu atdalīšana

1.2.2.1. Grafiskā sakņu atdalīšana

1.2.2.2. Analītiskā sakņu nozare

Sakņu precizēšana

1.2.3.1. Pusdalīšanas metode

1.2.3.2. Iterācijas metode

1.2.3.3. Ņūtona metode (tangences metode)

1.2.3.4. akordu metode

1.2.3.5. Nelineāro vienādojumu risināšanas metožu salīdzinājums

1.2.4. Pārbaudes uzdevumi par tēmu "Nelineāru vienādojumu risināšanas metodes"

Problēmas formulēšana

Viena no svarīgākajām un visizplatītākajām matemātiskās analīzes problēmām ir vienādojuma ar vienu nezināmo sakņu noteikšanas problēma, kuru vispārīgā formā var attēlot kā f(x) = 0. Atkarībā no funkcijas f( x), tiek izdalīti algebriskie un transcendentālie vienādojumi. Algebriskie vienādojumi Tiek saukti vienādojumi, kuros funkcijas f(x) vērtība ir n-tās pakāpes polinoms:

f (x) \u003d P (x) \u003d a n x n + a 2 x 2 + ... + a 1 x + a 0 \u003d 0. ( 1.2.1-1)

Tiek izsaukts jebkurš nealgebriskais vienādojums transcendentālais vienādojums. Funkcija f(x) šādos vienādojumos ir vismaz viena no šīm funkcijām: eksponenciāla, logaritmiska, trigonometriskā vai apgrieztā trigonometriskā.

Vienādojuma f (x) \u003d 0 atrisinājums ir sakņu kopa, tas ir, tādas neatkarīgā mainīgā vērtības, kurām vienādojums pārvēršas par identitāti. Tomēr precīzas sakņu vērtības var atrast tikai analītiski dažiem vienādojumu veidiem. Jo īpaši formulas, kas izsaka algebriskā vienādojuma atrisinājumu, var iegūt tikai vienādojumiem, kas nav augstāki par ceturto pakāpi. Ir vēl mazāk iespēju iegūt precīzu transcendentālo vienādojumu risinājumu. Jāatzīmē, ka problēma ar precīzu sakņu vērtību atrašanu ne vienmēr ir pareiza. Tātad, ja vienādojuma koeficienti ir aptuveni skaitļi, tad aprēķināto sakņu vērtību precizitāte noteikti nevar pārsniegt sākotnējo datu precizitāti. Šie apstākļi liek mums apsvērt iespēju atrast vienādojuma saknes ar ierobežotu precizitāti (aptuvenās saknes).

Problēma par vienādojuma saknes atrašanu ar doto precizitāti (>0) tiek uzskatīta par atrisinātu, ja tiek aprēķināta aptuvenā vērtība, kas atšķiras no precīzās saknes vērtības ne vairāk kā par vērtību e

(1.2.1-2)

Vienādojuma aptuvenās saknes atrašanas process sastāv no diviem posmiem:

1) sakņu atdalīšana (sakņu lokalizācija);

Vienādojumus, kas satur nezināmas funkcijas, kas paaugstinātas ar jaudu, kas lielāka par vienu, sauc par nelineāriem.
Piemēram, y=ax+b ir lineārs vienādojums, x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 ir nelineārs (parasti rakstīts kā F(x)=0).

Nelineāru vienādojumu sistēma ir vairāku nelineāru vienādojumu vienlaicīga atrisināšana ar vienu vai vairākiem mainīgajiem.

Ir daudzas metodes nelineāru vienādojumu risināšana un nelineāro vienādojumu sistēmas, kuras parasti iedala 3 grupās: skaitliskās, grafiskās un analītiskās. Analītiskās metodes ļauj noteikt precīzas vienādojumu risinājuma vērtības. Grafiskās metodes ir vismazāk precīzas, taču ļauj sarežģītos vienādojumos noteikt aptuvenākās vērtības, no kurām nākotnē var sākt meklēt precīzākus vienādojumu risinājumus. Nelineāro vienādojumu skaitliskais risinājums ietver divu posmu iziešanu: saknes atdalīšanu un tās precizēšanu līdz noteiktai noteiktai precizitātei.
Sakņu atdalīšana tiek veikta dažādos veidos: grafiski, izmantojot dažādas specializētas datorprogrammas utt.

Apsvērsim vairākas metodes sakņu attīrīšanai ar noteiktu precizitāti.

Nelineāro vienādojumu skaitliskās risināšanas metodes

pusi dalīšanas metode.

Pusdalīšanas metodes būtība ir sadalīt intervālu uz pusēm (с=(a+b)/2) un atmest to intervāla daļu, kurā nav saknes, t.i. nosacījums F(a)xF(b)

1. att. Pusdalīšanas metodes izmantošana nelineāru vienādojumu risināšanā.

Apsveriet piemēru.

Sadalīsim segmentu 2 daļās: (a-b)/2 = (-1+0)/2=-0,5.
Ja reizinājums F(a)*F(x)>0, tad segmenta a sākums tiek pārnests uz x (a=x), pretējā gadījumā segmenta b beigas tiek pārnestas uz punktu x (b=x). ). Iegūto segmentu atkal sadalām uz pusēm utt. Visi aprēķini ir parādīti zemāk esošajā tabulā.

2. att. Aprēķinu rezultātu tabula

Aprēķinu rezultātā iegūstam vērtību, ņemot vērā nepieciešamo precizitāti, kas vienāda ar x=-0,946

akordu metode.

Izmantojot horda metodi, tiek norādīts segments, kurā ir tikai viena sakne ar norādīto precizitāti e. Caur nogriežņa a un b punktiem, kuriem ir koordinātes (x(F(a); y(F(b))))), tiek novilkta līnija (horda). Tālāk šīs līnijas krustošanās punkti ar abscisu asi (z punkts).
Ja F(a)xF(z)

3. att. Akordu metodes izmantošana nelineāru vienādojumu risināšanā.

Apsveriet piemēru. Ir jāatrisina vienādojums x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 e robežās

Kopumā vienādojums izskatās šādi: F(x)= x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5

Atrodiet F(x) vērtības segmenta galos:

F(-1) = -0,2>0;

Definēsim otro atvasinājumu F''(x) = 6x-0,4.

F''(-1)=-6,4
F''(0)=-0,4

Segmenta galos tiek ievērots nosacījums F(-1)F’’(-1)>0, tāpēc vienādojuma saknes noteikšanai izmantojam formulu:

Visi aprēķini ir parādīti zemāk esošajā tabulā.

4. att. Aprēķinu rezultātu tabula

Aprēķinu rezultātā iegūstam vērtību, ņemot vērā nepieciešamo precizitāti, kas vienāda ar x=-0,946

Tangences metode (Ņūtons)

Šīs metodes pamatā ir grafika pieskares konstruēšana, kuras tiek uzzīmētas vienā no intervāla galiem. Krustošanās punktā ar X asi (z1) tiek veidota jauna pieskare. Šī procedūra turpinās, līdz iegūtā vērtība ir salīdzināma ar vēlamo precizitātes parametru e (F(zi)

5. att. Pieskares (Ņūtona) metodes izmantošana nelineāru vienādojumu risināšanā.

Apsveriet piemēru. Ir jāatrisina vienādojums x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 e robežās

Kopumā vienādojums izskatās šādi: F(x)= x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5

Definēsim pirmo un otro atvasinājumu: F'(x)=3x^2-0.4x+0.5, F''(x)=6x-0.4;

F''(-1)=-6-0,4=-6,4
F''(0)=-0,4
Nosacījums F(-1)F''(-1)>0 ir izpildīts, tāpēc aprēķini tiek veikti pēc formulas:

Kur x0=b, F(a)=F(-1)=-0,2

Visi aprēķini ir parādīti zemāk esošajā tabulā.

6. att. Aprēķinu rezultātu tabula

Aprēķinu rezultātā iegūstam vērtību, ņemot vērā nepieciešamo precizitāti, kas vienāda ar x=-0,946

Apsveriet problēmu, kā atrast nelineārā vienādojuma saknes

Vienādojuma (1) saknes ir tās x vērtības, kuras, aizstājot, pārvērš to par identitāti. Tikai vienkāršākajiem vienādojumiem ir iespējams atrast risinājumu formulu veidā, t.i. analītiskā forma. Biežāk vienādojumus nepieciešams atrisināt ar aptuvenām metodēm, no kurām visizplatītākās saistībā ar datoru parādīšanos ir skaitliskās metodes.

Algoritmu sakņu atrašanai ar aptuvenām metodēm var iedalīt divos posmos. Sākumā tiek pētīta sakņu atrašanās vieta un veikta to atdalīšana. Ir apgabals, kurā ir vienādojuma sakne vai saknes x 0 sākotnējais tuvinājums. Vienkāršākais veids, kā atrisināt šo problēmu, ir izpētīt funkcijas f(x) grafiku. Vispārīgā gadījumā, lai to atrisinātu, ir jāiesaista visi matemātiskās analīzes līdzekļi.

Vismaz vienas vienādojuma (1) saknes esamība atrastajā intervālā izriet no Bolcāno nosacījuma:

f(a)*f(b)<0 (2)

Tāpat tiek pieņemts, ka funkcija f(x) ir nepārtraukta dotajā intervālā. Tomēr šis nosacījums neatbild uz jautājumu par vienādojuma sakņu skaitu noteiktā intervālā. Ja funkcijas nepārtrauktības prasību papildina ar tās monotonitātes prasību, un tas izriet no pirmā atvasinājuma zīmes konstantes, tad mēs varam apgalvot, ka konkrētajā segmentā pastāv unikāla sakne.

Lokalizējot saknes, ir svarīgi zināt arī šāda veida vienādojuma pamatīpašības. Piemēram, atcerieties dažas algebrisko vienādojumu īpašības:

kur ir reālie koeficienti.

• a) n pakāpes vienādojumam ir n saknes, starp kurām var būt gan reālas, gan kompleksas. Sarežģītas saknes veido sarežģītus konjugātus pārus, un tāpēc vienādojumā ir pāra skaits šādu sakņu. Nepāra vērtībai n ir vismaz viena reāla sakne.
• b) Pozitīvo reālo sakņu skaits ir mazāks vai vienāds ar mainīgo zīmju skaitu koeficientu secībā. Aizstājot x ar -x vienādojumā (3), varat tādā pašā veidā novērtēt negatīvo sakņu skaitu. iterācija Ņūtona dihotomija nelineāra

(1) vienādojuma risināšanas otrajā posmā, izmantojot iegūto sākotnējo aproksimāciju, tiek konstruēts iteratīvs process, kas ļauj ar zināmu iepriekš noteiktu precizitāti precizēt saknes vērtību. Iteratīvais process sastāv no sākotnējās aproksimācijas secīgas precizēšanas. Katru šādu soli sauc par iterāciju. Iterācijas procesa rezultātā tiek atrasta vienādojuma sakņu aptuveno vērtību secība. Ja šī secība tuvojas saknes x patiesajai vērtībai, pieaugot n, tad iteratīvais process saplūst. Tiek uzskatīts, ka iteratīvais process saplūst vismaz m secībā, ja ir izpildīts šāds nosacījums:

kur С>0 ir kāda konstante. Ja m=1 , tad runā par pirmās kārtas konverģenci; m=2 - par kvadrātisko, m=3 - par kubisko konverģenci.

Iteratīvie cikli beidzas, ja pie noteiktas pieļaujamās kļūdas ir izpildīti absolūto vai relatīvo noviržu kritēriji:

vai atlikuma mazums:

Šis darbs ir veltīts algoritma izpētei nelineāru vienādojumu risināšanai, izmantojot Ņūtona metodi.

Nodaļa: ASOIiU

Laboratorijas darbi

Par tēmu: NELINEĀRA VIENĀDOJUMA SAKNES ATRAŠANĀS. NELINEĀRU VIENĀDĀJUMU SISTĒMAS RISINĀŠANAS METODES

Maskava, 2008

NELINEĀRA VIENĀDOJUMA SAKNES ATRAŠANĀS

1. Problēmas izklāsts

Dota funkcija, kas ir nepārtraukta kopā ar vairākiem tās atvasinājumiem. Ir jāatrod visas vai dažas vienādojuma reālās saknes

Šis uzdevums ir sadalīts vairākos apakšuzdevumos. Pirmkārt, ir nepieciešams noteikt sakņu skaitu, izpētīt to raksturu un atrašanās vietu. Otrkārt, atrodiet aptuvenās sakņu vērtības. Treškārt, izvēlieties no tām mūs interesējošās saknes un aprēķiniet tās ar nepieciešamo precizitāti e. Pirmais un otrais uzdevums parasti tiek atrisināts ar analītiskām vai grafiskām metodēm. Gadījumā, ja tiek meklētas tikai (1) vienādojuma reālās saknes, ir lietderīgi sastādīt funkciju vērtību tabulu. Ja funkcijai ir atšķirīgas zīmes divos blakus esošajos tabulas mezglos, tad starp šiem mezgliem atrodas nepāra vienādojuma sakņu skaits (vismaz viena). Ja šie mezgli atrodas tuvu, tad, visticamāk, starp tiem ir tikai viena sakne.

Atrastās aptuvenās sakņu vērtības var precizēt, izmantojot dažādas iteratīvas metodes. Apskatīsim trīs metodes: 1) dihotomijas metodi (jeb segmenta sadalīšanu uz pusēm); 2) vienkāršās iterācijas metode un 3) Ņūtona metode.

2. Problēmas risināšanas metodes

2.1. Segmenta dalīšanas uz pusēm metode

Vienkāršākā metode nelineārā vienādojuma (1) saknes atrašanai ir dalīšanas ar pusi metode.

Lai segmentam dota nepārtraukta funkcija. Ja funkcijas vērtībām segmenta galos ir dažādas zīmes, t.i. tad tas nozīmē, ka dotajā segmentā ir nepāra skaits sakņu. Ļaujiet, lai noteiktu, ir tikai viena sakne. Metodes būtība ir katrā iterācijā uz pusi samazināt segmenta garumu. Atrodam segmenta vidu (skat. 1. att.) Aprēķiniet funkcijas vērtību un atlasiet segmentu, kurā funkcija maina savu zīmi. Atkal sadaliet jauno segmentu uz pusēm. Un mēs turpinām šo procesu, līdz segmenta garums ir vienāds ar iepriekš noteikto kļūdu saknes e aprēķināšanā. Vairāku secīgu tuvinājumu uzbūve pēc formulas (3) parādīta 1. attēlā.

Tātad, dihotomijas metodes algoritms:

1. Iestatiet attālumu un kļūdu e.

2. Ja f(a) un f(b) ir vienādas zīmes, izdod ziņu par neiespējamību atrast sakni un stop.

1. att. Nozares dalīšanas uz pusēm metode f(x)=0 formas vienādojuma atrisināšanai.

3. Citādi aprēķiniet c=(a+b)/2

4. Ja f(a) un f(c) ir dažādas zīmes, liec b=c, pretējā gadījumā a=c.

5. Ja jaunā segmenta garums ir , tad aprēķiniet saknes vērtību c=(a+b)/2 un apstājieties, pretējā gadījumā pārejiet uz 3. darbību.

Tā kā N soļos segmenta garums tiek samazināts par 2 N reizēm, tad dotā kļūda saknes e atrašanā tiks sasniegta iterācijās.

Kā redzams, konverģences ātrums ir zems, bet metodes priekšrocības ietver iteratīvā procesa vienkāršību un beznosacījumu konverģenci. Ja segmentā ir vairāk nekā viena sakne (bet nepāra skaitlis), tad viena vienmēr tiks atrasta.

komentēt. Lai noteiktu intervālu, kurā atrodas sakne, ir nepieciešama papildu funkcijas analīze, pamatojoties vai nu uz analītiskām aplēsēm, vai uz grafiskā risinājuma metodes izmantošanu. Ir iespējams arī organizēt funkciju vērtību meklēšanu dažādos punktos, līdz tiek izpildīts funkcijas zīmes maiņas nosacījums

2.2 Vienkārša iterācijas metode

Izmantojot šo metodi, sākotnējais nelineārais vienādojums (1) ir jāpārraksta formā

Apzīmēsim šī vienādojuma sakni kā C * . Lai ir zināms saknes sākotnējais tuvinājums. Aizvietojot šo vērtību vienādojuma (2) labajā pusē, mēs iegūstam jaunu tuvinājumu

utt. (n+1) solim mēs iegūstam šādu tuvinājumu

(3)

Tādējādi pēc formulas (3) iegūstam secību С 0 , С 1 ,…,С n +1 , kas tiecas uz sakni С * pie n®¥. Iteratīvais process apstājas, ja divu secīgu iterāciju rezultāti ir tuvi, t.i., nosacījums

(4)

Izpētīsim skaitliskās secības (C n ) konverģences nosacījumu un ātrumu n®¥. Atcerieties konverģences ātruma definīciju. Secībai (C n ), kas konverģē uz robežu С *, ir konverģences ātrums a kārtībā, ja n®¥ nosacījums

Pieņemsim, ka tai ir nepārtraukts atvasinājums, tad var attēlot kļūdu (n+1)-tajā iterācijas solī e n +1 =C n +1 -C * =g(C n)-g(C *) kā sērija

e n+1 » C n+1 – C * = g¢(C *) (C n -C *) +¼@ g¢(C *) e n +¼

Tādējādi mēs to iegūstam ar nosacījumu

çg¢(C *) ç<1(6)

secība (3) konverģēs uz sakni ar lineāro ātrumu a=1. Nosacījums (6) ir nosacījums vienkāršās iterācijas metodes konverģencei. Acīmredzot metodes panākumi ir atkarīgi no tā, cik labi ir izvēlēta funkcija.

Piemēram, lai iegūtu kvadrātsakni, t.i., atrisinātu vienādojumu formā x \u003d a 2, varat ievietot

x \u003d g 1 (x) \u003d a / x (7a)

x=g 2(x)=(x+a/x)/2.(7b)

To ir viegli parādīt

½g 1" (C)½=1,

½g 2" (C)½<1.

Tādējādi pirmais process (7a) nekonverģē vispār, savukārt otrais (7b) konverģē jebkurai sākotnējai aproksimācijai C 0 >0.

Rīsi. 2. Vienkāršo iterāciju metodes grafiskā interpretācija formas x=g(x) vienādojuma risināšanai.

Vairāku secīgu tuvinājumu konstruēšana pēc formulas (3)

С 0 , С 1 , …, С n = C*

parādīts 2. attēlā.

2.3. Ņūtona metode

Literatūrā šo metodi bieži sauc par tangentes metodi, kā arī par linearizācijas metodi. Izvēlamies sākotnējo tuvinājumu С 0 . Pieņemsim, ka novirze С 0 no saknes С * patiesās vērtības ir maza, tad, izvēršot f(C *) Teilora sērijā punktā С 0, iegūstam.

f(C *) = f(C 0) + f¢(C 0) (C * -C 0) + ¼ (8)

Ja f¢(C 0) ¹ 0, tad (8) mēs varam aprobežoties ar terminiem, kas ir lineāri DC =C-C 0 . Ņemot vērā, ka f(C *)=0, no (9) varam atrast šādu saknes tuvinājumu

C 1 \u003d C 0 - f (C 0) / f¢ (C 0)

vai (n+1) tuvinājumam

C n+1 = C n – f (C n) / f ¢ (C n) (9)

Lai pārtrauktu iteratīvo procesu, var izmantot vienu no diviem nosacījumiem

çC n +1 – C n ç

çf(C n +1) ç

Ņūtona metodes konverģences izpēte tiek veikta līdzīgi kā iepriekšējā gadījumā. Neatkarīgi iegūstiet to saskaņā ar nosacījumu

½f""(C)/2f"(C)½<1.

Ņūtona metodei ir kvadrātiskās konverģences koeficients ().

Rīsi. 3. Ņūtona metodes grafiskā interpretācija formas f(x)=0 vienādojuma atrisināšanai.

Vairāku secīgu tuvinājumu konstruēšana pēc formulas (9)

С 0 , С 1 , …, С n = C*

parādīts 3. attēlā.

1. Dotai funkcijai f(x)

Nosakiet vienādojuma f(x)=0 reālo sakņu skaitu, to atrašanās vietu un aptuvenās vērtības (izveidojiet grafiku vai izdrukājiet vērtību tabulu).

· Aprēķināt vienu no atrastajām saknēm (jebkuru) ar precizitāti e=0,5*10 -3 .

Aprēķiniem izmantojiet metodi, kas sadala segmentu uz pusēm (nosaka iterāciju skaitu), un pēc tam atrodiet to pašu sakni, izmantojot Ņūtona metodi (nosakot arī iterācijas soļu skaitu).

Salīdziniet savus rezultātus.

Uzdevuma iespējas

1,x3 –3x2 +6x – 5 = 0 2,x3 +sinx –12x-1=0

3. x 3 – 3 x 2 – 14 x – 8 = 0 4. 3x + cos x + 1 =0

5. x 2 + 4sin x -1 = 0 6. 4x -ln x = 5

7. x 6 –3 x 2 + x – 1 = 0 8. x 3 – 0,1 x 2 +0,3 x –0,6 = 0

9.10. (x -1) 3 + 0,5e x = 0

11.12.x5 -3x2 + 1 = 0

13. x 3 -4 x 2 -10 x -10 = 0 14.

15. 16.

19. 20.

23. 24. x 4 — 2,9 x 3 + 0,1 x 2 + 5,8 x 4,2 = 0

25.x4 +2.83x3 - 4.5x2 -64x-20=0 26.

NELINEĀRU VIENĀDĀJUMU SISTĒMAS RISINĀŠANAS METODES

1. Problēmas formulēšana

Jāatrisina n nelineāru vienādojumu sistēma:

(1)

Nav tiešu metožu sistēmas (1) risināšanai. Tikai dažos gadījumos šo sistēmu var atrisināt tieši. Piemēram, divu vienādojumu gadījumā dažreiz ir iespējams izteikt vienu nezināmu mainīgo ar citu un tādējādi reducēt problēmu līdz viena nelineāra vienādojuma atrisināšanai attiecībā pret vienu nezināmo.

Vienādojumu sistēmu (1) var īsi uzrakstīt vektora formā:

. (2)

Vienādojumam (2) var būt viena vai vairākas saknes domēnā D. Ir nepieciešams noskaidrot vienādojuma sakņu esamību un atrast šo sakņu aptuvenās vērtības. Sakņu atrašanai parasti tiek izmantotas iteratīvās metodes, kurās sākotnējās aproksimācijas izvēlei ir fundamentāla nozīme. Sākotnējā tuvināšana dažreiz ir zināma no fiziskiem apsvērumiem. Divu nezināmo gadījumā sākotnējo aproksimāciju var atrast grafiski: uz plaknes (x 1 , x 2) attēlo līknes f 1 (x 1 , x 2)=0 un f 2 (x 1 , x 2)=0 ) un atrodiet to krustpunktus. Trīs vai vairāk mainīgajiem (kā arī sarežģītām saknēm) nav apmierinošu veidu, kā izvēlēties sākotnējo tuvinājumu.

Apskatīsim divas galvenās iteratīvās metodes vienādojumu sistēmas (1), (2) risināšanai - vienkāršo iterācijas metodi un Ņūtona metodi.

2. Nelineāru vienādojumu sistēmas risināšanas metodes

2.1 Vienkārša iterācijas metode

Sistēmu (1) attēlosim formā

(3)

vai vektora formā:

(4)

Vienkāršās iterācijas metodes algoritms ir šāds. Mēs izvēlamies kādu nulles tuvinājumu

Nākamo tuvinājumu var atrast pēc formulām:

vai sīkāk:

(5)

Iteratīvais process (5) turpinās līdz visu nezināmo izmaiņas divās secīgās iterācijās kļūst mazas, t.i.

Praksē pēdējā nosacījuma vietā bieži tiek izmantota nevienlīdzība:

(6)

kur ir n-dimensiju vektora efektīvā norma , t.i.

Izmantojot šo metodi, panākumus lielā mērā nosaka pareiza sākotnējās tuvinājuma izvēle: tai jābūt pietiekami tuvu patiesajam risinājumam. Pretējā gadījumā iteratīvais process var nesaplūst. Ja process saplūst, tad tā konverģences ātrums ir lineārs.

2.2. Ņūtona metode

Tulkotajā literatūrā var atrast nosaukumu Ņūtona-Rafsona metode. Šī metode saplūst daudz ātrāk nekā vienkāršā iterācijas metode.

Ļaujiet zināmu kādu tuvinājumu saknei, tā ka

Tad sākotnējo sistēmu (2) var uzrakstīt šādi:

Paplašinot vienādojumu (7) Teilora sērijā punkta tuvumā un ierobežojot sevi ar lineāriem vārdiem novirzē , mēs iegūstam:

vai koordinātu formā:

(8)

Sistēmu (8) var pārrakstīt šādi:

(9)

Iegūtā sistēma (9) ir lineāru algebrisko vienādojumu sistēma attiecībā uz inkrementiem

Funkciju F 1 , F 2 , …, F n un to atvasinājumu vērtību (9) aprēķina

.

Sistēmas (9) determinants ir Jacobian J:

(10)

Lai pastāvētu unikāls vienādojumu sistēmas (9) risinājums, tam ir jāatšķiras no nulles. Atrisinot sistēmu (9), piemēram, ar Gausa metodi, mēs atrodam jaunu tuvinājumu:

.

Mēs pārbaudām stāvokli (6). Ja tas nav apmierināts, mēs atrodam arī Jakobu (10) ar jaunu tuvinājumu un atkal atrisinām (9), tādējādi atrodam 2. tuvinājumu utt.

Iterācijas tiek pārtrauktas, tiklīdz ir izpildīts nosacījums (6).

Izmantojot Ņūtona metodi, atrodiet risinājumus nelineāru vienādojumu sistēmai ar noteiktu precizitāti. Pārbaudiet iteratīvā procesa konverģenci.

Uzdevuma iespējas

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

13 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.