Vispirms mēģiniet atrast funkcijas domēnu:

Vai jums izdevās? Salīdzināsim atbildes:

Vai viss ir pareizi? Labi padarīts!

Tagad mēģināsim atrast funkcijas vērtību diapazonu:

Atrasts? Salīdzināsim:

Sapratu? Labi padarīts!

Atkal strādāsim ar grafikiem, tikai tagad tas ir nedaudz sarežģītāk - atrodiet gan funkcijas definīcijas domēnu, gan funkcijas vērtību diapazonu.

Kā atrast gan funkcijas domēnu, gan diapazonu (papildu)

Lūk, kas notika:

Es domāju, ka jūs esat izdomājis grafikus. Tagad mēģināsim atrast funkcijas definīcijas domēnu saskaņā ar formulām (ja nezināt, kā to izdarīt, izlasiet sadaļu par):

Vai jums izdevās? Pārbaudīsim atbildes:

1. , jo radikālas izteiksmei ir jābūt lielākai par nulli vai vienādai ar to.
2. , jo nevar dalīt ar nulli un radikālā izteiksme nevar būt negatīva.
3. , jo, attiecīgi, visiem.
4. , jo jūs nevarat dalīt ar nulli.

Tomēr mums joprojām ir vēl viens neatbildēts jautājums...

Es vēlreiz atkārtošu definīciju un uzsvēršu to:

Vai pamanījāt? Vārds "vientuļais" ir ļoti, ļoti svarīgs mūsu definīcijas elements. Es mēģināšu jums to izskaidrot ar pirkstiem.

Pieņemsim, ka mums ir funkcija, ko nosaka taisna līnija. . Mēs aizstājam šo vērtību savā “noteikumā” un iegūstam to. Viena vērtība atbilst vienai vērtībai. Mēs pat varam izveidot tabulu ar dažādām vērtībām un attēlot šo funkciju, lai pārliecinātos par sevi.

"Skaties! - jūs sakāt: "Notiek divas reizes!" Tātad varbūt parabola nav funkcija? Nē, tā ir!

Tas, ka “ ” parādās divas reizes, nav iemesls pārmest parabolu neskaidrībā!

Fakts ir tāds, ka, rēķinot, mēs saņēmām vienu spēli. Un rēķinot ar, saņēmām vienu spēli. Tātad, parabola ir funkcija. Apskatiet grafiku:

Sapratu? Ja nē, šeit ir dzīves piemērs, kas ir ļoti tālu no matemātikas!

Pieņemsim, ka mums ir pretendentu grupa, kas satikās, iesniedzot dokumentus, un katrs no viņiem sarunā pastāstīja, kur viņš dzīvo:

Piekrītu, ir pilnīgi iespējams, ka vienā pilsētā dzīvo vairāki puiši, bet nav iespējams, ka viens cilvēks dzīvo vairākās pilsētās vienlaikus. Tas ir kā mūsu "parabolas" loģisks attēlojums - Vienai spēlei atbilst vairāki dažādi X.

Tagad nāksim klajā ar piemēru, kur atkarība nav funkcija. Pieņemsim, ka šie paši puiši mums pastāstīja, kādās specialitātēs viņi pieteicās:

Šeit mums ir pavisam cita situācija: viens cilvēks var viegli iesniegt dokumentus vienam vai vairākiem virzieniem. Tas ir viens elements komplekti tiek nodoti sarakstei vairākus elementus daudzām. Respektīvi, tā nav funkcija.

Pārbaudīsim jūsu zināšanas praksē.

No attēliem nosakiet, kas ir funkcija un kas nav:

Sapratu? Un šeit tas ir atbildes:

• Funkcija ir - B, E.
• Funkcija nav - A, B, D, D.

Jautāsiet, kāpēc? Jā, lūk, kāpēc:

Visās bildēs izņemot IN) Un E) Ir vairāki vienam!

Esmu pārliecināts, ka tagad jūs varat viegli atšķirt funkciju no nefunkcijas, pateikt, kas ir arguments un kas ir atkarīgais mainīgais, kā arī noteikt argumenta pieļaujamo vērtību diapazonu un funkcijas definīcijas diapazonu. . Pārejam uz nākamo sadaļu – kā iestatīt funkciju?

Funkcijas noteikšanas metodes

Ko, tavuprāt, nozīmē vārdi? "iestatīt funkciju"? Pareizi, tas nozīmē, ka visiem jāpaskaidro, par kādu funkciju šajā gadījumā ir runa. Turklāt paskaidrojiet to tā, lai visi jūs pareizi saprastu un funkciju grafiki, ko cilvēki ir uzzīmējuši, pamatojoties uz jūsu skaidrojumu, ir vienādi.

Kā es to varu izdarīt? Kā iestatīt funkciju? Vienkāršākā metode, kas šajā rakstā jau ir izmantota vairāk nekā vienu reizi, ir izmantojot formulu. Mēs uzrakstām formulu un, aizstājot tajā vērtību, mēs aprēķinām vērtību. Un, kā jūs atceraties, formula ir likums, noteikums, pēc kura mums un citam cilvēkam kļūst skaidrs, kā X pārvēršas par Y.

Parasti viņi dara tieši tā - uzdevumos mēs redzam gatavas funkcijas, kuras nosaka formulas, taču ir arī citi veidi, kā iestatīt funkciju, par kuru visi aizmirst, un tāpēc rodas jautājums "kā vēl jūs varat iestatīt funkciju?" mulsina. Sapratīsim visu pēc kārtas un sāksim ar analītisko metodi.

Funkcijas noteikšanas analītiskā metode

Analītiskā metode ir funkcijas norādīt, izmantojot formulu. Šī ir visuniversālākā, visaptverošākā un nepārprotamākā metode. Ja jums ir formula, tad jūs zināt pilnīgi visu par funkciju - no tās varat izveidot vērtību tabulu, izveidot grafiku, noteikt, kur funkcija palielinās un kur samazinās, kopumā to izpētīt pilnā apmērā.

Apskatīsim funkciju. Kāda atšķirība?

"Ko tas nozīmē?" - tu jautā. Es tagad paskaidrošu.

Atgādināšu, ka apzīmējumā izteiksmi iekavās sauc par argumentu. Un šis arguments var būt jebkurš izteiciens, ne vienmēr vienkāršs. Attiecīgi, lai kāds būtu arguments (izteiksme iekavās), mēs to ierakstīsim izteiksmē.

Mūsu piemērā tas izskatīsies šādi:

Apskatīsim vēl vienu uzdevumu, kas saistīts ar funkcijas noteikšanas analītisko metodi, kas jums būs eksāmenā.

Atrodiet izteiksmes vērtību pie.

Esmu pārliecināts, ka sākumā tev bija bail, ieraugot šādu izteicienu, taču tajā nav absolūti nekā biedējoša!

Viss ir tāpat kā iepriekšējā piemērā: lai kāds būtu arguments (izteiksme iekavās), mēs to ierakstīsim izteiksmē. Piemēram, funkcijai.

Kas ir jādara mūsu piemērā? Tā vietā jums ir jāraksta, un tā vietā -:

saīsiniet iegūto izteiksmi:

Tas ir viss!

Patstāvīgs darbs

Tagad mēģiniet pats atrast šādu izteicienu nozīmi:

1. , Ja
2. , Ja

Vai jums izdevās? Salīdzināsim mūsu atbildes: Mēs esam pieraduši, ka funkcijai ir forma

Pat savos piemēros mēs funkciju definējam tieši šādā veidā, bet analītiski funkciju ir iespējams norādīt, piemēram, netiešā veidā.

Mēģiniet izveidot šo funkciju pats.

Vai jums izdevās?

Tā es to uzbūvēju.

Kādu vienādojumu mēs beidzot atvasinājām?

Pa labi! Lineārs, kas nozīmē, ka grafiks būs taisna līnija. Izveidosim tabulu, lai noteiktu, kuri punkti pieder mūsu līnijai:

Tieši par to mēs runājām... Viens atbilst vairākiem.

Mēģināsim uzzīmēt notikušo:

Vai tas, kas mums ir, ir funkcija?

Pareizi, nē! Kāpēc? Mēģiniet atbildēt uz šo jautājumu ar zīmējuma palīdzību. Ko tu dabūji?

"Jo viena vērtība atbilst vairākām vērtībām!"

Kādu secinājumu mēs no tā varam izdarīt?

Tieši tā, funkciju ne vienmēr var izteikt skaidri, un tas, kas ir “maskēts” kā funkcija, ne vienmēr ir funkcija!

Funkcijas norādīšanas tabulas metode

Kā norāda nosaukums, šī metode ir vienkārša zīme. Jā jā. Tāpat kā tas, kuru mēs ar jums jau esam izveidojuši. Piemēram:

Šeit jūs uzreiz pamanījāt rakstu - Y ir trīs reizes lielāks par X. Un tagad uzdevums “ļoti rūpīgi padomāt”: vai, jūsuprāt, tabulas veidā dota funkcija ir līdzvērtīga funkcijai?

Nerunāsim ilgi, bet zīmēsim!

Tātad. Fona norādīto funkciju mēs zīmējam šādos veidos:

Vai redzat atšķirību? Viss nav par atzīmētajiem punktiem! Apskatiet to tuvāk:

Vai tu to tagad redzēji? Definējot funkciju tabulas veidā, mēs grafikā attēlojam tikai tos punktus, kas mums ir tabulā, un līnija (kā mūsu gadījumā) iet tikai caur tiem. Kad mēs definējam funkciju analītiski, mēs varam ņemt jebkuru punktu, un mūsu funkcija neaprobežojas ar tiem. Tāda ir tā īpatnība. Atcerieties!

Funkcijas konstruēšanas grafiskā metode

Ne mazāk ērta ir funkcijas konstruēšanas grafiskā metode. Mēs uzzīmējam savu funkciju, un cits interesents var atrast, ar ko y ir vienāds ar noteiktu x un tā tālāk. Grafiskās un analītiskās metodes ir vienas no visizplatītākajām.

Tomēr šeit ir jāatceras, par ko mēs runājām pašā sākumā - ne katrs koordinātu sistēmā uzzīmēts “svilums” ir funkcija! Vai tu atceries? Katram gadījumam es šeit nokopēšu funkcijas definīciju:

Parasti cilvēki parasti nosauc tieši trīs funkcijas, par kurām mēs runājām, - analītisko (izmantojot formulu), tabulu un grafisko, pilnībā aizmirstot, ka funkciju var aprakstīt verbāli. Kā šis? Jā, ļoti vienkārši!

Funkcijas verbāls apraksts

Kā verbāli aprakstīt funkciju? Ņemsim mūsu neseno piemēru - . Šo funkciju var raksturot kā “katra reālā x vērtība atbilst tās trīskāršajai vērtībai”. Tas ir viss. Nekas sarežģīts. Jūs, protams, iebildīsit - "ir tik sarežģītas funkcijas, ka to vienkārši nav iespējams norādīt mutiski!" Jā, tādas ir, bet ir funkcijas, kuras ir vieglāk aprakstīt verbāli nekā definēt ar formulu. Piemēram: “katra x dabiskā vērtība atbilst starpībai starp cipariem, no kuriem tā sastāv, savukārt minuend tiek uzskatīts par lielāko ciparu, kas ietverts skaitļa apzīmējumā.” Tagad apskatīsim, kā mūsu verbālais funkcijas apraksts tiek īstenots praksē:

Dotā skaitļa lielākais cipars ir attiecīgi minuend, tad:

Galvenie funkciju veidi

Tagad pāriesim pie interesantākās daļas - apskatīsim galvenos funkciju veidus, ar kuriem esi strādājis/strādā un strādāsi skolas un koledžas matemātikas kursā, tas ir, iepazīsimies ar tiem, tā teikt un sniedziet to īsu aprakstu. Vairāk par katru funkciju lasiet attiecīgajā sadaļā.

Lineāra funkcija

Formas funkcija kur ir reāli skaitļi.

Šīs funkcijas grafiks ir taisna līnija, tāpēc lineāras funkcijas izveidošana nozīmē divu punktu koordinātu atrašanu.

Taisnes pozīcija koordinātu plaknē ir atkarīga no leņķa koeficienta.

Funkcijas tvērums (pazīstams arī kā derīgo argumentu vērtību apjoms) ir .

Vērtību diapazons -.

Kvadrātiskā funkcija

Formas funkcija, kur

Funkcijas grafiks ir parabola; kad parabolas zari ir vērsti uz leju, kad zari ir vērsti uz augšu.

Daudzas kvadrātfunkcijas īpašības ir atkarīgas no diskriminanta vērtības. Diskriminantu aprēķina, izmantojot formulu

Parabolas atrašanās vieta koordinātu plaknē attiecībā pret vērtību un koeficientu ir parādīta attēlā:

Domēns

Vērtību diapazons ir atkarīgs no dotās funkcijas galējības (parabolas virsotnes punkts) un koeficienta (parabolas zaru virziena)

Apgrieztā proporcionalitāte

Funkcija, kas dota ar formulu, kur

Skaitli sauc par apgrieztās proporcionalitātes koeficientu. Atkarībā no vērtības hiperbolas zari atrodas dažādos kvadrātos:

Domēns - .

Vērtību diapazons -.

KOPSAVILKUMS UN PAMATFORMULAS

1. Funkcija ir noteikums, saskaņā ar kuru katrs kopas elements ir saistīts ar vienu kopas elementu.

• - šī ir formula, kas apzīmē funkciju, tas ir, viena mainīgā atkarību no cita;
• - mainīgā vērtība vai arguments;
• - atkarīgais daudzums - mainās, kad mainās arguments, tas ir, saskaņā ar jebkuru noteiktu formulu, kas atspoguļo viena daudzuma atkarību no cita.

2. Derīgas argumentu vērtības, vai funkcijas domēns, ir tas, kas ir saistīts ar iespējām, kurās funkcijai ir jēga.

3. Funkciju diapazons- lūk, kādas vērtības ir vajadzīgas, ņemot vērā pieņemamās vērtības.

4. Ir 4 veidi, kā iestatīt funkciju:

• analītisks (izmantojot formulas);
• tabulas;
• grafisks
• verbāls apraksts.

5. Galvenie funkciju veidi:

• : , kur, ir reālie skaitļi;
• : , Kur;
• : , Kur.

Viena no iespējamām funkcijas izpētes un grafa konstruēšanas shēmām tiek sadalīta šādos problēmas risināšanas posmos: 1. Funkcijas definīcijas joma (O.O.F.). 2. Funkciju pārtraukuma punkti, to būtība. Vertikālās asimptotes. 3. Funkcijas pāra, nepāra, periodiskums. 4. Grafika krustošanās punkti ar koordinātu asīm. 5. Funkcijas uzvedība bezgalībā. Horizontāli un slīpi asimptoti. 6. Funkcijas monotonitātes intervāli, maksimālie un minimālie punkti. 7. Līknes izliekuma virzieni. Līkuma punkti. 8. Funkciju grafiks. Piemērs 1. Izveidojiet funkcijas y = 1 grafiku. (Marijas Aņejas vereiora jeb čokurošanās). - visa skaitliskā ass. 2. Nav pārtraukuma punktu; nav vertikālu asimptotu. 3. Funkcija ir pāra: , tāpēc tās grafiks ir simetrisks attiecībā pret Oy asi\ neperiodisks. No funkcijas paritātes izriet, ka pietiek izveidot tās grafiku uz puslīnijas x ^ O un pēc tam atspoguļot to Oy asī. 4. Pie x = 0 mums ir Yx, lai funkcijas grafiks atrodas augšējā pusplaknē y > 0. Shēma funkcijas grafika konstruēšanai Funkciju izpēte līdz galam, izmantojot augstākas kārtas atvasinājumus Sakņu aprēķināšana vienādojumu, izmantojot akordu un pieskares metodes, ka grafam ir horizontāla asimptote y = O, slīpo asimptotu nav. Tātad funkcija palielinās, kad un samazinās, kad. Punkts x = 0 ir kritisks. Kad x iet caur punktu x = 0, atvasinājums y"(x) maina zīmi no mīnusa uz plusu. Tāpēc punkts x = 0 ir maksimālais punkts, y(Q) = I. Šis rezultāts ir diezgan acīmredzams: / (x) = T^ IV*. Otrais atvasinājums pazūd punktos x = . Mēs pārbaudām punktu x = 4- (turpmāk simetrijas apsvērumi). Ja mums ir, līkne ir izliekta uz leju; kad mēs iegūstam (līkne ir izliekts uz augšu).Līdz ar to punkts x = = - ir funkcijas lēciena punkta grafiks Pētījuma rezultātus apkopojam tabulā: Līkuma punkts max Līkuma punkts Tabulā bultiņa "Y" norāda uz palielinājumu. funkciju, bultiņa "\" norāda tās samazināšanos. Funkcijas grafiks ir parādīts 33. attēlā. Piemērs 2. Izveidojiet funkcijas grafiku (Ņūtona trīskāršs ) - visa skaitļa ass, izņemot punktu 2. Punkts funkcijas pārtraukumu. Mums ir tā, ka taisne x = 0 ir vertikāla asimptote. 3. Funkcija nav ne pāra, ne nepāra [vispārējās pozīcijas funkcija], neperiodiska. Pieņemot, ka mēs iegūstam funkcijas grafiku, kas krusto ass Ox punktā (-1,0) Nav slīpu un horizontālu asimptotu, tāpēc kritiskais punkts. Otrais funkcijas atvasinājums punktā, tātad x = ir minimālais punkts. Otrais atvasinājums kādā punktā pārvēršas par uul un, ejot cauri šim punktam, maina savu zīmi. Tāpēc punkts ir līknes lēciena punkts. For) mums ir e) līknes izliekums ir vērsts uz leju; jo - Man ir. līknes izliekums ir vērsts uz augšu. Pētījuma rezultāti ir apkopoti tabulā: Neeksistē Neeksistē Līkuma punkts Neeksistē. Atvasinājuma vertikālā asimptote pazūd pie x = e,/2. un kad x iet caur šo punktu, y" maina zīmi. Līdz ar to ir līknes lēciena punkta abscisa. Pētījuma rezultātus apkopojam tabulā: Lēkmes punkts. Funkcijas grafiks parādīts att. 37. Piemērs 4. Izveidojiet funkcijas grafiku pa visu skaitlisko asi, izslēdzot punktu Punkta punkta pārtraukums 2. veida funkcijai Tā kā Km . tad funkcijas grafika tiešā vertikālā asimptote. Vispārīga pozīcijas funkcija, ne -periodisks.Iestatījums y = 0, mums ir, no kurienes funkcijas grafiks krustojas ar Ox asi punktā Tāpēc funkcijas grafikā ir slīpa asimptote No nosacījuma, ko iegūstam - kritiskais punkts Otrais atvasinājums funkcijas y" = D > 0 visur definīcijas jomā, jo īpaši punktā - funkcijas minimālajā punktā. 7. Tā kā visur funkcijas definīcijas jomā tās grafika izliekums ir vērsts uz leju. Pētījuma rezultāti ir apkopoti tabulā: Neeksistē Neeksistē Neeksistē. x = 0 - vertikālā asimptote Funkcijas grafiks parādīts att. 5. piemērs. Izveidojiet visas skaitļa ass funkcijas grafiku. 2. Nepārtraukts visur. Nav vertikālu asimptotu. 3. Vispārējā pozīcija, neperiodiska. 4. Funkcija pazūd pie 5. Tādējādi funkcijas grafikā ir slīpa asimptote Atvasinājums pazūd punktā un neeksistē. Kad x iet caur punktu), atvasinājums nemaina zīmi, tāpēc punktā x = 0 nav ekstrēma. Kad punkts x iet caur punktu, atvasinājums) maina zīmi no “+” uz Tātad funkcijai ir maksimums. Kad x iet caur punktu x = 3 (x > I), atvasinājums y"(x) maina zīmi, t.i., punktā x = 3 funkcijai ir minimums. 7. Otrā atvasinājuma atrašana Shēma grafika konstruēšanai funkcijas Ekstrēma funkciju izpēte, izmantojot augstākas kārtas atvasinājumus Vienādojumu sakņu aprēķināšana ar horda un tangentes metodēm Otrais atvasinājums y"(x) neeksistē punktā x = 0 un kad x iet caur punktu x = 0 y" maina zīmi no + uz, lai līknes punkts (0,0) būtu punkta locījums ar vertikālu pieskari. Punktā x = 3 grafikā nav lēciena. Visur pusplaknē x > 0 līknes izliekums ir vērsts uz augšu Pētījuma rezultāti apkopoti tabulā: Neeksistē Neeksistē Neeksistē Neeksistē Lēkmes punkts (0.0) ar vertikālu pieskares Funkcijas grafiks ir attēlots pl. att. 39. §7. Ekstrēmuma funkciju izpēte, izmantojot augstākas kārtas atvasinājumus Lai atrastu funkciju maksimālo un minimālo punktu, var izmantot Teilora formulu. Teorēma Tā. Lai funkcijai f(x) kādā punkta xq apkārtnē ir n-tās kārtas atvasinājums, kas ir nepārtraukts punktā xo. Ļaujiet 0. Ja skaitlis n ir nepāra, tad funkcijai f(x) punktā x0 ir nav ekstremitāšu; ja n ir pāra, tad punktā x0 funkcijai f(x) ir maksimums, ja /(n)(x0)< 0, и минимум, если /. В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли функция f(x) в точке х0 экстремум, сводится к тому, существует ли такое <5 > 0, kas atrodas intervālā, starpība - /(x0) saglabā savu zīmi. Izmantojot Teilora formulu kā nosacījumu, tad no (1) iegūstam 1nosacījumu f(n*(r) ir nepārtraukts punktā un Φ Tāpēc nepārtrauktas funkcijas nosaukuma stabilitātes dēļ pastāv tāds, ka intervāls () nemainās un sakrīt ar f(n)(xo) zīmi.. Apskatīsim iespējamos gadījumus: 1) n ir pāra skaitlis un / Tad es, pamatojoties uz (2). Saskaņā ar definīciju tas nozīmē, ka punkts r ir funkcijas /(r) minimālais punkts. 2) n - pāra un. Tad mums būs i kopā ar šo un Tāpēc punkts i šajā gadījumā būs funkcijas /(r) maksimālais punkts. 3) n ir nepāra skaitlis, / - Tad x > x0 zīme > sakritīs ar /(n)(th) zīmi, un r th tā būs pretēja. Tāpēc, lai cik maza būtu 0, starpības f(r) - f(r) zīme nebūs vienāda visiem x e (r - 6, r + £). Līdz ar to šajā gadījumā funkcijai f(r) punktā nr nav galējības. Piemērs. Apskatīsim funkcijas A. Ir viegli redzēt, ka punkts x = 0 ir abu funkciju kritiskais punkts. Funkcijai y = x4 pirmais no nulles atvasinājumiem punktā x = 0 ir 4. kārtas atvasinājums: Tādējādi šeit n = 4 ir pāra un. Tāpēc punktā x = 0 funkcijai y = x4 ir minimums. Funkcijai y = x) pirmais no atvasinājumiem, kas punktā x = 0 nav nulle, ir 3. kārtas atvasinājums. Tātad šajā gadījumā n = 3 ir nepāra, un punktā x = 0 funkcijai y = x3 nav galējības. komentēt. Izmantojot Teilora formulu, varam pierādīt šādu teorēmu, kas izsaka pietiekamus nosacījumus lēciena punktam. "12. teorēma. Lai funkcijai /(r) kādā punkta r0 tuvumā ir atvasinājums no kārtas, nepārtraukts punktā xq. Lai, bet /(n)(*o) Φ 0. Tad, ja n ir nepāra skaitlis, tad punkts Mo(x0, f(xо)) ir funkcijas y = f(x) grafika lēciena punkts. Vienkāršāko piemēru sniedz funkcija. §8. Sakņu aprēķināšana vienādojumi, izmantojot akordu un pieskares metodes Uzdevums ir atrast vienādojuma reālo sakni Pieņemsim, ka ir izpildīti šādi nosacījumi: 1) funkcija f(x) ir nepārtraukta intervālā [a, 6]; 2 ) skaitļi f(a) un f(b) ir pretēji zīmē: 3) uz intervāla [a, 6] eksistē atvasinājumi f"(x) un f "(x), saglabājot konstantu zīmi uz šī segmenta. No 1) un 2) nosacījuma, pamatojoties uz Bolcāno-Košī teorēmu (220. lpp.), izriet, ka funkcija /(x) pazūd vismaz vienā punktā £ € ( a, b), tas ir, vienādojumā (1) intervālā (a, 6) ir vismaz viena reāla sakne £. Tā kā saskaņā ar 3. nosacījumu atvasinājums /"(x) uz [a, b\ paliek nemainīga zīme, tad f(x) ir monotons [a, b] un tāpēc intervālā (a, b) vienādojumam (1) ir tikai viena reālā sakne. Apsveriet metodi šīs vienas reālās saknes aptuvenās vērtības £ € (a, 6) aprēķināšanai vienādojumā ( I ) ar jebkuru precizitātes pakāpi. Iespējami četri gadījumi (40. att.): 1) Zīm. 40 Noteiktības labad ņemsim gadījumu, kad f\x) > 0, f"(x) > 0 segmentā [a, 6) (41. att.). Savienosim punktus A(a, /(a). )) un B(b, f(b)) horda A B. Šis ir taisnes posms, kas iet caur punktiem A un B, kura vienādojums ir punkts aj, kurā horda AB krusto Ox asi, ir atrodas starp ai (un ir labāks tuvinājums a. Pieņemot, ka (2) y = 0, mēs atrodam No 41. att. ir viegli pamanīt, ka punkts a\ vienmēr atradīsies tajā pusē, no kuras zīmes f( x) un f"(x) ir pretēji. Tagad uzzīmēsim pieskares līknei y = f(x) punktā B(b, f(b)), t.i., tajā loka ^AB galā, kurā f (x) un /"(i) ir viena un tā pati zīme. Tas ir būtisks nosacījums: bez tā Ox ass pieskares krustpunkts var vispār nenodrošināt vēlamās saknes tuvinājumu. Punkts b\, plkst. kuras pieskares krusto ar Ox asi, atrodas starp £ un b tajā pašā pusē, kur 6, un ir labāks tuvinājums nekā b. Šo tangensu nosaka vienādojums. Pieņemot, ka (3) y = 0, mēs atrodam b\ : Shēma funkcijas grafika konstruēšanai Funkciju izpēte līdz galam, izmantojot augstākas kārtas atvasinājumus Vienādojumu sakņu aprēķins, izmantojot akordu un tangenšu metodes Tātad ir Dota saknes £ aproksimācijas C absolūtā kļūda. iepriekš. Aj un 6 aptuveno vērtību absolūtajai kļūdai, saknei £, varam ņemt vērtību |6i - ai|. Ja šī kļūda ir lielāka par pieļaujamo, tad, ņemot segmentu par sākotnējo, mēs atradīsim šādus saknes kur tuvinājumus. Turpinot šo procesu, mēs iegūstam divas aptuvenu vērtību secības: Secības (an) un (bn) ir monotoniskas un ierobežotas, un tāpēc tām ir robežas. Ļaujiet Var parādīt, ka, ja ir izpildīti iepriekš minētie nosacījumi, 1 līdz vienīgajai vienādojuma saknei / Piemērs. Atrodiet sakni (vienādojums r2 - 1 = 0 segmentā . Tādējādi ir izpildīti visi nosacījumi, lai nodrošinātu vienas saknes esamību (vienādojums x2 - 1 = 0 segmentā . . un metodei vajadzētu darboties. 8 mūsu gadījumā a = 0, b = 2. Kad n = I no (4) un (5), mēs atrodam Kad n = 2 iegūstam, kas dod tuvinājumu precīzai saknes vērtībai (ar absolūto kļūdu) Uzdevumi Sastādiet funkciju grafikus: Atrodiet lielāko un mazāko funkciju vērtību dotajos segmentos: Izpētiet funkciju uzvedību doto punktu tuvumā, izmantojot augstākas kārtas atvasinājumus: Atbildes

Uzdevums ir veikt pilnīgu funkcijas izpēti un izveidot tās grafiku.

Katrs skolēns veica līdzīgus uzdevumus.

Turpmāka prezentācija paredz labas zināšanas. Ja jums ir kādi jautājumi, iesakām skatīt šo sadaļu.

Funkciju izpētes algoritms sastāv no sekojošām darbībām.

Funkcijas definīcijas domēna atrašana.

Tas ir ļoti svarīgs solis funkcijas izpētē, jo visas turpmākās darbības tiks veiktas definīcijas jomā.

Mūsu piemērā mums jāatrod saucēja nulles un jāizslēdz tās no reālo skaitļu apgabala.



(Citos piemēros var būt saknes, logaritmi utt. Atcerēsimies, ka šajos gadījumos definīcijas domēns tiek meklēts šādi:
pāra pakāpes saknei, piemēram, definīcijas apgabals tiek atrasts no nevienlīdzības ;
logaritmam - definīcijas apgabals tiek atrasts no nevienādības ).

Funkcijas uzvedības uz definīcijas apgabala robežas izpēte, vertikālo asimptotu atrašana.

Pie definīcijas domēna robežām funkcijai ir vertikālās asimptotes, ja šajos robežpunktos ir bezgalīgi daudz.

Mūsu piemērā definīcijas domēna robežpunkti ir .

Apskatīsim funkcijas uzvedību, tuvojoties šiem punktiem no kreisās un labās puses, kuriem mēs atrodam vienpusējas robežas:


Tā kā vienpusējās robežas ir bezgalīgas, taisnās līnijas ir grafika vertikālās asimptotes.

Funkcijas pārbaude līdzenuma vai dīvainības noteikšanai.

Funkcija ir pat, Ja. Funkcijas paritāte norāda grafika simetriju attiecībā pret ordinātu.

Funkcija ir nepāra, Ja . Funkcijas dīvainība norāda grafika simetriju attiecībā pret izcelsmi.

Ja neviena no vienādībām nav izpildīta, tad mums ir vispārīgas formas funkcija.

Mūsu piemērā vienlīdzība ir spēkā, tāpēc mūsu funkcija ir pāra. Mēs to ņemsim vērā, veidojot grafiku - tas būs simetrisks pret oy asi.

Palielinošu un samazinošu funkciju intervālu, ekstrēmu punktu atrašana.

Palielināšanas un samazināšanās intervāli ir attiecīgi risinājumi nevienādībām un.

Tiek izsaukti punkti, kuros atvasinājums pazūd stacionārs.

Funkcijas kritiskie punkti izsauc definīcijas apgabala iekšējos punktus, kuros funkcijas atvasinājums ir vienāds ar nulli vai neeksistē.

KOMENTĀRS(vai pieaugšanas un samazināšanās intervālos iekļaut kritiskos punktus).

Mēs iekļausim kritiskos punktus pieaugošajos un samazinošajos intervālos, ja tie pieder pie funkcijas domēna.

Tādējādi lai noteiktu pieaugošās un samazinošās funkcijas intervālus

• pirmkārt, mēs atrodam atvasinājumu;
• otrkārt, mēs atrodam kritiskos punktus;
• treškārt, definīcijas apgabalu pēc kritiskajiem punktiem sadalām intervālos;
• ceturtkārt, mēs nosakām atvasinājuma zīmi katrā no intervāliem. Plusa zīme atbildīs pieauguma intervālam, mīnus zīme – samazinājuma intervālam.

Aiziet!

Mēs atrodam atvasinājumu definīcijas jomā (ja rodas grūtības, skatiet sadaļu).


Mēs tam atrodam kritiskos punktus:

Mēs attēlojam šos punktus uz skaitļu ass un nosakām atvasinājuma zīmi katrā iegūtajā intervālā. Varat arī ņemt jebkuru intervāla punktu un aprēķināt atvasinājuma vērtību šajā punktā. Ja vērtība ir pozitīva, tad pār šo atstarpi uzliekam plus zīmi un pārejam pie nākamās, ja negatīva, tad liekam mīnus zīmi utt. Piemēram, , tāpēc virs pirmā intervāla kreisajā pusē ievietojam plusu.


Mēs secinām:

Shematiski plusi/mīnusi iezīmē intervālus, kuros atvasinājums ir pozitīvs/negatīvs. Palielinošās/dilstošās bultiņas parāda pieauguma/samazinājuma virzienu.

Funkcijas galējie punkti ir punkti, kuros funkcija tiek definēta un iet caur kuriem atvasinājums maina zīmi.

Mūsu piemērā galējais punkts ir x=0. Funkcijas vērtība šajā punktā ir . Tā kā atvasinājums, ejot caur punktu x=0, maina zīmi no plus uz mīnusu, tad (0; 0) ir lokālā maksimuma punkts. (Ja atvasinājums mainītu zīmi no mīnusa uz plusu, tad mums būtu vietējais minimālais punkts).

Funkcijas izliekuma un ieliekuma intervālu un lēciena punktu atrašana.

Funkcijas ieliekuma un izliekuma intervāli tiek atrasti, attiecīgi atrisinot nevienādības un.

Dažreiz izliekumu sauc par izliektu uz leju, un izliektu sauc par izliektu uz augšu.

Šeit ir spēkā arī piezīmes, kas līdzīgas rindkopas piezīmēm par pieauguma un samazinājuma intervāliem.

Tādējādi lai noteiktu funkcijas ieliekuma un izliekuma intervālus:

• pirmkārt, mēs atrodam otro atvasinājumu;
• otrkārt, atrodam otrā atvasinājuma skaitītāja un saucēja nulles;
• treškārt, definīcijas apgabalu pēc iegūtajiem punktiem sadalām intervālos;
• ceturtkārt, mēs nosakām otrā atvasinājuma zīmi katrā no intervāliem. Plusa zīme atbildīs ieliekuma intervālam, mīnus zīme - izliektajam intervālam.

Aiziet!

Mēs atrodam otro atvasinājumu definīcijas jomā.


Mūsu piemērā skaitītājā nav nulles, bet saucējā ir nulles.

Mēs attēlojam šos punktus uz skaitļu ass un katrā iegūtajā intervālā nosakām otrā atvasinājuma zīmi.



Mēs secinām:

Punktu sauc lēciena punkts, ja dotajā punktā funkcijas grafikam ir pieskare un funkcijas otrais atvasinājums maina zīmi, ejot cauri .

Citiem vārdiem sakot, locījuma punkti var būt punkti, caur kuriem otrais atvasinājums maina zīmi; pašos punktos tas ir vai nu nulle, vai neeksistē, bet šie punkti ir iekļauti funkcijas definīcijas jomā.

Mūsu piemērā lieces punktu nav, jo otrais atvasinājums, ejot cauri punktiem, maina zīmi, un tie nav iekļauti funkcijas definīcijas jomā.

Horizontālo un slīpo asimptotu atrašana.

Horizontālie vai slīpie asimptoti ir jāmeklē tikai tad, ja funkcija ir definēta bezgalībā.

Slīpi asimptoti tiek meklēti taisnu līniju veidā, kur un .

Ja k=0 un b nav vienāds ar bezgalību, tad kļūs slīpā asimptote horizontāli.

Kas vispār ir šie asimptoti?

Šīs ir līnijas, kurām funkcijas grafiks tuvojas bezgalībai. Tādējādi tie ir ļoti noderīgi, veidojot funkciju grafiku.

Ja nav horizontālu vai slīpu asimptotu, bet funkcija ir definēta plus bezgalībā un (vai) mīnus bezgalība, tad, lai iegūtu priekšstatu par to, ir jāaprēķina funkcijas robeža plus bezgalība un (vai) mīnus bezgalība. funkciju grafika uzvedība.

Mūsu piemēram

- horizontālā asimptote.

Tas noslēdz funkcijas izpēti; mēs turpinām diagrammas zīmēšanu.

Mēs aprēķinām funkciju vērtības starppunktos.

Lai iegūtu precīzāku grafiku, mēs iesakām atrast vairākas funkciju vērtības starppunktos (tas ir, jebkurā punktos no funkcijas definīcijas domēna).

Mūsu piemērā mēs atradīsim funkcijas vērtības punktos x=-2, x=-1, x=-3/4, x=-1/4. Funkcijas paritātes dēļ šīs vērtības sakritīs ar vērtībām punktos x=2, x=1, x=3/4, x=1/4.


Grafika veidošana.

Vispirms konstruējam asimptotus, attēlojam funkcijas lokālo maksimumu un minimumu punktus, lēciena punktus un starppunktus. Grafika konstruēšanas ērtībai varat arī shematiski norādīt pieauguma, samazinājuma, izliekuma un ieliekuma intervālus, ne velti mēs pētījām funkciju =).


Atliek zīmēt grafika līnijas caur iezīmētajiem punktiem, tuvojoties asimptotiem un sekojot bultiņām.


Ar šo tēlotājmākslas šedevru ir pabeigts uzdevums pilnībā izpētīt funkciju un izveidot grafiku.

Dažu elementāru funkciju grafikus var konstruēt, izmantojot pamata elementāro funkciju grafikus.

Kā izpētīt funkciju un izveidot tās grafiku?

Šķiet, sāku izprast pasaules proletariāta vadoņa, 55 sējumos apkopoto darbu autora garīgi asprātīgo seju... Garais ceļojums sākās ar elementāru informāciju par funkcijas un grafiki, un tagad darbs pie darbietilpīgas tēmas beidzas ar loģisku rezultātu - rakstu par pilnīgu funkcijas izpēti. Ilgi gaidītais uzdevums ir formulēts šādi:

Izpētiet funkciju, izmantojot diferenciālskaitļu metodes, un izveidojiet tās grafiku, pamatojoties uz pētījuma rezultātiem

Vai īsumā: pārbaudiet funkciju un izveidojiet grafiku.

Kāpēc izpētīt? Vienkāršos gadījumos mums nebūs grūti saprast elementārās funkcijas un uzzīmēt grafiku, kas iegūts, izmantojot elementāras ģeometriskās transformācijas un tā tālāk. Tomēr sarežģītāku funkciju īpašības un grafiskie attēlojumi nebūt nav acīmredzami, tāpēc ir nepieciešams viss pētījums.

Risinājuma galvenie soļi ir apkopoti atsauces materiālā Funkciju izpētes shēma, šī ir jūsu sadaļas rokasgrāmata. Manekeniem ir nepieciešams soli pa solim izskaidrot tēmu, daži lasītāji nezina, ar ko sākt vai kā organizēt savu pētījumu, un progresīvus studentus var interesēt tikai daži punkti. Bet, lai kas arī jūs būtu, dārgais apmeklētāj, piedāvātais kopsavilkums ar norādēm uz dažādām nodarbībām ātri orientēsies un novirzīs jūs interesējošā virzienā. Roboti lej asaras =) Rokasgrāmata tika izkārtota kā pdf fails un ieņēma pienācīgo vietu lapā Matemātiskās formulas un tabulas.

Es mēdzu funkcijas izpēti sadalīt 5-6 punktos:

6) Papildus punkti un grafiks, pamatojoties uz pētījuma rezultātiem.

Attiecībā uz pēdējo darbību, manuprāt, visiem viss ir skaidrs - būs ļoti sarūgtināts, ja dažu sekunžu laikā tas tiks izsvītrots un uzdevums tiks atgriezts pārskatīšanai. PAREIZS UN PRECĪZS ZĪMĒJUMS ir galvenais risinājuma rezultāts! Tas, visticamāk, "piesegs" analītiskās kļūdas, savukārt nepareizs un/vai neuzmanīgs grafiks radīs problēmas pat ar perfekti veiktu pētījumu.

Jāpiebilst, ka citos avotos izpētes punktu skaits, to realizācijas secība un dizaina stils var būtiski atšķirties no manis piedāvātās shēmas, taču vairumā gadījumu tas ir pilnīgi pietiekami. Vienkāršākā problēmas versija sastāv tikai no 2-3 posmiem un ir formulēta apmēram šādi: “izpēti funkciju, izmantojot atvasinājumu un izveido grafiku” vai “izpēti funkciju, izmantojot 1. un 2. atvasinājumu, izveido grafiku”.

Protams, ja jūsu rokasgrāmatā ir sīki aprakstīts cits algoritms vai jūsu skolotājs stingri pieprasa, lai jūs ievērotu viņa lekcijas, jums būs jāveic daži risinājuma pielāgojumi. Nav grūtāk kā nomainīt motorzāģa dakšiņu ar karoti.

Pārbaudīsim funkciju pāra/nepāra:

Tam seko atbildes veidne:
, kas nozīmē, ka šī funkcija nav pāra vai nepāra.

Tā kā funkcija ir nepārtraukta ieslēgta , nav vertikālu asimptotu.

Nav arī slīpu asimptotu.

Piezīme : Atgādinu, ka jo augstāk izaugsmes secība, nekā , tāpēc galīgais ierobežojums ir tieši “ plus bezgalība."

Noskaidrosim, kā funkcija darbojas bezgalībā:

Citiem vārdiem sakot, ja mēs ejam pa labi, tad grafiks iet bezgalīgi tālu uz augšu, ja mēs ejam pa kreisi, tas iet bezgalīgi tālu uz leju. Jā, vienā ierakstā ir arī divi ierobežojumi. Ja jums ir grūtības atšifrēt zīmes, lūdzu, apmeklējiet nodarbību par bezgalīgi mazas funkcijas.

Tātad funkcija nav ierobežots no augšas Un nav ierobežots no apakšas. Ņemot vērā, ka mums nav pārtraukuma punktu, tas kļūst skaidrs funkciju diapazons: – arī jebkurš reāls skaitlis.

NODERĪGA TEHNISKĀ TEHNIKA

Katrs uzdevuma posms sniedz jaunu informāciju par funkcijas grafiku, tāpēc risinājuma laikā ir ērti izmantot sava veida IZKLĀJUMU. Uzzīmēsim uz melnraksta Dekarta koordinātu sistēmu. Kas jau ir droši zināms? Pirmkārt, grafikā nav asimptotu, tāpēc nav jāzīmē taisnas līnijas. Otrkārt, mēs zinām, kā funkcija darbojas bezgalībā. Saskaņā ar analīzi mēs veicam pirmo tuvinājumu:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka sakarā ar nepārtrauktība funkcija ieslēgta un to, ka grafikam vismaz vienu reizi ir jāšķērso ass. Vai varbūt ir vairāki krustošanās punkti?

3) Konstantes zīmes funkcijas nulles un intervāli.

Vispirms atradīsim grafika krustošanās punktu ar ordinātu asi. Tas ir vienkārši. Ir nepieciešams aprēķināt funkcijas vērtību pie:

Pusotru virs jūras līmeņa.

Lai atrastu krustošanās punktus ar asi (funkcijas nulles), mums jāatrisina vienādojums, un šeit mūs sagaida nepatīkams pārsteigums:

Beigās slēpjas brīvs dalībnieks, kas padara uzdevumu daudz grūtāku.

Šādam vienādojumam ir vismaz viena reāla sakne, un visbiežāk šī sakne ir iracionāla. Sliktākajā pasakā mūs gaida trīs sivēntiņi. Vienādojums ir atrisināms, izmantojot t.s Kardano formulas, bet papīra bojājumi ir salīdzināmi ar gandrīz visu pētījumu. Šajā sakarā prātīgāk ir mēģināt atlasīt vismaz vienu vai nu mutiski, vai melnrakstā. vesels sakne. Pārbaudīsim, vai šie skaitļi ir:
- nav piemērots;
- Tur ir!

Šeit paveicās. Neveiksmes gadījumā varat arī pārbaudīt , un, ja šie skaitļi neatbilst, tad baidos, ka ir ļoti maza iespēja rast ienesīgu vienādojuma risinājumu. Tad labāk izlaist izpētes punktu pilnībā - varbūt kaut kas kļūs skaidrāks pēdējā solī, kad tiks izlauzti papildu punkti. Un, ja sakne(-es) ir nepārprotami “slikta”, tad labāk pieticīgi klusēt par zīmju noturības intervāliem un zīmēt uzmanīgāk.

Tomēr mums ir skaista sakne, tāpēc mēs sadalām polinomu bez atlikuma:

Algoritms polinoma dalīšanai ar polinomu ir detalizēti apskatīts nodarbības pirmajā piemērā Sarežģīti ierobežojumi.

Rezultātā sākotnējā vienādojuma kreisā puse sadalās produktā:

Un tagad nedaudz par veselīgu dzīvesveidu. Es, protams, to saprotu kvadrātvienādojumi ir jāatrisina katru dienu, bet šodien mēs izdarīsim izņēmumu: vienādojumu ir divas īstas saknes.

Uzzīmēsim atrastās vērtības uz skaitļu līnijas Un intervāla metode Definēsim funkcijas zīmes:


og Tādējādi uz intervāliem grafiks atrodas
zem x ass un intervālos – virs šīs ass.

Iegūtie atklājumi ļauj precizēt mūsu izkārtojumu, un otrais diagrammas tuvinājums izskatās šādi:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka funkcijai ir jābūt vismaz vienam intervāla maksimumam un vismaz vienam intervāla minimumam. Bet mēs vēl nezinām, cik reižu, kur un kad tiks veikta grafika. Starp citu, funkcijai var būt bezgalīgi daudz galējības.

4) funkcijas palielināšana, samazināšana un ekstrēma.

Atradīsim kritiskos punktus:

Šim vienādojumam ir divas reālas saknes. Novietosim tos uz skaitļu līnijas un noteiksim atvasinājuma zīmes:


Tāpēc funkcija palielinās par un samazinās par .
Tajā brīdī, kad funkcija sasniedz maksimumu: .
Tajā brīdī funkcija sasniedz minimumu: .

Konstatētie fakti ievirza mūsu veidni diezgan stingrā sistēmā:

Lieki piebilst, ka diferenciālrēķini ir spēcīga lieta. Beidzot sapratīsim diagrammas formu:

5) Izliekuma, ieliekuma un lēciena punkti.

Atradīsim otrā atvasinājuma kritiskos punktus:

Definēsim zīmes:


Funkcijas grafiks ir izliekts uz un ieliekts uz . Aprēķināsim lēciena punkta ordinātas: .

Gandrīz viss ir kļuvis skaidrs.

6) Atliek atrast papildu punktus, kas palīdzēs precīzāk izveidot grafiku un veikt pašpārbaudi. Šajā gadījumā to ir maz, taču mēs tos neatstāsim novārtā:

Izveidosim zīmējumu:

Līkuma punkts ir atzīmēts ar zaļu krāsu, papildu punkti ir atzīmēti ar krustiņiem. Kubiskās funkcijas grafiks ir simetrisks pret tās lēciena punktu, kas vienmēr atrodas tieši pa vidu starp maksimumu un minimumu.

Uzdevuma gaitā es sniedzu trīs hipotētiskus starpzīmējumus. Praksē pietiek uzzīmēt koordinātu sistēmu, atzīmēt atrastos punktus un pēc katra pētījuma punkta prātā izdomāt, kā varētu izskatīties funkcijas grafiks. Studentiem ar labu sagatavotības līmeni nebūs grūti veikt šādu analīzi tikai savā prātā, neiesaistot melnrakstu.

Atsevišķam risinājumam:

2. piemērs

Izpētiet funkciju un izveidojiet grafiku.

Šeit viss notiek ātrāk un jautrāk, aptuvens finišēšanas piemērs nodarbības beigās.

Frakcionētu racionālu funkciju izpēte atklāj daudz noslēpumu:

3. piemērs

Izmantojot diferenciālrēķina metodes, izpētīt funkciju un, pamatojoties uz pētījuma rezultātiem, izveidot tās grafiku.

Risinājums: pētījuma pirmais posms neizceļas ar neko ievērojamu, izņemot robu definīcijas apgabalā:

1) Funkcija ir definēta un nepārtraukta visā skaitļu rindā, izņemot punktu , domēns: .

, kas nozīmē, ka šī funkcija nav pāra vai nepāra.

Ir skaidrs, ka funkcija ir neperiodiska.

Funkcijas grafiks attēlo divus nepārtrauktus zarus, kas atrodas kreisajā un labajā pusplaknē - tas, iespējams, ir vissvarīgākais 1. punkta secinājums.

2) Asimptotes, funkcijas uzvedība bezgalībā.

a) Izmantojot vienpusējus ierobežojumus, mēs pārbaudām funkcijas darbību aizdomīga punkta tuvumā, kur skaidri jābūt vertikālai asimptotei:

Patiešām, funkcijas iztur bezgalīga plaisa punktā
un taisne (ass) ir vertikālā asimptote grafikas māksla.

b) Pārbaudīsim, vai pastāv slīpi asimptoti:

Jā, līnija ir slīps asimptote grafika, ja .

Nav jēgas analizēt robežas, jo jau ir skaidrs, ka funkcija aptver tās slīpo asimptotu nav ierobežots no augšas Un nav ierobežots no apakšas.

Otrais izpētes punkts sniedza daudz svarīgas informācijas par funkciju. Izveidosim aptuvenu skici:

Secinājums Nr. 1 attiecas uz nemainīgas zīmes intervāliem. Pie “mīnus bezgalības” funkcijas grafiks skaidri atrodas zem x ass, un pie “plus bezgalības” tas atrodas virs šīs ass. Turklāt vienpusējās robežas mums norādīja, ka gan pa kreisi, gan pa labi no punkta funkcija arī ir lielāka par nulli. Lūdzu, ņemiet vērā, ka kreisajā pusplaknē grafikam vismaz vienu reizi jāšķērso x ass. Labajā pusplaknē funkcijas nulles var nebūt.

Secinājums Nr. 2 ir tāds, ka funkcija palielinās uz punktu un pa kreisi no tā (iet “no apakšas uz augšu”). Pa labi no šī punkta funkcija samazinās (virzās “no augšas uz leju”). Grafika labajā atzarā noteikti ir jābūt vismaz vienam minimumam. Kreisajā pusē galējības nav garantētas.

Secinājums Nr.3 sniedz ticamu informāciju par grafa ieliekumu punkta tuvumā. Mēs vēl nevaram neko teikt par izliekumu/ieliekumu bezgalībās, jo līniju var nospiest pret savu asimptotu gan no augšas, gan no apakšas. Vispārīgi runājot, šobrīd ir analītisks veids, kā to noskaidrot, taču diagrammas forma kļūs skaidrāka vēlāk.

Kāpēc tik daudz vārdu? Lai kontrolētu turpmākos izpētes punktus un izvairītos no kļūdām! Turpmākiem aprēķiniem nevajadzētu būt pretrunā ar izdarītajiem secinājumiem.

3) Grafa krustošanās punkti ar koordinātu asīm, funkcijas konstantes zīmes intervāli.

Funkcijas grafiks nekrustojas ar asi.

Izmantojot intervāla metodi, mēs nosakām zīmes:

, Ja ;
, Ja .

Šī punkta rezultāti pilnībā atbilst 1. secinājumam. Pēc katra posma apskatiet uzmetumu, garīgi pārbaudiet pētījumu un aizpildiet funkcijas grafiku.

Aplūkotajā piemērā skaitītājs tiek dalīts pēc vārda ar saucēju, kas ir ļoti izdevīgi diferencēšanai:

Faktiski tas jau ir izdarīts, atrodot asimptotus.

- kritiskais punkts.

Definēsim zīmes:

palielinās par un samazinās par

Tajā brīdī funkcija sasniedz minimumu: .

Arī ar Secinājumu Nr.2 nesakritības nebija, un, visticamāk, esam uz pareizā ceļa.

Tas nozīmē, ka funkcijas grafiks ir ieliekts visā definīcijas jomā.

Lieliski - un jums nekas nav jāzīmē.

Nav lēciena punktu.

Ieliekums saskan ar Secinājumu Nr.3, turklāt norāda, ka bezgalībā (gan tur, gan tur) atrodas funkcijas grafiks augstāks tā slīpā asimptote.

6) Uzdevumu apzinīgi saliksim ar papildu punktiem. Šeit mums būs smagi jāstrādā, jo mēs zinām tikai divus punktus no pētījuma.

Un bilde, ko daudzi droši vien jau sen iedomājās:

Uzdevuma izpildes laikā rūpīgi jāpārliecinās, ka starp pētījuma posmiem nav pretrunu, bet dažkārt situācija ir steidzama vai pat izmisīga strupceļa. Analītiķi “nesavieno” — tas arī viss. Šajā gadījumā es iesaku avārijas paņēmienu: mēs atrodam pēc iespējas vairāk punktu, kas ietilpst grafikā (cik mums ir pacietība), un atzīmējam tos koordinātu plaknē. Atrasto vērtību grafiskā analīze vairumā gadījumu parādīs, kur ir patiesība un kur tā ir nepatiesa. Turklāt grafiku var iepriekš izveidot, izmantojot kādu programmu, piemēram, Excel (protams, tas prasa prasmes).

4. piemērs

Izmantojiet diferenciālskaitļu metodes, lai pētītu funkciju un izveidotu tās grafiku.

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Tajā paškontroli pastiprina funkcijas paritāte - grafiks ir simetrisks pret asi, un, ja jūsu pētījumā kaut kas ir pretrunā ar šo faktu, meklējiet kļūdu.

Pāra vai nepāra funkciju var izpētīt tikai pie , un pēc tam izmantot diagrammas simetriju. Šis risinājums ir optimāls, taču, manuprāt, izskatās ļoti neparasti. Personīgi es skatos uz visu skaitļu līniju, bet joprojām atrodu papildu punktus tikai labajā pusē:

5. piemērs

Veiciet pilnīgu funkcijas izpēti un izveidojiet tās grafiku.

Risinājums: smagi steidzās:

1) Funkcija ir definēta un nepārtraukta visā skaitļu rindā: .

Tas nozīmē, ka šī funkcija ir nepāra, tās grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi.

Ir skaidrs, ka funkcija ir neperiodiska.

2) Asimptotes, funkcijas uzvedība bezgalībā.

Tā kā funkcija ir nepārtraukta ieslēgta , nav vertikālu asimptotu

Funkcijai, kurā ir eksponents, tas ir tipisks atsevišķi“bezgalības plus” un “mīnusa” izpēte, tomēr mūsu dzīvi atvieglo grafa simetrija - vai nu pa kreisi un pa labi ir asimptote, vai arī tās nav. Tāpēc abas bezgalīgās robežas var ierakstīt vienā ierakstā. Risinājuma laikā mēs izmantojam L'Hopital likums:

Taisnā līnija (ass) ir diagrammas horizontālā asimptote pie .

Lūdzu, ņemiet vērā, kā es viltīgi izvairījos no pilna algoritma, lai atrastu slīpo asimptotu: ierobežojums ir pilnīgi likumīgs un precizē funkcijas uzvedību bezgalībā, un horizontālā asimptote tika atklāta “it kā tajā pašā laikā”.

No nepārtrauktības un horizontālās asimptotes pastāvēšanas izriet, ka funkcija robežojas augstāk Un ierobežota zemāk.

3) Grafika krustošanās punkti ar koordinātu asīm, konstantes zīmes intervāli.

Šeit mēs arī saīsinām risinājumu:
Grafiks iet caur izcelsmi.

Citu krustošanās punktu ar koordinātu asīm nav. Turklāt zīmes noturības intervāli ir acīmredzami, un ass nav jāzīmē: , kas nozīmē, ka funkcijas zīme ir atkarīga tikai no “x”:
, Ja ;
, Ja.

4) funkcijas palielināšana, samazināšanās, ekstrēma.


- kritiskie punkti.

Punkti ir simetriski ap nulli, kā tam vajadzētu būt.

Nosakīsim atvasinājuma pazīmes:


Funkcija ar intervālu palielinās un ar intervāliem samazinās

Tajā brīdī, kad funkcija sasniedz maksimumu: .

Īpašuma dēļ (funkcijas dīvainība) minimums nav jāaprēķina:

Tā kā funkcija intervālā samazinās, acīmredzami grafiks atrodas “mīnus bezgalībā” zem tā asimptote. Pāri intervālam funkcija arī samazinās, bet šeit ir otrādi - pēc maksimālā punkta iziešanas līnija tuvojas asij no augšas.

No iepriekš minētā arī izriet, ka funkcijas grafiks ir izliekts pie “mīnus bezgalības” un ieliekts pie “plus bezgalības”.

Pēc šī pētījuma punkta tika sastādīts funkciju vērtību diapazons:

Ja jums ir kādi pārpratumi par kādiem punktiem, es vēlreiz aicinu jūs piezīmju grāmatiņā uzzīmēt koordinātu asis un ar zīmuli rokās vēlreiz analizēt katru uzdevuma secinājumu.

5) Grafa izliekums, ieliekums, izliekumi.

- kritiskie punkti.

Punktu simetrija ir saglabāta, un, visticamāk, mēs nekļūdāmies.

Definēsim zīmes:


Funkcijas grafiks ir izliekts uz un ieliekts tālāk .

Tika apstiprināta izliekums / izliekums galējos intervālos.

Visos kritiskajos punktos grafikā ir izliekumi. Atradīsim lēciena punktu ordinātas un atkal samazinām aprēķinu skaitu, izmantojot funkcijas dīvainību:

Viens no svarīgākajiem diferenciālrēķina uzdevumiem ir vispārīgu piemēru izstrāde funkciju uzvedības pētīšanai.

Ja funkcija y=f(x) ir nepārtraukta intervālā un tās atvasinājums ir pozitīvs vai vienāds ar 0 intervālā (a,b), tad y=f(x) palielinās par (f"(x)0) . Ja funkcija y=f (x) ir nepārtraukta segmentā un tās atvasinājums ir negatīvs vai vienāds ar 0 intervālā (a,b), tad y=f(x) samazinās par (f"(x)0 )

Intervālus, kuros funkcija nesamazinās vai nepalielinās, sauc par funkcijas monotonitātes intervāliem. Funkcijas monotoniskums var mainīties tikai tajos tās definīcijas apgabala punktos, kuros mainās pirmā atvasinājuma zīme. Punktus, kuros funkcijas pirmais atvasinājums pazūd vai tam ir pārtraukums, sauc par kritiskiem.

1. teorēma (1. pietiekams nosacījums ekstrēma pastāvēšanai).

Lai funkcija y=f(x) ir definēta punktā x 0 un ir tāda apkārtne δ>0, ka funkcija ir nepārtraukta intervālā un diferencējama intervālā (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , un tā atvasinājums saglabā nemainīgu zīmi katrā no šiem intervāliem. Tad, ja uz x 0 -δ,x 0) un (x 0 , x 0 +δ) atvasinājuma zīmes ir atšķirīgas, tad x 0 ir galējības punkts, un, ja tie sakrīt, tad x 0 nav galējības punkts. . Turklāt, ja, ejot caur punktu x0, atvasinājums maina zīmi no plus uz mīnusu (pa kreisi no x 0 f"(x)>0 ir izpildīts, tad x 0 ir maksimālais punkts; ja atvasinājums maina zīmi no mīnuss līdz plus (pa labi no x 0 izpildīts f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Maksimālos un minimālos punktus sauc par funkcijas galējiem punktiem, bet funkcijas maksimumus un minimumus sauc par tās galējām vērtībām.

2. teorēma (nepieciešama lokālas ekstrēma zīme).

Ja funkcijai y=f(x) ir ekstrēmums pie strāvas x=x 0, tad vai nu f’(x 0)=0 vai f’(x 0) neeksistē.
Diferencējamās funkcijas galējos punktos tās grafika pieskare ir paralēla Ox asij.

Algoritms ekstrēma funkcijas izpētei:

1) Atrodiet funkcijas atvasinājumu.
2) Atrast kritiskos punktus, t.i. punkti, kuros funkcija ir nepārtraukta un atvasinājums ir nulle vai neeksistē.
3) Apsveriet katra punkta apkārtni un pārbaudiet atvasinājuma zīmi pa kreisi un pa labi no šī punkta.
4) Nosakiet galējo punktu koordinātas; šim nolūkam šajā funkcijā aizstājiet kritisko punktu vērtības. Izmantojot pietiekamus nosacījumus ekstremitātei, izdariet atbilstošus secinājumus.

18. piemērs. Pārbaudiet funkciju y=x 3 -9x 2 +24x ekstrēmumam

Risinājums.
1) y"=3x2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Pielīdzinot atvasinājumu nullei, atrodam x 1 =2, x 2 =4. Šajā gadījumā atvasinājums ir definēts visur; Tas nozīmē, ka, izņemot divus atrastos punktus, citu kritisko punktu nav.
3) Atvasinājuma zīme y"=3(x-2)(x-4) mainās atkarībā no intervāla, kā parādīts 1. attēlā. Izejot caur punktu x=2, atvasinājums maina zīmi no plus uz mīnusu, un izejot caur punktu x=4 - no mīnusa uz plusu.
4) Punktā x=2 funkcijai ir maksimālais y max =20, bet punktā x=4 - minimālais y min =16.

Teorēma 3. (2.pietiekams nosacījums ekstrēma pastāvēšanai).

Ļaujiet f"(x 0) un punktā x 0 eksistē f""(x 0). Tad, ja f""(x 0)>0, tad x 0 ir minimālais punkts, un ja f""(x) 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Segmentā funkcija y=f(x) var sasniegt mazāko (y vismazāko) vai lielāko (y augstāko) vērtību vai nu funkcijas kritiskajos punktos, kas atrodas intervālā (a;b), vai pie segmenta galiem.

Algoritms nepārtrauktas funkcijas y=f(x) lielāko un mazāko vērtību atrašanai segmentā:

1) Atrodiet f"(x).
2) Atrodiet punktus, kuros f"(x)=0 vai f"(x) nepastāv, un atlasiet no tiem tos, kas atrodas segmentā.
3) Aprēķiniet funkcijas y=f(x) vērtību 2. solī iegūtajos punktos, kā arī nogriežņa galos un izvēlieties no tiem lielāko un mazāko: tie ir attiecīgi lielākie (y lielākās) un mazākās (y mazākās) funkcijas vērtības intervālā.

19. piemērs. Atrodiet nepārtrauktās funkcijas y=x 3 -3x 2 -45+225 lielāko vērtību segmentā.

1) segmentā ir y"=3x2 -6x-45
2) Atvasinājums y" pastāv visiem x. Atradīsim punktus, kuros y"=0; mēs iegūstam:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) Aprēķiniet funkcijas vērtību punktos x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Nogrieznis satur tikai punktu x=5. Lielākā no atrastajām funkcijas vērtībām ir 225, bet mazākā ir skaitlis 50. Tātad, y max = 225, y min = 50.

Izliekuma funkcijas izpēte

Attēlā parādīti divu funkciju grafiki. Pirmais no tiem ir izliekts uz augšu, otrs ir izliekts uz leju.

Funkcija y=f(x) ir nepārtraukta segmentā un diferencējama intervālā (a;b), tiek saukta par izliektu uz augšu (uz leju) šajā segmentā, ja axb gadījumā tās grafiks neatrodas augstāk (ne zemāk) par pieskare, kas novilkta jebkurā punktā M 0 (x 0 ;f(x 0)), kur axb.

4. teorēma. Lai funkcijai y=f(x) ir otrs atvasinājums jebkurā segmenta iekšējā punktā x un tā ir nepārtraukta šī segmenta galos. Tad, ja nevienādība f""(x)0 pastāv uz intervālu (a;b), tad funkcija ir izliekta uz leju intervālā ; ja nevienādība f""(x)0 attiecas uz intervālu (a;b), tad funkcija ir izliekta uz augšu uz .

5. teorēma. Ja funkcijai y=f(x) ir otrs atvasinājums intervālā (a;b) un ja tā maina zīmi, ejot caur punktu x 0, tad M(x 0 ;f(x 0)) ir lēciena punkts.

Noteikums locījuma punktu atrašanai:

1) Atrodiet punktus, kuros f""(x) nepastāv vai pazūd.
2) Pārbaudiet zīmi f""(x) pa kreisi un pa labi no katra pirmajā darbībā atrastā punkta.
3) Pamatojoties uz 4. teorēmu, izdariet secinājumu.

20. piemērs. Atrodiet funkcijas y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 grafikā ekstrēmu punktus un lēciena punktus.

Mums ir f"(x)=12x3 -24x2 +12x=12x(x-1) 2. Acīmredzot f"(x)=0, ja x 1 =0, x 2 =1. Izejot caur punktu x=0, atvasinājums maina zīmi no mīnusa uz plusu, bet, ejot caur punktu x=1, zīmi nemaina. Tas nozīmē, ka x=0 ir minimālais punkts (y min =12), un punktā x=1 nav galējības. Tālāk mēs atrodam . Otrais atvasinājums pazūd punktos x 1 =1, x 2 =1/3. Otrā atvasinājuma zīmes mainās šādi: Uz stara (-∞;) mums ir f""(x)>0, uz intervāla (;1) mums ir f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Tāpēc x= ir funkcijas grafika lēciena punkts (pāreja no izliekuma uz leju uz izliekumu uz augšu), un x=1 ir arī lēciena punkts (pāreja no izliekuma uz augšu uz izliekumu uz leju). Ja x=, tad y= ; ja, tad x=1, y=13.

Algoritms grafa asimptota atrašanai

I. Ja y=f(x) kā x → a, tad x=a ir vertikāla asimptote.
II. Ja y=f(x) kā x → ∞ vai x → -∞, tad y=A ir horizontāla asimptote.
III. Lai atrastu slīpo asimptotu, mēs izmantojam šādu algoritmu:
1) Aprēķiniet. Ja robeža pastāv un ir vienāda ar b, tad y=b ir horizontāla asimptote; ja , tad pārejiet uz otro darbību.
2) Aprēķiniet. Ja šī robeža nepastāv, tad nav asimptota; ja tas pastāv un ir vienāds ar k, tad pārejiet uz trešo soli.
3) Aprēķiniet. Ja šī robeža nepastāv, tad nav asimptota; ja tas pastāv un ir vienāds ar b, tad pārejiet uz ceturto soli.
4) Pierakstiet slīpās asimptotes y=kx+b vienādojumu.

21. piemērs. Atrodiet funkcijas asimptotu

1)
2)
3)
4) Slīpās asimptotes vienādojumam ir forma

Shēma funkcijas izpētei un tās grafika konstruēšanai

I. Atrodiet funkcijas definīcijas apgabalu.
II. Atrodiet funkcijas grafika krustošanās punktus ar koordinātu asīm.
III. Atrodiet asimptotus.
IV. Atrodiet iespējamos ekstremālos punktus.
V. Atrodi kritiskos punktus.
VI. Izmantojot palīgskaitļu, izpētiet pirmā un otrā atvasinājuma zīmi. Noteikt pieaugošās un dilstošās funkcijas apgabalus, atrast grafa izliekuma virzienu, ekstrēmu punktus un lēciena punktus.
VII. Izveidojiet grafiku, ņemot vērā 1.-6.punktā veikto pētījumu.

22. piemērs. Izveidojiet funkcijas grafiku saskaņā ar iepriekš minēto diagrammu

Risinājums.
I. Funkcijas domēns ir visu reālo skaitļu kopa, izņemot x=1.
II. Tā kā vienādojumam x 2 +1=0 nav reālu sakņu, tad funkcijas grafikam nav krustošanās punktu ar Ox asi, bet tas krusto Oy asi punktā (0;-1).
III. Noskaidrosim jautājumu par asimptotu esamību. Izpētīsim funkcijas uzvedību pārtraukuma punkta x=1 tuvumā. Tā kā y → ∞ kā x → -∞, y → +∞ kā x → 1+, tad taisne x=1 ir funkcijas grafika vertikālā asimptote.
Ja x → +∞(x → -∞), tad y → +∞(y → -∞); tāpēc grafikā nav horizontālas asimptotes. Tālāk no robežu esamības

Atrisinot vienādojumu x 2 -2x-1=0 iegūstam divus iespējamos galējības punktus:
x 1 =1-√2 un x 2 =1+√2

V. Lai atrastu kritiskos punktus, mēs aprēķinām otro atvasinājumu:

Tā kā f""(x) nepazūd, nav kritisko punktu.
VI. Apskatīsim pirmā un otrā atvasinājuma zīmi. Iespējamie vērā ņemamie ekstrēmu punkti: x 1 =1-√2 un x 2 =1+√2, sadaliet funkcijas eksistences apgabalu intervālos (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) un (1+√2;+∞).

Katrā no šiem intervāliem atvasinājums saglabā savu zīmi: pirmajā - plus, otrajā - mīnus, trešajā - plus. Pirmā atvasinājuma zīmju secība tiks rakstīta šādi: +,-,+.
Mēs atklājam, ka funkcija palielinās pie (-∞;1-√2), samazinās pie (1-√2;1+√2) un atkal palielinās pie (1+√2;+∞). Ekstrēmi punkti: maksimums pie x=1-√2 un f(1-√2)=2-2√2 minimālais pie x=1+√2 un f(1+√2)=2+2√2. Pie (-∞;1) grafiks ir izliekts uz augšu, un pie (1;+∞) tas ir izliekts uz leju.
VII Veidosim iegūto vērtību tabulu

VIII Pamatojoties uz iegūtajiem datiem, konstruējam funkcijas grafika skici