Expanda o módulo de expressão:

Seção 2. Propriedades básicas.

Outro fato importante: módulo nunca é negativo. Qualquer que seja o número que tomemos - seja ele positivo ou negativo - seu módulo sempre acaba sendo positivo (ou, em casos extremos, zero). É por isso que o módulo é frequentemente chamado de valor absoluto de um número.

Além disso, se combinarmos a definição do módulo para um número positivo e negativo, obteremos uma definição global do módulo para todos os números. A saber: o módulo de um número é igual ao próprio número se o número for positivo (ou zero), ou igual ao número oposto se o número for negativo. Você pode escrever isso como uma fórmula:

Também existe um módulo zero, mas é sempre igual a zero. Além disso, zero é o único número que não possui oposto.

Assim, se considerarmos a função $y=\left| x \right|$ e tente desenhar seu gráfico, você obterá algo assim:

Gráfico de módulo e exemplo de resolução da equação

A partir desta imagem fica imediatamente claro que $\left| -m \direita|=\esquerda| m \right|$, e o gráfico do módulo nunca fica abaixo do eixo x. Mas isso não é tudo: a linha vermelha marca a linha reta $y=a$, que, para $a$ positivo, nos dá duas raízes ao mesmo tempo: $((x)_(1))$ e $((x) _(2)) $, mas falaremos sobre isso mais tarde. :)

Além da definição puramente algébrica, existe uma geométrica. Digamos que haja dois pontos na reta numérica: $((x)_(1))$ e $((x)_(2))$. Neste caso, a expressão $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ é simplesmente a distância entre os pontos especificados. Ou, se preferir, o comprimento do segmento que liga estes pontos:

Esta definição também implica que o módulo é sempre não negativo. Mas chega de definições e teoria - vamos passar para equações reais. :)

Fórmula básica

Ok, resolvemos a definição. Mas isso não tornou tudo mais fácil. Como resolver equações contendo este mesmo módulo?

Calma, apenas calma. Vamos começar com as coisas mais simples. Considere algo assim:

\[\esquerda| x\direita|=3\]

Portanto, o módulo de $x$ é 3. A que $x$ poderia ser igual? Bem, a julgar pela definição, estamos muito felizes com $x=3$. Realmente:

\[\esquerda| 3\direita|=3\]

Existem outros números? Cap parece estar insinuando que existe. Por exemplo, $x=-3$ também é $\left| -3 \right|=3$, ou seja, a igualdade exigida é satisfeita.

Então, talvez se pesquisarmos e pensarmos, encontraremos mais números? Mas convenhamos: não há mais números. Equação $\esquerda| x \right|=3$ tem apenas duas raízes: $x=3$ e $x=-3$.

Agora vamos complicar um pouco a tarefa. Deixe a função $f\left(x \right)$ ficar sob o sinal de módulo em vez da variável $x$, e coloque um número arbitrário $a$ no lugar do triplo à direita. Obtemos a equação:

\[\esquerda| f\esquerda(x \direita) \direita|=a\]

Então, como podemos resolver isso? Deixe-me lembrá-lo: $f\left(x \right)$ é uma função arbitrária, $a$ é qualquer número. Aqueles. Nada mesmo! Por exemplo:

\[\esquerda| 2x+1 \direita|=5\]

\[\esquerda| 10x-5 \direita|=-65\]

Vamos prestar atenção à segunda equação. Podemos dizer imediatamente sobre ele: ele não tem raízes. Por que? Está tudo correto: porque exige que o módulo seja igual a um número negativo, o que nunca acontece, pois já sabemos que o módulo é sempre um número positivo ou, em casos extremos, zero.

Mas com a primeira equação tudo fica mais divertido. Existem duas opções: ou há uma expressão positiva sob o sinal do módulo e então $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, ou esta expressão ainda é negativa, e então $\left| 2x+1 \direita|=-\esquerda(2x+1 \direita)=-2x-1$. No primeiro caso, nossa equação será reescrita da seguinte forma:

\[\esquerda| 2x+1 \direita|=5\Setaparadireita 2x+1=5\]

E de repente acontece que a expressão submodular $2x+1$ é realmente positiva - é igual ao número 5. Isso é podemos resolver esta equação com segurança - a raiz resultante será uma parte da resposta:

Aqueles que são particularmente desconfiados podem tentar substituir a raiz encontrada na equação original e certificar-se de que realmente existe um número positivo sob o módulo.

Agora vejamos o caso de uma expressão submodular negativa:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Seta para a direita 2x+1=-5\]

Ops! Novamente, tudo está claro: assumimos que $2x+1 \lt 0$, e como resultado obtivemos que $2x+1=-5$ - na verdade, esta expressão é menor que zero. Resolvemos a equação resultante, já sabendo com certeza que a raiz encontrada nos servirá:

No total, recebemos novamente duas respostas: $x=2$ e $x=3$. Sim, a quantidade de cálculos acabou sendo um pouco maior do que na equação muito simples $\left| x \right|=3$, mas nada mudou fundamentalmente. Então, talvez exista algum tipo de algoritmo universal?

Sim, tal algoritmo existe. E agora vamos analisar isso.

Livrar-se do sinal do módulo

Seja-nos dada a equação $\left| f\left(x \right) \right|=a$, e $a\ge 0$ (caso contrário, como já sabemos, não há raízes). Então você pode se livrar do sinal do módulo usando a seguinte regra:

\[\esquerda| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Assim, nossa equação com módulo se divide em duas, mas sem módulo. Isso é tudo que a tecnologia é! Vamos tentar resolver algumas equações. Vamos começar com isso

\[\esquerda| 5x+4 \direita|=10\Seta direita 5x+4=\pm 10\]

Vamos considerar separadamente quando há dez mais à direita e separadamente quando há menos. Nós temos:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\\fim(alinhar)\]

Isso é tudo! Temos duas raízes: $x=1,2$ e $x=-2,8$. A solução inteira ocupou literalmente duas linhas.

Ok, sem dúvida, vamos ver algo um pouco mais sério:

\[\esquerda| 7-5x\direita|=13\]

Novamente abrimos o módulo com mais e menos:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\fim(alinhar)\]

Mais algumas linhas - e a resposta está pronta! Como eu disse, não há nada complicado nos módulos. Você só precisa se lembrar de algumas regras. Portanto, seguimos em frente e começamos com tarefas verdadeiramente mais complexas.

O caso de uma variável do lado direito

Agora considere esta equação:

\[\esquerda| 3x-2 \direita|=2x\]

Esta equação é fundamentalmente diferente de todas as anteriores. Como? E o facto de à direita do sinal de igual estar a expressão $2x$ - e não podemos saber antecipadamente se é positivo ou negativo.

O que fazer neste caso? Primeiro, devemos entender de uma vez por todas que se o lado direito da equação for negativo, então a equação não terá raízes- já sabemos que o módulo não pode ser igual a um número negativo.

E em segundo lugar, se o lado direito ainda for positivo (ou igual a zero), então você pode agir exatamente da mesma maneira que antes: basta abrir o módulo separadamente com um sinal de mais e separadamente com um sinal de menos.

Assim, formulamos uma regra para funções arbitrárias $f\left(x \right)$ e $g\left(x \right)$ :

\[\esquerda| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Em relação à nossa equação obtemos:

\[\esquerda| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Bem, de alguma forma iremos lidar com o requisito $2x\ge 0$. No final, podemos substituir estupidamente as raízes que obtemos da primeira equação e verificar se a desigualdade é válida ou não.

Então vamos resolver a equação em si:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\fim(alinhar)\]

Bem, qual dessas duas raízes satisfaz o requisito $2x\ge 0$? Sim ambos! Portanto, a resposta será dois números: $x=(4)/(3)\;$ e $x=0$. Essa é a solução. :)

Suspeito que alguns dos alunos já estão começando a ficar entediados. Bem, vejamos uma equação ainda mais complexa:

\[\esquerda| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \direita|=x-((x)^(3))\]

Embora pareça mal, na verdade ainda é a mesma equação da forma “módulo é igual a função”:

\[\esquerda| f\esquerda(x \direita) \direita|=g\esquerda(x \direita)\]

E é resolvido exatamente da mesma maneira:

\[\esquerda| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Lidaremos com a desigualdade mais tarde - ela é de alguma forma muito má (na verdade, é simples, mas não vamos resolvê-la). Por enquanto, é melhor lidar com as equações resultantes. Consideremos o primeiro caso - é quando o módulo é expandido com um sinal de mais:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Bem, é óbvio que você precisa coletar tudo da esquerda, trazer outros semelhantes e ver o que acontece. E é isso que acontece:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\fim(alinhar)\]

Tiramos o fator comum $((x)^(2))$ dos colchetes e obtemos uma equação muito simples:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\fim(alinhar) \direita.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Aqui aproveitamos uma importante propriedade do produto, para a qual fatoramos o polinômio original: o produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero.

Agora vamos lidar com a segunda equação exatamente da mesma maneira, que é obtida expandindo o módulo com sinal menos:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\esquerda(-3x+2 \direita)=0. \\\fim(alinhar)\]

Novamente a mesma coisa: o produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero. Nós temos:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Bem, temos três raízes: $x=0$, $x=1,5$ e $x=(2)/(3)\;$. Bem, qual deste conjunto irá para a resposta final? Para fazer isso, lembre-se que temos uma restrição adicional na forma de desigualdade:

Como levar em conta esse requisito? Vamos apenas substituir as raízes encontradas e verificar se a desigualdade é válida para estes $x$ ou não. Nós temos:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Rightarrow x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\fim(alinhar)\]

Assim, a raiz $x=1,5$ não nos convém. E em resposta haverá apenas duas raízes:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Como você pode ver, mesmo neste caso não houve nada complicado - as equações com módulos são sempre resolvidas por meio de um algoritmo. Você só precisa ter um bom entendimento de polinômios e desigualdades. Portanto, passamos para tarefas mais complexas - já não haverá um, mas dois módulos.

Equações com dois módulos

Até agora, estudamos apenas as equações mais simples - havia um módulo e outra coisa. Enviamos esse “outro” para outra parte da desigualdade, longe do módulo, para que no final tudo ficasse reduzido a uma equação da forma $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ ou ainda mais simples $\left| f\esquerda(x \direita) \direita|=a$.

Mas o jardim de infância acabou - é hora de considerar algo mais sério. Vamos começar com equações como esta:

\[\esquerda| f\esquerda(x \direita) \direita|=\esquerda| g\esquerda(x \direita) \direita|\]

Esta é uma equação da forma “módulo é igual a módulo”. O ponto fundamentalmente importante é a ausência de outros termos e fatores: apenas um módulo à esquerda, mais um módulo à direita – e nada mais.

Alguém pensará agora que tais equações são mais difíceis de resolver do que as que estudamos até agora. Mas não: estas equações são ainda mais fáceis de resolver. Aqui está a fórmula:

\[\esquerda| f\esquerda(x \direita) \direita|=\esquerda| g\esquerda(x \direita) \direita|\Rightarrow f\esquerda(x \direita)=\pm g\esquerda(x \direita)\]

Todos! Simplesmente igualamos expressões submodulares colocando um sinal de mais ou de menos na frente de uma delas. E então resolvemos as duas equações resultantes - e as raízes estão prontas! Sem restrições adicionais, sem desigualdades, etc. Tudo é muito simples.

Vamos tentar resolver este problema:

\[\esquerda| 2x+3 \direita|=\esquerda| 2x-7 \direita|\]

Watson elementar! Expandindo os módulos:

\[\esquerda| 2x+3 \direita|=\esquerda| 2x-7 \direita|\Rightarrow 2x+3=\pm \esquerda(2x-7 \direita)\]

Vamos considerar cada caso separadamente:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\esquerda(2x-7 \direita)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\fim(alinhar)\]

A primeira equação não tem raízes. Porque quando é $3=-7$? Em quais valores de $x$? “O que diabos é $x$? Você esta drogado? Não há $x$ ali”, você diz. E você estará certo. Obtivemos uma igualdade que não depende da variável $x$ e, ao mesmo tempo, a própria igualdade está incorreta. É por isso que não existem raízes. :)

Com a segunda equação tudo fica um pouco mais interessante, mas também muito, muito simples:

Como você pode ver, tudo foi resolvido literalmente em algumas linhas - não esperávamos mais nada de uma equação linear. :)

Como resultado, a resposta final é: $x=1$.

Então, como? Difícil? Claro que não. Vamos tentar outra coisa:

\[\esquerda| x-1 \direita|=\esquerda| ((x)^(2))-3x+2 \direita|\]

Novamente temos uma equação da forma $\left| f\esquerda(x \direita) \direita|=\esquerda| g\esquerda(x \direita) \direita|$. Portanto, reescrevemo-lo imediatamente, revelando o sinal do módulo:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \esquerda(x-1 \direita)\]

Talvez alguém pergunte agora: “Ei, que bobagem? Por que “mais-menos” aparece na expressão da direita e não na esquerda?” Calma, vou explicar tudo agora. Na verdade, no bom sentido, deveríamos ter reescrito nossa equação da seguinte forma:

Então você precisa abrir os colchetes, mover todos os termos para um lado do sinal de igual (já que a equação, obviamente, será quadrada em ambos os casos) e então encontrar as raízes. Mas você deve admitir: quando “mais-menos” aparece antes de três termos (especialmente quando um desses termos é uma expressão quadrática), de alguma forma parece mais complicado do que a situação em que “mais-menos” aparece antes de apenas dois termos.

Mas nada nos impede de reescrever a equação original da seguinte forma:

\[\esquerda| x-1 \direita|=\esquerda| ((x)^(2))-3x+2 \direita|\Rightarrow \esquerda| ((x)^(2))-3x+2 \direita|=\esquerda| x-1 \direita|\]

O que aconteceu? Nada de especial: eles apenas trocaram os lados esquerdo e direito. Uma coisinha que acabará por tornar a nossa vida um pouco mais fácil. :)

Em geral, resolvemos esta equação considerando opções com mais e menos:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\fim(alinhar)\]

A primeira equação tem raízes $x=3$ e $x=1$. O segundo é geralmente um quadrado exato:

\[((x)^(2))-2x+1=((\esquerda(x-1 \direita))^(2))\]

Portanto, possui apenas uma raiz: $x=1$. Mas já obtivemos esta raiz anteriormente. Assim, apenas dois números irão para a resposta final:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Missão completa! Você pode pegar uma torta da prateleira e comê-la. São 2, o do meio é o seu :)

Nota importante. A presença de raízes idênticas para diferentes variantes de expansão do módulo significa que os polinômios originais são fatorados, e entre esses fatores certamente haverá um comum. Realmente:

\[\begin(alinhar)& \left| x-1 \direita|=\esquerda| ((x)^(2))-3x+2 \direita|; \\& \esquerda| x-1 \direita|=\esquerda| \esquerda(x-1 \direita)\esquerda(x-2 \direita) \direita|. \\\fim(alinhar)\]

Uma das propriedades do módulo: $\left| a\cdot b \direita|=\esquerda| a \direita|\cdot \esquerda| b \right|$ (ou seja, o módulo do produto é igual ao produto dos módulos), então a equação original pode ser reescrita da seguinte forma:

\[\esquerda| x-1 \direita|=\esquerda| x-1 \direita|\cdot \esquerda| x-2 \direita|\]

Como você pode ver, realmente temos um fator comum. Agora, se você coletar todos os módulos de um lado, poderá tirar esse fator do colchete:

\[\begin(alinhar)& \left| x-1 \direita|=\esquerda| x-1 \direita|\cdot \esquerda| x-2 \direita|; \\& \esquerda| x-1 \direita|-\esquerda| x-1 \direita|\cdot \esquerda| x-2 \direita|=0; \\& \esquerda| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\fim(alinhar)\]

Bom, agora lembre-se que o produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero:

\[\esquerda[ \begin(alinhar)& \esquerda| x-1 \direita|=0, \\& \esquerda| x-2 \direita|=1. \\\fim(alinhar) \direita.\]

Assim, a equação original com dois módulos foi reduzida às duas equações mais simples de que falamos no início da lição. Essas equações podem ser resolvidas literalmente em algumas linhas. :)

Esta observação pode parecer desnecessariamente complexa e inaplicável na prática. No entanto, na realidade, você poderá encontrar problemas muito mais complexos do que aqueles que estamos analisando hoje. Neles, os módulos podem ser combinados com polinômios, raízes aritméticas, logaritmos, etc. E em tais situações, a capacidade de diminuir o grau geral da equação tirando algo dos colchetes pode ser muito, muito útil. :)

Agora gostaria de examinar outra equação, que à primeira vista pode parecer maluca. Muitos alunos ficam presos nisso, mesmo aqueles que pensam ter um bom entendimento dos módulos.

No entanto, esta equação é ainda mais fácil de resolver do que a que vimos anteriormente. E se você entender o porquê, terá outro truque para resolver rapidamente equações com módulos.

Então a equação é:

\[\esquerda| x-((x)^(3)) \direita|+\esquerda| ((x)^(2))+x-2 \direita|=0\]

Não, isso não é um erro de digitação: é uma vantagem entre os módulos. E precisamos descobrir em que $x$ a soma de dois módulos é igual a zero. :)

Qual é o problema, afinal? Mas o problema é que cada módulo é um número positivo ou, em casos extremos, zero. O que acontece se você adicionar dois números positivos? Obviamente, um número positivo novamente:

\[\begin(alinhar)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\fim(alinhar)\]

A última linha pode lhe dar uma ideia: a única vez que a soma dos módulos é zero é se cada módulo for zero:

\[\esquerda| x-((x)^(3)) \direita|+\esquerda| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(align) \right.\]

E quando o módulo é igual a zero? Apenas em um caso - quando a expressão submodular é igual a zero:

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

Assim, temos três pontos em que o primeiro módulo é zerado: 0, 1 e −1; bem como dois pontos nos quais o segundo módulo é zerado: −2 e 1. No entanto, precisamos que ambos os módulos sejam zerados ao mesmo tempo, portanto, entre os números encontrados, precisamos escolher aqueles que estão incluídos em ambos os conjuntos. Obviamente, existe apenas um número: $x=1$ - esta será a resposta final.

Método de clivagem

Bem, já cobrimos vários problemas e aprendemos muitas técnicas. Você acha que isso é tudo? Mas não! Agora veremos a técnica final - e ao mesmo tempo a mais importante. Falaremos sobre divisão de equações com módulo. Sobre o que vamos conversar? Vamos voltar um pouco e ver algumas equações simples. Por exemplo isto:

\[\esquerda| 3x-5 \direita|=5-3x\]

Em princípio, já sabemos como resolver tal equação, porque é uma construção padrão da forma $\left| f\esquerda(x \direita) \direita|=g\esquerda(x \direita)$. Mas vamos tentar olhar para esta equação de um ângulo ligeiramente diferente. Mais precisamente, considere a expressão sob o sinal do módulo. Deixe-me lembrá-lo de que o módulo de qualquer número pode ser igual ao próprio número ou pode ser oposto a este número:

\[\esquerda| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Na verdade, essa ambigüidade é todo o problema: como o número sob o módulo muda (depende da variável), não está claro para nós se é positivo ou negativo.

Mas e se você inicialmente exigir que esse número seja positivo? Por exemplo, exigimos que $3x-5 \gt 0$ - neste caso, temos a garantia de obter um número positivo sob o sinal do módulo e podemos nos livrar completamente desse mesmo módulo:

Assim, nossa equação se tornará linear, que pode ser facilmente resolvida:

É verdade que todos esses pensamentos só fazem sentido sob a condição $3x-5 \gt 0$ - nós mesmos introduzimos esse requisito para revelar o módulo de forma inequívoca. Portanto, vamos substituir o $x=\frac(5)(3)$ encontrado nesta condição e verificar:

Acontece que para o valor especificado de $x$ nosso requisito não é atendido, porque a expressão acabou sendo igual a zero e precisamos que seja estritamente maior que zero. Triste. :(

Mas está tudo bem! Afinal, existe outra opção $3x-5 \lt 0$. Além disso: há também o caso $3x-5=0$ - isso também precisa ser considerado, caso contrário a solução ficará incompleta. Então, considere o caso $3x-5 \lt 0$:

Obviamente, o módulo abrirá com um sinal de menos. Mas então surge uma situação estranha: tanto à esquerda quanto à direita na equação original a mesma expressão se destacará:

Eu me pergunto em que $x$ a expressão $5-3x$ será igual à expressão $5-3x$? Até o Capitão Obviedade engasgaria com a saliva com tais equações, mas sabemos: esta equação é uma identidade, ou seja, é verdade para qualquer valor da variável!

Isso significa que qualquer $x$ nos servirá. No entanto, temos uma limitação:

Em outras palavras, a resposta não será um único número, mas um intervalo inteiro:

Finalmente, resta mais um caso a considerar: $3x-5=0$. Tudo é simples aqui: haverá zero sob o módulo, e o módulo de zero também é igual a zero (isso segue diretamente da definição):

Mas então a equação original $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ será reescrito da seguinte forma:

Já obtivemos essa raiz acima quando consideramos o caso de $3x-5 \gt 0$. Além disso, esta raiz é uma solução para a equação $3x-5=0$ - esta é a limitação que nós mesmos introduzimos para redefinir o módulo. :)

Assim, além do intervalo, também ficaremos satisfeitos com o número que fica bem no final desse intervalo:

Resposta final total: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Não é muito comum ver tal porcaria na resposta a uma equação bastante simples (essencialmente linear) com módulo , Bem, acostume-se: a dificuldade do módulo é que as respostas em tais equações podem ser completamente imprevisíveis.

Outra coisa é muito mais importante: acabamos de analisar um algoritmo universal para resolver uma equação com módulo! E este algoritmo consiste nas seguintes etapas:

1. Iguale cada módulo na equação a zero. Obtemos várias equações;
2. Resolva todas essas equações e marque as raízes na reta numérica. Como resultado, a linha reta será dividida em vários intervalos, em cada um dos quais todos os módulos são revelados de forma única;
3. Resolva a equação original para cada intervalo e combine suas respostas.

Isso é tudo! Resta apenas uma pergunta: o que fazer com as raízes obtidas no passo 1? Digamos que temos duas raízes: $x=1$ e $x=5$. Eles dividirão a reta numérica em 3 partes:

Então, quais são os intervalos? É claro que existem três deles:

1. O mais à esquerda: $x \lt 1$ — a unidade em si não está incluída no intervalo;
2. Central: $1\le x \lt 5$ - aqui um está incluído no intervalo, mas cinco não está incluído;
3. Mais à direita: $x\ge 5$ - cinco só está incluído aqui!

Acho que você já entendeu o padrão. Cada intervalo inclui a extremidade esquerda e não inclui a direita.

À primeira vista, tal entrada pode parecer inconveniente, ilógica e geralmente meio maluca. Mas acredite: depois de um pouco de prática, você descobrirá que essa abordagem é a mais confiável e não interfere na abertura inequívoca dos módulos. É melhor usar esse esquema do que pensar sempre: dar o extremo esquerdo/direito ao intervalo atual ou “jogá-lo” no próximo.

Isso conclui a lição. Baixe problemas para resolver sozinho, pratique, compare com as respostas - e nos vemos na próxima lição, que será dedicada às desigualdades com módulos. :)

Instruções

Se um módulo for representado como uma função contínua, então o valor do seu argumento pode ser positivo ou negativo: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

O módulo é zero e o módulo de qualquer número positivo é. Se o argumento for negativo, depois de abrir os colchetes, seu sinal muda de menos para mais. Com base nisso, conclui-se que os módulos dos opostos são iguais: |-x| = |x| =x.

O módulo de um número complexo é encontrado pela fórmula: |a| = √b² + c², e |a + b| ≤ |a| + |b|. Se o argumento contiver um número positivo como multiplicador, ele poderá ser retirado do sinal de colchete, por exemplo: |4*b| = 4*|b|.

Se o argumento for apresentado como um número complexo, então, por conveniência de cálculo, é permitida a ordem dos termos da expressão entre colchetes: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 porque (2-3) é menor que zero.

O argumento elevado a uma potência está simultaneamente sob o sinal de uma raiz da mesma ordem - é resolvido usando: √a² = |a| = ±a.

Se você tiver uma tarefa em que a condição para expandir os colchetes do módulo não for especificada, não há necessidade de se livrar deles - esse será o resultado final. E se precisar abri-los, deverá indicar o sinal ±. Por exemplo, você precisa encontrar o valor da expressão √(2 * (4-b))². Sua solução é assim: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Como o sinal da expressão 4-b é desconhecido, deve ser deixado entre parênteses. Se você adicionar uma condição adicional, por exemplo, |4-b| >

O módulo de zero é igual a zero e o módulo de qualquer número positivo é igual a ele mesmo. Se o argumento for negativo, depois de abrir os colchetes, seu sinal muda de menos para mais. Com base nisso, conclui-se que os módulos de números opostos são iguais: |-x| = |x| =x.

O módulo de um número complexo é encontrado pela fórmula: |a| = √b² + c², e |a + b| ≤ |a| + |b|. Se o argumento contiver um número inteiro positivo como fator, ele poderá ser retirado do sinal de colchete, por exemplo: |4*b| = 4*|b|.

O módulo não pode ser negativo, então qualquer número negativo é convertido em positivo: |-x| =x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Se o argumento for apresentado na forma de um número complexo, então, para conveniência dos cálculos, é permitido alterar a ordem dos termos da expressão entre colchetes: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 porque (2-3) é menor que zero.

Se você tiver uma tarefa em que a condição para expandir os colchetes do módulo não for especificada, não há necessidade de se livrar deles - esse será o resultado final. E se precisar abri-los, deverá indicar o sinal ±. Por exemplo, você precisa encontrar o valor da expressão √(2 * (4-b))². Sua solução é assim: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Como o sinal da expressão 4-b é desconhecido, deve ser deixado entre parênteses. Se você adicionar uma condição adicional, por exemplo, |4-b| > 0, então o resultado será 2 * |4-b| = 2 *(4 -b). O elemento desconhecido também pode ser definido como um número específico, o que deve ser levado em consideração porque isso influenciará o sinal da expressão.

Este artigo é dedicado a técnicas para resolver várias equações e inequações contendo
variável sob o sinal do módulo.

Se você encontrar uma equação ou desigualdade com módulo no exame, poderá resolvê-la
sem conhecer nenhum método especial e usando apenas a definição do módulo. É verdade,
Isso pode levar uma hora e meia do precioso tempo do exame.

É por isso que queremos falar sobre técnicas que simplificam a solução desses problemas.

Em primeiro lugar, lembremo-nos que

Vejamos os diferentes tipos equações com módulo. (Passaremos às desigualdades mais tarde.)

Módulo à esquerda, número à direita

Este é o caso mais simples. Vamos resolver a equação

Existem apenas dois números cujos módulos são iguais a quatro. Estes são 4 e −4. Portanto a equação
é equivalente à combinação de dois simples:

A segunda equação não tem soluções. Soluções para o primeiro: x = 0 e x = 5.

Resposta: 0; 5.

Variável tanto no módulo quanto no módulo externo

Aqui temos que expandir o módulo por definição. . . ou pense!

A equação se divide em dois casos, dependendo do sinal da expressão sob o módulo.
Em outras palavras, equivale a uma combinação de dois sistemas:

Solução do primeiro sistema: . O segundo sistema não tem soluções.
Resposta 1.

Primeiro caso: x ≥ 3. Remova o módulo:

O número, sendo negativo, não satisfaz a condição x ≥ 3 e, portanto, não é raiz da equação original.

Vamos descobrir se o número satisfaz esta condição. Para fazer isso, compomos a diferença e determinamos seu sinal:

Isso significa que é maior que três e, portanto, é a raiz da equação original

Segundo caso: x< 3. Снимаем модуль:

Número . maior que e, portanto, não satisfaz a condição x< 3. Проверим :

Significa, . é a raiz da equação original.

Removendo um módulo por definição? É assustador até pensar nisso, porque o discriminante não é um quadrado perfeito. Vamos usar melhor a seguinte consideração: uma equação da forma |A| = B é equivalente à combinação de dois sistemas:

A mesma coisa, mas um pouco diferente:

Em outras palavras, resolvemos duas equações, A = B e A = −B, e então selecionamos raízes que satisfazem a condição B ≥ 0.

Vamos começar. Primeiro resolvemos a primeira equação:

Então resolvemos a segunda equação:

Agora, em cada caso, verificamos o sinal do lado direito:

Portanto, apenas e são adequados.

Equações quadráticas com substituição |x| = t

Vamos resolver a equação:

Como , é conveniente fazer a substituição |x| =t. Nós temos:

Resposta: ±1.

Módulo igual ao módulo

Estamos falando de equações da forma |A| = |B|. Este é um presente do destino. Nenhuma divulgação de módulo por definição! É simples:

Por exemplo, considere a equação: . É equivalente ao seguinte conjunto:

Resta resolver cada uma das equações do conjunto e anotar a resposta.

Dois ou mais módulos

Vamos resolver a equação:

Não vamos nos preocupar com cada módulo separadamente e abri-lo por definição - haverá muitas opções. Existe uma maneira mais racional - o método do intervalo.

As expressões do módulo desaparecem nos pontos x = 1, x = 2 e x = 3. Esses pontos dividem a reta numérica em quatro intervalos (intervalos). Vamos marcar esses pontos na reta numérica e colocar sinais para cada uma das expressões sob os módulos nos intervalos resultantes. (A ordem dos sinais coincide com a ordem dos módulos correspondentes na equação.)

Assim, precisamos considerar quatro casos – quando x está em cada um dos intervalos.

Caso 1: x ≥ 3. Todos os módulos são removidos “com sinal de mais”:

O valor resultante x = 5 satisfaz a condição x ≥ 3 e é, portanto, a raiz da equação original.

Caso 2: 2 ≤ x ≤ 3. O último módulo agora é removido “com menos”:

O valor resultante de x também é adequado - pertence ao intervalo em consideração.

Caso 3: 1 ≤ x ≤ 2. O segundo e terceiro módulos são removidos “com menos”:

Obtivemos a igualdade numérica correta para qualquer x do intervalo em consideração; elas servem como soluções para esta equação.

Caso 4: x ≤ 1 ≤ 1. O segundo e terceiro módulos são removidos “com menos”:

Nada de novo. Já sabemos que x = 1 é uma solução.

Resposta: ∪ (5).

Módulo dentro de um módulo

Vamos resolver a equação:

Começamos abrindo o módulo interno.

1) x ≤ 3. Obtemos:

A expressão sob o módulo desaparece em. Este ponto pertence ao considerado
entre. Portanto, temos que analisar dois subcasos.

1.1) Neste caso obtemos:

Este valor de x não é adequado porque não pertence ao intervalo em consideração.

1.2). Então:

Este valor de x também não é bom.

Portanto, para x ≤ 3 não há soluções. Passemos ao segundo caso.

2) x ≥ 3. Temos:

Aqui temos sorte: a expressão x + 2 é positiva no intervalo em consideração! Portanto, não haverá mais subcasos: o módulo é removido “com um sinal de mais”:

Este valor de x está no intervalo em consideração e é, portanto, a raiz da equação original.

É assim que todos os problemas deste tipo são resolvidos - abrimos os módulos aninhados um por um, começando pelo interno.