Definição padrão: “Um vetor é um segmento direcionado”. Esta é geralmente a extensão do conhecimento de um graduado sobre vetores. Quem precisa de “segmentos direcionais”?
Mas realmente, o que são vetores e para que servem?
Previsão do tempo. “Vento noroeste, velocidade de 18 metros por segundo.” Concordo, tanto a direção do vento (de onde ele sopra) quanto a magnitude (ou seja, o valor absoluto) de sua velocidade são importantes.
Quantidades que não têm direção são chamadas de escalares. Massa, trabalho, carga elétrica não são direcionados a lugar nenhum. Eles são caracterizados apenas por um valor numérico - “quantos quilogramas” ou “quantos joules”.
As grandezas físicas que possuem não apenas um valor absoluto, mas também uma direção, são chamadas de grandezas vetoriais.
Velocidade, força, aceleração - vetores. Para eles, “quanto” é importante e “onde” é importante. Por exemplo, a aceleração da gravidade é direcionada para a superfície da Terra e seu valor é 9,8 m/s 2. Impulso, intensidade do campo elétrico e indução do campo magnético também são grandezas vetoriais.
Você se lembra que as quantidades físicas são denotadas por letras latinas ou gregas. A seta acima da letra indica que a quantidade é vetorial:
Aqui está outro exemplo.
Um carro se move de A para B. O resultado final é o seu movimento do ponto A ao ponto B, ou seja, movimento por um vetor 
.
Agora está claro porque um vetor é um segmento direcionado. Observe que o final do vetor é onde está a seta. Comprimento do vetoré chamado de comprimento deste segmento. Indicado por: ou
Até agora trabalhamos com grandezas escalares, de acordo com as regras da aritmética e da álgebra elementar. Vetores são um novo conceito. Esta é outra classe de objetos matemáticos. Eles têm suas próprias regras.
Era uma vez que nem sabíamos nada sobre números. Meu conhecimento com eles começou na escola primária. Descobriu-se que os números podem ser comparados entre si, somados, subtraídos, multiplicados e divididos. Aprendemos que existe um número um e um número zero.
Agora somos apresentados aos vetores.
Os conceitos de “mais” e “menos” para vetores não existem - afinal, suas direções podem ser diferentes. Somente comprimentos de vetores podem ser comparados.
Mas existe um conceito de igualdade para vetores.
Igual vetores que têm o mesmo comprimento e a mesma direção são chamados. Isso significa que o vetor pode ser transferido paralelamente a si mesmo para qualquer ponto do plano.
Solteiroé um vetor cujo comprimento é 1. Zero é um vetor cujo comprimento é zero, ou seja, seu início coincide com o fim.
É mais conveniente trabalhar com vetores em um sistema de coordenadas retangulares - o mesmo em que desenhamos gráficos de funções. Cada ponto no sistema de coordenadas corresponde a dois números - suas coordenadas xey, abscissa e ordenada.
O vetor também é especificado por duas coordenadas:
Aqui as coordenadas do vetor são escritas entre parênteses - em x e y.
Eles são encontrados de forma simples: a coordenada do final do vetor menos a coordenada do seu início.
Se as coordenadas do vetor forem fornecidas, seu comprimento será encontrado pela fórmula
Adição de vetor
Existem duas maneiras de adicionar vetores.
1. Regra do paralelogramo. Para somar os vetores e , colocamos as origens de ambos no mesmo ponto. Construímos um paralelogramo e do mesmo ponto traçamos uma diagonal do paralelogramo. Esta será a soma dos vetores e .
Lembra-se da fábula do cisne, do lagostim e do lúcio? Eles tentaram muito, mas nunca moveram o carrinho. Afinal, a soma vetorial das forças aplicadas ao carrinho era igual a zero.
2. A segunda maneira de adicionar vetores é a regra do triângulo. Vamos pegar os mesmos vetores e . Adicionaremos o início do segundo ao final do primeiro vetor. Agora vamos conectar o início do primeiro e o final do segundo. Esta é a soma dos vetores e .
Usando a mesma regra, você pode adicionar vários vetores. Nós os organizamos um após o outro e depois conectamos o início do primeiro ao final do último.
Imagine que você está indo do ponto A ao ponto B, de B para C, de C para D, depois para E e depois para F. O resultado final dessas ações é o movimento de A para F.
Ao adicionar vetores e obtemos:
Subtração vetorial
O vetor é direcionado em direção oposta ao vetor. Os comprimentos dos vetores e são iguais.
Agora está claro o que é subtração vetorial. A diferença do vetor e é a soma do vetor e do vetor .
Multiplicando um vetor por um número
Quando um vetor é multiplicado pelo número k, obtém-se um vetor cujo comprimento é k vezes diferente do comprimento . É codirecional com o vetor se k for maior que zero e oposto se k for menor que zero.
Produto escalar de vetores
Os vetores podem ser multiplicados não apenas por números, mas também entre si.
O produto escalar dos vetores é o produto dos comprimentos dos vetores e do cosseno do ângulo entre eles.
Observe que multiplicamos dois vetores e o resultado foi um escalar, ou seja, um número. Por exemplo, em física, o trabalho mecânico é igual ao produto escalar de dois vetores - força e deslocamento:
Se os vetores forem perpendiculares, seu produto escalar será zero.
E é assim que o produto escalar é expresso através das coordenadas dos vetores e:
A partir da fórmula do produto escalar você pode encontrar o ângulo entre os vetores:
Esta fórmula é especialmente conveniente em estereometria. Por exemplo, no Problema 14 do Exame Estadual Unificado de Perfil em Matemática, você precisa encontrar o ângulo entre as linhas que se cruzam ou entre uma linha reta e um plano. O problema 14 costuma ser resolvido várias vezes mais rápido do que com o método clássico.
No currículo escolar de matemática, apenas o produto escalar de vetores é ensinado.
Acontece que, além do produto escalar, existe também um produto vetorial, quando o resultado da multiplicação de dois vetores é um vetor. Qualquer pessoa que faça o Exame de Estado Unificado em física sabe o que são a força de Lorentz e a força de Ampere. As fórmulas para encontrar essas forças incluem produtos vetoriais.
Os vetores são uma ferramenta matemática muito útil. Você verá isso em seu primeiro ano.
Em primeiro lugar, precisamos entender o próprio conceito de vetor. Para introduzir a definição de vetor geométrico, lembremos o que é um segmento. Vamos apresentar a seguinte definição.
Definição 1
Um segmento é uma parte de uma linha que possui dois limites na forma de pontos.
Um segmento pode ter 2 direções. Para denotar a direção, chamaremos um dos limites do segmento de início e o outro limite de fim. A direção é indicada do início ao fim do segmento.
Definição 2
Um vetor ou segmento direcionado será um segmento para o qual se sabe qual dos limites do segmento é considerado o início e qual é o seu fim.
Designação: Em duas letras: $\overline(AB)$ – (onde $A$ é o seu início e $B$ é o seu fim).
Em uma letra minúscula: $\overline(a)$ (Fig. 1).
Vamos agora introduzir diretamente o conceito de comprimentos vetoriais.
Definição 3
O comprimento do vetor $\overline(a)$ será o comprimento do segmento $a$.
Notação: $|\overline(a)|$
O conceito de comprimento vetorial está associado, por exemplo, a um conceito como a igualdade de dois vetores.
Definição 4
Chamaremos dois vetores de iguais se eles satisfizerem duas condições: 1. São codirecionais; 1. Seus comprimentos são iguais (Fig. 2).
Para definir vetores, insira um sistema de coordenadas e determine as coordenadas do vetor no sistema inserido. Como sabemos, qualquer vetor pode ser decomposto na forma $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, onde $m$ e $n$ são números reais, e $\overline (i )$ e $\overline(j)$ são vetores unitários nos eixos $Ox$ e $Oy$, respectivamente.
Definição 5
Chamaremos os coeficientes de expansão do vetor $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ de coordenadas deste vetor no sistema de coordenadas introduzido. Matematicamente:
$\overline(c)=(m,n)$
Como encontrar o comprimento de um vetor?
Para derivar uma fórmula para calcular o comprimento de um vetor arbitrário dadas suas coordenadas, considere o seguinte problema:
Exemplo 1
Dado: vetor $\overline(α)$ com coordenadas $(x,y)$. Encontre: o comprimento deste vetor.
Vamos introduzir um sistema de coordenadas cartesianas $xOy$ no plano. Deixemos de lado $\overline(OA)=\overline(a)$ das origens do sistema de coordenadas introduzido. Vamos construir as projeções $OA_1$ e $OA_2$ do vetor construído nos eixos $Ox$ e $Oy$, respectivamente (Fig. 3).
O vetor $\overline(OA)$ que construímos será o vetor raio do ponto $A$, portanto, terá coordenadas $(x,y)$, o que significa
$=x$, $[OA_2]=y$
Agora podemos encontrar facilmente o comprimento necessário usando o teorema de Pitágoras, obtemos
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
Resposta: $\sqrt(x^2+y^2)$.
Conclusão: Para encontrar o comprimento de um vetor cujas coordenadas são dadas, é necessário encontrar a raiz do quadrado da soma dessas coordenadas.
Exemplos de tarefas
Exemplo 2
Encontre a distância entre os pontos $X$ e $Y$, que possuem as seguintes coordenadas: $(-1,5)$ e $(7,3)$, respectivamente.
Quaisquer dois pontos podem ser facilmente associados ao conceito de vetor. Considere, por exemplo, o vetor $\overline(XY)$. Como já sabemos, as coordenadas de tal vetor podem ser encontradas subtraindo as coordenadas correspondentes do ponto inicial ($X$) das coordenadas do ponto final ($Y$). Nós entendemos isso
1. Definição de vetor. Comprimento do vetor. Colinearidade, coplanaridade de vetores.
Um vetor é um segmento direcionado. O comprimento ou módulo de um vetor é o comprimento do segmento direcionado correspondente.
Módulo vetorial a denotado por . Vetor aé chamado de unidade se . Os vetores são chamados colineares se forem paralelos à mesma linha. Os vetores são chamados coplanares se forem paralelos ao mesmo plano.
2. Multiplicando um vetor por um número. Propriedades de operação.
Multiplicar um vetor por um número resulta em um vetor de direção oposta que tem o dobro do comprimento. Multiplicar um vetor por um número na forma de coordenadas é feito multiplicando todas as coordenadas por este número:
Com base na definição, obtemos uma expressão para o módulo do vetor multiplicado pelo número:
Semelhante aos números, a operação de adicionar um vetor a si mesmo pode ser escrita através da multiplicação por um número:
E a subtração de vetores pode ser reescrita por meio de adição e multiplicação:
Partindo do fato de que a multiplicação por não altera o comprimento do vetor, mas apenas a direção, e levando em consideração a definição de vetor, obtemos:
3. Adição de vetores, subtração de vetores.
Na representação de coordenadas, o vetor soma é obtido somando as coordenadas correspondentes dos termos:
Para construir geometricamente um vetor soma, várias regras (métodos) são usadas, mas todas dão o mesmo resultado. A utilização de uma ou outra regra é justificada pelo problema a ser resolvido.
Regra do triângulo
A regra do triângulo decorre naturalmente da compreensão de um vetor como uma transferência. É claro que o resultado da aplicação sequencial de duas transferências num determinado ponto será o mesmo que a aplicação de uma transferência de uma só vez que corresponda a esta regra. Para adicionar dois vetores de acordo com a regra triângulo ambos os vetores são transferidos paralelamente a si mesmos, de modo que o início de um deles coincide com o final do outro. Então o vetor soma é dado pelo terceiro lado do triângulo resultante, e seu início coincide com o início do primeiro vetor e seu final com o final do segundo vetor.
Esta regra pode ser generalizada direta e naturalmente para a adição de qualquer número de vetores, transformando-se em regra da linha quebrada:
Regra do polígono
O início do segundo vetor coincide com o final do primeiro, o início do terceiro com o final do segundo e assim por diante, a soma dos vetores é um vetor, com o início coincidindo com o início do primeiro, e o final coincide com o final do th (ou seja, é representado por um segmento direcionado fechando a linha tracejada) . Também chamada de regra da linha quebrada.
Regra do paralelogramo
Para adicionar dois vetores e de acordo com a regra paralelogramo ambos os vetores são transferidos paralelamente entre si para que suas origens coincidam. Então o vetor soma é dado pela diagonal do paralelogramo construído sobre eles, a partir de sua origem comum. (É fácil ver que esta diagonal coincide com o terceiro lado do triângulo quando se utiliza a regra do triângulo).
A regra do paralelogramo é especialmente conveniente quando há necessidade de representar o vetor soma como aplicado imediatamente ao mesmo ponto ao qual ambos os termos são aplicados - isto é, representar todos os três vetores como tendo uma origem comum.
Módulo de soma vetorial
Módulo da soma de dois vetores pode ser calculado usando teorema do cosseno:
Onde está o cosseno do ângulo entre os vetores.
Se os vetores são representados de acordo com a regra do triângulo e o ângulo é obtido de acordo com o desenho - entre os lados do triângulo - que não coincide com a definição usual do ângulo entre os vetores e, portanto, com o ângulo acima fórmula, então o último termo adquire um sinal negativo, que corresponde ao teorema do cosseno em sua formulação direta.
Para a soma de um número arbitrário de vetores uma fórmula semelhante é aplicável, na qual há mais termos com cosseno: existe um desses termos para cada par de vetores do conjunto somado. Por exemplo, para três vetores a fórmula fica assim:
Subtração vetorial
Dois vetores e seu vetor de diferença
Para obter a diferença na forma de coordenadas, é necessário subtrair as coordenadas correspondentes dos vetores:
Para obter um vetor diferença, os inícios dos vetores são conectados e o início do vetor será o fim, e o fim será o fim. Se escrevermos usando pontos vetoriais, então.
Módulo de diferença vetorial
Três vetores, como na adição, formam um triângulo, e a expressão para o módulo de diferença é semelhante:
onde está o cosseno do ângulo entre os vetores
A diferença da fórmula do módulo da soma está no sinal antes do cosseno, neste caso é preciso monitorar cuidadosamente qual ângulo é tomado (a versão da fórmula do módulo da soma com o ângulo entre os lados de um triângulo quando somados de acordo com a regra do triângulo não diferem na forma desta fórmula para o módulo da diferença, mas você precisa ter Observe que ângulos diferentes são tomados aqui: no caso de uma soma, o ângulo é tomado quando o vetor é transferido para o final do vetor; quando um modelo de diferença é procurado, o ângulo entre os vetores aplicado a um ponto é tomado; a expressão para o módulo da soma usando o mesmo ângulo que na dada expressão para o módulo da diferença, difere no sinal antes do cosseno).
| " |
O comprimento do vetor a → será denotado por a → . Essa notação é semelhante ao módulo de um número, portanto o comprimento de um vetor também é chamado de módulo de um vetor.
Para encontrar o comprimento de um vetor em um plano a partir de suas coordenadas, é necessário considerar um sistema de coordenadas cartesianas retangulares O x y. Deixe algum vetor a → com coordenadas a x ser especificado nele; sim. Vamos introduzir uma fórmula para encontrar o comprimento (módulo) do vetor a → através das coordenadas a x e a y.
Vamos traçar o vetor O A → = a → a partir da origem. Vamos definir as projeções correspondentes do ponto A nos eixos coordenados como A x e A y. Agora considere um retângulo O A x A A y com diagonal O A .
Do teorema de Pitágoras segue a igualdade O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , de onde O A = O A x 2 + O A y 2 . A partir da definição já conhecida de coordenadas vetoriais em um sistema de coordenadas cartesianas retangulares, obtemos que O A x 2 = a x 2 e O A y 2 = a y 2 , e por construção, o comprimento de O A é igual ao comprimento do vetor O A → , o que significa O A → = O A x 2 + O A y 2.
A partir disso acontece que fórmula para encontrar o comprimento de um vetor uma → = uma x ; a y tem a forma correspondente: a → = a x 2 + a y 2 .
Se o vetor a → for dado na forma de uma expansão nos vetores coordenados a → = a x i → + a y j →, então seu comprimento pode ser calculado usando a mesma fórmula a → = a x 2 + a y 2, neste caso os coeficientes a x e a y são as coordenadas do vetor a → em um determinado sistema de coordenadas.
Exemplo 1
Calcule o comprimento do vetor a → = 7 ; e, especificado em um sistema de coordenadas retangular.
Solução
Para encontrar o comprimento de um vetor, usaremos a fórmula para encontrar o comprimento de um vetor a partir das coordenadas a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e
Responder: uma → = 49 + e.
Fórmula para encontrar o comprimento de um vetor a → = a x ; um sim; a z a partir de suas coordenadas no sistema de coordenadas cartesianas Oxyz no espaço, é derivado de forma semelhante à fórmula para o caso em um plano (ver figura abaixo)
Neste caso, O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (já que OA é a diagonal de um paralelepípedo retangular), portanto O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . A partir da definição de coordenadas vetoriais podemos escrever as seguintes igualdades O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , e o comprimento OA é igual ao comprimento do vetor que procuramos, portanto, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .
Segue-se que o comprimento do vetor a → = a x ; um sim; a z é igual a a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .
Exemplo 2
Calcule o comprimento do vetor a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , onde i → , j → , k → são os vetores unitários do sistema de coordenadas retangulares.
Solução
A decomposição vetorial a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → é dada, suas coordenadas são a → = 4, - 3, 5. Usando a fórmula acima, obtemos a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2.
Responder: uma → = 5 2 .
Comprimento de um vetor através das coordenadas de seus pontos inicial e final
As fórmulas derivadas acima permitem encontrar o comprimento de um vetor a partir de suas coordenadas. Consideramos casos no plano e no espaço tridimensional. Vamos usá-los para encontrar as coordenadas de um vetor a partir das coordenadas de seus pontos inicial e final.
Assim, pontos com coordenadas dadas A (a x ; a y) e B (b x ; b y) são dados, portanto o vetor A B → tem coordenadas (b x - a x ; b y - a y) o que significa que seu comprimento pode ser determinado pela fórmula: A B → = ( b x - a x) 2 + (b y - a y) 2
E se pontos com coordenadas dadas A (a x ; a y ; a z) e B (b x ; b y ; b z) são dados no espaço tridimensional, então o comprimento do vetor A B → pode ser calculado usando a fórmula
A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2
Exemplo 3
Encontre o comprimento do vetor A B → se no sistema de coordenadas retangulares A 1, 3, B - 3, 1.
Solução
Usando a fórmula para encontrar o comprimento de um vetor a partir das coordenadas dos pontos inicial e final do plano, obtemos A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1 ) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .
A segunda solução envolve a aplicação destas fórmulas sucessivamente: A B → = (- 3 - 1 ; 1 - 3) = (- 4 ; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -
Responder: UMA B → = 20 - 2 3 .
Exemplo 4
Determine em quais valores o comprimento do vetor A B → é igual a 30 se A (0, 1, 2); B (5 , 2 , λ 2) .
Solução
Primeiro, vamos escrever o comprimento do vetor A B → usando a fórmula: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2
Em seguida, igualamos a expressão resultante a 30, a partir daqui encontramos o λ necessário:
26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 e λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2, λ 3 = 0.
Responder: λ 1 = - 2, λ 2 = 2, λ 3 = 0.
Encontrando o comprimento de um vetor usando o teorema do cosseno
Infelizmente, nos problemas as coordenadas do vetor nem sempre são conhecidas, então consideraremos outras maneiras de encontrar o comprimento do vetor.
Sejam dados os comprimentos de dois vetores A B → , A C → e o ângulo entre eles (ou o cosseno do ângulo), e você precisa encontrar o comprimento do vetor B C → ou C B → . Neste caso, deve-se usar o teorema do cosseno no triângulo △ A B C e calcular o comprimento do lado B C, que é igual ao comprimento desejado do vetor.
Vamos considerar este caso usando o exemplo a seguir.
Exemplo 5
Os comprimentos dos vetores A B → e A C → são 3 e 7, respectivamente, e o ângulo entre eles é π 3. Calcule o comprimento do vetor B C → .
Solução
O comprimento do vetor B C → neste caso é igual ao comprimento do lado B C do triângulo △ A B C . Os comprimentos dos lados AB e AC do triângulo são conhecidos a partir da condição (eles são iguais aos comprimentos dos vetores correspondentes), o ângulo entre eles também é conhecido, então podemos usar o teorema do cosseno: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B, → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Assim, B C → = 37 .
Responder: B C → = 37 .
Portanto, para encontrar o comprimento de um vetor a partir de coordenadas, existem as seguintes fórmulas a → = a x 2 + a y 2 ou a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , a partir das coordenadas dos pontos inicial e final do vetor A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 ou A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, em alguns casos o teorema do cosseno deve ser usado .
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Oxi
SOBRE A OA.
, onde 
OA 
.
Por isso, 
.
Vejamos um exemplo.
Exemplo.
Solução.
:
Responder:
Oxyz no espaço.
A OA será uma diagonal.
Neste caso (desde OA 
OA 
.
Por isso, comprimento do vetor 
.
Exemplo.
Calcular o comprimento do vetor 
Solução.
, por isso, 
Responder:
Linha reta em um avião
Equação geral
Machado + Por + C ( > 0).
Vetor = (A;B)é um vetor normal.
Em forma vetorial: + C = 0, onde é o vetor raio de um ponto arbitrário em uma linha (Fig. 4.11).
Casos especiais:
1) Por + C = 0- linha reta paralela ao eixo Boi;
2) Machado + C = 0- linha reta paralela ao eixo Oi;
3) Machado + Por = 0- a reta passa pela origem;
4) y = 0- eixo Boi;
5) x = 0- eixo Oi.
Equação de uma reta em segmentos
Onde um, b- os valores dos segmentos cortados pela reta nos eixos coordenados.
Equação normal de uma reta(Fig. 4.11)
onde é o ângulo formado normal à linha e ao eixo Boi; p- a distância da origem à linha reta.
Reduzindo a equação geral de uma linha reta à forma normal:
Aqui está o fator normalizado da linha; o sinal é escolhido oposto ao sinal C, se e arbitrariamente, se C=0.
Encontrar o comprimento de um vetor a partir de coordenadas.
Denotaremos o comprimento do vetor por . Devido a esta notação, o comprimento de um vetor é frequentemente chamado de módulo do vetor.
Vamos começar encontrando o comprimento de um vetor em um plano usando coordenadas.
Vamos introduzir um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no plano Oxi. Deixe um vetor ser especificado nele e ter coordenadas . Obtemos uma fórmula que nos permite encontrar o comprimento de um vetor através das coordenadas e .
Vamos adiar a partir da origem das coordenadas (do ponto SOBRE) vetor . Vamos denotar as projeções do ponto A nos eixos coordenados como e respectivamente e considere um retângulo com uma diagonal OA.
Em virtude do teorema de Pitágoras, a igualdade , onde . A partir da definição de coordenadas vetoriais em um sistema de coordenadas retangulares, podemos afirmar que e, e por construção o comprimento OA igual ao comprimento do vetor, portanto, .
Por isso, fórmula para encontrar o comprimento de um vetor de acordo com suas coordenadas no plano tem a forma .
Se o vetor for representado como uma decomposição em vetores coordenados , então seu comprimento é calculado usando a mesma fórmula , pois neste caso os coeficientes e são as coordenadas do vetor em um determinado sistema de coordenadas.
Vejamos um exemplo.
Exemplo.
Encontre o comprimento do vetor dado no sistema de coordenadas cartesianas.
Solução.
Aplicamos imediatamente a fórmula para encontrar o comprimento do vetor a partir das coordenadas :
Responder:
Agora obtemos a fórmula para encontrar o comprimento do vetor por suas coordenadas em um sistema de coordenadas retangular Oxyz no espaço.
Vamos traçar o vetor da origem e denotar as projeções do ponto A nos eixos coordenados como e . Então podemos construir um paralelepípedo retangular nas laterais, no qual OA será uma diagonal.
Neste caso (desde OA– diagonal de um paralelepípedo retangular), de onde . Determinar as coordenadas de um vetor nos permite escrever igualdades, e o comprimento OA igual ao comprimento do vetor desejado, portanto, .
Por isso, comprimento do vetor no espaço é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados de suas coordenadas, isto é, encontrado pela fórmula .
Exemplo.
Calcular o comprimento do vetor , onde estão os vetores unitários do sistema de coordenadas retangulares.
Solução.
Recebemos uma decomposição vetorial em vetores coordenados da forma , por isso, . Então, usando a fórmula para encontrar o comprimento de um vetor a partir de coordenadas, temos.
