Nesta página você encontrará:

1. Na verdade, a tabela de antiderivadas - pode ser baixada em formato PDF e impressa;

2. Vídeo de como utilizar esta tabela;

3. Vários exemplos de cálculo da antiderivada de vários livros e testes.

No vídeo em si, analisaremos muitos problemas onde é necessário calcular primitivas de funções, muitas vezes bastante complexas, mas o mais importante, não são funções de potência. Todas as funções resumidas na tabela proposta acima devem ser conhecidas de cor, como as derivadas. Sem eles, é impossível um estudo mais aprofundado das integrais e sua aplicação para resolver problemas práticos.

Hoje continuamos a estudar as primitivas e passamos para um tópico um pouco mais complexo. Se da última vez olhamos para primitivas apenas de funções de potência e construções um pouco mais complexas, hoje veremos trigonometria e muito mais.

Como disse na última lição, as antiderivadas, ao contrário das derivadas, nunca são resolvidas “imediatamente” utilizando quaisquer regras padrão. Além disso, a má notícia é que, ao contrário da derivada, a antiderivada pode nem sequer ser considerada. Se escrevermos uma função completamente aleatória e tentarmos encontrar sua derivada, então com uma probabilidade muito alta teremos sucesso, mas a antiderivada quase nunca será calculada neste caso. Mas há boas notícias: existe uma classe bastante grande de funções chamadas funções elementares, cujas primitivas são muito fáceis de calcular. E todas as outras estruturas mais complexas que são dadas em todos os tipos de provas, provas e exames independentes, na verdade, são constituídas por essas funções elementares por meio de adição, subtração e outras ações simples. Os protótipos de tais funções há muito são calculados e compilados em tabelas especiais. São com essas funções e tabelas que trabalharemos hoje.

Mas começaremos, como sempre, com uma repetição: vamos lembrar o que é uma antiderivada, por que existem infinitas delas e como determinar a sua aparência geral. Para fazer isso, peguei dois problemas simples.

Resolvendo exemplos fáceis

Exemplo 1

Notemos imediatamente que $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ e em geral a presença de $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ nos sugere imediatamente que a antiderivada necessária da função está relacionada à trigonometria. E, de fato, se olharmos para a tabela, descobriremos que $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ nada mais é do que $\text(arctg)x$. Então vamos anotar:

Para encontrar, você precisa anotar o seguinte:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Exemplo nº 2

Também estamos falando de funções trigonométricas aqui. Se olharmos para a tabela, então, de fato, é isso que acontece:

Precisamos encontrar dentre todo o conjunto de antiderivadas aquela que passa pelo ponto indicado:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Vamos finalmente escrever:

É simples assim. O único problema é que para calcular antiderivadas de funções simples, você precisa aprender uma tabela de antiderivadas. Porém, depois de estudar a tabela de derivadas para você, acho que isso não será um problema.

Resolvendo problemas contendo uma função exponencial

Para começar, vamos escrever as seguintes fórmulas:

\[((e)^(x))\para ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Vamos ver como tudo isso funciona na prática.

Exemplo 1

Se olharmos o conteúdo dos colchetes, notaremos que na tabela de antiderivadas não existe tal expressão para $((e)^(x))$ estar em um quadrado, então este quadrado deve ser expandido. Para fazer isso, usamos as fórmulas de multiplicação abreviadas:

Vamos encontrar a antiderivada para cada um dos termos:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Agora vamos reunir todos os termos em uma única expressão e obter a antiderivada geral:

Exemplo nº 2

Desta vez o grau é maior, então a fórmula abreviada de multiplicação será bastante complexa. Então vamos abrir os colchetes:

Agora vamos tentar extrair a antiderivada da nossa fórmula a partir desta construção:

Como você pode ver, não há nada complicado ou sobrenatural nas primitivas da função exponencial. Todos eles são calculados através de tabelas, mas estudantes atentos provavelmente notarão que a antiderivada $((e)^(2x))$ está muito mais próxima de simplesmente $((e)^(x))$ do que de $((a )^(x ))$. Então, talvez exista alguma regra mais especial que permita, conhecendo a antiderivada $((e)^(x))$, encontrar $((e)^(2x))$? Sim, tal regra existe. E, além disso, é parte integrante do trabalho com a tabela de antiderivadas. Vamos agora analisá-lo usando as mesmas expressões que acabamos de trabalhar como exemplo.

Regras para trabalhar com a tabela de antiderivadas

Vamos escrever nossa função novamente:

No caso anterior, usamos a seguinte fórmula para resolver:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Mas agora vamos fazer isso de forma um pouco diferente: vamos lembrar em que base $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Como já disse, porque a derivada $((e)^(x))$ nada mais é do que $((e)^(x))$, portanto sua antiderivada será igual ao mesmo $((e) ^ (x))$. Mas o problema é que temos $((e)^(2x))$ e $((e)^(-2x))$. Agora vamos tentar encontrar a derivada de $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Vamos reescrever nossa construção novamente:

\[((\esquerda(((e)^(2x)) \direita))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

Isso significa que quando encontramos a antiderivada $((e)^(2x))$ obtemos o seguinte:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Como você pode ver, obtivemos o mesmo resultado de antes, mas não usamos a fórmula para encontrar $((a)^(x))$. Agora, isso pode parecer estúpido: por que complicar os cálculos quando existe uma fórmula padrão? No entanto, em expressões um pouco mais complexas você descobrirá que esta técnica é muito eficaz, ou seja, usando derivadas para encontrar antiderivadas.

Como aquecimento, vamos encontrar a antiderivada de $((e)^(2x))$ de maneira semelhante:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

Ao calcular, nossa construção será escrita da seguinte forma:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Obtivemos exatamente o mesmo resultado, mas seguimos um caminho diferente. É este caminho, que agora nos parece um pouco mais complicado, que no futuro se revelará mais eficaz para calcular antiderivadas mais complexas e utilizar tabelas.

Observação! Este é um ponto muito importante: as antiderivadas, assim como as derivadas, podem ser contadas de muitas maneiras diferentes. Porém, se todos os cálculos e cálculos forem iguais, a resposta será a mesma. Acabamos de ver isso com o exemplo de $((e)^(-2x))$ - por um lado, calculamos essa antiderivada “direto”, usando a definição e calculando-a usando transformações, por outro lado, lembramos que $ ((e)^(-2x))$ pode ser representado como $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ e só então usamos a antiderivada para a função $( (a)^(x))$. Porém, depois de todas as transformações, o resultado foi o mesmo, como esperado.

E agora que entendemos tudo isso, é hora de passar para algo mais significativo. Agora analisaremos duas construções simples, mas a técnica que será utilizada para resolvê-las é uma ferramenta mais poderosa e útil do que simplesmente “correr” entre antiderivadas vizinhas da tabela.

Resolução de problemas: encontrando a antiderivada de uma função

Exemplo 1

Vamos dividir o valor que está nos numeradores em três frações separadas:

Esta é uma transição bastante natural e compreensível - a maioria dos alunos não tem problemas com isso. Vamos reescrever nossa expressão da seguinte forma:

Agora vamos lembrar esta fórmula:

No nosso caso obteremos o seguinte:

Para se livrar de todas essas frações de três andares, sugiro fazer o seguinte:

Exemplo nº 2

Ao contrário da fração anterior, o denominador não é um produto, mas sim uma soma. Neste caso, não podemos mais dividir nossa fração na soma de várias frações simples, mas devemos de alguma forma tentar garantir que o numerador contenha aproximadamente a mesma expressão que o denominador. Neste caso, é bastante simples fazer isso:

Esta notação, que em linguagem matemática é chamada de “adicionar um zero”, nos permitirá dividir novamente a fração em duas partes:

Agora vamos encontrar o que estávamos procurando:

Esses são todos os cálculos. Apesar da aparente maior complexidade do que no problema anterior, a quantidade de cálculos revelou-se ainda menor.

Nuances da solução

E é aí que reside a principal dificuldade de trabalhar com antiderivadas tabulares, isso é especialmente perceptível na segunda tarefa. O fato é que para selecionar alguns elementos que são facilmente calculados através da tabela, precisamos saber exatamente o que procuramos, e é na busca desses elementos que consiste todo o cálculo das antiderivadas.

Ou seja, não basta apenas memorizar a tabela de antiderivadas - é preciso conseguir ver algo que ainda não existe, mas sim o que quis dizer o autor e compilador deste problema. É por isso que muitos matemáticos, professores e professores argumentam constantemente: “O que é tomar antiderivadas ou integração - é apenas uma ferramenta ou é uma verdadeira arte?” Na verdade, na minha opinião pessoal, a integração não é de todo uma arte - não há nada de sublime nela, é apenas prática e mais prática. E para praticar, vamos resolver mais três exemplos sérios.

Treinamos em integração na prática

Tarefa nº 1

Vamos escrever as seguintes fórmulas:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Vamos escrever o seguinte:

Problema nº 2

Vamos reescrevê-lo da seguinte forma:

A antiderivada total será igual a:

Problema nº 3

A dificuldade desta tarefa é que, ao contrário das funções anteriores acima, não existe nenhuma variável $x$, ou seja, não está claro para nós o que adicionar ou subtrair para obter pelo menos algo semelhante ao que está abaixo. Porém, na verdade, esta expressão é considerada ainda mais simples do que qualquer uma das expressões anteriores, porque esta função pode ser reescrita da seguinte forma:

Agora você pode perguntar: por que essas funções são iguais? Vamos checar:

Vamos reescrever novamente:

Vamos transformar um pouco nossa expressão:

E quando explico tudo isso aos meus alunos, quase sempre surge o mesmo problema: com a primeira função tudo fica mais ou menos claro, com a segunda você também consegue descobrir com sorte ou prática, mas que tipo de consciência alternativa você precisa ter para resolver o terceiro exemplo? Na verdade, não tenha medo. A técnica que usamos ao calcular a última antiderivada é chamada de “decomposição de uma função na mais simples”, e esta é uma técnica muito séria, e uma vídeo-aula separada será dedicada a ela.

Entretanto, proponho voltar ao que acabamos de estudar, nomeadamente, às funções exponenciais e complicar um pouco os problemas com o seu conteúdo.

Problemas mais complexos para resolver funções exponenciais antiderivadas

Tarefa nº 1

Observemos o seguinte:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Para encontrar a antiderivada desta expressão, basta usar a fórmula padrão - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

No nosso caso, a antiderivada será assim:

Claro, comparado ao design que acabamos de resolver, este parece mais simples.

Problema nº 2

Novamente, é fácil ver que esta função pode ser facilmente dividida em dois termos separados – duas frações separadas. Vamos reescrever:

Resta encontrar a antiderivada de cada um desses termos usando a fórmula descrita acima:

Apesar da aparente maior complexidade das funções exponenciais em comparação com as funções de potência, o volume geral de cálculos e cálculos revelou-se muito mais simples.

É claro que, para estudantes experientes, o que acabamos de discutir (especialmente no contexto do que discutimos antes) pode parecer expressões elementares. Porém, ao escolher esses dois problemas para a videoaula de hoje, não me propus a contar a vocês outra técnica complexa e sofisticada - tudo o que queria mostrar é que você não deve ter medo de usar técnicas de álgebra padrão para transformar funções originais .

Usando uma técnica "secreta"

Para concluir, gostaria de abordar outra técnica interessante, que, por um lado, vai além do que discutimos principalmente hoje, mas, por outro lado, não é, em primeiro lugar, nada complicada, ou seja, Mesmo estudantes iniciantes podem dominá-lo e, em segundo lugar, é frequentemente encontrado em todos os tipos de testes e trabalhos independentes, ou seja, o conhecimento dele será muito útil além do conhecimento da tabela de antiderivadas.

Tarefa nº 1

Obviamente, temos algo muito semelhante a uma função potência. O que devemos fazer neste caso? Vamos pensar sobre isso: $x-5$ não é muito diferente de $x$ - eles apenas adicionaram $-5$. Vamos escrever assim:

\[((x)^(4))\para \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Vamos tentar encontrar a derivada de $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Isso implica:

\[((\esquerda(x-5 \direita))^(4))=((\esquerda(\frac(((\esquerda(x-5 \direita))^(5)))(5) \ direita))^(\prime ))\]

Não existe tal valor na tabela, portanto, agora derivamos esta fórmula utilizando a fórmula antiderivada padrão para uma função de potência. Vamos escrever a resposta assim:

Problema nº 2

Muitos estudantes que olham para a primeira solução podem pensar que tudo é muito simples: basta substituir $x$ na função de potência por uma expressão linear e tudo se encaixará. Infelizmente nem tudo é tão simples e agora veremos isso.

Por analogia com a primeira expressão, escrevemos o seguinte:

\[((x)^(9))\para \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\esquerda(4-3x \direita))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Voltando à nossa derivada, podemos escrever:

\[((\esquerda(((\esquerda(4-3x \direita))^(10)) \direita))^(\prime ))=-30\cdot ((\esquerda(4-3x \direita) )^(9))\]

\[((\esquerda(4-3x \direita))^(9))=((\esquerda(\frac(((\esquerda(4-3x \direita))^(10)))(-30) \direita))^(\prime ))\]

Isto segue imediatamente:

Nuances da solução

Observação: se nada mudou essencialmente da última vez, no segundo caso, em vez de $-10$, apareceu $-30$. Qual é a diferença entre $-10$ e $-30$? Obviamente, por um fator de $-3$. Pergunta: de onde veio? Se você olhar com atenção, verá que ela foi obtida como resultado do cálculo da derivada de uma função complexa - o coeficiente que estava em $x$ aparece na antiderivada abaixo. Esta é uma regra muito importante, que inicialmente não planejei discutir na videoaula de hoje, mas sem ela a apresentação das antiderivadas tabulares ficaria incompleta.

Então vamos fazer isso de novo. Seja nossa principal função de poder:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Agora, em vez de $x$, vamos substituir a expressão $kx+b$. O que acontecerá então? Precisamos encontrar o seguinte:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \direita)\cponto k)\]

Com base em que afirmamos isso? Muito simples. Vamos encontrar a derivada da construção escrita acima:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\esquerda(kx+b \direita))^(n))\]

Esta é a mesma expressão que existia originalmente. Assim, esta fórmula também está correta, podendo ser utilizada para complementar a tabela de antiderivadas, ou é melhor simplesmente memorizar a tabela inteira.

Conclusões do “segredo: técnica:

• Ambas as funções que acabamos de ver podem, de fato, ser reduzidas às antiderivadas indicadas na tabela expandindo os graus, mas se pudermos mais ou menos de alguma forma lidar com o quarto grau, então eu não faria o nono grau em todos se atreveram a revelar.
• Se ampliássemos os graus, teríamos um volume tão grande de cálculos que uma tarefa simples nos levaria um tempo inapropriadamente grande.
• É por isso que tais problemas, que contêm expressões lineares, não precisam ser resolvidos “precipitadamente”. Assim que você encontrar uma antiderivada que difere daquela da tabela apenas pela presença da expressão $kx+b$ dentro, lembre-se imediatamente da fórmula escrita acima, substitua-a em sua antiderivada de tabela, e tudo ficará muito bem mais rápido e fácil.

Naturalmente, devido à complexidade e seriedade desta técnica, voltaremos a considerá-la muitas vezes em futuras videoaulas, mas por hoje é tudo. Espero que esta lição realmente ajude os alunos que desejam compreender antiderivadas e integração.

A integração é uma das principais operações da análise matemática. Tabelas de antiderivadas conhecidas podem ser úteis, mas agora, após o advento dos sistemas de álgebra computacional, elas estão perdendo seu significado. Abaixo está uma lista das primitivas mais comuns.

Tabela de integrais básicas

Outra opção compacta

Tabela de integrais de funções trigonométricas

De funções racionais

De funções irracionais

Integrais de funções transcendentais

"C" é uma constante de integração arbitrária, que é determinada se o valor da integral em qualquer ponto for conhecido. Cada função possui um número infinito de primitivas.

A maioria das crianças em idade escolar e dos estudantes tem problemas para calcular integrais. Esta página contém tabelas integrais a partir de funções trigonométricas, racionais, irracionais e transcendentais que ajudarão na solução. Uma tabela de derivadas também irá ajudá-lo.

Vídeo - como encontrar integrais

Se você não entende muito bem esse assunto, assista ao vídeo, que explica tudo detalhadamente.

Tabela de antiderivadas ("integrais"). Tabela de integrais. Integrais indefinidas tabulares. (As integrais mais simples e integrais com parâmetro). Fórmulas de integração por partes. Fórmula de Newton-Leibniz.

Tabela de antiderivadas ("integrais"). Integrais indefinidas tabulares. (As integrais mais simples e integrais com parâmetro).
Integral de uma função potência.	Integral de uma função potência.
Uma integral que se reduz à integral de uma função de potência se x for conduzido sob o sinal diferencial.
	Integral de uma exponencial, onde a é um número constante.
Integral de uma função exponencial complexa.	Integral de uma função exponencial.
Uma integral igual ao logaritmo natural.	Integral: "Logaritmo longo".
	Integral: "Logaritmo longo".
Integral: "Logaritmo alto".	Uma integral, onde x no numerador é colocado sob o sinal diferencial (a constante sob o sinal pode ser adicionada ou subtraída), é em última análise semelhante a uma integral igual ao logaritmo natural.
Integral: "Logaritmo alto".
Cosseno integral.	Integral seno.
Integral igual à tangente.	Integral igual à cotangente.
Integral igual a arco seno e arco cosseno
Uma integral igual ao arco seno e ao arco cosseno.	Uma integral igual ao arco tangente e ao arco tangente.
Integral igual a cossecante.	Integral igual à secante.
Integral igual ao arco secante.	Integral igual ao arcossecante.
Integral igual ao arco secante.	Integral igual ao arco secante.
Integral igual ao seno hiperbólico.	Integral igual ao cosseno hiperbólico.
Integral igual ao seno hiperbólico, onde sinhx é o seno hiperbólico na versão inglesa.	Integral igual ao cosseno hiperbólico, onde sinhx é o seno hiperbólico na versão em inglês.
Integral igual à tangente hiperbólica.	Integral igual à cotangente hiperbólica.
Integral igual à secante hiperbólica.	Integral igual à cossecante hiperbólica.

Fórmulas de integração por partes. Regras de integração.

Fórmulas de integração por partes. Fórmula de Newton-Leibniz.Regras de integração.
Integrando um produto (função) por uma constante:
Integrando a soma das funções:
integrais indefinidas:
Fórmula para integração por partes integrais definidas:
Fórmula de Newton-Leibniz integrais definidas:	Onde F(a),F(b) são os valores das antiderivadas nos pontos b e a, respectivamente.

Tabela de derivadas. Derivadas tabulares. Derivado do produto. Derivada do quociente. Derivada de uma função complexa.

Se x for uma variável independente, então:

Tabela de derivadas. Derivadas tabulares."derivada de tabela" - ​​sim, infelizmente, é exatamente assim que são pesquisadas na Internet
	Derivada de uma função de potência
	Derivada do expoente
Derivada de uma função exponencial complexa	Derivada da função exponencial
Derivada de uma função logarítmica	Derivada do logaritmo natural
	Derivada do logaritmo natural de uma função
Derivada do seno	Derivada de cosseno
Derivado de cossecante	Derivada de uma secante
Derivada de arco seno	Derivada do arco cosseno
Derivada de arco seno	Derivada do arco cosseno
Derivada tangente	Derivada de cotangente
Derivada de arco tangente	Derivada do arco cotangente
Derivada de arco tangente	Derivada do arco cotangente
Derivada de arco secante	Derivado de arcossecante
Derivada de arco secante	Derivado de arcossecante
Derivada do seno hiperbólico Derivada do seno hiperbólico na versão em inglês	Derivada do cosseno hiperbólico Derivada do cosseno hiperbólico na versão em inglês
Derivada da tangente hiperbólica	Derivada da cotangente hiperbólica
Derivada da secante hiperbólica	Derivada da cossecante hiperbólica

Regras de diferenciação. Derivado do produto. Derivada do quociente. Derivada de uma função complexa.
Derivada de um produto (função) por uma constante:
Derivada da soma (funções):
Derivada do produto (funções):
Derivada do quociente (de funções):
Derivada de uma função complexa:

Propriedades dos logaritmos. Fórmulas básicas para logaritmos. Logaritmos decimais (lg) e naturais (ln).

Identidade logarítmica básica
Vamos mostrar como qualquer função da forma a b pode ser tornada exponencial. Como uma função da forma e x é chamada de exponencial, então
Qualquer função da forma a b pode ser representada como uma potência de dez

Logaritmo natural ln (logaritmo na base e = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Série Taylor. Expansão em série de Taylor de uma função.

Acontece que a maioria praticamente encontrado funções matemáticas podem ser representadas com qualquer precisão nas proximidades de um determinado ponto na forma de séries de potências contendo potências de uma variável em ordem crescente. Por exemplo, nas proximidades do ponto x=1:

Ao usar séries chamadas Linhas de Taylor funções mistas contendo, digamos, funções algébricas, trigonométricas e exponenciais podem ser expressas como funções puramente algébricas. Usando séries, muitas vezes você pode realizar diferenciação e integração rapidamente.

A série de Taylor na vizinhança do ponto a tem a forma:

1) , onde f(x) é uma função que possui derivadas de todas as ordens em x = a. R n - o termo restante da série de Taylor é determinado pela expressão

2)

O k-ésimo coeficiente (em x k) da série é determinado pela fórmula

3) Um caso especial da série Taylor é a série Maclaurin (=McLaren) (a expansão ocorre em torno do ponto a=0)

em a = 0

membros da série são determinados pela fórmula

Condições para usar a série de Taylor.

1. Para que a função f(x) seja expandida em uma série de Taylor no intervalo (-R;R), é necessário e suficiente que o termo restante na fórmula de Taylor (Maclaurin (=McLaren)) para este a função tende a zero quando k →∞ no intervalo especificado (-R;R).

2. É necessário que existam derivadas para uma determinada função no ponto nas proximidades do qual construiremos a série de Taylor.

Propriedades da série de Taylor.

Se f é uma função analítica, então sua série de Taylor em qualquer ponto a no domínio de definição de f converge para f em alguma vizinhança de a.

Existem funções infinitamente diferenciáveis ​​​​cuja série de Taylor converge, mas ao mesmo tempo difere da função em qualquer vizinhança de a. Por exemplo:

As séries de Taylor são utilizadas na aproximação (aproximação é um método científico que consiste em substituir alguns objetos por outros, em um sentido ou outro próximos aos originais, mas mais simples) de uma função por polinômios. Em particular, a linearização ((de linearis - linear), um dos métodos de representação aproximada de sistemas não lineares fechados, em que o estudo de um sistema não linear é substituído pela análise de um sistema linear, em certo sentido equivalente ao original .) equações ocorre expandindo-se em uma série de Taylor e eliminando todos os termos acima de primeira ordem.

Assim, quase qualquer função pode ser representada como um polinômio com uma determinada precisão.

Exemplos de algumas expansões comuns de funções de potência nas séries de Maclaurin (=McLaren, Taylor nas proximidades do ponto 0) e Taylor nas proximidades do ponto 1. Os primeiros termos de expansões das funções principais nas séries de Taylor e McLaren.

Exemplos de algumas expansões comuns de funções de potência nas séries de Maclaurin (=McLaren, Taylor nas proximidades do ponto 0)

Exemplos de algumas expansões comuns da série de Taylor nas proximidades do ponto 1

Listamos as integrais de funções elementares, às vezes chamadas de tabulares:

Qualquer uma das fórmulas acima pode ser provada calculando a derivada do lado direito (o resultado será o integrando).

Métodos de integração

Vejamos alguns métodos básicos de integração. Esses incluem:

1. Método de decomposição(integração direta).

Este método baseia-se no uso direto de integrais tabulares, bem como no uso das propriedades 4 e 5 da integral indefinida (ou seja, retirando o fator constante dos colchetes e/ou representando o integrando como uma soma de funções - decomposição do integrando em termos).

Exemplo 1. Por exemplo, para encontrar(dx/x 4) você pode usar diretamente a integral da tabela parax n dx. Na verdade,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Exemplo 2. Para encontrá-lo, usamos a mesma integral:

Exemplo 3. Para encontrá-lo você precisa pegar

Exemplo 4. Para encontrar, representamos a função integrando na forma e use a integral da tabela para a função exponencial:

Vamos considerar o uso de colchetes como um fator constante.

Exemplo 5.Vamos encontrar, por exemplo . Considerando isso, obtemos

Exemplo 6. Nós vamos encontrar. Porque o , vamos usar a integral da tabela Nós temos

Nos dois exemplos a seguir, você também pode usar colchetes e integrais de tabela:

Exemplo 7.

(usamos e );

Exemplo 8.

(nós usamos E ).

Vejamos exemplos mais complexos que usam a integral da soma.

Exemplo 9. Por exemplo, vamos encontrar
. Para aplicar o método de expansão no numerador, usamos a fórmula da soma cúbica  e, a seguir, dividimos o polinômio resultante pelo denominador, termo por termo.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Deve-se notar que no final da solução é escrita uma constante comum C (e não separadas na integração de cada termo). No futuro, propõe-se também omitir as constantes da integração dos termos individuais no processo de solução, desde que a expressão contenha pelo menos uma integral indefinida (escreveremos uma constante no final da solução).

Exemplo 10. Nós vamos encontrar . Para resolver este problema, vamos fatorar o numerador (depois disso podemos reduzir o denominador).

Exemplo 11. Nós vamos encontrar. Identidades trigonométricas podem ser usadas aqui.

Às vezes, para decompor uma expressão em termos, é necessário usar técnicas mais complexas.

Exemplo 12. Nós vamos encontrar . No integrando selecionamos toda a parte da fração . Então

Exemplo 13. Nós vamos encontrar

2. Método de substituição de variável (método de substituição)

O método é baseado na seguinte fórmula: f(x)dx=f((t))`(t)dt, onde x =(t) é uma função diferenciável no intervalo em consideração.

Prova. Vamos encontrar as derivadas em relação à variável t nos lados esquerdo e direito da fórmula.

Observe que no lado esquerdo existe uma função complexa cujo argumento intermediário é x = (t). Portanto, para diferenciá-la em relação a t, primeiro diferenciamos a integral em relação a x e depois tomamos a derivada do argumento intermediário em relação a t.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Derivada do lado direito:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Como estas derivadas são iguais, por corolário do teorema de Lagrange, os lados esquerdo e direito da fórmula que está sendo provada diferem por uma certa constante. Como as próprias integrais indefinidas são definidas até um termo constante indefinido, esta constante pode ser omitida da notação final. Comprovado.

Uma mudança bem-sucedida de variável permite simplificar a integral original e, nos casos mais simples, reduzi-la a uma integral tabular. Na aplicação deste método, é feita uma distinção entre métodos de substituição lineares e não lineares.

a) Método de substituição linear Vejamos um exemplo.

Exemplo 1.
. Seja t= 1 – 2x, então

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Deve-se notar que a nova variável não precisa ser escrita explicitamente. Nesses casos, fala-se em transformar uma função sob sinal diferencial ou em introduzir constantes e variáveis ​​​​sob sinal diferencial, ou seja, Ó substituição de variável implícita.

Exemplo 2. Por exemplo, vamos encontrarcos(3x + 2)dx. Pelas propriedades do diferencial dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), entãocos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2) 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sen(3x + 2) +C.

Em ambos os exemplos considerados, a substituição linear t=kx+b(k0) foi usada para encontrar as integrais.

No caso geral, o seguinte teorema é válido.

Teorema da substituição linear. Seja F(x) alguma antiderivada da função f(x). Entãof(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, onde k e b são algumas constantes,k0.

Prova.

Pela definição da integral f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Vamos retirar o fator constante k do sinal integral: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. Agora podemos dividir os lados esquerdo e direito da igualdade em dois e obter a afirmação a ser provada até a designação do termo constante.

Este teorema afirma que se na definição da integral f(x)dx= F(x) + C em vez do argumento x substituirmos a expressão (kx+b), isso levará ao aparecimento de um adicional fator 1/k na frente da antiderivada.

Usando o teorema comprovado, resolvemos os seguintes exemplos.

Exemplo 3.

Nós vamos encontrar . Aqui kx+b= 3 –x, ou seja, k= -1,b= 3. Então

Exemplo 4.

Nós vamos encontrar. Aquikx+b= 4x+ 3, ou seja, k= 4,b= 3. Então

Exemplo 5.

Nós vamos encontrar . Aqui kx+b= -2x+ 7, ou seja, k= -2,b= 7. Então

.

Exemplo 6. Nós vamos encontrar
. Aqui kx+b= 2x+ 0, ou seja, k= 2,b= 0.

.

Comparemos o resultado obtido com o exemplo 8, que foi resolvido pelo método de decomposição. Resolvendo o mesmo problema usando um método diferente, obtivemos a resposta
. Vamos comparar os resultados: Assim, essas expressões diferem umas das outras por um termo constante , ou seja As respostas recebidas não se contradizem.

Exemplo 7. Nós vamos encontrar
. Vamos selecionar um quadrado perfeito no denominador.

Em alguns casos, alterar uma variável não reduz a integral diretamente a uma integral tabular, mas pode simplificar a solução, possibilitando a utilização do método de expansão numa etapa subsequente.

Exemplo 8. Por exemplo, vamos encontrar . Substitua t=x+ 2, então dt=d(x+ 2) =dx. Então

,

onde C = C 1 – 6 (ao substituir a expressão (x+ 2) em vez dos dois primeiros termos obtemos ½x 2 -2x– 6).

Exemplo 9. Nós vamos encontrar
. Seja t= 2x+ 1, então dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2.

Vamos substituir a expressão (2x+ 1) por t, abrir os colchetes e dar outros semelhantes.

Observe que no processo de transformações passamos para outro termo constante, porque o grupo de termos constantes poderia ser omitido durante o processo de transformação.

b) Método de substituição não linear Vejamos um exemplo.

Exemplo 1.
. Lett= -x 2. A seguir, poderíamos expressar x em termos de t, então encontrar uma expressão para dx e implementar uma mudança de variável na integral desejada. Mas neste caso é mais fácil fazer as coisas de forma diferente. Vamos encontrardt=d(-x 2) = -2xdx. Observe que a expressão xdx é um fator do integrando da integral desejada. Vamos expressá-lo a partir da igualdade resultantexdx= - ½dt. Então

=  (- ½)e t dt = (- ½) e t dt = (- ½)e t + C = (- ½)
+C

Vejamos mais alguns exemplos.

Exemplo 2. Nós vamos encontrar . Seja t= 1 -x 2 . Então

Exemplo 3. Nós vamos encontrar . Deixe=. Então

;

Exemplo 4. No caso de substituição não linear, também é conveniente usar substituição implícita de variáveis.

Por exemplo, vamos encontrar
. Vamos escrever xdx= = (-1/4)d(3 - 2x 2) (implicitamente substituído pela variável t= 3 - 2x 2). Então

Exemplo 5. Nós vamos encontrar . Aqui também introduzimos uma variável sob o sinal diferencial: (substituição implícita = 3 + 5x 3). Então

Exemplo 6. Nós vamos encontrar . Porque o ,

Exemplo 7. Nós vamos encontrar. Desde então

Vejamos alguns exemplos em que é necessário combinar várias substituições.

Exemplo 8. Nós vamos encontrar
. Lett= 2x+ 1, entãox= (t– 1)/2;dx= ½dt.

Exemplo 9. Nós vamos encontrar
. Lett=x- 2, entãox=t+ 2;dx=dt.

Integração direta usando a tabela de antiderivadas (tabela de integrais indefinidas)

Tabela de antiderivadas

Podemos determinar a antiderivada de uma diferencial conhecida de uma função se utilizarmos as propriedades da integral indefinida. Da tabela de funções elementares básicas, usando as igualdades ∫ d F (x) = ∫ F " (x) d x = ∫ f (x) d x = F (x) + C e ∫ k f (x) d x = k ∫ f (x) d x podemos fazer uma tabela de antiderivadas.

Vamos escrever a tabela de derivadas na forma de diferenciais.

Constante y = C C" = 0 Função de potência y = x p. (x p) " = p x p - 1	Constante y = C d (C) = 0 d x Função de potência y = x p. d (x p) = p x p - 1 d x
(a x) " = a x ln a	Função exponencial y = a x. d (a x) = a x ln α d x Em particular, para a = e temos y = e x d (e x) = e x d x
log a x " = 1 x ln a	Funções logarítmicas y = log a x . d (log a x) = d x x ln a Em particular, para a = e temos y = ln x d (ln x) = d x x
Funções trigonométricas. sin x " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 c o s 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x	Funções trigonométricas. d sin x = cos x · d x d (cos x) = - sin x · d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (c t g x) = - d x sin 2 x
a r c sin x " = 1 1 - x 2 a r c cos x " = - 1 1 - x 2 a r c t g x " = 1 1 + x 2 a r c c t g x " = - 1 1 + x 2	Funções trigonométricas inversas. d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2

Vamos ilustrar o que foi dito acima com um exemplo. Vamos encontrar a integral indefinida da função de potência f (x) = x p.

De acordo com a tabela de diferenciais d (x p) = p · x p - 1 · d x. Pelas propriedades da integral indefinida temos ∫ d (x p) = ∫ p · x p - 1 · d x = p · ∫ x p - 1 · d x = x p + C . Portanto, ∫ x p - 1 · d x = x p p + C p , p ≠ 0. A segunda versão da entrada é a seguinte: ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C p + 1 = x p + 1 p + 1 + C 1, p ≠ - 1.

Vamos tomá-lo igual a - 1 e encontrar o conjunto de primitivas da função de potência f (x) = x p: ∫ x p · d x = ∫ x - 1 · d x = ∫ d x x .

Agora precisamos de uma tabela de diferenciais para o logaritmo natural d (ln x) = d x x, x > 0, portanto ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x. Portanto ∫ d x x = ln x , x > 0 .

Tabela de antiderivadas (integrais indefinidas)

A coluna esquerda da tabela contém fórmulas chamadas antiderivadas básicas. As fórmulas na coluna da direita não são básicas, mas podem ser usadas para encontrar integrais indefinidas. Eles podem ser verificados por diferenciação.

Integração direta

Para realizar a integração direta, usaremos tabelas de antiderivadas, regras de integração ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, bem como propriedades de integrais indefinidas ∫ k f (x) d x = k · ∫ f (x) d x ∫ (f (x) ± g (x)) d x = ∫ f (x) d x ± ∫ g (x) d x

A tabela de integrais básicas e propriedades das integrais só pode ser usada após uma fácil transformação do integrando.

Exemplo 1

Vamos encontrar a integral ∫ 3 sen x 2 + cos x 2 2 d x

Solução

Removemos o coeficiente 3 do sinal integral:

∫ 3 sen x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sen x 2 + cos x 2 2 d x

Usando fórmulas de trigonometria, transformamos a função integrando:

3 ∫ sen x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sen x 2 2 + 2 sen x 2 cos x 2 + cos x 2 2 d x = = 3 ∫ 1 + 2 sen x 2 cos x 2 d x = 3 ∫ 1 + pecado x d x

Como a integral da soma é igual à soma das integrais, então
3 ∫ 1 + sen x d x = 3 ∫ 1 d x + ∫ sen x d x

Usamos os dados da tabela de antiderivadas: 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x = 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) = = vazio 3 C 1 + C 2 = C = 3 x - 3 cos x + C

Responder:∫ 3 sen x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C .

Exemplo 2

É necessário encontrar o conjunto de primitivas da função f (x) = 2 3 4 x - 7 .

Solução

Usamos a tabela de primitivas para a função exponencial: ∫ a x · d x = a x ln a + C . Isso significa que ∫ 2 x · d x = 2 x ln 2 + C .

Usamos a regra de integração ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C .

Obtemos ∫ 2 3 4 x - 7 · d x = 1 3 4 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 · 2 3 4 x - 7 ln 2 + C .

Resposta: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C

Usando a tabela de antiderivadas, propriedades e a regra de integração, podemos encontrar muitas integrais indefinidas. Isto é possível nos casos em que é possível transformar o integrando.

Para encontrar a integral da função logaritmo, funções tangente e cotangente e várias outras, são utilizados métodos especiais, que consideraremos na seção “Métodos básicos de integração”.

Se você notar um erro no texto, destaque-o e pressione Ctrl+Enter