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Primeiro, vamos lembrar as fórmulas básicas dos poderes e suas propriedades.

Produto de um número a ocorre sobre si mesmo n vezes, podemos escrever esta expressão como a a… a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Equações de potência ou exponenciais– são equações em que as variáveis ​​estão em potências (ou expoentes) e a base é um número.

Exemplos de equações exponenciais:

Neste exemplo, o número 6 é a base; está sempre na parte inferior, e a variável x grau ou indicador.

Vamos dar mais exemplos de equações exponenciais.
2x*5=10
16x - 4x - 6=0

Agora vamos ver como as equações exponenciais são resolvidas?

Vamos pegar uma equação simples:

2 x = 2 3

Este exemplo pode ser resolvido até na sua cabeça. Pode-se ver que x = 3. Afinal, para que os lados esquerdo e direito sejam iguais, é preciso colocar o número 3 em vez de x.
Agora vamos ver como formalizar esta decisão:

2 x = 2 3
x = 3

Para resolver tal equação, removemos motivos idênticos(ou seja, dois) e anotou o que sobrou, são graus. Obtivemos a resposta que procurávamos.

Agora vamos resumir nossa decisão.

Algoritmo para resolver a equação exponencial:
1. Precisa verificar o mesmo se a equação tem bases à direita e à esquerda. Se os motivos não forem os mesmos, procuramos opções para resolver este exemplo.
2. Depois que as bases se tornarem iguais, igualar graus e resolva a nova equação resultante.

Agora vamos ver alguns exemplos:

Vamos começar com algo simples.

As bases dos lados esquerdo e direito são iguais ao número 2, o que significa que podemos descartar a base e igualar os seus graus.

x+2=4 A equação mais simples é obtida.
x = 4 – 2
x=2
Resposta: x=2

No exemplo a seguir você pode ver que as bases são diferentes: 3 e 9.

3 3x - 9x+8 = 0

Primeiro, mova o nove para o lado direito, obtemos:

Agora você precisa fazer as mesmas bases. Sabemos que 9 = 3 2. Vamos usar a fórmula da potência (an) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Obtemos 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Agora está claro que nos lados esquerdo e direito as bases são iguais e iguais a três, o que significa que podemos descartá-las e igualar os graus.

3x=2x+16 obtemos a equação mais simples
3x - 2x=16
x=16
Resposta: x=16.

Vejamos o seguinte exemplo:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Em primeiro lugar, olhamos para as bases, bases dois e quatro. E precisamos que eles sejam iguais. Transformamos os quatro usando a fórmula (an) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

E também usamos uma fórmula a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Adicione à equação:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Demos um exemplo pelas mesmas razões. Mas nos incomodam outros números 10 e 24. O que fazer com eles? Se você olhar com atenção poderá ver que no lado esquerdo temos 2 2x repetido, aqui está a resposta - podemos colocar 2 2x fora dos colchetes:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Vamos calcular a expressão entre colchetes:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Dividimos a equação inteira por 6:

Vamos imaginar 4=2 2:

2 2x = 2 2 bases são iguais, nós as descartamos e igualamos os graus.
2x = 2 é a equação mais simples. Dividimos por 2 e obtemos
x = 1
Resposta: x = 1.

Vamos resolver a equação:

9 x – 12*3 x +27= 0

Vamos converter:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Obtemos a equação:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Nossas bases são iguais, iguais a 3. Neste exemplo, você pode ver que as três primeiras têm grau duas vezes (2x) que a segunda (apenas x). Neste caso você pode resolver método de substituição. Substituímos o número pelo menor grau:

Então 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Substituímos todas as potências x na equação por t:

t2 - 12t+27 = 0
Obtemos uma equação quadrática. Resolvendo através do discriminante, obtemos:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Voltando à variável x.

Tome t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Aquilo é,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Uma raiz foi encontrada. Estamos procurando o segundo de t 2:
t 2 = 3 = 3x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Resposta: x 1 = 2; x 2 = 1.

No site você pode tirar qualquer dúvida que tiver na seção AJUDA A DECIDE, com certeza responderemos.

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Em geral, uma equação de grau superior a 4 não pode ser resolvida em radicais. Mas às vezes ainda podemos encontrar as raízes de um polinômio à esquerda em uma equação do mais alto grau se o representarmos como um produto de polinômios até um grau não superior a 4. A resolução de tais equações é baseada na fatoração de um polinômio, por isso aconselhamos que você revise este tópico antes de estudar este artigo.

Na maioria das vezes você tem que lidar com equações de graus superiores com coeficientes inteiros. Nestes casos, podemos tentar encontrar raízes racionais e depois fatorar o polinômio para que possamos então transformá-lo em uma equação de grau inferior que seja fácil de resolver. Neste material, veremos exatamente esses exemplos.

Equações de grau superior com coeficientes inteiros

Todas as equações da forma a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , podemos produzir uma equação do mesmo grau multiplicando ambos os lados por a n n - 1 e fazendo uma mudança variável na forma y = a n x:

a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n - 1 · a n n - 1 · x n - 1 + … + a 1 · (a n) n - 1 · x + a 0 · (a n) n - 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

Os coeficientes resultantes também serão inteiros. Assim, precisaremos resolver a equação reduzida do enésimo grau com coeficientes inteiros, tendo a forma x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0.

Calculamos as raízes inteiras da equação. Se a equação tiver raízes inteiras, você precisará procurá-las entre os divisores do termo livre a 0 . Vamos anotá-los e substituí-los um por um na igualdade original, verificando o resultado. Depois de obtermos a identidade e encontrarmos uma das raízes da equação, podemos escrevê-la na forma x - x 1 · P n - 1 (x) = 0. Aqui x 1 é a raiz da equação e P n - 1 (x) é o quociente de x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 dividido por x - x 1 .

Substituímos os divisores restantes escritos em P n - 1 (x) = 0, começando com x 1, pois as raízes podem ser repetidas. Após obter a identidade, a raiz x 2 é considerada encontrada, e a equação pode ser escrita na forma (x - x 1) (x - x 2) · P n - 2 (x) = 0. Aqui P n - 2 (x) será o quociente da divisão de P n - 1 (x) por x - x 2.

Continuamos a classificar os divisores. Vamos encontrar todas as raízes inteiras e denotar seu número como m. Depois disso, a equação original pode ser representada como x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0. Aqui P n - m (x) é um polinômio de grau n - m. Para cálculo é conveniente usar o esquema de Horner.

Se a nossa equação original tiver coeficientes inteiros, não poderemos obter raízes fracionárias.

Acabamos com a equação P n - m (x) = 0, cujas raízes podem ser encontradas de qualquer maneira conveniente. Eles podem ser irracionais ou complexos.

Vamos mostrar com um exemplo específico como esse esquema de solução é usado.

Exemplo 1

Doença: encontre a solução para a equação x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0.

Solução

Vamos começar encontrando raízes inteiras.

Temos um termo livre igual a menos três. Possui divisores iguais a 1, - 1, 3 e - 3. Vamos substituí-los na equação original e ver quais deles fornecem as identidades resultantes.

Com x igual a um, obtemos 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 = 0, o que significa que um será a raiz desta equação.

Agora vamos dividir o polinômio x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 por (x - 1) em uma coluna:

Então x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0

Obtivemos uma identidade, o que significa que encontramos outra raiz da equação, igual a -1.

Divida o polinômio x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 por (x + 1) em uma coluna:

Nós entendemos isso

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

Substituímos o próximo divisor na igualdade x 2 + x + 3 = 0, começando em - 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

As igualdades resultantes estarão incorretas, o que significa que a equação não possui mais raízes inteiras.

As raízes restantes serão as raízes da expressão x 2 + x + 3.

D = 1 2 - 4 1 3 = - 11< 0

Segue-se disso que este trinômio quadrático não tem raízes reais, mas existem raízes conjugadas complexas: x = - 1 2 ± i 11 2.

Esclareçamos que em vez de dividir em uma coluna, pode-se usar o esquema de Horner. Isso é feito assim: depois de determinarmos a primeira raiz da equação, preenchemos a tabela.

Na tabela de coeficientes podemos ver imediatamente os coeficientes do quociente da divisão dos polinômios, o que significa x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

Depois de encontrar a próxima raiz, que é -1, obtemos o seguinte:

Responder: x = - 1, x = 1, x = - 1 2 ± i 11 2.

Exemplo 2

Doença: resolva a equação x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0.

Solução

O termo livre possui divisores 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 12, - 12.

Vamos verificá-los em ordem:

1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0

Isso significa que x = 2 será a raiz da equação. Divida x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 por x - 2 usando o esquema de Horner:

Como resultado, obtemos x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0.

2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0

Isso significa que 2 será novamente a raiz. Divida x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 por x - 2:

Como resultado, obtemos (x - 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0.

Não faz sentido verificar os divisores restantes, pois a igualdade x 2 + 3 x + 3 = 0 é mais rápida e conveniente de resolver usando o discriminante.

Vamos resolver a equação quadrática:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0

Obtemos um par conjugado complexo de raízes: x = - 3 2 ± i 3 2 .

Responder: x = - 3 2 ± eu 3 2 .

Exemplo 3

Doença: Encontre as raízes reais da equação x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0.

Solução

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0

Multiplicamos 2 3 em ambos os lados da equação:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0

Substitua as variáveis ​​y = 2 x:

2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 e 4 + y 3 - 20 e - 48 = 0

Como resultado, obtivemos uma equação padrão de 4º grau, que pode ser resolvida de acordo com o esquema padrão. Vamos verificar os divisores, dividir e finalmente descobrir que tem 2 raízes reais y = - 2, y = 3 e duas raízes complexas. Não apresentaremos aqui a solução completa. Devido à substituição, as raízes reais desta equação serão x = y 2 = - 2 2 = - 1 e x = y 2 = 3 2.

Responder: x 1 = - 1 , x 2 = 3 2

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Vamos considerar resolver equações com uma variável de grau superior à segunda.

O grau da equação P(x) = 0 é o grau do polinômio P(x), ou seja, a maior das potências de seus termos com coeficiente diferente de zero.

Assim, por exemplo, a equação (x 3 – 1) 2 + x 5 = x 6 – 2 tem o quinto grau, porque após as operações de abrir os colchetes e trazer outros semelhantes, obtemos a equação equivalente x 5 – 2x 3 + 3 = 0 do quinto grau.

Lembremos as regras que serão necessárias para resolver equações de grau superior a dois.

Declarações sobre as raízes de um polinômio e seus divisores:

1. Um polinômio de enésimo grau tem um número de raízes que não excede n, e raízes de multiplicidade m ocorrem exatamente m vezes.

2. Um polinômio de grau ímpar possui pelo menos uma raiz real.

3. Se α é a raiz de P(x), então P n (x) = (x – α) · Q n – 1 (x), onde Q n – 1 (x) é um polinômio de grau (n – 1) .

4.

5. O polinômio reduzido com coeficientes inteiros não pode ter raízes racionais fracionárias.

6. Para um polinômio de terceiro grau

P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d uma de duas coisas é possível: ou é decomposto no produto de três binômios

Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), ou se decompõe no produto de um binômio e um trinômio quadrado Р 3 (x) = а(х – α)(х 2 + βх + γ).

7. Qualquer polinômio de quarto grau pode ser expandido no produto de dois trinômios quadrados.

8. Um polinômio f(x) é divisível por um polinômio g(x) sem resto se existe um polinômio q(x) tal que f(x) = g(x) · q(x). Para dividir polinômios, a regra da “divisão de canto” é usada.

9. Para que o polinômio P(x) seja divisível por um binômio (x – c), é necessário e suficiente que o número c seja a raiz de P(x) (Corolário do teorema de Bezout).

10. Teorema de Vieta: Se x 1, x 2, ..., x n são raízes reais do polinômio

P(x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, então as seguintes igualdades são válidas:

x 1 + x 2 + … + x n = -uma 1 /uma 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + … + x n – 1 x n = uma 2 /uma 0,

x 1 x 2 x 3 + … + x n – 2 x n – 1 x n = -a 3 / a 0,

x 1 · x 2 · x 3 · x n = (-1) n a n / a 0 .

Resolvendo Exemplos

Exemplo 1.

Encontre o resto da divisão P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 por (x – 1/3).

Solução.

Por corolário do teorema de Bezout: “O resto de um polinômio dividido por um binômio (x – c) é igual ao valor do polinômio de c.” Vamos encontrar P(1/3) = 0. Portanto, o resto é 0 e o número 1/3 é a raiz do polinômio.

Resposta: R = 0.

Exemplo 2.

Divida com um “canto” 2x 3 + 3x 2 – 2x + 3 por (x + 2). Encontre o resto e o quociente incompleto.

Solução:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Resposta: R = 3; quociente: 2x 2 – x.

Métodos básicos para resolver equações de grau superior

1. Introdução de uma nova variável

O método de introdução de uma nova variável já é familiar no exemplo das equações biquadráticas. Consiste no fato de que para resolver a equação f(x) = 0, uma nova variável (substituição) t = x n ou t = g(x) é introduzida e f(x) é expressa através de t, obtendo uma nova equação r (t). Então resolvendo a equação r(t), as raízes são encontradas:

(t 1, t 2, …, t n). Depois disso, obtém-se um conjunto de n equações q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n, a partir das quais são encontradas as raízes da equação original.

Exemplo 1.

(x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.

Solução:

(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x) – 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 – 3 (x 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Substituição (x 2 + x + 1) = t.

t 2 – 3 t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Substituição reversa:

x 2 + x + 1 = 2 ou x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 ou x 2 + x = 0;

Resposta: Da primeira equação: x 1, 2 = (-1 ± √5)/2, da segunda: 0 e -1.

2. Fatoração por agrupamento e fórmulas de multiplicação abreviadas

A base deste método também não é nova e consiste em agrupar os termos de forma que cada grupo contenha um fator comum. Para isso, às vezes é necessário utilizar algumas técnicas artificiais.

Exemplo 1.

x 4 – 3x 2 + 4x – 3 = 0.

Solução.

Vamos imaginar - 3x 2 = -2x 2 – x 2 e agrupar:

(x 4 – 2x 2) – (x 2 – 4x + 3) = 0.

(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0.

(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(x 2 – 1 – x + 2)(x 2 – 1 + x - 2) = 0.

(x 2 – x + 1)(x 2 + x – 3) = 0.

x 2 – x + 1 = 0 ou x 2 + x – 3 = 0.

Resposta: Não há raízes na primeira equação, na segunda: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Fatoração pelo método dos coeficientes indeterminados

A essência do método é que o polinômio original é fatorado com coeficientes desconhecidos. Usando a propriedade de que os polinômios são iguais se seus coeficientes forem iguais nas mesmas potências, os coeficientes de expansão desconhecidos são encontrados.

Exemplo 1.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Solução.

Um polinômio de grau 3 pode ser expandido no produto de fatores lineares e quadráticos.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x – a)(x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cx – machado 2 – abx – ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b – a)x 2 + (cx – ab)x – ac.

Tendo resolvido o sistema:

(b – uma = 4,
(c – ab = 5,
(-ac = 2,

(uma = -1,
(b = 3,
(c = 2, ou seja,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1)(x 2 + 3x + 2).

As raízes da equação (x + 1)(x 2 + 3x + 2) = 0 são fáceis de encontrar.

Resposta 1; -2.

4. Método de seleção de uma raiz usando o coeficiente mais alto e livre

O método é baseado na aplicação dos teoremas:

1) Cada raiz inteira de um polinômio com coeficientes inteiros é um divisor do termo livre.

2) Para que a fração irredutível p/q (p - inteiro, q - natural) seja raiz de uma equação com coeficientes inteiros, é necessário que o número p seja um divisor inteiro do termo livre a 0, e q - um divisor natural do coeficiente líder.

Exemplo 1.

6x 3 + 7x 2 – 9x + 2 = 0.

Solução:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Portanto, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Tendo encontrado uma raiz, por exemplo – 2, encontraremos outras raízes usando a divisão angular, o método dos coeficientes indefinidos ou o esquema de Horner.

Resposta: -2; 1/2; 1/3.

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Aula: 9

Objetivos básicos:

1. Reforce o conceito de uma equação racional inteira de décimo grau.
2. Formule os métodos básicos para resolver equações de graus superiores (n > 3).
3. Ensine métodos básicos para resolver equações de ordem superior.
4. Aprenda a usar o tipo de equação para determinar a maneira mais eficaz de resolvê-la.

Formas, métodos e técnicas pedagógicas utilizadas pelo professor em sala de aula:

• Sistema de ensino palestra-seminário (palestras - explicação de novo material, seminários - resolução de problemas).
• Tecnologias de informação e comunicação (pesquisa frontal, trabalho oral com a turma).
• Aprendizagem diferenciada, modalidades grupais e individuais.
• Utilizar um método de pesquisa no ensino que visa desenvolver o aparato matemático e as habilidades de pensamento de cada aluno.
• Material impresso – um breve resumo individual da lição (conceitos básicos, fórmulas, declarações, material de aula condensado na forma de diagramas ou tabelas).

Plano de aula:

1. Tempo de organização.
   O objetivo da etapa: incluir os alunos nas atividades educativas, para determinar o conteúdo da aula.
2. Atualizando o conhecimento dos alunos.
   O objetivo do estágio: atualizar o conhecimento dos alunos sobre temas relacionados previamente estudados
3. Estudando um novo tópico (palestra). Objetivo da etapa: formular os métodos básicos para resolução de equações de graus superiores (n > 3)
4. Resumindo.
   O objetivo da etapa: destacar mais uma vez os pontos-chave do material estudado na aula.
5. Trabalho de casa.
   O objetivo da etapa: formular trabalhos de casa para os alunos.

Resumo da lição

1. Momento organizacional.

Formulação do tema da aula: “Equações de potências superiores. Métodos para resolvê-los.”

2. Atualizar os conhecimentos dos alunos.

Levantamento teórico - conversa. Repetição de algumas informações previamente estudadas da teoria. Os alunos formulam definições básicas e formulam os teoremas necessários. Dê exemplos para demonstrar o nível de conhecimento previamente adquirido.

• O conceito de uma equação com uma variável.
• O conceito de raiz de uma equação, a solução de uma equação.
• O conceito de equação linear com uma variável, o conceito de equação quadrática com uma variável.
• O conceito de equivalência de equações, equações-consequências (o conceito de raízes estranhas), transição não por consequência (o caso de perda de raízes).
• O conceito de toda uma expressão racional com uma variável.
• O conceito de uma equação racional completa nº grau. Forma padrão de toda uma equação racional. Equação racional inteira reduzida.
• Transição para um conjunto de equações de graus inferiores fatorando a equação original.
• O conceito de polinômio nº grau de x. Teorema de Bezout. Corolários do teorema de Bezout. Teoremas de raiz ( Z-raízes e P-raízes) de uma equação racional inteira com coeficientes inteiros (reduzidos e não reduzidos, respectivamente).
• O esquema de Horner.

3. Estudando um novo tópico.

Vamos considerar toda a equação racional n-ésima potência da forma padrão com uma variável desconhecida x:Pn(x)= 0, onde P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0– polinômio nº grau de x, a n ≠ 0. Se a n = 1 então tal equação é chamada de equação racional inteira reduzida nº grau. Vamos considerar tais equações para vários valores n e liste os principais métodos para resolvê-los.

n= 1 – equação linear.

n= 2 – equação quadrática. Fórmula discriminante. Fórmula para calcular raízes. Teorema de Vieta. Selecionando um quadrado completo.

n= 3 – equação cúbica.

Método de agrupamento.

Exemplo: x 3 – 4x 2 – x+ 4 = 0 (x – 4)(x 2– 1) = 0 x 1 = 4 , x 2 = 1,x 3 = -1.

Equação cúbica recíproca da forma machado 3 + bx 2 + bx + a= 0. Resolvemos combinando termos com os mesmos coeficientes.

Exemplo: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x 1 = -1, x 2 = 3 + 2, x 3 = 3 – 2.

Seleção de raízes Z com base no teorema. O esquema de Horner. Ao aplicar este método, é necessário enfatizar que a busca neste caso é finita, e selecionamos as raízes utilizando um determinado algoritmo de acordo com o teorema Z-raízes de toda a equação racional dada com coeficientes inteiros.

Exemplo: x 3 – 9x 2 + 23x– 15 = 0. A equação é dada. Vamos escrever os divisores do termo livre ( + 1; + 3; + 5; + 15). Vamos aplicar o esquema de Horner:

	x 3	x 2	x 1	x 0	conclusão
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 – 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1x15 – 15 = 0	1 – raiz
	x 2	x 1	x 0

Nós temos ( x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.

Equação com coeficientes inteiros. Seleção de raízes Q com base no teorema. O esquema de Horner. Ao aplicar este método, é necessário enfatizar que a busca neste caso é finita e selecionamos as raízes usando um determinado algoritmo de acordo com o teorema sobre P-raízes de uma equação racional inteira não reduzida com coeficientes inteiros.

Exemplo: 9 x 3 + 27x 2 – x– 3 = 0. A equação não é reduzida. Vamos escrever os divisores do termo livre ( + 1; + 3). Vamos anotar os divisores do coeficiente na maior potência da incógnita. ( + 1; + 3; + 9) Conseqüentemente, procuraremos raízes entre os valores ( + 1; + ; + ; + 3). Vamos aplicar o esquema de Horner:

	x 3	x 2	x 1	x 0	conclusão
	9	27	-1	-3
1	9	1x9 + 27 = 36	1x36 – 1 = 35	1x35 – 3 = 32 ≠ 0	1 – não é uma raiz
-1	9	-1x9 + 27 = 18	-1x18 – 1 = -19	-1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0	-1 – não é uma raiz
	9	x 9 + 27 = 30	x 30 – 1 = 9	x 9 – 3 = 0	raiz
	x 2	x 1	x 0

Nós temos ( x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x 1 = , x 2 = - , x 3 = -3.

Para facilitar o cálculo ao selecionar Q -raízes Pode ser conveniente fazer uma mudança de variável, ir para a equação dada e selecionar Z -raízes.

• Se o termo fictício for 1

.

• Se você puder usar uma substituição do formulário y = kx

.

Fórmula Cardano. Existe um método universal para resolver equações cúbicas - esta é a fórmula de Cardano. Esta fórmula está associada aos nomes dos matemáticos italianos Gerolamo Cardano (1501–1576), Nicolo Tartaglia (1500–1557) e Scipione del Ferro (1465–1526). Esta fórmula está além do escopo do nosso curso.

n= 4 – equação do quarto grau.

Método de agrupamento.

Exemplo: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3) + (5x 2 + 10x) – (6x + 12) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x- 6) = 0 (x + 2)(x– 1)(x 2 + x + 6) = 0 x 1 = -2, x 2 = 1.

Método de substituição de variáveis.

• Equação biquadrática da forma machado 4 + bx 2 + s = 0 .

Exemplo: x 4 + 5x 2 – 36 = 0. Substituição sim = x 2. Daqui sim 1 = 4, sim 2 = -9. É por isso x 1,2 = + 2 .

• Equação recíproca do quarto grau da forma machado 4 + bx 3+c x 2 + bx + a = 0.

Resolvemos combinando termos com os mesmos coeficientes, substituindo a forma

• machado 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0.

• Equação recorrente generalizada do quarto grau da forma machado 4 + bx 3 + cx 2 + KBX + k 2 uma = 0.

• Substituição geral. Algumas substituições padrão.

Exemplo 3 . Substituição de visão geral(segue do tipo de equação específica).

n = 3.

Equação com coeficientes inteiros. Seleção de raízes Q n = 3.

Fórmula geral. Existe um método universal para resolver equações do quarto grau. Esta fórmula está associada ao nome de Ludovico Ferrari (1522–1565). Esta fórmula está além do escopo do nosso curso.

n > 5 – equações do quinto e superiores graus.

Equação com coeficientes inteiros. Seleção de raízes Z com base no teorema. O esquema de Horner. O algoritmo é semelhante ao discutido acima para n = 3.

Equação com coeficientes inteiros. Seleção de raízes Q com base no teorema. O esquema de Horner. O algoritmo é semelhante ao discutido acima para n = 3.

Equações simétricas. Qualquer equação recíproca de grau ímpar tem uma raiz x= -1 e depois de fatorá-lo em fatores descobrimos que um fator tem a forma ( x+ 1), e o segundo fator é uma equação recíproca de grau par (seu grau é um a menos que o grau da equação original). Qualquer equação recíproca de grau par juntamente com uma raiz da forma x =φ também contém a raiz da espécie. Usando essas afirmações, resolvemos o problema diminuindo o grau da equação em estudo.

Método de substituição de variáveis. Uso de homogeneidade.

Não existe uma fórmula geral para resolver equações inteiras de quinto grau (isto foi demonstrado pelo matemático italiano Paolo Ruffini (1765-1822) e pelo matemático norueguês Niels Henrik Abel (1802-1829)) e graus superiores (isto foi demonstrado pelo O matemático francês Evariste Galois (1811–1832))).

• Lembremos mais uma vez que na prática é possível utilizar combinações os métodos listados acima. É conveniente passar para um conjunto de equações de graus inferiores por fatorando a equação original.
• Fora do escopo da nossa discussão hoje estão aqueles amplamente utilizados na prática. métodos gráficos resolvendo equações e métodos de solução aproximados equações de graus superiores.
• Existem situações em que a equação não possui raízes R.
Então a solução se resume a mostrar que a equação não tem raízes. Para provar isso, analisamos o comportamento das funções consideradas em intervalos de monotonicidade. Exemplo: equação x 8 – x 3 + 1 = 0 não tem raízes.
• Usando a propriedade de monotonicidade de funções
. Existem situações em que o uso de várias propriedades de funções permite simplificar a tarefa.
Exemplo 1: Equação x 5 + 3x– 4 = 0 tem uma raiz x= 1. Devido à propriedade de monotonicidade das funções analisadas, não existem outras raízes.
Exemplo 2: Equação x 4 + (x– 1) 4 = 97 tem raízes x 1 = -2 e x 2 = 3. Analisado o comportamento das funções correspondentes em intervalos de monotonicidade, concluímos que não existem outras raízes.

4. Resumindo.

Resumo: Agora dominamos os métodos básicos para resolver várias equações de graus superiores (para n > 3). Nossa tarefa é aprender como usar efetivamente os algoritmos listados acima. Dependendo do tipo de equação, teremos que aprender a determinar qual método de solução em um determinado caso é o mais eficaz, bem como aplicar corretamente o método escolhido.

5. Lição de casa.

: parágrafo 7, pp.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Possíveis tópicos para relatórios ou resumos sobre este tema:

• Fórmula Cardano
• Método gráfico para resolução de equações. Exemplos de soluções.
• Métodos de solução aproximada de equações.

Análise da aprendizagem dos alunos e interesse pelo tema:

A experiência mostra que o interesse dos alunos é despertado principalmente pela possibilidade de selecionar Z-raízes e P-raízes de equações usando um algoritmo bastante simples usando o esquema de Horner. Os alunos também estão interessados ​​em vários tipos padrão de substituição de variáveis, o que pode simplificar significativamente o tipo de problema. Os métodos de solução gráfica são geralmente de particular interesse. Neste caso, você também pode analisar problemas usando um método gráfico para resolver equações; discuta a forma geral do gráfico para um polinômio de grau 3, 4, 5; analisar como o número de raízes das equações de 3, 4, 5 graus está relacionado com o aparecimento do gráfico correspondente. Abaixo está uma lista de livros onde você pode encontrar informações adicionais sobre este tópico.

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