CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE SEÇÕES PLANAS.

Como mostra a experiência, a resistência de uma haste a várias deformações depende não apenas das dimensões da seção transversal, mas também da forma.

As dimensões e forma da seção transversal são caracterizadas por diversas características geométricas: área da seção transversal, momentos estáticos, momentos de inércia, momentos de resistência, etc.

1. Momento estático da área(momento de inércia do primeiro grau).

Momento estático de inércia a área relativa a qualquer eixo é a soma dos produtos das áreas elementares e a distância a este eixo, distribuída por toda a área (Fig. 1)

Figura 1

Propriedades do momento estático da área:

1. O momento estático da área é medido em unidades de comprimento de terceira potência (por exemplo, cm 3).

2. O momento estático pode ser menor que zero, maior que zero e, portanto, igual a zero. Os eixos em torno dos quais o momento estático é zero passam pelo centro de gravidade da seção e são chamados de eixos centrais.

Se x-c E e c são as coordenadas do centro de gravidade, então

3. O momento de inércia estático de uma seção complexa em relação a qualquer eixo é igual à soma dos momentos estáticos dos componentes de seções simples em relação ao mesmo eixo.

O conceito de momento de inércia estático na ciência da força é utilizado para determinar a posição do centro de gravidade das seções, embora deva ser lembrado que nas seções simétricas o centro de gravidade está na intersecção dos eixos de simetria.

2. Momento de inércia de seções planas (figuras) (momentos de inércia de segundo grau).

A) axial momento de inércia (equatorial).

Momento axial de inércia A área de uma figura em relação a qualquer eixo é a soma dos produtos das áreas elementares pelo quadrado da distância a este eixo de distribuição em toda a área (Fig. 1)

Propriedades do momento axial de inércia.

1. O momento axial de inércia da área é medido em unidades de comprimento de quarta potência (por exemplo, cm 4).

2. O momento axial de inércia é sempre maior que zero.

3. O momento axial de inércia de uma seção complexa em relação a qualquer eixo é igual à soma dos momentos axiais dos componentes de seções simples em relação ao mesmo eixo:

4. A magnitude do momento de inércia axial caracteriza a capacidade de uma haste (viga) de uma determinada seção transversal de resistir à flexão.

b) Momento polar de inércia.

Momento polar de inércia A área de uma figura em relação a qualquer pólo é a soma dos produtos das áreas elementares pelo quadrado da distância ao pólo, distribuído por toda a área (Fig. 1).

Propriedades do momento polar de inércia:

1. O momento polar de inércia de uma área é medido em unidades de comprimento de quarta potência (por exemplo, cm 4).

2. O momento polar de inércia é sempre maior que zero.

3. O momento polar de inércia de uma seção complexa em relação a qualquer pólo (centro) é igual à soma dos momentos polares dos componentes de seções simples em relação a este pólo.

4. O momento polar de inércia de uma seção é igual à soma dos momentos de inércia axiais desta seção em relação a dois eixos perpendiculares entre si que passam pelo pólo.

5. A magnitude do momento polar de inércia caracteriza a capacidade de uma haste (viga) de um determinado formato de seção transversal de resistir à torção.

c) Momento centrífugo de inércia.

O MOMENTO DE INÉRCIA CENTRÍFUGA da área de uma figura em relação a qualquer sistema de coordenadas é a soma dos produtos das áreas elementares e das coordenadas, estendidas a toda a área (Fig. 1)

Propriedades do momento centrífugo de inércia:

1. O momento centrífugo de inércia de uma área é medido em unidades de comprimento de quarta potência (por exemplo, cm 4).

2. O momento centrífugo de inércia pode ser maior que zero, menor que zero e igual a zero. Os eixos em torno dos quais o momento centrífugo de inércia é zero são chamados de eixos principais de inércia. Dois eixos mutuamente perpendiculares, dos quais pelo menos um é um eixo de simetria, serão os eixos principais. Os eixos principais que passam pelo centro de gravidade da área são chamados de eixos centrais principais, e os momentos de inércia axiais da área são chamados de momentos centrais principais de inércia.

3. O momento centrífugo de inércia de uma seção complexa em qualquer sistema de coordenadas é igual à soma dos momentos centrífugos de inércia das figuras constituintes no mesmo sistema de coordenadas.

MOMENTOS DE INÉRCIA EM RELAÇÃO A EIXOS PARALELOS.

Figura 2

Dado: eixos x, você– central;

aqueles. o momento axial de inércia em uma seção em torno de um eixo paralelo ao central é igual ao momento axial em torno de seu eixo central mais o produto da área e o quadrado da distância entre os eixos. Segue-se que o momento de inércia axial da seção em relação ao eixo central tem um valor mínimo em um sistema de eixos paralelos.

Tendo feito cálculos semelhantes para o momento centrífugo de inércia, obtemos:

J x1y1 =J xy +Aab

aqueles. O momento centrífugo de inércia da seção em relação aos eixos paralelos ao sistema de coordenadas central é igual ao momento centrífugo no sistema de coordenadas central mais o produto da área pela distância entre os eixos.

MOMENTOS DE INÉRCIA EM UM SISTEMA DE COORDENADAS DE ROTAÇÃO

aqueles. a soma dos momentos de inércia axiais da seção é um valor constante, não depende do ângulo de rotação dos eixos coordenados e é igual ao momento de inércia polar em relação à origem. O momento centrífugo de inércia pode mudar de valor e passar para “0”.

Os eixos em torno dos quais o momento centrífugo é zero serão os eixos principais de inércia e, se passarem pelo centro de gravidade, são chamados de eixos principais de inércia e são designados “ você" e "".

Os momentos de inércia em torno dos eixos centrais principais são chamados de momentos centrais principais de inércia e são designados , e os principais momentos centrais de inércia têm valores extremos, ou seja, um é “min” e o outro é “max”.

Deixe o ângulo “a 0” caracterizar a posição dos eixos principais, então:

Usando esta dependência, determinamos a posição dos eixos principais. A magnitude dos principais momentos de inércia após algumas transformações é determinada pela seguinte relação:

EXEMPLOS DE DETERMINAÇÃO DE MOMENTOS DE INÉRCIA AXIAIS, MOMENTOS DE INÉRCIA POLARES E MOMENTOS DE RESISTÊNCIA DE FIGURAS SIMPLES.

1. Seção retangular

Eixos x e y - aqui e em outros exemplos - os principais eixos centrais de inércia.

Vamos determinar os momentos axiais de resistência:

2. Seção sólida redonda. Momentos de inércia.

Se traçarmos eixos coordenados através do ponto O, então em relação a esses eixos os momentos centrífugos de inércia (ou produtos de inércia) são as quantidades definidas pelas igualdades:

onde estão as massas dos pontos; - suas coordenadas; é óbvio que, etc.

Para corpos sólidos, as fórmulas (10), por analogia com (5), assumem a forma

Ao contrário dos axiais, os momentos de inércia centrífugos podem ser quantidades positivas e negativas e, em particular, com uma certa forma de escolha dos eixos, podem tornar-se zero.

Principais eixos de inércia. Consideremos um corpo homogêneo com um eixo de simetria. Desenhemos os eixos coordenados Oxyz de modo que o eixo fique direcionado ao longo do eixo de simetria (Fig. 279). Então, por simetria, cada ponto de um corpo com massa mk e coordenadas corresponderá a um ponto com índice diferente, mas com a mesma massa e com coordenadas iguais a . Como resultado, obtemos que, uma vez que nessas somas todos os termos são idênticos aos pares em magnitude e opostos em sinal; daqui, levando em consideração as igualdades (10), encontramos:

Assim, a simetria na distribuição das massas em relação ao eixo z é caracterizada pelo desaparecimento de dois momentos centrífugos de inércia. O eixo Oz, para o qual os momentos de inércia centrífugos que contêm o nome deste eixo em seus índices são iguais a zero, é denominado eixo principal de inércia do corpo para o ponto O.

Do exposto segue-se que se um corpo tem um eixo de simetria, então este eixo é o principal eixo de inércia do corpo para qualquer um de seus pontos.

O eixo principal de inércia não é necessariamente o eixo de simetria. Consideremos um corpo homogêneo que possui um plano de simetria (na Fig. 279 o plano de simetria do corpo é o plano ). Vamos desenhar alguns eixos e um eixo perpendicular a eles neste plano. Então, por simetria, cada ponto com massa e coordenadas corresponderá a um ponto com a mesma massa e coordenadas iguais a . Como resultado, como no caso anterior, descobrimos que ou de onde segue que o eixo é o eixo principal de inércia do ponto O. Assim, se um corpo tem um plano de simetria, então qualquer eixo perpendicular a este plano será o principal eixo de inércia do corpo para o ponto O, no qual o eixo intercepta o plano.

As igualdades (11) expressam as condições em que o eixo é o principal eixo de inércia do corpo para o ponto O (origem).

Da mesma forma, se então o eixo Oy será o principal eixo de inércia do ponto O. Portanto, se todos os momentos centrífugos de inércia forem iguais a zero, ou seja,

então cada um dos eixos coordenados é o eixo principal de inércia do corpo para o ponto O (origem).

Por exemplo, na Fig. 279 todos os três eixos são os principais eixos de inércia do ponto O (o eixo é o eixo de simetria, e os eixos Ox e Oy são perpendiculares aos planos de simetria).

Os momentos de inércia de um corpo em relação aos eixos principais de inércia são chamados de momentos principais de inércia do corpo.

Os principais eixos de inércia construídos para o centro de massa do corpo são chamados de principais eixos centrais de inércia do corpo. Do que foi provado acima segue-se que se um corpo tem um eixo de simetria, então este eixo é um dos principais eixos centrais de inércia do corpo, uma vez que o centro de massa está neste eixo. Se o corpo tiver um plano de simetria, então o eixo perpendicular a este plano e passando pelo centro de massa do corpo também será um dos principais eixos centrais de inércia do corpo.

Nos exemplos dados foram considerados corpos simétricos, o que é suficiente para resolver os problemas que iremos encontrar. Porém, pode-se provar que através de qualquer ponto de qualquer corpo é possível traçar pelo menos três eixos perpendiculares entre si, para os quais as igualdades (11) serão satisfeitas, ou seja, quais serão os principais eixos de inércia do corpo para este ponto .

O conceito de eixos principais de inércia desempenha um papel importante na dinâmica de um corpo rígido. Se os eixos coordenados Oxyz forem direcionados ao longo deles, todos os momentos centrífugos de inércia se tornam zero e as equações ou fórmulas correspondentes são significativamente simplificadas (ver § 105, 132). Este conceito também está associado à solução de problemas de equação dinâmica de corpos em rotação (ver § 136), de centro de impacto (ver § 157), etc.

Vejamos mais algumas características geométricas de figuras planas. Uma dessas características é chamada axial ou equatorial momento de inércia. Esta característica é relativa aos eixos e
(Fig.4.1) assume a forma:

;
. (4.4)

A principal propriedade do momento de inércia axial é que ele não pode ser menor que zero ou igual a zero. Este momento de inércia é sempre maior que zero:
;
. A unidade de medida do momento axial de inércia é (comprimento 4).

Conecte a origem das coordenadas com um segmento de linha reta com área infinitesimal
e denotamos este segmento pela letra (Fig.4.4). O momento de inércia de uma figura em relação ao pólo - a origem - é chamado de momento de inércia polar:

. (4.5)

Este momento de inércia, assim como o axial, é sempre maior que zero (
) e tem dimensão – (comprimento 4).

Vamos anotar condição de invariância a soma dos momentos de inércia equatoriais em torno de dois eixos perpendiculares entre si. Na Fig. 4.4 fica claro que
.

Substituindo esta expressão na fórmula (4.5), obtemos:

A condição de invariância é formulada da seguinte forma: a soma dos momentos de inércia axiais em relação a quaisquer dois eixos mutuamente perpediculares é um valor constante e igual ao momento de inércia polar em relação ao ponto de intersecção desses eixos.

O momento de inércia de uma figura plana em relação a dois eixos simultaneamente perpendiculares é chamado biaxial ou centrífugo momento de inércia. O momento centrífugo de inércia tem a seguinte forma:

. (4.7)

O momento centrífugo de inércia tem a dimensão – (comprimento 4). Pode ser positivo, negativo ou zero. Os eixos em torno dos quais o momento centrífugo de inércia é zero são chamados principais eixos de inércia. Vamos provar que o eixo de simetria de uma figura plana é o eixo principal.

Considere a figura plana mostrada na Fig. 4.5.

Selecione esquerda e direita do eixo de simetria dois elementos com área infinitesimal
. O centro de gravidade de toda a figura está no ponto C. Vamos colocar a origem das coordenadas no ponto C e denotar as coordenadas verticais dos elementos selecionados com a letra “ ”, horizontalmente – para o elemento esquerdo “
”, para o elemento certo “ " Vamos calcular a soma dos momentos centrífugos de inércia para elementos selecionados com área infinitesimal em relação aos eixos E :

Se integrarmos a expressão (4.8) da esquerda e da direita, obteremos:

, (4.9)

porque se o eixo é um eixo de simetria, então para qualquer ponto situado à esquerda deste eixo haverá sempre um ponto simétrico a ele.

Analisando a solução obtida, chegamos à conclusão que o eixo de simetria é o principal eixo de inércia. Eixo central é também o eixo principal, embora não seja um eixo de simetria, pois o momento de inércia centrífuga foi calculado simultaneamente para dois eixos E e acabou sendo zero.

DEFINIÇÃO

Momento de inércia axial (ou equatorial) seção em relação ao eixo é chamada de quantidade que é definida como:

A expressão (1) significa que para calcular o momento axial de inércia, a soma dos produtos das áreas infinitesimais () multiplicada pelos quadrados das distâncias delas ao eixo de rotação é tomada sobre toda a área S:

A soma dos momentos de inércia axiais da seção em relação aos eixos mutuamente perpendiculares (por exemplo, em relação aos eixos X e Y no sistema de coordenadas cartesianas) dá o momento de inércia polar () em relação ao ponto de intersecção desses eixos:

DEFINIÇÃO

Momento polar a inércia é chamada de seção do momento de inércia em relação a algum ponto.

Os momentos axiais de inércia são sempre maiores que zero, pois em suas definições (1) sob o sinal integral está o valor da área da área elementar (), sempre positivo, e o quadrado da distância desta área a o eixo.

Se estamos lidando com uma seção de forma complexa, então frequentemente nos cálculos usamos o fato de que o momento de inércia axial de uma seção complexa em relação ao eixo é igual à soma dos momentos de inércia axiais das partes desta seção em relação ao mesmo eixo. Porém, deve-se lembrar que é impossível somar os momentos de inércia encontrados em relação aos diferentes eixos e pontos.

O momento de inércia axial em relação ao eixo que passa pelo centro de gravidade da seção tem o menor valor de todos os momentos em relação aos eixos paralelos a ele. O momento de inércia em torno de qualquer eixo () desde que seja paralelo ao eixo que passa pelo centro de gravidade é igual a:

onde é o momento de inércia da seção em relação ao eixo que passa pelo centro de gravidade da seção; - área transversal; - distância entre eixos.

Exemplos de resolução de problemas

EXEMPLO 1

Exercício	Qual é o momento de inércia axial de uma seção triangular isósceles em relação ao eixo Z que passa pelo centro de gravidade () do triângulo, paralelo à sua base? A altura do triângulo é .
Solução	Vamos selecionar uma área elementar retangular em uma seção triangular (ver Fig. 1). Está localizado a uma distância do eixo de rotação, o comprimento de um lado é , o outro lado é . Da Figura 1 segue-se que: A área do retângulo selecionado, levando em consideração (1.1), é igual a: Para encontrar o momento axial de inércia, usamos sua definição na forma:
Responder

EXEMPLO 2

Exercício	Encontre os momentos axiais de inércia em relação aos eixos perpendiculares X e Y (Fig. 2) de uma seção em forma de círculo cujo diâmetro é igual a d.
Solução	Para resolver o problema, é mais conveniente começar encontrando o momento polar em relação ao centro da seção (). Vamos dividir toda a seção em anéis infinitamente finos de espessura , cujo raio será denotado por . Então encontramos a área elementar como:

produto da inércia, uma das grandezas que caracteriza a distribuição de massas em um corpo (sistema mecânico). C. m. e. são calculados como somas de produtos de massas m para pontos do corpo (sistema) para duas das coordenadas x k, y k, z k estes pontos:

Valores de C. m. e. dependem das direções dos eixos coordenados. Neste caso, para cada ponto do corpo existem pelo menos três desses eixos perpendiculares entre si, chamados de eixos principais de inércia, para os quais a massa centrífuga e. são iguais a zero.

O conceito de C. m. e. desempenha um papel importante no estudo do movimento rotacional dos corpos. Dos valores de C. m. e. dependem da magnitude das forças de pressão sobre os mancais nos quais o eixo do corpo rotativo é fixado. Essas pressões serão as menores (iguais às estáticas) se o eixo de rotação for o principal eixo de inércia que passa pelo centro de massa do corpo.

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