Neste artigo encontraremos respostas a perguntas sobre como criar uma projeção de um ponto em um plano e como determinar as coordenadas dessa projeção. Na parte teórica nos basearemos no conceito de projeção. Definiremos os termos e forneceremos informações com ilustrações. Vamos consolidar os conhecimentos adquiridos através da resolução de exemplos.

Projeção, tipos de projeção

Para facilitar a visualização de figuras espaciais, são utilizados desenhos que representam essas figuras.

Definição 1

Projeção de uma figura em um plano– desenho de uma figura espacial.

Obviamente, existem várias regras usadas para construir uma projeção.

Definição 2

Projeção– o processo de construção de um desenho de uma figura espacial em um plano usando regras de construção.

Plano de projeção- este é o plano em que a imagem é construída.

O uso de certas regras determina o tipo de projeção: central ou paralelo.

Um caso especial de projeção paralela é a projeção perpendicular ou ortogonal: em geometria é usada principalmente. Por esta razão, o próprio adjetivo “perpendicular” é muitas vezes omitido na fala: em geometria eles simplesmente dizem “projeção de uma figura” e com isso significam construir uma projeção usando o método de projeção perpendicular. Em casos especiais, é claro, pode ser acordado algo mais.

Observemos o fato de que a projeção de uma figura em um plano é essencialmente uma projeção de todos os pontos desta figura. Portanto, para poder estudar uma figura espacial em um desenho, é necessário adquirir a habilidade básica de projetar um ponto em um plano. Sobre o que falaremos a seguir.

Lembremos que na maioria das vezes em geometria, quando se fala em projeção em um plano, eles se referem ao uso de uma projeção perpendicular.

Façamos construções que nos darão a oportunidade de obter uma definição da projeção de um ponto num plano.

Digamos que seja dado um espaço tridimensional e nele exista um plano α e um ponto M 1 que não pertence ao plano α. Desenhe uma linha reta através do ponto dado M A perpendicular a um determinado plano α. Denotamos o ponto de intersecção da reta a e do plano α como H 1; por construção, ele servirá como base de uma perpendicular baixada do ponto M 1 ao plano α.

Se for dado um ponto M 2 pertencente a um determinado plano α, então M 2 servirá como uma projeção de si mesmo no plano α.

Definição 3

- este é o próprio ponto (se pertencer a um determinado plano) ou a base de uma perpendicular baixada de um determinado ponto para um determinado plano.

Encontrando as coordenadas da projeção de um ponto em um plano, exemplos

Seja dado o seguinte no espaço tridimensional: um sistema de coordenadas retangulares O x y z, um plano α, um ponto M 1 (x 1, y 1, z 1). É necessário encontrar as coordenadas da projeção do ponto M 1 em um determinado plano.

A solução decorre obviamente da definição dada acima da projeção de um ponto num plano.

Denotemos a projeção do ponto M 1 no plano α como H 1 . De acordo com a definição, H 1 é o ponto de intersecção de um determinado plano α e uma linha reta a traçada através do ponto M 1 (perpendicular ao plano). Aqueles. As coordenadas da projeção do ponto M1 que necessitamos são as coordenadas do ponto de intersecção da reta a e do plano α.

Assim, para encontrar as coordenadas da projeção de um ponto em um plano é necessário:

Obtenha a equação do plano α (se não for especificada). Um artigo sobre os tipos de equações planas irá ajudá-lo aqui;

Determine a equação de uma reta a passando pelo ponto M 1 e perpendicular ao plano α (estude o tópico sobre a equação de uma reta que passa por um determinado ponto perpendicular a um determinado plano);

Encontre as coordenadas do ponto de intersecção da reta a e do plano α (artigo - encontrar as coordenadas do ponto de intersecção do plano e da reta). Os dados obtidos serão as coordenadas que necessitamos para a projeção do ponto M 1 no plano α.

Vejamos a teoria com exemplos práticos.

Exemplo 1

Determine as coordenadas da projeção do ponto M 1 (- 2, 4, 4) no plano 2 x – 3 y + z - 2 = 0.

Solução

Como vemos, a equação do plano nos é dada, ou seja, não há necessidade de compilá-lo.

Vamos escrever as equações canônicas de uma reta a passando pelo ponto M 1 e perpendicular ao plano dado. Para isso, determinamos as coordenadas do vetor diretor da reta a. Como a linha a é perpendicular a um determinado plano, o vetor diretor da linha a é o vetor normal do plano 2 x - 3 y + z - 2 = 0. Por isso, a → = (2, - 3, 1) – vetor diretor da reta a.

Agora vamos compor as equações canônicas de uma reta no espaço passando pelo ponto M 1 (- 2, 4, 4) e tendo um vetor diretor uma → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Para encontrar as coordenadas necessárias, o próximo passo é determinar as coordenadas do ponto de intersecção da reta x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 e o plano 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . Para esses propósitos, passamos das equações canônicas para as equações de dois planos que se cruzam:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Vamos criar um sistema de equações:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

E vamos resolver usando o método de Cramer:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5

Assim, as coordenadas necessárias de um determinado ponto M 1 em um determinado plano α serão: (0, 1, 5).

Responder: (0 , 1 , 5) .

Exemplo 2

Em um sistema de coordenadas retangulares O x y z do espaço tridimensional, os pontos A (0, 0, 2) são dados; B (2, -1, 0); C (4, 1, 1) e M 1 (-1, -2, 5). É necessário encontrar as coordenadas da projeção M 1 no plano A B C

Solução

Em primeiro lugar, escrevemos a equação de um plano que passa por três pontos dados:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0

Vamos anotar as equações paramétricas da reta a, que passará pelo ponto M 1 perpendicular ao plano A B C. O plano x – 2 y + 2 z – 4 = 0 tem um vetor normal com coordenadas (1, - 2, 2), ou seja vetor a → = (1, - 2, 2) – vetor diretor da reta a.

Agora, tendo as coordenadas do ponto da reta M 1 e as coordenadas do vetor diretor desta reta, escrevemos as equações paramétricas da reta no espaço:

Em seguida, determinamos as coordenadas do ponto de intersecção do plano x – 2 y + 2 z – 4 = 0 e a linha reta

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

Para fazer isso, substituímos na equação do plano:

x = - 1 + λ, y = - 2 - 2 λ, z = 5 + 2 λ

Agora, usando as equações paramétricas x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ, encontramos os valores das variáveis ​​x, y e z para λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Assim, a projeção do ponto M 1 no plano A B C terá coordenadas (- 2, 0, 3).

Responder: (- 2 , 0 , 3) .

Detenhamo-nos separadamente na questão de encontrar as coordenadas da projeção de um ponto em planos coordenados e planos paralelos aos planos coordenados.

Sejam dados os pontos M 1 (x 1, y 1, z 1) e os planos coordenados O x y, O x z e O y z. As coordenadas da projeção deste ponto nestes planos serão, respectivamente: (x 1, y 1, 0), (x 1, 0, z 1) e (0, y 1, z 1). Consideremos também planos paralelos aos planos coordenados dados:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

E as projeções de um determinado ponto M 1 nesses planos serão pontos com coordenadas x 1, y 1, - D C, x 1, - D B, z 1 e - D A, y 1, z 1.

Vamos demonstrar como esse resultado foi obtido.

Como exemplo, vamos definir a projeção do ponto M 1 (x 1, y 1, z 1) no plano A x + D = 0. Os restantes casos são semelhantes.

O plano dado é paralelo ao plano coordenado O y z e i → = (1, 0, 0) é seu vetor normal. O mesmo vetor serve como vetor de direção da reta perpendicular ao plano O y z. Então as equações paramétricas de uma linha reta traçada através do ponto M 1 e perpendicular a um determinado plano terão a forma:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Vamos encontrar as coordenadas do ponto de intersecção desta reta e do plano dado. Vamos primeiro substituir as igualdades na equação A x + D = 0: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 e obter: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - DA - x 1

Em seguida, calculamos as coordenadas necessárias usando as equações paramétricas da linha reta com λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Ou seja, a projeção do ponto M 1 (x 1, y 1, z 1) no plano será um ponto com coordenadas - D A, y 1, z 1.

Exemplo 2

É necessário determinar as coordenadas da projeção do ponto M 1 (- 6, 0, 1 2) no plano coordenado O x y e no plano 2 y - 3 = 0.

Solução

O plano coordenado O x y corresponderá à equação geral incompleta do plano z = 0. A projeção do ponto M 1 no plano z = 0 terá coordenadas (- 6, 0, 0).

A equação plana 2 y - 3 = 0 pode ser escrita como y = 3 2 2. Agora basta anotar as coordenadas da projeção do ponto M 1 (- 6, 0, 1 2) no plano y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Responder:(- 6 , 0 , 0) e - 6 , 3 2 2 , 1 2

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Encontre o ângulo agudo entre as diagonais de um paralelogramo construído usando vetores

5) Determine as coordenadas do vetor c, direcionadas ao longo da bissetriz do ângulo entre os vetores a e b, se o vetor c = 3 raízes de 42. a=(2;-3;6), b=(-1;2; -2)

Vamos encontrar o vetor unitário e_a codirecional com a:

da mesma forma e_b = b/|b|,

então o vetor desejado será direcionado da mesma forma que a soma do vetor e_a+e_b, porque (e_a+e_b) é a diagonal de um losango, que é bissetriz do seu ângulo.

Vamos denotar (e_a+e_b)=d,

Vamos encontrar um vetor unitário direcionado ao longo da bissetriz: e_c = d/|d|

Se |c| = 3*sqrt(42), então c = |c|*e_c. Isso é tudo.

Encontre a relação linear entre estes quatro vetores não coplanares: p=a+b; q = b-c; r=ab+c; s=b+(1/2)*c

A partir das três primeiras igualdades, tente expressar `a,b,c` em termos de `p,q,r` (comece adicionando a segunda e a terceira equações). Em seguida, substitua `b` e `c` na última equação pelas expressões que você encontrou em termos de `p,q,r`.

13) Encontre a equação do plano que passa pelos pontos A(2, -1, 4) e B(3, 2, -1) perpendicular ao plano x + y + 2z – 3 = 0. A equação necessária do plano tem a forma: Ax + By + Cz + D = 0, o vetor normal a este plano (A, B, C). O vetor (1, 3, -5) pertence ao plano. O plano que nos é dado, perpendicular ao desejado, tem um vetor normal (1, 1, 2). Porque os pontos A e B pertencem a ambos os planos, e os planos são mutuamente perpendiculares, então o vetor normal é (11, -7, -2). Porque o ponto A pertence ao plano desejado, então suas coordenadas devem satisfazer a equação deste plano, ou seja, 11×2 + 7×1 - 2×4 + D = 0; D = -21. No total, obtemos a equação do plano: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.

14) A equação de um plano que passa por uma reta paralela a um vetor.

Deixe o plano desejado passar pela reta (x-x1)/a1 = (y-y1)/b1 = (z-z1)/c1 paralelo à reta (x-x2)/a2 = (y-y2)/b2 = (z -z2)/c2 .

Então o vetor normal do plano é o produto vetorial dos vetores de direção dessas retas:

Sejam as coordenadas do produto vetorial (A;B;C). O plano desejado passa pelo ponto (x1;y1;z1). O vetor normal e o ponto através do qual o plano passa determinam exclusivamente a equação do plano desejado:

A·(x-x1) + B·(y-y1) + C·(z-z1) = 0

17) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto A(5, -1) perpendicular à reta 3x - 7y + 14 = 0.

18) Escreva uma equação para uma linha reta que passa pelo ponto M perpendicular ao plano dado M(4,3,1) x+3y+5z-42=0

(x - x0) /n = (y - y0) /m = (z - z0) /p

M(x0,y0,z0) - seu ponto M(4,3,1)

(n, m, p) - o vetor diretor da reta, também conhecido como vetor normal para uma determinada superfície (1, 3, 5) (coeficientes para as variáveis ​​​​x, y, z na equação do plano)

Encontre a projeção de um ponto em um plano

Ponto M(1,-3,2), plano 2x+5y-3z-19=0

Estudar as propriedades das figuras no espaço e em um plano é impossível sem conhecer as distâncias entre um ponto e objetos geométricos como uma linha reta e um plano. Neste artigo mostraremos como encontrar essas distâncias considerando a projeção de um ponto em um plano e em uma reta.

Equação de uma linha reta para espaços bidimensionais e tridimensionais

O cálculo das distâncias de um ponto a uma reta e a um plano é realizado a partir de sua projeção sobre esses objetos. Para poder encontrar essas projeções, você deve saber de que forma são dadas as equações das retas e dos planos. Vamos começar com os primeiros.

Uma linha reta é um conjunto de pontos, cada um dos quais pode ser obtido do anterior transferindo-o para vetores paralelos entre si. Por exemplo, existe um ponto M e N. O vetor MN¯ que os conecta leva M a N. Há também um terceiro ponto P. Se o vetor MP¯ ou NP¯ for paralelo a MN¯, então todos os três pontos estão em a mesma linha e forme-a.

Dependendo da dimensão do espaço, a equação que define a reta pode mudar de forma. Assim, a conhecida dependência linear da coordenada y em x no espaço descreve um plano paralelo ao terceiro eixo z. Nesse sentido, neste artigo consideraremos apenas a equação vetorial da reta. Tem a mesma aparência para um espaço plano e tridimensional.

No espaço, uma linha reta pode ser definida pela seguinte expressão:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(uma; b; c)

Aqui, os valores das coordenadas com índices zero correspondem a um determinado ponto pertencente à reta, u¯(a; b; c) são as coordenadas do vetor de direção que se encontra nesta reta, α é um número real arbitrário, por alterando qual você pode obter todos os pontos da linha. Esta equação é chamada de equação vetorial.

A equação acima é frequentemente escrita na forma expandida:

De forma semelhante, você pode escrever a equação para uma reta localizada em um plano, ou seja, em um espaço bidimensional:

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b);

Equação plana

Para poder encontrar a distância de um ponto aos planos de projeção, você precisa saber como um plano é definido. Assim como uma linha reta, ela pode ser representada de diversas maneiras. Aqui consideraremos apenas uma: a equação geral.

Suponha que o ponto M(x 0 ; y 0 ; z 0) pertence ao plano, e o vetor n¯(A; B; C) é perpendicular a ele, então para todos os pontos (x; y; z) do plano a igualdade será válida:

A*x + B*y + C*z + D = 0, onde D = -1*(A*x 0 + B*y 0 + C*z 0)

Deve-se lembrar que nesta equação geral do plano, os coeficientes A, B e C são as coordenadas do vetor normal ao plano.

Cálculo de distâncias por coordenadas

Antes de passar a considerar as projeções no plano de um ponto e em uma linha reta, vale lembrar como calcular a distância entre dois pontos conhecidos.

Sejam dois pontos espaciais:

A 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) e A 2 (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2)

Então a distância entre eles é calculada pela fórmula:

A 1 A 2 = √((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2)

Usando esta expressão, o comprimento do vetor A 1 A 2 ¯ também é determinado.

Para o caso no plano, quando dois pontos são definidos por apenas um par de coordenadas, podemos escrever uma igualdade semelhante sem a presença de um termo com z:

A 1 A 2 = √((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2)

Agora consideremos vários casos de projeção de um ponto em um plano em uma linha reta e em um plano no espaço.

Ponto, linha e distância entre eles

Suponha que haja um ponto e uma linha:

P 2 (x 1 ; y 1);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b)

A distância entre esses objetos geométricos corresponderá ao comprimento do vetor, cujo início está no ponto P 2, e o final está no ponto P na linha especificada para a qual o vetor P 2 P ¯ é perpendicular a este linha. O ponto P é chamado de projeção do ponto P 2 na linha em consideração.

Abaixo está uma figura que mostra o ponto P 2, sua distância d à reta, bem como o vetor de direção v 1 ¯. Além disso, um ponto arbitrário P 1 é selecionado na reta e um vetor é traçado dele para P 2. O ponto P aqui coincide com o local onde a perpendicular cruza a linha.

Pode-se observar que as setas laranja e vermelha formam um paralelogramo, cujos lados são os vetores P 1 P 2 ¯ e v 1 ¯, e a altura é d. Sabe-se pela geometria que para encontrar a altura de um paralelogramo, sua área deve ser dividida pelo comprimento da base sobre a qual a perpendicular é baixada. Como a área de um paralelogramo é calculada como o produto vetorial de seus lados, obtemos uma fórmula para calcular d:

d = ||/|v 1 ¯|

Todos os vetores e coordenadas de pontos nesta expressão são conhecidos, portanto você pode usá-la sem realizar nenhuma transformação.

Este problema poderia ter sido resolvido de forma diferente. Para fazer isso, escreva duas equações:

• o produto escalar de P 2 P ¯ por v 1 ¯ deve ser igual a zero, pois esses vetores são mutuamente perpendiculares;
• as coordenadas do ponto P devem satisfazer a equação da reta.

Essas equações são suficientes para encontrar as coordenadas P e depois o comprimento d usando a fórmula dada no parágrafo anterior.

A tarefa de encontrar a distância entre uma linha e um ponto

Mostraremos como usar essas informações teóricas para resolver um problema específico. Suponha que o seguinte ponto e linha sejam conhecidos:

(x; y) = (3; 1) - α*(0; 2)

É necessário encontrar os pontos de projeção em uma reta do plano, bem como a distância de M à reta.

Denotemos a projeção a ser encontrada pelo ponto M 1 (x 1 ; y 1). Vamos resolver este problema de duas maneiras, descritas no parágrafo anterior.

Método 1. O vetor de direção v 1 ¯ possui coordenadas (0; 2). Para construir um paralelogramo, selecionamos algum ponto pertencente à reta. Por exemplo, um ponto com coordenadas (3; 1). Então o vetor do segundo lado do paralelogramo terá as coordenadas:

(5; -3) - (3; 1) = (2; -4)

Agora você precisa calcular o produto dos vetores que definem os lados do paralelogramo:

Substituímos este valor na fórmula e obtemos a distância d de M à linha reta:

Método 2. Agora vamos encontrar de outra forma não apenas a distância, mas também as coordenadas da projeção M na reta, conforme exigido pela condição do problema. Conforme mencionado acima, para resolver o problema é necessário criar um sistema de equações. Será parecido com:

(x 1 -5)*0+(y 1 +3)*2 = 0;

(x 1 ; y 1) = (3; 1)-α*(0; 2)

Vamos resolver este sistema:

A projeção do ponto coordenado original tem M 1 (3; -3). Então a distância necessária é:

d = |MM 1 ¯| = √(4+0) = 2

Como você pode ver, ambos os métodos de solução deram o mesmo resultado, o que indica a correção das operações matemáticas realizadas.

Projeção de um ponto em um plano

Agora vamos considerar qual é a projeção de um ponto dado no espaço em um determinado plano. É fácil adivinhar que esta projeção é também um ponto que, junto com o original, forma um vetor perpendicular ao plano.

Suponhamos que a projeção no plano do ponto M tenha as seguintes coordenadas:

O próprio plano é descrito pela equação:

A*x + B*y + C*z + D = 0

Com base nesses dados, podemos criar uma equação para uma reta que cruza o plano em ângulo reto e passa por M e M 1:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(A; B; C)

Aqui, as variáveis ​​​​com índices zero são as coordenadas do ponto M. A posição no plano do ponto M 1 pode ser calculada com base no fato de que suas coordenadas devem satisfazer ambas as equações escritas. Se essas equações não forem suficientes para resolver o problema, então pode-se usar a condição de paralelismo entre MM 1 ¯ e o vetor guia para um determinado plano.

Obviamente, a projeção de um ponto pertencente ao plano coincide consigo mesmo e a distância correspondente é zero.

Problema com um ponto e um plano

Seja dado um ponto M(1; -1; 3) e um plano, que é descrito pela seguinte equação geral:

É necessário calcular as coordenadas da projeção no plano do ponto e calcular a distância entre esses objetos geométricos.

Primeiro, vamos construir a equação de uma reta que passa por M e é perpendicular ao plano indicado. Parece:

(x; y; z) = (1; -1; 3) + α*(-1; 3; -2)

Vamos denotar o ponto onde esta linha cruza o plano como M 1 . As igualdades do plano e da reta devem ser satisfeitas se as coordenadas M 1 forem substituídas nelas. Escrevendo explicitamente a equação da reta, obtemos as seguintes quatro igualdades:

X 1 + 3*y 1 -2*z 1 + 4 = 0;

y 1 = -1 + 3*α;

Da última igualdade obtemos o parâmetro α, depois o substituímos na penúltima e na segunda expressões, obtemos:

y 1 = -1 + 3*(3-z 1)/2 = -3/2*z 1 + 3,5;

x 1 = 1 - (3-z 1)/2 = 1/2*z 1 - 1/2

Substituímos a expressão para y 1 ex 1 na equação do plano, temos:

1*(1/2*z 1 - 1/2) + 3*(-3/2*z 1 + 3,5) -2*z 1 + 4 = 0

De onde tiramos isso:

y 1 = -3/2*15/7 + 3,5 = 2/7;

x 1 = 1/2*15/7 - 1/2 = 4/7

Determinamos que a projeção do ponto M em um determinado plano corresponde às coordenadas (4/7; 2/7; 15/7).

Agora vamos calcular a distância |MM 1 ¯|. As coordenadas do vetor correspondente são:

MM 1 ¯(-3/7; 9/7; -6/7)

A distância necessária é:

d = |MM 1 ¯| = √126/7 ≈ 1,6

Projeção de três pontos

Durante a produção de desenhos, muitas vezes é necessário obter projeções de seções em três planos perpendiculares entre si. Portanto, é útil considerar a que serão iguais as projeções de um determinado ponto M com coordenadas (x 0 ; y 0 ; z 0) em três planos coordenados.

Não é difícil mostrar que o plano xy é descrito pela equação z = 0, o plano xz corresponde à expressão y = 0 e o plano yz restante é denotado por x = 0. Não é difícil adivinhar que o as projeções de um ponto em 3 planos serão iguais:

para x = 0: (0; y 0; z 0);

para y = 0: (x 0 ; 0 ; z 0);

para z = 0: (x 0; y 0; 0)

Onde é importante conhecer a projeção de um ponto e sua distância aos planos?

Determinar a posição da projeção dos pontos em um determinado plano é importante ao encontrar quantidades como área de superfície e volume para prismas e pirâmides inclinados. Por exemplo, a distância do topo da pirâmide ao plano base é a altura. Este último está incluído na fórmula do volume desta figura.

As fórmulas e métodos considerados para determinar projeções e distâncias de um ponto a uma linha reta e plano são bastante simples. É importante apenas lembrar as formas correspondentes das equações de um plano e de uma reta, bem como ter uma boa imaginação espacial para aplicá-las com sucesso.

Ao resolver problemas geométricos no espaço, surge frequentemente o problema de determinar a distância entre um plano e um ponto. Em alguns casos, isto é necessário para uma solução abrangente. Este valor pode ser calculado encontrando a projeção no plano do ponto. Vejamos esse problema com mais detalhes no artigo.

Equação para descrever um plano

Antes de prosseguir para considerar a questão de como encontrar a projeção de um ponto em um plano, você deve se familiarizar com os tipos de equações que definem este último no espaço tridimensional. Mais detalhes abaixo.

Uma equação geral que define todos os pontos que pertencem a um determinado plano é a seguinte:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Os três primeiros coeficientes são as coordenadas do vetor, que é chamado de guia do plano. Coincide com o normal para isso, ou seja, é perpendicular. Este vetor é denotado por n¯(A; B; C). O coeficiente livre D é determinado exclusivamente a partir do conhecimento das coordenadas de qualquer ponto pertencente ao plano.

O conceito de projeção pontual e seu cálculo

Suponha que algum ponto P(x 1 ; y 1 ; z 1) e um plano sejam dados. É definido pela equação na forma geral. Se traçarmos uma linha perpendicular de P a um determinado plano, então é óbvio que ela cruzará o último em um ponto específico Q (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2). Q é chamada de projeção de P no plano em consideração. O comprimento do segmento PQ é denominado distância do ponto P ao plano. Assim, o próprio PQ é perpendicular ao plano.

Como você pode encontrar as coordenadas da projeção de um ponto em um plano? Não é difícil fazer isso. Primeiro você precisa criar uma equação para uma linha reta que será perpendicular ao plano. A ela pertencerá o ponto P. Como o vetor normal n¯(A; B; C) desta reta deve ser paralelo, a equação para ela na forma apropriada será escrita da seguinte forma:

(x; y; z) = (x 1; y 1; z 1) + λ*(A; B; C).

Onde λ é um número real, que geralmente é chamado de parâmetro da equação. Ao alterá-lo, você pode obter qualquer ponto da linha.

Depois de escrita a equação vetorial de uma reta perpendicular ao plano, é necessário encontrar o ponto de intersecção comum dos objetos geométricos em consideração. Suas coordenadas serão a projeção P. Como devem satisfazer ambas as igualdades (para a reta e para o plano), o problema se reduz a resolver o sistema de equações lineares correspondente.

O conceito de projeção é frequentemente utilizado no estudo de desenhos. Eles representam projeções laterais e horizontais da peça nos planos zy, zx e xy.

Calculando a distância de um plano a um ponto

Conforme observado acima, conhecer as coordenadas da projeção no plano de um ponto permite determinar a distância entre eles. Utilizando a notação introduzida no parágrafo anterior, descobrimos que a distância necessária é igual ao comprimento do segmento PQ. Para calculá-lo, basta encontrar as coordenadas do vetor PQ¯ e depois calcular seu módulo pela fórmula conhecida. A expressão final para d distância entre o ponto P e o plano assume a forma:

d = |PQ¯| = √((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).

O valor resultante de d é apresentado em unidades nas quais o atual sistema de coordenadas cartesianas xyz é especificado.

Exemplo de tarefa

Digamos que exista um ponto N(0; -2; 3) e um plano, que é descrito pela seguinte equação:

Você precisa encontrar os pontos de projeção no plano e calcular a distância entre eles.

Em primeiro lugar, vamos criar uma equação para uma reta que cruza o plano em um ângulo de 90 o. Nós temos:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + λ*(2; -1; 1).

Escrevendo esta igualdade explicitamente, chegamos ao seguinte sistema de equações:

Substituindo os valores das coordenadas das três primeiras igualdades na quarta, obtemos o valor λ, que determina as coordenadas do ponto comum da reta e do plano:

2*(2*λ) - (-2 - λ) + λ + 3 + 4 = 0 =>

6*λ + 9 = 0 =>

λ = 9/6 = 3/2 = 1,5.

Vamos substituir o parâmetro encontrado e encontrar as coordenadas da projeção do ponto inicial no plano:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + 1,5*(2; -1; 1) = (3; -3,5; 4,5).

Para calcular a distância entre os objetos geométricos especificados na definição do problema, aplicamos a fórmula para d:

d = √((3 - 0) 2 + (-3,5 + 2) 2 + (4,5 - 3) 2) = 3,674.

Neste problema mostramos como encontrar a projeção de um ponto em um plano arbitrário e como calcular a distância entre eles.