Forma integral (final). Teorema sobre a mudança na energia cinética de um ponto material: a mudança na energia cinética de um ponto material em algum de seu deslocamento é igual à soma algébrica do trabalho de todas as forças que atuam neste ponto no mesmo deslocamento.

O teorema sobre a mudança na energia cinética de um sistema mecânico é formulado: a mudança na energia cinética de um sistema mecânico quando ele se move de uma posição para outra é igual à soma do trabalho de todas as forças externas e internas aplicadas ao sistema durante este movimento:

No caso de um sistema imutável, a soma do trabalho realizado pelas forças internas em qualquer deslocamento é igual a zero (), então

Lei da conservação da energia mecânica. Quando um sistema mecânico se move sob a influência de forças que possuem potencial, as mudanças na energia cinética do sistema são determinadas pelas dependências:

Onde ,

A soma das energias cinética e potencial de um sistema é chamada energia mecânica total sistemas.

Por isso, Quando um sistema mecânico se move em um campo potencial estacionário, a energia mecânica total do sistema durante o movimento permanece inalterada.

Tarefa. Um sistema mecânico, sob a influência da gravidade, entra em movimento a partir de um estado de repouso. Levando em consideração o atrito de deslizamento do corpo 3, desprezando outras forças de resistência e as massas dos fios considerados inextensíveis, determine a velocidade e a aceleração do corpo 1 no momento em que o caminho percorrido por ele se torna igual é(Fig. 3.70).

Na tarefa, aceite:

Solução. O sistema mecânico é influenciado por forças ativas,,. Aplicando o princípio de libertar o sistema de restrições, mostraremos as reações do suporte articulado-fixo 2 e da superfície inclinada rugosa. Representaremos as direções das velocidades dos corpos do sistema levando em consideração o fato do corpo 1 estar descendo.

Vamos resolver o problema aplicando o teorema da variação da energia cinética de um sistema mecânico:

Onde T e é a energia cinética do sistema nas posições inicial e final; - a soma algébrica do trabalho realizado pelas forças externas aplicadas ao sistema para mover o sistema da posição inicial para a posição final; - a soma do trabalho realizado pelas forças internas do sistema no mesmo deslocamento.

Para o sistema em questão, constituído por corpos absolutamente rígidos conectados por fios inextensíveis:

Como o sistema estava em repouso na posição inicial, então. Por isso:

A energia cinética do sistema é a soma das energias cinéticas dos corpos 1, 2, 3:

A energia cinética da carga 1 avançando é igual a:

Energia cinética do bloco 2 girando em torno de um eixo onça, perpendicular ao plano de desenho:

Energia cinética do corpo 3 em seu movimento para frente:

Por isso,

A expressão para energia cinética contém as velocidades desconhecidas de todos os corpos do sistema. A definição deve começar com. Vamos nos livrar de incógnitas desnecessárias criando equações de conexões.

As equações de restrição nada mais são do que relações cinemáticas entre as velocidades e movimentos dos pontos do sistema. Ao compilar as equações de restrição, expressaremos todas as velocidades e movimentos desconhecidos dos corpos do sistema através da velocidade e movimento da carga 1.

A velocidade de qualquer ponto na borda de pequeno raio é igual à velocidade do corpo 1, bem como ao produto da velocidade angular do corpo 2 e o raio de rotação R:

A partir daqui expressamos a velocidade angular do corpo 2:

A velocidade de rotação de qualquer ponto da borda de um bloco de grande raio, por um lado, é igual ao produto da velocidade angular do bloco pelo raio de rotação e, por outro lado, à velocidade do corpo 3 :

Substituindo o valor da velocidade angular, obtemos:

Tendo integrado as expressões (a) e (b) nas condições iniciais, escrevemos a razão dos deslocamentos dos pontos do sistema:

Conhecendo as dependências básicas das velocidades dos pontos do sistema, voltamos à expressão da energia cinética e substituímos nela as equações (a) e (b):

O momento de inércia do corpo 2 é igual a:

Substituindo os valores das massas corporais e do momento de inércia do corpo 2, escrevemos:

Determinação da soma do trabalho de todas as forças externas do sistema em um determinado deslocamento.

Agora, de acordo com o teorema da mudança na energia cinética de um sistema mecânico, igualamos os valores T E

A velocidade do corpo 1 é obtida a partir da expressão (g)

A aceleração do corpo 1 pode ser determinada diferenciando a igualdade (g) em relação ao tempo.

Vamos apresentar o conceito de outra característica dinâmica básica do movimento - a energia cinética. A energia cinética de um ponto material é uma quantidade escalar igual à metade do produto da massa do ponto pelo quadrado de sua velocidade.

A unidade de medida da energia cinética é a mesma do trabalho (no SI - 1 J). Vamos encontrar a relação que conecta essas duas quantidades.

Vamos considerar um ponto material com massa movendo-se de uma posição onde tem velocidade para uma posição onde sua velocidade

Para obter a dependência desejada, voltemos à equação que expressa a lei básica da dinâmica.Projetando ambas as suas partes na tangente à trajetória do ponto M, direcionada na direção do movimento, obtemos

Vamos representar a aceleração tangencial do ponto aqui incluído na forma

Como resultado, descobrimos que

Vamos multiplicar ambos os lados desta igualdade por e inseri-la sob o sinal diferencial. Então, observando que onde está o trabalho elementar da força, obtemos a expressão do teorema da variação da energia cinética de um ponto na forma diferencial:

Tendo agora integrado ambos os lados desta igualdade dentro dos limites correspondentes aos valores das variáveis ​​​​nos pontos, encontraremos finalmente

A equação (52) expressa o teorema sobre a mudança na energia cinética de um ponto na forma final: a mudança na energia cinética de um ponto durante algum deslocamento é igual à soma algébrica do trabalho de todas as forças que atuam no ponto em o mesmo deslocamento.

O caso do movimento não livre. Quando o ponto se move de maneira não livre, o lado direito da igualdade (52) incluirá o trabalho das forças dadas (ativas) e o trabalho da reação de acoplamento. Limitemo-nos a considerar o movimento de um ponto ao longo de uma superfície ou curva estacionária lisa (sem atrito). Neste caso, a reação N (ver Fig. 233) será direcionada normal à trajetória do ponto e. Então, de acordo com a fórmula (44), o trabalho de reação de uma superfície lisa estacionária (ou curva) para qualquer movimento do ponto será igual a zero, e da equação (52) obtemos

Conseqüentemente, ao se mover ao longo de uma superfície lisa estacionária (ou curva), a mudança na energia cinética de um ponto é igual à soma do trabalho realizado neste movimento das forças ativas aplicadas ao ponto.

Se a superfície (curva) não for lisa, então o trabalho da força de atrito será adicionado ao trabalho das forças ativas (ver § 88). Se a superfície (curva) estiver em movimento, então o deslocamento absoluto do ponto M pode não ser perpendicular a N e então o trabalho de reação N não será igual a zero (por exemplo, o trabalho de reação da plataforma do elevador).

Solução de problemas. O teorema da variação da energia cinética [fórmula (52)] permite, sabendo como muda a velocidade de um ponto quando um ponto se move, determinar o trabalho das forças atuantes (o primeiro problema de dinâmica) ou, conhecendo o trabalho de as forças atuantes, para determinar como a velocidade de um ponto muda quando se move (o segundo problema de dinâmica). Ao resolver o segundo problema, quando as forças são dadas, é necessário calcular o seu trabalho. Como pode ser visto nas fórmulas (44), (44), isso só pode ser feito quando as forças são constantes ou dependem apenas da posição (coordenadas) do ponto móvel, como a força da elasticidade ou da gravidade (ver § 88 ).

Assim, a fórmula (52) pode ser usada diretamente para resolver o segundo problema de dinâmica, quando os dados e quantidades necessárias no problema incluem: forças atuantes, o deslocamento de um ponto e suas velocidades inicial e final (ou seja, quantidades), e as forças devem ser constantes ou depender apenas da posição (coordenadas) do ponto.

O teorema na forma diferencial [fórmula (51)] pode, é claro, ser aplicado para quaisquer forças atuantes.

Problema 98. Uma carga pesando kg, lançada com velocidade do ponto A, localizado em uma altura (Fig. 235), tem velocidade no ponto de queda C. Determine qual é o trabalho realizado pela força de resistência do ar atuando sobre a carga durante seu movimento

Solução. À medida que a carga se move, atuam sobre a carga a força da gravidade P e a força da resistência do ar R. De acordo com o teorema da variação da energia cinética, considerando a carga como um ponto material, temos

Desta igualdade, pois pela fórmula encontramos

Problema 99. Nas condições do problema 96 (ver [§ 84), determine qual caminho a carga percorrerá antes de parar (ver Fig. 223, onde é a posição inicial da carga e é a posição final).

Solução. A carga, como no problema 96, é atuada pelas forças P, N, F. Para determinar a distância de frenagem, levando em consideração que as condições deste problema também incluem uma força constante F, usaremos o teorema da mudança em energia cinética

No caso em consideração - a velocidade da carga no momento da parada). Além disso, como as forças P e N são perpendiculares ao deslocamento, como resultado, chegamos de onde encontramos

De acordo com os resultados do problema 96, o tempo de frenagem aumenta proporcionalmente à velocidade inicial, e a distância de frenagem, como descobrimos, é proporcional ao quadrado da velocidade inicial. Quando aplicado ao transporte terrestre, isto mostra como o perigo aumenta com o aumento da velocidade.

Problema 100. Uma carga de peso P está suspensa em um fio de comprimento l. O fio junto com a carga é desviado da vertical em um ângulo (Fig. 236, a) e liberado sem velocidade inicial. Ao se mover, uma força de resistência R atua sobre a carga, que substituímos aproximadamente por seu valor médio. Encontre a velocidade da carga no momento em que o fio forma um ângulo com a vertical

Solução. Levando em consideração as condições do problema, utilizamos novamente o Teorema (52):

A carga é influenciada pela força da gravidade P, reação do fio de resistência, representada pelo seu valor médio R. Para a força P, conforme fórmula (47) para a força N, pois finalmente obtemos, para a força pois, de acordo com a fórmula (45) será (o comprimento s do arco é igual ao produto do raio l pelo ângulo central). Além disso, de acordo com as condições do problema. Como resultado, a igualdade (a) dá:

Na ausência de resistência, obtemos daqui a conhecida fórmula de Galileu, que obviamente também é válida para a velocidade de uma carga em queda livre (Fig. 236, b).

No problema em consideração, introduzindo outra notação - a força de resistência média por unidade de peso da carga), obtemos finalmente

Problema 101. No estado não deformado, a mola da válvula tem comprimento de cm, quando a válvula está totalmente aberta seu comprimento é de cm e a altura de elevação da válvula é de cm (Fig. 237). Peso da válvula de rigidez da mola kg. Desprezando os efeitos da gravidade e das forças de resistência, determine a velocidade da válvula no momento em que ela é fechada.

Solução, vamos usar a equação

De acordo com as condições do problema, o trabalho é realizado apenas pela força elástica da mola. Então, de acordo com a fórmula (48) será

Nesse caso

Além disso, substituindo todos esses valores na equação (a), finalmente obtemos

Tarefa 102 cai sobre a viga de uma altura H.

Solução. Como no problema anterior, usaremos a equação (52) para resolver. Neste caso, a velocidade inicial da carga e sua velocidade final (no momento de deflexão máxima da viga) são iguais a zero e a equação (52) assume a forma

O trabalho aqui é realizado pela força gravitacional P no deslocamento e pela força elástica da viga F no deslocamento. Além disso, como para a viga Substituindo essas quantidades na igualdade (a), obtemos

Mas quando a carga está em equilíbrio na viga, a força da gravidade é equilibrada pela força da elasticidade, portanto, a igualdade anterior pode ser representada na forma

Resolvendo esta equação quadrática e tendo em conta que de acordo com as condições do problema devemos encontrar

É interessante notar que quando acontece Portanto, se uma carga for colocada no meio de uma viga horizontal, então sua deflexão máxima ao baixar a carga será igual ao dobro da estática. Posteriormente, a carga começará a oscilar junto com a viga em torno da posição de equilíbrio. Sob a influência da resistência, essas oscilações serão amortecidas e o sistema será equilibrado em uma posição em que a deflexão da viga seja igual a

Problema 103. Determine a velocidade inicial mínima direcionada verticalmente que deve ser transmitida ao corpo para que ele suba da superfície da Terra até uma determinada altura H (Fig. 239).Considera-se que a força de atração varia inversamente com o quadrado do distância do centro da Terra. Despreze a resistência do ar.

Solução. Considerando o corpo como um ponto material com massa, usamos a equação

O trabalho aqui é realizado pela força gravitacional F. Então, utilizando a fórmula (50), levando em consideração que neste caso onde R é o raio da Terra, obtemos

Como no ponto mais alto, com o valor encontrado do trabalho, a equação (a) dá

Vamos considerar casos especiais:

a) seja H muito pequeno comparado a R. Então - um valor próximo de zero. Dividindo o numerador e o denominador obtemos

Assim, para H pequeno chegamos à fórmula de Galileu;

b) vamos descobrir a que velocidade inicial o corpo lançado irá até o infinito. Dividindo o numerador e o denominador por A, obtemos

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Breve revisão

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Dois casos de transformação do movimento mecânico de um ponto material ou sistema de pontos:

1. o movimento mecânico é transferido de um sistema mecânico para outro como movimento mecânico;
2. o movimento mecânico se transforma em outra forma de movimento da matéria (na forma de energia potencial, calor, eletricidade, etc.).

Quando se considera a transformação do movimento mecânico sem sua transição para outra forma de movimento, a medida do movimento mecânico é o vetor de momento de um ponto material ou sistema mecânico. A medida da força neste caso é o vetor do impulso da força.

Quando o movimento mecânico se transforma em outra forma de movimento da matéria, a energia cinética de um ponto material ou sistema mecânico atua como uma medida do movimento mecânico. A medida da ação da força ao transformar o movimento mecânico em outra forma de movimento é o trabalho da força

Energia cinética

A energia cinética é a capacidade do corpo de superar um obstáculo enquanto se move.

Energia cinética de um ponto material

A energia cinética de um ponto material é uma quantidade escalar igual à metade do produto da massa do ponto pelo quadrado de sua velocidade.

Energia cinética:

• caracteriza movimentos translacionais e rotacionais;
• não depende da direção de movimento dos pontos do sistema e não caracteriza mudanças nessas direções;
• caracteriza a ação de forças internas e externas.

Energia cinética de um sistema mecânico

A energia cinética do sistema é igual à soma das energias cinéticas dos corpos do sistema. A energia cinética depende do tipo de movimento dos corpos do sistema.

Determinação da energia cinética de um corpo sólido para diferentes tipos de movimento.

Energia cinética do movimento translacional
Durante o movimento de translação, a energia cinética do corpo é igual a T=eu V 2 /2.

A medida da inércia de um corpo durante o movimento de translação é a massa.

Energia cinética do movimento rotacional de um corpo

Durante o movimento rotacional de um corpo, a energia cinética é igual à metade do produto do momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação e ao quadrado de sua velocidade angular.

Uma medida da inércia de um corpo durante o movimento rotacional é o momento de inércia.

A energia cinética de um corpo não depende do sentido de rotação do corpo.

Energia cinética do movimento plano paralelo de um corpo

Com o movimento plano paralelo de um corpo, a energia cinética é igual a

Trabalho de força

O trabalho da força caracteriza a ação de uma força sobre um corpo durante algum movimento e determina a mudança no módulo de velocidade do ponto em movimento.

Trabalho elementar de força

O trabalho elementar de uma força é definido como uma quantidade escalar igual ao produto da projeção da força na tangente à trajetória, direcionada na direção do movimento do ponto, e o deslocamento infinitesimal do ponto, direcionado ao longo deste tangente.

Trabalho realizado pela força no deslocamento final

O trabalho realizado por uma força em um deslocamento final é igual à soma de seu trabalho nas seções elementares.

O trabalho de uma força em um deslocamento final M 1 M 0 é igual à integral do trabalho elementar ao longo desse deslocamento.

O trabalho de uma força no deslocamento M 1 M 2 é representado pela área da figura, limitada pelo eixo das abcissas, pela curva e pelas ordenadas correspondentes aos pontos M 1 e M 0.

A unidade de medida para o trabalho de força e energia cinética no sistema SI é 1 (J).

Teoremas sobre o trabalho da força

Teorema 1. O trabalho realizado pela força resultante em um determinado deslocamento é igual à soma algébrica do trabalho realizado pelas forças componentes no mesmo deslocamento.

Teorema 2. O trabalho realizado por uma força constante sobre o deslocamento resultante é igual à soma algébrica do trabalho realizado por esta força sobre os deslocamentos componentes.

Poder

Potência é uma quantidade que determina o trabalho realizado por uma força por unidade de tempo.

A unidade de medida de potência é 1W = 1 J/s.

Casos de determinação do trabalho das forças

Trabalho de forças internas

A soma do trabalho realizado pelas forças internas de um corpo rígido durante qualquer movimento é zero.

Trabalho de gravidade

Trabalho de força elástica

Trabalho da força de atrito

Trabalho de forças aplicadas a um corpo em rotação

O trabalho elementar das forças aplicadas a um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo é igual ao produto do momento principal das forças externas em relação ao eixo de rotação e o incremento no ângulo de rotação.

Resistência ao rolamento

Na zona de contato do cilindro estacionário e do plano ocorre deformação local de compressão de contato, a tensão é distribuída de acordo com uma lei elíptica, e a linha de ação da resultante N dessas tensões coincide com a linha de ação da carga força no cilindro Q. Quando o cilindro rola, a distribuição da carga torna-se assimétrica com um máximo deslocado em direção ao movimento. O N resultante é deslocado pela quantidade k - o braço da força de atrito de rolamento, que também é chamado de coeficiente de atrito de rolamento e tem a dimensão do comprimento (cm)

Teorema sobre a mudança na energia cinética de um ponto material

A mudança na energia cinética de um ponto material com um certo deslocamento é igual à soma algébrica de todas as forças que atuam no ponto com o mesmo deslocamento.

Teorema sobre a mudança na energia cinética de um sistema mecânico

A mudança na energia cinética de um sistema mecânico com um determinado deslocamento é igual à soma algébrica das forças internas e externas que atuam nos pontos materiais do sistema com o mesmo deslocamento.

Teorema sobre a mudança na energia cinética de um corpo sólido

A mudança na energia cinética de um corpo rígido (sistema inalterado) com um determinado deslocamento é igual à soma das forças externas que atuam nos pontos do sistema com o mesmo deslocamento.

Eficiência

Forças atuando em mecanismos

As forças e pares de forças (momentos) aplicados a um mecanismo ou máquina podem ser divididos em grupos:

1. Forças e momentos motrizes que realizam trabalho positivo (aplicados aos elos de acionamento, por exemplo, pressão do gás no pistão em um motor de combustão interna).

2. Forças e momentos de resistência que realizam trabalho negativo:

• resistência útil (realizam o trabalho exigido da máquina e são aplicadas aos elos acionados, por exemplo, a resistência da carga levantada pela máquina),
• forças de resistência (por exemplo, forças de atrito, resistência do ar, etc.).

3. Forças gravitacionais e forças elásticas das molas (trabalho positivo e negativo, enquanto o trabalho para um ciclo completo é zero).

4. Forças e momentos aplicados ao corpo ou suporte vindos de fora (reação da fundação, etc.), que não realizam trabalho.

5. Forças de interação entre elos atuando em pares cinemáticos.

6. As forças inerciais dos elos, causadas pela massa e movimento dos elos com aceleração, podem realizar trabalho positivo, negativo e não realizar trabalho.

Trabalho de forças em mecanismos

Quando a máquina opera em estado estacionário, sua energia cinética não muda e a soma do trabalho das forças motrizes e das forças de resistência aplicadas a ela é zero.

O trabalho despendido para colocar a máquina em movimento é despendido na superação de resistências úteis e prejudiciais.

Eficiência do mecanismo

A eficiência mecânica durante o movimento estacionário é igual à razão entre o trabalho útil da máquina e o trabalho despendido para colocar a máquina em movimento:

Os elementos da máquina podem ser conectados em série, paralelo e mistos.

Eficiência na conexão em série

Quando os mecanismos são conectados em série, a eficiência global é menor que a eficiência mais baixa de um mecanismo individual.

Eficiência em conexão paralela

Quando os mecanismos são conectados em paralelo, a eficiência geral é maior que a menor e menor que a maior eficiência de um mecanismo individual.

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Exemplo de cálculo de uma engrenagem reta
Um exemplo de cálculo de uma engrenagem reta. Foram realizadas a escolha do material, cálculo das tensões admissíveis, cálculo do contato e resistência à flexão.

Um exemplo de resolução de um problema de flexão de viga
No exemplo, foram construídos diagramas de forças transversais e momentos fletores, uma seção perigosa foi encontrada e uma viga I foi selecionada. O problema analisou a construção de diagramas utilizando dependências diferenciais e realizou uma análise comparativa de diversas seções transversais da viga.

Um exemplo de solução de um problema de torção de eixo
A tarefa é testar a resistência de um eixo de aço em um determinado diâmetro, material e tensão admissível. Durante a solução, são construídos diagramas de torques, tensões de cisalhamento e ângulos de torção. O próprio peso do eixo não é levado em consideração

Um exemplo de resolução de um problema de tensão-compressão de uma haste
A tarefa é testar a resistência de uma barra de aço sob tensões admissíveis especificadas. Durante a solução são construídos diagramas de forças longitudinais, tensões normais e deslocamentos. O próprio peso da haste não é levado em consideração

Aplicação do teorema da conservação da energia cinética
Um exemplo de resolução de um problema usando o teorema da conservação da energia cinética de um sistema mecânico

Um exemplo de resolução de um problema utilizando o teorema da variação da energia cinética de um sistema com corpos rígidos, blocos, polias e uma mola.

Contente

A tarefa

O sistema mecânico consiste nos pesos 1 e 2, uma polia escalonada 3 com raios de degrau R 3 = 0,3m, r3 = 0,1m e raio de giração em relação ao eixo de rotação ρ 3 = 0,2m, bloco 4 raio R 4 = 0,2m e bloco móvel 5. O bloco 5 é considerado um cilindro sólido homogêneo. Coeficiente de atrito da carga 2 no plano f = 0,1 . Os corpos do sistema são interligados por fios lançados sobre blocos e enrolados na polia 3. As seções dos fios são paralelas aos planos correspondentes. Uma mola com coeficiente de rigidez c = está presa ao bloco móvel 5 280 N/m.

Sob a influência da força F = f (s) = 80(6 + 7s)N, dependendo do deslocamento s do ponto de sua aplicação, o sistema começa a sair do estado de repouso. A deformação da mola no momento do início do movimento é zero. Ao se mover, a polia 3 sofre a ação de um momento constante M = 1,6 Nm forças de resistência (de fricção em rolamentos). Massas corporais: m 1 = 0 , eu 2 = 5kg, eu 3 = 6kg, eu 4 = 0 , eu 5 = 4kg.

Determine o valor do centro de massa do corpo 5 V C 5 no momento em que o deslocamento s da carga 1 se torna igual a s 1 = 0,2m.

Observação. Ao resolver um problema, use teorema da mudança de energia cinética.

A solução do problema

Dado: R 3 = 0,3m, r3 = 0,1m, ρ 3 = 0,2m, R 4 = 0,2m, f = 0,1 , s = 280 N/m, eu 1 = 0 , eu 2 = 5kg, eu 3 = 6kg, eu 4 = 0 , eu 5 = 4kg, F = f (s) = 80(6 + 7s)N, é 1 = 0,2m.

Encontrar: VC 5 .

Designações de variáveis

R 3, r3- raios dos passos 3 da polia;
ρ 3 - raio de inércia da polia 3 em relação ao eixo de rotação;
R 5 - raio do bloco 5;
V 1 , V. 2 - velocidades dos corpos 1 e 2;
ω 3 - velocidade angular de rotação da polia 3;
VC 5 - velocidade do centro de massa C 5 bloco 5;
ω 5 - velocidade angular de rotação do bloco 5;
é 1 , é 2 - movimentação dos corpos 1 e 2;
φ 3 - ângulo de rotação da polia 3;
é C 5 - movimento do centro de massa C 5 bloco 5;
s A, s B - pontos móveis A e B.

Estabelecendo relações cinemáticas

Vamos estabelecer relações cinemáticas. Como as cargas 1 e 2 estão conectadas por um fio, suas velocidades são iguais:
V 2 = V 1.
Como o fio que conecta as cargas 1 e 2 é enrolado no estágio externo da polia 3, as pontas do estágio externo da polia 3 se movem com velocidade V 2 = V 1. Então a velocidade angular de rotação da polia é:
.
Velocidade do centro de massa V C 5 o bloco 5 é igual à velocidade dos pontos do estágio interno da polia 3:
.
A velocidade do ponto K é zero. Portanto, é o centro de velocidade instantânea do bloco 5. Velocidade angular de rotação do bloco 5:
.
A velocidade do ponto B - a extremidade livre da mola - é igual à velocidade do ponto A:
.

Vamos expressar as velocidades em termos de V C 5 .
;
;
.

Agora vamos instalar conexões entre movimentos corporais e ângulos de rotação polia e bloco. Como as velocidades e as velocidades angulares são derivadas no tempo dos deslocamentos e ângulos de rotação
,
então as mesmas conexões estarão entre deslocamentos e ângulos de rotação:
é 2 =s 1;
;
;
.

Determinação da energia cinética do sistema

Vamos encontrar a energia cinética do sistema. A carga 2 faz movimento translacional com velocidade V 2 . A polia 3 realiza movimento rotacional com velocidade de rotação angular ω 3 . O bloco 5 executa movimento plano paralelo. Ele gira com velocidade angular ω 5 e seu centro de massa se move com velocidade V C 5 . Energia cinética do sistema:
.

Como o raio de inércia da polia em relação ao eixo de rotação é dado, o momento de inércia da polia em relação ao eixo de rotação é determinado pela fórmula:
J. 3 = m 3 ρ 2 3.
Como o bloco 5 é um cilindro sólido homogêneo, seu momento de inércia em relação ao centro de massa é igual a
.

Usando relações cinemáticas, expressamos todas as velocidades através de V C 5 e substitua expressões para momentos de inércia na fórmula da energia cinética.
,
onde entramos na constante
kg.

Assim, encontramos a dependência da energia cinética do sistema com a velocidade do centro de massa V C 5 bloco móvel:
, onde m = 75 kg.

Determinação da quantidade de trabalho de forças externas

Considere forças externas, atuando no sistema.
Ao mesmo tempo, não consideramos as forças de tensão dos fios, pois os fios são inextensíveis e, portanto, não produzem trabalho. Por esta razão, não consideramos as tensões internas atuantes nos corpos, uma vez que são absolutamente sólidos.
O corpo 1 (com massa zero) sofre a ação de uma determinada força F.
A carga 2 é influenciada pela gravidade P 2 =m 2g 2 e força de atrito F T .
A polia 3 é influenciada pela gravidade P 3 =m 3g, Força de pressão do eixo N 3 e o momento das forças de atrito M.
A polia 4 (com massa zero) é afetada pela força de pressão do eixo N 4 .
O bloco móvel 5 é influenciado pela gravidade P 5 =m 5g, a força elástica F y da mola e a força de tensão do fio T K no ponto K.

O trabalho que uma força realiza ao mover o ponto de sua aplicação por um pequeno deslocamento é igual ao produto escalar dos vetores, ou seja, o produto dos valores absolutos dos vetores F e ds pelo cosseno do ângulo entre eles. Uma determinada força aplicada ao corpo 1 é paralela ao movimento do corpo 1. Portanto, o trabalho realizado pela força quando o corpo 1 se move uma distância s 1 é igual a:


J.

Considere a carga 2. Ela é influenciada pela força da gravidade P 2 , força de pressão superficial N 2 , força de tensão da linha T 23 , T 24 e força de atrito F T . Como a carga não se move na direção vertical, a projeção da sua aceleração no eixo vertical é zero. Portanto, a soma das projeções das forças no eixo vertical é igual a zero:
N 2 - P 2 = 0;
N 2 = P 2 = m 2 g.
Força de fricção:
F T = fN 2 = f m 2 g.
Forças P 2 e n 2 perpendicular ao deslocamento s 2 , então eles não produzem trabalho.
Trabalho da força de atrito:
J.

Se considerarmos a carga 2 como um sistema isolado, então precisamos levar em conta o trabalho produzido pelas forças de tração dos fios T 23 e T 24 . Porém, estamos interessados ​​em todo o sistema, composto pelos corpos 1, 2, 3, 4 e 5. Para tal sistema, as forças de tensão dos fios são forças internas. E como os threads são inextensíveis, a soma do seu trabalho é zero. No caso da carga 2, também é necessário levar em consideração as forças de tensão dos fios que atuam na polia 3 e no bloco 4. Elas são iguais em magnitude e opostas em direção às forças T 23 e T 24 . Portanto, o trabalho realizado pelas forças de tensão dos fios 23 e 24 sobre a carga 2 é igual em magnitude e de sinal oposto ao trabalho realizado pelas forças de tensão desses fios sobre a polia 3 e o bloco 4. Como resultado, a quantidade de o trabalho produzido pelas forças de tensão dos fios é zero.

Considere a polia 3. Como seu centro de massa não se move, o trabalho realizado pela gravidade P 3 igual a zero.
Porque o eixo C 3 está imóvel, então a força de pressão do eixo N 3 não produz trabalho.
O trabalho realizado pelo torque é calculado de forma semelhante ao trabalho realizado pela força:
.
No nosso caso, os vetores do momento das forças de atrito e do ângulo de rotação da polia são direcionados ao longo do eixo de rotação da polia, mas em direção oposta. Portanto, o trabalho do momento das forças de atrito:
J.

Vejamos o bloco 5.
Como a velocidade do ponto K é zero, a força T K não produz trabalho.
Centro de massa do bloco C 5 moveu-se uma distância s C 5 acima. Portanto, o trabalho realizado pela gravidade do bloco é:
J.
O trabalho realizado pela força elástica da mola é igual à variação da energia potencial da mola com sinal negativo. Como a mola não se deforma inicialmente, então
J.

A soma do trabalho de todas as forças:

J.

Aplicação do teorema sobre a mudança na energia cinética de um sistema

Apliquemos o teorema da variação da energia cinética do sistema na forma integral.
.
Como o sistema estava em repouso no início, sua energia cinética no início do movimento é
T 0 = 0 .
Então
.
Daqui
EM.

A energia cinética de um sistema mecânico consiste nas energias cinéticas de todos os seus pontos:

Diferenciando cada parte desta igualdade em relação ao tempo, obtemos

Usando a lei básica da dinâmica para Para o ponto do sistema mk 2ik= Fj., chegamos à igualdade

O produto escalar da força F e da velocidade v no ponto de sua aplicação é chamado poder de força e denotar R:

Usando esta nova notação, representamos (11.6) da seguinte forma:

A igualdade resultante expressa a forma diferencial do teorema da mudança na energia cinética: a taxa de variação da energia cinética de um sistema mecânico é igual à soma das jpotências de todos os cm atuantes no sistema.

Apresentando a derivada f em (8.5) em forma de fração - e realizando

então separando as variáveis, obtemos:

Onde dT- diferencial de energia cinética, ou seja, sua mudança ao longo de um período infinitesimal de tempo dr, dr k = k dt - movimento elementar Para- os pontos do sistema, ou seja, movimento no tempo dt.

Produto escalar da força F e deslocamento elementar Dr. seus pontos de aplicação são chamados trabalho básico forças e denotar dA:

Usando as propriedades do produto escalar, podemos representar o trabalho elementar da força também na forma

Aqui ds = dr - comprimento do arco da trajetória do ponto de aplicação da força, correspondente ao seu deslocamento elementar s/g; A - o ângulo entre as direções do vetor força F e o vetor deslocamento elementar c/r; F„ F e , F,- projeções do vetor de força F nos eixos cartesianos; dx, dy, dz - projeções nos eixos cartesianos do vetor de deslocamento elementar s/g.

Levando em consideração a notação (11.9), a igualdade (11.8) pode ser representada da seguinte forma:

aqueles. o diferencial da energia cinética do sistema é igual à soma dos trabalhos elementares de todas as forças que atuam no sistema. Esta igualdade, como (11.7), expressa a forma diferencial do teorema da mudança na energia cinética, mas difere de (11.7) porque não utiliza derivadas, mas incrementos infinitesimais - diferenciais.

Realizando a integração termo a termo da igualdade (11.12), obtemos

onde são utilizados como limites de integração: 7 0 - energia cinética do sistema em um momento no tempo? 0; 7) - energia cinética do sistema no momento tx.

Integrais definidas ao longo do tempo ou A(F):

Nota 1. Para calcular o trabalho, às vezes é mais conveniente usar uma parametrização sem arco da trajetória EM), e coordenar M(x(t), y(/), z(f)). Neste caso, para trabalhos elementares é natural tomar a representação (11.11), e representar a integral curvilínea na forma:

Levando em consideração a notação (11.14) do trabalho em um deslocamento finito, a igualdade (11.13) assume a forma

e representa a forma final do teorema sobre a mudança na energia cinética de um sistema mecânico.

Teorema 3. A mudança na energia cinética de um sistema mecânico quando ele se move da posição inicial para a posição final é igual à soma do trabalho de todas as forças que atuam nos pontos do sistema durante esse movimento.

Comente 2. O lado direito da igualdade (11.16) leva em consideração o trabalho com todas as nossas forças, atuando no sistema, tanto externo quanto interno. No entanto, existem sistemas mecânicos para os quais o trabalho total realizado por todas as forças internas é zero. Egos assim chamados sistemas imutáveis, em que as distâncias entre os pontos materiais em interação não mudam. Por exemplo, um sistema de corpos sólidos conectados por dobradiças sem atrito ou fios flexíveis e inextensíveis. Para tais sistemas, na igualdade (11.16) é suficiente levar em conta apenas o trabalho de forças externas, ou seja, o teorema (11.16) assume a forma: