Para um ponto material, a lei básica da dinâmica pode ser representada como
Multiplicando ambos os lados desta relação à esquerda vetorialmente pelo vetor raio (Fig. 3.9), obtemos
(3.32)
No lado direito desta fórmula temos o momento da força em relação ao ponto O. Transformamos o lado esquerdo aplicando a fórmula da derivada de um produto vetorial
Mas 
como um produto vetorial de vetores paralelos. Depois disso obtemos
(3.33)
A primeira derivada em relação ao tempo do momento de movimento de um ponto em relação a qualquer centro é igual ao momento de força em relação ao mesmo centro.
 |
Um exemplo de cálculo do momento angular de um sistema. Calcule o momento cinético relativo ao ponto O de um sistema constituído por um eixo cilíndrico de massa M = 20 kg e raio R = 0,5 m e uma carga descendente de massa m = 60 kg (Figura 3.12). O eixo gira em torno do eixo Oz com uma velocidade angular ω = 10 s -1.
Figura 3.12
; ; 
Para determinados dados de entrada, o momento angular do sistema
Teorema sobre a mudança no momento angular de um sistema. Aplicamos as forças externas e internas resultantes a cada ponto do sistema. Para cada ponto do sistema, pode-se aplicar o teorema da mudança no momento angular, por exemplo na forma (3.33)
Somando todos os pontos do sistema e levando em consideração que a soma das derivadas é igual à derivada da soma, obtemos
Ao determinar o momento cinético do sistema e as propriedades das forças externas e internas
Portanto, o relacionamento resultante pode ser representado como
A primeira derivada temporal do momento angular de um sistema em relação a qualquer ponto é igual ao momento principal das forças externas que atuam no sistema em relação ao mesmo ponto.
3.3.5. Trabalho de força
1) O trabalho elementar de uma força é igual ao produto escalar da força e ao raio diferencial do vetor do ponto de aplicação da força (Fig. 3.13)
Figura 3.13
A expressão (3.36) também pode ser escrita nas seguintes formas equivalentes
onde é a projeção da força na direção da velocidade do ponto de aplicação da força.
2) Trabalho de força no deslocamento final
Integrando o trabalho elementar da força, obtemos as seguintes expressões para o trabalho da força no deslocamento final do ponto A ao ponto B
3) Trabalho de força constante
Se a força for constante, então de (3.38) segue
O trabalho de uma força constante não depende da forma da trajetória, mas depende apenas do vetor deslocamento do ponto de aplicação da força.
4) Trabalho de força peso
Para a força peso (Fig. 3.14) e de (3.39) obtemos
Figura 3.14
Se o movimento ocorrer do ponto B para o ponto A, então
Em geral
O sinal “+” corresponde ao movimento descendente do ponto de aplicação da força, o sinal “-” – para cima.
4) Trabalho de força elástica
Deixe o eixo da mola ser direcionado ao longo do eixo x (Fig. 3.15), e a extremidade da mola se move do ponto 1 para o ponto 2, então de (3.38) obtemos 
Se a rigidez da mola for Com, Então
A 
(3.41)
Se a extremidade da mola se mover do ponto 0 para o ponto 1, então nesta expressão substituímos , , então o trabalho da força elástica assumirá a forma
(3.42)
onde está o alongamento da mola.
Figura 3.15
5) O trabalho da força aplicada a um corpo em rotação. A obra do momento.
Na Fig. A Figura 3.16 mostra um corpo giratório ao qual uma força arbitrária é aplicada. Durante a rotação, o ponto de aplicação desta força se move em círculo.
Em alguns problemas, em vez do momento em si, o seu momento relativo a algum centro ou eixo é considerado como uma característica dinâmica de um ponto em movimento. Esses momentos são definidos da mesma forma que os momentos de força.
Quantidade de momento de movimento ponto material em relação a algum centro O é chamado de vetor definido pela igualdade
O momento angular de um ponto também é chamado momento cinético .
Momento em relação a qualquer eixo que passa pelo centro O, é igual à projeção do vetor momento neste eixo.
Se o momento for dado por suas projeções nos eixos coordenados e as coordenadas do ponto no espaço forem dadas, então o momento angular relativo à origem é calculado da seguinte forma:
As projeções do momento angular nos eixos coordenados são iguais a:
A unidade SI de momento é –.
Fim do trabalho -
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Equações diferenciais de movimento de um ponto
A equação básica da dinâmica pode ser escrita da seguinte forma
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Primeiro problema ou problema direto: A massa de um ponto e a lei do seu movimento são conhecidas; é necessário encontrar a força que atua sobre o ponto. eu
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1. A força é constante.
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A quantidade de movimento de um ponto material é um vetor igual ao produto m
Impulso elementar e de força total
A ação de uma força sobre um ponto material ao longo do tempo
Teorema sobre a mudança no momento de um ponto
Teorema. A derivada temporal do momento de um ponto é igual à força que atua sobre o ponto. Vamos escrever a lei básica da dinâmica
Teorema sobre a mudança no momento angular de um ponto
Teorema. A derivada temporal do momento do momento de um ponto tomado em relação a algum centro é igual ao momento da força que atua no ponto em relação ao mesmo
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Uma das principais características da força que avalia o efeito da força sobre um corpo durante algum movimento.
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Teorema. O diferencial da energia cinética de um ponto é igual ao trabalho elementar da força que atua sobre o ponto.
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Considere um sistema mecânico que consiste em um número finito de pontos materiais com massas
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Para caracterizar a distribuição das massas nos corpos ao considerar os movimentos rotacionais, é necessário introduzir os conceitos de momentos de inércia. Momento de inércia em relação a um ponto
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Teorema sobre a mudança no momento de um sistema
Este teorema vem em três formas diferentes. Teorema. A derivada temporal do momento do sistema é igual à soma vetorial de todas as forças externas agindo sobre
Leis de conservação do momento
1. Se o vetor principal de todas as forças externas do sistema for zero (), então a quantidade de movimento do sistema é constante
Teorema sobre o movimento do centro de massa
Teorema O centro de massa de um sistema se move da mesma forma que um ponto material, cuja massa é igual à massa de todo o sistema, se todas as forças externas aplicadas ao ponto atuarem sobre o ponto.
Momento do sistema
O momento angular de um sistema de pontos materiais em relação a algum
Momento de momento de um corpo rígido em relação ao eixo de rotação durante o movimento rotacional de um corpo rígido
Vamos calcular o momento angular de um corpo rígido em relação ao eixo de rotação.
Teorema sobre a mudança no momento angular de um sistema
Teorema. A derivada temporal do momento do momento do sistema, tomado em relação a algum centro, é igual à soma vetorial dos momentos das forças externas que atuam sobre
Leis de conservação do momento angular
1. Se o momento principal das forças externas do sistema em relação ao ponto for igual a zero (
Energia cinética do sistema
A energia cinética de um sistema é a soma das energias cinéticas de todos os pontos do sistema.
Energia cinética de um sólido
1. Movimento do corpo para frente. A energia cinética de um corpo rígido durante o movimento de translação é calculada da mesma forma que para um ponto cuja massa é igual à massa deste corpo.
Teorema sobre a mudança na energia cinética de um sistema
Este teorema vem em duas formas. Teorema. O diferencial da energia cinética do sistema é igual à soma dos trabalhos elementares de todas as forças externas e internas que atuam no sistema
Primeiro, consideremos o caso de um ponto material. Seja a massa do ponto material M, seja sua velocidade e seja a quantidade de movimento.
Selecionemos um ponto O no espaço circundante e construamos o momento do vetor em relação a este ponto de acordo com as mesmas regras pelas quais o momento da força é calculado na estática. Obtemos a quantidade vetorial
que é chamado de momento angular do ponto material em relação ao centro O (Fig. 31).
Vamos construir um sistema de coordenadas retangulares cartesianas Oxyz com origem no centro O e projetar o vetor ko nesses eixos. Suas projeções sobre esses eixos, iguais aos momentos do vetor em relação aos eixos coordenados correspondentes, são chamadas de momentos de momento do ponto material em relação aos eixos coordenados:
Tenhamos agora um sistema mecânico composto por N pontos materiais. Neste caso, o momento angular pode ser determinado para cada ponto do sistema:
A soma geométrica do momento angular de todos os pontos materiais que compõem o sistema é chamada de momento angular principal ou momento cinético do sistema.
A quantidade de movimento do sistema, como grandeza vetorial, é determinada pelas fórmulas (4.12) e (4.13).
Teorema. A derivada do momento do sistema em relação ao tempo é igual à soma geométrica de todas as forças externas que atuam sobre ele.
Nas projeções dos eixos cartesianos obtemos equações escalares.
Você pode escrever um vetor
(4.28)
e equações escalares
Que expressam o teorema sobre a mudança no momento do sistema na forma integral: a mudança no momento do sistema durante um certo período de tempo é igual à soma dos impulsos durante o mesmo período de tempo. Ao resolver problemas, as equações (4.27) são usadas com mais frequência
Lei da conservação do momento
Teorema sobre a mudança no momento angular
O teorema sobre a mudança no momento angular de um ponto em relação ao centro: a derivada temporal do momento angular de um ponto em relação a um centro fixo é igual ao momento vetorial da força que atua no ponto em relação ao mesmo centro.
Ou 
(4.30)
Comparando (4.23) e (4.30), vemos que os momentos dos vetores e estão relacionados pela mesma dependência que os vetores e eles próprios estão relacionados (Fig. 4.1). Se projetarmos a igualdade no eixo que passa pelo centro O, obteremos
(4.31)
Esta igualdade expressa o teorema do momento angular de um ponto em relação a um eixo.
|
(4.32)
Se projetarmos a expressão (4.32) no eixo que passa pelo centro O, obteremos uma igualdade que caracteriza o teorema da mudança no momento angular em relação ao eixo.
(4.33)
Substituindo (4.10) na igualdade (4.33), podemos escrever a equação diferencial de um corpo rígido giratório (rodas, eixos, eixos, rotores, etc.) de três formas.
(4.34)
(4.35)
(4.36)
Assim, é aconselhável utilizar o teorema da variação do momento cinético para estudar o movimento de um corpo rígido, muito comum na tecnologia, sua rotação em torno de um eixo fixo.
Lei da conservação do momento angular de um sistema
1. Deixe entrar a expressão (4.32) .
Então da equação (4.32) segue que, ou seja, se a soma dos momentos de todas as forças externas aplicadas ao sistema em relação a um determinado centro for igual a zero, então o momento cinético do sistema em relação a este centro será numericamente e direcionalmente constante.
2. Se, então. Assim, se a soma dos momentos das forças externas que atuam no sistema em relação a um determinado eixo for zero, então o momento cinético do sistema em relação a este eixo será um valor constante.
Esses resultados expressam a lei da conservação do momento angular.
No caso de um corpo rígido em rotação, segue-se da igualdade (4.34) que, se, então. A partir daqui chegamos às seguintes conclusões:
Se o sistema for imutável (corpo absolutamente rígido), então, conseqüentemente, o corpo rígido gira em torno de um eixo fixo com velocidade angular constante.
Se o sistema for mutável, então. Com o aumento (então os elementos individuais do sistema se afastam do eixo de rotação), a velocidade angular diminui, porque , e ao diminuir aumenta, assim, no caso de um sistema variável, com o auxílio de forças internas é possível alterar a velocidade angular.
A segunda tarefa D2 do teste é dedicada ao teorema da mudança no momento angular do sistema em relação ao eixo.
Problema D2
Uma plataforma horizontal homogênea (circular com raio R ou retangular com lados R e 2R, onde R = 1,2 m) com massa de kg gira com velocidade angular em torno do eixo vertical z, espaçada do centro de massa C da plataforma a uma distância OC = b (Fig. E2.0 – D2.9, tabela D2); As dimensões para todas as plataformas retangulares são mostradas na Fig. D2.0a (vista superior).
Neste momento, uma carga D com massa de kg começa a se mover ao longo da rampa da plataforma (sob a influência de forças internas) de acordo com a lei, onde s é expresso em metros, t - em segundos. Neste caso, um par de forças com momento M (especificado em newtonômetros; em M< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).
Determine, desprezando a massa do eixo, a dependência, ou seja, velocidade angular da plataforma em função do tempo.
Em todas as figuras, a carga D é mostrada em uma posição em que s > 0 (quando s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.
Instruções. Problema D2 – aplicar o teorema da variação do momento angular do sistema. Ao aplicar o teorema a um sistema composto por uma plataforma e uma carga, o momento angular do sistema em relação ao eixo z é determinado como a soma dos momentos da plataforma e da carga. Deve-se levar em consideração que a velocidade absoluta da carga é a soma das velocidades relativa e portátil, ou seja, . Portanto, a quantidade de movimento desta carga 
. Então você pode usar o teorema de Varignon (estática), segundo o qual; esses momentos são calculados da mesma forma que os momentos das forças. A solução é explicada com mais detalhes no exemplo D2.
Ao resolver um problema, é útil representar em um desenho auxiliar uma vista da plataforma de cima (a partir da extremidade z), como é feito na Fig. D2.0, a – D2.9, a.
O momento de inércia de uma placa de massa m em relação ao eixo Cz, perpendicular à placa e passando pelo seu centro de massa, é igual a: para uma placa retangular com lados e
;
Para uma placa redonda de raio R
| Número da condição | b | s = F(t) | M |
| R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 | -0,4 0,6 0,8 10t 0,4 -0,5t -0,6t 0,8t 0,4 0,5 | 4t -6 -8t -9 6 -10 12 |
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Exemplo D2. Uma plataforma horizontal homogênea (retangular com lados 2l e l), tendo uma massa, está rigidamente fixada a um eixo vertical e gira com ele em torno de um eixo z com velocidade angular (Fig. E2a ). No momento, um torque M começa a atuar no eixo, direcionado de forma oposta ; simultaneamente carga D massa localizada na trincheira AB no ponto COM, começa a se mover ao longo da rampa (sob a influência de forças internas) de acordo com a lei s = CD = F(t).
Dado: m 1 = 16 kg, t 2= 10kg, eu= 0,5 m, = 2, s = 0,4t 2 (s - em metros, t - em segundos), M= kt, Onde k=6Nm/s. Determine: - a lei da mudança na velocidade angular da plataforma.
Solução. Considere um sistema mecânico composto por uma plataforma e uma carga D. Para determinar w, aplicamos o teorema da mudança no momento angular do sistema em relação ao eixo z:
(1)
Vamos representar as forças externas que atuam no sistema: a força gravitacional da reação e o torque M. Como as forças e são paralelas ao eixo z, e as reações cruzam este eixo, seus momentos em relação ao eixo z são iguais a zero. Então, considerando o sentido positivo para o momento (ou seja, sentido anti-horário), obtemos 
e a equação (1) assumirá esta forma.
A direção e a magnitude do momento do momento são determinadas exatamente da mesma maneira que no caso da estimativa do momento da força (seção 1.2.2).
Ao mesmo tempo definimos ( principal) momento angular como a soma vetorial dos momentos do número de movimentos dos pontos do sistema em consideração. Também tem um segundo nome - momento cinético :
Vamos encontrar a derivada temporal da expressão (3.40), usando as regras para diferenciar o produto de duas funções, e também o fato de que a derivada de uma soma é igual à soma das derivadas (ou seja, o sinal da soma pode ser movido como um coeficiente durante a diferenciação):
.
Levemos em conta as igualdades cinemáticas óbvias: 
. Então: 
. Usamos a equação média das fórmulas (3.26) 
, e também o fato de que o produto vetorial de dois vetores colineares ( e ) é igual a zero, obtemos:
Aplicando a propriedade das forças internas (3.36) ao 2º termo, obtemos uma expressão para o teorema da mudança no momento principal de um sistema mecânico:
 .
| (3.42) |
A derivada temporal do momento cinético é igual à soma dos momentos de todas as forças externas que atuam no sistema.
Esta formulação é frequentemente chamada brevemente: teorema do momento .
Deve-se notar que o teorema dos momentos é formulado em um referencial fixo em relação a um determinado centro fixo O. Se um corpo rígido é considerado um sistema mecânico, então é conveniente escolher o centro O no eixo de rotação do corpo.
Uma propriedade importante do teorema do momento deve ser observada (apresentamos sem derivação). O teorema dos momentos também é verdadeiro em um sistema de referência em movimento translacional se o centro de massa (ponto C) do corpo (sistema mecânico) for escolhido como seu centro:
A formulação do teorema neste caso permanece praticamente a mesma.
Corolário 1
Seja o lado direito da expressão (3.42) igual a zero =0, - o sistema está isolado. Então da equação (3.42) segue que.
Para um sistema mecânico isolado, o vetor do momento cinético do sistema não muda nem em direção nem em magnitude ao longo do tempo.
Corolário 2
Se o lado direito de qualquer uma das expressões (3.44) for igual a zero, por exemplo, para o eixo Oz: =0 (sistema parcialmente isolado), então das equações (3.44) segue: =const.
Consequentemente, se a soma dos momentos das forças externas em relação a qualquer eixo for zero, então o momento cinético axial do sistema ao longo deste eixo não muda ao longo do tempo.
As formulações dadas acima nos corolários são as expressões lei da conservação do momento angular em sistemas isolados .
Momento de um corpo rígido
Consideremos um caso especial - a rotação de um corpo rígido em torno do eixo Oz (Fig. 3.4).
Figura 3.4
Um ponto em um corpo separado do eixo de rotação por uma distância h k, gira em um plano paralelo a Oxy a uma velocidade de . De acordo com a definição do momento axial, utilizamos a expressão (1.19), substituindo a projeção F Força XY neste plano pela quantidade de movimento do ponto 
. Vamos estimar o momento cinético axial do corpo:
De acordo com o teorema de Pitágoras 
, portanto (3.46) pode ser escrito da seguinte forma:
 | (3.47) |
Então a expressão (3.45) assumirá a forma:
| (3.48) |
Se utilizarmos a lei da conservação do momento angular para um sistema parcialmente isolado (Corolário 2) em relação a um corpo sólido (3.48), obtemos . Neste caso, você pode considerar duas opções:
PERGUNTAS PARA AUTOCONTROLE
1. Como é determinado o momento angular de um corpo rígido em rotação?
2. Como o momento de inércia axial difere do momento cinético axial?
3. Como a velocidade de rotação de um corpo rígido muda ao longo do tempo na ausência de forças externas?
Momento axial de inércia de um corpo rígido
Como veremos mais tarde, o momento axial de inércia de um corpo tem o mesmo significado para o movimento rotacional de um corpo que a massa de um corpo durante o seu movimento de translação. Esta é uma das características mais importantes do corpo, determinando a inércia do corpo durante a sua rotação. Como pode ser visto na definição (3.45), esta é uma grandeza escalar positiva, que depende das massas dos pontos do sistema, mas em maior medida da distância dos pontos ao eixo de rotação.
Para corpos homogêneos contínuos de formas simples, o valor do momento de inércia axial, como no caso da estimativa da posição do centro de massa (3.8), é calculado pelo método de integração, utilizando a massa de um volume elementar em vez de uma massa discreta dm=ρdV:
 | (3.49) |
Para referência, apresentamos os valores dos momentos de inércia para alguns corpos simples:
eu e comprimento eu em relação ao eixo que passa perpendicularmente à haste pelo seu meio (Fig. 3.5).
Figura 3.5
O momento de inércia de uma haste fina e homogênea com massa eu e comprimento eu em relação ao eixo que passa perpendicularmente à haste através de sua extremidade (Fig. 3.6).
Figura 3.6
O momento de inércia de um anel fino e homogêneo de massa eu e raio R em relação ao eixo que passa pelo seu centro perpendicular ao plano do anel (Fig. 3.7).
Figura 3.7
O momento de inércia de um disco fino e homogêneo com massa eu e raio R em relação ao eixo que passa pelo seu centro perpendicular ao plano do disco (Fig. 3.7).
Figura 3.8
· Momento de inércia de um corpo de forma arbitrária.
Para corpos de forma arbitrária, o momento de inércia é escrito da seguinte forma:
Onde ρ - assim chamado raio de giração corpo, ou o raio de um certo anel convencional com massa eu, cujo momento de inércia axial é igual ao momento de inércia do corpo dado.
Teorema de Huygens-Steiner
Figura 3.9
Vamos associar dois sistemas de coordenadas paralelos ao corpo. O primeiro Cx"y"z", com origem no centro de massa, é denominado central, e o segundo Oxyz, com centro O, situado no eixo Cx" a uma distância CO = d(Fig. 3.9). É fácil estabelecer conexões entre as coordenadas dos pontos do corpo nestes sistemas:
De acordo com a fórmula (3.47), o momento de inércia do corpo em relação ao eixo Oz:
Aqui os fatores 2 são constantes para todos os termos da 2ª e 3ª somas do lado direito d E d retirados dos valores correspondentes. A soma das massas no terceiro termo é a massa corporal. A segunda soma, de acordo com (3.7), determina a coordenada do centro de massa C no eixo Cx"(), e a igualdade é óbvia: . Levando em consideração que o 1º termo, por definição, é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo central Cz" (ou Z C ) 
, obtemos a formulação do teorema de Huygens-Steiner:
 | (3.50) |
O momento de inércia de um corpo em relação a um determinado eixo é igual à soma do momento de inércia do corpo em relação a um eixo central paralelo e ao produto da massa do corpo pelo quadrado da distância entre esses eixos.
PERGUNTAS PARA AUTOCONTROLE
1. Forneça fórmulas para os momentos axiais de inércia de uma haste, anel, disco.
2. Encontre o raio de rotação de um cilindro sólido redondo em relação ao seu eixo central.
