transposição de matriz

transposição de matriz chama-se substituir as linhas de uma matriz por suas colunas preservando sua ordem (ou, o que é o mesmo, substituir as colunas de uma matriz por suas linhas).

Seja dada a matriz inicial A:

Então, de acordo com a definição, a matriz transposta A" parece:

Uma forma abreviada da operação de transposição de matriz: Uma matriz transposta é frequentemente denotada

Exemplo 3. Sejam dadas matrizes A e B:

Então as matrizes transpostas correspondentes têm a forma:

É fácil perceber duas regularidades da operação de transposição de matrizes.

1. A matriz transposta duas vezes é igual à matriz original:

2. Ao transpor matrizes quadradas, os elementos localizados na diagonal principal não mudam de posição, ou seja, A diagonal principal de uma matriz quadrada não muda quando transposta.

Multiplicação da matriz

A multiplicação de matrizes é uma operação específica que forma a base da álgebra de matrizes. Linhas e colunas de matrizes podem ser vistas como vetores de linha e vetores de coluna das dimensões correspondentes; em outras palavras, qualquer matriz pode ser interpretada como uma coleção de vetores linha ou vetores coluna.

Sejam dadas duas matrizes: A- tamanho T x P E EM- tamanho p x k. Vamos considerar a matriz A como um conjunto T vetores linha A) dimensões P cada um e a matriz EM - como um conjunto Para vetores coluna b Jt contendo P coordena cada um:

Vetor Linha Matriz A e vetores coluna da matriz EM são mostrados na representação dessas matrizes (2.7). Comprimento da linha da matriz A igual à altura da coluna da matriz EM, e, portanto, o produto escalar desses vetores faz sentido.

Definição 3. Produto de matrizes A E EMé chamada de matriz C, cujos elementos su são iguais aos produtos escalares de vetores linha A ( matrizes A em vetores coluna bj matrizes EM:

Produto de matrizes A E EM- matriz C - tem o tamanho T x Para, já que o comprimento l dos vetores linha e vetores coluna desaparece ao somar os produtos das coordenadas desses vetores em seus produtos escalares, como mostram as fórmulas (2.8). Assim, para calcular os elementos da primeira linha da matriz C, é necessário obter sequencialmente os produtos escalares da primeira linha da matriz A a todas as colunas da matriz EM a segunda linha da matriz C é obtida como os produtos escalares do vetor da segunda linha da matriz A a todos os vetores coluna da matriz EM, e assim por diante. Para facilitar a lembrança do tamanho do produto das matrizes, é necessário dividir os produtos dos tamanhos dos fatores da matriz: - , então os demais em relação ao número dão o tamanho do produto Para

dsnia, s.t. o tamanho da matriz C é T x Para.

Há uma característica na operação de multiplicação de matrizes: o produto de matrizes A E EM faz sentido se o número de colunas em Aé igual ao número de linhas em EM. Então se A e B - matrizes retangulares, então o produto EM E A não fará mais sentido, pois os produtos escalares que formam os elementos da matriz correspondente devem envolver vetores com o mesmo número de coordenadas.

Se matrizes A E EM quadrado, tamanho l x l, faz sentido como produto de matrizes AB, e o produto de matrizes VA, e o tamanho dessas matrizes é o mesmo dos fatores originais. Neste caso, no caso geral da multiplicação de matrizes, a regra da permutabilidade (comutatividade) não é observada, ou seja, AB* BA.

Considere exemplos de multiplicação de matrizes.

Como o número de colunas da matriz Aé igual ao número de linhas da matriz EM, produto matricial AB tem o significado. Usando as fórmulas (2.8), obtemos uma matriz 3x2 no produto:

Trabalhar VA ns faz sentido, já que o número de colunas da matriz EM não corresponde ao número de linhas da matriz A.

Aqui encontramos os produtos de matrizes AB E AV:

Como pode ser visto pelos resultados, a matriz do produto depende da ordem das matrizes no produto. Em ambos os casos, os produtos da matriz têm o mesmo tamanho dos fatores originais: 2x2.

Neste caso, a matriz EMé um vetor coluna, ou seja, uma matriz com três linhas e uma coluna. Em geral, vetores são casos especiais de matrizes: um vetor linha de comprimento Pé uma matriz com uma linha e P colunas e o vetor da coluna de altura P- matriz com P linhas e uma coluna. Os tamanhos das matrizes reduzidas são 2 x 3 e 3 x I, respectivamente, então o produto dessas matrizes é definido. Nós temos

O produto produz uma matriz 2 x 1 ou um vetor coluna de altura 2.

Pela multiplicação sucessiva de matrizes, encontramos:

Propriedades do produto de matrizes. Deixar A,B e C são matrizes de tamanhos apropriados (para que os produtos da matriz sejam definidos) e a é um número real. Então valem as seguintes propriedades do produto de matrizes:

• 1) (AB)C = A(BC);
• 2) C A + B) C = AC + BC
• 3) A (B+ C) = AB + AC;
• 4) um (AB) = (aA)B = A(aB).

Conceito de matriz de identidade E foi introduzida na cláusula 2.1.1. É fácil verificar que na álgebra matricial ela desempenha o papel de uma unidade, ou seja, Podemos observar mais duas propriedades associadas à multiplicação por esta matriz da esquerda e da direita:

• 5 )AE=A;
• 6) EA = A.

Em outras palavras, o produto de qualquer matriz pela matriz identidade, se fizer sentido, não altera a matriz original.

Ao trabalhar com matrizes, às vezes é necessário transpô-las, ou seja, em palavras simples, invertê-las. Claro, você pode substituir os dados manualmente, mas o Excel oferece várias maneiras de tornar isso mais fácil e rápido. Vamos dar uma olhada neles em detalhes.

A transposição de matrizes é o processo de troca de colunas e linhas. No Excel, existem duas possibilidades de transposição: usando a função TRANSP e usando a ferramenta Colar especial. Vamos considerar cada uma dessas opções com mais detalhes.

Método 1: operador TRANSPOSE

Função TRANSP pertence à categoria de operadores "Referências e Matrizes". A peculiaridade é que, assim como outras funções que trabalham com arrays, o resultado da emissão não é o conteúdo da célula, mas todo o array de dados. A sintaxe da função é bastante simples e se parece com isso:

TRANSPOSE(array)

Ou seja, o único argumento desse operador é uma referência a um array, no nosso caso, uma matriz, que deve ser convertida.

Vamos ver como essa função pode ser aplicada usando um exemplo com uma matriz real.

1. Selecionamos uma célula vazia na planilha, planejada para ser a célula superior esquerda da matriz transformada. Em seguida, clique no ícone "Inserir Função", que está localizado perto da barra de fórmulas.



2. Lançamento assistentes de funções. Abra uma categoria "Referências e Matrizes" ou "Lista alfabética completa". Depois de encontrar o nome "TRANSP", selecione-o e clique no botão OK.



3. A janela de argumentos da função é iniciada TRANSP. O único argumento deste operador corresponde ao campo "Variedade". Você precisa inserir as coordenadas da matriz a ser invertida nela. Para fazer isso, coloque o cursor no campo e, mantendo pressionado o botão esquerdo do mouse, selecione todo o intervalo da matriz na planilha. Após o endereço da área ser exibido na janela de argumentos, clique no botão OK.



4. Mas, como você pode ver, na célula projetada para exibir o resultado, um valor incorreto é exibido na forma de um erro "#VALOR!". Isso se deve às peculiaridades da operação dos operadores de matriz. Para corrigir esse erro, selecionamos um intervalo de células em que o número de linhas deve ser igual ao número de colunas da matriz original e o número de colunas deve ser igual ao número de linhas. Essa correspondência é muito importante para que o resultado seja exibido corretamente. Neste caso, a célula que contém a expressão "#VALOR!" deve ser a célula superior esquerda do array a ser selecionado, e é a partir desta célula que deve ser iniciado o procedimento de seleção mantendo pressionado o botão esquerdo do mouse. Depois de fazer uma seleção, coloque o cursor na barra de fórmulas imediatamente após a expressão do operador TRANSP, que deve ser exibido nele. Depois disso, para realizar o cálculo, você precisa clicar não no botão Digitar, como é de praxe nas fórmulas convencionais, e disque uma combinação Ctrl+Shift+Enter.



5. Após essas ações, a matriz foi exibida conforme precisamos, ou seja, de forma transposta. Mas há outro problema. O fato é que agora a nova matriz é um array vinculado por uma fórmula que não pode ser alterada. Se você tentar fazer qualquer alteração no conteúdo da matriz, aparecerá um erro. Alguns usuários estão bastante satisfeitos com esse estado de coisas, pois não farão alterações na matriz, mas outros precisam de uma matriz com a qual possam trabalhar totalmente.

   Para resolver este problema, selecione todo o intervalo transposto. Movido para a guia "Lar" clique no ícone "Cópia de", que está localizado na faixa de opções do grupo "Prancheta". Em vez da ação especificada, após a seleção, você pode definir um atalho de teclado padrão para copiar ctrl+c.



6. Então, sem remover a seleção do intervalo transposto, clicamos nela com o botão direito do mouse. No menu de contexto em um grupo "Opções de colagem" clique no ícone "Valores", que se parece com um ícone com números.

   

   Em seguida, a fórmula de matriz TRANSP será excluído e apenas um valor permanecerá nas células, com o qual você pode trabalhar da mesma forma que com a matriz original.

Método 2: Transposição de Matriz com Colar Especial

Além disso, a matriz pode ser transposta usando um único item de menu de contexto chamado "Colar especial".

Após essas ações, apenas a matriz transformada permanecerá na planilha.

Das mesmas duas maneiras discutidas acima, você pode transpor no Excel não apenas matrizes, mas também tabelas completas. O procedimento será quase idêntico.

Assim, descobrimos que no programa Excel a matriz pode ser transposta, ou seja, invertida trocando colunas e linhas de duas maneiras. A primeira opção envolve o uso da função TRANSP, e o segundo é Colar ferramentas especiais. Em geral, o resultado final obtido ao usar esses dois métodos não é diferente. Ambos os métodos funcionam em quase todas as situações. Portanto, ao escolher uma opção de conversão, as preferências pessoais de um determinado usuário vêm à tona. Ou seja, qual desses métodos é mais conveniente para você pessoalmente, use-o.

Para transpor uma matriz, você precisa escrever as linhas da matriz em colunas.

Se , então a matriz transposta

Se então

Exercício 1. Encontrar

1. Determinantes de matrizes quadradas.

Para matrizes quadradas, um número é introduzido, que é chamado de determinante.

Para matrizes de segunda ordem (dimensão ), o determinante é dado pela fórmula:

Por exemplo, para uma matriz, seu determinante é

Exemplo . Calcular os determinantes da matriz.

Para matrizes quadradas de terceira ordem (dimensão ) existe uma regra do “triângulo”: na figura, a linha tracejada significa multiplicar os números pelos quais passa a linha tracejada. Os três primeiros números devem ser adicionados, os próximos três números devem ser subtraídos.

Exemplo. Calcule o determinante.

Para dar uma definição geral do determinante, devemos introduzir o conceito de menor e complemento algébrico.

Menor elemento da matriz é chamado de determinante obtido pela exclusão - aquela linha e - aquela coluna.

Exemplo. Encontre alguns menores da matriz A.

adição algébrica elemento é chamado de número.

Portanto, se a soma dos índices e for par, eles não diferem de forma alguma. Se a soma dos índices e for ímpar, eles diferem apenas no sinal.

Para o exemplo anterior.

determinante da matrizé a soma dos produtos dos elementos de alguma linha

(coluna) aos seus complementos algébricos. Considere esta definição em uma matriz de terceira ordem.

A primeira entrada é chamada de expansão do determinante na primeira linha, a segunda é a expansão na segunda coluna e a última é a expansão na terceira linha. No total, essas expansões podem ser escritas seis vezes.

Exemplo. Calcule o determinante de acordo com a regra do "triângulo" e expanda-o ao longo da primeira linha, depois ao longo da terceira coluna e depois ao longo da segunda linha.

Vamos expandir o determinante pela primeira linha:

Vamos expandir o determinante na terceira coluna:

Vamos expandir o determinante pela segunda linha:

Observe que quanto mais zeros, mais simples os cálculos. Por exemplo, expandindo sobre a primeira coluna, obtemos

Entre as propriedades dos determinantes existe uma propriedade que permite obter zeros, a saber:

Se adicionarmos elementos de outra linha (coluna) multiplicados por um número diferente de zero aos elementos de uma determinada linha (coluna), o determinante não mudará.

Vamos pegar o mesmo determinante e obter zeros, por exemplo, na primeira linha.

Determinantes de ordem superior são calculados da mesma maneira.

Tarefa 2. Calcule o determinante de quarta ordem:

1) expandindo sobre qualquer linha ou qualquer coluna

2) tendo previamente recebido zeros

Obtemos um zero adicional, por exemplo, na segunda coluna. Para fazer isso, multiplique os elementos da segunda linha por -1 e adicione à quarta linha:

1. Resolução de sistemas de equações algébricas lineares pelo método de Cramer.

Vamos mostrar a solução do sistema de equações algébricas lineares pelo método de Cramer.

Tarefa 2. Resolva o sistema de equações.

Precisamos calcular quatro determinantes. O primeiro é chamado de principal e consiste nos coeficientes das incógnitas:

Note que se , o sistema não pode ser resolvido pelo método de Cramer.

Os outros três determinantes são denotados por , , e são obtidos substituindo a coluna correspondente pela coluna dos lados direitos.

Nós achamos . Para fazer isso, mudamos a primeira coluna do determinante principal para a coluna das partes certas:

Nós achamos . Para fazer isso, mudamos a segunda coluna no determinante principal para a coluna das partes certas:

Nós achamos . Para fazer isso, mudamos a terceira coluna no determinante principal para a coluna das partes certas:

A solução do sistema é encontrada pelas fórmulas de Cramer: , ,

Assim, a solução do sistema , ,

Vamos fazer uma verificação, para isso substituímos a solução encontrada em todas as equações do sistema.

1. Resolução de sistemas de equações algébricas lineares pelo método matricial.

Se uma matriz quadrada tem um determinante diferente de zero, então existe uma matriz inversa tal que . A matriz é chamada de identidade e tem a forma

A matriz inversa é encontrada pela fórmula:

Exemplo. Encontrar matriz inversa para matriz

Primeiro, calculamos o determinante.

Encontrando adições algébricas:

Escrevemos a matriz inversa:

Para verificar os cálculos, você precisa ter certeza de que .

Seja dado o sistema de equações lineares:

denotar

Então o sistema de equações pode ser escrito na forma de matriz como , e portanto . A fórmula resultante é chamada de método matricial para resolver o sistema.

Tarefa 3. Resolva o sistema de forma matricial.

É necessário escrever a matriz do sistema, encontrar seu inverso e depois multiplicar pela coluna das partes certas.

Já encontramos a matriz inversa no exemplo anterior, então podemos encontrar uma solução:

1. Resolução de sistemas de equações algébricas lineares pelo método de Gauss.

O método Cramer e o método matricial são usados ​​apenas para sistemas quadrados (o número de equações é igual ao número de incógnitas), e o determinante não deve ser igual a zero. Se o número de equações não for igual ao número de incógnitas, ou o determinante do sistema for igual a zero, aplica-se o método gaussiano. O método gaussiano pode ser aplicado para resolver qualquer sistema.

E substituindo na primeira equação:

Tarefa 5. Resolva o sistema de equações usando o método de Gauss.

Usando a matriz resultante, restauramos o sistema:

Encontramos uma solução:

Na matemática superior, um conceito como uma matriz transposta é estudado. Deve-se notar que muitas pessoas pensam que este é um assunto bastante complicado que não pode ser dominado. No entanto, não é. Para entender exatamente como uma operação tão fácil é realizada, basta se familiarizar um pouco com o conceito básico - a matriz. O tópico pode ser entendido por qualquer aluno se ele dedicar tempo para estudá-lo.

O que é uma matriz?

Matrizes em matemática são bastante comuns. Deve-se notar que eles também ocorrem na ciência da computação. Graças a eles e com a ajuda deles, é fácil programar e criar software.

O que é uma matriz? Esta é a tabela na qual os elementos são colocados. Tem que ser retangular. Em termos simples, uma matriz é uma tabela de números. É denotado por quaisquer letras latinas maiúsculas. Pode ser retangular ou quadrado. Também existem linhas e colunas separadas, chamadas de vetores. Tais matrizes recebem apenas uma linha de números. Para entender o tamanho de uma tabela, você precisa prestar atenção ao número de linhas e colunas. O primeiro é indicado pela letra m e o segundo - n.

É imperativo entender o que é uma matriz diagonal. Há um lado e principal. A segunda é aquela faixa de números que vai da esquerda para a direita do primeiro ao último elemento. Neste caso, a linha lateral será da direita para a esquerda.

Com matrizes, você pode fazer quase todas as operações aritméticas mais simples, ou seja, adicionar, subtrair, multiplicar entre si e separadamente por um número. Eles também podem ser transpostos.

processo de transposição

Uma matriz transposta é uma matriz em que as linhas e colunas são invertidas. Isso é feito da maneira mais fácil possível. É denotado como A com um T sobrescrito (AT). Em princípio, deve-se dizer que na matemática superior esta é uma das operações mais simples em matrizes. O tamanho da tabela é preservado. Essa matriz é chamada transposta.

Propriedades de matrizes transpostas

Para realizar corretamente o processo de transposição, é necessário entender quais propriedades dessa operação existem.

• Deve haver uma matriz inicial para qualquer tabela transposta. Seus determinantes devem ser iguais entre si.
• Se houver uma unidade escalar, ao realizar esta operação, ela poderá ser retirada.
• Quando uma matriz é transposta duas vezes, ela será igual à original.
• Se compararmos duas tabelas empilhadas com colunas e linhas alteradas, com a soma dos elementos sobre os quais esta operação foi realizada, elas serão iguais.
• A última propriedade é que se você transpor as tabelas multiplicadas entre si, o valor deve ser igual aos resultados obtidos durante a multiplicação das matrizes transpostas na ordem inversa.

Por que transpor?

Uma matriz em matemática é necessária para resolver certos problemas com ela. Alguns deles exigem que a tabela inversa seja calculada. Para fazer isso, você precisa encontrar um determinante. Em seguida, os elementos da matriz futura são calculados e depois são transpostos. Resta encontrar apenas a tabela diretamente inversa. Podemos dizer que em tais problemas é necessário encontrar X, e isso é bastante fácil de fazer com a ajuda do conhecimento básico da teoria das equações.

Resultados

Neste artigo, foi considerado o que é uma matriz transposta. Este tópico será útil para futuros engenheiros que precisam calcular corretamente estruturas complexas. Às vezes a matriz não é tão fácil de resolver, tem que quebrar a cabeça. No entanto, no curso de matemática do aluno, essa operação é realizada da maneira mais fácil e sem nenhum esforço.

Estas operações em matrizes não são lineares.

DEFINIÇÃO. Transposto matriz para matriz tamanho
é chamada de matriz de tamanho
obtido de substituindo todas as suas linhas por colunas com os mesmos números ordinais.

Isto é, se =
, Que
,=1,2,…,
,=1,2,…,.

EXEMPLO.

=

; ==

3x2 2x3 3x3 3x3

DEFINIÇÃO. Se =, então a matriz A chamado simétrico.

Todas as matrizes diagonais são simétricas, pois seus elementos que são simétricos em relação à diagonal principal são iguais.

Obviamente, as seguintes propriedades da operação de transposição são válidas:

DEFINIÇÃO. Deixar =
é a matriz de tamanho
,=
é a matriz de tamanho
. O produto dessas matrizes
- matriz =
tamanho
, cujos elementos são calculados pela fórmula:

, =1,2,…,
,=1,2,…,,

esse é o elemento -ésima linha e -ésima coluna da matriz é igual à soma dos produtos dos elementos correspondentes -ésima linha da matriz E -ésima coluna da matriz .

EXEMPLO.

=
, =

2x3 3x1 2x3 3x1 2x1

Trabalhar
- não existe.

PROPRIEDADES DA OPERAÇÃO DE MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZ

1.
, mesmo que ambos os produtos estejam definidos.

EXEMPLO.
,

, Embora

DEFINIÇÃO. matrizes E chamado permutacional, Se
, de outra forma E chamado não permutável.

Segue-se da definição que apenas matrizes quadradas de mesmo tamanho podem ser permutáveis.

EXEMPLO.

matrizes E permutação.

Aquilo é
,

Significa, E são matrizes de permutação.

Em geral, a matriz identidade comuta com qualquer matriz quadrada de mesma ordem, e para qualquer matriz
. Esta é uma propriedade da matriz explica porque é chamado de unidade: ao multiplicar números, o número 1 tem essa propriedade.

Se as obras correspondentes forem definidas, então:

5.

EXEMPLO.

,

2x2 2x1 2x1 1x2

COMENTE. Os elementos da matriz podem ser não apenas números, mas também funções. Tal matriz é chamada funcional.

EXEMPLO.

Determinantes e suas propriedades

Cada matriz quadrada pode, de acordo com certas regras, ser associada a um certo número, que é chamado de determinante.

Considere uma matriz quadrada de segunda ordem:

Seu determinante é um número que é escrito e calculado da seguinte forma:

(1.1)

Tal determinante é chamado determinante de segunda ordem e talvez

rotulados de forma diferente:
ou
.

Determinante de terceira ordem chamado o número correspondente à matriz quadrada
, que é calculado de acordo com a regra:

Esta regra para calcular o determinante de terceira ordem é chamada de regra dos triângulos e pode ser representada esquematicamente da seguinte forma:

EXEMPLO.
;

Se atribuirmos a primeira e depois a segunda coluna à direita do determinante, a regra dos triângulos pode ser modificada:

Primeiro, os números da diagonal principal e duas diagonais paralelas a ela são multiplicados, depois os números da outra diagonal (secundária) e paralela a ela. A soma do restante é subtraída da soma dos três primeiros produtos.

Agrupando os termos em (1.2) e usando (1.1), notamos que

(1.3)

Ou seja, ao calcular o determinante de terceira ordem, são usados ​​determinantes de segunda ordem, e
é o determinante da matriz obtido de deletando um elemento (mais precisamente, a primeira linha e a primeira coluna, na interseção das quais fica ),
- excluir um elemento ,
- elemento .

DEFINIÇÃO. menor adicional
elemento matriz quadrada é chamada de determinante da matriz obtida de riscado -ésima linha e -ésima coluna.

EXEMPLO.

DEFINIÇÃO. adição algébrica elemento matriz quadrada ligou para um número
.

EXEMPLO.

para matriz :

para matriz :
e assim por diante.

Assim, tendo em conta as definições formuladas (1.3) pode reescrever-se na forma: .

Passemos agora ao caso geral.

DEFINIÇÃO. determinante matriz quadrada ordem um número é chamado, que é escrito e calculado da seguinte forma:

(1.4)

A igualdade (1.4) é chamada decomposição do determinante em termos dos elementos do primeiro linhas. Nesta fórmula, os complementos algébricos são calculados como determinantes
-ésima ordem. Assim, ao calcular o determinante de 4ª ordem pela fórmula (1.4), é necessário, de forma geral, calcular 4 determinantes de 3ª ordem; ao calcular o determinante da 5ª ordem - 5 determinantes da 4ª ordem, etc. No entanto, se, por exemplo, no determinante de 4ª ordem, a primeira linha contiver 3 elementos nulos, então apenas um termo diferente de zero permanecerá na fórmula (1.4).

EXEMPLO.

Considere (sem prova) propriedades dos determinantes:

O determinante pode ser expandido sobre os elementos da primeira coluna:

EXEMPLO.

COMENTE. Os exemplos considerados permitem-nos concluir: o determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

Segue-se que as linhas e colunas do determinante são iguais.

A partir disso, em particular, segue-se que fator comum de qualquer linha (coluna) pode ser retirado do sinal do determinante. Além disso, um determinante que tem uma linha zero ou coluna zero é zero.

A igualdade (1.6) é chamada -ésima linha.

A igualdade (1.7) é chamada decomposição do determinante por elementos -ésima coluna.

A soma dos produtos de todos os elementos de alguma linha (coluna) por

complementos algébricos de elementos correspondentes de outra string

(coluna) é zero, ou seja, quando
E
no
.

EXEMPLO.
, já que os elementos da primeira e segunda linhas deste determinante são respectivamente proporcionais (propriedade 6).

Especialmente ao calcular determinantes, a propriedade 9 é usada, pois permite obter uma linha ou coluna em qualquer determinante, onde todos os elementos, exceto um, são iguais a zero.

EXEMPLO.