trigonométrico. Módulo e argumento de um número complexo

Números complexos

Imaginário E números complexos. Abcissas e ordenadas

número complexo. Conjugar números complexos.

Operações com números complexos. Geométrico

representação de números complexos. plano complexo.

Módulo e argumento de um número complexo. trigonométrico

forma de número complexo. Operações com complexo

números na forma trigonométrica. Fórmula moivre.

Informações básicas sobre imaginário E números complexos são dadas na seção "Números imaginários e complexos". A necessidade desses números de um novo tipo apareceu ao resolver equações quadráticas para o casoD< 0 (здесь Dé o discriminante da equação quadrática). Por muito tempo, esses números não encontraram uso físico, por isso foram chamados de números "imaginários". No entanto, agora eles são amplamente utilizados em vários campos da física.

e tecnologia: engenharia elétrica, hidro e aerodinâmica, teoria da elasticidade, etc.

Números complexos são escritos como:a+bi. Aqui a E b – numeros reais , A eu – unidade imaginária. e. eu 2 = –1. Número a chamado abscissa, a b - ordenadanúmero complexoa + b .Dois números complexosa+bi E a-bi chamado conjugado números complexos.

Principais acordos:

1. Número realAtambém pode ser escrito na formanúmero complexo:um + 0 eu ou a - 0 eu. Por exemplo, entradas 5 + 0eu e 5 - 0 eusignifica o mesmo número 5 .

2. Número complexo 0 + bichamado puramente imaginário número. Gravaçãobisignifica o mesmo que 0 + bi.

3. Dois números complexosa+bi Ec + disão considerados iguais sea = c E b = d. De outra forma números complexos não são iguais.

Adição. A soma dos números complexosa+bi E c + dié chamado de número complexo (a+c ) + (b+d ) eu .Por isso, quando adicionado números complexos, suas abscissas e ordenadas são somadas separadamente.

Esta definição segue as regras para lidar com polinômios ordinários.

Subtração. A diferença entre dois números complexosa+bi(reduzido) e c + di(subtraído) é chamado de número complexo (a-c ) + (b-d ) eu .

Por isso, ao subtrair dois números complexos, suas abscissas e ordenadas são subtraídas separadamente.

Multiplicação. O produto de números complexosa+bi E c + di é chamado de número complexo.

(ac-bd ) + (ad+bc ) eu .Esta definição decorre de dois requisitos:

1) números a+bi E c + dideve multiplicar como algébrico binômios,

2) número eutem como propriedade principal:eu 2 = – 1.

EXEMPLO ( a + bi )(a-bi) = um 2 +b 2 . Por isso, trabalhar

dois números complexos conjugados é igual ao real

número positivo.

Divisão. Dividir um número complexoa+bi (dividido) para outroc + di(divisor) - significa encontrar o terceiro númeroe + fi(chat), que, quando multiplicado por um divisorc + di, o que resulta no dividendoa + b .

Se o divisor não for zero, a divisão é sempre possível.

EXEMPLO Encontrar (8+eu ) : (2 – 3 eu) .

Solução. Vamos reescrever essa proporção como uma fração:

Multiplicando seu numerador e denominador por 2 + 3eu

E depois de realizar todas as transformações, obtemos:

Representação geométrica de números complexos. Os números reais são representados por pontos na reta numérica:

Aqui está o ponto Asignifica número -3, pontoBé o número 2, e O- zero. Em contraste, os números complexos são representados por pontos no plano coordenado. Para isso, escolhemos coordenadas retangulares (cartesianas) com as mesmas escalas em ambos os eixos. Então o número complexoa+bi será representado por um ponto P com abcissa a e ordenada b (ver fig.). Este sistema de coordenadas é chamado plano complexo .

módulo número complexo é chamado de comprimento do vetorOP, representando um número complexo na coordenada ( integrado) avião. Módulo de número complexoa+bi denotado por | a+bi| ou carta r

Um número complexo é um número da forma z = x + i * y, onde x e y são reais números, e i = unidade imaginária (ou seja, um número cujo quadrado é -1). Para definir o conceito argumento integrado números, é necessário considerar o número complexo no plano complexo no sistema de coordenadas polares.

Instrução

O plano no qual o complexo números, é chamado de complexo. Neste plano, o eixo horizontal é ocupado por números(x), e o eixo vertical - imaginário números(y). Nesse plano, o número é dado por duas coordenadas z = (x, y). No sistema de coordenadas polares, as coordenadas de um ponto são o módulo e o argumento. O módulo é a distância |z| do ponto até a origem. O argumento é o ângulo entre o vetor que liga o ponto e a origem e o eixo horizontal do sistema de coordenadas (ver figura).

Pode ser visto na figura que o módulo do complexo números z = x + i * y é encontrado pelo teorema de Pitágoras: |z| = ? (x^2 + y^2). Argumento adicional números z é encontrado como um ângulo agudo de um triângulo - através dos valores das funções trigonométricas sin, cos, tg:sin = y / ? (x^2 + y^2),
cos = x/? (x^2 + y^2),
tg = y / x.

Por exemplo, seja dado o número z = 5 * (1 + ?3 * i). Primeiramente, selecione as partes real e imaginária: z = 5 +5 * ?3 * i. Acontece que a parte real x = 5 e a parte imaginária y = 5 * ?3. Calcular Módulo números: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Em seguida, encontre o seno do ângulo: sin \u003d 5 / 10 \u003d 1 / 2. Isso fornece o argumento números z é 30°.

Exemplo 2. Seja dado o número z = 5 * i. A figura mostra que o ângulo = 90°. Verifique este valor com a fórmula acima. Anote as coordenadas deste números no plano complexo: z = (0, 5). Módulo números|z| = 5. A tangente do ângulo tg = 5 / 5 = 1. Segue-se que = 90°.

Exemplo 3. Seja necessário encontrar o argumento da soma de dois números complexos z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. De acordo com as regras da adição, adicione esses dois complexos números: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Além disso, de acordo com o esquema acima, calcule o argumento: tg = 9 / 3 = 3.

O que representa um dado número complexo $z=a+bi$ é chamado de módulo do dado número complexo.

O módulo de um determinado número complexo é calculado usando a seguinte fórmula:

Exemplo 1

Calcule o módulo de dados complexos $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

O módulo do número complexo $z=a+bi$ é calculado pela fórmula: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Para o número complexo original $z_(1) =13$ obtemos $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) =13$

Para o número complexo original $\, z_(2) =4i$ obtemos $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$

Para o número complexo original $\, z_(3) =4+3i$ obtemos $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

Definição 2

O ângulo $\varphi $ formado pelo sentido positivo do eixo real e o vetor raio $\overrightarrow(OM) $, que corresponde a um determinado número complexo $z=a+bi$, é chamado de argumento desse número e é denotado por $\arg z$.

Nota 1

O módulo e o argumento de um determinado número complexo são usados explicitamente ao representar um número complexo na forma trigonométrica ou exponencial:

$z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - forma trigonométrica;
$z=r\cdot e^(i\varphi ) $ é a forma exponencial.

Exemplo 2

Escreva um número complexo nas formas trigonométrica e exponencial dado pelos seguintes dados: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) Substitua os dados $r=3;\varphi =\pi $ nas fórmulas correspondentes e obtenha:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - forma trigonométrica

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ é a forma exponencial.

2) Substitua os dados $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ nas fórmulas correspondentes e obtenha:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - forma trigonométrica

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ é a forma exponencial.

Exemplo 3

Determine o módulo e o argumento dos números complexos dados:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Encontramos o módulo e o argumento usando as fórmulas para escrever um determinado número complexo nas formas trigonométrica e exponencial, respectivamente

\ \

1) Para o número complexo original $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ obtemos $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .

2) Para o número complexo original $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ nós obter $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.

3) Para o número complexo original $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ obtemos $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) Para o número complexo original $z=13\cdot e^(i\pi ) $ obtemos $r=13;\varphi =\pi $.

O argumento $\varphi $ de um determinado número complexo $z=a+bi$ pode ser calculado usando as seguintes fórmulas:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) .\]

Na prática, para calcular o valor do argumento de um determinado número complexo $z=a+bi$, costuma-se usar a seguinte fórmula:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi, um

ou resolva o sistema de equações

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \end(array)\right. $. (**)

Exemplo 4

Calcule o argumento dos números complexos dados: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Como $z=3$, então $a=3,b=0$. Calcule o argumento do número complexo original usando a fórmula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

Como $z=4i$, então $a=0,b=4$. Calcule o argumento do número complexo original usando a fórmula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2) .\]

Como $z=1+i$, então $a=1,b=1$. Calcule o argumento do número complexo original resolvendo o sistema (**):

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(array)\right. .\]

Sabe-se do curso de trigonometria que $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ para o ângulo correspondente ao primeiro quadrante de coordenadas e igual a $\varphi =\frac (\pi)(4) $.

Como $z=-5$, então $a=-5,b=0$. Calcule o argumento do número complexo original usando a fórmula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

Como $z=-2i$, então $a=0,b=-2$. Calcule o argumento do número complexo original usando a fórmula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Nota 2

O número $z_(3) $ é representado pelo ponto $(0;1)$, portanto, o comprimento do vetor raio correspondente é igual a 1, ou seja, $r=1$, e o argumento $\varphi =\frac(\pi )(2) $ conforme Nota 3.

O número $z_(4) $ é representado pelo ponto $(0;-1)$, portanto, o comprimento do vetor raio correspondente é igual a 1, ou seja, $r=1$, e o argumento $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ conforme Nota 3.

O número $z_(5) $ é representado pelo ponto $(2;2)$, portanto, o comprimento do vetor raio correspondente é igual a $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, ou seja, $r=2\sqrt(2) $, e o argumento $\varphi =\frac(\pi )(4) $ pela propriedade do triângulo retângulo.