Definição 1. Um ponto x de uma linha infinita é chamado de ponto limite da sequência (x n) se em qualquer vizinhança eletrônica deste ponto houver infinitos elementos da sequência (x n).

Lema 1. Se x é um ponto limite da sequência (x k ), então desta sequência podemos selecionar uma subsequência (x n k ), convergindo para o número x.

Comente. A afirmação oposta também é verdadeira. Se da sequência (x k) for possível selecionar uma subsequência convergindo para o número x, então o número x é o ponto limite da sequência (x k). Na verdade, em qualquer vizinhança eletrônica do ponto x existem infinitos elementos da subsequência e, portanto, da própria sequência (x k ).

Do Lema 1 segue-se que podemos dar outra definição do ponto limite de uma sequência, equivalente à Definição 1.

Definição 2. Um ponto x de uma linha infinita é chamado de ponto limite de uma sequência (x k ), se desta sequência for possível selecionar uma subsequência convergindo para x.

Lema 2. Toda sequência convergente possui apenas um ponto limite, que coincide com o limite dessa sequência.

Comente. Se a sequência converge, então pelo Lema 2 ela tem apenas um ponto limite. Porém, se (xn) não for convergente, então pode ter vários pontos limites (e, em geral, infinitos pontos limites). Mostremos, por exemplo, que (1+(-1) n ) tem dois pontos limites.

Na verdade, (1+(-1) n )=0,2,0,2,0,2,... tem dois pontos limites 0 e 2, porque as subsequências (0)=0,0,0,... e (2)=2,2,2,... desta sequência têm limites de números 0 e 2, respectivamente. Esta sequência não tem outros pontos limites. Na verdade, seja x qualquer ponto no eixo dos números diferente dos pontos 0 e 2. Tomemos e >0 então

pequeno para que e - vizinhanças dos pontos 0, x e 2 não se cruzem. A e-vizinhança dos pontos 0 e 2 contém todos os elementos da sequência e, portanto, a e-vizinhança do ponto x não pode conter infinitos elementos (1+(-1) n ) e, portanto, não é um ponto limite desta sequência.

Teorema. Toda sequência limitada tem pelo menos um ponto limite.

Comente. Nenhum número x superior a , é um ponto limite da sequência (x n), ou seja, - o maior ponto limite da sequência (x n).

Seja x qualquer número maior que . Escolhamos e>0 tão pequeno que

e x 1 О(x), à direita de x 1 há um número finito de elementos da sequência (x n) ou não há nenhum, ou seja, x não é um ponto limite da sequência (x n ).

Definição. O maior ponto limite da sequência (x n) é chamado de limite superior da sequência e é denotado pelo símbolo. Segue-se da observação que toda sequência limitada tem um limite superior.

Da mesma forma, o conceito de limite inferior é introduzido (como o menor ponto limite da sequência (x n )).

Portanto, provamos a seguinte afirmação. Toda sequência limitada tem limites superiores e inferiores.

Vamos formular o seguinte teorema sem prova.

Teorema. Para que a sequência (x n) seja convergente é necessário e suficiente que ela seja limitada e que seus limites superior e inferior coincidam.

Os resultados desta seção levam ao seguinte teorema principal de Bolzano-Weierstrass.

Teorema de Bolzano-Weierstrass. De qualquer sequência limitada pode-se selecionar uma subsequência convergente.

Prova. Como a sequência (x n ) é limitada, ela possui pelo menos um ponto limite x. Então, a partir desta sequência, podemos selecionar uma subsequência convergindo para o ponto x (segue da Definição 2 do ponto limite).

Comente. De qualquer sequência limitada pode-se isolar uma sequência convergente monotônica.

Definição v.7. Um ponto x € R na reta numérica é chamado de ponto limite de uma sequência (xn) se para qualquer vizinhança U (x) e qualquer número natural N for possível encontrar um elemento xn pertencente a esta vizinhança com um número maior que LG, ou seja x 6 R - ponto limite se. Em outras palavras, um ponto x será um ponto limite para (xn) se alguma de suas vizinhanças contiver elementos desta sequência com números arbitrariamente grandes, embora talvez nem todos os elementos com números n > N. Portanto, a seguinte afirmação é bastante óbvia . Declaração b.b. Se lim(xn) = 6 6 R, então b é o único ponto limite da sequência (xn). Na verdade, em virtude da Definição 6.3 do limite de uma sequência, todos os seus elementos, a partir de um certo número, caem em qualquer vizinhança arbitrariamente pequena do ponto 6 e, portanto, elementos com números arbitrariamente grandes não podem cair na vizinhança de qualquer outro ponto . Consequentemente, a condição da definição 6.7 é satisfeita apenas para um único ponto 6. No entanto, nem todo ponto limite (às vezes chamado de ponto condensado fino) de uma sequência é o seu limite. Assim, a sequência (b.b) não tem limite (ver exemplo 6.5), mas tem dois pontos limites x = 1 e x = - 1. A sequência ((-1)pp) tem dois pontos infinitos +oo e como pontos limites - com a reta numérica estendida, cuja união é denotada por um símbolo oo. É por isso que podemos assumir que os pontos limites infinitos coincidem, e o ponto infinito oo, conforme (6.29), é o limite desta sequência. Pontos limites da reta numérica de sequência.Comprovação do teste de Weierstrass e do critério de Cauchy. Seja a sequência (jn) dada e os números k formem uma sequência crescente de inteiros positivos. Então a sequência (Vnb onde yn = xkn> é chamada de subsequência da sequência original. Obviamente, se (i„) tem o número 6 como limite, então qualquer uma de suas subsequências tem o mesmo limite, pois a partir de um determinado número todos os elementos da sequência original e de qualquer uma de suas subsequências caem em qualquer vizinhança escolhida do ponto 6. Ao mesmo tempo, qualquer ponto limite de uma subsequência também é um ponto limite para a sequência. Teorema 9. De qualquer sequência que tenha um ponto limite, pode-se escolher uma subsequência que tenha esse ponto limite como limite. Seja b o ponto limite da sequência (xn), então, conforme Definição 6. 7 ponto limite, para cada n existe um elemento pertencente à vizinhança U (6, 1/n) do ponto b de raio 1/n. A subsequência composta pelos pontos ijtj, ...1 ..., onde zjfcn€U(6, 1/n) Vn 6 N, tem limite no ponto 6. Na verdade, para um e > 0 arbitrário, pode-se escolher N de tal modo que. Então todos os elementos da subsequência, começando com o número km, cairão na vizinhança ^ U(6, e) do ponto 6, que corresponde à condição 6.3 da definição do limite da sequência. O teorema inverso também é verdadeiro. Pontos limites da reta numérica de sequência.Comprovação do teste de Weierstrass e do critério de Cauchy. Teorema 8.10. Se alguma sequência tem uma subsequência com limite 6, então b é o ponto limite desta sequência. Da definição 6.3 do limite de uma sequência segue-se que, a partir de um certo número, todos os elementos da subsequência com limite b caem em uma vizinhança U(b, ​​​​e) de raio arbitrário e. Uma vez que os elementos da subsequência são simultaneamente elementos da sequência (xn)> os elementos xn caem nesta vizinhança com tantos números arbitrariamente grandes, e isso, em virtude da Definição 6.7, significa que b é o ponto limite da sequência (n). Observação 0.2. Os teoremas 6.9 e 6.10 também são válidos no caso em que o ponto limite é infinito, se, ao provar a vizinhança merto de U(6, 1 /n), considerarmos a vizinhança (ou vizinhanças). pode ser isolado de uma sequência é estabelecido pelo seguinte teorema. Teorema 6.11 (Bolzano - Weierstrass). Toda sequência limitada contém uma subsequência convergindo para um limite finito. Deixe todos os elementos da sequência (an) estarem entre os números a e 6 , ou seja, xn € [a, b] Vn € N. Divida o segmento [a , b] pela metade. Então pelo menos uma de suas metades conterá um número infinito de elementos da sequência, caso contrário, todo o segmento [a, b] conteria um número finito deles, o que é impossível. Seja ] o das metades do segmento [a , 6], que contém um conjunto infinito de elementos da sequência (zn) (ou se ambas as metades são tais , então qualquer um deles).Da mesma forma, do segmento que contém um conjunto infinito de elementos da sequência, etc. Continuando este processo, construiremos um sistema de segmentos aninhados com bn - an = (6- a)/2P. De acordo com o princípio dos segmentos aninhados, existe um ponto x que pertence a todos esses segmentos. Este ponto será o ponto limite da sequência (xn) - Na verdade, para qualquer e-vizinhança U(x, e) = (xx + e) ​​​​ponto x existe um segmento C U(x, e) (é basta escolher n da desigualdade (, contendo um número infinito de elementos da sequência (sn). De acordo com a definição 6.7, x é o ponto limite desta sequência. Então, pelo Teorema 6.9, existe uma subsequência convergindo para o ponto x. O método de raciocínio utilizado na prova deste teorema (às vezes é chamado de lema de Bolzano-Weyer-Strass) e associado à bissecção sequencial dos segmentos em consideração é conhecido como método de Bolzano. Este teorema simplifica muito a prova de muitos teoremas complexos. Ele permite provar vários teoremas importantes de uma maneira diferente (às vezes mais simples). Apêndice 6.2. Prova do teste de Weierstrass e do critério de Cauchy Primeiro, provamos a Afirmação 6.1 (teste de Weierstrass para a convergência de uma sequência monotônica limitada). Suponhamos que a sequência (jn) não seja decrescente. Então o conjunto de seus valores é limitado acima e, pelo Teorema 2.1, tem um supremo que denotamos por sup(xn) ser R. Devido às propriedades do supremo (ver 2.7) Os pontos limites da sequência são o número linha Prova do teste de Weierstrass e do critério de Cauchy. De acordo com a Definição 6.1 para uma sequência não decrescente temos ou Then > Ny e levando em consideração (6.34) obtemos que corresponde à Definição 6.3 do limite da sequência, ou seja, 31im(sn) e lim(xn) = 66R. Se a sequência (xn) não for crescente, então o curso da prova é semelhante. Agora vamos provar a suficiência do critério de Kochia para a convergência de uma sequência (ver Afirmação 6.3), uma vez que a necessidade da condição do critério decorre do Teorema 6.7. Seja a sequência (jn) fundamental. De acordo com a Definição 6.4, dado um € > 0 arbitrário, pode-se encontrar um número N(s) tal que m^N e n^N impliquem. Então, tomando m - N, para Vn > N obtemos € £ Como a sequência em consideração tem um número finito de elementos com números não superiores a N, segue de (6.35) que a sequência fundamental é limitada (para comparação, veja o prova do Teorema 6.2 sobre a limitação de uma sequência convergente). Para um conjunto de valores de uma sequência limitada, existem limites ínfimo e supremo (ver Teorema 2.1). Para o conjunto de valores dos elementos para n > N, denotamos essas faces an = inf xn e bjy = sup xn, respectivamente. À medida que N aumenta, o ínfimo exato não diminui e o supremo exato não aumenta, ou seja, . Eu recebo um sistema de ar condicionado? segmentos De acordo com o princípio dos segmentos aninhados, existe um ponto comum que pertence a todos os segmentos. Vamos denotar isso por b. Assim, com a comparação From (6. 36) e (6.37) como resultado obtemos que corresponde à Definição 6.3 do limite da sequência, ou seja, 31im(x„) e lim(sn) = 6 6 R. Bolzano começou a estudar sequências fundamentais. Mas ele não tinha uma teoria rigorosa dos números reais e, portanto, não foi capaz de provar a convergência da sequência fundamental. Cauchy fez isso, tomando como certo o princípio dos segmentos aninhados, que Cantor posteriormente fundamentou. Não apenas o critério para a convergência de uma sequência recebe o nome de Cauchy, mas a sequência fundamental é freqüentemente chamada de sequência de Cauchy, e o princípio dos segmentos aninhados recebe o nome de Cantor. Perguntas e tarefas 8.1. Prove que: 6.2. Dê exemplos de sequências não convergentes com elementos pertencentes aos conjuntos Q e R\Q. 0,3. Sob quais condições os termos das progressões aritméticas e geométricas formam sequências decrescentes e crescentes? 6.4. Prove as relações que seguem da tabela. 6.1. 6.5. Construa exemplos de sequências tendendo aos pontos infinitos +oo, -oo, oo, e um exemplo de sequência convergindo para o ponto 6 € R. c.v. Uma sequência ilimitada não pode ser b.b.? Se sim, dê um exemplo. às 7. Construa um exemplo de sequência divergente composta por elementos positivos que não tem limite finito nem infinito. 6.8. Prove a convergência da sequência (jn) dada pela fórmula recorrente sn+i = sin(xn/2) sob a condição “1 = 1. 6.9. Prove que lim(xn)=09 se sn+i/xn-»g€ .

Divida o segmento [ a 0 ,b 0] ao meio em dois segmentos iguais. Pelo menos um dos segmentos resultantes contém um número infinito de termos da sequência. Vamos denotar isso [ a 1 ,b 1 ] .

Na próxima etapa, repetiremos o procedimento com o segmento [ a 1 ,b 1]: divida-o em dois segmentos iguais e escolha entre eles aquele em que se encontra um número infinito de termos da sequência. Vamos denotar isso [ a 2 ,b 2 ] .

Continuando o processo obtemos uma sequência de segmentos aninhados

em que cada um subsequente é metade do anterior e contém um número infinito de termos da sequência ( x k } .

Os comprimentos dos segmentos tendem a zero:

Em virtude do princípio de Cauchy-Cantor de segmentos aninhados, existe um único ponto ξ que pertence a todos os segmentos:

Por construção em cada segmento [a eu ,b eu ] existe um número infinito de termos da sequência. Vamos escolher sequencialmente

enquanto observa a condição de números crescentes:

Então a subsequência converge para o ponto ξ. Isso decorre do fato de que a distância de a ξ não excede o comprimento do segmento que os contém [a eu ,b eu ] , onde

Extensão ao caso de um espaço de dimensão arbitrária

O teorema de Bolzano-Weierstrass é facilmente generalizado para o caso de um espaço de dimensão arbitrária.

Seja dada uma sequência de pontos no espaço:

(o índice inferior é o número do membro da sequência, o índice superior é o número da coordenada). Se a sequência de pontos no espaço for limitada, então cada uma das sequências numéricas de coordenadas:

também limitado ( - número da coordenada).

Em virtude da versão unidimensional do teorema de Bolzano-Weirstrass da sequência ( x k) podemos selecionar uma subsequência de pontos cujas primeiras coordenadas formam uma sequência convergente. Da subsequência resultante, selecionamos mais uma vez uma subsequência que converge ao longo da segunda coordenada. Neste caso, a convergência ao longo da primeira coordenada será preservada devido ao fato de que toda subsequência de uma sequência convergente também converge. E assim por diante.

Depois n obtemos uma certa sequência de etapas

que é uma subsequência de e converge ao longo de cada uma das coordenadas. Segue-se que esta subsequência converge.

História

Teorema de Bolzano-Weierstrass (para o caso n= 1) foi provado pela primeira vez pelo matemático tcheco Bolzano em 1817. No trabalho de Bolzano, atuou como lema na prova do teorema dos valores intermediários de uma função contínua, hoje conhecido como teorema de Bolzano-Cauchy. Contudo, estes e outros resultados, comprovados por Bolzano muito antes de Cauchy e Weierstrass, passaram despercebidos.

Apenas meio século depois, Weierstrass, independentemente de Bolzano, redescobriu e provou este teorema. Originalmente chamado de teorema de Weierstrass, antes do trabalho de Bolzano se tornar conhecido e aceito.

Hoje este teorema leva os nomes de Bolzano e Weierstrass. Este teorema é frequentemente chamado Lema de Bolzano-Weierstrass, e às vezes lema do ponto limite.

O teorema de Bolzano-Weierstrass e o conceito de compacidade

O teorema de Bolzano-Weierstrass estabelece a seguinte propriedade interessante de um conjunto limitado: toda sequência de pontos M contém uma subsequência convergente.

Ao provar várias proposições em análise, eles frequentemente recorrem à seguinte técnica: determinam uma sequência de pontos que possui alguma propriedade desejada e, a seguir, selecionam dela uma subsequência que também a possui, mas já é convergente. Por exemplo, é assim que se prova o teorema de Weierstrass de que uma função contínua em um intervalo é limitada e assume seus maiores e menores valores.

A eficácia de tal técnica em geral, bem como o desejo de estender o teorema de Weierstrass a espaços métricos arbitrários, levaram o matemático francês Maurice Fréchet a introduzir o conceito em 1906. compacidade. A propriedade dos conjuntos limitados, estabelecida pelo teorema de Bolzano-Weierstrass, é, figurativamente falando, que os pontos do conjunto estão localizados bastante “próximos” ou “compactos”: tendo dado um número infinito de passos ao longo deste conjunto, iremos certamente chegaremos tão perto quanto quisermos de algum ponto no espaço.

Frechet introduz a seguinte definição: conjunto M chamado compactar, ou compactar, se cada sequência de seus pontos contém uma subsequência convergindo para algum ponto deste conjunto. Supõe-se que no set M a métrica está definida, ou seja, é

Uma prova do teorema de Bolzano-Weierstrass é dada. Para fazer isso, é usado o lema dos segmentos aninhados.

Contente

Veja também: Lema sobre segmentos aninhados

De qualquer sequência limitada de números reais é possível selecionar uma subsequência que converge para um número finito. E de qualquer sequência ilimitada - uma subsequência infinitamente grande convergindo para ou para .

O teorema de Bolzano-Weierstrass pode ser formulado desta forma.

De qualquer sequência de números reais é possível selecionar uma subsequência que converge para um número finito, ou para ou para.

Prova da primeira parte do teorema

Para provar a primeira parte do teorema, aplicaremos o lema do segmento aninhado.

Deixe a sequência ser limitada. Isto significa que existe um número positivo M, de modo que para todo n,
.
Ou seja, todos os membros da sequência pertencem ao segmento, que denotamos como. Aqui . Comprimento do primeiro segmento. Vamos considerar qualquer elemento da sequência como o primeiro elemento da subsequência. Vamos denotá-lo como .

Divida o segmento ao meio. Se a metade direita contiver um número infinito de elementos da sequência, considere a metade direita como o próximo segmento. Caso contrário, vamos pegar a metade esquerda. Como resultado, obtemos um segundo segmento contendo um número infinito de elementos da sequência. O comprimento deste segmento. Aqui, se pegássemos a metade direita; e - se sobrar. Como segundo elemento da subsequência, tomamos qualquer elemento da sequência pertencente ao segundo segmento com um número maior que n 1 . Vamos denotar isso como ().

Desta forma repetimos o processo de divisão dos segmentos. Divida o segmento ao meio. Se a metade direita contiver um número infinito de elementos da sequência, considere a metade direita como o próximo segmento. Caso contrário, vamos pegar a metade esquerda. Como resultado, obtemos um segmento contendo um número infinito de elementos da sequência. O comprimento deste segmento. Como elemento da subsequência, tomamos qualquer elemento da sequência pertencente a um segmento com um número maior que n k.

Como resultado, obtemos uma subsequência e um sistema de segmentos aninhados
.
Além disso, cada elemento da subsequência pertence ao segmento correspondente:
.

Como os comprimentos dos segmentos tendem a zero como, então, de acordo com o lema dos segmentos aninhados, existe um ponto único c que pertence a todos os segmentos.

Vamos mostrar que este ponto é o limite da subsequência:
.
Na verdade, como os pontos ec pertencem a um segmento de comprimento , então
.
Visto que, então, de acordo com o teorema da sequência intermediária,
. Daqui
.

A primeira parte do teorema foi provada.

Prova da segunda parte do teorema

Deixe a sequência ser ilimitada. Isso significa que para qualquer número M existe um n tal que
.

Primeiro, considere o caso em que a sequência é ilimitada à direita. Ou seja, para qualquer M > 0 , existe n tal que
.

Como primeiro elemento da subsequência, considere qualquer elemento da sequência maior que um:
.
Como segundo elemento da subsequência, tomamos qualquer elemento da sequência maior que dois:
,
e para .
E assim por diante. Como o k-ésimo elemento da subsequência, tomamos qualquer elemento
,
e .
Como resultado, obtemos uma subsequência, cada elemento satisfaz a desigualdade:
.

Inserimos os números M e N M, conectando-os com as seguintes relações:
.
Segue-se que para qualquer número M pode-se escolher um número natural, de modo que para todos os números naturais k >
Significa que
.

Agora considere o caso em que a sequência é limitada à direita. Como é ilimitado, deve ser deixado ilimitado. Neste caso, repetimos o raciocínio com pequenas alterações.

Escolhemos uma subsequência para que seus elementos satisfaçam as desigualdades:
.
Em seguida inserimos os números M e N M, conectando-os com as seguintes relações:
.
Então, para qualquer número M pode-se escolher um número natural, de modo que para todos os números naturais k > N M a desigualdade é válida.
Significa que
.

O teorema foi provado.

Veja também: