Formulele de multiplicare abreviate (FSU) sunt folosite pentru a exponenția și înmulți numerele și expresiile. Adesea, aceste formule vă permit să faceți calcule mai compact și mai rapid.

În acest articol, vom enumera principalele formule pentru înmulțirea abreviată, le vom grupa într-un tabel, vom lua în considerare exemple de utilizare a acestor formule și, de asemenea, vom insista asupra principiilor pentru demonstrarea formulelor de înmulțire abreviată.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pentru prima dată, tema FSU este luată în considerare în cadrul cursului „Algebră” pentru clasa a VII-a. Mai jos sunt 7 formule de bază.

Formule de înmulțire prescurtate

1. formula sumei pătrate: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. Formula pătrată a diferenței: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. formula cubului sumei: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. Formula cubului de diferență: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. formula diferenței de pătrate: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. formula pentru suma cuburilor: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. Formula diferenței cubului: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

Literele a, b, c din aceste expresii pot fi orice numere, variabile sau expresii. Pentru ușurință în utilizare, este mai bine să învățați pe de rost cele șapte formule de bază. Le rezumăm într-un tabel și le dăm mai jos, încercuindu-le cu o cutie.

Primele patru formule vă permit să calculați, respectiv, pătratul sau cubul sumei sau diferenței a două expresii.

A cincea formulă calculează diferența de pătrate de expresii înmulțind suma și diferența acestora.

A șasea și a șaptea formule sunt, respectiv, înmulțirea sumei și diferenței de expresii cu pătratul incomplet al diferenței și pătratul incomplet al sumei.

Formula de înmulțire abreviată este uneori numită și identități de înmulțire abreviată. Acest lucru nu este surprinzător, deoarece fiecare egalitate este o identitate.

La rezolvarea exemplelor practice, formulele de înmulțire abreviate sunt adesea folosite cu părți din stânga și din dreapta rearanjate. Acest lucru este deosebit de convenabil atunci când factorizarea unui polinom.

Formule suplimentare de înmulțire abreviate

Nu ne vom limita la cursul de algebră de clasa a VII-a și vom adăuga câteva formule în tabelul nostru FSU.

În primul rând, luați în considerare formula binomială a lui Newton.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

Aici C n k sunt coeficienții binomi care sunt în numărul de linie n în triunghiul lui Pascal. Coeficienții binomi se calculează cu formula:

C nk = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

După cum puteți vedea, FSU pentru pătratul și cubul diferenței și a sumei este un caz special al formulei binomiale a lui Newton pentru n=2 și, respectiv, n=3.

Dar ce se întâmplă dacă există mai mult de doi termeni în suma care trebuie ridicată la o putere? Formula pentru pătratul sumei a trei, patru sau mai mulți termeni va fi utilă.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

O altă formulă care poate fi utilă este formula pentru diferența dintre puterile a n-a a doi termeni.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Această formulă este de obicei împărțită în două formule - respectiv pentru grade pare și impare.

Pentru exponenți pari 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Pentru exponenți impari 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Formulele pentru diferența de pătrate și diferența de cuburi, ați ghicit, sunt cazuri speciale ale acestei formule pentru n = 2 și, respectiv, n = 3. Pentru diferența de cuburi, b se înlocuiește și cu - b .

Cum se citesc formulele de înmulțire prescurtate?

Vom da formulările corespunzătoare pentru fiecare formulă, dar mai întâi ne vom ocupa de principiul citirii formulelor. Cel mai simplu mod de a face acest lucru este cu un exemplu. Să luăm chiar prima formulă pentru pătratul sumei a două numere.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Ei spun: pătratul sumei a două expresii a și b este egal cu suma pătratului primei expresii, de două ori produsul expresiilor și pătratul celei de-a doua expresii.

Toate celelalte formule sunt citite în mod similar. Pentru diferența pătrată a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 scriem:

pătratul diferenței a două expresii a și b este egal cu suma pătratelor acestor expresii minus de două ori produsul primei și celei de-a doua expresii.

Să citim formula a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Cubul sumei a două expresii a și b este egal cu suma cuburilor acestor expresii, de trei ori produsul pătratului primei expresii și al celei de-a doua și de trei ori produsul pătratului celei de-a doua expresii iar prima expresie.

Continuăm să citim formula pentru diferența de cuburi a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Cubul diferenței a două expresii a și b este egal cu cubul primei expresii minus de trei ori pătratul primei expresii și al doilea, plus de trei ori pătratul celei de-a doua expresii și prima expresie, minus cubul a celei de-a doua expresii.

A cincea formulă a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (diferența de pătrate) arată astfel: diferența pătratelor a două expresii este egală cu produsul diferenței și suma celor două expresii.

Expresii precum a 2 + a b + b 2 și a 2 - a b + b 2 pentru comoditate se numesc, respectiv, pătratul incomplet al sumei și, respectiv, pătratul incomplet al diferenței.

Având în vedere acest lucru, formulele pentru suma și diferența de cuburi se citesc după cum urmează:

Suma cuburilor a două expresii este egală cu produsul dintre suma acestor expresii și pătratul incomplet al diferenței lor.

Diferența cuburilor a două expresii este egală cu produsul diferenței acestor expresii cu pătratul incomplet al sumei lor.

Dovada FSU

Demonstrarea FSU este destul de simplă. Pe baza proprietăților înmulțirii, vom efectua înmulțirea părților formulelor din paranteze.

De exemplu, luați în considerare formula pentru pătratul diferenței.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Pentru a ridica o expresie la a doua putere, expresia trebuie înmulțită cu ea însăși.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Să extindem parantezele:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Formula a fost dovedită. Celelalte OSF sunt dovedite în mod similar.

Exemple de aplicare a FSO

Scopul utilizării formulelor de înmulțire redusă este de a multiplica și exponenția expresii rapid și concis. Cu toate acestea, acesta nu este întregul domeniu de aplicare al OSF. Sunt utilizate pe scară largă în reducerea expresiilor, reducerea fracțiilor, factorizarea polinoamelor. Să dăm exemple.

Exemplul 1. FSO

Să simplificăm expresia 9 y - (1 + 3 y) 2 .

Aplicați formula sumei pătratelor și obțineți:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Exemplul 2. FSO

Reduceți fracția 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .

Observăm că expresia din numărător este diferența de cuburi, iar la numitor - diferența de pătrate.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Reducem și obținem:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU-urile ajută, de asemenea, la calcularea valorilor expresiilor. Principalul lucru este să puteți observa unde să aplicați formula. Să arătăm asta cu un exemplu.

Să punem la pătrat numărul 79. În loc de calcule greoaie, scriem:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

S-ar părea că un calcul complex a fost efectuat rapid folosind doar formule de înmulțire abreviate și o tabelă de înmulțire.

Un alt punct important este selectarea pătratului binomului. Expresia 4 x 2 + 4 x - 3 poate fi convertită în 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Astfel de transformări sunt utilizate pe scară largă în integrare.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Formule de înmulțire prescurtate.

Studierea formulelor de înmulțire prescurtată: pătratul sumei și pătratul diferenței a două expresii; diferența de pătrate a două expresii; cubul sumei și cubul diferenței a două expresii; sume și diferențe de cuburi a două expresii.

Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate la rezolvarea exemplelor.

Pentru a simplifica expresiile, a factoriza polinoamele și a reduce polinoamele la o formă standard, se folosesc formule de înmulțire abreviate. Formule de înmulțire prescurtate pe care trebuie să le cunoașteți pe de rost.

Fie a, b R. Atunci:

1. Pătratul sumei a două expresii este pătratul primei expresii plus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Pătratul diferenței a două expresii este pătratul primei expresii minus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Diferența de pătrate două expresii este egală cu produsul dintre diferența acestor expresii și suma lor.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

4. cub suma a două expresii este egal cu cubul primei expresii plus de trei ori pătratul primei expresii ori a doua plus de trei ori produsul primei expresii ori pătratul celei de-a doua plus cubul celei de-a doua expresii.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. cub de diferență a două expresii este egal cu cubul primei expresii minus de trei ori produsul pătratului primei expresii și al doilea plus de trei ori produsul primei expresii și pătratul celei de-a doua minus cubul celei de-a doua expresii.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Suma de cuburi două expresii este egal cu produsul sumei primei și celei de-a doua expresii prin pătratul incomplet al diferenței acestor expresii.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Diferența de cuburi a două expresii este egal cu produsul diferenței primei și celei de-a doua expresii prin pătratul incomplet al sumei acestor expresii.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Aplicarea formulelor de înmulțire prescurtate la rezolvarea exemplelor.

Exemplul 1

calculati

a) Folosind formula pentru pătratul sumei a două expresii, avem

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Folosind formula pentru diferența pătrată a două expresii, obținem

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604

Exemplul 2

calculati

Folosind formula pentru diferența pătratelor a două expresii, obținem

Exemplul 3

Simplificați expresia

(x - y) 2 + (x + y) 2

Folosim formulele pentru pătratul sumei și pătratul diferenței a două expresii

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

Formule de înmulțire prescurtate într-un singur tabel:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

În această lecție, ne vom familiariza cu formulele pentru pătratul sumei și pătratul diferenței și le vom deriva. Să demonstrăm geometric formula pătratului sumei. În plus, vom rezolva multe exemple diferite folosind aceste formule.

Formularea temei lecției

Ras-look-rim for-mu-lu quad-ra-ta sums:

Derivarea și demonstrarea formulei sumei pătrate

Deci, noi-ve-dacă pentru-mu-lu quad-ra-ta sume:

Slo-greutate-dar această formă-mu-la you-ra-zha-este așa: pătratul sumei este egal cu pătratul primului număr plus de două ori pro-de-ve- de-ția primului număr de pe al doilea roi plus pătratul celui de-al doilea număr.

Acest form-mu-lu este ușor de imaginat geo-met-ri-che-ski.

Ras-look-rim pătrat cu o sută de ro-noy:

Pătrat pătrat-ra-ta.

Pe de altă parte, același pătrat poate fi prezentat diferit prin ruperea puțului de o sută de ro în a și b (Fig. 1).

Orez. 1. Pătrat

Apoi aria pătratului poate fi prezentată ca suma ariilor:

Deoarece pătratul-ra-ai fost unul la unu, ariile lor sunt egale, ceea ce înseamnă:

Deci, facem-ka-for-geo-met-ri-che-ski pentru-mu-lu quad-ra-ta sume.

Exemple de rezolvare pentru formula sumei pătrate

Exemple de jante cu aspect Ras:

Exemplul 1:

Un comentariu: exemplul este rezolvat cu utilizarea sumei for-mu-ly square-ra-ta.

Exemplul 2:

Exemplul 3:

Derivarea formulei diferenței pătrate

You-ve-dem for-mu-lu quad-ra-ta difference:

Deci, we-ve-we-whether for-mu-lu quad-ra-ta raz-no-sti:

Slo-weight-dar această formă-mu-la you-ra-zha-este așa: pătratul diferenței este egal cu pătratul primului număr minus de două ori pro- din-ve-de-nie al primului număr la al doilea roi plus pătratul celui de-al doilea număr.

Rezolvarea exemplelor pentru formula diferenței pătrate

Exemple de jante cu aspect Ras:

Exemplul 4:

Exemplul 5:

Exemplul 6:

Formulele pătratului sumei și pătratului diferenței pot funcționa atât de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga. Când folosiți de la stânga la dreapta, va fi de-a dreptul cu-frumos-no-go înmulțire inteligentă, se aplică atunci când -număr-le-nii și pre-o-ra-zo-va-nii în-măsuri . Și când se folosește-pol-zo-va-nii pe dreapta-va-le-in - diversificarea for-mu-ly în multe.

Ras-uitați-vă la exemple, într-un fel trebuie să descompuneți un anumit membru multiplu în multipli, aplicând forma -ly quad-ra-ta sum și quad-ra-ta diferența. Pentru a face acest lucru, trebuie să fiți foarte atenți, dar uitați-vă la mulți membri și stabiliți cum să-l numiți corect-vil-dar de-lo-live.

Rezolvarea exemplelor de factorizare a unui polinom

Exemplul 7:

Un comentariu: pentru a descompune un multi-membru în multipli, trebuie să determinați ce să reprezentați, devenind-le-dar în acest voi-ra-same-nii. Deci, vedem un pătrat și un pătrat de unul. Acum trebuie să găsești un pro-of-ve-de-nie dublu - acesta este. Deci, toate elementele necesare sunt acolo, trebuie doar să determinați deversarea, acesta este pătratul sumei sau al diferenței. Există un semn plus în fața dublului pro-de-ve-de-ni-em, ceea ce înseamnă că avem un pătrat al sumei.

Exemplul 8:

Exemplul 9:

Un comentariu: pentru a rezolva un exemplu dat, trebuie să nu minus parantezele, astfel încât să puteți vedea forma de care avem nevoie.

Rezolvarea diverselor probleme tipice privind aplicarea formulelor pătratului sumei și diferenței

Re-dem la soluția ecuațiilor:

Exemplul 10:

Un comentariu: pentru a rezolva ecuația dată, trebuie să simplificați partea stângă, aplicând forma-mu-lu a diferenței quadr-ra-t și quadr-ra-ta, după care adăugați membri suplimentari. După aceea, transferați toate necunoscutele în partea stângă și membrul liber în dreapta și rezolvați ecuația liniară elementară nie.

Exemplul 11:

Tu-numar-turn: .

Un comentariu: pentru a rezolva un dat-no-th-pri-mea-ra, trebuie să luați-me-thread for-mu-ly a diferenței de quad-ra-tov și quad-ra-ta sum, după aceea Kra -tit on-lu-chen-ny fracție.

Exemplul 12:

Do-ca-zat egalitate:

Time-lo-apasă pe multi-zh-te-fie:

De la fiecare la-th-multi-te-la tu-nu-acest minus unu-ni-tsu pentru paranteze:

Facem pentru egalitate (a - b) 2 = (b - a) 2.

Această egalitate este foarte utilă atunci când te simplificăm. Să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 13:

Timp-lo-trai pe o mulțime de lucruri:.

Exemplul 14:

Până atunci, că pătratul întregului număr impar, redus cu unu, de-aprins cu opt.

Ne imaginăm un număr impar pro-liber ca și, respectiv, pătratul său ca. Pentru-vă-scriem-ți-ra-aceeași-țiune conform condiției:

Simplify-stim in-lu-chen-noe you-ra-same-nie:

Pentru a demonstra că sunteți multiplu de opt, trebuie să dovedim că este divizibil cu 2 și 4. Este evident că sunteți multiplu de patru, deoarece are un multiplicator de 4. Prin urmare, trebuie să demonstrăm că de -lit-Xia pe 2.

Scrierea este un pro-of-ve-de-ing a două numere succesive și este întotdeauna un multiplu de două, deoarece din două după-to-va- de numere solide, unul va fi întotdeauna par, iar al doilea, în mod corespunzător, impar și pro-from-ve-de-ing numărul par la impar un multiplu de doi, ceea ce înseamnă că sunteți un multiplu de opt. Deci, suntem la îndemână că pătratul fiecărui număr impar, redus cu unu, este de-luminat cu opt.

Concluziile lecției

Concluzie: în această lecție, am făcut suma for-mu-ly quad-ra-ta și diferența quad-ra-ta și am învățat să rezolvăm cele mai diferite, dar cam diferite sarcini pentru da-chi cu privire la aplicarea acestor formule .

În această lecție, vom reaminti formulele învățate anterior pentru înmulțirea prescurtată, și anume pătratul sumei și pătratul diferenței. Deducem formula pentru diferența de pătrate și rezolvăm multe probleme tipice diferite pentru aplicarea acestei formule. În plus, vom rezolva probleme pentru aplicarea complexă a mai multor formule.

Formularea temei și a scopului lecției și o reamintire a materialului lecției anterioare

Vă reamintim că în lecția anterioară ne-am uitat la for-mu-ly a sumei quad-ra-ta și a diferenței quad-ra-ta. Scrie-le:

Formula de derivare a diferenței de pătrate

You-ve-dem for-mu-lu raz-no-sti quad-ra-tov. Tu-jumătate-este înmulțit inteligent cu doi membri de drept:

Slo-greutate-dar această formă-mu-la arată astfel: diferența dintre pătratele a două ex-ra-s este egală cu pro-of-ve-de-tion a sumei acestor tu- ra-același pe diferența lor.

Noi numim-y-va-em different-stu-quad-ra-tov.

Numim pătratul diferenței, nu trebuie să confundăm aceste două expresii.

Exemple de utilizare directă a formulei și declarației de eroare standard

Ras-uite la aplicarea formulelor în ty-po-y-for-yes-chah. Să începem cu sarcini pentru aplicarea directă a formulei.

Exemplul 1: .

Să luăm pentru, pentru, într-un mod mai bun:

.

Ras-scrie cu-voce-dar pentru-mu-le:

Pe-rey-dem to the is-go-ny pe-re-men-ny:

Eroare standard:

I-me-nya-eat între paranteze cu semnul plus

.

Adesea cu un astfel de pi-si pu-ta-yut, care pătrat urmează tu-onoare din ka-ko-go:

Rezolvarea exemplelor pentru aplicarea directă a formulei

Exemplul 2:

Un comentariu: dacă tu-no-ka-yut pentru-muncă-non-niya, poți, ana-lo-gich-dar înainte-du-sche-mu with-me-ru, for-me-thread one of you-ra - la fel pe a, iar al doilea pe b, ca sa se vada mai usor for-mu-lu necesar.

Exemplul 3:

Un comentariu: în acest pri-me-re, ar trebui să fiți atent-ma-tel-us-mi și să nu-puneți-în-the-mod greșeala descrisă mai sus. Pentru aceasta, este convenabil să schimbați locurile slabe din prima paranteză.

Pe-rei-dem to za-da-cham pe revers with-me-not-for-mu-ly - diversificare în multipli.

Exemplul 4:

Comentariu: exemplul se rezolvă din definiția diferenței dintre pătrate. Este necesar doar să definiți-de-pour, pătrat-ra-volum de ka-ko-go you-ra-zhe-niya este primul-dar-membru și al doilea roi.

Exemplul 5:

Exemplul 6:

Un comentariu: în acest pri-me-re, trebuie să aplicați de mai multe ori un fir de la-cha-e-muyu for-mu-lu. Poate fi pentru-da-dar de la lu-chen-noy de la sfârșitul formei lungi-mu-ly, obțineți vizualizarea standard a mai multor-membri, apoi trebuie să creionați-dar re-re-multiplicați paranteze între ele și s-ra-chi-vat you-ra-same-tion la cel mai simplu.

Exemple pentru aplicarea complexă a mai multor formule

Următorul tip de sarcini este o aplicare combi-ni-ro-van-noe a mai multor formule.

Exemplul 7 - simplificați:

Kom-men-ta-riy: în acest pri-me-re, trebuie să adăugați două formule: diff-no-quad-ra-tov și quad-ra-ta raz-no- sti, într-un lu-chen- nom you-ra-same-ni add-ve-sti-like members.

Exemplul 8:

Rezolvarea de ecuații și probleme de calcul

Re-rei-dem la re-e-ecuație.

Exemplul 9:

Ras-look-rim you-number-li-tel-nye for-da-chi.

Exemplul 10:

Exemplul 11:

Rezumatul lecției și temele pentru acasă

Concluzie: în această lecție, noi-we-ve-we-we-we-we-we-we-we-we-we-avem-no-sti-quad-ra-tov și re-shi-dacă există multe diferite exemple personale, dar nume-dar ecuații -not-niya, tu-număr-li-tel-nye pentru-yes-chi, for-yes-niya on direct and reverse use-o-va-nie you-ve-den- noy for-mu-ly si altele. În plus, rezolvați mai multe probleme pentru aplicarea complexă a mai multor formule.

În această lecție, vom continua să studiem formulele de înmulțire prescurtată, și anume, vom lua în considerare formulele pentru diferența și suma cuburilor. În plus, vom rezolva diverse sarcini tipice pentru aplicarea acestor formule.

Derivarea formulei pentru diferența de cuburi

Când studiem formulele înmulțirii atât de frumoase, studiem deja chi-li:

Sumă pătrată și diferență;

Diferența de pătrate.

You-ve-dem for-mu-lu diferite cuburi.

Sarcina noastră este să dovedim că cu deschiderea sko-side în partea dreaptă și cu -dem în re-zul-ta-te în partea stângă.

You-ra-same-say-y-va-et-este un pătrat incomplet al sumei, deoarece există un deuce în fața pro-of-ve-de-ni-em you-ra-same.

Derivarea formulei pentru suma cuburilor

Definiție

Diferența dintre cuburile a doi you-ra-same este pro-de-ve-de-nie a diferenței acestor you-ra-same pe pătratul incomplet al sumei lor.

You-ve-dem for-mu-lu suma de cuburi.

Tu-jumătate-noi-mănânci inteligent-aceiași-mulți-membri-nou:

Q.E.D.

You-ra-same-na-zy-va-et-sya incomplete square-ra-vol-time-no-sti, din moment ce este un deuce în fața pro-de-ve-de-no-eat te- ra-same-niy.

Sarcini de simplificare a expresiei

Definiție

Suma cuburilor a doi you-ra-same este pro-of-ve-de-tion a sumei acestor you-ra-same printr-un pătrat incomplet al diferenței lor.

Exemplul 1 - simplificați-vă la fel:

Fie și , avem:

Acesta este izu-cha-e-may for-mu-la - diferite cuburi:

Exemplul 2 - simplificați-vă la fel:

Fie și , avem:

Aceasta este izu-cha-e-may for-mu-la - suma cuburilor.

Algebră

Formule scurte de multiplicare sunt folosite pentru a transforma expresii. Identitățile sunt folosite pentru a reprezenta întreaga expresie ca un polinom și a factoriza polinoamele.

• 1 suma pătratului(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
• 2 Pătratul diferenței(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
• 3 Diferența de pătrate a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
• 4 cub suma(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 2
• 5 cub de diferență(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 2
• 6 Suma de cuburi a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)
• 7 Diferența de cuburi a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Formule pentru pătrate

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)

Formule cub

\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

\((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

Formule pentru gradul al patrulea

\((a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)

\((a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4\)

\(a^4 - b^4 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)\);
rezultă din \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\).

Formule de înmulțire prescurtate

1. Patratul sumei

2. Diferența de pătrat

3. Suma și diferența pătratelor

4. Suma la a treia putere (cubul sumei)

5. Diferența la gradul al treilea (cubul de diferență)

6. Suma și diferența de cuburi

7. Formule de înmulțire prescurtată pentru gradul al patrulea

8. Formule de înmulțire prescurtată pentru gradul al cincilea

9. Formule de înmulțire prescurtate pentru gradul al șaselea

10. Formule de înmulțire prescurtate pentru gradul n, unde n- orice număr natural

11. Formule de înmulțire prescurtate pentru gradul n, unde n- număr chiar pozitiv

12. Formule de înmulțire prescurtate pentru gradul n, unde n- număr pozitiv impar

Pentru a simplifica polinoamele algebrice, există formule de înmulțire prescurtate. Nu sunt atât de multe și sunt ușor de reținut, dar trebuie să le amintiți. Notația folosită în formule poate lua orice formă (număr sau polinom).

Prima formulă de înmulțire prescurtată se numește diferența de pătrate. Constă în faptul că din pătratul unui număr se scade pătratul celui de-al doilea număr egal cu diferența dintre aceste numere, precum și produsul lor.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

Să analizăm pentru claritate:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

A doua formulă despre suma patratelor. Se pare că suma a două valori pătrate este egală cu pătratul primei valori, i se adaugă produsul dublu al primei valori înmulțit cu a doua, pătratul celei de-a doua valori i se adaugă.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Datorită acestei formule, devine mult mai ușor să calculați pătratul unui număr mare, fără utilizarea tehnologiei computerizate.

Deci de exemplu: pătratul lui 112 va fi
1) La început, vom analiza 112 în numere ale căror pătrate ne sunt familiare
112 = 100 + 12
2) Introducem primitul intre paranteze la patrat
112 2 = (100+12) 2
3) Aplicând formula, obținem:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

A treia formulă este diferenta la patrat. Care spune că două valori scăzute una de la alta la pătrat sunt egale cu faptul că, din prima valoare la pătrat, scădem produsul dublu al primei valori înmulțit cu a doua, adăugându-le pătratul celei de-a doua valori. .

(a + b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

unde (a - b) 2 este egal cu (b - a) 2 . Pentru a demonstra acest lucru, (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Se numește a patra formulă de înmulțire prescurtată cub suma. Ceea ce sună așa: doi termeni ai valorii din cub sunt egali cu cubul cu 1 valoare, li se adaugă produsul triplu al 1 valoare la pătrat înmulțit cu a 2-a valoare, produsul triplu al 1 valoare înmulțit cu pătratul 2 li se adaugă valoare, plus a doua valoare cub.

(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

A cincea, așa cum ați înțeles deja, se numește cub de diferență. Care găsește diferențele dintre valori, deoarece din prima denumire din cub scădem produsul triplu al primei denumiri la pătrat înmulțit cu a doua, li se adaugă produsul triplu al primei denumiri înmulțit cu pătratul celei de-a doua denumiri. , minus a doua denumire din cub.

(a-b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Al șaselea se numește suma de cuburi. Suma cuburilor este egală cu produsul a doi termeni înmulțit cu pătratul incomplet al diferenței, deoarece nu există o valoare dublată în mijloc.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 -ab + b 2)

Într-un alt mod, puteți spune că suma cuburilor poate fi numită produsul din două paranteze.

Al șaptelea și ultimul este numit diferenta de cuburi(este ușor să-l confundați cu formula cubului diferențelor, dar acestea sunt lucruri diferite). Diferența de cuburi este egală cu produsul diferenței a două cantități înmulțit cu pătratul incomplet al sumei, deoarece nu există o valoare dublată în mijloc.

a 3 - b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2)

Și deci există doar 7 formule de înmulțire prescurtată, se aseamănă între ele și sunt ușor de reținut, singurul lucru este să nu te încurci în semne. De asemenea, sunt concepute pentru a fi utilizate în ordine inversă și există destul de multe astfel de sarcini colectate în manuale. Fii atent și vei reuși.

Dacă aveți întrebări despre formule, asigurați-vă că le scrieți în comentarii. Vom fi bucuroși să vă răspundem!

Dacă ești în concediu de maternitate, dar vrei să câștigi bani. Doar urmați linkul Afaceri pe Internet cu Oriflame. Totul este scris și prezentat în detaliu. Va fi interesant!